§ 1. Plan. Der Operationskreis der Algebra der binären Relative.

α) Es ist eine grossartige Disziplin, reich an Ausdrucksmitteln und mächtigen Schlussmethoden, fast überreich an Sätzen, wenn auch von unvergleichlichem Ebenmaasse, in welche ich versuchen will den Leser hiermit einzuführen.

Dürften auch ihre ersten Anfänge — mit Augustus De Morgan — kaum über die Mitte dieses Jahrhunderts zurückreichen, so ist die Literatur dieser Disziplin doch schon eine ziemlich umfangreiche, zudem ihre Kenntnissnahme eigentümlich erschwert nicht nur durch ihr Zer - streutsein in verschiedenen nicht leicht zugänglichen Schriftwerken, sondern auch durch die Verschiedenartigkeit der — ich kann nur sagen: „ Hieroglyphen “systeme, deren sich die Urheber der Disziplin bedienten und welche sogar bei ihrem Hauptförderer Charles S. Peirce zu - weilen fast unvermittelt gewechselt haben. Ausser diesen beiden Hauptschöpfern der Theorie dürfte dieselbe mittelbar den Arbeiten von Herrn R. Dedekind am meisten Förderung verdanken, und liegt es dem Verfasser ob, nun die Gesamtheit der bisherigen Leistungen zu dem gegenwärtigen Stande der Disziplin gleichsam aufzurunden.

Bei der fast unermesslichen Mannigfaltigkeit der Richtungen, nach welchen sich die Disziplin entwickelungsfähig zeigt, der Fülle ihrer Anwendungsmöglichkeiten auf die verschiedensten Gebiete — zu denen die Begriffe von „ Endlichkeit “, „ Anzahl “, „ Funktion “und „ Substitution “ebensowol gehören als wie z. B. die „ menschlichen Verwandtschafts - verhältnisse “—, bei ihrer Doppelnatur als einer Algebra einerseits und einer Entwickelungsform der Logik andrerseits, nämlich ihrer Aus - gestaltung zur Logik der Beziehungen (und Beziehungsbegriffe, „ Relative “) überhaupt, scheint es unerlässlich — soll nicht die Übersicht leiden und der Eindruck der Schönheit und Konsequenz des Ganzen verlorenSchröder, Algebra der Relative. 12Erste Vorlesung.gehen — dass wir die verschiedenen Gesichtspunkte, unter welchen unsre Theorie zu betrachten sein wird, thunlichst scharf von einander getrennt halten.

Ich werde deshalb zunächst eine Seite der Theorie fast ausschliess - lich bevorzugen, und zwar dieselbe lediglich als eine Algebra, einen Kalkul aufbauen, der seine Gesetze aus einer geringen Anzahl bestimmt formulirter fundamentaler Festsetzungen denknotwendig ableitet. Erst wenn auf diesem Wege ein gewisser Grundstock geschaffen und ein schon recht ansehnliches Kapital von absolut feststehenden Wahrheiten — Thatsachen der Deduktion — gesichert ist, gedenke ich in sehr viel spätern Vorlesungen auf die Fundamente der Disziplin zurück - zukommen, um deren zuerst nur einfach hingestellte Festsetzungen dann auch heuristisch zu motiviren und aus allgemein logischen Ge - sichtspunkten reflektirend zu erörtern, insbesondre sie als den Zwecken ebendieser Wissenschaft, der Logik, dienstbare nachzuweisen. Bis dahin mögen logische Interpretationen von Ausdrücken oder Formeln des Kalkuls höchstens nebenher in Form von Seitenblicken erfolgen, bestimmt, das Interesse des Lesers zu wecken und denselben zu der später systematisch zu erwerbenden Deutungskunst allmälig heran - zuziehen.

Ebenso wird es zur Vereinfachung des Ganzen beitragen, wenn wir dasjenige, was zur Sicherung des Anteils der andern Forscher an den Errungenschaften der Theorie gesagt werden muss, und was zumeist von literarhistorisch-kritischen Erörterungen unzertrennlich sein wird, erst nachträglich in eignem Paragraphen zusammenstellen — die Theorie selber thunlichst von allem Beiwerk entlastend.

