PRIMS Full-text transcription (HTML)
[I]
INTERNATIONALE WISSENSCHAFTLICHE BIBLIOTHEK.
LIX. BAND.
[II][III]
DIE MECHANIK IN IHRER ENTWICKELUNG
HISTORISCH-KRITISCH DARGESTELLT
MIT 250 ABBILDUNGEN.
[figure]
LEIPZIG:F. A. BROCKHAUS. 1883.
[IV][V]

VORWORT.

Vorliegende Schrift ist kein Lehrbuch zur Einübung der Sätze der Mechanik. Ihre Tendenz ist vielmehr eine aufklärende oder, um es noch deutlicher zu sagen, eine antimetaphysische.

Auch die Mathematik ist in dieser Schrift gänzlich Nebensache. Wer sich aber für die Fragen interessirt, worin der naturwissenschaftliche Inhalt der Mecha - nik besteht, wie wir zu demselben gelangt sind, aus welchen Quellen wir ihn geschöpft haben, wie weit derselbe als ein gesicherter Besitz betrachtet werden kann, wird hier hoffentlich einige Aufklärung finden. Eben dieser Inhalt, welcher für jeden Naturforscher, jeden Denker das grösste und allgemeinste Interesse hat, liegt eingeschlossen und verhüllt in dem intellec - tuellen Fachapparat der heutigen Mechanik.

Der Kern der Gedanken der Mechanik hat sich fast durchaus an der Untersuchung sehr einfacher besonderer[VI]Vorwort.Fälle mechanischer Vorgänge entwickelt. Die histo - rische Analyse der Erkenntniss dieser Fälle bleibt auch stets das wirksamste und natürlichste Mittel, jenen Kern blosszulegen, ja man kann sagen, dass nur auf diesem Wege ein volles Verständniss der allgemeinern Ergeb - nisse der Mechanik zu gewinnen ist. Der erwähnten Anschauung folgend, bin ich zu einer etwas brei - ten, dafür aber sehr verständlichen Darstellung gelangt. Bei der vorläufig noch nicht hinreichend entwickelten Genauigkeit der allgemeinen Verkehrssprache konnte ich von dem Gebrauch der kurzen und präcisen mathematischen Bezeichnung nicht überall absehen, sollte nicht stellenweise die Sache der Form geopfert werden.

Die Aufklärungen, welche ich hier bieten kann, sind im Keime theilweise schon enthalten in meiner Schrift: Die Geschichte und die Wurzel des Satzes der Erhaltung der Arbeit (Prag, Calve, 1872). Ob - gleich nun später von Kirchhoff ( Vorlesungen über ma - thematische Physik. Mechanik , Leipzig 1874) und Helm - holtz ( Die Thatsachen in der Wahrnehmung , Berlin 1879) einigermaassen ähnliche Ansichten ausgesprochen wurden, und zum Theil sogar schon den Charakter von Schlagworten angenommen haben, scheint mir hier - mit dasjenige, was ich zu sagen habe, doch nicht er - schöpft, und ich halte meine Darstellung keineswegs für überflüssig.

Mit meiner Grundansicht über die Natur aller Wissen - schaft als einer Oekonomie des Denkens, die ich[VII]Vorwort.in der oben citirten Schrift sowie in einer andern ( Die Gestalten der Flüssigkeit , Prag, Calve, 1872) an - gedeutet, und in meiner akademischen Festrede ( Die ökonomische Natur der physikalischen Forschung , Wien, Gerold, 1881) etwas weiter ausgeführt habe, stehe ich nicht mehr allein. Sehr verwandte Ideen hat näm - lich in seiner Weise R. Avenarius entwickelt ( Philo - sophie als Denken der Welt gemäss dem Princip des kleinsten Kraftmaasses , Leipzig, Fues, 1876), was mir zu besonderer Befriedigung gereicht. Die Achtung vor dem echt philosophischen Streben, alles Wissen in einen Strom zusammenzuleiten, wird man in meiner Schrift überhaupt nicht vermissen, wenngleich dieselbe gegen Uebergriffe der speculativen Methode ent - schiedene Opposition macht.

Die hier behandelten Fragen haben mich schon in früher Jugend beschäftigt, und mein Interesse für die - selben wurde mächtig erhöht durch die wunderbaren Einleitungen von Lagrange zu den Kapiteln seiner analytischen Mechanik, sowie durch das klar und frisch geschriebene Schriftchen von Jolly ( Principien der Mechanik , Stuttgart 1852). Das schätzbare Buch von Dühring ( Kritische Geschichte der Principien der Mecha - nik , Berlin 1873) hat auf meine Gedanken, welche bei dessen Erscheinen schon im wesentlichen abge - schlossen und auch ausgesprochen waren, keinen be - merkenswerthen Einfluss mehr geübt. Gleichwol wird man, wenigstens in Bezug auf die negative Seite der Kritik, manche Berührungspunkte finden.

[VIII]Vorwort.

Die hier abgebildeten und beschriebenen neuen De - monstrationsapparate sind durchgängig von mir construirt und von Herrn F. Hajek, Mechaniker des unter meiner Leitung stehenden Physikalischen Instituts, ausgeführt worden.

In loserem Zusammenhange mit dem Text stehen die genauen Nachbildungen in meinem Besitz befind - licher alter Originale. Die eigenthümlichen und naiven Züge der grossen Forscher, welche sich in denselben aussprechen, haben aber auf mich beim Studium sehr erfrischend gewirkt, und ich wünschte, dass meine Leser dieses Vergnügen mit geniessen möchten.

Prag, im Mai 1883. E. MACH.

[IX]

INHALT.

  • Seite
  • VorwortV
  • Einleitung1
  • ERSTES KAPITEL. Die Entwickelung der Principien der Statik.
    • 1. Das Hebelprincip. 8
    • 2. Das Princip der schiefen Ebene. 22
    • 3. Das Princip der Zusammensetzung der Kräfte. 31
    • 4. Das Princip der virtuellen Verschiebungen. 45
    • 5. Rückblick auf die Entwickelung der Statik. 72
    • 6. Die Principien der Statik in ihrer Anwendung auf die flüssigen Körper. 79
    • 7. Die Principien der Statik in ihrer Anwendung auf die gasförmigen Körper. 101
  • ZWEITES KAPITEL. Die Entwickelung der Principien der Dynamik.
    • 1. Galilei’s Leistungen. 117
    • 2. Die Leistungen von Huyghens. 143
    • 3. Newton’s Leistungen. 174
    • 4. Erörterung und Veranschaulichung des Gegen - wirkungsprincips. 188
    • 5. Kritik des Gegenwirkungsprincips und des Massen - begriffes. 202
    • 6. Newton’s Ansichten über Zeit, Raum und Bewegung. 207
    • 7. Uebersichtliche Kritik der Newton’schen Aufstel - lungen. 222
    • 8. Rückblick auf die Entwickelung der Dynamik. 229
  • [X]
  • DRITTES KAPITEL. Die weitere Verwendung der Principien und die deductive Entwickelung der Mechanik.
    • Seite
    • 1. Die Tragweite der Newton’schen Principien. 239
    • 2. Die Rechnungsausdrücke und Maasse der Mechanik. 251
    • 3. Die Gesetze der Erhaltung der Quantität der Be - wegung, der Erhaltung des Schwerpunktes und der Erhaltung der Flächen. 265
    • 4. Die Gesetze des Stosses. 282
    • 5. Der D’Alembert’sche Satz. 307
    • 6. Der Satz der lebendigen Kräfte. 319
    • 7. Der Satz des kleinsten Zwanges. 326
    • 8. Der Satz der kleinsten Wirkung. 340
    • 9. Der Hamilton’sche Satz. 356
    • 10. Einige Anwendungen der Sätze der Mechanik auf hydrostatische und hydrodynamische Aufgaben. 360
  • VIERTES KAPITEL. Die formelle Entwickelung der Mechanik.
    • 1. Die Isoperimeterprobleme. 396
    • 2. Theologische, animistische und mystische Gesichts - punkte in der Mechanik. 420
    • 3. Die analytische Mechanik. 438
    • 4. Die Oekonomie der Wissenschaft. 452
  • FÜNFTES KAPITEL. Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten.
    • 1. Beziehungen der Mechanik zur Physik. 466
    • 2. Beziehungen der Mechanik zur Physiologie. 475
  • Chronologische Uebersicht einiger hervorragender For - scher und ihrer für die Grundlegung der Mechanik wichtigem Schriften. 479
  • Register. 481
[1]

Einleitung.

1. Jener Theil der Physik, welcher der älteste und einfachste ist, und daher auch als Grundlage für das Ver - ständniss vieler anderer Theile der Physik betrachtet wird, beschäftigt sich mit der Untersuchung der Be - wegung und des Gleichgewichtes der Massen. Er führt den Namen Mechanik.

2. Die Entwickelungsgeschichte der Mechanik, deren Kenntniss auch zum vollen Verständniss der heutigen Form dieser Wissenschaft unerlässlich ist, liefert ein einfaches und lehrreiches Beispiel der Processe, durch welche die Naturwissenschaft überhaupt zu Stande kommt.

Die instinctive unwillkürliche Kenntniss der Naturvorgänge wird wol stets der wissenschaftlichen willkürlichen Erkenntniss, der Erforschung der Er - scheinungen vorausgehen. Erstere wird erworben durch die Beziehung der Naturvorgänge zur Befriedigung unserer Bedürfnisse. Die Erwerbung der elementarsten Erkenntnisse fällt sogar sicherlich nicht dem Indivi - duum allein anheim, sondern wird durch die Entwicke - lung der Art vorbereitet.

In der That haben wir zu unterscheiden zwischen mechanischen Erfahrungen und Wissenschaft der Mechanik im heutigen Sinne. Mechanische Erfahrungen sind ohne Zweifel sehr alt. Wenn wir die altägyptischen oder assyrischen Denkmäler durchmustern, finden wir die Abbildung von mancherlei Werkzeugen und mechanischenMach. 12Einleitung.Vorrichtungen, während die Nachrichten über die wissen - schaftlichen Kenntnisse dieser Völker entweder fehlen, oder doch nur auf eine sehr niedere Stufe derselben

Fig. 1.

schliessen lassen. Ne - ben sehr sinnreichen Geräthen bemerken wir wieder ganz rohe Proceduren, wie z. B. den Transport ge - waltiger Steinmassen durch Schlitten. Al - les trägt den Cha - rakter des Instinctiven, des Undurchgebilde - ten, des zufällig Ge - fundenen.

Auch die Gräber aus vorhistorischer Zeit enthalten viele Werk - zeuge, deren Anfer - tigung und Handha - bung eine nicht unbe - trächtliche technische Fertigkeit und man - cherlei mechanische Erfahrungen voraus - setzt. Lange bevor also an eine Theorie im heutigen Sinne ge - dacht werden kann, finden wir Werkzeuge, Maschinen, mechani - sche Erfahrungen und Kenntnisse.

3. Zuweilen drängt sich der Gedanke auf, dass wir durch die un - vollständigen schrift -3Einleitung.lichen Nachrichten zu einem falschen Urtheil über die alten Völker verleitet werden. Es finden sich nämlich bei den alten Autoren einzelne Stellen, aus welchen viel tiefere Kenntnisse hervorzublicken scheinen, als man den betreffenden Völkern zuzuschreiben pflegt. Betrachten wir des Beispiels wegen nur eine Stelle bei Vitruv, De architectura , Lib. IV, Cap. III, 6. Dieselbe lautet:

Die Stimme aber ist ein fliessender Hauch und in - folge der Luftbewegung durch das Gehör vernehmlich; sie bewegt sich in unendlichen kreisförmigen Rundungen fort, wie in einem stehenden Wasser, wenn man einen Stein hineinwirft, unzählige Wellenkreise entstehen, welche wachsend sich soweit als möglich vom Mittel - punkt ausbreiten, wenn nicht die beengte Stelle sie unterbricht, oder irgendeine Störung, welche nicht ge - stattet, dass jene kreislinienförmigen Wellen bis ans Ende gelangen; denn so bringen die ersten Wellen - kreise, wenn sie durch Störungen unterbrochen werden, zurückwogend die Kreislinien der nachfolgenden in Un - ordnung. Nach demselben Gesetz bringt auch die Stimme solche Kreisbewegungen hervor, aber im Wasser bewegen sich die Kreise auf der Fläche bleibend nur in der Breite fort; die Stimme aber schreitet einerseits in der Breite vor und steigt andererseits stufenweise in die Höhe empor.

Meint man hier nicht einen populären Schriftsteller zu hören, dessen unvollkommene Auseinandersetzung auf uns gekommen ist, während vielleicht gediegenere Werke, aus welchen er geschöpft hat, verloren gegangen sind? Würden nicht auch wir nach Jahrtausenden in einem sonderbaren Lichte erscheinen, wenn nur unsere populäre Literatur, die ja auch der Masse wegen schwerer zerstörbar ist, die wissenschaftliche überdauern sollte? Freilich wird diese günstige Auffassung durch die Menge der andern Stellen wieder erschüttert, welche so grobe und offenbare Irrthümer enthalten, wie wir sie bei höherer wissenschaftlicher Cultur nicht für möglich halten können.

