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Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen,

ausgehend von dem Gesetze der virtuellen Verschiebungen und den Lehrsätzen über die Formänderungsarbeit;

vonHeinrich F. B. Müller-Breslau,Ingenieur und Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in Hannover.

Mit 121 Textfiguren in Holzschnitt.

Leipzig,Baumgärtner's Buchhandlung.1886.

In unserm Verlag erschienen ferner und sind durch jede Buchhandlung zu beziehen: Die wichtigsten Resultate[für] die Berechnung eiserner Träger und Stützen. Für den Gebrauch bei Anfertigung baupolizeilicher statischer Berechnungen zusammengestellt und durch zahlreiche der Praxis entlehnte Beispiele erläutert von H. F. B. Müller-Breslau, Professor an der Kgl. technischen Hochschule zu Hannover. Zweite neu revidirte und vermehrte Auflage. Mit 70 Holzschnitten und 5 lithogr. Tafeln. 109 Seiten. gr. 8. 1883. Gebunden 5 Mark. Theorie der eisernen Träger mit Doppelflanschen. Von K. A. Klose. Mit 14 Holzschnitten. gr. 8. Brosch. 2 M. 40 Pf. Lehrbuch der technischen Mechanik. Von August Ritter, Dr. phil., Geh. Reg. -Rath und Professor an der Kgl. technischen Hochschule zu Aachen. 5. Auflage 1884. Mit über 750 Holzschnitten. Lexicon-Octav. Brosch. 16. M., eleg. geb. 18 M. Inhalt: I. Grundbegriffe und Grundgesetze. II. Mechanik des materiellen Punktes. III Statik fester Körper. IV. Dynamik fester Körper. V. Statik elastischer Körper. VI. Dynamik elastischer Körper. VII. Statik flüssiger Körper. VIII. Dynamik flüssiger Körper. Lehrbuch der analytischen Mechanik. Von August Ritter, Dr. phil. Geh. Reg. -Rath u. Professor an der Kgl. technischen Hochschule zu Aachen. 2. Auflage 1883. Mit 193 Holzschnitten. Lex. -8°. Brosch. 8 M., eleg. geb. 10 M. Inhalt: I. Geometrische Bewegungslehre. 1. Geradlinige Bewegung des geometrischen Punktes. 2. Krummlinige Bewegung des geometrischen Punktes. 3. Bewegung des geometri - schen Körpers. 4. Zusammensetzung und Zerlegung der Bewegungen des geometrischen Körpers. 5. Relative Bewegung. II. Mechanik des materiellen Punktes. 6. Grundbegriffe und Grundge - setze der Mechanik. 7. Geradlinige Bewegung des materiellen Punktes. 8. Krummlinige Bewe - gung des materiellen Punktes. 9. Bewegung des materiellen Punktes in vorgeschriebenen Bahn - linien und Flächen. 10. Relative Bewegung des materiellen Punktes. III. Mechanik des Systems von materiellen Punkten. 11. Geichgewicht eines Systems von materiellen Punkten. 12. Be - wegung eines freien Systems von materiellen Punkten. 13. Drehbewegungen eines Systems von materiellen Punkten. Lehrbuch der Ingenieur-Mechanik. Von August Ritter, Dr. phil., Geh. Reg. -Rath u. Professor an der Kgl. technischen Hochschule zu Aachen. 2. Auflage 1885. Mit fast 600 Holzschnitten Lex. -8°. Brosch. 14 M., eleg. geb. 16 M. Inhalt: I. Theorie der elastischen Linie. II. Theorie der Abscheerungskräfte. III. Berech - nung des Material-Aufwandes für Blech - und Gitter-Brücken. IV. Theorie des Widerstandes ge - gen Zerknicken. V. Biegungstheorie krummer Balken. VI. Theorie des Erddruckes und Be - rechnung der Futtermauern. VII. Theorie der Stützlinien und Berechnung der Gewölbe. VIII. Hydraulik. Wenck, Julius, Dr., Director der Gewerbeschule zu Gotha, Die Baumechanik. Ein Lehr - und Handbuch. 2. völlig neu bearbeitete Auflage. Mit ca. 150 Fi - guren und vielen Beispielen. 8. Neue gebundene Ausgabe 1884. 6 M. Nehls, Chr., Wasserbau-Director, Ueber graphische Integration und ihre Anwendung in der graphischen Statik. Mit 13 Figurentafeln. Lexikon - Octav. Neue wohlfeile Ausgabe 1885. Preis broschirt 6 Mark. Statische Berechnung der Balkenbrücken einer Oeffnung mit durchbrochenen Wandungen. Von A. Böhlk, Ingenieur. Mit 20 lithograph. Tafeln und 130 Holzschnitten. Lexicon-Octav. Brosch. Zweite durch Beispiele der Berechnung continuirlicher Träger vermehrte Auflage 1884. 6 M.

[I]

Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen,

ausgehend von dem Gesetze der virtuellen Verschiebungen und den Lehrsätzen über die Formänderungsarbeit;

vonHeinrich F. B. Müller-Breslau,Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in Hannover. Mit 121 Textfiguren in Holzschnitt.

Leipzig,Baumgärtner's Buchhandlung.1886.

[II]

Druck von Grimme & Trömel in Leipzig.

[III]

Vorwort.

In dem vorliegenden Buche werden die von dem Gesetze der virtuellen Verschiebungen ausgehenden, hauptsächlich von Mohr, Castigliano und Fränkel begründeten Methoden der Festigkeits - lehre im Zusammenhange vorgetragen. Die zur Erläuterung der allgemeinen Beziehungen zwischen den äusseren und inneren Kräften gewählten Aufgaben sind grösstentheils der Statik der Bauwerke und hier wiederum der Theorie der statisch unbestimmten Träger entlehnt worden; sie beziehen sich sowohl auf schwierigere als auch auf solche einfachere Fälle, die in anderer Weise ebenso kurz — und vielleicht noch kürzer — behandelt werden können, die aber mit aufgenommen wurden, weil die Gewinnung bekannter Ergebnisse auf neuen Wegen besonders geeignet sein dürfte, den Leser schnell mit den fraglichen Verfahren vertraut zu machen, wie denn überhaupt sämmtliche Aufgaben vornehmlich darauf hinzielen, die gegebenen Gesetze in möglichst lehrreicher Art zu erklären, nicht aber, die Theorie einer beschränkten Anzahl von Fällen bis ins Einzelne auszufeilen. Es sind deshalb die meisten Aufgaben über statisch unbestimmte Träger nur soweit durchgeführt worden, bis die statische Unbestimmtheit gehoben war, da gerade die ein - heitliche Berechnung der an Elasticitätsgleichungen gebundenen äusseren und inneren Kräfte neben einer übersichtlichen Darstellung der Formänderungen das Feld bilden, auf welchem das Vorgetragene erfolgreich zu verwerthen ist.

Besonders eingehend wurde die Aufsuchung der Einflusslinien für die statisch nicht bestimmbaren Grössen ebener Träger behandelt, wozu es nöthig war, die — vielfach erweiterten und vereinfachten — Gesetze über das Biegungspolygon und die Biegungslinie (elastische Linie) abzuleiten, um mit deren Hilfe die Berechnung der gesuchtenIV Einflusslinien in besonders übersichtlicher Weise auf die Berechnung von Momentenpolygonen für einfache Balken zurückführen zu können.

Trotzdem sich das Buch an reifere, mit den Grundzügen der Festigkeitslehre und der Statik der Bauwerke bereits vertraute Leser wendet, und sein Umfang durch Voranstellung der im § 24 ent - haltenen allgemeineren Untersuchungen etwas hätte gekürzt werden können, erschien es rathsam, mit der Betrachtung des übersicht - lichsten Falles — der Theorie des Fachwerks — zu beginnen, und auch im zweiten Abschnitte der schärferen Untersuchung einfach gekrümmter Stäbe diejenigen vereinfachten Entwickelungen voraus - zuschicken, die beispielsweise im Hochbau und Brückenbau bei der Berechnung von Bogenträgern stets Anwendung finden, da hier den Vorbedingungen der genaueren Theorie nur sehr unvollkommen ent - sprochen wird.

Die Ableitung des Gesetzes der virtuellen Verschiebungen für den elastischen Körper wurde, da sie den meisten Lesern aus der Mechanik geläufig sein dürfte, in einen Anhang verwiesen, der auch geschichtliche Angaben und Anführung einschlägiger Schriften ent - hält.

Auf die in diesem Buche gebotenen eigenen Untersuchungen brauche ich Kenner der Literatur nicht besonders hinzuweisen.

Hannover, im September 1885.

H. Müller-Breslau.

[1]

Abschnitt I. Theorie des Fachwerks.

§ 1. Allgemeines über das ebene Fachwerk.

1) Ein Fachwerk ist eine Verbindung von Stäben, welche in den Knotenpunkten, d. h. in den Punkten, in denen mehrere Stabachsen zusammentreffen, durch reibungslose Gelenke miteinander befestigt sind. Greifen alle äusseren Kräfte in den Knotenpunkten an (was streng - genommen nur bei gewichtslosen Stäben möglich ist), so tritt in jedem Stabe eine mit der Achse desselben zusammenfallende Spannkraft auf, welche positiv oder negativ angenommen werden soll, je nachdem sie Zugspannungen oder Druckspannungen hervorbringt. Liegen alle Stab - achsen und äusseren Kräfte in derselben Ebene, so heisst das Fachwerk ein ebenes.

Wir betrachten das ebene Fachwerk unter der Voraussetzung, dass die äusseren Kräfte sowohl für sich allein als auch mit den inneren Kräften im Gleichgewichte sind, und dass es zulässig ist, die durch die Elasticität des Materiales der Fachwerkstäbe und der das Fachwerk stützenden frem - den Körper be - dingten Form - änderungen als verschwindend klein aufzufassen. Es dürfen in diesem Falle in die Gleichgewichts - bedingungen alle

Fig. 1.

Hebelarme und die Neigungswinkel der Stäbe mit denjenigen Werthen eingeführt werden, welche dem spannungslosen Anfangszustande des Fach - werks entsprechen.

Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 12

Die äusseren Kräfte sind theils gegeben und sollen dann Lasten heissen und mit P bezeichnet werden, theils bestehen sie aus den zu suchenden Widerständen C der das Fachwerk stützenden Körper. Die Stütz - punkte, auch Auflager genannt, können bewegliche oder feste sein. Ein bewegliches Auflager entsteht, sobald ein Knotenpunkt gezwungen wird, auf einer gegebenen Linie zu bleiben, an der Bewegung längs dieser Linie aber durch den Zusammenhang mit dem Fachwerke ge - hindert wird; der Stützenwiderstand wirkt, wenn keine Reibung auf - tritt, senkrecht zu dieser Bahn, seine Richtung ist gegeben, seine Grösse wird gesucht. ^*)Reibungswiderstände an den beweglichen Auflagern dürfen wir hier ausschliessen. Bei grossem Reibungskoefficienten kann ein bewegliches Lager zu einem festen werden; tritt Bewegung ein, so ist der Reibungswiderstand in bestimmter Weise von dem Normaldrucke auf die Auflagerbahn abhängig; wir zählen ihn in diesem Falle zu den Lasten, über deren Grösse ja nichts vorausgesetzt zu werden braucht.

Von dem Widerstande eines festen Auflagers ist sowohl die Grösse als auch die Richtung unbekannt, es sind — wie wir bei der Her - leitung der allgemeinen Gesetze voraussetzen wollen — zwei Seitenkräfte desselben anzugeben.

Bedeutet also n' die Anzahl der beweglichen Auflager,
n' '„ „ „ festen „
r „ „ „ Fachwerkstäbe,

so sind n' + 2 n' 'Auflagerkräfte und r Spannkräfte zu berechnen, und hierzu stehen, bei k Knotenpunkten, 2 k Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung.

Bezieht man nämlich das Fachwerk auf ein rechtwinkliges Koor - dinatensystem (x, y) und bezeichnet mit Qxm und Qym die parallel den Koordinatenachsen gebildeten Seitenkräfte der im Knotenpunkte m an - greifenden äusseren Kraft Qm (welche gegebene Last oder unbekannte Auflagerkraft sein kann), ferner mit S1, S2 ..... Sp die Spannkräfte in den von m ausgehenden Stäben und mit α1, α2 .... αp die Neigungs - winkel dieser Stäbe gegen die x-Achse, so ergeben sich die beiden Gleichgewichtsbedingungen: 〈…〉 und zwei solcher Gleichungen ersten Grades lassen sich für jeden Knoten - punkt aufstellen.

Ist nun n' + 2 n' '+ r > 2 k, so ist es nicht möglich, die Un -3 bekannten lediglich mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen zu berech - nen, und das Fachwerk heisst ein statisch unbestimmtes.

Ist dagegen n' + 2 n' '+ r < 2 k, so kann im Allgemeinen kein Gleichgewicht zwischen den äusseren und inneren Kräften bestehen; das Fachwerk heisst ein verschiebliches (labiles).

Soll das Fachwerk statisch bestimmt und unverschieblich (stabil) sein, d. h. sollen sich die Auflagerkräfte und Spannkräfte mittelst der Gleichgewichtsbedingungen eindeutig durch die äusseren Kräfte ausdrücken lassen, so muss r + n' + 2 n' '= 2 k sein, und ausserdem darf die aus den Koefficienten der Bedingungsgleichungen (1) gebildete Determinante nicht gleich Null sein. ^*)Bezeichnet man die zu berechnenden Unbekannten allgemein mit Z1, Z2, Z3 .... Zi = 2 k, so lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen auf die Form bringen: 〈…〉 wobei a1 · 1 bis ai · i und c1 bis ci gegebene Grössen bedeuten. Damit sich sämmtliche Z mit Hilfe dieser Gleichungen berechnen lassen, ist erforderlich und ausreichend, dass die aus den Koefficienten a gebildete Determinante 〈…〉 nicht gleich Null wird.Die Untersuchung dieser Deter - minante ist sehr umständlich, aber auch entbehrlich, da sich die Frage nach der statischen Bestimmtheit und Unverschieblichkeit eines ebenen Fachwerks stets schnell und sicher durch den Versuch entscheiden lässt, die Auflagerkräfte und Spannkräfte eindeutig zu berechnen, etwa mit Hilfe der Ritterschen Methode oder mit Hilfe eines Kräfteplanes. Beide Verfahren werden hier als bekannt vorausgesetzt.

Jedes statisch unbestimmte Fachwerk lässt sich durch Beseitigung gewisser Stäbe und Auflagerkräfte — welche in der Folge überzählig genannt werden sollen — in ein statisch bestimmtes Fachwerk (das Hauptnetz) verwandeln. Die Stäbe und Auflagerkräfte des Haupt - netzes heissen die nothwendigen Glieder des Fachwerks.

2) Werden die überzähligen Stäbe eines statisch unbestimmten Fachwerks entfernt und, damit an dem Spannungszustande des Fach - werkes nichts geändert werde, die Spannkräfte in den weggenommenen Stäben als äussere Kräfte wieder hinzugefügt, so ist es möglich, die Spannkräfte in den nothwendigen Stäben und die nothwendigen Auf - lagerkräfte durch die gegebenen Lasten und die unbekannten über - zähligen Stabkräfte und Auflagerkräfte auszudrücken. Hierbei können sich nur Beziehungen ersten Grades ergeben, weil in den Gleichgewichts -1*4bedingungen alle Kräfte ausschliesslich in der ersten Potenz vorkommen. Da es nun weiter freisteht, die überzähligen Stabkräfte und Auflager - kräfte als geradlinige Funktionen anderer, ebenfalls in der ersten Potenz vorkommender Unbekannten darzustellen, beispielsweise als Funktionen ihrer Momente, bezogen auf gegebene Drehpunkte, so darf man behaupten: Sämmtliche Spannkräfte S und Auflagerkräfte C eines statisch unbestimmten Fachwerks lassen sich stets auf die Form bringen: 〈…〉 wobei X ', X' ', X' '' ...... gewisse, statisch nicht bestimmbare Grössen bedeuten, während S0, S', S' '...., C0, C', C '' .... Werthe vorstellen, welche von den Unbekannten X unabhängig sind. Ins - besondere bedeuten S0 und C0 die Spannkräfte und Auflagerkräfte des statisch bestimmten Hauptnetzes, in welches das Fachwerk übergeht, sobald sämmtliche Grössen X verschwinden; sie sind geradlinige Funktionen der Lasten P, während die S', S' '.... C', C '' .... von den P unabhängig sein sollen. ^*)Die Gleichungen 2 gelten für die nothwendigen und überzähligen Stäbe und Auflagerkräfte. Ist z. B. X '' die Spannkraft in einem überzähligen Stabe, so entsprechen diesem die Werthe: S0 = 0, S' = 0, S' '= 1, S'' '= 0 u. s. w. und es folgt S = X' '.

Beispiel. Der in Fig. 2 dargestellte, bei A, B und C fest gelagerte Dachbinder wird statisch bestimmt, sobald der Stab E C, dessen Spannkraft = X sein möge, beseitigt wird. In den Knotenpunkten E und C sind die Kräfte X wieder anzubringen.

Um nun die Spannkraft in irgend einem Stabe, z. B. in L N zu berechnen,

Fig. 2.

werde die Ritter’sche Methode angewendet. Es wird das Fach - werk durch einen Schnitt, wel - cher ausser L N nur noch zwei Stäbe trifft, in zwei Theile zer - legt. An den Schnittstellen werden die inneren Kräfte S1, S2, S3 der geschnittenen Stäbe als äussere Kräfte angebracht, und nun wird für die auf den einen der beiden Fachwerkstheile, z. B. den linken, wirkenden äusseren Kräfte die Gleichung der statischen Momente aufgestellt, wobei, wenn es sich um die Berechnung von S1 handelt, der Schnittpunkt von S2 und S3 zum Drehpunkte gewählt wird. Mit den Bezeichnungen in Fig. 2 ergiebt sich 〈…〉 und hieraus 〈…〉 5und in gleicher Weise lassen sich die Kräfte S in sämmtlichen übrigen noth - wendigen Stäben als geradlinige Funktionen der Lasten P und der Grösse X darstellen.

An Stelle von X hätte man auch das auf den Knotenpunkt B bezogene Moment: M = X d dieser Kraft zu derjenigen statisch nicht bestimmbaren Grösse wählen können, durch welche die S ausgedrückt werden sollen und würde erhalten haben: 〈…〉

3) Für die Folge ist es nicht unwichtig, besonders hervorzuheben, dass die mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen hergestellten Be - ziehungen (2) zwischen den S, C, P und X für beliebige Werthe der Lasten P und der statisch nicht bestimmbaren Grössen X giltig sind, und dass mithin die theilweise Differentiation von S und C beispiels - weise nach X 'liefert: 〈…〉 Ferner ist zu beachten, dass S' und C 'diejenigen Werthe bedeuten, welche die Spannkräfte und Auflagerkräfte annehmen, sobald X' = 1 wird, während sämmtliche Lasten P und die übrigen statisch nicht be - stimmbaren Grössen: X '', X '' '..... verschwinden, ein Belastungszustand, der in der Folge kurz der „ Zustand X' = 1 “genannt werden möge.

Man kann sagen: Die durch die Ursache X '= 1 hervorgerufenen Auflagerkräfte C' und Spannkräfte S' sind miteinander im Gleichgewichte.

Ebenso sind die C '' im Gleichgewichte mit den S' ', die C' '' mit den S' '' u. s. w.

§ 2. Allgemeines über das räumliche Fachwerk.

Bedeuten für ein Fachwerk mit beliebig im Raume vertheilten Knotenpunkten Qxm, Qym, Qzm die den Achsen eines rechtwinkligen Ko - ordinatensystems parallelen Seitenkräfte der in irgend einem Knoten - punkte m angreifenden äusseren Kraft Qm, ferner S1, S2 … Sp die Spannkräfte in den von m ausgehenden Stäben und α1, α2 .... αp, β1, β2 .... βp, γ1, γ2 .... γp die Neigungswinkel der Stabachsen gegen die Koordinatenachsen x, y und z, so lauten die Bedingungen für das Gleichgewicht der in m wirksamen äusseren und inneren Kräfte: 〈…〉 6und es ist, bei k Knotenpunkten, die Anzahl dieser Bedingungen = 3 k. Zu berechnen sind r + 3 n' '' + 2 n' '+ n' Unbekannte, wobei r = Anzahl der Stäbe, n'' '= „ „ festen Stützpunkte, n'' = „ „ auf einer Linie als Auflagerbahn beweglichen Stützpunkte, n' = „ „ auf einer Fläche als Auflagerbahn beweglichen Stützpunkte. Es erfordert nämlich die Bestimmung des Widerstandes eines festen Stützpunktes die Angabe von 3 Seitenkräften, während bei Führung des beweglichen Stützpunktes durch eine Linie oder eine Fläche be - ziehungsweise zwei Seitenkräfte oder eine Seitenkraft zur Feststellung des Auflagerdruckes ausreichen.

Im Falle r + 3 n' '' + 2 n' '+ n' > 3 k ist das Fachwerk statisch unbestimmt und im Falle r + 3 n'' '+ 2 n'' + n' < 3 k ist es ver - schieblich.

Ist r + 3 n' '' + 2 n' '+ n' = 3 k, und ist die aus den Koeffi - cienten der Gleichungen (3) gebildete Determinante nicht gleich Null (vergl. die Anmerkung auf Seite 3), so ist das Fachwerk statisch be - stimmt und unverschieblich; sämmtliche Unbekannten lassen sich mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen eindeutig berechnen. Die umständ - liche Untersuchung der Determinante kann man sparen, indem man sofort versucht, die Spannkräfte und Auflagerkräfte zu ermitteln. Jedes statisch unbestimmte, räumliche Fachwerk lässt sich durch Beseitigung der überzähligen Stäbe und Auflagerkräfte in ein statisch bestimmtes verwandeln.

Die in § 1 unter 2) und 3) angestellten Betrachtungen gelten nicht nur für das ebene, sondern auch für das räumliche Fachwerk; auch bei dem letzteren ist es stets möglich, die Spannkräfte S und Auflager - kräfte C als geradlinige Funktionen der Lasten P und gewisser statisch nicht bestimmbarer Grössen X ', X' '.... darzustellen.

§ 3. Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen X ', X' '.... für beliebige, ebene oder räumliche Fachwerke.

1. Allgemeine Form der Bedingungen für die Grössen X. Die Längen s der Stäbe eines ebenen oder räumlichen Fachwerks mögen um Strecken Δs zunehmen, und im Zusammenhange hiermit mögen die7 Knotenpunkte ihre auf ein beliebiges, festes Koordinatensystem bezogenen Lagen ändern, wobei:

Δ c = Verschiebung eines Stützpunktes im Sinne der in demselben angreifenden Auflagerkraft C,
δ = Verschiebung des Angriffspunktes irgend einer Last P im Sinne von P.

Bezüglich aller dieser Verschiebungen wird nur vorausgesetzt, dass sie möglich sind und klein genug, um als verschwindende Grössen aufgefasst werden zu dürfen. Es gilt dann der Satz von den virtuellen Verschiebungen (Princip der virtuellen Ge - schwindigkeiten), welcher aussagt, dass im Falle des Gleichgewichtes der inneren und äusseren Kräfte die Arbeit der ersteren gleich der - jenigen der letzteren ist, und es folgt die Gleichung: (4) 〈…〉 welche wir in der Folge die Arbeitsgleichung des Fachwerks nennen wollen, und welche mit den durch die Gleichungen 2 für C und S gegebenen Werthen übergeht in (5) 〈…〉 sie gilt für beliebige Werthe der Lasten P und statisch nicht bestimmbaren Grössen X ', X' '....

Wir nehmen nun den besonderen Fall an, dass X '= 1 wird, während sämmtliche Lasten P und die übrigen statisch nicht bestimm - baren Grössen verschwinden und erhalten die Beziehung 〈…〉 (6) Es können diese Gleichungen — mit Hinweis auf die Ausdrucksweise am Schlusse des § 1 — beziehungsweise als die Arbeitsgleichungen für die Zustände X '= 1, X' '= 1, X' '' = 1 u. s. w. bezeichnet werden; ihre Anzahl stimmt mit derjenigen der Unbekannten X überein, und sie ermöglichen deshalb die Berechnung der Werthe X; man braucht sie nur auf die wirklichen elastischen Formänderungen des Fachwerks, welche nach einem durch die Erfahrung gegebenen Gesetze von den inneren und äusseren Kräften abhängen, anzuwenden.

Bevor dies geschehe, werde noch bemerkt, dass sich die Bedingungen 6 mit Beachtung der Gleichungen 〈…〉 auch in der Form anschreiben lassen:8 (7) 〈…〉 in welcher sie sich unmittelbar ergeben, sobald die Gleichung 4 nach allen unabhängigen Veränderlichen X ', X' '..... theilweise differentiirt wird und hierbei die Verschiebungen δ, Δ c, Δ s, sowie die Lasten P als Konstanten betrachtet werden, was bei der Willkürlichkeit dieser Grössen gestattet ist.

2. Die Verschiebungen Δ s und Δ c. Es wird vorausgesetzt, dass das Fachwerk bei einem bestimmten Temperaturzustande vor Ein - wirkung der Belastung spannungslos sei (Anfangszustand), und dass sich die Anfangstemperatur eines Stabes in allen Theilen desselben um den gleichen Betrag t ändere. Bedeutet dann:

E den Elasticitätsmodul des Stabmateriales,
F „ Inhalt des Stabquerschnittes,
ε „ Ausdehnungskoefficienten für t = 1,

so ist erfahrungsgemäss (8) 〈…〉 wobei, bezogen auf die Tonne und das Meter als Einheiten, und wenn t in Celsiusgraden ausgedrückt wird, durchschnittlich gesetzt werden darf:

für Schmiedeeisen: E = 20000000, ε = 0,000012, ε E = 240,
„ Gusseisen: E = 10000000, ε = 0,000011, ε E = 110,
„ Holz: E = 1100000, ε = 0,000004, ε E = 4,4.

Die Verschiebungen Δ c der Stützpunkte hängen von der Form,

Fig. 3.

der Elasticität, der Belastung und der Temperaturände - rung der das Fach - werk stützenden Körper ab; sie lassen sich fast nie mit Sicherheit angeben und werden meistens gleich Null gesetzt oder ge - schätzt. Besitzen unbeabsichtigte Störungen der Stützlage einen grösseren Einfluss auf den Spannungszustand eines Fachwerkes, so darf dieses nur bei sicherer9 Stützung ausgeführt werden. Beispielsweise sind kontinuirliche Balken und Bogenträger ohne Gelenke bei unsicherem Baugrunde zu verwerfen.

Im Falle starrer und reibungsloser Widerlager lauten die Be - dingungsgleichungen, denen die statisch nicht bestimmbaren Grössen X zu genügen haben: (9) 〈…〉

3. Beispiel zur Erläuterung der allgemeinen Theorie. Der in Fig. 3 dargestellte Dachbinder sei bei A und B fest gelagert und werde bei E und F durch Säulen gestützt, welche am Kopfe und am Fusse reibungslose Gelenke besitzen.

Alle Verschiebungen mögen auf das feste Koordinatensystem (x, y) bezogen werden. Nachgeben der Widerlager verursache eine Vergrösserung der Stützweite l um Δ l und Senkungen der Stützpunkte E und F um δ 'bezieh. δ' '. Die Lasten P seien beliebig ge - richtet; die senkrech - ten Seitenkräfte der Stützendrücke an den Enden seien = A und = B, die wage - rechten = C und = D; die Säulen üben die Gegen - drücke X' und X '' aus.

Beseitigung der beiden Mittelstützen führt zu dem statisch bestimmten Haupt - netze, Fig. 4 (Bogen mit 3 Gelenken), dessen Auflagerkräfte A0, B0, C0, D0 und Stabkräfte S0 sich

Fig. 4

— 6.

leicht berechnen lassen. (Zeichnen eines Kräfteplanes oder Anwendung der Ritter’schen Methode).

Werden alle Kräfte P und auch X '' = 0 gesetzt, während X '= 1 angenommen wird, so entsteht der in Fig. 5 dargestellte Belastungs - zustand mit den Auflagerkräften10 〈…〉 ^*)Folgt aus der Momentengleichung für Punkt G: 〈…〉 und den leicht zu berechnenden Spannkräften S'; wir nennen ihn kurz: Zustand X '= 1. Verschwinden die Kräfte P und X', während X '' = 1 wird, so entsteht der Belastungszustand Fig. 6 (Zustand X '' = 1) mit den Auflagerkräften 〈…〉 und den Spannkräften S' '.

Für das statisch unbestimmte Fachwerk in Fig. 3 ergiebt sich nun (I) 〈…〉

Die Gleichungen zur Berechnung von X 'und X' 'werden durch Anschreiben der Arbeitsgleichungen für die Zustände X' = 1 und X '' = 1 erhalten. Im ersteren Belastungsfalle (Fig. 5) leistet die Auflagerkraft D' die virtuelle Arbeit D' · Δ l = 〈…〉 und die in E angreifende Kraft 1 leistet, da sich Punkt E um δ 'senkt, die Arbeit (— 1 · δ'); es ergiebt sich daher: 〈…〉 während für den Belastungsfall in Fig. 6 in derselben Weise die Gleichung 〈…〉 gewonnen wird. Drückt man Δ s nach Gleich. 8 aus, so folgt: 〈…〉 und 〈…〉 Wir wollen E, ε und t für sämmtliche Stäbe konstant annehmen und die vorstehenden Gleichungen mit einer beliebigen Querschnittsfläche Fc11 multipliciren. Drücken wir dann noch S nach der letzten der Gleich. I aus und setzen zur Abkürzung 〈…〉 so erhalten wir: (II) 〈…〉

Die Multiplikation mit Fc ist zu empfehlen, sobald, was meistens der Fall sein wird, mehrere Stäbe des Fachwerks denselben Querschnitt erhalten; setzt man dann Fc gleich der am häufigsten vorkommenden Querschnittsfläche, so erhält man möglichst viele Verhältnisse 〈…〉 = 1. Stimmen für eine grössere Anzahl von Stäben sowohl Länge als Quer - schnitt überein, so kann man Fc so annehmen, dass s' = 〈…〉 durch eine runde Zahl ausgedrückt wird.

Sollen nun die Gleichungen II für einen bestimmten Fall der An - wendung aufgelöst werden, so müssen gewisse Voraussetzungen über die Grösse der Verschiebungen δ ', δ' 'und Δ l gemacht werden. Lehnt sich der Dachstuhl bei A und bei B gegen gemauerte Widerlager, so wird in der Regel Δ l = 0 angenommen. Weiter wird meistens die Zusammendrückung des Baugrundes und der Säulen-Fundamente (weil schwer anzugeben) vernachlässigt, so dass δ' und δ '' gleich sind den Verkürzungen der Säulen in Folge der Drücke X 'und X' ', vermindert um die Verlängerungen derselben in Folge einer Erhöhung der Tempe - ratur. Ist also

E0 = Elasticitätsmodul des Säulenmateriales,
ε0 = Ausdehnungskoefficient für t = 1 0,
F0 = Inhalt des Säulenquerschnittes,
s0 = Länge einer Säule,

so ergiebt sich 〈…〉 und es gehen die Gleichungen II über in 〈…〉 12 〈…〉 sie enthalten jetzt nur noch die Unbekannten X 'und X' '.

Die Durchführung der Rechnung in Zahlen erfordert natürlich, dass alle Querschnittsinhalte (deren Bestimmung in der Regel das Ziel einer statischen Berechnung ist) bekannt sind; es müssen also diese Inhalte, sobald es sich um ein neu zu entwerfendes Fachwerk handelt, zunächst abgeschätzt oder mit Hilfe von angenäherten Rechnungsmethoden er - mittelt werden.

4. Zahlenbeispiel. Es ist der Horizontalschub X des in Fig. 7 dargestellten, bei A und B fest gelagerten Bogenträgers zu berechnen. Stützweite 20m, Feldweite 2m. Die unteren Knotenpunkte liegen auf einer Parabel, deren Pfeil = 2,5m ist; die obere Gurtung ist gerad - linig; Höhe der Endvertikale = 3m. Die Knotenpunktslasten sind = 1t bezieh. 0,5t. Die in Fig. 7 an die Stäbe gesetzten Zahlen geben, links von der Mitte, die Stablängen in cm und, rechts von der Mitte, die In - halte der Querschnitte in qcm an.

Im Falle X = 0 entsteht ein statisch bestimmter Fachwerkbalken, dessen Spannkräfte S0 mit Hilfe eines Kräfteplanes ermittelt und in der nachstehenden Tabelle zusammengestellt wurden. Sodann sind in Fig. 8 diejenigen Stabkräfte S' eingetragen worden, welche thätig sind,

Fig. 7

u. 8.

sobald in A und B zwei auswärts gerichtete, wage - rechte Kräfte 1 auf das im übrigen unbelastet und gewichtslos ge - dachte Fachwerk wirken. Aus den Werthen S0 und S' ergeben sich die Spannkräfte: (I) S = S0 — S' X. Um X zu berech - nen, schreiben wir die Arbeitsgleichung für den Belastungszustand in Fig. 8 an; sie lautet, wenn sich l um Δ l vergrössert: 〈…〉 und geht mit 〈…〉 13über in (III) 〈…〉 Werden E und ε für alle Stäbe gleich gross angenommen, und wird die vorstehende Gleichung mit der beliebigen Querschnittsfläche Fc mul - tiplicirt, so geht sie, mit der Abkürzung 〈…〉 über in 〈…〉 und liefert (IV) 〈…〉 Die Belastung erzeugt für sich allein (V) 〈…〉

In der folgenden Tabelle sind die den einzelnen Stäben entsprechen - den Werthe S' S0 s' und 〈…〉 , bei deren Berechnung Fc = 100qcm an - genommen wurde, zusammengestellt worden. Es ergiebt sich für die eine Hälfte des in Bezug auf die Mitte symmetrischen Trägers 〈…〉 mithin ist 〈…〉 und 〈…〉 also beispielsweise für die erste Diagonale 〈…〉 Werden die Knotenpunktslasten 1t und 0,5t beziehungsweise durch P und 0,5 P ersetzt, so entsteht X = 8,8 P und dieser Werth bleibt giltig, wenn man sämmtliche Querschnittsflächen mit ein und derselben Zahl multiplicirt, so dass es bei der Berechnung des durch die Belastung er - zeugten Horizontalschubes H eines zu entwerfenden Fachwerkbogens nur darauf ankommt, das gegenseitige Verhältniss der Querschnittsflächen abzuschätzen.

Der durch eine Erhöhung der Temperatur hervorgerufene Horizon - talschub möge unter der Voraussetzung eines konstanten t berechnet werden; er ergiebt sich nach Gleichung IV: 〈…〉 und, wenn für Schmiedeeisen ε E = 240 (bezogen auf die Tonne und das14 Meter) gesetzt und t = 400 Cels. angenommen wird, mit Fc = 100qcm = 0,01qm, 〈…〉

Um den Werth Σ S' s, welcher sich über den ganzen Träger erstreckt, schnell zu berechnen, beachte man, dass in der Arbeitsgleichung II unter Δ l und Δ s beliebige, aber mögliche und genügend kleine Verschiebungen verstanden werden dürfen. Solche mögliche Verschiebungen entstehen unter Anderem, wenn das Fachwerk eine der früheren ähnliche Form annimmt, wenn sich also s um ω s und l um ω l ändert, unter ω eine Konstante verstanden. Gleichung II geht dann über in 〈…〉 sie liefert 〈…〉 15und es folgt somit: X = 0,214 · 20 = 4,3t.

Eine durch Nachgeben der Widerlager entstandene Vergrösserung der Stützweite um Δ l bedingt nach Gleich. IV den Horizontalschub 〈…〉 und beispielsweise für Δ l = 1cm = 0,01m: X = — 4,5t.

§ 4. Verschiebungen der Knotenpunkte eines Fachwerks. Allgemeine Untersuchungen.

Werden die Knotenpunkte des Fachwerks mit 1, 2, 3 … m .... n bezeichnet und die in denselben angreifenden Lasten mit P1, P2, P3 … Pm .... Pn, so lautet die in § 3 aufgestellte Arbeitsgleichung (4): (10) 〈…〉 ; sie gilt für beliebige mögliche Verschiebungen δ, Δ c und Δ s und für beliebige Werthe der Lasten P und liefert unmittelbar die durch be - stimmte Δ c und Δ s hervorgerufene Verschiebung δm des Knotenpunktes m im Sinne von Pm, sobald P1 bis Pm — 1 und Pm + 1 bis Pn gleich Null gesetzt werden, während Pm = 1 angenommen wird. Da nun aber die Gleichung 10 auch für beliebige Werthe der statisch nicht bestimm - baren Grössen X giltig ist, so wird es sich empfehlen, sämmtliche X gleich Null zu setzen, d. h. man wird, um die durch irgend einen, kurz mit L bezeichneten, Belastungszustand erzeugte Verschiebung δm zu berechnen, die Arbeitsgleichung für das durch Pm = 1 belastete, statisch be - stimmte Hauptnetz anschreiben und in diese Gleichung die dem Belastungszustande L entsprechenden Verschiebungen Δ c und Δ s einsetzen.

Hierbei ist es ganz gleichgiltig, in welcher Weise das statisch be - stimmte Hauptnetz gebildet wird. Dass dies auf verschiedenartige Weise geschehen kann, geht daraus hervor, dass bei der Auswahl der als statisch nicht bestimmbar aufzufassenden Grössen — innerhalb gewisser Grenzen — nach Willkür verfahren werden darf.

Auch ist hervorzuheben, dass bei der Berechnung der Knotenpunkts - verschiebungen δ andere Hauptnetze gebildet werden dürfen, wie bei der Berechnung der Spannkräfte.

Zahlenbeispiel. Es wird die Senkung δ3 des Knotenpunktes 3 des

Fig. 9

u. 10.

in Fig. 9 dargestellten, statisch bestimmten Fachwerkträgers ge - sucht. Die Knotenpunktslasten sind 8t und 4t. Stützweite = 12m, Trägerhöhe = 4m, Feldweite = 3m, Länge einer Diagonale = 5m. In Fig. 9 sind die Spann - kräfte S zusammengestellt worden; die ihnen entsprechenden Aen - derungen der Stablängen sind, wenn die Anfangstemperatur er - halten bleibt, 〈…〉 . Figur 10 giebt diejenigen Spann - kräfte �, welche entstehen, so - bald im Knotenpunkte 3 nach der Richtung der gesuchten Verschiebung (d. i. also im vorliegenden Falle senkrecht) eine Last 1 angreift. Die Arbeitsgleichung lautet für diesen Belastungszustand 〈…〉 , sie gilt für beliebige zusammengehörige Werthe δ3 und Δ s, und liefert insbesondere die dem Belastungsfalle in Fig. 9 entsprechende Senkung δ3, sobald die für diesen Belastungsfall berechneten Δ s eingesetzt werden. Bei konstantem E folgt: 〈…〉 . Die den einzelnen Stäben entsprechenden Produkte 〈…〉 sind in der Tabelle auf Seite 17 zusammengestellt worden. Man findet 〈…〉 und, wenn, für Schmiedeeisen, E = 2000t für das qcm gesetzt wird, 〈…〉 .

Beispiel 2. Es soll die Senkung δ des Scheitels G des in Fig. 3 auf Seite 8 dargestellten Dachbinders ermittelt werden.

Nachdem die statisch nicht bestimmbaren Grössen X 'und X' 'nach der im § 3 gegebenen Anleitung berechnet und die Spannkräfte S = S0 + S' X' + S' 'X' 'ermittelt worden sind, werden die wirklichen Längen -

(Tabelle zum Zahlenbeispiele auf Seite 16.)

änderungen Δ s = 〈…〉 für sämmtliche Stäbe, sowie etwaige Ver - schiebungen der Stützpunkte festgestellt.

Hierauf wird das statisch bestimmte Hauptnetz (Fig. 11) mit der

Fig. 11

u. 12.

in G angreifenden Kraft 1 belastet. Es entstehen die Auflagerkräfte A = B = ½ und 〈…〉 ,Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 218sowie gewisse, leicht bestimmbare Spannkräfte �, und es lautet die Arbeitsgleichung 〈…〉 , sie gilt für beliebige zusammengehörige δ und Δ s. Setzt man also die wirklichen (dem Belastungszustande in Fig. 3 entsprechenden) Form - änderungen Δ l und Δ s ein, so erhält man auch die wirkliche Senkung δ.

Wird die wagerechte Verschiebung δ 'des Punktes G gesucht und hierbei δ' positiv angenommen, sobald sich G nach rechts verschiebt, so ist das statisch bestimmte Hauptnetz mit einer nach rechts gerich - teten Kraft 1 zu belasten (Fig. 12). Diese erzeugt die Auflagerkräfte A' = 〈…〉 , abwärts gerichtet^*)Es ist B' gleich aber entgegengesetzt A', damit die senkrechten Kräfte im Gleichgewichte sind. Sodann verlangt das Gleichgewicht gegen Drehen: A' l = 1 · h, woraus A' = 〈…〉 . Schliesslich folgt 〈…〉 und ebenso D' = ½, weil die Mittelkraft K1 aus A' und C, desgl. K2 aus B' und D' durch den Punkt G gehen muss., B' = 〈…〉 , aufwärts gerichtet, C '= D' = ½, sowie Spannkräfte �', und es ergiebt sich die Arbeitsgleichung 〈…〉 , aus welcher 〈…〉 erhalten wird.

Beispiel 3. Gesucht sei die Senkung δm des Knotenpunktes n der Mittel-Oeffnung eines kontinuirlichen Fachwerkträgers mit 4 Stütz - punkten (Fig. 13 a).

Nachdem für den vorgeschriebenen Belastungsfall die Spannkräfte S ermittelt worden sind, wird der Theil des Fachwerks, welchem der Knotenpunkt m angehört, statisch bestimmt gemacht. Dies geschielt am zweckmässigsten durch Beseitigung der beiden Stäbe L N und R T. Der Trägertheil C1 C2 ist jetzt als ein einfacher Balken aufzufassen (Fig. 13 b); er wird im Punkte m mit der senkrechten Kraft 1 belastet, und hierauf werden die Auflagerkräfte 〈…〉 und 〈…〉 und die Spannkräfte � berechnet. Schliesslich wird die Arbeitsgleichung 〈…〉 angeschrieben; sie liefert, wenn für Δ s die wirklichen Aenderungen19 der Stablängen gesetzt werden, die wirkliche senkrechte Verschiebung des Punktes m gegen die fest gedachte Gerade C1 C2. Senken sich die

Fig. 13

a, b u. c.

Stützpunkte C1 und C2 beziehungsweise um δ 'und δ' ', so ist zu δm noch der durch die Figur 13 c nachgewiesene Betrag 〈…〉 hinzuzufügen.

§ 5. Die Biegungspolygone für ebene Fachwerkträger.

1) Trägt man die (nach unten positiv gezählten) senkrechten Ver - schiebungen .... δm ‒ 1, δm, δm + 1 ...... der Knotenpunkte .... m — 1, m, m + 1 ..... einer Gurtung A B eines in einer lothrechten Ebene gedachten Fachwerks von einer Wagerechten A' B' aus als Ordinaten auf und verbindet die Endpunkte derselben durch gerade Linien, so erhält man das der gegebenen Belastung entsprechende Biegungspolygon der Gurtung A B (Fig. 14 a). Dasselbe lässt sich bestimmen, sobald die Längenänderungen der Gurtstäbe und die Aenderungen der von je zwei aufeinander folgenden Gurtstäben gebildeten Winkel, welche wir kurz die Randwinkel nennen und = ϑ setzen wollen, bekannt sind.

Die Fläche zwischen dem Biegungspolygone und der zugehörigen Abscissenachse möge die Biegungsfläche der Gurtung heissen.

Wir betrachten zuerst das Biegungspolygon einer unteren Gurtung, bezeichnen

mit sm und sm + 1 die Längen der einem Knotenpunkte m benachbarten Gurtstäbe,
„ γm und γm + 1 die von der Wagerechten durch das linke Stab - ende aus nach unten positiv gezählten Neigungswinkel dieser Stäbe,

2*20

Fig. 14

c, 14, 14 a, 14 b.

mit cm und cm + 1 die senk - rechten Projektionen von sm und sm + 1,
„ λm und λm + 1 die wage - rechten Projektionen von sm und sm + 1,
„ Δ s, Δ γ, Δ c, Δ λ die Aenderungen von s, γ, c und λ, und erhalten δm — δm ‒ 1 = Δ cm,
δm + 1 — δm = Δ cm + 1. Wird die Gleichung cm = sm sin γm

differentiirt und hierbei das Differentialzeichen d durch das Zeichen Δ ersetzt, so folgt: Δ cm = Δ sm sin γm + sm cos γm Δ γ m und nach Division durch λm = sm cos γm: 〈…〉 , und ebenso ergiebt sich 〈…〉 , so dass 〈…〉 wird.

