Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.
Alle Rechte vorbehalten.
Die noch vor der Fertigstellung des Textes zum zweiten Bande an den Verfasser herangetretenen Direktionsgeschäfte der technischen Hochschule haben demselben nicht gestattet, über die verhältnissmässig geringen Lücken seines Manuskripts im Lauf des Jahres hinweg - zukommen, und glaubt derselbe, von manchen Seiten gedrängt, die Herausgabe der seit fünf Monaten im Druck vollendeten ersten Ab - teilung dieses Bandes nicht länger zurückhalten zu sollen. Die zweite (und letzte) Abteilung dürfte bald nach den Herbstferien folgen.
Karlsruhe in Baden, im Juni 1891.
Der zahlreichen Rückverweisungen halber geben wir unserm zweiten Bande auch wieder mit bei den Inhalt des ersten Bandes.
| 30×) | a a1 = 0, | a + a1 = 1, | 30+) |
| 30× ') | a a1 '= 0, | a + a1 '= 1, | 30+ ') |
| Th. 36) (a b) 1 = a1 + b1 | (a + b) 1 = a1 b1 |
| (a b) (a b) 1 = 0 | 1 = (a + b) + (a + b) 1 |
(EXAKTE LOGIK).
[1]Die bisherigen Betrachtungen des Gebiete - und Klassenkalkuls haben wir jeweils durch ein flächenförmiges, ein zweidimensionales Substrat illustrirt. Dass dieser Umstand nebensächlich ist, wurde in - dess schon in § 3 hervorgehoben; wir durften ebensogut eine höhere oder auch eine niedrere Mannigfaltigkeit wählen.
Ohnehin hat die Veranschaulichung kein wesentliches Moment bei dem Aufbau unsrer Disziplin gebildet. Wir haben deren Prinzipien einfach axiomatisch hingestellt, und gingen dann streng analytisch zuwerke; bei den auf diese Prinzipien gegründeten Schlüssen und Beweisen liess es sich durchweg vermeiden, dass jemals an die Anschauung appellirt werden musste. Ob — wie F. A. Lange meint — solche Anschaulichkeit bei den ersten Prinzipien wenigstens erforderlich war, um das Gefühl der Evidenz hervorzurufen, überliessen wir der Psychologie, zu entscheiden.
Veranschaulichungsmittel wurden von uns nur nebenher, aus didak - tischen Gründen herbeigezogen, und in dieser Weise werden wir auch fortfahren uns zu verhalten.
Wenn es (demnach) auch nach wie vor theoretisch unwesentlich bleibt, so wird es doch in erzieherischer Hinsicht von Wichtigkeit — um zu einer richtigen Auffassung des Folgenden erleichternd vorzu - bereiten — dass wir die Aufmerksamkeit nunmehr auf eine Mannig - faltigkeit von einer Dimension, auf eine „ lineare “Mannigfaltigkeit kon - zentriren, die Deutung der Sätze des Gebietekalkuls in einer solchen einüben.
Verstehen wir namentlich unter der identischen 1 die Mannig - faltigkeit der Punkte einer nach beiden Seiten unbegrenzten geraden Linie, so gelten wiederum alle bisherigen Sätze.
Unter a, b, ‥ werden wir jetzt irgendwelche Punktgebiete dieser Geraden zu verstehen haben.
Ein solches Gebiet wird im allgemeinen sein ein System von inner - halb dieser Geraden liegenden von einander getrennten Strecken nebstSchröder, Algebra der Logik. II. 12Fünfzehnte Vorlesung.irgend welchen dazwischen oder ausserhalb dieser Strecken auf der Geraden befindlichen isolirten Punkten. Unter Umständen kann auch ein nach der einen Seite unbegrenzter Strahl, einer der beiden „ Endstrahlen “der Geraden (von beliebigem Punkte an gerechnet) zu dem Gebiete gehören, oder auch zwei solche Endstrahlen (die dann nicht übereinandergreifen sollen) aus zwei verschiedenen Anfangspunkten nach rechts und links in’s Unendliche gehend.
Auch für jeden einzelnen Anfangs - oder Endpunkt einer zu dem Gebiet gehörigen Strecke resp. eines Endstrahles ist es als ausgemacht vorauszusetzen, ob er zu dem Gebiet gerechnet werden solle oder nicht; man kann z. B. sämtliche begrenzenden Punkte in das Gebiet einschliessen oder aber, sie alle ausschliessen. [In Gestalt der reellen Zahlen verfügt die Mathematik über die Mittel, wenn zwei Punkte der Geraden als bekannt vorausgesetzt werden, die dann etwa mit der arithmetischen 0 und 1 benannt werden mögen, jeden dritten Punkt der Geraden vollkommen zu bestimmen, seine Lage so unzweideutig zu beschreiben, dass er auch mit ihm noch so nahe stehenden Punkten unmöglich verwechselt werden kann.]
Die isolirten Punkte können auch in der Nähe gewisser Stellen, ja sogar längs gewisser Strecken, sich unendlich dicht häufen ohne doch da - selbst ein stetig zusammenhängendes Gebiet auszufüllen; ebenso lassen sich aus einer Strecke vereinzelte Punkte fortlassen, als nicht zu dem Gebiet gehörig hinstellen, das im übrigen die Strecke enthalten soll, u. s. w. Es muss der „ Mannigfaltigkeitslehre “überlassen bleiben, alle hier denkbaren Möglichkeiten vollständig aufzuzählen und sie zu klassifiziren.
Die identische Eins bedeutet hier, wie schon gesagt, die ganze unbegrenzte Gerade als das umfassendste der in ihr enthaltenen Punkt - gebiete. Das Nullgebiet — hier schlechtweg als identische Null mit 0 zu bezeichnen — ist nicht etwa ein Punkt, sondern es enthält keinen Punkt der Geraden, und da es ein Punktgebiet der Geraden sein soll, so ist es ein leeres Gebiet, hat zur Bedeutung: „ nichts “.
Es mag uns die Figur:
ein Gebiet der geschilderten Art veranschaulichen in der als Horizontale verlaufenden Geraden. Die Pfeilspitze rechts soll andeuten, dass der letzte Strich als „ Endstrahl “unbegrenzt nach rechts fortzusetzen sei; wo die Striche stumpf endigen, soll der Endpunkt der durch sie markirten Strecke dem Gebiete eingerechnet sein, wo sie spitz auslaufen, ihm abgerechnet werden; das Gebiet enthält vierzehn isolirte Punkte (die Mittelpunkte der sie hier markirenden Tupfen), auch soll in der zweiten Strecke (von links) ein isolirter Punkt (nur die Mitte der Lücke) fehlen.
Gleichwie früher für die Flächen meistens Kreise genommen wurden, so soll aber jetzt zur Veranschaulichung eines Gebietes der Einfachheit wegen vorzugsweise eine einfach zusammenhängende Strecke gewählt werden (wo nicht anders bemerkt, mit Einschluss von deren Endpunkten).
3§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.Eine Subsumtion a ⊆ b wird dann zu veranschaulichen sein durch die Alternative zwischen den beiden Figuren:
Und wenn zwei Strecken a, b einen Teil gemein haben, wie in Fig. 4, so wird sich deren identisches Produkt a b als ebendieser gemeinsame Teil darstellen, und ihre identische Summe a + b als die Strecke zu welcher beide miteinander verwachsen, zusammenfliessen, so wie es die genannte Figur versinnlicht.
Haben aber, wie in Fig. 5, die beiden Strecken keinen Teil (auch nicht einen Endpunkt) gemein, so ist ihr Produkt a b = 0, mithin einer wirklichen Veranschaulichung überhaupt nicht fähig, weshalb wir dies Produkt auch nicht in die Figur eingetragen haben; ihre identische Summe a + b ist dann ein Gebiet, ausschliesslich bestehend aus den beiden getrennten Strecken als Teilen. (Hätten die Strecken a, b nur einen Endpunkt gemein, so würde in diesen als einen iso - lirten Punkt, das Gebiet a b sich zusammenziehen.)
Die Negation a1 einer Strecke a bedeutet endlich die ganze „ Aussenstrecke “, ohne die Endpunkte, von jener — bestehend aus den beiden durch die Strecke a getrennten nach links und rechts von ihren Begrenzungspunkten in’s Unendliche gehenden Endstrahlen unsrer Geraden 1, was die Figur veranschaulicht:
Umgekehrt ist die „ Innenstrecke “a auch die Negation dieses a1.
Von der Betrachtung unsrer Geraden, als einer räumlichen ein - dimensionalen Mannigfaltigkeit, können wir übergehen zu derjenigen einer andern — gleich ihr unbegrenzten — Mannigfaltigkeit von einer Dimension, welche nicht räumlich ist. Eine solche ist die Zeit.
Den Punkten der Geraden lassen sich geradezu die Elemente der Zeit „ ein-eindeutig “zuordnen, d. h. gegenseitig eindeutig, m. a. W. so zu - ordnen, dass einem jeden Punkt (oder Element) der Geraden ein be - stimmtes Zeitelement, ein bestimmter Moment oder Augenblick aus -1*4Fünfzehnte Vorlesung.schliesslich entspricht, und umgekehrt auch jedem Zeitmomente je ein bestimmter Punkt der Geraden. Zu dem Ende braucht man sich nur die Gerade etwa von einem sich „ gleichförmig “bewegenden Punkte — z. B. von links nach rechts hin durchlaufen zu denken.
