Der I Theil / Haͤlt in ſich XC Auffgaben vnd Fragen / auß der Arithmetica oder Rechen Kunſt genommen. Der II Theil / LVI Auffgaben vnd Fragen / der Geometria oder dem Feldmeſ - ſen zugethan. Der III Theil / LX Auffgaben vnd Fragen / zur Stereometria oder Meſſung Coͤrperlicher Ding gehoͤrig. Der IV Theil / xXvi Auffgaben vnd Fragen / auß der Muſica oder Sing - Kunſt. Der V Theil / xxxII Auffgaben vnd Fragen / auß der Optica, Perſpectiv o - der Seh Kunſt. Der VI Theil / xXxviii Auffgaben vnd Fragen / auß der Catoptrica oder Spiegel Kunſt. Der VII Theil / XXXI Auffgaben vnd Fragen / auß der Aſtronomia vnd A - ſtrologia oder Sternſehert vnd Sterndeuters Kunſt. Der VIII Theil / XXVII Auffgaben vnd Fragen / auß der Gnomonica vnd Thaumatopoëtica, oder Zubereitung der Sonnen - vnd Schlag - Vhren entſprungen. Der IX Theil / xxXv Auffgaben vnd Fragen / auß der Statica oder Wag vñ Gewicht Kunſt. Der X Theil / begreifft lx Auffgaben vnd Fragen / ſo durch den Motum oder kuͤnſtliche Bewegung auffgeloͤſt werden. Der XI Theil / LIX Auffgaben vnd Fragen / auß der Pyrobolia, vnd ſonſten durchs Fewer zu verrichten. Der XII Theil / Xxv Auffgaben vnd Fragen / auß der Pnevmatica vnd durch den Lufft zu wege zu bringen. Der XIII Theil / LIX Auffgaben vnd Fragen / auß der Hydraulica oder ſon - ſten durch das Waſſer zu wege zu richten. Der XIV Theil / XIII Auffgaben / die Schreib Kunſt betreffend. Der xv Theil / XXxIII Auffgaben vnd Fragen / die Architecturam vnd Me - chanicam, oder Bawkunſt vnd Handwercker betreffend. Der XVI Theil / XXXII Auffgaben vnd Fragen / auß der Chymia vnd an - dern Kuͤnſten genommen.
DVrchleuchtiger / Hochgeborner Fuͤrſt / Gnaͤdiger Herꝛ: Es haben vor Zeiten die Grie - chiſchen vnd andere Poeten / in Beſchreibung vralter Geſchichten / die waarhafften Hiſtorien mit jhren gefaͤrbten Reden vnd ſtoltzen Fabuln dermaſſen be - flecket vnd verdunckelt / dz es hernach der Poſteꝛitaͤt ſehr ſchwer gefallen / wann ſie der Sachen eygentliche beſchaffenheit von dem anerdichten Weſen widerumb abſondern / vnd jhrem vori - gen nitori gleichſam poſtliminiò reſtituiren wollen.
Argus ſoll ein ůberauß kluger vnd verſtaͤndiger Mañ ge - weſen ſeyn: Deme haben ſie deßwegen hundert Augen zuge - ſchrieben.
Busiris muſte ſeine Gaͤſte ermordet haben: Weiln er nit geſtatten wolte / daß Frembdlinge in Egypten jhre Nahrung mit der Handlung ſucheten.
Charonta, den Oberſten deß Schiffes / dahin die Egy -) (ptierDedication Schrifft. ptier der Verſtorbenen Leiber / jhrem Gebrauch nach / haben bringen / vnd / ob ſie der Begraͤbnuß wuͤrdig weren / oder nicht? erforſchen laſſen / nenneten ſie den Hoͤllen Schiffmann.
Vom Deucalione wird fingirt / daß er lebendige Men - ſchen auß Steinen gebildet: auß vrſach / weiln er / neben ſeiner Gemahlin Pyrrhâ, als einsmaln das Land Theſſalia mit Waſſer uͤberſchwemmet worden / deſſelbigen Jnnwohnere mit ſich auff den hohen Berg Parnaſſum gefuͤhrt / vnd daſelbſt erhalten.
Epimetheo, einem den Wolluͤſten ergebenem Mañ / wird zugeſchrieben / daß er die Pandoram in die Welt eingelaſſen / vnd dardurch allerley uͤbels auff Erden vervrſachet habe.
Vnd weil es dem Menſchen verborgen / wie es jhme noch ins kuͤnfftig ergehen werde: Haben ſie das Fatum Noctis Filium, der Nacht Sohn geheiſſen.
Geryon, ein reicher Koͤnig in Iberiâ, ſonſt Chryſaor genannt / wurde fuͤr Drey Leibig gehalten: daß er Drey ſo maͤchtige Soͤhne erzeuget / die der gantzen Welt eine Furcht vnd Schrecken eingejaget.
Vnd / ô Her cules, tuam fidem! Sage vns: Daß du 1. 2. Loͤwen vnnd Schlangen getoͤdtet: 3. 4. wilde Schwein vnnd ſchoͤne Huͤndin gefangen: 5. Grauſame Voͤgel verſtoͤ - bert. 6. Augiæ Stall geſaͤubert. 7. Paſiphaes Stier uͤber - getragen. 8. Diomedis Pferdte hinweggefuͤhrt. 9. Ama - zonis Guͤrtel erlanget. 10. Geryonem uͤberwunden. 11. Ja den Teuffel ſelbſten auß der Hoͤllen getrieben. 12. Vnnd endli - chen der Heſperidum Guͤldene oͤpffel uͤberkommen: SagevnsDedication Schrifft. vns doch / bey trawen vnd glauben / Ob vnd was dieſes alles anderſt ſey vnd heiſſe / als / daß du ein fuͤrtrefflicher Heldt vnd maͤchtiger Sieges Fuͤrſt geweſen?
So ſoll auch durch Jasonis guldenes Fell / wie die Alchy - miſten darfuͤr halten / ein Permentes Buch / darein die Kunſt deß Goldmachens gezeichnet / zu verſtehen ſeyn.
Der vertrunckenen Koͤnigin Lamiæ Kinder ſeynd alle ge - ſtorben / darumb dichten die Poeten: Sie habe / auß Neidt / an - dern Weibern die jhrigen auch vmbbringen laſſen.
Von den neun Jungfrawen / welche Oſiris dem Apollini auß der Muſicanten Schaar / daran er eine ſonderliche Frew - de gehabt / in der Sing - vnd andern Kuͤnſten zu vnterrichten uͤbergeben / haben mehr erwoͤhnte Poeten jhre Novem Mu - sas genommen.
Orpheus pflegte / mit vnd neben dem Amphione, wil - den Leuten freundlich zu zuſprechen: Dannenhero wird von beyden fabuliert / daß ſie Baͤume vnd vnvernuͤnfftige Thier zu ſich gezogen.
Phaeton, der Aſtronomus, ſoll die groſſe Brunſt im Moren: vnd Welſchland / dardurch im 2429. Jahr nach Er - ſchaffung der Welt / viel oͤrter eingeaͤſchert worden / zuvorher prognoſticirt haben: wird derhalben bezuͤchtiget / daß er den Himmel angezuͤndet.
Rhadamantus in Lyciâ, hat die Tugend begabet / vnd die Laſter abgeſtraffet: Deßwegen wird er ein Hoͤlliſcher Richter genennet.
Als die Poeten von der aͤhrnen Schlangen in der Wuͤſten) (iijmeldungDedication Schrifft. meldung thun ſolten / gedachten ſie dafuͤr Serapidis: Wie ſich nemlich vmb deſſelben Trident oder Eiſern Scepter / ſo dem Buchſtaben T zu vergleichen ſeyn ſoll / eine Schlange ge - wickelt haͤtte.
Daß Ulysses Scyllam uͤberſchiffet / bedeutete: Er were ſelbiges Orts den See: vnd Meer Raubern entrunnen.
Vnd ſeynd letzlichen Triptolomi Schlange: Medeæ Drachen: Ganymedis Adler: Phryxi Wieder: Bellero - phontis Pferdt: Junonis Pfawen: Cybeles Loͤwen: Vnd Dædali Fluͤgel / von welchen allen beym Virgilio, Ovidio vnd andern alten Poëtis: item in Syntagmat. Hiſtoriar. Mund. Joh. Micrælii, in de Conſenf. & Diſſenſ. Gale - nic. & Chymicor. Dan. Sennerti, Fac. Poëtic. Eilh. Lu - bini, Seth. Calviſ. Chronologiâ: inſonderheit aber in My - tholog. Natalis Comitis hin vnd wider ein mehrers zu fin - den / fuͤr nichts anders / als fuͤr Schiffe zu halten.
Haben alſo die vor alters geweſene Poeten jhre Hiſtorien mit allerley wunderlichen Fabuln vnd newen Woͤrtern ſo gar uͤbel zugerichtet vnd verderbet / daß es jhnen die Nachkoͤmlinge muͤſſen ſawer laſſen werden / biß ſie endlich die Gedichte von den Geſchichten ſequeſtrirt, vnd die Waarheit widerumb an das helle Tages Liecht gebracht haben.
Sollen demnach alle vnd jede Scribenten vnd Lehrer ſich vornemblich dahin bearbeiten / wie / Jene zwar den rechten Verlauff vnd Vmbſtaͤnde der Hiſtorien / ſo von jhnen zu be - ſchreiben / hell vnd klar / den Nachkoͤmlingen zum beſten / moͤch - ten vorgeben: Dieſe aber jhren anbefohlenen vnd vntergebe -nenDedication Schrifft. nen Diſcipulis die Sprachen / Freyen Kuͤnſte vnnd Wiſſen - ſchafften alſo deut: vnd verſtaͤndlich proponiren vnd inſtil - liren, damit ſie dieſelben bald vnd recht erlernen / vnd alſo der - maln eins dem Regiment / ſonderlich aber Kirchen vnd Schu - len / nuͤtzliche Dienſte vnd erſprießliche Huͤlffe leiſten koͤnnen.
Solches / Durchleuchtiger / Hochgeborner Fuͤꝛſt / Gnaͤdig - ſter Herꝛ / hat nebenſt andern ſeinen Collegen, auch vnſer lie - ber Vatter / M. Daniel Schwenter Seel. ſondern Ruhm zu melden / in fleiſſige Obacht genommen / in deme er nicht allein die gantze Zeit uͤber / weiln er bey dieſer loͤblichen Nuͤrnbergi - ſchen Univerſitaͤt Altdorff Profeſſor geweſen / ſeine Audi - tores in Linguis Orientalibus vnd Mathematicis Stu - diis, muͤglichſtem Fleiſſe nach / trewlichſt informiret: Son - dern auch / nach verrichter ſeiner Profeſſions Arbeit die mei - ſten Parerga vnd Horas ſucciſivas dahin gemittelt / daß er auch andern / ſo jhn gegenwaͤrtig zu hoͤren verhindert wurden / abweſend moͤchte behuͤlfflich ſeyn. Wie dañ deſſen ein / wiewol geringer / jedoch waarhaffter Zeuge ſeyn kan / ſein Geometri - ſches Wercklein / vnd anders / ſo er vor dieſem in offenen Druck abgehen laſſen. Vnd iſt gewißlich ſeine Begierd / widerumb dergleichen zu thun vnd verborgene Sachen maͤnniglich zum beſten an Tage zu geben / auch auß dieſem gegenwaͤrtigen ge - ringfuͤgigen Opuſculo zuverſpuͤren. Welches er zu ſeiner gu - ten muß / vnd an ſtatt einer Ergoͤtzung deß Gemuͤths / ſo ande - re bißweilen im Trincken oder Spatzierngehen zu ſuchen pfle - gen / nach ſeinen verrichten Profeſſionibus, nicht ohne ſon - derbahre Muͤhe vnd Arbeit / zuſammen getragen. Vnd weilner ge -Dedication Schrifft. er gefuͤrchtet / es moͤchte etwan der Zoilus ſeine ſcharffe Zaͤhne hieran reiben / vnd jhme vorwerffen wollen / daß dieſe Arbeit vnnuͤtzlich / ſeinem Beruff zu wider / ein Zeitverderber vnnd Kinderwerck ſey / darauff dann er / in ſeiner an den guͤnſti - gen vnd Kunſtliebenden Leſer gethanenen Vorrede / gnugſa - me Antwort gegeben: So iſt er / dieſer Vrſach halben / nie - mals geſonnen geweſen / dieſen ſeinen genannten Erquick - ſtunden den rechten Namen vorzuſetzen / ſondern wir / ſeine hinderlaſſene Soͤhne vnd Tochter / haben vns / auff inſtaͤndi - ges begehrn vnd anhalten deß Verlegers / damit nemlich dieſes Buch deſto eher / wegen deß benamten Authoris, abgehen / vnd er keinen Schaden daran leyden doͤrffte / endlichen darzu bereden laſſen.
Demnach wir aber zum oͤfftern von vnſerm lieben Vatter ſeligen / ſatſamen Bericht eingenom - men / wie daß[Ewer Fuͤrſtl. ]Durchl. ſein inſonder - heit Gnaͤdiger Fuͤrſt vnd Herꝛ geweſen / vnd jhn mehrmaln mit vnterſchiedlichen Fuͤrſtlichen Praͤ - ſenten begnadet / Dannenhero er gewillet war / ſein danckbares Gemůth / gegen Ewer Fuͤrſtl. Durchl. mit Dedicirung eines Büchleins / oͤffentlich zu er - zeigen / welches aber ſein vnverhoffter Todt verhin - dert: Als haben wir / ſeine hinderlaſſene Soͤhne vnd Tochter / nicht vnterlaſſen ſollen noch wollen /dieſenDedication Schrifft. dieſen vnſers lieben Vatters Seeligen letzten Wil - len anjetzo zuvollziehen / vnd Ewer Fuͤrſtlichen Durchleucht dieſe Delicias Phyſico-Mathematicas, im mangel vnd an ſtatt eines beſſern / hiermit vn - terthaͤnig zu offeriren.
