1.

Wenn ein Balken oder Stein, von der Geſtalt ei - nes Prisma, A B (1 Fig.) bey ſeinen Enden A und B auf zwo Unterlagen C und D gelegt wird, ſo iſt offen - bar, daß jede Unterlage die Haͤlfte ſeiner Laſt tragen muͤſſe:

Werden beyde Ende dieſes Balkens (2. und 3. Fig.) an Seile gebunden, dieſe uͤber Rollen gezogen, und zwey Gewichte daran gehaͤngt, deren jedes halb ſo ſchwer iſt, als der Balken, ſo bleibt alles im Gleich - gewicht, der Balken mag wagerecht (2. Fig.) oder ſchief (3. Fig.) aufgehaͤngt werden; vorausgeſeßt, daß der Balken frey haͤngt, daß die Seile parallel ziehen, und daß ihre eigene Schwere nicht in Betrachtung komme.

2.

Lehnen wir dieſen Balken an eine ſenkrechte Flaͤ - che X Z (4. Fig.) z. B. an eine glatte Mauer, ſo muͤſ - ſen ſeine Ende A und B durch zwo eben ſo groſſe Kraͤf - te als die Seile zu ziehen hatten, unterſtuͤtzt werden. Wir wollen dieſe Kraͤfte, oder die halben Laſten des Balkens durch zwo gleiche Linien A E und B F aus - druͤcken. Die Richtung der Laſt A E iſt zur Mauer parallel, ſie kann alſo von derſelben nicht erhalten wer - den; ziehen wir aber E C ſenkrecht auf X Z, und er - gaͤnzen das Parallelogramm A C E D, ſo wird die Laſt A E in A C und A D aufgeloͤſet. Die erſte A D wirkt ſenkrecht auf die Mauer, und wird von derſelbena 4ganz8ganz erhalten: die zweite A C muß vom Balken ſelbſt erhalten werden; ſie geht nach ſeiner Richtung in dem - ſelben fort, und aͤuſſert ſich bey B. Wir haben daher bey dem unteren Ende B zwo Kraͤfte, B I (= A C) und B F (= A E) zu betrachten, welche durch das Parallelo - gramm B I K F zuſammengeſetzt, die Kraft B K geben, womit der angelehnte Balken bey B gegen ſeine Wi - derlage druͤckt, und die unterſtuͤtzt werden muß, wenn der Balken nicht weichen oder fallen ſoll.

3.

Wenn wir ſtatt der Flaͤche X Z von der andern Seite einen gleichen Balken a b unter dem Winkel Z a b entgegenlehnen, und die Laſt a e (= A E) durch das Parallelogramm a c e d in a d und a c zerlegen, ſo ſind die Kraͤfte A D und a d einander gleich, und ent - gegengeſetzt; ſie heben daher einander auf, und am Ende des Balkens b aͤuſſert ſich die Kraft b k (= B K) u. ſ. w. Daher gilt alles, was immer fuͤr eine Seite angefuͤh - ret wird, auch fuͤr die andere.

4.

Weil die Kraft B I (= A C) aus B G (= C E) und G I (= A E = B F = F H) zuſammengeſetzt iſt, ſo zerfaͤllt B K in B G und B H (= B F + F H = B F + A E). Die letztere B H wirkt ſenkrecht auf den Horizont, und iſt der ganzen Laſt des Balkens gleich: die erſtere B G aber wird durch den Winkel C A E, und durch die hal - be Laſt des Balkens A E beſtimmt; denn wenn wir die ganze Laſt des Balkens p nennen, ſo iſt C E = A E. Tang. B A Z = ½ p. Tang. ½ B A b.

Hieraus laͤßt ſich leicht der Druck berechnen, womit die gemeinen Daͤcher auf ihre Widerlagen druͤcken. Denn derſelbe iſt immer aus zween zu - ſammengeſetzt, wovon einer (B H) ſenkrecht wirkt,und9und der Laſt von einer Seite des Daches gleich iſt: der andere (B G) wirkt wagerecht, und iſt gleich dem Produkte aus der halben Laſt der Dachſeite in die Tangente des halben Winkels, den die Sparren miteinander machen.

