Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.
Alle Rechte vorbehalten.
Die noch vor der Fertigstellung des Textes zum zweiten Bande an den Verfasser herangetretenen Direktionsgeschäfte der technischen Hochschule haben demselben nicht gestattet, über die verhältnissmässig geringen Lücken seines Manuskripts im Lauf des Jahres hinweg - zukommen, und glaubt derselbe, von manchen Seiten gedrängt, die Herausgabe der seit fünf Monaten im Druck vollendeten ersten Ab - teilung dieses Bandes nicht länger zurückhalten zu sollen. Die zweite (und letzte) Abteilung dürfte bald nach den Herbstferien folgen.
Karlsruhe in Baden, im Juni 1891.
Der zahlreichen Rückverweisungen halber geben wir unserm zweiten Bande auch wieder mit bei den Inhalt des ersten Bandes.
| 30×) | a a1 = 0, | a + a1 = 1, | 30+) |
| 30× ') | a a1 '= 0, | a + a1 '= 1, | 30+ ') |
| Th. 36) (a b) 1 = a1 + b1 | (a + b) 1 = a1 b1 |
| (a b) (a b) 1 = 0 | 1 = (a + b) + (a + b) 1 |
(EXAKTE LOGIK).
[1]Die bisherigen Betrachtungen des Gebiete - und Klassenkalkuls haben wir jeweils durch ein flächenförmiges, ein zweidimensionales Substrat illustrirt. Dass dieser Umstand nebensächlich ist, wurde in - dess schon in § 3 hervorgehoben; wir durften ebensogut eine höhere oder auch eine niedrere Mannigfaltigkeit wählen.
Ohnehin hat die Veranschaulichung kein wesentliches Moment bei dem Aufbau unsrer Disziplin gebildet. Wir haben deren Prinzipien einfach axiomatisch hingestellt, und gingen dann streng analytisch zuwerke; bei den auf diese Prinzipien gegründeten Schlüssen und Beweisen liess es sich durchweg vermeiden, dass jemals an die Anschauung appellirt werden musste. Ob — wie F. A. Lange meint — solche Anschaulichkeit bei den ersten Prinzipien wenigstens erforderlich war, um das Gefühl der Evidenz hervorzurufen, überliessen wir der Psychologie, zu entscheiden.
Veranschaulichungsmittel wurden von uns nur nebenher, aus didak - tischen Gründen herbeigezogen, und in dieser Weise werden wir auch fortfahren uns zu verhalten.
Wenn es (demnach) auch nach wie vor theoretisch unwesentlich bleibt, so wird es doch in erzieherischer Hinsicht von Wichtigkeit — um zu einer richtigen Auffassung des Folgenden erleichternd vorzu - bereiten — dass wir die Aufmerksamkeit nunmehr auf eine Mannig - faltigkeit von einer Dimension, auf eine „ lineare “Mannigfaltigkeit kon - zentriren, die Deutung der Sätze des Gebietekalkuls in einer solchen einüben.
Verstehen wir namentlich unter der identischen 1 die Mannig - faltigkeit der Punkte einer nach beiden Seiten unbegrenzten geraden Linie, so gelten wiederum alle bisherigen Sätze.
Unter a, b, ‥ werden wir jetzt irgendwelche Punktgebiete dieser Geraden zu verstehen haben.
Ein solches Gebiet wird im allgemeinen sein ein System von inner - halb dieser Geraden liegenden von einander getrennten Strecken nebstSchröder, Algebra der Logik. II. 12Fünfzehnte Vorlesung.irgend welchen dazwischen oder ausserhalb dieser Strecken auf der Geraden befindlichen isolirten Punkten. Unter Umständen kann auch ein nach der einen Seite unbegrenzter Strahl, einer der beiden „ Endstrahlen “der Geraden (von beliebigem Punkte an gerechnet) zu dem Gebiete gehören, oder auch zwei solche Endstrahlen (die dann nicht übereinandergreifen sollen) aus zwei verschiedenen Anfangspunkten nach rechts und links in’s Unendliche gehend.
Auch für jeden einzelnen Anfangs - oder Endpunkt einer zu dem Gebiet gehörigen Strecke resp. eines Endstrahles ist es als ausgemacht vorauszusetzen, ob er zu dem Gebiet gerechnet werden solle oder nicht; man kann z. B. sämtliche begrenzenden Punkte in das Gebiet einschliessen oder aber, sie alle ausschliessen. [In Gestalt der reellen Zahlen verfügt die Mathematik über die Mittel, wenn zwei Punkte der Geraden als bekannt vorausgesetzt werden, die dann etwa mit der arithmetischen 0 und 1 benannt werden mögen, jeden dritten Punkt der Geraden vollkommen zu bestimmen, seine Lage so unzweideutig zu beschreiben, dass er auch mit ihm noch so nahe stehenden Punkten unmöglich verwechselt werden kann.]
Die isolirten Punkte können auch in der Nähe gewisser Stellen, ja sogar längs gewisser Strecken, sich unendlich dicht häufen ohne doch da - selbst ein stetig zusammenhängendes Gebiet auszufüllen; ebenso lassen sich aus einer Strecke vereinzelte Punkte fortlassen, als nicht zu dem Gebiet gehörig hinstellen, das im übrigen die Strecke enthalten soll, u. s. w. Es muss der „ Mannigfaltigkeitslehre “überlassen bleiben, alle hier denkbaren Möglichkeiten vollständig aufzuzählen und sie zu klassifiziren.
Die identische Eins bedeutet hier, wie schon gesagt, die ganze unbegrenzte Gerade als das umfassendste der in ihr enthaltenen Punkt - gebiete. Das Nullgebiet — hier schlechtweg als identische Null mit 0 zu bezeichnen — ist nicht etwa ein Punkt, sondern es enthält keinen Punkt der Geraden, und da es ein Punktgebiet der Geraden sein soll, so ist es ein leeres Gebiet, hat zur Bedeutung: „ nichts “.
Es mag uns die Figur:
ein Gebiet der geschilderten Art veranschaulichen in der als Horizontale verlaufenden Geraden. Die Pfeilspitze rechts soll andeuten, dass der letzte Strich als „ Endstrahl “unbegrenzt nach rechts fortzusetzen sei; wo die Striche stumpf endigen, soll der Endpunkt der durch sie markirten Strecke dem Gebiete eingerechnet sein, wo sie spitz auslaufen, ihm abgerechnet werden; das Gebiet enthält vierzehn isolirte Punkte (die Mittelpunkte der sie hier markirenden Tupfen), auch soll in der zweiten Strecke (von links) ein isolirter Punkt (nur die Mitte der Lücke) fehlen.
Gleichwie früher für die Flächen meistens Kreise genommen wurden, so soll aber jetzt zur Veranschaulichung eines Gebietes der Einfachheit wegen vorzugsweise eine einfach zusammenhängende Strecke gewählt werden (wo nicht anders bemerkt, mit Einschluss von deren Endpunkten).
3§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.Eine Subsumtion a ⊆ b wird dann zu veranschaulichen sein durch die Alternative zwischen den beiden Figuren:
Und wenn zwei Strecken a, b einen Teil gemein haben, wie in Fig. 4, so wird sich deren identisches Produkt a b als ebendieser gemeinsame Teil darstellen, und ihre identische Summe a + b als die Strecke zu welcher beide miteinander verwachsen, zusammenfliessen, so wie es die genannte Figur versinnlicht.
Haben aber, wie in Fig. 5, die beiden Strecken keinen Teil (auch nicht einen Endpunkt) gemein, so ist ihr Produkt a b = 0, mithin einer wirklichen Veranschaulichung überhaupt nicht fähig, weshalb wir dies Produkt auch nicht in die Figur eingetragen haben; ihre identische Summe a + b ist dann ein Gebiet, ausschliesslich bestehend aus den beiden getrennten Strecken als Teilen. (Hätten die Strecken a, b nur einen Endpunkt gemein, so würde in diesen als einen iso - lirten Punkt, das Gebiet a b sich zusammenziehen.)
Die Negation a1 einer Strecke a bedeutet endlich die ganze „ Aussenstrecke “, ohne die Endpunkte, von jener — bestehend aus den beiden durch die Strecke a getrennten nach links und rechts von ihren Begrenzungspunkten in’s Unendliche gehenden Endstrahlen unsrer Geraden 1, was die Figur veranschaulicht:
Umgekehrt ist die „ Innenstrecke “a auch die Negation dieses a1.
Von der Betrachtung unsrer Geraden, als einer räumlichen ein - dimensionalen Mannigfaltigkeit, können wir übergehen zu derjenigen einer andern — gleich ihr unbegrenzten — Mannigfaltigkeit von einer Dimension, welche nicht räumlich ist. Eine solche ist die Zeit.
Den Punkten der Geraden lassen sich geradezu die Elemente der Zeit „ ein-eindeutig “zuordnen, d. h. gegenseitig eindeutig, m. a. W. so zu - ordnen, dass einem jeden Punkt (oder Element) der Geraden ein be - stimmtes Zeitelement, ein bestimmter Moment oder Augenblick aus -1*4Fünfzehnte Vorlesung.schliesslich entspricht, und umgekehrt auch jedem Zeitmomente je ein bestimmter Punkt der Geraden. Zu dem Ende braucht man sich nur die Gerade etwa von einem sich „ gleichförmig “bewegenden Punkte — z. B. von links nach rechts hin durchlaufen zu denken.
Den Punkt mit konstanter, mit in der Zeit sich gleich bleibender, unveränderlicher Geschwindigkeit sich bewegen zu lassen, also dass er in gleichen Zeitabschnitten auch immer unter sich gleiche Wegestrecken be - schreibt, ist nicht wesentlich für unsre Betrachtung, es ist dies nur die nächstliegende aber auch die einfachste und bequemste der zur Verfügung stehenden Vorstellungsweisen. Genügen würde schon die Annahme, dass unser Punkt in einer irgendwie bestimmten Weise nur überhaupt die ganze Gerade durchlaufe, ohne aber jemals stille zu stehen oder gar um - zukehren, rückläufig zu werden, also in einem bestimmten Sinne, in der gleichen Richtung stetsfort sich bewegend — so etwa, dass er jeden rechts von der Stelle, wo er sich soeben befindet in endlicher Entfernung liegenden Punkt auch in endlicher Zeit erreichen wird, und ebenso auch jede angeb - bare zur linken von jener befindliche Stelle vor endlicher Zeit passirt haben muss.
Der Ort auf der Geraden, wo der Punkt sich eben befindet ent - spricht alsdann dem gegenwärtigen Augenblick, jede links davon be - findliche Stelle einem bestimmten Moment der Vergangenheit, und jede zur Rechten einem solchen der Zukunft — und umgekehrt. Man kann irgend einen Punkt auf der Geraden betrachten als den Träger, das Bild desjenigen Augenblicks, in welchem der sich bewegende Punkt durch ihn hindurchging, - geht oder - gehen wird, und mit irgend einem Zeitmoment in der Vergangenheit, als Gegenwart, oder in der Zukunft, ist auch zugleich ein Punkt der Geraden gegeben als der - jenige Ort, an welchem der sich bewegende Punkt sich in ihm befindet. Es ist bezeichnend für die Berechtigung und Landläufigkeit dieser Zu - ordnungsweise, dass die Sprache geradezu von „ Zeitpunkten “redet.
Wenn es nicht von vornherein als selbstverständlich erschiene, so müsste es auf diesem Wege einleuchten und wird es obendrein dadurch anschaulich, wie der identische Kalkul mit allen seinen Gesetzen auch auf Gebiete von Zeitpunkten anwendbar ist.
Zur Versinnlichung etwaiger auf solche bezüglichen Betrachtungen mittelst Figuren werden wir natürlich nur zu dem erwähnten Bilde, zu der Geraden, unsre Zuflucht nehmen.
Die Eins bedeutet uns aber jetzt die ganze Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte, „ die ganze Zeit “, welche sich zusammensetzt aus der nach rückwärts unbegrenzten Vergangenheit, der Gegenwart und der nach vorwärts unbegrenzten Zukunft, und mit einem Worte auch Ewigkeit genannt werden mag.
5§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.Zu ihrer bessern Unterscheidung von der bisherigen, eine räum - liche Mannigfaltigkeit darstellenden oder auch im Klassenkalkul ver - wendeten (und auch noch fernerhin in dieser Weise zu verwendenden) 1, möge die Eins, als Symbol der Ewigkeit gedeutet, mit einem Tupfen versehen, die Ewigkeit durch das Zeichen i hinfort dargestellt werden.
Von einer Aussage, welche für diese ganze Zeit wahr zu sein be - ansprucht, wird zu sagen sein, sie gelte „ immer “, „ stets “, und kann also die „ Gültigkeitsdauer “einer solchen Aussage durch i ausgedrücktwerden.
Der identischen Null aber wird jetzt eine Zeitbestimmung ent - sprechen, welche die Sprache mit dem Adverbium „ nie “, „ niemals “wiedergibt. Zur Unterscheidung von der 0 des Klassenkalkuls oder auch des Kalkuls mit Gebieten überhaupt könnte man diese Null in der Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte ebenfalls mit einem Tupfen ver - sehen, sie mit 0̇ darstellend; indessen erscheint es mir unbedenklich, dies Unterscheidungsmerkmal wegzulassen: die gedachte Klasse, das Gebiet ist hier wie dort ein leeres.
Einer Aussage die „ Gültigkeitsdauer “0 zuschreiben heisst nun also, dieselbe für eine jederzeit ungültige, für eine niemals — auch nicht einen Augenblick — gültige erklären.
Ein ganz beliebiges Gebiet von Zeitpunkten bestehend vielleicht aus mehreren getrennten Zeiträumen oder auch vereinzelten Augen - blicken, so wie es z. B. die Fig. 1 veranschaulichen würde, könnten wir jetzt kurz ein „ Zeitgebiet “nennen. Dafür werden wir aber manchmal auch den Namen „ (Zeit -) Dauer “oder „ Zeitraum “selbst gebrauchen, auch wenn das Gebiet (wie in dem angeführten Beispiele) aus getrennten Zeitabschnitten, Perioden oder Epochen, eventuell nur isolirten Zeitpunkten zusammengesetzt sein sollte. Namentlich werden wir in diesem weiteren Sinne — da „ Gültigkeitszeitgebiet “unbehülf - lich erscheint — „ Gültigkeitsgebiet “aber noch einen andern Sinn liefert, Nebenbedeutungen hätte, von der „ Gültigkeitsdauer “einer Aus - sage nunmehr zu sprechen haben [ohne jedoch im geringsten die Vor - stellung von einer metrischen Beziehung mit diesem Wort zu verknüpfen].
Unstreitig haben schon alle bisherigen Betrachtungen ein „ zeit - liches Moment “enthalten, wenn dieses auch psychologisch sehr in den Hintergrund des subjektiven Bewusstseins trat; sie waren in gewisser Weise doch mit dem Zeitbegriff verwoben.
So wurden namentlich oft Voraussetzungen als gleichzeitig anzu - nehmende hingestellt. Z. B. „ Wenn a ⊆ b und zugleich b ⊆ a ist, werde a = b geschrieben “— so lautete die Definition (1) der Gleich -6Fünfzehnte Vorlesung.heit; „ Wenn (gleichzeitig) a ⊆ b und b ⊆ c ist, so ist a ⊆ c (und muss es sein) “— das Prinzip II.
Wenn c ⊆ a und c ⊆ b, so forderte c ⊆ a b zu schreiben die Def. (3×), und auch hier liegt schon in der Konjunktion „ und “die Forderung der gleichzeitigen Adoptirung der Prämissen. Etc.
Zudem ist zu bemerken, dass unsre Überlegungen sich häufig bewegten in der Form von „ hypothetischen “Urteilen, die mit den Kon - junktionen „ Wenn …, so … “zwei Aussagen verknüpfen. Die Par - tikel „ wenn “ist aber etymologisch und historisch sehr nahe verwandt mit der Zeitpartikel „ wann “. Man kann sie in den angeführten Bei - spielen (sowie überhaupt) geradezu durch letztere ersetzen, ohne dass dabei die Tragweite der Urteile, ihr logischer Gehalt, irgend eine Änderung erlitte. Wohl aber wird allerdings der lebendige psycho - logische Gehalt der Sätze dabei eine Modifikation erleiden, indem eben dadurch jenes versteckt gewesene zeitliche Moment mehr in den Vorder - grund des Bewusstseins geschoben wird — vielleicht auch auf Kosten des „ apodiktischen “Charakters jener Sätze: was vorher lebhaft als eine Denknotwendigkeit empfunden wurde, wird, falls wir „ wann “statt „ wenn “sagen, nur mehr „ assertorisch “als ein Erlebniss, eine That - sache der Wahrnehmung registrirt (bei II z. B.).
Endlich beanspruchten ja alle unsre Theoreme, stets gültig zu sein. Es ist immer a b ⊆ a nach Th. 6×). Und so weiter.
Im übrigen blieb das Bewusstsein ihrer Zeitlichkeit bei den Aus - sagen wol latent, verschwommen; es schlummerte die Aufmerksam - keit auf dieses Merkmal.
Wollen wir uns aber zu einer exakten Theorie der Urteile (wie sie der Aussagenkalkul darstellen wird) nunmehr erheben, so erscheint es geboten, auf jenes „ zeitliche Moment “sorgfältigst zu achten und mit jeder Aussage die Vorstellung einer bestimmten Gültigkeitsdauer derselben (oder eines nachher zu erwähnenden Surrogates, wonicht Äquivalentes, für diesen Begriff) zu verknüpfen.
Irgend welche Aussagen — seien es kategorische, hypothetische, disjunktive oder andere*)Ob es noch andere Urteilsformen ausser den aufgezählten gibt, ist strittig, fraglich. Mir scheint z. B. der als Dr. Fischer’s Ausspruch bekannte und be - rüchtigte Satz: „ Afrika ist, wo es (für den Europäer) gesund ist, unfruchtbar, wo es fruchtbar ist, ungesund “— dessen materielle Wahrheit wir dahin gestellt sein lassen — zu keiner der drei erwähnten Abteilungen eigentlich zu gehören. — könnten auch durch Buchstaben des grossen lateinischen Alphabets repräsentirt werden und ihre Gültig -7§ 28. Zum Aussagenkalkul.keitsdauern durch die entsprechenden Buchstaben des kleinen, wo eine Verwechselung beider irgend zu besorgen stünde.
Eine dem Sinne nach vollkommen bestimmte Aussage ist entweder wahr (richtig, gültig, berechtigt) oder nicht wahr (falsch, ungültig, unzulässig).
Ist die Aussage sinnlos, oder bestehen Zweifel über den Sinn, die Auslegung derselben, so lässt sich dies keineswegs behaupten; im letztern Falle kann sie z. B. wahr sein im einen und falsch in einem andern Sinne.
Viel Streit entspringt aus mangelhafter Verständigung über den Sinn der strittigen Aussagen, und schon darum ist es wichtig, über die Schwächen unsres Verständigungsmittels, der Wortsprache, zu klarem Bewusstsein zu kommen, indem man an sie anlegt den unveränderlichen Maasstab eines abso - lut konsequenten, bestimmten und exakten Ausdrucksmittels, zu welchem wir die Formelsprache unsres Kalkuls auszubilden haben. Wer einmal jene Schwächen erkannt hat, wird auch weniger leicht durch die Ungeduld sich abhalten lassen, bevor er in Streit eintritt, jene erforderliche Ver - ständigung anzustreben.
Eine Aussage kann z. B. wohl Subjekt einer andern sein, oder — noch allgemeiner — überhaupt ein Objekt, auf welches die gedachte zweite Aussage sich irgendwie bezieht; aber sie darf nicht sich selbst zum Gegen - stande haben, sie darf insbesondre nicht als ihr eigenes Subjekt auftreten.
Von dieser Beschaffenheit wäre z. B. der isolirt hingestellte Satz: „ Gegenwärtige Aussage ist unrichtig “, die von jemand ohne allen Bezug auf vorangegangene oder nachfolgende Aussagen für sich hingestellte Be - hauptung: „ Ich sage hiermit eine Unwahrheit “. *)„ Ich lüge jetzt “— bei Lotze — in Vereinfachung des alten Sophisma’s von dem Kretenser, welcher behauptet haben sollte, dass alle Kretenser beständig lögen — was nur möglich und wahr zugleich sein konnte, wenn er es selbst nicht glaubte.Solche Aussage kann nicht wahr sein, weil es dann eben keine Unwahrheit, sondern eine Wahr - heit wäre, die gesagt worden, und sie kann auch nicht unwahr sein, weil es dann eben zur Wahrheit würde, dass sie unwahr ist.
Diese Aussage ist also in der That weder wahr noch falsch; dieselbe ist aber sinnlos, indem sie sich auf einen Sinn beruft, solchen als bekannt voraussetzt, den sie selbst erst geben, erklären sollte, aber, wie erkannt, unmöglich haben kann. Die Aussage stempelt hier überdies mit Denk - notwendigkeit sich zu einer solchen. — Ebenso sinnlos würde auch die andre Aussage (isolirt hingestellt) sein: „ Ich sage hiermit die Wahrheit “. Nur würde die letztere in beregter Hinsicht sich sozusagen indifferent verhalten, den Sinn blos ewig vermissen lassen.
Im Zusammenhang hiermit steht es, dass wenn etwa jemand wetten wollte, dass er die eben damit eingegangene Wette verlieren (desgleichen, falls man es vorzieht, dass er sie gewinnen) würde, solche Wette als eine gegenstandslose niemals zum Austrag gebracht werden könnte.
Wir streifen hierbei auch den Fall des Sophisten Euathlos, der seinem Rechtslehrer Protagoras das Unterrichtshonorar zu bezahlen versprach, nach - dem er seinen ersten Prozess gewonnen haben würde, dann aber überhaupt8Fünfzehnte Vorlesung.keinen Prozess führte bis ihn sein Lehrer auf Zahlung des Honorars ver - klagte. („ In dem Prozesse musste in zwei verschiedenen Verhandlungen ein verschiedener Spruch gefällt werden. Zunächst war die Bedingung des Vertrages noch nicht eingetreten: Euathlus hatte bis dahin noch keinen Prozess gewonnen, war also noch nicht zur Bezahlung verpflichtet. Er musste also diesen Prozess gewinnen. Aber eben hierdurch veränderte sich die Sachlage und es musste dem Protagoras das Recht gewährt werden, auf Grund des veränderten Verhältnisses eine zweite Klage anhängig zu machen, die nunmehr zu seinem Vorteil entschieden werden musste “. Ueberweg1 p. 360 sq.). Auf hier nur gestreifte Schwierigkeiten und die traditionellen logischen Paradoxien geht Mr. Peirce in 10c mit grossem Scharfsinn ein.
Um den Sinn einer Aussage zu einem vollkommen bestimmten zu machen, ist nicht erforderlich, dass dieselbe über alles Erdenkliche, dass sie vollständige Auskunft gebe. Jede noch so ausführliche oder detaillirte Aussage, mag sie auch von Weisheit strotzen, ist nur ein verschwindend kleines Bruchstück aus der vollen Wahrheit, welche die ganze Wirklichkeit beschreibend umfassen müsste; sie ist und bleibt nur ein kurzer Auszug (an „ abstract “), in welchem von einer ungeheuren Mehrheit von Nebenumständen, für die Untersuchung un - wesentlich erscheinenden Ereignissen, Verhältnissen und Beziehungen abgesehen, abstrahirt wird; ja sogar auch wesentliche Beziehungen verschwiegen, eventuell für fernere Aussagen aufgespart, der Fort - setzung der Untersuchung oder Mitteilung vorbehalten werden.
Ich kann darum nicht umhin, die Formel des deutschen Zeugeneides (wie ich sie wenigstens bei schöffengerichtlichen Verhandlungen kennen gelernt habe) nach welcher Zeuge einfach schwören muss „ nichts zu ver - schweigen “(statt etwa: „ nichts, was nach des Zeugen bestem Ermessen für die Untersuchung von Belang sein könnte “, oder vielleicht: „ nichts, wonach er gefragt wird “) schon in logischer Hinsicht zu beanstanden.
All’ unser Wissen, nicht nur, sondern auch unser Aussagen bleibt Stückwerk. Bei den kategorischen Urteilen wenigstens — auf die andern kommen wir noch eingehend zu sprechen — scheint für die Bestimmtheit der Aussage es auszureichen, wenn Subjekt und Prädi - kat derselben wohldefinirte Klassen sind, deren Determination — mag sie näher auch in der Aussage selbst erst erfolgen — doch mittelst anderweitig schon bekannter Klassen, mittelst gegebener Begriffe er - folgt. [Bei dem Subjekt des oben angeführten Beispiels „ Diese Aus - sage ist unwahr “, war solches — in der suppositio realis, d. h. wenn „ diese Aussage “nicht blos als grammatikalischer Satz, als Wortgefüge, sondern dem Sinne nach genommen wird — wie erkannt, nicht der Fall.]
Soll eine verständliche Aussage mit solchem bestimmten Sinne auch noch den Anspruch auf Wahrheit verbinden, so muss — ob zwar9§. 28. Zum Aussagenkalkul.sie unvollständig, nur ein Bruckstück der Wahrheit bleibt — doch diejenige Auskunft wenigstens, welche die Aussage gibt, von ihr richtig gegeben sein, d. h. es muss möglich bleiben, mit der Phantasie oder auf Grund weiterer Forschungen, alles das, was die Aussage un - erwähnt und darum offen gelassen, sowie auch, was sie allenfalls aus - drücklich als unbestimmt hinstellte, wahrheitsgemäss noch nachzutragen, und zwar ohne dass ein Widerspruch zu ihr selbst entsteht. Die Praxis des Lebens kehrt sich nicht immer hieran, indem sie aus Rücksicht auf die Schwierigkeiten der Mitteilung, auf die Unmöglichkeit, alles Erforderliche auf einmal zu sagen, zuweilen gestattet, eine gemachte Aussage durch nachträgliche Anführung von Einschränkungen oder Ausnahmen teilweise wieder aufzuheben. In solchen Fällen ist jene erste Aussage, mag sie auch grammatikalisch bereits abgeschlossen sein, doch in logischer Hinsicht als eine unfertige anzusehen, welche erst mit dem Hinzutreten der Einschränkungen ihre Vollendung erhält.
Ich glaube mich hier mit diesen wenigen Andeutungen begnügen zu dürfen, wenn auch mit dem vollen Bewusstsein ihrer Unzulänglichkeit, indem ich mir nicht verhehle, dass es wol zu den schwierigsten Aufgaben gehören möchte, allgemein zu charakterisiren, wann eine Aussage sinnlos ist, wann da - gegen sie einen vaguen, wann einen ganz bestimmten Sinn besitzt, gleichwie im letzteren Falle, zu sagen, was es eigentlich heisst, dass sie wahr oder falsch sei.
Sinnlos ist z. B. die in unsrer fränkischen Provinz populäre Wetter - regel: „ Sobald ein Stück blauen Himmels zu erblicken ist, so gross, dass der Schneider ein Paar Beinkleider daraus fertigen könnte, so gibt es an dem Tag noch schönes Wetter. “ Hier nämlich (wie auch, wenn etwa jemand sagte: „ so gross wie eine Ellipse “) versagt die scheinbar gegebene Grössen - bestimmung, und wollte mit solchem Ausspruch der Volkswitz wol nur die Unsicherheit der Wetterprophezeiung überhaupt persifliren.
Ist die stets in einerlei Sinne verstandene, die Aussage konstanten Sinnes einmal wahr, so bleibt sie dies auch in alle Ewigkeit und musste es immer gewesen sein, sie gilt dann stets; ist sie falsch, so kann ihr auch zu keiner Zeit Wahrheit zukommen, sie ist dann nie - mals wahr. Die Gültigkeitsdauer einer derartigen Aussage ist demnach entweder die Ewigkeit i, oder aber 0.
Wir werden künftig ganze Aussagen nicht selten mittelst Buch - staben darstellen. Bedeutet a die Aussage: „ 2 × 2 ist 4 “, und b die Aussage: „ 2 × 2 ist 5 “, so exemplifizirt uns a die (stets) wahre, b die (stets) falsche Aussage.
So oft wir eine Aussage in Rechnung setzen, und zwar einerlei, ob sie dabei durch einen Buchstaben vertreten, oder ob sie vollinhaltlich, detaillirt (in einer Klammer) angegeben wird, soll sie als ihre Gültig - keitsdauer verstanden, ausgelegt werden.
10Fünfzehnte Vorlesung.Für die obigen Beispiele dürfen wir demnach sagen, dass: a = i und b = 0 ist. Anstatt — wie hienach berechtigt — zu schreiben: (2 × 2 = 4) = i, wird man aber kürzer die Behauptung 2 × 2 = 4, oder a selbst, ein - fach hinstellen. Wogegen die Falschheit der Behauptung, dass 2 × 2 gleich 5 sei, vorerst nicht einfacher darzustellen ist als mittelst des Ansatzes: (2 × 2 = 5) = 0.
Bedeutet c die Aussage: „ Die Masse der Welt ist konstant “und d die Aussage: „ Die Materie ist vergänglich “, so ist (nach den Grund - lehren der Physik) ebenso c = i und d = 0, die erstere nämlich wahr, die letztere falsch, und zwar nicht nur soeben, sondern überhaupt.
Man könnte gegen oben Gesagtes einwenden: der Ausspruch „ Caesar wurde ermordet “sei vor oder während seiner Ermordung noch nicht wahr gewesen, sei erst seitdem wahr. Wird das Tempus des Verbums festgehalten, so ist dieser Einwand auch sicherlich berechtigt. Allein dann haben wir, obzwar eine Aussage von grammatikalisch konstanter Form, von sich gleich bleibendem Wortlaute, doch gerade eben nicht eine solche konstanten Sinnes, indem das Tempus prae - teritum, auf welches mit der Verbalform „ wurde ermordet “hin - gewiesen wird, zu verschiedenen Zeiten eine verschiedene Bedeutung beansprucht.
Aus diesem Beispiel wird ersichtlich, dass ein erzählendes (eventuell auch ein beschreibendes) Urteil, soll es konstanten Sinn besitzen, mit seinem Verbum nicht an die relative Gegenwart (Vergangenheit oder Zukunft) d. i. die Gegenwart (etc.) der Aussage anknüpfen, darf, es darf m. a. W. nicht auf den Zeitpunkt, in welchem die Aussage fällt, sich beziehen, sondern es muss dasselbe vielmehr auf einen absolut be - stimmten Zeitpunkt oder Zeitraum verweisen, wofern es solchen nicht ganz unbestimmt lässt.
Letzteres wäre für unser Beispiel etwa der Fall, wenn wir sagten: Die Ermordung Caesar’s ist ein Ereigniss in der Wirklichkeit, ist (eine) historische Thatsache. Das andere, falls wir sagten: „ Die Ermordung Caesar’s fällt in das Jahr 44 v. Chr. “ In dieser Fassung ist der Satz zu allen Zeiten wahr gewesen. Ebenso bei den Aussagen: „ In die Jahre 1870 und 71 fällt ein deutschfranzösischer Krieg “, „ Am 28. Mai 1900 findet eine ringförmige Sonnenfinsterniss statt “. Letzteres ist11§. 28. Schätzung von Aussagen nach den Zeiten ihrer Gültigkeit.auch jetzt schon wahr, und brauchen wir hier nicht das Verbum in das Futurum, dort es nicht in das Präteritum zu setzen. Der Sprachgebrauch gestattet in solchen Fällen die Präsensform; doch ist zu bemerken, dass bei völliger Unbestimmtheit sowol, als auch bei absolut bestimmter Angabe eines Zeitraums oder Zeitpunktes, in welchen ein Ereigniss fällt, in dem ein Zustand währt, jede Temporalflexion des Verbums überflüssig ist, ja nachteilig wirken muss, präjudizirt, indem das Präsens z. B. doch Vergangenheit und Zukunft auszuschliessen scheint oder wenigstens sie unberücksichtigt lässt. (Vergl. Bd. 1, S. 153).
Nun kann aber in unsern Kultursprachen eine Aussage überhaupt nicht gegeben werden, ohne dass in ihr das Verbum in einem ganz bestimmten Tempus — sei es Präteritum, Präsens oder Futurum — steht, und somit gibt sich hier wieder einmal eine Unvollkommenheit der Wortsprache kund. Eine Armut, auch, derselben zeigt sich darin, dass sie zum Ausdruck von wesentlich verschiedenen Beziehungen doch der nämlichen Formen sich bedienen muss:
Es ist ein ganz anderes Präsens, in welchem die Kopula unsrer Aussage steht, wenn wir sagen: „ zwei mal zwei ist vier “, als wenn wir sagen: „ es ist vier Uhr (Nachmittags, hiesiger Zeit am hiesigen Platze) “. Jenes ist das „ aoristische “Präsens: 2 × 2 ist nicht nur soeben = 4, sondern war es auch stets und wird es immer sein; da - gegen, wenn es soeben vier Uhr ist, so war es das vor einer halben Stunde noch nicht, und wird es demnächst nicht mehr sein.
Es scheinen mir neben den zugehörigen unterscheidenden Formen sogar auch die Namen zu fehlen für die verschiedenen Bedeutungen, die in Hin - sicht der Auslegung des Verbums nach seinem Tempus logisch unter - schieden werden müssen; ich wüsste wenigstens die zweite Art des Präsens im Gegensatz zur ersten, die ich — schon etwas gewagt — die „ aoristische “nannte*)D. h. die „ unbegrenzte “; Grammatiker sprechen auch von einer „ durativen “Bedeutung des Präsens und — bei Sentenzen — von einer „ gnomischen “., nicht mit einem gebräuchlichen Namen zu benennen. Jedenfalls hat in beregter Hinsicht die altgriechische Sprache etwas schärfer unter - schieden, als unsere modernen Sprachen, indem sie für gewisse Tempora der Vergangenheit und Zukunft neben den gewöhnlichen auch aoristische Formen schuf.
Im wissenschaftlichen Interesse wäre wol zu wünschen, dass es neben dem gewöhnlichen Präteritum (mit seinen Abstufungen als Imper - fektum, Perfektum und Plusquamperfektum), dem Präsens und dem Futurum (nebst Abstufungen) auch ein Tempus generale (oder aoristicum) gäbe — behufs Vermeidung der Umständlichheit, dass man eigentlich: „ war stets, ist, und wird stets sein “(etc.) sagen müsste.
12Fünfzehnte Vorlesung.Und ferner — als praktisch vielleicht in noch höherem Maasse Bedürfniss — sollte man verfügen können über ein Tempus indefinitum oder indeterminatum, eine Temporalform, die offen, unausgedrückt lässt, ob von Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft die Rede; dieselbe wäre nicht nur da zu gebrauchen, wo, wie erwähnt, genauere in der Aussage enthaltene Zeitangaben die übliche Temporalflexion ihres Verbums als überflüssig, ja einseitig, unvollständig oder irreführend erscheinen lassen, sondern überhaupt, wenn es sich darum handelt, von Ereignissen in zusammenfassender Schilderung (erzählend, be - schreibend und eventuell vorhersagend) zu reden, die teilweise der Ver - gangenheit, vielleicht der Gegenwart und teilweise auch der Zukunft angehören mögen, bei denen es aber unbekannt oder nebensächlich ist, inwiefern oder in welchen Verhältnissen sie das eine thun, oder das andere.
Umstände, unter denen solches von Belang würde, können leicht schon bei der brieflichen Korrespondenz eintreten, wo die Gegenwart des Ab - senders eine andere ist, als die des Empfängers. Dass aber in den Wissen - schaften sich die erwähnte Armut der Wortsprache nicht schlimmer fühlbar gemacht hat, und deshalb fortbestehen konnte, erklärt sich unschwer aus der scharfen Sonderung jener in historische und physikalisch-mathematische Wissenschaften, bei deren ersteren es niemals gleichgültig erscheint, ob ein Ereigniss schon stattgefunden hat, oder erst stattfinden wird, wogegen die letzteren sich durchweg mit sozusagen „ ewigen “Wahrheiten beschäftigen und zu deren Ausdruck eben des aoristischen Präsens sich gewohnheits - mässig bedienen. Ihnen schliessen auch die naturhistorischen Disziplinen sich teilweise an.
Sollten (aber) in der Logik auch beschreibende oder erzählende Urteile, Aussagen über historische, gegenwärtige oder künftige That - sachen, als Aussagen konstanten Sinnes angesehen werden, so müssten wir sie uns allemal in der erwähnten unbestimmten Temporalform, eventuell versehen mit einer absoluten Zeitbestimmung, ausgedrückt denken.