4. Wann, wo und in welcher Art die Entwickelung1*4Einleitung.der Wissenschaft wirklich begonnen hat, ist jetzt histo - risch schwer zu ermitteln. Es scheint aber trotzdem natürlich, anzunehmen, dass die instinctive Sammlung von Erfahrungen der wissenschaftlichen Ordnung der - selben vorausgegangen sei. Die Spuren dieses Pro - cesses lassen sich an der heutigen Wissenschaft noch nachweisen, ja wir können den Vorgang an uns selbst gelegentlich beobachten. Die Erfahrungen, welche der auf Befriedigung seiner Bedürfnisse ausgehende Mensch unwillkürlich und instinctiv macht, verwendet er ebenso gedankenlos und unbewusst. Hierher gehören z. B. die ersten Erfahrungen, welche die Anwendung der Hebel in den verschiedensten Formen betreffen. Was man aber so gedankenlos und instinctiv findet, kann nie als etwas Besonderes, nie als etwas Auffallendes erscheinen, gibt in der Regel auch zu keinen weitern Gedanken Anlass.

Der Uebergang zur geordneten, wissenschaftlichen Erkenntniss und Auffassung der Thatsachen ist erst dann möglich, wenn sich besondere Stände herausgebildet haben, die sich die Befriedigung bestimmter Bedürfnisse der Gesellschaft zur Lebensaufgabe machen. Ein s[ol]cher Stand beschäftigt sich mit besondern Klassen von Naturvorgängen. Die Personen dieses Standes wechseln aber; alte Mitglieder scheiden aus, neue treten ein. Es ergibt sich nun die Nothwendigkeit, den neu Ein - tretenden die vorhandenen Erfahrungen mitzutheilen, die Nothwendigkeit, ihnen zu sagen, auf welche Um - stände es bei der Erreichung eines gewissen Zieles eigent - lich ankommt, um den Erfolg im voraus zu bestimmen. Erst bei dieser Mittheilung wird man zu scharfer Ueber - legung genöthigt, wie dies jeder heute noch an sich selbst beobachten kann. Andererseits fällt dem neu ein - tretenden Mitgliede eines Standes dasjenige, was die übrigen gewohnheitsmässig treiben, als etwas Ungewöhn - liches auf, und wird so ein Anlass zum Nachdenken und zur Untersuchung.

Will man einem Andern gewisse Naturerscheinungen5Einleitung.oder Vorgänge zur Kenntniss bringen, so kann man ihn dieselben entweder selbst beobachten lassen; dann entfällt aber der Unterricht; oder man muss ihm die Naturvorgänge auf irgendeine Weise beschreiben, um ihm die Mühe, jede Erfahrung selbst aufs neue zu machen, zu ersparen. Die Beschreibung ist aber nur möglich in Bezug auf Vorgänge, die sich immer wieder - holen, oder doch nur aus Theilen bestehen, die immer wiederkehren. Beschrieben, begrifflich in Gedanken nachgebildet, kann nur werden, was gleichförmig, gesetz - mässig ist, denn die Beschreibung setzt die Anwendung von Namen für die Elemente voraus, welche nur bei immer wiederkehrenden Elementen verständlich sein können.

5. In der Mannigfaltigkeit der Naturvorgänge er - scheint manches gewöhnlich, anderes ungewöhnlich, ver - wirrend, überraschend, ja sogar dem Gewöhnlichen widersprechend. Solange dies der Fall ist, gibt es keine ruhige einheitliche Naturauffassung. Es entsteht somit die Aufgabe, die gleichartigen, bei aller Mannig - faltigkeit stets vorhandenen Elemente der Naturvorgänge aufzusuchen. Hierdurch wird einerseits die sparsamste, kürzeste Beschreibung und Mittheilung ermöglicht. Hat man sich andererseits die Fertigkeit erworben, diese gleichbleibenden Elemente in den mannigfaltigsten Vor - gängen wiederzuerkennen, sie in denselben zu sehen, so führt dies zur übersichtlichen, einheitlichen, widerspruchslosen und mühelosen Erfassung der Thatsachen. Hat man es dahin gebracht, überall dieselben wenigen einfachen Elemente zu bemerken, die sich in gewohnter Weise zusammenfügen, so treten uns diese als etwas Bekanntes entgegen, wir sind nicht mehr überrascht, es ist uns nichts mehr an den Erschei - nungen fremd und neu, wir fühlen uns in denselben zu Hause, sie sind für uns nicht mehr verwirrend, sondern erklärt. Es ist ein Anpassungsprocess der Gedanken an die Thatsachen, um den es sich hier handelt.

6. Die Oekonomie der Mittheilung und Auffassung gehört zum Wesen der Wissenschaft, in ihr liegt das6Einleitung.beruhigende, aufklärende und ästhetische Moment der - selben, und sie deutet auch unverkennbar auf den historischen Ursprung der Wissenschaft zurück. An - fänglich zielt alle Oekonomie nur unmittelbar auf Befriedigung der leiblichen Bedürfnisse ab. Für den Handwerker und noch mehr für den Forscher wird die kürzeste, einfachste, mit den geringsten geistigen Opfern zu erreichende Erkenntniss eines bestimmten Gebietes von Naturvorgängen selbst zu einem ökonomischen Ziel, bei welchem, obgleich es ursprünglich Mittel zum Zweck war, wenn einmal die betreffenden geistigen Triebe ent - wickelt sind und ihre Befriedigung fordern, an das leibliche Bedürfniss gar nicht mehr gedacht wird.

Was also in den Naturvorgängen sich gleichbleibt, die Elemente derselben und die Art ihrer Verbindung, ihrer Abhängigkeit voneinander, hat die Naturwissen - schaft aufzusuchen. Sie bestrebt sich, durch die über - sichtliche und vollständige Beschreibung das Abwarten neuer Erfahrungen unnöthig zu machen, dieselben zu ersparen, indem z. B. vermöge der erkannten Abhängig - keit der Vorgänge voneinander, bei Beobachtung eines Vorganges die Beobachtung eines andern, dadurch schon mitbestimmten und vorausbestimmten, unnöthig wird. Aber auch bei der Beschreibung selbst kann Arbeit ge - spart werden, indem man Methoden aufsucht, möglichst viel auf einmal und in der kürzesten Weise zu be - schreiben. Alles dies wird durch die Betrachtung des Einzelnen viel klarer werden, als es durch allge - meine Ausdrücke erreicht werden kann. Doch ist es zweckmässig, auf die wichtigsten Gesichtspunkte hier schon vorzubereiten.

7. Wir wollen nun auf unsern Gegenstand näher eingehen und hierbei, ohne die Geschichte der Mechanik zur Hauptsache zu machen, die historische Entwickelung so weit beachten, als dies zum Verständniss der gegen - wärtigen Gestaltung der Mechanik nöthig ist, und als es den Zusammenhang in der Hauptsache nicht stört. Abgesehen davon, dass wir den grossen Anregungen7Einleitung.nicht aus dem Wege gehen dürfen, die wir von den bedeutendsten Menschen aller Zeiten erhalten können, und die zusammengenommen auch ausgiebiger sind, als sie die besten Menschen der Gegenwart zu bieten vermögen, gibt es kein grossartigeres, ästhetisch erheben - deres Schauspiel, als die Aeusserungen der gewaltigen Geisteskraft der grundlegenden Forscher. Noch ohne alle Methode, welche ja durch ihre Arbeit erst ge - schaffen wird, und die ohne Kenntniss ihrer Leistung immer unverstanden bleibt, fassen sie und bezwingen sie ihren Stoff, und prägen ihm die begrifflichen For - men auf. Jeder, der den ganzen Verlauf der wissen - schaftlichen Entwickelung kennt, wird natürlich viel freier und richtiger über die Bedeutung einer gegen - wärtigen wissenschaftlichen Bewegung denken als der - jenige, welcher, in seinem Urtheil auf das von ihm selbst durchlebte Zeitelement beschränkt, nur die augenblick - liche Bewegungsrichtung wahrnimmt.

[8]

ERSTES KAPITEL. Entwickelung der Principien der Statik.

1. Das Hebelprincip.

1. Die ältesten Untersuchungen über Mechanik, über welche wir Nachrichten haben, diejenigen der alten Griechen, bezogen sich auf die Statik, auf die Lehre vom Gleichgewicht. Auch als nach der Eroberung von Konstantinopel durch die Türken (1453) die flüchtigen Griechen durch die mitgebrachten alten Schriften im Abendlande neue Anregungen gaben, waren es Unter - suchungen über Statik, welche, hauptsächlich durch die Werke des Archimedes hervorgerufen, die bedeutendsten Forscher beschäftigten.

2. Archimedes von Syrakus (287 212 v. Chr.) hat eine Anzahl von Schriften hinterlassen, deren einige vollständig auf uns gekommen sind. Wir wollen uns zunächst einen Augenblick mit dem Buch De aequi ponderantibus beschäftigen, das Sätze über den Hebel und Schwerpunkt enthält.

In demselben geht er von folgenden, von ihm als selbstverständlich angesehenen Voraussetzungen aus:

a. Gleichschwere Grössen in gleicher Entfernung (vom Unterstützungspunkte) wirkend, sind im Gleich - gewicht.

b. Gleichschwere Grössen, in ungleicher Entfernung (vom Unterstüzungspunkte) wirkend, sind nicht im Gleichgewicht, sondern die in grösserer Entfernung wir - kende sinkt.

9Erstes Kapitel. Entwickelung der Principien der Statik.

Er leitet aus diesen Voraussetzungen den Satz ab:

Commensurable Grössen sind im Gleichgewicht, wenn sie ihrer Entfernung (vom Unterstützungspunkte) umgekehrt proportionirt sind.

Es scheint, als ob an diesen Voraussetzungen nicht mehr viel zu analysiren wäre; dem ist aber, wenn man genau zusieht, nicht so.

Wir denken uns eine Stange, von deren Gewicht wir absehen; dieselbe hat einen Unterstützungspunkt. (Fig. 2.) Wir hängen in gleicher Distanz von diesem zwei gleiche Gewichte an. Dass diese jetzt im Gleichge - wicht sind, ist eine Voraussetzung, von der Archimedes ausgeht. Man

Fig. 2.

könnte meinen, dies sei (nach dem sogenannten Satze des zureichenden Grundes), abgesehen von aller Erfah - rung selbstverständlich, es sei bei der Symmetrie der ganzen Vorrichtung kein Grund, warum die Drehung eher in dem einen, als in dem andern Sinne eintreten sollte. Man vergisst aber hierbei, dass in der Voraussetzung schon eine Menge negativer und positiver Erfahrungen liegen, die negativen z. B., dass ungleiche Farben der Hebel - arme, die Stellung des Beschauers, ein Vorgang in der Nachbarschaft u. s. w., keinen Einfluss haben, die posi - tiven hingegen (wie in Voraussetzung 2 sich zeigt), dass nicht nur die Gewichte, sondern auch die Entfernungen vom Stützpunkte für die Gleichgewichtsstörung maassgebend sind, dass sie bewegungsbestimmende Umstände sind. Mit Hülfe dieser Erfahrungen sieht man allerdings ein, dass die Ruhe (keine Bewegung) die einzige durch die be - wegungsbestimmenden Umstände eindeutig bestimmte Bewegung ist. 1Würde man z. B. annehmen, dass das Gewicht rechter Hand sinkt, so würde die Gegendrehung in gleicher Weise bestimmt, wenn der einflusslose Beschauer sich auf die ent - gegengesetzte Seite stellt.

Nun können wir aber unsere Kenntniss der maass -10Erstes Kapitel.gebenden Umstände nur dann für zureichend hal - ten, wenn die letzteren einen Vorgang eindeutig be - stimmen. Unter Voraussetzung der erwähnten Erfah - rung, dass nur die Gewichte und ihre Abstände maassgebend sind, hat nun der Satz 1 des Archi - medes wirklich einen hohen Grad von Evidenz und eignet sich also sehr zur Grundlage für weitere Unter - suchungen. Stellt sich der Beschauer selbst in die Sym - metrieebene der betreffenden Vorrichtung, so zeigt sich der Satz 1 auch als eine sehr zwingende instinctive Einsicht, was durch die Symmetrie unsers eigenen Kör - pers bedingt ist. Die Aufsuchung derartiger Sätze ist

Fig. 3.

Fig. 4.

auch ein vorzügliches Mittel, sich in den Gedanken an dieselbe Bestimmtheit zu gewöhnen, welche die Natur in ihren Vorgängen offenbart.

3. Wir wollen nun in freier Weise den Gedanken - gang reproduciren, durch welchen Archimedes den all - gemeinen Hebelsatz auf den speciellen anscheinend selbst - verständlichen zurückzuführen sucht. Die beiden in a und b aufgehängten gleichen Gewichte (1) sind, wenn die Stange ab um den Mittelpunkt c drehbar ist, im Gleichgewicht. Hängt man das Ganze an einer Schnur in c auf, so wird dieselbe, vom Gewicht der Stange abgesehen, das Gewicht 2 zu tragen haben. Die gleichen Gewichte an dem Ende ersetzen also das doppelte Gewicht in der Mitte der Stange.

An dem Hebel, dessen Arme sich wie 1: 2 verhalten, sind Gewichte im Verhältniss 2: 1 angehängt. Wir denken uns das Gewicht 2 durch 2 Gewichte 1 ersetzt,11Entwickelung der Principien der Statik.welche beiderseits in dem Abstand 1 von dem Auf - hängepunkte angebracht sind. Dann haben wir wieder vollkommene Symmetrie um den Aufhängepunkt und folglich Gleichgewicht.

An den Hebelarmen 3 und 4 hängen die Gewichte

Fig. 5.