Meine Bezeichnungsweisen schliessen sich sehr nahe an die von Peirce in einer 9c seiner Abhandlungen gebrauchten an, und werden die Abweichungen späterhin gekennzeichnet und gerechtfertigt. Den zahlreich zu verwendenden Suffixen zuliebe und um zugleich den Platz frei zu halten für die „ Exponenten “von „ Potenzen “, deren Begriff auch in unsre Disziplin Eingang findet, musste vom vertikalen zu dem hori - zontal übergesetzten Negationsstriche übergegangen werden. Zudem wird sich Veranlassung ergeben, die beiden — wenn auch nicht bei Aus - sagen — so doch bei binären Relativen (sowie solchen von noch höhrer Ordnung) unterscheidend zu verwenden — ein Punkt auf den wir noch zurückkommen.

Nach dem Gesagten gehe ich sogleich zu dem Versuche über:

β) Vorweg über den Operationskreis der relativen Logik einen kurzen Überblick zu geben — den Operationskreis der arithmetischen Algebra3§ 1. Operationskreis der Algebra der Relative.zur Vergleichung heranziehend. Ich fasse dabei ausschliesslich den weitaus wichtigsten Teil der ersteren: die Algebra der binären Relative (bei Peirce „ dual relatives “genannt) in’s Auge, welche den natur - gemässen Ausgangspunkt der ganzen Theorie bildet. Ebendiese ist bis jetzt allein auch einigen Ausbaues teilhaftig geworden und wird auf sie die Wissenschaft, um damit für ihre vornehmsten Probleme auszukommen, vielleicht sogar sich wesentlich beschränken dürfen.

Im identischen (Gebiete - oder Klassen -) Kalkul hatten wir uns mit drei Rechnungsarten, „ Spezies “vertraut zu machen: mit der identischen Multiplikation, der identischen Addition und der Negation. Von diesen waren die beiden erstgenannten „ knüpfende “Operationen, die zu ihrer Ausführung mindestens zwei Operanden (Terme) als gegeben voraus - setzten; die letztgenannte eine „ nicht-knüpfende “Operation, welche schon an einem Operanden (Term) vollziehbar. Die knüpfenden Ope - rationen waren hier assoziative sowol als kommutative.

Denselben drei identischen Spezies begegnen wir auch in der Logik der Relative wieder, woselbst sie in der That die erste Hauptstufe der elementaren Operationen ausmachen. Zu diesen treten aber als zweite Hauptstufe hier noch drei weitere Spezies hinzu: die drei „ relativen “Elementaroperationen, als da sind: die relative Multiplikation (oder Komposition), die relative Addition und die Konversion; jene beiden knüpfende und zwar assoziative aber (im allgemeinen) nicht kommu - tative Operationen, diese eine nicht knüpfende Operation, die bereits an einem Operanden vollziehbar.

Mit ihren sechs Spezies ist mithin die Logik der Relative, gegenüber der allgemeinen Arithmetik mit ihren sieben algebraischen Operationen, immer noch im Vorteil. Zugunsten der letztern kann allerdings geltend gemacht werden, dass durch die bekannte Erweiterung des Zahlengebietes zum Gebiet der gemeinen komplexen Zahlen es sich habe ermöglichen lassen, die 7 Spezies der Algebra auf viere zu reduziren, nämlich auf Addition, Multiplikation, Potenzirung und Logarithmirung — indem die Subtraktion als eine Addition der entgegengesetzten Zahl, die Division als eine Multi - plikation und die Radizirung als eine Potenzirung mit der reziproken Zahl in Wegfall gekommen, drei von den vier inversen Operationen mithin in den direkten aufgegangen seien.

Demgegenüber ist aber zu betonen, dass auch die 6 Spezies der relativen Logik wesentlich sich auf viere (und zwar schon von vornherein) reduziren, indem vermittelst der Negation die beiden Additionen zurück - führbar sind auf die entsprechenden Multiplikationen (oder umgekehrt), mithin, bei Verzicht auf die Symmetrie, diese auch durch jene könnten ent -1*4Erste Vorlesung.behrlich gemacht werden. In der definitiven Anzahl der unentbehrlichen Grundoperationen stehen somit beide Disziplinen auf gleicher Linie.