Uns an das mit der Wortsprache Gegebene haltend gelangen wir dagegen zur Anerkennung des Vorkommens von Aussagen variablen Sinnes, deren Sinn nämlich sich mit dem Zeitpunkt, in welchem die Aussage fällt, von selbst verschiebt, indem das Verbum mit seinem Tempus an die „ relative “Gegenwart anknüpft, nämlich auf die Gegen - wart der Aussage (eventuell von dieser aus zurück - oder vor-ver - weisend) sich bezieht. [„ Absolute “Gegenwart würde ich dagegen den durch Jahreszahl, Datum, Stunde und Minute etc., Berliner Zeit, fixirten Moment, in welchem ich soeben schreibe, dermalen nennen.]
Von solcher Art ist wol die ungeheure Mehrzahl aller mensch -13§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Gültigkeitsdauer.lichen Aussagen. Denselben kommt zumeist eine von 0 und i ver - schiedene „ Gültigkeitsdauer “zu (sofern von einer solchen überhaupt sich reden lassen wird), eine Gültigkeitsdauer, die nur eben ein ge - wisses Gebiet von Zeitpunkten ausmacht. Ein einfaches Beispiel mag dies verdeutlichen.
Stellen wir uns eine Person, einen „ idealen Meteorologen “(!) vor, der Tag und Nacht am selben Fleck unter freiem Himmel stehend beständig ausruft und wiederholt: „ Es regnet “(sc. soeben hier am Platze), Es regnet, es regnet. So wird die Aussage wahr sein, so - bald und solange wirklich Regentropfen auf dieses Individuum fallen, und unwahr, sobald dies nicht der Fall ist. Die (auf gedachten Ort bezogene) Aussage hat daher eine bestimmte Gültigkeitsdauer, welche sich zusammensetzt aus den verschiedenen getrennten Zeiträumen, in welchen wirklich Regenschauer sich über den Ort ergiessen (ergossen haben und ergiessen werden).
Die Begriffe, Benennungen und Bezeichnungen des Aussagenkal - kuls — ein Stück weit, aber nicht durchaus: auch die Prinzipien des - selben — werden sich auch anwendbar erweisen auf die im geschil - derten Sinne variablen Aussagen (die Aussagen variablen Sinnes bei blos konstanter Form). Da einer solchen Aussage irgend welche Gültig - keitsdauer (die i oder 0 nicht ausgeschlossen) zukommen kann, so er - ledigen wir vorweg das Allgemeinere, wenn wir die ferneren Betrachtungen jetzt an derlei Aussagen anknüpfen.
Zudem aber ordnen diesen variabelsinnigen Aussagen auch die - jenigen konstanten Sinnes sich wirklich unter, indem z. B. die obigen Aussagen a und b auch ihre Gültigkeitsdauern i und 0 behalten müssten, wenn man das Präsens ihrer Kopula, anstatt wie oben als aoristisches, nunmehr als gewöhnliches oder historisches auslegte, a nämlich deutete als das Urteil: „ 2 × 2 ist soeben = 4 “und b als: „ 2 × 2 ist soeben 5 “.
Eine Subsumtion: 〈…〉 angesetzt zwischen irgend zwei Aussagen, wird hienach bedeuten: Die Zeit, während welcher die Aussage a wahr ist, sei ganz enthalten in der Zeit, während welcher die Aussage b wahr ist, d. h. immer, wann (whenever, solange, sooft, sobald, falls) a gilt, gilt auch b. Kürzer werden wir hiefür oft sagen: „ Wenn a gilt, so gilt b “; „ a bedingt b “, zieht es nach sich; „ aus a folgt b “. Ausdrücklich muss jedoch bemerkt werden, dass der Zusammenhang zwischen den Gültigkeiten von a und b damit durchaus nicht hingestellt werden soll als ein logischer oder denknotwendiger, auch nicht als ein kausaler, oder dergleichen. Die14Fünfzehnte Vorlesung.Subsumtion und die Redensarten, durch welche wir sie wiedergeben, sollen vielmehr diesen Zusammenhang lediglich als einen faktisch be - stehenden, thatsächlichen darstellen, es offen lassend, ob er denknot - wendig, eventuell als ein „ kausaler “bestehe, oder vielleicht blos ein empirisch ermittelter, für den Stand unsrer Erkenntniss „ zufälliger “ist.
Zum Exempel, es bedeute b die Aussage: „ Es ist Tag (hier) “— für den Augenblick unter „ Tag “die Zeit verstanden, während welcher die Sonne über dem Horizont steht*)Der Einfachheit halber will ich mich auf die Berücksichtigung der Strahlen - brechung und des Unterschiedes zwischen mathematischem und physischem Hori - zont des Ortes hier nicht einlassen., und a die Aussage: „ die Sonne scheint (hier, unverhüllt von Wolken) “, so gilt a ⊆ b, d. h. Wenn die Sonne scheint, so ist es Tag.
Die Beziehung zwischen den Gültigkeitsdauern der beiderseitigen Aussagen möge die Figur veranschaulichen:
welche, durch Nächte getrennt, drei Tage b auf der Zeitlinie dar - gestellt zeigt, an deren drittem die Sonne unausgesetzt schien, während sie an den beiden vorhergehenden je zweimal längere Zeit von Wolken verhüllt blieb, etc.
Allerdings ist in dem gewählten Beispiel das „ Subjekt “a (der Be - dingungssatz) zugleich Erkenntnissgrund des „ Prädikates “b (des Folge - satzes): aus dem Scheinen der Sonne kann gefolgert, geschlossen werden, dass es Tag ist. Weil die Sonne scheint (sofern sie das thut), darum muss es Tag sein.
Das kausale Verhältniss scheint hier eher umgekehrt zu liegen: weil die Sonne über dem Horizont steht, darum kann sie überhaupt scheinen; dass sie scheint ist eventuelle Folge, und Wirkung, ihrer Stellung über dem Horizonte.
Jener Umstand ist aber, wie angedeutet, als ein Nebenumstand zu betrachten, der in der Subsumtion a ⊆ b sowol, als in deren verbaler Umschreibung mittelst der Konjunktionen „ wenn ‥, so ‥ “nicht ge - fordert ist. Man könnte ebensogut, die vorige Aussage a z. B. fest - haltend, unter b die Aussage verstehen: „ Paris liegt an der Seine “, oder etwa auch: „ Carnot ist Präsident der französischen Republik. “ Und wiederum würde dermalen die Subsumtion a ⊆ b gelten, die Be - hauptung zulässig sein: Wenn (genauer: wann, während, solange, so -15§. 28. Aussagen, nach Gültigkeitsdauer geschätzt.bald, falls) hier die Sonne scheint, ist Carnot Präsident der französi - schen Republik, (er ist es freilich auch, wenn sie nicht scheint) — mit einer gewissen Gültigkeitsdauer (gleichwie der beiden Teilaussagen, so auch) der ganzen Aussage.
Hier nun zu sagen: aus dem Scheinen der Sonne an hiesigem Platze folge (zur Zeit), dass Carnot Präsident der französischen Repu - blik sei, oder auch: der letztere Umstand sei von dem ersteren bedingt, wäre allerdings nicht angemessen!
Wenn wir gleichwol — zwar nicht in solch konkreten Beispielen wo ihre Unangemessenheit auf der Hand liegt, jedoch bei den Unter - suchungen von allgemeinem Charakter — diese Redensarten gebrauchen, so geschieht es, weil unsre Abmachungen auch die Fälle wirklichen Folgens sämtlich mit umfassen, weil beabsichtigt ist, sie auf solche vorzugs - weise anzuwenden (ohne dass es jedoch nötig fällt, die andern auszu - schliessen), und vor allem, weil die Wortsprache uns Redewendungen nicht zur Verfügung stellt, die für alle Fälle zutreffend genannt werden könnten und demnach einer solchen Allgemeinheit gerecht zu werden vermöchten, wie sie unsre Untersuchungen beanspruchen werden.
Man wird sich im Vorstehenden auch den Unterschied in der Bedeutung der Konjunktionen „ wenn “(if) und „ wann “(englisch annähernd: when) zum Bewusstsein gebracht haben. Während letztere als reine Zeitpartikel er - scheint, pflegt erstere den versteckten Hinweis auf ein Prinzip zu enthalten, das den Zusammenhang zwischen Bedingungssatz und Folgesatz des hypo - thetischen Urteils beherrscht — bestehe dieses Prinzip nun als ein rein logisches aus den Gesetzen des gewissen oder wahrscheinlichen Folgerns unter Berufung auf die Evidenz, oder gründe es sich ausserdem auf irgend - welche Satzungen, dogmatische Glaubenssätze oder auch Naturgesetze — in welch’ letzterem Falle wir von einem kausalen Zusammenhange reden.
Jenes „ wann “kann unter Umständen auch durch „ während “(engl. whilst) vertreten werden; es entspricht auch dem lateinischen „ dum “, „ so - lange “. Z. B. „ Dum spiro, spero “: solange ich atme (scilicet: und bei Be - wusstsein bin), höre ich nicht auf zu hoffen. Dies gibt die Subsumtion a ⊆ b, wo a die Aussage bedeutet: ich atme, und b die: ich hoffe.
Betrachten wir dagegen den Satz: „ Dolor, si longus, levis, si gravis, brevis “(ergo omnino fortiter sustinendus — vergl. Jevons9 p. 174), so weist die konditionale Partikel „ si “in der That auf einen verborgenen ur - sächlichen Zusammenhang, einen Grund hin: weil eben ein sehr heftiger Schmerz bald Bewusstlosigkeit oder Tod herbeiführt und damit aufhört in die Empfindung zu treten, als solcher zu existiren, so kann ein lang an - haltender Schmerz nur ein minder heftiger, ein sehr heftiger nur von kurzer Dauer sein — zum Trost für die von ihm Befallenen.
Das Beispiel ist instruktiv, insofern es im Bedingungssatze des einen Urteils sowie im Folgesatze des andern als Prädikat selbst schon eine Zeit - bestimmung, als da ist „ von langer, resp. kurzer, Dauer zu sein “enthält. 16Fünfzehnte Vorlesung.Das „ si “, „ wenn “, hier etwa durch „ solange “oder „ während “„ dum “zu er - setzen ginge durchaus nicht an, und dennoch wird sich jedes seiner beiden Teilurteile als eine Aussagensubsumtion darstellen lassen, sobald wir mit unsern Betrachtungen ein wenig weiter vorgeschritten sein werden (nämlich: die Klasse der Fälle, wo der Schmerz ein lange anhaltender ist, ist ent - halten in der Klasse der Fälle, wo er ein leichter ist, etc.). Einstweilen mag das Beispiel dazu dienen, die Unvollständigkeit der bisherigen Be - trachtungen zu erhärten, welche ich ausdrücklich als nur vorbereitende auf - gefasst wünsche.
Zwei Aussagen a und b werden nun nach der Def. (1) der Gleich - heit (für den auf die Mannigfaltigkeit i der Zeitpunkte angewendeten Gebietekalkul) einander äquivalent, oder gleich, zu nennen sein, wenn sowol a ⊆ b als auch b ⊆ a ist, d. h. wenn sie einander gegenseitig bedingen, wenn immer, sobald die eine gilt, auch die andre Geltung hat, und umgekehrt. Ihre Gültigkeitsdauern sind alsdann nicht nur, metrisch betrachtet, gleich gross, sondern identisch die nämlichen, einerlei, sie fallen in ein einziges Gebiet von Zeitpunkten zusammen.
Im übrigen mögen unter sich äquivalente Aussagen ihrem Inhalt oder Sinne nach gänzlich von einander unabhängig sein. Alle stets wahren Aussagen z. B. sind im Aussagenkalkul einander gleich zu nennen, ebenso alle stets falschen.
Bedeutet z. B. a die Aussage: „ 2 × 2 ist 4 “und b die Aussage: „ Die Energie des Weltalls ist konstant “, so hat a = b zu gelten, es sind a und b dann äquivalente Aussagen. Beide haben nämlich die Ewigkeit oder ganze Zeit zur Gültigkeitsdauer; wir haben a = i und auch b = i.
Die Gleichheit a = b würde ebenso bestehen, falls a die Aussage be - deutete: „ 2 × 2 ist 5 “und b die Aussage: „ Es gibt Hexerei “. Hier wäre a = 0 und b = 0, wiederum also das Gebiet der Zeitpunkte, in welchen die eine oder die andre wahr ist, das nämliche, und zwar das leere oder Nullgebiet; sie gelten (wenn man hier noch so sagen will, doch „ gleich - zeitig “) nämlich alle beide nie.
Wegen dieser Unabhängigkeit ihres Inhaltes musste für die „ Äquivalenz “der Aussagen ein anderer Name gewählt werden als der bekannte der „ Äquipollenz “, welchen die traditionelle Logik zur Be - zeichnung einer viel spezielleren Beziehung schon längst eingeführt hat.
Äquipollent nennt die Logik solche Urteile, die mit Denknotwendig - keit gegenseitig aus einander folgen — wie beispielsweise das Urteil: „ Alle α sind β “und das (durch Konversion daraus hervorgehende) „ Was nicht β ist, ist nicht α “.
Äquipollente Urteile sind auch immer einander äquivalent, oder im Sinne des Aussagenkalkuls „ gleich “, aber nicht umgekehrt. Über jene greift diese Begriffsbestimmung dem Umfange nach weit hinaus (während17§. 28. Aussagen in Reflexion auf ihre Gültigkeitsdauer.sie hinsichtlich des Inhaltes hinter ihr zurückbleibt). Für die Wahl des Ausdrucks „ Äquivalenz “war der englische Vorgang („ equivalent statements “) mitbestimmend. Wegen der grösseren Allgemeinheit un - serer von der Äquivalenz der Aussagen handelnden Betrachtungen gegenüber denen, die auf ihre Äquipollenz sich beziehen würden, geben wir der ersteren Bezeichnung den Vorzug auch in Fällen, wo wir die letztere gebrauchen dürften.
Zieht man Aussagen nach ihrer Äquivalenz in Betracht, frägt man darnach, ob solche vorliege, oder nicht, so ist von dem charakteristischen Inhalte jener Aussagen zu abstrahiren und auf ihre Gültigkeitsdauern zu reflektiren.
Jedenfalls hindert nichts, eine Aussage, abgesehen von ihrem In - halte A (d. h. demjenigen, worüber sie uns Auskunft gibt), blos nach ihrer Gültigkeitsdauer a in’s Auge zu fassen, und wer die Besorgniss hegt, diese beiden Hinsichten in welchen Aussagen sich betrachten lassen, zu vermengen, kann sie dadurch auseinanderhalten, dass er die entsprechenden Buchstaben zweier verschiedenen Alphabete für die eine und für die andre Deutungsweise verwendet. Der Übergang von der einen zur andern Interpretation ist jedoch ein so leicht zu vollziehender an welchen man sich bald gewöhnt und worin man rasch Übung er - wirbt, dass uns solch’ ängstliches Auseinanderhalten hier unnötig er - scheint.
Um nun also vom bisherigen Gebiete - und Klassenkalkul un - mittelbar zum Aussagenkalkul fortzuschreiten und letztern auch mit einem Schlage errichtet sowie begründet zu haben, braucht man blos unter den Buchstabensymbolen a, b, c, … irgendwelche Aussagen (Be - hauptungen, Urteile) zu verstehen und auszumachen, dass sobald mit diesen Symbolen gerechnet wird (sobald mittelst Negation, Multiplikation oder Addition an denselben operirt, oder auch nur Subsumtionen oder Gleichungen etc. zwischen denselben angesetzt werden), sie als ihre Gültigkeitsdauern gedeutet werden sollen, dass also unter irgend einer Aussage a verstanden werden solle die Zeit (genauer: das Gebiet, die Gesamtheit der Zeitpunkte), während welcher ebendiese Aussage wahr ist, unter Ausschluss jedes Zeitpunktes, in dem sie nicht wahr ist.
Was hiernach eine Subsumtion a ⊆ b, und eine Gleichung a = b uns bedeuten werden, haben wir bereits auseinandergesetzt.
In Bezug auf erstere ist jedoch noch der „ Grenzfälle “Erwähnung zu thun, wo das Subjekt oder Prädikat der Subsumtion a ⊆ b durch die Aussagensymbole 0 oder i vertreten erscheint.
Die Bedeutung auch dieser beiden Zahlensymbole im Aussagen -Schröder, Algebra der Logik. II 218Fünfzehnte Vorlesung.kalkul wurde bereits angegeben: Aussage i ist jede stets wahre Aus - sage, und sie kann durch irgend eine von diesen, wie z. B. durch den (arithmetischen) Satz dass 2 × 2 = 4 ist, oder auch durch den logi - schen Satz: 0 ⊆ 0, mit gleichem Rechte vertreten, repräsentirt werden. Wir haben auch: (0 = 0) = i. Nullaussage dagegen ist jede stets (oder unbedingt) falsche Aussage, wie z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 5 sei, oder die, dass es Hexerei gebe, oder die Subsumtion 1 ⊆ 0. Desgleichen haben wir: (1 = 0) = 0.
Gleichwie die identische Null ihrer Definition (2) gemäss Subjekt war zu jedem Prädikate und die 1 Prädikat zu jedem Subjekte, so ist nun auch die Nullaussage ein zulässiger Bedingungssatz zu jedem Folge - satze, und eine Aussage i zulässiger Folgesatz zu jedem Bedingungssatze.
Wir müssen demnach konsequenterweise z. B. folgende Urteile als kor - rekt und gültig anerkennen — in Bezug auf welche nur zu bemerken ist, dass, während die Konsequenz in der Aufrechterhaltung der formalen Sche - mata für die Wissenschaft vom höchsten Wert erscheint, die verbale For - mulirung derselben minderwertig ist.
Da die im Bedingungssatze ausgesprochene Voraussetzung eben niemals zu - trifft, so sind alle drei Urteile vollkommen nichtssagende, beziehen sich auf „ nichts “, nämlich auf ein leeres Zeitgebiet. Sie aber als richtige an - zuerkennen verpflichten uns die über letzteres der Allgemeinheit zuliebe ge - troffenen Festsetzungen.
Im zweiten Falle (0 ⊆ a) darf, obwol die Gültigkeitsdauer des Vorder - satzes 0 war, und die 0 der Zeitbestimmung „ niemals “entspricht, das Urteil doch nicht etwa mit: „ Nie scheint hier die Sonne “in Worte über - tragen werden. Dies würde eine falsche Übersetzung sein, und wären be - hufs näherer Erläuterung dessen, mutatis mutandis, die Bemerkungen zu wiederholen, die wir in § 9 unter v) bezüglich verbaler Wiedergabe einer Subsumtion 0 ⊆ a im Klassenkalkul ausgeführt haben [die letztere durfte auch nicht in Gestalt von „ Nichts ist a “dort wiedergegeben werden]. Wenn a die Aussage bedeutet: „ Hier scheint die Sonne “, so wäre vielmehr der vorige Satz („ Nie scheint etc. “) mit a = 0 in der Formelsprache des Aussagenkalkuls darzustellen.
Legt z. B. Emanuel Geibel dem in Sklaverei befindlichen Neger - weibe in dem Schlummerliede, das sie ihrem Knaben singt, auf die Frage an den grossen Geist: wann wird der Jammer deiner schwarzen Kinder enden? die Antwort in den Mund:
„ Ach das mag geschehen, wenn der Mississippi rückwärts fliesset, … Wenn die weissen freien Pflanzer, wenn die Christen Menschen werden “,19§ 28. Aussagen, als Gültigkeitszeiten gedeutet.so lässt er sie (bei der Unterstellung, dass dies niemals eintreten werde) eine die Hoffnungslosigkeit ausdrückende, logisch betrachtet eine leere Ver - heissung geben.
Analog sind Urteile hier anzuerkennen, wie diese:
Der Nachsatz gilt hier nämlich an sich und ganz unabhängig von dem Vorder - oder Bedingungssatze. Psychologisch mag das anders sein, aber logisch sagt das hypothetische Urteil doch für den Fall, wo seine Hypo - these nicht zutrifft, überhaupt nichts aus. Behaupte ich etwas für den Fall (die Zeit), wo die Sonne scheint, so ist damit in keiner Weise präju - dizirt für die Fälle, wo sie nicht scheint; es bleibt, wenn für den ersteren behauptet ist, dass 2 × 2 = 4 sei, unbenommen zu denken, dass es auch für die letzteren sich also verhalte, nur wird dies im Urteile eben frei - gestellt, unentschieden oder offen gelassen.
Freilich ist, beim zweiten der obigen drei Beispiele (z. B.) zuzugeben, dass dasselbe — ähnlich wie etwa das Urteil: „ Einige Möpse sind Hunde “— bei aller logischen Korrektheit ein irreführendes, psychologisches Moment enthält, weshalb denn auf das für ähnliche Fälle schon in § 1 Gesagte zurückverwiesen sei. Wie dort, so sind auch hier die Urteile dem Vor - wurf ausgesetzt, dass sie mit Umständlichkeit nur einen Teil der Wahrheit ausdrücken, während „ die ganze “sich viel einfacher sagen liesse — in Ge - stalt der Behauptung, dass 2 × 2 = 4. In logischer Hinsicht aber sind solche Urteile nicht zu beanstanden.
Steht, entgegen den bisherigen Beispielen, die Null als Prädikat oder die Eins als Subjekt, so haben den Theoremen 5) gemäss die Urteile einen wirklichen Gehalt. Der letztere lässt sich dann aller - dings auch einfacher darstellen, wird jedoch zu rhetorischen Zwecken, zur Bekräftigung, nicht selten absichtlich in die umständlichere Form gesetzt — oder auch aus Taktgefühl, um etwa direkte grobe An - schuldigung zu vermeiden. Z. B. Das hypothetische Urteil: „ Wenn das mit rechten Dingen zugegangen ist, so ist 2 × 2 fünf! “ (a ⊆ 0) um - schreibt blos die Behauptung: „ Das ist nicht mit rechten Dingen zu - gegangen “, welche zusammenfällt mit der Verneinung des Urteils a (= „ Das ist mit rechten dingen zugegangen “), sonach mit der Be - hauptung a = 0, dass letzteres Urteil ungültig. Vergl. hiezu die Be - trachtung 1 des § 46 über das Wesen des apagogischen Beweises.
Das Urteil: „ Wenn 2 × 2 (noch) vier ist, so bin ich unschuldig “(i ⊆ a) kommt der Beteuerung gleich: (a) „ Ich bin unschuldig. “ Psy - chologisch weist es vielleicht darüber hinaus auf eine Notwendigkeit hin, dieses auch anzuerkennen.
Tritt beides zugleich ein, steht nämlich die i als Subjekt und die 0 als Prädikat einer Aussagensubsumtion, so haben wir in Gestalt derselben:2*20Fünfzehnte Vorlesung.i ⊆ 0, eine absurde Aussage vor uns, deren Gültigkeitsdauer (wie schon einmal erwähnt) eben selbst 0 ist.
Das identische Produkt und die identische Summe zweier Aussagen a und b können nunmehr selbst wieder als Aussagen gedeutet werden in folgender Weise:
Es bedeutet a · b oder a b das Urteil, welches aussagt, dass die Aus - sagen a und b beide (gleichzeitig, zugleich) gelten. Diese Aussage hat in der That das den Gültigkeitsdauern von a und von b gemein - same Gebiet von Zeitpunkten zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer.
Ein Produkt von Aussagen stellt demnach das System derselben, wenn sie als simultan geltende, koexistirende angesehen werden sollen, vor; und umgekehrt lässt ein solches System stets als eine einzige Aussage, nämlich als das identische Produkt seiner Gliederaussagen, sich hinstellen und in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls über - setzen.
In Worten pflegt man die Faktoraussagen einfach selbständig hin - zustellen — durch den Punkt als Interpunktionszeichen, oder auch durch Kommata getrennt, zuweilen auch durch Konjunktionen, wie „ und “, „ sowol ‥ als auch “etc. verbunden. Z. B.: Nicht nur (a =) „ der Stoff, die Materie ist unvergänglich “, sondern auch (b =) „ die lebendige Kraft, Energie, lässt sich weder erzeugen, noch vernichten “— ist solch’ ein Aussagenprodukt: a b.
Ferner bedeutet a + b das Urteil, welches aussagt, dass die Aus - sage a oder die b gelte — und zwar das „ oder “im inklusiven Sinne verstanden als „ oder auch “[vergl. § 8, ϑ)] sonach entweder die eine, oder die andre von ihnen, oder aber beide zugleich. Diese Aussage wird in der That zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer haben das - jenige Gebiet von Zeitpunkten, zu welchem die Gültigkeitsdauern von a und von b einander ergänzen, zusammenfliessen.
Eine Summe von Aussagen stellt demnach das System derselben vor, wenn sie als alternativ geltende angesehen werden sollen, und um - gekehrt wird sich jede „ Alternative “zwischen Aussagen — sofern sie, wie wir es hier immer auffassen werden, als eine inklusive verstanden wird, die den gegenseitigen Ausschluss ihrer Glieder nicht ausdrück - lich fordert — stets darstellen lassen als eine einzige Aussage in Ge - stalt der identischen Summe ihrer Gliederaussagen.
Die Wortsprache verbindet die Glieder der Alternative durch die Konjunktion „ oder “resp. durch „ entweder ‥, oder ‥ “, wofern sie nicht vorzieht, dieselben ganz getrennt hinzustellen, und blos zu bemerken, dass von ihnen irgend eines, zum mindesten, zu gelten habe.
21§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten.Für die eventuelle Zusammenziehung von mehreren Aussagen, mögen sie ein simultanes oder aber ein alternatives System bilden, in ein einziges Urteil, einen grammatikalischen Satz mit nur einer Ko - pula — für den Fall nämlich, wo die Gliederaussagen sämtlich das - selbe Subjekt oder aber das nämliche Prädikat besitzen — werden die Definitionen (3) maassgebend sein.
Den Klassenkalkul vermochten wir seinerzeit ein nicht unbeträcht - liches Stück weit zu entwickeln, ohne jemals den Begriff der Negation wesentlich vorauszusetzen oder hinzuzuziehen, und dem gemäss wollen wir auch vom Negiren der Aussagen und der Darstellung der Aus - sagennegation in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls erst später (§ 31) handeln.
Wir könnten hiernach bereits zu Anwendungen des Aussagen - kalkuls schreiten, wenn es nicht für viele, ja für die meisten Aussagen noch Schwierigkeiten bereitete zu einer klaren Vorstellung von ihrer „ Gültigkeitsdauer “zu gelangen. In den bisherigen Beispielen sind wir solchen Schwierigkeiten noch aus dem Wege gegangen.
Was aber — fragen wir uns — soll nun etwa verstanden werden unter der „ Gültigkeitsdauer “bei Aussagen wie diese:
wo — in den letzten Fällen — nicht gesagt ist, von welchem Dreieck, von welcher Funktion, von welchem Salz die Rede?
Man könnte solche Aussagen oder „ unbestimmte singuläre “Urteile, in welchen das Subjekt (allgemeiner noch irgend ein Objekt) zwar nicht als Klasse (im engeren Sinne) zu nehmen ist, vielmehr ein Individuum vorstellt, welches aber nach Ort und Zeit nicht bestimmt (auch nicht durch anderweitige Qualitäten etwa völlig determinirt) erscheint, am besten wol „ Gelegenheitsurteile “nennen.
Die Wahrheit oder Falschheit einer solchen Aussage hängt ganz und gar von der Gelegenheit ab, bei welcher sie ausgesprochen, ge - macht wird. Sooft wir unter A B C zum Beispiel ein kraft seiner De - finition, Erzeugung oder Konstruktion, kurz ein wirklich rechtwinkliges Dreieck verstehen, wird die zweite Aussage wahr, andernfalles wird sie falsch sein. Die dritte Aussage, auf irgend eine unsymmetrische Funktion f (x, y) angewendet, ist falsch, auf eine symmetrische bezogen, richtig, etc.
Wollte man auch hier zur Vorstellung von einer „ Gültigkeitsdauer “gelangen, so müsste man sich die verschiedenen Momente vergegenwärtigen,22Fünfzehnte Vorlesung.in welchen eine bestimmte Person — sagen wir im zweiten Falle etwa ein gewisser Mathematiker, Geometer — sich diese Aussage aneignet; die Gültigkeitsdauer würde dann aus den Zeitmomenten sich zusammensetzen, in welchen solches zutreffend geschieht, bei Ausschluss derjenigen, wo es irrtümlich, zu Unrecht geschieht, und bezogen auf eine Mannigfaltigkeit, bestehend aus den Zeitpunkten, wo es überhaupt geschieht. Oder, falls wir den ganzen Zeitbereich erschöpfen wollten, so müssten wir einen idealen Mathematiker fingiren, welcher alle erdenklichen Dreiecke A B C in einer bestimmten Reihenfolge durchgehend, die (zweite) Aussage beständig im Munde führt. Unzweifelhaft würde so ein bestimmtes Gebiet von Zeit - punkten sich ergeben, für welches die Aussage richtig, und als dessen Er - gänzung zur ganzen Zeit, ein anderes, für welches sie falsch ist, und jenes wäre die fragliche Gültigkeitsdauer.
Wegen der Unbestimmtheit, Willkürlichkeit aber jener Reihenfolge des Durchgehens, oder der Person, welche für eine solche sich zu entscheiden hätte, entbehrt der ganze Begriff indess der erforderlichen Bestimmtheit, ganz abgesehen davon, dass auch die Art, wie man zu seiner Konstruktion gelangen sollte, etwas Gezwungenes an sich hat.
Bei den fraglichen „ Gelegenheitsurteilen “wird man darum gut thun, den bisherigen Begriff der „ Gültigkeitsdauer “zu ersetzen durch einen weiteren, und zwar an die Stelle ihrer Vorstellung treten zu lassen diejenige von der Klasse der Anwendungsgelegenheiten der Aus - sage, genauer: die Klasse derjenigen Gelegenheiten (occasions) bei welchen die Aussage als eine wahre mit Fug und Recht gemacht werden kann, bei welchen sie zutrifft.
Darnach wird, wenn a und b Gelegenheitsaussagen vorstellen, die Subsumtion 〈…〉 zum Ausdruck bringen, dass die Klasse der Gelegenheiten, bei welchen die Aussage a zutrifft, ganz enthalten, eingeordnet ist der Klasse der Gelegenheiten, bei welchen die Aussage b zutrifft, d. h. wieder: „ Wenn a gilt, so gilt auch b “. Und bei äquivalenten Aussagen fallen beide Klassen in eine zusammen, es bedingen jene einander gegenseitig, sind immer zugleich wahr, oder falsch.
Beispielsweise möge a die Aussage bedeuten: „ Das Viereck A B C D ist eine Raute “, und b die Aussage: „ Im Viereck A B C D stehen die beiden Diagonalen auf einander senkrecht “, so gilt a ⊆ b, d. h. Wenn ein Viereck (A B C D) eine Raute ist, so sind seine Diagonalen zu ein - ander normal. Das Subsumtionszeichen stellt hier wirkliche Unter - ordnung vor, sintemal der Satz nicht umkehrbar ist, nämlich z. B. auch im Deltoid*)Bekanntlich Gestalt des Papierdrachens, aus zwei gleichschenkligen Drei - ecken zusammengesetzt. die Diagonalen normal sind, ohne dass dasselbe eine Raute (ein Rhombus, gleichseitiges Viereck) sein müsste.
23§ 28. Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten betrachtet.Bedeutete ferner a die Aussage: „ Die Ecken des Vierecks A B C D liegen auf einem Kreise “, b die Aussage: „ die Gegenwinkel des Vier - ecks A B C D sind Supplemente “, so wäre a = b, denn eines bedingt immer das andere nach bekannten geometrischen Sätzen. Die beiden äquivalenten Aussagen a, b dürften hier gleichwol nicht „ äquipollente “genannt werden, weil sie erst auf Grund der Axiome Euklid’scher Geometrie denknotwendig auseinander folgen — diese Axiome aber an - zunehmen erwiesenermassen keine Denknotwendigkeit gebietet.
Mit der Subsumtion nun, mit ihrer Deutungs - und Anwendungs - fähigkeit, haben wir wiederum die Grundlage des ganzen identischen Kalkuls gewonnen. Es stellt sich der Aussagenkalkul dergestalt als eine spezielle Anwendungsweise des Klassenkalkuls dar.
Auch die früher aufgestellte „ Gültigkeitsdauer “bei denjenigen Aussagen, bei welchen ungezwungen von einer solchen sich sprechen lässt, kann jetzt ohne weiteres aufgefasst (oder umgedeutet) werden als die Klasse derjenigen Gelegenheiten, bei welchen die betreffende Aussage als eine zutreffende anwendbar ist, indem hier eben nur diese Gelegenheiten an bestimmte Zeiten sich gebunden erwiesen. Ist die Aussage z. B. „ Es regnet soeben am hiesigen Platze “im gegen - wärtigen Zeitpunkt richtig, weil es wirklich draussen regnet, so ist jetzt auch eine Gelegenheit, die Aussage als eine gültige zu machen, und vice versā.
Es wird demnach das Gebäude unsres Aussagenkalkuls auf einer völlig einheitlichen Grundlage ruhen.
Die Nullaussage entspricht wiederum einer leeren Klasse, die keine einzige Gelegenheit berechtigter Anwendung der Aussage in sich schliesst. Und die i, der wir auch jetzt noch den Punkt belassen wollen, mag man auffassen als die Gesamtklasse aller Gelegenheiten, bei welchen überhaupt Aussagen zu machen sind — bei allen diesen wird z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 4, auch berechtigt erscheinen.
Es versteht sich, dass man die formalen Abmachungen des gegen - wärtigen Paragraphen auch rein konventionell hätte hinstellen können. Ohne jede Bezugnahme auf einen vorangehenden Klassenkalkul und ohne eigent - liche Motivirung hätte einfach „ ausgemacht “werden können, was wir re - kapitulirend zusammenstellen:
Man könnte darnach die ersten Sätze des Aussagenkalkuls in Formeln hinstellen, indem man einfach an den gesunden Verstand, das Gefühl der24Fünfzehnte Vorlesung.Evidenz appellirte, die komplizirteren Sätze hernach aus den einfacheren beweisend. Auf diese Weise verfährt Herr McColl; nach ihm im wesent - lichen auch Herr Peirce 5, jedoch mit bedeutend tiefer eingehender und verdienstlicherer Begründung, die sich, wie wir gesehen haben, fast ganz auf den Klassenkalkul übertragen und für diesen verwerten liess (um welchen übrigens Peirce sich zuvor 1a auch schon Verdienste erworben hatte).
Indem ich vorstehend den Zusammenhang zwischen Gebiete - oder Klassenkalkul einerseits und Aussagenkalkul andrerseits näher darzulegen versuchte, führte ich eine von Boole schon gegebene Anregung weiter aus, die mir befolgenswert erscheint aus Gründen, auf welche ich schon Bd. 1, S. 290 hingewiesen habe und am Schlusse des § 45 noch weiter ein - gehen werde.
Vor einer naheliegenden Verwechselung muss übrigens noch ge - warnt, es muss auf einen Umstand aufmerksam gemacht werden, der sonst leicht eine Quelle der Verwirrung werden könnte:
Nachdem wir die „ hypothetischen “Urteile: „ Wenn a gilt, so gilt b “— das sind sprachlich Konditionalsätze, die an eine Bedingung (Hypo - thesis) eine Behauptung (Thesis) knüpfen — darstellen gelernt haben durch eine Subsumtion des Aussagenkalkuls: 〈…〉 , so ist für letztere neben der nach dem Bisherigen berechtigt erscheinen - den Redensart: „ a ist in b enthalten “in einem gewissen — allerdings ganz andern — Sinne auch die umgekehrte Redensart anwendbar und sogar vorwiegend üblich: „ a enthält b, oder begreift es unter sich (m. a. W.: b ist in a mitenthalten) “— vergleiche Bd. 1, S. 623 sq. Be - deuten a und b Aussagen, so sagt der Engländer geradezu: „ a im - plies b “, und würde im Deutschen dem entsprechen: „ a schliesst b in sich “, „ a involvirt b “. In Anbetracht, dass die Geltung von a allemal auch die von b nach sich zieht, d. h. — mögen wir sagen — in „ ex - tensiver “Hinsicht, im Hinblick allerdings auf den Inhalt der Aussagen, ist solches auch berechtigt, während in „ intensiver*)Man könnte sich hier versucht fühlen, auch diese beiden in Anhang 4 motivirten Benennungen umzutauschen, die Vorsilben in - und ex - gerade umge - kehrt zu verwenden. Hinsicht, im Hin - blick auf die Klassen der Anwendungsgelegenheiten wie gesagt die um - gekehrte Beziehung stattfindet, wie sie die Fig. 1 (mit 2) des Bd. 1 versinn - lichen würde; da würde denn auch auf Englisch zu sagen sein: „ b implies a “. Dadurch, dass wir uns im Aussagenkalkul des Verbums „ Enthalten - sein “lieber gänzlich enthalten, statt dessen uns einer der unverfäng - licheren synonymen Ausdrucksformen bedienend, werden wir im Deutschen Missverständnissen am besten aus dem Wege gehn.
