Die Natur bietet uns mancherlei Erscheinungen dar, welche wir durch die Annahme von Kräften erklären, die von den kleinsten Theilen der Substanzen auf einander ausgeübt werden, und den Quadraten der gegenseitigen Entfernungen umgekehrt proportional sind.
Vor allen gehört hieher die allgemeine Gravitation. Ver - möge derselben übt jedes ponderable Molecül μ auf ein ande - res μ 'eine bewegende Kraft aus, welche, wenn man die Ent - fernung = r setzt, durch 〈…〉 ausgedrückt wird, und eine An - näherung in der Richtung der verbindenden geraden Linie her - vorzubringen strebt.
Wenn man zur Erklärung der magnetischen Erscheinungen zwei magnetische Flüssigkeiten annimmt, wovon die eine als positive Gröſse, die andere als negative betrachtet wird, so üben zwei derartige Elemente μ, μ 'gleichfalls eine bewegende Kraft auf einander aus, welche durch 〈…〉 gemessen wird, und in der verbindenden geraden Linie wirkt, aber als Abstoſsung, wenn μ, μ 'gleichartig, als Anziehung, wenn sie ungleichar - tig sind.
Ganz ähnliches gilt von der gegenseitigen Wirkung der Theile der elektrischen Flüssigkeiten auf einander.
Das linearische Element ds eines galvanischen Stroms übt auf ein Element des magnetischen Fluidums μ (wenn wir letz -12teres zulassen) ebenfalls eine bewegende Kraft aus, die dem Quadrate der Entfernung r umgekehrt proportional ist: aber hier tritt zugleich der ganz abweichende Umstand ein, daſs die Richtung der Kraft nicht in der verbindenden geraden Linie, sondern senkrecht gegen die durch μ und die Richtung von ds gelegte Ebene ist, und daſs auſserdem die Stärke der Kraft nicht von der Entfernung allein, sondern zugleich von dem Winkel abhängt, welchen r mit der Richtung von ds macht. Nennt man diesen Winkel θ, so ist 〈…〉 das Maaſs der bewegenden Kraft, welche ds auf μ ausübt, und eben so groſs ist die von μ auf das Stromelement ds oder dessen pondera - beln Träger ausgeübte Kraft, deren Richtung der erstern ent - gegengesetzt parallel ist.
Wenn man mit Ampère annimmt, daſs zwei Elemente von galvanischen Strömen ds, ds 'in der sie verbindenden geraden Linie anziehend oder abstoſsend auf einander wirken, so nö - thigen uns die Erscheinungen, diese Kraft gleichfalls dem Qua - drate der Entfernung umgekehrt proportional zu setzen, zu - gleich aber erfordern jene eine etwas verwickeltere Abhängig - keit von der Richtung der Stromelemente.
Wir werden uns in dieser Abhandlung auf die drei ersten Fälle oder auf solche Kräfte einschränken, die sich in der Rich - tung der geraden Linie zwischen dem Elemente, welches wirkt, und demjenigen, auf welches gewirkt wird, äuſsern, und schlechthin dem Quadrate der Entfernung umgekehrt propor - tional sind, obwohl mehrere Lehrsätze mit geringer Verände - rung auch bei den andern Fällen ihre Anwendung finden, de - ren ausführliche Entwickelung einer andern Abhandlung vor - behalten bleiben muſs.
Wir bezeichnen mit a, b, c die rechtwinkligen Coordina - ten eines materiellen Punktes, von welchem aus eine absto - ſsende oder anziehende Kraft wirkt; die beschleunigende Kraft selbst in einem unbestimmten Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z sind, mit 〈…〉 3wo als[o]μ für den ersten Fall des vorhergehenden Artikels die im erstern Punkte befindliche ponderable Materie, im zwei - ten und dritten das Quantum magnetischen oder elektrischen Fluiduns ausdrückt. Wird diese Kraft parallel mit den drei Coordinatenaxen zerlegt, so entstehen daraus die Componenten 〈…〉 wo ε = + 1 oder = — 1 sein soll, jenachdem die Kraft an - ziehend oder abstoſsend wirkt, was sich nach der Beschaffen - heit des Wirkenden und des die Wirkung Empfangenden von selbst entscheidet. Diese Componenten stellen sich dar als die partiellen Differentialquotienten 〈…〉 Wirken also auf denselben Punkt O mehrere Agentien μ0, μ ', μ' 'u. s. f. aus den Entfernungen r0, r', r '' u. s. f., und setzt man 〈…〉 so werden die Componenten der ganzen in O wirkenden Kraft durch 〈…〉 dargestellt.
Wenn die Agentien nicht aus discreten Punkten wirken, sondern eine Linie, eine Fläche oder einen körperlichen Raum stetig erfüllen, so tritt an die Stelle der Summation Σ eine einfache, doppelte oder dreifache Integration. Der letzte Fall ist an sich allein der Fall der Natur: allein da man oft dafür, unter gewissen Einschränkungen, fingirte in Punkte concen - trirte, oder auf Linien oder Flächen stetig vertheilte Agentien substituiren kann, so werden wir jene Fälle mit in unsre Un - tersuchung ziehen, wobei es unanstöſsig sein wird, von Mas - sen, die auf eine Fläche oder Linie vertheilt, oder in einen Punkt concentrirt sind, zu reden, insofern der Ausdruck Masse hier nichts weiter bedeutet, als dasjenige, wovon An - ziehungs - oder Abstoſsungs-Kräfte ausgehend gedacht werden.
Indem wir also, für jeden Punkt im Raume, mit x, y, z dessen rechtwinklige Coordinaten, und mit V das Aggregat al - ler wirkenden Massentheilchen, jedes mit seiner Entfernung von jenem Punkte dividirt, bezeichnen, wobei nach den jedes - maligen Bedingungen der Untersuchung negative Massentheil - chen entweder ausgeschlossen oder als zulässig betrachtet wer - den mögen, wird V eine Function von x, y, z, und die Er - forschung der Eigenthümlichkeiten dieser Function der Schlüs - sel zur Theorie der Anziehungs - oder Abstoſsungskräfte selbst sein. Zur bequemern Handhabung der dazu dienenden Unter - suchungen werden wir uns erlauben, dieses V mit einer be - sondern Benennung zu belegen, und diese Gröſse das Potential der Massen, worauf sie sich bezieht, nennen. Für unsre ge - genwärtige Untersuchung reicht diese beschränktere Begriffsbe - stimmung hin: im weitern Sinn könnte man sowohl für Be - trachtung anderer Anziehungsgesetze, als im umgekehrten Ver - hältniſs des Quadrates der Entfernung, als auch für den vier - ten im Art. 1 erwähnten Fall, unter Potential die Function von x, y, z verstehen, deren partielle Differentialquotienten die Componenten der erzeugten Kraft vorstellen.
Bezeichnen wir die ganze in dem Punkte x, y, z Statt findende Kraft mit p, und die Winkel, welche ihre Richtung mit den drei Coordinatenaxen macht, mit α, ϐ, γ, so sind die drei Componenten 〈…〉 und 〈…〉
Ist ds das Element einer beliebigen geraden oder krum - men Linie, so sind 〈…〉 die Cosinus der Winkel, wel - che jenes Element mit den Coordinatenaxen macht; bezeichnet also θ den Winkel zwischen der Richtung des Elements und5 der Richtung, welche die resultirende Kraft daselbst hat, so ist 〈…〉 Die auf die Richtung von ds projicirte Kraft wird folglich 〈…〉 .
Legen wir durch alle Punkte, in welchen das Potential V einen constanten Werth hat, eine Fläche, so wird solche all - gemein zu reden die Theile des Raums wo V kleiner ist, von denen scheiden, wo V gröſser ist als jener Werth. Liegt die Linie s in dieser Fläche, oder tangirt sie wenigstens dieselbe mit dem Element ds, so ist 〈…〉 . Falls also nicht an die - sem Platze die Bestandtheile der ganzen Kraft einander destrui - ren, oder p = o wird, in welchem Falle von einer Richtung der Kraft nicht mehr die Rede sein kann, muſs nothwendig cos θ = o sein, woraus wir schlieſsen, daſs die Richtung der resul - tirenden Kraft in jedem Punkte einer solchen Fläche gegen diese selbst normal ist, und zwar nach derjenigen Seite des Raumes zu, wo die gröſsern Werthe von V angrenzen, wenn ε = + 1 ist; nach der entgegengesetzten, wenn ε = — 1 ist. Wir nennen eine solche Fläche eine Gleichgewichtsfläche. Da durch jeden Punkt eine solche Fläche gelegt werden kann, so wird die Linie s, falls sie nicht ganz in Einer Gleichge - wichtsfläche liegt, in jedem ihrer Punkte eine andere treffen. Durchschneidet s alle Gleichgewichtsflächen unter rechten Win - keln, so stellt eine Tangente an jener Linie überall die Rich - tung der Kraft, und 〈…〉 ihre Stärke dar.
Das Integral ∫ p cos θ. ds, durch ein beliebiges Stück der Linie s ausgedehnt, wird offenbar = ε (V '— V0), wenn V0, V' die Werthe des Potentials für den Anfangs - und Endpunkt bedeuten. Ist also s eine geschlossene Linie, so wird jenes In - tegral, durch die ganze Linie erstreckt, = o werden.
Es ist von selbst klar, daſs das Potential in jedem Punkte6 des Raumes, der auſserhalb aller anziehenden oder abstoſsenden Theilchen liegt, einen assignabeln Werth erhalten muſs; das - selbe gilt aber auch von dessen Differentialquotienten, sowohl erster als höherer Ordnung, da diese in jener Voraussetzung gleichfalls die Form von Summen assignabler Theile oder von Integralen solcher Differentiale annehmen, in denen die Coef - ficienten durchaus assignable Werthe haben. So wird 〈…〉 Die bekannte Gleichung 〈…〉 gilt also für alle Punkte des Raumes, die auſserhalb der wir - kenden Massen liegen.
Unter den verschiedenen Fällen, wo der Werth des Po - tentials V oder seiner Differentialquotienten für einen nicht auſserhalb der wirkenden Massen liegenden Punkt in Frage kommt, wollen wir zuerst den Fall der Natur betrachten, wo die Massen einen bestimmten körperlichen Raum mit gleichför - miger oder ungleichförmiger, aber überall endlicher Dichtig - keit ausfüllen.
Es sei t der ganze Raum, welcher Masse enthält; dt ein unendlich kleines Element desselben, welchem die Coordinaten a, b, c und das Massenelement kdt entsprechen; ferner sei V7 das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z, also die Entfernung von jenem Element 〈…〉 Es wird folglich 〈…〉 durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In - tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra - tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich befindet, obgleich dann 〈…〉 für die unendlich nahe bei O lie - genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an - statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man a = x + r cos u, b = y + r sin u cos λ, c = z + r sin u sin λ setzt, so wird dt = r r sin u. d u. d λ. d r, mithin V = ∫ ∫ ∫ kr sin u. d u. d λ. d r wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von λ = o bis λ = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muſs. Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth erhalten.
Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier 〈…〉 setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi - naten in 〈…〉 übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be - stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele - mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus ähnlichen Gründen darf man auch 〈…〉 8setzen, und diese Gröſsen erhalten daher, eben so wie V, in - nerhalb t bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe. Dasselbe wird auch noch auf der Grenze von t gelten.