Den Punkt mit konstanter, mit in der Zeit sich gleich bleibender, unveränderlicher Geschwindigkeit sich bewegen zu lassen, also dass er in gleichen Zeitabschnitten auch immer unter sich gleiche Wegestrecken be - schreibt, ist nicht wesentlich für unsre Betrachtung, es ist dies nur die nächstliegende aber auch die einfachste und bequemste der zur Verfügung stehenden Vorstellungsweisen. Genügen würde schon die Annahme, dass unser Punkt in einer irgendwie bestimmten Weise nur überhaupt die ganze Gerade durchlaufe, ohne aber jemals stille zu stehen oder gar um - zukehren, rückläufig zu werden, also in einem bestimmten Sinne, in der gleichen Richtung stetsfort sich bewegend — so etwa, dass er jeden rechts von der Stelle, wo er sich soeben befindet in endlicher Entfernung liegenden Punkt auch in endlicher Zeit erreichen wird, und ebenso auch jede angeb - bare zur linken von jener befindliche Stelle vor endlicher Zeit passirt haben muss.
Der Ort auf der Geraden, wo der Punkt sich eben befindet ent - spricht alsdann dem gegenwärtigen Augenblick, jede links davon be - findliche Stelle einem bestimmten Moment der Vergangenheit, und jede zur Rechten einem solchen der Zukunft — und umgekehrt. Man kann irgend einen Punkt auf der Geraden betrachten als den Träger, das Bild desjenigen Augenblicks, in welchem der sich bewegende Punkt durch ihn hindurchging, - geht oder - gehen wird, und mit irgend einem Zeitmoment in der Vergangenheit, als Gegenwart, oder in der Zukunft, ist auch zugleich ein Punkt der Geraden gegeben als der - jenige Ort, an welchem der sich bewegende Punkt sich in ihm befindet. Es ist bezeichnend für die Berechtigung und Landläufigkeit dieser Zu - ordnungsweise, dass die Sprache geradezu von „ Zeitpunkten “redet.
Wenn es nicht von vornherein als selbstverständlich erschiene, so müsste es auf diesem Wege einleuchten und wird es obendrein dadurch anschaulich, wie der identische Kalkul mit allen seinen Gesetzen auch auf Gebiete von Zeitpunkten anwendbar ist.
Zur Versinnlichung etwaiger auf solche bezüglichen Betrachtungen mittelst Figuren werden wir natürlich nur zu dem erwähnten Bilde, zu der Geraden, unsre Zuflucht nehmen.
Die Eins bedeutet uns aber jetzt die ganze Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte, „ die ganze Zeit “, welche sich zusammensetzt aus der nach rückwärts unbegrenzten Vergangenheit, der Gegenwart und der nach vorwärts unbegrenzten Zukunft, und mit einem Worte auch Ewigkeit genannt werden mag.
5§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.Zu ihrer bessern Unterscheidung von der bisherigen, eine räum - liche Mannigfaltigkeit darstellenden oder auch im Klassenkalkul ver - wendeten (und auch noch fernerhin in dieser Weise zu verwendenden) 1, möge die Eins, als Symbol der Ewigkeit gedeutet, mit einem Tupfen versehen, die Ewigkeit durch das Zeichen i hinfort dargestellt werden.
Von einer Aussage, welche für diese ganze Zeit wahr zu sein be - ansprucht, wird zu sagen sein, sie gelte „ immer “, „ stets “, und kann also die „ Gültigkeitsdauer “einer solchen Aussage durch i ausgedrücktwerden.
Der identischen Null aber wird jetzt eine Zeitbestimmung ent - sprechen, welche die Sprache mit dem Adverbium „ nie “, „ niemals “wiedergibt. Zur Unterscheidung von der 0 des Klassenkalkuls oder auch des Kalkuls mit Gebieten überhaupt könnte man diese Null in der Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte ebenfalls mit einem Tupfen ver - sehen, sie mit 0̇ darstellend; indessen erscheint es mir unbedenklich, dies Unterscheidungsmerkmal wegzulassen: die gedachte Klasse, das Gebiet ist hier wie dort ein leeres.
Einer Aussage die „ Gültigkeitsdauer “0 zuschreiben heisst nun also, dieselbe für eine jederzeit ungültige, für eine niemals — auch nicht einen Augenblick — gültige erklären.
Ein ganz beliebiges Gebiet von Zeitpunkten bestehend vielleicht aus mehreren getrennten Zeiträumen oder auch vereinzelten Augen - blicken, so wie es z. B. die Fig. 1 veranschaulichen würde, könnten wir jetzt kurz ein „ Zeitgebiet “nennen. Dafür werden wir aber manchmal auch den Namen „ (Zeit -) Dauer “oder „ Zeitraum “selbst gebrauchen, auch wenn das Gebiet (wie in dem angeführten Beispiele) aus getrennten Zeitabschnitten, Perioden oder Epochen, eventuell nur isolirten Zeitpunkten zusammengesetzt sein sollte. Namentlich werden wir in diesem weiteren Sinne — da „ Gültigkeitszeitgebiet “unbehülf - lich erscheint — „ Gültigkeitsgebiet “aber noch einen andern Sinn liefert, Nebenbedeutungen hätte, von der „ Gültigkeitsdauer “einer Aus - sage nunmehr zu sprechen haben [ohne jedoch im geringsten die Vor - stellung von einer metrischen Beziehung mit diesem Wort zu verknüpfen].
Unstreitig haben schon alle bisherigen Betrachtungen ein „ zeit - liches Moment “enthalten, wenn dieses auch psychologisch sehr in den Hintergrund des subjektiven Bewusstseins trat; sie waren in gewisser Weise doch mit dem Zeitbegriff verwoben.
So wurden namentlich oft Voraussetzungen als gleichzeitig anzu - nehmende hingestellt. Z. B. „ Wenn a ⊆ b und zugleich b ⊆ a ist, werde a = b geschrieben “— so lautete die Definition (1) der Gleich -6Fünfzehnte Vorlesung.heit; „ Wenn (gleichzeitig) a ⊆ b und b ⊆ c ist, so ist a ⊆ c (und muss es sein) “— das Prinzip II.
Wenn c ⊆ a und c ⊆ b, so forderte c ⊆ a b zu schreiben die Def. (3×), und auch hier liegt schon in der Konjunktion „ und “die Forderung der gleichzeitigen Adoptirung der Prämissen. Etc.
Zudem ist zu bemerken, dass unsre Überlegungen sich häufig bewegten in der Form von „ hypothetischen “Urteilen, die mit den Kon - junktionen „ Wenn …, so … “zwei Aussagen verknüpfen. Die Par - tikel „ wenn “ist aber etymologisch und historisch sehr nahe verwandt mit der Zeitpartikel „ wann “. Man kann sie in den angeführten Bei - spielen (sowie überhaupt) geradezu durch letztere ersetzen, ohne dass dabei die Tragweite der Urteile, ihr logischer Gehalt, irgend eine Änderung erlitte. Wohl aber wird allerdings der lebendige psycho - logische Gehalt der Sätze dabei eine Modifikation erleiden, indem eben dadurch jenes versteckt gewesene zeitliche Moment mehr in den Vorder - grund des Bewusstseins geschoben wird — vielleicht auch auf Kosten des „ apodiktischen “Charakters jener Sätze: was vorher lebhaft als eine Denknotwendigkeit empfunden wurde, wird, falls wir „ wann “statt „ wenn “sagen, nur mehr „ assertorisch “als ein Erlebniss, eine That - sache der Wahrnehmung registrirt (bei II z. B.).
Endlich beanspruchten ja alle unsre Theoreme, stets gültig zu sein. Es ist immer a b ⊆ a nach Th. 6×). Und so weiter.
Im übrigen blieb das Bewusstsein ihrer Zeitlichkeit bei den Aus - sagen wol latent, verschwommen; es schlummerte die Aufmerksam - keit auf dieses Merkmal.
Wollen wir uns aber zu einer exakten Theorie der Urteile (wie sie der Aussagenkalkul darstellen wird) nunmehr erheben, so erscheint es geboten, auf jenes „ zeitliche Moment “sorgfältigst zu achten und mit jeder Aussage die Vorstellung einer bestimmten Gültigkeitsdauer derselben (oder eines nachher zu erwähnenden Surrogates, wonicht Äquivalentes, für diesen Begriff) zu verknüpfen.
Irgend welche Aussagen — seien es kategorische, hypothetische, disjunktive oder andere*)Ob es noch andere Urteilsformen ausser den aufgezählten gibt, ist strittig, fraglich. Mir scheint z. B. der als Dr. Fischer’s Ausspruch bekannte und be - rüchtigte Satz: „ Afrika ist, wo es (für den Europäer) gesund ist, unfruchtbar, wo es fruchtbar ist, ungesund “— dessen materielle Wahrheit wir dahin gestellt sein lassen — zu keiner der drei erwähnten Abteilungen eigentlich zu gehören. — könnten auch durch Buchstaben des grossen lateinischen Alphabets repräsentirt werden und ihre Gültig -7§ 28. Zum Aussagenkalkul.keitsdauern durch die entsprechenden Buchstaben des kleinen, wo eine Verwechselung beider irgend zu besorgen stünde.
Eine dem Sinne nach vollkommen bestimmte Aussage ist entweder wahr (richtig, gültig, berechtigt) oder nicht wahr (falsch, ungültig, unzulässig).