Wir wiederholen nun die Definitionen, Prinzipien und Sätze des Gebietekalkuls, indem wir uns der abkürzenden Schreibung des Aussagen - kalkuls bedienen — wie sie im vorigen Paragraphen erläutert worden.
Die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabets sollen jetzt wieder Gebiete unsrer bevorzugten Mannigfaltigkeit (der Fläche 1 der Schultafel) vorstellen, oder auch — wenn man will — Klassen von Individuen aus irgend einer „ gewöhnlichen “Mannigfaltigkeit von Ob - jekten des Denkens.
Die Aussagen, welche ursprünglich in Betracht kommen, werden sich auf eben diese Gebiete oder Klassen beziehen und sollen dann „ primäre “genannt werden.
Wol alle Theoreme des Gebietekalkuls behaupten etwas von diesen primären Aussagen: sei es deren unbedingte und allgemeine Gültigkeit, sei es die einseitige Abhängigkeit der einen als Behauptung von den andern als Voraussetzung des Theorems hingestellten, sei es auch die gegenseitige Abhängigkeit oder Äquivalenz gewisser einzelner oder auch Gruppen von solchen primären Aussagen.
Wir mögen deshalb diese Theoreme oder Aussagen über (primäre) Aussagen (nun) „ sekundäre “Aussagen nennen.
Anstatt wie früher mittelst verbalen Textes sollen nun diese sekundären Aussagen durch Formeln in der Sprache des Aussagen - kalkuls dargestellt werden, was auf eine blosse Übersetzung der Wort - sprache in die Formelsprache hinauslaufen wird. Original und Über - setzung sollen dabei jeweils durch die übereinstimmende Chiffrirung aufeinander bezogen werden.
Das Übersetzen aber hat für uns einen doppelten Zweck.
Es mag einerseits des Objektes, Themas, der Theoreme halber ge - schehen, für welche es eine Art Repetition bildet, bei der sie aber meist in noch erheblich schärferer Fassung, übersichtlicher und kon - ziser wiederum in Erinnerung gerufen werden; zugleich wird ein Über - blick über die ganze Reihe der (etwa 〈…〉 Hundert) wichtigeren Sätze geschaffen, der sich zum Nachschlagen bei etwaigen Citaten für Jeden der die Formelsprache zu lesen versteht, sonach auch für die Zukunft, vorzugsweise empfiehlt.
Andrerseits aber soll jenes Übersetzen auch um seiner selbst26Fünfzehnte Vorlesung.willen geschehen. Es soll in das Verständniss jener Formelsprache, die vor der Wortsprache eben gewisse Vorzüge besitzt, den Studiren - den praktisch einführen, soll eine gewisse Übung und Geläufigkeit im Gebrauche dieser Zeichensprache anbahnen, die für die Formulirung und Bewältigung späterer schwierigerer Probleme wertvoll oder uner - lässlich ist.
Wir werden uns hiernächst enthalten, Aussagen etwa auch durch Buchstaben darzustellen. Wo immer eine Aussage mit ihrer Gültig - keitsdauer in Rechnung zu setzen ist, soll dieselbe mit Subjekt, Kopula und Prädikat vollinhaltlich angegeben, „ spezifizirt “in eine Klammer geschrieben werden. Dergleichen in die sekundären Formeln ein - gehende primäre Aussagen, welche somit als linke oder rechte Seite einer Subsumtion oder Gleichung, oder ebendarin als Faktor, Summand, vielleicht als Negand auch, auftreten, müssen demnach in diesen For - meln jeweils ausgelegt, interpretirt werden als ihre „ Gültigkeitsdauern “oder „ Klassen der Gelegenheiten ihrer berechtigten Anwendung “.
Die Ewigkeit i, oder Gesamtklasse aller Gelegenheiten zu Aus - sagen, werden wir von der Tafelfläche 1, wie ausgemacht, durch den Tupfen unterscheiden.
Letztere 1 indess würde auch durch die erstere i sich durchweg er - setzen lassen und durch sie wirklich zu ersetzen sein, falls man etwa die Gebietsymbole a, b, c, x … ebenfalls als Aussagen deuten, den reinen Aussagenkalkul also (als eine spezielle Anwendung des Gebietekalkuls) in sich selbst ausdrücken wollte.
Unsre primären Aussagen würden dann schon als sekundäre, unsre sekundären als tertiäre zu bezeichnen sein.
Solches zu thun ist jederzeit erlaubt. Es hiesse das aber von einer sehr viel allgemeineren Theorie nur einen ganz speziellen Unterfall hervorhebend darstellen — wie wir in den nächsten Paragraphen genauer darlegen werden.
Zur exakten Wiedergabe einiger Theoreme werden wir noch eines Paares von neuen Zeichen bedürfen, die wir der Mathematik (zum, wie sich im nächsten Paragraphen zeigt, vollkommen analogen Ge - brauche) entlehnen, nämlich des „ Summenzeichens “Σ (Sigma) und des „ Produktenzeichens “Π (Pi).
Um nämlich auszudrücken, dass eine auf ein Gebiet x bezügliche Aussage für jedes Gebiet x (aus unsrer Mannigfaltigkeit 1) gelte oder gelten solle, werden wir das Zeichen 〈…〉 (gesprochen: Pi nach x von …) vor dieselbe setzen, und den entstehenden Ausdruck auch das Produkt, genommen nach x, von der dahinterstehenden Aussage nennen.
Wenn mehreres, ein längerer oder komplizirter Ausdruck hinter dem Zeichen steht, so frägt es sich, bis wohin die fragliche Aussage gehe, wo27§ 29. Das Summenzeichen Σ und das Produktzeichen Π.sie aufhört. Laut einer allgemeinen Übereinkunft erstreckt sich dabei die letztere immer bis zu dem nächsten „ freien “Plus - oder Subsumtions - oder Gleichheitszeichen, wenn wir „ frei “ein solches Zeichen nennen, welches nicht von einer Klammer umschlossen ist, es sei denn von einer solchen, welche auch das Π mit umschliesst; folgt aber überhaupt kein solcher Klammerabschluss, kein solches Zeichen nach, so erstreckt sich die Aus - sage natürlich bis an das Ende des Ausdrucks. Steht also insbesondre ein Produkt hinter dem Π, so erstreckt sich die Wirkung dieses Zeichens nicht etwa blos auf den ersten, den dem Π zunächst stehenden Faktor desselben, sondern auf das ganze Produkt, indem die Malzeichen, selbst wenn sie ausdrücklich (als Punkte) geschrieben sein sollten, der Wirkung keinen Halt gebieten.
Dagegen das vor eine (ebenso sich begrenzende) Aussage gestellte Zeichen 〈…〉 (gesprochen: Summe nach x von …) soll uns andeuten, dass die Aussage nicht notwendig für jedes, sondern nur für ein ge - wisses Gebiet x, oder auch für mehrere gewisse Gebiete x (unsrer Mannigfaltigkeit 1) — kurz: für mindestens ein x — gelte, oder — als Voraussetzung zum Beispiel — zu gelten habe. Der so entstehende Ausdruck heisst dann auch die Summe, genommen nach x, von der da - hinter stehenden (auf x bezüglichen) Aussage.
Ebenso wird das Zeichen 〈…〉 andeuten, dass die dahinter stehende (nach erwähnter Übereinkunft sich von selbst begrenzende) Aussage für alle erdenklichen Gebietepaare x, y, welche aus unsrer Mn. 1 her - vorgehoben werden können, in Anspruch genommen werde, und das Zeichen 〈…〉 , dass dieses nur für gewisse Wertepaare x, y, mindestens aber für ein solches Wertepaar, geschehen solle. Etc.
Die Zeichen Π, Σ sind in solchem Sinne schon von Peirce und Mitchell gebraucht. —
Die Motivirung dieser, auch den Mathematiker vielleicht anfangs be - fremdenden Festsetzungen nebst den etwa nötigen ergänzenden Bemer - kungen in Bezug auf die Gesetze und den regelrechten Gebrauch der beiden Zeichen verschieben wir auf den nächsten Paragraphen.
Der Ausdruck hinter dem Zeichen Σ, Π, auf den dasselbe sich bezieht, heisst das „ allgemeine Glied “der Summe, resp. der „ allgemeine Faktor “des Produkts, und das unter dem Zeichen angemerkte Symbol x heisst die „ Summationsvariable “resp. „ Produktationsvariable “; auch kommt die gleiche Benennung (im Plural) den sämtlichen darunter angemerkten Symbolen zu, wenn ihrer mehrere, wie x, y, ‥, sich angemerkt finden sollten. —
Auf § 31 sq. verschieben wir thunlichst alle sonst vielleicht noch wünschenswert erscheinenden Erläuterungen und Erörterungen, um den Überblick nicht zu beeinträchtigen.
28Fünfzehnte Vorlesung.Prinzip I der Identität lautet: I. 〈…〉 , oder kürzer: °I. 〈…〉 . Statt zu sagen: der letztere Satz gilt stets, kann man ihn einfach hinstellen.
Wo in dieser Weise das Umschreiben, Transkribiren eines Theo - rems in die Formelsprache des Aussagenkalkuls keine Vereinfachung seines Ausdrucks liefert und deshalb besser unterlassen wird, wollen wir, wie soeben, ein Ringelchen vor die Chiffre des Theorems setzen.
Prinzip II des Subsumtionsschlusses (Barbara): II. 〈…〉 .
Definition (1) der Gleichheit: (1) Def. 〈…〉 .
Diese Formel definirt primäre oder Gebietegleichheit (a = b) aus der Subsumtion, und zwar vermittelst Ansetzung einer sekundären oder Aussagengleichheit (nämlich der Äquivalenterklärung zweier pri - mären Aussagen, wie sie das „ freie “Gleichheitszeichen andeutet).
Damit dieselbe — bei der im letzten Nebentext (S. 26) gekenn - zeichneten Deutungsweise unsrer Formeln als solcher des „ reinen Aussagen - kalkuls “— nicht als ein circulus in definiendo, eine Zirkeldefinition er - scheine, sondern als Definition auch der Aussagengleichheit wirklich gelten könne, muss die Berufung auf diesen Begriff und anderweitiger Gebrauch des zugehörigen Beziehungszeichens in ihr selbst vermieden werden.
Dies ist leicht hinzubringen dadurch, dass man die Formel auflöst in das (zwar „ gleich “i gesetzt zu denkende, hier aber besser nur schlecht - weg hingestellte) Produkt zweier Subsumtionen: 〈…〉 , welches nun erst kraft seines eigenen Sinnes sowie Schema’s in die oben als Def. (1) hingestellte Gleichung zusammenzuziehen wäre.
Man bemerkt nämlich, dass ebenso wie die in ihr vorkommende Teil - aussage (a ⊆ b) (b ⊆ a), so auch die ganze Aussage oder Festsetzung das Produkt ist zweier vor - und rückwärts in einander übergehenden Subsum - tionen, mithin von ebendieser Form: (A ⊆ B) (B ⊆ A), nur dass jetzt A die Aussage (a ⊆ b) (b ⊆ a) und B die Aussage (a = b) bedeutet. Nach der in ihr selbst gegebnen, für alle Aussagen — mögen sie a, b oder A, B heissen — gelten sollenden Erklärung folgt sonach aus ihr auch: A = B, das heisst: wir dürfen die Definition (1) ', wie zu An - fang, nun auch selbst als Gleichung (1) schreiben, und unter dieser ist umgekehrt nichts anderes als das Subsumtionenprodukt (1)' zu verstehen.
Zusatz zu Def. (1): (a = b) = (b = a).
29§ 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze.°1) Theorem. a = a.
2) Th. (a ⊆ b) (b = c) ⊆ (a ⊆ c).
3) Th. (a = b) (b ⊆ c) ⊆ (a ⊆ c).
4) Th. (a = b) (b = c) ⊆ (a = c).
Die Definition (2) der identischen Null und Eins lautet:
spricht aber die definitionsweise den Gebieten 0 und 1 beigelegte Fundamentaleigenschaft in Form von Theoremen aus. Es würden erst die Gleichungen:
die Begriffserklärung ebendieser Gebiete 0, 1 auch in der für Defini - tionen üblichen Form statuiren, indem sie ausdrücken, (links) dass ein Gebiet x immer dann und nur dann*)Dieses liegt in dem vor - und rückwärts als Subsumtionszeichen im Geiste zu lesenden freien (d. h. uneingeklammerten) Gleichheitszeichen. 0 zu nennen sei, wenn das - selbe in jedem Gebiet a enthalten, d. h. wenn für jedes a auch x ⊆ a ist, (rechts) etc.
Definition (3) von Produkt und Summe (Peirce, McColl):
Dieselbe bestand aus den gesondert chiffrirten Teilen:
| (3×) '(c ⊆ a) (c ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a b) | (3+) '(a ⊆ c) (b ⊆ c) ⊆ (a + b ⊆ c) |
| (3×) '' (c ⊆ a b) ⊆ (c ⊆ a) (c ⊆ b) | (3+) '' (a + b ⊆ c) ⊆ (a ⊆ c) (b ⊆ c). |
| °6×) Th. a b ⊆ a, a b ⊆ b. | °6+) Th. a ⊆ a + b, b ⊆ a + b. |
Die Theoreme des § 6 waren subtilerer Art, auch im Grunde für die Theorie entbehrlich; sie sollen deshalb auch hier als eine Ein - schaltung isolirt werden, die von dem Anfänger sich überschlagen lässt.
| 7×) Th. = Def. (4×) | 7+) Th. = Def. (4+) |
| 〈…〉 {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} = = (c ⊆ a b) | 〈…〉 {(c ⊆ x) ⊆ (a ⊆ x) (b ⊆ x)} = = (a + b ⊆ c). |
wobei die in dieser Gleichung enthaltenen beiden Subsumtionen die Theoreme 8) 'und 8)' 'gesondert vorstellen werden.
| 9×) Th. = Def. (5×) | 9+) Th. = Def. (5+) |
| 〈…〉 {(x ⊆ a) (x ⊆ b) ⊆ (x ⊆ c)} = = (a b ⊆ c) | 〈…〉 {(a ⊆ x) (b ⊆ x) ⊆ (c ⊆ x)} = = (c ⊆ a + b). |
| 10×) Th. | 10+) Th. |
| (c ⊆ a b) = 〈…〉 {(a b ⊆ x) ⊆ (c ⊆ x)} | (a + b ⊆ c) = 〈…〉 {(x ⊆ a + b) ⊆ (x ⊆ c)}, |
wobei wieder die aus der Gleichung nach Def. (1) leicht herauszu - lesenden beiden Subsumtionen die Theoreme 10) 'und 10)' 'gesondert vorstellen.
Für die Theoreme 11) muss wegen Raummangels der Mittelstrich gebrochen werden.
| 11×) Th. 〈…〉 {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} {(x ⊆ a) (x ⊆ b) ⊆ (x ⊆ c)} = (c = a b) | |
| | 11+) Th. 〈…〉 {(c ⊆ x) ⊆ (a ⊆ x) (b ⊆ x)} {(a ⊆ x) (b ⊆ x) ⊆ (c ⊆ x)} = (c = a + b), |
oder nach Def. (1) zusammengezogen:
| 11×) 〈…〉 {(x ⊆ c) = (x ⊆ a) (x ⊆ b)} = = (c = a b) | 11+) 〈…〉 {(c ⊆ x) = (a ⊆ x) (b ⊆ x)} = = (c = a + b). |
Wie hier — in Th. 7) bis 11) der allgemeine Faktor selbst (hinter dem Produktenzeichen) sich zu der anderen Seite der Proposition (Sub - sumtion oder Gleichung) verhält, werden wir in § 32 sehen.
| °12×) a b = b a | °12+) a + b = b + a. |
| °13×) a (b c) = (a b) c = a b c | °13+) a + (b + c) = (a + b) + c = = a + b + c. |
| °14×) a a = a | °14+) a + a = a. |
| 15×) Th. (a ⊆ b) ⊆ (a c ⊆ b c) | 15+) Th. (a ⊆ b) ⊆ (a + c ⊆ b + c). |
| 16×) Th. (a = b) ⊆ (a c = b c) | 16+) Th. (a = b) ⊆ (a + c = b + c). |
| 17× Th. (a ⊆ b) (a' ⊆ b') ⊆ ⊆ (a a' ⊆ b b') | 17+) Th. (a ⊆ b) (a' ⊆ b') ⊆ ⊆ (a + a' ⊆ b + b'). |
| 18×) Th. (a ⊆ b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a a' ⊆ b b') | 18+) Th. (a ⊆ b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a + a' ⊆ b + b'). |
| 19×) Th. (a = b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a a' = b b') | 19+) Th. (a = b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a + a' = b + b'). |
| °21×) Th. a · 1 = a | °21+) Th. a + 0 = a. |
| °22×) Th. a · 0 = 0 | °22+) Th. a + 1 = 1. |
| °23×) a (a + b) = a | °23+) a + a b = a |
| 24×) Th. (a b = 1) = (a = 1) (b = 1) | 24+) Th. (a + b = 0) = (a = 0) (b = 0). |
Die nächstfolgenden Formeln 26) bis 28) wurden als „ Theoreme “allerdings erst hinter Th. 34) bewiesen, mögen jedoch hier schon als solche angeführt werden.
| °27×) a (b + c) = a b + a c b a + c a = (b + c) a | °27+) (a + b) (a + c) = a + b c b c + a = (b + a) (c + a) |
| °28×) (a + b) (c + d) = = a c + a d + b c + b d | °28+) (a + c) (a + d) (b + c) (b + d) = = a b + c d. |
Prinzip III×. 〈…〉 |
[Der dual entsprechende Satz: | III+. 〈…〉 wurde nicht zum Prinzip erhoben.]
29) Hülfstheorem (R. Grassmann 2,5): 〈…〉
Definition (6) der Negation. Dieselbe spricht in der Gestalt: ° (6) Def. a a1 ⊆ 0, 1 ⊆ a + a1 die der Negation a1 von a definitionsweise beigelegten Eigenschaften in Form von Lehrsätzen aus. Dagegen formulirt als: (6) Def. 〈…〉 oder auch: 〈…〉 leistet sie das gleiche auch in der Form einer Definition, indem sie ausspricht, dass ein Gebiet x immer dann und nur dann als Nega - tion a1 von a zu bezeichnen ist, wenn es mit a das Produkt 0 und zugleich die Summe 1 liefert.
| °30×) Th. Satz des Wider - spruchs: | °30+) Th. Satz des ausge - schlossnen Mittels: |
| a a1 = 0. | a + a1 = 1. |
°31) Th. Satz der doppelten Verneinung: (a1) 1 = a.
32) Th. nebst Zus. 1. (a = b) = (a1 = b1). Zusatz 2. (a = b) ⊆ {f (a) = f (b)}.
| [°33×) Th. a b = (a + b) (a + b1) (a1 + b) | °33+) Th. a + b = a b + a b1 + a1 b |
| °Zusatz. | °Zusatz. |
| a (a1 + b) = a b = (a + b1) b | a + a1 b = a + b = a b1 + b |
| °34×) Th. | 34+) Th. |
| 0 = (a + b) (a + b1) (a1 + b) (a1 + b1)] | 1 = a b + a b1 + a1 b + a1 b1. |
Hier kommt den links eingeklammerten Sätzen keine Wichtigkeit für die Technik des Kalkuls zu.
33§ 29. Übersicht der Sätze.°35) Th. Satz vom Dualismus (vergl. § 14): 〈…〉 . Derselbe gehört eigentlich nicht zu den von unsrer Zeichensprache beherrschten Sätzen, besitzt vielmehr seine besondre Symbolik.
°36) De Morgan’s Theoreme:
| °36×) (a b) 1 = a1 + b1 | °36+) (a + b) 1 = a1 b1, |
| oder a + b = (a1 b1) 1. | a b = (a1 + b1) 1. |
37) Th. der (Konversion durch) Kontraposition: (a ⊆ b) = (b1 ⊆ a1).
38) Th. (a b1 = 0) = (a ⊆ b) = (a1 + b = 1).
Zusatz.
(a b = 0) = (a ⊆ b1) = (b ⊆ a1), (a + b = 1) = (a1 ⊆ b) = (b1 ⊆ a).
39) Th. (a b1 + a1 b = 0) = (a = b) = (a b + a1 b1 = 1), {(a + b) (a1 + b1) = 0} = (a = b) = {(a + b1) (a1 + b) = 1}
| 40) Th. | (a c ⊆ b c) (a + c ⊆ b + c) = (a ⊆ b) | Schröder. |
| Zusatz 1. | (a c = b c) (a + c = b + c) = (a = b), | „ |
| Zusatz 2. | (a c ⊆ b) (a ⊆ b + c) = (a ⊆ b), | Peirce. |
41) Th. von Peirce: (a b ⊆ c) = (a ⊆ b1 + c) = (b ⊆ a1 + c), (a ⊆ b + c) = (a b1 ⊆ c) = (a c1 ⊆ b).
| °42+) Th. y = (x y + u x1) x + (x1 y + v x) x1 | °42×) Th. Etc. |
43) Th. 〈…〉 (a = u b) = (a ⊆ b) = 〈…〉 (b = a + v).
| °44+) Th. f (x) = f (1) x + f (0) x1 | 44×) f (x) = {f (0) + x} · {f (1) + x1} |
Zusatz+. f (x, y) = f (1, 1) x y + f (1, 0) x y1 + f (0, 1) x1 y + f (0, 0) x1 y1, Etc. (Boole und Peirce).
°Vorbemerkung zu Th. 45+): (a x + b x1) + (a' x + b' x1) = (a + a') x + (b + b') x1, (a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1) + (a' x y + b' x y1 + c 'x1 y + d' x1 y1) = = (a + a') x y + (b + b') x y1 + (c + c') x1 y + (d + d') x1 y1, Etc.
°45+) Th. (a x + b x1) (a' x + b' x1) = a a' x + b b' x1, (a x y + b x y1 + c x1 y + d x1) (a' x y + b' x y1 + c 'x1 y + d' x1 y1) = = a a' x y + b b' x y1 + c c' x1 y + d d' x1 y1, Etc. (Boole.)
Schröder, Algebra der Logik. II. 334Fünfzehnte Vorlesung.°46+) Th. (Schröder) (a x + b x1) 1 = a1 x + b1 x1, (a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1) 1 = a1 x y + b1 x y1 + c1 x1 y + d1 x1 y1, Etc. Hülfstheorem zu Th. 47+) von Schröder: (a ⊆ x ⊆ b) = (a x1 + b x = x)
47+) Th. desgl. (a ⊆ x ⊆ b) = (a ⊆ b) 〈…〉 (x = a w1 + b w)
°48+) Th. a b ⊆ a x + b x1 ⊆ a + b, a b c d ⊆ a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 ⊆ a + b + b + c + d, Etc. Diese Formeln drücken eigentlich noch nicht den ganzen Inhalt des Theorems 48+) aus; um dies zu leisten müsste vielmehr die erste ersetzt werden durch: a b ⊆ y ⊆ a + b) = 〈…〉 (y = a x + b x1) und würden analog mit 〈…〉 etc. die folgenden umzuschreiben sein.
Zusatz: 〈…〉 (a u v + b u v1 + c u1 v + d u1 v1) = 〈…〉 {a b c d + w (a + b + c + d)}.
49+) Th. (a x + b x1 = 0) = (b ⊆ x ⊆ a1), oder, wenn man will = (b ⊆ a1) (b ⊆ x) (x ⊆ a1).
Ferner ist hierzu anzuführen das Hülfstheorem des § 24 (Bd. 1, S. 502): (a x + b x1 = 0) = (x = b x1 + a1 x), und erscheint noch als eine nützliche Umschreibung (und Zusammen - fassung) der beiden letzten Theoreme: (a x + b x1 = 1) = (b1 ⊆ x ⊆ a) = (x = a x + b1 x1).
50+) Th. (Boole und Schröder): (a x + b x1 = 0) = (a b = 0) 〈…〉 (x = b u1 + a1 u).
Hier hörte unsre Chiffrirung auf. Als Theoreme 51) mögen noch angeführt sein die Ergebnisse aus dem § 23:
51× Th. (b x = a) = (a ⊆ b) 〈…〉 {x = a + u b1} | | 51+) Th. (b + x = a) = (b ⊆ a) 〈…〉 {x = a (b1 + u)} nebst den Zusätzen:
| (b x = a) (b + x = 1) = = (a b1 = 0) (x = a + b1) | (b + x = a) (b x = 0) = = (a1 b = 0) (x = a b1). |
In Anbetracht, dass mit dem Vorstehenden der elementare Teil unsrer Disziplin einen gewissen Abschluss gefunden hat, wollen wir fortan die Nummernfolge überhaupt nicht weiter fortsetzen.
Dem Mathematiker ist die Mehrzahl der Sätze teils buchstäblich, teils in der dem Subsumtionszeichen ⊆ analogen Beziehung ⊆ (gleich oder kleiner) ohnehin geläufig, und wird derselbe eigentlich nur die Theoreme: 14), 22+), 23), 24), sodann diejenigen von Th. 30) ab, besonders zu be - achten haben. Für den die in unserm Vorwort erwähnte Tertianerbildung Besitzenden ist demnach, um für die Beherrschung unsrer Disziplin ge - wappnet zu sein, das Gedächtniss nur mit wenig mehr als zwanzig Sätzen zu belasten, die auf ungefähr ebensovielen Zeilen darstellbar sind und Der - jenige von selbst behalten wird, der in den Sinn und Geist derselben ein - gedrungen! Es kommt dazu noch, dass einzelne von den Sätzen in spä - teren als in ihren Verallgemeinerungen schon mitenthalten sind. —
Was die im vorigen Paragraphen eingeführten Summen - und Produktenzeichen betrifft, so kann man im identischen Kalkul diese Zeichen zunächst genau in derselben Weise verwenden, wie dies in der Mathematik überhaupt geschieht, um das Anschreiben sehr zahlreicher Summenglieder oder Produktfaktoren zu ersparen und die Arbeit auf das einmalige Ansetzen des „ allgemeinen Gliedes “, resp. „ allgemeinen Faktors “zu reduziren.
In der Arithmetik geben die Schemata:
| α) 〈…〉 = a λ = a1 + a2 + a3 + … + an — 1 + an | 〈…〉 a λ = a1 a2 a3 .... an — 1 an |
über die Bedeutung der Zeichen Σ und Π Auskunft und regeln den Ge - brauch derselben. [Man liest: Summe nach λ, (genommen) von 1 bis n, von a λ. Etc.]
Durch seine Stellung im betreffenden Zeichen gibt sich hier der Buch - stabe λ als der „ laufende “Zeiger oder die „ Summationsvariable “(resp. „ Produktationsvariable “) zu erkennen — in andern Fällen, wo die Druckerei solcher typographischen Anforderung nicht gerecht zu werden vermag, er - kennt man die laufende Zahl daran, dass sie als linke Seite einer über und einer unter das Summenzeichen gesetzten Gleichung erscheint, wie bei der Schreibung β) 〈…〉 die man auch für die linke Seite von α) bezüglich hätte wählen können.
3*36Fünfzehnte Vorlesung.Um sich die Bedeutung eines mit dem Zeichen Σ oder Π in symbolischer Abkürzung dargestellten Ausdrucks klar zu machen, den Ausdruck zu inter - pretiren, braucht man blos dem Zeiger λ alle ganzzahligen Werte von der „ unteren Grenze “1 bis zur „ oberen Grenze “n hin — mit Einschluss eben dieser Grenzen — in dem allgemeinen Gliede resp. Faktor successive beizu - legen; man erhält dadurch eine Reihe von einzelnen Termen: a1, a2, a3, … an — 1, an, welche bei Σ additiv, bei Π multiplikativ miteinander zu verknüpfen sind.
Hat man umgekehrt eine Summe, ein Produkt von lauter Gliedern resp. Faktoren gleichen Baues, d. h. von Termen welche aus einem Buch - stabenausdruck aλ dadurch hervorgehen, dass man für einen in ihm vor - kommenden Buchstaben λ die Werte einer Sequenz von ganzen Zahlen der Reihe nach einsetzt, so kann man immer die Zeichen Σ, Π behufs sym - bolisch abgekürzter Darstellung des ganzen Ausdrucks mit Vorteil ver - wenden. Es genügt dazu die Angabe des „ allgemeinen “Terms hinter dem betreffenden Zeichen Σ oder Π und die Angabe der „ Grenzen “, d. h. der ersten und der letzten Zahl jener Sequenz (der „ unteren “nebst der „ oberen “Grenze), durch welche auch die zwischenliegenden Zahlen mitbestimmt er - scheinen, sowie endlich die Charakterisirung der Summationsvariabeln als desjenigen Buchstabens, für welchen eben die Werte jener Sequenz bei der Interpretation des Ausdrucks eingesetzt werden müssen.
Man bemerkt, dass in der interpretirten oder „ ausgeführten “Summe die Summationsvariable selbst gar nicht vorkommt; dieselbe war blos der Stellvertreter für die Werte jener Sequenz, sozusagen der Träger derselben, markirte blos die Stelle, wo letztere hinzuschreiben sind. Daher muss es auch gleichgültig sein, welchen Buchstaben man als Namen für die Summa - tionsvariable wählt, oder: die Bezeichnung der Summationsvariabeln ist gleich - gültig — nur muss man Sorge tragen, dafür nicht einen schon anderweitig in dem (ganzen) Ausdruck verwendeten Buchstaben zu nehmen, entsprechend dem in der ganzen Symbolik geltenden Grundsatze, dem Grundsatze für alle systematische Bezeichnung: der Verwechselung von Verschiedenem durch die Wahl einer unterscheidenden Bezeichnung für dasselbe vorzu - beugen, insoweit selbiges in dem Rahmen einer Untersuchung zusammen in Betracht kommt. Und ähnliches gilt beim Produkte. Oder wir haben: γ) 〈…〉 . Der strenge Beweis für diese Formeln ergibt sich, indem man die Be - deutung der beiderseitigen Ausdrücke der Definition gemäss ausführlich hinschreibt, wo sie sich dann eben als augenscheinliche Identitäten heraus - stellen.
[Zum Überfluss wäre an Beispielen leichtlich darzuthun, dass die Nichtbeachtung der angeführten Rücksicht: für den laufenden Zeiger einen noch unverwendeten, disponibeln Buchstaben zu nehmen, in Fehler führt. Vergleiche hierüber z. B. den Anhang meines „[Lehrbuch] etc. “ 1.]
Handelt es sich um Untersuchungen über irgendwelche Summen oder37§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.Produkte von irgendwieviel Gliedern, also um allgemeine Untersuchungen, so kann man immer die aus dem Gebrauch der Zeichen Σ, Π resultirenden Vorteile sich dadurch sichern, dass man sich für eine zweckmässige, eine systematische Bezeichnung ihrer Terme von vornherein entscheidet, nämlich wie in γ) numerirte Buchstaben, einen Buchstaben mit verschiedenen Stellenzeigern, Suffixen oder Indices, wie a1, a2, a3, … an, dazu verwendet.
Und es steht dem nun nichts im Wege, auch ebendieses im identischen Kalkul zu thun, wenn also die Summen und Produkte nicht als arith - metische sondern als identische aufgefasst werden. Kommen hier auch Negationen in Betracht, so werden wir nur, um den Platz für den Nega - tionsstrich offen zu halten, am besten obere Indices oder Exponenten wählen vergl. Bd. 1, S. 261 sq.
Damit werden nun allerdings neben den Buchstaben und der 1 (even - tuell auch der 0) als Gebietsymbolen auch ebensolche als Zahlzeichen ein - geführt, und zwar für laufende Zeiger, Indices und Summengrenzen. Aber eben wegen dieser ihrer Beschränkung auf einen bestimmten Platz im Ausdrucke, steht eine Verwechselung derselben mit jenen nicht zu be - fürchten.
Und indem wir von einer ganzen Reihe in Betracht kommender Gebiete eines als das „ erste “mit a1, ein anderes als das „ zweite “mit a2, und so weiter der Übersicht wegen benennen, wird man doch nicht sagen können, dass dadurch das der Logik (im allerengsten Sinne) von rechtswegen fremde Element der Zahl wesentlich in diese Disziplin hereingezogen werde; es bleibt vielmehr die Angelegenheit nur eine untergeordnete Bezeichnungs - oder Benennungsfrage.
Zur Illustration wollen wir einmal die namhaftesten unsrer bisherigen Sätze, die eine Erweiterung auf beliebig viele Operationsglieder zugelassen haben, in geschilderter Weise mittelst Summen - oder Produktenzeichen darstellen.
Die Formel: II. 〈…〉 stellt den n-gliedrigen Kettenschluss oder Sorites dar. Ausführlich inter - pretirt würde diese Verallgemeinerung des Prinzipes II lauten: II '. 〈…〉 und können hierin die sämtlichen in Klammer stehenden, d. h. hier nur auf Gebiete (nicht auf Aussagen) bezüglichen Subsumtionszeichen auch durch - weg in Gleichheitszeichen verwandelt werden, wodurch sich eine Erweite - rung von Th. 4) ergäbe: 4) 〈…〉
Endlich dürfen von den linkerhand in II 'auftretenden Subsumtions - zeichen beliebige Gruppen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden, wofern38Fünfzehnte Vorlesung.daselbst nur wenigstens ein Subsumtionszeichen übrig bleibt — in Er - weiterung der Theoreme 2) und 3).
Die Erweiterungen der Definitionen (3) zu Sätzen: (3×) (a0 ⊆ a1) (a0 ⊆ a2) … (a0 ⊆ an) = (a0 ⊆ a1 a2 … an) (3+) (a1 ⊆ a0) (a2 ⊆ a0) … (an ⊆ a0) = (a1 + a2 + … + an ⊆ a0) ziehen sich zusammen zu:
und lassen dieselben sich noch einmal verallgemeinernd zusammenfassen zu der Formel: (3) 〈…〉 . Denn durch Anwendung des einen der beiden vorhergehenden Sätze auf das innere Π-Zeichen, d. h. auf den allgemeinen Faktor des ersten oder letzten Produktes erhält man: 〈…〉 — einen Ausdruck, der nach dem andern jener beiden Sätze alsbald in den als mittleres Membrum von (3) angegebenen Ausdruck übergeht.
Ebenso ziehen sich die Erweiterungen der Theoreme 17): 17×) (a1 ⊆ b1) (a2 ⊆ b2) … (an ⊆ bn) ⊆ (a1 a2 … an ⊆ b1 b2 … bn) 17+) (a1 ⊆ b1) (a2 ⊆ b2) … (an ⊆ bn) ⊆ (a1 + a2 + … + an ⊆ b1 + b2 + … + bn) zusammen zu:
wobei in Bezug auf Ersetzung der Gebiete verknüpfenden Subsumtions - zeichen Ähnliches zu bemerken wäre, wie vorhin bei II; — in Erweiterung der Theoreme 18) bis 19). Die Ausdehnung des Th. 19) ergibt sich namentlich, wenn man beiderseits alle Zeichen ⊆ in = verwandelt) das mittlere oder freie ⊆ aber stehen lässt).
Die Ausdehnungen der Theoreme 24): 24+) (a1 = 0) (a2 = 0) … (an = 0) = (a1 + a2 + … + an = 0) 24×) (a1 a2 … an = 1) = (a1 = 1) (a2 = 1) … (an = 1) stellen sich dar als:39§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.
°Weiter sind:
Die Erweiterungen der Distributionsgesetze, die wir schon Bd. 1, S. 311 in extenso gegeben haben, und die Formel:
drückt die Multiplikationsregel für Polynome nebst ihrem dualen Gegen - stück aus; es steht hier rechterhand eine sogenannte „ Doppelsumme “, d. h. eine Summe, deren allgemeines Glied selbst wieder ein Summenausdruck ist, resp. ein „ Doppelprodukt “. Und es würden diese Sätze sich fernerhin leicht noch so verallgemeinern lassen, dass eine ganz beliebige Menge von Summenzeichen beiderseits vorkäme rechts also (bei 28+) eine „ mehrfache Summe “— und analog von Π-Zeichen bei 28×).