Darzu vns auch noch ferners angemahnet vnd bewogen / die Fuͤrſtliche Lieb vnd Gnaͤdige Affe - ction / ſo Ewer Fuͤrſtliche Durchleucht jederzeit zu den Literis vnd Literatis getragen / davon dann die Poſteritaͤt / weiln die Welt ſtehet / wird zu ſa - gen / vnd neben dieſem auch Ewrer Fůrſtlichen Durchl. hohe Gaben / tieffen Verſtand vnd vieler Kuͤnſten Wiſſenſchafften zu deprædiciren wiſſen. Wollen alſo E. Fuͤrſtl. Durchl. vns vnterthaͤnig recommendirt vnd Gelbige demuͤtig gebeten ha - ben / Sie geruhen dieſes ſchlechte Wercklein Gnaͤ - dig auff: vnd anzunehmen. Vnd gleich wie Per - ſeus die Andromeden / als ſie dem vngehewren Thier vorgeſtellet woꝛden / entlediget / vnd mit ſeinẽ Diamantiſchen Schwerdt Harpe genant (wie an - fangs gemeldte Poeten fingiren) die Gorgonas uͤ - berwunden / auch mit der Meduſæ Haupt ſeinẽ An -) () (herꝛenDedication Schrifft. herꝛen Acriſium in einen ſtein trans formirt hat: Ebener maſſen vnd alſo wollen E. Fuͤrſtl. Durchl. dieſes offternannte Wercklein mit Jhrer hellglaͤn - tzenden Fuͤrſtlichen Auctoritaͤt wider die vnbilli - chen Momos gnaͤdig defendiren / vnd jhnen gleich - ſam darmit jhre Laͤſterzungen jnnen halten vnd verſtummend machen.
Wollen alſo E. Fuͤrſtl. Durchl. Goͤttlicher Pro - tection / vns aber Derſelben zu beharꝛlichen Fůrſt - lichen Gnaden vnterthaͤnig anbefohlen haben. Datum bey der loͤblichen Vniverſitaͤt Altdorff / den 10 Aprilis / im Jahr Chriſti 1636.
E. Fuͤrſtl. Durchl. Vnterthaͤnige M. Danielis Schwenteri, Linguar. Oriental. & Mathematum in Univerſi - tate Altorfinâ Ptofeſſoris publici p. m. Hinderlaſſene Soͤhne vnd Tochter.
ES hat / Guͤnſtiger vnd Kunſtliebender Leſer / ein Gelehrter vnd Scharffſinniger Mathematicus zu Pariß (deſſen Namen mir zwar vnbekannt) ein Buͤchlein / welchs er Recreationes mathematicas, das iſt / Mathe - matiſche Ergoͤtzungen nennet vnd intituliret / vor we - nig Jahren in offenen Druck an den Tag gegeben: Dar - innen er was in Mathematicis vnd Phyſicis wunderlich / zu ergoͤtzung deß Gemuͤths annemlich / vnd dann dem Menſchen zu practiciern nůtzlich / in ſeiner Mutterſprach tractiert / vnd abhandelt. Solchs iſt mir von einer Hochgelehrten Per[ſ]on / als meinem ſehr wer - then lieben Herrn vnd Freund / nicht vnlangſt von Pariß geſchicket vñ neben einem andern Hebr[aͤ]iſchen Tracta, zu einem Newen Jahrs Præ - ſent verehret worden Vnd ob ich zwar der Frantzoͤſiſchen Sprach nit ſo maͤchtig / daß ich ſelben Tractat vollkommenlich vor mich ſelbſten / verſtehen koͤnnen / hat mich doch nicht allein der Titel vnd Figuren deß Buchs / ſondern auch der groſſe Eyffer vnd Begiert zu ſo annemlichen Kůnſten dahin getrieben / daß ich mit huͤlff eines Frantzoͤſiſchen Lexici, das meinſte verſtehen lernen / vnd diß deſto leichter / weil ein zimlicher ja der meinſte theil ſelbiger Kuͤnſte mir zuvor nicht vnbekannt: Wie aber dieſem allem / weiln ich an vielen Orten den rechten voͤlligen Ver - ſtand vor mich ſelbſt nicht finden vnd erreichen koͤnnen / hab ich end - lich einen Gelehrten vnd der Frantzoͤſiſchen Sprach ſehr wol erfahr - nen Mann von freyen ſtucken dazu angenommen / (deſſen Namẽ / wañ ich wuͤſte jhme dadurch ein Belieben geſchehe / ich hie gern exprimiern vnd meldten wolte. die Vnkoſten vnd Muͤhe daran gewendet vnd mit ſeiner huͤlff gedachtes Werck in die Teutſche Sprach verſetzet. Darauß ich dann bey meinen vielfaͤltigen laboribus, nicht geringe Ergoͤtzligkeit erſchoͤpffet vnd bekommen / alſo daß ich mir eingebildet / in Mathemati - cis vnd Phyſicis mir kein Opus jemahls lieblicher vorkommen. Jn mei -Bner2An den Guͤnſtigen Leſer. ner Jugend hatte ich ſolche vnd dergleichen Kůnſte / nur luſts halben zuſam̃ zu tragen / eine ſonderbahre Frewde / die demonſtration aber vnd Gruͤnde ſolcher Kuͤnſte / als dz vornembſte ließ ich auß vnverſtand er - ſitzen. Mein intent war gute diſcurſus dadurch zu continuirn / vnd da man ſonſten die zeit mit uͤberflůſſigen eſſen vnd trincken / oder vnnuͤtzen Geſchwaͤtzen ſolte zubringen dergleichen ſchoͤne natůrliche Kůnſtlein vor die Hand zunemẽ / damit die Zuſeher zu delectiren, viel boͤſes zuver - hindern / vnd je laͤnger je mehr zu lernen: wie dann auch vielfaͤltig ge - ſchehen. Salomon in ſeinen Sprichwoͤrtern am 27 Capitel ſpricht: Ein Meſſer wetzet das anď / vñ ein Mañ den andern / welchs ſich auch bey mir befandt / dann in dem bißweilen einer dieſe / ein anderer eine an - dere vnd ich meine Kunſt voꝛbrachte / wurden die mir vnbekante ſtuͤck / von mir allzeit auffgezeichnet / vnd ſo lang zuſam̃ getragen / biß derer Anzahl in viel hundert erwachſen vnd zugenommen. Als ich aber et - was aͤlter worden / zu beſſerm Verſtand gelanget / vnd was Nutz die de - monſtrationes ſolcher Kůnſte / einem Studioſo Mathematicæ vnd Phyſicæ braͤchten / geſpuͤret / habe ich mich auff den Grund vnd Beweiß der Kuͤnſte mehr als auff die Kuͤnſte ſelbſtẽ geleget / vnd darauß nicht ge - ringen Nutzen erlanget vnd zuweg gebracht. Jch hab aber offt ſolche meine obſervationes den Kunſtbegierigen zu gut / in offenen Druck zu bringen / mir vorgenommen / allein dem Kluͤgling vnd Laͤſterer nit ins Gericht zu kommen / iſt es bißhero vnterlaſſen worden: Dann ich wol gewuſt / daß davon vngleiche judicia fallen wuͤrden. Weiln aber ein ſo vornemer gelehrter Profeſſor zu Pariß der Sach einen anfang gemacht / mir gleichſam das Eiß gebrochen vnd den Weg gebahnet / habe ich ſolchs ſein Werck mit meinen Zuſatzungen zu publiciren / mich endlich reſolviret. Damit aber ein jeder deme diß Buch vnter die Hand kom̃et / wiſſe / welcher geſtalt es von mir angefangen / angeoꝛdnet vnd geendet / ſo will ich mich deſſen in folgenden Puncten erklaͤren / vnd den Leſer deßwegen Bericht ertheilen.
Der Frantzoͤſiſche Author nennet ſein Buͤchlein Recreations mathe - matiques, das iſt wie geſagt: Mathematiſche Ergoͤtzungen. Weiln a - ber viel Phyſicaliſche Stuͤck darinnen / vnd dieſer mein Tractat deß Na - mens halben von jenem vnterſchieden werde / hab ich jhn Delicias Phyſi - co-mathematicas, zu Teutſch aber / Mathematiſche vnd Phyſicaliſchs Erquickſtunden benahmſamet.
Zum andern theilet er ſein Buͤchlein / weil es ſehr klein / nur in zweyTheil /3An den Guͤnſtigen Leſer. Theil / ich aber das meine / weil es vmb ein mercklichs groͤſſer / beſſerer Ordnung halben / wie folgen wird in ſechzehen Theil.
Zum dritten / tractiret er ſeine Kůnſte per problemata: weiln ich mich aber / in den ich den Teutſchen zu gut ſchreibe / wo muͤglich / Teutſch zu reden bemuͤhe / vnd diß auff Erinnerung Aventini in ſeiner Vorrede / welchem es ſehr mißfaͤllt / daß man die Teutſche Sprach mit frembder Sprachen woͤrtern / ohne noth / vielfaͤltig beflaͤcket / alſo habe ich die problemata, wie vor mir auch der vorneme Mann Rivius vnd andere gethan / Auffgaben: vnd weil viel Fragens weiß vorgegeben / ſelbiges Fragen genennet.
Zum vierdten / werden in deß Frantzoͤſiſchen Profeſſoris Tractat nur bey anderthalbhundert Auffgaben vnd Fragen gefunden / ich aber habs biß auff 663. getrieben vnd gebracht.
Zum fůnfften / weiln deß Authoris Tractat klein vnd kurtz / hat er ſei - ne Probiemata ohne Ordnung vorgebracht / in dem er bißweiln ein ſtuck auß der Arithmetic oder Rechen Kunſt / bald ein anders darauff auß dem Feldmeſſen Perſpectiv vnd dergleichen / genommen / dannenhero er eines Regiſters beduͤrfftig geweſt welchs er auch dazu geſetzet / mich aber hat vor gut angeſehen / eine richtige Ordnung hierinn zu halten / vnd die Kuͤnſte nach den theiln der Mathematic / wie ſie ordentlich auff einander folgen / zu tractiren: Deßwegen dann der erſte Theil Stuͤck begreiffet der Rechen Kunſt anhaͤngig / der ander haͤlt in ſich Kuͤnſte ſo auß dem Feld - vnd Landmeſſen genom̃en / vnd ſo fortan / wie ſolche Ordnung nach dem Titel dieſes Buchs zu finden / vnd alſo ein Regiſter erſparet worden.
Zum ſechſten / wo der Frantzoß bißweilen ſo obſcur vnd dunckel ge - redet / daß er ſchwer zu verſtehen / habe ich jhn mit meinem Zuſatz wo es ſeyn koͤnnen / erlaͤutert vnd alles / ſo viel mir muͤglich / deutlich vnd klar beſchrieben.
Zum ſiebenden / weil mich deß Authoris diſcurs bißweiln zu lang ge - deucht / bin ich nicht eben bey ſeinen Worten verblieben / ſondern hab was nit eben zur Sach dienet / außgelaſſen / vnd vom diſcurs abgebꝛochẽ.
Zum achten / ſeynd bey jhme in die 70 Figuren zu finden in welchen bißweiln Buchſtaben / ſo im Text angezogen werden manglen: welche ich an vielen Orten dazu geſetzt. Die Figurn aber habe ich / wo ſie vn - noͤtig / vnd die Kunſt ohne Figurn wol zu verſtehen / außgelaſſen: Hin - gegen ſeynd in dieſem Wercklein in die 180 Figurn zu finden. Wo michB ijferner4An den Guͤnſtigen Leſer. ferner die Figuren deß Authoris recht perſpectiviſch gedeucht / bin ich denſelben nachkommen im widrigen habe ich die Figuren von newem geſtellet vnd perſpectiviſch entworffen.
Zum neundten gleich wie der Frantzos in ſeiner Mutterſprach zu beſchreibung ſolcher Kuͤnſte nit hohe wort gebraucht / vnd ſolche auch nit von noͤtẽ: dann je ſchlechter der ſtylus bey erklaͤrung ſolcher Kuͤnſtẽ / je beſſer ſie zuverſtehẽ vnd zufaſſen / Alſo habe ich auff begehrn deß H. Verlegers alle ſolche Kuͤnſte aufs einfaͤltigſt / jedoch mit recht teutſchẽ / vnd wo es die notdurfft erfoꝛdert / Lateiniſchen wortẽ vñ terminis, an tag geben / vnd dem Leſeꝛ gantz deutlich vñ klar vor die Augen geſtellet.