Nun ist aber ϑm + γm — γ m + 1 = 180°, mithin Δ ϑm + Δ γm — Δ γm + 1 = 0, und es entsteht, wenn die Δ c durch die δ ausgedrückt werden: 〈…〉 .

Bezeichnet man mit 〈…〉 und 〈…〉 die Spannungen in den Gurtstäben sm und sm + 1 und setzt zur Ab - kürzung (11) 〈…〉 ,21 so folgt die Gleichung (12) 〈…〉 , welche eine einfache Deutung zulässt.

Wird ein Balken A' B' (Fig. 14 b) durch senkrechte Lasten ..... Pm ‒ 1, Pm, Pm + 1 ....., welche in Abständen .... λm, λm + 1 .... wirken, beansprucht, so besteht zwischen den Vertikalkräften Vm und Vm + 1, welche beziehungsweise innerhalb der Strecken λm und λm + 1 konstant sind, die Beziehung Vm — Vm + 1 = Pm. Bedeuten nun .... Mm ‒ 1, Mm, Mm + 1 .... die Biegungsmomente für die durch die Angriffspunkte der Lasten ..... Pm ‒ 1, Pm, Pm + 1 .... gelegten Balkenquerschnitte, so ist 〈…〉 und 〈…〉 , und es folgt: 〈…〉 . ^*)Die Vertikalkraft V ist hierbei als Mittelkraft der auf das Balkenstück links vom betrachteten Querschnitte wirksamen äusseren Kräfte aufgefasst und positiv angenommen, wenn aufwärts gerichtet. M bedeutet das Moment von V, bezogen auf den Schwerpunkt des betrachteten Querschnitts als Dreh - punkt, und wird positiv gesetzt, wenn es rechts drehend ist.

Vergleicht man diese Beziehung mit der Gleichung (12), so ist ersichtlich, dass man das Biegungspolygon einer Fachwerks - gurtung auffassen darf als das Momentenpolygon eines Balkens A' B', welcher durch Lasten … wm ‒ 1, wm, wm + 1 ..... beansprucht wird (Fig. 14 a).

Sind insbesondere die Verschiebungen des ersten und des letzten Knotenpunktes (o und n) der Gurtung gleich Null, wie dies in der Fig. 14 a vorausgesetzt worden

Fig. 15.

ist, so ist der Balken A' B' ein einfacher, d. h. an den Enden frei aufliegender.

Handelt es sich um das Biegungspolygon einer Gurtung A B, deren Endknotenpunkte sich um Strecken δ 'und δ' 'senken (beispielsweise der Gurtung des Mittelfeldes eines kontinuirlichen Trägers mit verschieblichen Stütz - punkten, Fig. 15), so setze man zuerst δ' und δ '' gleich Null, berechne22 also das den Lasten w entsprechende Momentenpolygon A' L B' eines einfachen Balkens A' B' und füge schliesslich zu den Ordinaten dieses Polygons die Ordinaten der Geraden A' 'B'', welche durch A' A' '= δ' und B' B' '= δ' 'gegeben ist. Die in der Fig. 15 schraffirte Fläche ist die gesuchte Biegungsfläche. Für das Biegungspolygon einer oberen Gurtung ergiebt sich, wenn

βk und βk + 1 die von der Wagerechten durch das linke Stabende aus nach oben positiv gezählten Neigungswinkel der Gurtstäbe sk und sk + 1

bedeuten (Fig. 14), in gleicher Weise 〈…〉 , wobei (13) 〈…〉 ist. Der durch die Lasten wk beanspruchte Balken A' B', dessen Mo - mentenpolygon mit dem gesuchten Biegungspolygone übereinstimmt, ist, wie vorhin, als ein an den Enden frei aufliegender anzusehen, sobald der erste und der letzte Knotenpunkt der betrachteten Gurtung keine senkrechten Verschiebungen erfahren. Handelt es sich nun beispielsweise um die obere Gurtung eines Fachwerkträgers mit Endvertikalen (Fig. 14 c), so hat man, nach Aufzeichnung des Momentenpolygons A' C B' für den an den Enden freiliegenden Balken A' B', zu den Ordinaten dieses Po - lygons noch die der Geraden A' 'B'' zu addiren, wobei die Strecken A'̅ A''̅ und B'̅ B''̅ gleich den Verkürzungen δo bezieh. δn der Endver - tikalen zu machen sind.

Will man die Senkungen der Knotenpunkte C, D, E, F der oberen

Fig. 16.

Gurtung einer Mittelöffnung eines kontinuirlichen Balkens bestimmen (Fig. 15), so betrachte man das Polygon A C D E F B als obere Gurtung und die Stützpunkte A und B, deren Verschiebungen stets gegeben sind, beziehungsweise als Anfangs - und Endknotenpunkt.

Bei einem Fachwerke mit Vertikalen (Fig. 16) findet man nach Bestimmung des Biegungspoly - gones der unteren Gurtung dasjenige der oberen (oder umgekehrt) mit Hilfe der Beziehung δm — δk = Δ h,

wobei δm = Senkung des unteren Knotenpunktes m,
δk = Senkung des oberen Knotenpunktes k,
Δh = Verlängerung der die beiden Punkte m und k verbindenden Vertikale.

Berechnung der Δ ϑm. Wir beschränken uns in diesem Buche auf die Behandlung des Falles, in welchem das

Fig. 17.

Fachwerk durch Aneinanderfügung von Dreiecken entstanden gedacht werden kann. Es setzt sich dann jeder Winkel ϑ aus einzelnen Dreieckswinkeln zusammen, und es genügt, die Berechnung der Aenderung eines solchen zu zeigen.

Sind a1, a2, a3 die Seiten eines Dreiecks und α1, α2, α3 die ihnen gegenüberliegenden Winkel, und bedeutet h das Loth von A auf a1, so folgt: a1 = a2 cos α3 + a3 cos α2 und hieraus durch Differentiiren: Δ a1 = Δ a2 cos α3 — a2 sin α3 Δ α3 + Δ a3 cos α2 — a3 sin α2 Δ α2 〈…〉 .

Nun ist aber α1 + α2 + α3 = 180° also Δ α1 + Δ α2 + Δ α3 = 0 und Δ α2 + Δ α3 = — Δ α1, ferner ist a2 cos α3 = h cotg α3 und a3 cos α2 = h cotg α2, weshalb sich ergiebt: 〈…〉 . Bezeichnet man mit σ1, σ2, σ3 die Spannungen in den Stä ben a1, a2 a3 und setzt die Temperaturänderung

Fig. 18.

t = 0 voraus, so ist 〈…〉 . Beachtet man noch 〈…〉 , so findet man, wenn E konstant ist, zur Berechnung der durch die Spannungen σ hervorgebrachten Winkeländerung die Gleichung (14) E Δ α1 = (σ1 — σ2) cotg α3 + (σ1 — σ3) cotg α2. Für die Aenderung des Winkels ϑ in Fig. 18 ergiebt sich z. B. mit den an die einzelnen Stäbe geschriebenen Spannungen σ die Gleichung: (15) E Δ ϑ = (σ2 — σ1) cotg α1 + (σ2 — σ3) cotg α2 + (σ4 — σ3) cotg α3 + (σ4 — σ5) cotg α4 + (σ6 — σ5) cotg α5 + (σ6 — σ7) cotg α6.

Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so ergiebt sich die Aenderung Δ s einer Stablänge s aus 〈…〉 ;24 es treten alsdann in den Gleichungen (11) bis (15) an die Stelle der Spannungen σ die Werthe σ + ε Et.

Zahlenbeispiel. Es soll das Biegungspolygon für die untere Gurtung des in Fig. 19 dargestellten Schwedler-Trägers berechnet

Fig. 19.

werden. Material: Schmiedeeisen. Jeder untere Knotenpunkt ist mit 11,39t, jeder obere mit 1,33t belastet. In Figur 17 geben links von der Mitte die nicht eingeklammerten Zahlen die Stablängen in cm an und die eingeklammerten Zahlen die Querschnittsinhalte F in qcm; die Zahlen rechts von der Mitte sind gleich den Spannkräften in Tonnen.

In Figur 20 bedeuten die an die Stäbe geschriebenen Zahlen die

Fig. 20.

in Tonnen für das qcm ausgedrückten Spannungen und die in die Winkel gesetzten Zahlen sind gleich den Cotangenten der Winkel.

Es ergeben sich folgende Werthe für die den unteren Randwinkeln entsprechenden Produkte E Δ ϑm: E Δ ϑ1 = (— 0,68 — 0,71) 1,33 + (— 0,68 + 0,28) 0,75 + (0,48 + 0,28) 0,75 + (0,48 — 0,71) 1,33 = — 1,8825 E Δ ϑ2 = (— 0,28 — 0,48) 0,75 + (— 0,69 — 0,48) 0,66 + (— 0,69 — 0) 0,39 + (0,51 — 0) 1,11 + (0,51 — 0,65) 0,90 = — 1,17 E Δ ϑ3 = (0 — 0,51) 1,11 + (— 0,72 — 0,51) · 0,68 + (— 0,72 + 0,04) 0,14 + (0,53 + 0,04) 1,25 + (0,53 — 0,71) 0,8 = — 0,93 E Δ ϑ4 = (— 0,04 — 0,53) 1,25 + (— 0,68 — 0,53) 0,8 + (0,27 + 0,06) 1,25 + (0,27 — 0,73) 0,8 = — 1,64 E Δ ϑ5 = {(— 0,06 — 0,27) 1,25 + (— 0,71 — 0,27) 0,8} 2 = — 2,39.

Da die untere Gurtung wagerecht ist, so folgt aus der Gleichung 11: wm = — Δ ϑm.

Berechnet man also das Momentenpolygon für einen einfachen, an den Enden frei aufliegenden Balken A' B' (Fig. 19), welcher durch die Einzellasten — E · Δ ϑ1 = 1,88, — E Δ ϑ2 = 1,17 u. s. w. beansprucht wird, so sind die Ordinaten M dieses Polygons gleich den mit E multiplicirten Durchbiegungen δ. Ist die Feldweite λ konstant, so darf man bei der Berechnung der Momente M für den Balken A' B' die Annahme λ = 1 machen und erhält dann 〈…〉 .

Es ergiebt sich: M1 = 6,815, M2 = 11,750, M3 = 15,515, M4 = 18,350 und M5 = 19,545^*)Hat man die Biegungsmomente für einen durch eine grössere Zahl von Einzellasten beanspruchten Balken zu berechnen, so ermittele man zuerst die Vertikalkräfte. Für den vorliegenden symmetrischen Belastungsfall erhält man folgenden Ansatz:für Feld 5 ist V5 = ½ · 2,39 = 1,195 dazu addirt .... 1,640 = w4 giebt V4 = 2,835 + 0,930 = w3 V3 = 3,765 + 1,170 = w2 V2 = 4,935 + 1,880 = w1 V1 = 6,815M1 = V1 = 6,815 dazu addirt 4,935 = V2 giebt M2 = 11,750 + 3,765 = V3 M3 = 15,515 + 2,835 = V4 M4 = 18,350 + 1,195 = V5 M5 = 19,545, und es folgen nun, wegen λ = 400cm und E = 2000t für das qcm, die Durchbiegungen: 〈…〉 ; also 〈…〉 , δ3 = 3,1cm, δ4 = 3,7cm, δ5 = 3,9cm.

§ 6. Das Biegungspolygon eines Netzwerkes. (Zweites Verfahren.)

Haben sämmtliche Stäbe eine gegen die Senkrechte geneigte Lage, so nennt man das Stabsystem ein Netzwerk. Für ein solches möge dasjenige Polygon bestimmt werden, dessen Ordinaten gleichzeitig die senkrechten Verschiebungen δ der Knotenpunkte der oberen und der unteren Gurtung liefern.

Mit Bezugnahme auf die aus der Fig. 21 zu ersehende Bezeich -

Fig. 21

u. 22.

nung der Knotenpunkte sollen bedeuten:

om die Länge des einem Knoten - punkte m der unteren Gurtung gegenüberliegen - den Obergurt-Stabes,
uk die Länge des einem Knoten - punkte k der oberen Gurtung gegenüberliegenden Unter - gurt-Stabes,
dm die Länge der mten Diago - nale,
βm den Neigungswinkel von om gegen die Wagerechte,
γk den Neigungswinkel von uk gegen die Wagerechte,
φm den Neigungswinkel von dm gegen die Wagerechte,
em die senkrechte Projektion von dm.

Um eine einfache Beziehung zwischen den Verlängerungen Δ om, Δ dm, Δ dm + 1 der Seiten des Dreiecks (m — 1) — m — (m + 1), und den Verkürzungen Δ em = δm ‒ 1 — δm und Δ em + 1 = δm + 1 — δm der Strecken em und em + 1 zu erhalten, denken wir dieses Dreieck heraus - gelöst und in den Punkten m — 1 und m + 1 mit den senkrechten Kräften 〈…〉 und 〈…〉 belastet, Fig. 22, während wir den Punkt m festlegen. In den drei Stäben om, dm, dm + 1 entstehen gewisse Spann - kräfte μ1, μ2, μ3, und es lautet, da μ2, und μ3 Drücke sind, die Arbeits - gleichung:27 〈…〉 Mit Hilfe des Kräfteplanes in Fig. 22 ergiebt sich nun, wenn hm die bei m gemessene senkrechte Höhe des Fachwerks bedeutet, 〈…〉 = λm sec βm: hm und hieraus 〈…〉 , 〈…〉 = dm: hm = λm sec φm: hm „ „ 〈…〉 , 〈…〉 = dm + 1: hm = λm + 1 sec φm + 1: hm und hieraus 〈…〉 , und es wird 〈…〉 . Werden die Δ e durch die δ ausgedrückt, so folgt 〈…〉 , und ebenso ergiebt sich, wenn k ein Knotenpunkt der oberen Gurtung ist, zwischen den Verschiebungen δk ‒ 1, δk, δk + 1 die Beziehung 〈…〉 .

Vergleicht man diese Beziehungen mit den auf Seite 20 abgeleiteten Gleichungen 11 und 12, so erkennt man, dass das gesuchte Biegungspolygon mit dem Mo - mentenpolygone eines Balkens A' B' übereinstimmt, welcher durch senkrechte Kräfte (16) 〈…〉 , und (17) 〈…〉 belastet wird.

In Figur 21 ist vorausgesetzt worden, dass die senkrechten Ver - schiebungen der Endpunkte a und B gleich Null sind, dass also A' B' ein an den Enden frei aufliegender Balken ist.

Zahlenbeispiel. Es sollen die senkrechten Verschiebungen sämmt - licher Knotenpunkte des in Fig. 23 dargestellten schmiedeeisernen Netz - werkes unter der Voraussetzung berechnet werden, dass in jedem Knotenpunkte der oberen Gurtung eine Last = 12t angreift.

In Fig. 23 sind die Spannkräfte in Tonnen (nicht eingeklammerte Zahlen) und die Stablängen in dm (eingeklammerte Zahlen) angegeben28 und in Fig. 24 die unter der Annahme E = 100 (statt des wirklichen

Fig. 23 — 25.

Werthes E = 200000t für das qdm) berechneten Ver - längerungen der Stäbe in dm und die Querschnittsflächen in qdm zusammengestellt wor - den. Für den ersten Stab der oberen Gurtung beträgt z. B. die Querschnittsfläche 0,45 qdm und die Verlängerung Δ o 〈…〉 . Schliesslich wurden in Fig. 25 die senkrechten Trägerhöhen und die mit der Sekante des Stab-Neigungswinkels (gegen die Wagerechte) multiplicirten Verlängerungen eingetragen, z. Beisp. für eine Diagonale des Mittelfeldes Δ d · sec φ 〈…〉 .

Es ergeben sich jetzt mittelst der Gleichung 16 für die un - teren Knotenpunkte 1, 3 und 5 die Werthe 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 und mittelst der Gleichung 17 für die oberen Knotenpunkte die Werthe 〈…〉 , 〈…〉 .

Um die Biegungsmomente für den mit den Werthen w belasteten Balken A' B' schnell zu erhalten, berechnen wir zuerst die Vertikalkräfte V5 = ½ w5 = 0,30, V4 = 0,30 + w4 = 2,76, V3 = 2,76 + w3 = 3,37, V2 = 3,37 + w2 = 5,21, V1 = 5,21 + w1 = 7,34 und hierauf, unter der vorläufigen Annahme: λ = 1, die Biegungs - momente29 M1 = V1 = 7,34, M2 = M1 + V2 = 12,55, M3 = M2 + V3 = 15,92, M4 = M3 + V4 = 18,68 und M5 = M4 + V5 = 18,98. Um die Durchbiegungen zu erhalten, müssen wir die Momente M mit λ = 20dm multipliciren und (da wir vorhin E = 100 statt E = 200000 setzten) durch 2000 dividiren. Es ergiebt sich 〈…〉 und ebenso δ4 = 18,7mm, δ3 = 15,9mm, δ2 = 12,6mm, δ1 = 7,3mm.

§ 7. Aenderung der Länge einer Gurtsehne. (Fig. 26.)

Es soll die Verlängerung ξ der irgend zwei Knotenpunkte 0 und n einer Gurtung verbindenden Sehne bestimmt werden. Die Lothe von den Knotenpunkten

Fig. 26

u. 27.

1, 2, … m .... auf diese Sehne seien = y1, y2, .... ym ...., und die Projektionen der Längen s1, s2, ..... sm ..... der von der Sehne 0 — n unterspannten Gurt - stäbe auf 0 — n seien = e1, e2, .... em .....

Die Vergrösserung irgend eines Rand - winkels ϑm um Δ ϑm bedingt die durch die Figur 27 nachgewiesene Aenderung ξ = ym Δ ϑm, und die Verlängerung Δ Sm der Länge sm eines Gurtstabes erzeugt ξ = Δ sm cos ψm, wobei ψm = Neigungswinkel des Stabes sm gegen die fragliche Sehne.

Im Ganzen entsteht also 〈…〉 und, wenn für den Fall t = 0 〈…〉 gesetzt wird, (18) 〈…〉 .

Beispiele für die Anwendung dieser Gleichung finden sich im § 8 und § 10.

§ 8. Aufgaben, betreffend die Ermittelung von Biegungspolygonen.

Aufgabe 1. Gesucht die senkrechten Verschiebungen der Knoten -

Fig. 28.

punkte der unteren Gurtung des in Fig. 28 dargestellten Fach - werkträgers mit 2 nicht an den Enden stehenden Stützen a und B.

Man nehme zunächst C und D in senkrechter Richtung un - verschieblich an und zeichne das Momentenpolygon C 'A' N B' D' für einen bei C' und D' frei auf - liegenden Balken, auf welchen die nach Gleich. 11 berechneten Lasten w (welche theils positiv, theils negativ sind^*)In Fig. 28 wurden w4 und w5 positiv, die übrigen w negativ (also nach oben gerichtet) angenommen. wirken. Bringt man hierauf die Senkrech - ten durch die festen Stützpunkte a und B in A' und B' mit dem Mo - mentenpolygone zum Schnitte und zieht die Gerade A' B', so erhält man

Fig. 29.

in der schraffirten Fläche die gesuchte Biegungsfläche. Beispielsweise ist die Senkung der Knotenpunkte o und 5 gleich δo bezieh. δ5.

Aufgabe 2. Gesucht die Biegungsfläche für die obere Gurtung C D A B E F des Gerber’schen Trägers in Fig. 29.

Nachdem die den Knotenpunkten 1 bis 3, 4 bis 12 und 13 bis 15 entsprechenden (theils positiv, theils negativ ausfallenden) Werthe w be - rechnet worden sind, werden die Momentenpolygone gezeichnet: C 'N D' für den einfachen Balken C' D' mit den Lasten w1 bis w3, D' L E '„ „ „ „ D' E' „ „ „ w4 „ w12, E 'R F' „ „ „ „ E 'F' „ „ „ w13 „ w15.

Hierauf werden die Senkrechten durch die Punkte a und B mit dem Momentenpolygone D' L E 'in A' und B' zum Schnitte gebracht, die Strecken A'̅ A''̅ = δ' = Senkung des Punktes a, B'̅ B''̅ = δ "= „ „ „ B abgetragen und der durch A' 'und B'' gehende Linienzug C 'D'' E '' F ', dessen Ecken senkrecht unter D und E liegen, eingezeichnet. Die Fläche zwischen diesem Linienzuge und dem Momentenpolygone ist die ge - suchte Biegungsfläche.

Bei starren Stützen a0 und B0 ist δ '= Verkürzung der Vertikale a0 a, δ "= „ „ „ B0 B.

Aufgabe 3. Gesucht das Biegungspolygon für die obere Gurtung des in Fig. 30 dar -

Fig. 30.

gestellten Drei - gelenk-Bogens.

Es handelt sich hier nur um die Berechnung des Momentenpoly - gons für den ein - fachen Balken A' B', auf welchen die Lasten w1, w2, ...... w7 wirken. Die Werthe w1 bis w3 und w5 bis w7 lassen sich ohne weiteres mit Hilfe der im § 6 gegebenen Gleich. 13 berechnen, da sich die Randwinkel ϑ1 bis ϑ3 und ϑ5 bis ϑ7 aus Drei - eckswinkeln zusammensetzen. Um w4 mittelst der Gleich. 13 bestimmen zu können, muss Δ ϑ4 bekannt sein. Nun ist die durch die Aenderungen der Randwinkel und die Spannungen in den Gurtstäben bedingte Aen - derung ξ der Stützweite A B nach § 7, zunächst für den Fall t = 0: 〈…〉 32und man erhält somit, bei gegebener Verschiebung ξ = Δ l, den Werth 〈…〉 . Bei starren Stützen ist Δ l = 0. Sind die Kämpfer a und B durch eine Zugstange mit dem Querschnitte Fo verbunden, so ist Δ l = Ver - längerung dieser den Horizontalschub H des Bogens aufnehmenden Stange; es folgt dann 〈…〉 . Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so ist σ durch σ + ε Et zu ersetzen, während für Δ l der Werth 〈…〉 einzuführen ist. Hierbei bedeutet t die Temperaturänderung für einen Stab der oberen Gurtung und to die Temperaturänderung für die Stange A B.

§ 9. Ebene Fachwerkträger mit veränderlicher Belastung. Einflusslinien (Influenzlinien) für die statisch nicht bestimmbaren Grössen X.

1) Stellt man bei Fachwerken mit veränderlicher Belastung die Spannkraft S eines jeden Stabes in einer solchen Form als Funktion der Lasten P dar, dass der Einfluss jeder einzelnen Last auf S ersicht - lich ist, so vermag man anzugeben, welche Lasten in dem Stabe einen Zug und welche Lasten einen Druck hervorbringen, und wie gross die Grenzwerthe Smax (= grösster Zug) und Smin (= grösster Druck) sind. In gleicher Weise können die Werthe Cmax und Cmin für jede Auflager - kraft berechnet werden.

Handelt es sich um ein ebenes Fachwerk mit senkrechter Belastung, so verfolge man den Einfluss einer über den Träger fortschreitenden Last „ Eins “, trage den Werth S beziehungsweise C unter dem jedesmaligen Angriffspunkte der Last als Ordinate auf und verbinde die Endpunkte dieser Ordinaten durch eine Linie, welche die Einflusslinie für S bezieh. C heisst; die zwischen ihr und der Abscissenachse gelegene Fläche wird die Einflussfläche für S bezieh. C genannt.

Die Einflusslinien für die Werthe S und C lassen sich mit Hilfe der Gleichungen S = S0 + S' X '+ S'' X '' + S' '' X '' '+ .... C = C0 + C' X '+ C' 'X' '+ C' '' X '' '+ .... leicht finden, sobald die Einflusslinien für die Grössen X', X '', X '' '.... gegeben sind. Die Ermittelung dieser „ X-Linien “ist das Ziel der nach - stehenden Untersuchungen, und zwar soll sie unter der Voraussetzung33 erfolgen, dass jede zwischen zwei Knotenpunkten wirkende Last durch einfache Zwischenträger auf die benachbarten

Fig. 31.

Knotenpunkte übertragen wird. Es ist dann jede Einflusslinie ein aus geraden Linien be - stehendes Polygon, dessen Ecken den Knoten - punkten des Fachwerkes entsprechen. Be - sitzt z. B. (Fig. 31) die X'-Linie unter den Knotenpunkten (m — 1) und m die Ordinaten X'm ‒ 1 und X'm, und wird der durch eine zwischen m — 1 und m gelegene Last P verursachte Werth X 'gesucht, so bestimmt man die durch den Zwischenträger auf die Knotenpunkte (m — 1) und m übertragenen Lastantheile 〈…〉 und erhält: P X '= Pm ‒ 1 X'm ‒ 1 + Pm X'm. Hieraus folgt aber 〈…〉 , und dieser Ausdruck ist in Bezug auf die Veränderliche x vom ersten Grade.

2) Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X ', X' '..... müssen, wenn im Allgemeinen nachgiebige Stützen vorausgesetzt werden, den im § 3 abgeleiteten Gleichungen genügen: Σ C' Δ c = Σ S' Δ s, Σ C '' Δ c = Σ S' 'Δ s, Σ C' '' Δ c = Σ S' '' Δ s, ..... und diese gehen mit 〈…〉 und nach Einsetzen der Werthe S über in 〈…〉 (19), wobei, zur Abkürzung, (20) 〈…〉 gesetzt wurde.

Wird das Fachwerk zunächst unbelastet gedacht, so verschwinden die von So abhängigen Glieder, und es ergeben sich, durch AuflösungMüller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 334der Gleichungen 19, die durch die Verschiebungen der Stützpunkte und durch eine Aenderung des anfänglichen Temperaturzustandes hervor - gerufenen Grössen X in der Form (21) 〈…〉 , wobei α ', β', γ ', ...... α ", β", γ ", ..... Werthe sind, welche nur von den Koefficienten der Grössen X in den Gleichungen 19 abhängen und nur einmal berechnet zu werden brauchen, da sie lediglich durch die Form des Fachwerks bestimmt sind.

Nach Erledigung dieser in der Regel wenig zeitraubenden Rech - nungen ergeben sich die von der Belastung abhängigen Werthe: (22) 〈…〉 , und mit Hilfe dieser letzteren Gleichungen lassen sich die Einflusslinien für die Grössen X ', X' '.... schnell finden, sobald die Einflusslinien für die von der jedesmaligen Belastung abhängigen Summen Σ S0 S' ρ, Σ S0 S'' ρ, ..... bekannt sind.

Wir zeigen jetzt die Ermittelung dieser Summen für den Fall, dass auf das Fachwerk nur eine senkrechte Lasteinheit P wirkt, welche in irgend einem Knotenpunkte des statisch bestimmten Hauptnetzes, das meistens ein einfacher Balken oder ein Drei-Gelenkbogen oder ein

Fig. 32.

Gerber’scher Balken sein wird, angreift.

Da die Last P in den Stäben des Hauptnetzes die Spannkräfte S0 erzeugt (Fig. 32), so ist die durch irgend welche Aenderungen Δ s der Stablängen hervor - gebrachte Senkung δ ihres Angriffspunktes (nach § 4) durch die Arbeitsgleichung P δ = Σ S0 Δ s^*)Bei Aufstellung dieser Arbeitsgleichung werden die Stützen starr vor - ausgesetzt, da der Einfluss etwaiger Verschiebungen Δ c der Stützpunkte ge - sondert mit Hilfe der Gleich. 21 beurtheilt wird. Die Reibungswider - stände an den Auflagern werden gleich Null angenommen. gegeben, und es besteht insbesondere zwischen den durch die Ursache X '= 1 (welche die Spannkräfte S' erzeugt) bedingten Verschiebungen δ' und Δ 's die Beziehung:35 〈…〉 , aus welcher sich (23 a) Σ S0 S' ρ = P δ 'ergiebt.

Da nun δ 'die Ordinate des den Spannungen 〈…〉 entsprechenden Biegungspolygones derjenigen Gurtung ist, welcher der Angriffspunkt von P angehört, so ergiebt sich der wichtige Satz:

Bewegt sich über den Träger eine Last „ Eins “, welche der Reihe nach in den verschiedenen Knotenpunkten der 〈…〉 Gurtung des Hauptnetzes angreift, so stimmt die Einflusslinie für den Aus - druck Σ SoS 'ρ mit dem für den Belastungszustand X' = 1 berech - neten Biegungspolygone der 〈…〉 Gurtung des Hauptnetzes überein.

In gleicher Weise lassen sich die Einflusslinien für die übrigen in den Gleichungen 22 vorkommenden Summen darstellen. Man erhält (23 b) Σ S0 S' 'ρ = Pδ ", Σ S0 S'' 'ρ = P δ' '' u. s. f., unter δ ", δ '' ', .... die unter dem jedesmaligen Angriffspunkte von P gemessenen Ordinaten der Biegungspolygone verstanden, welche be - ziehungsweise für die Spannungszustände X' '= 1, X' '' = 1, ..... und für die Gurtung berechnet worden sind, in deren Knotenpunkten die Last P nacheinander angreift.

Die Gleichungen 22 gehen jetzt über in X '= — (α' δ '+ β' δ "+ γ 'δ"'+ .....) P X' '= — (α "δ' + β "δ" + γ "δ '' '+ .....) P ......................... und ermöglichen eine schnelle Berechnung der Einflusslinien für sämmt - liche Grössen X.

Meistens greift die veränderliche Belastung nur in den Knoten - punkten der einen Gurtung an, und ist es dann in der Regel zulässig, das Eigengewicht ausschliesslich auf die Knotenpunkte dieser Gurtung zu vertheilen. Sind die Knotenpunkte beider Gurtungen Angriffspunkte veränderlicher Lasten, so hat man für jeden Werth X zwei Einflusslinien zu zeichnen, da die Wirkungen der oben und unten angreifenden Lasten gesondert untersucht werden müssen.

Beispiel 1. Der vereinigte Balken - und Bogenträger in Fig. 33 mit einem festen Lager bei B und einem wagerechten Gleit - lager bei a ist einfach statisch unbestimmt. Es lassen sich deshalb die Spannkräfte in der Form S = S0 + S' X3*36darstellen, und es ergiebt sich, da die Verschiebungen der Stützen im vorliegenden Falle ohne Einfluss auf die Beanspruchung des Fachwerks sind, zur Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grösse X, aus der ersten der Gleichungen 19 die Bedingung: 〈…〉 aus welcher erhalten wird der Einfluss einer Temperaturänderung: 〈…〉 und „ „ der Belastung: 〈…〉 .

Als statisch nicht bestimmbare Grösse X wählen wir die konstante

Fig. 33

a u. c.

Seitenkraft der in den Stäben 1, 2, 3, 3′, 2′, 1′ des Bogens wirk - samen Spannkräfte. Ist X = 0, so sind diese Stäbe span - nungslos, und ebenso verschwinden die nur von X abhängigen Spannkräfte in den senkrechten Stäben 4, 5, 6, 5′, 4′. Als statisch bestimmtes Hauptnetz verbleibt der einfache Balken A B C D. ^*)Sind α2 und α3 die Neigungswinkel der Stäbe 2 und 3, so sind die Spannkräfte in diesen Stäben bezieh. : S2 = X sec α2 und S3 = X sec α3. Für den Stab 5 erhält man aus der Bedingung S5 + S2 sin α2 — S3 sin α3 = 0 den Werth: S5 = — X (tg α2 — tg α3). In gleicher Weise werden die S für alle übrigen Bogenglieder und für die senkrechten Stäbe 4 bis 4′ berechnet.

Soll nun die Einflusslinie für X unter der Voraussetzung ermittelt werden, dass eine Lasteinheit P der Reihe nach in sämmtlichen Knoten - punkten der unteren Gurtung A B angreift, so müssen die durch die Ursache X = 1 hervorgerufenen Spannkräfte S', sowie das Biegungs - polygon der Gurtung A B für diesen Spannungszustand bestimmt werden.

Die Kräfte S' werden zweckmässig mit Hilfe des in Fig. 33 b dar - gestellten Kräfteplanes gefunden. In diesem Plane schneiden die von dem Punkte O aus zu den Stäben 1, 2, 3, 3′, 2′, 1′ gezogenen Parallelen auf der im Abstande „ Eins “von O gezeichneten Senkrechten die in den37 Stäben 4, 5, 6, 5′, 4′ wirksamen Spannkräfte S' ab, und die Längen der Strahlen 1, 2, ..... 1′ stellen die Spannkräfte S' in den Bogen - gliedern vor.

Fig. 33

Aus der Spann - kraft 1 findet man die Kräfte 9 und 10, hier - auf 11 und 12 u. s. w. Für die Stäbe 7, 8, 8′ und 7′ ist S' = 0. ^*)Die Stäbe 1, 2, 3, 3′, 2′, 1′, 9, 12, 13, 16, 17, 20, 17′, 16′, 13′, 12′, 9′ werden gezogen, die übrigen gedrückt.

Nach Zeich - nen dieses Kräfteplanes werden die Spannungen 〈…〉 und die von den σ 'ab - hängigen Aenderungen Δ' ϑ der den unteren Knotenpunkten (1), (2), (3) … (6) entsprechenden Randwinkel ϑ berechnet, letztere nach der im § 5 gegebenen Anleitung, und hierauf kann das zugehörige Biegungs - polygon A' C B' der Gurtung A B ermittelt werden; dasselbe stimmt, nach § 5, Gleich. 11, mit dem Momentenpolygone eines einfachen Balkens A' B' überein, welcher durch die senkrechten Lasten w1 = — Δ 'ϑ1, w2 = — Δ' ϑ2 ...... beansprucht wird.

Bedeutet nun δ 'die unter P gemessene Ordinate des Polygons A' C B', so ist nach dem vorhin bewiesenen Satze: Σ S0 S' ρ = Pδ', mithin 〈…〉 .

Dividirt man also die Ordinaten δ'1, δ'2 .... des Biegungs - polygones A' C B' durch den konstanten Werth 〈…〉 , so erhält man die Ordinaten X1, X2 .... der gesuchten Einflusslinie.

Wird beispielsweise durch den Träger ein Eisenbahngleis gestützt, und bedeutet L die Belastung einer Lokomotivachse, T die Belastung einer Tenderachse, und entsprechen den Lasten L und T beziehungs - weise die Polygon-Ordinaten η1, η2 …, so ist der durch die Belastung in Fig. 33 c erzeugte Werth X 'bestimmt durch die Gleichung 〈…〉 = — L (η1 + η2 + η3) — T (η4 + η5 + η6).

Das Zeichen (—) deutet an, dass der Bogen auf Druck beansprucht wird.

Es sei noch darauf aufmerksam gemacht, dass der durch eine Temperaturänderung erzeugte Werth Xt gleich Null wird, sobald ε und t konstant sind; denn setzt man in die dem Spannungszustande X = 1 entsprechende Arbeitsgleichung Σ S' Δ s = 0, welche für beliebige, mögliche Formänderungen Δ s gilt, den Werth Δ s = ω s, wobei ω eine Konstante, d. h. nimmt man an, dass das Fach - werk eine der früheren Form ähnliche Form annimmt, so findet man Σ S' s = 0. In der Regel setzt man innerhalb einzelner Gruppen von Stäben konstante Temperaturänderungen voraus, und kann dann die vorstehende Gleichung zur Abkürzung der Rechnung benutzen. Macht man z. B. die Annahme, dass sich die dem spannungslosen Anfangszustande des Fachwerks ent - sprechende Temperatur in allen Punkten des Bogens um den Betrag t1 ändere und in allen übrigen Punkten des Trägers um t2, so folgt 〈…〉 , wobei sich der Ausdruck 〈…〉 auf die Bogenglieder 1, 2, 3, 3′, 2′, 1 und der Ausdruck 〈…〉 auf alle übrigen Stäbe bezieht. Bezeichnet man mit s1, s2, s3, s'3, s'2, s'1 die Längen der Stäbe 1, 2, 3, 3′, 2′, 1′ und mit α1, α2, α3, α'3, α'2, α'1 deren Neigungswinkel gegen die Wagerechte, so sind die Spannkräfte S' in diesen Stäben beziehungsweise gleich 1 · sec α1, 1 · sec α2, 1 · sec α3, ....... 1 sec α'1 und es folgt 〈…〉 = s1 sec α1 + s2 sec α2 + ...... + s'1 sec α'1.

Da nun 〈…〉 ist, so ergiebt sich schliesslich 〈…〉 .

Beispiel 2. Es soll der Horizontalzug X der in Fig. 34 a dar - gestellten, durch einen Balken versteiften Kette ermittelt werden. Der Balken ist mit der Kette durch senkrechte Stäbe verbunden und besitzt bei B ein festes und bei a ein auf einer Wagerechten geführtes Lager. Bei ausschliesslich senkrechten Lasten P wirken auf den Balken nur senkrechte Kräfte. Die Kette ruht auf Pendelpfeilern (10 und 10′), welche aus demselben Materiale hergestellt sein sollen, wie alle übrigen Stäbe des Fachwerks und als Bestandtheile des Fachwerks aufgefasst werden. Die Stabverbindung ist eine einfach statisch unbestimmte, und es mögen die Spannkräfte auf die Form39 S = S0 — S' X gebracht werden. Die Spannkräfte S' entsprechen dann dem Zustande X = — 1, welchen man erhält, wenn man sich in irgend einem Stabe

Fig. 34a

u. b.

der Kette einen Druck erzeugt denkt, dessen wagerechte Seitenkraft = „ Eins “ist, und es lautet die Gleichung zur Berechnung von X, sobald die Stützen starr angenommen werden, 〈…〉 ; sie liefert den durch eine Aenderung der Temperatur entstehenden Horizontalzug 〈…〉 und den durch eine Belastung hervorgerufenen 〈…〉 .

Den Kräfteplan für den Zustand X = — 1 zeigt Fig. 34 b; er wird in ähnlicher Weise konstruirt wie in dem vorigen Beispiele. Die Spann - kräfte in den Kettengliedern 1, 2, 3, 4, 4 ', 3', 2 ', 1' bilden einen Strahlen -40 büschel, dessen wagerechte Projektion der Horizontalschub „ Eins “ist und welcher auf der Senkrechten L N die in den Hängestangen wirk - samen Spannkräfte 5, 6, 7, 8, 7 ', 6', 5 'abschneidet. Die Kräfte 9 und 10, desgleichen 9' und 10 'ergeben sich aus den Kräften 1 und 1'. Die Kräfte 5, 6, 7, 8, 7 ', 6', 5 'wirken als Drücke auf den Balken und rufen die senkrechten Auflagerwiderstände A' und B' hervor. Ist das Fachwerk symmetrisch (wie in Fig. 34 angenommen wurde), so ist A' = B'; im Gegenfalle verlängere man in Fig. 34 a die Auflagersenk - rechten A und B bis zu ihren Schnittpunkten mit der Kette, verbinde diese durch die Schlusslinie (s) und ziehe von O aus (Fig. 34 b) eine Parallele zu (s); letztere zerlegt nach einem bekannten Satze der gra - phischen Statik den Kräftezug 5 + 6 + 7 + 8 + 7' + 6 '+ 5' in A' und B'. Nunmehr lassen sich die Spannkräfte S' auch für den Balken ermitteln. ^*)Die Spannkräfte S' sind, links von der Mitte, negativ (Drücke) für die Stäbe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 20, 21, 24, 25 und positiv (Züge) für die Stäbe: 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23.

Nach Zeichnen dieses Kräfteplanes werden die Spannungen 〈…〉 und die von den σ 'abhängigen Aenderungen Δ'ϧ der oberen Rand - winkel ϧ bestimmt, und hierauf wird das Biegungspolygon AoCBo der Gurtung A B, in dessen Knotenpunkten die über den Balken wandernde Last P der Reihe nach angreifen möge, berechnet; dasselbe stimmt (nach § 5, Gleich. 13) mit dem Momentenpolygone eines einfachen Balkens AoBo überein, welcher durch senkrechte Lasten w1 = Δ'ϧ1, w2 = Δ'ϧ2, w3 = Δ'ϧ3, ...... beansprucht wird.

Bedeutet nun δ 'die unter P gemessene Ordinate des Biegungs - polygones, so ist 〈…〉 , und es erzeugt mithin die Last P in der Kette den Horizontalzug 〈…〉 . ^**)Weitere Anwendungen der Gleich. 23 finden sich in des Verfassers Abhandlung: „ Beitrag zur Theorie des Fachwerks “in der Zeitschrift des Architekten - u. Ing. -Vereins zu Hannover. 1885, Heft 5.

§ 10. Der Maxwell’sche Lehrsatz und Anwendungen desselben.

Wir betrachten ein Fachwerk, dessen Stützpunkte unverrückbar sind oder über reibungslose Lager gleiten, dessen Auflagerkräfte mithin41 bei der eintretenden Formänderung keine Arbeit leisten.

Die durch irgend welche Aenderungen Δs

Fig. 35.

der Stablängen s verursachten Verschiebungen δ1 und δ2 der Knotenpunkte A1 und A2 nach den Richtungen A1B1 bezieh. A2B2 ergeben sich nach § 4 aus den Arbeitsgleichungen 1 · δ1 = ΣS1Δs und 1 · δ2 = ΣS2Δs, wobei für irgend einen Stab

S1 diejenige Spannkraft ist, welche eine in A1 angreifende, nach der Richtung A1B1 wirkende Kraft „ Eins “hervorbringt und
S2 diejenige Spannkraft, welche entsteht, sobald in A2 nach der Richtung A2B2 die Kraft „ Eins “wirksam ist.

Herrscht in allen Stäben die dem spannungslosen Anfangszustande entsprechende Temperatur, so ist für irgend einen Belastungsfall 〈…〉 mithin 〈…〉 und 〈…〉 .

Ist insbesondere S = S2, so ergiebt sich 〈…〉 , während im Falle S = S1 〈…〉 ist, und es folgt aus der Uebereinstimmung dieser beiden Werthe der zuerst von Maxwell bewiesene, hinsichtlich seiner Giltigkeit an die oben gemachten Annahmen gebundene Satz: Eine in dem Knotenpunkte A1 und im Sinne A1B1 angreifende Kraft „ Eins “verschiebt einen Knotenpunkt A2 im Sinne A2B2 um eine Strecke, welche ebenso gross ist wie die Verschiebung, welche der Knotenpunkt A1 im Sinne A1B1 erfährt, sobald im Punkte A2 und im Sinne A2B2 eine Kraft „ Eins “angreift.

Wie vortheilhaft dieser Satz in der Fachwerkstheorie verwerthet werden kann, wird die Lösung der folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 1. Gesucht die Einflusslinie für die Senkung δm eines Knotenpunktes m eines Fachwerkträgers (Fig. 36).

Wir nehmen das gewichtslose Fachwerk nur mit einer in m an - greifenden senkrechten Kraft „ Eins “belastet an, berechnen die hierbei entstehenden Spannkräfte S und Spannungen σ und bestimmen (nach § 5 bis § 8) das diesen Spannungen entsprechende Biegungspolygon der -42 jenigen Gurtung (beispielsweise von A C B), in deren Knotenpunkten die

Fig. 36.

Verkehrsbelastungen angreifen sollen. Ist nun die unter k ge - messene Ordinate dieses Biegungspoly - gones = ηk, so ver - schiebt die in m an - greifende Last „ Eins “den Knotenpunkt k im senkrechten Sinne um ηk, und es wird mit - hin (nach dem eben bewiesenen Satze) eine in k angreifende Last „ Eins “den Knotenpunkt m ebenfalls um ηk verschieben. Hieraus folgt, dass das gezeichnete Biegungs - polygon die Einflusslinie für δm ist.

Die Lasten P1, P2, P3 in Fig. 36, denen die Ordinaten η1, η2, η3 entsprechen, verursachen beispielsweise bei m die Senkung δm = P1η1 + P2η2 + P3η3.

Aufgabe 2. Einflusslinie für den Widerstand X der Mittelstütze des in Fig. 37 dargestellten kontinuirlichen Fach -

Fig. 37.

werkträgers mit 3 Stütz - punkten. Die Lasten greifen in den Knotenpunkten der unteren Gurtung an.

Beseitigt man die Mittel - stütze, so entsteht der statisch bestimmte Balken A B. Für diesen werden, unter der Voraussetzung dass bei C eine senkrechte, abwärts ge - richtete Last „ Eins “angreift, die Spannkräfte S', Spannungen σ 'und Aenderungen Δ'ϧ der unteren Randwinkel berechnet, und hierauf wird das Biegungspolygon der wagerechten Gurtung A B als Momentenkurve eines durch die Aenderungen (— Δ'ϧ1), (— Δ'ϧ2), ..... belasteten, einfachen Balkens A' B' gezeichnet (vergl. § 5, Gleich. 11). Dieses Polygon ist die Einflusslinie für die Senkung δ des Punktes C. Wirken nun auf das Fachwerk die beiden Kräfte P und X, und misst man unter P die Polygonordinate η und unter C die Ordinate c, so folgt δ = Pη — X c.