4 und 3. Der Hebelarm 3 werde um 4, der Arm 4 um 3 verlängert, die Gewichte 4 und 3 beziehungs - weise durch 4 und 3 Paare symmetrisch angebrachter Gewichte ½ ersetzt, wie dies die Figur ersichtlich macht. Dann haben wir wieder vollkommene Symme - trie. Diese Betrachtung, die wir in speciellen Zah - len ausgeführt haben, kann leicht verallgemeinert werden.

4. Es ist interessant zu sehen, in welcher Art die Betrachtungsweise von Archimedes nach dem Vorgange von Stevin durch Galilei modificirt worden ist.

Galilei denkt sich ein horizontales homogenes schweres Prisma, und eine ebenso lange homogene Stange (Fig. 6),

Fig. 6.

an der das Prisma an seinen Enden aufge - hängt ist. Die Stange ist in der Mitte mit ei - ner Aufhängung ver - sehen. In diesem Falle wird Gleichgewicht be - stehen; das lässt sich sofort einsehen. In die - sem Falle ist aber je - der andere Fall enthalten. Galilei zeigt dies auf fol - gende Weise. Setzen wir, es wäre die ganze Länge der Stange oder des Prismas 2 (m+n). Wir schnei -12Erstes Kapitel.den nun das Prisma derart entzwei, dass das eine Stück die Länge 2m, das zweite 2n erhält. Wir können dies ohne Störung des Gleichgewichts thun, wenn wir zuvor die Enden der beiden Stücke hart an dem Schnitt durch Fäden an der Stange befestigen. Wir können nun auch alle vor - handenen Fäden entfernen, wenn wir zuvor die beiden Prismenstücke in deren Mitte an der Stange aufhängen. Da die ganze Länge der Stange 2 (m+n), so beträgt eine jede Hälfte m+n. Es ist also die Distanz des Auf - hängepunktes des rechten Prismenstückes vom Auf - hängepunkte der Stange n, des linken aber m. Die Erfahrung, dass es auf das Gewicht und nicht auf die

Fig. 7.

Form der Körper ankommt, ist leicht gemacht. Somit ist klar, dass das Gleichgewicht noch besteht, wenn irgendein Gewicht von der Grösse 2m auf einer Seite in der Entfernung n und irgendein Gewicht von der Grösse 2n auf der andern Seite in der Entfernung m aufgehängt wird. Die instinctiven Erkenntnisselemente treten bei dieser Ableitung noch mehr hervor als bei jener von Archimedes.

Man kann übrigens an dieser schönen Betrachtung noch einen Rest der Schwerfälligkeit erkennen, die be - sonders den Forschern des Alterthums eigen ist.

Wie ein neuerer Physiker dieselbe Sache aufgefasst hat, sehen wir an folgender Betrachtung von Lagrange. Er sagt: Wir denken uns ein homogenes horizontales Prisma in der Mitte aufgehängt. Dasselbe stellen wir uns in die Prismen von den Längen 2m und 2n ge - theilt vor. Beachten wir nun die Schwerpunkte dieser Stücke, in welchen wir uns Gewichte proportional 2m und 2n angreifend denken können, so haben dieselben die Abstände n und m vom Stützpunkt. Diese kurze13Entwickelung der Principien der Statik.Erledigung ist nur der geübten mathematischen An - schauung möglich.

5. Das Ziel, welches Archimedes und seine Nach - folger in den angeführten Betrachtungen anstreben, be - steht darin, den complicirtern Hebelfall auf den ein - fachern, anscheinend selbstverständlichen, zurückzu - führen, in dem complicirtern den einfachem zu sehen oder auch umgekehrt. In der That halten wir einen Vorgang für erklärt, wenn es uns gelingt, in demselben bekannte einfachere Vorgänge zu erblicken.

So überraschend uns nun auf den ersten Blick die Leistung von Archimedes und seinen Nachfolgern er - scheint, so steigen uns bei längerer Betrachtung doch Zweifel an der Richtigkeit derselben auf. Aus der blossen Annahme des Gleichgewichts gleicher Gewichte in gleichen Abständen wird die verkehrte Proportion zwischen Gewicht und Hebelarm abgeleitet! Wie ist das möglich?

Wenn wir schon die blosse Abhängigkeit des Gleich - gewichts vom Gewicht und Abstand überhaupt nicht aus uns herausphilosophiren konnten, sondern aus der Erfahrung holen mussten, um wie viel weniger werden wir die Form dieser Abhängigkeit, die Proportionalität auf speculativem Wege finden können.

Wirklich wird von Archimedes und allen Nachfolgern die Voraussetzung, dass die (gleichgewichtstörende) Wirkung eines Gewichts P im Abstande L von der Axe durch das Product P. L (das sogenannte statische Moment) gemessen sei, mehr oder weniger versteckt oder still - schweigend eingeführt. Wenn nämlich Archimedes ein grosses Gewicht durch eine Reihe paarweise symmetrisch angebrachter kleiner Gewichte, welche über den Stütz - punkt hinausgehen, ersetzt, so verwendet er die Lehre vom Schwerpunkt schon in ihrer allgemeinern Form, welche keine andere ist als die Lehre vom Hebel in ihrer allgemeinern Form.

Niemand vermag ohne die obige Annahme über die Bedeutung des Productes P. L nachzuweisen, dass eine14Erstes Kapitel.irgendwie auf die Stütze S gelegte Stange mit Hülfe eines in ihrem Schwerpunkte angebrachten über eine Rolle geführten Fadens durch ein ihrem eigenen Ge -

Fig. 8.

wichte gleiches Gewicht getragen wird. Das liegt aber in der Ab - leitung des Archimedes, Stevin, Galilei und Lagrange.

6. Huyghens tadelt auch dieses Verfahren und gibt eine andere Ableitung, in welcher er den Fehler vermieden zu ha - ben glaubt. Denken wir uns bei der Lagrange’schen Betrachtung die beiden Prismenstücke um durch ihre

Fig. 9.

Schwerpunkte s, s′ ge - legte verticale Axen um 90°gedreht (Fig. 9a), und weisen wir nach, dass hierbei das Gleichgewicht fortbesteht, so erhalten wir die Huyghens’sche Ableitung. Sie ist ge - kürzt und vereinfacht fol - gende. Wir ziehen (Fig. 9) in einer starren gewichts - losen Ebene durch den Punkt S eine Gerade, an welcher wir einerseits die Länge 1, anderer - seits 2 in A und B ab - schneiden. Auf die En - den legen wir senkrecht zu dieser Geraden, mit ihren Mitten, homogene, dünne, schwere Prismen CD und EF von den Längen und Gewichten 4 und 2. Ziehen wir die Gerade HSG (wobei AG = ½AC), und die Par - allele CF, und transportiren das Prismenstück CG durch Parallelverschiebung nach FH, so ist um die Axe GH15Entwickelung der Principien der Statik.alles symmetrisch und es herrscht Gleichgewicht. Gleich - gewicht herrscht aber auch für die Axe AB, folglich für jede Axe durch S, also auch für die zu AB Senk - rechte, womit der neue Hebelfall gegeben ist.

Fig. 9a.
Fig. 9a.

Hierbei wird nun scheinbar nichts vorausgesetzt, als dass gleiche Gewichte p, p in einer Ebene und in gleichen

Fig. 10.

Fig. 11.

Abständen l, l von einer Axe AA1 (in dieser Ebene) sich das Gleichgewicht halten. Stellt man sich in die durch AA senkrecht zu l, l gelegte Ebene etwa in den16Erstes Kapitel.Punkt M und sieht man einmal nach A, dann nach A1 hin, so gesteht man diesem Satz dieselbe Evidenz zu wie dem Archimedes’schen Satz 1. Die Verhältnisse werden auch nicht geändert, wenn man Parallelver - schiebungen zur Axe mit den Gewichten vornimmt, was Huyghens auch thut.

Der Fehler entsteht auch erst durch den Schluss: Wenn für 2 Axen der Ebene Gleichgewicht besteht, so besteht es auch für jede andere durch deren Durch - schnittspunkt geführte Axe. Dieser Schluss (soll er nicht ein blos instinctiver sein) kann nur gemacht wer - den, wenn den Gewichten ihren Entfernungen von der Axe proportionale störende Wirkungen zugeschrieben werden. Darin liegt aber der Kern der Lehre vom Hebel und Schwerpunkt.

Wir beziehen die schweren Punkte einer Ebene auf ein rechtwinkeliges Coordinatensystem (Fig. 11). Die Coordinaten des Schwerpunktes eines Systems von Massen mm′m″ mit den Coordinaten xx′x″ yy′y″ sind bekanntlich: 〈…〉

Drehen wir das Coordinatensystem um den Winkel[α], so sind die neuen Coordinaten der Massen 〈…〉 und folglich die Coordinaten des Schwerpunktes 〈…〉 und analog 〈…〉

Wir erhalten also die Coordinaten des neuen Schwer - punktes, indem wir die Coordinaten des frühern auf die neuen Axen einfach transformiren. Der Schwer - punkt bleibt also derselbe Punkt. Legen wir den17Entwickelung der Principien der Statik.Anfangspunkt in den Schwerpunkt, so wird 〈…〉 . Bei Drehung des Axensystems bleibt dies Verhältniss bestehen. Wenn also für zwei zuein - ander senkrechte Axen der Ebene Gleichgewicht besteht, so besteht es auch, und nur dann besteht es auch, für jede andere Axe durch den Durchschnittspunkt. Folg - lich, wenn für irgend zwei Axen der Ebene Gleichge - wicht besteht, so besteht es auch für jede andere Axe der Ebene, welche durch deren Durchschnittspunkt geht.

Diese Schlüsse sind aber unausführbar, wenn die Co - ordinaten des Schwerpunktes durch eine andere all - gemeinere Gleichung, etwa 〈…〉 bestimmt sind.

Die Huyghens’sche Schlussweise ist also unzulässig, und enthält denselben Fehler, welchen wir bei Archi - medes bemerkten.

Fig. 12.

Archimedes hat sich bei dem Streben, den compli - cirtern Hebelfall auf den instinctiv zu überblickenden zurückzuführen, wahrscheinlich getäuscht, indem er schonMach. 218Erstes Kapitel.vorher über den Schwerpunkt mit Hülfe des zu be - weisenden Satzes gemachte Studien unwillkürlich verwendete. Charakteristisch ist, dass er sich und viel - leicht auch andern die sich leicht darbietende Be - merkung über die Bedeutung des Products P·L nicht glauben will, und eine weitere Begründung sucht.

Thatsächlich kommt man nun, wenigstens auf dieser Stufe, nicht zum Verständniss des Hebels, wenn man nicht das Product P·L als das bei der Gleichgewichts - störung Maassgebende in den Vorgängen erschaut. Insofern Archimedes in seiner griechischen Beweissucht dies zu umgehen trachtet, ist seine Ableitung verfehlt. Betrachtet man aber auch die Bedeutung von P·L als gegeben, so behalten die Archimedes’schen Ableitungen immer noch einen beträchtlichen Werth, insofern die Auffassungen verschiedener Fälle aneinander gestützt werden, insofern gezeigt wird, dass ein einfacher Fall alle andern enthält, insofern dieselbe Auffassung für alle Fälle hergestellt wird. Denken wir uns ein ho - mogenes Prisma, dessen Axe AB sei, in der Mitte C gestützt. Um die für die Gleichgewichtsstörung maass - gebende Summe der Producte der Gewichte und Ab - stände anschaulich zu machen, setzen wir auf den Ele - menten der Axe, welche den Gewichtselementen pro - portional sind, die zugehörigen Abstände als Ordinaten auf, welche wir etwa rechts von C (als positiv) nach aufwärts, links von C (als negativ) nach abwärts auf - tragen. Die Flächensumme der beiden Dreiecke ACD+CBE = o veranschaulicht uns das Bestehen des Gleichgewichts. Theilen wir das Prisma durch M in zwei Theile, so können wir MTEB durch das Recht - eck MUWB uud TMCAD durch das Rechteck MVXA ersetzen, wobei TP = ½TE und TR = ½TD ist, und die Prismenstücke MB, MA durch Drehung um Q und S zu AB senkrecht gestellt zu denken sind.

In der hier angedeuteten Richtung ist die Archi - medes’sche Betrachtung gewiss noch nützlich gewesen, als schon niemand mehr über die Bedeutung des Pro -19Entwickelung der Principien der Statik.ducts P·L Zweifel hegte, und die Meinung hierüber sich schon historisch und durch vielfache Controlirung fest - gestellt hatte.

7. Die Art nun, wie die Hebelgesetze, welche uns von Archimedes in einfacher Form überliefert worden sind, von den modernen Physikern weiter verallgemeinert und behandelt wurden, ist sehr interessant und lehrreich. Leonardo da Vinci (1452 1519), der berühmte Maler und Forscher, scheint der erste gewesen zu sein, der die Wichtigkeit des allgemeinen Begriffes der sogenannten sta - tischen Momente gekannt hat. In seinen hinterlassenen Manuscripten finden sich mehrere Stellen, aus welchen dies

Fig. 13.

hervorgeht. Er sagt z. B.: Wir setzen eine um A drehbare Stange AD, an derselben ein Gewicht P an - gehängt, und an einer Schnur, die über eine Rolle geht, ein zweites Gewicht Q (Fig. 13). Welches Verhältniss müssen die Kräfte einhalten, damit Gleichgewicht bestehe? Der Hebelarm für das Gewicht P ist nicht AD, son - dern der potenzielle Hebel ist AB. Der Hebel - arm für das Gewicht Q ist nicht AD, sondern der potenzielle Hebel ist AC. Auf welche Weise er zu dieser Anschauung gekommen ist, lässt sich aller - dings schwer angeben. Es ist aber klar, dass er er - kannt hat, wodurch die Wirkung der Gewichte be - stimmt ist.