Endlich gibt die Erweiterung der Theoreme 36):
| 36×) (a1a2 … an) 1 = a11 + a12 + … + a1n | 36+) (a1 + a2 + … + an) 1 = a11 a12 … a1n |
in unserer Abkürzung.
Die gegebenen Beispiele werden wol genügen, um auch den Nicht - Mathematiker in die Geheimnisse der Zeichen Σ und Π einzuweihen.
Ich lege auf diese Verwendungsweise (der Zeichen) selbst für unsere Disziplin nur ein geringes Gewicht, werde auch kaum so von denselben Gebrauch machen. Jedoch musste dieselbe hier dargelegt werden, um den mathematisch weniger geschulten Leser mit dem Geiste der Zeichen ver - traut zu machen und auf den für uns wichtigen Gebrauch derselben vor - zubereiten, zu dessen Darlegung ich jetzt übergehe.
Bei diesem enthalten wir uns des Gebrauchs von Zahlzeichen (aus - genommen 0 und 1) gänzlich, verwenden solche auch nicht mehr als Stellen - zeiger.
40Fünfzehnte Vorlesung.Wir fassen nur Formeln des Gebietekalkuls in’s Auge, und lassen die Summations - (resp. Produktations) Variable — sie heisse x — so - gleich eine vorgeschriebene Reihe von bestimmten Gebieten: a, b, c, d, … „ durchlaufen “, d. h. successive mit einem jeden von diesen im Geiste identifizirt, äusserlich durch dasselbe ersetzt werden. Wenn f (x) irgend eine Funktion des identischen Kalkuls bezeichnet, so haben wir dann: 〈…〉 als Erklärung für die Bedeutung der linkerhand stehenden Ausdrücke. Behufs Verringerung der Schwierigkeiten des Druckes kann man hier (wo der früher von den „ Summengrenzen “etc. in Anspruch genom - mene Platz frei geworden ist) die Variable x statt im Innern, auch unterhalb des Zeichen Σ resp. Π anmerken, schreiben: 〈…〉 f (x), 〈…〉 f (x); auch kann in der Gestalt: 〈…〉 die von der Variabeln zu durchlaufende Wertenreihe (Reihe von speziellen Gebieten) gleich unterhalb der Zeichen Σ, Π angemerkt werden.
Unterlassen wir auch solche Anmerkung, indem wir z. B. die still - schweigende Unterstellung fordern, dass a eine Wertenreihe a', a' ', a'' ', … b eine solche b', b'', b' '', … zu durchlaufen habe, so gewinnt schon die Mehrzahl unsrer vorigen Sätze ein durchsichtigeres, weniger schwer - fälliges oder überladenes Ansehen, z. B.
(3) 〈…〉 〈…〉 oder 〈…〉 (a ⊆ b) = ( 〈…〉 a ⊆ 〈…〉 b), wo die Suffixa unter den Zeichen Π, Σ nun auch ganz fortgelassen werden mögen.
wobei es — als naheliegende abermalige Ausdehnung des früheren Theorems 17) nun nicht einmal zu fordern nötig erscheint, dass die Wertreihe der a und die der b aus gleichviel Werten bestehe [Es durften ja einzelne von diesen Werten auch zusammenfallen, und41§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.brauchen sie dann nach dem Tautologiegesetze nicht wiederholt zu werden]. Etc. (den Rest sich noch einfacher zu schreiben überlassen wir dem Leser).
Jedenfalls tritt durch solches Preisgeben des Beiwerks der Kern der Sätze besser hervor. Da es für die Geltung dieser Sätze gleich - gültig ist, wie viele es der von a oder b beiderseits zu durchlaufenden Werte sein und wie diese Werte heissen sollen, so braucht letzteres in den Sätzen auch nicht gesagt, nicht zum Ausdruck gebracht zu werden.
Wird zu einem Zeichen 〈…〉 , 〈…〉 keine Wertenreihe als die von dem x zu durchlaufende ausdrücklich angeführt, so findet gewöhnlich einer von den folgenden beiden Fällen statt:
Entweder diese Wertenreihe ist in unser Belieben gestellt; für den ersten, zweiten, dritten, etc. Wert derselben können wir jedesmal ein individuelles Gebiet nach Gutdünken nehmen, auch ist es gleich - gültig ob die Reihe unbegrenzt fortgesetzt oder irgendwo abgebrochen wird; auch die Anzahl der Werte steht dahin. Solches war in der That bei den allgemeinen Sätzen der Fall, welche wir vorhin zu - sammengestellt haben.
Oder diese Wertenreihe ist eine bestimmte, die Werte sind (wenn auch ihre Reihenfolge als belanglos offen gelassen sein mag) in ihrer Gesamtheit gegeben, durch eine allgemeine Abmachung ein für allemal festgesetzt.
Bei den von Anfang als Rekapitulation der Sätze des identischen Kalkuls in diesem Paragraphen gegebenen Formeln (welche überhaupt Zeichen Σ oder Π enthalten — vergl. (2), 7) ‥ 11), 43), 47), 48) Zus., 50) und 51) — war das letztere der Fall, und zwar sollte die von der Variabeln x zu durchlaufende Wertenreihe bestehen aus allen denk - baren Gebieten, die Variable sollte sämtliche Gebiete oder Klassen der Mannigfaltigkeit hier stets als Bedeutung nacheinander untergelegt be - kommen (wobei Wiederholungen nicht einmal ausgeschlossen, aber be - langlos).
Stellt nun Fx eine das Gebiet x betreffende Aussage vor, so wird die Aussage 〈…〉 als ein identisches Produkt von Aussagen der Def. gemäss aussagen, dass die Aussagen Fa, Fb, Fc, … gleichzeitig wahr seien, m. a. W. dass die Aussage Fx sowol für x = a, als auch für x = b, x = c, etc. gelte. Und das Urteil42Fünfzehnte Vorlesung. 〈…〉 wird sogar — gemäss obiger Abmachung — besagen, dass die Aus - sage Fx für jedes Gebiet x, mithin, dass sie ganz allgemein im Gebiete - kalkul gelte.
Dagegen wird eine Aussage: 〈…〉 als eine identische Summe von Aussagen blos ausdrücken, konstatiren, dass letztere alternativ gelten müssen: entweder die erste, oder auch vielleicht die zweite, etc., „ oder auch “mehrere von ihnen zugleich, vielleicht auch alle zusammen. Es können alle, es braucht aber nur ein Term zuzutreffen. Und demgemäss wird das Urteil 〈…〉 schlechtweg besagen, dass die Aussage Fx wenigstens gelte für irgend ein Gebiet x, vielleicht für x = 0, oder vielleicht für x = 1, oder für ein gewisses zwischenliegendes x, vielleicht sogar für mehrere, eine ganze Klasse von solchen, vielleicht endlich — nicht notwendig — für alle samt und sonders, „ gewiss “nur, für mindestens eines.
Hiernach erscheint nun die zu Anfang nur einfach als Konvention von uns hingestellte Erklärung der Zeichen 〈…〉 und 〈…〉 als durchaus motivirt; sie ist hiermit erkannt als vollkommen konform oder analog (wenn auch nicht identisch) der sonstigen Verwendungsweise dieser Zeichen in der gesamten Mathematik.
Man merke einfach, dass in der Zeichensprache des Kalkuls Π das Symbol ist für das Pronomen „ jedes “(every), Σ dasjenige für „ ir - gend ein “(any, resp. some)*)Das Pronomen „ irgend ein “wird nicht selten auch gebraucht im Sinne von „ ein ganz beliebiges, sonach auch jedes “. Dieses soll hier nicht gemeint sein. — kürzer: für den unbestimmten Artikel „ ein “.
Jenes fordert gleichzeitiges, simultanes Vorstellen des dahinter ge - setzten Termes in allen seinen Bedeutungen, dieses nur (fakultativ -) alternatives in der einen oder andern, in gewissen oder irgend welchen dieser Bedeutungen.
Mit Hülfe dieser beiden Zeichen, werden wir erfahren, lässt sich jeder Grad von (bestimmter oder unbestimmter) Allgemeinheit an - gemessen darstellen.
43§ 30. Aufhören des Dualismus.Vor alle Formeln des § 29, welche Buchstaben a, b, c, x, … enthalten, durften im Hinblick auf deren Allgemeingültigkeit natürlich auch die Zeichen 〈…〉 , 〈…〉 , … unter jeweiliger Einklammerung der ganzen Formel geschrieben werden. —
Die Entwickelung der Mathematik während des letzten Jahr - hunderts hat bekanntlich die Erfahrung gebracht, dass die Über - tragung des Begriffes der Summe oder des Produktes, aus einer end - lichen Menge von Zahlen auf eine unbegrenzte Menge von solchen, auf eine „ unendliche “Reihe von Termen (Gliedern, Faktoren), an bestimmte Voraussetzungen als einschränkende Bedingungen geknüpft ist, welche in den „ Konvergenzregeln “(„ - Kriterien “) für unendliche Reihen, und Produkte, von der Wissenschaft niedergelegt sind. Die Ausserachtlassung dieser Konvergenzbedingungen, stellte sich heraus, führt in Fehler.
Für die identischen Produkte und Summen aus Gebieten oder Klassen haben wir aber vorstehend die analoge Ausdehnung ganz ohne weiteres vorgenommen, und wird daher durch die Analogie der identischen mit den arithmetischen Disziplinen die Vermutung nahe gelegt, ob nicht auch hier gewisse Vorsichtsmassregeln zu beachten sein würden, ob nicht auch die identischen Produkte und Summen aus unbegrenzten Mengen von Termen ihre „ Konvergenzbedingungen “haben?
Dass die Frage denknotwendig scheint verneint werden zu müssen bildet ein interessantes Thema der Erkenntnisslehre, welches wir uns hier begnügen, als solches blos angedeutet zu haben.
Noch ein andrer Umstand muss beim Überblicken der Formeln des § 29 auffallen, den wir als
Anmerkung über den Dualismus zur Sprache bringen.
Die formalen Grundlagen des identischen Kalkuls, als da sind Definitionen und (Axiome oder) Prinzipien*)Postulate zähle ich nicht zu den „ formalen “Grundlagen., desgleichen dann auch die aus jenen Grundlagen abgeleiteten, gefolgerten Theoreme, zeigten bis - lang jene in § 14 näher erörterte Eigenschaft des „ Dualismus “. In jedem Satze konnten mit übergeordnet und untergeordnet, also ⊆ und ⊆, zugleich auch 0 und 1, mal und plus die rollen tauschen, und indem sie hierdurch in einander übergingen, entsprachen die Sätze mit - unter schon sich selbst, zumeist aber paarweise einander — wie wir sagten „ dualistisch “— wie wir nunmehr aber genauer werden sagen müssen: „ gebietsdual “.
44Fünfzehnte Vorlesung.Nachdem wir nämlich alle Sätze aus ihrer früheren verbalen Fassung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls umgeschrieben, aus jener sie ganz in Formeln „ übersetzt “haben, kommen in ihnen ausser den wie früher schon Gebietssymbole oder Klassen verknüpfenden Beziehungs - und Operationszeichen auch vor: dieselben Zeichen als solche, welche Aussagen verbinden (die jene Gebiete betreffen). Es tritt neben dem Nullgebiet und dem Gebiet 1 auch eventuell jetzt in den Formeln auf: die Nullaussage und die Aussage i.
Faktisch ist die Anwendung der 0 als Aussage in der Rekapitulation des § 29 durchweg vermieden, und ebenso die Aussage i durchweg, wo - fern man bei den mit Ringelchen ausgezeichneten Chiffren sich an die an - gegebene einfachste Fassung der Sätze hält. Leicht könnten jedoch die Sätze auch in solcher Form dargestellt werden (wie es späterhin zum Teil nicht vermeidlich), dass diese beiden Symbole häufig aufträten.
Also die „ Beziehungszeichen “: ⊆, ⊆, = (zu denen später noch weitere, wie ≠, ⊆ treten werden) sowol, als auch die „ Operations - zeichen “: mal oder · (eventuell unterdrückt und in Gedanken erst herbei - zuschaffen, zu suppliren), sowie plus oder + und nicht oder 1 (Negations - strich)*)Auch die Zeichen Σ und Π wären an dieser Stelle mit aufzuzählen., dazu endlich auch „ die beiden Zahlzeichen “: 0 und 1 (resp. i) des identischen Kalkuls — alle diese Zeichen haben wir nun und hin - fort zu unterscheiden als „ aussagenrechnerisch “oder aber „ gebietsrech - nerisch “verwendete — man könnte wol auch sagen: sekundäre und primäre.
Als solche geben sie auf den ersten Blick sich zu erkennen, indem die letztern (oder primären Zeichen) an Buchstaben oder Buchstabenausdrücken haften (die kein Beziehungszeichen enthalten), die erstern (oder sekundären) aber an in Klammer stehenden Aussagen, oder Knüpfungen, Komplexen solcher, die mindestens ein Beziehungszeichen in sich schliessen — sodass eine Verwechselung von beiderlei Verwendungsweisen nicht zu besorgen steht.
Nimmt man in den Formeln des § 29 die durch den Satz des Dualismus gestattete Vertauschung der Zeichen 0 mit 1, + mit ·, ⊆ mit ⊆, eventuell auch Π mit Σ, durchweg vor, nicht nur bei den als primäre stehenden, sondern auch bei sekundären Zeichen, so ergeben sich fast lauter falsche Sätze.
Gewissermassen zufällig richtig — weil ungeändert bleibend oder in ihr duales Gegenstück (im herkömmlichen Sinne) übergehend — bleiben blos der Zusatz zu Def. (1) sowie die Theoreme 5), 20), 32), 37), 38), 39), 41), das Hülfstheorem zu 47), und Th. 49).
Es genügt schon, bei den Grundlagen des Kalkuls jenes nach -45§ 30. Aufhören des Dualismus.zusehen, um die Unerlaubtheit des Prozesses im allgemeinen dar - zuthun.
Schon Prinzip I in der Fassung des Aussagenkalkuls: (a ⊆ a) = i schlechtweg dual umgeschrieben würde lauten: (a ⊆ a) = 0, und somit geradezu in Widerspruch mit sich selbst treten; während näm - lich der ursprüngliche Satz sagt, dass die Formel a ⊆ a stets gelte, be - hauptet der zweite oder dual umgeschriebene, dass sie (nämlich dieselbe Formel, nur auf die zweite zulässige Art, nämlich von rechts nach links als a ⊆ a gelesen) niemals gelte.
Und ähnlich verhält es sich bei allen mit Ringelchen chiffrirten Theo - remen, indem die durchgängig duale Umwandlung eines solchen Theorems allemal hinauslaufen müsste auf die Verneinung seines dualen Gegenstücks (im herkömmlichen Sinne), dessen Geltung doch mit ihm selbst ver - bürgt ist.
Prinzip II, einfach dual umgeschrieben gäbe (sofern wir, statt ⊆ und ⊆, lieber major und minor tauschen): (c ⊆ a) ⊆ (c ⊆ b) + (b ⊆ a) und würde, was offenbar falsch ist, lehren, dass wenn c in a enthalten ist, entweder es in dem nächsten besten Gebiet b, oder dieses in a enthalten sein müsse.
Def. (1) der Gleichheit gäbe: (b ⊆ a) + (a ⊆ b) = (a = b) wonach a gleich b zu nennen wäre, wenn auch nur eines von den beiden Gebieten, gleichviel welches, im andern enthalten ist.
Die Definitionen (2): (0 ⊆ a) = i und (a ⊆ 1) = i würden geben: (a ⊆ 1) = 0 und (0 ⊆ a) = 0, würden also in Illustration des oben Ge - sagten sich gegenseitig ableugnen.
Aus Def. (3) erhielten wir noch: (a + b ⊆ c) = (a ⊆ c) + (b ⊆ c), (c ⊆ a b) = (c ⊆ a) + (c ⊆ b) was ebenfalls leicht durch Beispiele als falsch darzuthun.
Etc. Und ähnlich, wie die Grundlagen schon die Umwandlung nicht vertragen, so auch nicht das auf ihnen errichtete Gebäude von Konsequenzen. Es würde beispielsweise Th. 40), Zus. 2 liefern: (b ⊆ a + c) + (b c ⊆ a) = (b ⊆ a), was offenbar falsch. Etc.
Ebenso würden zumeist falsche Sätze sich ergeben, wenn man in unsern Theoremen etwa die primären, gebietsrechnerisch verwendeten Zeichen unverändert stehen liesse und nur die sekundären aussagen - rechnerisch zu deutenden dem dualistischen Tausch unterwürfe — wie46Fünfzehnte Vorlesung.man dies im Anschluss an vorstehende Betrachtungen leicht ebenfalls nachsehen wird.
Es gelten unsre Definitionen und Prinzipien „ aussagendual “um - geschrieben nicht mehr, mögen sie dabei gleichzeitig auch „ gebietsdual “transkribirt werden, oder nicht.
Diese Thatsache ist auf den ersten Blick überraschend. Wie ist dieselbe mit dem Umstand in Einklang zu bringen, dass doch der Aussagenkalkul nur eine besondre Anwendung des Gebietekalkuls ist, in welchem der Dualismus durchweg herrscht?
Der scheinbare Widerspruch klärt sich in folgender Weise auf.
Schon die allgemeinste, schon eine Aussage von noch ganz offen gelassenem Inhalte, lässt nicht als ein ganz beliebiges Gebiet sich deuten (als eine ganz beliebige Klasse in der Mannigfaltigkeit der Ge - legenheiten zu Aussagen), vielmehr kommt, sofern ihr Sinn nur kon - stant festgehalten wird, einer der beiden Werte 0 oder i ihr not - wendig zu. Bestimmte, mit Inhaltsangabe ausgestattete oder „ spezifi - zirte “Aussagen, vollends, sind ganz spezielle Gebiete (mögen sie auch vielleicht allgemeine Gebiete betreffen, über solche als ihr Thema etwas aussagen). Wenn falsch, sind sie = 0, wenn richtig, = i zu denken.
Für spezielle Gebiete aber brauchte zu einer Proposition die dual ent - sprechende keineswegs zu gelten.
Wenn — um das einfachste Beispiel zu nehmen — a ⊆ b ist, braucht nicht zugleich auch b ⊆ a zu sein (sonst müsste ja in der That jede Ein - ordnung auf identische Gleichheit hinauslaufen). Oder wenn für gewisse Gebiete a, b, c beispielsweise a ⊆ b + c sein sollte, so muss nicht notwendig zugleich auch b c ⊆ a gelten!
Nicht zu „ Relationen “, sondern nur zu allgemeinen „ Formeln “des Gebietekalkuls, die also richtig sind, was auch immer für Gebiete der Mannigfaltigkeit die in sie eingehenden Buchstaben bedeuten, mussten stets die dual entsprechenden gelten.
Da in dieser Weise z. B. a b ⊆ a war, so musste zugleich auch a ⊆ a + b allgemein sein. Etc.
Von solchem Charakter scheinen zwar die in § 29 rekapitulirten Theoreme zu sein — die wir in der That fortfahren mögen, auch in ihrer dortigen Fassung, als allgemeine „ Formeln “(und zwar des Aus - sagenkalkuls) zu bezeichnen, sintemal sie eben für ganz beliebige Ge - biete a, b, c, d, x, y, etc. Geltung beanspruchen — sie sind es aber in Wahrheit (im vollen Sinne des Wortes) nicht: vielmehr stellen die - selben sich sofort als blosse „ Relationen “(des Gebietekalkuls) dar, so -47§ 30. Aufhören des Dualismus.bald man die in sie eingehenden Aussagen durch Buchstaben ersetzt (und letztere auf ihre Bedeutung im Gebietekalkul prüft):
Sollte man selbst die zugrunde gelegte Mannigfaltigkeit in ein Individuum zusammenschrumpfen lassen, somit auf die beiden Gebiete 0 und i (welch’ letzteres dann dieses eine Individuum vorstellt) be - schränken, — wie es hier angezeigt sein wird — so können doch unsre sogenannten Formeln des § 29 im letzterwähnten Sinne in der Regel nicht „ Formeln “sein. Dies wollen wir an einem Beispiel, etwa bei Prinzip II, uns völlig zum Bewusstsein bringen.
Dasselbe mögen wir schreiben: C A ⊆ B, wo C, A, B die Behauptungen (oder Aussagen) bedeuten: C = (a ⊆ b), A = (b ⊆ c), B = (a ⊆ c).
Die Voraussetzungen C und A unsres Satzes mögen hier nach Be - lieben richtig oder falsch sein; sie sind (innerhalb der blos die Ge - biete 0 und i umfassenden Mannigfaltigkeit) beliebige oder allgemeine Symbole. Nicht so aber dann das Symbol B für die Behauptung des Satzes. Dasselbe ist, nachdem die Werte von C und A festgelegt sind, nicht mehr ganz willkürlich; es kann z. B. nicht 0 bedeuten, wenn C und A die i zum Werte haben. Sogar in der Mannigfaltigkeit 0, i ist daher die Proposition C A ⊆ B nicht allgemeingültig, keine Formel, weshalb auch die dual entsprechende: B ⊆ C + A hier nicht zu gelten braucht. — Und diese Überlegung wird nicht beeinträchtigt durch den Umstand, dass in unsern Aussagen A, B, C die Symbole a, b, c ganz allgemeine oder beliebige Gebiete (der Tafelfläche z. B.) vorstellten. —
Das Versagen des Dualismus beim aussagendualen Umschreiben der Sätze kann uns hiernach nicht mehr befremden.
Immer aber gelten unsre Formeln blos „ gebietsdual “umgeschrieben ebenfalls wieder, d. h. man erhält aus ihnen immer wieder richtige Formeln, wenn man nur die primären oder gebietsrechnerisch ver - wendeten Zeichen 0 und 1, + und ·, Π und Σ, ⊆ und ⊆ umtauscht, dagegen dieselben ungeändert stehen lässt, wo sie als sekundäre (als Aussagen zu deutende, resp. solche verknüpfende, auf solche bezüg - liche) auftreten.
Unsere Theoreme des identischen Kalkuls werden wir hinfort auch in zweierlei Sinne zu citiren haben [so, wie dies mit den Prinzipien wenigstens, auch wiederholt schon früher der Fall gewesen]: als solche nämlich des allgemeineren, des Klassen - oder Gebietekalkuls, und ferner48Fünfzehnte Vorlesung.als solche des spezielleren, des reinen Aussagenkalkuls — wo unter den kleinen Buchstaben, a, b, c, x, ‥ dann Aussagen zu denken sein werden. Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, ohne dass doch auf die Angabe der beabsichtigten Verwendung jedes Citates verzichtet werden müsste, mag künftig die letztere Citationsweise durch einen über die Chiffre des Theorems gesetzten Horizontalstrich angedeutet werden.
„ Nach Pr. ĪĪ “z. B. wird darnach heissen: „ weil, wenn C aus B und B aus A folgt, dann auch C aus A folgt “. „ Nach Th. 6×) “heisst: weil das mehrern Gebieten gemeinsame Gebiet in irgend einem (einem jeden) derselben enthalten ist; wogegen „ nach Th. 6̄×) “heisst: weil, wenn A nebst B gilt, dann gewiss auch A (oder resp. B) gelten wird. „ Nach Th. 2̅1̅×) “heisst: weil eine selbstverständliche oder nach den gemachten Voraus - setzungen ohnehin gültige Aussage (i) nach Belieben fortgelassen werden mag, wo sie erwähnt worden, oder auch als simultan geltende angeführt werden mag, wo sie noch nicht erwähnt worden. Etc.
Es wurde schon wiederholt im Kontext darauf hingewiesen, doch ist erst hier der Ort, es im System eingereiht auszusprechen, dass (nach der im § 28 über die Aussagensubsumtion A ⊆ B getroffnen Übereinkunft) das Prinzip I der Identität: A ⊆ A im Aussagenkalkul die Bedeutung hat: Wenn A gilt, so gilt A. Das heisst: Eine einmal als richtig erkannte Aussage (von bestimmtem Sinne) darf, (indem dieser Sinn konstant festgehalten wird), bei beliebiger Ge - legenheit wiederholt werden und muss allemal, so oft sie ausgesprochen wird, wieder als gültig anerkannt werden. Mit noch andern Worten: Was wahr ist, muss wahr bleiben. Zugeständnisse müssen, wenn ge - macht, auch aufrecht erhalten, Abmachungen müssen gleichwie gegebene Versprechen, gehalten werden. Ist zugegeben, dass eine Aussage A gelte, so hat man dies von neuem zuzugeben, wann immer es — etwa im Verlaufe von ferneren Argumentationen — in Erinnerung gebracht werden sollte. Es ist geradezu die Forderung der Konsequenz im Denken, die sich im Aussagenkalkul in das „ Prinzip der Identität “ein - kleidet.
So unbestreitbar das Recht ist, mit welchem wir diesen Satz als einen obersten Grundsatz der Logik in Anspruch nehmen, so erscheint es doch nicht überflüssig, darauf aufmerksam zu machen, dass es missbräuchliche Anwendungen dieses Grundsatzes gibt, erscheint es daneben angezeigt, auch vor solchen zu warnen.
Für eine radikale Anwendung unsres Grundsatzes in allen Lebens - lagen sollte hier keineswegs plädirt werden. Im gemeinen Leben darf manches, was wahr ist, weder beliebig wiederholt, noch überhaupt nur aus - gesprochen werden, und schon die Befolgung des Grundsatzes, „ was wahr ist, könne man ja sagen “, müsste sowol für Denjenigen, der es damit ver - suchte, als für Diejenigen, die mit ihm in Berührung kommen, im all - gemeinen eine Fülle von Unzuträglichkeiten im Gefolge haben, ja unberechen - baren Schaden stiften — wie dies in einer bekannten Erzählung und daraufSchröder, Algebra der Logik II. 450Sechzehnte Vorlesung.gegründetem Lustspiele „ Nur einen Tag die Wahrheit “, z. B., in anmutiger Weise veranschaulicht worden.
Im gesellschaftlichen sowol als im dienstlichen Verkehr unter den Menschen ist bekanntlich die Freiheit, eine Wahrheit auszusprechen oder zu wiederholen, ausserordentlich und in ernstester Weise eingeschränkt durch die Pflicht der Rücksichtnahme auf die möglichen oder voraussichtlichen Wirkungen ihrer Äusserung, namentlich aber durch die Forderungen des Anstandes, des Taktes und der Diskretion.
Vor geistig Unmündigen, vor ganzen und halben Kindern, Frauen dürfen grosse Klassen von Wahrheiten überhaupt nicht ausgesprochen werden. Das Gebiet, unter anderm, braucht hier nicht näher bezeichnet zu werden, auf welchem auch die Kundgebung von Wahrheit mittelst Ab - bildung, wie sie z. B. als Photographie mit äusserster Genauigkeit und Treue, Wahrhaftigkeit, sich herstellen lässt, mit gesetzlichen Strafen aus gutem Grunde verpönt ist. In der Bethätigung von Takt in seinen Äusserungen wird ein Mensch nicht nur den etwa auszusprechenden oder anzudeutenden Wahrheiten eine schonende Form zu geben suchen, in welcher sie die Ge - fühle Derjenigen, an die sie gerichtet sind, nicht unnötig verletzen, die Lebensinteressen der Nebenmenschen nicht ohne Not preisgeben oder schä - digen, sondern er wird auch in vielen Fällen den Impuls zum Aussprechen oder Wiederholen einer Wahrheit gänzlich hemmen. Den Anforderungen des Taktes gesellen sich noch die ästhetischen des guten Geschmackes. Als Geschäfts - und Dienstgeheimniss aber, auch als persönliche Angelegenheit von privatem Charakter, als ein durch konfidenzielle Mitteilung erworbenes Wissen oder „ im Vertrauen “Erfahrenes, ist manche Wahrheit sogar vor der Veröffentlichung oder Preisgebung an Unbefugte sorgfältig zu hüten. Ihre konsequente Verschweigung und sorgfältige Verheimlichung mag erscheinen als Forderung der Freundespflicht, der Ehre und des Diensteides; auf ihrer Preisgebung kann z. B. stehen die höchste Strafe des Vaterlands - verrates. —
Da wir hier nicht eine Ethik zu schreiben vorhaben, so mag es bei diesen Andeutungen sein Bewenden haben, die sicherlich für den Verständigen genügen, der Freiheit wissenschaftlicher Forschung und Argumentation indess auch wol keinen Eintrag thun.
Auch auf das Prinzip II als solches des Aussagenkalkuls haben wir uns wiederholt schon vorgreifend berufen. Dasselbe, nämlich ĪĪ. (A ⊆ B) (B ⊆ C) ⊆ (A ⊆ C) stellt sich als der erste (und wichtigste) „ hypothetische “Syllogismus dar, und spricht die Berechtigung aus, aus den als simultan gültig vorausgesetzten Prämissen, als da sind der Untersatz: Wenn A gilt, so gilt B, und der Obersatz: Wenn B gilt, so gilt C, die Konklusion zu ziehen: ergo Wenn A gilt, so gilt C.
Mit andern Worten: Wenn B von A und C von B bedingt wird,51§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.so wird auch C von A bedingt. Die Folgerung aus der Folgerung aus einer Annahme ist auch eine Folgerung aus dieser Annahme.
Auch auf diesem Anwendungsfelde sind wir berechtigt, das Prinzip als einen „ Subsumtionsschluss “zu bezeichnen. Derselbe erscheint uns als das Prinzip der Stetigkeit, Kontinuität im Folgern oder Schliessen.
Wir haben begonnen, die „ Prinzipien “des Klassenkalkuls im Aus - sagenkalkul zu deuten und wurde in dieser Hinsicht zunächst Pr. I und II erledigt, welche beiden sich als die einzigen Prinzipien des letzteren darstellen, von denen auch schon im ersteren bei dessen mit Worten geführten Überlegungen und Beweisführungen Gebrauch gemacht werden musste.
Bei der aussagenrechnerischen Formulirung des letzteren Prinzipes wurde indess, wie ersichtlich, schon Gebrauch gemacht — und zwar unvermeidlicherweise — von dem Begriff und Zeichen des Aussagen - produktes sowie von denen der Aussagenäquivalenz. Die (se) beiden Begriffe der Gleichheit und des Produktes fanden im Klassenkalkul erst hinter Prinzip II ihre Erklärung, die zugehörigen Zeichen auch erst nach diesem ihre Einführung.
Sofern es möglich ist, sie selber ohne Berufung auf das Pr. II zu begründen, müssten sie demnach im Aussagenkalkul dem Pr. II voran - geschickt werden.
Hieraus wird offenbar, dass wir uns nicht mehr blos auf die Er - örterung jener „ Prinzipien “(im engeren Sinne) beschränken dürfen, sondern auch Definitionen und Postulate mit in den Bereich der Be - trachtung ziehen müssen. Wir werden nicht umhin können, auch auf die Grundlagen des Aussagenkalkuls überhaupt wenigstens einen Seiten - blick zu werfen.
Wie wir anzunehmen uns berechtigt glauben, war der ganze Klassenkalkul auf ein Minimum von axiomatisch zu fordernden Sätzen zurückgeführt; er wurde nachgewiesen als beruhend auf einem Komplex von „ Prinzipien “, Definitionen und Postulaten, welche wir einerseits als unerlässliche, nicht weiter reduzirbare oder zu vermindernde, andrer - seits als zu seiner Begründung vollkommen hinreichende erkannten.
Von dem Klassenkalkul erschien aber der Aussagenkalkul uns blos als eine spezielle Anwendung. Jedenfalls konnten die Grundlagen des ersteren als ohne weiteres auch für letzteren gültige in Anspruch ge - nommen werden.
Ein speziellerer Charakter wird indess dem Aussagenkalkul in der That dadurch aufgeprägt — insoweit er sich wenigstens auf Aussagen4*52Sechzehnte Vorlesung.von festem Sinne bezieht*)Und soweit allein erscheint er in unserm Buche sowie in den bisherigen Forschungen ausgebildet. — dass zu jenen Grundlagen noch eine weitere axiomatisch zu stellende Forderung hinzutritt, die zur Folge hat, dass jedem eine Aussage repräsentirenden Buchstaben oder (zu - sammengesetzten) Symbole immer nur eine der beiden Bedeutungen 0 oder i zukommt — dergestalt, dass der Aussagenkalkul zusammenfällt mit einem Klassenkalkul, welcher eine neben dem Nichts nur ein ein - ziges Individuum i enthaltende Mannigfaltigkeit i voraussetzte. Jener adventiven Forderung werden wir (wie sich zu Anfang des § 32 zeigt) am besten die Fassung geben: (A = i) = A in welcher sie als das spezifische Prinzip des Aussagenkalkuls hingestellt werden mag. Und somit wären wir also auch über die formalen Grund - lagen des Aussagenkalkuls schon von vornherein im Klaren.
Wir wissen bereits, auf welchem Minimum von selbständigen Elementen sein Gebäude ruhend angesehen werden kann, und die er - kenntnisstheoretisch so hochwichtige Frage nach möglichster Verein - fachung seiner Grundlagen ist keine dringliche mehr.
Beträchtlich würde gleichwol das Bild dieser Grundlagen sich verschieben, versuchte man es, den Aussagenkalkul selbständig auf - zubauen.
Obwol es uns rationeller erschien, den Gebiete - oder Klassenkalkul als den allgemeineren ihm vorangehen zu lassen, wäre es dennoch nicht unverdienstlich, ja von hohem Interesse, solch selbständige Be - gründung des Aussagenkalkuls durchzusprechen. Zu dem Ende würde Herrn Peirce’s Arbeit 5 zu revidiren sein unter schärferer Hervor - hebung und Numerirung der als unmittelbar einleuchtend geforderten Prinzipien und Postulate. Glauben wir auch — aus angeführten Gründen sowie der noch nicht ganz überwundenen Schwierigkeiten des Unter - nehmens halber — auf die vollständige Verwirklichung dieses Desidera - tums hier verzichten zu dürfen, so soll doch die gegenwärtige Vor - lesung einiges Material dazu beisteuern.
Die Subsumtion (2̄×) 0 ⊆ A hingestellt als eine solche, welche für jede Aussage A zu gelten habe, ist wohl geeignet, die Nullaussage zu definiren, und ebenso ist die Subsumtion (2̄+) A ⊆ i auch im Aus - sagenkalkul darnach angethan, die Aussage i zu definiren. Die letztere i hätte darnach zu gelten, immer dann, wenn eine beliebig zu wählende53§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.Aussage A gilt, das heisst aber: sie hätte stets zu gelten — in An - betracht, dass man für A auch eine stets gültige Aussage (dergleichen es ja gibt*)Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind.) wählen kann. Sobald ferner die Aussage 0 gilt, muss jede beliebige Aussage A gelten; da es aber auch stets ungültige Aus - sagen A gibt*)Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind., so kann die Gültigkeitsklasse der Nullaussage nur die leere sein. Es war demnach zunächst die Aussage i als das Symbol jeder unbedingt gültigen und die Aussage 0 als der Reprä - sentant jeder unbedingt falschen Aussage in Erinnerung zu rufen.
Was die Def. (1̄) der Aussagenäquivalenz betrifft, so wurde in § 29 gezeigt, wie der scheinbare circulus in definiendo, nämlich der Gebrauch einer Äquivalenterklärung bei: (A = B) = (A ⊆ B) (B ⊆ A) sich vermeiden lässt.
Dagegen setzte diese Erklärung das Verstehen eines Aussagen - produktes bereits voraus, dessen Definition derjenigen der Gleichheit hier vorangestellt sein müsste — wie denn überhaupt die Reihenfolge in der die Grundlagen vorzutragen wären, und zufolge dessen zum Teil auch die Anordnung der Beweise im reinen, selbständig er - richteten Aussagenkalkul sich zu Anfang als eine andre aufdrängt, als wie sie im Klassenkalkul gegeben worden.
Durch die Def. (3̄×) (C ⊆ A B) = (C ⊆ A) (C ⊆ B) in dieser ursprünglichen oder in irgend einer der dieser äquivalenten Formen kann aber das Aussagenprodukt A B nicht ohne circulus definirt werden, weil rechterhand, behufs der Erklärung, selbst zu einem Aussagen - produkt gegriffen wird — ganz abgesehen davon, dass auch (entgegen dem vorhin Bemerkten) die Erklärung der Aussagenäquivalenz wieder ihrerseits vorausgegangen sein müsste. Ohne dass man zwei Annahmen (von Merkmalen) als gleichzeitig vorauszusetzende hinzustellen ver - möchte, lässt sich überhaupt nichts definiren**)Wenigstens musste hier die Gleichzeitigkeit der beiden speziellen Annahmen C ⊆ A und C ⊆ B postulirt werden, um diejenige irgend zweier Annahmen oder Aussagen A und B zu definiren. Das Aussagenprodukt A B muss wohl oder übel direkt, vermittelst seiner Interpretation, de - finirt werden als die Aussage, welche ausspricht, dass die Aussage A und die B gleichzeitig gelten; und die Gleichzeitigkeit scheint zu den Kategorieen oder Urbegriffen zu gehören.