Aus der Bedingung δ = 0 ergiebt sich43 〈…〉 . Es ist also das Biegungspolygon A' D B' die Einflusslinie für X, und 〈…〉 ist der Multiplikator für diese Linie.

Der Elasticitätsmodul E darf bei gleichem Materiale sämmtlicher Stäbe beliebig gross angenommen werden, da es nur auf das gegen - seitige Verhältniss von η und c ankommt, und ebenso leuchtet ein, dass A' D B' ein mit beliebigem Polabstande zu den Lasten (— Δ'ϧ) gezeich - netes Seilpolygon sein darf.

Aufgabe 3. Einflusslinien für die Widerstände X 'und X' 'der Mittelstützen des in Fig. 38a dargestellten, in den Knotenpunkten der unteren Gurtung belasteten kontinuir - lichen Fachwerkträgers mit 4 Stützpunkten.

Man beseitige die Mittelstützen, verwandle also den Träger in einen einfachen Balken A B, berechne diejenigen Spannkräfte S' und Spannungen 〈…〉 , welche eine im Punkte C 'wirksame, senkrechte, abwärts gerichtete Last „ Eins “hervorbringt und zeichne das den Spannungen σ' entsprechende Biegungspolygon A' L' B' der Gurtung A B; dasselbe stimmt mit dem Momenten - polygone eines mit den Randwinkeländerungen (— Δ'ϧ1), (— Δ'ϧ2) .... belasteten einfachen Balkens A' B' überein.

In gleicher Weise wird dasjenige Biegungspolygon A' 'L'' B' 'der Gurtung A B ermittelt, welches eine im Punkte C' 'angreifende Last „ Eins “verursacht.

Es sind nun A' L' B' und A' 'L'' B' 'die Einflusslinien für die Senkungen δ' und

Fig. 38

a, b, c, d.

δ '' der Punkte C 'und C' 'des einfachen Balkens A B, und es erzeugen somit die drei Kräfte P, X' und X '' zusammen die Durchbiegungen δ '= Pη' — X 'c' — X '' c '' und δ '' = Pη '' — X 'd' — X' 'd'', wobei c 'und c' 'die unter den Stützpunkten C' und C '' gemessenen Or - dinaten des Polygons A' L' B' und d' und d' 'die entsprechenden Ordinaten des Polygons A'' L' 'B'' sind.

Aus den Bedingungen δ '= 0 und δ' '= 0 ergeben sich zur Be - rechnung von X' und X '' die Gleichungen X 'c' + X '' c '' = Pη 'X' d' + X '' d' '= Pη' 'und aus diesen folgt: 〈…〉 .

Sind die Ordinaten des in Fig. 38 b gestrichelten Polygons A' R B' gleich den mit 〈…〉 multiplicirten Ordinaten η '' des Polygons A' 'L'' B' ', und ist der Unterschied der Ordinaten der Polygone A' L' B' und A' R B', unter P gemessen, = η und, unter der Stütze C' gemessen, = c, so folgt 〈…〉 und 〈…〉 , und es ergiebt sich 〈…〉 .

Da es nun, um X 'zu bestimmen, nur auf das Verhältniss 〈…〉 ankommt, so leuchtet sofort folgende einfache Konstruktion der Einflusslinie für X 'ein.

Man zeichne Fig. 38 d zu den als senkrechte Lasten aufzufassenden Randwinkeländerungen (— Δ'ϧ1) (— Δ'ϧ2) ..... mit beliebigem Pol - abstande ein Seilpolygon Ao L Bo, welches die Senkrechte durch den Stützpunkt C '' in J und die Senkrechten durch die Endstützen in Ao und Bo schneiden möge. Hierauf zeichne man zu den Aenderungen (— Δ''ϧ1), (— Δ''ϧ2) ...... ein durch die 3 Punkte Ao, J und Bo gehendes Seilpolygon. Misst man jetzt unter P den senkrechten Ab - stand η der beiden Seilpolygone und unter der Stütze C 'den Abstand c, so folgt 〈…〉 .

Es ist also die in Fig. 38 d schraffirte Fläche die Einflussfläche für X '; dieselbe ist links von der Stütze C' 'positiv, rechts von dieser Stütze negativ. Der Werth 〈…〉 ist der Multiplikator der Einflussfläche.

In gleicher Weise wird die Einflussfläche für X '' gefunden.

Sind sämmtliche Stäbe aus gleichem Materiale, so darf bei Be - rechnung der Winkeländerungen der Elasticitätsmodul beliebig gross angenommen werden.

Aufgabe 4. Gesucht der Horizontalschub X des bei A und B festgelagerten Bogenträgers in Fig. 39. Es handelt sich um den Einfluss einer der Reihe nach in sämmtlichen Knotenpunkten der oberen, wagerechten Gurtung angreifenden Last P, und gleichzeitig soll der Einfluss einer Aenderung der Anfangstemperatur und eines Nachgebens der Widerlager bestimmt werden.

Zuerst wird angenommen, dass auf das Fachwerk nur zwei in A und B angreifende, nach aussen gerichtete wagerechte Kräfte „ Eins “wirken. Es entstehen Spannkräfte S', Spannungen σ 'und Aenderungen

Fig. 39

Δ'ϧ der oberen Randwinkel, und man erhält die entsprechende Biegungs - fläche der oberen Gurtung, wenn man die den Lasten Δ'ϧ1, Δ'ϧ2, .... entsprechende Momentenfläche A' L B' eines an den Enden A' und B' frei aufliegenden Balkens bestimmt und zu dieser das Trapez A' A' 'B'' B' hinzu - fügt, dessen Endhöhen gleich den (ebenfalls für den Belastungszustand in Fig. 39 b berechneten) Verkürzungen δ0 und δn der Endvertikalen sind.

Hierauf wird die dem Belastungszustande in Fig. 39 b entsprechende Verlängerung ξ der Sehne A B berechnet; sie ist nach § 7, Gleich. 18: 〈…〉 , wobei sich die erste Summe über sämmtliche Randwinkeländerungen der oberen Gurtung erstreckt und die zweite die Spannungen σ 'in sämmt - lichen Stäben dieser Gurtung umfasst.

Nunmehr lassen sich folgende Schlüsse ziehen:

1) Die in A und B wirksamen wagerechten Kräfte 1 verschieben den Knotenpunkt m um δm senkrecht nach abwärts, mithin wird eine in m angreifende Last Eins eine Vergrösserung der Stütz - weite um δm hervorbringen, und eine in m angreifende Last P wird Δl = P · δm erzeugen.
2) Der Horizontalschub X verursacht für sich allein Δl = — Xξ.
3) Eine gleichmässige Aenderung der Anfangstemperatur sämmtlicher Stäbe um t bedingt Δl = εtl.
4) Soll sich bei gleichzeitigem Wirken von P und X sowie der Temperaturänderung die Stützweite l um einen vorgeschriebenen Werth Δl ändern, so besteht die Bedingung Δl = Pδm — Xξ + εtl, und aus dieser ergiebt sich 〈…〉 .

Insbesondere lautet also die Gleichung der gesuchten Einflusslinie für X: 〈…〉 .

Bei gleichem Materiale sämmtlicher Stäbe darf die Berechnung der Δ'ϧ und der Strecke ξ unter der Annahme E = 1 erfolgen. Es muss dann in der Gleich. II gesetzt werden: ε E an Stelle von ε und Δl E „ „ „ Δl.

Zahlenbeispiel zu Aufgabe 4. Es möge der bereits im § 3, Seite 12, für den Fall einer vollen Belastung untersuchte, in Fig. 7 dargestellte Bogenträger vorliegen. Die über den Träger wandernde Last P = 1 greife der Reihe nach in sämmtlichen Knotenpunkten der oberen Gurtung an. In Fig. 7 geben die links von der Mitte an die Stäbe gesetzten Zahlen die Stablängen s in cm. an und die Zahlen rechts von der Mitte die Stabquerschnitte F in qcm., während in Fig. 8 die in Tonnen ausgedrückten, durch die in A und B angreifenden Kräfte 1 erzeugten Spannkräfte S' eingetragen sind.

In der (der Deutlichkeit der Zahlen wegen verzerrt gezeichneten) Trägerskizze in Fig. 40 bedeuten die an die Stäbe geschriebenen Zahlen die Spannungen 〈…〉 in Tonnen für das qdm und die in die Winkel gesetzten Zahlen die Kotangenten dieser Winkel. Aus diesen Zahlen er -47 geben sich — mit E = 1 — die folgenden Aenderungen der Randwinkel der oberen Gurtung (vergl. § 5, Gleich. 15, Seite 23):

Fig. 40.

Δ'ϧ0 = (0,92 + 0,90) 0,450 + (0,92 — 1,24) 0,352 + (— 1,00 — 1,24) 1,050 = — 1,42
Δ'ϧ1 = (1,24 + 1,07) 0,952 + (1,24 + 1,00) 1,050 + (1,42 + 1,00) 0,350 + (1,42 — 1,74) 0,719 + (— 1,08 — 1,74) 0,700 = + 3,19
Δ'ϧ2 = (1,74 + 1,90) 1,429 + (1,74 + 1,08) 0,700 + (2,21 + 1,08) 0,250 + (2,21 — 2,60) 1,268 + (— 1,00 — 2,60) 0,450 = + 7,34
Δ'ϧ3 = (2,60 + 2,91) · 2,222 + (2,60 + 1,00) 0,450 + (3,37 + 1,00) 0,150 + (3,37 — 3,48) 2,122 + (— 0,50 — 3,48) 0,300 = + 11,63
Δ'ϧ4 = (3,48 + 4,00) 3,333 + (3,48 + 0,50) 0,300 + (5,00 + 0,50) 0,050 + (5,00 — 2,06) 3,292 + (0 — 2,06) 0,250 = 35,56
Δ'ϧ5 = [(2,06 + 5,00) 4,000 + (2,06 — 0) 0,250] 2 = 55,25

und es folgt nach Gleich. I (wegen h = 30dm und λ = 20dm)

ξ = 30 ΣΔ'ϧ + 20 Σσ '= 30 [(— 1,42 + 3,19 + 7,34 + 11,63 + 35,56) 2 + 55,25] + 20 [— 1,07 — 1,90 — 2,91 — 4,00 — 5,00] 2 = 4440,3.

Die Ordinaten des Momentenpolygones eines mit den Winkel - änderungen Δ'ϧ1, Δ'ϧ2 ..... belasteten, einfachen Balkens A' B' sind:48 M1 = 1706,9; M2 = 3350,0; M3 = 4846,3; M4 = 6110,0; M5 = 6662,5; fügt man zu ihnen die Verkürzung der Endvertikale, welche (für E = 1) gleich (— σ'h) = 0,90 · 30 = 27 ist, so erhält man die dem Elasticitäts - modul E = 1 entsprechenden Ordinaten des Biegungspolygons der oberen Gurtung: δ0 = 27; δ1 = 1733,9; δ2 = 3377,0; δ3 = 4873,3; δ4 = 6137,0; δ5 = 6689,5, und es ergeben sich jetzt die Ordinaten der gesuchten Einflusslinie für X: 〈…〉〈…〉 u. s. w. X2 = 0,76; X3 = 1,10; X4 = 1,38; X5 = 1,50.

Liegt nun beispielsweise der in Fig. 7 dargestellte Belastungsfall vor (Knotenpunktslasten 0,5t und 1t), so folgt X = [0,5 · 0,01 + 1,0 (0,39 + 0,76 + 1,10 + 1,38)] 2 + 1,0 · 1,50 = 8,8t, ein Ergebniss, welches mit dem auf Seite 13 erhaltenen übereinstimmt.

Der Einfluss einer Aenderung der Temperatur und einer Ver - schiebung der Widerlager ist 〈…〉 , worein für Schmiedeeisen E = 200000t für das qdm und ε = 0,000012 zu setzen ist. Eine Erhöhung der Temperatur um t = 40° erzeugt (wegen l = 200dm) 〈…〉 und eine Verschiebung Δl = 0,1dm bedingt 〈…〉 . (Vergl. Seite 15.)

§ 11. Bemerkungen über die angenäherte Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen X ebener Fachwerkträger.

Die genaue Berechnung von neu zu entwerfenden, statisch un - bestimmten Fachwerken wird durch den Umstand sehr erschwert, dass die Grössen X ', X' ', ..... von den Querschnitten sämmtlicher Stäbe oder — wenn es sich nur um den Einfluss der Belastung handelt — von dem gegenseitigen Verhältnisse dieser Querschnitte abhängen. Es müssen deshalb die Querschnittsflächen zunächst abgeschätzt und hierauf an der49 Hand der Ergebnisse der schärferen Untersuchung geändert werden. Bei wesentlichen Abweichungen zwischen den so erhaltenen und zuerst angenommenen Querschnitten muss die ganze Rechnung wiederholt werden.

In sehr vielen, für die Praxis besonders wichtigen Fällen lässt sich nun eine wesentliche Abkürzung (ohne dass die Ergebnisse der Rechnung an Zuverlässigkeit einbüssen) dadurch erzielen, dass bei der Be - rechnung der Grössen X ', X' '..... die Formänderungen der Wandglieder des Hauptnetzes ver - nachlässigt und hinsichtlich der Querschnitte der Gurtungen ver - einfachende An - nahmen (z. B. Ein - führung eines gleichen Quer - schnittes für die Stäbe einer Gur - tung) gemacht wer - den.

Ein Beispiel möge den Vorgang er - läutern.

Es handele sich um die Berechnung der Einflusslinie für

Fig. 41.

den Horizontalschub X des in Figur 41 dargestellten Bogenträgers, dessen Spannkräfte, wie im § 3, auf die Form S = S0 — S' X gebracht werden sollen. Die Spannkräfte S' entstehen, sobald P = 0 und X = — 1 wird, und zur Berechnung von X dient die Gleichung: 〈…〉 (vergl. § 3, Seite 13), wofür geschrieben werden darf (nach § 10): 〈…〉 , wenn δ 'die unter der Last P gemessene Ordinate des Biegungspolygons der oberen Gurtung für den Belastungsfall (P = 0 und X = — 1) be -Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 450deutet. Dieses Polygon stimmt, wenn nur die Formänderungen der Gurt - stäbe berücksichtigt werden sollen, mit dem Momentenpolygone A' L B' eines einfachen Balkens A' B' überein, auf welchen senkrechte Lasten 〈…〉 (nach Gleich. 16 im § 6) und 〈…〉 (nach Gleich. 17 im § 6) wirken, welche beziehungsweise durch die Knotenpunkte der unteren und der oberen Gurtung gehen. Hierbei ist rm = Loth vom Knotenpunkte m auf Stab om, rk = „ „ „ k „ „ uk.

In den Gurtstäben om und uk entstehen im Belastungsfalle (P = 0 und X = — 1) die mit Hilfe der Ritter’schen Methode leicht nachzu - weisenden Spannkräfte: 〈…〉 und 〈…〉 , unter ym und yk die auf die Wagerechte A B bezogenen Ordinaten der Punkte m und k verstanden, und es folgt, wenn Fm und Fk die Quer - schnitte der Stäbe om und uk bedeuten, 〈…〉 und 〈…〉 mithin 〈…〉 und 〈…〉 .

Diese Werthe w darf man — ein konstantes E vorausgesetzt — ersetzen durch 〈…〉 und 〈…〉 , wobei Fc eine beliebige Querschnittsfläche ist (vergl. § 3 Seite 11); nur muss man dann schreiben: 〈…〉 .

Für einen Stab om der oberen Gurtung ist 〈…〉 , und für einen Stab uk der unteren Gurtung 〈…〉 , und es folgt, wenn zur Abkürzung gesetzt wird: zm = ymwm und zk = ykwk 〈…〉 .

Die Summe im Nenner des Werthes X erstreckt sich über alle Werthe zm und zk.

Es ist statthaft, für sämmtliche Stäbe der oberen Gurtung den - selben Querschnitt Fo anzunehmen und für sämmtliche Stäbe der unteren Gurtung denselben Querschnitt Fu. Setzt man dann die willkürliche Querschnittsfläche Fc = Fo, so ist für alle Stäbe om: 〈…〉 , mithin 〈…〉 und für alle Stäbe uk: 〈…〉 , mithin 〈…〉 , und es wird sich empfehlen:

1) ein Momentenpolygon A' 'R B'' zu zeichnen, entsprechend den durch die Knotenpunkte m der unteren Gurtung gehenden Lasten 〈…〉 ,
2) desgleichen ein Momentenpolygon A' '' T B' '', entsprechend den durch die Knotenpunkte k der oberen Gurtung gehenden Lasten 〈…〉 ,
3) die beiden Summen zu berechnen: 〈…〉 , aus denen sich dann 〈…〉 ergiebt.

Sind nun δ '' und δ '' 'die unter der Last P gemessenen Ordinaten der Momentenpolygone A'' R B' 'und A'' 'T B'' ', so ist offenbar 〈…〉 ,^*)Der Horizontalschub in Folge einer gleichmässigen Erhöhung der An - fangstemperatur um t wird, nach § 3, Seite 13, 〈…〉 . und man ist jetzt im Stande, für verschiedene Verhältnisse 〈…〉 eine Reihe von Einflusslinien für X zu zeichnen und durch vergleichende Rechnungen4*52festzustellen, welchen Einfluss die Wahl des Verhältnisses 〈…〉 auf die Spannkräfte S besitzt.

Betont werde noch, dass in dem Falle einer von der Wagerechten wenig abweichenden oder mit dieser zusammenfallenden Gurtung unter

Fig. 42.

〈…〉 das mittlere Verhältniss der Querschnitte der oberen und unteren Gurtstäbe in der Nähe des Scheitels zu verstehen ist, weil die Längenänderungen der hier gelegenen Gurtstäbe einen besonderen Einfluss auf X ausüben, und dass es sich bei der geringen Höhe, welche derartige Bogenträger in der Regel im Scheitel erhalten, empfiehlt (wenigstens für die erste Berechnung) 〈…〉 = 1 zu wählen.

In gleicher Weise kann auch der Fachwerkbogen mit senkrechten Wandgliedern berechnet werden; hier fallen je zwei Lasten w in die - selbe Senkrechte, Fig. 42. ^*)Weiteres über die praktische Berechnung von Bogenträgern (u. a. ein ausführliches Zahlenbeispiel) findet sich in der Abhandlung: Müller-Breslau, Vereinfachung der Theorie der statisch unbestimm - ten Bogenträger, in der Zeitschrift des Architekten - u. Ing. -Vereins zu Hannover, 1884. S. 575. Sonderabdrücke dieser Abhandlung sind von Schmorl & von Seefeld, Buchhandlung in Hannover, zu beziehen.

§ 12. Die Lehrsätze über die Formänderungsarbeit.

1. Der Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit. Wir betrachten ein statisch unbestimmtes Fachwerk mit spannungslosem An - fangszustande, nehmen an, dass der anfängliche Temperaturzustand be - stehen bleibt, dass also die Aenderungen der Stablängen durch die Gleichung 〈…〉 gegeben sind und setzen festliegende oder über reibungslose Lager gleitende Stützpunkte voraus. Es sind dann sämmt - liche Verschiebungen Δc = 0, und die statisch nicht bestimmbaren Grössen X ', X' ', X' '' ..... haben (nach Seite 8) den Gleichungen zu genügen: 〈…〉 ,53 welche man durch die Forderung ersetzen darf: Es müssen die Grössen X ', X' ', ...... den Ausdruck 〈…〉 zu einem Minimum machen.

In der That stimmen die aus der Bedingung A = minimum ge - folgerten Gleichungen 〈…〉 mit den Gleichungen 24 überein. ^*)Dass A ein Minimum und nicht ein Maximum wird, lehrt die Unter - suchung des zweiten Differentialquotienten. Es ist 〈…〉 und 〈…〉 , also positiv.

Der Werth A lässt sich in einfacher Weise deuten. Verlängert sich ein Fachwerkstab unter dem Einflusse einer von 0 bis S wachsenden Spannkraft allmählich um die Strecke 〈…〉 , so wird er in dem Augenblicke, in welchem die Verlängerung den zwischen 0 und Δs liegenden Werth x erreicht hat, durch die Kraft 〈…〉 gespannt. Schreitet die Verlängerung um d x fort, so leistet Sx die Arbeit 〈…〉 , und es ist somit die gesammte Formänderungsarbeit des Stabes: 〈…〉 , und diejenige des Fachwerks 〈…〉 .

Es folgt mithin der hinsichtlich seiner Giltigkeit an die im Ein - gange dieses Paragraphen gemachten Annahmen Δc = 0 und t = 0 und an die Voraussetzung eines spannungslosen Anfangszustandes ge - bundene Satz: Werden die Spannkräfte S eines statisch unbestimmten Fach - werks als Funktionen der unabhängigen Veränderlichen X ', X' ', .... aufgefasst, so müssen den Grössen X diejenigen Werthe beigelegt54 werden, welche die Formänderungsarbeit A zu einem Minimum machen.

2. Der Satz von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit. Die Arbeitsgleichung eines Fachwerks lautet bei festliegenden oder über reibungslose Lager gleitenden Stützpunkten (vergl. § 4, Gleich. 10) P1δ1 + P2δ2 + .... + Pmδm + .... + Pnδn = ΣSΔs; sie gilt für beliebige, genügend kleine, zusammengehörige Verschiebungen δ und Δs und für beliebige Werthe der Lasten P, und es dürfen somit bei der theilweisen Differentiation dieser Gleichung nach Pm sämmtliche δ und Δs sowie alle Lasten P1 bis Pm ‒ 1 und Pm + 1 bis Pn als Kon - stanten aufgefasst werden. Es ergiebt sich 〈…〉 und, wenn 〈…〉 ist, wenn also die dem spannungslosen Anfangs - zustande entsprechenden Temperaturen ungeändert bleiben, 〈…〉 d. i. 〈…〉 .

Für den Fall: (Δc = 0 und t = 0) und unter der Voraussetzung eines spannungslosen Anfangszustandes gilt somit der Satz: Die Verschiebung δm des Angriffspunktes m einer Last Pm im Sinne von Pm ist gleich der nach Pm gebildeten theilweisen Ab - geleiteten der Formänderungsarbeit A des Fachwerks.

Bei der Anwendung dieses Satzes ist zu beachten, dass man die Spannkräfte in den überzähligen Stäben und die überzähligen Stützen - widerstände stets als Lasten auffassen darf, welche auf das Hauptnetz wirken. Es ist aus diesem Grunde zulässig, unter A nur die Form - änderungsarbeit für die dem statisch bestimmten Hauptnetze angehörigen Stäbe zu verstehen und 〈…〉 zu setzen, d. h. bei der Berech - nung der Abgeleiteten 〈…〉 die Grössen X als Konstanten zu betrachten.

Die Ausdehnung von A über das ganze Fachwerk, entsprechend dem Wortlaute des oben gegebenen Satzes, und die Behandlung der X als Funktionen der Lasten P führt natürlich zu demselben Ergebnisse. Man muss dann setzen: 〈…〉 55und, da für die X stets Ausdrücke von der Form X '= z1'P1 + z2'P2 + .... + zm'Pm + ...... X' '= z1''P1 + z2''P2 + .... + zm''Pm + ...... .......................... gefunden werden, wobei sämmtliche z von den P unabhängige Werthe sind, 〈…〉 und 〈…〉

Nun ist aber ΣS'Δs = 0, ΣS''Δs = 0, ...... (vergl. Seite 9), d. h. 〈…〉 und es ergiebt sich, genau wie bei der obigen Auffassung, 〈…〉 .

3. Berücksichtigung einer Aenderung des Temperaturzu - standes. Aendert sich die Anfangstemperatur in allen Punkten eines Fachwerkstabes um den gleichen, gegebenen Betrag t, so ist 〈…〉 , und es gehen die Gleichungen 24, denen die Grössen X bei festliegenden oder über reibungslose Lager gleitenden Stützpunkten genügen müssen, über in 〈…〉 sie führen zu dem für den Fall Δc = 0 und bei Bestehen eines spannungs - losen Anfangszustandes giltigen Satze: Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X müssen den Ausdruck 〈…〉 zu einem Minimum machen. ^*)Es ist 〈…〉 , also positiv.

Den Werth Ai, welcher gleich der Summe der für den Zustand t = 0 sich ergebenden Formänderungsarbeit und der von t abhängigen56 virtuellen Arbeit Σεt S s ist, nennen wir die ideelle Formänderungs - arbeit.

Die für die Verschiebung δm des Angriffspunktes m der Last Pm im Sinne von Pm abgeleitete Gleichung 〈…〉 geht über in 〈…〉 und führt zu dem hinsichtlich seiner Giltigkeit an dieselben Voraus - setzungen wie der Satz Ai = Minimum gebundenen Satze: 〈…〉 , bei dessen Benutzung wieder zu beachten ist, dass die Grössen X als Konstanten aufgefasst werden dürfen, sobald Ai theilweise nach Pm differentiirt wird, und dass sich mithin der Ausdruck Ai nur über die dem Hauptnetze angehörigen Stäbe zu erstrecken braucht.

4. Berücksichtigung von Verschiebungen der Stützpunkte bei An - wendung der unter 1 bis 3 aufgestellten Sätze. Es verdient noch besonders hervorgehoben zu werden, dass die für den Fall Δ c = 0 abgeleiteten Sätze Ai = minimum und 〈…〉 die Berechnung der Grössen X und der Verschiebungen δ auch dann ermöglichen, wenn sich die Angriffspunkte der Auflagerkräfte C bei der Formveränderung des Fachwerks verschieben. Die Kräfte C dürfen nämlich stets als die Spannkräfte in Stäben aufgefasst werden, welche gleiche Richtung wie die Kräfte C haben und die Stützpunkte mit ausserhalb des Fachwerks gelegenen festen Punkten (zuweilen auch mit festen Punkten des Fachwerks selbst) verbinden. Werden diesen Auflagerstäben solche Eigenschaften beigelegt, dass ihre Längenänderungen mit den vor - geschriebenen Verschiebungen Δ c der Stützpunkte übereinstimmen, so sind sie als den Stützen vollkommen gleichwerthig aufzufassen, und man hat, wenn die Verschiebungen Δ c bei der Berechnung der X und δ berücksichtigt werden sollen, nur nöthig, die ideelle Formänderungsarbeit Ai des Fachwerks um die - jenige der Auflagerstäbe zu vermehren, wobei für jeden Auflagerstab ein be - liebiger Elasticitätsmodul und ein beliebiger Querschnitt angenommen werden darf.

Bedeutet nun für einen Auflagerstab:

c die Länge, Ec den Elasticitätsmodul,
Fc den Querschnittsinhalt, tc die Temperaturänderung,
εc den Ausdehnungskoefficienten für tc = 1,

so ist 〈…〉 . Mit EcFc = ∞ wird Δ c = εctcc, d. i. unabhängig von C, und die ideelle Formänderungsarbeit der Fachwerkstäbe und Auflager - stäbe beträgt zusammen: 〈…〉 , wobei Δ c als eine Konstante zu betrachten ist.

Beispiel. Handelt es sich um den Horizontalschub X des in Fig. 7, Seite 12 dargestellten Bogenträgers, dessen Stützweite l sich um Δl ändern möge, so denke man die Kämpfergelenke A und B durch einen Stab ver - bunden, in welchem die Spannkraft X wirksam ist und mache 〈…〉 zu einem Minimum. Es ergiebt sich die Gleichung 〈…〉 .

Ist (wie in § 3, Seite 12) S = S0 — X S', so folgt 〈…〉 und 〈…〉 , und hieraus ergiebt sich, wie auf Seite 13, 〈…〉 .

Abschnitt II. Biegungsfestigkeit gerader und einfach gekrümmter Stäbe.

§ 13. Allgemeine Gesetze für Stäbe, deren Querschnittsab - messungen im Verhältniss zu den Krümmungs - halbmessern klein sind.

1) Arbeitsgleichung. Wird ein Stab, dessen Schwerpunktsachse A B eine Linie einfacher Krümmung ist, durch äussere Kräfte angegriffen, welche in der die Linie A B enthaltenden Ebene (Kräfte - ebene, Stabebene) liegen, so besitzen, bei im Vergleiche zur Länge des Stabes geringen Querschnittsabmessungen, ausser den Temperaturände - rungen nur die senkrecht zu den Querschnittselementen wirkenden Spannungen (Nor - malspannungen) σ einen wesentlichen Einfluss auf die Formänderung. Der Stab lässt

Fig. 43.

sich, bei Vernachlässigung aller übrigen Spannungen, in unendlich kleine,58 annähernd prismatische Theilchen zerlegen, welche durch der Stabachse parallele Spannkräfte S auf Zug oder auf Druck beansprucht werden (Fig. 43).

Bedeutet

F die im Allgemeinen veränderliche Querschnittsfläche des Stabes,
d s die Länge des zwischen den unendlich nahen Querschnitten I und II gelegenen Elementes der Stabachse,
d sv die dem Bogenelemente d s parallele Länge irgend eines der zwischen I und II gedachten, unendlich kleinen Prismen,
σ die Normalspannung für den Endquerschnitt d F dieses Prismas,
Δ d sv die Strecke, um welche sich d sv in Folge irgend einer geringen Verbiegung des Stabes ändert,

so ist S = σ d F, und es ergiebt sich, mit Vernachlässigung der Aenderungen der Querschnittsabmessungen, die virtuelle Formänderungs-Arbeit 〈…〉 , wobei d V = d sv d F den Inhalt des Stabtheilchens bedeutet. Bezeichnet nun, wie im Ab - schnitte I auf Seite 7:

P eine Last,
C eine Auflagerkraft,
δ die durch jene Δ d sv bedingte Verschiebung des Angriffspunktes von P im Sinne von P,
Δ c die durch jene Δ d sv bedingte Verschiebung des Angriffspunktes von C im Sinne von C,

und wird angenommen, dass die äusseren und inneren Kräfte mit - einander im Gleichgewichte sind, so folgt, wenn die Gewichte der Stab - theilchen zu den Lasten gerechnet werden, aus dem Satze von den vir - tuellen Verschiebungen die Arbeitsgleichung: 〈…〉 , welche für beliebige mögliche Verschiebungen δ, Δ c und Δ d sv gilt, sobald diese nur klein genug sind, um als verschwindende Grössen auf - gefasst werden zu dürfen.

In den meisten Fällen der Anwendung handelt es sich um Stäbe, deren Querschnittsabmessungen, verglichen mit den Krümmungshalb - messern r, so gering sind, dass es zulässig ist, d sv = d s zu setzen und die Spannungen σ genau so zu berechnen, als sei an der betrachteten Stelle r = ∞, d. h. der Stab gerade. Wir wollen auch (ausgenommen sind die genaueren Entwickelungen im § 22) mit dieser vereinfachenden Annahme rechnen, trotzdem aber die Bezeichnung d sv beibehalten, um59 die Verschiedenheit der Lagen, nicht der Längen, der Stabtheilchen zu kennzeichnen.

2) Bedingungsgleichungen zur Berechnung statisch nicht bestimmbarer Grössen. Unter gewissen vereinfachenden Annahmen gelingt es mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen, die Spannungen σ ebenso wie die Auflagerkräfte C als geradlinige Funktionen der ge - gebenen Lasten P und gewisser statisch nicht bestimmbarer Grössen X ', X' ', X' '' ..... darzustellen; sie erscheinen dann in den für beliebige Werthe der P und X giltigen Formen: (29) 〈…〉 , wobei σ ', σ' ', σ' '' ....., C ', C' ', C' '' gegebene, von den Lasten P und den Grössen X unabhängige Koefficienten sind, während σ0 und C0 die als geradlinige Funktionen der Kräfte P darstellbaren Spannungen und Auflagerkräfte für denjenigen statisch bestimmten Belastungszustand be - deuten, welcher entsteht, sobald alle statisch nicht bestimmbaren Grössen X verschwinden.

Wird X '= 1 angenommen, und werden gleichzeitig alle Lasten P, sowie die übrigen statisch nicht bestimmbaren Grössen X' ', X' '', ..... gleich Null gesetzt, so entsteht ein Belastungsfall, welcher „ Zustand X '= 1 “heissen soll, und welchem die Spannungen σ' und Auflager - kräfte C 'entsprechen, und in gleicher Weise soll in der Folge von Zuständen X' '= 1 oder X' '' = 1 u. s. w. gesprochen werden.

Die Arbeitsgleichung für den Zustand X '= 1 bildet einen be - sonderen Fall der Arbeitsgleichung (28); sie ergiebt sich aus jener, sobald P = 0, C = C' und σ = σ 'gesetzt wird und lautet: (30) 〈…〉 .

Die Gleichungen (30), deren Anzahl mit derjenigen der Unbekann - ten X übereinstimmt, ermöglichen die Berechnung dieser Grössen; man hat nur nöthig, sie auf die wirklichen elastischen Verschiebungen Δ c und Δ d sv anzuwenden. Die Δ c werden meistens geschätzt (vergl. § 3, Seite 8) und die Δ d sv unter der Voraussetzung eines spannungslosen Anfangszustandes als Funktionen der Spannungen σ und Temperatur - änderungen t dargestellt. Es ist dann nach Gleich. (8):60 (31) 〈…〉 , und es folgen somit die Bedingungsgleichungen: (32) 〈…〉 , in denen L' = Σ C 'Δ c, L'' = Σ C''Δ c ..... die virtuellen Arbeiten der beziehungsweise den Zuständen X '= 1, X' '= 1 u. s. w. entsprechenden Auflagerkräfte bedeuten.

Bringt man die dem wirklichen Belastungszustande entsprechende virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte auf die Form � = �0 + � 'X' + � '' X '' + � '' 'X' '' + ....., wobei �0, � ', �' ', �' '' .... Grössen vorstellen, welche von den Werthen X und (mit Ausnahme von �0) von den Lasten P unabhängig sind, so ist: L' = � ', L'' = � '', .......

Beachtet man nun, dass 〈…〉 , ..... ist, so sieht man ein, dass die Gleichung: (33) 〈…〉 , welche auch unmittelbar durch theilweise Differentiation der Gleich. (28) erhalten werden kann, als allgemeine Form der Bedingungsgleichungen (32) aufgefasst werden darf; man braucht nur X der Reihe nach durch X ', X' '.... zu ersetzen, um die Gleichungen (32) zu erhalten. L be - deutet die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zu - stand X = 1.

Führt man die Bezeichnung ein: (34) 〈…〉 , so kann man Gleich. (33) noch kürzer schreiben: (35) 〈…〉 .

Für den besonderen Fall festliegender oder über reibungslose Lager gleitender Stützen verschwindet die Arbeit L, und es ergiebt sich die Be - dingung (I) 〈…〉 = 0, also Ai = minimum.

Ist ausser L = 0 auch t = 0, so folgt61 (II) 〈…〉 = minimum, wobei 〈…〉 die Formänderungsarbeit für den Fall t = 0 vorstellt. Die vor - stehenden Sätze (I) und (II) entsprechen den für das Fachwerk im § 12 unter 3 bezieh. 1 abgeleiteten; sie ergeben sich sofort aus jenen, sobald die Spann - kraft S des Fachwerkstabes ersetzt wird durch σ d F, der Stab-Inhalt s F durch d V und das Zeichen Σ durch das Zeichen ∫.

3) Bestimmung der Verschiebung δ irgend eines in der Kräfteebene gelegenen Punktes des Stabes nach irgend einer in die Kräfteebene fallenden Richtung. Werden die auf den Stab wirkenden Lasten mit P1, P2 .... Pm .... Pn bezeichnet, die Angriffs - punkte derselben mit 1, 2, … m … n und die Verschiebungen dieser Punkte im Sinne der entsprechenden P mit δ1, δ2 … δm .... δn, so lautet die Arbeitsgleichung: 〈…〉 ; sie gilt für beliebige zusammengehörige Verschiebungen δ, Δ c und Δ d sv und für beliebige Werthe der Lasten P und statisch nicht bestimmbaren Grössen X und liefert unmittelbar einen einfachen Ausdruck für die Verschiebung δm, sobald sämmtliche Grössen X sowie die Lasten P1 bis Pm — 1 und Pm + 1 bis Pn gleich Null gesetzt werden, während Pm = 1 angenommen wird. Es entsteht dann ein statisch bestimmter Stab, welcher in der Folge der Hauptträger genannt werden möge, und an welchem ausser Pm = 1 noch die durch diese Last hervorgerufenen Auflagerkräfte C̅ angreifen, während im Innern gewisse Spannungen σ̅ erzeugt werden. Die obige Arbeitsgleichung geht über in (36) 〈…〉 und gestattet, die durch einen beliebigen Belastungs - und Temperatur - zustand verursachte Verschiebung δm aus den diesem Zustande ent - sprechenden Verschiebungen Δ c und Δ d sv zu berechnen. Insbesondere ergiebt sich mit 〈…〉 der Werth (37) 〈…〉 , wobei L̅ die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den durch Pm = 1 belasteten Hauptträger bezeichnet.

Denselben Ausdruck für δm erhält man — in anderer Form — durch theilweise Differentiation der allgemeinen Arbeitsgleichung nach der Last Pm, wobei die δ, Δ c und Δ d sv als Konstanten aufgefasst werden62 dürfen, da jene Arbeitsgleichung für beliebige zusammengehörige Werthe dieser Verschiebungen giltig ist. Man gelangt zu 〈…〉 und findet schliesslich das übersichtliche Gesetz: (38) 〈…〉 , wobei Ai durch die Gleich. 34 erklärt ist.

Bei festliegenden oder über reibungslose Lagerflächen gleitenden Stütz - punkten verschwinden sämmtliche Δ c, und es ergiebt sich 〈…〉 und im Falle Δ c = 0 und t = 0 folgt 〈…〉 , wobei 〈…〉 die Formänderungsarbeit bedeutet.

Mit Hilfe der entwickelten Gesetze ist man auch im Stande, die Verschiebungen von solchen Punkten eines Stabes zu bestimmen, welche nicht Angriffspunkte von Lasten sind; man hat nur nöthig, in dem fraglichen Punkte nach der Richtung der gewünschten Verschiebung eine beliebig grosse Last P hinzuzufügen und nachträglich P = 0 zu setzen. Bedingung ist nur, dass die Verschiebungsrichtung in die Kräfteebene fällt.

Bedient man sich bei der Berechnung von δ der Gleichung (38), so ist zu beachten, dass nicht nur die Lasten P, sondern auch die Grössen X als unabhängige Veränderliche aufgefasst werden dürfen, dass es also zulässig ist, die X als Konstanten anzusehen, sobald nach einer Last P differentiirt wird. Vergl. Seite 54.

4) Auflager. Ausser den im § 1 (Fig. 1) angeführten festen und

Fig. 44

beweglichen Lagern, deren Widerstände be - ziehungsweise durch die Angabe von zwei Seiten - kräften oder einer Seiten - kraft bestimmt sind, müssen bei den auf Biegungsfestigkeit be - anspruchten Stäben noch Auflager unterschieden werden, welche der im Stützpunkte an die Stab - achse gelegten Tangente eine bestimmte Lage, beziehungsweise Bewegung, vorschreiben. Es kommen zwei Anordnungen in Betracht.

a) Feste Einspannung (Fig. 44 a). Bei vollkommener Starrheit des stützenden Körpers liegt der Stützpunkt A fest, desgleichen die in A an die Stabachse gelegte Tangente (Auflagertangente). Der Stützen - widerstand lässt sich zerlegen in zwei Seitenkräfte C1 und C2 und in ein Kräftepaar, dessen Moment M das Einspannungs-Moment heisst. Verschiebt sich, in Folge der Elasticität des stützenden Körpers, der Punkt A im Sinne von C1 um Δ c1 und im Sinne von C2 um Δ c2, während sich die Auflagertangente im Sinne des Momentes M um τ dreht, so leisten die Auflagerkräfte die virtuelle Arbeit C1Δ c1 + C2Δ c2 + Mτ. ^*)Um die Richtigkeit des letzten Gliedes dieses Ausdruckes einzusehen‘ betrachte man ein Kräftepaar, dessen Moment M = Q e ist und welches an einem sich um den Punkt D drehenden, beliebigen Systeme materieller Punkte angreift. Bedeuten c und c + e die Lothe von D auf die Kräfte Q, und ist τ der im Sinne von M ge - messene Drehungswinkel, so ist die virtuelle Arbeit der Kräfte Q: 〈…〉 Fig. 45.

b) Lose Einspannung (Fig. 44 b). Der Stützpunkt A gleitet auf vorgeschriebener Bahn A B. Die Auflagertangente liegt bei starrem Stützkörper fest. Der Stützenwiderstand zerfällt in das Einspannungs - moment M und in einen Gegendruck C, welcher bei glatter Bahn senk - recht zu A B wirkt. Verschiebt sich A im Sinne von A um Δ c, während sich die Auflagertangente im Sinne von M um τ dreht, so leisten die Auflagerkräfte die virtuelle Arbeit C Δ c + M τ.

c) Beispiel für die Berechnung der Arbeiten L. Um die Er - mittelung der in den Gleichungen 32 vor - kommenden Arbeiten L', L' ', .... der Auflager - kräfte für die Zustände X' = 1, X '' = 1, .... durch ein Beispiel zu erläutern, betrachten wir einen bei A und B fest eingespannten Bogen - träger ohne Gelenke (Fig. 46). Die senkrech - ten und wagerechten Seitenkräfte der Stützen -

Fig. 46.

drücke seien A, B, H1, H2, und die Einspannungsmomente seien M1 und M2. In Folge der Nachgiebigkeit der Widerlager gehe über c in c + Δ c, l in l + Δ l, φ0 in φ0 + Δ φ0, φ1 in φ1 + Δ φ1;64 es leisten dann die Auflagerkräfte (wenn Punkt B und die Wagerechte durch B festliegen) die virtuelle Arbeit (I) � = — AΔ c — H1Δ l — M1Δ φ0 + M2Δ φ1.

Bedeutet R die Mittelkraft aus sämmtlichen Lasten, α den Neigungs - winkel von R gegen die Wagerechte, r das Loth von B auf R, so bestehen die Gleichgewichtsbedingungen: (II) H1 + R cos α — H2 = 0 (III) A — R sin α + B = 0 (IV) Al — H1c — Rr + M1 — M2 = 0.

Da sich weitere statische Beziehungen zwischen den 6 Unbekannten A, B, H1, H2, M1 und M2 nicht aufstellen lassen, so ist der Träger ein dreifach statisch unbestimmter. Werden A, H1 und M1 als statisch nicht bestimmbare Grössen aufgefasst, so muss der aus (IV) sich ergebende Werth: M2 = Al — H1c — Rr + M1 in (I) eingeführt werden, worauf die Arbeit � als Funktion der statisch nicht bestimmbaren Grössen in der Form � = A (lΔ φ1 — Δ c) — H1 (cΔ φ1 + Δ l) + M1 (Δ φ1 — Δ φ0) — RrΔ φ1 erhalten wird, und es folgt schliesslich

für den Zustand X '= A = 1 der Werth L' = lΔ φ1 — Δ c
„ „ „ X '' = H1 = 1 „ „ L' '= — (cΔ φ1 + Δ l)
„ „ „ X '' '= M1 = 1 „ „ L'' '= Δ φ1 — Δ φ0.

5) Belastung durch Kräftepaare. Drehung von Tangenten an die Stabachse. Die in irgend einem Punkte m an die Stabachse gelegte Tangente T T (Fig. 47) können wir als materielle Linie auffassen, welche mit dem Stabe fest verbunden ist. Wirkt auf diese Linie ein

Fig. 47.

Kräftepaar, dessen Moment = �m ist, so werden an den Auflagern gewisse Gegen - drücke und im Stabe gewisse Spannungen hervorgerufen. Es möge m der Angriffs - punkt des Kräftepaares heissen.

Denken wir uns nun in gleicher Weise (ausser den bislang vorausgesetzten Lasten P) in beliebigen Punkten 1, 2, .... n der Stabachse Kräftepaare mit den Momenten �1, �2, .... �n angreifend und bezeichnen mit τ1, τ2, ... τn die Winkel, um welche sich die in den Punkten 1, 2, .... n an die Stabachse ge - legten Tangenten in Folge der Umgestaltung des elastischen Stabes drehen, so leisten die Kräftepaare die virtuelle Arbeit �1τ1 + �2τ2 + .... + �n τn, und es ergiebt sich die Arbeitsgleichung: 〈…〉 .

Sie gilt im Falle des Gleichgewichtes und bei verschwindend kleinen, möglichen Verschiebungen für beliebige Werthe der Lasten P und Momente �m und liefert, theilweise nach �m differentiirt, die Beziehung: 〈…〉 , aus welcher sich die (der Gleich. 38 gegenüberzustellende) Gleichung (38 a) 〈…〉 ableiten lässt; dieselbe ermöglicht die Berechnung des Drehungswinkels τ jeder Tangente an die Stabachse. Tritt das Kräftepaar mit dem Momente �m in Wirklichkeit nicht auf, so hat man nach Ausführung der Differentiation �m = 0 zu setzen.