2*20Erstes Kapitel.

Aehnliche Ueberlegungen wie bei Leonardo da Vinci finden wir bei Guido Ubaldi.

Fig. 14.

8. Wir wollen versuchen, uns klar zu machen, auf welche Weise man zum Begriff des statischen Mo - mentes, unter welchem be - kanntlich das Product ei - ner Kraft und der auf die Richtung derselben von der Axe aus gezogenen Senk - rechten verstanden wird, hätte kommen können, wenn auch der Weg, welcher zu demselben geführt hat, nicht mehr vollständig zu er - mitteln ist. Dass Gleichgewicht besteht, wenn man eine Schnur mit beiderseits gleicher Spannung über eine Rolle legt, wird unschwer eingesehen. Man findet immer eine Symmetrieebene der ganzen Vorrichtung, die Ebene,

Fig. 15.

Fig. 16.

welche auf der Schnurebene senkrecht steht und den Schnurwinkel halbirt (EE). Die Bewegung, welche hier noch eintreten könnte, liesse sich durch keine Regel eindeutig bestimmen, sie wird also auch nicht eintreten. Bemerkt man nun ferner, dass das Material der Rolle nur insofern wesentlich ist, als es die Art der Beweg - lichkeit der Angriffspunkte der Schnüre bestimmt, so sieht man leicht, dass ohne Gleichgewichtsstörung auch ein beliebiger Theil der Rolle fehlen kann. Wesentlich bleiben nur die starren Radien, welche zu den Tangen -21Entwickelung der Principien der Statik.tialpunkten der Schnur führen. Man sieht also, dass die starren Radien (oder Senkrechten auf die Schnur - richtungen) hier eine ähnliche Rolle spielen wie die Hebelarme beim Hebel des Archimedes.

Betrachten wir ein sogenanntes Wellrad mit dem Radradius 2 und dem Wellenradius 1, und beziehungs - weise mit den Belastungen 1 und 2, so entspricht dasselbe vollständig dem Hebel des Archimedes. Legen wir noch in beliebiger Weise um die Welle eine zweite Schnur, welche wir beiderseits durch das Gewicht 2 spannen, so stört dieselbe das Gleichgewicht nicht. Es ist aber klar, dass wir auch die beiden in der Fig. 16 bezeichneten Züge als sich das Gleichgewicht haltend ansehen können, indem wir die beiden andern, als sich gegenseitig zerstörend, nicht weiter beachten. Hiermit sind wir aber, von allem Unwesentlichen absehend, zu der Einsicht gelangt, dass nicht nur die durch die Gewichte ausgeübten Züge, sondern auch die auf die Richtungen derselben vom Drehpunkte aus gefällten Senkrechten bewegungsbestimmende Umstände sind. Maassgebend sind die Producte aus den Gewichten und den zugehörigen Senkrechten, welche von der Axe aus auf die Richtungen der Züge gefällt werden, also die sogenannten statischen Momente.

9. Was wir bisher betrachtet haben, ist die Ent - wickelung der Erkenntniss des Hebelprincips; ganz unabhängig davon ent - wickelte sich die Erkennt - niss des Princips der schie - fen Ebene. Man hat aber nicht nöthig, für das Ver - ständniss der Maschinen nach einem neuen Princip ausser dem des Hebels zu suchen, da dieses für sich

Fig. 17.

ausreicht. Galilei erläutert z. B. die schiefe Ebene in folgender Art durch den Hebel: Wir betrachten eine schiefe Ebene, auf dieser das Gewicht Q und dasselbe22Erstes Kapitel.im Gleichgewichte gehalten durch das Gewicht P (Fig. 17). Galilei lässt nun durchblicken, dass es nicht darauf an - kommt, dass Q gerade auf der schiefen Ebene liege, dass das Wesentliche vielmehr die Art der Beweglichkeit von Q ist. Wir können uns also das Gewicht auch an der zur Ebene senkrechten Stange AC, die um C drehbar ist, angebracht denken; wenn wir nämlich dann nur eine sehr kleine Drehung vornehmen, so ist das Ge - wicht in einem Bogenelemente, das in die schiefe Ebene fällt, beweglich. Dass sich die Bahn krümmt, wenn man weiter geht, hat keinen Einfluss, weil jene Weiterbewegung im Gleichgewichtsfall nicht wirklich erfolgt, und nur die momentane Beweglichkeit maass - gebend ist. Halten wir uns aber die früher besprochene Bemerkung von Leonardo da Vinci vor Augen, so sehen wir leicht die Gültigkeit des Satzes Q·CB = P·CA 〈…〉 und damit das Gleichgewichtsgesetz der schiefen Ebene ein. Hat man also das Hebel - princip erkannt, so kann man es leicht zur Erkenntniss der andern Maschinen verwenden.

2. Das Princip der schiefen Ebene.

1. Stevin (1548 1620) untersuchte zuerst die mechani - schen Eigenschaften der schiefen Ebene und zwar auf eine

Fig. 18.

ganz originelle Weise. Liegt ein Gewicht auf einem horinzonta - len Tisch, so sieht man, weil der Druck senkrecht gegen die Ebene des Tisches ist, nach dem bereits mehrfach verwendeten Symme - trieprincip das Bestehen des Gleichgewichts sofort ein. An einer verticalen Wand hingegen wird ein Gewicht an seiner Fallbewegung gar nicht gehindert. Die schiefe Ebene wird also einen Mittel - fall zwischen den beiden Grenzfällen darbieten. Das23Entwickelung der Principien der Statik.Gleichgewicht wird nicht von selbst bestehen, wie auf der horizontalen Unterlage, es wird aber durch ein ge - ringeres Gegengewicht zu erhalten sein, als an der verticalen Wand. Das statische Gesetz zu ermitteln, welches hier besteht, bereitete den ältern Forschern beträchtliche Schwierigkeiten.

Fig. 19.
Fig. 20.

Stevin geht etwa in folgender Art vor. Er denkt sich ein dreiseitiges Prisma mit horizontalen Kanten, dessen Querschnitt ABC in der Fig. 19 dargestellt ist. Hierbei soll beispielsweise AB = 2BC und AC hori - zontal sein. Um dieses Prisma legt Stevin eine in sich zurücklaufende Schnur mit 14 gleich schweren gleich weit abstehenden Kugeln. Wir können dieselbe mit Vortheil durch eine geschlossene gleichmässige Kette oder Schnur ersetzen. Die Kette wird entweder im24Erstes Kapitel.Gleichgewichte sein oder nicht. Nehmen wir das letztere an, so muss die Kette, weil sich bei ihrer Be - wegung die Verhältnisse nicht ändern, wenn sie ein - mal in Bewegung ist, fortwährend in Bewegung blei - ben, also ein Perpetuum mobile darstellen, was Stevin absurd erscheint. Demnach ist nur der erste Fall denk - bar. Die Kette bleibt im Gleichgewicht. Dann kann der symmetrische Kettentheil ADC ohne Störung des Gleichgewichtes entfernt werden. Es hält also das Kettenstück AB dem Kettenstück BC das Gleichge - wicht. Auf schiefen Ebenen von gleicher Höhe wirken demnach gleiche Gewichte im umgekehrten Verhältniss der Längen der schiefen Ebenen.

Denken wir uns in dem Prismenquerschnitt Fig. 20 AC horizontal, BC vertical und AB = 2BC, ferner die den Längen proportionalen Kettengewichte auf AB und BC Q und P, so folgt 〈…〉 . Die Verallgemei - nerung ist selbstverständlich.

2. In der Annahme, von welcher Stevin ausgeht, dass die geschlossene Kette sich nicht bewegt, liegt ohne Frage zunächst nur eine ganz instinctive Erkennt - niss. Er fühlt sofort, und wir mit ihm, dass wir etwas einer derartigen Bewegung Aehnliches nie beobachtet, nie gesehen haben, dass dergleichen nicht vorkommt. Diese Ueberzeugung hat eine solche logische Gewalt, dass wir die hieraus gezogene Folgerung über das Gleichgewichtsgesetz der schiefen Ebene ohne Wider - rede annehmen, während uns das Gesetz als blosses Ergebniss des Versuches oder auf eine andere Art dar - gelegt zweifelhaft erscheinen würde. Dies kann uns nicht befremden, wenn wir bedenken, dass jedes Versuchs - ergebniss durch fremdartige Umstände (Reibung) getrübt, und jede Vermuthung über die maassgebenden Umstände dem Irrthum ausgesetzt ist. Dass Stevin einer solchen instinctiven Erkenntniss eine höhere Autorität zuer - kennt als seiner einfachen klaren directen Beobachtung, könnte uns in Verwunderung versetzen, wenn wir selbst25Entwickelung der Principien der Statik.nicht die gleiche Empfindung hätten. Es drängt sich uns also die Frage auf: Woher kommt diese höhere Autorität? Erinnern wir uns, dass der wissenschaft - liche Beweis, die ganze wissenschaftliche Kritik nur aus der Erkenntniss der eigenen Fehlbarkeit der Forscher hervorgegangen sein kann, so liegt die Aufklärung nicht weit. Wir fühlen deutlich, dass wir selbst zu dem Zustandekommen einer instinctiven Erkenntniss nichts beigetragen, dass wir nichts willkürlich hineingelegt haben, sondern dass sie ganz ohne unser Zuthun da ist. Das Mistrauen gegen unsere eigene subjective Auffassung des Beobachteten fällt also weg.

Die Stevin’sche Ableitung ist eine der werthvollsten Leitmuscheln in der Urgeschichte der Mechanik und wirft ein wunderbares Licht auf den Bildungsprocess der Wissenschaft, auf die Entstehung derselben aus in - stinctiven Erkenntnissen. Wir erinnern uns, dass Archi - medes ganz die gleiche Tendenz wie Stevin, nur mit viel weniger Glück verfolgt. Auch später noch wer - den instinctive Erkenntnisse häufig zum Ausgangspunkt von Untersuchungen genommen. Ein jeder Experimen - tator kann täglich an sich beobachten, wie er durch instinctive Erkenntnisse geleitet wird. Gelingt es ihm, begrifflich zu formuliren, was in denselben liegt, so hat er in der Regel einen erheblichen Fortschritt ge - macht.

Stevin’s Vorgang ist kein Fehler. Läge darin auch ein Fehler, so würden wir ihn alle theilen. Ja es ist sogar gewiss, dass nur die Verbindung des stärksten Instincts mit der grössten begrifflichen Kraft den grossen Naturforscher ausmacht. Dies nöthigt uns aber keines - wegs, aus dem Instinctiven in der Wissenschaft eine neue Mystik zu machen, und dasselbe etwa für unfehl - bar zu halten. Dass letzteres nicht zutrifft, erfährt man sehr leicht. Selbst instinctive Erkenntnisse von so grosser logischer Kraft wie das von Archimedes ver - wendete Symmetrieprincip können irreführen. Mancher Leser wird sich vielleicht erinnern, welche geistige Er -26Erstes Kapitel.schütterung es ihm verursachte, als er zum ersten mal hörte, dass eine im magnetischen Meridian liegende Magnetnadel durch einen über derselben parallel hinge - führten Stromleiter in einem bestimmten Sinne aus dem Meridian abgelenkt wird. Das Instinctive ist ebenso fehlbar wie das klar Bewusste. Es hat vor allem nur Werth auf einem Gebiet, mit welchem man sehr ver - traut ist.

Stellen wir uns, statt Mystik zu treiben, lieber die Frage: Wie entstehen instinctive Erkenntnisse, und was liegt in ihnen? Was wir an der Natur beobachten, prägt sich auch unverstanden und unanalysirt in unsern Vorstellungen aus, welche dann in den allgemeinsten und stärksten Zügen die Naturvorgänge nachahmen. Wir besitzen nun in diesen Erfahrungen einen Schatz, der immer bei der Hand ist, und von welchem nur der kleinste Theil in den klaren Gedankenreihen enthalten ist. Der Umstand, dass wir diese Erfahrungen leichter ver - wenden können als die Natur selbst, und dass sie doch im angedeuteten Sinn frei von Subjectivität sind, ver - leiht ihnen einen hohen Werth. Es liegt in der Eigen - thümlichkeit der instinctiven Erkenntniss, dass sie vor - wiegend negativer Natur ist. Wir können nicht sowol sagen, was vorkommen muss, als vielmehr nur was nicht vorkommen kann, weil nur letzteres mit der unklaren Erfahrungsmasse, in welcher man das Einzelne nicht unterscheidet, in grellem Gegensatz steht.

Legen wir den instinctiven Erkenntnissen auch einen hohen heuristischen Werth bei, so dürfen wir auf unserm Standpunkte doch bei der Anerkennung ihrer Autorität nicht stehen bleiben. Wir müsssn vielmehr fragen: Unter welchen Bedingungen konnte die gegebene instinctive Erkenntniss entstehen? Gewöhnlich finden wir dann, dass dasselbe Princip, zu dessen Begründung wir die instinctive Erkenntniss herangezogen haben, wieder die Grundbedingung für das Entstehen dieser Erkenntniss bildet. Das ist auch ganz unverfänglich. Die instinc - tive Erkenntniss leitet uns zu dem Princip, welches sie27Entwickelung der Principien der Statik.selbst erklärt, und welches durch deren Vorhandensein, das ja eine Thatsache für sich ist, wieder gestützt wird. So verhält es sich auch, wenn man genau zusieht, in dem Stevin’schen Fall.