Was wir im Gebietekalkul unter (3×) als eine Definition hinstellen54Sechzehnte Vorlesung.konnten, wird darnach jetzt, im reinen Aussagenkalkul, entweder als ein Theorem oder aber als ein Prinzip auftreten.
Ich bin übrigens wirklich im Zweifel, ob sich in solchem Grenzfalle die Unterscheidung zwischen diesen Begriffen (von Definition, Axiom resp. Prinzip und Theorem) noch strenge würde durchführen lassen. Man ver - gleiche, was in § 51 in Bezug auf Herrn Dedekind’s von ihm so ge - nannten „ Beweis “des Prinzips II gesagt ist. Man wird erkennen, dass es bei der Frage wesentlich auf die Art ankommt, wie man den Begriff des „ Beweises “erfasst, denn nur durch das Vorhandensein oder die Möglichkeit eines solchen soll sich das „ Theorem “vor dem „ Axiom “auszeichnen.
Verlangt man nun von dem „ Beweise “— denselben wol in dem ge - bräuchlichsten Sinne (sonach etwas weiter) fassend — nur die Herbei - führung der subjektiven Überzeugung, dass die zu beweisende Behauptung mit den Definitionen (und den eventuell ausserdem noch zuvor statuirten Axiomen) in objektiver Denknotwendigkeit gegeben sei, so muss man in unsrer gegenwärtigen Disziplin alles als „ bewiesen “gelten lassen, sobald es nur auf Grund gegebener Definitionen einleuchtet — und zwar einerlei, auf welchem Wege dieses Gefühl der Evidenz zustande kommt — auch dann insbesondere, wenn es sich unmittelbar aufdrängt. Wirkliche Axiome, wie in Geometrie und Physik, sind hier ja gar nicht vorhanden, und Alles ist mit den Definitionen nebst gewissen (das Zugeständniss der Wirklichkeit des Definirten fordernden) Postulaten schon denknotwendig gegeben — auch Dasjenige, was wir hier (zur Unterscheidung von jenen eigentlichen Axiomen) als „ Prinzip “hinstellen.
Die Wissenschaft fasst den Begriff des „ Beweises “schon enger als das gemeine Leben, und zwar bei ihrem Fortschreiten ganz merklich immer enger und enger; vor allem sind die Mathematiker auch wählerisch in den Mitteln der Erkenntniss geworden; noch mehr müss (t) en die Philosophen es sein.
So lässt denn die Geometrie z. B. bei ihren Beweisführungen nur mehr die logische Evidenz gelten; und schliesst die geometrische, welche auf der uns zur zweiten Natur gewordenen Raumanschauung beruht, in ihren höheren Teilen wenigstens, gewissenhaft aus.
Die Arithmetik ist nunmehr völlig von der Anschauung oder Voraus - setzung vergleichbarer und messbarer Grössen frei geworden und auf rein logische Grundlagen gestellt; sie hat sich besonders dank den Arbeiten von H. Grassmann, G. Cantor, Weierstrass und Dedekind zu einem Zweige der reinen Logik entwickelt.
Am engsten, sind wir genötigt, den Begriff des „ Beweises “in der Logik selbst zu fassen: die Arten, auf welche das Gefühl der Evidenz zu - stande kommen kann, sollen hier zum Bewusstsein gebracht, schematisirt, klassifizirt und rubrizirt werden. „ Prinzipien “nannten wir solche Sätze oder auch Schlussweisen, welche nicht auf früher registrirte nach eben - solchen zurückgeführt wurden und nebenbei gesagt sich auf noch einfachere Sätze überhaupt nicht reduziren zu lassen scheinen. „ Theoreme “nannten wir die Sätze, bei welchen solche Zurückführung — der sog. „ Beweis “— gelang, und zwar lediglich unter bewusster Anwendung der registrirten55§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.Definitionen und Prinzipien (sei es unmittelbar, sei es mittelbar unter Zu - zug von noch andern, indess schon ebenso bewiesenen Sätzen).
Wesentlich wird es darnach auf die Reihenfolge ankommen, in welcher die Sätze untergebracht werden: je nachdem man sich für die eine oder andere Ordnung entscheidet kann ein und derselbe Satz als Theorem oder als Prinzip zu gelten haben. Die Reihenfolge ist naturgemäss eingeschränkt durch die Anforderung, dass Begriffe und ihre Zeichen nicht angewendet werden dürfen bevor sie, sei es definitionsweise, sei es als Urbegriffe, ein - geführt worden sind.
Hierbei ist es nun aber noch fraglich, ob es möglich sein wird, auch die ersten Grundlagen unsrer Erkenntniss im Aussagenkalkul in eine Kette von logisch in bestimmter Weise sich auseinander entwickelnden Sätzen aufzulösen, ob nicht vielmehr bei dem Versuche einer solchen Entwickelung gewisse Zirkel unvermeidlich bleiben und die letzten Grundlagen sich uns darstellen werden als ein gegebenes Flechtwerk oder Netz von miteinander konsistenten Begriffen und Grundsätzen, bei dem man zwar von Knoten zu Knoten die kreuz und die quere entlang zu wandern vermag, ohne jedoch das Ganze in eine einfache Perlenschnur je auflösen zu können.
Glücklicherweise jedoch liegt in Gestalt des als Klassenkalkul errich - teten identischen Kalkuls das gedachte Flechtwerk dermalen wenigstens schon fertig vor unsern Augen.
Nehmen wir nach dem Gesagten nun das gleichzeitige Adoptiren von (zwei) Voraussetzungen, imgleichen wie das Statuiren von (zwei) Behauptungen als simultan geltender, in Anspruch als eine logische Kategorie nach Art der Urbegriffe, so konnte auch die Aussagen - gleichheit, wie in § 29 erläutert, definirt werden und wir verfügen nächst dem Begriffe der Aussagensubsumtion, dem Prinzip Ī und dem Begriff der 0 und i als der falschen und der wahren Aussage auch über den Begriff der Äquivalenz, nach welchem, wie gezeigt, das Prin - zip ĪĪ angereiht werden konnte.
Auf Grund der Erklärung des Aussagenproduktes erscheinen jetzt auch die Formeln A B ⊆ A und A B ⊆ B des Theorems 6̅×) als reiner Ausfluss des Prinzips Ī: wenn A und B zugleich gelten, so gilt A.
Ebenso die beiden Subsumtionen: (C ⊆ A B) ⊆ (C ⊆ A) (C ⊆ B) und (C ⊆ A) (C ⊆ B) ⊆ (C ⊆ A B) welche sich zu unsrer frühern Def. (3̄×) zusammensetzten: Wenn A B (d. h. eben A nebst B) gilt, wann C gilt, so gilt auch A wann C gilt, und zugleich gilt B wann C gilt, sowie umgekehrt.
Was die Aussagensumme A + B betrifft, so hat man, scheint mir, die Wahl, ob man sie mittelst der für jede Aussage C in Anspruch zu nehmenden beiden Subsumtionen (3̄+): (A ⊆ C) (B ⊆ C) ⊆ (A + B ⊆ C), (A + B ⊆ C) ⊆ (A ⊆ C) (B ⊆ C) 56Sechzehnte Vorlesung.als definirt erachten will um dann zu postuliren die Interpretation dieses A + B als derjenigen Aussage welche die Geltung von A oder (von) B statuirt, oder ob man umgekehrt diese letztere Deutung von A + B hinstellen will als die Begriffserklärung unsrer Aussagensumme und dann die Geltung der Subsumtionen (3̅+) als unmittelbar ein - leuchtende postuliren:
Wenn C gilt wann A oder B gilt, so muss auch C gelten wann A gilt, zugleich muss C gelten wann B gilt, sowie umgekehrt.
Im letzteren Falle würde die Konzeption einer Alternative (von Annahmen, resp. Behauptungen) zu einem logischen Urbegriffe ge - stempelt. — Von dem auf solche Grundlagen zu stellenden Gebäude von Sätzen will ich nur weniges einzeln hervorheben.
Durch die Theoreme 1̅2̅) und 1̅3̅) wird dargethan, dass bei simul - tanen sowol als bei alternativen Aussagen die Reihenfolge und Grup - pirung derselben gleichgültig ist (für ihren logischen Gehalt, ihre Tragweite). Insbesondere gilt dies auch für solche Aussagen, welche als Prämissen von Konklusionen zu figuriren haben.
Praktisch unterliegt freilich die Anwendung dieses Satzes gewissen Einschränkungen, indem gewisse Aussagen, um verständlich zu werden, es erfordern können, dass gewisse andere ihnen vorausgeschickt seien.
Der Beweis beim Kommutationsgesetze 1̅2̅×) z. B. scheint auf den ersten Blick auf eine „ Petitio principii “einen Zirkelbeweis hinauszulaufen, bei welchem von dem Satze den man beweisen will, bereits unterwegs Gebrauch gemacht wird. Aus A B ⊆ A und A B ⊆ B gemäss Th. 6̅×) schliesst man ja, dass A B ⊆ B und A B ⊆ A, darnach kraft (3̅×): A B ⊆ B A sei (desgleichen umgekehrt). Man gestattet sich demnach augenscheinlich, auf jene zu Prämissen erhobenen beiden Subsumtionen in der umgekehrten Ordnung als in welcher sie zuerst sich darboten, sich zu berufen.
Die Erlaubniss dazu ist in der That aber durch das Prinzip Ī schon garantirt, kraft dessen die als wahr zugegebene zweite Subsumtion auch wieder anerkannt werden muss, wenn man sie — etwa als erste — zu wiederholen beliebt.
Auf die im § 10 dargelegte Weise erst zu beweisen, dass Reihen - folge und Gruppirung der Prämissen in unser Belieben gestellt ist, erscheint dann freilich als ein Luxus, indem solches schon unmittelbar aus Prinzip Ī hervorgeht.
Gilt z. B. A B C, so gilt auch A B nebst C, sowie A nebst B C desgleichen gilt dann C B A. Denn muss jede einzelne Prämisse im Falle des Wiederholtwerdens bei jeder Gelegenheit anerkannt werden,57§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.so auch jede Gruppe von Prämissen, diese in was immer für einer Anordnung genommen — sintemal eben das Auftreten einer Prämisse in solcher Gruppe resp. in der neuen Anordnung, doch nur eine der Gelegenheiten bildet, bei denen sie anzuerkennen ist.
Von grosser Wichtigkeit und häufigster Anwendung im Aussagen - kalkul ist noch das Th. 2̅1̅×): A · i = A, nach welchem eine (selbstverständlich) wahre Aussage nach Belieben einer Prämisse zugefügt, oder auch bei solchen unterdrückt werden darf. Z. B. Wenn A gilt, so gilt A und ist zugleich 2 × 2 = 4, so - wie umgekehrt: wenn A gilt und 2 × 2 = 4 ist, so gilt A.
Das Prinzip III× kann im Aussagenkalkul zunächst durch ein ein - facheres Prinzip vertreten werden — einfacher, weil es nur auf zwei (statt drei) allgemeine Aussagen bezüglich, nämlich durch dieses: Prinzip * ĪĪĪ. (A + B = i) = (A = i) + (B = i), d. h. Gilt A oder B, so muss entweder A gelten, oder auch es muss B gelten, und umgekehrt: Wenn A gilt oder B gilt, so gilt A oder B.
Auf Grund des letzteren schon wird sich nämlich die zweite Sub - sumtion des Distributionsgesetzes 26×) und damit dieses selbst (das volle Distributionsgesetz) beweisen lassen, und zwar wie folgt. Wir wählen für den zu beweisenden Satz die Fassung: 2̅6̅×) (A + B) C ⊆ A C + B C. d. h. Gilt A oder B, und ausserdem C, so gilt A nebst C oder B nebst C.
Denn nach der Voraussetzung — im Hinblick, wenn man will auf Th. 6̅×) als (A + B) C ⊆ A + B — gilt dann A oder B, wofür nach Pr. ĪĪĪ gesagt werden darf: es gilt A, oder es gilt B. Da nun nach Pr. I die Voraussetzung C bei beliebiger Gelegenheit wiederholt werden darf mit dem Anspruche, alsdann auch anerkannt zu werden, so können wir für letzteres auch sagen: es gilt A und zugleich (gilt) C, oder es gilt B und zugleich C, d. h. aber: es gilt A C, oder es gilt B C, was wiederum nach Pr. ĪĪĪ zusammenziehbar ist in: es gilt A C oder B C, es gilt A C + B C, q. e. d.
Dass der obige Satz ĪĪĪ im Gebietekalkul nicht gilt, wurde schon in § 12 hervorgehoben, ist auch zudem leicht durch das nächste beste Beispiel zu belegen (zum Exempel bei beliebigem von 1 verschiedenem A durch die Annahme B = A1).
Da der Satz als ein auf Gebiete A und B bezüglicher gleichwol58Sechzehnte Vorlesung.einen Sinn hätte, obzwar er dann ungültig wäre, so ist der Gefahr vor - zubeugen, dass man ihn irrtümlich schon auf Gebiete anwende. Davor zu warnen ist der oben seiner Chiffre vorgesetzte Stern * bestimmt.
Mit einem solchen wollen wir ähnlich alle Formeln auszeichnen, denen nur die „ engere Geltung “als solchen des Aussagenkalkuls nicht aber die „ weitere “auch im Gebietekalkul zukommt.
Nur da, wo letzteres ohnehin aus der Formel ersichtlich ist, mag die Beisetzung des Sterns unterbleiben. Jenes spezifische Prinzip des Aussagenkalkuls: (A = i) = A zum Beispiel kann unmöglich für eine Formel der Gebieterechnung gehalten werden weil dann rechts in der Gleichung ein Gebiet stehen würde, während links eine Aussage figu - rirt (auch dann, wenn A als Gebiet interpretirt wird), und die Gleich - setzung solcher Aussage mit einer Kreisfläche A keinen Sinn oder keine Berechtigung haben könnte. Vgl. hiezu noch § 45.
Nunmehr bleibt uns noch die Negation einer Aussage zu erörtern mitnebst den auf sie bezüglichen Grundsätzen der Logik.
Betrachten wir die Aussage A selbst als ein Objekt des Denkens, welches einer „ gewöhnlichen “Mannigfaltigkeit von denkmöglichen Ob - jekten angehört, so müsste unter A1 verstanden werden: Alles (aus der erwähnten Mannigfaltigkeit), was nicht eben diese Aussage A ist — in Anbetracht, dass ja für jedes Objekt des Denkens bereits der Be - griff seiner Negation in § 13 aufgestellt worden ist.
Hierbei aber hätten wir die Aussage ohne Rücksicht auf ihren Sinn oder Gehalt als einen blossen Schall, oder Wortgefüge in Betracht gezogen, wir wären demnach auch nur dahin gelangt, die Negation der Aussage A in der suppositio nominalis zu bilden — vgl. Bd. 1, S. 44.
Analog würde als Negation von „ Pferd “in letzterer Unterstellung zu bezeichnen sein: alles was nicht das Wort „ Pferd “ist, wogegen wir aber als Negation des Pferdes vielmehr in der suppositio realis anzusehen hatten: alles, was nicht ein Pferd ist.
Gleichwie nun aber die suppositio nominalis bei unsern Operationen mit Klassen und Begriffen auszuschliessen war, so wird sie auch stets auszuschliessen sein bei unsern auf Aussagen bezüglichen Konventionen und Betrachtungen. Aussagen ziehen wir nach ihrer Geltung in Be - tracht in Hinsicht dessen, was sie besagen. Es kommt uns darauf an, den Begriff der Negation in der suppositio realis aufzustellen als einer Aussagenverneinung in der üblichen landläufigen Bedeutung, und diese wird als „ Negation von A “schlechtweg bezeichnet werden, von dieser allein soll hier die Rede sein. Zu dem Ende müssen wir uns die im § 29 dem Aussagenkalkul gegebene Basis vergegenwärtigen.
59§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.Im Aussagenkalkul bedeutete uns i die Mannigfaltigkeit aller Gelegenheiten resp. Zeitpunkte, wo eine Aussage gemacht wird oder gemacht werden könnte. War A eine Aussage jeweils bestimmten (wenn auch nicht notwendig gerade unveränderlichen, konstanten) Sinnes, so sollte beim Rechnen unter A vorgestellt werden die Klasse der Gelegenheiten resp. Zeitpunkte, wo die Aussage A wahr ist, so - nach als eine logisch wohlangebrachte, berechtigte gefällt werden kann.
Unter der Negation von A, in Zeichen: A1, ist demnach zu ver - stehen die Klasse der übrigen Gelegenheiten resp. Zeitpunkte nämlich derer, in welchen die Aussage A nicht wahr, unberechtigt ist. Man kann aber dieses Symbol A1 selbst wieder als eine Aussage interpre - tiren: als diejenige Aussage nämlich, welche die Ungültigkeit der Aus - sage A behauptet. Die Behauptung A1, = „ die Aussage A ist falsch “, wird gerade bei denjenigen Gelegenheiten wahr und berechtigt sein, und nur bei solchen, bei welchen eben die Aussage A nicht wahr und unberechtigt ist (wofern sie, wie hinfort vorauszusetzen, Sinn hat).
Ist die Aussage A als Proposition in unsrer Zeichensprache, als Subsumtion oder Gleichung eine spezifizirte, z. B. ist A = (a ⊆ b) resp. A = (a = b), so kann ihre Negation auch ausgedrückt werden durch Anhängung des Negationsstrichs an ihren spezifizirten Ausdruck, d. h. es bedeutet: (a ⊆ b) 1 = A1 resp. (a = b) 1 = A1. Für diese, wie wir sehen werden, im Kalkul häufig vorkommenden Formen von Propositionen führen wir aber noch eine kürzere Dar - stellungsweise ein, und zwar dadurch, dass wir die Kopula, das Be - ziehungszeichen der zu verneinenden Aussage mit einem Negations - strich vertikal durchsetzen. Wir definiren also: (a ⊆ b) = (a ⊆ b) 1, (a ≠ b) = (a = b) 1 was man lesen mag: a nicht-eingeordnet b, resp. a ungleich b; es mag ⊆ das Zeichen der Nichteinordnung, ≠ das Ungleichheitszeichen genannt werden, die erstere Proposition selbst eine negirte Subsumtion, die letztere eine Ungleichung.
Das erstere von diesen Urteilen ist eine wirkliche „ Urteilsverneinung “und sonach ein „ verneinendes Urteil “im Sinne Sigwart’s keineswegs aber im Sinne der (mit Recht) noch herrschenden Terminologie und des Sprach - gebrauches: im allgemeinen darf dasselbe durchaus nicht mit „ a ist nicht b “und niemals mit „ alle a sind nicht b “in Worte übersetzt werden — vgl. unsere Ausführungen in § 15 sowie am Schlusse des § 35.
Es besteht vielmehr ein Vorzug unsrer Zeichensprache darin, dass wir die Negation einer Subsumtion durch eine Proposition nun auszudrücken60Sechzehnte Vorlesung.vermögen, in welcher Subjekt und Prädikat von jener selbst wieder als Beziehungsglieder auftreten — denen man die gleiche Benennung als „ Sub - jekt “und „ Prädikat “auch in der Nichteinordnung belassen mag — wo - gegen der Wortsprache eine einfache Ausdrucksmöglichkeit von ähnlichem Charakter nicht zur Verfügung steht (§ 15 und § 35 Schluss).
Von fundamentaler Bedeutung auch für den Aussagenkalkul sind nun die drei Sätze, als da sind:
Der Satz des Widerspruchs: 3̅0̅×) A A1 = 0, welcher statuirt, dass eine Aussage A von bestimmtem Sinne bei keiner Gelegenheit und zu keiner Zeit wahr und zugleich auch nicht wahr sein könne.
Der Satz des ausgeschlossenen Dritten: 3̅0̅+) A + A1 = i statuirend, dass immer eine Aussage A entweder wahr oder falsch sein müsse, dass es eine dritte Möglichkeit nicht gebe.
Endlich der Satz der doppelten Verneinung: 3̅1̅) (A1) 1 = A zerfallend in die beiden Subsumtionen: A ⊆ (A1) 1 und (A1) 1 ⊆ A, demzufolge, wenn A gilt, dann die Verneinung von A falsch sein muss, und umgekehrt, wenn die Verneinung von A nicht gilt, dann A gelten muss.
Der Leser wird gut thun, sich auch noch einige weitere der im § 29 zusammengestellten Sätze, wie namentlich die Theoreme 36), auch als solche des Aussagenkalkuls auszusprechen und zum Bewusstsein zu bringen.
Eine Bemerkung fordert noch das Th. 3̅7̅): (A ⊆ B) = (B1 ⊆ A1) heraus, welches auch hypothetische Urteile durch „ Kontraposition kon - vertiren “lehrt.
Statt „ Wenn A gilt, so gilt B “kann darnach auch gesagt werden: „ Wenn B nicht gilt, so gilt auch A nicht “— und umgekehrt.
Indem man A und A1 oder B und B1 in obiger Formel vertauscht, kann man auch als ihren Ausdruck nehmen: (A1 ⊆ B) = (B1 ⊆ A), resp. (A ⊆ B1) = (B ⊆ A1) d. h. Gilt B wann A nicht gilt, so gilt auch A, wann B nicht gilt, desgl. Gilt B nicht, wann A gilt, so gilt auch A nicht, wann B gilt, und vice versā.
61§ 31. Inkonsistenz.Es ist darauf aufmerksam zu machen, dass aus allen drei Fassungen eine paradox klingende Formulirung hypothetischer Urteile hervorgehen kann, aus der zweiten z. B. dann, wenn es nicht vorkommt, unmöglich oder undenkbar ist, dass B nicht gelte.
Wir haben dann für das Urteil: Wann A nicht gilt, so gilt B (denn es gilt laut Voraussetzung ohnehin, gilt selbstverständlich, in allen Fällen) als gleichberechtigt auch die Fassung, in der es unter Umständen sich von vornherein dargeboten haben mochte: Wenn B nicht gilt (was aber nicht vorkommen kann, undenkbar bleibt), so gilt A.
Zu beachten ist also: dass mit einem Konditionalsatz, der eine nicht realisirbare, eventuell absurde Bedingung zum Vordersatze hat, doch gültige Urteile in unsrer Disziplin abgegeben zu werden ver - mögen, deren wahrer Gehalt bei ihrer Konversion zutage tritt — und werden ungesuchte Beispiele dazu sich unter anderm in § 47 darbieten.
Nach Th. 3̅8̅×) lassen übrigens die einander gleichwertigen Urteile: A ⊆ B1 und B ⊆ A1 auch einen Ausdruck zu, bei welchem ihre Symmetrie bezüglich A und B ersichtlich ist, nämlich den folgenden: A B = 0. Es konstatirt dieses mit jedem der beiden vorigen äquivalente Urteil, dass die Aussagen A und B nicht gleichzeitig gelten, nie, bei keiner Gelegenheit zusammen bestehen können, dass sie miteinander unver - träglich, inkompatibel, inkonsistent sind.
Stellen überhaupt A, B, C, … Aussagen vor, so kann man (mit Miss Ladd1 p. 29), sobald eine Gleichung der Form: A B C … = 0 besteht, die linke Seite derselben eine „ Inkonsistenz “(inconsistency) nennen. Inkonsistenz nennen wir also ein Produkt von Aussagen, so - bald dasselbe verschwindet — oder auch, in übertragenem Sinne: den Ausspruch, dass dasselbe verschwinde.
Haben wir eine Inkonsistenz: A B = 0 so können wir nach erwähntem Theoreme jeden Augenblick dafür schreiben: A ⊆ B1 oder, nach Belieben: B ⊆ A1. In der That folgt, falls A und B nie zugleich wahr sind, dass wenn A gilt, B nicht gelte, und wenn B gilt, A nicht gelten muss.
62Sechzehnte Vorlesung.Ebenso ist die Gleichung A B C = 0 äquivalent einer jeden der drei Subsumtionen: A B ⊆ C1, A C ⊆ B1, B C ⊆ A1, d. h. können die Behauptungen A, B und C nicht zusammen richtig sein, schliessen sie selbdritt einander aus, so muss, wenn A zugleich mit B gilt, C ungültig sein, desgleichen mit vertauschten Buch - staben. Etc. —
Und ferner würde folgen: C ⊆ (A B) 1, somit nach Th. 3̅6̅×): C ⊆ A1 + B1, analog B ⊆ A1 + C1, A ⊆ B1 + C1, und vice versā, d. h. wenn A gilt, so muss entweder B oder C (oder auch B nebst C) ungültig sein. Etc.
Als eine Inkonsistenz, und damit nach Belieben auch als eine Subsumtion, lässt jederzeit auch das „ disjunktive “Urteil sich darstellen.
Es kann von Urteilen dieser Art als von zweigliedrigen oder auch von mehrgliedrigen gesprochen werden, und fassen wir zunächst den einfachsten Fall in’s Auge.
„ Disjunktives Urteil im weiteren Sinne “— besser vielleicht, mit einem Worte, „ alternatives Urteil “— nennen wir eine Aussage von der Form: A + B = i mithin besagend — vgl. S. 57, Pr. ĪĪĪ, welches nach § 32, ε) reine Identität wird —: Entweder gilt A, oder es gilt B. Kürzer: Es gilt A oder B.
Im Sinne unsrer Addition ist der Fall, wo A und B zugleich gelten, damit nicht ausgeschlossen.
Nach bekannten Sätzen ist nun dies Urteil äquivalent der In - konsistenz: A1 B1 = 0, d. h. es kommt nicht vor, dass weder A noch B gelte — und damit, gemäss dem obigen Schema, ist es auch äquivalent einer jeden der beiden Subsumtionen: A1 ⊆ B und B1 ⊆ A, d. h. wenn A nicht gilt, so muss B gelten; und: sooft B nicht gilt, muss A gelten.
Dies bleibt auch bestehen, falls etwa obendrein noch A B = 0 sein sollte, in welchem Falle nach Th. 3̅3̅+) unser Urteil die Form annimmt:63§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.A B1 + A1 B = i, d. h. Entweder gilt A und dann nicht B, oder es gilt B und dann nicht A, m. a. W. es gilt A oder aber B. Diese Form ist es wol, die mit der traditionellen Logik als „ disjunktives Urteil im engeren Sinne “hinzustellen wäre.
Unsre „ alternativen “Urteile umfassen also mit die „ disjunktiven “, und für beide ist vorstehend gezeigt, dass sie in die Form einer Sub - sumtion gesetzt werden können — so wenigstens, falls sie, wie vor - stehend zweigliedrig sind.
Dreigliedrig hätten wir als alternatives Urteil: A + B + C = i und als disjunktives (im engeren Sinne): A B1 C1 + A1 B C1 + A1 B1 C = i. Da aber eine mehrgliedrige Summe sich jederzeit als eine zweiglied - rige ansehen lässt, so unterliegt die Ausdehnung der Betrachtungen auf beliebig vielgliedrige Urteile nicht der geringsten Schwierigkeit.
In § 15 wurde vom disjunktiven Urteil A + B vorausgesetzt, dass A und B verbale Urteile, Aussagen in der Wortsprache seien, mithin als Subsumtionen zwischen Klassen sich darstellen. Von diesen wurde dort indessen nur der Sonderfall A = (a ⊆ b), B = (a ⊆ c) in’s Auge gefasst, wo gedachte Subsumtionen sich auf das nämliche Subjekt a beziehen — und zwar behufs Lieferung des Nachweises, dass das eigentlich disjunktive Urteil „ Entweder alle a sind b, oder alle a sind c “von dem blos „ dis - junktiv “prädizirenden „ alle a sind entweder b oder c “im allgemeinen zu unterscheiden ist. —
Über die Grundlagen des Aussagenkalkuls werden auch die nach - folgenden Betrachtungen noch einiges Licht verbreiten.
Es bedeute A eine Aussage die — in der Weise, wie wir dies in § 28 erläutert haben — einen vollkommen bestimmten Sinn hat, und zwar sei dieser Sinn konstant, er werde als solcher, sooft wir von A sprechen, jederzeit festgehalten.
Die Proposition A = i sagt alsdann aus: die Aussage A gilt stets, zu jeder Zeit, bei jeder Gelegenheit, wogegen die Proposition A = 0 aussagt: die Aussage A gilt nie, zu keiner Zeit, bei keiner Gelegenheit.
64Sechzehnte Vorlesung.Beides zugleich kann nicht der Fall sein, d. h. wir haben die Inkonsistenz: α) (A = i) (A = 0) = 0.
Obwol an sich schon evident, kann dies auch nach den Prinzipien des identischen Kalkuls bewiesen werden, wofern man nur als Axiom gelten lässt, dass: β) 0 ≠ i, d. h. dass „ allezeit “von „ nie “verschieden ist. [Hierüber hinaus kann wol nicht gegangen werden, denn es hiesse das ja verlangen, dass die Existenz der Zeit (oder auch von Gelegenheiten) a priori be - wiesen werde!]
Beweis. Nach dem Axiom haben wir: (0 ≠ i) = (0 = i) 1 = i und hieraus folgt durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 3̅2̅): (0 = i) = 0. Nach Th. 4̅) haben wir aber: (A = i) (A = 0) = (0 = A) (A = i) ⊆ (0 = i), sonach: (A = i) (A = 0) ⊆ 0 und also auch = 0 nach Th. 5̅×), q. e. d.
Nach den Bemerkungen am Schlusse des vorigen Paragraphen kann die Inkonsistenz α) auch ohne weiteres umgeschrieben werden zu: γ) (A = i) ⊆ (A ≠ 0) und (A = 0) ⊆ (A ≠ i), d. h. gilt A stets, so ist zu verneinen, dass es nie gelte, gilt es nie, so ist zu verneinen dass es stets gelte.
Wir wollen nun zusehen, wie die vorausgesetzte Konstanz des Sinnes der Aussage A in Formeln sich ausprägt. Es kann diese Voraussetzung auf verschiedene Weisen formulirt werden, die sich auf einander zurückführen lassen.
Es wurde schon hervorgehoben, dass wenn die Aussage A wahr ist, sie bei Unveränderlichkeit ihres Sinnes allezeit wahr sein muss, dann also A = i sein muss, wogegen, wenn sie falsch ist, sie dann niemals wahr sein somit A = 0 sein wird.
Diese beiden (einander, wie gezeigt, ausschliessenden) Fälle machen aber zusammen das ganze Bereich der Möglichkeiten aus, d. h. es prägt sich die gedachte Voraussetzung darin aus, dass gelten wird: * δ) (A = i) + (A = 0) = i65§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.— eine Gleichung, die im ersterwähnten Falle auf i + 0 = i, im letzterwähnten auf 0 + i = i hinausläuft.
Bei konstantem Sinne — sagt δ) aus — ist eine Aussage entweder stets wahr, oder sie ist stets falsch.
Setzen wir diesen Satz δ) als richtig voraus, so lässt sich nun auch (in gewissem Sinne) beweisen, dass allgemein: ε) (A = i) = A sein muss, gleichwie umgekehrt aus ε) auch δ) ableitbar ist.
Die Gleichung ε) bringt ebenfalls eine unmittelbar einleuchtende Thatsache zum Ausdruck, die schon erwähnte nämlich: dass es einerlei (logisch gleichbedeutend) ist, ob man eine Behauptung A einfach aus - spricht, oder ob man behauptet, diese Behauptung A gelte (stets), sei immer wahr.
Um ε) aus δ) abzuleiten, kann man erstlich, in Worten argumen - tirend, sich begnügen, die Gleichung ε) einfach zu verifiziren für die beiden Fälle, welche δ) zulässt.
Entweder nämlich — nach δ) — ist A = i. In diesem Falle geht ε) über in, sagt nichts anderes aus, als: (i = i) = i und dies ist richtig, weil die Gleichung i = i stets wahr sein muss.
Oder es ist A = 0, dann stimmt abermals für ε) die Probe: (0 = i) = 0, indem die Behauptung 0 = i niemals richtig ist.
Zweitens aber kann man auch mehr rechnend zuwerke gehen wie folgt.
Ist A = i, so — haben wir eben gesehen — bewahrheitet sich ε), d. h. wir haben: (A = i) ⊆ {(A = i) = A}. Und ebenso, wenn A = 0 ist, bewahrheitete sich ε), d. h. wir haben: (A = i) ⊆ {(A = i) = A}. Aus diesen beiden Subsumtionen erhalten wir durch überschiebendes Ad - diren gemäss Th. 1̅7̅+) und 1̅4̅+) — oder auch direkt nach Def. (3̅+) — mit Rücksicht, linkerhand, auf δ): i ⊆ {(A = i) = A} sonach kraft Th. 5̅+): {(A = i) = A} = i, womit gefunden ist, dass die in geschweifter Klammer {} links stehende Aussage stets wahr ist, daher wir dieselbe auch einfach — in Gestalt von ε) — hinstellen mögen.
Bei letzterer Bemerkung ist, wie man sieht, von der mit in ε) stecken -Schröder, Algebra der Logik. II. 566Sechzehnte Vorlesung.den Subsumtion (A = i) ⊆ A — d. h. wenn die Aussage A stets gilt, so gilt sie — implicite schon Gebrauch gemacht, sodass der Beweis nicht ganz frei von dem Vorwurfe ist, als ein Zirkelschluss zu erscheinen. Immer - hin hat derselbe den Wert, zu zeigen, dass wenn der denknotwendige Übergang von der Behauptung {(A = i) = A} = i zur Behauptung (A = i) = A selbst in dem vorstehenden besonderen Falle, gewisser - massen nur ein mal zugegeben wird, dann der gleiche Übergang von (A = i) zu A und umgekehrt von A zu A = i auch allgemein zugegeben ist. Wir können uns eben von der allgemeinen Denknotwendigkeit auch im besonderen Falle nicht emanzipiren.
Indessen gibt der hier zutage getretene Umstand einen Beweggrund ab, der Voranstellung des Satzes ε) vor δ) den Vorzug zu geben vor der umgekehrten Anordnung.
Wir denken uns (demnach) jetzt den Satz ε) an die Spitze gestellt.
Gilt derselbe für jede in Betracht kommende Aussage A, so muss nach Th. 3̅2̅) auch sein: (A = 0) = (A1 = i) = A1 und hiernach weiter: (A ≠ 0) = (A = 0) 1 = (A1) 1 = A, endlich direkt: (A ≠ i) = (A = i) 1 = (A) 1 = A1.
Durch Vergleichung folgt somit: * ξ) (A ≠ 0) = (A = i), und * η) (A ≠ i) = (A = 0), d. h. die Subsumtionen γ) gelten auch umgekehrt, sie gelten als Gleichungen. Sobald eine Aussage nicht niemals wahr ist, muss sie stets wahr sein und vice versā, d. h. auch sobald sie nicht stets wahr ist, kann niemals dieselbe wahr sein.
Im Kalkul mit Aussagen konstanten Sinnes ist jede Ungleichung mit der rechten Seite 0 äquivalent einer Gleichung mit der rechten Seite i, und kann ebenso eine Ungleichung mit der rechten Seite i umgeschrieben werden in eine Gleichung mit der rechten Seite 0.
Es sei in Erinnerung gebracht, dass für Aussagen von veränderlichem Inhalte obzwar konstantem Wortlaute, z. B. für die „ Gelegenheitsaussagen “, deren Sinn mit der Gelegenheit variirt, bei welcher sie angebracht werden (§ 28), obiges nicht gilt.
Nehmen wir z. B. für A die Aussage: Das Dreieck Α Β Γ ist recht - winklig, so ist A ≠ 0,67§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.weil es rechtwinklige Dreiecke gibt, die Aussage also in gewissen Fällen — nämlich sooft man sie anwendet auf ein wirklich rechtwinkliges Drei - eck Α Β Γ — wahr sein wird, und doch ist auch A ≠ i, weil es auch nicht-rechtwinklige Dreiecke gibt, die unter Α Β Γ verstanden werden können.
Für dergleichen Aussagen kann dann also auch das Th. ε) mit allen denen, die dasselbe mit bedingen und wenigstens einem Teil von den Sätzen, die es nach sich zieht, nicht zutreffen.
Ebenso gelten die Formeln ζ), η) selbstverständlich nicht, wenn A ein beliebiges Gebiet vorstellen sollte.