Ist die Aussage sinnlos, oder bestehen Zweifel über den Sinn, die Auslegung derselben, so lässt sich dies keineswegs behaupten; im letztern Falle kann sie z. B. wahr sein im einen und falsch in einem andern Sinne.
Viel Streit entspringt aus mangelhafter Verständigung über den Sinn der strittigen Aussagen, und schon darum ist es wichtig, über die Schwächen unsres Verständigungsmittels, der Wortsprache, zu klarem Bewusstsein zu kommen, indem man an sie anlegt den unveränderlichen Maasstab eines abso - lut konsequenten, bestimmten und exakten Ausdrucksmittels, zu welchem wir die Formelsprache unsres Kalkuls auszubilden haben. Wer einmal jene Schwächen erkannt hat, wird auch weniger leicht durch die Ungeduld sich abhalten lassen, bevor er in Streit eintritt, jene erforderliche Ver - ständigung anzustreben.
Eine Aussage kann z. B. wohl Subjekt einer andern sein, oder — noch allgemeiner — überhaupt ein Objekt, auf welches die gedachte zweite Aussage sich irgendwie bezieht; aber sie darf nicht sich selbst zum Gegen - stande haben, sie darf insbesondre nicht als ihr eigenes Subjekt auftreten.
Von dieser Beschaffenheit wäre z. B. der isolirt hingestellte Satz: „ Gegenwärtige Aussage ist unrichtig “, die von jemand ohne allen Bezug auf vorangegangene oder nachfolgende Aussagen für sich hingestellte Be - hauptung: „ Ich sage hiermit eine Unwahrheit “. *)„ Ich lüge jetzt “— bei Lotze — in Vereinfachung des alten Sophisma’s von dem Kretenser, welcher behauptet haben sollte, dass alle Kretenser beständig lögen — was nur möglich und wahr zugleich sein konnte, wenn er es selbst nicht glaubte.Solche Aussage kann nicht wahr sein, weil es dann eben keine Unwahrheit, sondern eine Wahr - heit wäre, die gesagt worden, und sie kann auch nicht unwahr sein, weil es dann eben zur Wahrheit würde, dass sie unwahr ist.
Diese Aussage ist also in der That weder wahr noch falsch; dieselbe ist aber sinnlos, indem sie sich auf einen Sinn beruft, solchen als bekannt voraussetzt, den sie selbst erst geben, erklären sollte, aber, wie erkannt, unmöglich haben kann. Die Aussage stempelt hier überdies mit Denk - notwendigkeit sich zu einer solchen. — Ebenso sinnlos würde auch die andre Aussage (isolirt hingestellt) sein: „ Ich sage hiermit die Wahrheit “. Nur würde die letztere in beregter Hinsicht sich sozusagen indifferent verhalten, den Sinn blos ewig vermissen lassen.
Im Zusammenhang hiermit steht es, dass wenn etwa jemand wetten wollte, dass er die eben damit eingegangene Wette verlieren (desgleichen, falls man es vorzieht, dass er sie gewinnen) würde, solche Wette als eine gegenstandslose niemals zum Austrag gebracht werden könnte.
Wir streifen hierbei auch den Fall des Sophisten Euathlos, der seinem Rechtslehrer Protagoras das Unterrichtshonorar zu bezahlen versprach, nach - dem er seinen ersten Prozess gewonnen haben würde, dann aber überhaupt8Fünfzehnte Vorlesung.keinen Prozess führte bis ihn sein Lehrer auf Zahlung des Honorars ver - klagte. („ In dem Prozesse musste in zwei verschiedenen Verhandlungen ein verschiedener Spruch gefällt werden. Zunächst war die Bedingung des Vertrages noch nicht eingetreten: Euathlus hatte bis dahin noch keinen Prozess gewonnen, war also noch nicht zur Bezahlung verpflichtet. Er musste also diesen Prozess gewinnen. Aber eben hierdurch veränderte sich die Sachlage und es musste dem Protagoras das Recht gewährt werden, auf Grund des veränderten Verhältnisses eine zweite Klage anhängig zu machen, die nunmehr zu seinem Vorteil entschieden werden musste “. Ueberweg1 p. 360 sq.). Auf hier nur gestreifte Schwierigkeiten und die traditionellen logischen Paradoxien geht Mr. Peirce in 10c mit grossem Scharfsinn ein.
Um den Sinn einer Aussage zu einem vollkommen bestimmten zu machen, ist nicht erforderlich, dass dieselbe über alles Erdenkliche, dass sie vollständige Auskunft gebe. Jede noch so ausführliche oder detaillirte Aussage, mag sie auch von Weisheit strotzen, ist nur ein verschwindend kleines Bruchstück aus der vollen Wahrheit, welche die ganze Wirklichkeit beschreibend umfassen müsste; sie ist und bleibt nur ein kurzer Auszug (an „ abstract “), in welchem von einer ungeheuren Mehrheit von Nebenumständen, für die Untersuchung un - wesentlich erscheinenden Ereignissen, Verhältnissen und Beziehungen abgesehen, abstrahirt wird; ja sogar auch wesentliche Beziehungen verschwiegen, eventuell für fernere Aussagen aufgespart, der Fort - setzung der Untersuchung oder Mitteilung vorbehalten werden.
Ich kann darum nicht umhin, die Formel des deutschen Zeugeneides (wie ich sie wenigstens bei schöffengerichtlichen Verhandlungen kennen gelernt habe) nach welcher Zeuge einfach schwören muss „ nichts zu ver - schweigen “(statt etwa: „ nichts, was nach des Zeugen bestem Ermessen für die Untersuchung von Belang sein könnte “, oder vielleicht: „ nichts, wonach er gefragt wird “) schon in logischer Hinsicht zu beanstanden.
All’ unser Wissen, nicht nur, sondern auch unser Aussagen bleibt Stückwerk. Bei den kategorischen Urteilen wenigstens — auf die andern kommen wir noch eingehend zu sprechen — scheint für die Bestimmtheit der Aussage es auszureichen, wenn Subjekt und Prädi - kat derselben wohldefinirte Klassen sind, deren Determination — mag sie näher auch in der Aussage selbst erst erfolgen — doch mittelst anderweitig schon bekannter Klassen, mittelst gegebener Begriffe er - folgt. [Bei dem Subjekt des oben angeführten Beispiels „ Diese Aus - sage ist unwahr “, war solches — in der suppositio realis, d. h. wenn „ diese Aussage “nicht blos als grammatikalischer Satz, als Wortgefüge, sondern dem Sinne nach genommen wird — wie erkannt, nicht der Fall.]
Soll eine verständliche Aussage mit solchem bestimmten Sinne auch noch den Anspruch auf Wahrheit verbinden, so muss — ob zwar9§. 28. Zum Aussagenkalkul.sie unvollständig, nur ein Bruckstück der Wahrheit bleibt — doch diejenige Auskunft wenigstens, welche die Aussage gibt, von ihr richtig gegeben sein, d. h. es muss möglich bleiben, mit der Phantasie oder auf Grund weiterer Forschungen, alles das, was die Aussage un - erwähnt und darum offen gelassen, sowie auch, was sie allenfalls aus - drücklich als unbestimmt hinstellte, wahrheitsgemäss noch nachzutragen, und zwar ohne dass ein Widerspruch zu ihr selbst entsteht. Die Praxis des Lebens kehrt sich nicht immer hieran, indem sie aus Rücksicht auf die Schwierigkeiten der Mitteilung, auf die Unmöglichkeit, alles Erforderliche auf einmal zu sagen, zuweilen gestattet, eine gemachte Aussage durch nachträgliche Anführung von Einschränkungen oder Ausnahmen teilweise wieder aufzuheben. In solchen Fällen ist jene erste Aussage, mag sie auch grammatikalisch bereits abgeschlossen sein, doch in logischer Hinsicht als eine unfertige anzusehen, welche erst mit dem Hinzutreten der Einschränkungen ihre Vollendung erhält.
Ich glaube mich hier mit diesen wenigen Andeutungen begnügen zu dürfen, wenn auch mit dem vollen Bewusstsein ihrer Unzulänglichkeit, indem ich mir nicht verhehle, dass es wol zu den schwierigsten Aufgaben gehören möchte, allgemein zu charakterisiren, wann eine Aussage sinnlos ist, wann da - gegen sie einen vaguen, wann einen ganz bestimmten Sinn besitzt, gleichwie im letzteren Falle, zu sagen, was es eigentlich heisst, dass sie wahr oder falsch sei.
Sinnlos ist z. B. die in unsrer fränkischen Provinz populäre Wetter - regel: „ Sobald ein Stück blauen Himmels zu erblicken ist, so gross, dass der Schneider ein Paar Beinkleider daraus fertigen könnte, so gibt es an dem Tag noch schönes Wetter. “ Hier nämlich (wie auch, wenn etwa jemand sagte: „ so gross wie eine Ellipse “) versagt die scheinbar gegebene Grössen - bestimmung, und wollte mit solchem Ausspruch der Volkswitz wol nur die Unsicherheit der Wetterprophezeiung überhaupt persifliren.
Ist die stets in einerlei Sinne verstandene, die Aussage konstanten Sinnes einmal wahr, so bleibt sie dies auch in alle Ewigkeit und musste es immer gewesen sein, sie gilt dann stets; ist sie falsch, so kann ihr auch zu keiner Zeit Wahrheit zukommen, sie ist dann nie - mals wahr. Die Gültigkeitsdauer einer derartigen Aussage ist demnach entweder die Ewigkeit i, oder aber 0.