In ihrer durchgängigen Symmetrie aber besitzt die Algebra der Relative einen ästhetischen Vorzug vor der Algebra der Zahlen. Ver - fügt sie doch über zwei Prinzipien zur Vervielfältigung, Verdoppelung ihrer Theoreme und tritt ein jeder ihrer allgemeinen Sätze mit drei zumeist andern gekoppelt als eine Tetrade, ein Quadrupel, ein Gespann von Sätzen (oder Formeln) auf, indem er mittelst Kontraposition, beiderseitigem Negiren, einen ihm „ dual entsprechenden “Satz, das Paar aber mittelst beiderseitigen Konvertirens, ein zweites dazu „ konjugirtes “Sätzepaar liefert, dessen Geltung von ihm mitbedingt und garan - tirt wird.

γ) Wenn demnach der identische Kalkul als ein blosser Teil — der elementarste — der relativen Logik erscheinen wird, die letztre also als eine Erweiterung (spezielle Anwendungsweise und Fortsetzung) des erstern sich darstellt, so bieten sich anscheinend zwei Möglich - keiten dar, die Algebra der Relative zu begründen.

Die eine: im Anschluss an den bisherigen Lehrgang, bei welchem wir vom Begriff der Subsumtion ausgegangen waren um gegen Ende zu einer wissenschaftlichen Definition des Individuums zu gelangen. Die andre: als die Möglichkeit einer selbständigen Begründung, als ein Aufbau der ganzen Disziplin sozusagen auf einer tabula rasa.

Eine solche Begründung, die von der Betrachtung von „ Elementen “(oder Individuen) ihren Ausgang nimmt, hat Peirce gegeben, und kann der Vergleich der damit geschaffenen ganz eigenartigen Grund - lage der gesamten Logik mit ihren anderweitigen Fundirungen nur lehrreich sein. Wir schliessen uns darum diesem letztern Lehrgange an, zumal von da der erwähnte „ Anschluss “sehr leicht und rasch zu gewinnen sein wird.

§ 2. Die Denkbereiche der verschiednen Ordnungen und ihre Individuen.

Als gegeben, irgendwie begrifflich bestimmt, denken wir uns die „ Elemente “oder Individuen 1) A, B, C, D, E, … einer „ gewöhnlichen “Mannigfaltigkeit (vergl. Bd. 1, S. 342). Dieselben sollen durchweg von einander und vom Nichts (von 0) verschieden geachtet werden. Sie müssen unter sich verträglich (konsistent) sein, sodass nicht etwa die Setzung eines von ihnen der Denkbarkeit eines andern5§ 2. Denkbereich der ersten Ordnung.vorbeugt, und sie müssen einander gegenseitig ausschliessen (unter sich disjunkt sein), sodass auch keines der Elemente als eine Klasse gedeutet werden dürfte, die ein andres von ihnen unter sich begreift.

Ich bemerke dieses, und noch einiges andre mehr, zum voraus, um die Erwartung des Lesers angemessen zu dirigiren, nicht aber aus dem Grunde, weil etwa schon auf diese letzteren Bemerkungen wesentliche Schlüsse zu bauen wären. Auch wer diese Bemerkungen für ganz un - genügend fundirt erachten wollte, der könnte sich doch nicht ablehnend verhalten gegenüber der formalen Denknotwendigkeit, kraft welcher mit den fundamentalen Festsetzungen des nächsten Paragraphen als deren Kon - sequenz auch das ganze Gebäude unsrer Theorie gesichert sein wird.

Die Gesamtheit der gedachten Elemente stellen wir, indem wir deren Namen mittelst Pluszeichen verbinden, als eine „ identische Summe “(logical aggregate) dar und nennen sie den ursprünglichen oder Denkbereich der ersten Ordnung: 11 (gelesen Eins hoch eins), sodass uns: 2) 〈…〉 gilt.