5.

Auch die Frage, ob die hoͤheren teutſchen, oder niedern waͤlſchen Daͤcher ihre Widerlagen mehr be - ſchweren, laͤßt ſich hieraus leicht beantworten. Denn der ſenkrechte Druck B H waͤchſt offenbar mit der Groͤſſe des Daches; er faͤllt aber ganz in die Rich - tung der Seitenmauern, und traͤgt oft noch zur Feſtig - keit des Gebaͤudes bey, wie wir in der Folge ſehen werden. Der wagerechte Druck B G verhaͤlt ſich bey zwo Dachſeiten A B, C B, (5. Fig.) wie ½ A B Tang. B A Z: ½ C B Tang. B C Z = (weil im Dreyeck B A C, B A: B C = Sin. B C Z: Sin. B A Z) 〈…〉 : 〈…〉 = Coſec. A B Z: Coſec. C B Z; und iſt da - her um ſo groͤſſer, je niedriger das Dach iſt.

Der aus beyden zuſammengeſetzte Druck B K (4. Fig.) iſt = 〈…〉 = 〈…〉 = 〈…〉 = (wegen p = B A = 〈…〉 . Dieſer Ausdruck wird unendlich, ſowohl wenn die Hoͤ - he des Daches A Z = o, als auch wenn ſie unendlich groß iſt; er hat daher ein Kleinſtes, welches erhalten wird wenn das Differenziale der letzteren Formel (in wel - cher die halbe Breite des Gebaͤudes B Z = b, und die veraͤnderliche Hoͤhe des Daches A Z = x geſetzet wird) a 5ver -10verſchwindet. Hieraus iſt 2 A Z2 = B Z2; und A B Z = 35° 161.

6.

Wollen wir den Sparren A B (6. Fig.) noch mit einem anderen B M unterſtuͤtzen, ſo hat dieſer bey B, nebſt der Laſt B K noch die Haͤlfte ſeiner eigenen Schwe - re (= H L) zu tragen; die Diagonale des Parallelo - gramms B G N L giebt daher die Richtung, nach wel - cher dieſer untere Sparren B M geſtellet werden muß, damit die Richtung des ganzen Druckes nicht auſſer der Baſis M falle. Bey M koͤmmt wieder die Kraft M O (= B N) mit der andern Haͤlfte ſeiner eigenen Schwere (P R) zuſammen; dieſe geben mit einander die Kraft M Q, womit beede Sparren bey M auf die Widerlage druͤcken.

Wollte man unter dieſe zween noch einen dritten M S ſetzen, ſo muͤßte wieder M Q mit der Haͤlfte ſeiner Laſt (= R T) zuſammengeſetzt werden: die Diagonale M S gaͤbe die Richtung, nach welcher derſelbe geſtellet werden muͤßte, und zugleich die Kraft, mit der er bey ſeinem unteren Ende U druͤckte u. ſ. w.

7.

Hieraus ergeben ſich folgende Saͤtze:

I. Weil C E = G B = N L = V M = S T u. ſ. w., ſo iſt offenbar, daß der wagerechte Druck einer - ley Groͤſſe behalte, wir moͤgen ſo viel Balken un - tereinander ſetzen, als wir wollen.

II. A E war (§. 2) die halbe Laſt des oberſten Sparrens; B L war (§. 4 und §. 6) die ganze Laſt des oberen, mehr der halben Laſt des zweiten; M T war (§. 6) die ganze Laſt der erſten zween, mehr der halben Laſt des dritten u. ſ. w.; wenn daher alle Sparren gleich ſchwer ſind, ſo ſteigt der ſenkrechte Druckan11an den Winkeln A, B, M … = ½: 1½: 2½ .... = 1: 3: 5 … d. i. wie die ungeraden Zahlen.