Man ersieht hieraus von neuem, dass während die Formeln des Gebiete - kalkuls sich ohne weiteres in solche des Aussagenkalkuls umdeuten liessen, das Umgekehrte nicht der Fall ist, dass es vielmehr Formeln des Aussagen - kalkuls gibt, die im Gebietekalkul nicht allgemein zutreffen. Der Gebiete - kalkul ist allgemeiner, umfassender als der Aussagenkalkul, schliesst letzteren als einen wirklich nur besonderen (partikularen) Fall in sich.
Da nun nach Th. 3̅0̅+) zum Beispiel sein muss: (A = 0) + (A = 0) 1 = i, oder also: (A = 0) + (A ≠ 0) = i, so ergibt sich hieraus durch Einsetzung der dem zweiten Term linker - hand nach ζ) äquivalenten Aussage sogleich: (A = 0) + (A = i) = i, d. h. es ist auch das Th. δ) aus ε) bewiesen.
In Verbindung mit α) zeigt δ), nach Def. (6̅), dass die Aussagen A = 0 und A = i die Negationen von einander sind.
Durch Hinzuziehung noch anderer Äquivalenzen kann man die Formeln ζ), η) noch erweitern zu dem Tableau: * ϑ) (A1 ≠ i) = (A ≠ 0) = (A = i) = (A1 = 0) * ι) (A1 ≠ 0) = (A ≠ i) = (A = 0) = (A1 = i) wo die rechts hinzugekommenen Ausdrücke sich durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) aus dem vorhergehenden Ausdruck ergeben, welcher ja selbst hier eine Gleichung ist. Nachdem somit die Gleich - heit der drei letzten Ausdrücke in ϑ), ι) bereits erkannt ist, bleibt nur noch der Hinzutritt des ersten Ausdrucks linkerhand daselbst zu rechtfertigen. Setzt man aber in der mittleren Gleichung von einer dieser beiden Zeilen A1 für A, so wird dadurch die Verbindung zwischen dem ersten und letzten Ausdruck der andern von diesen beiden Zeilen hergestellt.
Noch andre Zurückführungen der vier Ausdrücke ϑ) oder ι) auf ein - ander würden sich nach dem Schema ergeben: (A ≠ B) = (A1 ≠ B1) 5*68Sechzehnte Vorlesung.welches durch Anwendung des Th. 3̅2̅) auf sich selbst zu gewinnen ist, und auch als Formel des Gebietekalkuls gilt, nämlich aus Th. 32) kraft 3̅2̅) hervorgeht.
Man kann die beiden Satzgruppen ϑ) und ι) zusammenfassend, das Ergebniss noch formell verallgemeinern zu: * ϰ) (A1 ≠ B1) = (A ≠ B) = (A = B1) = (A1 = B) oder auch: (A1 ≠ B) = (A ≠ B1) = (A = B) = (A1 = B1) denn in Anbetracht, dass B gleichwie jede Aussage konstanten Sinnes nur entweder gleich 0 oder gleich i sein kann, gehen die Formeln ϰ) das eine mal in ϑ) das andremal in ι) über.
Hier ist das erste und das dritte Gleichheitszeichen auch im Gebiete - kalkul rechtskräftig, das zweite oder mittlere indessen nicht, samt den Ver - gleichungen, die sich auf dieses stützen mögen.
Die Äquivalenz der drei letzten Aussagenausdrücke in ϰ) lehrt folgendes: Bei einer Gleichung des Aussagenkalkuls ist es einerlei, ob man den Negationsstrich an ihrer linken Seite, oder am Gleichheitszeichen, oder an ihrer rechten Seite anbringt. Die Operation des Negirens kann an - statt an der Gleichung selbst, auch blos an einer Seite derselben voll - zogen werden.
Überdies zeigt uns das Th. ϰ), dass im Kalkul mit Aussagen kon - stanten Sinnes eine Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben lässt; die Zeichen ≠ (und ⊆) sind hier entbehrlich — was alles im Gebietekalkul, wie wir sehen werden keineswegs der Fall ist.
Es kommt uns jetzt darauf an: jede Beziehung, welche zwischen zwei Aussagen A und B behauptet werden kann — aufgefasst als Klasse der Gelegenheiten, bei denen diese Beziehung zutrifft — auszudrücken durch A und B selber — d. h. durch die Klassen der Gelegenheiten, wo ebendiese Aussagen, einzeln genommen, zutreffen oder nicht zutreffen.
Als ausreichend wird es sich herausstellen, wenn dieses Problem für eine Subsumtion A ⊆ B gelöst wird.
Die Lösung liefert uns bereits das Theorem ε), indem wir dar - nach kraft Th. 3̅8̅×) und 3̅2̅) oder unmittelbar kraft Th. 3̅8̅+) haben müssen: (A ⊆ B) = (A B1 = 0) = {(A B1) 1 = i} = (A1 + B = i) = A1 + B.
Hiermit ist nun der fundamentale Satz gewonnen: λ) (A ⊆ B) = A1 + B,69§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.welchen schon Peirce8 gegeben, und zuvor McColl3 — indessen blos als eine Subsumtion (implication), statt Gleichung. Man kann ihn dahin aussprechen:
Die „ Gültigkeitsklasse “der Subsumtion A ⊆ B ist die Klasse der Gelegenheiten, wo A nicht gilt, oder auch B gilt.
Anstatt den Satz, wie hier ausgeführt, auf das Prinzip ε) zurück - zuführen, rechtfertigt Peirce denselben direkt durch eine Überlegung, die wir jetzt ebenfalls anstellen wollen.
Wegen der Allgemeingültigkeit der Formel 0 ⊆ B — kraft Def. (2̄×) — ist die Subsumtion A ⊆ B jedenfalls immer dann richtig, wenn A = 0 ist, d. h. wenn die Aussage A ungültig ist; dies ist der Fall in welchem A1 = i ist, oder die Aussage A1 gilt.
Ferner gilt die Subsumtion A ⊆ B auch, sobald die Aussage B gilt. Für B = i kommt sie nämlich auf die kraft Def. (2̄+) anzuer - kennende Formel A ⊆ i hinaus. Mit andern Worten: gilt B über - haupt, gilt es stets, so gilt es auch dann, wenn A gilt.
Die Gültigkeitsklasse unsrer Subsumtion ist darnach allerminde - stens A1 + B.
Wenn A gilt und zugleich B nicht gilt, d. h. also in den durch den Ausdruck A B1 zusammengefassten Fällen, ist die Subsumtion jeden - falls ungültig.
Da aber: A1 + B + A B1 = i nach Th. 33+) Zusatz ist, so sind hiermit alle denkbaren Fälle erschöpft und ist dargethan, dass A1 + B die volle Gültigkeitsklasse der Subsum - tion A ⊆ B sein muss, wie zu zeigen war.
Aus dem so gewonnenen Satze λ), wofern er als allgemeingültig zugelassen wird, fliesst umgekehrt auch wieder das Prinzip ε), indem nach bekannten Sätzen — cf. Th. 5̄+) etc. — sein muss: (A = i) = (i ⊆ A) = i1 + A = 0 + A = A.
Die Aussage A B1 ist die Klasse für die Fälle der Ungültigkeit der Subsumtion A ⊆ B; sie ist die Negation der Gültigkeitsklasse A1 + B indem A B1 = (A1 + B) 1. Dieselbe muss verschwinden, wenn die Sub - sumtion (stets) wahr sein soll — in Übereinstimmung mit Th. 3̅8̅×); die Gültigkeitsklasse A1 + B der Subsumtion dagegen muss alsdann gleich i sein (und umgekehrt). Zur Verifikation der Aussage genügt es jedoch, nur das eine von beiden nachzusehen.
Von Interesse ist aber noch eine dritte Aussage oder Klasse, nämlich die A1 B.
70Sechzehnte Vorlesung.Diese stellt dasjenige vor, was allermindestens (das Minimum dessen, was) zum Minor der Subsumtion addirt werden muss, damit der Major herauskomme. In der That wird sein: A · A1 B = 0 und A + A1 B = A + B = B nach Th. 33+) Zus. und Th. 20+).
Durch die beiden Anforderungen, dass A · X = 0 und A + X = B sei, ist die Aussage, resp. Klasse X vollkommen bestimmt; es berechnet sich X = A1 B und ergibt sich daneben als Valenzbedingung für X oder Bedingung für die Auflösbarkeit des vorstehenden Gleichungenpaares, dass A B1 = 0, das heisst A ⊆ B sein müsse.
Die vereinigte Gleichung heisst in der That: 0 = A B1 + (A + B1) X + A1 B X1 und muss der arbiträre Term der Lösung, nämlich U (A + B1) 1 = U A1 B im andern aufgehn, von A1 B verschluckt werden — vergl. das Th. 51×) in § 29.
Diese Klasse A1 B kann füglich das „ Gewicht “der Subsumtion, des Urteils oder der Aussage A ⊆ B genannt werden — — gleichwie man auch in der Arithmetik als „ Gewicht einer Ungleichung “A < B bezeichnet: den Überschuss B — A des grösseren Membrums über das kleinere.
Nach § 23 hätte in der That auch im identischen Kalkul B — A = B A1 = A1 B als Bedeutung dieser Differenz zu gelten, welche indessen hier nur unter der Bedingung A B1 = 0 oder A ⊆ B überhaupt einen Sinn hat.
Folgert man (hier wie dort) aus einer Subsumtion (resp. Un - gleichung) eine andere von noch „ grösserem “Gewichte, so sagt man: die Folgerung finde „ a fortiori “statt, die Konklusion gelte „ um so mehr “, sobald die Prämisse gilt. Vergleichbar können freilich die Ge - wichte zweier Aussagen nur dann genannt werden, wenn das eine der - selben im andern als ein Teil enthalten ist, wo dann das dem andern übergeordnete als das „ grössere “Gewicht zu bezeichnen sein wird. (Exempel siehe nachstehend bei Pr. II.)
Ist das Gewicht einer Subsumtion gleich 0, so muss dieselbe eine Gleichung sein.
In der That gilt dann neben der Valenzbedingung A B1 = 0 auch noch die Gleichung X = A1 B = 0, woraus nach Th. 24+) folgt: A B1 + A1 B = 0, oder gemäss Th. 39): A = B. In diese Gleichung muss dann also die Subsumtion A ⊆ B degeneriren.
Umgekehrt ist 0 das Gewicht jeder Gleichung, mag man diese vor -71§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.oder rückwärts als Subsumtion lesen, denn 0 ist immer die zur einen Seite disjunkte Ergänzung von ebendieser zur andern Seite der Gleichung.
Übrigens brauchen äquivalente Subsumtionen nicht gleiches Ge - wicht zu haben [und vice versā: Subsumtionen von gleichem Gewicht brauchen nicht äquivalent zu sein, abgesehen von der engeren Geltung].
Denn ist (A ⊆ B) = (C ⊆ D) so folgt zwar A1 + B = C1 + D nach λ), und hieraus durch beiderseitiges Negiren auch A B1 = C D1; dagegen
können diese Relationen doch sehr wohl bestehen, ohne dass A1 B = C1 D sein müsste, sowie umgekehrt.
Ersteres zeigt die Figur 8, worin A ein Kreis, B und D (überhalbkreisgrosse) Segmente, und C das symmetrische Doppelsegment vorstellt.
Eine vierte Klasse: A + B1, die Negation des Gewichts, als eine bei der Subsumtion A ⊆ B belangreiche zu betrachten, wird durch die Betrachtung des Gewichts selbst überflüssig gemacht.
Nachdem für jede Subsumtion die gestellte Aufgabe der Ermit - telung ihrer Gültigkeitsklasse gelöst ist, lässt sich die Frage auch für jede Gleichung leicht beantworten. Nach Def. (1) ist ja die Gleichung nichts als das Produkt zweier Subsumtionen: (A = B) = (A ⊆ B) (B ⊆ A) und setzt man hier für die Subsumtionen rechterhand ihre Gültigkeits - klassen, gebildet nach dem Schema des Th. λ), ein, so ergibt sich nach Ausmultiplizirung von (A1 + B) (B1 + A) als die gesuchte Darstellung: μ) (A = B) = A B + A1 B1 und damit zugleich ist auch gewonnen: (A ≠ B) = A B1 + A1 B.
Jenes heisst: die Gleichung zwischen zwei Aussagen ist immer dann und nur dann erfüllt, wenn sie beide zugleich gelten, oder alle beide nicht gelten — was sich bei der für uns maassgebenden Fassung der Aus - sagenäquivalenz ohnehin versteht.
Ungültig ist die Gleichung in den Fällen A B1 + A1 B, d. h. sobald die eine Aussage gilt, die andere aber nicht gilt.
Soll die Gleichung wahr sein, sonach also — in Anbetracht ihres konstanten Sinnes — stets wahr sein, so muss die letztere oder Un -72Sechzehnte Vorlesung.gültigkeitsklasse verschwinden — im Einklang mit Th. 39×) — die Gültigkeitsklasse aber muss = i sein, nämlich die ganze Mannigfaltig - keit der Gelegenheiten, resp. die ganze Zeit repräsentiren.
In der siebzehnten und folgenden Vorlesung werden wir alle denk - baren Beziehungen zwischen Gebieten zurückführen auf Gleichungen und Ungleichungen. Und da im eigentlichen Aussagenkalkul nach Th. ϰ) die Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben liess, so ist es jedenfalls schon ausreichend, die gestellte Aufgabe für die Gleichung gelöst zu haben in Gestalt des Theorems μ) — und zum Überfluss für die Subsumtion durch Th. λ) — um sich ihrer Lösung auch für alle denkbaren Propositionen zu versichern.
Nach § 28 durften nun in den Formeln des identischen Kalkuls, wie sie in § 29 sich rekapitulirt finden, alle Gebiete 1, a, b, … auch ausgelegt werden als Aussagen i, A, B, … und mussten die Formeln dabei ihre Gültigkeit behalten.
Für jedes richtige Theorem, jede gültige Formel aber muss dann die Gültigkeitsklasse sich = i erweisen — oder was auf dasselbe hinaus - kommt, muss die Ungültigkeitsklasse verschwinden.
Indem wir dieses nachsehen, haben wir ein bequemes Mittel, die Gültigkeit jedes Satzes zu kontroliren, die Sätze des identischen Kal - kuls vermittelst mechanischen Rechnens durch diesen selbst zu bewahr - heiten und durch solche Verifikation sie als Sätze des Aussagenkalkuls direkt zu beweisen.
Wir schreiten dazu, die Formeln des § 29 nochmals, nämlich jetzt auch in dieser Hinsicht durchzunehmen. Dabei wollen wir aber die kleinen Buchstaben von früher beibehalten (inklusive der 1 ohne Tupfen) obzwar wir unter denselben jetzt nicht mehr beliebige Gebiete, sondern beliebige Aussagen (von festem Sinne) uns vorzustellen haben.
Zur Anwendung zu kommen brauchen lediglich die Schemata ε) nebst Korollar oder λ) und μ), oder im Überblick: ν) (A = i) = A, (A = 0) = A1, (A ⊆ B) = A1 + B, (A = B) = A B + A1 B1.
Doch kann man statt der Berufung auf das letzte Schema μ) sich auch begnügen, gewissermassen die „ Komparationsmethode “anzuwenden, nämlich bei einer behaupteten Äquivalenz zweier Aussagen die Gültig - keitsklasse der einen sowie der andern für sich aufstellen, um sich von der Übereinstimmung, Identität der beiden Klassen durch den blossen Anblick (durch Inspektion) ihrer Ausdrücke zu überzeugen. Dabei wird — damit diese Identität sich in der Form der beiden Aus -73§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln — gemäss § 19.
Ebenso können Subsumtionen A ⊆ B nachgerechnet werden, indem man zuerst das „ Gewicht “A1 B derselben aufsucht, und sich überzeugt, dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor A (d. i. zu der „ Voraus - setzung “des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in der That diejenige des Major B (oder der „ Behauptung “ebendieses Satzes) liefert.
Bei der Ausführung*)Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei Peirce8 — mit einer sonderbaren Auffassung — vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher noch, bei McColl3. wird dies leicht vollkommen deutlich zu machen sein.
Prinzip I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss λ)): (a ⊆ a) = a1 + a = 1; hier also stimmt die Probe.
Prinzip II lautete: A ⊆ B, wenn für den Augenblick A diese Behauptung: A = (a ⊆ b) (b ⊆ c) und wenn B = (a ⊆ c) bedeutet. Nach Schema λ) wird hier: A = (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + b c und B = a1 + c.
Nach § 21, η) rechts lässt die Konklusion B sich erreichen, indem man in A den Eliminanden b tilgt.
Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach - sehen, dass A1 + B = i ist; in der That wird: A1 + B = a b1 + b c1 + a1 + c = b1 + b + a1 + c = 1 + a1 + c = 1.
Oder man mag nachsehen, dass A B1 = 0 ist: A B1 = (a1 b1 + b c) a c1 = 0 + 0 = 0.
Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln: A = a1 b1 (c + c1) + (a + a1) b c, B = (a1 c + a1 c1 + a c) (b + b1), also A = a b c + a1 b c + a1 b1 c + a1 b1 c1, B = A + (a b1 c + a1 b c1), woraus ersichtlich wird, dass in der That A von B um das „ Gewicht “: A1 B = a b1 c + a1 b c1 übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo a und c gelten, aber b nicht gilt, sowie wo a und c nicht gelten, aber b gilt, die -74Sechzehnte Vorlesung.jenigen sind, wo die Behauptung B des Satzes gilt, aber die Voraus - setzung A desselben nicht gilt. Die Behauptung a ⊆ c gilt immer, wann die Voraussetzung (a ⊆ b) (b ⊆ c) zutrifft, aber ausserdem auch noch in den erwähnten das Gewicht der Aussage II zusammensetzenden Fällen.
In ähnlicher Weise, wie vorstehend, wollen wir immer die linke Seite einer Subsumtion oder Gleichung mit A, ihre rechte mit B bezeichnen und zunächst nur diejenigen Formeln des § 29 nachrechnen, bei denen kein Produkten - oder Summenzeichen vorkommt.
Für die Def. (1) der Gleichheit haben wir dann: A = (a ⊆ b) (b ⊆ a) = (a1 + b) (b1 + a) und B = (a = b) = a b + a1 b1, was übereinstimmt.
Bei Th. °1) würden wir als Gültigkeitsklasse nach Schema μ) erhalten: (a = a) = a a + a1 a1 = 1; doch genügt bereits vergleichendes Inspiziren der beiden Seiten der in ihm behaupteten Gleichung.
Bei Th. 2) ist A = (a ⊆ b) (b = c) = (a1 + b) (b c + b1 c1) = b c + a1 b1 c1 und b1 c + a1 b c1 das Gewicht, mithin die Summe beider gleich dem Major: B = (a ⊆ c) = a1 + c. Ebenso:
Bei Th. 3) ist: A = (a = b) (b ⊆ c) = a b c + a1 b1 und a1 b + a b1 c das Gewicht.
Bei Th. 4) ist: A = (a = b) (b = c) = (a b + a1 b1) (b c + b1 c1) = a b c + a1 b1 c1 und B = (a = c) = a c + a1 c1 = A + (a b1 c + a1 b c1), woraus das Gewicht ersichtlich ist als ein mit dem von Pr. II übereinstimmendes.
Def. ° (2) gibt (0 ⊆ a) = 01 + a = 1 + a = 1, (a ⊆ 1) = a1 + 1 = 1, wie es sein soll.
Zu Th. 5) bekommen wir bei
| 5×) A = (a ⊆ 0) = a1 + 0 = a1, | 5+) A = (1 ⊆ a) = 11 + a = 0 + a = a, |
| B = (a = 0) = (a1 = 1) = a1 | B = (a = 1) = a, |
was übereinstimmt. Man kann aber auch rein mechanisch sogleich die Gültigkeitsklasse des ganzen Theorems ansetzen: {(a ⊆ 0) = (a = 0)} = (a1 + 0 = a · 0 + a1 · 01) = (a1 = a1) = a1 a1 + a a = a1 + a = 1, {(1 ⊆ a) = (a = 1)} = (11 + a = a · 1 + a1 · 11) = (a = a) = 1.
Zu Def. (3) haben wir bei
| (3×) A = (c ⊆ a) (c ⊆ b) = (c1 + a) (c1 + b) = = c1 + a b | (3×) A = (a ⊆ c) (b ⊆ c) = (a1 + c) (b1 + c) = = a1 b1 + c |
| B = (c ⊆ a b) = c1 + a b | B = (a + b ⊆ c) = (a + b) 1 + c = a1 b1 + c. |
Zu Th. °6) bei 6×): (a b ⊆ a) = (a b) 1 + a = a1 + b1 + a = 1 + b1 = 1, bei 6+): (a ⊆ a + b) = a1 + a + b = 1 + b = 1.
Gleicherweise wie vorhin bei Th. °1), Def. ° (2) und Th. °6) ist bei allen Sätzen des § 29, die eine mit Ringelchen versehene Chiffre haben,75§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.direkt leicht nachzurechnen, dass sie die Gültigkeitsdauer resp. - klasse 1 be - sitzen; nur bietet dies weiter kein Interesse: Beim Distributionsgesetz 27×) z. B. hätte man blos nachzurechnen, dass: a (b + c) · (a b + a c) + (a1 + b1 c1) · (a1 + b1) (a1 + c1) = 1 ist, was sich nach den Gesetzen des Kalkuls auf den ersten Blick versteht, weil der eine Faktor in jedem Gliede links identisch ist mit dem andern, das eine Glied daselbst aber die Negation ist des andern. So auch bei Th. °21×) wäre: (a · 1 = a) = a · 1 · a + (a1 + 0) a1 = a + a1 = 1. Etc.
Anders bei den übrigen Sätzen. Bei diesen verlohnt es, die Rechnung jeweils, wie nachstehend durchzuführen, indem sich eine wirkliche Kontrole ergibt und auch Aufschluss über das Gewicht des Satzes gewonnen wird (sofern dasselbe nicht schon von vornherein als verschwindend, gleich 0, er - kennbar war).
Zu Th. 15) ist A = (a ⊆ b) = a1 + b, und bei 15×): B = (a c ⊆ b c) = a1 + c1 + b c = a1 + b + c1 = A + a b1 c1, das Gewicht also a b1 c1; zu Th. 15+) analog a b1 c, indem hier: B = (a + c ⊆ b + c) = a1 c1 + b + c = a1 + b + c = A + a b1 c.
Zu Th. 16) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, und bei 16×):
In den Theoremen 17) bis 19) wird man für die vorliegenden Rech - nungszwecke bequemer α, β statt a', b' schreiben. Dann ist
Zu Th. 17) A = (a ⊆ b) (α ⊆ β) = (a1 + b) (α1 + β), und bei 17×) B = (a α ⊆ b β) = a1 + α1 + b β = A + (a b1 α1 + a1 α β1), „ 17+) B = (a + α ⊆ b + β) = a1 α1 + b + β = A + (a b1 β + b α β1).
Zu Th. 18) ist A = (a ⊆ b) (α = β) = (a1 + b) (α β + α1 β1), bei 18×) B = (a α ⊆ b β) = A + (a b1 α1 + a1 α β1 + α1 β), „ 18+) B = (a + α ⊆ b + β) = A + (a b1 β + b α β1 + α1 β).
Zu Th. 19) ist A = (a = b) (α = β) = (a b + a1 b1) (α β + α1 β1), bei 19×) B = (a α = b β) = a b α β + (a1 + α1) (b1 + β1) = A + {b1 α1 (a + β) + a1 β1 (b + α)}, „ 19+) B = (a + α = b + β) = (a + α) (b + β) + a1 b1 α1 β1 = A + {a β (b1 + α1) + b α (a1 + β1)}.
Zu Th. 20) ist (a ⊆ b) = a1 + b und ebenso (a = a b) = a · a b + a1 (a1 + b1) = a b + a1 = a1 + b, (a + b = b) = (a + b) b + a1 b1 · b1 = b + a1 b1 = a1 + b.
76Sechzehnte Vorlesung.Zu Th. 24) ist
| (a b = 1) = a b und | (a + b = 0) = a1 b1 und |
| (a = 1) (b = 1) = a b | (a = 0) (b = 0) = a1 b1. |
Zu Prinzip III× haben wir als Minor: A = (b c = 0) = b1 + c1, und als Major B = 1, nämlich B = {a (b + c) ⊆ a b + a c} = a1 + b1 c1 + a b + a c = a1 + b + c + b1 c1 = a1 + 1, sonach läuft dasselbe auf: b1 + c1 ⊆ 1 hinaus und erweist sich als richtig.
Zum Hülfstheorem 29) haben wir: A = (a b = 0) (a c = 0) (a + b = 1) (a + c = 1) = (a1 + b1) (a1 + c1) (a + b) (a + c) = = (a b1 + a1 b) (a c1 + a1 c) oder (a1 + b1 c1) (a + b c) = a b1 c1 + a1 b c, und B = (b = c) = b c + b1 c1 = A + (a b c + a1 b1 c1), wie durch Entwickelung des B auch nach a zu erkennen ist. Zudem ist die Unterordnung von A unter B aus a1 b c ⊆ b c und a b1 c1 ⊆ b1 c1 nach Th. 6×) und 17+) ersichtlich.
Zu Def. (6) ist A = (a x ⊆ 0) (1 ⊆ a + x) = (a1 + x1) (a + x) = a1 x + a x1, desgleichen B = (x = a1) = x a1 + x1 a. Denselben Wert ergäbe: A = (a x = 0) (a + x = 1). Zu Th. 32) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, B = (a1 = b1) = a1 b1 + a b. Zu Th. 37) A = (a ⊆ b) = a1 + b, B = (b1 ⊆ a1) = b + a1. Zu Th. 38) ist: (a b1 = 0) = a1 + b, (a ⊆ b) = a1 + b, (a1 + b = 1) = a1 + b. Zu Th. 39) (a b1 + a1 b = 0) = (a b + a1 b1 = 1) = a b + a1 b1, und (a = b) = a b + a1 b1. Zu Th. 40) ist A = (a c ⊆ b c) (a + c ⊆ b + c) = (a1 + c1 + b c) (a1 c1 + b + c) = = a1 c1 + a1 b + a1 c + b c1 + b c = a1 · 1 + b · 1 = a1 + b und B = (a ⊆ b) = a1 + b. Ebenso bei Zus. 2 ist A = (a c ⊆ b) (a ⊆ b + c) = (a1 + c1 + b) (a1 + b + c) = a1 + b. Ferner bei Zus. 1 ist: A = (a c = b c) (a + c = b + c) = = {a c · b c + (a1 + c1) (b1 + c1)} {(a + c) (b + c) + a1 c1 · b1 c1} = (a b c + a1 b1 + c1) (a b + c + a1 b1 c1) = = a b c + a1 b1 c + a b c1 + a1 b1 c1 = a b + a1 b1, desgl. B = (a = b) = a b + a1 b1.
Zu Th. 41) haben wir: (a b ⊆ c) = a1 + b1 + c = (a ⊆ b1 + c), etc., (a ⊆ b + c) = a1 + b + c = (a b1 ⊆ c) etc.
Beim Hülfstheorem zu Th. 47+) ist A = (a ⊆ x ⊆ b) = (a ⊆ x) (x ⊆ b) = (a1 + x) (x1 + b) = a1 x1 + b x und B = (a x1 + b x = x) = (a x1 + b x) x + (a1 x1 + b1 x) x1 = b x + a1 x1.
Beim Th. 49×): (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, und (b ⊆ x ⊆ a1) = (b ⊆ x) (x ⊆ a1) = (b1 + x) (x1 + a1) = b1 x1 + a1 x;77§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (b ⊆ a1), das ist b1 + a1, nichts ändern.
Endlich bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird 〈…〉
Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen Produkt - und Summenzeichen vorkommen.
Zu Def. (2×) haben wir: A = 〈…〉 (x ⊆ a) = 〈…〉 (x1 + a) = x1 und B = (x = 0) = x1, was übereinstimmt, ebenso zu Def. (2+): 〈…〉 (a ⊆ x) = 〈…〉 (a1 + x) = x und (x = 1) = x.
Dass nämlich 〈…〉 (x1 + a) = x1 ist, ergibt sich folgendermassen. Nach dem auf unbegrenzt viele Faktoren ausgedehnten Theorem 27+) muss sein: 〈…〉 (b + a) = b + 〈…〉 a, ebenso 〈…〉 (b + a1) = b + 〈…〉 a1 und noch allgemeiner, wenn nur wieder b ein von a unabhängiges, be - züglich des a konstantes Gebiet vorstellt: 〈…〉 {b + f (a)} = b + 〈…〉 f (a).
Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass 〈…〉 a = 0 desgleichen 〈…〉 a1 = 0 sein muss, in Anbetracht, dass unter allen möglichen Faktoren a (resp. a1) deren Produkt zu bilden ist, sich gewiss auch disjunkte finden, z. B. ein bestimmtes Gebiet a und daneben auch dessen Negation a1, wonach also das Th. 22×) in Kraft tritt.
Zu Th. 7×) haben wir:
〈…〉 {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} = 〈…〉 {x1 + c ⊆ (x1 + a) (x1 + b)} = = 〈…〉 {x c1 + x1 + a b} = 〈…〉 (c1 + a b + x1) = c1 + a b, also = (c ⊆ a b),78Sechzehnte Vorlesung.und zu 7+): 〈…〉 {(c ⊆ x) ⊆ (a ⊆ x) (b ⊆ x)} = 〈…〉 {c1 + x ⊆ (a1 + x) (b1 + x)} = = 〈…〉 (c x1 + a1 b1 + x) = 〈…〉 (a1 b1 + c + x) = a1 b1 + c, also = (a + b ⊆ c).
Bei den nächsten Theoremen werde nur links vom Mittelstrich die Rechnung durchgeführt, rechts dem Leser überlassen. Zu 8×): 〈…〉 {(x ⊆ a b) ⊆ (x ⊆ c)} = 〈…〉 (x1 + a b ⊆ x1 + c) = 〈…〉 {x (a1 + b1) + x1 + c} = = a1 + b1 + c, also = (a b ⊆ c). Zu 9×): 〈…〉 {(x ⊆ a) (x ⊆ b) ⊆ (x ⊆ c)} = 〈…〉 {(x1 + a) (x1 + b) ⊆ x1 + c} = = 〈…〉 {x (a1 + b1) + x1 + c)} = etc.
Zu 10×): 〈…〉 {(a b ⊆ x) ⊆ (c ⊆ x)} = 〈…〉 (a1 + b1 + x ⊆ c1 + x) = = 〈…〉 (a b x1 + c1 + x) = c1 + a b, etc.
Zu 11×) 〈…〉 {(x ⊆ c) = (x ⊆ a) (x ⊆ b)} = 〈…〉 {x1 + c = (x1 + a) (x1 + b)} = = 〈…〉 {(x1 + c) (x1 + a) (x1 + b) + x c1 (x a1 + x b1)} = 〈…〉 {x1 + a b c + x c1 (a1 + b1)} = = a b c + (a1 + b1) c1, also = (c = a b).
Zu Th. 43) ist: 〈…〉 (a = u b) = 〈…〉 {a · u b + a1 (u1 + b1)} = = 〈…〉 (a1 b1 + a b u + a1 u1) = a1 b1 + a b + a1 = a1 + b, also = (a ⊆ b), desgl. 〈…〉 (b = a + v) = 〈…〉 {b (a + v) + b1 · a1 v1} = a b + b + a1 b1 = a1 + b.
Hierbei war zu berücksichtigen, dass nach dem auf eine unbegrenzte Gliedermenge verallgemeinerten Distributionsgesetz 27×), wenn a gegen u konstant ist: 〈…〉 a f (u) = a 〈…〉 f (u) sein muss, und ferner dass hier 〈…〉 u = 1 sowie 〈…〉 u1 = 1 sein wird, indem in der Summe aller erdenklichen Glieder sicher sich auch solche finden, welche als die Negationen von einander sich zu 1 ergänzen.
Zu Th. 47+) ist einerseits (a ⊆ x ⊆ b) = a1 x1 + b x, wie oben, und andrerseits79§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.(a ⊆ b) 〈…〉 (x = a w1 + b w) = = (a1 + b) 〈…〉 {x (a w1 + b w) + x1 (a1 w1 + b1 w)} = (a1 + b) (x a + x b + x1 a1 + x1 b1) = gleich dem vorigen Ausdruck.
Zu Th. 48+) ist (a b ⊆ u ⊆ a + b) = (a1 + b1 + u) (u1 + a + b) = = (a1 + b1) u1 + (a + b) u, aber auch: 〈…〉 (u = a x + b x1) = = 〈…〉 {u (a x + b x1) + u1 (a1 x + b1 x1)} = u a + u b + u1 a1 + u1 b1. Etc.
Den Zusatz S. 34 betreffend hat man zu berücksichtigen, dass auch 〈…〉 u v = 1, 〈…〉 u v1 = 1, 〈…〉 u1 v = 1, 〈…〉 u1 v1 = 1 sein wird, indem unter allen erdenklichen Produkten je zweier Gebiete auch die vier Konstituenten der nach irgend zwei bestimmten entwickelten Eins sich befinden. Darnach läuft die l. c. in § 29 angegebene Gleichung auf die Identität a + b + c + d = a + b + c + d hinaus, von deren rechter Seite der Term a b c d absorbirt worden. Dieser ergab sich aus 〈…〉 a b c d = a b c d 〈…〉 1, wo nun selbst 〈…〉 1 = 1 (nämlich = 1 + 1 + 1 + …) nach dem Tautologiegesetze 14+) ist.
In Th. 50+) ist die linke Seite: (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, die rechte aber: (a b = 0) 〈…〉 (x = b u1 + a1 u) = (a1 + b1) 〈…〉 {x (b u1 + a1 u) + x1 (b1 u1 + a u)} = = (a1 + b1) (x b + x a1 + x1 b1 + x1 a), was ausmultiplizirt auf dasselbe hinausläuft. Ebenso würde mit dem Faktor 〈…〉 (x = b + u a1) die Probe stimmen. Für sich jedoch, d. h. ohne den Aus - sagenfaktor, die Voraussetzung (a b = 0) ist verschieden: 〈…〉 (x = b u1 + a1 u) = (a1 b ⊆ x ⊆ a1 + b), 〈…〉 (x = b + a1 u) = (b ⊆ x ⊆ b + a1) konform mit dem Th. 48+).
Endlich haben wir zu den Theoremen 51): (a ⊆ b) 〈…〉 (x = a + u b1) = (a1 + b) 〈…〉 {x (a + u b1) + x1 a1 (u1 + b)} = = (a1 + b) {x (a + b1) + x1 a1} = x (a b + a1 b1) + x1 a1 = (b x = a), (b ⊆ a) 〈…〉 {x = a (b1 + u)} = (b1 + a) 〈…〉 {x a (b1 + u) + x1 (a1 + b u1)} = = (a + b1) {x a + x1 (a1 + b)} = x a + x1 (a b + a1 b1) = (b + x = a). —
Sonach bewahrheiten sich also wieder alle unsre Sätze und er - weist sich die Theorie als eine durch und durch in sich gefestigte.
80Sechzehnte Vorlesung.Als eine Nutzanwendung und Übungsaufgabe zu der in diesem Paragraph gelehrten Methode wollen wir die Fragen beantworten:
ξ) Wie differiren die vier Aussagen x1, x2, x3, x4, wenn bedeutet:
x1 die Aussage: (a = b) (c = d), die also resultirt, wenn man die Gleichung a = b mit der Gleichung c = d (schlechtweg) multiplizirt, x2 die Aussage: a (c = d) = b (c = d), die sich dadurch ergibt, dass man die Gleichung a = b beiderseits multiplizirt mit der Gleichung c = d, x3 die Aussage: (a = b) c = (a = b) d, welche entspringt durch beiderseitiges Multipliziren der Gleichung c = d mit der a = b, endlich x4 die Aus - sage: a c = b d, die sich durch überschiebendes Multipliziren der beiden Gleichungen a = b und c = d ergeben wird.
Vergl. § 10, unterhalb Th. 19), also Bd. 1, S. 268 sq.
Auflösung. Man hat: x1 = (a b + a1 b1) (c d + c1 d1), x2 = x1 + (c d1 + c1 d), x3 = x1 + (a b1 + a1 b), x4 = x1 + {(a + d) b1 c1 + a1 d1 (b + c)} als „ reduzirte “Summen. [Unreduzirt würden die drei letztern den ein - fachern Ausdruck haben: x4 = a b c d + (a1 + c1) (b1 + d1), x2 = a b + a1 b1 + c d1 + c1 d, x3 = a b1 + a1 b + c d + c1 d1] Hienach ist ersichtlich, dass alle vier Aussagen im allgemeinen ver - schieden sind, und darum die l. c. eingeführten vorstehend kursiv ge - druckten Benennungen (Adverbien für die Art und Weise des Multi - plizirens) zur Unterscheidung notwendig. Ferner ist ersichtlich: x1 ⊆ x2, x1 ⊆ x3, x1 ⊆ x4 · Die oben angegebenen bei den Sym - bolen rechterhand zu x1 noch hinzutretenden Glieder stellen das „ Ge - wicht “dieser drei Folgerungen (von x2 aus x1, etc.) vor. Ausser dann, wann x1 gilt, wird z. B. x2 ausschliesslich nur dann noch gelten, wenn c oder aber d gilt. Etc.