Was nun aber die Differentialquotienten höherer Ordnun - gen betrifft, so muſs für Punkte innerhalb t ein anderes Ver - fahren eintreten, da es z. B. nicht verstattet ist, 〈…〉 in 〈…〉 umzuformen, indem dieser Ausdruck genau betrachtet nur ein Zeichen ohne bestimmte klare Bedeutung sein würde. Denn in der That, da sich innerhalb jedes auch noch so kleinen Theils von t, welcher den Punkt einschlieſst, Theile nachwei - sen lassen, über welche ausgedehnt dieses Integral jeden vor - gegebenen Werth, er sei positiv oder negativ, überschreitet, so fehlt hier die wesentliche Bedingung, unter welcher allein dem ganzen Integrale eine klare Bedeutung beigelegt werden kann, nemlich die Anwendbarkeit der Exhaustionsmethode.
Ehe wir diese Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor - nehmen, wird es zur Fixirung der Vorstellungen nützlich sein, einen sehr einfachen speciellen Fall zu betrachten.
Es sei t eine Kugel, deren Halbmesser = R ist, und de - ren Mittelpunkt mit dem Anfangspunkte der Coordinaten zu - sammenfällt: die Dichtigkeit der die Kugel erfüllenden Masse sei constant = k, und den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte bezeichnen wir mit 〈…〉 . Bekanntlich hat das Potential zwei verschiedene Ausdrücke, je nachdem O innerhalb der Kugel, oder auſserhalb liegt. Im erstern Fall ist nemlich 〈…〉 im zweiten hingegen9 〈…〉 Auf der Oberfläche der Kugel geben beide Ausdrücke einerlei Werth 4 / 3πkRR, und das Potential ändert sich daher im gan - zen Raume nach der Stetigkeit.
Für die Differentialquotienten erhalten wir, im innern Raume 〈…〉 im äussern Raume hingegen 〈…〉
Auch hier geben auf der Oberfläche die letztern Formeln dieselben Werthe wie die erstern, daher auch X, Y, Z im gan - zen Raume nach der Stetigkeit sich ändern.
Anders verhält es sich aber mit den Differentialquotienten dieser Grössen. Im innern Raume haben wir 〈…〉 im äuſsern Raume hingegen 〈…〉
Auf der Oberfläche fallen diese Werthe nicht mit jenen zusammen, sondern sind beziehungsweise10 〈…〉 gröſser. Es ändern sich daher jene Differentialquotienten, nach der Stetigkeit zwar im ganzen innern und im ganzen äuſsern Raume, aber sprungsweise beim Übergange aus dem einen in den andern, und in der Scheidungsfläche selbst muſs man ihnen doppelte Werthe beilegen, je nachdem dx, dy, dz als positiv oder als negativ betrachtet werden.
Ähnliches findet bei den sechs übrigen Differentialquotienten 〈…〉 Statt, die im Innern der Kugel sämmtlich = 0 werden, und beim Durchgange durch die Kugelfläche sprungsweise die Än - derungen 〈…〉 u. s. f. erleiden.
Das Aggregat 〈…〉 wird im Innern der Kugel = — 4πk, im äuſsern Raume = 0. Auf der Oberfläche selbst verliert es aber seine einfache Bedeutung: präcis zu reden, kann man nur sagen, daſs es ein Aggregat von drei Theilen ist, deren jeder zwei verschiedene Werthe hat, und so giebt es eigentlich acht Combinationen, unter denen eine mit dem auf der innern Seite, eine andere mit dem auf der äuſsern Seite geltenden Werthe übereinstimmt, während die sechs übrigen ohne alle Bedeutung bleiben. Der Analyse, durch welche einige Geometer auf der Oberfläche der Kugel den Werth — 2πk, oder den Mittelwerth zwischen den innen und auſsen geltenden, herausgebracht haben, kann ich, insofern der Begriff von Differentialquotienten in seiner mathe - matischen Reinheit aufgefaſst wird, eine Zulässigkeit nicht ein - räumen.
Das im vorhergehenden Beispiel gefundene Resultat ist nur ein einzelner Fall des allgemeinen Theorems, nach welchem, wenn der Punkt O sich im Innern der wirkenden Masse be -11 findet, der Werth von 〈…〉 äqual wird dem Producte aus — 4π in die in O Statt findende Dichtigkeit. Die befriedigendste Art, diesen wichtigen Lehrsatz zu begrün - den, scheint folgende zu sein.
Wir nehmen an, daſs die Dichtigkeit k sich innerhalb t nirgends sprungsweise ändere, oder daſs sie eine mit f (a, b, c) zu bezeichnende Function von a, b, c sei, deren Werth sich innerhalb t überall nach der Stetigkeit ändert, auſserhalb t hin - gegen = 0 wird.
Es sei t' der Raum, in welchen t übergeht, wenn die erste Coordinate jedes Punktes der Grenzfläche um die Grösse e ver - mindert, oder was dasselbe ist, wenn die Grenzfläche parallel mit der ersten Coordinatenaxe um e rückwärts bewegt wird; es bestehe t aus den Räumen t0 und θ, t' aus t0 und θ ', so daſs t0 der ganze Raum ist, welcher t und t' gemeinschaft - lich bleibt. Wir betrachten die drei Integrale 〈…〉 (1) 〈…〉 (2) 〈…〉 (3) wo das Integral (1) über den ganzen Raum t ausgedehnt der Werth von 〈…〉 oder X in dem Punkte O sein wird. Das In - tegral (2) gleichfalls über ganz t ausgedehnt wird der Werth von 〈…〉 in demjenigen Punkte sein, dessen Coordinaten x + e, y, z sind, welchen Werth wir mit X + ξ bezeichnen wollen. Of - fenbar ist mit diesem Integrale ganz identisch das Integral (3) über den ganzen Raum t' ausgedehnt. Ist also
so wird X = l + λ, X + ξ = l' + λ '.
12Setzen wir f (a + e, b, c) — f (a, b, c) = Δk, so ist das In - tegral 〈…〉 (4) über t0 ausgedehnt, 〈…〉 .
Die bisherigen Resultate gelten allgemein für jede Lage von O: bei der weitern Entwicklung soll der Fall, wo O in der Oberfläche selbst liegt, ausgeschlossen sein, oder angenom - men werden, daſs O in meſsbarer Entfernung von der Ober - fläche, innerhalb oder auſserhalb t liege.
Lassen wir nun e unendlich klein werden, so sind die Räume θ, θ 'zwei unendlich schmale an der Oberfläche von t anliegende Raumschichten; zerlegen wir diese Oberfläche in Elemente ds, und bezeichnen mit α den Winkel, welchen eine in ds nach auſsen errichtete Normale mit der ersten Coordina - tenaxe macht, so wird α offenbar spitz sein überall, wo die Oberfläche von t an θ grenzt, stumpf hingegen da, wo sie an θ' grenzt. Die Elemente von θ werden also ausgedrückt wer - den durch e cos α ds, die Elemente von θ 'hingegen durch — e cos α ds, woraus man leicht schlieſst, daſs 〈…〉 übergeht in das Integral 〈…〉 oder was dasselbe ist, in dieses 〈…〉 durch die ganze Oberfläche ausgedehnt, wo unter k die an dem Elemente ds Statt findende Dichtigkeit zu verstehen ist.
Unter Voraussetzung eines unendlich kleinen Werthes von e wird ferner 〈…〉 übergehen in den Werth des partiellen Dif - ferentialquotienten 〈…〉 oder 〈…〉 , und der Werth des In - tegrals (4) oder 〈…〉 in das Integral13 〈…〉 durch den ganzen Raum t ausgedehnt.
Endlich ist, für ein unendlich kleines 〈…〉 oder 〈…〉 , nichts anderes, als der Werth des partiellen Differen - tialquotienten 〈…〉 oder 〈…〉 . Wir haben folglich das einfache Resultat 〈…〉 wo die erste Integration über den ganzen Raum t, die zweite über die ganze Oberfläche desselben auszudehnen ist.
Dieses Resultat ist gültig, wie nahe auch O der Oberfläche auf der innern oder äuſsern Seite liegen mag, nur nicht in der Oberfläche selbst, wo vielmehr 〈…〉 zwei verschiedene Werthe haben wird. Das erste Integral ändert sich zwar beim Durch - gange durch die Oberfläche nach der Stetigkeit, hingegen än - dert sich 〈…〉 nach einem weiter unten zu beweisenden Theorem beim Übergange von einem innern der Oberfläche unendlich nahen Punkte nach einem äuſsern um die endliche Grösse 4πk cos α, wo k und α sich auf die Durch - gangsstelle beziehen, und eben so groſs wird der Unterschied der beiden daselbst Statt findenden Werthe von 〈…〉 sein.
Auf ähnliche Weise wird, wenn ϐ und γ in Beziehung auf die zweite und dritte Coordinatenaxe dieselbe Bedeutung haben, wie α in Beziehung auf die erste, und für die Lage von O dieselbe Beschränkung gilt, wie vorhin,14 〈…〉
Erwägen wir nun, daſs 〈…〉 nichts anderes ist, als der Werth des Differentialquotienten 〈…〉 , insofern in dieser Differentiation nur die Länge von r als veränderlich, die Richtung aber als constant betrachtet wird; ferner, daſs 〈…〉 wird, wenn ψ den Winkel bezeichnet, welchen die nach au - ſsen gerichtete Normale in ds mit der verlängerten geraden Li - nie r macht, so erhellet, daſs, wenn das Integral 〈…〉 über den ganzen Raum t erstreckt mit M, das Integral 〈…〉 durch die ganze Oberfläche von t ausgedehnt mit N bezeich - net wird, 〈…〉 sein wird.
Um die erstere Integration auszuführen, beschreiben wir um den Mittelpunkt O mit dem Halbmesser 1 eine Kugelfläche, und zerlegen dieselbe in Elemente dσ. Die von O durch alle Punkte der Peripherie von dσ geführten und unbestimmt ver - längerten geraden Linien bilden eine Kegelfläche (im weitern Sinne des Worts), wodurch aus dem ganzen t ein Raum (nach Umständen aus mehrern getrennten Stücken bestehend) ausge -15 schieden wird, und wovon r r d σ. dr ein unbestimmtes Element ist. Derjenige Theil von M, welcher sich auf diesen Raum bezieht, wird folglich durch 〈…〉 . dr ausgedrückt werden, wenn diese Integration durch alle in t fallenden Theile einer durch O und einen Punkt von dσ gehenden soweit als nöthig verlängerte gerade Linie r erstreckt wird. Nehmen wir nun an, diese gerade Linie schneide die Oberfläche von t der Reihe nach in O', O' ', O'' ', OIV u. s. f.; bezeichnen mit r', r '', r '' ', rIV u. s. f. die Werthe von r in diesen Punkten; mit ds', ds '', ds '' ', dsIV u. s. f. die entsprechenden durch den Elementarkegel aus der Oberfläche von t ausgeschiedenen Elemente; mit k', k '', k '' ', kIV u. s. f. die Werthe von k, und mit ψ', ψ '', ψ '' ', ψIV u. s. f. die Werthe von ψ an diesen Elementen: so übersieht man leicht, daſs
I. für den Fall, wo O innerhalb t liegt, die Anzahl jener Punkte ungerade, und die Integration 〈…〉 von r = 0 bis r = r ', dann von r = r' 'bis r = r' '' u. s. f. auszuführen sein wird, woraus also, wenn die Dichtigkeit in O mit k0 be - zeichnet wird, hervorgeht 〈…〉
Da die Winkel ψ ', ψ' ', ψ' '', ψIV u. s. f. offenbar abwech - selnd spitz und stumpf sind, so wird 〈…〉 u. s. f. und folglich 〈…〉 indem die Summation auf alle ds ausgedehnt wird, welche dem16 Element dσ entsprechen. Durch Integration über sämmtliche dσ erhält man also 〈…〉 wo das Integral über die ganze Oberfläche erstreckt werden muſs, oder M = 4πk0 + N. Es wird folglich 〈…〉 .