Wir werden künftig ganze Aussagen nicht selten mittelst Buch - staben darstellen. Bedeutet a die Aussage: „ 2 × 2 ist 4 “, und b die Aussage: „ 2 × 2 ist 5 “, so exemplifizirt uns a die (stets) wahre, b die (stets) falsche Aussage.
So oft wir eine Aussage in Rechnung setzen, und zwar einerlei, ob sie dabei durch einen Buchstaben vertreten, oder ob sie vollinhaltlich, detaillirt (in einer Klammer) angegeben wird, soll sie als ihre Gültig - keitsdauer verstanden, ausgelegt werden.
10Fünfzehnte Vorlesung.Für die obigen Beispiele dürfen wir demnach sagen, dass: a = i und b = 0 ist. Anstatt — wie hienach berechtigt — zu schreiben: (2 × 2 = 4) = i, wird man aber kürzer die Behauptung 2 × 2 = 4, oder a selbst, ein - fach hinstellen. Wogegen die Falschheit der Behauptung, dass 2 × 2 gleich 5 sei, vorerst nicht einfacher darzustellen ist als mittelst des Ansatzes: (2 × 2 = 5) = 0.
Bedeutet c die Aussage: „ Die Masse der Welt ist konstant “und d die Aussage: „ Die Materie ist vergänglich “, so ist (nach den Grund - lehren der Physik) ebenso c = i und d = 0, die erstere nämlich wahr, die letztere falsch, und zwar nicht nur soeben, sondern überhaupt.
Man könnte gegen oben Gesagtes einwenden: der Ausspruch „ Caesar wurde ermordet “sei vor oder während seiner Ermordung noch nicht wahr gewesen, sei erst seitdem wahr. Wird das Tempus des Verbums festgehalten, so ist dieser Einwand auch sicherlich berechtigt. Allein dann haben wir, obzwar eine Aussage von grammatikalisch konstanter Form, von sich gleich bleibendem Wortlaute, doch gerade eben nicht eine solche konstanten Sinnes, indem das Tempus prae - teritum, auf welches mit der Verbalform „ wurde ermordet “hin - gewiesen wird, zu verschiedenen Zeiten eine verschiedene Bedeutung beansprucht.
Aus diesem Beispiel wird ersichtlich, dass ein erzählendes (eventuell auch ein beschreibendes) Urteil, soll es konstanten Sinn besitzen, mit seinem Verbum nicht an die relative Gegenwart (Vergangenheit oder Zukunft) d. i. die Gegenwart (etc.) der Aussage anknüpfen, darf, es darf m. a. W. nicht auf den Zeitpunkt, in welchem die Aussage fällt, sich beziehen, sondern es muss dasselbe vielmehr auf einen absolut be - stimmten Zeitpunkt oder Zeitraum verweisen, wofern es solchen nicht ganz unbestimmt lässt.
Letzteres wäre für unser Beispiel etwa der Fall, wenn wir sagten: Die Ermordung Caesar’s ist ein Ereigniss in der Wirklichkeit, ist (eine) historische Thatsache. Das andere, falls wir sagten: „ Die Ermordung Caesar’s fällt in das Jahr 44 v. Chr. “ In dieser Fassung ist der Satz zu allen Zeiten wahr gewesen. Ebenso bei den Aussagen: „ In die Jahre 1870 und 71 fällt ein deutschfranzösischer Krieg “, „ Am 28. Mai 1900 findet eine ringförmige Sonnenfinsterniss statt “. Letzteres ist11§. 28. Schätzung von Aussagen nach den Zeiten ihrer Gültigkeit.auch jetzt schon wahr, und brauchen wir hier nicht das Verbum in das Futurum, dort es nicht in das Präteritum zu setzen. Der Sprachgebrauch gestattet in solchen Fällen die Präsensform; doch ist zu bemerken, dass bei völliger Unbestimmtheit sowol, als auch bei absolut bestimmter Angabe eines Zeitraums oder Zeitpunktes, in welchen ein Ereigniss fällt, in dem ein Zustand währt, jede Temporalflexion des Verbums überflüssig ist, ja nachteilig wirken muss, präjudizirt, indem das Präsens z. B. doch Vergangenheit und Zukunft auszuschliessen scheint oder wenigstens sie unberücksichtigt lässt. (Vergl. Bd. 1, S. 153).
Nun kann aber in unsern Kultursprachen eine Aussage überhaupt nicht gegeben werden, ohne dass in ihr das Verbum in einem ganz bestimmten Tempus — sei es Präteritum, Präsens oder Futurum — steht, und somit gibt sich hier wieder einmal eine Unvollkommenheit der Wortsprache kund. Eine Armut, auch, derselben zeigt sich darin, dass sie zum Ausdruck von wesentlich verschiedenen Beziehungen doch der nämlichen Formen sich bedienen muss:
Es ist ein ganz anderes Präsens, in welchem die Kopula unsrer Aussage steht, wenn wir sagen: „ zwei mal zwei ist vier “, als wenn wir sagen: „ es ist vier Uhr (Nachmittags, hiesiger Zeit am hiesigen Platze) “. Jenes ist das „ aoristische “Präsens: 2 × 2 ist nicht nur soeben = 4, sondern war es auch stets und wird es immer sein; da - gegen, wenn es soeben vier Uhr ist, so war es das vor einer halben Stunde noch nicht, und wird es demnächst nicht mehr sein.
Es scheinen mir neben den zugehörigen unterscheidenden Formen sogar auch die Namen zu fehlen für die verschiedenen Bedeutungen, die in Hin - sicht der Auslegung des Verbums nach seinem Tempus logisch unter - schieden werden müssen; ich wüsste wenigstens die zweite Art des Präsens im Gegensatz zur ersten, die ich — schon etwas gewagt — die „ aoristische “nannte*)D. h. die „ unbegrenzte “; Grammatiker sprechen auch von einer „ durativen “Bedeutung des Präsens und — bei Sentenzen — von einer „ gnomischen “., nicht mit einem gebräuchlichen Namen zu benennen. Jedenfalls hat in beregter Hinsicht die altgriechische Sprache etwas schärfer unter - schieden, als unsere modernen Sprachen, indem sie für gewisse Tempora der Vergangenheit und Zukunft neben den gewöhnlichen auch aoristische Formen schuf.
Im wissenschaftlichen Interesse wäre wol zu wünschen, dass es neben dem gewöhnlichen Präteritum (mit seinen Abstufungen als Imper - fektum, Perfektum und Plusquamperfektum), dem Präsens und dem Futurum (nebst Abstufungen) auch ein Tempus generale (oder aoristicum) gäbe — behufs Vermeidung der Umständlichheit, dass man eigentlich: „ war stets, ist, und wird stets sein “(etc.) sagen müsste.
12Fünfzehnte Vorlesung.Und ferner — als praktisch vielleicht in noch höherem Maasse Bedürfniss — sollte man verfügen können über ein Tempus indefinitum oder indeterminatum, eine Temporalform, die offen, unausgedrückt lässt, ob von Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft die Rede; dieselbe wäre nicht nur da zu gebrauchen, wo, wie erwähnt, genauere in der Aussage enthaltene Zeitangaben die übliche Temporalflexion ihres Verbums als überflüssig, ja einseitig, unvollständig oder irreführend erscheinen lassen, sondern überhaupt, wenn es sich darum handelt, von Ereignissen in zusammenfassender Schilderung (erzählend, be - schreibend und eventuell vorhersagend) zu reden, die teilweise der Ver - gangenheit, vielleicht der Gegenwart und teilweise auch der Zukunft angehören mögen, bei denen es aber unbekannt oder nebensächlich ist, inwiefern oder in welchen Verhältnissen sie das eine thun, oder das andere.
Umstände, unter denen solches von Belang würde, können leicht schon bei der brieflichen Korrespondenz eintreten, wo die Gegenwart des Ab - senders eine andere ist, als die des Empfängers. Dass aber in den Wissen - schaften sich die erwähnte Armut der Wortsprache nicht schlimmer fühlbar gemacht hat, und deshalb fortbestehen konnte, erklärt sich unschwer aus der scharfen Sonderung jener in historische und physikalisch-mathematische Wissenschaften, bei deren ersteren es niemals gleichgültig erscheint, ob ein Ereigniss schon stattgefunden hat, oder erst stattfinden wird, wogegen die letzteren sich durchweg mit sozusagen „ ewigen “Wahrheiten beschäftigen und zu deren Ausdruck eben des aoristischen Präsens sich gewohnheits - mässig bedienen. Ihnen schliessen auch die naturhistorischen Disziplinen sich teilweise an.
Sollten (aber) in der Logik auch beschreibende oder erzählende Urteile, Aussagen über historische, gegenwärtige oder künftige That - sachen, als Aussagen konstanten Sinnes angesehen werden, so müssten wir sie uns allemal in der erwähnten unbestimmten Temporalform, eventuell versehen mit einer absoluten Zeitbestimmung, ausgedrückt denken.
Uns an das mit der Wortsprache Gegebene haltend gelangen wir dagegen zur Anerkennung des Vorkommens von Aussagen variablen Sinnes, deren Sinn nämlich sich mit dem Zeitpunkt, in welchem die Aussage fällt, von selbst verschiebt, indem das Verbum mit seinem Tempus an die „ relative “Gegenwart anknüpft, nämlich auf die Gegen - wart der Aussage (eventuell von dieser aus zurück - oder vor-ver - weisend) sich bezieht. [„ Absolute “Gegenwart würde ich dagegen den durch Jahreszahl, Datum, Stunde und Minute etc., Berliner Zeit, fixirten Moment, in welchem ich soeben schreibe, dermalen nennen.]