3. Die Betrachtung von Stevin erscheint uns so geistreich, weil das Resultat, zu welchem er gelangt, mehr zu enthalten scheint, als die Voraussetzung, von welcher er ausgeht. Während wir einerseits das Resul - tat zur Vermeidung von Widersprüchen gelten lassen müssen, bleibt andererseits ein Reiz übrig, der uns an - treibt, nach weiterer Einsicht zu streben. Hätte Stevin die ganze Thatsache nach allen Seiten klar gelegt, wie dies später Galilei gethan hat, so würde uns seine Ueberlegung nicht mehr geistreich erscheinen, wir wür - den aber einen viel mehr befriedigenden und klaren Ein - blick erhalten. In der geschlossenen Kette, welche auf dem Prisma nicht gleitet, liegt in der That schon alles. Wir könnten sagen, die Kette gleitet nicht, weil hier - bei kein Sinken der schweren Körper eintritt. Dies wäre nicht genau, denn manche Kettenglieder sinken wirklich bei der Bewegung der Kette, während andere dafür steigen. Wir müssen also genauer sagen, die Kette gleitet nicht, weil für jeden Körper, der sinken könnte, ein gleich schwerer, gleich hoch, oder ein Kör - per von doppeltem Gewicht zur halben Höhe u. s. w. steigen müsste. Dieses Verhältniss war Stevin, der es auch in seiner Lehre von den Rollen darlegte und be - nutzte, bekannt; er war aber offenbar zu mistrauisch gegen sich, das Gesetz auch ohne weitere Stütze als für die schiefe Ebene gültig hinzustellen. Bestünde aber ein solches Gesetz nicht allgemein, so hätte die instinctive Erkenntniss bezüglich der geschlossenen Kette gar nie entstehen können. Hiermit sind wir vollständig aufgeklärt. Dass Stevin in seinen Ueber - legungen nicht so weit gegangen ist, und sich damit begnügt hat, seine (indirect gefundenen) Begriffe mit seinem instinctiven Denken in Uebereinstimmung zu bringen, braucht uns nicht weiter zu stören.

28Erstes Kapitel.

Der Dienst, den Stevin sich und seinen Lesern leistet, besteht also darin, dass er verschiedene theils instinc - tive, theils klare Erkenntnisse gegeneinander hält, mit - einander in Verbindung und Einklang bringt, aneinander

Fig. 21.

stützt. Welche Stärkung seiner Anschauungen aber Stevin durch dieses Verfahren gewonnen hat, sehen wir aus dem Umstande, dass das Bild der geschlossenen Kette auf dem Prisma als Titelvignette sein Werk (Hypomnemata mathematica, Leyden 1605) ziert mit29Entwickelung der Principien der Statik.der Umschrift: Wonder en is gheen wonder . Wirk - lich ist jeder aufklärende wissenschaftliche Fort - schritt mit einem gewissen Gefühl von Enttäuschung verbunden. Wir erkennen, dass was uns wunderbar erschienen ist, nicht wunderbarer ist, als anderes, das wir instinctiv kennen und für selbstverständlich halten, ja dass das Gegentheil viel wunderbarer wäre, dass überall dieselbe Thatsache sich ausspricht. Unser Pro - blem erweist sich dann als gar kein Problem mehr, es zer - fliesst in Nichts, und geht unter die historischen Schatten.

4. Nachdem Stevin das Princip der schiefen Ebene gewonnen hatte, wurde es ihm leicht, dasselbe auch auf die übrigen Maschinen anzuwenden, und diese dadurch zu erläutern. Er macht hiervon z. B. auch folgende An - wendung.

Wir hätten eine schiefe Ebene, und denken uns auf dieser die Last Q, ziehen einen Faden über eine Rolle A, und denken uns die Last Q durch die Last P im Gleichgewicht gehal - ten. Stevin nimmt nun einen ähnlichen Weg, wie ihn Galilei später eingeschlagen. Er bemerkt, es sei nicht nothwendig, dass die Last Q auf der schiefen Ebene liege. Wenn nur die Art ihrer Beweglich -

Fig. 22.

keit beibehalten wird, so bleibt auch das Verhältniss von Kraft und Last dasselbe. Wir können uns also die Last auch angebracht denken an einem Faden, der über eine Rolle D geführt wird und den wir entsprechend belasten, und zwar ist dieser Faden normal gegen die schiefe Ebene. Führen wir dies aus, so haben wir eigentlich eine sogenannte Seilmaschine vor uns. Nun sehen wir, dass wir den Gewichtsantheil, mit dem der Körper auf der schiefen Ebene nach abwärts strebt, sehr30Erstes Kapitel.leicht ermitteln können. Wir brauchen nämlich nur eine Verticale zu ziehen, und auf dieser ein der Last Q ent - sprechendes Stück ab aufzutragen. Ziehen wir nachher auf aA die Senkrechte bc, so haben wir 〈…〉 , es stellt also ac die Spannung der Schnur aA vor. Nun hindert uns nichts, die beiden Schnüre ihre Function in Gedanken wechseln zu lassen, und uns die Last Q auf der (punktirt dargestellten) schiefen Ebene EDF liegend zu denken. Dann finden wir analog ad für die Spannung R des zweiten Fadens. Stevin gelangt also auf diese Weise indirect zur Kenntniss des stati - schen Verhältnisses der Seilmaschine und des sogenann - ten Kräftenparallelogramms, freilich zunächst nur für den speciellen Fall gegeneinander senkrechter Schnüre (oder Kräfte) ac, ad.

Allerdings verwendet Stevin später das Princip der Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte in allge - meinerer Form; doch ist der Weg, auf dem er hierzu

Fig. 23.

Fig. 24.

gelangt, nicht recht deutlich oder wenigstens nicht über - sichtlich. Er bemerkt z. B., dass bei drei unter be - liebigen Winkeln gespannten Schnüren AB, AC, AD, an deren ersterer die Last P hängt, die Spannungen auf folgende Art ermittelt werden können. Man verlängert (Fig. 23) AB nach X und trägt darauf ein Stück AE31Entwickelung der Principien der Statik.ab. Zieht man von E aus EF parallel zu AD und EG parallel zu AC, so sind die Spannungen von AB, AC, AD beziehungsweise pro - portional AE, AF, AG.

Mit Hülfe dieses Construc - tionsprincips löst er dann schon recht complicirte Auf - gaben. Er bestimmt z. B. die Spannungen an einem System

Fig. 25.

von verzweigten Schnüren Fig. 24, wobei er selbstver - ständlich von der gegebenen Spannung der verticalen Schnur ausgeht.

Die Spannungsverhältnisse an einem Seilpolygon wer - den ebenfalls durch Construction ermittelt, wie dies in Fig. 25 angedeutet ist.

Man kann also mit Hülfe des Princips der schiefen Ebene in ähnlicher Weise die Verhältnisse der übrigen einfachen Maschinen aufzuklären suchen, als dies durch das Princip des Hebels versucht worden ist.

3. Das Princip der Zusammensetzung der Kräfte.

1. Der Satz des Kräftenparallelogramms, zu dem Stevin gelangt und welchen er verwendet, ohne ihn übrigens ausdrücklich zu formuliren, besteht bekannt - lich in Folgendem. Wenn ein Körper A von zwei Kräften ergriffen wird, deren Richtungen mit den Linien AB und AC zusammenfallen und deren Grössen den Längen AB, AC proportional sind, so sind beide Kräfte in ihrer Wirkung durch eine einzige Kraft ersetzbar, welche nach der Diagonale AD des Paralle - logramms ABCD wirkt und derselben proportionnl ist. Würden also z. B. an

Fig. 26.

Schnüren AB, AC Gewichte ziehen, welche den Längen32Erstes Kapitel.AB, AC proportional wären, so würde ein an der Schnur AD ziehendes der Länge AD proportionales Gewicht deren Wirkung ersetzen. Die Kräfte AB und AC werden die Componenten, AD die Resultirende genannt. Selbstverständlich ist auch umgekehrt eine Kraft durch zwei oder mehrere Kräfte ersetzbar.

2. Wir wollen an Stevin’s Untersuchungen an - knüpfend uns vergegenwärtigen, auf welche Weise man zu dem allgemeinen Satz des Kräftenparallelogramms hätte gelangen können. Die von Stevin gefundene Beziehung zweier zueinander rechtwinkeligen Kräfte zu einer dritten ihnen das Gleichgewicht haltenden setzen wir als (indirect) gegeben voraus. Wir nehmen an, es wir - ken an drei Schnüren OX, OY, OZ Züge, welche sich das Gleichgewicht halten. Versuchen wir diese Züge zu bestimmen. Jeder Zug hält den beiden andern das Gleichgewicht. Den Zug OY ersetzen wir (nach dem Stevin’schen Princip) durch zwei rechtwinkelige Züge nach Ou (der Verlängerung von OX) und senkrecht dazu nach Ov. Ebenso zerlegen wir den Zug OZ nach

Fig. 27.

Ou und Ow. Die Summe der Züge nach Ou muss dem Zuge OX das Gleichgewicht halten, während die Züge nach Ov und Ow sich zerstören müssen. Nehmen wir letztere gleich und entgegenge - setzt, stellen sie durch Om, On dar, so be - stimmen sich dadurch die Componenten Op, Oq parallel Ou, sowie die Züge Or, Os. Die Summe Op+Oq ist gleich und entgegenge - setzt dem Zuge nach OX. Ziehen wir st parallel OY,33Entwickelung der Principien der Statik.oder rt parallel OZ, so schneiden beide Linien das Stück Ot = Op+Oq ab, und damit ist das allgemeinere Princip des Kräftenparallelo - gramms gefunden.

Noch auf eine andere Art kann man aus der Zusammen - setzung rechtwinkeliger Kräfte die allgemeinere Zusammen -

Fig. 28.

setzung ableiten. Es seien OA und OB die beiden an O angreifenden Kräfte. Wir ersetzen OB durch eine parallel zu OA wirkende Kraft OC und eine zu OA senkrechte OD. Dann wirken für OA und OB die bei - den Kräfte OE = OA+OC und OD, deren Resul - tirende OF zugleich auch die Diagonale des über OA, OB construirten Parallelogramms OAFB ist.

3. Der Satz des Kräftenparallelogramms stellt sich, wenn man auf dem Wege Stevin’s zu demselben gelangt, als etwas indirect Gefundenes dar. Er zeigt sich als eine Folge und als Bedingung bekannter Thatsachen. Man sieht aber nur, dass er besteht, noch nicht warum er besteht, d. h. man kann ihn nicht (wie in der Dynamik) auf noch einfachere Sätze zurückführen. In der Statik gelangte der Satz zu eigentlicher Geltung auch erst durch Varignon, als die Dynamik, welche direct zu dem Satze führt, bereits so weit fortge - schritten war, dass eine Entlehnung desselben ohne Schwierigkeit statt - finden konnte. Der Satz des Kräften - parallelogramms wurde zuerst von Newton in seinen Principien der Natur - philosophie klar ausgesprochen. Im selben Jahre hat auch Varignon un - abhängig von Newton in einem der Pariser Akademie vorgelegten, aber erst nach Varignon’s Tode gedruckten Werke den Satz ausgesprochen, und mit Hülfe

Fig. 29.

eines geometrischen Theorems zur Verwendung gebracht.

Mach. 334Erstes Kapitel.

Der geometrische Satz ist folgender: Wenn wir ein Parallelogramm betrachten, dessen Seiten p und q, dessen Diagonale r ist, und wir ziehen von irgendeinem Punkte m der Ebene des Parallelogramms Senkrechte auf diese drei Geraden, die wir mit u, v und w bezeichnen, so ist p·u+q·v = r·w. Dies ist leicht nachzu - weisen, wenn man von m aus Gerade zu den End - punkten der Diagonale und der Parallelogrammseiten zieht, und die Flächen der so entstandenen Dreiecke betrachtet, welche den Hälften jener Producte ent - sprechen. Wenn man m in das Parallelelogramm hin - einlegt, und jetzt Senkrechte zieht, so übergeht der Satz in die Form: p·u q·v = r·w. Fällt endlich m in die Richtung der Diagonale und ziehen wir jetzt Senkrechte, so ist, da die Senkrechte auf die Dia - gonale die Länge Null hat: p·u q·v = o oder p·u = q·v.

Mit Hülfe der Bemerkung, dass die Kräfte den von ihnen in gleichen Zeiten hervorgebrachten Bewegungen

Fig. 30.

Fig. 31.

proportionirt sind, gelangt Varignon leicht von der Zu - sammensetzung der Bewegungen zur Zusammensetzung der Kräfte. Kräfte, welche auf einen Punkt wirkend, der Grösse und Richtung nach durch die Parallelogrammseiten dar -35Entwickelung der Principien der Statik.gestellt werden, sind durch eine Kraft ersetzbar, welche in gleicher Weise durch die Diagonale des Parallelo - gramms dargestellt ist.