II. Für den Fall, wo O auſserhalb t liegt, hat man nur diejenigen dσ in Betracht zu ziehen, für welche die durch O und einen Punkt von dσ gelegte gerade Linie den Raum t wirk - lich trifft; die Anzahl der Punkte O', O' ', O'' 'u. s. f. wird hier immer gerade sein, und die Winkel ψ', ψ '', ψ '' 'u. s. f. abwech - selnd stumpf und spitz, also ds'. cos ψ '= — r'r'dσ, ds' '. cos ψ' '= + r''r' 'dσ, ds' '' cos ψ '' '= — r'''r'''dσ u. s. f. Da nun hier die Integration 〈…〉 , dann von r = r '' 'bis r = rIV u. s. f. ausgeführt werden muſs, so ergibt sich 〈…〉 und nach der zweiten Integration durch alle in Betracht kom - menden dσ, 〈…〉 folglich, wie ohnehin bekannt ist, 〈…〉 .
Obgleich in unsrer Beweisführung angenommen ist, daſs die Dichtigkeit sich in dem ganzen Raum t nach der Stetigkeit ändere, so ist doch zur Gültigkeit unsers Resultats diese Be - dingung nicht nothwendig, sondern es wird bloſs erfordert,17 daſs in dem Punkte O die Dichtigkeit nach allen Seiten zu nach der Stetigkeit sich ändere, oder daſs O innerhalb eines wenn auch noch so kleinen dieser Bedingung Genüge leistenden Rau - mes liege. Setzen wir nemlich das Potential der in diesem Raume enthaltenen Masse = V ', das Potential der übrigen au - ſserhalb desselben befindlichen Massen = V' ', so wird das ganze Potential V = V' + V '', und da nach dem vorhergehenden Artikel 〈…〉 ist, so wird 〈…〉 Fehlt hingegen diese Bedingung in dem Punkte O, und liegt also dieser in der Scheidungsfläche zwischen zweien solchen Räumen, in welchen, jeden für sich genommen die Dichtigkeit nach der Stetigkeit, aber beim Übergange aus dem einen in den andern sprungsweise sich ändert, so haben daselbst, allgemein zu reden, 〈…〉 jedes zwei verschiedene Werthe, und von dem Aggregate jener Gröſsen gilt dasselbe, was am Schlusse des 8 Artikels erinnert ist.
Wir ziehen, wie schon oben bemerkt ist, auch den idea - len Fall mit in den Kreis unsrer Untersuchungen, wo An - ziehungs - oder Abstoſsungskräfte von den Theilen einer Fläche ausgehend angenommen werden, und erlauben uns dabei die Einkleidung, daſs eine wirkende Masse in der Fläche vertheilt sei. Unter Dichtigkeit in irgend einem Punkte der Fläche verstehen wir in diesem Falle den Quotienten, wenn die in einem Elemente der Fläche, welchem der Punkt angehört, ent - haltene Masse mit diesem Element dividirt wird. Diese Dich - tigkeit kann gleichförmig (in allen Punkten dieselbe) oder un - gleichförmig sein, und im letztern Falle entweder in der gan - zen Fläche sich nach der Stetigkeit ändern (d. i. so, daſs sie218in je zwei einander unendlich nahen Punkten auch nur un - endlich wenig verschieden ist) oder es kann die ganze Fläche in zwei oder mehrere Stücke zerfallen, in deren jedem eine stetige Änderung Statt findet, während beim Übergange aus einem in das andere die Änderung sprungsweise geschieht. Übrigens kann auch eine solche Vertheilung gedacht werden, wo unbeschadet der Endlichkeit der ganzen Masse, die Dich - tigkeit in einzelnen Punkten oder Linien unendlich groſs wird. Der Fläche selbst, insofern sie nicht eine Ebene ist, wird all - gemein zu reden eine stetige Krümmung beigelegt werden, ohne darum eine Unterbrechung in einzelnen Punkten (Ecken) oder Linien (Kanten) auszuschlieſsen.
Dieses vorausgesetzt erhält das Potential auch in jedem Punkte der Fläche selbst, wo nur die Dichtigkeit nicht unend - lich groſs ist, einen bestimmten endlichen Werth, von welchem der Werth in einem zweiten Punkt, der, in der Fläche oder auſserhalb, jenem unendlich nahe liegt, nur unendlich wenig verschieden sein kann*)Von der Endlichkeit des Integrals, welches das Potential ausdrückt, überzeugt man sich leicht, indem man die Zerlegung der Fläche in Elemente auf ähnliche Weise ausführt, wie im 15 Artikel geschehen wird; und zugleich wird daraus ersichtlich, daſs die den beiden in Rede stehenden Punkten unendlich nahen Theile der Fläche zu dem ganzen Integral nur unendlich wenig beitragen, woraus sich das oben gesagte leicht beweisen läſst., oder mit anderen Worten, in jeder Linie, möge sie in der Fläche selbst liegen, oder dieselbe kreu - zen, ändert sich das Potential nach der Stetigkeit.
Bezeichnet man mit k die Dichtigkeit in dem Flächenele - ment ds; mit a, b, c die Coordinaten eines demselben angehö - renden Punkts; mit r dessen Entfernung von einem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z sind, und mit V das Potential der in der Fläche enthaltenen Masse in dem Punkte O, so ist V = 〈…〉 , durch die ganze Fläche ausgedehnt, endlich mit X, Y, Z die eben so verstandenen Integrale19 〈…〉 so sind zwar X, Y, Z ganz gleichbedeutend mit 〈…〉 , so lange O auſserhalb der Fläche liegt, aber genau zu reden gilt dieſs nicht mehr, wenn O ein Punkt der Fläche selbst ist, und die Ungleichheit gestaltet sich verschieden je nach der Be - schaffenheit des Winkels, welchen die Normale auf die Fläche mit der betreffenden Coordinatenaxe macht. Es ist offenbar hinreichend, hier nur das Verhalten in Beziehung auf die erste Coordinatenaxe anzugeben.
I. Ist jener Winkel = 0, so hat in O das Integral X ei - nen bestimmten Werth, 〈…〉 hingegen hat zwei verschiedene Werthe, je nachdem man dx als positiv oder als negativ be - trachtet.
II. Ist der Winkel ein rechter, so läſst der Ausdruck für X eine wahre Integration nicht zu (indem dann eine ähnliche Bemerkung gilt, wie im 7 Artikel), während 〈…〉 nur Einen be - stimmten Werth hat.
III. Ist der Winkel spitz, so verhält es sich mit X eben so wie im zweiten, und mit 〈…〉 eben so wie im ersten Falle.
Noch besondre Modificationen treten ein, wenn in O eine Unterbrechung der Stetigkeit entweder in Beziehung auf die Dichtigkeit oder die Krümmung Statt findet. Für unsern Haupt - zweck ist jedoch nicht nothwendig, solche Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Linien oder Punkten eintreten können, aus - führlich abzuhandeln, und wir werden daher bei der nähern Erörterung des Gegenstandes annehmen, daſs in dem fraglichen Punkte eine bestimmte endliche Dichtigkeit, und eine bestimmte Berührungsebene Statt findet.
Ehe wir die Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor - nehmen, wird es nützlich sein, einen einfachen besondern Fall zu betrachten. Es sei die Fläche das Stück A einer Kugel -2*20fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant. Es sind also V, X die Werthe der Integrale 〈…〉 durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V ', X' dieselben In - tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B, und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er - streckt werden, so wird V = V0 — V ', X = X0 — X'. Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen, den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der Kugel legen, und √ (xx + yy + zz) oder den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = ρ setzen.
Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in - nerhalb der Kugel, hingegen 〈…〉 , wenn O auſser - halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu - sammen. Der Differentialquotient 〈…〉 wird daher innerhalb der Kugel = 0, auſserhalb 〈…〉 ; auf der Ku - gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge - henden Artikels entspricht.
Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku - gel mit 〈…〉 gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee - res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist, den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe liegenden Elemente der Fläche a — x ein unendlich kleines von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0, z = 0, x = ± R, für welchen Fall die Integration X0 = = 2πk gibt, also mit keinem der Werthe von 〈…〉 überein - stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen - bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.
Erwägt man nun, daſs wenn O ein auf der Oberfläche21 der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X 'und 〈…〉 gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe haben, so erhellet, daſs das gegenseitige Ver - halten zwischen X0 — X 'und 〈…〉 , d. i. zwischen X und 〈…〉 ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und 〈…〉 , woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze von selbst folgen.
Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie - genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk - recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich - nen wir mit ψ den Winkel zwischen der Normale auf das unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe, so ist cos ψ. ds die Projection von ds auf die Ebene der b und c; und setzen wir √ (bb + cc) = ρ, b = ρ cos θ, c = ρ sin θ, so wird ρ dρ. d θ ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor - stellen, und das entsprechende Flächenelement ds 〈…〉 sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h ρ d ρ. d θ sein, wenn wir zur Abkürzung h für 〈…〉 schreiben.
Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere, oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über - geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei - nen, den Punkt P einschlieſsenden Theil, da der Beitrag des übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, ρ nur von 0 bis zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe ρ 'auszudehnen, und vorauszusetzen, daſs in der so begrenzten Fläche h und 〈…〉 sich22 überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be - stimmten Werth von θ, den Werth des Integrals 〈…〉 , von ρ = 0 bis ρ = ρ 'ausgedehnt, = Q, so wird X = ∫ Qdθ, wo die Integration von θ = 0, bis θ = 2π zu erstrecken ist.
Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0, für ein unendliches kleines positives x, und für ein unendlich kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemahl = 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich - nen diese drei Werthe von X mit X0, X ', X' ', und die ent - sprechenden Werthe von Q mit Q0, Q', Q''.
Da r = √ ((a — x) 2 + ρρ), so erhält man, indem man θ als constant betrachtet, 〈…〉 und folglich Q = 〈…〉 . wo die beiden Integrationen von ρ = 0 bis ρ = ρ 'auszudeh - nen, und die Werthe von h, a, r für ρ = ρ' mit h', a', r 'bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von 〈…〉 für ρ = 0 anzunehmen, welcher wenn man die Dichtigkeit in P mit k0 bezeichnet, = — k0 wird für ein po - sitives x, und = + k0 für ein negatives, indem für ρ = 0 offenbar a = 0, ψ = 0, h = k0, x = ± r wird. Für den Fall x = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth von 〈…〉 bei unendlich abnehmendem ρ anzunehmen, welcher = 0 ist, weil a ein Unendlichkleines von einer höhern Ord - nung wird als r.
Der Werth des Integrals 〈…〉 . dρ bleibt bis auf einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0, oder unendlich klein = ± ε setzen. Zerlegt man nemlich jenes Integral in23 〈…〉 so ist klar, daſs das Behauptete für den ersten Theil gilt, wenn δ unendlich klein, und für den zweiten, wenn 〈…〉 unend - lich groſs ist, also für das Ganze, wenn δ ein Unendlichkleines von einer niedrigern Ordnung als ε.