Weiter leuchtet sofort die Richtigkeit der (der Gleich. 37 gegen - überzustellenden) Gleichung ein: (37a) 〈…〉 , in welcher σ̅ diejenige Spannung bedeutet, die in irgend einem Quer - schnittselemente des statisch bestimmten Hauptträgers entsteht, sobald im Punkte m ein Kräftepaar mit dem Momente �m = 1 angreift, während L̅ die virtuelle Arbeit der durch diese Belastung hervorgerufenen Auf - lagerkräfte vorstellt.

§ 14. Die Spannungen σ im geraden Stabe. Navier’sche Biegungsformel.

1) Durch einen Querschnitt im Abstande x von irgend einem in der Stabachse angenommenen Anfangspunkte A denken wir den Stab in zwei Theile zerlegt und vereinigen alle an dem einen der beiden Theile, z. B. an dem linken, an - greifenden äusseren Kräfte zu ihrer Mittel - kraft R (Fig. 48).

R heisst die äus - sere Kraft für den geführten Quer -

Fig. 48.

schnitt und zerfällt in die Längskraft N, senkrecht zum Querschnitte, und die Querkraft Q in der Ebene des Querschnittes. Die Kraft NMüller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 566möge positiv angenommen werden, sobald sie das Bestreben hat, den linken Stabtheil von dem festgehalten gedachten rechten Theile zu ent - fernen.

Die durch den Schwerpunkt O des Querschnittes und den Schnitt - punkt B der Kraft R mit dem Querschnitte gelegte Gerade heisse die Kräftelinie, sie ist die Schnittlinie der Kräfteebene und der Quer - schnittsebene und möge mit der u-Achse eines in der Querschnittsebene angenommenen rechtwinkligen Koordinatensystems (u, v), dessen Ursprung der Punkt O ist, den Winkel α einschliessen. Bedeuten dann: f den Abstand des Punktes B vom Ursprunge, fu und fv die Koordinaten von B, so zerfällt das dem betrachteten Querschnitte entsprechende Biegungs - moment M = N f in das um die u-Achse drehende Moment Mu = N fv = M sin α und in das um die v-Achse drehende Moment Mv = N fu = M cos α, und es bestehen zwischen den in dem Querschnitte wirksamen Spannungen σ und den äusseren Kräften die Gleichgewichtsbedingungen: N = ∫ σ d F Mu = ∫ v · σ d F Mv = ∫ u · σ d F.

Die Berechnung der σ soll unter folgenden Voraussetzungen durch - geführt werden:

1. Die Strecke Δ d xv, um welche sich im Punkte u, v die Ent - fernung d x des betrachteten Querschnittes von dem unendlich nahe gelegenen Querschnitte ändert, sei eine geradlinige Funktion der Ko - ordinaten u und v, d. h. es sei 〈…〉 , unter a', a' ', a'' 'Werthe verstanden, welche für den betrachteten Quer - schnitt Konstanten sind. ^*)Es stimmt diese Annahme mit der bekannten Voraussetzung Navier’s überein, dass ursprünglich ebene Querschnitte des Stabes auch nach der Biegung Ebenen sind. Die Zuverlässigkeit der Navier’schen Methode ist durch die Arbeiten von Saint-Venant (in Liouville’s Journal 1856), Kirchhoff (in Crelle’s Journal 1859) und namentlich von Pochhammer (in dessen Werke über das Gleichgewicht des elastischen Stabes, Kiel, 1879) nachgewiesen worden.

2. Die Temperaturänderung t im Punkte u, v sei ebenfalls eine geradlinige Funktion von u und v, es bestehe also die Gleichung t = t' + t' 'v + t'' 'u, deren Koefficienten gegeben sind, sobald die Temperaturänderungen für drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte des Querschnittes bekannt sind.

Dann folgt aus der Gleichung 〈…〉 für die Spannung σ der Ausdruck σ = E (a' — εt ') + E (a'' — εt '') v + E (a' '' — ε t' '') u und hierfür soll kürzer geschrieben werden σ = a + b v + c u, wobei a, b, c Konstanten sind, welche sich mit Hilfe der drei Gleich - gewichtsbedingungen berechnen lassen. Jene Bedingungen gehen über in N = a ∫ d F + b ∫ v d F + c ∫ u d F M sin α = a ∫ v d F + b ∫ v2 d F + c ∫ u v d F M cos α = a ∫ u d F + b ∫ u v d F + c ∫ u2 d F; sie nehmen eine besonders einfache Gestalt an, sobald zu den Koor - dinatenachsen Hauptachsen gewählt werden. In diesem Falle ist das Centrifugalmoment ∫ u v d F = 0, und weiter folgt, da der Ursprung O mit dem Schwerpunkte des Querschnittes zusammenfällt, ∫ u d F = 0 und ∫ v d F = 0. Es ergeben sich die Werthe: 〈…〉 , in denen Ju und Jv die Trägheitsmomente des Querschnittes in Bezug auf die Hauptachsen bedeuten, und es entsteht die Navier’sche Formel (39) 〈…〉 . Besonders hervorzuheben ist, dass eine ungleichmässige Erwärmung des Stabes nach dem Gesetze t = t' + t' 'v + t'' 'u nur dann Spannungen σ hervorbringt, wenn die Werthe N und M von den Temperaturänderungen abhängig sind, was nur bei statisch unbestimmten Stäben der Fall sein kann. Verschwinden alle äusseren Kräfte, so verschwinden auch die Spannungen σ.

5*68

Fig. 49.

2) Meistens fällt die Kräfte - linie mit einer Hauptachse zu - sammen. Wählen wir in diesem Falle die Gerade B O zur v-Achse (Fig. 49), so ist α = 90° und (40) 〈…〉 , wobei J das auf die u-Achse be - zogene Trägheitsmoment des Quer - schnittes bedeutet. Für die von der u-Achse am entferntesten gelegenen Querschnittspunkte er - geben sich, wenn v = + e1 und v = — e2 die Ordinaten dieser Punkte sind, die Spannungen (41) 〈…〉 .

Wird angenommen, dass die Temperaturänderung t nur von v ab - hängt, so darf (42) 〈…〉 gesetzt werden; hierbei bedeutet (Fig. 49):

h die Höhe des Querschnittes,
t0 die Temperaturänderung für v = 0 (also z. B. für den Quer - schnittsschwerpunkt),
Δ t = t1 — t2 den Unterschied der den äussersten Querschnitts - punkten entsprechenden Temperaturänderungen,
t1 den Werth von t für v = + e1 und
t2 „ „ „ t „ v = — e2.

Zwischen t0, t1 und t2 besteht die Beziehung (43) 〈…〉 .

3) Die Werthe Δ d x1, Δ d x2 und Δ d x, welche Δ d xv beziehungs - weise für v = + e1, v = — e2 und v = 0 annimmt, sind für den Fall, dass die Kräftelinie mit der v-Achse zusammenfällt, 〈…〉 69(44) 〈…〉 und es wird deshalb der Winkel d τ, um welchen sich der betrachtete Stabquerschnitt gegen den Nachbarquerschnitt dreht, 〈…〉 , d. i. (45) 〈…〉 .

§ 15. Bedingungsgleichungen für statisch unbestimmte gerade Stäbe.

1) Integrationen. Es sollen die im § 13 abgeleiteten Bedingungs - gleichungen für den Fall umgeformt werden, dass die Kräftelinie mit der v-Achse zusammenfällt, dass also 〈…〉 ist, während die Temperaturänderung dem durch die Gleich. 42 und 43 gegebenen Gesetze folgt. Zu diesem Zwecke mögen zunächst die Integrale 〈…〉 und ∫ σ ε t d V berechnet werden, wobei 〈…〉 und 〈…〉 die Spannungen für irgend zwei durch die Zeichen a und b unter - schiedene Belastungsfälle bedeuten.

Mit d V = d x d F folgt 〈…〉 und, wenn zuerst über den Querschnitt integrirt wird, 〈…〉 .

Nun ist ∫ d F = F, ∫ v2 d F = J und ∫ v d F = 0, mithin folgt:70 (46) 〈…〉 .

Das zweite der gesuchten Integrale ist 〈…〉 ; es[l]ässt sich in gleicher Weise umformen in (47) 〈…〉 .

Man kann auch Gleich. (46) in der Weise ableiten, dass man nur σa durch Na und Ma ausdrückt und die Gleichgewichtsbedingungen ∫ σbd F = Nb und ∫ σb v d F = Mb berücksichtigt. Es ergiebt sich dann: 〈…〉 .

Ebenso findet man 〈…〉 .

2) Umformung der Gleichungen (32). Die Auflagerkräfte C, Biegungsmomente M und Längskräfte N eines mehrfach statisch un - bestimmten Stabes lassen sich in der Form darstellen (48) 〈…〉 , wobei X ', X' ', X' '', ..... statisch nicht bestimmbare Grössen bedeuten.

C0, M0, N0 sind die Auflagerkräfte, Biegungsmomente und Längs - kräfte für den statisch bestimmten Hauptträger, in welchen der Stab übergeht, sobald sämmtliche Unbekannten X verschwinden; sie sind gerad - linige Funktionen der gegebenen Lasten.

C ', M', N' sind die Werthe der Auflagerkräfte, Momente und Längs - kräfte für den auf Seite 59 erklärten Zustand X' = 1, desgl. C '', M' ', N'' die Werthe für den Zustand X '' = 1 u. s. w.

Die Spannungen für den Zustand X '= 1 sind: 〈…〉 , für den Zustand X '' = 1: 〈…〉 , u. s. w. und die Gleichungen (32) gehen, mit Beachtung der Gleich. (46) und (47), über in (49) 〈…〉 , wobei L', L' ', ..... die virtuellen Arbeiten der Auflagerkräfte bei Ein - treten der Zustände X' = 1, X '' = 1, ..... bedeuten.

Ist die Temperaturerhöhung für alle Punkte eines Stabquerschnittes konstant und = t, so ist Δ t = 0 und t0 = t zu setzen.

3) Umformung der Gleichungen (33) und (34). Für die durch die Gleich. 34 gegebene ideelle Formänderungsarbeit Ai findet man mit Hilfe der Gleichungen (46) und (47) den Werth (50) 〈…〉 , und es geht somit die Bedingungsgleichung (33) über in (51) 〈…〉 , wobei X irgend eine der zu berechnenden statisch nicht bestimmbaren Grössen und L die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand X = 1 bedeutet.

Dass Gleich. (51) die allgemeine Form der Bedingungsgleichungen (49) darstellt, leuchtet ein, sobald der Grösse X der Reihe nach die Werthe X ', X' ', ...... beigelegt werden und 〈…〉 ...... 〈…〉 .... gesetzt wird.

4) Der auf Biegungsfestigkeit beanspruchte gerade Stab in Verbindung mit einem Fachwerke. Sehr häufig hat man es mit72 der Berechnung eines Körpers zu thun, der aus einem Fachwerke und aus einem oder mehreren auf Biegungsfestigkeit beanspruchten, geraden Stäben besteht. Die allgemeine Form der Bedingungsgleichungen, denen die statisch nicht bestimmbaren Grössen X zu genügen haben, lautet dann (vergleiche die für das Fachwerk abgeleiteten Gleichungen 26): (52) 〈…〉 , wobei angenommen wird, dass die Temperaturänderung t für alle Punkte eines und desselben Fachwerkstabes gleich gross ist.

Meistens macht man die Annahme, dass auch für alle Punkte eines und desselben Querschnittes der durch die M und N beanspruchten Stäbe die Temperaturänderung t gleich gross ist und erhält dann die Bedingung (53) 〈…〉 .

L bedeutet die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand X = 1.

5) Anwendungen.

Aufgabe 1. Wagerechter, bei B eingespannter und bei A frei auf -

Fig. 50.

liegender Balken. Gesucht ist der durch eine gleichmässige Belastung (= p für die Längeneinheit) her - vorgerufene Auflagerwiderstand X (Fig. 50). Temperaturänderungen sollen unberücksichtigt bleiben, des - gleichen Verschiebungen der Angriffs - punkte der Auflagerkräfte; es ist also L = 0 und t = 0.

Da nur Beanspruchung auf Biegung vorliegt (N = 0), so muss X der Bedingung (vergl. Gleich. 51) 〈…〉 genügen, und bei konstantem E J der Bedingung 〈…〉 . 73Nun ist 〈…〉 und 〈…〉 , weshalb 〈…〉 , woraus 〈…〉 .

Es ist mithin das Biegungsmoment an der Stelle x 〈…〉 . Für 〈…〉 folgt max 〈…〉 und für x = 1 ergiebt sich das Ein - spannungsmoment 〈…〉 . Die grössten Beanspruchungen sind 〈…〉 und 〈…〉 (nach Gl. 41).

Aufgabe 2. Wagerechter, bei A und B eingespannter Balken mit Dreiecksbelastung (Fig. 51). Es sei wie in Aufgabe 1 sowohl L als auch t = 0.

Bedeutet X die senkrechte Auflagerkraft und M1 das Biegungsmoment am linken Auflager, so ist das Biegungs - moment an der Stelle x: 〈…〉 .

Fig. 51.

Die beiden statisch nicht bestimmbaren Grössen X und M1 müssen, bei konstantem E J, den Bedingungen genügen: 〈…〉 und 〈…〉 und diese gehen, wegen 〈…〉 und 〈…〉 , nach Ausführung der Integrationen über in 〈…〉 und 〈…〉 ; sie liefern: 〈…〉 .

Nun folgt an der Stelle x: 〈…〉 .

Für 〈…〉 folgt max M = + 0,02144 p l2
Für x = l folgt 〈…〉 .
Das grösste aller Momente ist M2.

Aufgabe 3. Das in Fig. 52 dargestellte Krahngerüst ist bei D

Fig. 52

— 55.

und C fest, aber gelenkartig ge - lagert. Bei A und B sind starre Eckverbindungen gedacht. Be - deutet R die Mittelkraft aus den auf den Balken A B wirkenden, senkrecht angenommenen Lasten, so sind die senkrechten Auflager - kräfte bei D und C bezieh. = 〈…〉 und = 〈…〉 . Die wagerechten Auflagerkräfte sind gleich gross und statisch nicht bestimmbar, sie seien = X gesetzt.

Bleiben Verschiebungen der Angriffspunkte der Auflagerkräfte und Temperaturänderungen un - berücksichtigt, so muss X der Bedingung genügen: 〈…〉 .

Bedeuten J1 und E1 das Trägheitsmoment und den Elasticitäts - modul für alle Querschnitte der Stäbe A D und C B,
J und E die entsprechenden Werthe für den Stab A B,
F den konstanten Querschnitt des Stabes A B,

so folgt für den Stab A D: 〈…〉 , (I) 〈…〉 .

Dieselben Werthe der gesuchten Integrale ergeben sich für C B.

Dem Stabe A B entspricht 〈…〉 , (II) 〈…〉 .

Das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt G des Stabes A B ist M = M0 — X h, unter M0 das Biegungsmoment für einen einfachen, bei A und B frei aufliegenden Balken verstanden (Fig. 53), und es folgt somit 〈…〉 = — h und (III) 〈…〉 .

Setzt man die Summe der mit I, II, III bezeichneten Integrale (von denen das erste 2 mal zu nehmen ist) gleich Null, so erhält man die Gleichung: 〈…〉 und aus dieser folgt: (IV) 〈…〉 .

Hierin bedeutet 〈…〉 den Inhalt der dem einfachen Balken A B (Fig. 53) entsprechenden Momentenfläche A L B. Wirkt z. B. auf A B nur die Einzelkraft P, Fig. 54, so ist die Momentenfläche A L B ein Dreieck mit der Höhe 〈…〉 und mit dem Inhalte (V) 〈…〉 .

Einer gleichmässigen Belastung der Längeneinheit von A B mit g entspricht eine Parabelfläche A L B mit der Höhe 〈…〉 , Fig. 55, und dem Inhalte 〈…〉 . 76Bei gleichzeitigem Auftreten einer gleichmässigen Last und einer Schaar von Einzellasten entsteht: (VI) 〈…〉 .

Nachdem X gefunden ist, lassen sich die Spannungen σ in allen Theilen des Gerüstes leicht berechnen.

Aufgabe 4. Ein bei A und C frei aufliegender, durch 2 Zug -

Fig. 56 — 59.

stangen und eine Strebe verstärkter Träger, Fig. 56, sei durch senk - rechte Lasten be - ansprucht. Die Spannkräfte S1, S2 in den gelenkartig befestigten Fach - werkstäben sind, wenn X die wage - rechte Seitenkraft von S1 bedeutet: S1 = X sec α und S2 = — 2 X tg α, und für den Balken - querschnitt G bei x ergiebt sich die Längskraft N = — S1 cos α = — X und das Biegungs - moment M = M0 — S1 y cos α = M0 — X y, vobei M0 das Biegungsmoment für einen bei A und C frei aufliegenden, nicht verstärkten Balken A C bedeutet (Fig. 57). Die Momentenfläche A L C für diesen einfachen Balken A C möge die einfache Momenten - fläche heissen.

Die Grösse X ist statisch nicht bestimmbar, sie muss, wenn Tem - peraturänderungen unberücksichtigt bleiben sollen, der Bedingung ge - nügen: (I) 〈…〉 .

Bedeuten nun

E, J und F den Elasticitätsmodul, das Trägheitsmoment und den Inhalt für sämmtliche Querschnitte des Balkens A C,
E1 und F1 die entsprechenden Werthe für die Stäbe A D und D C,
E2 und F2 „ „ „ „ den Stab B D,

so folgt für die Fachwerkstäbe, wegen 〈…〉 = sec α und 〈…〉 = — 2 tg α: 〈…〉 und für den Balken A B C, wegen 〈…〉 und 〈…〉 , 〈…〉 und es geht, mit 〈…〉 die Gleich. I über in 〈…〉 ; sie liefert den Werth: 〈…〉 , wo 〈…〉 eine von den Querschnittsabmessungen abhängige Zahl ist.

Die einfache Momentenfläche A L C in Fig. 57 wird durch die Mittel-Senkrechte in zwei Theile zerlegt, deren Inhalte gleich F 'und F' 'und deren Schwerpunktsabstände von den benachbarten Auflager - Senkrechten gleich e' und e '' sein mögen, und es folgt nun für das Balkenstück A B: 〈…〉 und für den ganzen Balken A C:78 〈…〉 , mithin ergiebt sich 〈…〉 . Zwei in Bezug auf die Mittel-Senkrechte gleich gelegenen Einzellasten P entspricht z. B. als einfache Momentenfläche ein Trapez von der Höhe Pa (Fig. 58), und für dieses ist 〈…〉 , weshalb die beiden Lasten P hervorrufen: 〈…〉 .

Da beide Lasten zu X denselben Beitrag liefern, so entsteht bei Aufbringen nur einer Last: 〈…〉 .

Eine gleichförmige Belastung g für die Längeneinheit (Fig. 59)

Fig. 60.

darf als aus unendlich kleinen Einzellasten g d a bestehend auf - gefasst werden; sie erzeugt, wenn sie auf der ganzen Länge des Trägers wirkt, 〈…〉 . Wird also der Träger gleich - zeitig durch eine gleichmässige Last und eine Schaar von Einzel - lasten beansprucht, Fig. 56, so entsteht 〈…〉 .

Nach Berechnung von X lassen sich die Beanspruchungen σ in allen Theilen des Trägers leicht angeben.

Aufgabe 5. Der in Fig. 60 dargestellte, oben durch ein Halsband und unten durch einen Zapfen gestützte Giessereikrahn ist einfach statisch unbestimmt; seine Beanspruchung lässt sich feststellen, sobald eine der79 beiden Streben-Spannkräfte D1 oder D2 bekannt sind. ^*)Es ist dies nur dann streng richtig, wenn alle Krahntheile durch reibungslose Gelenke miteinander befestigt werden, was oben vorausgesetzt wird.Wird D1 als statisch nicht bestimmbare Grösse angesehen, so muss der Bedingung 〈…〉 genügt werden. Mit der erlaubten Vernachlässigung der Wirkung der Längskräfte, welche im Vergleiche zu dem Einflusse der Momente gering ist, entsteht: (I) 〈…〉 .

Zunächst sei eine Beziehung zwischen D1 und D2 aufgestellt. Auf den wagerechten Krahnbalken wirken die Querkräfte P, D1 sin α1 und D2 sin α2, und es muss sein: P (l1 + l2 + l3) + D1 sin α1 (l2 + l3) + D2 sin α2l3 = 0, mithin (II) 〈…〉 , und ebenso ergiebt sich für die an der Krahnsäule angreifenden Quer - kräfte: Hh + D2 cos α2 (l5 + l6) + D1 cos α1l6 = 0 und hieraus (III) 〈…〉 , wo 〈…〉 .

Wir bezeichnen mit J und J0 beziehungsweise die Trägheitsmomente der Querschnitte von Balken und Säule, mit E und E0 die zugehörigen Elasticitätsmoduln und erhalten für die Theile l1, l2, l3, l4, l5 und l6 folgende Momente und Werthe 〈…〉 : Theil l1: M = Px1, 〈…〉 ; Theil l2: M = P (l1 + x2) + D1 sin α1 x2; 〈…〉 sin α1 〈…〉 ; Theil l3: M = P (l1 + l2 + x3) + D1 sin α1 (l2 + x3) + D2 sin α2 · α3, oder, wenn D2 mittels Gl. II ausgedrückt wird,80 M = [P (l1 + l2) + D1l2 sin α1] 〈…〉 ; 〈…〉 sin α1; 〈…〉 ; Theil l4: M = Hx4, 〈…〉 ; Theil l5: M = H (l4 + x5) + D2 cos α2 x5 und, wenn D2 mittels Gl. III ausgedrückt wird, 〈…〉 ; 〈…〉 ; 〈…〉 ; Theil l6: M = H (l4 + l5 + x6) + D2 cos α2 (l5 + x6) + D1 cos α1 x6 und, mit Beachtung von Gl. III, 〈…〉 ; 〈…〉 .

Setzt man nun, nach Gl. I, die Summe aller vorberechneten Inte - grale: 〈…〉 gleich Null und multiplicirt mit 3 E J, so erhält man die Gleichung: 〈…〉 und hieraus folgt, mit sin 〈…〉 , 〈…〉 .

Nun kann man nach Gl. II oder III die Strebenkraft D2 finden und sämmtliche Biegungsmomente berechnen.

Aufgabe 6 (Fig. 61). Ein frei auf drei Stützpunkten ruhender, ursprünglich wagerechter, kontinuirlicher Balken ohne Gelenke und mit konstantem E und J sei durch beliebige senkrechte Lasten beansprucht; ausserdem mögen auf die Endquerschnitte (1) und (3) beliebig grosse,

Fig. 61 — 63.

von ausserhalb des Balkens wirkenden Kräften herrührende Biegungs - momente M1 und M3 wirken. Es soll das Biegungsmoment M2 für den über der Mittelstütze gelegenen Querschnitt unter der Voraussetzung berechnet werden, dass, bei festliegenden Stützpunkten (1) und (3), sich der Stützpunkt (2) um δ senkt und der Balken ungleichmässig erwärmt wird. Die Temperaturerhöhung sei für den untersten Punkt eines Quer - schnittes = t1, für den obersten = t2; beide Werthe seien konstant und es sei t1 — t2 = Δt. Querschnittshöhe = h (vergl. Fig. 49).

Wir benutzen (da N = 0 ist) die Bedingungsgleichung (vergl. Seite 71, Gleich. 49): 〈…〉 , in welcher M das wirkliche Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt bedeutet, während M' das demselben Querschnitte entsprechende Biegungs - moment für den Fall ist, dass die Lasten verschwinden und die statisch nicht bestimmbare Grösse (hier also M2) den Werth 1 annimmt (Zustand X = M2 = 1). Die Momentenfläche für diesen Zustand ist das Dreieck in Fig. 62 mit der Höhe 1, und die zugehörigen Auflagerkräfte sind 〈…〉 , 〈…〉 , beide aufwärts wirkend, undMüller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 682 〈…〉 , abwärts gerichtet.

Senkt sich die Mittelstütze um δ, so ist die virtuelle Arbeit der den Zustande X = M2 = 1 entsprechenden Auflagerkräfte: 〈…〉 , und es folgt somit die Bedingung (I) 〈…〉 .

Für einen Querschnitt im Abstande x1 > l1 von A folgt: 〈…〉 , mithin für den Theil 〈…〉 und 〈…〉 .

Das Integral: 〈…〉 bedeutet das statische Moment der wirk - lichen Momentenfläche, bezogen auf die Senkrechte durch den Stützpunkt 1. Diese Momentenfläche besteht aus einem Trapeze, das bei (1) und (2) die Höhen M1 und M2 hat und aus der Momentenfläche AS1B, welche dem bei (1) und (2) frei aufliegenden Einzelbalken l1 entsprechen würde, Fig. 63. Wir nennen AS1B die einfache Momentenfläche für den Theil l1, bezeichnen ihr statisches Moment in Bezug auf die links von ihr gelegene Auflagersenkrechte mit �1 und erhalten, indem wir das Trapez über A B in zwei Dreiecke zerlegt denken, 〈…〉 , so dass sich für den Theil l1 ergiebt: 〈…〉 ; ebenso ergiebt sich für den Theil l2: 〈…〉 und 〈…〉 , wobei ℜ 2 das statische Moment der zu dem Theile l2 gehörigen ein - fachen Momentenfläche B S2 C, bezogen auf die rechts von ihr gelegene Aufagersenkrechte, bedeutet.

Die Gleichung I geht jetzt, nach Multiplikation mit 6 über in83 (II) 〈…〉 ; sie ermöglicht die Berechnung von M2.

Die am häufigsten vorkommenden Belastungen sind: Beanspruchung durch Einzellasten und durch eine gleichmässige Belastung.

Liegt auf einem ein - fachen Balken eine Einzel - last P in den Abstanden a und b von den Stützpunkten (Fig. 64), so ist die Mo - mentenfläche A S B ein Drei - eck, dessen Höhe = 〈…〉 ,

Fig. 64.

und dessen statisches Moment, bezogen auf die links gelegene Auflager - senkrechte, (III) 〈…〉 ist. In Bezug auf die rechtsseitige Auflagersenkrechte ergiebt sich das statische Moment (IV) 〈…〉 .

Liegt zwischen den Grenzen ξ = s1 und ξ = s2 eine gleichmässige Last p für die Längeneinheit (Fig. 65), so entspricht dem Lasttheilchen p · d ξ nach Gleich. III der Werth 〈…〉 und es folgt (V) 〈…〉 .

Ist der ganze Balken A B mit g für die Längeneinheit belastet, so ergiebt sich aus (V) (mit p = g, s2 = l und s1 = 0) (VI) 〈…〉 .

Wenn also, wie in Fig. 61 angenommen wurde, auf den kon -

Fig. 65.

tinuirlichen Balken gleichzeitig Einzellasten P und gleichmässige Lasten6*84g1, g2, p1, p2 wirken, so geht mit den aus der Fig. 61 ersichtlichen Bezeichnungen die Gleich. II über in (VII) 〈…〉 , in welcher sich die Summen 〈…〉 und 〈…〉 beziehungsweise über die auf den Theilen l1 oder l2 ruhenden Lasten P erstrecken.

Die Gleichungen II und VII ermöglichen die Berechnung der Stützen - momente von kontinuirlichen Trägern, welche frei auf beliebig vielen, sich um vorgeschriebene Strecken senkenden Stützen liegen (Fig. 66). Bedeuten für einen solchen Träger M1, M2, M3

Fig. 66.

irgend drei auf einander folgende Stützenmomente und δ die Strecke, um welche sich der Stützpunkt 2 unter die Verbindungsgerade der beiden benachbarten Stützpunkte 1 und 3 verschiebt, so besteht zwischen den Momenten M1, M2, M3 die durch die Gl. II oder Gl. VII dargestellte Beziehung. Bei n Stützen lassen sich n — 2 solcher Beziehungen an - geben, und diese genügen zur Berechnung aller Momente M, da die Momente MA und MB über den Endstützen bekannt sind. Setzen wir im Allgemeinen überragende Trägerenden voraus und bezeichnen mit Q' und Q' 'die Mittelkräfte aus den auf die überragenden Trägerstücke wirkenden Lasten, so erhalten wir MA = — Q' e' und MB = — Q' 'e' '.

Werden die Verschiebungen der Stützpunkte (1, 2, 3) aus einer gegebenen Anfangslage A0 B0 des Balkens mit c1, c2, c3 bezeichnet, so ist 〈…〉 und es ergiebt sich (VIII) 〈…〉 .

Aufgabe 7. Es sollen die bei Lösung der Aufgabe 6 abgeleiteten all - gemeinen Gleichungen zur Berechnung der Stützenmomente des in Fig. 67 dargestell - ten gleichmässig be - lasteten, kontinuir - lichen Trägers, dessen Mittelstützen sich um c2 und c3 gesenkt haben, benutzt werden.

Zwischen den Stützenmomenten M1,

Fig. 67.

M2 und M3 besteht (nach Gl. VII mit Beachtung von Gl. VIII) die Beziehung: 〈…〉 , und ebenso folgt 〈…〉 , und in diese Gleichungen ist zu setzen: M1 = 0, M4 = 0, c1 = 0, c4 = 0.

Die Auflösung der beiden Gleichungen nach M2 und M3 ergiebt z. B. für den Fall l1 = l2 = l3 = l:

1) den Einfluss der Lasten g1, g2, g3: 〈…〉

2) den Einfluss der Stützenverschiebungen c1, c2: 〈…〉

3) den Einfluss der Temperaturänderung: 〈…〉 .

Die im Querschnitte über der Stütze 2 durch die unter 2 und 3 angeführ - ten Einflüsse erzeugten Spannungen σ1 und σ2 sind nach Gl. 41 (vergl. auch Fig. 49): 〈…〉 und 〈…〉 .

Aufgabe 8. Es soll das Einspannungsmoment M1 für einen ur - sprünglich wagerechten Balken berechnet werden, auf welchen Einzel - lasten P wirken und der, bei gleich hoch gelegenen Stützpunkten 1 und86

Fig. 68.

2, am linken Ende unter einem gegebenen Winkel τ eingespannt wird, während er am rechten Ende frei aufliegt. Es soll, wie in den Aufgaben 6 und 7, eine un - gleichmässige Erwärmung berücksichtigt werden. Fig. 68.

Wir betrachten den Balken als frei auf 3 Stützen 0, 1, 2 ruhend. Die Endstütze 0 liegt unendlich nahe der Stütze 1 und ist um l0 τ angehoben. Gleich. VII in Aufgabe 6 liefert dann die Beziehung: 〈…〉 , in welcher δ die Verschiebung des Punktes 1 gegen die Gerade 0 2̅ be - deutet. Es ist 〈…〉 und es ergiebt sich, da l0 = 0, M0 = 0 und M2 = 0 ist, der Werth 〈…〉 und die Gleichung: 〈…〉 ; mithin ist das gesuchte Einspannungsmoment 〈…〉 .

Die Lösung dieser Aufgabe lehrt auch, in welcher Weise die Gleichungen II und VII in Aufgabe 6 auf die Berechnung der Stützen - nomente eines kontinuirlichen Balkens angewendet werden können, dessen Enden unter bestimmten Winkeln eingespannt sind.

§ 16. Berechnung der Verschiebungen von Punkten gerader Stäbe und der Drehungswinkel von Tangenten an die Stabachse.

1) Umformung der Gleichungen (37) und (38) im § 13. Um de Verschiebung δm eines in der Kräfteebene gelegenen Stabpunktes m87 nach einer in die Kräfteebene fallenden Richtung m m' zu berechnen, bringe man im Punkte m eine durch m' gehende Last „ Eins “an und bestimme die hierdurch hervorgerufenen Auflagerkräfte C̅, Biegungs - momente M̅ und Längskräfte N̅. Sodann erhält man für den Fall, dass die Gleich. (40) bis (43) giltig sind: (54) 〈…〉 , wobei

L̅ = virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte C̅,
- N = Längskraft
- M = Biegungsmoment
hervorgerufen durch die wirklicheBelastung,

während t0 und Δt die auf Seite 68 erklärte Bedeutung haben.

Die Gleich. (54) ergiebt sich aus der Gleich. (37) mit Beachtung der Gleich. (46) und (47).

Ist der Stab (oder die Stabverbindung) statisch unbestimmt, so dürfen bei der Berechnung der C̅, M̅ und N̅ alle statisch nicht bestimm - baren Grössen gleich Null gesetzt werden, wobei es freisteht, in welcher Weise der Stab in einen statisch bestimmten Hauptträger verwandelt wird.

Man darf auch schreiben (nach Gleich. 38): (55) 〈…〉 , wobei Pm eine in m angreifende, durch m' gehende Last bedeutet, welcher nöthigenfalls nach Ausführung der Differentiation der Werth Null bei - zulegen ist. Vergl. Seite 62.

2) Drehung einer Tangente. Der Winkel τm, um welchen sch die im Punkte m an die Stabachse gelegte Tangente bei der Form - änderung des Stabes dreht, ist gegeben durch die Gleichung (54 a) 〈…〉 , wobei

- N = Längskraft
- M = Biegungsmoment
in Folge der wirklichen Belastung,
- N̅ = Längskraft
- M̅ = Biegungsmoment
für irgend einen Querschnitt des Hauptträgers,

falls auf letzteren ein, im Punkte m angreifendes Kräftepaar wirkt, dessen Moment �m = 1 ist (vergl. Seite 64).

L̅ bedeutet die virtuelle Arbeit der gleichzeitig mit N̅ und M̅ ent - stehenden Auflagerkräfte.

Man darf auch schreiben, entsprechend Gleich. 38 a und mit[Hin] - weis auf Gleich. 55,88[ (]55 a) 〈…〉 , wobei das Moment �m nach Ausführung der Differentiation gleich Null zu setzen ist, wenn das im Punkte m angenommene Kräftepaar in Wirk - lichkeit nicht vorhanden ist.

3) Handelt es sich um einen Körper, der aus einem Fachwerke und aus einem oder mehreren auf Biegungsfestigkeit beanspruchten, geraden Stäben besteht, so tritt auf der rechten Seite der Gleich. (54) und (54 a) noch der Werth hinzu: 〈…〉 , auf der rechten Seite der Gleich. (55) der Werth 〈…〉 und auf der rechten Seite der Gleich. (55 a) der Werth 〈…〉 .

S̅ bedeutet die gleichzeitig mit N̅ und M̅ entstehende Spannkraft eines Fachwerkstabes.

Bei Anwendung der Gleichungen (55) und (55 a) dürfen die statisch nicht bestimmbaren Grössen X als Konstanten aufgefasst werden; es genügt, die Integrale und Summen über den statisch bestimmten Haupt - triger auszudehnen.

Aufgabe 1. Der in Fig. 69 dargestellte, ursprünglich wagerechte

Fig. 69.

Stab mit einem eingespannten und einem freien Ende sei gleichmässig und ausserdem im Punkte A mit P belastet. Gesucht die senkrechte Verschiebung δ des Punktes A. E und J seien konstant; Verschiebungen der Stützpunkte seien ausgeschlossen, hin - gegen soll eine ungleichmässige Erwärmung (nach Fig. 49) berücksichtigt werden.

Es ergiebt sich 〈…〉 ,^*)Δt = t1 — t2, wobei t1 = Temperaturänderung für den untersten, t2 desgl. für den obersten Punkt des Querschnittes.89 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 .

Mit Hilfe dieser Gleichung findet man für einen ungleichmässig er - wärmten und gleichmässig belasteten, bei A frei aufliegenden, bei B wagerecht ein - gespannten Balken (Fig. 70), dessen linke, ursprünglich in der Wagerechten durch B gelegene Stütze sich um δ gesenkt hat, die Beziehung: 〈…〉

Fig. 70.

und hieraus die Auflagerkraft 〈…〉 .

Aufgabe 2. Es soll die Senkung δ des Punktes A des in Fig. 71 dargestellten, mit P be - lasteten, festen Krahnes berechnet werden.

Verschiebungen der Stütz - punkte und Temperatur - änderungen seien aus - geschlossen. Es seien

F und J = Inhalt und Trägheitsmoment des Querschnittes von Stab A C,
F1 und J1 = Inhalt und Trägheitsmoment des Querschnittes von Stab C E,
F2 = Inhalt des Quer - schnittes, s = Länge von Stab B D,

Fig. 71.

E, E1, E2 bedeuten die entsprechenden Elasticitätsmoduln.

Wir wenden Gl. 54 an und setzen L̅ = 0, t0 = 0, Δt = 0. M̅ und N̅ entsprechen der Last P = 1, und es folgt N = PN̅,

M = PM̅ mithin:90 (I) 〈…〉 .

In Fig. 71 sind die der Last P = 1 entsprechenden Momentenflächen für die Stäbe A C und C E dargestellt; sie sind bestimmt durch M̅B = 1 · l1 = Moment für Querschnitt B und M̅D = 1 · l = „ „ die Querschnitte zwischen D und E.

Die Spannkraft S̅ im Stabe B D ist 〈…〉 (folgt aus der Bedingung Sr + Pl = 0), wobei r = Loth von C auf B D.

Es folgt nun, wenn ∠ C B D = α ist, für Theil 〈…〉 ; für Theil 〈…〉 , 〈…〉 ; für Theil 〈…〉 , 〈…〉 ; für Theil 〈…〉 , 〈…〉 ; für Theil 〈…〉 , 〈…〉 .

Addirt man die berechneten Integrale, so erhält man nach Gl. I: 〈…〉 .

Aufgabe 3. Um welche Strecke δ senkt sich der Mittelpunkt S des Balkens A B des in Aufgabe 3 (§ 15) behandelten Krahngerüstes?

Bezüglich aller Bezeichnungen wird auf § 15 verwiesen; die dort gezeigte Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Auflagerkraft X muss des Ermittelung von δ vorausgehen. Hierauf wird die Stabverbindung91 statisch bestimmt gemacht, beispielsweise durch das bei D (Fig. 72) an - geordnete wagerechte Gleitlager, und der so erhaltene Hauptträger in Punkte S mit der senkrechten Kraft „ Eins “belastet. Es entstehen bei D und C senkrechte Gegen - drücke (= ½), welche im Vereine mit der Last „ Eins “Momente M̅ und Längskräfte N̅ erzeugen, und es ergiebt sich aus diesen — wenn Verschiebungen der Stützpunkte und Temperaturänderungen un - berücksichtigt bleiben sollen — (I) 〈…〉 , wobei M = Biegungsmoment und N = Längskraft für die wirkliche, in Fig. 52 dargestellte Belastung.

Für die linke Hälfte des Stabes A B ist N̅ = 0, M̅ = ½x, M = M0 — Xh und 〈…〉 .

Fig. 72 — 75.

M0 bedeutet die Ordinate der früher erklärten einfachen Momenten - fläche A L B (Fig. 53 und Fig. 73), welche durch die Mittel-Senkrechte in 2 Theile zerlegt wird, deren Inhalte = F 'und = F' ', und deren Schwerpunkts-Abstände von den benachbarten Auflagersenkrechten = e' und = e '' sind. Da nun 〈…〉 ist, so ergiebt sich für die linke Hälfte des Stabes A B: 〈…〉 und für den ganzen Stab: 〈…〉 .

Für den Stab A D ist: 〈…〉 (vergl. Seite 74 und Fig. 52) und92 〈…〉 und dem Stabe B C entspricht: 〈…〉 , 〈…〉 .

Für beide Stäbe erhält man zusammen: 〈…〉 , wobei R = Summe aller auf den Balken A B wirkenden Lasten.

Nach Gleich. I ist nun 〈…〉 .

Die einfache Momentenfläche für zwei in Bezug auf die Mittel - Senkrechte gleich gelegene Lasten P ist ein Trapez mit der Höhe Pa (Fig. 74), und für dieses ist 〈…〉 .

Da nun diesen beiden Lasten die Werthe entsprechen: R = 2 P und 〈…〉 (nach Gl. IV und V auf Seite 75), so folgt die durch beide Lasten erzeugte Verschiebung δ: 〈…〉 , wobei 〈…〉 . ist

Zu dieser Senkung liefern beide Lasten den gleichen Beitrag, so dass eine Last P nur eine halb so grosse Senkung hervorbringt, nämlich: (II) 〈…〉 .

Die einfache Momentenfläche für eine gleichmässige Last (= g für die Längeneinheit) ist eine Parabelfläche (Fig. 75) mit dem Pfeile 〈…〉 ; für diese ist 〈…〉 ,93 〈…〉 und weiter erzeugt diese gleichmässige Last: R = gl, 〈…〉 (nach Gl. VI, Seite 76), und die Durchbiegung (III) 〈…〉 .

Nunmehr lässt sich die Senkung δ für den in Fig. 52 dargestellten Belastungszustand (gleichzeitige Wirkung einer gleichmässigen Last und einer Schaar von Einzelkräften P) mit Hilfe einer Summirung feststellen.

Aufgabe 4 (Fig. 76). Ein ursprünglich wagerechter, bei B fest eingespannter, bei A freier Stab ist gleich - mässig mit p für die Längeneinheit belastet und wird ausserdem im Punkte A durch eine Einzellast P und ein Kräftepaar, dessen Moment = M1 ist, beansprucht. Gesucht ist der Neigungswinkel τ der in A an die elastische Linie gelegten Tangente. Tempera - turänderungen und Nachgeben des Wider - lagers seien ausgeschlossen. Da N = 0 ist,

Fig. 76.

so folgt aus Gleich. 55 a: 〈…〉 , worein zu setzen: 〈…〉 .

Es ergiebt sich, bei konstantem E J, 〈…〉 .

§ 17. Aufgaben über krumme Stäbe mit im Vergleiche zu der Querschnittshöhe grossen Krümmungshalbmessern.

Ist ein einfach gekrümmter Stab symmetrisch in Bezug auf die die Stabachse enthaltende Kräfteebene, so dürfen, bei im Vergleiche zur94 Querschnittshöhe grossen Krümmungshalbmessern, die senkrecht zur Querschnittsebene wirkenden Spannungen mit Hilfe der für den geraden Stab entwickelten Gleichung 〈…〉 berechnet werden, und ebenso ist es zulässig, bei Bestimmung von statisch nicht bestimmbaren Grössen und von Verschiebungen δ und Drehungen τ die Gleichungen 49 bis 53 und 54 bis 55 a anzuwenden. Für alle im Brückenbau und im Hochbau vorkommenden Bogenträger ist diese Vereinfachung der im § 22 abgeleiteten genaueren Theorie statthaft.

Wird das Element der Schwerpunkts-Achse des gekrümmten Stabes

Fig. 77.

mit d s bezeichnet, so ist in den genannten Gleichungen d x durch d s zu ersetzen.

In den nachstehenden Aufgaben werden die zu untersuchenden Bögen auf recht - winklige Koordinaten (x, y) mit wage - rechter x-Achse bezogen. Der Neigungs - winkel der in irgend einem Punkte D der Bogenachse an diese gelegten Tangente gegen die Wagerechte wird mit φ bezeich - net. Bedeutet dann für das Bogenstück A D links von D (Fig. 77):

V die Mittelkraft aus sämmtlichen senkrechten äusseren Kräften, H „ „ „ „ wagerechten „ „

Fig. 78

u. 79.

und wird V nach oben und H nach rechts positiv gezählt, so muss die den Querschnitt bei D beanspruchende Längskraft N der Gleichung genügen N + V sin φ + H cos φ = 0, die man erhält, indem man die Summe sämmtlicher auf das Stück A D parallel zu N wirkenden Kräfte gleich Null setzt, und aus der sich (56) N = — V sin φ — H cos φ ergiebt.

Aufgabe 1. Ein kreisförmiger Bogenträger mit Kämpfergelenken, aber ohne Scheitelgelenk, ist in Bezug auf die Mittelsenkrechte symmetrisch und trägt auf der linken und rechten Hälfte gleichmässig über die Sehne A B vertheilte Lasten z1 und z2 für die Längeneinheit. Die Kämpfer95 sind durch eine Stange verbunden. Bei B ist ein festes, bei A ein wage - rechtes (reibungsloses) Gleitlager angeordnet, Fig. 78. Gesucht ist de Spannkraft X in der Stange A B.

Wir nehmen zunächst an, es sei z1 = z2 = z und finden mit den aus der Fig. 79 ersichtlichen Bezeichnungen für einen Querschnitt D, in Abstande x vom Scheitel, das Biegungsmoment 〈…〉 d. i. (I) 〈…〉 .

Die Mittelkraft der auf das Stabstück A D wirkenden senkrechten äusseren Kräfte ist V = za — z (a — x) = zx = zr sin φ, und es ergiebt sich daher die Längskraft N für den Querschnitt D mittelst Gleich. 56: (II) N = — zr sin 2φ — X cos φ.