III. Weil endlich Tang. A B Z = Tang. A C E = 〈…〉 ; Tang. B M ϒ = 〈…〉 ; Tang. M U X = 〈…〉 … ſo iſt (wegen C E = L N = S T …) Tang. A B Z: Tang. B M ϒ: Tang. M U X … = A E: B L: M T … d. i. die Tangenten der Winkel, welche die Spar - ren mit dem Horizonte machen, verhalten ſich wie die Laſten an den Punkten A, B, M …, oder wenn die Sparren einander gleich ſind, wie die ungeraden Zahlen 1: 3: 5 …

8.

Der letzte Satz gieht uns eine leichte Methode die Lage der Sparren durch eine Zeichnung zu finden. Wenn der Winkel A B C (7. Fig.) den der obere Dach - ſparren mit dem Horizonte macht, mit Ruͤckſicht auf das Clima beſtimmt worden, und beede Sparren ein - ander gleich ſeyn ſollen, ſo mache man A C = A D = D E oder C E = 3 A C, ſo giebt die gerade Linie E B M die Lage des unteren Sparrens B M.

Soll die Hoͤhe des Daches A G (8. u. 9. Fig.) der halben Breite C G gleich ſeyn, ſo nehme man die ganze Breite des Gebaͤudes C c (8 Fig.) zum Radius, und mache mit demſelben erſtens aus C und c bey D, und hernach aus A in der verlaͤngerten Breite C c bey E und e Durchſchnitte. Werden endlich die Linien A E, A e, C D und c D gezogen, ſo iſt C B A b c die Zeichnung des gebrochenen Daches. — Denn wir haben Tang. 〈…〉 12 〈…〉 〈…〉 .

Oder man beſchreibe uͤber der gegebenen Breite C c (9. Fig.) den halben Kreis C A c, und theile jeden Vier - telkreis in drey gleiche Theile, welches geſchieht, wenn die Sehnen A D, C E, A d, und c e, dem Halbmeſſer A G gleich gemacht werden; ſo geben die Linien C B und B A, c b und b A die Lage der Sparren. — Denn der Winkel A B b (= A D d) hat zu ſeinem Maße ½ A d = 30°, und der Winkel E C c hat zu ſeinem Maße ½ E e c = 60°; daher iſt Tang. A B b: Tang. B C G = Tang. 30°: Tang. 60° = 1: 3

9.

In dieſem Falle iſt der horizontale Druck des gebrochenen Daches = ½ A B. Tang. B A F = ½ A B. 〈…〉 ; und der wagerechte Druck des einfachen Daches A C iſt = ½ A C Tang. C A G = ½ A C. Weil aber im Dreyeck C B A, A B: A C = Sin. A C B: Sin. A B C = Sin. 15°: Sin. 30° = 1: 2 Coſ. 15° = 1: 1,9218; ſo verhaͤlt ſich der wagerechte Druck des ge - brochenen zum wagerechten Druck des einfachen Daches wie 〈…〉 beynahe. Die gebrochenen Daͤcher gewaͤhren daher, nebſt dem, daß ſie mehr in - neren Raum verſchaffen, und daß ſie ſich mit kuͤrzerem Holze ausfuͤhren laſſen, auch noch den Vortheil, daß der wagerechte Druck, der in jedem Gebaͤude der ge - faͤhrlichſte iſt, kleiner wird.

10.

Die Linie B K (4. Fig.) zeigt die Richtung, nach welcher der obere Sparren auf den unteren wirkt. Wird13Wird hierauf die ſenkrechte Linie m n gezogen, und werden die Sparren A B und B M (6. Fig.) nach eben dieſer Linie zuſammengefuͤget, ſo ſteht die Richtung ihres wech - ſelſeitigen Druckes auf einander ſenkrecht, und am ſicherſten.

11.

Was bisher von der Zuſammenſetzung der Dach - ſparren geſagt worden, gilt auch von der Stellung der Gewoͤlbſteine, wenn ſie ſelbſt einander das Gleichge - wicht halten ſollen: die Tangente des Winkels den je - der Gewoͤlbſtein mit dem Horizonte macht, muß hier ebenfalls der Haͤlfte ſeiner eigenen Schwere ſammt der Laſt aller daruͤber liegenden Gewoͤlbſteine bis an den Schlußpunkt des Gewoͤlbes proportional ſeyn. Die Zeichnung (§. 8.) laͤßt ſich hier allgemein anwenden.