Ein ähnlicher Schluſs gilt auch in Beziehung auf das In - tegral 〈…〉 , wenn die Punkte der Fläche, welche dem bestimmten Werthe von θ entsprechen, eine Curve bilden, die in P eine meſsbare Krümmung hat, so daſs 〈…〉 in dem hier betrachteten Raume einen endlichen nach der Stetigkeit sich ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nemlich diesen Werth mit A, so wird 〈…〉 mithin zerlegt sich jenes Integral in folgende zwei 〈…〉 bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schluſsweise von selbst klar ist.
Endlich sind auch offenbar die Werthe von 〈…〉 für alle drei Werthe von x bis auf unendlich kleine Unterschiede gleich.
Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q' '— k0 bis auf unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird demnach auch von ∫ (Q' + k0) dθ, ∫ Q0dθ, ∫ (Q'' — k0) dθ gelten, oder von den Grössen X '+ 2πk0, X0, X' '— 2πk0.
Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der Grenzwerth von X, bei unendlich abnehmendem positiven x ist X0 — 2πk0, bei unendlich abnehmenden negativen x hingegen X0 + 2πk0, oder X ändert sich zweimahl sprungsweise um — 2πk0, indem x aus einem negativen Werthe in einen po - sitiven übergeht, das erstemahl, indem x den Werth 0 erreicht, und das zweitemahl, indem es ihn überschreitet.
In der Beweisführung des vorhergehenden Artikels ist zwar vorausgesetzt, dass die Schnitte der Fläche mit den durch die erste Coordinatenaxe gelegten Ebenen in P eine meſsbare Krümmung haben: allein unser Resultat bleibt auch noch gül - tig, wenn die Krümmung in P unendlich groſs ist, einen ein - zigen Fall ausgenommen. Daſs 〈…〉 für ein unendlich kleines ρ selbst unendlich klein werden müsse, bringt schon die Vor - aussetzung des Vorhandenseins einer bestimmten Berührungs - ebene an der Fläche in P mit sich; allein von einerlei Ord - nung sind beide Gröſsen nur dann, wenn ein endlicher Krüm - mungshalbmesser Statt findet; bei einem unendlich kleinen Krümmungshalbmesser hingegen wird 〈…〉 von einer niedrigern Ordnung sein als ρ. Wir werden nun zeigen, daſs unsre Re - sultate auch im letztern Falle ihre Gültigkeit behalten, wenn nur die Ordnungen beider Gröſsen vergleichbar sind.
Nehmen wir also an, 〈…〉 sei von derselben Ordnung wie ρμ, wo μ einen endlichen positiven Exponenten bedeutet, also 〈…〉 eine endliche in dem in Rede stehenden Raume nach der Stetigkeit sich ändernde Gröſse, die wir mit B bezeichnen wollen. Es zerfällt also das Integral 〈…〉 in die beiden folgenden 〈…〉 Auf das zweite Integral lassen sich die Schlüsse des vorher - gehenden Artikels unmittelbar anwenden, auf das erste hinge - gen nach einer leichten Umformung. Setzt man nemlich 〈…〉 oder ρ = σm, so wird jenes Integral 〈…〉 25Auch dieses Integral hat nun offenbar so lange nur einen un - endlich kleinen Werth, als die Integration nur von 0 bis zu einem unendlich kleinen Werthe von σ ausgedehnt wird; für jeden endlichen Werth von σ hingegen erhält der Coefficient von dσ bis auf einen unendlich kleinen Unterschied einerlei Werth, man möge x = 0 oder unendlich klein annehmen. Dies gilt also auch von dem ganzen Integral, wenn es von σ = 0 bis 〈…〉 ausgedehnt wird.
Nur in einen einzigen Falle verlieren unsre Schlüsse ihre Gültigkeit, wenn nemlich 〈…〉 mit keiner Potenz von ρ mehr zu einerlei Ordnung gehört, wie z. B. wenn 〈…〉 von derselben Ordnung wäre, wie 〈…〉 . In diesem Falle würde Q bei unendlicher Annäherung des Punktes O zur Fläche über alle Grenzen wachsen, und dasselbe würde auch für X gelten, wenn ein solches Verhalten nicht bloſs für einen oder einige Werthe von θ, sondern für alle Statt fände. Es ist jedoch unnöthig, dieſs hier weiter zu entwickeln, da wir diesen singulären Fall von unsrer Untersuchung ohne Nachtheil ganz ausschlieſsen können.
Wir wollen nun unter denselben Voraussetzungen und Bezeichnungen wie im 15 Artikel, die Gröſse Y betrachten, wovon 〈…〉 ein unbestimmtes Element ist. Da 〈…〉 , und folglich 〈…〉 insofern c als constant betrachtet wird, so gibt die erste Inte - gration in diesem Sinne, 〈…〉 26wo die Integrationen sich vom kleinsten zum gröſsten Werthe von b, für jeden bestimmten Werth von c erstrecken, und mit h*, r*, h**, r** die jenen Grenzwerthen entsprechenden Werthe von h und r bezeichnet sind. Schreiben wir zur Abkürzung 〈…〉 so wird 〈…〉 wo die Integration in Beziehung auf c vom kleinsten Werthe, welchen diese Coordinate in der Fläche hat, bis zum gröſsten ausgedehnt werden muſs. In dem doppelten Integrale stellt d b. d c die Projection eines unbestimmten Elements der Fläche auf die Ebene der b, c vor, und es kann mithin auch ρ d ρ. d θ dafür geschrieben werden: sonach wird 〈…〉 wo in dem Doppelintegral von ρ = o bis ρ = ρ 'und von θ = o bis θ = 2 π integrirt werden muſs. Durch ähnliche Schlüsse, wie im 15. Artikel, erkennt man nun leicht, daſs dieser Ausdruck bis auf unendlich kleine Unterschiede gleiche Werthe erhält, man möge x = o oder unendlich klein anneh - men, oder mit andern Worten, der Werth von Y hat bei po - sitiven und bei negativen unendlich abnehmenden Werthen von x eine und dieselbe Grenze, und diese Grenze ist nichts anderes, als der Werth obiger Formel, wenn man darin x = o setzt. Wir wollen nach der Analogie diesen Werth mit Y0 bezeichnen, wobei jedoch bemerkt werden muſs, daſs man nicht sagen darf, es sei dieſs der Werth von 〈…〉 für x = o (insofern dieser Ausdruck für x = o eine wahre Inte - gration nicht zuläſst), sondern nur, es sei ein Werth jenes In - tegrals, nemlich derjenige, welcher hervorgeht, wenn man in der oben befolgten Ordnung integrirt.
Übrigens bedarf dieses Resultat (auf ähnliche Weise wie oben Art. 16) einer Einschränkung in dem singulären Falle, wo in dem Punkte P unendlich kleine Krümmungshalbmesser Statt finden, imgleichen, wenn in diesem Punkte 〈…〉 unendlich27 groſs wird: für unsern Zweck ist es jedoch unnöthig, solche Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Punkten oder Linien vor - kommen können (also nicht in Theilen der Fläche, sondern nur an der Grenze von Theilen) besonders zu betrachten.
Endlich ist von selbst klar, daſs es sich mit der Gröſse Z oder dem Integrale 〈…〉 ganz eben so verhält, wie mit Y, nemlich daſs dieses Integral, wenn der Punkt O sich in der ersten Coordinatenaxe dem Punkte P unendlich nähert, einer - lei Grenzwerth Z0 hat, die Annäherung mag auf der positiven oder auf der negativen Seite Statt finden, und daſs dieser Grenzwerth zugleich der Werth von 〈…〉 für x = o ist, insofern man zuerst nach c integrirt.
Erwägen wir nun, daſs die Gröſsen 〈…〉 in allen Punkten des Raums, die nicht in der Fläche selbst lie - gen, unbedingt einerlei sind mit X, Y, Z, und daſs V sich überall nach der Stetigkeit ändert, so läſst sich aus den in dem vorhergehenden Artikel gefundenen Resultaten leicht fol - gern, daſs in unendlich kleiner Entfernung von P, oder für unendlich kleine Werthe von x, y, z, der Werth von V bis auf unendlich kleine Gröſsen höherer Ordnung genau, ausge - drückt wird durch 〈…〉 wenn x positiv ist, oder durch 〈…〉 wenn x negativ ist, wo mit V0 der Werth von V in dem Punkte P selbst, oder für x = o, y = o, z = o bezeichnet ist. Betrachten wir also die Werthe von V in einer durch P ge - legten geraden Linie, die mit den drei Coordinaxen die Win - kel A, B, C macht, bezeichnen mit t ein unbestimmtes Stück dieser Linie und mit t0 den Werth von t in dem Punkte P, so wird, wenn t — t0 unendlich klein ist, bis auf ein Unend - lichkleines höherer Ordnung genau 〈…〉 28das obere Zeichen für positive, das untere für negative Werthe von (t — t0) cos A geltend, oder es hat 〈…〉 in dem Punkte P für ein spitzes A zwei verschiedene Werthe, nemlich X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C — 2 π k0 cos A und X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C + 2 π k0 cos A je nachdem d t als positiv oder als negativ betrachtet wird. Für den Fall, wo A ein rechter Winkel ist, also die gerade Linie die Fläche nur berührt, fallen beide Ausdrücke zusam - men, und es wird 〈…〉
Die bisher vorgetragenen Sätze sind zwar ihrem wesent - lichen Inhalte nach nicht neu, durften aber des Zusammen - hanges wegen als nothwendige Vorbereitungen zu den nachfol - genden Untersuchungen nicht übergangen werden, in welchen eine Reihe neuer Lehrsätze entwickelt werden wird.
Es sei V das Potential eines Systems von Massen M', M' ', M'' '…, die sich in dem Punkte P', P'', P' '' … befinden; v das Potential eines zweiten Systems von Massen m', m' ', m'' '…, die in den Punkten p', p'', p' '' … angenommen werden: ferner seien V ', V' ', V' '' … die Werthe von V in den letztern Punkten, und v ', v' ', v' '' … die Werthe von v in den Punkten, P', P' ', P'' '… Man hat dann die Gleichung M' v' + M' 'v' '+ M'' 'v' '' + u.s.f. = m' V '+ m'' V '' + m' '' V '' '+ u.s.f. die auch durch ΣMv = ΣmV ausgedrückt wird, wenn unbestimmt M jede Masse des ersten, m jede Masse des zweiten Systems vorstellt. In der That ist sowohl ΣMv als ΣmV nichts an - deres, als das Aggregat aller Combinationen 〈…〉 , wenn ρ die gegenseitige Entfernung der Punkte bezeichnet, in welchen sich die betreffenden Massen M, m befinden.
Befinden sich die Massen des einen Systems, oder beider,29 nicht in discreten Punkten, sondern auf Linien, Flächen oder körperliche Räume nach der Stetigkeit vertheilt, so behält obige Gleichung ihre Gültigkeit, wenn man anstatt der Summe das entprechende Integral substituirt.