Der Denkbereich 11 soll mehr als ein Element enthalten. Diese Voraussetzung ist zur Geltung fast aller Sätze der Theorie erforderlich. Den Fall, wo der Denkbereich blos ein Element enthielte, wollen wir „ den Ausnahmefall “nennen.

Bei manchen Formeln wird sogar, damit sie Geltung beanspruchen können, es unerlässlich sein vorauszusetzen, dass der Denkbereich mehr als zwei Elemente umfasse. Solche Formeln sollen durch einen ihrer Chiffre beigesetzten Stern * gekennzeichnet werden.

Im übrigen kann die Menge der Elemente, welche unser Denk - bereich zusammenfasst, eine „ endliche “(oder begrenzte) sein, indem der Denkbereich besteht aus einer beliebig zu wählenden „ Anzahl “von Elementen. Oder aber das System der Elemente ist ein „ unendliches “(unbegrenztes), wo dann von ihrer „ Anzahl “nicht gesprochen werden kann. Im letzteren Falle mögen die Elemente entweder „ diskrete “sein, etwa ein sogenanntes „ einfach unendliches “System bildend, oder auch nicht, d. h. sie dürfen ebensogut auch als „ konkrete “gedacht werden, welche z. B. ein „ Kontinuum “ausfüllen, wie die Punkte einer Linie, einer Fläche, eines Körpers, insbesondre einer Geraden, einer Ebene oder des Raumes.

Auch diese Bemerkungen sind vorgreifende. Ist es doch eine der vor - nehmsten Aufgaben der Theorie selbst, den Begriff der „ Endlichkeit “eines Systems von Elementen erst aufzustellen, was eine Vorbedingung für die Gewinnung des so hochwichtigen „ Anzahl “- Begriffes bildet, desgleichen sodann, die verschiedenen Arten von „ Unendlichkeit “unterscheidend zu6Erste Vorlesung.definiren! Um nicht in Fehlschlüsse zu verfallen wird der Leser aber gut thun, die Möglichkeit auch der letzterwähnten Annahmen nicht aus dem Auge zu verlieren.

Wir mögen nun zwar zur Illustration einen Denkbereich „ bevor - zugen “, der aus den sämtlichen Punkten einer Geraden (nämlich beider - seits unbegrenzten geraden Linie) besteht (denen bekanntlich die reellen Zahlen der Arithmetik ein-eindeutig entsprechen) — oder auch blos aus einem Teile dieses Punktgebietes, wie etwa seiner Hälfte: dem Strahle, welchem sich das Gebiet der positiven Realzahlen ein - deutig zuordnen lässt — vielleicht auch blos aus der Reihe der den ganzen Zahlen entsprechenden äquidistanten Punkte unsrer Geraden oder deren positiver Hälfte. Immer aber wird dies unwesentlich bleiben müssen.

Es darf von vornherein in der Theorie nicht vorausgesetzt werden, dass die Elemente in einer bestimmten Reihenfolge sich befinden oder überhaupt in eine solche sich bringen liessen.

Nie wird a priori von „ benachbarten “Elementen, von den Vorgängern oder Nachfolgern eines Elementes gesprochen werden dürfen — wie es denn schon zu einem Punkte auf der geraden Linie (wenn sie auch etwa von links nach rechts durchlaufen wird) keinen unmittelbar vorhergehenden und keinen unmittelbar folgenden Punkt, keine unmittelbar benachbarten Punkte gibt. Wie man Urteile fällen kann über alle Punkte, resp. über jeden Punkt einer Fläche (z. B.) — um aus diesen Urteilen andre Urteile logisch abzuleiten — ohne doch diesen Punkten damit irgendeine Reihenfolge zu - zuschreiben, ebenso muss in der Theorie inbezug auf die Elemente unsres Denkbereiches schliessend vorgegangen werden.

Die „ Elemente “brauchen auch nicht etwa gleichzeitig zu existiren; sie dürften uns z. B. „ Ereignisse “aus Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft repräsentiren (koexistirende oder simultane, wie successive); es genügt, dass sie zusammen gedacht werden können.