Stellen nun in dem obigen Parallelogramm p, q die zusammenwirkenden Kräfte (Componenten) und r die Kraft vor, welche beide zu ersetzen vermag (die Resultirende), so heissen die Producte pu, qv, rw Momente dieser Kräfte in Bezug auf den Punkt m. Liegt der Punkt m in der Richtung der Resultirenden, so sind für ihn die beiden Momente pu und qv ein - ander gleich.

4. Mit Hülfe dieses Satzes kann nun Varignon die Maschinen in viel einfacherer Weise behandeln, als dies seine Vorgänger zu thun vermochten. Betrachten wir z. B. einen starren Körper (Fig. 31), der um eine durch O hindurchgehende Axe drehbar ist. Wir legen zu der - selben eine senkrechte Ebene, und wählen darin zwei Punkte A, B, an welchen in der Ebene die Kräfte P, Q angreifen. Wir erkennen mit Varignon, dass die Wir - kung der Kräfte nicht geändert wird, wenn die An - griffspunkte derselben in der Kraftrichtung verschoben werden, da ja alle Punkte derselben Richtung miteinander in starrer Verbindung sind und einer den andern drückt und zieht. Demnach können wir P irgendwo in der Rich - tung AX, Q irgendwo in der Richtung BY, also auch im Durchschnittspunkte M angreifen lassen. Wir con - struiren mit den nach M verschobenen Kräften ein Parallelogramm und ersetzen die Kräfte durch deren Resultirende. Auf die Wirkung derselben kommt es nun allein an. Greift sie an beweglichen Punkten an, so besteht kein Gleichgewicht. Geht aber deren Rich - tung durch die Axe, durch den Punkt O hindurch, welcher nicht beweglich ist, so kann auch keine Be - wegung eintreten, es besteht Gleichgewicht. Im letztern Falle ist nun O ein Punkt der Resultirenden, und wenn wir von demselben auf die Richtungen der Kräfte p, q die Senkrechten u und v fällen, so ist nach dem er - wähnten Satze p·u = q·v. Wir haben hiermit das3*36Erstes Kapitel.Hebelgesetz aus dem Satze des Kräftenparallelogramms abgeleitet.

In ähnlicher Weise erklärt Varignon andere Gleich - gewichtsfälle aus der Aufhebung der Resultirenden durch irgendein Hinderniss. An der schiefen Ebene z. B. besteht Gleichgewicht, wenn die Resultirende senk - recht gegen die Ebene ausfällt. Die ganze Statik Varignon’s ruht in der That auf dynamischer Grund - lage, sie ist für ihn ein specieller Fall der Dynamik. Immer schwebt ihm der allgemeinere dynamische Fall vor und er beschränkt sich in der Untersuchung frei - willig auf den Gleichgewichtsfall. Wir haben es mit einer dynamischen Statik zu thun, wie sie nur nach den Untersuchungen von Galilei möglich war. Neben - bei sei bemerkt, dass von Varignon die meisten der Sätze und Betrachtungsweisen herrühren, welche die Statik der heutigen Elementarbücher ausmachen.

5. Wie wir gesehen haben, können auch rein statische Betrachtungen zum Satze des Kräftenparallelogramms führen. In speciellen Fällen lässt sich der Satz auch sehr leicht bestätigen. Man erkennt z. B. ohne weiteres, dass eine beliebige Anzahl gleicher, in einer Ebene auf einen

Fig. 32.

Punkt (ziehend oder drückend) wirkender Kräfte, von welchen je zwei aufeinanderfolgende gleiche Winkel einschliessen, sich das Gleichgewicht halten. Lassen wir z. B. auf den Punkt O die drei gleichen Kräfte OA, OB, OC unter Winkeln von 120° angreifen, so halten je zwei der dritten das Gleichgewicht. Man sieht sofort, dass die Resul - tirende von OA und OB der OC gleich und entgegengesetzt ist. Sie wird durch OD dargestellt und ist zugleich die Diagonale des Parallelogramms OADB, wie sich leicht daraus ergibt, dass der Kreisradius zugleich die Sechseckseite ist.

37Entwickelung der Principien der Statik.

6. Fallen die zusammenwirkenden Kräfte in dieselbe oder in die entgegengesetzte Richtung, so entspricht die Re - sultirende der Summe oder der Differenz der Componenten. Beide Fälle erkennt man ohne Schwierigkeit als Spe - cialfälle des Satzes vom Kräftenparallelogramm. Denkt man sich in den

Fig. 33.

beiden Zeichnungen (Fig. 33) den Winkel AOB all - mählich zu dem Werthe , den Winkel A′O′B′ zu dem Werthe 180° übergeführt, so erkennt man, dass OC in OA+AC = OA+OB und O′C′ in O′A′ A′C′ = O′A′ O′B′ übergeht. Der Satz des Kräften - parallelogramms enthält also die Sätze schon in sich, welche gewöhnlich als besondere Sätze demselben vor - ausgeschickt werden.

7. Der Satz des Kräftenparallelogramms stellt sich in der Form, in welcher derselbe von Newton und Varignon gegeben wird, deutlich als ein Erfahrungs - satz dar. Ein von zwei Kräften ergriffener Punkt führt zwei voneinander unabhängige Bewegungen mit den Kräften proportionalen Beschleunigungen aus. Darauf gründet sich die Parallelogrammconstruction. Daniel Bernoulli war nun der Meinung, dass der Satz des Kräftenparallelogramms eine geo - metrische (von physikalischen Erfahrungen unabhängige) Wahr - heit sei. Er versuchte auch ei - nen geometrischen Beweis zu lie - fern, dessen Hauptpunkte wir in Augenschein nehmen wollen, da die Bernoulli’sche Ansicht noch immer nicht ganz verschwunden ist.

Wenn zwei gleiche Kräfte, deren

Fig. 34.

Richtungen einen rechten Winkel einschliessen, auf einen Punkt wirken, so kann nach Bernoulli kein Zweifel ob -38Erstes Kapitel.walten, dass die Halbirungslinie des Winkels (nach dem Symmetrieprincip) die Richtung der Resultirenden r sei. Um auch die Grösse derselben geometrisch zu bestimmen, wird jede der Kräfte p in zwei gleiche Kräfte q parallel und senkrecht zu r zerlegt. Hierbei ist nun die Grössen - beziehung von p und q dieselbe wie jene von r und p. Wir haben demnach: 〈…〉 und 〈…〉 , folglich 〈…〉

Da sich aber die zu r senkrechten Kräfte q heben, die zu r parallelen aber die Resultirende vorstellen, so ist auch r = 2q, also 〈…〉 und 〈…〉 .

Die Resultirende wird also auch der Grösse nach durch die Diagonale des über p als Seite construirten Quadrats dargestellt.

Analog lässt sich die Grösse der Resultirenden für rechtwinkelige ungleiche Componenten bestimmen. Hier ist aber über die Richtung der Resultirenden r von vorn - herein nichts bekannt. Zerlegt man die Componenten p, q parallel und senkrecht zu der noch unbestimmten Richtung r in die Kräfte u, s beziehungsweise v, t, so bilden die neuen Kräfte mit den Componenten p, q die - selben Winkel, welche p, q mit r einschliessen. Es sind dadurch auch folgende Grössenbeziehungen bestimmt:

Fig. 35.

$$\frac {r}{p} = \frac {p}{u}$$ und $$\frac {r}{q} = \frac {q}{v}$$ , $$\frac {r}{q} = \frac {p}{s}$$ und $$\frac {r}{p} = \frac {q}{t}$$ , aus welchen zwei letztern Gleichungen folgt 〈…〉 .

Andererseits ist aber auch $$\mathit r = u+v = \frac {p^2}{r} + \frac {q^2}{r}$$ oder $$\mathit r^2 = p^2+q^2$$ .

39Entwickelung der Principien der Statik.

Die Diagonale des über p und q construirten Recht - ecks stellt also die Grösse der Resultirenden vor.

Für alle Rhomben ist nun die Richtung, für alle Rechtecke die Grösse der Resultirenden, für das Qua - drat die Grösse und Richtung bestimmt. Bernoulli löst dann die Aufgabe, zwei unter einem Winkel wirkende gleiche Kräfte durch andere gleiche, unter einem an - dern Winkel wirkende äquivalente Kräfte zu ersetzen, und gelangt schliesslich durch umständliche und auch mathematisch nicht ganz einwurfsfreie Betrachtungen, die Poisson später verbessert hat, zu dem allgemeinen Satz.

8. Betrachten wir nun die physikalische Seite der Sache. Der Satz des Kräftenparallelogramms war Ber - noulli als ein Erfahrungssatz bereits bekannt. Was Bernoulli thut, besteht also darin, dass er sich vor sich selbst unwissend stellt und den Satz aus möglichst wenigen Voraussetzungen herauszuphilosophiren sucht. Diese Arbeit ist keineswegs sinnlos und zwecklos. Im Gegentheil, man findet durch dieses Verfahren, wie wenige und wie unscheinbare Erfahrungen den Satz schon geben. Nur darf man nicht wie Bernoulli sich selbst täuschen, man muss sich alle Voraussetzungen gegenwärtig halten, und darf keine Erfahrung über - sehen, die man unwillkürlich verwendet. Welche Voraus - setzungen liegen nun in Bernoulli’s Ableitung?

9. Die Statik kennt die Kraft zunächst nur als einen Zug oder Druck, der stets, woher er auch stammen mag, durch den Zug oder Druck eines Gewichtes er - setzt werden kann. Alle Kräfte können als gleich - artige Grössen betrachtet und durch Gewichte ge - messen werden. Die Erfahrung lehrt ferner, dass das Gleichgewichts - oder Bewegungsbestimmende einer Kraft nicht nur in deren Grösse, sondern auch in deren Richtung liegt, welche durch die Richtung der ein - tretenden Bewegung, durch die Richtung einer ge - spannten Schnur u. s. w. kenntlich wird. Andern eben - falls durch die physikalische Erfahrung gegebenen40Erstes Kapitel.Dingen, wie der Temperatur, der Potentialfunction, können wir wol Grösse, aber keine Richtung zuschreiben. Dass an einer einen Punkt ergreifenden Kraft Grösse und Richtung maassgebend ist, ist schon eine wichtige, wenn auch unscheinbare Erfahrung.

Wenn die Grösse und Richtung der einen Punkt ergreifenden Kräfte allein maassgebend ist, so erkennt man, dass zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte im Gleichgewicht sind, weil sie keine Bewegung eindeutig bestimmen können. Auch senkrecht zu ihrer Richtung

Fig. 36.

kann eine Kraft p eine Bewe - gungswirkung nicht eindeutig bestimmen. Ist aber eine Kraft p schief gegen eine andere Richtung ss′ (Fig. 36), so kann sie nach der - selben eine Bewegung bestimmen. Allein nur die Erfahrung kann lehren, dass die Bewegung nach s′s und nicht nach ss′ bestimmt ist, also nach der Seite des spitzen Winkels oder nach der Seite hin, nach welcher p auf s′s eine Projection ergibt.

Diese letztere Erfahrung wird nun gleich zu Anfang von Bernoulli benutzt. Der Sinn der Resultirenden zweier gleicher zueinander rechtwinkeliger Kräfte lässt sich nämlich nur auf Grund dieser Erfahrung angeben. Aus dem Symmetrieprincip folgt nämlich nur, dass die Resultirende in die Ebene der Kräfte und in die Halbirungslinie des Winkels, nicht aber dass sie in den spitzen Winkel hineinfällt. Gibt man aber diese Bestimmung auf, so ist die ganze Beweiserei schon vor dem Beginn zu Ende.

10. Wenn wir uns überzeugt haben, dass wir den Einfluss der Richtung einer Kraft überhaupt nur aus der Erfahrung kennen, so werden wir noch weniger glauben, dass wir die Art dieses Einflusses auf einem andern Wege zu ermitteln vermögen. Dass eine Kraft41Entwickelung der Principien der Statik.p nach einer Richtung s, welche mit ihrer eigenen den Winkel[α]einschliesst, so wirkt, wie eine Kraft p cos[α]in der Richtung s, was mit dem Satz des Kräften - parallelogramms gleichbedeutend ist, kann man nicht errathen. Auch Bernoulli wäre dies nicht im Stande gewesen. Er verwendet aber in kaum merklicher Weise Erfahrungen, welche dieses mathematische Verhältniss schon mitbestimmen.

Derjenige, welchem die Zusammensetzung und Zer - legung der Kräfte bereits geläufig ist, weiss, dass mehrere an einem Punkt angreifende Kräfte in ihrer Wirkung in jeder Beziehung und nach jeder Richtung durch eine Kraft ersetzt werden können. In Ber - noulli’s Beweisverfahren spricht sich diese Kenntniss darin aus, dass die Kräfte p, q als solche betrachtet werden, welche die Kräfte s, u, und t, v vollständig, sowol nach der Richtung r als auch nach jeder an - dern Richtung zu ersetzen vermögen. Ebenso wird r als ein Aequivalent von p und q betrachtet. Es wird ferner als gleichgültig angesehen, ob man s, u, t, v zu - erst nach den Richtungen p, q, und p, q alsdann nach der Richtung r schätzt, oder ob s, u, t, v direct nach der Richtung r geschätzt werden. Das kann aber nur derjenige wissen, der schon eine sehr ausgedehnte Er - fahrung über die Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte gewonnen hat. Am einfachsten gelangt man zu dieser Kenntniss, wenn man weiss, dass eine Kraft p nach einer Richtung, welche den Winkel[α]mit ihrer eigenen einschliesst, mit dem Betrage 〈…〉 wirkt. Thatsächlich ist man auch auf diesem Wege zu dieser Einsicht gelangt.