Fassen wir jetzt X als Auflagerkraft auf und bezeichnen mit Δa die Verlängerung der Sehnen-Hälfte a, so ist die virtuelle Arbeit der auf die linke Stabhälfte wirkenden Auflagerkräfte, bei festliegend an - genommenen Linien R R und A B: L' = — XΔa, und es ergeben sich für den Zustand X = 1 die Werthe M' = — r (cos φ — cos φ0), N' = — cos φ, L' = — Δa.

Die für den Fall einer gleichmässigen Erwärmung des Bogens um t Grad giltige Gleichung 〈…〉 , welcher die Unbekannte X zu genügen hat, geht, wenn E, F und J für alle Bogenquerschnitte gleich gross angenommen werden, über in (III) 〈…〉 ; die in derselben vorkommenden Integrale erstrecken sich nur über die linke Hälfte des Trägers. Die Verlängerung Δa der Hälfte der Stange96 A B, deren Querschnitt = F0 und deren Elasticitätsmodul = E sein möge, ist 〈…〉 , wobei angenommen wird, dass sich nur der Bogen um t erwärmt, während die Anfangs-Temperatur der Stange ungeändert bleibt. ^*)Bei gleichmässiger Erwärmung von Stange und Bogen ist der un - belastete Träger spannungslos. Es ist zu empfehlen, einen Unterschied der Temperaturen von Bogen und Stange von t = ± 10° bis ± 15° Cels. in Rech - nung zu stellen.Es geht Gl. III über in 〈…〉 .

Nun ist: 〈…〉 , und es ergiebt sich somit, wegen a = r sin φ0: 〈…〉 , wobei μ '= ⅔ sin3 φ0 + ½ φ0 cos φ0 cos 2 φ0 — ½ cos2 φ0 sin 〈…〉 und 〈…〉 . ^**)Die von 〈…〉 abhängigen Glieder der Ausdrücke μ 'und μ' 'dürfen in der Regel vernachlässigt werden.

Der Einfluss einer Temperaturänderung ist für sich allein 〈…〉 und der Einfluss der Belastung: 〈…〉 .

Zu letzterem Werthe liefern die auf beiden Bogenhälften ruhenden Lasten za den gleichen Beitrag: 〈…〉 ; wirkt auf die eine Hälfte (wie in Fig. 78) die Last z1 a und auf die andere die Last z2 a, so ent - steht demnach 〈…〉 .

Handelt es sich um die Berechnung eines Dachbinders, dessen Eigen - gewicht = g, und dessen gesammte Belastung = q für die Längeneinheit der Sehne A B ist, so genügt es, die Werthe X, M und N sowie die Spannungen

- 〈…〉
- 〈…〉
vergl. Gleich. 41 und Fig. 49

für zwei Belastungsfälle zu berechnen.

Man setze einmal z1 = g und z2 = q und hierauf z1 = z2 = q.

(Bei beträchtlicher Pfeilhöhe ist noch der Einfluss schräger Wind - drücke mit Hilfe einer besonderen Untersuchung, die ähnlich durchzu - führen ist, wie die vorstehende, festzustellen.)

Aufgabe 2. Ein in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte symmetrischer Parabelbogen ist an den Enden fest eingespannt und im Scheitel mit einem Gelenke versehen; es sollen die durch eine senkrechte Einzellast P und durch Temperaturänderung hervorgerufenen Stützen - drücke K1 und K2 ermittelt werden, Fig. 80.

Die 3 Kräfte K1, K2 und P müssen sich in einem Punkte C schneiden. Liegt P links vom Scheitelgelenk S, so geht der Auflagerdruck K2 durch S; er möge im Punkte S in die senkrechte Seitenkraft B und in die wagerechte Seitenkraft H (Horizontalschub) zerlegt werden. Sind B und H gefunden, so ist das aus P, K1 und K2 bestehende Kräftedreieck be - stimmt und die gestellte Aufgabe gelöst.

B und H sind statisch nicht bestimmbare Grössen; sie sollen unter der Voraussetzung berechnet werden, dass die Stützen starr sind und der Bogen gleichmässig erwärmt wird; dann gilt die GleichungMüller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 798(I) 〈…〉 , in welche erst X = B dann X = H zu setzen ist.

Ist der Scheitel der Ursprung eines rechtwinkligen Koordinaten -

Fig. 80.

systems, so ergiebt sich für den bei x gelegenen Bogen - querschnitt das Biegungs - moment: M = Hy + Bx — M0, wobei (— M0) das Biegungs - moment für den Fall: H = 0 und B = 0 bedeutet. Für alle Querschnitte rechts von P ist M0 = 0, und für die links von P gelegenen Querschnitte ist M0 gleich der Ordinate einer Geraden C1A2, deren Endordinate A1A2̅ = Pa ist, während die Spitze C1 senk - recht unter der Last P liegt.

Die Längskraft N ist für einen Querschnitt rechts von C (wenn φ den Neigungswinkel der in x, y an die Bogenachse gelegten Tangente gegen die x-Achse bezeichnet) N = B sin φ — H cos φ und für einen Querschnitt links von C N = (B — P) sin φ — H cos φ; beidemale ist 〈…〉 und 〈…〉 . Da nun weiter 〈…〉 und 〈…〉 ist, so folgen aus Gleich. I mit X = B und X = H die beiden Bedingungen: 〈…〉 ; sie sollen mit Vernachlässigung der von N abhängigen, das Endergebniss nur wenig beeinflussenden Integrale aufgelöst werden; ausserdem soll 〈…〉 gesetzt und J cos φ = Const = J 'angenommen werden.

Es gehen dann, wegen 〈…〉 und 〈…〉 , obige Gleichungen über in:99 0 = ∫ (Hy + Bx — M0) xdx 0 = ∫ (Hy + Bx — M0) ydx — ε E J'tl.

Da die y-Achse eine Symmetrieachse ist, so folgt ∫ yxdx = 0 und ∫ xdx = 0, und es ergiebt sich aus der ersten Gleichung (II) 〈…〉 und aus der zweiten (III) 〈…〉 .

∫ M0xdx bedeutet das statische Moment des Dreiecks C1A1A2 in Bezug auf die y-Achse; es ist also 〈…〉 und 〈…〉 , mithin folgt (IV) 〈…〉 .

Diese Gleichung gilt bei beliebiger Form des symmetrischen Bogens; sie liefert den senkrechten Widerstand des rechtsseitigen Auf - lagers. Zerlegt man K1 in A (senkrecht) und H (wagerecht), so folgt (V) 〈…〉 . ^*)Die für die senkrechten Auflagerdrücke A und B abgeleiteten Aus - drücke stimmen mit denen eines wagerechten, an beiden Enden eingespannten, durch eine senkrechte Last P beanspruchten Balkens überein und bleiben auch bei fehlendem Scheitelgelenke S giltig, wie der Verfasser in der Abhandlung: „ Elasticitätstheorie der Tonnengewölbe “, Zeitschrift für Bauwesen 1881, nach - gewiesen hat. Besonders wichtig ist, dass die Form des (symmetrischen) Bogens gleichgiltig ist.

Aus Gleich. III ergiebt sich der durch die Belastung erzeugte Horizontalschub 〈…〉 .

7*100

Für den Parabelbogen ist 〈…〉 , wobei f = Pfeilhöhe, und es folgt 〈…〉 , 〈…〉 .

∫ M0x2dx · bedeutet das Trägheitsmoment des Dreiecks C1A1A2 in Bezug auf die y-Achse. Der Inhalt dieses Dreiecks ist 〈…〉 , der Abstand seiner senkrechten Schwerlinie ss von der y-Achse: 〈…〉 und sein Trägheitsmoment in Bezug auf ss: 〈…〉 ; es folgt mithin 〈…〉 und man gelangt zu der Gleichung (VI) 〈…〉 , welche nur anwendbar ist, sobald P links vom Scheitelgelenk liegt. Befindet sich P rechts von S, so ist 〈…〉 .

Bewegt sich P von S aus nach dem linken Auflager hin, so be - schreibt der Schnittpunkt C der 3 Kräfte P, K1, K2 eine Linie S S', welche die Kämpferdrucklinie genannt wird; ihre Ordinate η, be - zogen auf eine in der Entfernung 〈…〉 f vom Scheitel gelegene wagerechte Gerade, ergiebt sich aus der Gleichung 〈…〉 tg β, wobei tg 〈…〉 ist.

Man findet (VII) 〈…〉 und kann nun Gleich. VI umformen in (VIII) 〈…〉 .

101

Zur Berechnung der η-Linie diene die folgende Tabelle:

Um mit Hilfe der Kämpferdrucklinie die Lagen der einer gegebenen Einzellast P entsprechenden Kämpferdrücke K1 und K2 schnell feststellen zu können, beachte man Folgendes:

Verbindet man die Punkte F1 und F2, in denen die Auflager - senkrechten von den Kämpferdrücken geschnitten werden, durch die „ Schlusslinie “F1F2, zerlegt K2 nach senkrechter Richtung und nach der Richtung der Schlusslinie in B' und H', so findet man, indem man die Summe der Momente aller Kräfte, in Bezug auf F1, gleich Null setzt: B'l — Pa = 0 und hieraus 〈…〉 .

Verlegt man die Kraft H' von F2 nach dem Punkte O, in welchem die Schlusslinie von der Senkrechten durch S geschnitten wird, und zer - legt sie dort in H und in eine senkrechte Seitenkraft, so erhält man das Biegungsmoment in Bezug auf S: 〈…〉 und hieraus 〈…〉 .

Die Gerade O D schneidet nun auf der Last-Senkrechten die Ordinate 〈…〉 ab, und es ergiebt sich somit folgende einfache Konstruktion der Lagen von K1 und K2.

Man bringt P mit der Kämpferdrucklinie in C zum Schnitte, zieht die Gerade C S F2, setzt die Strecke u ab, zieht die Gerade D O und von F2 durch O die Gerade F2F1; man erhält in F1C und F2C die Richtungen von K1 und K2. Indem man diese Konstruktion für ver - schiedene Lagen der Last P wiederholt, kann man die von den Kämpfer - drücken K1 umhüllte Linie (Kämpferdruck-Umhüllungslinie) zeichnen, deren hohe Bedeutung für die Theorie der gefährlichsten Belastung be - kannt ist.

102

In gleicher Weise wird verfahren, wenn sich P von S aus nach F2 hin bewegt.

Der durch eine Temperaturerhöhung um t hervorgerufene, durch das Scheitelgelenk S gehende Horizontalschub Ht ist nach Gleich. (III): 〈…〉 , woraus, mit 〈…〉 , erhalten wird: 〈…〉 .

Aufgabe 3. Es wird der Einfluss von Verschiebungen der Wider - lager auf die Stützenwiderstände B und H des in Aufgabe 2 behandelten Bogenträgers gesucht. Fig. 81.

Mit E J '= E J cos φ = Konst. und Vernachlässigung von N be - stehen die Gleichungen: 〈…〉 und 〈…〉 , wobei L' und L' 'die virtuellen Arbeiten der den Zuständen X' = 1 beziehw. X '' = 1 entsprechenden Auflagerkräfte bedeuten, während (da die Belastung jetzt = 0 vorausgesetzt ist) M = Hy + Bx, 〈…〉 und 〈…〉 wird. Man erhält E J'L '= ∫ (Hy + Bx) xdx, E J'L' '= ∫ (Hy + Bx) ydx und, wegen ∫ yxdx = 0,

Fig. 81.

〈…〉 und 〈…〉 .

Es senke sich nun (bei relativ fest gelegenem Stütz - punkte A) der Stützpunkt B um δ, während l in l + Δl übergehe, und sich die Auflagertangenten im Sinne der daselbst wirksamen Einspannungsmomente M1 und M2 um die Winkel τ1 und τ2 drehen. Beachtet man dann, dass die äusseren Kräfte nur im Gleichgewichte sein können, wenn bei A Auflagerdrücke wirken,103 die den in B angreifenden gleich und entgegengesetzt sind, so findet man die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte � = M1τ1 + M2τ2 — HΔl — Bδ, und in diesen Ausdruck sind die aus den Gleichgewichtsbedingungen 〈…〉 und 〈…〉 folgenden Werthe 〈…〉 und 〈…〉 einzuführen, so dass entsteht: 〈…〉 .

Hieraus folgt für den Zustand B = 1 der Werth: 〈…〉 und „ „ „ H = 1 „ „ L' '= f (τ1 + τ2) — Δl, und es ergiebt sich mithin: 〈…〉 , 〈…〉 .

Aufgabe 4. Ein krummer Stab A S B ohne Zwischen - gelenke sei beliebig belastet und ungleichmässig erwärmt. Gesucht ist die Aenderung Δl der Sehne A B. Fig. 82. Die Temperaturänderung folge innerhalb eines Querschnittes dem in Fig. 49 dargestellten Gesetze.

Fig. 82.

Es ergiebt sich nach Gleich. 54: 〈…〉 , wobei M̅ und N̅ bezieh. das Moment und die Längskraft bedeuten, welche für irgend einen Querschnitt des Bogens durch zwei in A und B an - greifende, in die Gerade A B fallende, nach Aussen gerichtete Kräfte „ Eins “hervorgebracht werden.

Nun ist M̅ = 1 · y und N̅ = 1 · cos φ, unter φ den Neigungswinkel der an die Bogenachse gelegten Tangente gegen die Sehne A B verstanden, und es ergiebt sich deshalb (57) 〈…〉 .

104

Beispielsweise verlängert sich die Sehne A B eines symmetrischen,

Fig. 83.

durch zwei der Scheiteltangente parallele Kräfte P belasteten und gleichmässig um t erwärmten Bogens, Fig. 83 (wegen M = Py und N = P cos φ) um (58 a) 〈…〉 . Setzt man J cos φ = J 'und F sec φ = F' und führt an Stelle der ver - änderlichen Werthe J 'und F' konstante Mittelwerthe ein, was in allen Fällen der Anwendung zulässig ist, so folgt bei parabolischer Achse (mit 〈…〉 ): 〈…〉 , d. i. (58 b) 〈…〉 .

Aufgabe 5. Gesucht ist die Aenderung Δl der Sehne l eines beliebig beasteten und ungleichmässig erwärmten Bogens A S B mit Zwischen - geenken. Fig. 84.

Der Winkel ϑ, welchen die zu beiden Seiten eines Gelenkes G an

Fig. 84.

die Bogenachse gelegten Tan - genten mit einander bilden, ändert sich im Allgemeinen um einen endlichen Werth Δϑ, und hierdurch vergrössert sich l um Δl = fΔϑ, wobei f das Loth von G auf l bedeutet. Wären alle Δϑ = 0, so würde sich der Bogen bezüglich der Aenderung Δl genau so verhalten wie ein solcher ohne Zwischengelenke, und es würde die Gleich. (57) giltig sein. Fügt man nun zu dem Ergebnisse dieser Gleichung den von den Aenderungen sämmtlicher Winkel ϑ herrührenden Werth Δl = ΣfΔϑ, so erhält man für einen Bogen mit beliebig vielen Zwischengelenken: (59) 〈…〉 .

105

§ 18. Die Biegungslinie.

Trägt man die nach unten positiv gezählten, senkrechten Ver - schiebungen δ der Punkte der in einer lothrechten Ebene gedachten Achse A S B eines einfach gekrümm - ten Stabes von einer Geraden A'B 'aus als Ordinaten auf, so erhält man die Biegungs - linie A''S''B' '; die zwischen ihr und der Geraden A'B' gelegene Fläche heisse die Biegungsfläche. Fig. 85.

1) Bestimmung der Biegungslinie für ein Stab - stück A B ohne Zwischen - gelenke. Die Stabachse möge auf ein rechtwinkliges Koor - dinatensystem mit nach oben

Fig. 85.

positiver, senkrechter y-Achse bezogen werden; φ bedeute den Neigungs - winkel der im Punkte xy an die Stabachse gelegten Tangente gegen die x-Achse. Fig. 85.

Die Aenderung Δy von y ergiebt sich durch Differentiiren der Gleichung dy = ds sin φ, wobei das Differentialzeichen durch das Zeichen Δ zu ersetzen ist. Man erhält 〈…〉 , und es folgt, da δ = — Δy also dδ = — dΔy = — Δdy^*)Nach einem bekannten Satze der Variationsrechnung dürfen die Zeichen d und Δ vertauscht werden. ist: 〈…〉 tg φ, woraus (durch Differentiiren nach x) die Differentialgleichung der Biegungslinie (60) 〈…〉 106gefunden wird. Mit der Bezeichnung (61) 〈…〉 wird 〈…〉 , und hieraus folgt, dass die Biegungslinie A''S''B '' als ein Seilpolygon aufgefasst werden darf, welches mit dem Horizontalzuge (Polabstande) 1 zu einer Belastungslinie, deren Ordinate = z ist, gezeichnet wird. ^*)Die Differentialgleichung einer Seillinie mit dem Horizontalzuge H und der Belastungsordinate z ist, bezogen auf rechtwinklige Koordinaten (y x): 〈…〉 .

Die Belastungsrichtung z ist nach unten (also im Sinne der positiven δ) positiv.

Weiter ergiebt sich aus der graphischen Statik, dass die Fläche zwischen der Biegungslinie A''S''B '' und der Geraden A''B '' angesehen werden darf als die Momentenfläche eines einfachen, d. h. an den Enden frei auf - liegenden Balkens A1B1, dessen Belastungslinie die Ordinate z hat.

Sind die senkrechten Verschiebungen δa und δb der Endpunkte A und B des betrachteten Bogenstückes gleich Null, so stimmt die Biegungs - linie mit der Momentenkurve des einfachen Balkens A1B1 überein.

Handelt es sich nun (ebenso wie im § 17) um Stäbe, deren Krümmungsradien im Vergleiche zur Stabachse sehr gross sind, und auf deren Spannungen und Formänderungen die im § 14 entwickelten Grundgleichungen angewendet werden dürfen, so ist in Gleich. 61 ein - zuführen: 〈…〉 (nach Gleich. 44 im § 14) und, da die Aenderung Δdφ des von zwei unendlich nahen Tangenten eingeschlossenen Winkels dφ mit dem im § 14 mit dτ bezeichneten Winkel übereinstimmt, um welchen sich ein Stabquerschnitt gegen seinen Nachbarquerschnitt dreht, 〈…〉 ds (nach Gleich. 45 im § 14) also 〈…〉 sec φ.

Es ergiebt sich mithin:107 (62) 〈…〉 , und es lässt sich jetzt die Biegungslinie A''S''B '' für jeden Belastungs - zustand ermitteln. Bedingung ist nur, dass zwischen den Endpunkten A und B des betrachteten Stabstückes kein Gelenk liegt, da der Winkel, welchen die zu beiden Seiten eines Gelenkes an die Bogenachse gelegten Tagenten mit einander bilden, sich im Allgemeinen um einen endlichen Werth ändern wird.

Hervorzuheben ist noch, dass zur Bestimmung der Verschiebungen δ ausser der Linie A''S''B '' die Werthe δ für 2 Punkte der Stabachse A S B gegeben sein müssen, damit die Lage der Geraden A'B 'festgelegt werden kann.

2) Einführung von Einzellasten an Stelle der z-Linie.

Die Stabachse sei durch Punkte, welche Knotenpunkte heissen sollen, in Stücke zerlegt, deren wagerechte Projektionen λ1, λ2, λ3 … λm ..... sind. Zwischen zwei Knotenpunkten werde der Querschnitt des Bogens konstant angenommen und sowohl die Momentenkurve als auch die Bogenachse durch eine gerade Linie ersetzt. Es bezeichne (Fig. 86):

Mm das Biegungsmoment für den mten Knotenpunkt,
- Jm das Trägheitsmoment
- Fm den Inhalt
für den Querschnitt des Bogenstückes (m — 1) m,
sm die Länge der die Punkte (m — 1) und m verbindenden Sehne,
φm den Neigungswinkel dieser Sehne gegen die Wagerechte,
δm die Senkung des Knotenpunktes m (auch Durchbie - gung bei m genannt),
ym die Ordinate von m,
Nm den Mittelwerth der Längskraft für das Bogenstück (m — 1) m,
Jc ein beliebiges, kon - stantes Querschnitts - Trägheitsmoment,
λc eine beliebige, kon - stante Feldweite,

Fig. 86.

und es sei gesetzt Jm cos φm = J'm.

108

Der von den Biegungsmomenten abhängige Theil der Belastungs - linie, um dessen Einfluss auf die Durchbiegungen es sich zunächst handeln möge, besteht aus geraden Linien, und es ist somit die Belastungsfläche für irgend eine Strecke λm ein Trapez, dessen Inhalt mit Tm bezeichnet werden soll. Dieses Trapez ist bestimmt durch die Ordinaten 〈…〉 und 〈…〉 .

Wird nun das der Biegungslinie einbeschriebene Polygon, dessen Ecken senkrecht unter den Knotenpunkten liegen, gesucht, so darf (nach einem hier als bekannt vorausgesetzten Satze aus der Theorie der Biegungs - momente, als welche ja die Durchbiegungen δ aufgefasst werden dürfen) die Belastungsfläche durch eine Schaar von Einzellasten ersetzt werden, welche in die Senkrechten durch die Knotenpunkte fallen. Die durch m gehende Einzellast ist hierbei 〈…〉 , wenn ξm und ξ'm + 1 die Abstände der Schwerpunkte der Trapeze Tm und Tm + 1 von den Senkrechten durch m — 1 und m + 1 bedeuten. Das statische Moment des Trapezes (welches man sich in zwei Dreiecke zer - legt denke) ist 〈…〉 und ebenso folgt 〈…〉 , weshalb entsteht: 〈…〉 .

Für die Vergrösserung, welche diese Einzellast w erfahren muss, wenn der Einfluss der Aenderungen Δs der Strecken s berücksichtigt werden soll, ergiebt sich aus der Fachwerkstheorie der Werth 〈…〉 [nach § 5] ^*)Geht man zur Grenze über, indem man λ durch dx ersetzt, so wird 〈…〉 , und es folgt, wenn die Einzellast wm durch das Element zdx einer Belastungsfläche ersetzt wird, genau wie früher die Ordinate 〈…〉 .und es folgt, wenn (für den Fall t = 0):109 〈…〉 eingeführt wird, im Ganzen 〈…〉 , wobei zur Abkürzung gesetzt wurde: (63) 〈…〉 . Zeichnet man zu den w-Lasten mit dem Polabstande „ Eins “ein Seilpolygon A''S''B '' und trägt die Schlusslinie A'B 'ein, wozu 2 Verschiebungen δ gegeben sein müssen (meistens die Werthe δ0 = 0 und δn = 0), so erhält man die Durchbiegungen δ. Noch besser ist es, die Einzellasten w mittelst der Gleich.

(64) 〈…〉 zu berechnen; man muss dann die Polentfernung „ Eins “durch die Ent - fernung 〈…〉 ersetzen. Wählt man hierfür 〈…〉 , wobei γ eine beliebige runde Zahl ist, so sind die Ordinaten des Seilpolygons gleich den mit γ multiplicirten Durchbiegungen. ^*)Bezüglich der Einheiten ist zu betonen, dass sowohl die Werthe ω und w als auch die Polentfernung � Momente vorstellen.

Wenn der Einfluss einer Temperaturänderung berücksich - tigt werden soll, so muss 〈…〉 an die Stelle von 〈…〉 treten und 〈…〉 „ „ „ „ 〈…〉 (nach Gleich. 62).

Hierbei ist h' = hcosφ die vertikale Projektion der Querschnittshöhe h.

Macht man die Annahme, dass t0 und Δt für sämmtliche Bogen - querschnitte gleich gross sind und bezeichnet den Werth von h' für das mte Feld mit h'm, so findet man leicht, dass die durch die Gleich. (64) gegebene Einzellast wm bei Eintreten einer Temperatur-Aenderung um (65) 〈…〉 vergrössert werden muss. Ist die Bogenachse eine in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte symmetrische Parabel mit dem Pfeile f, so ist (66) 〈…〉 , und es folgt dann bei konstantem λ und h' für alle Knotenpunkte der gleiche Werth110 (67) 〈…〉 ; derselbe ist auch bei flachen Kreisbögen brauchbar.

3) Bestimmung des Integrales: ∫ y 〈…〉 mit Hilfe der Werthe ω. Zuweilen soll gleichzeitig mit den Verschiebungen δ eines Bogenträgers die Aenderung Δl der Stützweite l bestimmt werden. Wird hierzu die im § 17 abgeleitete Gleich. (57) benutzt, so handelt es sich u. A. um die Berechnung des Integrales 〈…〉 , und es möge daher an dieser Stelle gezeigt werden, wie sich dieses Integral durch die bereits bei der Berechnung der δ gebrauchten Werthe ω aus - drücken lässt.

Für das Feld λm ergiebt sich mit den aus Figur 86 zu ersehenden Bezeichnungen: 〈…〉 und 〈…〉 ; denn es sind 〈…〉 und 〈…〉 die statischen Momente des Belastungstrapezes Tm in Bezug auf die Senkrechten durch die Knoten - punkte m und m — 1. Es folgt deshalb für den ganzen Bogen (mit yo = 0 und yn = 0): 〈…〉 , und hierfür kann, mit Beachtung der Entwickelungen auf Seite 108, ge - schrieben werden (68) 〈…〉 .

Fasst man die Werthe ω als Kräfte auf, welche, in den Knoten - punkten 0, 1, … m .... angreifend, parallel zu o̅n̅ sind und zeichnet111 mit dem Polabstande � ein Seilpolygon, dessen äusserste Seiten auf der Geraden o̅n̅ die Strecke e abschneiden, Fig. 87, so ergiebt sich

Fig. 87

u. 88.

Σyω = �e und es folgt, wenn 〈…〉 gewählt wird, wobei γ eine beliebige Zahl bedeutet, 〈…〉 .

〈…〉 stellt eine Linie vor, nämlich die von den Biegungsmomenten herrührende Verlängerung Δl der Stützweite l.

Wendet man die unter 2) und 3) mitgetheilten Verfahren auf die Berechnung der Formänderungen von Bogen - brücken an, so genügt es in der Regel, die Punkte, in denen die senkrechten, zwischen die Fahrbahn und den Bogen eingeschalteten Stäbe die Bogenachse schneiden, als Knoten -

Fig. 89.

punkte in dem vorhin erklärten Sinne anzunehmen. Fig. 89. In der Regel ist die Feldweite λ konstant, und es wird dann λc = λ gesetzt.

4) Biegungslinie für einen Stab mit Zwischengelenken. Liegt im Punkte G der Stabachse (Fig. 90) ein Gelenk, so wird sich der Winkel ϑ, welchen die beiden in G an die angrenzenden Zweige der Stab - achse gelegten Tangenten I und II miteinander bilden, in Folge der Formänderung des Stabes um den sehr kleinen aber endlichen Werth Δϑ ändern. Es müssen dann die in dem senkrecht unter G gelegenen Punkte G' 'an die entsprechenden Zweige A''G' 'und G''B' 'der Biegungslinie gelegten Tangenten I' und II' miteinander den Winkel Δϑ einschliessen. 112Bedeuten α1 und α2 die Neigungswinkel der Tangenten I' und II ', so

Fig. 90.

ergiebt sich α1 — α2 = Δϑ oder, da es sich hier um sehr kleine Formänderungen handelt, tg α1 — tg α2 = Δϑ und hieraus folgt (vergl. Fig. 90, in welcher O den Pol der Seil - linie und L T den Kräftezug vorstellt), dass bei der Verzeich - nung der Seillinie A''S''B '' ausser der stetigen Belastung (z) noch unter jedem Gelenke eine Einzel - last Δϑ anzunehmen ist.

Beispiel. Biegungslinie eines Bogens mit 3 Gelenken. Die Kämpfer A und B seien in senkrechter Richtung unver - schieblich, die Stützweite l gehe in Folge Nachgebens der Widerlager über in l + Δl. Die gesuchte Biegungslinie stimmt mit der Momentenkurve eines einfachen Balkens

Fig. 91.

A1B1 überein, auf welchen eine stetige Belastung mit der durch die Gleich. (62) gegebenen Ordinate z und eine Einzellast Δϑ wirkt. Zu - erst möge Δϑ = 0 angenommen werden; es entsteht dann eine Biegungslinie, die am besten mit Hilfe des unter 2) gegebenen Verfahrens bestimmt wird und deren Ordinate = δ 'sein möge. In Folge von Δϑ wird der Werth δ für einen Punkt D, links vom Scheitel, um 〈…〉 x ver - grössert und für einen Punkt D', rechts vom Scheitel, um 〈…〉 x ',^*)Die auf A1B1 wirkende Einzellast Δϑ erzeugt die Auflagerwiderstände 〈…〉 (bei A1) und 〈…〉 (bei B1) und die Biegungsmomente 〈…〉 x (bei x) und 〈…〉 x '(bei x'). weshalb sich ergiebt:113 〈…〉 , beziehungsweise 〈…〉 .

Hat man nun mittelst der auf Seite 104 entwickelten Gleichung 〈…〉 den Werth Δϑ berechnet, wobei mit Bezugnahme auf Seite 111: 〈…〉 gesetzt werden darf, so vermag man die Verschiebung δ eines jeden Punktes der Stabachse festzustellen.

5) Nicht immer ist es bei Bögen mit Zwischengelenken nöthig, die Aenderungen Δϑ zu berechnen. Ein Beispiel hierfür bietet die Lösung der folgenden (der Aufgabe 2 auf Seite 30 gegenüber zu stellenden) Auf - gabe: Gesucht wird die Biegungsfläche eines über 3 Oeffnungen gespannten kontinuirlichen Bogens mit 4 Gelenken A, D, G und L (Fig. 92). ^*)Bei B und C sind keine Gelenke angeordnet, die einzelnen Bögen sind vielmehr über den Auflagern fest mit einander verbunden. Ein besonderer Fall dieses Bogenträgers ist der bekannte Gerber’sche Balken (auch kon - tinuirlicher Gelenkträger genannt).

Die senkrechten Verschiebungen der Stützpunkte A, B, C, D seien

Fig. 92.

= 0. Es soll, wie unter 2), mit Einzellasten w an Stelle der Belastung z gerechnet werden.

Man zeichne mit der Polentfernung 〈…〉 :

das Momentenpolygon A' N G' für den einfachen Balken A'G 'mit den Lasten w1 bis w5,

Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 8114

das Momentenpolygon G' E L' für den einfachen Balken G'L 'mit den Lasten w6 bis w16 und

das Momentenpolygon L' T D' für den einfachen Balken L'D 'mit den Lasten w17 bis w21,^*)In Fig. 92 wurden die nach Gleich. 64 zu berechnenden Werthe w3 bis w5, w10 bis w12 und w17 und w18 positiv (d. h. abwärts gerichtet), die übrigen w hingegen negativ angenommen.

bringe die Auflagersenkrechten durch B und C mit dem Momenten - polygone G' E L' in B' und C 'zum Schnitte, lege durch B' und C' eine Gerade, welche die Senkrechten durch die Gelenke in G' 'und L'' schneidet und verbinde A' mit G' 'und D' mit L'' durch Geraden. Die zwischen den Momentenpolygonen und dem Linienzuge A'G''L''D 'gelegene Fläche ist die gesuchte Biegungsfläche.

6) Die elastische Linie des geraden Balkens ist ein besonderer Fall der Biegungslinie eines krummen Stabes; ihre Differentialgleichung ist (mit φ = 0) (69) 〈…〉 , und sie stimmt mit einem Seilpolygone überein, welches mit dem Pol - abstande 1 zu einer Belastungslinie, deren Ordinate (70) 〈…〉 ist, gezeichnet wird.

Sind die senkrechten Verschiebungen der Endpunkte A und B des betrachteten Balkenstückes = 0, so lässt sich die elastische Linie als Momentenkurve eines einfachen Balkens A B auffassen, dessen Belastungs - höhe an der Stelle x gleich z ist.

Bei konstantem E J empfiehlt es sich,

Fig. 93.

(71) 〈…〉 zu setzen. Bedeutet dann (M) die Ordinate der durch diese Belastungslinie bedingten Mo - mentenkurve (welche auch die zweite Momentenkurve des Balkens A B heisst), so ist (72) 〈…〉 .

Beispiel. Auf einen Balken mit konstantem E J, Fig. 93, der an den Enden frei aufliegt, wirken zwei Einzellasten P. Es sollen die Durchbiegungen δ an den Stellen x und x1 berechnet werden. Temperaturänderungen Δt seien ausgeschlossen.

115

Die Momentenfläche ist ein Trapez, dessen Höhe = Pa und dessen Inhalt = 2 Pa2 ist; sie wird als Belastungsfläche des einfachen Balkens A'B 'aufgefasst und ruft an dessen Auflagern die Gegendrücke Pa2 hervor. Das zweite Moment für den Querschnitt bei x ist deshalb 〈…〉 und die gesuchte Durchbiegung: 〈…〉 .

An der Stelle x1 findet man das zweite Moment 〈…〉 und die Durchbiegung 〈…〉 .

§ 19. Der Maxwell’sche Satz. Zusätze und Anwendungen.

Wir betrachten ein Stabwerk^*)Wir wählen das deutsche Wort Stabwerk (an Stelle von Stabsystem) mit Rücksicht auf die für besondere Fälle desselben geläufigen Benennungen: Fachwerk, Netzwerk, Gitterwerk., d. i. einen aus geraden und krummen Stäben zusammengesetzten Körper, unter der Voraussetzung, dass die auf Biegung beanspruchten Stäbe den Annahmen des § 13 ent - sprechen, und dass die Stützpunkte fest liegen oder über reibungslose Lagerflächen gleiten, mithin die Auflagerkräfte bei der eintretenden Form - änderung keine Arbeit leisten. Ferner setzen wir voraus, dass in allen Punkten des Stabwerks die dem spannungslosen Anfangszu - stande entsprechende Temperatur herrsche und alle in der Folge er - wähnten Verschiebungsrichtungen von Punkten eines krummen Stabes in der die Achse desselben ent - haltenden Ebene liegen.

Fig. 94.

Die durch irgend welche Aenderungen Δdsv verursachten Ver - schiebungen δ1 und δ2 der Punkte A1 und A2 des Stabwerks nach den Richtungen A1B1 bezieh. A2B2 (Fig. 94) sind nach Gl. (36):8*116 〈…〉 und 〈…〉 , wobei

σ1 diejenige Spannung ist, welche eine in A1 angreifende, nach der Richtung A1B1 wirkende Kraft „ Eins “in irgend einem Quer - schnittselemente des sonst unbelasteten und gewichtslosen Stab - werks hervorbringt und
σ2 diejenige Spannung, welche entsteht, sobald in A2 nach der Richtung A2B2 die Kraft „ Eins “an dem sonst unbelasteten, gewichtslosen Stabwerke angreift.

Wegen 〈…〉 folgt (73) 〈…〉 und 〈…〉 .

Denken wir uns durch A1 und A2 in beliebiger Richtung materielle Linien A1C1 und A2C2 gelegt, die starr mit dem Stabwerke verbunden sind, so werden sich diese in Folge der Formänderung des Stabwerks um gewisse Winkel τ1 und τ2 drehen, welche kurz: Drehung bei A1 bezieh. bei A2 heissen mögen und durch die Gleichungen gegeben sind (74) 〈…〉 und 〈…〉 , wobei, wenn diese Drehungen bezieh. im Sinne C1D1 und C2D2 (Fig. 94) erfolgen,

σ 'diejenige Spannung ist, welche ein in A1 angreifendes, im Sinne C1D1 drehendes Kräftepaar „ Eins “
^*)Unter einem Kräftepaare „ Eins “wird ein solches verstanden, dessen Moment gleich „ Eins “ist.
^*) in irgend einem Querschnitts - elemente des sonst unbelasteten, gewichtslosen Stabwerks hervor - bringt und
σ '' diejenige Spannung, welche entsteht, sobald im Punkte A2 und im Sinne C2D2 ein Kräftepaar „ Eins “das sonst unbelastete, gewichtslose Stabwerk beansprucht.

Die Gleichungen (73) und (74) gelten für beliebige Belastungs - zustände, von denen namentlich die folgenden von Bedeutung sind:

Fall I. Das Stabwerk wird ausschliesslich durch eine in A2 und im Sinne A2B2 angreifende Kraft „ Eins “belastet; es entsteht σ = σ2 und 〈…〉 .

Fall II. Das Stabwerk wird ausschliesslich durch eine in A1 und im Sinne A1B1 angreifende Kraft „ Eins “belastet; es entsteht σ = σ1 und117 〈…〉 .

Fall III. Das Stabwerk wird ausschliesslich durch ein in A2 an - greifendes, im Sinne C2D2 drehendes Kräftepaar „ Eins “belastet; es ent - steht σ = σ '' und 〈…〉 .

Fall IV. Das Stabwerk wird ausschliesslich durch ein in A1 an - greifendes, im Sinne C1D1 drehendes Kräftepaar „ Eins “belastet; es ent - steht σ = σ 'und 〈…〉 .

Da nun δ1 für Fall I = δ2 für Fall II,
τ1 „ „ III = τ2 „ „ IV,
δ1 „ „ III = τ2 „ „ II,
^*)Beim Vergleiche von Drehungen und Verschiebungen hat man sich erstere mit der Längeneinheit multiplicirt zu denken. Die Strecke 1 · τ ist ein Kreisbogen, dessen Radius = 1 und dessen Centriwinkel = τ ist.
^*)
τ1 „ „ I = δ2 „ „ IV,

so ergeben sich die folgenden Sätze (von denen der erste, Maxwell’sche, bereits im § 10 für das Fachwerk bewiesen wurde):

1) Eine im Punkte A1 und im Sinne A1B1 angreifende Kraft „ Eins “verschiebt einen Punkt A2 im Sinne A2B2 um eine Strecke, die ebenso gross ist, wie die Verschiebung, welche der Punkt A1 im Sinne A1B1 durch eine im Punkte A2 und im Sinne A2B2 angreifende Kraft „ Eins “erfährt.

2) Ein im Punkte A1 angreifendes, im Sinne C1D1 drehendes Kräfte - paar „ Eins “erzeugt bei A2 im Sinne C2D2 eine Drehung, die ebenso gross ist, wie die Drehung, welche bei A1 im Sinne C1D1 durch ein im Punkte A2 angreifendes, im Sinne C2D2 drehendes Kräftepaar „ Eins “hervorgebracht wird.

3) Eine im Punkte A1 und im Sinne A1B1 angreifende Kraft „ Eins “erzeugt bei A2 im Sinne C2D2 eine Drehung, die ebenso gross ist, wie die Verschiebung, welche der Punkt A1 im Sinne A1B1 durch ein im Punkte A2 angreifendes und im Sinne C2D2 drehendes Kräftepaar „ Eins “erfährt.

4) Ein im Punkte A1 an - greifendes, im Sinne C1D1 drehendes Kräftepaar „ Eins “verschiebt einen Punkt A2 im Sinne A2B2 um eine Strecke, welche ebenso gross ist, wie die Drehung, welche bei A1 im Sinne C1D1 durch eine in A2 und im Sinne A2B2 angreifende Kraft „ Eins “er - zeugt wird.

Von den folgenden, die Anwendung der vorstehenden Sätze er - läuternden Aufgaben entsprechen die ersten vier genau den im § 10 behandelten.

118

Aufgabe 1. Gesucht ist die Einflusslinie für die Senkung

Fig. 95.

δ eines Punktes D der Achse eines Bogenträgers A S B (Fig. 95).

Wir denken den gewichts - losen Träger nur mit einer in D angreifenden senkrechten Kraft „ Eins “belastet, be - rechnen die hierdurch hervor - gerufenen Auflagerkräfte, Mo - mente M und Längskräfte N und zeichnen nach der im § 18 gegebenen Anleitung die Biegungslinie A'S'B '. Ist nun die unter D1 gemessene Ordinate dieser Linie = η1, so verschiebt die in D gedachte Last „ Eins “den Punkt D1 in senkrechtem Sinne um η1 nach unten, und es wird mithin (nach Satz 1) eine in D1 angreifende Last „ Eins “den Punkt D ebenfalls um η1 senken. Hieraus folgt, dass die Biegungslinie A'S'B' die gesuchte Einflusslinie für die Senkung δ des Punktes D ist. Beispielsweise senken die Lasten P1, P2, P3 den Punkt D um δ = P1η1 + P2η2 + P3η3.

Die Einflusslinie A'S'B 'für die Senkung δ des Punktes D der Achse eines Balkens A B mit veränderlichem Querschnitte (Fig. 96) stimmt

Fig. 96.

mit der Momentenkurve eines ein - fachen Balkens A'B 'überein, dessen Belastungsordinate 〈…〉 ist, wobei M' das Biegungsmoment bedeutet, welches für irgend einen Balkenquerschnitt durch eine in D an - greifende Last „ Eins “erzeugt wird. Die Momentenfläche für diesen Be - lastungsfall ist ein Dreieck A' L B' von der Höhe 〈…〉 .

Für die Anwendung ist, bei konstantem E, zu empfehlen, die Be - lastungshöhe 〈…〉 durch 〈…〉 119zu ersetzen, unter Jc ein beliebiges aber konstantes Querschnitts-Träg - heitsmoment verstanden. Die Momentenkurve A' S' B' ist dann nicht mehr die Einflusslinie für die Verschiebung δ, sondern für den Werth E Jcδ, und man erhalt für die Belastung in Fig. 96 δ = 〈…〉 .

Aufgabe 2. Gesucht ist die Einflusslinie für den Gegen - druck X der Mittelstütze eines geraden kontinuirlichen Balkens mit veränderlichem Querschnitte und mit 3 gleich hohen Stützpunkten. Fig. 97.

Beseitigung der Mittelstütze führt zu dem statisch bestimmten Balken A B. Für diesen wird, unter der Voraussetzung, dass bei C eine senkrechte, abwärts gerichtete Last „ Eins “angreift, die Momenten - fläche A' D B' gezeichnet (Dreieck mit der Höhe 〈…〉 ) und hierauf wird eine Linie A' D' B' aufgetragen, deren Gleichung z = 〈…〉 lautet, wobei J das wirkliche, ver - änderlich angenommene und Jc ein

Fig. 97.

beliebiges aber konstantes Querschnitts-Trägheitsmoment bedeuten. Fasst man diese Linie A' D' B' als Belastungslinie eines einfachen Balkens A' B' auf und zeichnet die zugehörige Momentenkurve A' S B', so ist diese (nach Aufgabe 1) die Einflusslinie für die mit E Jc multiplicirte Senkung des Punktes C. Wirken also auf den Balken A B (ausser den in A und B hervorgerufenen Auflagerkräften) die beiden Kräfte P und X, und misst man unter P die Ordinate η und unter X die Ordinate c, so ergiebt sich die Senkung δ des Punktes C: δ = 〈…〉 , und es folgt aus der Bedingung δ = 0 der Werth X = 〈…〉 .

Es ist mithin die Linie A' S B' die gesuchte Einflusslinie für den Gegendruck X, und 〈…〉 ist der Multiplikator für diese Linie.

Da es bei der Bestimmung von X nur auf das gegenseitige Ver - hältniss von η und c ankommt, so darf die Höhe des Dreiecks A' D B'120 beliebig gross gewählt werden, und weiter darf die Linie A' S B' ein mit beliebigem Polabstande gezeichnetes Seilpolygon sein.

Aufgabe 3. Gesucht sind die Einflusslinien für die Gegen - drücke X 'und X' 'der Mittelstützen eines wagerechten kon - tinuirlichen Balkens mit veränderlichem Querschnitte und mit 4 gleich hohen Stützpunkten.

Werden die beiden Mittelstützen beseitigt, so entsteht ein einfacher

Fig. 98.

Balken A D; die Punkte B und C desselben mögen sich um δ 'und δ' 'senken. Die Einflusslinie für den Werth E Jc δ' (wobei Jc ein beliebiges Quer - schnitts-Trägheitsmo - ment bedeutet) stimmt mit der Momentenkurve A' N D' eines einfachen Balkens A' D' überein, dessen Belastungslinie A' L' D' man erhält, wenn man den Balken A D im Punkte B mit der senk - rechten Kraft „ Eins “belastet, die dieser Be - lastung entsprechende Momentenfläche A' L D' (Dreieck mit der Höhe L B' = 〈…〉 ) zeichnet und hierauf die Momente M' mit 〈…〉 multiplicirt; man erhält die Belastungsordinaten z '= 〈…〉 .

In gleicher Weise wird die Einflusslinie A' O D' für den Werth E Jc δ '' gefunden; es wird nach Auftragen des Dreiecks A' T D', dessen Höhe 〈…〉 ist, die Belastungslinie A' T' D' mit der Gleichung z '' = 〈…〉 ermittelt und die zugehörige Momentenkurve A' O D' gezeichnet.