Sind die Gewoͤlbſteine von einerley Dicke, ſo trage man ihre Laͤngen auf die Senkellinie A X (10. Fig.) nach der Ordnung auf, ſo daß A B = A b, B C = b c, C D = c d u. ſ. w., und theile eine jede davon in zween gleiche Theile, A 1 = 1 b, b 2 = 2 c u. ſ. w.; wird endlich der Winkel A 1 O, den der obere Gewoͤlb - ſtein mit dem Horizonte macht, oder die Normallinie A O angenommen, ſo geben die Linien 1 O, 2 O, 3 O, u. ſ. w. die Richtungen fuͤr alle Gewoͤlbſteine; naͤm - lich: der erſte A B iſt parallel mit 1 O, der zweite B C iſt parallel mit 2 O, der dritte C D mit 3 O u. ſ. w.

Sind aber die Gewoͤlbſteine von ungleicher Dicke und Schwere, ſo muß (11. Fig.) die Linie A b dem Gewicht des erſten, b c dem Gewicht des zweiten, c d dem Gewicht des dritten u. ſ. w. proportional gemacht, und jede davon nach der Entfernung des Schwerpunktes von einem Ende deſſelben, in α, β, γ, .... getheilt werden; dann wird wieder die Lage eines jeden durch die zugehoͤrige Linie α M, β M, γ M .... beſtimmt.

12.

Je kleiner die Gewoͤlbſteine angenommen wer - den, deſto mehr naͤhert ſich das erhaltene Polygon ei - ner regulaͤren Kruͤmme. Ziehen wir fuͤr einen belie - bigen Gewoͤlbſtein E F (10. Fig.) die wagerechten Li - nien E K, F N, die Senkrechte E I, und ſetzen A C E = s, E F = d s, E I = d y, F I = d x, ſo iſt Tang. 〈…〉 ; und wenn endlich das beſtaͤndige Verhaͤltniß, in welchem die Tangente des Winkels E F I mit der zugehoͤrigen Laſt ſtehet, durch 1: m ausgedruͤcket wird, ſo iſt 〈…〉 . Dieß iſt die bekannte Gleichung fuͤr die Kettenlinie; daher giebt uns jede Kette oder lockere Schnur, die an beyden Enden feſtgemacht, und in der Mitte ſo tief hinabgelaſſen worden, als die Hoͤhe des Gewoͤl - bes werden ſoll, die vortheilhafteſte Zeichung der Lehr - linie fuͤr ein Gewoͤlb, das durchaus einerley Dicke hat.

Geometriſch laͤßt ſich die Kettenlinie zeichnen, wenn wir die endliche Gleichung fuͤr ihre Coordinaten x und y ſuchen. Wir haben vorhin erhalten 〈…〉 , daher m d y = s d x; werden hievon beyde Theile qua - driret, und s2 d y2 zu beyden addiret, ſo iſt (m2 + s2) d y2 〈…〉 .

Im Scheitelpunkte iſt s = o, daher y = m. Hiedurch wird (12 Fig.) die Ordinate A N im Schei - telpunkte, oder die Entfernung der Abſciſſenlinie N P vom Scheitelpunkt der Kettenlinie A beſtimmt.

Wenn wir den Werth von s aus der letzteren Gleichung in die erſte ſetzen, ſo iſt 〈…〉 ; daher 〈…〉 ; und x = m. k. Logar. 〈…〉 , wo k den natuͤrlichen Loga - rithmus der Grundzahl 10 (= 2, 302585) bedeutet, wenn wir uns der brighiſchen Logarithmen bedienen wollen: oder wenn wir die Grundzahl der natuͤrlichen Logarithmen (= 2, 718282) e nennen, ſo iſt 〈…〉 〈…〉 In dieſer Gleichung erhaͤlt offenbar y einerley Werth, wir moͤgen x poſitiv oder negativ nehmen; die Kettenlinie S R A r s wird daher durch die gerade Linie N M in zwo gleiche Haͤlften getheilet, und wir brauchen nur die Coordinaten fuͤr die poſitiven Abſciſſen zu be - rechnen, womit wir ſchon die ganze Kettenlinie kon - ſtruiren koͤnnen.