Ist also z. B. das zweite Massensystem in einer Fläche so vertheilt, daſs auf das Flächenelement d s die Masse k d s kommt, so wird Σ M v = ∫ k V d s, oder wenn ähnliches auch von dem ersten System gilt, so daſs das Flächenelement d S die Masse K d S enthält, wird ∫ K v d S = ∫ k V d s. Es ist von Wichtigkeit, in Beziehung auf letztern Fall zu bemerken, daſs diese Glei - chung noch gültig bleibt, wenn beide Flächen coincidiren; der Kürze wegen wollen wir aber die Art, wie diese Erweiterung des Satzes strenge gerechtfertigt werden kann, hier jetzt nur nach ihren Hauptmomenten andeuten. Es ist nemlich nicht schwer nachzuweisen, daſs diese beiden Integrale, insofern sie sich auf Eine und dieselbe Fläche beziehen, die Grenzwerthe von denen sind, die sich auf zwei getrennte Flächen beziehen, indem man die Entfernung derselben von einander unendlich abnehmen läſst, zu welchem Zweck man nur diese beiden Flächen gleich und parallel anzunehmen braucht. Unmittelbar einleuchtend ist zwar diese Beweisart nur in sofern, als die vorgegebene Fläche so beschaffen ist, daſs die Normalen in al - len ihren Punkten mit Einer geraden Linie spitze Winkel machen. Eine Fläche, wo diese Bedingung fehlt (wie allemahl, wenn von einer geschlossenen Fläche die Rede ist), wird zu - vor in zwei oder mehrere Theile zu zerlegen sein, die einzeln jener Bedingung Genüge leisten, wodurch es leicht wird, die - sen Fall auf den vorigen zurückzuführen.
Wenden wir das Theorem des vorhergehenden Artikels auf den Fall an, wo das zweite Massensystem mit gleichförmiger Dichtigkeit k = 1 auf eine Kugelfläche vertheilt ist, deren Halbmesser = R, so ist das daraus entspringende Potential v im Innern der Kugel constant = 4 π R; in jedem Punkte au - ſserhalb der Kugel, dessen Entfernung vom Mittelpunkte = r, wird v = 〈…〉 , oder eben so groſs, wie im Mittelpunkte das30 Potential von einer in jenem Punkte angenommenen Masse 4 π R R; auf der Oberfläche der Kugel fallen beide Werthe von v zusammen. Befindet sich also das erste Massensystem ganz im Innern der Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte der Gesammtmasse dieses Systems in 4 π R; ist aber jenes Massensystem ganz au - ſserhalb der Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte des Potentials dieser Masse im Mittelpunkte der Kugel in 4 π R R; ist endlich das erste Massensystem auf der Oberfläche der Ku - gel nach der Stetigkeit vertheilt, so sind für ∫ K v d S beide Ausdrücke gleichgültig. Es folgt hieraus der
LEHRSATZ. Bedeutet V das Potential einer wie immer ver - theilten Masse in dem Elemente einer mit dem Halbmesser R beschriebene Kugelfläche d s, so wird, durch die ganze Kugel - fläche integrirt, ∫ V d s = 4 π (R M0 + R R V0) wenn man mit M0 die ganze im Innern der Kugel befindliche Masse, mit V0 das Potential der auſserhalb befindlichen Masse im Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, und dabei die Massen, die etwa auf der Oberfläche der Kugel stetig vertheilt sein mögen, nach Belieben den äuſsern oder innern Massen zuordnet.
LEHRSATZ. Das Potential V von Massen, die sämmtlich auſserhalb eines zusammenhängenden Raumes liegen, kann nicht in einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth und zugleich in einem andern Theile desselben einen verschiedenen Werth haben.
Beweis. Nehmen wir an, es sei in jedem Punkte des Raums A das Potential constant = a, und in jedem Punkte eines andern an A grenzenden keine Masse enthaltenden Raumes B (algebraisch) gröſser als a. Man construire eine Kugel, wo - von ein Theil in B, der übrige Theil aber nebst dem Mittel - punkte in A enthalten ist, welche Construction allemahl mög - lich sein wird. Ist nun R der Halbmesser dieser Kugel, und d s ein unbestimmtes Element ihrer Oberfläche, so ist nach dem Lehrsatze des vorigen Artikels ∫ V d s = 4 π R R a, und ∫ (V — a) d s = o, was unmöglich ist, da für den Theil der Oberfläche, welcher in A liegt, V — a = o, und für den übri -31 gen Theil der Voraussetzung zu Folge nicht = o, sondern positiv ist.
Auf ganz ähnliche Weise erhellet die Unmöglichkeit, daſs in allen Punkten eines an A grenzenden Raumes V kleiner sei, als a.
Offenbar müſste aber wenigstens einer dieser beiden Fälle Statt finden, wenn unser Theorem falsch wäre.
Dieser Lehrsatz enthält folgende zwei Sätze:
I. Wenn der die Massen enthaltende Raum schalenförmig einen massenleeren Raum umschlieſst, und das Potential in einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser für alle Punkte des ganzen eingeschlossenen Raumes.
II. Wenn das Potential der in einen endlichen Raum eingeschlossenen Massen in irgend einem Theile des äuſsern Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser für den ganzen unendlichen äuſsern Raum.
Zugleich erhellet leicht, daſs in diesem zweiten Fall der constante Werth des Potentials kein anderer als 0 sein kann. Denn wenn man mit M das Aggregat aller Massen falls sie sämmtlich einerlei Zeichen haben, oder im entgegengesetzten Fall das Aggregat der positiven oder der negativen Massen allein, je nachdem jene oder diese überwiegen, bezeichnet, so ist das Potential in einem Punkte, dessen Entfernung von dem nächsten Massenelemente = r ist, jedenfalls absolut genommen kleiner als 〈…〉 , welcher Bruch offenbar im äuſsern Raume kleiner als jede angebliche Gröſse werden kann.
LEHRSATZ. Ist d s das Element einer einen zusammen - hängenden endlichen Raum begrenzenden Fläche, P die Kraft welche irgendwie vertheilte Massen in d s in der auf die Fläche normalen Richtung ausüben, wobei eine nach innen oder nach auſsen gerichtete Kraft als positiv betrachtet wird, je nachdem anziehende oder abstoſsende Massen als positiv gelten: so wird das Integral ∫ P d s über die ganze Fläche ausgedehnt = 4 π M + 2 π M', wenn M das Aggregat der im Innern des Raumes befindlichen, M' das der auf der Oberfläche nach der Stetigkeit vertheilten bedeuten.
32Beweis. Bezeichnet man mit U d μ denjenigen Theil von P, welcher von dem Massenelemente d μ herrührt, mit r die Entfernung des Elements d μ von d s, und mit u den Winkel, welchen in d s die nach Innen gerichtete Normale mit r macht, so ist U = 〈…〉 . Es ist aber in Beziehung auf jedes bestimmte d μ, vermöge eines in der Theoria Attractionis corporum sphaeroi - dicorum ellipticorum Art. 6 bewiesenen Lehrsatzes 〈…〉 . d s = o, 2 π oder 4 π, jenachdem d μ auſserhalb des durch die Fläche begrenzten Raumes, in der Fläche selbst, oder in - nerhalb jenes Raumes liegt. Da nun ∫ P d s dem Gesammtbe - trage aller d μ. ∫ U d s gleichkommt, so ergibt sich hieraus un - ser Theorem von selbst.
In Beziehung auf den hier benutzten Hülfssatz muſs noch bemerkt werden, daſs derselbe, in der Gestalt wie er a. a. O. ausgesprochen ist, für einen speciellen Fall einer Modification bedarf. Es bedeutet nemlich r die Entfernung eines gegebenen Punktes von dem Elemente d s, und für den Fall, wo dieser Punkt in der Fläche selbst liegt, ist die Formel 〈…〉 . d s = 2 π nur insofern richtig, als die Stetigkeit der Krümmung der Fläche in dem Punkte nicht verletzt wird. Eine solche Verletzung findet aber Statt, wenn der Punkt in einer Kante oder Ecke liegt, und dann muſs anstatt 2 π der Inhalt derje - nigen Figur gesetzt werden, welche durch die sämmtlichen von da ausgehenden die Fläche tangirenden geraden Linien aus einer um den Punkt als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 be - schriebenen Kugelfläche ausgeschieden wird. Da jedoch solche Ausnahmsfälle nur Linien oder Punkte, also nicht Theile der Flä - che, sondern nur Scheidungsgrenzen zwischen Theilen betreffen, so hat dieſs offenbar auf die von dem Hülfssatze hier gemachte Anwendung gar keinen Einfluſs.
Wir legen durch jeden Punkt der Fläche eine Normale, und bezeichnen mit p die Entfernung eines unbestimmten Punktes derselben von dem in die Fläche selbst gesetzten Anfangspunkte,33 auf der innern Seite der Fläche als positiv betrachtet. Das Potential der Massen V kann als Function von p und zweien andern veränderlichen Gröſsen betrachtet werden, die auf ir - gendwelche Art die einzelnen Punkte der Fläche von einander unterscheiden, und eben so verhält es sich mit dem partiellen Differentialquotienten 〈…〉 , dessen Werth hier aber nur für die in die Fläche selbst fallenden Punkte, oder für p = 0 in Be - tracht gezogen werden soll. Da dieser mit P völlig gleichbe - deutend ist, wenn Massen sich nur in dem innern Raume, oder in dem äuſsern, oder in beiden befinden, keine Masse aber auf die Fläche selbst vertheilt ist, so hat man in diesem Falle 〈…〉 .
In dem Falle hingegen, wo die ganze Masse bloss auf der Fläche selbst vertheilt ist, so daſs das Element d s die Masse k d s erthält, bleiben 〈…〉 und P nicht mehr gleichbedeutend; letztere Gröſse stellt hier offenbar in Beziehung auf p dasselbe vor, was X0 in Beziehung auf x im 15. Artikel; 〈…〉 hingegen hat zwei verschiedene Werthe, nemlich P — 2 π k und P + 2 π k, jenachdem d p als positiv oder als negativ betrachtet wird. Da nun ∫ k d s offenbar der ganzen auf die Fläche vertheilten Masse M' gleich, und gemäſs dem Lehrsatze des vorhergehenden Ar - tikels ∫ P d s = 2 π M' wird, so hat man 〈…〉 jenachdem für 〈…〉 der auf der innern, oder auf der äuſsern Seite der Fläche geltende Werth überall verstanden wird, und es verhält sich also mit dem Integrale 〈…〉 · d s im erstern Falle genau eben so, als wenn die Masse M' zum äuſsern Raume, im zweiten, als ob sie zum innern Raume gehörte.
Es gilt daher, bei irgendwie vertheilten Massen, die Glei - chung 〈…〉 · d s = 4 π M allgemein, in dem Sinne daſs M334die im innern Raume enthaltene Masse bedeutet, wohlverstan - den, daſs, wenn auch auf der Oberfläche selbst stetig vertheilte Massen sich befinden, diese den innern zugerechnet, oder da - von ausgeschlossen werden müssen, jenachdem man für 〈…〉 den auf die Auſsenseite oder auf die Innenseite sich beziehen - den Werth gewählt hat.
Sind demnach im Innern des Raumes gar keine Massen enthalten, so ist, wenn jedenfalls unter 〈…〉 der auf die In - nenseite sich beziehende Werth verstanden wird, 〈…〉 · d s = 0.
Unter denselben Voraussetzungen, wie am Schluſs des vorhergehenden Artikels, und indem wir den in Rede stehen - den Raum mit T, und die in dem Elemente desselben dT durch die auſserhalb des Raumes oder auch nach der Stetigkeit in der Oberfläche vertheilten Massen entspringende ganze Kraft mit q bezeichnen, haben wir folgenden wichtigen
LEHRSATZ. Es ist 〈…〉 wenn das erste Integral über die ganze Fläche, das zweite durch den ganzen Raum T ausgedehnt wird.