Zum zehenden / weiln der Frantzos ſelten der Authorum gedencket / welche die Kuͤnſte deren er erwehnet / auch beſchrieben / einem jeden In - ventori vnd Erfinder aber ſeine Ehr gebuͤrt: Als hab ich an den mein - ſten Orten die Authores geſetzet / were auch noch an vielen mehr geſche - hen / wañ ich mein Bibliothec zur Hand gehabt / vnd nicht den meinſten theil / Kriegsgefahr halben an ſichere Ort transferiren muͤſſen: Man wird aber voꝛ diſer Vorꝛede ein zimliche anzahl ſolcher Authorũ antref - fen. Was ich ferner nit in andern Scribentẽ gefundẽ / vnd einig vnd al - lein in dẽ Frantzoſen angetroffen / hab ich auch vnvermeldt nit gelaſſẽ.
Zum eylfften weiln offtgedachter Autor, die demonſtration. Grund vnd den Beweiß ſelten zu ſeinen Auffgaben geſetzet / inſonderheit in der Rechẽkunſt / ja offt manches gemeines vñ bekantes ding bloß ohne demonſtration vorbringet: ſo habe ich mich bemuͤhet / wo es mich von noͤten gedeucht / die demonſtrationes hinzu zufuͤgen: Dañ viel Auffgaben ſich ſelbſten demonſtriren, alſo / daß keines fernern beweiſes dabey von noͤthen iſt. Jch habe aber die demonſtration bißweilen gern mit ſtill - ſchweigen vmbgangen / damit dem gůnſtigen Leſer auch etwas zu ſpe - culiren vnd zu ergruͤnden gelaſſen wuͤrde.
Zum zwoͤlfften / lehret er etliche feine Stuͤck mit Karten vnd Wuͤrf - feln verrichten / welche auß der Rechenkunſt meinſtes theils jhren Vr - ſprung nemen / vnd deßwegen nicht zu verwerffen / jedoch weil meine meynung nit iſt / die Jugend mit karten vnd wuͤrffeln vmbgehen zuler - nen / vñ doch die demonſtration artlich vnd nuͤtzlich / habe ich die meiſtẽ vnd voꝛnembſtẽ Stuͤck / auff andere Sachẽ gerichtet vnd demonſtriret.
Zum dreyzehenden / habe ich auch / meine meynung dem G. Leſer recht zu verſtehen zugeben / vnd die Mathematiſchen Kuͤnſte gebuͤren - der maſſen zu loben / vor jeden theil eine Vorrede geordnet.
Noch5An den Guͤnſtigen Leſer.Noch hinterſtellig iſt / vngleichen Vrtheln / derer allbereit etliche von ſolcher meiner Arbeit gefaͤllet / zu begegnen vnnd mich vor dem Kluͤg - ling vnd andern mißguͤnſtigen vnd vnverſtaͤndigẽ Leutẽ zu verwarẽ.
Es moͤchten ſich erſtlich etliche vernemen laſſen / ich haͤtte wol eine nuͤtzlichere Arbeit vor die Hand nemen koͤñen / als eben dieſe / haͤtte auch meines Beruffs Arbeit darneben hindan geſetzet / vnd viel dabey ver - ſeumet: Dieſen antworte ich kuͤrtzlich: Daß ſolche Arbeit meiner Pro - feſſion vñ Beruff nicht zuwider / wird mir auch niemand mit grund der Waarheit nachſagẽ / daß ich deßwegen in meinem Beruff das gering - ſte verſeumbt: Dann ich nur die muͤſſige Zeit welche andere mit ſpatzi - ren vnd andern Ergoͤtzlichkeiten zugebracht / nach meinen verrichten Profeſſionibus, an ſolche Arbeit gewandet / ſie auch fuͤr eine Eꝛgoͤtzligkeit vnd Erquickung deß Gemuͤths gehalten / vnangeſehen / es mir groſſe Muͤhe vnd Arbeit gemacht / daß es aber eine vnnůtze Arbeit ſeyn ſolte / wird folgend das Widerſpiel gezeiget.
Andere moͤchten ſich verlauten laſſen / ſie manches Stůck beſſer zu practiciren wuͤſten / als ichs vorgeben vnd beſchrieben. Diß glaube ich gar wol / vnd vielleicht weiß ichs auch beſſer / welchs ein ieder durch den diſcurs von mir erfahren kan. Es muß aber ein ſchlechter Fechter ſeyn / der jhm nicht einen vnd den andern Streich bevor behaͤlt. Dazu will ich dieſem vnzeitigen Vrtheil entgegen ſetzen / das jenige / deſſen an - dere ſich verlauten laſſen / daß man nemlich ſolche Kůnſt geheim hal - ten vnd nicht einem jeden an die Naſen binden ſolte. Jch hab aber / was zu publiciren geweſt trewlich an Tag gegeben / das andere aber / ſo dem gemeinen man zu wiſſen vn vonnoͤthen / verſchwiegen vnd mir vor - behalten / deßwegen mich niemand verdencken wird.
Letzlich wird es auch an dieſem Vrtheil nit mangeln / daß nemlich viel ſchlechtes / bekantes vnd kindiſches dings in dieſem Tractat, neme auch die Leut nit wenig wunder / daß ich mit dergleichen Kinderwerck vmbgangen. Waar iſts / es ſeynd viel Saalbader vnd Kindiſche Spiel in dieſem Werck / welche einig vnd allein wegen jhrer artlichen demon - ſtration geſetzt. Viel dings practicirn die Kinder vnd gemeine Leut / de - rer demonſtration ſo ſubtil vnd kuͤnſtlich / daß auch die gelehrteſten Phi - loſophi ſelbige zu finden / ſich auffs euſſerſte bemuͤhen muͤſſen. Nihil parvum nihil contemnendum, Es ſey ein ding dem anſehẽ nach ſo gering als es jmmer woͤlle / ſoll mans doch nicht verachten / wie vns die alten Weiſen gelehret. Zum Exempel / Einem Knaben iſt nicht ſchwer /B iijKugel -6An den Guͤnſtigen Leſer. Kugelrunde Waſſerbullen / mit einem Strohalm auß Saiffenwaſſer auffzublaſen / allein die Vrſach / warumb ſie rund vnd nit einer andern Figur / auch was ſolche ein geraume Zeit erhalte vnd widerumb zer - breche kan kein gemeiner Man anzeigen. Ein Phyſicus oder Naturkůn - diger wird dazu erfodert. Ein Bawrnknecht ſo an einem Haſpel von zweyen vnterſchiedlichen Farben Schwingen gemacht / Garn abwin - det / ſihet / wann der Haſpel geſchwind vmblauffet / nur die ſchwinge welche eine hoͤhere Farb hat vor der andern. Die Vrſach verſtehet er nicht / ein Opticus aber / oder der Seh Kunſt Erfahrner / kan ſolche an tag geben. Ein Kind wirfft einen Stein in ein Waſſer / erfrewet ſich / daß er darinn viel Circkel machet / diß iſt zwar ein kindiſche frewd: die Vrſach aber deſſen anzuzeigen iſt kein Kinderwerck / ein Philoſophus wird ſol - che zu finden / dazu erfordert. Wie jhme aber Vitruvius in ſeinem V Buch cap. III vnd Seneca lib. I. cap. II. quæſtion natural. wie auch Gulielmus Phi - lander ſolches Kindeꝛwerck zu nutz machen / kan jeder an gedachten Or - ten ſelbſten leſen. Ariſtoteles der Scharffſinnige vnd weiſe Mann / ſetzet in ſeinen Schrifften viel kindiſches dings der demonſtration halben / vnd dadurch zu hoͤherer Sachen Verſtand zu gelangen. Was Bernardinus Baldus in Mathematicis außgerichtet / iſt den Gelehrten nicht vnbekañt / ſolcher ſchaͤmet ſich auch nicht kindiſche Werck zu demonſtriren. Vnter andern da er in Mechan. Ariſtotelis von bewegung der Schiff redet / nim - met er auch ein Exempel von den verticillis, das iſt ein Cꝛeutz / daꝛan vier Kartenblaͤtter ſtecken / welchs / ſo es die Kinder in die Hand nemen vnd ſchnell lauffen / an einem Stab vmblauffet / vnd dadurch macht er ſeine demonſtration von bewegung der Schiff vielleichter. Vnd ſolcher Ge - ſtalt haben ſich mit dergleichen Wiſſenſchafften Hohe Potentaten / Keyſer / Koͤnig / Fuͤrſten vnd Herren delectiret vnd ergoͤtzet / wie an ſei - nem Ort folgen wird.
So wird nun der guͤnſtige vnd auffrichtige Leſer mich nit ſchelten noch verden - cken / daß ich bißweilen Kinderpoſſen hieriñ / einig vnd allein der Ergoͤtzligkeit vnd de - monſtration oder beweiß halben vorgebracht / vnd jhm mein wolmeynẽ gefallen laſ - ſen / auch mit dieſem wenigen vor dißmal vor lieb nemen. Der vngezweiffelten Zuver - ſicht / daß / ſo ich verſpuͤren werde / jhme ſolche meine Arbeit añemlich / ich ins kuͤnfftig / allen Kunſtbegierigen / mehr zu communiciren reſolviret. Die Welt anlangend / zweiffelt mir nit / ſie werde jhrem alten gebrauch vnd angewehnter Tugend nach / mir auchwiſſen dafuͤr zu dancken. Hiemit vns ſaͤmptlichen dem Allmaͤchtigen zu be - harrlichen Obhalt getrewlich entfohlen.
(Faciebat in honorem Dn. Authoris D. J. S. D. )Ein13Epigrammata.Guter Freund.WAnn dir ſchwer wird der Arbeit Laſt /Vnd ſich zu dir will dringenSaturnus der trawrige Gaſt /Sein humor dir bey z’bringen /Meld vor allem den Muͤſſiggang /Das er dir nicht beykomme:Der Veneri ja nicht nachhang /Bacchus laͤſt dich nicht fꝛomme.Von Jener haſt du wenig Ehr /Dieſer bringt dich vmbs Leben.Boͤß Gſellſchafft flieh je laͤngr je mehr /Dem Spiel ſey nicht ergeben /Boͤſe Geſellſchafft dich verfuͤhrtVnd machet dich gar eytel.Das Spielen dich offt außſpolirt /Vnd leeret dir den Beutel.Wilt du die Zeit wol bringen hin /So nimb diß Buch zur Hande:Ergoͤtze damit Mut vnd Sinn /Loͤß auff trawrige Bande.Hierinn findeſt ErgoͤtzligkeitSo ohn Nutz nicht abgehet /Damit du vertreibeſt die Zeit /Wol dem ſo es verſtehet.
(C. ex tempore. M. G. S. S. )Ein anders.WAnn Zoilus gafft hierein /Momus herreckt die Naſe ſein /Werden ſie beed jhr Muͤthlein kuͤhln /Wie grobe Schwein darinnen wuͤhln /Vor allen aber reformiern,Daß der Author hie ein thu fuͤhrn /Viel kindiſch ding / vñ ſchlechten Dant /Den Knaben in der Schul bekannt.Allein mit dieſem jhrem richtenWerden ſie hie gar wenig ſchlichten.Ein kluger Mann weiß vnter deſſenWer Ariſtoteles geweſen;Der viel Kindiſch bringt auff die BonWegen der demonſtration.Darinnen groß SubtilitaͤtGar offt vnd viel verborgen ſteht.Ein Kind weiß daß ein ſchwerer SteinSo geworffen mit Vortheil feinAuffs Waſſer etliche ſpruͤng verricht.Aber die Vrſach weiß es nicht /Ein Glehrter Mann ſich vnterwindt /Laͤſt nicht nach biß er Vrſach findt.Er ſucht aber was er begehrtJn der Philoſophia werth.Drumb wird ein Weiſer ſehen bhendtWas ſey deß Authoris intent:Daß er Kindiſche Sach einfuͤhrDamit ers kuͤnſtlich demonſtrier,Vnd alſo die Jugend angewehn;Hoͤhere Sachen zu verſtehn.Drumb Zoile wend ab dein Gſicht /Mome deins tadlens duͤrffn wir nicht.Dem Authori der Ruhm gebuͤhrt /Weil er den Leſer delectiert.
(F. S. P L. L. )Das dritte.WO der Wein gut iſt vnd gerecht /Lobt er ſich ſelbſt am Reyen /Wo er aber iſt gring vnd ſchlecht /Muß man jhn erſt außſchreyen.Alſo ich vor vnnoͤtig acht /Diß Buch zu commendirn,Welches ſich ſelbſt Lobwuͤrdig macht /Wie der Leſer wird ſpuͤhren.Jch bekenne mit Hertz vnd Mund /Daß es mich thaͤt erfrewen /Als ich nur darinn laß ein Stund /Die Zeit thaͤt mich nicht rewen.Jch bitt nun mehr O Freunde werthFahrt fort / halt nichtzu ruͤcke /Dis Werck ewrem Nechſten verehrt /GOtt geb euch Hail vnd Gluͤcke.