Von solcher Art ist wol die ungeheure Mehrzahl aller mensch -13§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Gültigkeitsdauer.lichen Aussagen. Denselben kommt zumeist eine von 0 und i ver - schiedene „ Gültigkeitsdauer “zu (sofern von einer solchen überhaupt sich reden lassen wird), eine Gültigkeitsdauer, die nur eben ein ge - wisses Gebiet von Zeitpunkten ausmacht. Ein einfaches Beispiel mag dies verdeutlichen.
Stellen wir uns eine Person, einen „ idealen Meteorologen “(!) vor, der Tag und Nacht am selben Fleck unter freiem Himmel stehend beständig ausruft und wiederholt: „ Es regnet “(sc. soeben hier am Platze), Es regnet, es regnet. So wird die Aussage wahr sein, so - bald und solange wirklich Regentropfen auf dieses Individuum fallen, und unwahr, sobald dies nicht der Fall ist. Die (auf gedachten Ort bezogene) Aussage hat daher eine bestimmte Gültigkeitsdauer, welche sich zusammensetzt aus den verschiedenen getrennten Zeiträumen, in welchen wirklich Regenschauer sich über den Ort ergiessen (ergossen haben und ergiessen werden).
Die Begriffe, Benennungen und Bezeichnungen des Aussagenkal - kuls — ein Stück weit, aber nicht durchaus: auch die Prinzipien des - selben — werden sich auch anwendbar erweisen auf die im geschil - derten Sinne variablen Aussagen (die Aussagen variablen Sinnes bei blos konstanter Form). Da einer solchen Aussage irgend welche Gültig - keitsdauer (die i oder 0 nicht ausgeschlossen) zukommen kann, so er - ledigen wir vorweg das Allgemeinere, wenn wir die ferneren Betrachtungen jetzt an derlei Aussagen anknüpfen.
Zudem aber ordnen diesen variabelsinnigen Aussagen auch die - jenigen konstanten Sinnes sich wirklich unter, indem z. B. die obigen Aussagen a und b auch ihre Gültigkeitsdauern i und 0 behalten müssten, wenn man das Präsens ihrer Kopula, anstatt wie oben als aoristisches, nunmehr als gewöhnliches oder historisches auslegte, a nämlich deutete als das Urteil: „ 2 × 2 ist soeben = 4 “und b als: „ 2 × 2 ist soeben 5 “.
Eine Subsumtion: 〈…〉 angesetzt zwischen irgend zwei Aussagen, wird hienach bedeuten: Die Zeit, während welcher die Aussage a wahr ist, sei ganz enthalten in der Zeit, während welcher die Aussage b wahr ist, d. h. immer, wann (whenever, solange, sooft, sobald, falls) a gilt, gilt auch b. Kürzer werden wir hiefür oft sagen: „ Wenn a gilt, so gilt b “; „ a bedingt b “, zieht es nach sich; „ aus a folgt b “. Ausdrücklich muss jedoch bemerkt werden, dass der Zusammenhang zwischen den Gültigkeiten von a und b damit durchaus nicht hingestellt werden soll als ein logischer oder denknotwendiger, auch nicht als ein kausaler, oder dergleichen. Die14Fünfzehnte Vorlesung.Subsumtion und die Redensarten, durch welche wir sie wiedergeben, sollen vielmehr diesen Zusammenhang lediglich als einen faktisch be - stehenden, thatsächlichen darstellen, es offen lassend, ob er denknot - wendig, eventuell als ein „ kausaler “bestehe, oder vielleicht blos ein empirisch ermittelter, für den Stand unsrer Erkenntniss „ zufälliger “ist.
Zum Exempel, es bedeute b die Aussage: „ Es ist Tag (hier) “— für den Augenblick unter „ Tag “die Zeit verstanden, während welcher die Sonne über dem Horizont steht*)Der Einfachheit halber will ich mich auf die Berücksichtigung der Strahlen - brechung und des Unterschiedes zwischen mathematischem und physischem Hori - zont des Ortes hier nicht einlassen., und a die Aussage: „ die Sonne scheint (hier, unverhüllt von Wolken) “, so gilt a ⊆ b, d. h. Wenn die Sonne scheint, so ist es Tag.
Die Beziehung zwischen den Gültigkeitsdauern der beiderseitigen Aussagen möge die Figur veranschaulichen:
welche, durch Nächte getrennt, drei Tage b auf der Zeitlinie dar - gestellt zeigt, an deren drittem die Sonne unausgesetzt schien, während sie an den beiden vorhergehenden je zweimal längere Zeit von Wolken verhüllt blieb, etc.
Allerdings ist in dem gewählten Beispiel das „ Subjekt “a (der Be - dingungssatz) zugleich Erkenntnissgrund des „ Prädikates “b (des Folge - satzes): aus dem Scheinen der Sonne kann gefolgert, geschlossen werden, dass es Tag ist. Weil die Sonne scheint (sofern sie das thut), darum muss es Tag sein.
Das kausale Verhältniss scheint hier eher umgekehrt zu liegen: weil die Sonne über dem Horizont steht, darum kann sie überhaupt scheinen; dass sie scheint ist eventuelle Folge, und Wirkung, ihrer Stellung über dem Horizonte.
Jener Umstand ist aber, wie angedeutet, als ein Nebenumstand zu betrachten, der in der Subsumtion a ⊆ b sowol, als in deren verbaler Umschreibung mittelst der Konjunktionen „ wenn ‥, so ‥ “nicht ge - fordert ist. Man könnte ebensogut, die vorige Aussage a z. B. fest - haltend, unter b die Aussage verstehen: „ Paris liegt an der Seine “, oder etwa auch: „ Carnot ist Präsident der französischen Republik. “ Und wiederum würde dermalen die Subsumtion a ⊆ b gelten, die Be - hauptung zulässig sein: Wenn (genauer: wann, während, solange, so -15§. 28. Aussagen, nach Gültigkeitsdauer geschätzt.bald, falls) hier die Sonne scheint, ist Carnot Präsident der französi - schen Republik, (er ist es freilich auch, wenn sie nicht scheint) — mit einer gewissen Gültigkeitsdauer (gleichwie der beiden Teilaussagen, so auch) der ganzen Aussage.
Hier nun zu sagen: aus dem Scheinen der Sonne an hiesigem Platze folge (zur Zeit), dass Carnot Präsident der französischen Repu - blik sei, oder auch: der letztere Umstand sei von dem ersteren bedingt, wäre allerdings nicht angemessen!
Wenn wir gleichwol — zwar nicht in solch konkreten Beispielen wo ihre Unangemessenheit auf der Hand liegt, jedoch bei den Unter - suchungen von allgemeinem Charakter — diese Redensarten gebrauchen, so geschieht es, weil unsre Abmachungen auch die Fälle wirklichen Folgens sämtlich mit umfassen, weil beabsichtigt ist, sie auf solche vorzugs - weise anzuwenden (ohne dass es jedoch nötig fällt, die andern auszu - schliessen), und vor allem, weil die Wortsprache uns Redewendungen nicht zur Verfügung stellt, die für alle Fälle zutreffend genannt werden könnten und demnach einer solchen Allgemeinheit gerecht zu werden vermöchten, wie sie unsre Untersuchungen beanspruchen werden.
Man wird sich im Vorstehenden auch den Unterschied in der Bedeutung der Konjunktionen „ wenn “(if) und „ wann “(englisch annähernd: when) zum Bewusstsein gebracht haben. Während letztere als reine Zeitpartikel er - scheint, pflegt erstere den versteckten Hinweis auf ein Prinzip zu enthalten, das den Zusammenhang zwischen Bedingungssatz und Folgesatz des hypo - thetischen Urteils beherrscht — bestehe dieses Prinzip nun als ein rein logisches aus den Gesetzen des gewissen oder wahrscheinlichen Folgerns unter Berufung auf die Evidenz, oder gründe es sich ausserdem auf irgend - welche Satzungen, dogmatische Glaubenssätze oder auch Naturgesetze — in welch’ letzterem Falle wir von einem kausalen Zusammenhange reden.
Jenes „ wann “kann unter Umständen auch durch „ während “(engl. whilst) vertreten werden; es entspricht auch dem lateinischen „ dum “, „ so - lange “. Z. B. „ Dum spiro, spero “: solange ich atme (scilicet: und bei Be - wusstsein bin), höre ich nicht auf zu hoffen. Dies gibt die Subsumtion a ⊆ b, wo a die Aussage bedeutet: ich atme, und b die: ich hoffe.
Betrachten wir dagegen den Satz: „ Dolor, si longus, levis, si gravis, brevis “(ergo omnino fortiter sustinendus — vergl. Jevons9 p. 174), so weist die konditionale Partikel „ si “in der That auf einen verborgenen ur - sächlichen Zusammenhang, einen Grund hin: weil eben ein sehr heftiger Schmerz bald Bewusstlosigkeit oder Tod herbeiführt und damit aufhört in die Empfindung zu treten, als solcher zu existiren, so kann ein lang an - haltender Schmerz nur ein minder heftiger, ein sehr heftiger nur von kurzer Dauer sein — zum Trost für die von ihm Befallenen.