Beweis. Indem wir rechtwinklige Coordinaten x, y, z einführen, betrachten wir zuvörderst eine der Axe der x pa - rallele den Raum T schneidende gerade Linie, wo also y, z constante Werthe haben. Aus der identischen Gleichung 〈…〉 folgt, daſs das Integral 〈…〉 durch dasjenige Stück jener geraden Linie ausgedehnt, welches innerhalb T fällt, der Differenz der beiden Werthe von V 〈…〉 35am Anfangs - und Endpunkte gleich wird, insofern die gerade Linie die Grenzfläche nur zweimahl schneidet, oder allgemein = Σ ε V 〈…〉 , indem für V 〈…〉 die einzelnen Werthe in den verschiedenen Durchschnittspunkten gesetzt werden, und ε in den ungeraden Durchschnittspunkten (dem ersten, dritten u.s.f.) = — 1, in den geraden = + 1. Betrachten wir ferner längs dieser geraden Linie den prismatischen Raum, wovon das Rechteck dy. dz ein Querschnitt, also d x. dy. dz ein Element ist, so wird das Integral 〈…〉 ausgedehnt durch denjenigen Theil von T, welcher in jenen prismatischen Raum fällt, = Σ ε V 〈…〉 · dy. dz. Dieses Prisma scheidet aus der Grenzfläche zwei, oder allgemein eine gerade Anzahl von Stücken aus, und wenn jedes derselben mit d s bezeichnet wird, mit ξ hingegen der Winkel zwischen der Axe der x und der nach innen gerichteten Normale auf d s, so ist dy. dz = ± cos ξ. d s, das obere Zeichen für die ungeraden, das untere für die geraden Durchschnittspunkte genommen. Es wird folglich das obige Integral 〈…〉 wo die Summation sich auf sämmtliche betreffende Flächen - elemente bezieht. Wird nun der ganze Raum T in lauter solche prismatische Elemente zerlegt, so werden auch die sämmt - lichen correspondirenden Theile der Fläche diese ganz er - schöpfen, und mithin 〈…〉 sein, indem die erste Integration durch den ganzen Raum T, die zweite über die ganze Fläche erstreckt wird. Offenbar ist nun cos ξ gleich dem partiellen Differentialquotienten 〈…〉 , in - dem p die im Art. 23 festgelegte Bedeutung hat, und x als Function von p und zwei andern veränderlichen die einzelnen Punkte der Fläche von einander unterscheidenden Gröſsen be - trachtet werden kann, folglich2*36 〈…〉 Es ist übrigens von selbst klar, daſs in dem Falle, wo die Fläche selbst Massen enthält, und also 〈…〉 zwei verschiedene Werthe hat, hier immer der auf den innern Raum sich bezie - hende zu verstehen ist.
Durch ganz ähnliche Schlüsse findet man 〈…〉
Addirt man nun diese drei Gleichungen zusammen, und erwägt, daſs im Raume T 〈…〉 und an der Grenzfläche 〈…〉 so erhält man 〈…〉 , welches unser Lehrsatz selbst ist, der unter Zuziehung des letzten Satzes des vorhergehenden Artikels noch allgemeiner sich so aus - drücken läſst 〈…〉 wenn A eine beliebige constante Gröſse bedeutet.
LEHRSATZ. Wenn unter denselben Voraussetzungen, wie im vorhergehenden Artikel, das Potential V in allen Punkten der Grenzfläche des Raumes T einerlei Werth hat, so gilt dieser Werth auch für sämmtliche Punkte des Raumes37 selbst, und es findet in dem ganzen Raume eine vollständige Destruction der Kräfte Statt.
Beweis. Wenn in dem erweiterten Lehrsatze des vor - hergehenden Artikels für A der constante Grenzwerth des Po - tentials angenommen wird, so erhellet, daſs ∫ q q d T = 0 wird, also nothwendig q = 0 in jedem Punkte des Raumes T, mithin auch 〈…〉 = 0, 〈…〉 = 0, 〈…〉 = 0, und folglich V im gan - zen Raume T constant.
LEHRSATZ. Wenn von Massen, welche sich bloſs inner - halb des endlichen Raumes T, oder auch, ganz oder theil - weise nach der Stetigkeit vertheilt auf dessen Oberfläche S be - finden, das Potential in allen Punkten von S einen constanten Werth = A hat, so wird das Potential in jedem Punkte O des äuſsern unendlichen Raumes T' erstlich, wenn A = 0 ist, gleichfalls = 0, zweitens, wenn A nicht = 0 ist, kleiner als A und mit dem - selben Zeichen wie A behaftet sein.
Beweis. I. Zuvörderst soll bewiesen werden, daſs das Potential in O keinen auſserhalb der Grenzen 0 und A fallen - den Werth haben kann. Nehmen wir an, es finde in O ein solcher Werth B für das Potential Statt, und bezeichnen mit C eine beliebige zugleich zwischen B und 0 und zwischen B und A fallende Gröſse. Indem man von O nach allen Richtun - gen gerade Linien ausgehen läſst, wird es auf jeder derselben einen Punkt O' geben, in welchem das Potential = C wird, und zwar so, daſs die ganze Linie O O' dem Raume T' ange - hört. Dieſs folgt unmittelbar aus der Stetigkeit der Änderung des Potentials, welches, wenn die gerade Linie hinlänglich fortgesetzt wird, entweder von B in A übergeht, oder unend - lich abnimmt, jenachdem die gerade Linie die Fläche S trifft, oder nicht (vergl. die Bemerkung am Schlusse des 21. Arti - kels). Der Inbegriff aller Punkte O' bildet dann eine geschlos - sene Fläche, und da das Potential in derselben constant = C ist, so muſs es nach dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti - kels denselben Werth in allen Punkten des von dieser Fläche38 eingeschlossenen Raumes haben, da es doch in O den von C verschiedenen Werth B hat. Die Voraussetzung führt also nothwendig auf einen Widerspruch.
Für den Fall A = 0 ist hiedurch unser Lehrsatz vollstän - dig bewiesen; für den zweiten Fall, wo A nicht = 0 ist, so - weit, daſs erhellet, das Potential könne in keinem Punkte von T' gröſser als A, oder mit entgegengesetztem Zeichen behaftet sein.
II. Um für den zweiten Fall unsern Beweis vollständig zu machen, beschreiben wir um O als Mittelpunkt mit einem Halbmesser R, der kleiner ist als die kleinste Entfernung des Punkts O von S, eine Kugelfläche, zerlegen sie in Elemente d s, und bezeichnen das Potential in jedem Elemente mit V; das Potential in O soll wieder mit B bezeichnet werden. Nach dem Lehrsatze des 20. Artikels wird dann das über die ganze Kugelfläche ausgedehnte Integral ∫ V d s = 4 π R R B, und folglich ∫ (V — B) d s = 0. Diese Gleichheit kann aber nur bestehen, wenn V entweder in allen Punkten der Kugelfläche constant = B, oder wenn V in verschiedenen Theilen der Kugelfläche in entgegengesetztem Sinne von B verschieden ist. In der ersten Voraussetzung würde nach Art. 25 das Potential im ganzen innern Raume der Kugel und daher nach Art. 21 im ganzen unendlichen Raume T' constant, und zwar = 0 sein müssen, im Widerspruche mit der Voraussetzung, daſs es an der Grenze dieses Raumes, auf der Fläche S, von 0 verschieden ist, und der Unmöglichkeit, daſs es sich von da ab sprungsweise ändere. Die zweite Vor - aussetzung hingegen würde mit dem unter I. bewiesenen im Widerspruch stehen, wenn B entweder = 0 oder = A wäre. Es muſs daher nothwendig B zwischen 0 und A fallen.
LEHRSATZ. In dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti - kels kann der erste Fall, oder der Werth 0 des constanten Potentials A, nur dann Statt finden, wenn die Summe aller Massen selbst = 0 ist, und der zweite nur dann, wenn diese Summe nicht = 0 ist.
Beweis. Es sei d s das Element der Oberfläche irgend einer den Raum T einschlieſsenden Kugel, R ihr Halbmesser,39 M die Summe aller Massen und V deren Potential in d s. Da nach dem Lehrsatze des 20. Artikels das Integral ∫ V d s = 4π RM wird, im ersten Falle oder für A = 0 aber nach dem vorher - gehenden Lehrsatze das Potential V in allen Punkten der Ku - gelfläche = 0 wird, im zweiten hingegen kleiner als A und mit demselben Zeichen behaftet, so wird im ersten Fall 4π R M = 0, also M = 0, im zweiten hingegen 4 π R M und also auch M mit demselben Zeichen behaftet sein müssen wie A. Zu - gleich erhellet, daſs in diesem zweiten Falle 4 π R M kleiner sein wird, als ∫ A d s oder 4 π R R A, mithin M kleiner als R A, oder A gröſser als 〈…〉 .
Der zweite Theil dieses Lehrsatzes, in Verbindung mit dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels kann offenbar auch auf folgende Art ausgesprochen werden:
Wenn von Massen, die in einem von einer geschlossenen Fläche begrenzten Raume enthalten, oder auch theilweise in der Fläche selbst stetig vertheilt sind, die algebraische Summe = 0 ist, und ihr Potential in allen Punkten der Fläche einen constanten Werth hat, so wird dieser Werth nothwendig selbst = 0 sein, zugleich für den ganzen unendlichen äuſsern Raum gelten, und folglich in diesem ganzen äuſsern Raume die Wir - kung der Kräfte aus jenen Massen sich vollständig destruiren.
Man wird sich leicht überzeugen, daſs sämmtliche Schlüsse der beiden vorhergehendem Artikel ihre Gültigkeit behalten, wenn S eine nicht geschlossene Fläche ist, und die Massen bloſs in derselben enthalten sind. Hier fällt der Raum T ganz weg; alle Punkte, die nicht in der Fläche selbst liegen, ge - hören dem unendlichen äuſsern Raume an, und wenn das Po - tential in der Fläche überall den constanten von 0 verschiede - nen Werth A hat, wird es auſserhalb derselben überall einen kleinern Werth haben, der dasselbe Zeichen hat.
Das auf den ersten Fall, A = 0, bezügliche bleibt zwar auch hier wahr, aber inhaltleer, da in diesem Fall das Po - tential V in allen Punkten des Raumes = 0 wird, mithin auch40 überall 〈…〉 = 0, wenn t irgend eine gerade Linie bedeutet, woraus man leicht nach Art. 18 schlieſst, daſs die Dichtigkeit in der Fläche überall = 0 sein muſs, also die Fläche gar keine Massen enthalten kann.
Diese letztere Bemerkung gilt übrigens allgemein, wenn die Massen bloſs in der Fläche selbst enthalten sein sollen, auch wenn sie eine geschlossene ist, da offenbar nach dem Lehrsatz des 25. Artikels der Werth des Potentials in diesem Fall auch in dem ganzen innern Raume = 0 sein wird.
Ehe wir zu den folgenden Untersuchungen fortschreiten, in denen Massen, nach der Stetigkeit in eine Fläche vertheilt, eine Hauptrolle spielen, muſs eine wesentliche bei der Verthei - lung Statt findende Verschiedenheit hervorgehoben werden, indem nemlich entweder nur Massen von einerlei Zeichen (die wir der Kürze wegen immer als positiv betrachten werden) zugelassen werden, oder auch Massen von entgegengesetzten Zeichen. Ist eine Masse M auf einer Fläche so vertheilt, daſs auf jedes Element der Fläche d s die Masse m d s kommt, wo also nach unserm bisherigen Gebrauche m die Dichtigkeit ge - nannt, und ∫ m d s über die ganze Fläche ausgedehnt = M wird, so nennen wir dies eine gleichartige Vertheilung, wenn m überall positiv, oder wenigstens nirgends negativ ist; wenn hingegen in einigen Stellen m positiv, in andern negativ ist, so soll die Vertheilung eine ungleichartige Vertheilung heiſsen, wobei also M nur die algebraische Summe der Massentheile, oder der absolute Unterschied der positiven und der negativen Massen ist. Ein ganz specieller Fall ungleichartiger Vertheilung ist der, wo M = 0 wird, und wo es freilich anstöſsig scheinen mag, sich des Ausdrucks, die Masse 0 sei über die Fläche vertheilt, noch zu bedienen.