WAs das Rechnen vor eine treffliche Kunſt / vnd was Nutzen ſie allen Staͤnden auff der gantzen Welt bringt / haben vor vielen vnd wenig Jahren / eine groſſe anzahl gelehrter Maͤñer in jhren Schrifften vmb - ſtaͤndlich außgefuͤhret / vnd Soñenklaͤrlich dar gethan; alſo daß ſolche allhie weitlaͤufftig zu ruͤhmen / vnd mit hohen Worten herauß zu ſtrei - chen / gantz vnnoͤtig; Wir laſſen vns aber einig vnd allein an deß tieff - ſinnigen vnd weltweiſen Manns Ariſtotelis Vrtheil von gedachter Kunſt begnuͤgen / welcher ſie allen Mathematiſchen Wiſſenſchafften weit vorziehet / vnd fuͤr die Edelſte darunter haͤlt; nicht allein wegen jhres groſſen Nutzes / ſondern auch weil ſie vor ſich ſelbſt vollkom̃en / vnd keiner andern Mathematiſchen Wiſſenſchafft zu jhrer Verrich - tung beduͤrfftig / da hingegen die andeꝛn faſt alle / mit huͤlff vñ zuthun der Rechenkunſt erſt jhre vollkommenheit erreichen. Anderer aller zugeſchweigen / wann wir nur die Singkunſt vor die hand nemen vnd wol erwegen / davon der gemeine Mañ fragen moͤchte / was ſie mit der Rechenkunſt gemein oder zuſchaffen haͤtte; ſo findet ſichs / daß es mit ſolcher ſo weit kommen / daß man die lieblichen Zuſam̃enſtimmungen auß den Zahlen vnd rechnen zuweg bringet / kuͤnſtlich zuſam̃ ordtnet vñ verſetzet / welches die Gelehrten dem Samiſchen weltweiſen Pythagora zuſchreiben: Dieſer als er vngefaͤr vor einer Schmitten fuͤruͤber gieng / eine ſchoͤne Zuſamſtimmung in den Haͤm̃er - ſchlaͤgen hoͤrete / in acht name vnd der ſach ferner nachdachte / befande / daß ein ſolche liebliche Zuſamſtimmung in beſchaffenheit der Haͤmer / nach dem ſie groß oder klein / ſchwer oder leicht / beſteht / vnd in der Rechenkunſt gegruͤndet ſey; Darauff dann die Harmoniſche progreſſion vnd Rechnung erfunden: Alſo daß die Singkunſt faſt in nichts anderſts als in einer Harmoniſchen Rechnung beſtehet: Geſchweige anderer Mathematiſchen Wiſſenſchafftẽ vnd Kuͤnſten von welchẽ eben deꝛgleichen in waar - heit kan geſagt werden. Nun iſts aber einem gelehrtẽ Mañ nit genug / was im Hauß - halten / vnd zur nahrung von noͤten / rechnen koͤnnen / welchs jhme auch ein gemeiner vnd vngelehrter leichtlich nachthun kan: Sondern daß er weiter in der Rechenkunſt fortfahre / die vrſach vnd grund gemeiner Rechnung / vnd andre wiſſenſchafftẽ ſo nit alle in die Kuchen tragen / oder den Beutel fuͤllen / erforſche vnd außkeible; Dannen - hero der weiſe Held Plato recht vnd wol geſagt: Die Rechenkunſt zu vielen dingen nutz vnd ſehr lieblich ſey / wañ mans der wiſſenſchafft halben / vñ nicht groß Gut damit zu erwuchern / lerne. Welchs wol in acht genom̃en der Wundermañ Archimedes, er ſich mit theils hohen vnd nuͤtzlichen / theils mit luſtigen / wunderlichen vñ in der Rechen -kunſt15deß erſten Theils. kunſt gegruͤndeten Auffgaben ergoͤtzet / auch andere damit zu erfrewen vnd vnterrich - ten an tag geben: Dañ iſt vnter andern das nit wunderlich vnd lieblich / wañ er eine Zahl ſetzet / welche gewiß / eigentlich vñ vnwiderſprechlich groͤſſer / als die Sum̃a aller Sandkoͤrnlein / ſo in der Hoͤle deß groͤſſern Him̃els ligen koͤndtẽ? da er doch ein Koͤrn - lein Sands nit groͤſſer nim̃et / als den zehentauſendſten theil eines Maenkorns; von welchem wir an ſeinem Ort auß fuͤhrlicher handlen werden. Vnd ob diß alles richtig vnd gewiß / ſo wirds doch von dem Poͤfel verlachet vñ vor vnmuͤglich gehaltẽ / welchs Archimedes vorher geſehen / vnd daß viel daruͤber lachen wuͤrden / zuvor geſagt. Wer den Beweiß Archimedis verſtehet / darffs nit glaubẽ / ſondern weiß es vngezweiffelt vñ gewiß. Vnd ob ferner diß nichts zur Nahꝛung deß Leibs hilfft / dienet es doch zur Nah - rung deß Gemuͤths vnd mehrung der Wiſſenſchafft! Was iſt aber einem Weltwei - ſen verſtaͤndigen Mañ lieber vnd beſſers / als taͤglich zu lernen / auch einig vnd allein / daß er viel wiſſe vnd erfahre / ſich zu bemuͤhen. Damit ich aber zu meinem Vorha - ben gereichen moͤge / iſt nicht vnbekannt / wie die vorneme vnd ſubtile Maͤnner Hiere - nymus Cardanus, Johannes Buteo, Nicolaus Tartalius vnd andere der Rechenkunſt Er - fahrne / in dergleichen luſtigen Rechnungen den Beweiß vnd Grund zu finden / ſich bemuͤhet: Nur ein Exempel zu erzehlen / ſo weiſen ſie die Vrſach / warumb 12 Per - ſonen an einem Tiſch ſitzend / jhre Stelle 47900 / 600 mahl / daß ſie nicht einmahl wie das ander geordnet / verendern moͤgen; Welchs der Rechenkunſt Vnerfahrne mit jhrer Vernunfft nimmermehr ergreiffen koͤnnen. Andere Rechenmeiſter als M. Johannes Widman / Henricus Grammateus, Adam Rieß / Gemma Friſius, Chriſto - phocus Rudolphus von Ciulen / D Georgius Heniſchius, Michaël Stifel. Simon Iacob von Coburg / die Nuͤrnbergiſche Newdoͤrffer / Iohannes Weber / Nicolaus Petri, Au - dreas Helmreich / Anthonius Schultz / ꝛc. haben nuͤtzlich: vnd gute Rechenbuͤcher / da - rinn nicht allein was zur Kauffmannſchafft vnd Haußhalten nothwendig / ſondern auch viel / ſo nur in der Wiſſenſchafft berichtet vnd beſtehet / etliches aber zu Erwe - ckung Kurtzweil dienſtlich / geſchrieben.
Zum Exempel / ſo einer ein Zahl in Sinn genommen haͤt - te / ſelbe zu errahten. Jtem / wann etliche Perſonen an einem Tiſch ſaͤſſen / darunter eine ein Ring angeſteckt haͤtte / durch Rechnung zu erfahren / welche Perſon den Ring habe / an welcher Hand / an welchem Finger / vnnd an welchem Glied. Jtem / ſo drey Sachen vnterſchiedlich von dreyen Perſonen verborgen wuͤrden / außzurechnen / welche jede Perſon genom -men /16Vorrede deß erſten Theils. men / vnnd was dergleichen artlicher Auffgaben vnd Fragen mehr ſeyn.
Weil ich dann in meiner Jugend mich mit ſolchen Auffga - ben auch vielfaͤltig delectiret vnd ergoͤtzet / hernach aber in zunemung meines Alters erfahren / daß ſolcher Auffgaben Grund vnd Beweiß zu erforſchen / nicht ſchlechten Nutz / hoͤ - herer Auffgaben Beweiß zu ergruͤnden / bringe / hab ich ſol - cher 90. auß deß Frantzoͤſiſchen Authoris vnd meinen colle - ctaneis zuſamm geſchrieben / vnd in folgendem erſten Theil dieſer Erquickſtunden / theils mit den demonſtrationibus vnd Beweiß / theils aber / damit dem leſer auch etwas außzu - dencken an die Hand gegeben wuͤrde / ohne Beweiß / an Tag geben. Der guͤnſtige Leſer woll damit vor lieb nemen / vnd ſolches zu ſeiner Ergoͤtzung / oder Nutzen nach belieben ge - brauchen.
CHriſtoff Rudolff in ſeiner Schimpffrechnung / wie auch Simon Ja - cob von Coburg in der Beſchlußrechnung / ſeines Rechenbuͤchleins leh - rens alſo verrichten: Laß die Zahl ſo einer in Sinn genommen / Tri - plirn / das Triplat halbirn / das halb wideꝛ triplirn / vnd dir ſolchs Triplat ſagen: Theil es bey dir in 9 / was kommet / multiplicier mit 2 ſo haſt du ſeine Zahl. So es aber mit 9 nicht gerad kan abgetheilt werden / ſo addier zum Duplat noch eins.
Zum Exempel / einer hab 6 in ſinn genommen / die heiß jhn triplirn / thun 18 / halbirn 9 / wider triplirn 27. So er dir nun ſolche ſagt / vnd du mit 9 ab - theilſt / kommen 3 / mit 2 multiplicirt / gibt 6 die Zahl ſo in Sinn genommen worden
Solche deine diviſion aber zuverbergen / daß ſie vnvermerckt bleibe / ſo nimb etliche Zahlen ſo ſich mit 9 dividirn laſſen / daß nichts uͤberbleibe / als 90000 / 9000 / 900 / 90 / 81 / 72 / 63 / 54 / 45 / 36 / 27 / 18 / 9. Heiß jhn von dẽ letzten triplat / eine außdenſelben abziehen / welche du dann wilt / nach dieſem eine andere / biß er nim̃er 9 abziehen kan / mercke alsdann / wie offt in ſolcher Subtraction 9 von ſeinem Triplat genommen werde: frag auch letzlich / ob er noch eins davon nemen moͤge / damit du erfahreſt / ob noch etwas vorhan - den / welchs geſchicht / wann ſein Zahl vngerad geweſt / dupplier wie offt er 9 genommen / hat er letzlich das eins auch abgezogen / ſo ad dir dem duplat eins / wo nicht / ſo zeigt alsbald das Duplat ſeine Zahl / wie droben gemeldet.
Zum Exempel einer hab genommen 2452. Heiß jhns triplirn / kom̃en 7356 ſolchs halbier / wird 3678. ſolchs wider triplirn / gibt 11034. Heiß jhn von ſolcher Zahl ſubtrahirn 90000 / das kan er nicht / nenne jhme deß - wegen 9000 / das kan er abziehen / reſt 2034. Heiß jhn noch einmal ſubtra - hirn 9000 / das kan er nicht thun / heiß 900 abziehen / das wird er 2 mal thun / bleibt erſtlich 1134. Zum andern 234. davon 90 zweymahl / reſt erſtlich 144. Zum andern 54 ferner 81 / 72 vnd 63. kan er nicht abziehen / neñe 54. Dbleibt18Erſter Theil der Erquickſtunden. bleibt 0. davon kan er keine der vorgeſchriebenen Zahlen mehr nemen / frag deßwegen ob er noch eins davon nemen koͤnne / ſo ſoll ers thun / weil er nun ſagt nein / ſo kanſt du die Zahl errahten / als: 〈…〉
Ein ander Exempel / ſo er aber genommen 131. Heiß jhns triplirn / wird 393 / halbirn wird 196½ / ſolches wider triplirt / thut 589½. Heiß jhn ſub - trahirn 90000 / 9000 / 900 / das kan er nicht / aber 90 kan er ſubtrahirn 6 mahl / ſteht I. alſo 499½. II. 409½. III. 319½. IV. 229½. V. 139½. VI. 49½. Ferner ſubtrahirt er 45 / reſt 4½. mehr eins / reſt 3½. welches wir nicht weiter in acht nemen. 〈…〉
Oder zu vermeidung der Bruͤch / frag erſtlich / ob die Zahl gerad / oder vngerad / iſts gerad / ſo kompt kein Bruch / iſts vngerad / ſo heiß jhn eins dazu oddirn / ſolches wird zu letzt wider abgezogen.
Den19Erſter Theil der Erquickſtunden.Den Grund vnd Beweiß ſolcher Handlung zu finden iſt nicht ſchwer / Dann / man multiplicirt zweymahl mit 3 / vnd halbirt zwiſchen ſolchen mul - tiplicirn einmal / welchs eben ſo viel / wann das multiplicirn auff einander kaͤ - me / vnd zu letzt das halbirn folgete. Weil aber mit 2 mal 3 multiplicirn / eben ſo viel bringt / als ſo man einmal mit 9 multiplicirt (wiewol jenes den Vnwiſ - ſenden verborgener) vnd das Product halbirt haͤtte. So ſolcher halbe Theil gegeben wird / kan man jhn wider duplirn / ſo iſt die Zahl 9 mahl / ſolche mit 9 dividirt / kompt fuͤr einmal / oder man theilt den halben Theil mit 9 / vnd du - plir zu letzt / bringt eins ſo viel als das ander: Weil nun die Vrſach ſolcher Regel bewuſt / kan jhme ein jeder mehr dergleichẽ Regel nach beliebẽ machẽ.
Zum Exempel / es habe einer in Siñ genommen 19. Heiß jhns duplirn / wird 38 / ſolchs mit 3 dividirn / wird 12⅔ / diß wider mit 2 multiplicirn / gibt 25⅓ / wann er dir nun ſolchs duplat anzeigt / dividirs mit 4 / kommen 6. ſolche triplir / gibt 18 / dazu eins wegen deßuͤberbleibens bey der diviſion 25⅓ mit 6 / ſo kommet die begehrte Zahl 19.
Ein Exempel mit einem Bruch: Einer hat genommen 15⅓ / heiß jhn ſolchs nach der erſten Regel triplirn / gibt 46. ſolchs halbirn gibt 23 / diß wi - der triplirn thut 69. Solche Zahl mit 9 dividirt bringt 7⅔. diß duplir / gibt 15 ⅓. Nach der andern Regel heiß jhn 15⅓ duplirn / gibt 30⅔ / ſolchs mit 3 dividirn bringt 10 $$\frac{2}{9}$$ / diß wider duplirn / bringt 20 $$\frac{4}{9}$$ . So er dir nun ſolche Zahl entdecket / dividir mit 4 / kommen 5⅑ / ſolche triplir / bringen 15⅓.