Zu Zwecken der Exemplifikation auf logischem Gebiete empfiehlt sich oft die Deutung der Elemente als „ Personen “der menschlichen Gesellschaft, Menschheit überhaupt.

Neben den grossen lateinischen Buchstaben, die uns bestimmte Ele - mente vorzustellen haben, falls wir einzelne von diesen hervorzuheben beabsichtigen, bedürfen wir auch noch einer Kategorie von Zeichen zur Darstellung von oder als Namen für unbestimmte oder allgemeine Elemente.

Dieses Bedürfniss tritt bereits zutage, macht sich geltend schon bei dem ersten und einfachsten Akte — zu welchem wir jetzt schreiten wollen — dem Akte: irgend zwei Elemente in eine Beziehung zu einander zu setzen oder unter dem Gesichtspunkte einer solchen zu7§ 2. Elemente, = Individuen des ersten Denkbereichs.betrachten. Die Elemente, zwischen denen dergestalt — sagen wir: — „ ein Verhältniss “konstatirt werden soll, können nämlich entweder ver - schiedene, oder sie können auch die nämlichen, können „ einerlei “sein.

Der Gesichtspunkt, das „ fundamentum relationis “sei z. B. die Zu - neigung, Liebe einer Person zu einer Person.

Wenn die Person A die Person B liebt, so wird unter diesem Gesichtspunkt das Elementepaar „ A: B “in Betracht kommen. Wenn etwa zugleich die Person B die Person A nicht liebt, so wird das Elementepaar „ B: A “(welches demnach vom vorigen zu unterscheiden ist) nicht in Betracht kommen.

Wenn die Person A sich selbst liebt, so wird als „ Elementepaar “auch „ A: A “in Betracht zu ziehen sein.

Schon diese beiden Fälle, der erste mit dem letzten, lassen sich — bei Beschränkung auf den bisherigen Zeichenvorrat — nicht gemeinsam erledigen oder abhandeln, und zwar aus dem Grunde, weil die An - nahme: B = A, welche den letzten Fall unter den ersten subsumiren würde, sich in Widerspruch befindet mit der eingeführten und unver - brüchlich festzuhaltenden Voraussetzung A ≠ B. Zudem wird man so doch immer nur am Beispiele kleben bleiben.

Wir bedürfen neuer Zeichen — und diese wählen wir vorderhand ausschliesslich aus der Reihe der folgenden: 3) i, j, h, k, l, m, n, p, q — um irgend eines der Elemente A, B, C, D, … unsres Denk - bereiches 11 vorzustellen.

Heben wir jetzt ein Elementepaar i: j hervor, etwa wieder um damit zu konstatiren, dass eine Person i eine Person j liebt, so wird ebensogut die Annahme j = i als die Annahme j ≠ i zulässig bleiben, und lassen sich alle Vorteile der Allgemeinheit für unsre Betrachtungen sichern, in Verbindung mit den Vorteilen, welche die Einführung knappster Zeichenschrift gewährt.

Also: während zwei verschiedene von den Buchstaben A, B, C, … immer zwei verschiedene Elemente vorzustellen haben, sind zwei ver - schiedene Buchstaben aus der Reihe i, j, h, … einer solchen Be - schränkung nicht unterworfen. Dieser Gegensatz ist darin begründet, dass während A, B, C, … uns als bestimmte sozusagen „ spezifizirte “Elemente gelten, die Symbole i, j, … vielmehr zu verwenden sein werden als Repräsentanten, Stellvertreter von irgend welchen, von un - bestimmt gelassenen oder „ allgemeinen Elementen “. Jenen entsprechen in der Arithmetik die numerischen, diesen die literalen oder Buch -8Erste Vorlesung.staben-Zahlen. Und wie die letztern sind sie gleichermassen unent - behrlich und ermöglichen uns die Realisirung analoger Vorteile.