Es ist von selbst klar, daſs, wie auch immer eine Masse M über eine Fläche gleichartig vertheilt sein möge, das daraus41 entspringende überall positive Potential V in jedem Punkte der Fläche gröſser sein wird, als 〈…〉 , wenn r die gröſste Ent - fernung zweier Punkte der Fläche von einander bedeutet: diesen Werth selbst könnte das Potential nur in einem End - punkte der Linie r haben, wenn die ganze Masse in dem an - dern Endpunkte concentrirt wäre, ein Fall, der hier gar nicht in Frage kommt, indem nur von stetiger Vertheilung die Rede sein soll, wo jedem Elemente der Fläche d s nur eine unend - lich kleine Masse m d s entspricht. Das Integral ∫ V m d s über die ganze Fläche ausgedehnt, ist also jedenfalls gröſser als 〈…〉 m d s oder 〈…〉 , und so muſs es nothwendig eine gleich - artige Vertheilungsart geben, für welche jenes Integral einen Minimumwerth hat. Es mag nun hier im Voraus als eines der Ziele der folgenden[Untersuchungen] bezeichnet werden, zu be - weisen, daſs bei einer solchen Vertheilung, wo ∫ V m d s sei - nen Minimumwerth erhält, das Potential V in jedem Punkte der Fläche einerlei Werth haben wird, daſs dabei keine Theile der Fläche leer bleiben können, und daſs es nur eine einzige solche Vertheilung gibt. Der Kürze wegen wollen wir aber die Untersuchung schon von Anfang an in einer weiter um - fassenden Gestalt ausführen.
Es bedeute U eine Gröſse, die in jedem Punkte der Fläche einen bestimmten endlichen nach der Stetigkeit sich ändernden Werth hat. Es wird dann das Integral 〈…〉 über die ganze Fläche ausgedehnt, zwar nach Verschiedenheit der gleichartigen Vertheilung der Masse M, sehr ungleiche Werthe haben können; allein offenbar muſs für Eine solche Vertheilungsart ein Minimumwerth dieses Integrals Statt finden. Es soll nun ein Beweis gegeben werden für den
LEHRSATZ, daſs bei solcher Vertheilungsart
1. die Differenz V — U = W überall in der Fläche, wo sie wirklich mit Theilen von M belegt ist, einen constanten Werth haben wird;
422. daſs, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben, W in denselben gröſser sein muſs, oder wenigstens nicht klei - ner sein kann, als jener constante Werth.
I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt einer Vertheilungsweise eine andere unendlich wenig davon verschiedene angenommen wird, indem m + μ an die Stelle von m gesetzt wird, die daraus entspringende Variation von Ω durch 2 ∫ W μ d s ausgedrückt werden wird.
In der That ist, wenn wir die Variationen von Ω und V mit δΩ und δV bezeichnen, 〈…〉 Allein zugleich ist 〈…〉 , wie leicht aus dem Lehrsatze des 19 Artikels erhellet, indem δV nichts anders ist, als das Potential derjenigen Massenvertheilung, wobei μ die Dichtigkeit in jedem Flächenelemente vorstellt, und also was hier V, m, δV, μ ist, dort für V, K, v, k angenommen werden kann, so wie d s zugleich für d S und d s. Es wird folglich 〈…〉 .
II. Offenbar sind die Variationen μ allgemein an die Be - dingung geknüpft, daſs ∫ μ d s = 0 werden muſs; für die ge - genwärtige Untersuchung aber auch noch an die zweite, daſs μ in den unbelegten Theilen der Fläche, wenn solche vorhan - den sind, nicht negativ sein darf, weil sonst die Vertheilung aufhören würde, eine gleichartige zu sein.
III. Nehmen wir nun an, daſs bei einer bestimmten Ver - theilung von M ungleiche Werthe der Gröſse W in den ver - schiedenen Theilen der Fläche Statt finden. Es sei A eine Gröſse, die zwischen den ungleichen Werthen von W liegt; P das Stück der Fläche, wo die Werthe von W gröſser, Q dasjenige, wo sie kleiner sind, als A; es seien ferner p, q gleich groſse Stücke der Fläche, jenes zu P, dieses zu Q gehörig. Dies vorausgesetzt, legen wir der Variation von m überall in p den constanten negativen Werth μ = — ν, in q hingegen überall den positiven μ = ν, und in allen übrigen Theilen der Fläche den Werth 0 bei. Offenbar wird hiedurch der er - sten Bedingung in II Genüge geleistet; die zweite hingegen wird noch erfordern, daſs p keine unbelegte Theile enthalte,43 was immer bewirkt werden kann, wenn nur nicht das ganze Stück P unbelegt ist.
Der Erfolg hievon wird aber sein, daſs δ Ω einen negati - ven Werth erhält, wie man leicht sieht, wenn man diese Va - riation in die Form 2 ∫ (W — A) μ d s setzt.
Es erhellet hieraus, daſs wenn bei einer gegebenen Ver - theilung entweder in dem belegten Stücke der Fläche un - gleiche Werthe von W vorkommen, oder wenn, bei Statt fin - dender Gleichheit der Werthe in dem belegten Stücke, kleinere in dem nichtbelegten Theile angetroffen werden, durch eine abgeänderte Vertheilung eine Verminderung von Ω erreicht werden kann, und daſs folglich bei dem Minimumwerthe noth - wendig die in obigem Lehrsatze ausgesprochenen Bedingungen erfüllt sein müssen.
Wenn wir jetzt für unsern speciellern Fall (Art. 30), wo U = 0 ist, also W das bloſse Potential der auf die Fläche vertheilten Masse, und Ω das Integral ∫ V m d s bedeutet, mit dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels den im 28 Artikel angeführten verbinden, so folgt von selbst, daſs bei dem Mini - mumwerth von ∫ V m d s die Fläche gar keine unbelegte Theile haben kann; denn sonst würde, auch wenn die ganze Fläche eine geschlossene ist, der belegte Theil eine ungeschlossene und hinsichtlich derselben der unbelegte Theil als dem äuſsern Raume angehörig zu betrachten sein, mithin darin nach Art. 28 das Potential einen kleinern Werth haben müssen als in der beleg - ten Fläche, während der Lehrsatz des vorhergehenden Artikels einen kleinern Werth ausschlieſst.
Es ist also erwiesen, daſs es eine gleichartige Vertheilung einer gegebenen Masse über die ganze Fläche gibt, wobei kein Theil leer bleibt, und woraus ein in allen Punkten der Fläche gleiches Potential hervorgeht. Was zum vollständigen Beweise des im 30 Artikel aufgestellten Lehrsatzes jetzt noch fehlt, nemlich, die Nachweisung, daſs es nur Eine dies leistende Ver - theilungsart geben kann, wird weiter unten als Theil eines all - gemeineren Lehrsatzes erscheinen.
Daſs, wenn der Minimumwerth für ∫ V m d s Statt finden44 soll, kein Theil der Fläche unbelegt bleiben darf, kann offen - bar auch so ausgedrückt werden: Bei jeder Vertheilung, wobei ein endliches Stück der Fläche leer bleibt, erhält das Integral ∫ V m d s einen Werth, der den Minimumwerth um eine endliche Differenz übertrifft.
Der eigentliche Hauptnerv der im 31 Artikel entwickelten Beweisführung beruhet auf der Evidenz, mit welcher die Exi - stenz eines Minimumwerths für Ω unmittelbar erkannt wird, solange man sich auf die gleichartigen Vertheilungen einer ge - gebenen Masse beschränkt. Fände eine gleiche Evidenz auch ohne diese Beschränkung Statt, so würden die dortigen Schlüsse ohne weiteres zu dem Resultate führen, daſs es allemahl, wenn nicht eine gleichartige, doch eine ungleichartige Vertheilung der gege - benen Masse gibt, für welche W = V — U in allen Punkten der Fläche einen constanten Werth erhält, indem dann die zweite Be - dingung (Art. 31. II) wegfällt. Allein da jene Evidenz verlo - ren geht, sobald wir die Beschränkung auf gleichartige Verthei - lungen fallen lassen, so sind wir genöthigt, den strengen Be - weis jenes wichtigsten Satzes unserer ganzen Untersuchung auf einem etwas künstlichern Wege zu suchen. Der folgende scheint am einfachsten zum Ziele zu führen.
Wir betrachten zunächst drei verschiedene Massenverthei - lungen, bei welchen wir anstatt der unbestimmten Zeichen für Dichtigkeit m und Potential V folgende besondere gebrauchen:
Die Vertheilung I ist diejenige gleichartige der positiven Masse M, für welche ∫ V m d s seinen Minimumwerth erhält.
II ist die gleichartige Vertheilung derselben Masse M, für welche ∫ (V — 2ε U) m d s seinen Minimumwerth erhält, wo ε ei - nen beliebigen constanten Coefficienten bedeutet.
III hängt so von I und II ab, daſs μ = 〈…〉 , und ist also eine ungleichartige Vertheilung, in welcher die Ge - sammtmasse = 0 wird.
45Es ist nun nach dem im 31 Artikel bewiesenen constant V0 in der ganzen Fläche; V '— ε U in der Fläche, so weit sie bei der zweiten Vertheilung belegt ist, und daher in dem - selben Stücke der Fläche auch v — U, weil v = 〈…〉 .
Ob in der zweiten Vertheilung die ganze Fläche belegt ist, oder ob ein gröſseres oder kleineres Stück unbelegt bleibt, wird von dem Coefficienten ε abhangen. Da die zweite Ver - theilung in die erste übergeht, wenn ε = 0 wird, so wird all - gemein zu reden das für einen bestimmten Werth von ε unbe - legt gebliebene Stück der Fläche sich verengern, wenn ε ab - nimmt, und sich schon ganz füllen, ehe ε den Werth 0 er - reicht hat. In singulären Fällen aber kann es sich auch so verhalten, daſs immer ein Stück unbelegt bleibt, so lange ε von 0 verschieden ist und nicht das entgegengesetzte Zeichen an - nimmt. Für unsern Zweck ist es zureichend, ε unendlich klein anzunehmen, wo sich leicht nachweisen läſst, daſs jedenfalls kein endliches Flächenstück unbelegt bleiben kann. Denn im entgegengesetzten Falle würde nach der Schluſsbemerkung des Art. 32 das Integral ∫ V 'm' d s um einen endlichen Unterschied gröſser sein müssen als ∫ V0 m0 d s: wird dieser Unterschied mit e bezeichnet, so ist der Unterschied der beiden Integrale ∫ (V' — 2εU) m' d s — ∫ (V0 — 2εU) m0 d s = e — 2ε ∫ U (m' — m0) d s welcher für ein unendlichkleines ε einen positiven Werth be - hält, im Widerspruch mit der Voraussetzung, daſs ∫ (V — 2εU) m d s in der zweiten Vertheilung seinen Minimumwerth hat.