Vorgedachte zween vortreffliche Rechenmeiſter lehren diß / an auch vorgedachten Orden alſo: Laß einen ſein Gelt erſtlich uͤberſchieſen / allzeit 3 auff einen wurff / frag wieviel uͤberblieben / Jſts ein ſtuͤck / ſchreib dafuͤr 70 / ſeynts 2 ſtuͤck / ſo ſchreib 2 mal 70 / iſt 140. Zum andern / heiß jhns mit 5 uͤber - ſchieſen / vnd wie offt eins uͤber bleibt / ſo manchmal ſchreibe 21. Endlich ſo laß jhns auch uͤberſchieſen mit 7. vnd ſo offt eins uͤberbleibt / ſo offt ſetz 15. Bring alle auffgeſchriebene Zahl in eine Summa / nimb davon 105 / ſo offt du kanſt / der reſt iſt die Zahl deß Gelts.
D ijJm20Erſter Theil der Erquickſtunden.Jm fall aber ein oder das andermahl nichts uͤberbliebe / ſchreibe man dafuͤr auch nichts.
Begebe es ſich endlich / daß bey allen Abtheilungen nichts uͤberbliebe / were es eine anzeigung / daß deß Gelts 105 ſtuͤck geweſen.
Zum Exempel / einer haͤtte 32 ſtuͤck allerley oder einerley Muͤntz. Sol - che in 3 theil getheilet / bleiben 2 uͤber / dafuͤr ſetze 2 mal 70 / iſt 140. Ferner 32 mit 5 uͤberſchoſſen / laſſen wider 2 uͤber / dafuͤr ſchreibe 2 mahl 21 iſt 42. Letz - lich 32 mit ſiben uͤberſchlagen / laͤſt uͤberig 4. Dafůr geſchrieben 4 mahl 15 thut 60. Nun ſolche 3 Zahlen addirt geben 〈…〉 242 davon 105 zweymal abgezogen reſt 32 die begerte Zahl der Muͤntz.
Das ander Exempel: Einer hat genommen 30 / mit 3 vnd 5 vberſchoſ - ſen / gehet gerad auff / mit 7 aber bleibt 2 / dafuͤr nimb 2 mal 15 iſt 30.
Solche Regel iſt viel heimlich: vnd luſtiger als obgeſchriebene / doch muß hievon die Zahl / wie gedacht / nicht uͤber 105 ſeyn.
Der grund ſolcher Regel beſtehet darinn: wann man multiplicirt 3 mit 5 kommen 15 / vnd 15 mit 7 ſo erwaͤchſt die Zahl 105. von ſolcher abgezo - gen 5 mal 7 als 35 bleiben 70. Ferner 105 mit 5 dividiert gibt 21. vnnd dann letzlich gedachte Zahl mit 7 dividirt / bringt die dritte Zahl 15.
Wann man nun den Grund vorhergehender Regel hat / kan man viel ja vnendliche andre Regeln auff mehr Zahlen richten. Zum Exempel / manlaſſe21Erſter Theil der Erquickſtunden. laſſe die Theiler oder Zehler ſeyn 3 / 5 / 7 / 8 / vnd was durch uͤberſchieſſung 3 vnd 3 bleibt / multiplicter mit 280 / bey 5 mit 336. bey 7 mit 120 / letzlich mul - tiplicir auch den reſt bey 8 mit 105 / ſummier die Product vnd theil mit 840 / (dann dieſe Regel erſtreckt ſich biß auff 840 / weiln 3 mal 5 thun 15 / vnd 15 mahl 7 thun 105 / vnnd 8 mahl 105 thun 840.) ſo zeiget der Reſt die ver - borgene Zahl an.
Zum Exempel / einer habe genommen 100 mit 3 dividirt / bleibt eins / dafuͤr ſetz 280 / mit 5 / bleibt nichts / ſo ſetz auch nichts / mit 7 reſtirn 2 / dafuͤr ſetz 240. mit 8 bleiben 4 / dafuͤr ſetz 420. Addier vnd dividier mit 840. ſo kommet die begerte Zahl 100. 〈…〉
Dann ſo man dividirt 840 mit 3 kommen 280. mit 7 kommen 120 / mit 8 kommen 105. Letzlich weil 4 Zahl ſeynd / ſagt man 3 mal 3 iſt 9. vnd 7 mal 9 iſt 63 / vnd 8 mal 63 iſt 504 / ſolche ſubtrahire von 840 / bleiben 336 / vnd ſo viel ſetzt man fuͤr eins wann das Gelt mit 5 uͤber ſchoſſen wird. So man aber noch groͤſſere Zahlen erfahren wolte / koͤnte man nach gegebnen Regeln 5 / 6 / oder mehr Zahlen vor die Theiler erwehlen.
Sag er ſoll ſeine Zahl dupliern / zum Product 4 addiern / die Summa mit 5 multipliciern / vnnd 12 zum Product addirn / ferner die Summa mit 10 multipliciern / vom Product 320 ſubtrahiern / heiß dir ſagen was uͤberbleibt / ſchneide von hinden 2 Nulla ab / ſo bleibt die begehrte Zahl.
Zum Exempel / Einer habe genommen 20.
D iij2022Erſter Theil der Erquickſtunden.〈…〉 Hie iſt in acht zu nemen / daß der Frantzoͤſiſche Author ſagt / man ſoll hinten die Nulla wegwerffen / da er doch haͤtte / wie wir / ſagen ſollen: nur 2 Nulla. Dann nach deß Authoris meynung / ſo man in dem gegebnen Exempel die Nulla alle weg wuͤrffe / blieb nur 2 / da es doch ſolte 20 ſeyn.
Zum andern / darff man nicht eben mit 10 multiplicirn / wann man nur zu ende 32 abziehet / vnd hernach ein Nulla weg thut / als 〈…〉
Jedoch iſt deß Authoris Weg etwas verdeckter / vnd kan ſo bald nicht von dem Zuſeher gefunden werden.
Die23Erſter Theil der Erquickſtunden.Die demonſtration oder grund ſolcher wuͤrckung zu finden / iſt bekannt warumb nach dem erſten weg das eine Nulla zur rechten Hand weggeworf - fen wird: Dannn weil ich zu letzt mit 10 multiplicirt / ſo wider ein Nulla abge - ſchnitten wird / iſts wider mit 10 dividirt / wollen derwegen nur den andern weg demonſtrirn, vnd weiſen wo die 32 herkommen ſo man abzeucht / vnd warumb das reſiduum oder der Reſt eben die genom̃ene Zahl wider bringet: Weiln ich erſtlich mit 2 / hernach mit 5 multiplicier / iſts ebẽ ſo viel als wann ich mit 10 multiplicirt haͤtte / kaͤme alſo im geſetztẽ Exempel 200 / ferner weil ich 4 dazu thue / vñ die Sum̃a mit 5 multiplicire kom̃t mir vmb 4 mal 5 / das iſt 20 zuviel / vnd ſo ich endlich die droben geſetzte 12 dazu addire / kom̃et vmb 12 zu viel. 12 vnd 20 aber / thun 32 / die muͤſſen wider abgezogen werden.
Heiß die Zahl duplirn / vnd nach belieben eine gerade Zahl als 2. 4. 6. 8. 12. dazu addirn / laß halbirn vnd mit 4 multiplicirn / vnd 2 mal ſo viel als ad - dirt worden / ſubtrahirn / heiß dir endlich die Zahl ſagen / dividier ſie mit 4. So bekommeſt du die in Sinn genommene Zahl. 〈…〉
Die demonſtration vnd Grund findet ſich alſo: geſetzt man addir vnd ſubtrahir nichts / ſo kompt ſo viel wann man die Zahl duplirt vnd wider hal -birt /24Erſter Theil der Erquickſtunden. birt / als was im anfang geſtanden / ſo man nun ſolche Zahl mit 4 multiplicirt vnd wider mit 4 dividirt iſts richtig / daß wider ſo viel kommet als anfangs genommen worden: Damit aber die Sach etwas verdunckeiter vorgegeben werde / heiſſet man etwas dazu addirn / iſt nun letzlich die Frag / warumb man ſolche duplirn vnd ſubtrahirn ſoll? Antwort: weil ich nach dem duplirn eine gerade Zahl dazu gethan / ſo kommet / wann mans wider halbirt / die erſte ge - nommene Zahl halb / wie auch die dazu addirte. Wann man nun mit 4 mul - tiplicirt / kommet die erſte Zahl 4 mahl / vnd die dazu addirte Zahl zweymahl / deßwegen muß man ſie dopelt abziehen / vnd wider mit 4 dividirn / ſo bleibt die erſtgenommene Zahl allein uͤber.
Laß die genommene Zahl halbirn / vnd beedes addirn / ſo ein halbs her - auß kaͤme / laß eins dafuͤr dazu thun / du aber behalte eins im Sinn: Laß die Summa wider halbirn / vnd beede Zahlen addirn / kommet im halbirn wider ein halbes / laß wie zuvor eins addirn / du aber behalte dafuͤr 2 im Sinn / heiß die letzte Summa mit 9 dividirn / oder brauch Zahlen ſo man mit 9 divi - dirn kan wie droben in der erſten Auffgab / ſo offt du 9 findeſt / ſo offt ſetz vier / vnd addir die behaltenen eins vnd zwey ſo derer vorhanden dazu / ſo findet ſich eine Summa der genommenen Zahl.
Weiln aber viererley Caſus oder Faͤll ſich hierinnen begeben vnd findẽ / wollen wir auff jeden Fall / zur beſſern Nachricht ein Exempel ſetzen.
Der erſte caſus oder fall iſt / wann ſich kein Bruch ereignet / die vorge - nom̃ene Zahl ſey 24. 〈…〉
Der25Erſter Theil der Erquickſtunden.Der ander Fall iſt / wann nur im erſten halbiern ein Bruch kommet / die Zahl ſoll zum Exempel ſeyn 117. 〈…〉
Der dritte Fall / wann nur bey dem letzten halbirn ein Bruch kommet / die Zahl ſey 10. 〈…〉
Der vierdte vnd letzte Fall / wann bey beeden halbirn Bruͤch kommen / die Zahl ſey 7. 〈…〉
EDen26Erſter Theil der Erquickſtunden.Den Grund vnd demonſtration ſolcher Regel zu finden / were mir ſchwer gefallen / wo nicht die edle Algebra das beſte gethan / auſſer ſolcher aber durch gemeines rechnen den Grund zu finden iſt das vornembſte / daß man wiſſe warumb man mit 9 muͤſſe dividirn / mit 4 aber multiplicirn. Wir nemen fuͤr vns an ſtatt der Zahl eins / dazu thun wir ½ wird 1½ / diß wider halb gibt ¾ zu 1½ thut 2¼ 〈…〉
Nun ſetzen wir in die guldene Regel / nach art der Geſellſchafft Rechnung alſo: 〈…〉 gibt mir 54 / was gibt mir 1
So nun der Bruch einrichtet vnd verfuͤhret wird / ſtehet das Exempel alſo 〈…〉
Letzlich das Mitler mit dem foͤrdern dividirt / den quotienten mit 4 mul - tiplicirt / gibt die Zahl 24.
Hierbey iſt eine nothwendige Erinnerung in acht zu nemen: Dann ob gleich die Rechenmeiſter in jhren Buͤchern beſſerer Ordnung halben / jhre Schuͤler lehren / ſie ſollen in der guͤldenen Regel das Hinter vnd Mitler multiplicirn / was kompt durchs foͤrder dividirn / ſo iſts doch eben ſo viel / wañ man erſtlich das mitler durchs foͤrdere dividirt / hernach erſt mit dem hin - tern multiplicirt.
Warumb man aber bey Bruͤchen eins vnd zwey muͤſſe addirn / kan ein jeder ſelbſten leichtlich abnemen.
Laß ſie mit 3 multiplicirn das Product halbirn / das halb mit 6 multi - plicirn / heiß dir das Product ſagen / dividirs mit 9 / ſo findet ſich ein quoti[enſ]der begerten Zahl gleich. Zum Exempel die zahl ſey 104. 〈…〉
Der ander caſus oder Exempel darinn ein Bruch vorkommet / 103. 〈…〉
Folget der grund ſolcher Regel. Wir wollen die gegebene zahl / welchs eben ſo viel halbirn / wird 52 / ſo ich ſolche nun triplir / hab ich 3 mal ſo viel / iſt 156 / ſolche Zahl mit 6 multiplicirt / kom̃en 936 / das iſt 18 mal ſo viel als 52. So ich nun 936 mit 18 dividirte / kaͤmen 52 / weil aber die erſt gegebne Zahl 2 mal ſo viel iſt als 52 / ſo dividier ich mit halb 18 das iſt 9. So muß noth - wendig die erſte Zahl herauß kommen.
Laß einen ein Zahl ſo jhm beliebet ſchreiben / vnd duplirn / dazu nen - ne du jhme eine gerade Zahl zum Duplat zu addirn / nach deinem gefallen. Die Summa laß halbirn / vnd davon nemen die erſte Zahl / ſo bleibt uͤber derE ijhalbe28Erſter Theil der Erquickſtunden. halbe Theil deiner geraden genommenen Zahl / die kanſt du jhme alsbalden ſagen / daß nemlich dieſe die letzte geweſt welche er geſchrieben.