Das Beispiel ist instruktiv, insofern es im Bedingungssatze des einen Urteils sowie im Folgesatze des andern als Prädikat selbst schon eine Zeit - bestimmung, als da ist „ von langer, resp. kurzer, Dauer zu sein “enthält. 16Fünfzehnte Vorlesung.Das „ si “, „ wenn “, hier etwa durch „ solange “oder „ während “„ dum “zu er - setzen ginge durchaus nicht an, und dennoch wird sich jedes seiner beiden Teilurteile als eine Aussagensubsumtion darstellen lassen, sobald wir mit unsern Betrachtungen ein wenig weiter vorgeschritten sein werden (nämlich: die Klasse der Fälle, wo der Schmerz ein lange anhaltender ist, ist ent - halten in der Klasse der Fälle, wo er ein leichter ist, etc.). Einstweilen mag das Beispiel dazu dienen, die Unvollständigkeit der bisherigen Be - trachtungen zu erhärten, welche ich ausdrücklich als nur vorbereitende auf - gefasst wünsche.
Zwei Aussagen a und b werden nun nach der Def. (1) der Gleich - heit (für den auf die Mannigfaltigkeit i der Zeitpunkte angewendeten Gebietekalkul) einander äquivalent, oder gleich, zu nennen sein, wenn sowol a ⊆ b als auch b ⊆ a ist, d. h. wenn sie einander gegenseitig bedingen, wenn immer, sobald die eine gilt, auch die andre Geltung hat, und umgekehrt. Ihre Gültigkeitsdauern sind alsdann nicht nur, metrisch betrachtet, gleich gross, sondern identisch die nämlichen, einerlei, sie fallen in ein einziges Gebiet von Zeitpunkten zusammen.
Im übrigen mögen unter sich äquivalente Aussagen ihrem Inhalt oder Sinne nach gänzlich von einander unabhängig sein. Alle stets wahren Aussagen z. B. sind im Aussagenkalkul einander gleich zu nennen, ebenso alle stets falschen.
Bedeutet z. B. a die Aussage: „ 2 × 2 ist 4 “und b die Aussage: „ Die Energie des Weltalls ist konstant “, so hat a = b zu gelten, es sind a und b dann äquivalente Aussagen. Beide haben nämlich die Ewigkeit oder ganze Zeit zur Gültigkeitsdauer; wir haben a = i und auch b = i.
Die Gleichheit a = b würde ebenso bestehen, falls a die Aussage be - deutete: „ 2 × 2 ist 5 “und b die Aussage: „ Es gibt Hexerei “. Hier wäre a = 0 und b = 0, wiederum also das Gebiet der Zeitpunkte, in welchen die eine oder die andre wahr ist, das nämliche, und zwar das leere oder Nullgebiet; sie gelten (wenn man hier noch so sagen will, doch „ gleich - zeitig “) nämlich alle beide nie.
Wegen dieser Unabhängigkeit ihres Inhaltes musste für die „ Äquivalenz “der Aussagen ein anderer Name gewählt werden als der bekannte der „ Äquipollenz “, welchen die traditionelle Logik zur Be - zeichnung einer viel spezielleren Beziehung schon längst eingeführt hat.
Äquipollent nennt die Logik solche Urteile, die mit Denknotwendig - keit gegenseitig aus einander folgen — wie beispielsweise das Urteil: „ Alle α sind β “und das (durch Konversion daraus hervorgehende) „ Was nicht β ist, ist nicht α “.
Äquipollente Urteile sind auch immer einander äquivalent, oder im Sinne des Aussagenkalkuls „ gleich “, aber nicht umgekehrt. Über jene greift diese Begriffsbestimmung dem Umfange nach weit hinaus (während17§. 28. Aussagen in Reflexion auf ihre Gültigkeitsdauer.sie hinsichtlich des Inhaltes hinter ihr zurückbleibt). Für die Wahl des Ausdrucks „ Äquivalenz “war der englische Vorgang („ equivalent statements “) mitbestimmend. Wegen der grösseren Allgemeinheit un - serer von der Äquivalenz der Aussagen handelnden Betrachtungen gegenüber denen, die auf ihre Äquipollenz sich beziehen würden, geben wir der ersteren Bezeichnung den Vorzug auch in Fällen, wo wir die letztere gebrauchen dürften.
Zieht man Aussagen nach ihrer Äquivalenz in Betracht, frägt man darnach, ob solche vorliege, oder nicht, so ist von dem charakteristischen Inhalte jener Aussagen zu abstrahiren und auf ihre Gültigkeitsdauern zu reflektiren.
Jedenfalls hindert nichts, eine Aussage, abgesehen von ihrem In - halte A (d. h. demjenigen, worüber sie uns Auskunft gibt), blos nach ihrer Gültigkeitsdauer a in’s Auge zu fassen, und wer die Besorgniss hegt, diese beiden Hinsichten in welchen Aussagen sich betrachten lassen, zu vermengen, kann sie dadurch auseinanderhalten, dass er die entsprechenden Buchstaben zweier verschiedenen Alphabete für die eine und für die andre Deutungsweise verwendet. Der Übergang von der einen zur andern Interpretation ist jedoch ein so leicht zu vollziehender an welchen man sich bald gewöhnt und worin man rasch Übung er - wirbt, dass uns solch’ ängstliches Auseinanderhalten hier unnötig er - scheint.
Um nun also vom bisherigen Gebiete - und Klassenkalkul un - mittelbar zum Aussagenkalkul fortzuschreiten und letztern auch mit einem Schlage errichtet sowie begründet zu haben, braucht man blos unter den Buchstabensymbolen a, b, c, … irgendwelche Aussagen (Be - hauptungen, Urteile) zu verstehen und auszumachen, dass sobald mit diesen Symbolen gerechnet wird (sobald mittelst Negation, Multiplikation oder Addition an denselben operirt, oder auch nur Subsumtionen oder Gleichungen etc. zwischen denselben angesetzt werden), sie als ihre Gültigkeitsdauern gedeutet werden sollen, dass also unter irgend einer Aussage a verstanden werden solle die Zeit (genauer: das Gebiet, die Gesamtheit der Zeitpunkte), während welcher ebendiese Aussage wahr ist, unter Ausschluss jedes Zeitpunktes, in dem sie nicht wahr ist.
Was hiernach eine Subsumtion a ⊆ b, und eine Gleichung a = b uns bedeuten werden, haben wir bereits auseinandergesetzt.
In Bezug auf erstere ist jedoch noch der „ Grenzfälle “Erwähnung zu thun, wo das Subjekt oder Prädikat der Subsumtion a ⊆ b durch die Aussagensymbole 0 oder i vertreten erscheint.
Die Bedeutung auch dieser beiden Zahlensymbole im Aussagen -Schröder, Algebra der Logik. II 218Fünfzehnte Vorlesung.kalkul wurde bereits angegeben: Aussage i ist jede stets wahre Aus - sage, und sie kann durch irgend eine von diesen, wie z. B. durch den (arithmetischen) Satz dass 2 × 2 = 4 ist, oder auch durch den logi - schen Satz: 0 ⊆ 0, mit gleichem Rechte vertreten, repräsentirt werden. Wir haben auch: (0 = 0) = i. Nullaussage dagegen ist jede stets (oder unbedingt) falsche Aussage, wie z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 5 sei, oder die, dass es Hexerei gebe, oder die Subsumtion 1 ⊆ 0. Desgleichen haben wir: (1 = 0) = 0.
Gleichwie die identische Null ihrer Definition (2) gemäss Subjekt war zu jedem Prädikate und die 1 Prädikat zu jedem Subjekte, so ist nun auch die Nullaussage ein zulässiger Bedingungssatz zu jedem Folge - satze, und eine Aussage i zulässiger Folgesatz zu jedem Bedingungssatze.
Wir müssen demnach konsequenterweise z. B. folgende Urteile als kor - rekt und gültig anerkennen — in Bezug auf welche nur zu bemerken ist, dass, während die Konsequenz in der Aufrechterhaltung der formalen Sche - mata für die Wissenschaft vom höchsten Wert erscheint, die verbale For - mulirung derselben minderwertig ist.
Da die im Bedingungssatze ausgesprochene Voraussetzung eben niemals zu - trifft, so sind alle drei Urteile vollkommen nichtssagende, beziehen sich auf „ nichts “, nämlich auf ein leeres Zeitgebiet. Sie aber als richtige an - zuerkennen verpflichten uns die über letzteres der Allgemeinheit zuliebe ge - troffenen Festsetzungen.
Im zweiten Falle (0 ⊆ a) darf, obwol die Gültigkeitsdauer des Vorder - satzes 0 war, und die 0 der Zeitbestimmung „ niemals “entspricht, das Urteil doch nicht etwa mit: „ Nie scheint hier die Sonne “in Worte über - tragen werden. Dies würde eine falsche Übersetzung sein, und wären be - hufs näherer Erläuterung dessen, mutatis mutandis, die Bemerkungen zu wiederholen, die wir in § 9 unter v) bezüglich verbaler Wiedergabe einer Subsumtion 0 ⊆ a im Klassenkalkul ausgeführt haben [die letztere durfte auch nicht in Gestalt von „ Nichts ist a “dort wiedergegeben werden]. Wenn a die Aussage bedeutet: „ Hier scheint die Sonne “, so wäre vielmehr der vorige Satz („ Nie scheint etc. “) mit a = 0 in der Formelsprache des Aussagenkalkuls darzustellen.