Die allgemeinen Elementsymbole i, j, h, k, … lassen insbesondre auch als „ Indizes “, „ laufende Zeiger “, „ Summations - “und „ Produktations - variable “, sich verwenden, und werden zunächst sogar vorwiegend als solche in Betracht kommen.

In der That können wir mit ihrer Beihülfe die Gleichung, welche uns den Denkbereich 11 darstellte, jetzt konziser schreiben, wie folgt: 4) 〈…〉 , wobei zur korrekten Auslegung, zur „ Auswertung “oder „ Evaluation “der Summe rechterhand nur erforderlich ist, dass man der Summations - variablen i auferlege, jedes der Elemente A, B, C, … als seine Be - deutung anzunehmen, oder — wie man sich ausdrückt — die Gesamt - heit der Individuen des Denkbereiches 11 „ zu durchlaufen “.

Dieser Prozess, der in unsrer Theorie mit jedem Ausdruck von der Form Σi oder Σj, Σh, … von einem f (i, j, h, …) in Gedanken zu voll - ziehen sein wird, ist wohl zu unterscheiden von dem Auslegungsverfahren bei solchen Ausdrücken wie 〈…〉 , wie sie im ersten und zweiten Bande häufig vorkamen (und auch hier in modifizirter Bedeutung bald eine Rolle spielen werden), wo nämlich die Summationsvariable u zu durchlaufen hatte nicht blos alle Elemente, sondern alle erdenklichen Gebiete oder Klassen, das ist alle Elementesummen aus dem vorliegenden Denkbereiche.

Also: jedem auf ein Symbol der Reihe 3) bezüglichen Summen - zeichen wird (woferne nicht ausdrücklich anderes stipulirt ist) die vorhin beschriebene „ Erstreckung “zuzuschreiben sein.

Der Denkbereich 11 bildet eine Mannigfaltigkeit, auf welche ohne weitres der gesamte „ identische Kalkul “anwendbar sein würde. Doch soll von dieser Thatsache bis zur Neubegründung des letztern hier kein Gebrauch gemacht werden.

Jede (identische) Summe von Elementen dieses Denkbereiches 11 wird späterhin als ein „ absoluter Term “, als ein „ System “(Gebiet) oder auch eine „ Klasse “(class-term) schlechtweg zu bezeichnen sein.

Nunmehr können wir auch das oben am Beispiel Ausgeführte allgemein statuiren:

Werden aus unserm Denkbereiche 11 irgend zwei Elemente i und j in bestimmter Reihenfolge hervorgehoben und in dieser — gleichviel aus welchem Beweggrunde, einerlei unter welchem Gesichtspunkte — zu einem „ Paare “zusammengehalten, so mag das Ergebniss der Zu -9§ 2. Elementepaare, = Individuen des zweiten Denkbereichs.sammenstellung vermittelst eines Doppelpunktes dargestellt werden in Gestalt von 5) 〈…〉 — gesprochen: i zu j.

Dies ist zunächst unverfänglich, weil der Doppelpunkt zwar in § 23 des Bd. 1 provisorisch zur Darstellung der identischen Division verwendet, daselbst aber als definitiv entbehrlich nachgewiesen und dadurch zu andern Zwecken verfügbar geworden ist.

Wenn unter dem Gesichtspunkte einer bestimmten von i zu j be - stehenden Beziehung ein Elementepaar hervorgehoben und mit i: j in der - selben Weise dargestellt wird, wie man in der Arithmetik ein (geometrisches) Verhältniss darzustellen pflegt, so empfiehlt sich dies schon darum nicht übel, weil in der Sprache des gemeinen Lebens die Worte „ Beziehung “und „ Verhältniss “ohnehin beinahe als synonyme gelten dürften. Zudem werden mit der arithmetischen Gleichung (i: h) × (h: j) = i: j bei der Lehre von der Zusammensetzung der Relative Analogieen zutage treten, die unser dem Peirce’schen sich anschliessendes Vorgehen noch weiter rechtfertigen.