Zum Exempel / einer habe die Zahl 11 geſchrieben. 〈…〉
Hier bleibt 6 / welchs iſt der halbe theil auß deiner gerad genommenen Zahl.
Hierbey aber mercke / daß es mit einer vngeraden addirten Zahl glei - ches falls ſich thun laſſe. Als die Zahl ſey 7. 〈…〉
Solches ſtuͤck aber noch beſſer zu verbergen / kan man zur letzten Zahl noch eine dabey ein Bruch / addirn heiſſen: Zum Exempel im erſten Exem - pel zu 6. addire 2½ / kommet 8½.
Die demonſtration findet ſich leichtlich / weil einer ſeine Zahl dupli - ret / vnd du eine Zahl dazu addirt haſt / als im erſten Exempel 12 ſo bilde dir ein du habeſt nur halb ſo viel das iſt hie 6 addirn vnd duplirn laſſen / ſo iſt dein vnd ſein Zahl duplirt / ſo man nun beede Duplat addirt vnd wider hal - birt / kommet wider ſo wol dein als ſein Zahl / in dem quotienten deßwegen / wann ſeine davon abgezogen wird / ſo bleibt deine Zahl.
Heiß einen eine Zahl auff den Tiſch ſchreiben welche jhn beliebet / doch dir vnwiſſend: Du aber ſchreibe auch eine deines gefallens jhme vnbekannt in dein Schreibtafel / vnd was du jhme ſageſt er mit ſeiner Zahl thun ſoll / das verrichte auch mit deiner: Als / ſag er ſoll ſeine Zahl mit einer andern welche du wilt / multiplicirn / das Product mit einer von dir erdachten Zahl dividirn: den quotienten heiß wider mit einer Zahl deines gefallens mult[i]pli - cirn / vnd das Product mehrmahl mit ſeiner erſten Zahl dividirn / diß thu du auch alles: ſo bekommeſt du eben den quotienten / welchen der ander hat / kanſt deßwegen ſagen / was fuͤr ein Zahl der ander auffgeſchrieben / vnd iſt wunderlich zu vernemen.
〈…〉 〈…〉
Heiß jhn 4 mit 3 multiplicirn / vnd multiplicir auch du 6 mit 3 / kommen jhme 12 / dir 18. Zum andern dividirt beede Zahlen mit 2 / kommen jhme 6 / dir 9. Solche drittens mit 5 multiplicirt / kommen jhme 30 / dir 45. Dieſe beede zum vierdten wider mit 2 multiplicirt / kommen jhme 60 / dir 90. So nun ein jeder ſolche ſeine letzte Zahl mit ſeiner erſten dividirt / kommet jedem 15. Kanſt deßwegen jhme vngefragt ſagen / ſein letzter quotient ſey 15.
So du ferner ſeine erſtgenommene Zahl wiſſen wolteſt / kans durch ein einige Frag geſchehen / du aber muſt dich nicht ſtellen / als ob du ſein letzt ge - ſchriebenen quotienten wiſſeſt / heiß jhn zu ſolchem ſeine erſtlich genommeneE iijZahl30Erſter Theil der Erquickſtunden. Zahl addirn / vnd die Summa anzeigen / wann du nun dein letzten quotien - ten davon ſubtrahirſt / bleibet ſein erſtgenommene Zahl.
Auff die demonſtration vnnd Grund zu kommen / ſo iſt auß der 15 Auffgab deß 5 Buchs Euclidis bekant / weil die zwo Zahlen 4 vnd 6 jede mit 3 multiplicirt werden / daß ſich 4 zu 6 verhalten / wie in den productis 12 zu 18. Alſo auch weiln beede 12 vnd 18 jede mit 2 dividirt werden / auch 6 vnd 9 herauß kommen / verhaͤlt ſich 12 zu 18 wie 6 zu 9. deßwegen durch die 9 Auffgab deß 5 Buchs Euclidis, ſo verhaͤlt ſich auch 4 zu 6 / wie 6 zu 9. Vnd weil 6 vnd 9 wider mit einer Zahl als 5 multiplicirt werden / vnnd herfuͤr bringen 30 vnd 45 / verhaͤlt ſich wie droben 6 zu 9 / wie 30 zu 45. Deßwegen ſich auch 4 zu 6 verhaͤlt wie 30 zu 45. vnd weiln ſolche 30 vnd 45 mehrmal mit einerley Zahl als 2 multiplicirt werden / vnnd 60 vnnd 90 herfuͤr bringen / wird ſich obangezeigter vrſach halben 30 zu 35 verhalten wie 60 zu 90. Alſo auch die erſte zwo Zahl 4 zu 6 / wie 60 zu 90. Stehen deßwegen gedachte 4 Zahlen in der proportion alſo: 4 — 6 — 60 — 90
Deßwegen nach der 16 Auffgab deß 5 Buchs Euclidis, wann ſie fol - gender geſtalt verſetzt werden / ſeynt ſie auch proportionirt 4 — 60 — 6 — 90
Das iſt 4 haͤlt ſich zu 60 / wie 6 zu 90. Deßwegen wann 60 mit 4 di - vidirt wird / 90 aber mit 6 / muß vnwiderſprechlich jede diviſion einerley quotienten bringen.
Laß jhn eine Zahl erwehlen / du aber nimb auch eine wie in vorhergehen - der Auffgab. Multipliciret beede ein jeder ſeine Zahl / mit einer von dir ge - nannten Zahl / nenne ferner eine andere Zahl vnd addirts beede jeder zu ſei - nem Product / die Summa dividirt mit der Zahl damit man multiplicirt / von ſeim quotienten ziehe ein jeder ſein erſtlich genommene Zahl / vnd neme deine zu letzt uͤbergebliebene Zahl / die wird ſeiner gleich ſeyn: Setze er hab 7 / du 8. Seine31Erſter Theil der Erquickſtunden. 〈…〉 〈…〉
Ein ander Exempel mit Bruͤchen. 〈…〉 〈…〉
So du aber die genommene Zahl wiſſen vnd außſprechen wolteſt / ſo verfahre allermaſſen wie in nechſt vorhergehender Auffgab / als ſo er 1¾ ad - dire zu 8½ kommet 10¼ / davon deine reſtirende Zahl 1⅓ reſt 8½.
Die demonſtration iſt leicht / denn ſo man zwo Zahlen mit einer mul - tiplicirt / vnd das product wider mit dergleichen Zahl dividirt / kommen die erſt geſetzte Zahlen wider / weil man aber zu beeden gleiche Zahl addirt / wann ſolche mit einer Zahl dividirt werden / bringen ſie auch einerley quotienten / zu den erſten addirt / folgt wann man die erſten von den Summen ſubtra - hirt / daß gleiche Zahlen uͤberbleiben.
Hiebey iſt in acht zu nemen / daß man letzlich nicht mit einer jeden vnge - fehren Zahl dividirn ſoll / wie der Frantzoͤſiſch Author meynet / ſonſten moͤchten die quotienten kleiner fallen / als die erſt genommenen Zahlen / wel - che man deßwegen nicht ſubtrahiren koͤndte / wie auß folgendem Exempel zu ſehen:832Erſter Theil der Erquickſtunden. 〈…〉 〈…〉
Jſt deßwegen von noͤthen / daß man eben wider mit der jenigen Zahl di - vidire / mit welcher man multipliciret hat.
Heiß einen ſeine Zahl triplirn / das Product halbirn. So es nicht gerad auffgehet / heiß jhn eins dazu addirn / damit ers juſt ohne Bruͤch halbirn koͤn - ne / du aber mercke dafůr eins: das halbierte heiß jhn wider triplirn / vnd das Product halbirn / wanns nicht ohne Bruͤch ſeyn kan / laß eins wie zuvor da - zunemen / du aber behalt im Sinn 2. Frag jhn ferner wie offt er 9 in der letz - ten Zahl habe / ſo offt nimb 4 / vnd addir 1 vnd 2 dazu / wann du der gleichen im Sinn behalten / ſo du aber nichts behalten / darff auch zuletzt nichts dazu addirt werden / weil die Zahl alsbald kommet / wann man mit 4 multiplicirt. Zum Exempel die genommene Zahl ſey 7. 〈…〉
Damit33Erſter Theil der Erquickſtunden.Damit er dir aber gar nichts ſagen doͤrffe / ſo brauche die neuner Zahl wie droben in der erſten Auffgab.
Weiln dieſe Auffgab faſt mit der ſechſten uͤberein kommet / wollen wir allhie wider finden / warumb man mit 9 dividirn vnd mit 4 multiplicirn ſoll / durch die Geſellſchafft Rechnung oder 12 Auffgab deß 5 Buchs Euclidis. 〈…〉
Weil diß ein ſonder geheimes Stuͤck / hat es das anſehen / als habs der Frantzoͤſiſche Author mit fleiß dunckel vnd kurtz vorgebracht / vnd haͤtte ich nit auff die demonſtration geſehen / wuͤrde ich ſchwerlich darhinder kom - men ſeyn: Weiln aber in gedachter Auffgab ſich vielerley caſus oder Faͤll befinden / will ich ſolche ordentlich vnd deutlich erklaͤren.
Folgen hierauff etliche caſus darinn keine Bruͤch vorkommen.
Der I. Fall / wann man die letzer Zahl mit 2 nicht dividirn kan / vnd keine Bruͤche vorhanden.
Sag einer ſoll die in Sinn genommene Zahl halb nemen / das gan - tze vnd halbe addirn / die Summa wider halb nemen vnd zu dem gantzen ad - dirn. Ferner von ſolcher letzten Summa ſubtrahirt er das Duplat ſeiner Zahl das uͤbergebliebene letzlich das gantze kommen dividirt er mit 2 / ſo er nun ſagt er koͤnne es nicht thun / iſts eine anzeigung daß es eins ſey / ſo ſag du nun einmal 4 iſt 4 / vnd diß iſt ſein genommene Zahl. F434Erſter Theil der Erquickſtunden. 〈…〉
Der II. Fall wann man zu letzt mit 2 dividirn kan doch daß es keinen Bruch gebe.
Man verfaͤhret in dieſem Fall wie im erſten / wann aber die Subtracti - on verricht / heiß jhn das uͤberbliebene mit 2 dividirn / was kommt noch ein - mahl mit 2 vnd diß ſo lang biß es auffgehet.
Mercke ferner wann man nur einmahl mit 2 dividirt / ſo ſetze dafuͤr 2. Fuͤr 2 mahl 4. Fuͤr 3 mahl 8. Fuͤr 4 mahl 16. Fuͤr 5 mahl 32 ꝛc. Vnd alſo fort in gleicher Geometriſchen progreſſion, ſo weit es die notdurfft erheiſchet. Was du nun geſetzt multiplicier mit 4 / ſo kommet ſeine Zahl / die du jhme dañ kanſt anzeigen. Die Zahlen ſeynd zum Exempel: 8. 16. 32. 〈…〉 〈…〉 〈…〉
Der35Erſter Theil der Erquickſtunden.Der III. Fall wann erſtlich bey den addirn Bruͤch vorfallen.
So die Zahlen ſich nit gerad halb nemen laſſen / das iſt wann ſie vnge - rad ſeyn / laſſe vor das halbe welchs kommet / ein gantzes ſetzen.
Jſt die erſte Zahl vngerad / ſo ſubtrahir gar zu letzt 3 von deiner ſumma.
Jſt aber die ander vngerad nur 2 / deßwegen ſo beede vngerad ſubtra - hirt man 5. 〈…〉 〈…〉 Wann aber beede ort vngerad / faͤllet der caſus zugleich in nachfolgende Re - gel / wann nemlich mit 2 dividirt wird vnd zu letzt eins uͤberbleibt.
Der IV. Fall wann die diviſion mit 2 angieng / vnd man wie droben mit 4 multiplicirn folte auch einer ſagte es blieb ein halbes ůber.
Jn dieſem Fall ſag jhm er ſoll das halbe nur fahren laſſen / du aber mercke bey der erſten diviſion eins. Bey der andern / ſo auch ein halbes kaͤme 2. Bey der dritten 4. Bey der vierdten 8. vnd ſo fort in ſolcher Geome - triſchen doppelten progreſsion. Wo aber an einem vnd dem andern Ort kein halbes uͤberbliebe merckte man auch nichts. Nun die genommene Zahl ohne einiger Zahl wiſſenſchafft anzuzeigen / ſo weiſtu wie offt man mit 2 dividirt / vnd daß man vors erſte mahl nimmet 2 / vors andermahl 4 / vors dritte 8 ꝛc.
F ijZum36Erſter Theil der Erquickſtunden.Zum andern / ſo ſolche Zahlen auffgeſchrieben / addir die jenigen Zahlen (wo derer vorhanden) ſo wegen der letzern diviſionen gemercket.
Drittens multiplicir ſolche Summa mit 4 wie droben / vnd ziehe ab was wegen der erſten Halbierungen im Sinn behalten worden / ſo bleibet die begehrte Zahl / wie auß den folgenden Exempeln zu ſehen. 〈…〉
Vnd damit dieſe luſtige vnd verborgene Regel noch beſſer verſtanden werde / wolln wir noch ein Exempel / darinn eine groſſe Zahl / nemlich 1011 vorgegeben oder in Sinn genommen worden / hieher ſetzen. 101137Erſter Theil der Erquickſtunden. 〈…〉
Damit ich aber den Kunſtliebenden noch beſſer an die Hand gehe / will ich eine progreſsion Tafel zu ſchleuniger operation nothwendig / hieher ſetzen. 〈…〉
F iijWir38Erſter Theil der Erquickſtunden.Wir wollen geliebter Kuͤrtze halben allhie nur den erſten Fall demon - ſtrirn / die andern aber ſo bald auß dieſem Grund zu finden / dem guͤnſtigen Leſer / zu erfinden / uͤberlaſſen.