Legt z. B. Emanuel Geibel dem in Sklaverei befindlichen Neger - weibe in dem Schlummerliede, das sie ihrem Knaben singt, auf die Frage an den grossen Geist: wann wird der Jammer deiner schwarzen Kinder enden? die Antwort in den Mund:
„ Ach das mag geschehen, wenn der Mississippi rückwärts fliesset, … Wenn die weissen freien Pflanzer, wenn die Christen Menschen werden “,19§ 28. Aussagen, als Gültigkeitszeiten gedeutet.so lässt er sie (bei der Unterstellung, dass dies niemals eintreten werde) eine die Hoffnungslosigkeit ausdrückende, logisch betrachtet eine leere Ver - heissung geben.
Analog sind Urteile hier anzuerkennen, wie diese:
Der Nachsatz gilt hier nämlich an sich und ganz unabhängig von dem Vorder - oder Bedingungssatze. Psychologisch mag das anders sein, aber logisch sagt das hypothetische Urteil doch für den Fall, wo seine Hypo - these nicht zutrifft, überhaupt nichts aus. Behaupte ich etwas für den Fall (die Zeit), wo die Sonne scheint, so ist damit in keiner Weise präju - dizirt für die Fälle, wo sie nicht scheint; es bleibt, wenn für den ersteren behauptet ist, dass 2 × 2 = 4 sei, unbenommen zu denken, dass es auch für die letzteren sich also verhalte, nur wird dies im Urteile eben frei - gestellt, unentschieden oder offen gelassen.
Freilich ist, beim zweiten der obigen drei Beispiele (z. B.) zuzugeben, dass dasselbe — ähnlich wie etwa das Urteil: „ Einige Möpse sind Hunde “— bei aller logischen Korrektheit ein irreführendes, psychologisches Moment enthält, weshalb denn auf das für ähnliche Fälle schon in § 1 Gesagte zurückverwiesen sei. Wie dort, so sind auch hier die Urteile dem Vor - wurf ausgesetzt, dass sie mit Umständlichkeit nur einen Teil der Wahrheit ausdrücken, während „ die ganze “sich viel einfacher sagen liesse — in Ge - stalt der Behauptung, dass 2 × 2 = 4. In logischer Hinsicht aber sind solche Urteile nicht zu beanstanden.
Steht, entgegen den bisherigen Beispielen, die Null als Prädikat oder die Eins als Subjekt, so haben den Theoremen 5) gemäss die Urteile einen wirklichen Gehalt. Der letztere lässt sich dann aller - dings auch einfacher darstellen, wird jedoch zu rhetorischen Zwecken, zur Bekräftigung, nicht selten absichtlich in die umständlichere Form gesetzt — oder auch aus Taktgefühl, um etwa direkte grobe An - schuldigung zu vermeiden. Z. B. Das hypothetische Urteil: „ Wenn das mit rechten Dingen zugegangen ist, so ist 2 × 2 fünf! “ (a ⊆ 0) um - schreibt blos die Behauptung: „ Das ist nicht mit rechten Dingen zu - gegangen “, welche zusammenfällt mit der Verneinung des Urteils a (= „ Das ist mit rechten dingen zugegangen “), sonach mit der Be - hauptung a = 0, dass letzteres Urteil ungültig. Vergl. hiezu die Be - trachtung 1 des § 46 über das Wesen des apagogischen Beweises.
Das Urteil: „ Wenn 2 × 2 (noch) vier ist, so bin ich unschuldig “(i ⊆ a) kommt der Beteuerung gleich: (a) „ Ich bin unschuldig. “ Psy - chologisch weist es vielleicht darüber hinaus auf eine Notwendigkeit hin, dieses auch anzuerkennen.
Tritt beides zugleich ein, steht nämlich die i als Subjekt und die 0 als Prädikat einer Aussagensubsumtion, so haben wir in Gestalt derselben:2*20Fünfzehnte Vorlesung.i ⊆ 0, eine absurde Aussage vor uns, deren Gültigkeitsdauer (wie schon einmal erwähnt) eben selbst 0 ist.
Das identische Produkt und die identische Summe zweier Aussagen a und b können nunmehr selbst wieder als Aussagen gedeutet werden in folgender Weise:
Es bedeutet a · b oder a b das Urteil, welches aussagt, dass die Aus - sagen a und b beide (gleichzeitig, zugleich) gelten. Diese Aussage hat in der That das den Gültigkeitsdauern von a und von b gemein - same Gebiet von Zeitpunkten zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer.
Ein Produkt von Aussagen stellt demnach das System derselben, wenn sie als simultan geltende, koexistirende angesehen werden sollen, vor; und umgekehrt lässt ein solches System stets als eine einzige Aussage, nämlich als das identische Produkt seiner Gliederaussagen, sich hinstellen und in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls über - setzen.
In Worten pflegt man die Faktoraussagen einfach selbständig hin - zustellen — durch den Punkt als Interpunktionszeichen, oder auch durch Kommata getrennt, zuweilen auch durch Konjunktionen, wie „ und “, „ sowol ‥ als auch “etc. verbunden. Z. B.: Nicht nur (a =) „ der Stoff, die Materie ist unvergänglich “, sondern auch (b =) „ die lebendige Kraft, Energie, lässt sich weder erzeugen, noch vernichten “— ist solch’ ein Aussagenprodukt: a b.
Ferner bedeutet a + b das Urteil, welches aussagt, dass die Aus - sage a oder die b gelte — und zwar das „ oder “im inklusiven Sinne verstanden als „ oder auch “[vergl. § 8, ϑ)] sonach entweder die eine, oder die andre von ihnen, oder aber beide zugleich. Diese Aussage wird in der That zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer haben das - jenige Gebiet von Zeitpunkten, zu welchem die Gültigkeitsdauern von a und von b einander ergänzen, zusammenfliessen.
Eine Summe von Aussagen stellt demnach das System derselben vor, wenn sie als alternativ geltende angesehen werden sollen, und um - gekehrt wird sich jede „ Alternative “zwischen Aussagen — sofern sie, wie wir es hier immer auffassen werden, als eine inklusive verstanden wird, die den gegenseitigen Ausschluss ihrer Glieder nicht ausdrück - lich fordert — stets darstellen lassen als eine einzige Aussage in Ge - stalt der identischen Summe ihrer Gliederaussagen.
Die Wortsprache verbindet die Glieder der Alternative durch die Konjunktion „ oder “resp. durch „ entweder ‥, oder ‥ “, wofern sie nicht vorzieht, dieselben ganz getrennt hinzustellen, und blos zu bemerken, dass von ihnen irgend eines, zum mindesten, zu gelten habe.
21§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten.Für die eventuelle Zusammenziehung von mehreren Aussagen, mögen sie ein simultanes oder aber ein alternatives System bilden, in ein einziges Urteil, einen grammatikalischen Satz mit nur einer Ko - pula — für den Fall nämlich, wo die Gliederaussagen sämtlich das - selbe Subjekt oder aber das nämliche Prädikat besitzen — werden die Definitionen (3) maassgebend sein.
Den Klassenkalkul vermochten wir seinerzeit ein nicht unbeträcht - liches Stück weit zu entwickeln, ohne jemals den Begriff der Negation wesentlich vorauszusetzen oder hinzuzuziehen, und dem gemäss wollen wir auch vom Negiren der Aussagen und der Darstellung der Aus - sagennegation in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls erst später (§ 31) handeln.
Wir könnten hiernach bereits zu Anwendungen des Aussagen - kalkuls schreiten, wenn es nicht für viele, ja für die meisten Aussagen noch Schwierigkeiten bereitete zu einer klaren Vorstellung von ihrer „ Gültigkeitsdauer “zu gelangen. In den bisherigen Beispielen sind wir solchen Schwierigkeiten noch aus dem Wege gegangen.
Was aber — fragen wir uns — soll nun etwa verstanden werden unter der „ Gültigkeitsdauer “bei Aussagen wie diese:
wo — in den letzten Fällen — nicht gesagt ist, von welchem Dreieck, von welcher Funktion, von welchem Salz die Rede?
Man könnte solche Aussagen oder „ unbestimmte singuläre “Urteile, in welchen das Subjekt (allgemeiner noch irgend ein Objekt) zwar nicht als Klasse (im engeren Sinne) zu nehmen ist, vielmehr ein Individuum vorstellt, welches aber nach Ort und Zeit nicht bestimmt (auch nicht durch anderweitige Qualitäten etwa völlig determinirt) erscheint, am besten wol „ Gelegenheitsurteile “nennen.
Die Wahrheit oder Falschheit einer solchen Aussage hängt ganz und gar von der Gelegenheit ab, bei welcher sie ausgesprochen, ge - macht wird. Sooft wir unter A B C zum Beispiel ein kraft seiner De - finition, Erzeugung oder Konstruktion, kurz ein wirklich rechtwinkliges Dreieck verstehen, wird die zweite Aussage wahr, andernfalles wird sie falsch sein. Die dritte Aussage, auf irgend eine unsymmetrische Funktion f (x, y) angewendet, ist falsch, auf eine symmetrische bezogen, richtig, etc.