Zwischen irgend zweien der drei Aussagen x2, x3, x4 besteht da - gegen kein Zusammenhang, wonach allgemein die eine aus der andern folgen müsste, überhaupt keine (von den Bedeutungen der Aussagen a, b, c, d) unabhängige Beziehung, wie die Elimination von a, b, c, d aus den beiden zugehörigen Gleichungen zeigen würde, indem sie auf 0 = 0 führte.
ο) Wie differiren ebenso die vier Aussagen: y1 = (a ⊆ b) (c ⊆ d), y2 = {a (c ⊆ d) ⊆ b (c ⊆ d)}, y3 = {(a ⊆ b) c ⊆ (a ⊆ b) d}, y4 = (a c ⊆ b d)?
81§ 32. Gewicht von Aussagen.Auflösung: y1 = (a1 + b) (c1 + d) y2 = a1 + b + c d1 = y1 + c d1, y3 = a b1 + c1 + d = y1 + a b1, y4 = a1 + c1 + b d = y1 + (a b1 c1 + a1 c d1) was ähnliche Bemerkungen liefert. Nebenbei erkennt man leicht auch noch, dass: y2 = {(c ⊆ d) ⊆ (a ⊆ b)}, y3 = {a ⊆ b) ⊆ (c ⊆ d)} ist.
π) Zum Dritten wollen wir noch einmal zu den Studien des § 6 zurück - kehren, die uns die Theoreme 7) bis 11) geliefert haben. Des Gebiets - dualismus halber genügt es, diejenigen links vom Mittelstriche zu betrachten und sollen die rechts höchstens als Ergebnisse mit berücksichtigt werden.
Man fasse unter den Chiffren die wir citiren, jeweils die Formeln des § 30 in’s Auge, worin die kleinen Buchstaben wieder Gebiete vorstellen mögen. (S. 29 sq.)
Def. (3×) gab in einfachst denkbarer Form die Erklärung des Produkts a b zweier Gebiete als eines Prädikates: (c ⊆ a b) = (c ⊆ a) (c ⊆ b).
Als Subjekt dagegen konnte a b nicht einfacher als mittelst Th. 9×) = Def. (5×) erklärt werden, welches sich auf Grund des Th. 8×) unmittelbar aus Def. (3×) ergibt, indem man nach letzterer die Bedeutung von (x ⊆ a b) in das Th. 8×) substituirt.
Analog zu dieser Def. (5×) für a b als Subjekt war aber behufs Er - klärung von a b als Prädikat auch noch eine Erklärungsweise, komplizirter als Def. (3×), zulässig, welche als Def. (4×) in dem Th. 7×) ausgesprochen ist.
Zog man das zu 8×) analoge Th. 10×) hinzu, so konnte auf diese Definitionen (4×) und (5×) eine unbegrenzte Reihe von immer komplizirter erscheinenden Erklärungsweisen für a b als Prädikat resp. Subjekt gegründet werden, die paarweise als gleich komplizirte oder einander analoge zu - sammengehören. Von den zwei Reihen so erhältlicher Definitionen, von denen also Def. (4×) und Def. (5×) die „ Anfangsglieder “vorstellen — während nur der ersteren von diesen wirklich noch ein Glied in Gestalt der Def. (3×) vorangeht — sollen nun wenigstens die beiden nächstfolgenden Glieder noch in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls dargestellt werden. Sie lauten bezüglich: ϱ) (c ⊆ a b) = 〈…〉 { 〈…〉 [(y ⊆ a) (y ⊆ b) ⊆ (y ⊆ x)] ⊆ (c ⊆ x)}, σ) (a b ⊆ c) = 〈…〉 { 〈…〉 [(y ⊆ x) ⊆ (y ⊆ a) (y ⊆ b)] ⊆ (x ⊆ c)}, und ergeben sich leicht, indem man für (a b ⊆ x) in das Th. 10×) diejenige Erklärung substituirt, welche das Th. 9×) dafür geben würde, resp. analog für (x ⊆ a b) in das Th. 8×) einsetzt den Wert dieser Aussage gemäss Th. 7×). Dabei war nur zu beachten, dass nachdem der Name x als Pro - duktationsvariable in dem einen der beiden im Geiste zusammenzuhaltenden Schemata bereits vergeben ist, in dem andern Schema für die Produktations - variable ein neuer Name, wie y, gewählt werden muss.
Schröder, Algebra der Logik. II. 682Sechzehnte Vorlesung.Umgekehrt dagegen ist es keine leichte Anforderung an das mentale Abstraktionsvermögen des Lesers, falls nun ϱ), σ) als Definitionen zugrunde gelegt werden sollten, aus diesen Formeln selbst ihre Vereinfachungsfähig - keit zu erkennen und von ihnen zu den Definitionsformen (4×) resp. (5×) zurückzugelangen — so, wie wir in der That in § 6 die Zurückführung der Def. (4×) auf die (3×) mittelst verbalen Räsonnements geleistet haben, welches natürlich nun nachträglich auch ganz durch die Formelsprache des Aussagenkalkuls ersetzt werden könnte.
τ) Schliesslich wollen wir untersuchen, in welcher Beziehung in den Theoremen 7) bis 11) der allgemeine Faktor unter dem Produktenzeichen 〈…〉 selbst zur andern Seite der Gleichung steht. Diese Beziehung ist die einer Überordnung, indem zu notifiziren ist, dass Zu 7×) (c ⊆ a b) ⊆ {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)}, Zu 8×) (a b ⊆ c) ⊆ {(x ⊆ a b) ⊆ (x ⊆ c)}, Zu 9×) (a b ⊆ c) ⊆ {(x ⊆ a) (x ⊆ b) ⊆ (x ⊆ c)}, Zu 10×) (c ⊆ a b) ⊆ {(a b ⊆ x) ⊆ (c ⊆ x)}, Zu 11×) (c = a b) ⊆ {(x ⊆ c) = (x ⊆ a) (x ⊆ b)}.
Auf Grund der Def. (3×) sind diese Formeln leicht als solche, die im Gebietekalkul allgemeine Geltung haben, syllogistisch zu beweisen, und ebenso verifiziren sie sich als solche des Aussagenkalkuls nach der über ν) an - gegebenen, durch das Bisherige genugsam illustrirten Methode.
Bei letzterem Verfahren wird augenscheinlich, dass die obigen Sub - sumtionen nicht als Gleichungen gelten, sondern dass vielmehr der Major jeweils den Minor um den Term x1, bei 10×) aber um das Glied x, über - trifft. Aussagenrechnerisch bewahrheiten sich demnach die Formeln: Zu * 7×) {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} = (c ⊆ a b) + (x = 0) etc. dagegen Zu * 10×) {(a b ⊆ x) ⊆ (c ⊆ x)} = (c ⊆ a b) + (x = 1).
Indessen kommt denselben nur die engere Geltung zu: die Formeln müssen sicher zutreffen, wenn a, b, c, x, 1 Aussagen bedeuten, brauchen es aber (wie wir sogleich sehen werden) keineswegs zu thun, falls diese Symbole
irgendwelche Gebiete vorzustellen haben. Die Formeln mussten darum auch mit dem Sterne ausgezeichnet werden.
In der That lassen leicht sich Beispiele nach - weisen — wie Fig. 9 — in welchen (x ⊆ c) = i, sowie (x ⊆ a b) = i, somit auch (x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a b) ist, und doch weder c ⊆ a b noch x = 0 besteht, sodass beispielsweise die erste unsrer Formeln, wie sie zuletzt unter „ Zu * 7×) “angegeben, unmöglich für Ge - biete allgemeingültig sein kann.
83§ 32. Gewicht von Aussagen.Um nun zuzusehen, was in den obigen Subsumtionen dem Minor noch hinzuzufügen ist, damit dieselben auch im Gebietekalkul gültig als Gleichungen angeschrieben werden dürfen, mögen wir uns die Aufgabe noch etwas ver - einfachen.
Nach der schon die weitere Geltung erwiesenermassen besitzenden Äquivalenz der Def. (3×) können wir nämlich das Subsumtionenprodukt (x ⊆ a) (x ⊆ b) durch die eine Subsumtion (x ⊆ a b) ersetzen. Hernach kommen a und b nicht mehr getrennt, sondern nur mehr noch in der Ver - bindung a b vor, welche man bequemer durch ein einziges Gebietsymbol d ersetzen wird. Schreibt man alsdann noch a und b für c und d (resp. d und c), so ist offenbar, dass es sich nur noch um die Beantwortung der folgenden Frage handelt.
υ) Es soll ermittelt werden, welche auf a, b, und x bezügliche Aussage noch hinzugefügt werden muss zu dem Minor einer jeden der folgenden vier Subsumtionen: (a ⊆ b) ⊆ {(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b)}, (a ⊆ b) ⊆ {(b ⊆ x) ⊆ (a ⊆ x)}, (a = b) ⊆ {(x ⊆ a) = (x ⊆ b)}, (a = b) ⊆ {(b ⊆ x) = (a ⊆ x)}, damit dieselbe in eine Gleichung übergehe, die für beliebige Gebiete a, b, x gültig.
Ich will die Betrachtung nur für die erste der vier angegebenen Subsumtionen durchführen, den Rest dem Leser überlassend.
Zunächst ist die Subsumtion für ein beliebiges x richtig: Wenn a in b enthalten, so muss, wenn x in a enthalten ist, es nach Pr. II auch in b enthalten sein. Nach einem späteren Satze — ϑ×) des § 45 — würde sie sich sogar als eine blosse Umschreibung des Pr. II in seiner im § 29 ihm gegebenen aussagenrechnerischen Fassung (x ⊆ a) (a ⊆ b) ⊆ (x ⊆ b) hin - stellen lassen.
Um jene Subsumtion in eine Gleichung mit der linken Seite (a ⊆ b) umzuwandeln, genügt es, rechts das Zeichen 〈…〉 voranzuschreiben: (a ⊆ b) = 〈…〉 {(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b)}.
In der That folgt wie erwähnt die Subsumtion rechterhand als eine für jedes x gültige aus der zur linken. Und umgekehrt auch, wenn die Subsumtion rechts: (x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b) für jedes x gilt, so folgt auch die a ⊆ b zur linken. Dann gilt jene nämlich auch für x = a, und haben wir (a ⊆ a) ⊆ (a ⊆ b) oder i ⊆ (a ⊆ b), das ist nach Th. 5̅×): (a ⊆ b) = i. Mit dieser Betrachtung sind wir aber unsrer obigen Aufgabe noch nicht näher getreten.
Letztere fordert, dass wir die Subsumtion rechts, den Major (x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b), nach dem Minor (a ⊆ b) „ entwickeln “. Die Ent - wickelung ergibt sich etwa, indem wir jenen mit der Gleichung i = (a ⊆ b) + (a ⊆ b) beiderseitig multipliziren. Weil aber6*84Sechzehnte Vorlesung.(a ⊆ b) ⊆ {(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b)}, so ist nach Th. 2̅0̅×), oder (A ⊆ B) = (A B = A), auch: (a ⊆ b) {(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b)} = (a ⊆ b), sodass also unser Major als Faktor beim ersten Term sich unterdrücken lässt, und nur noch beim zweiten angemerkt werden muss, wobei man ihn auch verwenden mag in einer der beiden nach λ) und Th. 3̅3̅+) Zusatz ihm äquivalenten Formen: (x ⊆ b) + (x ⊆ a) oder (x ⊆ b) + (x ⊆ b) + (x ⊆ a). Mithin gibt die Gleichung: {(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b)} = (a ⊆ b) + (a ⊆ b) {(x ⊆ b) + (x ⊆ b) (x ⊆ a)} die Lösung unsrer Aufgabe an.
Und ebenso haben wir mit der weiteren Geltung: {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} = (c ⊆ a b) + (c ⊆ a b) {(x ⊆ a b) + (x ⊆ c)}.
Der letzte Term — nicht aber der: (x = 0) — ist behufs Er - zielung dieser weiteren Geltung dem ersten Terme noch hinzuzufügen gewesen. Indessen könnte man freilich denselben durch Unterdrückung des Faktors (c ⊆ a b) noch weiter vereinfachen (und sogar auch den ersten Term fortlassen).
Die Betrachtung dürfte lehrreich gewesen sein um den Gegensatz zwischen engerer und weiterer Geltung deutlichst hervortreten zu lassen.
Die im Obigen behufs Verifikation einer jeden Subsumtion unsres Aussagenkalkuls angeregte und auszuführen gewesene Probe, dass: Minor + Gewicht = Major sein muss (während Minor mal Gewicht verschwindet), lief hinaus auf den rechnerischen Gültigkeitsnachweis von Formeln des Klassenkalkuls, die zu den Übungsaufgaben des § 18 (Bd. 1, S. 384 sqq.) noch manche Beisteuer liefern.
Die an die Formen der Wortsprache sich innigst anschmiegende herkömmliche Logik teilt die kategorischen Urteile ein nach der so - genannten „ Qualität “derselben in bejahende und verneinende, nach ihrer „ Quantität “in universale und partikulare.
Es entstehen durch die Kombination der beiden Einteilungsgründe die vier Arten der
|
|
Urteile.
Die vier Buchstaben a, e, i, o, als die hervorgehobenen Vokale der lateinischen Verbalformen:
asserit (es bejaht, versichert) und nego (ich verneine, leugne) werden nach alter Übung mnemonisch verwendet, um diese vier Arten von Urteilen unterscheidend kurz zu bezeichnen, und zwar sollte vor - stellen:
Die Bedeutung der vier Buchstaben im Gedächtniss fest zu halten, zu memoriren, erleichtert der Doppelvers: „ Asserit a, negat e, sed universaliter ambo, Asserit i, negat o, sed particulariter ambo “.
Diese vier Buchstaben selbst etwa als Beziehungszeichen hier zu ver - wenden, die vier angeführten Schemata von Urteilen also mittelst:86Siebzehnte Vorlesung.A a B, A e B, A i B, A o B auszudrücken, würde nicht ratsam erscheinen, in Anbetracht, dass wir schon die Buchstaben (und zwar beider Alphabete, auch des kleinen) konventionell zu verwenden pflegen zur Darstellung der Objekte zwischen welchen solche Beziehungen stattfinden können, nämlich der Subjekt - und der Prädikat - klassen.
Ausserdem erscheinen — vom Standpunkte der Mathematik nament - lich — die vier Buchstaben gewissermassen so unglücklich gewählt, wie nur möglich.
Eine derartige Verfügung über den Sinn des a würde jede ander - weitige Verwendung des ersten Buchstabens des Alphabets präkludiren, vor - weg ausschliessen. Dass e die Basis des natürlichen Logarithmensystems und i = 〈…〉 die imaginäre Einheit in der Mathematik bedeutet, müsste wenigstens bei Anwendungen der Logik auf diese Disziplin sehr stören. Und der Buchstabe o ist, wenigstens geschrieben, allzuleicht mit der 0 zu verwechseln, sodass man ihm in der Wissenschaft überhaupt fast gänzlich (und mit Recht) aus dem Wege geht. —
Um zunächst das Herkömmliche vorweg zu erledigen, so sei noch angeführt, dass wenn das Subjekt A in den vier Urteilsformen als das nämliche gedacht wird, desgleichen das Prädikat B, dann die Verhält - nisse in welchen je eines der vier Urteile zu einem andern von ihnen steht, als „ Gegensätze “bezeichnet und mit verschiedenen Namen be - legt worden sind. Über diese Benennungen gewährt rasche Übersicht das folgende die Figur eines vollständigen Vierecks bildende Schema.
Dass wir in der That die Urteile a und o, desgleichen die e und i — auch nach der für unsre Theorie maassgebenden Auffassung dieser Urteile, ja gerade erst kraft des hier denselben beizulegenden Sinnes — als einander kontradiktorisch entgegengesetzte, als Verneinungen von einander zu bezeichnen haben auf Grund des Begriffs der Negation bei Aus - sagen, dies wird sich, sofern es nicht ohnehin einleuchtet, noch syste -87§ 33. Die herkömmliche Einteilung der kategorischen Urteile.matisch durch den Aussagenkalkul rechtfertigen. Auch mag es angehen die Aussagen a und e konträre (konträr entgegengesetzte) zu nennen.
Die Urteile a, i oder e, o subalterne, und gar die i, o subkonträre zu nennen, erscheint als ziemlich sinnlos und gänzlich belanglos. —
Über den mit unsern vier Urteilen zu verknüpfenden Sinn sind immerhin einige Auseinandersetzungen nötig, resp. in Erinnerung zu rufen.
Im gemeinen Leben, wenn gesagt wird: Alle A sind B, wird die Unterstellung gemacht, es wird als selbstverständlich vorausgesetzt, dass es Dasjenige, wovon man reden will, nämlich solche A, auch wirklich gebe. Dies ist begreiflich, da ohne weiteres keine Veran - lassung ersichtlich ist, die jemand bestimmen könnte, über nichts und wieder nichts Aussagen zu machen. Hier bleibt also in der Regel ganz der Fall ausser Betracht, wo die Klasse A, das Subjekt der Aus - sage eine leere ist, gar keine Individuen umfasst, die Bedeutung 0 hat, wo es überhaupt keine A geben sollte.
Anders in der Wissenschaft, die einerseits auf die Allgemeinheit ihrer Sätze das grösste Gewicht zu legen Grund hat, und darum, wenn gesagt wird, alle A seien B, oder sollten B sein, in der Regel auch die Fälle mitumfassen muss, wo die Anzahl dieser A gleich eins oder gar gleich null (1 resp. 0 im arithmetischen Sinne) sein sollte. Unter - suchungen, bei welchen A in Betracht kommen, gleichzeitig zu er - ledigen mit solchen Untersuchungen, bei welchen solche A überhaupt nicht in Betracht kommen können, weil es eben keine gibt, ist das Bestreben und liegt im Vorteil der Wissenschaft, die wo irgend mög - lich den beiden Klassen von Untersuchungen eine gemeinschaftliche, eine allgemeine Behandlung angedeihen lassen wird. Dazu kommt andrerseits noch, dass es sich in der Wissenschaft stets um die Er - mittelung, Erkenntniss von noch Unbekanntem handelt. Da ist es denn oft fraglich, ob eine begrifflich bestimmte Klasse A überhaupt denkbar, respective wirklich ist, ob sie Individuen enthalten kann oder muss. Die Untersuchung dreht sich alsdann gerade darum, ob diese Klasse A (identisch) null ist, oder nicht, und müssen die an bestimmte Voraussetzungen über das fragliche oder „ problematische “A an - zuknüpfenden Schlüsse eben die beiden Möglichkeiten in Sicht behalten.
Aus diesem Grunde liessen wir in unsrer Theorie das Urteil a, nämlich auch den in Worte gekleideten Satz: „ Alle A sind B “für gleichbedeutend gelten mit dem Satze: „ Alle A, sofern es welche gibt, sind B “und erkennen denselben auch unbedingt für richtig an für den88Siebzehnte Vorlesung.Fall, wo es gar keine A geben sollte (sei es in der Mannigfaltigkeit des zu denken Möglichen überhaupt — immerhin jedoch mit der Beschränkung, die durch die Forderung einer „ gewöhnlichen “Mn. charakterisirt wurde, vergl. § 7, 9 und 16 — sei es in der des realen, faktischen, thatsäch - lich Wirklichen — je nach dem Felde auf dem wir uns eben mit den Untersuchungen bewegen).
Die Subsumtion: A ⊆ B, oder die nach Th. 38×) mit ihr äqui - valente Gleichung: A B1 = 0 ist alsdann die exakte Wiedergabe des Urteils a in der Zeichensprache unsres Kalkuls. Dass wir diese Sub - sumtion für den Fall A = 0 anzuerkennen auch durch die Konsequenz genötigt sind, wurde schon wiederholt betont. Vergl. § 9, ρ, σ).
Auch wenn die Klasse A nur ein Individuum enthält, das Urteil a also ein „ singuläres “ist, bleibt das Gesagte in Kraft, und schliessen wir uns damit in der That nur der allgemeinen Gepflogenheit in der Logik an, die singulären Urteile mit zu den universalen zu rechnen, sie unter diese zu subsumiren. Auch hier in der That gibt das Urteil eine Aussage ab über die ganze Subjektklasse, was als das Wesen der Universalität des Urteils angesehen wird.
Dasselbe, was bei den universal bejahenden Urteilen soeben aus - einandergesetzt worden, wäre nun auch in Bezug auf die universal ver - neinenden zu bemerken. Auch den Satz e, oder: „ Alle A sind nicht-B “müssen wir hier für richtig anerkennen, wenn es keine A gibt, wenn das Subjekt A die 0 bedeutet, A = 0 ist.
Das Urteil e wird hienach in unserm Kalkul mit A ⊆ B1 oder A B = 0 angemessen dargestellt. —
Über den Sinn des unbestimmten Zahlworts „ einige “(auch: „ etliche, gewisse, manche “und mit einer noch ausserdem hinzutretenden Zahl - bestimmung: „ wenige, viele “) schwankt der Sprachgebrauch.
Dasselbe kann gebraucht werden im Gegensatz zu „ alle “, im Sinne also von „ nicht alle “oder „ nur einige “. Diese, wol im ganzen seltenere Verwendungsweise schliessen wir hier aus. Sollten wir das im Sinne haben, so sagen wir ausdrücklich „ nur einige “— denn hier wird es unerlässlich, wenn von „ einige “gesprochen wird, damit allemal den - selben, einen einheitlichen oder „ ganz bestimmten “Sinn zu verknüpfen. Der Sinn kann Manches unbestimmt oder offen lassen, doch muss dies immer auf die gleiche Weise geschehen, und nicht bald so bald anders; das Unbestimmte muss in ein bestimmt abgegrenztes Gebiet ein - gehegt sein.
Immer wird das Wort „ einige “gebraucht im Gegensatz zu „ keine “,89§ 33. Fortsetzung. Modifizirte Deutung universaler Urteile.für nicht-keine oder mindestens eines, wie dies auch das lateinische non-nulli durch seine Zusammensetzung zu erkennen gibt. Und dies ist der Sinn, den wir hier unentwegt festhalten werden.
Damit ist gesagt, dass wenn von „ einigen “Individuen die Rede sein wird, diese sich insbesondere auch in der Einzahl befinden können.
Im gewöhnlichen Leben kann auch dieses anstössig erscheinen. Es könnte Jemand, der vor Gericht eidkräftig erklärt hat, er sei am hellen Tage von „ einigen “Individuen überfallen und durchgeprügelt worden, ris - kiren, wegen falschen Zeugnisses zur Verantwortung gezogen zu werden, wenn die Untersuchung schliesslich herausstellt, dass der Überfall nur von einem Individuum verübt worden. Dies rührt daher, dass „ einige “manchmal auch synonym gebraucht wird mit „ mehrere “, welches den Gegensatz ausdrückt zu » einem oder keinem «. Genau genommen müsste man aber, sollte ein Fall der geschilderten Art wirklich vorkommen, gegen den Leiter der gerichtlichen Ver - handlungen alsdann den Vorwurf erheben, die präzise Fragestellung an den Zeugen versäumt zu haben.
In ingeniöser Weise veranschaulicht Mr. Peirce die Tragweite, den genauen Sinn der (hier) mit
den vier Urteilsformen a, e, i, o zu verknüpfen ist, durch eine der oben - stehenden ähnliche Figur.
Ich will die vier Quadrate in welche das ganze Quadrat vor - stehend zerlegt erscheint, kurz als „ Quadranten “bezeichnen. Dann wird der Satz:
gelten für die beiden oberen Quadranten, und zwar ausdrücklich auch für den ganz leeren rechts oben, in welchem sich gar keine Striche befinden. Der Satz:
gilt für die beiden Quadranten rechterhand, und insbesondere auch wieder für den leeren. Der Satz:
gilt für die beiden Quadranten linkerhand und namentlich auch für den links oben, in welchem nicht „ nur einige “, sondern sogar „ alle “Striche scheitelrecht stehen. Endlich der Satz:
gilt für die beiden untersten Quadranten und zwar ausdrücklich auch für den rechts unten, in welchem nicht blos einige sondern sogar alle vorhandenen Striche schief stehen.
90Siebzehnte Vorlesung.Die vorstehenden Konventionen, zu welchen wir, wie auseinander - gesetzt, durch die Konsequenz genötigt sind, haben aber in der That einen Misstand im Gefolge. Es ist der Umstand, dass nun mitunter das Wort „ einige “mehr besagen wird als „ alle “, denn dieser letztern können es auch „ keine “sein, während jener erstern „ mindestens eines “sein muss. Nach unsern Festsetzungen fiel „ alle A “mit „ kein A “zu dem Begriffe des „ Nichts “zusammen, wenn es die A überhaupt nicht gibt; es schliessen hier „ alle “und „ keine “einander nicht unbedingt aus, während „ einige “und „ keine “dieses unbedingt thun. Als misslich ist dieser Umstand, dass nun mit „ einige A “eventuell mehr A gefordert oder gesetzt werden sollen, als mit „ alle A “, insofern zu bezeichnen, als er höchlich dem Sprachgefühl zuwiderläuft.
In der gewöhnlichen Umgangssprache nun macht sich dieser Miss - stand allerdings nicht fühlbar — weil hier der Fall, dass ein Ding, worüber man spricht, nicht existirt oder gar, nicht denkbar wäre, nicht vorzukommen pflegt — so wenigstens in der Meinung Derer, die davon sprechen — sonach der anstössige Fall hier ohnehin sich still - schweigend ausgeschlossen findet.
In der Wissenschaft jedoch muss man an dergleichen Degenerations - fällen — den Fällen, wo einzelne Begriffswörter von dem ursprünglich für sie beabsichtigten Sinne anscheinend oder wirklich „ ausarten “(näm - lich ganz andern Zwecken als den bei ihrer Bildung vorschwebenden konsequenterweise dienstbar werden, indem man jene dabei gar nicht mit vor Augen hatte) — sich nicht weiter stossen. Hier ist äusserste Strenge im konsequenten Festhalten an den allgemeinen und als solche wohlmotivirten Festsetzungen in erster Linie maassgebend; sich die Vor - teile solcher Konsequenz zu sichern bleibt hier oberster Gesichtspunkt.
Es mag in dieser Beziehung erinnert werden an die „ Segmente “bei subtraktiver Teilung einer Strecke, wo doch auch der eine „ Abschnitt “grösser ist als die ganze Strecke — während so manche andere Gebilde der Geometrie, wie die unendlich entfernte Gerade resp. Ebene, der ima - ginäre Kugelkreis etc., gewiss in noch viel höherem Grade den Anfänger paradox anmuten — von derartigen Gebilden der Algebra ganz zu geschweigen.
Die universalen Urteilsformen a und e haben wir oben mit dem Zeichensystem, über das wir bislang verfügten, zur Darstellung ge - bracht, wir haben sie in Formeln gesetzt, in die Zeichensprache unsres Kalkuls übersetzt oder eingekleidet.
Es zeigt sich, dass ohne weiteres in der That nur bei diesen solches möglich ist — so wenigstens auf dem Standpunkte, auf welchem wir vor dem Aussagenkalkul mit § 28 angelangt waren — und wollen wir91§ 33. Boole’s Kalkul unfähig, partikulare Urteile darzustellen.jetzt an die Frage herantreten, wie denn hier auch die partikularen Urteilsformen i und o wiederzugeben sein würden?
Für den Bedarf unsres bisherigen Klassenkalkuls haben vollkommen ausgereicht: die beiden Beziehungszeichen der Subsumtion und der Gleich - heit und die Operationen der drei Spezies (Multiplikation, Addition und Negation) als ausgeführt an Klassen.
Hier ist nun zunächst die Thatsache zu konstatiren: dass mit diesen Mitteln allein die partikularen Urteile nicht ausgedrückt werden können, dass also mit jenen beiden Beziehungszeichen und diesen drei Operationen, ausgeführt an den zum Subjekt und Prädikatbegriffe gehörigen oder beisteuernden beiden Klassen A, B und irgend welchen andern Klassen das gesteckte Ziel sich unmöglich erreichen lässt.
Boole und nach ihm Jevons haben allerdings geglaubt, dies zu ver - mögen — ein Irrtum, welchen ebenfalls geteilt zu haben Miss Ladd 1 pag. 24 implicite mir fälschlich zuschreibt.
Die erstgenannten wähnten durch eine Gleichung: w A = w B, in welcher w ein unbestimmtes Klassensymbol vorstellt, das Urteil i dar - stellen zu können: einige A sind B.
Dass aber solches nicht angängig ist, erkennt man augenblicklich, sofern man nur bemerkt, dass speziell für w = 0, desgleichen für w = A B, die obige Gleichung immer identisch erfüllt ist — ob einige A auch B sein mögen, oder nicht.
Es kann daher, solange man die Bedeutung von w offen lässt, durch die Gleichung w A = w B keine Relation zwischen A und B ausgedrückt werden. [In der That gibt Elimination von w aus ihr blos 0 = 0 zur voll - ständigen Resultante.]
Wollte man aber vielleicht fordern, dass mit w die Vorstellung einer Klasse verknüpft werde, welche eben diejenigen unter den A enthält, die B sind, somit auch diejenigen unter den B, die A sind, eine Klasse, die wir kürzer A B nennen mögen und bei welcher nur zu unterstellen bleibt, dass sie keine leere, d. i. von 0 verschieden ist, so würde zu entgegnen sein, dass eben diese Unterstellung die Hauptsache ist: Einige A müssen B sein, sobald die Klasse A B keine leere, nicht gleich 0 ist, sowie um - gekehrt — und dass, wenn solches feststeht, der Ansatz w A = w B ganz entbehrlich, eine überflüssige Weitläufigkeit wird. Gerade das Wichtigste zu einem blos mental zu ergänzenden Anhängsel, einem mit Stillschweigen übergangenen Vorbehalte von einer nichtssagenden Formalie zu machen, kann sich unmöglich empfehlen.
Der allgemeinste Ausdruck für diejenige Klasse w, welche bei ganz beliebig gegebenem Wertepaare A, B die Gleichung w A = w B schon ohnehin erfüllt, würde beiläufig sein w = u (A B + A1 B1), worin u eine arbiträre Klasse bedeutet.
92Siebzehnte Vorlesung.Boole hat zuerst sogar verschiedene unbestimmte Faktoren links und rechts in seiner Gleichung verwendet, hat für i geschrieben: u A = v B und dann bemerkt, dass man unbeschadet der Allgemeinheit für u und v das nämliche unbestimmte Symbol w beiderseits verwenden könne.
Es bedarf kaum noch des Hinweises, dass auch hierdurch nichts ge - wonnen wäre. Die Gleichung ist für irgend welche (auch für einander ausschliessende) A und B schon ohnehin erfüllt durch u = B z + A1 x, v = A z + B1 y, oder, was ebenso allgemein, der Form nach aber etwas weniger einfach er - scheint, durch: u = A B z + A1 x, v = A B z + B1 y, wo x, y, z vollkommen willkürlich. [Man braucht in der That nur in der ersten Form A B z für z zu nehmen, um die letztere, in dieser B z + x, A z + y für x, y zu nehmen, um die erstere zu gewinnen.] Und zwar würde nebenbei gesagt, sich nachweisen lassen, dass sie hierdurch auf die allge - meinste Weise erfüllt wird. Vergl. etwa § 25 Aufgabe 20, und anderes.
Die erwähnten Versuche zur Darstellung der partikularen Urteile im identischen Kalkul sind hienach als misslungen zu bezeichnen.
Die Unmöglichkeit lässt allgemein sich leicht darthun durch die folgende Überlegung:
Gesetzt das partikulare Urteil „ Einige A sind B “lasse überhaupt sich ausdrücken durch ein System von Subsumtionen oder auch Gleichungen, in welche die Klassen A und B nebst vielleicht irgend welchen andern Klassen u, v, w, … eingehn, so würde dieses System von Relationen nach Th. 24+) und den Ergebnissen des § 19 äquivalent sein mit seiner „ ver - einigten “Gleichung, und diese, rechts auf 0 gebracht, müsste die Form haben: f (A, B) = 0, wo man das Polynom linkerhand auch linear nach A und B entwickeln könnte in der Form: x A B + y A B1 + z A1 B + t A1 B1 = 0, in welcher die Koeffizienten x, y, z, t von A und B unabhängig erschienen.
Diese Relation müsste, was auch A B1, A1 B und A1 B1 für Werte haben mögen, erfüllt sein, sobald nur A B von 0 verschieden. Im Hinblick auf Th. 24+) müssten daher die drei letzten Terme linkerhand allgemein ver - schwinden, sonach — cf. § 25, 21. Studie*)Diese wäre naheliegend noch etwas zu vertiefen, da ein Wert A = 0, oder B = 0 jetzt ausgeschlossen. — müssten ihre Koeffizienten y, z, t gleich 0 sein, und wäre durch geeignete Bestimmung des von A, B unabhängigen Koeffizienten x überdies zu bewirken, dass x A B = 0 ist, so - bald A B von 0 verschieden, dagegen nicht gleich 0 wird, sobald A B = 093§ 33. Partikulare Urteile dem Boole’schen Kalkul unzugänglich.sein sollte. Durch diese Forderung treten wir aber in Widerspruch zu Th. 22×), welches unbedingt x · 0 = 0 anzuerkennen fordert. Somit ist die behauptete Unmöglichkeit erwiesen.
Im Grunde könnten wir schon dieses Beweises uns überhoben erachten, solange das Geforderte eben niemand zu leisten vermag.
Nach dem Vorangehenden wird nun ein Zeichen für nicht-gleich, zu schreiben ≠, (oder einer von den möglichen Stellvertretern des - selben, wie ⊆, vergl. § 36) erforderlich und hinreichend sein, dem Mangel abzuhelfen. In der That wird A B ≠ 0 das Urteil i ausdrücken: „ Einige A sind B “— also auch: „ Einige B sind A “— eine Darstellung, die gegenüber dem Worttexte neben dem Vorzug der Kürze auch denjenigen besitzt, eine symmetrische Beziehung auch symmetrisch wiederzugeben (insofern nach dem Kommutationsgesetze B A und A B ohnehin für einerlei gilt).
Desgleichen wird der Ansatz: A B1 ≠ 0 aussagen, was o: „ Einige A sind nicht B “.
Wesentlich erscheinen diese partikularen Urteile — die „ bejahenden “sowol als die nach der herrschenden Terminologie als „ verneinende “hinzustellenden — doch als „ bejahende Existenzialurteile “: Es gibt A die B (resp. nicht B) sind — wird ein den vorstehend kursiv gedruckten äquipollentes Urteil sein.
Z. B. für A = Säugetier, B = eierlegend, ist der Satz: Einige Säuge - tiere legen Eier, logisch gleichbedeutend mit dem Satze: Es gibt eierlegende Säugetiere (bekanntlich die Schnabeltiere, Ornithorhynchen, und noch ge - wisse andre Edentaten Australiens und Neuguineas).
Einige Metalle schwimmen auf dem Wasser, =: Es gibt Metalle, die auf dem Wasser schwimmen (resp., wenn man will, die im Wasser nicht untergehen) — wie bekanntlich Kalium, Natrium und andre „ Leichtmetalle “.
Auf der ersten Etappe in der Entwickelung unsrer Disziplin, wie sie mit Bd. 1 zu einem Abschlusse gekommen, nämlich erst über die Zeichen = und ⊆ verfügend, vermochten wir nur die „ verneinenden “Existenzialurteile in Rechnung zu setzen. Fortan sind auch die be - jahenden in unsre Zeichensprache einkleidbar und der Rechnung zu - gänglich.
Zu dem Ende war es nur nötig, ein Zeichen einzuführen, welches wie ≠ oder ⊆ den Wert einer „ verneinenden Kopula “hat. Den Be - sitz einer solchen haben wir in § 15 mit guten Gründen der Wort - sprache abgesprochen, und es wird auch ein Vorzug des Kalkuls bleiben, dass er über sie verfüge.
94Siebzehnte Vorlesung.Wie in der That es schon im identischen Kalkul ein Postulat gewesen ist, dass man jedes Gebiet negiren, seine Ergänzung, Nega - tion bilden könne, so muss es fortan auch im Aussagenkalkul als ein Postulat anerkannt werden, dass man zu jeder Aussage auch deren Verneinung, Negation bilden könne.