So wir eins erwehlen / ſo koͤnnen wir finden / der wievielſte Theil darauß zu letzt uͤberbleibe / vnd warumb man mit 4 multipliciren muͤſſe. 〈…〉
So ich ein halbs zu eins thue / kommet 1½ / ſolchs wider halb iſt ¾ thut ſampt 1½ in einer ſumma 2¼ davon 1 zweymal genommen / reſt ¼ / das iſt der vierdte theil auß dem erſten ſo eins war / ſolchen aber 4 mahl genommen gibt ein gantzes.
Was Pronic Zahlen ſeynd / lehret Michaël Stifelius auß dem Boëtio, ſuch in Chriſtoff Rudolffs Coß bald im anfang / da wirſt du findẽ / daß er alſo ſchreibt: vnd hie muß ich ein luſtiges Stuͤcklein anzeigen / auß Natur vnd Art der Pronic Zahlen.
Wann ich nimb ein Pronic Zahl / ſie ſey ſo groß als ſie woͤlle / kan ich durch ſie errahten / eine jede Zahl / ſo kleiner / vnd mir von einem andern ver - borgen wird.
Alſo thue ich: die genommene Pronic Zahl / dividir ich durch jhr Pronic wurtzel / ſo hab ich auß einer Zahl 3 Zahlen: Die Zahl ſo ich dividiert habe / den Theiler vnd den quotienten Zu ſolchen 3 Zahlen / nem ich auch die Qua - drat Zahl der Pronicwurtzel / diß ſeynd jetzt vier Zahlen. Zum Exempel / ſo ich dieſe Pronic Zahl 1260 haͤtte genommen / ſo kaͤmen mir:
1260. 35. 36. 1225.
So39Erſter Theil der Erquickſtunden.So nun einer jhme heimlich dieſe Zahlverzeichnet haͤtte 666. vnd wol - te / ich ſolts errahten / ſo ſpraͤche ich: Dividier mir deine Zahl durch 35 / vnd ſag mir was uͤbrig bleibt: ſo muͤſte er ſagen daß allhie nur eins uͤbrig bleibe / diß multiplicir ich mit 36 (als durch meinen quotienten) ſo kaͤmen hie 36 / die behielte ich.
Zum andern hieß ich jhn ſeine Zahl dividirn durch 36 (als durch meinen quotienten) ſo wird er mir ſagen muͤſſen / es weren 18 uͤber blieben. Darumb wuͤrde ich 1225 mit 18 multiplicirn / ſo kaͤmen 22050. Dazu muͤſte ich ad - dirn das vorbehaltene / nemlich 36 / facit 22086. das muͤſte ich dañ dividirn durch 1260 / ſo wuͤrden 666 in der diviſion uͤber bleiben. Diß iſt die verbor - gene Zahl ſo ich ſoll errahten.
Das ander Exempel.
Einer verbirgt mir eine Zahl ſpricht ſie ſey groͤſſer als 1000 / vnd kleiner als 10000 / will von mir wiſſen / was es fuͤr eine Zahl ſey. Demſelbigẽ nach / neme ich dieſe Pronic Zahl 10100 / darumb daß ſie groͤſſer iſt als 10000.
Dieweil ich dann genommen hab dieſe Pronic Zahl 10100 / vnd jhr Pronicwurtzel iſt 100. vnd der quotient iſt 101. vnd das quadrat der Pro - niewurtzel iſt 10000 / ſo thue ich alſo:
Jch heiß dividirn die verborgene Zahl durch 100 / ſo ſpricht er mir blei - ben 75 uͤbrig / ſo kommen 7575 / die behalte ich.
Zum andern heiß ich die verborgne Zahl durch 101 dividirn / ſo ſpricht er: Es bleibt uͤbrig 37 die multiplicir ich mit 10000 / ſo kom̃ẽ 370000 / dazu ad - dir ich die behaltne 7575 / ſo kom̃en 377575 / die dividir ich durch 10100 / ſo bleiben uͤbrig 3875. als die Zahl ſo ich er rahten ſol / vnd kan kein andre ſeyn.
Hierbey iſt der Leſer zu erinnern / daß man etwas naͤher koͤnne procedi - ren / vnd daß man auch practicirn moͤge / ob gleich die verborgene Zahl kleiner als der diviſor oder Theiler.
So du eine Pronic Zahl genommen als 10100. ſprich nur ſchlecht zu ei - nem / er ſoll dir vnwiſſend eine Zahl auff den Tiſch ſchreiben ſo vnter 10100 / ſey ſonſten wie ſie woll: Dann ich ſetze einer haͤtte genommen 2 / ſo ſpraͤch ich er ſolte ſeine Zahl durch 100 dividirn / vnd ſagen was uͤberbleibt / oder ſo ers nit dividirn koͤndte / ſolte er dirs nit ſagen / ſonder ſein genom̃ene Zahl fůr die uͤbergebliebenen rechnẽ / ſo ſagt er es bleibt uͤber 2. Solche multiplicier ichmit40Erſter Theil der Erquickſtunden. mit 101 kommen 202. Zum andern heiß ich die verborgene Zahl wider di - vidirn durch 101 / ſo ſpricht er wider es bleibt uͤber 2 / die multiplicier ich mit 10000 / ſo kom̃en 20000 / dazu addier ich die behaltene 202 / werdẽ 20202 / die dividier ich durch 10100 / ſo bleibt uͤbrig 2 / als die begerte Zahl.
Jtem durchfolgende 4 Zahlen kanſt du finden / alle Zahlen ſo in 1000 10000 begriffen 1000 10000. 10000. 10001. 100000000.
Damit aber ein jeder dergleichen 4 Zahlen von ſich ſelbſt finden koͤnne / mercke man nachfolgende Regel in kleinern Zahlen proponirt:
Nimb ein Zahl vngefaͤhr als 12 / ſolche multiplicier in ſich ſelbſt wird 144 / dazu addier wider 12 / wird 156 / vnd diß iſt die erſte Zahl / 12 die ander. So man ferner 156 durch 12 dividirt / kommet 13 die dritte Zahl. 144 aber als das quadrat der zu erſt genommenen Zahl die vierdte.
Laß einen etliche Rechenpfennig / ſtuck Gelts oder anders in die Hand nemen / du aber nimb auch etliche / doch mehr als er / welchs dem Augenſchein nach leichtlich geſchehen kan / in dem du ſiheſt ob er wenig oder viel ergreiffet / zehl deine / zum Exempel / du habeſt 18 / ſo ſprich er ſoll ſeine Rechenpfennig laut vnd oͤffentlich auff den Tiſch zehlen / ſo wolleſt du ſo viel darauff le - gen daß in allem 18 Rechenpfennig werden: Hernach aber noch ſo viel in Haͤnden behalten / als er gehabt habe / welchs dann zutreffen wird / er habe ſo viel vnter 18 als er wolle / zum Exempel er habe 10 / deßwegen 8 darauff ge - zehlt von deinigen / bleiben dir auch 10. Wenn ſeiner aber 12 geweſt / kaͤmen von den deinen 6 drauff vnd blieben dir auch 12. Welchs den Vnwiſſen - den auß der maſſen wunderlich vorkommet. Die demonſtration aber vnd Beweiß iſt leicht: Dann was du mehr haſt als er / beſtehet in deiner Zahl ſo du genommen / geſetzt in 18 / ſo du nun ſo viel weg thuſt als er zuwenig auff 18 / folget ja / daß dir muͤſſen ſo viel uͤberbleiben als er gehabt / daß du aber ebẽſo41Erſter Theil der Erquickſtunden. ſo viel weg thuſt als er zuwenig hat auff 18 / iſt gut zu errahten: Dann geſetzt er habe 7 zu wenig gehabt daß nicht 18 macht / deßwegen haſt du dieſelben zu viel / thuſt du nun ſo viel weg / ſo behaͤlteſt du ſo viel er vor gehabt.
Dieſe Auffgab pfleget man ſonſten damit ſie auch zu einem nutze ange - wendet / alſo auffzugeben: Einer traͤgt im Korb Eyr / die werden alle zerſtoſ - ſen / nun wolt man jhms gern bezahlen / wann er nur wuͤſte wieviel der gewe - ſen weren? doch ſagt er das iſt mir bewuſt / wann ich ſie zu paaren / Jtem zu dreyen / mehr zu vieren / ferner zu fuͤnff vnd ſechs ůberſchoſſen / allzeit eins uͤ - bergeblieben ſey / zu ſiben vnd ſiben aber keines / iſt die fꝛag wieviel der Eyr ge - weſen? Der Frantzoͤſiſche Author ſagt: Gaſpard Bachet eroͤrtert ſolche Frag gar ſubtil wie alle ſachen / allein weil er nichts allzuſchweres vnd ſubti - les hie gedencke einzufuͤhren / ſo woll er jhme begnuͤgen laſſen die Zahl alsbald zu neñen / welche mit 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / dividirt allzeit eins uͤberlaſſe / mit 7 aber ge - rad auffgehe / vnd iſt ſolche 301. Damit aber die Auffgab deſto vollkomme - ner ſey / hat mich vor gut angeſehen / ſolche Zahl zu finden / zweyerley art vor - zulegen. Erſtlich zwar etwas weitleufftig vnnd ohne ſonderbare Kunſt / zum andern aber durch eine gewiſſe vnd kurtze Regel.
Erſtlich weil die Zahl mit 7 gerad auffgehet iſts eine anzeigung / daß ſie entſpringe auß zweyen Zahlen derer die eine gewiß 7 Fahe deßwegen an 7 zu multiplicirn / mit 2 / 3 / 4 / 5 / ſo wirſt du erfahren daß keine dergleichẽ quali - taͤten vnd beſchaffenheiten haben / als die jenige ſo auß multiplicirung 43 mit 7 erwaͤchſt vnd 301 iſt. Nun muß aber wol in acht genommen werden daß mehr Zahlen ſolcher qualitaͤten als eine gefunden werden: Dann wann du von 43 fort multiplicireſt biß auff 103 / entſpringt 721 / als eine Zahl gleich - maͤſſiger Eygenſchafften: Es iſt aber beeder gefundenen Zahlen vnterſcheid 420. So nun mehr dergleichen Zahlen ſolten gefunden werden / ſtellte man ein Arithmetiſche progreſſion an von Zahlen / ſo einander allzeit vmb 420 uͤbertretten: ſo kan man derer viel nach belieben erfinden / wie folget 301. G721.42Erſter Theil der Erquickſtunden. 721. 1141. 1561. 1981 ꝛc. darauß erſcheinet / daß dieſe Frage / vielerley / ja vnendliche Facit haben koͤnne? vnd wo hierinn das Augenmaß nicht das beſte thaͤte / wuͤrde man ſelten eintreffen / oder man mag auch durch das Ge - wicht ſchlieſſen vnd vrtheilen: Dann nicht zu muthmaſſen / daß ein Perſon werde 721 Eyer oder mehr auff einmahl zu Marck tragen.
Zum andern finde eine Zahl ſo damit 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / auffgehe / das geſchicht wann du multiplicireſt 5 mit 6 wird 30 / dieſe Zahl kan man ſchon dividirn mit 2 / 3 / 5 / 6 / aber nicht mit 4 / ſprich deßwegen 4 mahl 30 iſt 120 / ſo haſt du die begertete Zahl / dazu addir eins wird 121. Wann nun ſolche mit 7 gerad auffgienge / haͤtten wir / allbereit die begehrte Zahl: Nun es aber nit geſchicht / dann es bleiben 2 / ſo ſubtrahier 2 von 7 / reſt 5. Ferner ſuch ein Zahl die in 120 getheilet / nicht mit 7 aber 5 uͤberlaſſe / vnd die iſt 600 / die addir zu eh - gefundenen 121 / kommet 721 / vnd iſt auch die begerte Zahl.
Hier auß iſt abzunemen der ſach juſt vnd Mathematiſch nachzukom̃en? man die Auffgab wie ſie erſtlich geſetzt (nemlich eine Zahl zufinden / welche die vorgegebene Eygenſchafften habe) gebrauche / die ander aber ſchwinden vnd fahren laſſe.
Dieſe Frag hat eine gemeinſchafft wegen deß Fundaments mit vorher - gehender / deßwegen auch die Auffloͤſung faſt einerley / wie ſichs dann im practicirn befinden wird: Dann nach der erſten art / wann du die Zahl biß auff 17 mit 7 multiplicirt / wird kommen 119. die erſte begerte Zahl der Tha - ler. Die andre auch zu finden addier wie zuvor 420. ſo bekommeſt du folgen -de43Erſter Theil der Erquickſtunden. de Zahlen 119. 539. 959. 1379. ꝛc. Nun weil der facit ſo viel / ja vnendlich / wird man doch vngefehr wiſſen / ob der Thaler bey 100 / 500 / oder 900 ꝛc. geweſen / oder man kan durch das Maß deß Gefaͤß darinn ſie getragen wor - den / ein Gewißheit erlernen.