Wirken nun auf den Balken A D (ausser den bei A und B hervor - gerufenen Auflagerkräften) die drei senkrechten Kräfte P, X 'und X' ', so ergeben sich, mit den aus der Fig. 98 ersichtlichen Bezeichnungen, bei B und C die Durchbiegungen121 δ' = 〈…〉 und δ '' = 〈…〉 , und es folgen aus den Bedingungen δ '= 0 und δ' '= 0 die beiden Gleichungen X' c '+ X' 'c' '= P η' X 'd' + X' 'd'' = P η '', aus denen sich die folgende Konstruktion der Einflussfläche für X 'ab - leiten lässt. ^*)Vergl. Seite 43 und 44.

Man zeichne zu der Belastungslinie A' L' D' mit beliebig gewähltem Polabstande ein Seilpolygon (I), welches die Senkrechten durch die Stütz - punkte A, C, D in A0, C0, D0 schneiden möge und hierauf zu der Belastungslinie A' T' D' ein durch die 3 Punkte A0, C0 und D0 gehendes Seilpolygon (II). Die Fläche zwischen den Seilpolygonen (I) und (II) ist die Einflussfläche für X '. Misst man unter P und X' beziehungs - weise die Ordinaten η und c, so ist X '= 〈…〉 .

Die Höhen der Dreiecke A' L D' und A' T D', deren Ordinaten M' und M' 'mit 〈…〉 multiplicirt die Belastungsordinaten z 'und z' 'liefern, dürfen, da es bei der Berechnung von X' nur auf das gegenseitige Ver - hältniss von η und c ankommt, beliebig gross gewählt werden.

Ganz ebenso wird die Einflussfläche für X '' gefunden.

Aufgabe 4. Gesucht ist der Horizontalschub X eines Bogen - trägers mit 2 (an den Kämpfern gelegenen) Gelenken. Fig. 99. Es handele sich um den Einfluss einer über den Träger wandernden Last P, einer gleichmässigen Erwärmung und eines Nach - gebens der Widerlager.

Zuerst wird angenommen, dass auf den Bogen nur zwei in A und B angreifende, nach aussen gerichtete, wagerechte Kräfte „ Eins “wirken (Zustand X = — 1). Die Sehnenlänge l vergrössert sich hierbei nach Gleich. 58 a um

Fig. 99.

ξ = 〈…〉 ,122 und es entsteht eine Biegungslinie A' S B', welche als die Momentenkurve eines einfachen Balkens A' B' aufgefasst werden darf, dessen Belastungs - ordinate, nach Gleich. 62 und mit Vernachlässigung von N, stets ge - nügend genau: z = 〈…〉 gesetzt werden darf; denn es ist M = y · 1.

Mit Hilfe des Maxwell’schen Satzes lassen sich jetzt folgende Schlüsse ziehen, wobei δ 'die unter der Last P gemessene Ordinate der Biegungs - linie A' S B' und D den Angriffspunkt von P bezeichnen möge.

1) Die in A und B wirksamen wagerechten Kräfte 1 verschieben den Punkt D um δ 'nach abwärts, mithin wird eine in D an - greifende Last „ Eins “eine Vergrösserung der Stützweite l um δ' hervorbringen, und eine in D angreifende Last P wird Δ l = P δ 'erzeugen.
2) Der Horizontalschub X verursacht für sich allein Δ l = — X ξ.
3) Eine gleichmässige Aenderung der Anfangstemperatur um t be - dingt Δ l = ε tl.
4) Soll sich bei gleichzeitigem Wirken von P und X sowie der Temperaturänderung die Stützweite l um einen vorgeschriebenen Werth Δ l ändern, so besteht die Bedingung

Δ l = P δ '— X ξ + ε tl, und aus dieser ergiebt sich der für einen beliebig geformten Bogen giftige Werth (I) X = 〈…〉 .

Für einen flachen Parabelbogen mit konstantem E J cos φ ist, wenn J cos φ = J 'gesetzt wird, nach Gleich. (58 b): ζ = 〈…〉 und z = 〈…〉 sec φ = 〈…〉 .

Die Differentialgleichung der Biegungslinie A' S B' lautet 〈…〉 d. h. 〈…〉 ; ihre Integration liefert 〈…〉 , 〈…〉 .

Aus den Bedingungen: x = 0 muss liefern δ = 0 x = l „ „ δ = 0 ergeben sich die Integrationskonstanten123 C1 = 〈…〉 und C2 = 0 und es folgt die Gleichung (75) δ = 〈…〉 , so dass unter der bei a gelegenen Last P die Ordinate (76) δ '= 〈…〉 gemessen wird. Bei Berechnung der im Hochbau und Brückenbau vor - kommenden Parabelbögen ist es stets zulässig, den veränderlichen Werth l2 + l a — a2 durch einen konstanten Mittelwerth zu ersetzen; derselbe ist (nach der Methode der kleinsten Quadrate) 〈…〉 , und es folgt somit (77) δ '= 〈…〉 .

Die für X abgeleitete Gleichung (I) geht über in X = 〈…〉 , wobei f1 = 〈…〉 .

Eine Aenderung der Temperatur und eine Verschiebung der Widerlager erzeugen hiernach X = 〈…〉 , und der Einfluss der Last P ist (wenn 〈…〉 auf 〈…〉 abgerundet wird) X = 〈…〉 .

Hiernach ist die Einflusslinie für X eine Parabel, deren bei a = b = 〈…〉 gelegener Pfeil = 〈…〉 ist. An Stelle von f1 darf auch (genügend genau) f gesetzt werden. ^*)Eine andere Ableitung der Formel X = 〈…〉 findet sich bei Müller - Breslau, Theorie und Berechnung der eisernen Bogenbrücken, Berlin 1880, Seite 31.

Aufgabe 5. Ein ursprünglich wagerechter Stab konstanten Quer - schnitts liegt bei A frei auf und ist bei B unter dem Winkel τ1 ein - gespannt. Es soll das durch eine senkrechte Einzellast P hervorgerufene Einspannungsmoment M1 bestimmt werden. Fig. 100.

Wir betrachten zunächst den bei A und B frei aufliegenden, nur durch ein in B angreifendes Kräftepaar, dessen Moment = 1 ist, be - lasteten Stab (Zustand M1 = 1) und berechnen die bei a entstehende Durch - biegung δ, sowie den Neigungswinkel τ der in B an die elastische Linie124 gelegten Tangente. Die Momentenfläche ist ein Dreieck A L B mit der

Fig. 100.

Höhe L̅ B̅ = 1; fasst man sie als Belastungsfläche eines einfachen Balkens A B auf, so entstehen die Stützendrücke (A) = 〈…〉 und (B) = 〈…〉 und, an der Stelle a, das zweite Moment (vergleiche Seite 114): (M) = 〈…〉 ; es ist mithin δ = 〈…〉 .

Weiter ergiebt sich τ = 〈…〉 . ^*)Da E J δ als Biegungsmoment aufgefasst werden darf, so lässt sich E J τ = E J 〈…〉 als Querkraft (Vertikalkraft) deuten. Es folgt dann (Fig. 100): E J τ = (B) und ebenso E J τ '= (A).

Der vierte der vorhin bewiesenen Sätze gestattet jetzt folgende Schlüsse:

Ein bei B angreifendes, links drehendes Kräftepaar „ Eins “senkt den Punkt D und δ, folglich verursacht eine in D wirksame Last „ Eins “bei B eine Links-Drehung δ, und eine Last P erzeugt die Drehung P δ.

Da nun das Moment M1 für sich allein die Drehung M1 τ bewirkt, so entsteht im Ganzen die Drehung τ1 = P τ + M1 τ, und es folgt hieraus, bei vorgeschriebenem τ1, das gesuchte Einspannungs - moment: M1 = 〈…〉 d. i. M1 = 〈…〉 .

125

§ 20. Allgemeine Untersuchung des Einflusses einer Einzellast auf die statisch nicht bestimmbaren Grössen X.

Wir betrachten ein Stabwerk, auf welches nur eine Last P wirkt und suchen die statisch nicht bestimmbaren Grössen X ', X' '.... für eine beliebige Lage dieser Last unter der Annahme zu ermitteln, dass bezüglich der auf Biegungsfestigkeit in Anspruch genommenen Stäbe die Voraussetzungen des § 13 zutreffen.

Die Gleichungen: L' = 〈…〉 , L' '= 〈…〉 , ..............., welche auf Seite 60 für den Fall abgeleitet wurden, dass die Spannungen σ in der Form σ = σ0 + σ 'X' + σ '' X '' + ...... darstellbar sind, lassen sich, wenn der die Unbekannten X enthaltende Theil von σ mit σx bezeichnet und σ = σ0 + σx gesetzt wird, schreiben: (78) 〈…〉

Die von den Spannungen σ0 abhängigen Integrale erstrecken sich über den statisch bestimmten Hauptträger, in welchen das be - trachtete Stabwerk im Falle des Verschwindens sämmtlicher Unbekannten X übergeht; sie lassen sich in folgender Weise deuten:

Bezeichnet, für irgend einen Spannungszustand des Hauptträgers, δ die unter der Annahme unverrückbarer oder über reibungslose Lager gleitender Stützpunkte und für den Fall t = 0 bestimmte Verschiebung des Angriffspunktes von P, so besteht, da P die Spannungen σ0 hervor - bringt, zwischen σ und den Formänderungen Δ d sv = 〈…〉 d sv die Be - ziehung (Arbeitsgleichung) P δ = 〈…〉 , und es ergiebt sich insbesondere für die dem Zustande X '= 1 ent - sprechende Verschiebung δ' die Gleichung126 (79) 〈…〉 wobei δ '', δ '' ', .... die bezieh. durch die Spannungen σ' ', σ' '', .... (entsprechend den Zuständen X '' = 1, X '' '= 1, ....) hervorgebrachten Verschiebungen des Angriffspunktes von P bedeuten.

Die Bedingungsgleichungen (78) gehen jetzt über in: (80) 〈…〉 sie mögen für den Fall weiter umgeformt werden, dass für die auf Biegungsfestigkeit beanspruchten Stäbe die Spannungen σ nach Gleich. 40 (§ 14) berechnet werden dürfen, und die Temperaturänderung innerhalb eines Querschnittes dem in Fig. 49 dargestellten Gesetze folgt. Es ergiebt sich dann (vergl. die im § 15 unter 1 durchgeführten Integrationen):^*)Wir schreiben jetzt d s an Stelle von d x. 〈…〉 und 〈…〉 ; dabei wird angenommen, dass die Längskraft N und das Biegungsmoment M durch die Gleichungen N = N0 + N' X '+ N'' X '' + .... und M = M0 + M' X '+ M'' X '' + ..... gegeben sind und für die von X abhängigen Theile von N und M die Abkürzungen Nx = N' X '+ N'' X '' + … Mx = M' X '+ M'' X '' + .... eingeführt werden.

Für die Fachwerkstäbe ist, wenn die Temperaturänderung in allen Punkten eines Stabes den gleichen Werth t annimmt, 〈…〉 , wobei die Spannkraft S in der Form S = S0 + S' X '+ S'' X '' + ..... dargestellt sein muss und127 Sx = S' X '+ S'' X '' + ..... den von den Unbekannten X abhängigen Theil der Spannkraft S angiebt.

Die Gleichungen (80) gehen jetzt über in (81) 〈…〉 sie ermöglichen u. A. die Berechnung der Einflusslinien für die Grössen X ', X' ', ..... ebener Stabwerke auf die Er - mittelung von Biegungslinien für stets sehr einfache Be - lastungsfälle zurückzuführen, da alle in den Gleichungen (81) stehenden Integrale von der Lage der Last P unabhängig sind und nur einmal berechnet zu werden brauchen.

Ist das Stabwerk nur einfach statisch unbestimmt, d. h. tritt nur eine Unbekannte X auf, so folgt N = N0 + N' X, M = M0 + M' X, S = S0 + S' X also Nx = N' X, Mx = M' X, Sx = S' X und es ergiebt sich dann aus der ersten der Gleichungen (81) der Werth (82) X = 〈…〉 .

Aufgabe 1. Gesucht ist die Einflusslinie für den Horizon - talschub X eines kontinuirlichen Bogenträgers mit 3 Oeff - nungen. Die einzelnen Bögen sind bei B und C starr miteinander verbunden; bei A und D, G und L sind Gelenke angeordnet. Ueber den Mittelpfeilern liegen wagerechte Gleitlager, weshalb die Gegendrücke B und C der Mittelstützen senkrecht wirken. Die Veränderlichkeit des Bogenquerschnittes soll berücksichtigt werden; sodann ist anzunehmen, dass der Bogen gleichmässig um t erwärmt wird, und, in Folge eines Nachgebens der Widerlager, l in l + Δ l übergeht, während sich die Mittelstützen um die sehr kleinen Strecken δ1 und δ2 senken.

Der Bogenträger ist einfach statisch unbestimmt; er geht im Falle X = 0 in einen Gerber’schen Balken über, für den sich die Biegungs - momente M0 und Längskräfte N0 leicht berechnen lassen.

128

Um die Unbekannte X mittelst der aus der Gleich. (82) folgenden Formel (I) X = 〈…〉 ^*)Da Fachwerkstäbe nicht vorkommen, so fallen die Glieder Σ in Gleich. 82 fort; ferner ist, wegen der hier vorausgesetzten gleichmässigen Erwärmung Δ t = 0 und t0 = t zu setzen.bestimmen zu können, muss zunächst der Zustand X = 1, welchem die

Fig. 101 — 104.

Momente M' und Längskräfte N' entsprechen, untersucht werden. Dieser Zustand ist in Fig. 102 dargestellt. Ausser dem Horizontalschube „ Eins “wirken noch senkrechte Auflagerkräfte 1 · 〈…〉 , denn es müssen, damit sich die Bogenstücke A G und L D nicht um die Gelenke G und L drehen, die Kämpferdrücke durch diese Gelenke gehen. Der Linienzug A R T D ist (mit der Ausdrucksweise der graphischen Statik) das dem Zustande X = 1 entsprechende Mittelkraftspolygon, und es ergiebt sich für irgend einen Querschnitt des Bogenträgers das Biegungsmoment M' = 1 · y, wobei y den senkrechten Abstand des Querschnitts-Schwerpunktes vom Mittelkraftspolygone bezeichnet. Die in Fig. 102 schraffirte Fläche ist somit die dem Zustande X = 1 entsprechende Momentenfläche; der mittlere Theil derselben ist positiv.

129

Ist φ der Neigungswinkel der Tangente an die Stabachse gegen die Wagerechte, so ist die Längskraft für den Querschnitt durch den Be - rührungspunkt:

1) innerhalb einer Aussenöffnung: N' = — 1 · cos φ — 1 · 〈…〉 sin φ,
2) „ der Mittelöffnung: N' = — 1 · cos φ.

Da nun das über eine Aussenöffnung ausgedehnte Integral ∫ d s sin φ = ∫ d y1 = 0 ist, weil B und A, desgl. C und D gleich hoch liegen, so folgt ∫ N' d s = — ∫ cos φ d s = — (l1 + l2 + l1) = — l.

Die virtuelle Arbeit L' der Auflagerkräfte ist, für den Zustand X = 1 und bei den hier vorgeschriebenen Bewegungen der Stützpunkte: L' = 〈…〉 und es entsteht, wenn Zähler und Nenner des Werthes für X (Gleichung I) mit E Jc multiplicirt werden (unter Jc ein beliebiges, konstantes Quer - schnitts-Trägheitsmoment verstanden) und die Bezeichnung J cos φ = J 'eingeführt wird: X = 〈…〉 , wobei � = 〈…〉 .

Das erste Glied von � ist gegen das zweite stets geringfügig, und es genügt, dasselbe angenähert zu berechnen. Man setze für alle drei Oeffnungen: N' = — 1 · cos φ und nehme für F sec φ einen konstanten Mittelwerth Fc an; es entsteht dann 〈…〉 und � = 〈…〉 ^*)Wenn der Querschnitt nicht sehr stark veränderlich ist, ist es auch zulässig, für J '(wenigstens innerhalb der einzelnen Oeffnungen) einen kon - stanten Mittelwerth zu setzen.

Nach Berechnung von � braucht man, um X bestimmen zu können, nur noch δ 'anzugeben.

Es bedeutet δ 'die unter der Last P gemessene Ordinate der fürMüller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 9130den Zustand X = 1 gezeichneten Biegungslinie, deren Differential - gleichung 〈…〉 sec 〈…〉 unter Vernachlässigung des ganz unwesentlichen Gliedes 〈…〉 in 〈…〉 vereinfacht werden darf. Es folgt dann, wenn an Stelle der Linie mit der Ordinate δ 'diejenige mit der Ordinate E Jc δ' = η gesucht wird, 〈…〉 , und es ergiebt sich nun im Anschlusse an die Entwickelungen des § 18 (wobei namentlich auf die Aufgabe unter 5 zu achten ist) die folgende Darstellung der η-Linie.

Man bestimmt die Belastungslinie z = 〈…〉 , wobei es sich empfiehlt (damit die Gleichung — E Jc δ '= η besteht), das Vorzeichen der y um - zukehren und die y zwischen G und L negativ anzunehmen. Hierauf fasst man die in Fig. 103 mit I bezeichneten Flächen als Belastungs - flächen einfacher Balken A' G' und L' D' auf, die mit II bezeichnete als Belastungsfläche eines einfachen Balkens G' L' und zeichnet die zuge - hörigen Momentenkurven A'' S G' ', G'' Q L' 'und L'' K D' '. Nachdem hierauf die Senkrechten durch die Stützpunkte B und C mit der Momenten - kurve G'' Q L' 'in B1 und C1 zum Schnitte gebracht worden sind, wird der Linienzug A'' G1 L1 D' 'eingetragen, dessen Eckpunkte G1 und L1 senkrecht unter den Gelenken liegen. Misst man nun unter der Last P den senkrechten Abstand der Momentenkurve von dem Linienzuge A'' G1 L1 D' ', so besteht zwischen η und δ' die Beziehung — E Jc δ '= η und es ergiebt sich der durch die Last P hervorgebrachte Horizontalschub X = 〈…〉 .

Sind die Momentenkurven A' 'S G'', G' 'Q L'', L' 'K D'' Seilpolygone, und ist der Polabstand = �, so folgt X = P η.

Es ist dann die Fläche zwischen den Seilpolygonen und dem Linien - zuge A' 'G1 L1 D'' die Einflussfläche für X. Lasten zwischen B und C erzeugen ein negatives X.

Besonders empfehlenswerth für den vorliegenden Fall ist die auf Seite 107 gelehrte Einführung von Einzellasten an Stelle der Belastungsflächen I und II. 131Vergl. auch Fig. 92. Wegen M' = 1 · y erhält man, wenn der Einfluss der Längskräfte N auf die Werthe η vernachlässigt wird, nach Gleich. (64) und (63) die im Knotenpunkte m anzunehmende Einzellast wm = ωm = 〈…〉 , wobei λc eine beliebige konstante Feldweite vorstellt. Zeichnet man zu diesen Lasten w (welche zwischen G und L nach aufwärts, hingegen links von G und rechts von L nach abwärts wirkend anzunehmen sind) die einfachen Momenten - kurven A' 'S G'', G' 'Q L'' und L' 'K D'' (Fig. 104), trägt den Linienzug A' 'G1 L1 D'' ein und misst unter P die Ordinate η, so besteht die Beziehung — 〈…〉 = η und es folgt X = 〈…〉 .

Nun ist 〈…〉 (nach Gleich. 68) und 〈…〉 , mithin 〈…〉 , und man erhält, wenn a eine beliebig lange Strecke bedeutet, X = 〈…〉 , wobei � = 〈…〉 .

Sind die Linien A' 'S G'', G' 'Q L'', L' 'K D'' Seilpolygone, welche zu den Lasten w mit der Polentfernung � gezeichnet wurden, so ist X = 〈…〉 und, wenn die Lasteinheit P durch eine Strecke von der Länge a dargestellt wird (Kräftemaassstab): X = η.

Zu beachten ist, dass sowohl die Polentfernung � als auch die Lasten w „ Strecken “vorstellen, welche in beliebigem (vom Längenmaassstabe der Zeich - nung unabhängigen) Maassstabe aufgetragen werden dürfen. Meistens ist λ konstant; man wählt dann λc = wirkliche Feldweite und erhält 〈…〉 = 1. Ist ausserdem die Annahme: J '= Konst. zulässig, so wählt man Jc gleich dem Mittelwerthe von J' und hat dann sehr einfach wm = 〈…〉 .

Bei kleiner Feldweite ist genügend genau wm = ym.

Aufgabe 2. Eine auf Pendelpfeilern ruhende Kette sei durch senkrechte Stäbe mit einem Bogen verbunden, welcher an den Kämpfern Gelenke besitzt. Auf den Bogen wirke eine Last P. Es soll der Horizontalzug X 'der Kette und der Horizontalschub X' 'des Bogens unter der Voraussetzung berechnet werden, dass sich die Stützpunkte um beobachtete kleine Strecken verschieben und eine gleichmässige Erhöhung der Anfangstemperatur um t stattfindet. Fig. 105.

Zunächst müssen die Spannkräfte in den Fachwerkstäben, sowie9*132die den Bogen beanspruchenden Biegungsmomente M und Längskräfte N durch die Last P und die Unbekannten X 'und X' 'ausgedrückt werden.

a) Die Fachwerkstäbe. Es ergiebt sich für irgend ein Glied

Fig. 105.

der Kette, wenn α den Neigungswinkel desselben gegen die Wagerechte bedeutet: (I) S = X 'sec α und für irgend eine Hängestange G R, wenn αl und αr die links und rechts von G R gelegenen Winkel α bedeuten: (II) S = X' (tg αl — tg αr). Für den linken Pendelpfeiler ist (III) S = — X '(tg α1 + tg α2) und für den rechten: (IIIa) S = — X' (tg αn — 1 + tg αn).

b) Der Bogen. Die senkrechten Auflagerdrücke bei A und B133 seien = A bezieh. = B; sie mögen die Kette in L und T schneiden. Die Gerade L T heisse die Schlusslinie, und es sei an der Stelle x der senkrechte Abstand der Kette von der Schlusslinie = y' und die Ordinate des Bogens = y' '. Bei L denken wir die Kette durchge - schnitten, zerlegen die Spannkraft X' sec α2 des geschnittenen Ketten - gliedes in die Seitenkräfte Q' (in der Richtung der Schlusslinie) und Q' '(senkrecht) und schreiben die Momentengleichung für den Punkt T an; sie lautet (IV) (A + Q'') l — P b = 0, und liefert A + Q' '= 〈…〉 . Nun führen wir an der Stelle x einen senkrechten Schnitt, welcher Bogen, Kette und Schlusslinie in D, K und U trifft, verlegen Q' von L nach U, zerlegen sowohl Q' als auch die Spannkraft S des vom Schnitte D U getroffenen Kettengliedes in eine senkrechte und eine wagerechte Seitenkraft (welche letztere = X 'ist) und finden, wenn x < a ist, das Biegungsmoment für den Bogen - querschnitt bei D: M = (A + Q'') x — X 'y' — X' 'y'' d. i. M = 〈…〉 x — X 'y' — X' 'y'', während im Falle x > a M = 〈…〉 x '— X' y' — X '' y' 'erhalten wird, weshalb allgemein gesetzt werden darf (V) M = M0 — X' y' — X '' y' ', wobei M0 = Biegungsmoment für einen bei A und B frei aufliegenden, mit P belasteten Balken A S B.

Die Momentengleichung (IV) für den Punkt T lässt sich auch, nach der (in Fig. 105 nicht angegebenen) Zerlegung von X 'sec α2 in X' (wagerecht) und X 'tg α2 (senkrecht) in der Form schreiben: (A + X' tg α2) l — X 'c — P b = 0; sie liefert dann den senkrechten Gegendruck des Bogenwiderlagers (VI) A = 〈…〉 , und ebenso lässt sich ableiten (VII) B = 〈…〉 , wobei αn — 1 den spitzen Neigungswinkel des vom Schnitte B T getrof - fenen Kettengliedes ist.

Die Summe der auf das Bogenstück A D wirkenden senkrechten Kräfte ist nun für x < a:134 V = 〈…〉 und für x > a V = 〈…〉 , weshalb man setzen kann (VIII) V = V0 — X ' 〈…〉 , unter V0 die Querkraft (Vertikalkraft) für den Querschnitt x eines ein - fachen Balkens A B verstanden.

Da die Summe der auf das Bogenstück A D wirkenden wagerechten Kräfte = X '' ist, so ergiebt sich nach Gl. (56) für den Bogenquerschnitt bei D die Längskraft (IX) N = 〈…〉 .

φ bedeutet den Neigungswinkel der in D an die Bogenachse ge - legten Tangente gegen die Wagerechte.

Durch die abgeleiteten Gleichungen ist die Berechnung der In - anspruchnahme unseres Stabwerks auf diejenige von X 'und X' 'zurück - geführt.

c) Bestimmung von X 'und X' '. Es sollen die Gleichungen (81) benutzt werden; dieselben gehen, wegen Δ t = 0, t0 = t und S'' = 0^*)In den für die Spannkräfte S gefundenen Ausdrücken ist die Unbekannte X '' nicht enthalten., nach Multiplikation mit E Jc^**)Jc bedeutet, wie früher, ein beliebiges, konstantes Trägheitsmoment. und mit der Bezeichnung J cos φ = J 'über in: E Jc L' = 〈…〉 E Jc L' '= 〈…〉 , und hierein ist zu setzen für den Bogen: Mx = — X 'y' — X' 'y''; Nx = + X ' 〈…〉 sin φ — X '' cos φ M' = — y'; N' = 〈…〉 sin φ (Zustand X '= 1) M'' = — y' '; N'' = — cos φ; (Zustand X '' = 1) und für sämtliche Fachwerkstäbe: Sx = S' X ', wobei S' bez. den Koefficienten von X' in den Gleichungen I bis III bedeutet.

135

Mit der stets zulässigen Vernachlässigung des fast einflusslosen Werthes N', sowie des ersten Gliedes des Ausdruckes für Nx, ergeben sich zur Berechnung von X 'und X' 'die Gleichungen: (X) 〈…〉 ^*)Es bedeutet, wie in Aufgabe 1, Fc den konstanten Mittelwerth aus den veränderlichen Werthen F sec φ, wobei F = Querschnitt des Bogens an der Stelle x.

Die Summen Σ erstrecken sich über Kette, Hängenstangen und Pendelpfeiler und die Integrale über den ganzen Bogen.

Um die virtuellen Arbeiten L' und L' 'der Auflagerkräfte zu be - rechnen, nehmen wir die Wagerechte durch die Punkte A und B relativ festliegend an und bezeichnen die Verschiebungen der Stützpunkte N1 und N2 im Sinne von N1 E1 bezieh. N2 E2 mit ξ1 und ξ2, die Senkungen der Punkte N3 und N4 mit ξ3 und ξ4 und die Vergrösserung der Stütz - weite l mit Δ l. Es ist dann die von den Stützendrücken X' ', C1 = X' sec α1, C2 = X 'sec αn, C3 = X' (tg α1 + tg α2), C4 = X '(tg αn — 1 + tg αn) geleistete virtuelle Arbeit: � = — X' 'Δ l — X' sec α1 · ξ1 — X 'sec αn · ξ2 — X' (tg α1 + tg α2) ξ3 — X '(tg αn — 1 + tg αn) ξ4 und es folgt für den Zustand X' = 1: (XI) L' = — ξ1 sec α1 — ξ2 sec αn — ξ3 (tg α1 + tg α2) — ξ4 (tg αn — 1 + tg αn) und für den Zustand X '' = 1 (XII) L' '= l.

δ 'und δ' 'sind die unter der Last P gemessenen Ordinaten der für die Zustände X' = 1 und X '' = 1 zu zeichnenden Biegungslinien eines bei A und B frei aufliegenden Balkens A S B (des Hauptträgers unseres Stabwerks); sie können mit Hilfe ihrer Differentialgleichungen: (XIII) 〈…〉 berechnet oder nach der im § 18 gegebenen Anleitung auf graphischem136 Wege gefunden werden, während sich die in den Gleichungen (X) vor - kommenden Integrale u. A. mittelst der Simpson’schen Formel er - mitteln lassen. ^*)In den Gleichungen XIII dürfen die von N' und N' 'abhängigen Glieder stets vernachlässigt werden.

Formeln für die durch einen Parabelbogen versteifte parabo - lische Kette. Sind f 'und f' 'die Werthe von y' und y'' bei x = ½ l, so ist y' = 〈…〉 und y' '= 〈…〉 und es folgt, wenn J '= J cos φ durch einen konstanten Mittelwerth Jc ersetzt wird, (XIV) 〈…〉 .

Die Gleichungen XIII gehen, mit Vernachlässigung der unwesentlichen, von N' und N' 'abhängigen Glieder, über in 〈…〉 und 〈…〉 , und es ergeben sich nach Gleich. (76) bei x = a die Ordinaten δ '= 〈…〉 und δ '' = 〈…〉 , wofür stets gesetzt werden darf (Gleich. 77): (XV) δ '= 〈…〉 und δ '' = 〈…〉 .

Bei Berechnung der Summen Σ 〈…〉 und Σ S' s ist es stets zulässig, nur die Spannkräfte S' der Kette zu berücksichtigen; dieselben sind für die unter α1, α2 ..... αn geneigten Stäbe bezieh. 1 · sec α1, 1 · sec α2, ......, 1 · sec αn, so dass sich, wenn der Querschnitt der Kette dem Gesetze F = Fs sec α folgt, wobei Fs = Querschnitt der Kette im Scheitel, 〈…〉 ergiebt, und hierfür darf bei Annahme einer von L bis T stetig gekrümmten Kette und wenn y den Abstand des bei x gelegenen Kettenpunktes von der Wagerechten durch L bezeichnet, gesetzt werden 〈…〉〈…〉 . ^**)Es ist hierbei die Dehnung der Stücke E1 L und T E2 der Kette ver - nachlässigt worden.

137

Bedeutet c den Höhenunterschied der Punkte L und T, so ist y = y' 〈…〉 , und es folgt somit (nach Ausführung der Inte - gration): (XVI) 〈…〉 .

Werden die Werthe aus XIV, XV, XVI in X eingefuhrt und letztere Gleichungen nach X 'und X' 'aufgelöst, so ergeben sich mit den Bezeichnungen: (XVII) 〈…〉 und wenn (wie auf Seite 123) 35 / 48 auf ¾ abgerundet wird, folgende Ausdrücke für X 'und X' ':

Die Last P erzeugt: (XVIII) X '= 〈…〉 und X '' = 〈…〉 , die gleichmässige Erwärmung verursacht: (XIX) 〈…〉 und eine Verschiebung der Stützpunkte bringt hervor (XX) X '= 〈…〉 und X '' = 〈…〉 , wobei L' und L' 'durch die Gleich. XI und XII gegeben sind.

Trägt man die Parabeln A' W' B' und A' 'W'' B' 'auf, deren Pfeilhöhen beziehungsweise h' = 〈…〉 und h' '= 〈…〉 sind und bezeichnet die unter der Last P gemessenen Ordinaten dieser Parabeln mit η 'und η' ', so findet man, dass X' = Pη 'und X' '= Pη' 'gesetzt werden darf. Die Parabeln A W' B und A W'' B sind demnach die ge - suchten Einflusslinien für X 'und X' '.

Horizontalzug der durch einen Balken versteiften parabolischen Kette. Ordnet man bei A ein wagerechtes Gleitlager (das aber auch negative Stützenwiderstände aufzunehmen im Stande sein muss) an, so ist X '' = 0. Der Horizontalzug X 'der Kette muss der Gleichung genügen (vergl. X): E Jc L' = 〈…〉 , und aus dieser folgt mit den durch die Gleichungen XIV und XV gegebenen Werthen: X '= 〈…〉 , wobei138 ω = 〈…〉 ist, während L' durch die Gleich. XI bestimmt ist.

Den durch die Last P hervorgerufenen Horizontalzug kann man auch setzen: X '= Pη', wenn η 'die unter P gemessene Ordinate einer Parabel A' W' B' bedeutet, deren Pfeil h' = 〈…〉 ist.

§ 21. Fortsetzung.

Für den Fall, dass sämmtliche Unbekannten X Auflagerkräfte oder Einspannungsmomente vorstellen, sollen die Gleichungen (32) noch auf eine Form gebracht werden, die häufig eine besonders übersichtliche Berechnung dieser Unbekannten gestattet.

1) Beliebige Belastung. Die Gleichungen (32) gehen mit σ = σ0 + σ 'X' + σ '' X '' + ...... über in (83) 〈…〉 , wobei σ ', σ' ', .... die Spannungen und L', L'', .... die virtuellen Arbeiten der Auflagerkräfte für die Zustände X '= 1, X' '= 1, ..... sind. In Folge dieser Belastungszustände werden die Stützpunkte Ver - schiebungen und die Auflagertangenten Drehungen erfahren, welche wie folgt bezeichnet werden sollen:

Bedeuten m und n zwei beliebige Indices und ist Xm eine in m angreifende Auflagerkraft, so sei

δm n die Verschiebung, welche der Punkt m im Sinne von Xm beim Eintreten des Zustandes Xn = 1 erfährt, und
δm t die in Folge einer Aenderung des Temperaturzustandes entstehende Verschiebung von m im Sinne von Xm,

während, falls Xm ein Einspannungsmoment vorstellt,

δm n und δm t die im Sinne des Momentes Xm gemessenen, bezieh. durch den Belastungszustand Xn = 1 und Tem - peraturänderungen hervorgerufenen Drehungen der durch den Punkt m gehenden Auflagertangente bedeuten.
^*)Vergl. Seite 62 und 63.
^*)

Nun lautet die Arbeitsgleichung für den Zustand Xm = 1, unter der Voraussetzung starrer und reibungsloser Widerlager:139 〈…〉 , wobei δm die Verschiebung von m im Sinne Xm und σm die durch den Belastungszustand Xm = 1 erzeugte Spannung bedeutet; sie gilt für beliebige zusammengehörige δm und Δ d sv und liefert, da dem Be - lastungsfalle Xn = 1 der Werth 〈…〉 und einer Aenderung der Temperatur der Werth 〈…〉 entspricht, die Verschiebungen: 〈…〉 und 〈…〉 .

Es ergiebt sich mithin: 〈…〉 und es gehen die Gleichungen (83) über in 〈…〉 , wobei zu beachten ist, dass δm · n = δn · m, also beispielsweise δ2 · 3 = δ3 · 2 ist.

2) Einfluss einer Einzellast. Wirkt auf das Stabwerk nur eine be - liebig gerichtete Last P und bedeuten δ ', δ' ', δ' '', .... die Verschiebungen, welche der Angriffspunkt von P im Sinne von P erfährt, sobald bezieh. die Zustände X '= 1, X' '= 1, ..... eintreten, so ist nach § 20: 〈…〉 und die Gleichungen (84) gehen über in: 〈…〉 ^*)Die Gleichungen (85) lassen sich auch mit Hilfe der im § 19 aufgestellten Gesetze ableiten..

140

Bevor wir zur Durchführung eines Beispieles übergehen, bemerken wir Folgendes:

Sollen die Gleich. 85 auf die Berechnung von statisch nicht be - stimmbaren Auflagerkräften eines auf Biegung beanspruchten Stabes angewendet werden, so wird bei der Ermittelung der δ ', δ' ', .... die Gleichung der Biegungslinie stets in 〈…〉 vereinfacht werden dürfen, wobei J '= J cos φ ist. Sobald die Annahme E J' = Const., erlaubt ist, was in der Regel der Fall sein wird, setze man bei der Ermittelung der Biegungslinien (δ ', δ' ', δ' '' ....): E J '= 1, integrire also (auf analytischem oder graphischem Wege) Gleichungen von der Form 〈…〉 .

Man muss dann die in den Bedingungen (85) auf der linken Seite stehenden Werthe Lm — ε t δm · t mit E J 'multipliciren, desgl. den von Längskräften N abhängigen Theil der Verschiebungen δm · n, während der von den Biegungsmomenten abhängige Theil der δm · n ebenfalls unter der Voraussetzung E J' = 1 berechnet wird.

Aufgabe. Gesucht sind die Stützenwiderstände eines durch eine senkrechte Kraft P belasteten Bogenträgers mit 3 Oeff - nungen. Bei A und B sind Kämpfergelenke angeordnet; über den Mittelpfeilern sind die einzelnen Bögen fest mit einander verbunden und durch wagerechte Gleitlager unterstützt. E J 'sei konstant.

Es bedeuten A und B die senkrechten Seitenkräfte der Kämpfer - drücke, X 'den Horizontalschub, X' 'und X' '' die senkrechten Gegen - drücke der Mittelstützen. Im Falle X '= 0, X' '= 0, X' '' = 0 liegt ein an den Enden frei aufliegender Balken A B vor, und es nehmen dann A und B die Werthe 〈…〉 an. Wirken auf diesen (den Hauptträger unseres Stabwerkes vor - stellenden) einfachen Balken A B nur die wagerechten Kräfte X '= 1, so ist der absolute Werth des Biegungsmomentes für irgend einen Quer - schnitt: M' = 1 · y'. Die Fläche zwischen der Bogenachse und der Geraden A B ist die Momentenfläche für den Zustand X' = 1; sie sei kurz „ Fläche I “genannt.

Die „ Momentenfläche II “für den Zustand X '' = 1 ist ein Dreieck A2 S2 B2 mit der Höhe 〈…〉 , und die „ Momentenfläche III “141für den Zustand X '' '= 1 ein Dreieck A3 S3 B3 mit der Höhe 〈…〉 . Die Biegungsmomente M' 'und M'' 'für den beliebigen Querschnitt D sind M'' = — 1 · y' 'und M'' '= — 1 · y'' 'und das gesammte Biegungsmoment für D wird M = M0 — X' y' — X '' y' '— X' '' y' '', wobei (für den Hauptträger): 〈…〉 und 〈…〉 .

Fig. 106.

Fasst man die Fläche I als Belastungsfläche eines einfachen Bal - kens A1 B1 auf und zeichnet die zugehörige Momentenkurve A1 L1 B1, so erhält man in dieser die dem Zustande X '= 1 und der Voraus -142 setzung E J' = 1 entsprechende Biegungslinie, ihre unter dem Angriffs - punkte C von P und unter den Stützpunkten C2 und C3 gemessenen Ordinaten δ ', δ2 · 1, δ3 · 1 sind gleich den nach oben gerichteten, senkrechten Verschiebungen der Punkte C, C2 und C3 für den Zustand X' = 1.

Ebenso bedeuten, wenn A2 L2 B2 und A3 L3 B3 die den Belastungs - flächen II und III entsprechenden Momentenkurven der einfachen Balken A2 B2 und A3 B3 sind, die Ordinaten δ '', δ2 · 2, δ3 · 2 δ '' ', δ2 · 3, δ3 · 3 die nach oben gerichteten senkrechten Verschiebungen, welche die Punkte C, C2, C3 bei Eintreten der Zustände X' '= 1 beziehw. X' '' = 1 erfahren.

Da die Verschiebungen δ ', δ' ', δ' '' entgegengesetzt gerichtet sind wie P, während die Gleichungen (85) unter der Voraussetzung im Sinne von P erfolgender Verrückungen δ ', δ' ', δ' '' abgeleitet worden sind, und da ferner bei Bestimmung dieser Verschiebungen E J '= 1 gesetzt wurde, so müssen jene Gleichungen umgeformt werden in: 〈…〉

Die auf den rechten Seiten stehenden Verschiebungen δ sind (da δ1 · 2 = δ2 · 1 und δ1 · 3 = δ3 · 1 ist) bereits bekannt bis auf δ1 · 1; letztere bedeutet die mit E J 'multiplicirte Verkürzung der Sehne l im Belastungs - falle X' = 1; dieselbe ist, nach Gleich. (58 a) genügend genau 〈…〉 , wobei F 'den Mittelwerth von F sec φ und F den Inhalt des Bogen - querschnitts bedeutet^*)Bei flachen Bögen ist genügend genau F '= dem Mittelwerthe von F., während 〈…〉 gesetzt werden darf, unter FI den Inhalt der Belastungsfläche I und unter η den Abstand des Schwerpunktes dieser Fläche von der Geraden A1 B1 verstanden.

δ1 · t, δ2 · t, δ3 · t sind die im Sinne von X ', X' ', X' '' positiv an - genommenen Verschiebungen der Stützpunkte in Folge einer Tempe - raturänderung. Wird eine gleichmässige Erwärmung um t ange - nommen, so bleibt der Bogen seiner früheren Gestalt ähnlich; es geht über: l in l + ε t l, h2 in h2 + ε t h2, h3 in h3 + ε t h3,143 und es ergiebt sich δ1 · t = — ε t l, δ2 · t = + ε t h2, δ3 · t = + ε t h3.

Aendert sich in Folge von Verschiebungen der Widerlager: l in l + Δ l, h2 in h2 + Δ h2, h3 in h3 + Δ h3, so ist die virtuelle Arbeit der Stützendrücke, bei relativ fest liegender A B: � = — X 'Δ l + X' 'Δ h2 + X' '' Δ h3, und es folgt für den Zustand X '= 1: L' = — Δ l, „ „ „ X' '= 1: L'' = + Δ h2, „ „ „ X '' '= 1: L'' '= + Δ h3.

Nunmehr sind die sämmtlichen Konstanten der Gleichungen (I) bestimmt, und es lassen sich die Werthe X ', X' ', X' '' berechnen.

Wir geben die Auflösung für den Fall eines in Bezug auf die Mittelsenk - rechte symmetrischen Trägers, setzen: δ2 · 1 = δ3 · 1 = δ1, δ2 · 2 = δ3 · 3 = δ2, δ3 · 2 = δ2 · 3 = δ3, führen für δ1 · 1 die Bezeichnung δ ein und erhalten mit den Abkürzungen: 〈…〉 die Auflagerkräfte: 〈…〉 .

Wird das eine der beiden festen Auflager A und B durch ein wagerechtes Gleitlager ersetzt, so ist X '= 0; es entsteht ein kontinuirlicher Balken, dessen Mittelstützen die Gegendrücke X' '= P (α' 'δ' '— α' '' δ '' ') — ε E J' t (α '' h2 — α '' 'h3) + E J' (α '' Δ h2 + α '' 'Δ h3), X' '' = P (α '' δ '' '— α' '' δ '') — ε E J 't (α' 'h3 — α' '' h2) + E J '(α' 'Δ h3 + α' '' Δ h2) ausüben.

Wird bei Lösung der vorstehenden Aufgabe eine Berücksichtigung der Veränderlichkeit des Querschnittes verlangt, so ist leicht einzusehen, dass man nur nöthig hat, die Belastungsordinaten y', y' ', y'' 'der einfachen Balken A1 B1, A2 B2, A3 B3 durch die Ordinaten 〈…〉 zu ersetzen, wobei Jc ein beliebiges konstantes Querschnittsträgheitsmoment bedeutet. In den Gleich. (I) muss dann Jc an die Stelle von J 'treten, und schliesslich ist 〈…〉 zu setzen. ^*)Weiteres über kontinuirliche Bogenträger enthält eine Abhandlung des Verfassers im „ Wochenblatte für Architekten und Ingenieure, 1884 “.

144

§ 22. Schärfere Untersuchung einfach gekrümmter Stäbe.

1) Grundgleichungen für die Spannungen und Formänderungen. Es wird, wie bei der bisherigen Untersuchung eines krummen Stabes angenommen, dass dieser in Bezug auf die durch seine Mittellinie ge - legte Ebene symmetrisch ist, dass alle äusseren Kräfte in jener Ebene liegen, und nur die senkrecht zum Querschnitte wirkenden Spannungen σ berücksichtigt zu werden brauchen. Hingegen wird die Voraussetzung von im Verhältniss zu den Krümmungshalbmessern verschwindenden Querschnittsabmessungen aufgegeben.

Indem der Querschnitt auf zwei durch seinen Schwerpunkt gehende Koordinaten-Achsen (u und v) bezogen wird, deren eine (die u-Achse)

Fig. 107.

senkrecht zur Stabebene ist, wird angenommen, dass in allen von der u-Achse gleichweit ab - gelegenen Querschnittstheilchen gleich grosse Spannungen σ und Temperaturänderungen t entstehen, und die Berechnung der σ an die Voraussetzung geknüpft, dass die vor der Biegung ebenen Querschnitte auch nach der Biegung Ebenen bleiben. ^*)Man kann hierfür auch die Annahme machen, dass zwei unendlich nahe Querschnitte in Folge der Biegung gleich gekrümmt werden und die Stabachse unter gleichen Winkeln schneiden.