Wenn wir zur leichteren Rechnung m = 10 ſe - tzen, ſo erhalten die zuſammengehoͤrigen Coordinaten folgende Werthe:

Wir koͤnnen nun was immer fuͤr einen Maß - ſtab zur Hand nehmen, und von demſelben die Ab - ſciſſen N 1 = 1, N 2 = 2, u. ſ. w. von beyden Seiten des Anfangspunktes N auftragen. Ziehen wir durch alle Punkte 0, 1, 2, 3 … ſenkrechte Linien, und tragen auf jede derſelben die zugehoͤrige Ordinate y aus der vorhergehenden Tafel auf, ſo liegen alle ge - fundenen Punkte in der Kettenlinie, wodurch eine fortlaufende krumme Linie ohne Schwierigkeit gezogen werden kann.

13.

Die bisher vorgetragene Theorie ſetzt voraus, daß das Gewoͤlb durchaus einerley Dicke, und nichts weiter zu tragen habe, als ſeine eigene Schwere. Weil aber dieſer Fall ſelten iſt, und meiſtens die Gewoͤlbe zu dem Ende erbauet werden, daß ſie noch eine Laſt tragen, ſo wollen wir den gewoͤhnlichſten Fall, wenn die daruͤber liegende Laſt ſich oben mit einer wagrech - ten Linie endiget, z. B. bey Bruͤcken, Gewoͤlben in Wohngebaͤuden u. dgl. naͤher unterſuchen. H N C (13 Fig.) ſey die oberſte Flaͤche einer Bruͤcke, A E e ſey die erfoderliche Woͤlbung, und E e ein beliebiges Element derſelben; H E, h e zwo ſenkrechte Linien auf N H, und e f ſenkrecht auf H E f; A N = b, N H = x, H E = y, E f = d y, e f = h H = d x. Weil die Tangente des Winkels E e f (= 〈…〉 ) mit der Laſt N A E H (= ∫ y d x) in einem beſtaͤn - digen Verhaͤltniß (= 1: m 2) ſtehen muß, ſo haben wir die Gleichung 〈…〉 . Laſſen wir d x beſtaͤndig, ſo iſt 〈…〉 , oder17 〈…〉 .

Hieraus ſehen wir, daß fuͤr den Fall b = m, die verlangte Lehrlinie wieder die naͤmliche Kettenlinie iſt, die wir oben (§. 12) gefunden haben; wenn aber b groͤſſer oder kleiner iſt als m, ſo ſtehen die Ordina - ten unſerer Lehrlinie mit den Ordinaten der Kettenli - nie, fuͤr einerley Abſciſſen, in dem beſtaͤndigen Ver - haͤltniß b: m. Wir koͤnnen alſo die Ordinaten der Kettenlinie A R S (14. Fig.) in jedem beſtimmten Ver - haͤltniß theilen (O r: O R = N a: N A), oder ver - laͤngern (O R: O R = N A: N A), und durch al - le erhaltenen Punkte r r a r r, oder R R A R R eine krumme Linie ziehen, ſo erhalten wir immer eine Woͤlbungslinie, welche die daruͤber liegende Laſt bis an die Abſciſſenlinie O O N O O traͤgt, und im Gleich - gewicht erhaͤlt. Auch folgt noch ferner, daß in jeder Flaͤche s r a a' r 's', die zwiſchen zwo Woͤlbungslinien s r a, s' r' a' liegt, ſich gleichfalls alles im Gleich - gewicht erhalte. Weil aber durch jede Ordinate N n, oder O r unendlich viel Woͤlbungslinien gezogen wer - den koͤnnen, ſo iſt hiedurch nicht blos die Woͤlbungs - linie, ſondern die ganze Maſſe des Gewoͤlbes ins Gleich - gewicht gebracht.