In einer Ebene mögen die Kräfte P, P′, P″ .... unter den Winkeln[α],[α],[α] .... gegen eine gegebene Richtung X an einem Punkt angreifen. Dieselben sollen ersetzbar sein durch eine Kraft II, welche irgend - einen Winkel[α]mit X einschliesst. Nach dem bekannten Princip hat man dann 〈…〉 .

42Erstes Kapitel.

Soll II der Ersatz für das Kraftsystem bleiben, welche Richtung auch X annimmt, wenn es um den beliebigen Winkel[δ]gedreht wird, so ist ferner 〈…〉 oder 〈…〉 Setzen wir 〈…〉 so folgt 〈…〉 welche Gleichung für jedes[δ]nur bestehen kann, wenn 〈…〉 und 〈…〉 Hieraus ergibt sich 〈…〉 〈…〉 .

Aus diesen Gleichungen folgen für II und[μ]die be - stimmten Werthe 〈…〉 und 〈…〉

Kann man also die Wirkung einer Kraft in einer gegebenen Richtung durch die Projection auf diese Richtung messen, so ist wirklich jedes an einem Punkt angreifende Kraftsystem durch eine Kraft von be - stimmter Grösse und Richtung ersetzbar. Die an - gestellten Betrachtungen lassen sich aber nicht aus - führen, wenn man an die Stelle von cos[α]irgendeine43Entwickelung der Principien der Statik.allgemeine Winkelfunction[φ (α)]setzt. Thut man aber dies, und betrachtet gleichwol die Resultirende als eine bestimmte, so ergibt sich, wie z. B. aus Poisson’s Ab - leitung ersichtlich ist, für[φ (α)]die Form cos[α]. Die Erfahrung, dass mehrere auf einen Punkt wirkende Kräfte in jeder Beziehung stets durch eine ersetzbar sind, ist also mathematisch gleichwerthig mit dem Princip des Kräftenparallelogramms oder mit dem Projectionsprincip. Das Parallelogramm - oder Projec - tionsprincip ist aber viel leichter durch Beobachtung zu gewinnen, als jene allgemeinere Erfahrung durch statische Beobachtungen gewonnen werden kann. Wirk - lich ist auch das Parallelogrammprincip früher ge - wonnen worden. Es würde auch ein beinahe über - menschlicher Scharfsinn dazu gehören, aus der allge - meinen Ersetzbarkeit mehrerer Kräfte durch eine, ohne Leitung durch anderweitige Kenntniss des Sachverhaltes, das Parallelogrammprincip mathematisch zu folgern. An Bernoulli’s Ableitung setzen wir demnach aus, dass das leichter Beobachtbare auf das schwerer Beob - achtbare zurückgeführt wird. Darin liegt ein Verstoss gegen die Oekonomie der Wissenschaft. Ausserdem täuscht sich Bernoulli darin, dass er meint, überhaupt von keiner Beobachtung auszugehen.

Wir müssen noch die Bemerkung hinzufügen, dass auch die Unabhängkeit der Kräfte voneinander, welche sich in dem Princip der Zusammensetzung ausspricht, eine Erfahrung ist, welche von Bernoulli fortwährend still - schweigend verwendet wird. Solange wir mit regel - mässigen oder symmetrischen Kraftsystemen zu thun haben, in welchen jede Kraft gleichwerthig ist, kann jede von den übrigen auch im Falle einer gegenseitigen Abhängigkeit nur in derselben Weise beeinflusst wer - den. Schon bei drei Kräften, von welchen zwei zur dritten symmetrisch sind, wird die Betrachtung sehr schwierig, sobald man die Möglichkeit einer gegen - seitigen Abhängigkeit der Kräfte zugibt.

11. Sobald man direct oder indirect zu dem Princip44Erstes Kapitel.des Kräftenparallelogramms geführt worden ist, und dasselbe erschaut hat, ist dasselbe so gut eine Beob - achtung, als jede andere. Ist die Beobachtung neu, so geniesst sie selbstverständlich noch nicht das Vertrauen wie alte, vielfach erprobte Beobachtungen. Man sucht dann die neue Beobachtung durch die alten zu stützen und ihre Uebereinstimmung nachzuweisen. Nach und nach wird die neue Beobachtung den ältern ebenbürtig. Es ist dann nicht mehr nöthig, jene fortwährend auf diese zurückzuführen. Eine solche Ableitung ist nur

Fig. 37.

dann zweckmässig, wenn hierbei schwer unmittelbar zu gewinnende Beobachtungen auf einfachere und leichter zu gewinnende zurückgeführt werden können, wie dies mit dem Princip des Kräftenparallelogramms in der Dynamik geschieht.

12. Man hat den Satz des Kräftenparallelogramms auch durch besonders zu diesem Zwecke angestellte Versuche veranschaulicht. Eine hierzu sehr geeignete Vor - richtung ist von Cauchy angegeben worden. Der Mittel - punkt eines horizontalen getheilten Kreises (Fig. 37) ist45Entwickelung der Principien der Statik.durch eine Spitze bezeichnet. Drei miteinander ver - knüpfte Fäden f, f′, f″ sind über Rollen r, r′, r″ gelegt, welche an einer beliebigen Stelle des Kreisumfanges festgestellt werden können, und werden durch Gewichte p, p′, p″ belastet. Wenn z. B. drei gleiche Gewichte aufgelegt, und die Rollen auf die Theilungspunkte 0, 120, 240 gestellt sind, so stellt sich der Knotenpunkt der Fäden auf den Kreismittelpunkt ein. Drei gleiche Kräfte unter Winkeln von 120° sind also im Gleich - gewicht.

Will man einen andern Fall darstellen, so kann man auf folgende Art verfahren. Man denkt sich zwei beliebige Kräfte p, q unter einem beliebigen Winkel[α], stellt dieselben durch Linien dar und construirt über denselben als Seiten ein Parallelogramm. Man fügt ferner eine der Resultirenden r gleiche und entgegengesetzte Kraft hinzu. Die drei Kräfte p, q, - r halten sich unter den aus der Construction ersichtlichen Winkeln das Gleichgewicht. Man stellt die Rollen des getheilten Kreises auf die

Fig. 38.

Theilungspunkte o,[α], 〈…〉 , und belastet die zugehö - rigen Fäden mit den Gewichten p, q, r. Der Ver - knüpfungspunkt stellt sich auf den Kreismittelpunkt ein.

4. Das Princip der virtuellen Verschiebungen.

1. Wir gehen nun zur Besprechung des Princips der virtuellen (möglichen) Verschiebungen über. Die Gültigkeit dieses Princips wurde zuerst von Stevin zu Ende des 16. Jahrhunderts bei Untersuchung des Gleich - gewichts der Rollen und Rollensysteme bemerkt. Zunächst behandelt Stevin die Rollensysteme in der noch jetzt ge - wöhnlichen Weise. In dem Falle a (Fig. 39) herrscht aus bereits bekannten Gründen Gleichgewicht bei beider - seits gleicher Belastung P. Bei b hängt das Gewicht P an zwei parallelen Schnüren, deren jede also das Ge -46Erstes Kapitel.wicht $$\frac {P}{2}$$ trägt, womit im Gleichgewichtsfalle auch das freie Ende der Schnur belastet sein muss. Bei c hängt P an sechs Schnüren, und die Belastung des freien Endes mit $$\frac {P}{6}$$ stellt das Gleichgewicht her. Bei d, bei dem sogenannten Archimedes’schen oder Potenzflaschen - zug, hängt P zunächst an zwei Schnüren, deren jede $$\frac {P}{2}$$ trägt, die eine von beiden hängt wieder an zwei

Fig. 39.

Schnüren u. s. w., sodass das freie Ende durch die Be - lastung $$\frac {P}{8}$$ im Gleichgewicht erhalten wird. Ertheilt man diesen Rollensystemen Verschiebungen, bei welchen das Gewicht P um die Höhe h sinkt, so bemerkt man, dass wegen der Anordnung der Schnüre in a das Gegengewicht P um die Höhe h

  • b $$\frac {P}{2}$$ 2 h
  • c $$\frac {P}{6}$$ 6 h
  • d $$\frac {P}{8}$$ 8 h

steigt.

47Entwickelung der Principien der Statik.

Im Gleichgewichtsfalle sind also an einem Rollen - system die Producte aus den Gewichten und den zu - gehörigen Verschiebungsgrössen beiderseits gleich. ( Ut spatium agentis ad spatium patientis, sie potentia pa - tientis ad potentiam agentis , Stevini, Hypomnemata , T. IV, lib. 3, p. 172.) In dieser Bemerkung liegt nun der Keim des Princips der virtuellen Verschiebungen.

2. Galilei hat bei einer andern Gelegenheit, bei Untersuchung des Gleichgewichts auf der schiefen Ebene, die Gültigkeit des Princips erkannt, und auch schon eine etwas allgemeinere Form desselben gefunden. Auf einer schiefen Ebene, deren Länge AB der doppelten Hohe BC gleich ist, wird eine auf AB liegende Last Q durch die längs der Höhe BC wir - kende Last P im Gleichge - wicht gehalten, wenn P = $$\frac {Q}{2}$$ ist. Wird der ganze Appa - rat in Bewegung gesetzt, so

Fig. 40.

sinkt etwa P = $$\frac {Q}{2}$$ um die Höhe h, und um dieselbe Strecke h steigt Q auf der Länge AB auf. Indem nun Galilei die Erscheinung auf sich wirken lässt, erkennt er, dass das Gleichgewicht nicht nur durch die Ge - wichte, sondern auch durch deren mögliche Annähe - rung und Entfernung von dem Erdmittelpunkt bestimmt ist. Während nämlich $$\frac {Q}{2}$$ längs der Höhe um h sinkt, steigt Q längs der Länge um h, in ver - ticaler Richtung aber nur um $$\frac {h}{2}$$ auf, so zwar, dass die Producte Q· $$\frac {h}{2}$$ und $$\frac {Q}{2}$$ ·h beiderseits gleich aus - fallen. Man kann kaum genug hervorheben, wie auf - klärend die Bemerkung Galilei’s ist, und welches Licht sie verbreitet. Dabei ist die Bemerkung so na -48Erstes Kapitel.türlich und ungezwungen, dass man dieselbe gern acceptirt. Was kann einfacher erscheinen, als dass in einem System von schweren Körpern keine Bewegung eintritt, wenn im ganzen keine schwere Masse sinken kann. Das scheint uns instinctiv annehmbar.

Die Auffassung der schiefen Ebene durch Galilei erscheint uns viel weniger geistreich als die Stevin’sche, aber wir erkennen sie als natürlicher und tiefer. Darin zeigt sich Galilei als ein so grosser wissenschaftlicher Charakter, dass er den intellectuellen Muth hat, in einer längst untersuchten Sache mehr zu sehen als seine Vorgänger, und seiner Beobachtung zu vertrauen. Mit der ihm eigenen Offenheit gibt er seine Ansicht sammt den Motiven, die ihn zu derselben geführt haben, dem Leser preis.

3. Torricelli bringt das Galilei’sche Princip durch Verwendung des Begriffes Schwerpunkt in eine Form, in welcher es dem Gefühl noch näher liegt, in welcher es übrigens gelegentlich auch schon von Galilei ver - wendet wird. Nach Torricelli besteht an einer Maschine Gleichgewicht, wenn bei Verschiebung derselben der Schwerpunkt der angehängten Lasten nicht sinken kann. Bei einer Verschiebung an der obigen schiefen Ebene sinkt z. B. P um die Strecke h, dafür steigt Q um h·sin[α]vertical auf. Soll der Schwerpunkt nicht sinken, so ist 〈…〉 oder 〈…〉 oder 〈…〉

Stehen die Lasten in einem andern Verhältniss, so kann der Schwerpunkt bei einer oder der andern Ver - schiebung sinken, und es besteht kein Gleichgewicht. Wir erwarten instinctiv Gleichgewicht, wenn der Schwerpunkt eines Systems schwerer Körper nicht sinken kann. Es enthält aber der Torricelli’sche Aus - druck durchaus nicht mehr als der Galilei’sche.

49Entwickelung der Principien der Statik.

4. So wie an den Rollensystemen und an der schiefen Ebene lässt sich die Gültigkeit des Princips der vir - tuellen Verschiebungen leicht auch an andern Maschinen, z. B. dem Hebel, dem Wellrad u. s. w. nachweisen. Am Wellrade z. B. mit den Radien R, r und den zugehö - rigen Lasten P, Q besteht bekanntlich Gleichgewicht, wenn PR = Qr. Dreht man das Wellrad um den Winkel[α], so sinkt etwa P um R[α], und es steigt Q um r[α]. Nach Stevin’s und Galilei’s Auffassung ist im Gleichgewichtsfall 〈…〉 , welche Gleichung dasselbe besagt wie die obige.