An sich betrachtet hat zwar der Doppelpunkt — schon als Divisions - zeichen, gleichwie auch das Minuszeichen — den Fehler, eine unsymmetrische Knüpfung durch ein symmetrisches, nach rechts und links gleich aus - schauendes Zeichen darzustellen. Dafür tröstet der Umstand, dass man (demungeachtet) von der Arithmetik her doch schon gewöhnt ist, die Knüpfung nicht als eine kommutative anzusehen.

Übrigens sei bemerkt, dass auch hier die Bezeichnung später entbehr - lich gemacht werden kann, sobald mit ihrer Hülfe die Algebra der Relative eine bestimmte Stufe der Entwickelung erreicht hat.

Wir nennen i: j ein „ Elementepaar “, und zwar i den Antezedenten (das Vorderglied) oder das Relat, j den Konsequenten (das Hinterglied) oder das Korrelat desselben.

Nach dem Gesagten wird uns j: i als ein andres Elementepaar wie i: j zu gelten haben, sobald j von i verschieden ist. Oder wir mögen hinstellen: 6) 〈…〉 als gültig für alle i und j.

In diesen beiden Aussagenäquivalenzen sind vier Aussagensubsumtionen enthalten, von welchen diese beiden: 〈…〉 als selbstverständlich, beziehungsweise durch unsre soeben getroffenen Ab - machungen gegeben, anzusehen sind.

Aus ihnen ergeben sich die beiden andern, die umgekehrten Aussagen - subsumtionen (kreuz - oder) wechselweise vermittelst Kontraposition.

Übrigens sei betont, dass auch diese Bemerkung nur zur vorläu - figen Orientirung ausgesprochen ist, indem sich 6) als Theorem aus den fundamentalen Festsetzungen des nächsten Paragraphen späterhin beweisen lassen wird.

Dasselbe gilt von dem Ansatze: 7) 〈…〉 durch welchen wir zum Ausdruck bringen, dass uns jedes Elemente - paar als von dem Nichts verschieden zu gelten habe.

Das Elementepaar j: i heisst „ das konverse “von dem Elemente - paar i: j. Bei der Allgemeingültigkeit dieser Festsetzung wird es auch gestattet sein in ihr die Namen i und j auszutauschen und muss also auch das Elementepaar i: j das konverse sein von j: i. Die Be - ziehung zwischen konversen Elementepaaren ist eine gegenseitige.

Es können nun alle erdenklichen Elementepaare, zu deren Bildung unser Denkbereich 11 die Elemente liefert, zu einer Tafel, in ein Ta - bleau zusammengestellt, geordnet werden (may be arrayed oder arranged in a „ block “): 8) 〈…〉 und sei bemerkt, dass wir diese „ spezifizirten “oder speziellen Ele - mentepaare auch als „ individuelle binäre Relative “hinzustellen oder zu bezeichnen haben werden, deren irgend eines durch i: j allgemein repräsentirt werden kann.

Die Gesamtheit dieser individuellen binären Relative oder Elemente - paare bildet einen neuen, einen eignen Denkbereich, den wir als den „ Denkbereich der zweiten Ordnung “mittelst 12 (gesprochen: eins hoch zwei) darstellen, sodass wir haben: 9) 〈…〉 — wo die Klammern um die Elementepaare auch weggelassen werden könnten — oder in der durch das Summenzeichen ermöglichten Abkürzung: 10) 〈…〉 .

Der Denkbereich 12 ist hiernach gebildet aus den sämtlichen „ Varia - tionen zur zweiten Klasse mit Wiederholungen “von den Elementen des Denkbereiches 11 — wie der Mathematiker sich ausdrücken würde; er ist die zweite Klasse der genannten Variationen. Er enthält die Elemente von 11 zu Paaren vereinigt in allen erdenklichen Verbindungen (Kombi - nationen) und Anordnungen (Permutationen).

Als selbstverständlich erscheint es wieder (soll indess nicht we - sentlich benutzt werden), dass auch dieser Denkbereich eine Mannig - faltigkeit vorstellt, auf welche der identische Kalkul anwendbar ist. In diesem Denkbereiche werden sich die Untersuchungen der Theorie im vorliegenden Bande vornehmlich, ja fast ausschliesslich bewegen, weshalb wir — den Exponenten 2 zumeist und namentlich in allen Formeln (seltner im Texte) weglassend — denselben kürzer mit 1 selber bezeichnen werden.