Sind in Fig. 107: A1 B1 und A2 B2 zwei unendlich nahe Querschnitte, C1 C2 = d s das Element der Stabachse, C1 D1 = C2 D2 = + v, D1 D2 = d sv und ∠ A1 O A2 = (— d φ), wobei φ den Winkel bedeutet, den die im Punkte C1 an die Stabachse gelegte Tangente mit der x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems (Fig. 85) bildet, so ist vor Eintreten einer Verbiegung des Stabes, wenn r den Krümmungs - halbmesser der Stabachse bezeichnet, C1 C2 = d s = — r d φ D1 D2 = d sv = — (r — v) d φ = d s + v d φ und nach einer kleinen Verbiegung C1 C2 = d s + Δ d s, ∠ A1 O A2 = — (d φ + Δ d φ), D1 D2 = d sv + Δ d sv = d s + Δ d s + (v + Δ v) (d φ + Δ d φ), woraus, mit Vernachlässigung der sehr kleinen Grösse Δ v Δ d φ und mit Beachtung von d s = d sv — v d φ: (86) Δ d sv = Δ d s + Δ v d φ + v Δ d φ, während andererseits entsteht in Folge der Spannung 〈…〉 , „ „ „ Temperaturänderung t: Δ d sv = ε t d sv145 und beim Zusammenwirken von σ und t: 〈…〉 , so dass sich ergiebt: 〈…〉 .

Dividirt man Zähler und Nenner der rechten Seite dieser Gleichung durch 〈…〉 , so erhält man 〈…〉 , worein zu setzen 〈…〉 , unter 〈…〉 den Koefficienten der Querdehnung verstanden; derselbe ist für Metalle = 〈…〉 bis 〈…〉 .

Differentiirt man (88), um das nach Einführung von Δ v in dem - selben stehende Integral zu beseitigen, so gelangt man zu einer Diffe - rentialgleichung erster Ordnung zwischen den 3 Veränderlichen σ, v, t und ist dann im Stande, σ als Funktion von v darzustellen, sobald t als Funktion von v gegeben ist. Die beiden in σ noch enthaltenen Unbekannten 〈…〉 und 〈…〉 können schliesslich mit Hilfe der Gleich - gewichtsbedingungen 〈…〉 berechnet werden, unter N die Längskraft und unter M das Biegungs - moment für den fraglichen Querschnitt verstanden. Vergl. Seite 66.

Wir wollen zunächst (vorbehaltlich einer späteren genaueren Unter - suchung) den von σ abhängigen Theil von Δ v vernachlässigen und Δ d v = ε t d v setzen; sodann wollen wir, ebenso wie beim geraden Stabe, nur solche Temperaturzustände in Betracht ziehen, welche keinen un - mittelbaren Einfluss auf die Spannungen σ haben.

Beim geraden Stabe wurde gezeigt, dass mit den äusseren Kräften (P und C) auch die Spannungen σ verschwinden, sobald t eine Funktion ersten Grades der Querschnittskoordinaten u und v ist; es können dann durch Temperaturänderungen zwar beachtenswerthe Formänderungen, aber nur im Falle statischer Unbestimmtheit Spannungen hervorge -Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 10146rufen werden, sobald nämlich in Folge jener Temperaturänderungen äussere Kräfte entstehen.

Es frägt sich nun: Welchem Gesetze t = F (v) muss die Temperaturänderung innerhalb des Querschnittes eines krummen Stabes folgen, damit auch für diesen mit den äusseren Kräften die Span - nungen verschwinden.

Wir gehen von der Gleichung Δ d sv = Δ d s + Δ v d φ + v Δ d φ aus, bezeichnen mit t die Temperaturänderung an beliebiger Stelle v, t0 „ „ für v = 0, t1 „ „ „ v = + e1, t2 „ „ „ v = — e2 setzen, da auf den Stab keine äusseren Kräfte wirken sollen und σ = 0 sein soll, Δ d sv = ε t d sv = — ε t (r — v) d φ Δ d s = ε t0 d s = — ε t0 r d φ und erhalten die Bedingung 〈…〉 .

Wird diese Gleichung differentürt, so entsteht, mit Δ d v = ε t d v: 〈…〉 und hieraus folgt: 〈…〉 .

Da nun für v = 0: t = t0 ist, so ergiebt sich 〈…〉 und 〈…〉 .

Setzt man erst v = — e2 und t = t2, hierauf v = + e1 und t = t1, so findet man 〈…〉 , 〈…〉 und 〈…〉 ,147 woraus sich mit der schon früher benutzten Bezeichnung t1 — t2 = Δ t ergiebt: 〈…〉 und hierfür darf, mit e1 + e2 = h, stets gesetzt werden: 〈…〉 , so dass schliesslich folgt 〈…〉 .

Im Falle r = ∞ entsteht, wegen 〈…〉〈…〉 , d. i. die früher vorausgesetzte geradlinige Funktion.

In der Regel werden die Ergebnisse von (91) und (92) nur wenig von einander abweichen.

Indem wir in der Folge annehmen, dass sich t nach dem durch die Gleichung 91 dargestellten Gesetze ändert, setzen wir: 〈…〉 und (angenähert): 〈…〉 . ^*)Bei der Berechnung ungleichmässig erwärmter Bogenträger ist die Näherungsformel schon deshalb am Platze, weil das Gesetz, welchem t folgt, sich nie scharf angeben lässt.

Um nun die durch äussere Kräfte erzeugten σ, Δ d s und Δ d φ zu ermitteln, setzen wir, indem wir t = 0 und mithin auch Δ v = 0 an - nehmen, 〈…〉 , führen diesen Werth in die Gleichgewichtsbedingungen ein und erhalten die Beziehungen 〈…〉 .

10*148

Aus diesen ergeben sich, wenn 〈…〉 gesetzt wird, mit Hilfe der Integralwerthe: 〈…〉 die Ausdrücke: 〈…〉 und es folgt mithin 〈…〉 , wobei 〈…〉 .

Fügt man zu Δ d s und Δ d φ die vorhin gefundenen, unmittelbar von t0 und Δ t abhängigen Werthe, so erhält man für den vorhin er - klärten Temperaturzustand: 〈…〉 .

Im Falle r = ∞ ist 〈…〉 , es entstehen die früher für den geraden Stab abgeleiteten Gleichungen, welche auch dann noch anwendbar sind, wenn zwar r einen endlichen, aber, verglichen mit dem grössten v, sehr grossen Werth besitzt.

2) Reihenentwickelung von Z. Setzt man 〈…〉 , so erhält man 〈…〉 und für den Fall eines bezüglich der u-Achse symmetrischen Querschnittes:149 〈…〉

Für das Rechteck von der Breite b und der Höhe h ergiebt sich mit d F = b d v und 〈…〉 : 〈…〉 u. s. w. 〈…〉 .

Im Falle r = 5 h wird z. B. Z = 1,006 J, und es leuchtet ein, dass bei der Berechnung der im Brückenbau und Hochbau vorkommenden Bogenträger stets Z = J gesetzt werden darf.

Für einen Kreisquerschnitt vom Halbmesser e ergiebt sich in ähnlicher Weise 〈…〉 .

3) Arbeitsbedingungen. Berechnung statisch nicht bestimm - barer Grössen. Für die Folge sollen nur solche auf ein festes Ko - ordinatensystem bezogene Verrückungen δ und Δ c der Angriffspunkte der äusseren Kräfte P und C in Betracht gezogen werden, welche durch Aenderungen der die Gestalt der Stabachse bestimmenden Werthe d s und d φ bedingt sind. Man hat sich also entweder sämmtliche äusseren Kräfte in Punkten der Stabachse angreifend zu denken (wie dies in der Regel geschieht) oder man muss eine starre Verbindung ihrer Angriffs - punkte mit der Stabachse voraussetzen.

Fig. 108.

Um zu einem sehr übersichtlichen Ausdrucke für die virtuelle Form - änderungs-Arbeit zu gelangen, denken wir uns durch zwei unendlich nahe Querschnitte I und II (Fig. 108) ein plattenförmiges Stabstück ab - gegrenzt und ersetzen die Spannungen σ eines jeden Querschnittes durch die im Querschnittsschwerpunkte angreifende Längskraft 〈…〉 und ein Kräftepaar mit dem Momente 〈…〉 . Letzteres ist für den Querschnitt I rechts drehend. Verschiebt sich nun, bei relativ fest -150 liegendem Querschnitte II, der Querschnitt I im Sinne von N um Δ d s, so leistet N die virtuelle Arbeit N Δ d s, während bei der hierauf vor - genommenen Drehung des Querschnittes um den Winkel Δ (— d φ) das Kräftepaar die Arbeit — M Δ (— d φ) verrichtet, wobei das erste Minus - zeichen nöthig ist, weil Δ (— d φ) die Vergrösserung des ursprünglich von den beiden Querschnitten gebildeten Winkels (— d φ) vorstellt, mit - hin der Sinn der Querschnittsdrehung demjenigen des Kräftepaares ent - gegengesetzt ist. Die virtuelle Formänderungs-Arbeit ist für die be - trachtete Platte d Av = N Δ d s + M Δ d φ und für den ganzen Stab: 〈…〉 .

Die Arbeitsgleichung, welche ausdrückt, dass die von den äusseren Kräften P und C geleistete virtuelle Arbeit gleich der virtuellen Form - änderungs-Arbeit ist, lautet, mit den auf Seite 7 erklärten Bezeichnungen, 〈…〉 ; sie gilt für beliebige mögliche, verschwindend kleine Verschiebungen und möge zunächst mit der im § 13 entwickelten Arbeitsbedingung verglichen werden. Dazu führen wir ein: 〈…〉 , erhalten 〈…〉 und setzen, indem wir die durch irgend einen, mittelst des Index a gekennzeichneten Belastungszustand sowie durch Temperaturänderungen hervorgerufenen Verschiebungen δa, Δ ca, Δ d sa, Δ d φ a einführen, nach den Gleich. (86) und (87): 〈…〉 .

Wir gelangen, mit der abkürzenden Bezeichnung 〈…〉 zu der, irgend einem nur gedachten Belastungszustande, welcher von dem die Verschiebungen erzeugenden (a) durch den Index b unterschieden werde, entsprechenden Arbeitsgleichung:151 〈…〉 ; diese hat die gleiche Form, wie die aus (28) und (31) auf Seite 59 und 60 für den geraden Stab sich ergebende und als Annäherungsgleichung für Bögen mit grossen Krümmungshalbmessern bislang benutzte Beziehung 〈…〉 und es geht thatsächlich (102) in (103) über, sobald r = ∞ also ε '= ε gesetzt wird, womit dann gleichzeitig σ den durch die Gleich. (40) ge - gebenen Werth annimmt. ^*)Man gelangt auch zur Gleich. 102 durch die Erwägung, dass die Kräfte S = σ d F (Fig. 43) eine in die Halbirungslinie des Winkels (— d φ) fallende Mittelkraft 〈…〉 besitzen, dass ihnen also die virtuelle Formänderungsarbeit 〈…〉 entspricht.

Aus der übereinstimmenden Form der Gleich. (102) und (103) folgt überdies, dass die früher für den Fall eines beliebig veränderlichen ε t und für beliebige σ gegebenen Ableitungen, namentlich die zu dem Max - well’schen Satze führenden Gleichungen (73), (74) sowie die Gleichungen (80), (84), (85) auch bei den in diesem Paragraphen gemachten Voraus - setzungen giltig sind.

Die weiteren Entwickelungen knüpfen wir an die Gleichung (101); die Anwendung derselben auf die Belastungszustände X '= 1, X' '= 1, ..... führt, wenn diesen Zuständen beziehungsweise die Längskräfte N', N'', .... und Biegungsmomente M', M' ', .... entsprechen, zu den die Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen X ermöglichenden Beziehungen: 〈…〉 , wobei L', L' ', ..... die von den Auflagerkräften bei Eintreten jener Belastungszustände geleisteten virtuellen Arbeiten bedeuten.

Die Gleichungen (104) lassen sich auch durch die Bedingung 〈…〉 ersetzen, unter X irgend eine statisch nicht bestimmbare Grösse und unter L die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand X = 1 verstanden.

152

Drückt man Δ d s und Δ d φ mittelst der eine ungleichmässige Er - wärmung berücksichtigenden, hingegen an die Voraussetzung 〈…〉 gebundenen Gleich. (97) und (98) aus, so gehen die Beziehungen (104) über in 〈…〉 , wobei 〈…〉 , ..... ist, und Gleich. (105) lautet: 〈…〉 ; sie lässt sich, mit der Bezeichnung 〈…〉 auch schreiben: 〈…〉 , und im Falle L = 0: Ai = minimum, wobei Ai bei angenommenen Lasten und Temperaturänderungen als Funktion der zunächst unabhängig veränderlich gedachten X aufzufassen ist.

Beispiel. Ein Bogenträger mit Kämpfergelenken, dessen Mittel - linie A B ein Kreisbogen ist, wird in der Mitte durch eine senkrechte

Fig. 109.

Kraft P belastet. Es soll der Horizontalschub X mit Hilfe der Gleich. (107) unter der Voraus - setzung bestimmt werden, dass l in l + Δ l übergeht und der Bogen gleichmässig um t er - wärmt wird.

Für den Bogenquerschnitt bei 〈…〉 ist (wenn φ0 den Werth von φ bei x = 0 bedeutet) 〈…〉 ,153 〈…〉 , während die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Fall X = 1: L = — 1 · Δ l wird. Mit d s = — r d φ, t0 = t und Δ t = 0 folgt deshalb bei konstantem E, F und Z, wenn 〈…〉 gesetzt wird: 〈…〉 , und hieraus ergiebt sich 〈…〉 .

4) Verschiebungen und Drehungen. Die Verschiebung δ des Angriffspunktes einer Last P (die auch = 0 sein kann) im Sinne von P ist 〈…〉 , wobei N̅ = Längskraft, M̅ = Biegungsmoment, L̅ = virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Fall, dass P = 1 wird und sämmtliche statisch nicht bestimm - baren Grössen X verschwinden, während Δ d s und Δ d φ demjenigen Be - lastungszustande entsprechen müssen, welcher die Verschiebung δ hervor - bringt. Man darf auch setzen154 〈…〉 .

Die Einführung der für Δ d s und Δ d φ durch die Gleich. (97) und (98) gegebenen Werthe liefert die den Gleichungen 54 und 55 gegen - über zu stellenden Beziehungen 〈…〉 , wobei 〈…〉 ist. In derselben Weise ergiebt sich für die Aenderung Δ φ des Neigungs - winkels φ irgend einer an die Stabachse gelegten Tangente die Gleichung 〈…〉 , in welcher N̅ und M̅ bezieh. die Längskraft und das Biegungsmoment für den Fall bedeuten, dass an der als starre, mit dem betrachteten Stabe fest verbundene Linie aufzufassenden Tangente und im Sinne der gesuchten Drehung ein Kräftepaar angreift, dessen Moment gleich „ Eins “ist, während die Grössen X verschwinden. L̅ stellt die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für diesen Belastungszustand dar. An Stelle von Gleich. (115) darf auch gesetzt werden: 〈…〉 , wenn � das beliebig grosse Moment eines an der Tangente angreifenden Kräftepaares vorstellt. Vergl. Seite 64.

Beispiel. Es soll die Verlängerung Δ l der Sehne A B̅ = l eines ungleichmässig erwärmten krummen Stabes ohne Zwischengelenke be - stimmt werden. Fig. 82.

Man erhält 〈…〉 , wobei N und M der wirklichen Belastung entsprechen, während N̅ und M̅ bezieh. die Längskraft und das Biegungsmoment bedeuten, welche155 für irgend einen Querschnitt des Bogens durch zwei in die Gerade A B fallende, im Sinne der gesuchten Verschiebung Δ l wirkende Kräfte „ Eins “hervorgebracht werden.

Es ist N̅ = 1 · cos φ, M̅ = 1 · y und 〈…〉 , mithin ergiebt sich, bei konstantem ε, t0, Δ t: 〈…〉 .

Beispielsweise ist für einen Halbkreisbogen, welcher die in Fig. 110 dargestellte Belastung durch zwei Kräfte Q erfährt:

Fig. 110.

〈…〉 und, wegen d s = — r d φ, bei konstantem E, Z, h: 〈…〉 .

5) Die Biegungslinie. Setzt man in die im § 18 für die Biegungs - linie eines einfach gekrümmten Stabes entwickelte Gleichung: 〈…〉 , die durch die Gleich. (97) und (98) für Δ d φ und Δ d s gegebenen Werthe ein, so erhält man (mit d x = d s cos φ = — r d φ cos φ): 〈…〉 ,156 und es lassen sich jetzt, ebenso wie im § 18, die Verschiebungen δ mittelst eines Seilpolygons darstellen, dessen Belastungsordinate 〈…〉 ist. Sind Zwischengelenke vorhanden, so ist nach Seite 112 zu verfahren.

Für manche Fälle ist es vortheilhaft, Gleich. (120) umzuformen in 〈…〉 ; hierbei ist t0 für sämmtliche Punkte der Stabachse gleich gross ange - nommen.

Beispiel 1. Gesucht ist die Biegungslinie eines Halbkreisbogens, welcher nach Fig. 110 durch zwei Kräfte Q belastet wird. Es sei t = 0.

Für den Stabquerschnitt bei x ist 〈…〉 , mithin 〈…〉 .

Nach § 18 stimmt die gesuchte Biegungslinie mit der Momenten - kurve eines einfachen Balkens überein, dessen Längeneinheit die kon - stante Belastung 〈…〉 trägt, und es ist mithin die Biegungslinie eine Parabel, deren Pfeil 〈…〉 ist, und deren Gleichung 〈…〉 lautet.

Beispiel 2. Gesucht sei für einen Bogenträger mit halbkreisförmiger Mittellinie der durch eine Einzellast P, eine gleichmässige Erwärmung um t und eine Vergrösserung der Stützweite l um Δ l erzeugte Ho - rizontalschub X. Der Querschnitt sei konstant, und an den Kämpfern mögen Gelenke liegen. Fig. 111.

Nachdem für den in Fig. 110 dargestellten Belastungsfall (mit Q = 1) die Biegungslinie A' S' B' und die Verlängerung157 〈…〉 (nach Gleich. 119) der Sehne A B ermittelt worden sind, wird, genau wie auf Seite 122,

Fig. 111.

mit Hilfe des Maxwell’schen Satzes der Werth gefolgert: 〈…〉 , wobei δ die unter der Last P gemessene Ordinate der Linie A' S' B' bedeutet. Wegen 〈…〉 (nach Gleich. 124) ergiebt sich 〈…〉 .

Bei ungleichmässiger Erwärmung tritt nach Gl. (119) an die Stelle von 2 ε t r der Werth 〈…〉 .

Ist beispielsweise r = 12 h und 〈…〉 , so folgt 〈…〉 , und der durch die ungleichmässige Erwärmung erzeugte Horizontalschub ergiebt sich viermal so gross wie der für den Fall t = Konst. entstehende. Man ersieht hieraus, welch grossen Einfluss eine ungleichmässige Erwärmung oder Ab - kühlung haben kann.

6) Berücksichtigung der Aenderung der Querschnittsab - messungen bei Berechnung der σ, Δ d s und Δ d φ. Die Differen - tiation der aus Gleich. (86) und (87) folgenden Beziehung 〈…〉 liefert, wenn zunächst der Zustand t = 0 vorausgesetzt wird, 〈…〉 ,158 worein zu setzen 〈…〉 .

Es entsteht mit der Abkürzung 〈…〉 : 〈…〉 und hieraus durch Integration^*)Einer Differentialgleichung 〈…〉 entspricht das Integral: 〈…〉 . 〈…〉 , wobei C die Integrationskonstante bedeutet. Für v = 0 soll sein: 〈…〉 , und es folgt daher 〈…〉 , mithin 〈…〉 und schliesslich 〈…〉 , wobei 〈…〉 und 〈…〉 .

Die beiden Gleichgewichtsbedingungen 〈…〉 gehen über in 〈…〉 und liefern, mit den Bezeichnungen: 〈…〉 die Werthe159 〈…〉 , weshalb sich für die Spannung σ der Ausdruck ergiebt (125) 〈…〉 ; derselbe bleibt bei Eintreten einer ungleichmässigen Erwärmung un - geändert, sobald t dem durch die Gleich. (91) gegebenen Gesetze folgt.

Bestimmt man noch 〈…〉 und 〈…〉 und fügt zu diesen Werthen die für jene ungleichmässige Erwärmung auf Seite 146 und 147 nachgewiesenen Beiträge 〈…〉 und 〈…〉〈…〉 , so gelangt man zu (126) 〈…〉

Für ein Rechteck von der Breite b und der Höhe h ergiebt sich beispielsweise, wegen d F = b d v: 〈…〉 ; 〈…〉 , wobei 〈…〉 , 〈…〉 .

Ist r = 5 h und m = 3, so erhält man ω1 = 0,201042, ω2 = 0,200148, 〈…〉 = 5 ω1 = 1,005210, r K2 = 25 F h (ω1 — ω2) = 0,02235 b h2, 〈…〉 und für v = + ½ h bezieh. v = — ½ h: 〈…〉 .

Die Anwendung der Gleich. (96) hätte mit Z = 1,006 J geliefert: 〈…〉 160und die für den geraden Stab abgeleitete Gleich. (40): 〈…〉 .

Abschnitt III.

§ 23. Drehungsfestigkeit.

1) Spannungen. Wird ein gerader Stab durch Kräftepaare be - ansprucht, deren Ebenen die Stabachse rechtwinklig schneiden, so besitzen nur die in den Querschnitten hervorgerufenen und in der Folge mit τ

Fig. 112.

bezeichneten Schubspannungen einen wesentlichen Einfluss auf die Formänderung. Auf jeden Querschnitt wirkt ein Moment Md, welches das Drehungs - oder Torsions-Moment genannt wird und gleich der algebraischen Summe der Momente der zwischen jenem Querschnitte und dem Stabende angreifenden Kräftepaare ist.

Ist der Querschnitt ein Kreis vom Radius e, auf welchen Fall die folgenden Untersuchungen beschränkt bleiben mögen, so ist die in irgend einem Punkte C (Fig. 112) auftretende Schub - spannung τ rechtwinklig zu der von C nach dem Kreismittelpunkte S gezogenen Geraden, deren Länge S̅ C̅ = ρ sein möge, und es verhält sich, wenn τ1 den Werth von τ für ρ = e bedeutet, τ: τ1 = ρ: e.

Das Gleichgewicht zwischen den inneren und äusseren Kräften ver - langt: 〈…〉 , wobei das Integral über den ganzen Querschnitt auszudehnen ist, und es ergiebt sich, wenn (127) ∫ ρ2 d F = Jp gesetzt wird, (128) 〈…〉 .

161

2) Drehungswinkel. Der von irgend einem auf der Stabachse angenommenen Ausgangspunkte A um s ent - fernte Querschnitt D wird sich gegen den bei s + d s gelegenen Querschnitt D1 um einen Winkel d ϑ drehen, und hierbei wird sich der Angriffspunkt C der Schubspannung τ gegen den gleich gelegenen Punkt C1 des Querschnittes D1 um ρ d ϑ verschieben. Ist C 'die neue Lage von C und setzt man

Fig. 113.

∠ C 'C1 C = γ, so folgt C'̅ C̅ = γ d s, und es ist mithin ρ d ϑ = γ d s, woraus sich 〈…〉 ergiebt. Man nennt γ die Gleitung im Punkte C; sie ist der Spannung τ proportional und durch (129) 〈…〉 gegeben, wobei G den Gleitmodul (Schub-Elasticitätsmodul) bedeutet.

Der Ausdruck für d ϑ geht nun über in (130) 〈…〉 und die Drehung des Querschnittes D gegen einen um s von ihm ent - fernten Querschnitt wird (131) 〈…〉 . ^*)Ist der Stabquerschnitt kein Kreis, so tritt nach Saint-Venant (Comptes rendus 1879, Band 88, Seite 144) an die Stelle von Jp der Werth 〈…〉 , wobei, genügend genau, x = 40 gesetzt werden darf.

Zwischen den beiden Elasticitätsmoduln E und G besteht die Beziehung (132) 〈…〉 , wenn 〈…〉 den Koefficienten der Querdehnung bedeutet. Für Metalle ist m = 3 bis 4.

3) Die Arbeitsgleichung. Da man alle in einem Querschnitte wirksamen Schubkräfte zu einem Kräftepaare vereinigen kann, dessen Moment den absoluten Werth Md hat, so ist die virtuelle Arbeit dieser Schubkräfte bei einer Drehung des Querschnittes um einen beliebigen Winkel d ϑ (wenn der um d s entfernte Nachbarquerschnitt relativ fest liegt):Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 11162d Av = Md d ϑ, und es ergiebt sich die virtuelle Formänderungs-Arbeit des ganzen Stabes Av = ∫ Md d ϑ.

Die Arbeitsgleichung lautet mit den auf Seite 7 erklärten Bezeich - nungen P, C, δ, Δ c: (133) Σ P δ + Σ C Δ c = ∫ Md d ϑ; sie gilt im Falle des Gleichgewichtes zwischen den äusseren und inneren Kräften für beliebige, verschwindend kleine, zusammengehörige Form - änderungen und kann in derselben Weise wie die entsprechenden Arbeits - gleichungen der Abschnitte I und II benutzt werden, um statisch nicht bestimmbare Grössen X und Verschiebungen δ zu ermitteln. Die theil - weise Differentiation von Gleich. 133 nach einer Grösse X oder einer Last P führt zu den Beziehungen (134) 〈…〉 und (135) 〈…〉 , wobei die Lasten P und die Grössen X als unabhängige Veränderliche aufzufassen sind. L bedeutet, wie früher, die virtuelle Arbeit der Auf - lagerkräfte für den Zustand X = 1.

4) Zusammensetzung von Drehungs - und Biegungs-Festigkeit. Die Gleichungen (134) und (135) eignen sich besonders für die Be - urtheilung des Einflusses der Drehungsmomente in Fällen gleichzeitiger Beanspruchung auf Drehungs - und Biegungs-Festigkeit, namentlich für die Untersuchung von Stäben kreisförmigen Querschnitts, die bei beliebiger Gestalt der Mittellinie durch irgend welche Kräfte belastet werden.

Ist die Mittellinie des Stabes eine Kurve doppelter Krümmung, so beziehe man den Querschnitt auf rechtwinklige Koordinatenachsen (u, v) und lasse die v-Achse mit dem Krümmungsradius (d. h. also mit der Hauptnormale) zusammenfallen; die u-Achse steht dann senkrecht zur Schmiegungsebene und deckt sich mit der Binormale. Nun denke man den Stab durch den fraglichen Querschnitt in zwei Theile zerlegt, ersetze die Mittelkraft R der auf den einen der beiden Theile wirkenden äusseren Kräfte durch die aufeinander senkrechten Seitenkräfte: N (Längskraft) senkrecht zur Querschnittsebene, Qu (Querkraft) parallel der u-Achse, Qv „ „ „ v-Achse und bestimme die von der Kraft R ausgeübten Momente: Md, in Bezug auf eine zum Querschnitte senkrechte Achse, Mu, „ „ „ die u-Achse, Mv, „ „ „ „ v-Achse.

163

In Folge von N und Mu entsteht nach § 22, Gl. 96 in irgend einem Querschnittspunkte (u, v) die Spannung 〈…〉 , wobei 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 , F = π e2, e = Halbmesser des Kreisquerschnittes, r = Krümmungshalbmesser der Mittellinie, während die durch das Moment Mv erzeugte Spannung σ mittelst der für den geraden Stab entwickelten Formel 〈…〉 zu berechnen ist, da die Schmiegungsebene drei aufeinander folgende Punkte der Mittellinie enthält.

Zu der gesammten Längsspannung (136) 〈…〉 tritt noch eine Schubspannung, welche mit der hier als zulässig an - genommenen Vernachlässigung der von Qu und Qv abhängigen Beiträge gleich (137) 〈…〉 ist, und es ergiebt sich hiermit die Inanspruchnahme an der Stelle (u v): (138) 〈…〉

Hinsichtlich der Vorzeichen der von den äusseren Kräften abhängigen Werthe gilt Folgendes:

Das Moment Mu ist positiv, sobald es den Krümmungshalb - messer r der Stab-Mittellinie zu vergrössern sucht; der Krümmungs - mittelpunkt muss hierbei auf dem positiven Theile der v-Achse liegen, vergl. § 22.

Das Moment Mv ist positiv, sobald es bestrebt ist, auf der Seite der positiven u-Achse Zugspannungen hervorzubringen.

Die Längskraft N ist positiv, sobald sie den Stab an der betrachteten Stelle zu zerreissen trachtet.

Das Vorzeichen von Md ist gleichgiltig, da in k die Schubspannung τ nur im Quadrat vorkommt.

11*164

Statisch nicht bestimmbare Grössen X lassen sich (für den in der Folge vorausgesetzten Zustand t = 0) mit Hilfe der aus (53), (107) und (134) sich ergebenden Arbeitsbedingung (139) 〈…〉 ermitteln, und zur Berechnung von Verschiebungen δ kann die Gleichung (140) 〈…〉 benutzt werden.

Aufgabe 1. Ein Ring von konstantem Querschnitte und kreisförmiger

Fig. 114.

Mittellinie (Fig. 114) wird bei A durchschnitten und unmittelbar zu beiden Seiten der Schnittstelle von zwei entgegengesetzt gleichen, zur Stabebene rechtwinkligen Kräften P ergriffen. Es soll angegeben werden, um wie viel sich der Ring, dessen Quer - schnitt ein Kreis vom Halb - messer e ist, bei A öffnet, und wie gross seine Beanspruchung ist.

Bedeuten y und x die von A auf eine beliebige Tangente und den durch ihren Berührungspunkt gehenden Halbmesser gefällten Lothe, so entsteht in Bezug auf die in die Stabebene fallende v-Achse jenes Quer - schnittes das Biegungsmoment Mv = P x.

Das Drehungsmoment ist Md = P y und die gesuchte Oeffnungsweite: 〈…〉 .

Mit Rücksicht auf165 〈…〉 und 〈…〉 folgt: 〈…〉 , und beispielsweise für m = 3, mit 〈…〉 : 〈…〉 .

Die Inanspruchnahme des Ringes ist nach (138) mit m = 3: 〈…〉 worein zu setzen: 〈…〉 .

Es folgt 〈…〉 .

Dieser Werth wird am grössten für φ = 137° 4 'und zwar ergiebt sich hiermit 〈…〉 . ^*)Vergl. Grashof, Theorie der Elasticität und Festigkeit. Berlin 1878, Seite 296.

Aufgabe 2. Ein Stab A S A (Fig. 115) mit halbkreisförmiger, in einer wagerechten Ebene gedachten Mittellinie und konstantem Quer - schnitte ist an beiden Enden fest eingespannt und mit einer Kraft 2 P belastet, welche in der zur Stabebene senkrechten Symmetrieebene liegt, mit der Stabebene den Winkel α einschliesst und auf der im Halbirungs - punkte S des Kreisbogens zur Stabebene errichteten Senkrechten die Strecke S B = c abschneidet. Es soll die Inanspruchnahme des Stabes, dessen Querschnitt ein Kreis vom Radius e ist, ermittelt werden.

Wir denken den Stab bei S aufgeschnitten, nehmen an jeder Stab - hälfte die Kraft P an und ersetzen die in der Schnittfläche bei S wirkenden166

Fig. 115.

inneren Kräfte durch ihre Mittelkraft H. Wegen der Symmetrie des Belastungszustandes ist H parallel der in S an die Stabachse gelegten

Fig. 116.

Tangente T T; sie habe von der Stabebene den Abstand b, während die Entfernung ihrer Pro - jektion auf die Stabebene vom Punkte S gleich a sein möge, und es werde gesetzt H a = M1; H b = M2.

Nach Zerlegung von P in P' = P cos α und P' '= P sin α ergiebt sich für einen be - liebigen Querschnitt D (vergl. Fig. 116, in welcher die auf eine Stabhälfte wirkenden Kräfte auf die Stabebene projicirt sind): die Längskraft N = H cos φ + P' sin φ, das um die zur Stabebene senkrechte u-Achse drehende Biegungs - moment Mu = P' r sin φ H (r + a — r cos φ) = P' r sin φ — H r (1 — cos φ) — M1, das um die in die Stabebene fallende v-Achse drehende Biegungs - moment (nach Zerlegung von H in H cos φ und H sin φ) Mv = — P''r sin φ — P' sin φ · c — H cos φ · b = — (P'' r + P' c) sin φ — M2 cos φ und das um die in D an die Stabachse gelegte Tangente T1 T1 drehende Torsionsmoment Md = P' 'r (1 — cos φ) — P' c cos φ + M2 sin φ.

Sind nun H, M1, M2 bekannt, so vermag man für jeden Punkt u, v des Querschnittes die Spannungen σ und τ sowie die Inanspruchnahme k mit Hilfe der Gleichungen (136) bis (138) anzugeben, worauf der stets einem Umfangspunkte entsprechende Werth kmax berechnet werden kann.

Die statisch nicht bestimmbaren Grössen H, M1, M2 lassen sich mittelst der Bedingung167 〈…〉 , in welcher 〈…〉 ist, berechnen; man hat nur nöthig, für X der Reihe nach H, M1 und M2 zu setzen, um drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu erhalten.

Zunächst sollen die in jenen drei Gleichungen vorkommenden, zwischen den Grenzen 0 und ½ π zu nehmenden Integrale gesondert berechnet werden. Es ist, mit d s = r d φ: 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 , und es lautet daher die obige Arbeitsgleichung168 für X = H: 〈…〉 , für X = M1: 〈…〉 , für X = M2: 〈…〉 .

Setzt man zur Abkürzung 〈…〉 und beachtet, dass 〈…〉 ist, so ergeben sich aus den drei Bedingungen die Werthe: 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 .

Die gestellte Aufgabe ist hiermit gelöst.

Ist die Last 2 P parallel zur Stabebene, d. h. ist α = 0, so er - giebt sich 〈…〉 .

H und M1 sind unabhängig von c; beide Werthe hätten mit Hilfe der im § 22 für den einfach gekrümmten Stab gegebenen Gesetze ent - wickelt werden können.

Ist die Last 2 P senkrecht zur Stabebene (α = 90), so ergiebt sich 〈…〉 .

Für eine beliebige, jedoch in Bezug auf den Halbirungspunkt S des Bogens A S A symmetrische Belastung erhält man � = F (P) + H + 〈…〉 ; Mu = F1 (P) — H r (1 — cos φ) — M1; Mv = F2 (P) — M2 cos φ Md = F3 (P) + M2 sin φ, wobei F (P), F1 (P), F2 (P), F3 (P) gegebene Funktionen der Lasten sind. Die nach H, M1 und M2 gebildeten theilweisen Differentialquotienten der Grössen �, Mu, Mv, Md behalten die oben angegebenen Werthe, und es ergeben sich daher, wenn der Reihe nach X = H, X = M1, X = M2 gesetzt wird, die Be - dingungen: (I) 〈…〉 169(II) 〈…〉 (III) 〈…〉 , in denen alle Integrale zwischen den Grenzen 0 und ½ π zu nehmen sind.

Für den Fall, dass alle Lasten, die theils senkrecht zur Stabebene, theils in dieser Ebene wirken mögen, in Punkten der Stabachse angreifen und der Querschnit des Stabes, desgl. E und G konstant sind, lässt sich Gleich. III noch wie folgt vereinfachen.

An einem Stabstücke d s wirken, um die Tangente T1 T1 drehend, die Momente Mv d φ (gewonnen durch Zusammensetzung der auf die Endquerschnitte des Stabstückes wirkenden Momente Mv und Mv + d Mv) und d Md (Unterschied zwischen den auf jene Endquerschnitte wirkenden Drehungsmomenten), und es erfordert das Gleichgewicht das Bestehen der Beziehung: Mv d φ + d Md = 0.

Verbindet man diese Gleichung mit der durch theilweise Integration ge - folgerten: 〈…〉 und beachtet, dass φ = 0 und φ = ½ π beziehungsweise liefern: Md = 0 (wegen der Symmetrie des Belastungszustandes) und cos φ = 0, so erhält man 〈…〉 , und es geht deshalb (bei konstantem E, J, G, Jp) Gleich. III über in (IIIa) 〈…〉 ; sie gilt für Stäbe mit beliebig geformtem, jedoch in Bezug auf die v-Achse symmetrischem und konstantem Querschnitte.

§ 24. Gesetze für beliebige isotrope, feste Körper.

1) Arbeitsbedingungen. Im Inneren eines festen Körpers, dessen äussere und innere Kräfte mit einander im Gleichgewichte sein mögen, sei ein Parallelepipedum abgegrenzt, dessen Kanten den Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems parallel sind und die anfänglichen Längen d x, d y, d z haben.

Die Spannung in der zur x-Achse senkrechten, den Punkt (x, y, z) enthaltenden Seitenfläche d y d z sei in die Seitenspannungen σx, parallel der x-Achse und positiv, wenn im Sinne von (— x) wirkend, τx y, „ „ y-Achse „ „ „ „ „ „ (— y) „, τx z, „ „ z-Achse „ „ „ „ „ „ (— z) „,170

Fig. 117.

zerlegt, und in gleicher Weise mögen die Spannungen in den dem Punkte O anliegenden Seitenflächen d z d x und d x d y durch ihre Seiten - spannungen σy, τy z, τy x, σz, τz x, τz y gegeben werden. Die σ sind Zug - oder Druckspannungen, die τ Schub - spannungen.

Wird die Momentensumme aller auf das Parallelepipedum d x d y d z wirkenden Kräfte in Bezug auf die der y-Achse parallele Schwerachse

Fig. 118.

des Körpertheilchens gleich Null gesetzt und hierbei davon ab - gesehen, dass sich die Spannungen in gegenüberliegenden Seiten - flächen um Differentiale unter - scheiden, weil die Berücksichtigung dieser Unterschiede zu unendlich kleinen Grössen der vierten Ord - nung führen würde, welche gegen die der dritten Ordnung verschwin - den, so erhält man (mit Hinweis auf Fig. 118, in der die Projektion des Parallelepipedums auf die (z x) - Ebene dargestellt ist) die Gleichung: (τz x d x d y) d z = (τx z d y d z) d x, und hieraus und aus ähnlichen Momentengleichungen für die der x-Achse und z-Achse parallelen Schwerachsen des Körpertheilchens folgt τz x = τx z, τz y = τy z, τx y = τy x, weshalb die kürzere Bezeichnung eingeführt werden soll: τx = τy z = τz y; τy = τz x = τx z; τz = τx y = τy x,171 wobei zu merken ist, dass τx ⊥ d x, τy ⊥ d y, τz ⊥ d z.

Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken Δ d x, Δ d y, Δ d z, so leisten die von den Spannungen σ herrührenden Kräfte σx d y d z, σy d z d x, σz d x d y die virtuelle Arbeit d Av = σx d y d z Δ d x + σy d z d x Δ d y + σz d x d y Δ d z 〈…〉 d x d y d z und hierfür kann, wenn die in der Folge Dehnungen genannten Ver - längerungs-Verhältnisse mit 〈…〉 bezeichnet werden und der Inhalt des Körpertheilchens d x d y d z = d V gesetzt wird, geschrieben werden d Av = (σx εx + σy εy + σz εz) d V.

Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 117: γx die Aenderung des Winkels Y O Z, γy „ „ „ „ Z O X, γz „ „ „ „ X O Y.

Man nennt γx, γy, γz die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösserungen der Winkel Y O Z, Z O X, X O Y vorstellen.

In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um γx verschiebt sich die Fläche Y O' im Sinne O Z gegen die Fläche O Y' um γx d y, wobei dann die in Y O' und senkrecht zu d x wirksame Schubkraft τx d x d z die virtuelle Arbeit τx d x d z γx d y leistet, oder es verschiebt sich die Fläche Z O' im Sinne O Y gegen die Fläche O Z 'um die Strecke γx d z, bei welcher Bewegung die in Z O' und senkrecht zu d x wirkende Schub - kraft τx d x d y die Arbeit τx d x d y γx d z verrichtet. In beiden Fällen entsteht die virtuelle Formänderungs-Arbeit: d Av = τx γx d x d y d z = τx γx d V, und ebenso ergeben sich die den Winkeländerungen γy und γz ent - sprechenden virtuellen Arbeiten τy γy d V und τz γz d V, so dass die gesammte virtuelle Formänderungs-Arbeit der an dem Pa - rallepipedum angreifenden Kräfte gleich (σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V wird und diejenige sämmtlicher inneren Kräfte des Körpers: (141) Av = ∫ (σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V.

Setzt man nun Av gleich der von den äusseren Kräften geleisteten virtuellen Arbeit, so erhält man die Gleichung172 (142) Σ P δ + Σ C Δ c = ∫ (σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V; sie gilt für beliebige durch einander bedingte äussere und innere Ver - schiebungen δ, Δ c, εx, εy, εz, γx, γy, γz, wenn diese nur klein genug sind, um als verschwindende Grössen aufgefasst werden zu dürfen. Zu den äusseren Kräften gehören ausser den in Punkten der Oberfläche angreifenden, die auf die Massentheilchen wirkenden (z. B. die Erd - anziehung, Ergänzungskräfte der relativen Bewegung) und, wenn Theile des Körpers auf einander reiben, die an den Berührungsstellen wirk - samen Reibungswiderstände.

Nehmen wir nun an, es sei geglückt, die Auflagerkräfte C, sowie die Spannungen σ und τ in der Form C = C0 + C 'X' + C '' X '' + C '' 'X' '' + … 〈…〉 als geradlinige Funktionen der gegebenen Lasten P und gewisser, sta - tisch nicht bestimmbarer Grössen X herzustellen, wobei nur die mit dem Index 0 behafteten Werthe von P abhängen sollen, und wenden die obige Arbeitsgleichung der Reihe nach auf die früher erklärten Zustände X '= 1, X' '= 1, .... an, so ergeben sich, da die Kräfte C' mit den Spannungen σ 'und τ', die C '' mit den σ '' und τ '' im Gleich - gewichte sind, die bei gegebenen Δ c, εx, εy, εz, γx, γy, γz zur Berech - nung der X ausreichenden Bedingungen (143) 〈…〉 dieselben lassen sich auch durch die eine Gleichung: (144) 〈…〉 ersetzen, in welcher X irgend eine statisch nicht bestimmbare Grösse und L die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand X = 1 bedeutet, während die Differentialquotienten 〈…〉 und 〈…〉 die Span - nungen σ und τ für jenen Zustand vorstellen.

Die Verschiebung δm des Angriffspunktes m einer Last Pm wird (145) 〈…〉 , wobei σ̅, τ̅ und C̅ diejenigen Spannungen und Auflagerkräfte sind,173 welche mit einer Last Pm = 1 im Gleichgewichte sind. Man darf hierfür auch setzen (146) 〈…〉 , welche Gleichung durch theilweise Differentiation der Arbeitsgleichung nach der Last Pm, bei als Komstanten betrachteten willkürlichen Form - änderungen, δ, Δ c, εx, εy, εz, γx, γy, γz gewonnen wird.

2) Einführung der durch Spannungen und Temperatur - änderungen verursachten Dehnungen und Gleitungen. Wir wen - den jetzt die Gleichungen (143) bis (146) auf die wirklichen Dehnungen und Gleitungen an und beschränken uns hierbei auf den isotropen (d. h. in allen Punkten gleich beschaffenen) festen Körper mit spannungslosem Anfangszustande.

Die Seite d x des betrachteten Parallelepipedums erleidet, wenn die Spannung σx allein wirkt, die Dehnung 〈…〉 , während eine Aenderung der Anfangs-Temperatur um t erzeugt: 〈…〉 und in Folge von σy und σz entsteht: 〈…〉 , wobei 〈…〉 den Koefficienten der Querdehnung (= ¼ bis ⅓ für Metalle) bedeutet. Beim Zusammenwirken aller Ursachen ergiebt sich die Dehnung (147) 〈…〉 , während die nur von den Schubspannungen abhängigen Gleitungen (148) 〈…〉 sind, wobei 〈…〉 den Schub-Elasticitätsmodul bedeutet.

Die Gleichungen (144) und (146) gehen nach Einsetzen der vor - stehenden Werthe der Dehnungen und Gleitungen über in (149) 〈…〉 und174 (150) 〈…〉 , wobei (151) 〈…〉 .

Im Falle t = 0 ergeben sich die Gesetze: (152) 〈…〉 und (153) 〈…〉 , wobei (154) 〈…〉 .

A bedeutet die wirkliche Formänderungsarbeit, wie aus der folgenden Entwickelung hervorgeht.

Die Arbeit, welche die an dem Körpertheilchen wirkenden Kräfte leisten, während die im Entstehen begriffenen Dehnungen und Gleitungen um die Werthe d εx, d εy, d εz, d γx, d γy, d γz zunehmen, ist nach den Entwickelungen unter 1): (σx d εx + σy d εy + σz d εz + τx d γx + τy d γy + τz d γz) d V, worein zu setzen 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 , also 〈…〉 und 〈…〉 .