Man schlieſst hieraus, daſs wenn man in der dritteu Ver - theilung für μ den Grenzwerth von 〈…〉 , bei unendli - cher Abnahme von ε, annimmt, v — U in der ganzen Fläche einen constanten Werth hat.
Bilden wir nun eine vierte Vertheilung, wobei m = m0 + μ gesetzt wird, die ganze Masse also = M bleibt, so wird das daraus entspringende Potential = V0 + v sein, mithin in der ganzen Fläche die Gröſse U um die constante Differenz V0 + v — U übertreffen, wodurch also der oben ausgesprochene Lehrsatz erwiesen ist.
Es bleibt noch übrig, zu beweisen, daſs nur Eine Ver - theilungsart einer gegebenen Masse M möglich ist, bei welcher V — U in der ganzen Fläche constant ist. In der That, gäbe es zwei verschiedene dieſs leistende Vertheilungsarten, so würde, wenn man m und V in der ersten mit m', V ', in der zweiten mit m'', V '' bezeichnet, von einer dritten Massenvertheilung, in welcher m = m' — m' 'angenommen wird, das Potential = V' — V '' und folglich constant sein, und die Gesammt - masse = 0. Das constante Potential müſste daher nach Art. 27 nothwendig = 0 sein, und folglich nach Art. 28 auch m' — m' '= 0, oder die beiden Vertheilungen identisch.
Endlich muss noch erwähnt werden, daſs es immer eine Massenvertheilung gibt, wobei die Differenz V — U einen ge - gebenen constanten Werth erhält. Bedeutet nemlich α einen beliebigen constanten Coefficienten, so wird indem wir die Be - zeichnungen für die erste und dritte Vertheilung im vorherge - henden Artikel beibehalten, das Potential derjenigen Verthei - lung, wobei m = α m0 + μ angenommen wird, = αV0 + v sein, und dem constanten Unterschiede αV0 + v — U durch gehörige Bestimmung des Coefficienten α jeder beliebige Werth ertheilt werden können. Die Gesammtmasse dieser Vertheilung ist dann aber nicht mehr willkührlich, sondern = α M. Übri - gens erhellet auf dieselbe Art wie vorhin, daſs auch diese Ver - theilungsbedingung nur auf eine einzige Art erfüllt werden kann.
Die wirkliche Bestimmung der Vertheilung der Masse auf einer gegebenen Fläche für jede vorgeschriebene Form von U übersteigt in den meisten Fällen die Kräfte der Analyse in ih - rem gegenwärtigen Zustande. Der einfachste Fall, wo sie in unsrer Gewalt ist, ist der einer ganzen Kugelfläche; wir wollen jedoch sofort den allgemeinern behandeln, wo die Fläche von der Kugelfläche sehr wenig abweicht, und Gröſsen von höhe - rer Ordnung, als die Abweichung selbst, vernachlässigt werden dürfen.
Es sei R der Halbmesser der Kugel, r die Entfernung je -47 des Punktes im Raume von ihrem Mittelpunkte, u der Winkel zwischen r und einer festen geraden Linie, λ der Winkel zwi - schen der durch diese gerade Linie und r gelegten Ebene und einer festen Ebene. Der Abstand eines unbestimmten Punktes in der gegebenen geschlossenen Fläche vom Mittelpunkte der Kugel sei = R (1 + γ z), wo γ ein constanter sehr kleiner Factor ist, dessen höhere Potenzen vernachlässigt werden, z hingegen eben so wie U Functionen von u und λ.
Das Potential V der auf die Kugelfläche vertheilten Masse wird in jedem Punkte des äuſsern Raumes durch eine nach Potenzen von r fallende Reihe ausgedrückt werden, welcher wir die Form geben 〈…〉 in jedem Punkte des innern Raumes hingegen durch die stei - gende Reihe 〈…〉 Die Coefficienten A0, A', A' 'u. s. f. sind Functionen von u und λ, welche bekannten partiellen Differentialgleichungen Genüge leisten (S. Resultate 1838 S. 22.), und eben so B0, B', B'' u. s. f. Auf der vorgegebenen Fläche soll nun das Potential einer gegebenen Function von u und λ gleich werden, nemlich V = U, also 〈…〉 Nehmen wir also an, daſs (1 + γ z) ½ U in eine Reihe P0 + P' + P' '+ P'' '+ u. s. w. entwickelt sei, dergestalt, daſs die einzelnen Glieder P0, P', P'', P' '' u. s. f. gleichfalls den gedachten Differentialgleichungen Genüge leisten, und erwägen, daſs die beiden obigen Reihen für das Potential bis zur Fläche selbst gültig bleiben müssen, so erhellet, daſs 〈…〉 sein wird. Wir schlieſsen hieraus, daſs, wenn man Gröſsen48 der Ordnung γ vernachlässigt, P0 + P' + P' '+ u. s. f. = A0 + A' + A'' + u. s. f. und also (da eine Function von u, λ nur auf Eine Art in eine Reihe entwickelt werden kann, deren Glieder den erwähnten Differentialgleichungen Genüge leisten) P0 = A0, P' = A', P' '= A'' u. s. f. Eben so wird, Gröſsen der Ordnung γ vernachlässigt, P0 = B0, P' = B', P' '= B'' u. s. f.
Setzt man also (I) 〈…〉 u. s. f. wo offenbar auch a0, a', a' ', a'' 'u. s. f., imgleichen b0, b', b'', b' '' u. s. f. den erwähnten Differentialgleichungen Genüge lei - sten werden, und substituirt diese Werthe in den obigen Glei - chungen, indem man dabei Gröſsen von der Ordnung γγ vernach - lässigt, so wird, nachdem mit γ dividirt ist, bis auf Fehler von der Ordnung γ genau 〈…〉 Es ist also bis auf Fehler der Ordnung γ genau, 〈…〉 und folglich, bis auf Fehler der Ordnung γ γ genau, (II) 〈…〉
Der Differentialquotient 〈…〉 hat in der Fläche selbst zwei verschiedene Werthe, und der auf ein negatives d r oder auf die innere Seite sich beziehende übertrifft den auf der äuſsern Seite geltenden um 4 π m cos θ, wenn m die Dichtigkeit an der Durchschnittsstelle und θ den Winkel zwischen r und der Normale bezeichnet (Art. 13, wo t, A, k0 dasselbe bedeuten was hier r, θ, m sind). Man findet diese beiden Werthe, wenn man die beiden im innern und äuſsern Raume geltenden Ausdrücke für V nach r differentiirt, und dann r = R (1 + γ z) setzt. Es ist also der erste =49 〈…〉 und der zweite 〈…〉
Wir haben also, wenn wir die Differenz mit R (1 + γ z) 3 / 2 multipliciren, 4 π m R cos θ. (1 + γ z) 3 / 2 = 〈…〉 Substituiren wir hierin statt A0, A' u. s. f. die Werthe aus I, und statt B0, B' u. s. w. die Werthe aus II, und lassen weg, was von der Ordnung γ γ ist, so erhalten wir 〈…〉 folglich, da die beiden letzten Reihen bis auf Gröſsen der Ord - nung γ γ einander destruiren, 〈…〉 womit die Aufgabe gelöset ist. Anstatt (1 + γ z) — 3 / 2 kann man auch schreiben 1 — 3 / 2 γ z, und den Divisor cos θ weglassen, in - sofern, wenigstens allgemein zu reden, θ von der Ordnung γ, und also cos θ von 1 nur um eine Gröſse der Ordnung γ γ verschieden ist.
Für den Fall einer Kugel, wo γ = 0, hat man in aller Schärfe 〈…〉 indem P0 + P' + P' '+ P'' '+ u. s. f. die Entwicklung von U selbst vorstellt.
Die Gröſse U ist in den bisherigen Untersuchungen unbe - stimmt gelassen: die Anwendung derselben auf den Fall, wo für U das Potential eines gegebenen Massensystems angenom - men wird, bahnt uns nun den Weg zu folgendem wichtigen
450LEHRSATZ. Anstatt einer beliebigen gegebenen Massen - vertheilung D, welche entweder bloſs auf den innern von einer geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt ist, oder bloſs auf den äuſsern Raum, lässt sich eine Massenvertheilung E bloſs auf der Fläche selbst substituiren, mit dem Erfolge, daſs die Wirkung von E der Wirkung von D gleich wird, in allen Punkten des äuſsern Raumes für den ersten Fall, oder in allen Punkten des innern Raumes für den zweiten.
Es wird dazu nur erfordert, daſs, indem das Potential von D in jedem Punkte von S mit U, das Potential von E hinge - gen mit V bezeichnet wird, in der ganzen Fläche für den er - sten Fall V — U = 0, für den zweiten aber nur constant werde. Es wird nemlich — U das Potential einer Vertheilung D' sein, die der D entgegengesetzt ist (so daſs an die Stelle jedes Massentheils ein entgegengesetztes tritt), also V — U das Potential der zugleich bestehenden Vertheilungen D' und E; die Wirkungen daraus werden sich folglich im ersten Fall im ganzen äuſsern Raume, im zweiten im ganzen innern destrui - ren (Artt. 27 und 25), oder die Wirkungen von D und E wer - den in den betreffenden Räumen gleich sein. Übrigens wird die ganze Masse in E für den ersten Fall der Masse in D gleich sein, im zweiten aber willkürlich bleiben.
Der Lehrsatz, welcher in der Intensitas vis magneticae S. 10 angekündigt, und auch in der Allgemeinen Theorie des Erd - magnetismus an verschiedenen Stellen angeführt ist, erscheint jetzt als ein specieller Fall des hier bewiesenen.
Obgleich, wie schon im 35 Artikel bemerkt ist, die wirk - liche vollständige Ausmittelung der Vertheilung E in den mei - sten Fällen unüberwindliche Schwierigkeiten darbietet, so gibt es doch einen, wo sie mit groſser Leichtigkeit geschehen kann, und der hier noch besonders angeführt zu werden verdient. Dies ist nemlich der, wo U constant, also S eine Gleichge - wichtsfläche für das gegebene Massensystem D ist. Man sieht leicht, daſs hier nur von dem Falle die Rede zu sein braucht, wo D im innern Raume angenommen wird, und nicht die Ge - sammtmasse = 0 ist, da sonst gar keine Wirkung da sein51 würde, die durch eine Massenvertheilung auf S erzetzt zu wer - den brauchte.
Es sei O ein Punkt der Fläche S, und r eine gerade Linie, welche die Fläche daselbst unter rechten Winkeln schneidet, und in der Richtung von Innen nach Auſsen als wachsend be - trachtet wird; es sei ferner — C der Werth des Differential - quotienten 〈…〉 in O, und m die Dichtigkeit, welche bei der Massenvertheilung E in O Statt hat. Der Differentialquotient 〈…〉 wird in O zwei verschiedne Werthe haben; der auf die äuſsere Seite sich beziehende wird, weil in der Fläche und im ganzen äuſsern Raume V = U ist, dem Differentialquotienten 〈…〉 gleich, also = — C sein; der auf die innere Seite sich be - ziehende hingegen = 0, weil V in der Fläche und im ganzen innern Raume constant ist. Da nun aber der zweite Werth um 4 π m gröſser ist als der erste, so haben wir 4 π m = C oder m = 〈…〉 . Offenbar ist C nichts anderes, als die aus der Massenvertheilung D entspringende Kraft, und hat mit der Ge - sammtmasse einerlei Zeichen.
CLARIN-DNote: Langfristige Bereitstellung der DTA-Ausgabe
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