In einfachster Schreibung seien demnach die Gleichungen 9) und 10) zusammenfassend wiederholt als: 11) 〈…〉

Ein individuelles binäres Relativ i: j steht in dieser Tafel allemal in der durch i markirten Zeile und in der durch j markirten Kolonne (oder Spalte) — wären die Elemente i, j die natürlichen Zahlen, so könnten wir kürzer sagen: in der iten Zeile und in der jten Kolonne.

Obwohl, wie bereits erklärt, die Voraussetzung einer bestimmten Reihenfolge oder Anordnung schon bei den Elementen des ersten, nicht minder also auch bei den Elementepaaren des zweiten Denk - bereichs den Schlüssen der Theorie nicht zugrunde gelegt werden darf, wollen wir doch der Übersicht und der Bequemlichkeit der Ausdrucks - weise zuliebe die vorstehenden Redensarten acceptiren:

Soll von solchen individuellen Relativen i: j, i: h, i: k, … ge - sprochen werden, welche im Relate übereinstimmen, so werden wir häufig sagen, dass sie aus derselben Horizontalreihe oder Zeile stammen, und „ die zu i gehörige Zeile “der Tafel 12 selbst wird uns dann eben einfach bedeuten: die Gesamtheit (identische Summe) aller der Elemente - paare unsres zweiten Denkbereichs, welche i zum Relate haben. Ebenso werden alle Elementepaare i: j, h: j, k: j, …, die im Korre - late übereinstimmen, von uns der nämlichen Vertikalreihe oder Kolonne zugewiesen. Und wir unterscheiden demgemäss in unsrer Tafel 1212Erste Vorlesung.„ Reihen “von Elementepaaren als parallele oder zu einander normale, sowie als horizontale oder vertikale.

Fasst man die individuellen Elementepaare unsres Denkbereiches 12 in’s Auge, so wahrnimmt man solche von zweierlei Art, je nachdem in i: j das i = j oder aber i ≠ j ist.

Im ersten Falle haben wir ein Elementepaar von der Form i: i. Ein solches soll ein individuelles (binäres) „ Selbstrelativ “genannt werden.

Falls dagegen i ≠ j ist, so heisse i: j ein individuelles (binäres) „ Aliorelativ “.

Ich übersetze hiemit einfach die von Peirce gegebnen Namen „ self - relative “und „ aliorelative “.

Es kann anstössig gefunden werden, dass „ self - “oder „ Selbst - “nicht, wie die andern zur Zusammensetzung dieser Namen benutzten Wörter, aus dem Lateinischen stammt. Wenn man nicht „ Ipsirelativ “sagen will, so könnte man auch „ Idemrelativ “für unser „ Selbstrelativ “nehmen. Andre Möglichkeiten wären die, zu sagen: Autorelativ und Heterorelativ, oder Idio (Homo -?) relativ „ Allorelativ zur ersten Hälfte aus dem Griechischen, zur zweiten aus dem Lateinischen genommen, desgleichen zur ersten Hälfte dem Deutschen entstammend: Selbstrelativ und Anderrelativ Eigenrelativ „ Fremdrelativ. Auch schlug mir ein Kollege vor, für Relativ „ Beziehnis (s) “zu sagen.

Ich habe mich nach sorgfältiger Erwägung keinem dieser Vorschläge anzubequemen vermocht. Dem letzten nicht, weil für die Wissenschaft zur Deckung ihres Neubedarfs an Wörtern internationale Ausdrücke aus toten, den klassischen Sprachen weitaus den Vorzug verdienen. Der Aus - druck „ Anderrelativ “gibt zu unangenehmen Anklängen Veranlassung, wenn neben den Anderrelativen von andern Relativen oder gar von andern Anderrelativen gesprochen werden muss. Die übrigen Ausdrücke erscheinen weniger zutreffend, decken wol den Begriff minder genau.