Integrirt man diesen Ausdruck bei von 0 aus wachsenden Span - nungen, so erhält man für das Körpertheilchen die gesammte Form - änderungsarbeit 〈…〉 ,175 und hieraus folgt dann für den ganzen Körper der durch die Gleich. (154) gegebene Arbeitswerth A. ^*)Führt man in Gleich. 142 die wirklichen Werthe von εx, εy, εz, γx, γy, γz ein, so erhält man für den Zustand t = 0: Σ P δ + Σ C Δ c = Av = 2 A. Bezeichnet man also mit Q irgend eine äussere Kraft und mit r die Ver - schiebung ihres Angriffspunktes im Sinne von Q, so besteht die Beziehung: ½ Σ Q r = A, welche das Clapeyron’sche Gesetz heisst.

Im Falle t = 0 und L = 0 entstehen aus (152) und (153) die Castigliano’schen Satze:

1) Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X machen die Formänderungsarbeit A, welche als Funktion der zuerst unab - hängig veränderlich angenommenen Werthe X darzustellen ist, zu einem Minimum.

2) Die Verschiebung des Angriffspunktes m einer Last Pm im Sinne von Pm ist gleich der nach Pm gebildeten theilweisen Ab - geleiteten der Formänderungsarbeit A.

Bei der Ausführung der durch die Gleich. 150 und 153 vor - geschriebenen Differentiationen dürfen sämmtliche Grössen X als Kon - stanten aufgefasst werden. Man gehe gewissermassen von dem all - gemeineren Falle willkürlicher Werthe X aus, wende also die Gleich. 150 und 153 (wie in den Abschnitten I und II) auf den statisch bestimmten Hauptträger an. Die Auffassung der X als Funktionen der Lasten P führt, wenn die Bedingungsgleichungen 143 berücksichtigt werden, zu denselben Ergebnissen; der (übrigens überflüssige) Beweis hierfür kann ähnlich geführt werden wie beim Fachwerke. Vergl. Seite 54.

3) Der Maxwell’sche Satz. Wir nehmen an, dass die dem spannungslosen Anfangszustande entsprechende Temperatur ungeändert bleibt (t = 0) und die Auflagerkräfte bei eintretenden elastischen Ver - schiebungen keine Arbeit leisten (Δ c = 0). Den Körper denken wir durch drei einander rechtwinklig schneidende Flächen-Schaaren in un - endlich kleine Theilchen zerlegt, in deren Seitenflächen nur Normal - spannungen auftreten, welche dann Hauptspannungen heissen und mit σ1, σ2, σ3 bezeichnet werden mögen. Dass eine derartige Zerlegung stets ausführbar ist, setzen wir hier als bekannt voraus.

Die Verschiebungen δ1 und δ2, welche beliebige Körperpunkte A1 und A2 in Folge irgend welcher Belastung nach den Richtungen A1 B1 und A2 B2 erfahren, ergeben sich nach (143) aus den Arbeitsgleichungen 〈…〉 und 〈…〉 , wobei für irgend einen Punkt des Körpers 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 diejenigen Hauptspannungen bedeuten, welche eine176 in A1 angreifende, nach der Richtung A1 B1 wirkende Kraft „ Eins “hervorbringen würde und 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 diejenigen Hauptspannungen, welche eine in A2 und in der Richtung A2 B2 wirksame Kraft „ Eins “erzeugen würde, während 〈…〉 , 〈…〉 , 〈…〉 die Dehnungen in Folge der durch die wirkliche Belastung hervor - gerufenen Hauptspannungen σ1, σ2, σ3 sind. Es ergiebt sich 〈…〉 , 〈…〉 .

Besteht nun die wirkliche Belastung einmal aus einer in A2 an - greifenden, durch B2 gehenden Last „ Eins “, sodann aus einer in A1 wirksamen, durch B1 gehenden Last „ Eins “, so ist im ersten Falle 〈…〉 und im zweiten Falle 〈…〉 , und es ergeben sich beziehungsweise die Werthe 〈…〉 , 〈…〉 , aus deren Uebereinstimmung folgt, dass das auf Seite 41 und 117 für gewisse Stabverbindungen gefundene, als Maxwell’scher Lehrsatz be - zeichnete, wichtige Gesetz unter den gleichen Voraussetzungen (t = 0, Δ c = 0) auch für einen beliebigen isotropen festen Körper gilt. In der -177 selben Weise lässt sich auch die allgemeine Giltigkeit der auf Seite 117 gegebenen, mit 2, 3, 4 bezeichneten Gesetze nachweisen.

§ 25. Schubfestigkeit.

Im Anschluss an die Entwickelungen des § 24 soll der Einfluss der durch die Querkräfte Q (vergl. Seite 65) hervorgerufenen Schubspannungen τ auf die Formänderungen und statisch nicht bestimmbaren Grössen von auf Biegungs - festigkeit beanspruchten geraden Stäben untersucht werden.

1) Formänderungs-Arbeit der Schubkräfte. Ist die Kräfteebene eine Symmetrie - ebene des Stabes (welcher Fall hier ausschliesslich betrachtet werden möge), so wird durch die Querkraft Q in irgend einem Punkte D des Querschnitts eine Schubspannung τ hervorgerufen, welche die v-Achse in einem Punkte H schneidet, dessen Lage erhalten wird, indem man durch D die der u-Achse parallele Sehne A B zieht und in B eine Tangente B H an den Quer - schnittsumfang legt. Fig. 119.

Fig. 119.

Von den beiden Seitenspannungen τv und τu, in welche sich τ zerlegen lässt und die beziehungsweise senkrecht zur v-Achse und senkrecht zur u-Achse sind, folgt τu bekanntlich dem Gesetze: 〈…〉 , wenn 2 z die Länge der Sehne A B,

S das auf die u-Achse bezogene statische Moment des einen der beiden durch die Sehne A B begrenzten Querschnittstheile (z. B. des Theiles A C B) und
J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts in Bezug auf die u-Achse

bedeuten. Es ist somit τu unabhängig von u und gleich gross für alleMüller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 12178auf der Sehne A B gelegenen Querschnittspunkte, und es folgt, wenn φ den Winkel bezeichnet, welchen die Tangente B H mit der v-Achse ein - schliesst, für den Punkt B: τv = τu tg φ und für den Punkt D: 〈…〉 .

Der von den Schubspannungen abhängige Theil der Formänderungs - Arbeit ist, bei innerhalb des Querschnitts konstantem G und wenn das Element der Stabachse = d x gesetzt wird, 〈…〉 , d. i. (155) 〈…〉 .

Hiernach ergiebt sich beispielsweise für den Rechteckquerschnitt, dessen Breite b und dessen Höhe h = 2 e sein möge, wegen 〈…〉 : 〈…〉 , und, da 〈…〉 ist, (156) 〈…〉 .

Für den Kreisquerschnitt vom Radius e ist 〈…〉 , 〈…〉 und wegen179 〈…〉〈…〉〈…〉〈…〉 (157) 〈…〉 .

Allgemein darf gesetzt werden: 〈…〉 , wobei β eine von der Gestalt des Querschnittes abhängige Zahl bedeutet. Für das Rechteck ist β = 〈…〉 und für den Kreis: β = 〈…〉 .

2) Arbeitsgleichung zur Berechnung statisch nicht bestimm - barer Grössen. Ermittelung von Verschiebungen δ. Die auf Seite 71 mit Hilfe des Satzes (158) 〈…〉 abgeleitete Bedingung 〈…〉 geht, wenn der Einfluss der durch die Querkräfte Q erzeugten Schub - spannungen berücksichtigt werden soll, über in (159) 〈…〉 .

An Stelle der zur Berechnung von Verschiebungen abgeleiteten Gleich. (55) tritt die Beziehung (160) 〈…〉 .

Der Einfluss der Schubkräfte Q auf die Ergebnisse der Gleich. (159) und (160) ist ein so geringfügiger, dass er stets vernachlässigt werden darf. Ein Beispiel möge dies zeigen.

12*180

Aufgabe. Ein wagerechter Balken ist gleichmässig mit p für die Längeneinheit belastet, bei B wagerecht eingespannt, bei A frei aufliegend. Gesucht ist der senkrechte Stützenwiderstand X bei A. Fig. 50. Die Stützen seien starr (L = 0), und eine Erhöhung der Anfangstemperatur habe nicht stattgefunden (t = 0).

Wegen N = 0 ergiebt sich die Bedingung 〈…〉 , worein zu setzen: 〈…〉 , so dass, bei konstantem G, F, E, J entsteht: 〈…〉 , woraus, wegen 〈…〉 : 〈…〉 .

Ist der Balkenquerschnitt ein Rechteck (b, h), so ist β = 〈…〉 und 〈…〉 , weshalb sich mit m = 3 ergiebt: 〈…〉 . 〈…〉 liefert z. B. X = 1,01 · 〈…〉 , während die Vernachlässigung der Querkraft Q zu X = 〈…〉 geführt hätte.

[181]

Anhang.

I. Entwickelung der Arbeitsgleichungen.

Obgleich das Gesetz der virtuellen Verschiebungen zu den bekann - testen Lehren der Mechanik gehört, dürfte eine Entwickelung der in diesem Buche benutzten Arbeitsgleichungen, welche dieses Gesetz für die betrachteten Fälle ausdrücken, manchem Leser erwünscht sein; sie möge deshalb hier gegeben werden, zuerst für das Fachwerk, sodann für einen beliebigen Körper.

1) Das Fachwerk. Wirken an den Endpunkten m und n eines Stabes von unveränderlicher Länge zwei entgegengesetzt gleiche, mit der Stabachse zusammenfallende Kräfte S, so ist die bei irgend einer Be - wegung des Stabes von den beiden Kräften verrichtete Arbeitssumme gleich Null.

Um dies einzusehen, zerlege man jene Bewegung in eine fort - schreitende und eine drehende und wähle für die letztere irgend einen Punkt der Stabachse (z. B. n1) zum Drehpunkte, Fig. 120. Während des ersten Theiles der Orts - veränderung leisten die Kräfte S entgegengesetzt gleiche Arbeiten, die sich mithin tilgen, und wäh - rend des zweiten verrichten sie, weil fortwährend durch den Drehpunkt gehend, überhaupt keine Arbeit. Dabei ist es gleichgiltig, ob die Stab - kräfte S konstant sind oder sich stetig ändern; im letzteren Falle dürfen sie innerhalb jedes un - endlich kleinen Zeittheilchens als konstant be - trachtet werden.

Wächst die anfängliche Länge s des Stabes während jener Bewegung um Δ s, und bedeutet für irgend ein Theilchen der Bewegungsdauer:

Fig. 120.

Sx den augenblicklichen Werth der Stabkraft und d Δ s die Aenderung der Stablänge, so ist die Arbeitssumme für dieses Zeittheilchen = Sx d Δ s und für die ganze Bewegungsdauer: 〈…〉 , wobei Sa den anfänglichen und S den schliesslichen Werth der Stabkraft vorstellt.

182

Der Ausdruck A giebt hiernach die Arbeitssumme an, welche die an den Endpunkten eines elastischen Stabes m n eines Fachwerks wirkenden Spannkräfte verrichten, sobald irgend welche Ursachen die Knotenpunkte m, n in die Lagen m1, n1 (wobei m1̅ n1̅ = s + Δ s ist) verschieben, während die Stabkräfte von Sa bis S wachsen.

Der wirklichen Arbeit A wollen wir nun diejenige Arbeit Av = S Δ s gegenüberstellen, welche die Stabkräfte in dem nur gedachten Falle verrichten, dass sie während der ganzen Dauer der Bewegung ihre End - werthe S besitzen, und dass an Stelle der wirklichen Verschiebungen der Knotenpunkte irgend welche willkürliche Verschiebungen treten, die wir uns zwar als möglich vorstellen können, die aber in Wirklichkeit nicht einzutreten brauchen und virtuelle Verschiebungen genannt werden. Die Arbeit Av heisst die virtuelle Arbeit der auf den Stab s wirkenden Spannkräfte S. Für das ganze Fachwerk er - giebt sich Av = Σ S Δ s, welche Summe über sämmtliche Stäbe auszudehnen ist.

Wir betrachten jetzt die Spannkräfte S als Kräfte, die an den Knotenpunkten angreifen, also entgegengesetzte Richtung wie vorhin haben und die virtuelle Arbeit: — Σ S Δ s leisten; sodann setzen wir voraus, dass an jedem Knotenpunkte Gleichgewicht besteht und keine Kraft un - endlich gross wird. Erfahren die Knotenpunkte irgend welche unendlich kleine Verschiebungen, so ist die Arbeitssumme für sämmtliche Kräfte gleich Null, weil für jeden Knotenpunkt die Mittelkraft aus allen da - selbst angreifenden Kräften zu Anfang gleich Null ist und während jener Elementarbewegung bis auf eine verschwindend kleine Grösse den Werth Null behält.

Bedeutet also für irgend einen Knotenpunkt m: Qm die Mittelkraft aus den daselbst angreifenden äusseren Kräften und rm die Projektion der Verschiebung des Punktes m auf die Kraft Qm (positiv, wenn im Sinne von Qm erfolgend), so ist die virtuelle Arbeit der äusseren Kräfte = Σ Qm rm, und es folgt: Σ Qm rm — Σ S Δ s = 0 und hieraus: Σ Qm rm = Σ S Δ s.

Diese Gleichung drückt das Gesetz aus:

Für ein im Gleichgewichte befindliches Fachwerk ist die bei unendlich kleinen virtuellen Verschiebungen der Knotenpunkte von den äusseren Kräften verrichtete virtuelle Arbeit ebenso gross wie die virtuelle Arbeit der Stabkräfte S. ^*)Die Arbeit Σ S Δ s, welche man aus den Aenderungen der Stablängen berechnen kann, ohne die anfänglichen und schliesslichen Lagen der Knoten -

183

Unterscheiden wir die äusseren Kräfte ganz allgemein in Lasten und Auflagerkräfte und führen die auf Seite 7 erklärten Bezeichnungen P, C, δ, Δ c ein, so erhalten wir Σ Q r = Σ P δ + Σ C Δ c, und es ent - steht die Gleichung (I) Σ P δ + Σ C Δ c = Σ S Δ s, welche wir die Arbeitsgleichung des Fachwerks genannt und zum Aus - gangspunkte unserer Entwickelungen gemacht haben.

Hinsichtlich der auf das Fachwerk wirkenden äusseren Kräfte wurde bei der Ableitung der Gleich. (I) nur vorausgesetzt, dass sie miteinander im Gleichgewichte sind. Hat man also die Spannkräfte S und Auflager - kräfte C eines statisch unbestimmten Fachwerks durch die Lasten P und durch gewisse statisch nicht bestimmbare Grössen X so ausgedrückt, dass die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind (vergl. Seite 4), so darf man bei Einsetzen der S und C in die Gleich. (I) den Grössen P und X willkürliche Werthe beilegen. Indem man nun diese Werthe ver - schiedenartig wählt, ist man im Stande, aus (I) beliebig viele Gleichungen zu folgern und erhält, sobald man diese nun auf die wirklichen Ver - schiebungen δ, Δ c, Δ s (die ja nur besondere Fälle von willkürlichen Verschiebungen sind) anwendet, eine genügende Anzahl von Beziehungen, um die wirklichen Grössen X berechnen und die wirkliche Formänderung des Fachwerkes feststellen zu können. Dabei wird allerdings voraus - gesetzt, dass die wirklichen Verschiebungen klein genug sind, um als verschwindende Grössen aufgefasst werden zu dürfen.

2) Beliebiger Körper. Wir gehen von der Voraussetzung einer stetigen Erfüllung des Raumes durch die Materie aus, im Gegensatze zur Auffassung des Körpers als ein System von Massenpunkten, die zwar einander unendlich nahe liegen, immerhin aber durch Zwischenräume von einander getrennt sind, und denken uns an irgend einer Stelle ein unendlich kleines Körpertheilchen abgegrenzt, beispielsweise, um die Vor - stellung zu erleichtern, ein Parallelepipedum. Die auf die Seitenflächen desselben wirkenden Kräfte sollen Flächenkräfte genannt und ins - besondere als innere Kräfte oder Oberflächenkräfte bezeichnet werden, je nachdem die durch sie beanspruchten Flächen im Inneren des Körpers liegen oder zur Oberfläche gehören; ausser ihnen wird an dem Körpertheilchen im Allgemeinen noch eine auf die Masse desselben wirkende äussere Kraft angreifen, welche eine Massenkraft heisst (z. B. die Erdanziehung, Ergänzungskräfte der relativen Bewegung).

Bezüglich sämmtlicher Kräfte wird vorausgesetzt, dass sie endlich sind.

^*)punkte zu kennen, wird auch die virtuelle Formänderungsarbeit des Fachwerks genannt.

184

Nehmen wir nun an, es erleide ein anfänglich im Gleichgewichte befindlicher Körper durch Hinzutreten äusserer Kräfte und durch Tem - peraturänderung eine Umgestaltung; dieselbe hört auf, sobald sich ein neuer Gleichgewichtszustand gebildet hat und bestehen bleibt; während ihrer Erzeugung werden die Flächenkräfte des betrachteten Körper - theilchens eine bestimmte Arbeitssumme verrichten, und von dieser ist besonders derjenige Theil von Wichtigkeit, der nur von der Form - änderung des Körpertheilchens abhängt, der also verschwindet, wenn sich das Theilchen bewegt, ohne seine Gestalt zu ändern. Man nennt diesen Theil der Gesammtarbeit der Flächenkräfte die Formänderungs - arbeit des Körpertheilchens; ihre Integration über den ganzen Körper liefert die Formänderungsarbeit des Körpers. Bei der Berechnung dieser Arbeit ist zu beachten, dass die Flächenkräfte, deren schliessliche Werthe wir ganz allgemein mit R bezeichnen wollen, sich im Verlaufe jener Umgestaltung ändern.

Denkt man sich hingegen die Flächenkräfte während der ganzen Dauer der Formänderung konstant und mit ihren Endwerthen R wirkend, bestimmt die von den Kräften R geleistete Formänderungsarbeit und ersetzt hierbei die wirkliche Formänderung durch eine willkürliche, die zwar als möglich gedacht werden kann, in Wirklichkeit aber nicht einzutreten braucht, so erhält man einen Ausdruck d Av, welcher die virtuelle Formänderungs-Arbeit heisst, während jene willkürliche, mögliche Umgestaltung des Körpers eine virtuelle Formänderung genannt werden soll.

Um die im Vorstehenden erklärten Begriffe an einem Beispiele zu er -

Fig. 121.

läutern, betrachten wir ein unendlich kleines Parallelepipedum, welches an der Stelle x, y, z eines auf rechtwinklige Koordinaten be - zogenen Körpers abgegrenzt ist, und dessen den Koordinatenachsen parallele Kanten die Längen d x, d y, d z haben. Es mögen nur Normalspannungen auftreten und zwar nur solche, die der (x, y) - Ebene parallel sind; sie seien stetige Funktionen der Koordinaten (Fig. 121). Ist dann die Normalspannung für Fläche A B gleich σx (positiv im Sinne — x), „ „ A D „ σy („ „ „ — y), so ist die Normalspannung für Fläche C D gleich 〈…〉 und „ „ C B „ 〈…〉 .

Diesen Spannungen entsprechen die Flächenkräfte: 〈…〉 ;185 〈…〉 und zwar seien dies die schliesslichen Werthe der Kräfte R.

Erleidet nun das Körpertheilchen im Sinne von x und y beziehungsweise die virtuellen Verschiebungen Δ x und Δ y, ohne dass sich hierbei die Gestalt des Theilchens ändert, so leisten die Kräfte R die Arbeit: 〈…〉 , unter d V = d x d y d z den Inhalt des Körpertheilchens verstanden. Aendert sich während jener Bewegung: d x um Δ d x = εx d x (wobei 〈…〉 das Verlängerungsverhältniss der Kante d x bedeutet) und d y um Δ d y = εy d y, so nimmt die vorhin ermittelte Arbeitssumme zu um die virtuelle Formänderungs - arbeit d Av, bei deren Berechnung R2 ersetzt werden darf durch R1 und R4 durch R3. Denn die Flächenkräfte für gegenüberliegende Seitenflächen des Körpertheilchens unterscheiden sich bei stetigen Spannungen nur um unendlich kleine Werthe, so dass in Folge der Gleichsetzung von R2 und R1, sowie von R4 und R3 nur verschwindende Grössen vierter Ordnung vernachlässigt werden. ^*)Bei unstetigen Spannungen muss der Körper in Theile zerlegt werden, innerhalb welcher alle Spannungen stetig sind; die Werthe d Av werden für die einzelnen Theile gesondert integrirt und schliesslich addirt.Mithin folgt: d Av = R1 Δ d x + R3 Δ d y = (σx εx + σy εy) d V, und es ergiebt sich schliesslich die virtuelle Gesammtarbeit der Flächenkräfte: 〈…〉 .

Wir fassen jetzt eine unendlich kleine, virtuelle Formänderung eines im Gleichgewichte befindlichen Körpers und insbesondere die Be - wegung und Umgestaltung eines Körpertheilchens ins Auge und bezeichnen die virtuelle Arbeit der auf dieses Körpertheilchen wirkenden Massen - kraft mit d Am, diejenige der Flächenkräfte mit d Af. Letztere Arbeit besteht aus zwei Theilen; der eine, d Av, hängt nur von der Umgestaltung des Körpertheilchens ab, der andere, nämlich d Af — d Av, von der Be - wegung des Massenmittelpunktes und der Drehung des Körpertheilchens um diesen Punkt. Somit stellt d Am + d Af — d Av diejenige virtuelle Arbeit vor, welche sämmtliche auf das Körpertheilchen wirkenden Kräfte leisten, wenn dessen Bewegung ohne eine Formänderung vor sich geht. Diese Arbeit muss aber = Null sein, da die Mittelkraft der auf das Körpertheilchen wirkenden Kräfte während der ganzen Dauer der an - genommenen Elementarbewegung, bis auf eine verschwindende Grösse, den anfänglichen Werth Null beibehält.

Es folgt somit d Am + d Af = d Av und, wenn entsprechende Gleichungen für sämmtliche Körpertheilchen aufgestellt und hierauf addirt werden, (II) Am + Af = Av.

186

Da sich nun in dem Ausdrucke Af die Arbeiten der inneren Flächenkräfte gegenseitig tilgen, weil auf die Flächen, in denen an - einandergrenzende Körpertheilchen zusammenhängen, bei gleichen Ver - schiebungen entgegengesetzt gleiche Kräfte wirken, so leuchtet ein, dass Af die virtuelle Arbeit der Oberflächenkräfte, mithin Af + Am die virtuelle Arbeit sämmtlicher äusseren Kräfte vorstellt, und es drückt deshalb die Gleichung II das Gesetz aus:

Bei einer verschwindend kleinen virtuellen Formänderung eines im Gleichgewichte befindlichen Körpers ist die virtuelle Arbeit der äusseren Kräfte gleich der virtuellen Formänderungsarbeit.

Die Ableitung dieses Satzes nimmt an, dass alle anfänglich sich deckenden Seitenflächen von aneinandergrenzenden Körpertheilchen auch während des ganzen Verlaufes der Formänderung sich decken, weil nur dann die Arbeiten der auf diese Flächen wirkenden Kräfte sich auf - heben. Besteht nun der betrachtete Körper aus mehreren einander be - rührenden Theilen, von denen jeder einzelne der obigen Voraussetzung entspricht, und finden gegenseitige Verschiebungen von anfänglich zu - sammenliegenden Berührungsflächen je zweier Theile statt, so müssen, wenn das bewiesene Gesetz giltig bleiben soll, alle diese Flächen der Oberfläche zugezählt werden; d. h. es sind die auf diese Flächen wir - kenden Kräfte, soweit sich ihre Arbeiten nicht tilgen, zu den äusseren Kräften zu rechnen. In allen Fällen der Anwendung genügt die Fest - setzung, dass bei aufeinander reibenden Theilen eines Körpers die an den Berührungsstellen wirkenden Reibungswiderstände als äussere Kräfte aufzufassen sind.

Wird der betrachtete Körper durch fremde Körper gestützt, so nennen wir die Drücke, welche die letzteren auf den ersteren ausüben, Stützenwiderstände oder Auflagerkräfte. Alle übrigen äusseren Kräfte mögen Lasten heissen. Es ergiebt sich dann, mit den auf Seite 7 erklärten Bezeichnungen P, C, δ, Δ c, die virtuelle Arbeit der äusseren Kräfte = Σ P δ + Σ C Δ c, und es entsteht die Arbeitsgleichung (III) Σ P δ + Σ C Δ c = Av, welche in den Abschnitten II und III in derselben Weise wie die Arbeits - gleichung des Fachwerks zur Berechnung von statisch nicht bestimmbaren Grössen und von Verschiebungen beliebiger Punkte benutzt worden ist.

II. Geschichtliche Anmerkungen und Angabe ein - schlägiger Schriften.

Die ersten Anwendungen des Satzes von der Arbeit auf Aufgaben der Festigkeitslehre finden sich bei Clapeyron, welcher die von187 Navier^*)Mém. de l’acad. des sciences 1827, Seite 388. aus dem Principe der virtuellen Verschiebungen gefolgerte allgemeine und einzige Bedingung für das Gleichgewicht zwischen den inneren und äusseren Kräften eines elastischen Körpers anwendet und in diese an Stelle der virtuellen die wirklichen elastischen Verschiebungen einführt. Indem er hierbei die Annahme eines spannungslosen Anfangs - zustandes macht und voraussetzt, dass in jedem Punkte des Körpers die anfängliche Temperatur herrscht, erhält er die von ihm später zur Berechnung der Durchbiegung von Federn benutzte Gleichung: ½ Σ Q r = A. ^**)Vergl. die Anmerkung auf Seite 175 dieses Buches.

Lamé nennt diese Gleichung in seinen „ Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides “(Paris 1852 und 1866) das Clapeyron’sche Gesetz; er erläutert dasselbe an mehreren Bei - spielen und hebt dessen Wichtigkeit für die Statik der Bauwerke hervor.

Im Jahre 1864 leitet Clerk Maxwell in der im Philosophical Magazine, Band 27, Seite 294 abgedruckten Abhandlung: „ On the cal - culation of the equilibrium and stiffness of frames “mittelst der Clapey - ron’schen Gleichung das im § 10 dieses Buches der „ Maxwell’sche Lehr - satz “genannte Gesetz ab und entwickelt mit Hilfe desselben eine all - gemeine Theorie des statisch unbestimmten Fachwerks. Er setzt hierbei einen spannungslosen Anfangszustand voraus und lässt Temperatur - änderungen unberücksichtigt.

Die erste vollständige Theorie des statisch unbestimmten Fachwerks gab, ebenfalls auf Grund des Gesetzes der virtuellen Verschiebungen, Mohr in seiner bahnbrechenden Arbeit: „ Beitrag zur Theorie des Fach - werks “(Zeitschr. des Architekten - u. Ingenieur-Vereins zu Hannover). ^***)1874 — 1875.In dieser Abhandlung findet sich auch der in unserem Buche gegebene Beweis für den Maxwell’schen Satz sowie die Benutzung dieses Satzes zur Bestimmung der Einflusslinie für die Verschiebung eines Fachwerk - Knotenpunktes. Mohr stellte auch zuerst die elastische Linie des geraden Stabes und die Biegungspolygone der Fachwerke mit Hilfe des Seil - polygons dar.

Besonders gefördert wurde die Festigkeitslehre und namentlich die Theorie der statisch unbestimmten Konstruktionen durch das hervor - ragende Werk des leider so früh verstorbenen italienischen Ingenieurs Castigliano: „ Theorie de l’équilibre des systèmes élastiques “, welches eine Fülle schöner Anwendungen auf die Statik der Bauwerke enthält, und an dessen Spitze der mit Hilfe der Clapeyron’schen Gleichung ent -188 wickelte Satz von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit sowie der aus diesem folgende Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit stehen. ^*)Wir können nicht umhin, an dieser Stelle ein abfälliges Urtheil zu erwähnen, welches Herr Prof. Mohr in der Schrift: Beitrag zur Theorie des Fachwerks (im Civil-Ingenieur 1885) über die Castigliano’schen Sätze ausspricht, und das sich auf die Behauptung stützt, es sei, obgleich zu rich - tigen Ergebnissen führend, bei der Anwendung jener Sätze ein Irrthum, die statisch nicht bestimmbaren Grössen X als die unabhängigen Veränderlichen der Arbeit A aufzufassen, woraus dann u. A. gefolgert wird, es führe der — zwar als richtig anerkannte — Satz: δ = 〈…〉 bei einem statisch unbestimm - ten Fachwerke nicht zum Ziele. Dabei hat Herr Mohr einmal übersehen, dass man, falls A auf das ganze Fachwerk bezogen wird, und die X als Funktionen der Lasten aufgefasst wer - den sollen, nur nöthig hat, bei der Ausführung der Differentiation die Be - dingungen, denen die X genügen müssen und die auf verschiedenen Wegen gewonnen werden können, zu berücksichtigen, um sofort zu erkennen, dass der Werth δ von den nach P gebildeten Differentialquotienten der Grössen X unab - hängig ist; sodann aber scheint Herrn Mohr entgangen zu sein, dass der frag - liche Satz für jeden beliebigen Theil des Fachwerks giltig ist, beispielsweise für das statisch bestimmte Hauptnetz, an dem die Spannkräfte in den überzähligen Stäben als äussere Kräfte anzubringen sind. Betrachtet man nun zunächst den allgemeineren Fall, in welchem sämmtliche überzähligen Stabkräfte und Auflagerkräfte X willkürliche, d. h. unabhängig veränderliche Werthe besitzen und stellt mit Hilfe des Satzes δ = 〈…〉 die Verschiebungen der Knotenpunkte als Funktionen der Spannkräfte in den nothwendigen Stäben dar, so erhält man für diese Verschiebungen Ausdrücke, welche für alle endlichen Werthe der Kräfte X giltig sind, in die mithin auch diejenigen besonderen Werthe X eingesetzt werden dürfen, die sich aus den Bedingungen ergeben, an welche einzelne der dargestellten Verschiebungen gebunden sind. Auf diese Weise gelangt man gleichzeitig — und zwar lediglich mit Hilfe des Satzes δ = 〈…〉 — zu den Elasticitätsgleichungen und zu den gesuchten Verschiebungen; erstere lassen sich, falls die Auflagerkräfte bei der Form - änderung keine Arbeit leisten, auch in dem Satze zusammenfassen: es müssen die Grössen X die Formänderungsarbeit des Hauptnetzes, vermehrt um die auf die überzähligen Stäbe sich beziehende Arbeit: 〈…〉 , zu einem Minimum machen. — In unserem Buche zogen wir es vor, beide Sätze Castigliano’s aus einer allgemeineren Arbeitsgleichung zu folgern; vergl. § 12.Den letzteren Satz gab bereits früher Menabrea in der Abhandlung: „ Nouveau principe sur la distribution des tensions dans les systèmes élastiques “[Comptes rendus 1858, I, S. 1056]^**)Man sehe auch: Comptes rendus, 1884, S. 174. und, ohne die Arbeiten seiner Vorgänger zu kennen, Fränkel (1882) in der Zeitschrift des Architekten - u. Ingenieur-Vereins zu Hannover.

189

Bemerkenswerth ist, dass auch Daniel Bernoulli ein Gesetz der kleinsten Biegungsarbeit gerader Stäbe aufstellte und Euler brieflich mittheilte. ^*)Vergl. Fuss, Correspondance mathématique et physique, Tome II, S. 457, 507, 533.Euler macht hiervon Gebrauch in der seinem berühmten Werke: „ Methodus inveniendi curvas maximi minimive proprietate gaudentes “angehängten Abhandlung: „ De curvis elasticis “, in welcher er bei der Untersuchung der elastischen Linie eines geraden Stabes gleichen Querschnitts und gleicher Elasticität von dem Satze ausgeht: ut inter omnes curvas ejusdem longitudinis, quæ non solum per puncta A et B transeant, sed etiam in his punctis a rectis positione datis tangantur, definiatur ea in qua sit valor hujus expressionis 〈…〉 mi - nimus. Hierbei bedeutet d s das Bogenelement und R den Krümmungs - radius. Setzt man 〈…〉 , so erhält man, da E J = Konst. ist: 〈…〉 ein minimum. Das Integral: 〈…〉 nennt Bernoulli die „ vis potentialis “.

Wir schliessen mit der Anführung einiger Schriften, in denen der Leser weitere Anwendungen der in diesem Buche vorgetragenen Gesetze findet.

1. Castigliano, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses ap - plications. Turin (bei Negro), 1879.
2. — Intorno ad una proprietà dei sistemi elastici. Atti della Accademia delle Scienzi di Torino, Juni 1882; enthält eine Entwickelung des Maxwell’schen Lehrsatzes.
3. Fränkel, Das Princip der kleinsten Arbeit der inneren Kräfte elastischer Systeme und seine Anwendung auf die Lösung bau - statischer Aufgaben. Zeitschrift des Architekten - und Ingenieur - Vereins zu Hannover 1882, S. 63.
4. Könen, Vereinfachung der Berechnung kontinuirlicher Balken mit Hilfe des Satzes von der Arbeit. Wochenbl. f. Archit. u. Ing. 1882, Seite 402.
5. — Theorie gekrümmter Erker - und Balkonträger. Deutsche Bau - zeitung 1885, S. 607.
6. Krohn, Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen und Anwendung desselben zur Berechnung statisch unbestimmter Fach - werkträger; Zeitschr. des Archit. - u. Ing. -Ver. zu Hannover 1884,190 S. 269. Enthält eine Ableitung des Maxwell’schen Satzes und zeigt, wie dieser Satz in Verbindung mit einem von Williot ge - gebenen Formänderungspolygone zur Berechnung statisch unbe - stimmter Träger benutzt werden kann.
7. Melan, Berechnung eiserner Hallengespärre unter Anwendung des Satzes von der kleinsten Arbeit. Wochenschr. des österr. Archit. - u. Ing. -Ver. 1883, S. 149 u. 162.
8. — Ueber den Einfluss der Wärme auf elastische Systeme. Eben - daselbst 1883, S. 183 u. 202.
9. — Beitrag zur Berechnung statisch unbestimmter Stabsysteme. Zeit - schrift des österr. Archit. - u. Ing. -Ver. 1884, S. 100.
10. Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Zeitschr. des Archit. - u. Ing. -Ver. zu Hannover 1874, S. 509 und 1875, S. 17.
11. — Beitrag zur Theorie der Bogenfachwerkträger. Ebendaselbst 1881, S. 243.
12. Müller-Breslau, Der Satz von der Abgeleiteten der ideellen Form - änderungsarbeit. Zeitschr. des Archit. - u. Ing. -Ver. zu Hannover 1884, S. 211.
13.
^*)In den Abhandlungen 13 bis 19 werden die Einflusslinien für die je - weiligen statisch nicht bestimmbaren Grössen (in ähnlicher Weise wie im vor - liegenden Buche) als Momentenpolygone einfacher Balken dargestellt.
^*) — Zur Theorie der durch einen Balken versteiften Kette. Eben - daselbst 1883, S. 347. Diese Arbeit schliesst sich an den in der - selben Zeitschrift (1881, S. 57) von demselben Verfasser veröffent - lichten Aufsatz an.
14. — Vereinfachung der Theorie der statisch unbestimmten Bogenträger. Ebendaselbst 1884, S. 575. Ein Sonderabdruck erschien bei Schmorl u. von Seefeld in Hannover.
15. — Theorie des durch einen Balken verstärkten steifen Bogens. Civilingenieur 1883, S. 13.
16. — Influenzlinien für kontinuirliche Träger mit drei Stützpunkten. Wochenbl. f. Archit. u. Ing. 1883, S. 353.
17. — Ueber kontinuirliche Bögen und Balken. Ebendaselbst 1884.
18. — Zur Theorie der Versteifung labiler und flexibler Bogenträger. Zeitschr. f. Bauwesen 1883, S. 312.
19. — Beitrag zur Theorie des durch einen Balken versteiften Bogens. Ebendaselbst 1884, S. 323.
20. — Elasticitäts-Theorie der nach der Stützlinie geformten Tonnen - gewölbe. Ebendaselbst 1886.

191

21. Stelzel, Berechnung der Ferdinandsbrücke in Graz. Enthalten in der Schrift: v. Gabriely u. Winter, Ferdinandsbrücke in Graz, Mittheilungen des Polytechnischen Klubs in Graz 1883.
22. Swain, On the application of the principle of virtual velocities to the determination of the deflection and stresses of frames. Journal of the Franklin Institute 1883, Febr. bis April, S. 102, 194, 250.
23. Weyrauch, Theorie elastischer Körper. Leipzig (bei Teubner) 1884.
24. — Aufgaben zur Theorie elastischer Körper. Leipzig (bei Teubner) 1885.
25. — Arbeitsbedingungen für statisch unbestimmte Systeme. Wochenbl. f. Archit. u. Ing. 1884, S. 200.
26. Winkler, Berechnung der Windverstrebungen in Brücken mit zwei Trägern. Civilingenieur 1884, S. 211.

Verbesserungen.

Seite 10 Zeile 10 v. u. ist 〈…〉 für 〈…〉 zu setzen. „ 20 „ 5 v. u. schalte man hinter: „ Bezeichnet man “die Worte ein: zunächst für den Temperaturzustand t = 0. „ 37 „ 4 v. u. ist X für X 'zu setzen. „ 138 „ 2 v. u. schalte man hinter: „ reibungsloser Widerlager “die Worte ein: des Hauptträgers. „ 168 „ 8 v. u. ist 〈…〉 für 〈…〉 zu setzen.

[192]

Inhalt.

Abschnitt I. Theorie des Fachwerks.

Seite
§ 1. Allgemeines über das ebene Fachwerk1
§ 2. Allgemeines über das räumliche Fachwerk5
§ 3. Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen X ', X' '.... für beliebige, ebene oder räumliche Fachwerke6
§ 4. Verschiebungen der Knotenpunkte eines Fachwerks. Allgemeine Untersuchungen15
§ 5. Die Biegungspolygone für ebene Fachwerkträger19
§ 6. Das Biegungspolygon eines Netzwerkes (zweites Verfahren) 26
§ 7. Aenderung der Länge einer Gurtsehne29
§ 8. Aufgaben, betreffend die Ermittelung von Biegungspolygonen30
§ 9. Ebene Fachwerkträger mit veränderlicher Belastung. Einflusslinien (Influenzlinien) für die statisch nicht bestimmbaren Grössen X32
§ 10. Der Maxwell’sche Lehrsatz und Anwendungen desselben40
§ 11. Bemerkungen über die angenäherte Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen X ebener Fachwerkträger48
§ 12. Die Lehrsätze über die Formänderungsarbeit52
Abschnitt II. Biegungsfestigkeit gerader und einfach gekrümmter Stäbe. § 13. Allgemeine Gesetze für Stäbe, deren Querschnittsabmessungen im Verhältniss zu den Krümmungshalbmessern klein sind57
§ 14. Die Spannungen σ im geraden Stabe. Navier’sche Biegungsformel65
§ 15. Bedingungsgleichungen für statisch unbestimmte gerade Stäbe69
§ 16. Berechnung der Verschiebungen von Punkten gerader Stäbe und der Drehungswinkel von Tangenten an die Stabachse86
§ 17. Aufgaben über krumme Stäbe mit im Vergleiche zu der Quer - schnittshöhe grossen Krümmungshalbmessern93
§ 18. Die Biegungslinie105
§ 19. Der Maxwell’sche Satz. Zusätze und Anwendungen115
§ 20. Allgemeine Untersuchung des Einflusses einer Einzellast auf die statisch nicht bestimmbaren Grössen X125
§ 21. Fortsetzung138
§ 22. Schärfere Untersuchung einfach gekrümmter Stäbe144
Abschnitt III. § 23. Drehungsfestigkeit160
§ 24. Gesetze für beliebige isotrope, feste Körper169
§ 25. Schubfestigkeit177
Anhang. I. Entwickelung der Arbeitsgleichungen181
II. Geschichtliche Anmerkungen und Angabe einschlägiger Schriften186

[193]

Heinrich F. B. Müller-Breslau, Vorlesungen über Brückenbau. Band I. Eiserne Bogenbrücken. Abth. I. Die stabförmigen elastischen Bogen (Blechbogenbrücken). 1880. 216 S. Text in gr. 8 nebst 1 Atlas enth. 29 Tafeln. Brosch. 9 M. —.

Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach - und Brücken-Constructionen. Von August Ritter, Dr. phil. Geh. Reg. -Rath u. Professor an der Kgl. technischen Hochschule zu Aachen. 4. Auflage. Mit 305 Holzschnitten. Gr. Octav. Brosch. 9 Mark, eleg. geb. 11 M. —.

Resultate aus der Theorie des Brückenbaues und deren Anwendung, erläutert durch Beispiele von R. Krohn, Ingenieur und Professor an der Kgl. technischen Hochschule zu Aachen. Band I: Balkenbrücken. Mit 188 Holzschnitten u. 12 lithogr. Tafeln. 1879. gr. 8. brosch. Preis 15 M. Band II: Bogenbrücken. Mit 147 Holzschnitten u. 15 lithogr. Tafeln. 1883. gr. 8. brosch. Preis 20 M.

Vorträge über Geschichte der Technischen Mechanik und der Theoretischen Maschinenlehre sowie der damit in Zusammenhang stehenden mathemathischen Wissenschaften. Von Dr. Moritz Rühlmann, Geh. Reg. -Rath u. Professor an der Kgl. technischen Hochschule zu Hannover. Bisher erschienen: Theil I.: Vorträge über Geschichte der Technischen Mechanik. Mit zahlreichen Holzschnitten und 5 Porträts in Stahlstich. 1885. Lex. -8. In Leinwand gbdn. 14 ℳ Inhalt: Einleitung. — Aelteste Zeit (Pythagoras — Albategnius). — Mittelalter (Karl d. Gr. — Stevin). 15 — 17. Jahrh. (Galilei, Huyghens u. s. w.). — Bis Anfang des 18. Jahrh. (Newton, Leibniz, Brüder Bernoulli, L’Hospital). — 18. Jahrh. (L. Euler, D’Alembert, Lagrange, Wolff, Kästner, Lambert, Hindenburg, Pfaff, Bossut, Dubuat, Borda und Coulomb u. s. w.). — Ende des 18. Jahrh. (Laplace, Legendre, Fourier u. s. w., Monge, Hachette, Lacroix, Carnot, Prony, Gerstner, Woltmann, Eytelwein, Gauss, Poinsot, Poisson, Ch. Dupin, D’Aubuisson, Navier, Co - riolis, Poncelet). — Erstes Drittel des 19. Jahrh. (Prechtl, Beuth, Brix, Schubert, Burg, J. Weiss - bach, F. Redtenbacher, Hodgkinson, Fairbairn, Willis, Moseley, Rankine, Sadi Carnot, Clapeyron, Combes, Morin, Steiner, Staudt, Culmann. — Geschichte des Parallelogramms der Kräfte, der Ermittelung des Steifigkeitswiderstands der Seile, der Reibungsversuche. F. Heinzerling, Dr., Kgl. Baurath und Professor an der Kgl. technischen Hoch - schule zu Aachen, Der Eisenhochbau der Gegenwart. Bisher erschienen: Heft I. Hochbauten mit eisernen Pult - und Satteldächern. Mit 6 lithographirten Tafeln in gross Doppel-Folio und 18½ Bogen Text mit 139 Holzschnitten. Preis 14 ℳ Heft II. Hochbauten mit eisernen Tonnendächern. Mit 6 lithographirten Tafeln in gross Doppel-Folio, 2 Textfiguren-Tafeln und 14½ Bogen Text mit 45 Holzschnitten. Preis 14 ℳ In Vorbereitung ferner: Heft III. Hochbauten mit eisernen Zelt und Kuppeldächern. Heft IV. Hochbauten mit eisernen Zwischendecken.

[194]

Leipzig, Druck von Grimme & Trömel.

[195][196][197]

About this transcription

TextDie neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen

Author Heinrich F. B. Müller-Breslau

Extent209 images; 44877 tokens; 4816 types; 299023 characters

Responsibility Alexander Geyken, ed.; Susanne Haaf, ed.; Bryan Jurish, ed.; Matthias Boenig, ed.; Christian Thomas, ed.; Frank Wiegand, ed.

CLARIN-DNote: Langfristige Bereitstellung der DTA-Ausgabe

EditionVollständige digitalisierte Ausgabe.

About the source text

Bibliographic informationDie neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen ausgehend von dem Gesetze der virtuellen Verschiebungen und den Lehrsätzen über die Formänderungsarbeit Mit 121 Textfiguren in Holzschnitt Heinrich F. B. Müller-Breslau. . IV, 191 S. BaumgärtnerLeipzig1886.

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SUB Göttingen Göttingen SUB, 8 M ARCH I, 1924https://opac.sub.uni-goettingen.de/DB=1/CMD?ACT=SRCHM&IKT0=54&TRM0=8%20M%20ARCH%20I%2C%201924

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DTADirName mueller_festigkeitslehre_1886
DTAID 16316
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Holding LibrarySUB Göttingen

ShelfmarkGöttingen SUB, 8 M ARCH I, 1924

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