Wollte man auch hier zur Vorstellung von einer „ Gültigkeitsdauer “gelangen, so müsste man sich die verschiedenen Momente vergegenwärtigen,22Fünfzehnte Vorlesung.in welchen eine bestimmte Person — sagen wir im zweiten Falle etwa ein gewisser Mathematiker, Geometer — sich diese Aussage aneignet; die Gültigkeitsdauer würde dann aus den Zeitmomenten sich zusammensetzen, in welchen solches zutreffend geschieht, bei Ausschluss derjenigen, wo es irrtümlich, zu Unrecht geschieht, und bezogen auf eine Mannigfaltigkeit, bestehend aus den Zeitpunkten, wo es überhaupt geschieht. Oder, falls wir den ganzen Zeitbereich erschöpfen wollten, so müssten wir einen idealen Mathematiker fingiren, welcher alle erdenklichen Dreiecke A B C in einer bestimmten Reihenfolge durchgehend, die (zweite) Aussage beständig im Munde führt. Unzweifelhaft würde so ein bestimmtes Gebiet von Zeit - punkten sich ergeben, für welches die Aussage richtig, und als dessen Er - gänzung zur ganzen Zeit, ein anderes, für welches sie falsch ist, und jenes wäre die fragliche Gültigkeitsdauer.
Wegen der Unbestimmtheit, Willkürlichkeit aber jener Reihenfolge des Durchgehens, oder der Person, welche für eine solche sich zu entscheiden hätte, entbehrt der ganze Begriff indess der erforderlichen Bestimmtheit, ganz abgesehen davon, dass auch die Art, wie man zu seiner Konstruktion gelangen sollte, etwas Gezwungenes an sich hat.
Bei den fraglichen „ Gelegenheitsurteilen “wird man darum gut thun, den bisherigen Begriff der „ Gültigkeitsdauer “zu ersetzen durch einen weiteren, und zwar an die Stelle ihrer Vorstellung treten zu lassen diejenige von der Klasse der Anwendungsgelegenheiten der Aus - sage, genauer: die Klasse derjenigen Gelegenheiten (occasions) bei welchen die Aussage als eine wahre mit Fug und Recht gemacht werden kann, bei welchen sie zutrifft.
Darnach wird, wenn a und b Gelegenheitsaussagen vorstellen, die Subsumtion 〈…〉 zum Ausdruck bringen, dass die Klasse der Gelegenheiten, bei welchen die Aussage a zutrifft, ganz enthalten, eingeordnet ist der Klasse der Gelegenheiten, bei welchen die Aussage b zutrifft, d. h. wieder: „ Wenn a gilt, so gilt auch b “. Und bei äquivalenten Aussagen fallen beide Klassen in eine zusammen, es bedingen jene einander gegenseitig, sind immer zugleich wahr, oder falsch.
Beispielsweise möge a die Aussage bedeuten: „ Das Viereck A B C D ist eine Raute “, und b die Aussage: „ Im Viereck A B C D stehen die beiden Diagonalen auf einander senkrecht “, so gilt a ⊆ b, d. h. Wenn ein Viereck (A B C D) eine Raute ist, so sind seine Diagonalen zu ein - ander normal. Das Subsumtionszeichen stellt hier wirkliche Unter - ordnung vor, sintemal der Satz nicht umkehrbar ist, nämlich z. B. auch im Deltoid*)Bekanntlich Gestalt des Papierdrachens, aus zwei gleichschenkligen Drei - ecken zusammengesetzt. die Diagonalen normal sind, ohne dass dasselbe eine Raute (ein Rhombus, gleichseitiges Viereck) sein müsste.
23§ 28. Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten betrachtet.Bedeutete ferner a die Aussage: „ Die Ecken des Vierecks A B C D liegen auf einem Kreise “, b die Aussage: „ die Gegenwinkel des Vier - ecks A B C D sind Supplemente “, so wäre a = b, denn eines bedingt immer das andere nach bekannten geometrischen Sätzen. Die beiden äquivalenten Aussagen a, b dürften hier gleichwol nicht „ äquipollente “genannt werden, weil sie erst auf Grund der Axiome Euklid’scher Geometrie denknotwendig auseinander folgen — diese Axiome aber an - zunehmen erwiesenermassen keine Denknotwendigkeit gebietet.
Mit der Subsumtion nun, mit ihrer Deutungs - und Anwendungs - fähigkeit, haben wir wiederum die Grundlage des ganzen identischen Kalkuls gewonnen. Es stellt sich der Aussagenkalkul dergestalt als eine spezielle Anwendungsweise des Klassenkalkuls dar.
Auch die früher aufgestellte „ Gültigkeitsdauer “bei denjenigen Aussagen, bei welchen ungezwungen von einer solchen sich sprechen lässt, kann jetzt ohne weiteres aufgefasst (oder umgedeutet) werden als die Klasse derjenigen Gelegenheiten, bei welchen die betreffende Aussage als eine zutreffende anwendbar ist, indem hier eben nur diese Gelegenheiten an bestimmte Zeiten sich gebunden erwiesen. Ist die Aussage z. B. „ Es regnet soeben am hiesigen Platze “im gegen - wärtigen Zeitpunkt richtig, weil es wirklich draussen regnet, so ist jetzt auch eine Gelegenheit, die Aussage als eine gültige zu machen, und vice versā.
Es wird demnach das Gebäude unsres Aussagenkalkuls auf einer völlig einheitlichen Grundlage ruhen.
Die Nullaussage entspricht wiederum einer leeren Klasse, die keine einzige Gelegenheit berechtigter Anwendung der Aussage in sich schliesst. Und die i, der wir auch jetzt noch den Punkt belassen wollen, mag man auffassen als die Gesamtklasse aller Gelegenheiten, bei welchen überhaupt Aussagen zu machen sind — bei allen diesen wird z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 4, auch berechtigt erscheinen.
Es versteht sich, dass man die formalen Abmachungen des gegen - wärtigen Paragraphen auch rein konventionell hätte hinstellen können. Ohne jede Bezugnahme auf einen vorangehenden Klassenkalkul und ohne eigent - liche Motivirung hätte einfach „ ausgemacht “werden können, was wir re - kapitulirend zusammenstellen:
Man könnte darnach die ersten Sätze des Aussagenkalkuls in Formeln hinstellen, indem man einfach an den gesunden Verstand, das Gefühl der24Fünfzehnte Vorlesung.Evidenz appellirte, die komplizirteren Sätze hernach aus den einfacheren beweisend. Auf diese Weise verfährt Herr McColl; nach ihm im wesent - lichen auch Herr Peirce 5, jedoch mit bedeutend tiefer eingehender und verdienstlicherer Begründung, die sich, wie wir gesehen haben, fast ganz auf den Klassenkalkul übertragen und für diesen verwerten liess (um welchen übrigens Peirce sich zuvor 1a auch schon Verdienste erworben hatte).
Indem ich vorstehend den Zusammenhang zwischen Gebiete - oder Klassenkalkul einerseits und Aussagenkalkul andrerseits näher darzulegen versuchte, führte ich eine von Boole schon gegebene Anregung weiter aus, die mir befolgenswert erscheint aus Gründen, auf welche ich schon Bd. 1, S. 290 hingewiesen habe und am Schlusse des § 45 noch weiter ein - gehen werde.
Vor einer naheliegenden Verwechselung muss übrigens noch ge - warnt, es muss auf einen Umstand aufmerksam gemacht werden, der sonst leicht eine Quelle der Verwirrung werden könnte:
Nachdem wir die „ hypothetischen “Urteile: „ Wenn a gilt, so gilt b “— das sind sprachlich Konditionalsätze, die an eine Bedingung (Hypo - thesis) eine Behauptung (Thesis) knüpfen — darstellen gelernt haben durch eine Subsumtion des Aussagenkalkuls: 〈…〉 , so ist für letztere neben der nach dem Bisherigen berechtigt erscheinen - den Redensart: „ a ist in b enthalten “in einem gewissen — allerdings ganz andern — Sinne auch die umgekehrte Redensart anwendbar und sogar vorwiegend üblich: „ a enthält b, oder begreift es unter sich (m. a. W.: b ist in a mitenthalten) “— vergleiche Bd. 1, S. 623 sq. Be - deuten a und b Aussagen, so sagt der Engländer geradezu: „ a im - plies b “, und würde im Deutschen dem entsprechen: „ a schliesst b in sich “, „ a involvirt b “. In Anbetracht, dass die Geltung von a allemal auch die von b nach sich zieht, d. h. — mögen wir sagen — in „ ex - tensiver “Hinsicht, im Hinblick allerdings auf den Inhalt der Aussagen, ist solches auch berechtigt, während in „ intensiver*)Man könnte sich hier versucht fühlen, auch diese beiden in Anhang 4 motivirten Benennungen umzutauschen, die Vorsilben in - und ex - gerade umge - kehrt zu verwenden. Hinsicht, im Hin - blick auf die Klassen der Anwendungsgelegenheiten wie gesagt die um - gekehrte Beziehung stattfindet, wie sie die Fig. 1 (mit 2) des Bd. 1 versinn - lichen würde; da würde denn auch auf Englisch zu sagen sein: „ b implies a “. Dadurch, dass wir uns im Aussagenkalkul des Verbums „ Enthalten - sein “lieber gänzlich enthalten, statt dessen uns einer der unverfäng - licheren synonymen Ausdrucksformen bedienend, werden wir im Deutschen Missverständnissen am besten aus dem Wege gehn.
Wir wiederholen nun die Definitionen, Prinzipien und Sätze des Gebietekalkuls, indem wir uns der abkürzenden Schreibung des Aussagen - kalkuls bedienen — wie sie im vorigen Paragraphen erläutert worden.
Die Buchstaben des kleinen lateinischen