5. Wenn wir ein System von schweren Körpern, an welchem Bewegung auftritt, vergleichen mit einem ähn - lichen im Gleichgewicht befindlichen System, so drängt sich uns die Frage auf: Was ist das Unterscheidende beider Fälle? Worin liegt das Bewegungsbestimmende (Gleichgewichtstörende), welches in dem einen Falle vorhanden ist, in dem andern aber fehlt. Indem Galilei sich diese Frage stellte, erkannte er als bewegungs - bestimmend nicht nur die Gewichte, sondern auch deren Falltiefen (deren verticale Verschiebungsgrössen). Nennen wir P, P′, P″ .... die Gewichte eines Systems schwerer Körper, und h, h′, h″ .... die zugehörigen verticalen, gleichzeitig möglichen Verschiebungsgrössen, wobei Verschiebungen abwärts positiv, Verschiebungen aufwärts negativ gerechnet werden. Galilei findet nun, dass in der Erfüllung der Bedingung Ph+P′h′+ P″h″+… = 0 das Merkmal des Gleichgewichtsfalles liegt. Die Summe Ph+P′h′+P″h″+… ist das Gleichgewichtstörende, das Bewegungsbestimmende. Man hat diese Summe ihrer Wichtigkeit wegen in neuerer Zeit mit dem besondern Namen Arbeit bezeichnet.

6. Während die ältern Forscher bei Vergleichung von Gleichgewichts - und Bewegungsfällen ihre Aufmerk - samkeit auf die Gewichte und deren Abstände von der Drehaxe richteten, und die statischen Momente als maassgebend erkannten, beachtet Galilei die Gewichte und die Falltiefen und erkennt die Arbeit alsMach. 450Erstes Kapitel.maassgebend. Es kann natürlich dem Forscher nicht vorgeschrieben werden, auf welche Merkmale des Gleichgewichts er zu achten hat, wenn mehrere zur Auswahl vorliegen. Nur der Erfolg kann darüber ent - scheiden, ob er die richtige Wahl getroffen hat. So wenig man aber, wie wir gesehen haben, die Bedeutung der statischen Momente als etwas unabhängig von der Erfahrung Gegebenes, logisch Einleuchtendes darstellen darf, ebenso wenig darf dies mit der Arbeit geschehen. Pascal ist im Irrthum, und diesen Irrthum theilen manche moderne Forscher, wenn er bei Anwendung des Princips der virtuellen Verschiebungen auf die Flüssigkeiten sagt: étant clair, que c’est la même chose de faire faire un pouce de chemin à cent livres d’eau, que de faire cent pouce de chemin a une livre d’eau Das ist nur dann richtig, wenn man schon die Arbeit als maassgebend anerkennt, was nur die Erfahrung lehren kann.

Wenn wir einen gleicharmigen, beiderseits gleich - belasteten Hebel vor uns haben, so erkennen wir das Gleichgewicht desselben als die einzige eindeutig be - stimmte Wirkung, ob wir nun die Gewichte und die Abstände, oder die Gewichte und die Falltiefen als bewegungsbestimmend ansehen. Diese oder ähnliche Erfahrungserkenntnisse müssen aber vorausgehen, wenn wir überhaupt ein Urtheil über den Fall haben sollen. Die Form der Abhängigkeit der Gleichgewichtsstörung von den angeführten Umständen, also die Bedeutung des statischen Momentes (PL) oder der Arbeit (Ph) kann man noch weniger herausphilosophiren als die Abhängigkeit überhaupt.

7. Wenn zwei gleiche Gewichte mit gleichen entgegen - gesetzten Verschiebungsgrössen einander gegenüber - stehen, so erkennen wir das Bestehen des Gleichge - wichts. Wir könnten nun versucht sein, den allge - meinern Fall der Gewichte P, P′ mit den Verschiebungs - grössen h, h′, wobei Ph = P′h′ ist, auf den einfachern zurückzuführen. Wir hätten z. B. die Gewichte 3P51Entwickelung der Principien der Statik.und 4P an einem Wellrade mit den Radien 4 und 3. Wir zerfällen die Gewichte in lauter gleiche Stücke von der Grösse P, die wir durch a, b, c, d, e, f, g bezeichnen. Nun führen wir a, b, c auf das Niveau + 3, und d, e, f auf das Niveau 3. Diese Verschie - bung werden die Ge - wichte weder von selbst eingehen, noch werden sie derselben wider - stehen. Wir fassen jetzt

Fig. 41.

das Gewicht g auf dem Niveau 0 mit dem a auf + 3 zusammen, schieben ersteres auf 1 und letzteres auf + 4, dann in gleicher Weise g auf 2 und b auf + 4, g auf 3 und c auf + 4. Allen diesen Ver - schiebungen leisten die Gewichte keinen Widerstand, und bringen sie auch selbst nicht hervor. Schliesslich erscheinen aber a, b, c (oder 3P) auf dem Niveau + 4 und d, e, f, g (oder 4P) auf dem Niveau 3. Auch diese Verschiebung bringen also die Gewichte nicht selbst hervor und widerstehen ihr auch nicht, d. h. bei diesem Verschiebungsverhältniss sind die Gewichte im Gleichgewicht. Die Gleichung 4·3P 3·4P = 0 ist also für das Gleichgewicht in diesem Fall charakte - ristisch. Die Verallgemeinerung (Ph P′h′ = 0) liegt auf der Hand.

Bei genügender Aufmerksamkeit erkennt man un - schwer, dass man den Schluss nicht machen kann, wenn man nicht die Gleichgültigkeit der Ordnung der Operationen und des Ueberführungsweges vor - aussetzt, d. h. wenn man nicht die Arbeit schon als das Maassgebende erschaut hat. Man würde, den Schluss acceptirend, denselben Fehler machen, den Archimedes in seiner Ableitung des Hebelgesetzes begangen hat, wie dies genauer auseinandergesetzt worden ist, und in4*52Erstes Kapitel.diesem Fall nicht ebenso ausführlich zu geschehen braucht. Nichtsdestoweniger ist die angeführte Ueber - legung insofern nützlich, als sie die Verwandtschaft der einfachen und der complicirten Fälle fühlbar macht.

8. Die allgemeine Bedeutung des Princips der vir - tuellen Verschiebungen für alle Gleichgewichtsfälle hat Joh. Bernoulli erkannt, und er hat seine Entdeckung (1717) in einem Briefe an Varignon mitgetheilt. Wir wollen nun das Princip in seiner allgemeinsten Form aussprechen. An den Punkten A, B, C .... mögen die

Fig. 42.

Kräfte P, P′, P″ .... an - greifen. Wir ertheilen den Punkten irgendwelche un - endlichkleine, mit der Natur der Verbindungen verträg - liche (sogenannte virtuelle) Verschiebungen v, v′, v″ .... und bilden von denselben die Projectionen p, p′, p″ .... auf die Richtungen der Kräfte. Diese Projectionen betrachten wir als positiv, wenn sie in die Richtung der Kraft fallen, als negativ, wenn sie in die entgegen - gesetzte Richtung fallen. Die Producte P·p, P′·p′, P″·p″ .... heissen virtuelle Momente und haben in den beiden eben erwähnten Fällen ein entgegengesetztes Zeichen. Das Princip sagt nun, dass für den Fall des Gleichgewichts P·p+P′·p′+P″·p″+ .... = 0, oder kürzer 〈…〉 .

9. Gehen wir nun auf einige Punkte näher ein. Vor Newton dachte man sich unter einer Kraft fast immer nur den Zug oder Druck eines schweren Körpers. Alle mechanischen Untersuchungen dieser Zeit beschäftigen sich fast nur mit schweren Körpern. Als nun in der Newton’schen Zeit die Verallgemeinerung des Kraft - begriffes eintrat, konnte man alle für schwere Körper bekannte mechanischen Sätze sofort auf beliebige Kräfte übertragen. Man konnte sich jede Kraft durch den53Entwickelung der Principien der Statik.Zug eines schweren Körpers an einer Schnur ersetzen. In diesem Sinne kann man auch das zunächst nur für schwere Körper gefundene Princip der virtuellen Ver - schiebungen auf beliebige Kräfte anwenden.

Virtuelle Verschiebungen nennt man solche, welche mit der Natur der Verbindungen des Systems und mit - einander verträglich sind. Wenn z. B. die beiden Sy - stempunkte A und B, an welchen Kräfte angreifen, durch einen rechtwinkeli - gen, um C drehbaren Win - kelhebel verbunden sind, so sind für CB = 2CA alle virtuellen Verschie - bungen von B und A stets Kreisbogenelemente, welche zu C als Mittelpunkt ge - hören, die Verschiebungen

Fig. 43.

von B sind stets doppelt so gross als jene von A, und beide stets zueinander senkrecht. Sind die Punkte AB durch einen Faden von der Länge l verbunden, welcher durch die festen Ringe C und D hindurch - gleiten kann, so sind alle jene Verschiebungen von A und B virtuell, bei welchen sich diese Punkte auf oder innerhalb zweier, mit den Radien r1 und r2 um C und D (als Mittelpunkte) beschriebenen Kugelflächen be - wegen, wobei r1+r2+CD = l.

Die Anwendung der unendlich kleinen Verschiebun - gen, statt der endlichen von Ga - lilei betrachteten, rechtfertigt sich durch folgende Bemerkung. Wenn zwei Gewichte an der schiefen Ebene im Gleichgewicht sind, so wird dieses nicht gestört, wenn die Ebene, wo sie mit den Kör - pern nicht in unmittelbarer Be -

Fig. 44.

rührung ist, in eine Fläche von anderer Form übergeht. Es kommt also auf die augenblickliche Verschiebbarkeit bei der augenblicklichen Conformation des Systems an. 54Erstes Kapitel.Zur Beurtheilung des Gleichgewichts dürfen die Ver - schiebungen nur verschwindend klein angenommen wer - den, weil sonst das System in eine ganz andere Nach - barconformation übergeführt würde, für welche vielleicht das Gleichgewicht nicht mehr besteht.

Dass nicht die Verschiebungen überhaupt, sondern nur soweit sie im Sinne der Kräfte stattfinden, also deren Projectionen auf die Kraftrichtungen maassgebend sind, hat schon Galilei an dem Fall der schiefen Ebene hin - reichend klar erkannt.

Was den Ausdruck des Princips betrifft, so bemerken wir, dass gar keine Aufgabe vorliegt, wenn alle Punkte des Systems, auf welche Kräfte wirken, voneinander unabhängig sind. Jeder solche Punkt kann dann nur im Gleichgewicht sein, wenn er im Sinne der Kraft nicht beweglich ist. Für jeden solchen Punkt ist einzeln das virtuelle Moment gleich Null. Sind einige Punkte voneinander unabhängig, andere aber in ihren Ver - schiebungen voneinander abhängig, so gilt für erstere die eben gemachte Bemerkung. Für die letztern gilt

Fig. 45.

eben der von Galilei gefundene Grundsatz, dass die Summe ihrer virtuellen Momente gleich Null ist. Demnach ist die Gesammtsumme der virtuellen Momente wieder gleich Null.

10. Wir wollen uns nun die Be - deutung des Princips zunächst an einigen einfachen Beispielen erläu - tern, und zwar an solchen, welche nicht nach dem gewöhnlichen Schema des Hebels, der schiefen Ebene u.s.w. behandelt werden können.

Der Differentialflaschenzug von Weston (Fig. 45) besteht aus zwei conaxialen, miteinander fest verbun - denen Rollen von den wenig verschiedenen Radien r1 und r2 < r1. Ueber diese Rollen ist eine Schnur oder55Entwickelung der Principien der Statik.Kette in der angedeuteten Weise geführt. Zieht man in der Richtung des Pfeiles mit der Kraft P, und findet eine Drehung um den Winkel[φ]statt, so wird das an - gehängte Gewicht Q etwas gehoben. Im Gleichgewichts - falle besteht zwischen den beiden virtuellen Momenten die Gleichung 〈…〉 , oder 〈…〉 .

Ein Wellrad (Fig. 46) vom Gewicht Q, welches sich beim Abwickeln der Schnur mit dem Gewichte P an einer um

Fig. 46.

die Welle gewickelten Schnur aufwindet und erhebt, liefert im Gleichgewichtsfalle für die virtuellen Momente die Glei - chung

Fig. 47.

〈…〉 , oder 〈…〉 .

In dem Specialfall R r = 0 haben wir für das Gleich - gewicht auch Qr = 0 zu setzen, oder bei endlichen Werthen von r ist Q = 0. In der That verhält sich dann der Faden wie eine Schlinge, in welcher sich das Gewicht Q befindet. Letzteres kann, wenn es von Null verschieden ist, sich immer abwärts winden, ohne das Gewicht P zu bewegen. Setzen wir aber bei R = r auch Q = 0, so folgt $$P = \frac {0}{0}$$ , ein unbestimmter Werth. Wirklich hält jedes Gewicht P den Apparat im Gleich - gewicht, weil bei R = r keins sinken kann.

Eine Doppelrolle (Fig. 47) von den Radien r, R liegt mit Reibung auf einer horizontalen Unterlage, während an56Erstes Kapitel.dem Faden mit der Kraft Q gezogen wird. Nennen wir P den Widerstand der Reibung, so besteht Gleich - gewicht, wenn 〈…〉 . Wird 〈…〉 , so wickelt sich beim Zug die Rolle an dem Faden auf.

Die Roberval’sche Wage besteht aus einem Parallelo -

Fig. 48.

gramm mit veränder - lichen Winkeln, in wel - chem zwei gegenüber - liegende Seiten um de - ren Mittelpunkte A, B drehbar sind. An den beiden andern, stets ver - ticalen Seiten sind hori - zontale Stäbe befestigt. Hängt man an diese Stäbe zwei gleiche Ge - wichte P, so besteht unabhängig von der Aufhängungs - stelle Gleichgewicht, weil bei einer Verschiebung die

Fig. 49.

Fig. 50. <