14.

Hieraus fließen folgende allgemeine Anmer - kungen:

I. Fuͤr Gewoͤlbe, welche durchaus einerley Dicke, und nichts als ihre eigene Laſt zu tragen haben, gehoͤret die gemeine Kettenlinie.

II. Gewoͤlbe, welche wagerecht ausgefuͤllet werden, muͤſſen nach einer Kruͤmme aus der Ver - wandtſchaft der Kettenlinien erbauet werden, wovon die oberſte wagrechte Linie immer die Abſciſſenli - nie iſt.

III. Je kleiner N a, oder je ſchwaͤcher das Gewoͤlb beym Schlußpunkt iſt, deſto flaͤcher wird die Lehrlinie s r r a, und je groͤſſer N A, oder je ſtaͤrker das Gewoͤlbe, deſto gebogener iſt die Woͤlbung, fuͤr einerley Breite

IV. Die Laͤngen der Gewoͤlbſteine ſollen von einer Woͤlbungslinie s' r 'r' bis an die andere s r r reichen (15. Fig.)

V. Ihre Seitenflaͤchen r r 'ſollen auf alle Woͤlbungslinien, die durch ihre Dicke hindurchgehen, ſenkrecht ſeyn. Hiezu waͤre zwar noͤthig, daß dieſe Seitenflaͤchen ſelbſt nach einer krummen Linie gehauen wuͤrden, ihre Laͤnge iſt aber ſelten ſo betraͤchtlich, daß dieſe Kruͤmmung von einer geraden Linie merklich un - terſchieden waͤre.

VI. Die Laͤnge der Gewoͤlbſteine richtet ſich nach ihrer Guͤte, und nach der Laſt, welche getragen werden ſoll. Dieſe Umſtaͤnde muͤſſen die Wahl be - ſtimmen, die ein Baumeiſter unter der unendlichenAn -19Anzahl der angezeigten Lehrlinien (14. Fig.) zu ma - chen hat.

VII. Die Lehrlinien ſind um ſo weniger von einem Zirkelbogen unterſchieden, je flaͤcher ſie ſind. Nur wird es darauf ankommen, daß der Baumeiſter fuͤr jeden Fall denjenigen Halbmeſſer angeben moͤge, welcher von der zugehoͤrigen Woͤlbungslinie am wenig - ſten abweicht.

VIII. Bey dem Schlußpunkt A (16. Fig.) wird die Flaͤche N A E H (= ∫. y d x) = o, daher iſt auch daſelbſt Tang〈…〉〈…〉 〈…〉 , folglich der Winkel E A F ein rechter Winkel. Eben ſo iſt auch e A F ein rechter Winkel. Die gothiſchen Gewoͤlbe ſind demnach der Natur nicht angemeſſen. Es giebt jedoch Faͤlle, wo ſelbſt unſere Grundſaͤtze ein Eck in der Lehrlinie erfodern: an dem Orte naͤmlich, wo eine beſondere Laſt auf das Gewoͤlb geſetzt werden ſollte; da aber die - ſer Fall wider die ſcheinbare Feſtigkeit und wider den guten Geſchmack in der Baukunſt iſt, ſo waͤre es uͤberfluͤßig, eine beſondere Berechnung hieruͤber an - zufuͤhren.

Von Logarithmen und Exponentialgroͤſſen.

18. Die Logarithmen aller Syſteme haben folgende Eigenſchaften gemein, daß ſie die Multiplication und Divi - ſion zwoer Zahlen in die Addition und Subtraction ihrer Logarithmen, die Erhebung auf Potenzen, oder Ausziehung der Wurzeln in die Multiplication oder Diviſion des Lo - garithmen mit der gegebenen Potenzzahl verwandeln.

19. Die Logarithmen zwoer Zahlen in zwey verſchie - denen Syſtemen ſtehen mit einander in einem beſtaͤndigenb 3Ver -22Verhaͤltniß. Hieraus laſſen ſich die Logarithmen aller uͤbrigen Syſteme berechnen, wenn ſie fuͤr ein Syſtem bekannt ſind.