Nach der andern Manier mach es alſo: Such eine Zahl ſo in 2 / 3 / 4 / 5 vnd 6 auffgehet / iſt wie droben 120. ſubtrahir die gemeine differentz 1. Der erſten 5 theiler gegen jhrem reſt / bleiben 119 theil ſolche mit 7 / vnd weil nach der abtheilung nichts uͤberbleibt / iſt 119 die begehrte Zahl.
Jtem / nimb eine Zahl in Sinn ſo uͤber 3. ſey 19. Solche will ich auff folgende manier erfahren: Nimb ein Zahl ſo kleiner als 19 / vnd mit 3 auff - gehe / als 12. 9. 6 ꝛc. Geſetzt es ſey 12 / ſubtrahier 12 von 19 reſt 7 fuͤr eins: Theil 12 in 3 / kommen 4 fuͤrs ander: Nun addir 7 vnd 4 / werden 11 / die gib mir bekannt. Subtrahier auch 4 von 7 reſt 3 / die gib mir auch vnbekannt / Auß 11 vnd 3 nun ſoll ich 19 finden / geſchicht alſo: Dieweil jetzt der quotient 4 kleiner als der Reſt 7 / ſo duplier das Collect 11 werden 22. Zeuch allmahl ab den Reſt / als jetzt 3 bleibt 19 die gefundene Zahl. Da aber der quotient groͤſſer were / addirſtu allemahl den Reſt der jetzt 3 war / ob dir auch ein zweif - fel hierinn fuͤrfallen wolte / wirſt du doch deſſelben bald / da du ein wenig in zahlen geuͤbt / entledigt werden.
Damit du aber die ſach baß begreiffen moͤgeſt / will ich dir auch ein Ex - empel geben / darinn man den Reſt addirt: Die Zahl ſey wider 19. die Zahl ſo mit 3 auffgehet 18 / ſolche von 19 ſubtrahirt laͤſt uͤbrig eins / vnd 18 mit 3 dividirt / bringt den quotienten 6. Addir 6 vnd 1 werden 7 / vnd ſubtrahiere reſten 5. Sprich 2 mal 7 iſt 14 vnd 5 dazu iſt 19.
Ein ander Exempel darinn der Reſt dem quotienten gleich / in welchem fall man zu letzt weder addirn oder ſubtrahirn darff. Die genommene Zahl ſey 24. Die ander 18. Nun 18 von 24 reſt 6. vnd 3 in 18 auch 6 mahl. 6 vñ 6 macht 12 / vnd 6 von 6 gehet auff / deßwegen ſage ich nun 2 mal 12 iſt 24.
Jſt der Reſt dem quotienten gleich / ſo iſt die demonſtration am Tag /G ijiſt44Erſter Theil der Erquickſtunden. iſt der quotient aber groß / ſo iſt die differentz deſto kleiner / vnd hingegẽ iſt der quotient klein / ſo iſt die differentz deſto groͤſſer / daß alſo jmmer einerley Zah - len kommen muͤſſen.
Setz es ſeynd erſtlich nur 2 Zahlen genommen worden / ſag A ſoll ſeine Zahl multiplicirn mit 2 / zum Product 5 addirn / die Summa mit 5 multipli - cirn / vnd 10 dazu addirn. Zu ſolcher Summa ſoll auch B ſeine Zahl addirn. Heiß dir dieſe Summa ſagen / ſubtrahier davon 35 ſo bleiben die 2 genom - mene Zahlen uͤber. Zum Exempel / einer als A habe genommen 3 / der an - der als B, 7. 〈…〉
So aber 3 Zahlen genommen worden / als A haͤtte 3. B 7. C 6. So operirte man wie zuvor / biß man kaͤme auff die ſubtraction. So hieſſe man noch ein Nulla hinter die Zahl ſetzen / vnd dazu deß C Zahl nemen. So nun ſolche Summa bekannt als hie 726 / ſo nimb davon 350 / ſo werden die 3 Zahlen uͤberbleiben / Alſo:345Erſter Theil der Erquickſtunden. 〈…〉
So vier Zahlen genommen ſeynd / als: 3 / 7 / 6 / 9 / ſo operier wie zuvor / nur daß du jetzt 2 nulla fuͤr eins von dem ſubtrahirn addirſt / die 2 letzten Zahlen aber als deß C vnd D (als fuͤr eine) addirſt / hernach 3500 abzieheſt. So 5 Zahlen genommen wer - den addirt man 3 nulla / vnd nimbt davon 35000 / vnd alſo fort / ſo noch mehr Zahlẽ genommen werden / beſihe folgendes Exempel: 〈…〉
G iijWeiln46Erſter Theil der Erquickſtunden.Weiln aber dieſe deß Frantzoſen art in den letzten Zahlen etwas zu kaͤnt - lich vnd gering / kan man die Kunſt beſſer verbergen: Wann man zu der letzten Zahl ehe man ſubtrahirt / noch eine gewiſſe Zahl thut / oder kurtz da - von / auch ſolche wieder ſubtrahirt wie ſolchs auff zweyerley manier folget: 〈…〉 〈…〉
Den grund ſolcher operation zufinden / erſtlich weil am tag / warumb zu letzt ein Zahl addirt vnd wider ſubtrahirt wird / alskurtz vorher im erſten Exempel 11 / im andern 12 / welchs dem Beweiß nichts gibt oder nimbt / ſon - dern nur die Kunſt verdecket / laſſen wir dieſe letzte operation auß. Zum an - dern weil man Nulla dazu thut / an derſelben ſtell Zahlen nimmet ſo vnter 9 / bleiben ſelbe Zahlen auch vnverwandelt / vnd ſeynd eben die Zahlen ſo man ſuchet / nun ligts jetzt an dem / zu wiſſen warumb man 35 ſubtrahirn muß / vñ die erſtgenommene Zahl 10 mahl / 100 mahl oder tauſendmahl komme / wie in vorher gehenden Exempeln. Erſtlich wann ich 5 addier ſo kompt hernach in multiplicirn mir 5 fuͤr ſelbe 25 / ferner weil ich 10 dazu addirt / muß auch hie addirt werden / thut 35. Wann aber ſolche addition außgelaſſen wuͤrde / multiplicirte man mit 2 vnd 5 Thut 2 mal 5 zehen / vnd dreymal 10 iſt 30 kommet alſo die erſte Zahl 10 mahl / vnd kommet an deß Nulla ſtatt deß B ge - nommene Zahl. Vnd dieſe demonſtration ſtehet alſo in der Algebra. 〈…〉
Die Perſonen ſeynd entweder gerad oder vngerad / vnd damit wir die ſach deſto baß vernemen / wollẽ wir Regel vnd Exempel mit einander vorne - men / vnd erſtlich die Regel vngerader Perſonen: A hat in Sinn genom̃en 3. B 6. C 7. D 2. E 10. Heiß die erſt vnd ander addirn wird 9. die ander vñ dritte wird 13. die dritte vnd vierdt wird 9. die vierdt vnd fuͤnfft wird 12. die fuͤnfft vnd erſt wird 13 mercke dieſe Summen alle / ſchreib dazu I. II. III. IV. V. Ferner addir erſtlich die Summa vngerader Zahlen / als hie der er - ſten / dritten vnd 5. kommen 31. Hernach auch der geraden als nemlich der 2 vnd vierdten kommen 25. ſubtrahir 25 von 31 bleibt 6 als das Duplat der erſten Zahl / welche deßwegen ſeyn wird 3. vnd weil die erſt Zahl mit der an - dern 9 machet / ſubtrahir 3 von 9 bleibt 6 / fuͤr die ander Zahl / vnd weil die an - der vnd dritte machen 13 / ſo ſubtrahir 6 von 13 reſt 7 / fuͤr die dritte Zahl. Al - ſo weil die dritte vnd vierdte Zahl 9 machen / ſubtrahir 7 von 9 / reſtirn 2 fuͤr die vierdte Zahl: Letzlich weil die 4 vnd 5 Zahl thut 12 / ſubtrahir 2 von 12 / reſt 10 / die Zahl deß E.
So aber die Zahlen der Perſonen weren gleich geweſt / als 6 / vnnd A haͤtte genommen 2. B 3. C 4. D 5. E 6. F 7. So heiß wie zuvor je zwo vnnd zwo Zahlen ordentlich addirn / nur daß du die letzte nit zur erſten / ſondern zur andern als B addireſt. Nun laſſe die erſte Zahl auſſen / addier die dritte vnd fuͤnffte Summa: wie auch die ander / vierdt vnd 6 / ſubtrahier beede Sum - men von einander / ſo bleibt deß B duplat / ſteht alſo: 〈…〉
Nun48Erſter Theil der Erquickſtunden.Nun 3 von 5 bleibt 2 die Zahl deß A. 3 von 10 / 7 F. 7 von 13 / 6 E. vnd 6 von 11 bleibt 5 deß D Zahl. Letzlich 5 von 9 bleibt 4 / die Zahl C. Alſo kan man auch mit wenigern oder mehrern Perſonen / groͤſſern oder kleinern Zahlen verfahren vnd operirn.
Zum Grunde dieſer Auffgab zugelangen / wollen wir ein Exempel mit 3 Zahlen vornemen. 1. 2. 3. weil ich nun allzeit 2 Zahlen in ein Summa bring / vnd jede Zahl 2 mahl nehme / folget / daß die 3 Zahlen als Summen 2 mahl ſo viel machen als die erſten Zahlen / als hie 3. 5. 4. thun 12 / iſt 2 mahl mehr als 1. 2. 3. deßwegen muß die erſte Zahl auff geſchehene ſubtraction doppelt uͤberbleiben / damit ſie aber alsbalden kommen / wie ſie an jhr ſelbſten iſt / nimbt man die 3 Zahlen 3. 5. 4. jede halb / kommen 1½ 2½. 2. nun addirt 1½ vnd 2 / kommen 3½ davon 2½ reſt erſte begerte Zahl eins.
Laß dich aber hie nicht jrren / daß ich ſage die Zahl eins / da doch eins kei - ne Zahl ſondern nur ein anfang der Zahl iſt: Weil Euclidis andre defini - tion deß drittẽ Buchs lautet / eine Zahl ſey ein Meng von vnitaͤten zuſam̃en geſetzt. Gewiß iſts Euclides iſt recht dran / daß eins keine Zahl ſey / das ſagt er aber nicht: daß eins nicht an ſtatt einer Zahl ſtehen / oder keine Zahl ver - tretten koͤnne: dann man hin vnd wider in dem Euclide findet / daß er eins an ſtatt einer Zahl genommen / Alſo wers nicht vnrecht / wann mir einer ſa - get ich ſolte jhme vier Zahl in dupla proportione geben / wanns folgende weren: 1. 2. 4. 8.
Diß hab ich auff vorhergehende Auffgab gegruͤndet / vorher aber muß manwiſſen / daß der Hebreer Buchſtaben / Zahlen gelten / wie folget.
| 90 | 80 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| צ | פ | ע | ס | נ | מ | ל | כ | י | ט | ח | ז | ו | ה | ד | ג | ב | א |
| 400 | 300 | 200 | 100 |
| ת | ש | ר | ק |
Die Griechen laſſen jhre Buchſtaben auch Zahlen gelten / folgender geſtalt:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 200 |
| Α | β | γ | δ | ε | ϝ | ζ | η | θ | ι | κ | λ | μ | ν | ξ | ο | ϖ | [ϟ] | ϱ | σ |
| 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 |
| τ | υ | φ | χ | ψ | [ ω] |
Drittens weiln der Lateiner vnd Teutſchen Buchſtaben nicht alle Zahlen gelten / wollen wir fuͤr beede ein Alphabeth ſetzen / vnd mit Zahlen in gewiſſer Ordnung (ein andrer moͤchts anders verzeichnen) beſchreiben.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| A | b | c | d | e | f | g | h | i | k | l | m | n | o | p | q | r | ſ | t |
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| u | w | x | y | z |
Wann nun die Alphabet alſo verzeichnet / koͤnnen wir zur praxi ſchreiten / wollen erſtlich ein Hebraͤiſches Wort nemen: Soll ſeyn הָדָר hadhar. Weil ſolch Wort 3 Buchſtaben / heiß dir ſagen die Zahl der zweyen letzten Buchſtaben Daleth vnnd Reſch. Thun nach obgeſatztem Alphabeth 204. dieſe Zahl merck. Heiß dir auch die Zahl deß erſten vnd letzten Buchſtaben als deß He vnd Reſch anzeichen iſt 205. Endlich auch der zweyen erſten als deß He vnd Daleth thun 9. die mercke auch / ſo ſeynd nun diß die drey Zahlen oder Summen:
204 205 9
Addier die 2 erſten Zahl / kommen 409 / davon die dritte reſtirn 400. Alſo die erſt vnd dritt / davon ſubtrahir die mitler bleiben 8. Endlich addir die an - der vnd dritte / ſubtrahir davon die erſte ſeyn noch uͤbrig 10. Steht alſo: 〈…〉
HSo50Erſter Theil der Erquickſtunden.So du nun ſolche Zahlen halbirſt / vnd ſuchſt ſie oben im Hebraͤiſchen Alphabeth, ſo findeſt du das Wort הָדָר Hadhar.
Ein Exempel im Griechiſchen / wir wollen das Woͤrtlein μία nemen / ſo auch 3 Buchſtaben.
Der ander vnd letzte Buchſtab Jota vnd Alpha thun 11. Der erſt vnd letzt Mi vnd Alpha 41. der erſt vnd ander 50.