20. Vortheile des gemeinen oder brighiſchen Syſtems.

21. Erklaͤrung der hypothetiſchen Logarithmen, der - gleichen in den trigonometriſchen Tafeln gebraucht wer - den: Regeln, welche bey der Multiplikation, Diviſion, Er - hebung auf Potenzen, oder Ausziehung der Wurzeln mit dieſen Logarithmen zu beobachten ſind.

22. Den Logarithmus einer jeden Zahl durch eine unendliche Reihe ausdruͤcken.

23. Fuͤr jede Zahl den natuͤrlichen Logarithmus durch die Annaͤherung finden.

24. Die gefundenen natuͤrlichen Logarithmen in ge - meine fuͤr die Grundzahl 10, oder fuͤr jede beliebige Grund - zahl verwandeln

25. Jede Exponentialgroͤſſe in eine unendliche Reihe aufloͤſen, oder aus dem gegebenen Logarithmen und der Grundzahl des Syſtems die zugehoͤrige Zahl beſtimmen.

26. Die Grundzahl der natuͤrlichen Logarithmen fin - den.

Von trigonometriſchen Linien.

27. Allgemeine Ausdruͤcke fuͤr alle Boͤgen, die einer - ley Sinus und Coſinus haben.

28. Formeln fuͤr den Sinus und Coſinus, fuͤr die Tangente und Cotangente der Summe und des Unterſchieds zweener Boͤgen.

29. Formeln, wodurch die Produkte der erſteren in Summen oder Unterſchiede einzelner Sinuſſe und Coſinuſſe aufgeloͤſet werden.

30. Den Sinus und Coſinus eines jeden Bogens durch eine unendliche Reihe ausdruͤcken.

31. Anwendung der trigonometriſchen Linien zur Erfindung aller moͤglichen einfachen und doppelten Fakto - ren von folgenden Gleichungen: + xm ± am = o; x2m ± 2am xm Cos. g + a2m = o.

32. Eine neue Methode die Gleichungen des dritten Grades in jenem Falle aufzuloͤſen, wenn alle drey Wur - zeln moͤglich ſind, oder wenn die Aufloͤſung nach der Car - daniſchen Methode unmoͤglich wird.

33. Jede Zahl hat nebſt einem moͤglichen noch un - endlich viel unmoͤgliche Logarithmen, die alle in der For -mel23mel Log. 〈…〉 enthalten ſind, in welcher Log. z den moͤglichen Logarithmus der Zahl z, 2π die Peri - pherie des Kreiſes fuͤr den Halbmeſſer 1, k den natuͤrli - chen Logarithmus der Grundzahl, und m eine jede beliebi - ge ganze Zahl bedeutet.

Von unendlichen Reihen.

34. Methode, alle gebrochenen rationalen Funktionen in wiederkehrende Reihen aufzuloͤſen, d. i. fuͤr jeden Fall a) die Potenz des erſten Gliedes, b) die gemeinſchaftliche Differenz der Exponentenfolge, und c) das Geſetz zu fin - den, nach welchem alle folgenden Coefficienten aus den Vor - hergehenden beſtimmt werden.

35. Die Aufgabe des Newtoniſchen Parallelogram - mes: oder wenn in einer Gleichung zwo Unbekannte vor - handen ſind, eine durch eine unendliche Reihe der andern auszudruͤcken.

36. Jede Reihe umzukehren. Vorſicht dabey, wenn das erſte Glied eine beſtaͤndige Groͤſſe iſt.

37. Die Laͤnge des Kreisbogens durch ſeinen Sinus oder Coſinus auszudruͤcken.

38. Die Reihen in andere zu verwandeln, wo die Coefficienten aus den Differenzen der Coefficienten der ge - gebenen Reihe genommen werden.

39. Reihen, fuͤr welche die n te Differenz der Coeffi - cienten beſtaͤndig iſt, ſummiren.

40. Jede Reihe, in der ſich die Zeichen der Glieder wechſelweiſe aͤndern, in eine fallende verwandeln.