Und als Verneinung der Gleichung a = b, sonach als (a = b) 1 wurde schon in § 31 die Ungleichung a ≠ b definirt.
Dass aber diese Operation des Negirens, von welcher wir in Be - zug auf Aussagen „ systematisch “im Klassenkalkul noch nicht Gebrauch gemacht haben, weil eben hiezu in diesem noch keine Nötigung vor - lag (allerdings aber aus didaktischen Gründen bereits häufig im er - läuternden Worttexte) — dass diese Operation fortan eine unentbehr - liche ist, wofern wir die letzten Ziele unsrer Theorie erreichen wollen, dies dürfte schon aus den bisherigen Betrachtungen erhellen.
Selbst für den Aussagenkalkul, für den wir als Kalkul mit Aussagen konstanten Sinnes in § 32 die Entbehrlichkeit des Ungleichheitszeichens erkannt haben, dürfte aus der Einführung des letztern ein Gewinn zu er - hoffen sein, indem es vielleicht auf Grund derselben möglich werden wird, auch für die Aussagen von mit der Zeit fliessendem, fluktuirendem oder variirendem Sinne bei konstantem Wortlaut (vgl. § 28) bestimmte Rech - nungsregeln aufzustellen. Jedenfalls vermögen wir auch solche Aussagen noch vermittelst dieses Zeichens wenigstens auszudrücken. Konnten wir vermittelst des Ansatzes A = i oder A1 = 0, resp. A = 0 oder A1 = i schon vordem statuiren, dass eine Aussage A stets resp. nie gelte, dass sie eine „ zeitlich universale “sei, so werden wir jetzt auch in der Lage sein, auszudrücken, dass die Aussage A manchmal, mitunter, zeitweilig gelte resp. nicht gelte, dass sie „ nach der Dimension der Zeit (in ihrer zeitlichen Erstreckung) partikularen “Charakter habe, und zwar in Gestalt des An - satzes: A ≠ 0 oder A1 ≠ i resp. A1 ≠ 0 oder A ≠ i. Wir wollen jedoch an dieser Stelle hierauf nicht weiter eingehen.
Als Quintessenz, sozusagen Moral, der vorstehenden Überlegungen wollen wir nur die Wahrnehmung statuiren: dass die Beziehungen, an deren Betrachtung wir uns bislang genügen liessen, nicht das ganze Gebiet der für die Logik des Umfanges wichtigen Beziehungen er - schöpfen, dass vielmehr noch Lücken in diesem Betreff auszufüllen sind.
Und diese Wahrnehmung mag uns veranlassen, nunmehr zu forschen nach dem vollständigen System jener Beziehungen, die Frage aufzuwerfen: in wie vielerlei und was für Beziehungen zwei Gebiete, Klassen A, B (oder auch Begriffe hinsichtlich ihres Umfanges, in ex -95§ 34. Die fünf Elementarbeziehungen Gergonne’s.tensiver Hinsicht) überhaupt zu einander stehen können? — sodann die Anfangs nur als Studium der Subsumtionsbeziehung ⊆ hingestellte Hülfsdisziplin des identischen Kalkuls über dieses umfassendere Unter - suchungsfeld auszudehnen.
Indem wir der am Schluss des vorigen Paragraphen aufgeworfenen Frage zunächst mit der Anschauung näher treten, wollen wir streng „ dichotomisch “verfahren, d. h. bei der Aufzählung der zwischen zwei Gebieten A, B denkbaren Beziehungsmöglichkeiten immer je zwei Ab - teilungen machen, wovon die eine dem Fall entspricht, dass ein ge - wisses Merkmal zutreffe, die andere dem Falle, wo dies nicht der Fall ist. Auf diese Weise werden wir nach dem Satz des ausgeschlossenen Dritten die Sicherheit erlangen, dass keine Möglichkeit übersehen oder ausgelassen wird. Vergl. § 16.
Zwei Gebiete A und B haben entweder keinen Teil gemein (Fall „ a “), oder sie haben einen Teil gemein (Fall „ a1 “). *)Wir sehen damit gänzlich ab von der mit den Buchstaben a, e, i, o im vorigen Paragraphen verknüpften herkömmlichen Bedeutung.
(Ein drittes ist nicht denkbar.)
Im letztern Falle ist der gemeinsame Teil entweder A selbst (Fall a10), oder er ist es nicht (Fall a11).
Im erstern Unterfall a10 treten die zwei Möglichkeiten auf, wo der gemeinsame Teil (zugleich auch) B ist (Fall a100), und wo er es nicht ist (Fall a101).
Im zweiten Unterfall a11 ebenso: der gemeinsame Teil kann B sein (Fall a110) oder auch B nicht sein (Fall a111).
Demnach haben wir folgende fünf Möglichkeiten (von viererlei „ Art “, weil eine bezüglich A und B unsymmetrisch ist, und doppelt — durch a101 und a110 — vertreten erscheint):
Dieselben können versinnlicht werden durch die folgenden Figuren, zu96Siebzehnte Vorlesung.welchen wir der Übersicht wegen sogleich die für den betreffenden Fall jeweils charakteristischen Formeln hinzusetzen, Fall a.
Hier ist A B = 0.
| Fall a100 = δ | Fall a101 = γ | Fall a110 = β | Fall a111 = α |
| A B = A = B ≠ 0 | A B = A ≠ 〈…〉 | A B = B ≠ 〈…〉 | A B ≠ 〈…〉 |
Die 5 erwähnten Beziehungen, in welche A und B zu einander treten können, nennen wir die „ Elementarbeziehungen “unsres Gebiete - kalkuls, sowie überhaupt einer Logik des Umfanges.
In den vier letztern Fällen, zu deren Bezeichnung wir zugleich die bequemeren Namen δ, γ, β, α eingeführt haben, wenden wir zu - nächst eigentümliche Beziehungszeichen an, und zwar bezüglich wie folgt:
| A = B | A ⊂ B | A ⊃ B | A ⊆ B |
| gelesen: | |||
| A gleich B | A untergeordnet B | A übergeordnet B | A schnittig mit B |
| identisch | subordinirt | superordinirt | sekant |
| d | f | e | g |
doch werden sogleich zwingende Gründe zutage treten, diesen letztern Propositionen grösstenteils noch eine weitergehende Bedeutung beizulegen, also dass die Fälle d, f, e mit denen δ, γ, β sich nicht völlig decken, nämlich zwar mit ihnen gegeben sind, aus ihnen folgen, aber umge - kehrt, sie nicht unbedingt nach sich ziehen, wogegen allerdings g mit α vollkommen zusammenfällt.
Dieses Auseinandergehen, diese Diskrepanz der Urteile d, f, e mit den die Elementarfälle statuirenden Aussagen δ, γ, β ist die unver - meidliche Wirkung der früher von uns vollzogenen Adjungirung der Null, welche ja ihrerseits eine wohlmotivirte war und vollzogen werden97§ 34. Elementar - und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.musste, um die identische Multiplikation A · B zu einer allgemein an - wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen.
Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung 0 = 0 als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für A = B = 0 auch A B = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu a1 (und folglich auch nicht zu a100 oder δ), sondern zu a.
Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles A = 0 bei f und des Falles B = 0 bei e Bestimmungsgründe vor.
Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro - positionen 0 ⊆ B, A ⊆ 0 aufzustellen — cf. Def. (2×) — und sollte eine solche Subsumtion 0 ⊆ B nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = B oder aber 0 ⊂ B sei. Sooft nun also nicht gerade B = 0, das heisst, sooft B ≠ 0 ist, müssen wir auch: 0 ⊂ B, entsprechend desgleichen A ⊃ 0 für ein von 0 verschiedenes A, stets gelten lassen. In diesen beiden Fällen ist nun aber wiederum A B [= 0 · B resp. A · 0] = 0, sodass sie unter a, nicht aber unter a1 und γ, resp. β, fallen.
Die Zeichen =, ⊂, ⊃ wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt und gerechtfertigt. Das Zeichen ⊆, in dessen Wahl ich mit Wundt zu - sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst nicht un - geeignet erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist — nicht nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich - tungen verschieden zu gestalten — sondern auch, was erheblicher, in Be - zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden Ausdrücken darzustellen hat: sooft A ⊆ B, wird auch B ⊆ A sich als gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres, wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen als das allergeeignetste dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten A und B bestehende Beziehung in sich abbildet, den wesentlichen Teil der Figur 16 kopirt: man braucht die divergirenden Äste eines jeden der beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt zu denken, sei es in’s Unbegrenzte, sei es — noch besser — so, dass sie etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon - turen der Gebiete A und B vollständig in dem Zeichen erblicken, undSchröder, Algebra der Logik. II. 798Siebzehnte Vorlesung.sehen, wie sie je nur einen Teil ihrer Fläche gemein haben. Das Zeichen gibt aber nur den wesentlichen Teil der Figur wieder: es drückt die Exi - stenz des gemeinsamen Gebietes A B dadurch aus, dass es dieses vollstän - dig in seiner Mitte dem Blick darbietet, zugleich lässt es erkennen, dass A sowol als B noch über diesen gemeinsamen Teil A B hinausgehen („ overlap “) — wie weit noch? dieses eben lässt unser Zeichen — als für die Beziehung nebensächlich — offen, dies allein verschmäht es, fertig auszudrücken. Das Zeichen besitzt in der geschilderten Hinsicht sogar einen Vorzug vor den Über - und Unterordnungszeichen, in Bezug auf welche wir bereits Bd. 1, S. 131 auseinandergesetzt haben, dass und warum ein ebenso getreues Nachbilden der Figur hier nicht angängig erscheint*)Auf diesem Umstand beruht es wol schon vonhause aus, dass schwer - lich das Ideal eines vollkommen ausdrucksvollen und zugleich konsequenten Be - zeichnungssystems für alle unsre Beziehungen überhaupt zu verwirklichen sein möchte. Vielmehr ist mit einem kleinen Kompromisse vorlieb zu nehmen: Vom Zeichen ⊆ ist insbesondre zu merken, dass dasselbe als ein einfaches oder ursprüngliches zu gelten habe. Dasselbe darf nicht etwa als ein aus ⊃ und ⊂ zusammengesetztes angesehen und mit: ⊂ oder ⊃ gedeutet werden, so wie uns z. B. bisher zu gelten hatte: 〈…〉 Als eine fernere Unvollkommenheit unsres Systems von Beziehungszeichen verhehle ich mir auch keineswegs, betone ich vielmehr diesen Umstand: dass wenn wir ein solches als Alternative zusammengesetztes Zeichen mittelst verti - kaler Durchstreichung negiren, wobei nach Th. 36) gelten muss: 〈…〉 auch keineswegs die Alternative zwischen den beiden Beziehungen ⊄ und ≠, deren Zeichen sich doch aus dem resultirenden ⊆ herauslesen lassen, demselben als Bedeutung wird untergelegt werden dürfen, sondern vielmehr das Bestehen jener beiden Beziehungen hier als ein gleichzeitiges gefordert wird! Unschwer könnten unsre Bezeichnungsprinzipien auch als solche formulirt und durch gewisse Regeln (als Exceptionen) so verklausulirt werden, dass allge - mein jede missverständliche Deutung der Zeichen ausgeschlossen wäre. Doch scheint es mir schon ausreichend, jene Prinzipien stillschweigend bei der indivi - duellen Einführung der einzelnen Zeichen nur einfach zu bethätigen. Die Unver - meidlichkeit solcher Exceptionen thut dem rationellen und mnemonischen Cha - rakter unsres Bezeichnungssystems keinen Eintrag, und enthält den Hinweis, dass man, wie zumeist auch sonst im Leben, so auch auf diesem Felde, eben mit einem Kompromisse sich zu begnügen habe. Solcher bleibt der baaren Systemlosigkeit doch bei weitem vorzuziehen., und wie man sich dafür zu behelfen hat. Ebenso wie diese ist es eminent mnemonisch.
Eine Proposition der vierten Art g, = α, das ist eine Aussage der Form A ⊆ B mögen wir eine „ Schnittbeziehung “nennen. Leider fehlt ein international verwendbar erscheinendes Fremdwort, indem „ Sektion “anderweitig ver -99§ 34. Elementar - und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.geben ist, Tmēsis zu unbequem auszusprechen. Vielleicht würde „ Inter - sektion “schon einigen Beifall finden. Am liebsten möchte ich die Neu - bildung „ Sekanz “riskiren, die wenigstens Anklänge findet, ohne selbst lateinisch zu sein, doch im Latein zahlreiche Analoga besitzt. Die ältere Logik scheint solche Beziehungen ganz ausser Betracht gelassen zu haben, weshalb ein Name von alter Übung nicht zu finden ist. In neueren Werken begegnet man zuweilen für die in jene Beziehung eingehenden (eventuell den Klassen A, B zugeordneten) Begriffe dem Namen der „ kreuzenden “oder Kreuzungsbegriffe, und wir könnten darnach auch von der gedachten Beziehung als von einer „ Kreuzung “reden.
Es erschiene dies nicht ganz unpassend, wenn dabei nur etwa an die Kreuzung zwischen Pflanzenspezies oder von Rassen aus dem Tierreiche gedacht wird. Dagegen verstiesse es höchlich gegen den mathematischen Sprachgebrauch, welchen wir für unsre Disziplin einer Berücksichtigung in erster Linie würdig erachten.
In Geometrie etc. wird der Fall, wo zwei Gebilde z. B. Körper, Flächen oder Linien sich mit nur einem Teile ihrerselbst gegenseitig durch - dringen, regelmässig als ein Schneiden derselben bezeichnet und der gemein - same Teil heisst die Schnittfigur; so schneiden sich zwei Gerade in einem Punkt, zwei Flächen zumeist in einer Linie, etc. Das Wort wird nicht gebraucht, wenn die Schnittfigur mit dem einen Gebilde selbst zusammen - fällt, das eine also ganz im andern liegt: man sagt nicht: der Punkt schneide die Ebene, in der er liegt, und wenn gesagt wird, eine Gerade schneide eine Ebene, so ist damit ausdrücklich der Fall ausgeschlossen, wo die Gerade in die Ebene hineinfällt. Dieser Sprachgebrauch entspricht also vollkommen der hier in Betracht kommenden Beziehung.
Als einander „ kreuzende “Gerade z. B. werden dagegen solche Gerade in der Geometrie bezeichnet — entgegen wol dem Sprachgefühl im ge - meinen Leben — die ohne einen Punkt gemein zu haben (und ohne in ein - unddieselbe Ebene zu fallen) im Raume an einander vorbeigehen — ein Fall, der nicht in α sondern in a sein Analogon fände.
Aus diesem Grunde — um hier nicht Verwirrung zu stiften, resp. die schon vorhandene zu vermehren — werden wir uns der eben erwähnten Benennung entbalten.
Will man die Urteile d, f, e, g in der Wortsprache darstellen, so kann dies ohne Abweichung vom Sprachgebrauche nur mittelst je zweier Sätze geschehen, und zwar:
Oder man muss gar für den letzten Fall zu drei Sätzen seine Zuflucht nehmen, als da sind:
7*100Siebzehnte Vorlesung.Uber den Sinn dieser Aussagen in den auch hier bei d, f, e zu - lässigen Degenerationsfällen wo es keine A (oder auch nur ein A) resp. B gibt, ist der vorige Paragraph nachzusehen.
Es gelingt, dieselben Beziehungen auch je durch einen einzigen Satz auszudrücken, wenn man sich — über den Sprachgebrauch hinaus - gehend — eines Verfahrens bedient, welches W. Hamilton*)Die Priorität gebührt nach Jevons11 dem Botaniker G. Bentham. aufgebracht, und von welchem Jevons und Andere viel Aufhebens gemacht haben. Dasselbe wird die Quantifikation des Prädikates genannt, und besteht darin, dass man auch dem Prädikate (wie schon innerhalb des Sprach - gebrauchs den verneinenden Artikel „ keine “, so ausserhalb desselben) die Zahlbestimmung „ alle “oder „ einige “beigesellt.
Hierdurch bekommen wir für:
Man kann auch die Partikel „ nur “fortlassen, wenn man en bloc erklärt, dass hier „ einige “auch im Gegensatz stehen solle zu „ alle “.
Im übrigen sollten diese Urteile als umkehrbare, konvertible gelten (wie früher, vergl. Bd. 1, S. 242, wenn wir sagten: „ dies ist alles “, oder: „ dies ist einiges von dem, was man schuldet “, oder dergleichen), die Kopula „ sind “sollte also die Kraft des Gleichheitszeichens haben, das Urteil die Identität von Subjekt und Prädikat statuiren. Es wird sich jedoch sogleich zeigen, dass dieses nicht durchaus angängig.
Bei „ alle A “und „ alle B “muss wieder auch der Fall zugelassen sein, dass solche gar nicht in Betracht kommen können, weil es sie gar nicht gibt, dass also die Bedeutung der betreffenden Klasse 0 oder „ nichts “ist.
Bei d hat dies keine Schwierigkeit im Gefolge. Dagegen bei f und e müsste man entweder zugeben, dass „ nur einige “B resp. A sich auch auf 0 reduziren dürften — entgegen den fundamentalen, die Bedeutung von „ einige “stipulirenden Festsetzungen — oder man muss die Sätze f, e — anstatt, wie gesagt, als Gleichungen — in diesen Grenzfällen doch nur als Subsumtionen auffassen, den letztern e dann umkehrend in: Alle B sind nur einige A.
Am ungezwungensten würde man sagen:
101§ 34. Die fünf Elementarbeziehungen.und analog e, nur mit vertauschtem A und B; indessen hätten wir dann abermals nicht einfache Sätze.
Am besten wird man auf das ganze Kunststück verzichten, indem dasselbe augenscheinlich zuwiderläuft dem Grundsatze des „ Quidquid de omnibus valet, valet etiam de nonnullis ac de singulis “.
Gilt nämlich z. B. „ Alle A sind alle B “, so wird doch (die An - zahl der A grösser als 1 vorausgesetzt) gerade nicht gelten dürfen: Jedes A ist alle B, und ebensowenig zu gelten brauchen: Einige A sind alle B!
Jener Grundsatz aber beherrscht doch nun einmal notorisch unser gesamtes Denken in Worten, und es kann nicht nur nicht vorteilhaft, sondern auch nicht einmal unbedenklich sein, denselben mittelst der „ Quantifikation des Prädikates “durchbrechen zu wollen. Der Versuch erscheint mir als einer der Ausflüsse einer weitverbreiteten Tendenz (in der auch Jevons vielfach sündigt), die Kopula gewaltsam als Gleichheitszeichen zu deuten, das (in Wahrheit Subsumtions -) Urteil als eine Identitätsbehauptung hinzustellen.
Für die „ Elementarbeziehungen “δ, γ, β hätten wir noch, analog, die Formulirung:
Auch diese letztern drei Beziehungen vermittelst eigener Be - ziehungszeichen darzustellen, werden wir selten Veranlassung haben. Man mag etwa dieselben drei Zeichen, wie oben bei d, f und e wählen, zur Unterscheidung nur mit einer darübergesetzten kleinen 0 versehen, sodass (wenn wir vorgreifend auch noch den Fall a mit seinem später zu motivirenden eignen Beziehungszeichen mit aufnehmen) wir die folgende Übersicht haben:
I0. Tafel der Elementarbeziehungen.
worin uns die drei ersten an die früheren Beziehungen erinnern mit102Siebzehnte Vorlesung.dem Zusatze, dass das Verschwinden, Nullsein jedes Terms zur Linken oder Rechten ausgeschlossen werde. Für den terminus major, das Prä - dikat der Unter - oder Überordnung f resp. e wird sich dies ohnehin verstehen — siehe weiter unten, § 35, 40) und 40) '— aber für den terminus minor, das Subjekt — mithin für eben den Term, gegen welchen die über das Zeichen gesetzte 0 herabzugleiten droht — muss dies ausdrücklich ausgeschlossen werden, und zeichnet gerade durch diese Ausschliessung die Elementarbeziehung oder „ elementare Unter - ordnung “sich aus vor der Unterordnung (schlechtweg) f, die „ elemen - tare Überordnung “β vor der Überordnung e. Ebenso hebt sich die „ elementare Gleichsetzung “vermittelst des Zeichens ≗ („ elementar gleich “) von der gewöhnlichen Gleichsetzung, vermittelst =, dadurch ab, dass sie die zu vergleichenden Dinge als existirend setzt, hinstellt oder voraussetzt, auf Nullen also nicht anwendbar ist, wogegen die letztere diese Frage nach der Existenz (innerhalb des Untersuchungs - feldes) des Verglichenen offen lässt.
Im Gegensatz, grösstenteils, zu den 5 „ Elementarbeziehungen “be - zeichne ich die durch die Formeln d, f, e, g dargestellten als „ Grund - beziehungen “. Diese letztern umfassen also diejenigen Modifikationen, welche an den Elementarbeziehungen zufolge Adjunktion der Null an - zubringen waren. Die Mannigfaltigkeit der „ Grundbeziehungen “wird aber mit dem Bisherigen noch nicht ganz abgeschlossen sein.
Wir erinnern zunächst, dass behufs Anlehnung an die Wortsprache ein Beziehungszeichen eingeführt werden musste, welches die Kopula des Urteils wiedergibt. Das Subsumtionszeichen ⊆ und seine Um - kehrung ⊆ (die man das Supersumtionszeichen nennen könnte), diese beiden verdienen sicherlich, unter die Zeichen der logischen „ Grund - beziehungen “aufgenommen zu werden. Und dies nicht nur wegen ihrer Wichtigkeit als Bindeglieder zwischen Sprache und Kalkul, sondern auch unter dem vorhin betonten Gesichtspunkte:
Der aus zwei Elementarfällen zusammengesetzte Kollektivfall a10 = a100 + a101 statuirt in der That, dass zwischen A und B eine Sub - sumtion, Einordnung A ⊆ B stattfinde; doch ist hiermit die Bedeutung dieser letzteren wieder nicht erschöpfend angegeben; vielmehr verlangt a10 noch obendrein, dass so - wol A als B von 0 verschieden seien — indem unter dem Hauptfall a1, in welchem a10 als Unterfall enthalten ist, das Produkt A B nicht ver - schwinden darf — während bei der Subsumtion auch diese Fälle zu - gelassen sind.
103§ 34. Elementar - und Grundbeziehungen.Ebenso kann man, wenn die Alternative zwischen den Elementar - fällen a100 und a110, m. a. W. der Kollektivfall a100 + a110 vorliegt, A ⊆ B schreiben; indess fordert jener Kollektivfall noch ausserdem, dass B und folglich auch A von 0 verschieden sei, wogegen letztere Proposition auch diese Möglichkeiten zulässt.
Endlich ist noch für den Elementarfall a ein Zeichen zu verein - baren, und damit auch für dessen Negation, den aus der Alternative zwischen den vier übrigen Elementarfällen sich zusammensetzenden Kollektivfall a1.
Nun werden wir ohnehin das Zeichen für die Negation einer jeden Beziehung immer dadurch aufbauen, dass wir das Zeichen der letzteren mit einem Vertikalstrich durchsetzen, dasselbe so gewisser - massen ausstreichen — beziehungsweise, wenn in ihm bereits ein solcher Strich vorhanden sein sollte, diesen tilgen.
Darnach steht es zunächst in unserm Belieben, für die Beziehung a oder für die a1 ein ursprüngliches Zeichen auszudenken, und ziehen wir das letztere vor, weil sich für diese Beziehung a1 naturgemäss das in folgender Proposition vorgeschlagene Zeichen darbietet als das - jenige, welches die Zeichen der vier Unterfälle von a1 in sich vereinigt; wir drücken den Fall a1 aus durch den Ansatz: A ⊆ B (gelesen: A, gebietgemein*)Stellen A und B vieldeutige Zahlenausdrücke vor, so ist „ wertgemein “(resp. „ Wertgemeinschaft “) der passendste Ausdruck. In diesem Sinne habe ich das Zeichen schon vielfach auf seine Brauchbarkeit erprobt und als ein in der „ absoluten Algebra “ganz unentbehrliches erkannt., korrelativ B) — so wenigtens im Drucke, wogegen schriftlich der bequemer zu schreibende Ansatz: A (=) B dafür eintreten mag, von welchem auch schon in 1 vielfältig von mir Gebrauch gemacht ist, und dessen Zeichen durch hinreichende Ver - längerung seiner Striche in das vergrösserte des vorigen überginge.
Im obigen Zeichen der Gebietgemeinschaft erblickt man in der That: das Gleichheitszeichen zusammen mit den Zeichen der Unter -, der Uberordnung und der Schnittigkeit, Sekanz. Allerdings sind aber die drei erstern von diesen vier Zeichen hier nur in ihrer „ elementaren “Bedeutung zu nehmen, bei welcher das Nullsein von A sowol als B ausgeschlossen war — eine Bedeutung die oben durch eine über das Zeichen gesetzte kleine Null jeweils vor der gewöhnlichen gekenn - zeichnet wurde.
104Siebzehnte Vorlesung.Strenge genommen müsste also auch hier noch eine solche 0 über unser Zeichen ⊆ geschrieben werden; doch unterlassen wir dieses, nicht allein, um eine Überladung des Zeichens zu vermeiden, sondern auch, weil jene 0 doch nur ein Unterscheidungsmerkmal sein sollte, hier aber kein Anlass erfindlich sein wird, dem mit der ° versehenen Zeichen ein gleiches ohne die ° mit einer abweichenden Bedeutung gegenüberzustellen.
Von „ Gebietgemeinschaft “als von einer besonderen Relation kann selbstverständlich nur unter Ausschluss, Ignorirung des Wertes 0, des Nullgebietes gesprochen werden, welches letztere ja nur ein uneigentliches, fiktives Gebiet vorstellt, das man einführte um von solch gemeinsamem Gebiete stets reden zu können, auch wenn eigentlich gar keines vorhanden.
Der Vorgang hat ein Analogon in der Zahlentheorie, wo man auch sagt, zwei Zahlen hätten keinen gemeinsamen Faktor oder Teiler (sie seien teilerfremd, relativ prim), wenn sie nur den Teiler 1 gemein haben, der sich überall von selbst versteht.
Wir sagen: zwei Gebiete seien nicht gebietgemein, gebietefremd (dis - junkt), wenn sie nur das Nullgebiet gemein haben, welches allen ohnehin gemeinsam ist.
Darnach wird nun der Fall der Elementarbeziehung a im Drucke durch: A ⊆ B gelesen: A disjunkt mit B, und handschriftlich etwas bequemer mit: A (≠) B darzustellen sein, und haben wir in übersichtlicher Zusammenstellung die sieben als „ bejahende “zu bezeichnenden sogenannten „ Grund - beziehungen “(die wir als Aussagen mit den nebenstehenden Buch - staben des kleinen lateinischen Alphabets darstellen wollen), wozu noch ebensoviele als deren Verneinungen hinzukommen:
II0. Tafel der 7 Paare von Grundbeziehungen:
Zwei von diesen Grundbeziehungen: a und g = a111 = α sind zu - gleich Elementarbeziehungen, deren übrige drei wir bereits unter l0 mit zur Darstellung gebracht haben.
Vertauscht man in unsern 14 zwischen A und B eine Grund - beziehung behauptenden Aussagen a1, b bis g1 die beiden „ Seiten “oder Gebiete A und B, so erhält man 14 neue Aussagen, die wir von den vorigen durch einen Accent unterscheiden wollen, sodass nun auch die Bedeutung der Symbole a1 ', b', c' … g', a', b1 ', c1', … g1 'verständlich sein wird.
Das Bisherige sollte nun eigentlich blos zur Motivirung der Ein - führung gerade dieser Beziehungen und der für sie erkorenen Be - ziehungszeichen dienen, und ist es unsre nächste Aufgabe, den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Beziehungen in jeglicher Hinsicht klarzulegen und zu begründen.
Zu dem Ende werden wir zunächst nach einer „ analytischen “Defi - nition der sämtlichen Beziehungen uns umzusehen haben, worunter zu verstehen ist: ihre Erklärung vermittelst der uns nach wie vor als die fundamentale geltenden Beziehung ⊆ der Subsumtion, und ihrer Verneinung ⊆; demnach werden alle Beziehungsurteile durch solche vom Typus c oder c1 erst auszudrücken sein.
Zum Begriff dieser Subsumtionsbeziehung sind wir bei unserm systematisch-kombinatorischen Vorgehen nur so nebenher gelangt. Die Logik der Alten hat aber die Aufsuchung der Beziehungen in welchen Klassen oder Begriffsumfänge zu einander treten können, überhaupt nicht auf solche Weise angegriffen, sondern sich einfach an die Sprache angelehnt, welche uns unmittelbar nur die Möglichkeit bietet, ver - mittelst der (salva venia) Kopula „ ist “oder „ ist nicht “von einem Subjekte A ein Attribut oder Prädikat B zu bejahen oder zu ver - neinen. Indem sie noch den Umfang des Subjektbegriffes, falls ein solcher vorhanden, durch Beisetzung der Zahlbestimmung „ alle “oder „ einige “— wie man sich in der That ausdrücken mag: — „ quantifizirt “, ge - langt die Sprache zu den bekannten vier Hauptformen von Urteilen, die wir in § 33 besprochen haben.
Der Umstand dass die Sprache beim Prädikate auf die Quantifika - tion, und beim Subjekte auf Anwendung der Negation (Qualifikation?) fast unbedingt verzichtet gibt ihr ein eigentümliches Gepräge (feature).
Den gegenteiligen Versuch De Morgan’s, durch welchen die Vier - zahl der Urteilsformen noch zwei mal verdoppelt wird, halte ich für ein106Siebzehnte Vorlesung.müssiges Beginnen. Will man ergänzend eingreifen, so sehe man von Ausdrucksformen in der Wortsprache, sofern vollends sie doch nicht legi - tim, nicht durch den Usus sanktionirt sind, ab, man achte nur auf den Sachverhalt selber und halte sich an dessen angemessenste Ausdrucks - weisen, wie sie nur eine rationelle Zeichensprache schaffen mag.
Zu denken gibt es, dass jene vier urteilsformen sich mit den fünf möglichen Elementarbeziehungen keineswegs decken! Die Urteile sind doch gerade bestimmt, Beziehungen zwischen Begriffen zu konstatiren — nach ihrem Inhalte und demzufolge auch nach ihrem Umfange.
Gegenüber der durch die Wortsprache geforderten Einteilung der Urteile in die bekannten vier Klassen haben aber die fünf Elementar - beziehungen, in welchen, wie gezeigt, hinsichtlich ihres Umfangs Be - griffe überhaupt zu einander stehen können, lange nicht die gebührende Beachtung gefunden, und finden dieselbe in Logikbüchern der ältern Schule auch heute nicht.
Die Wahrnehmung dieser 5 Beziehungen ist vielmehr von des Aristoteles Zeiten (anno minus 384 ‥ — 322 unsrer Zeitrechnung) bis zum Anfang des gegenwärtigen Jahrhunderts (+ 1816) gänzlich unter - blieben, wo sie, soviel bekannt, zuerst Gergonne1 ausdrücklich an das Licht zog.
Dass eine Sprache, welche nur diese letztern Beziehungen wieder - gäbe oder auszudrücken fähig wäre, viel exakter, präziser oder aus - drucksvoller sein müsste, als unsre heutigen Wortsprachen, ist die Grundidee von dieses Mathematikers „ Dialectique rationelle “.
Auf dieselben 5 Beziehungen kommt 1877, wie es scheint unabhängig von Gergonne, auch Fr. A. Lange1; Twesten1 stellte ihrer viere auf; ausserdem finde ich Gergonne’s Arbeit nur bei Venn1 citirt.
Inwiefern diese Idee zutreffend ist, werden wir in § 48 sehen.
Jedenfalls gibt sich in dem Umstande, dass gedachte Beziehungen so lange übersehen wurden, eine übermässige Abhängigkeit, Unfreiheit der Denklehre von dem Gängelbande der in die Fesseln verbaler Ausdrucksformen gebannten Ausdrucksgewohnheiten zu erkennen.
Wir werden nunmehr mit den vorhin eingeführten Aussagen a1 bis g und α bis δ, sowie mit deren Negationen a bis g1 etc., welche selbst wieder als Aussagen zu bezeichnen sind, zu rechnen bekommen nach den Regeln des Aussagenkalkuls, wozu in Erinnerung gebracht werden mag, dass sooft das Symbol irgend einer von diesen Aussagen in Rechnung gesetzt wird, dasselbe zu deuten ist als die Klasse der107§ 35. Analytische Definition jener Umfangsbeziehungen.Gelegenheiten, bei welchen ebendiese Aussage anwendbar oder zulässig ist, gilt.
Als vonhause verständlich und allein bekannt werde wieder nur angesehen das Subsumtionszeichen ⊆, sei es zwischen Gebiete oder Klassen gesetzt, sei es auch (insbesondere) zwischen Aussagen. Auch verstehen wir von selbst das (identische) Produkt zweier Aussagen, durch welches die Faktoraussagen als gleichzeitig gültige hingestellt werden.
Mit diesen Mitteln ist auch bereits die Gleichheit, und ins - besondre die Aussagenäquivalenz erklärt durch eine (unter anderm nachher wieder zu rekapitulirende) allgemeine Festsetzung. Durch diese Mittel hat auch die identische 0 und 1 des Gebiete - wie des Aussagenkalkuls, es hat das identische Produkt zweier Gebiete oder Klassen, sowie deren Summe, und damit auch (Produkt und) Summe von Aussagen ihre Definition in der bisherigen Theorie bereits syste - matisch gefunden, desgleichen endlich die Negation eines Gebietes und speziell auch die einer Aussage.
Es kommt aber noch darauf an, nunmehr auch zu definiren die sonstigen aufgezählten „ Beziehungen “als solche zwischen Gebieten und damit auch wiederum als solche zwischen irgend denkbaren Aussagen.
Am einfachsten definirt sich: [10] b = c ', somit auch b1 = c1', das heisst: mittelst der Festsetzung: {A ⊆ B} = {B ⊆ A} wird als Sinn der Aussage linkerhand die Subsumtion rechterhand hingestellt. Es findet damit die aus didaktischen Gründen schon am Schluss des § 3, Bd. 1, S. 167, angeführte (dort unnumerirt gelassene) Definition der eventuellen Überordnung hier im System nun ihre Stelle.
Weiter ist zu definiren: [20] d = c c '= b c, sonach d1 = c1 + c1' = b1 + c1, d. h. mittelst: {A = B} = {A ⊆ B} {B ⊆ A} = {A ⊆ B} {A ⊆ B} wird der Begriff der Gleichheit auf den der Subsumtion gegründet — was wesentlich nur eine Reproduktion unsrer alten Def. (1) ist.
Hiernach erscheint der Gebrauch der Symbole b, c, d fortan legitimirt.
108Siebzehnte Vorlesung.Wir müssen uns demnächst auch auf die Aussagen A = 0 sowie B = 0 berufen, weshalb wir auch diese mit Symbolen zu bezeichnen haben, und zwar bedeute: [30] h = {A = 0}, h' = {B = 0} = k.
Alsdann gelten folgende Hülfssätze, deren wir gelegentlich bedürfen.
Erstens. Ist A = 0, so gilt nach Def. (2×) auch A ⊆ B, d. h. es ist: h ⊆ c; von dieser Subsumtion aber sind nach Th. 43), Anm. 2 (Bd. 1, S. 400) folgende Umschreibungen zulässig: c1 ⊆ h1, h = h c, c = h + c, h1 = h1 + c1, c1 = h1 c1, h c1 = 0, h1 + c = i. Um darauf Bezug zu nehmen wollen wir von diesen allen nur die - jenigen hervorheben, welche kein + Zeichen enthalten, — und analog verfahren wir auch künftig in ähnlichen Fällen — demgemäss notiren wir als ersten Hülfssatz: 10) h ⊆ c, c1 ⊆ h1, h = h c, c1 = h1 c1, h c1 = 0. Vertauscht man hierin in Gedanken A und B, so erhält man dazu noch ebenso: 10) 'k ⊆ b, b1 ⊆ k1, k = k b, b1 = k1 b1, k b1 = 0.
Zweitens. Ist A ⊆ B und B = 0, so folgt nach Th. 5×) auch A = 0, d. h. es ist: 20) c k ⊆ h, woraus: c h1 k = 0, c h k = c k, c h1 k1 = c h1, c1 h1 k = h1 k. Analog gilt desgleichen: 20) 'b h ⊆ k, b h k1 = 0, b h k = b h, b h1 k1 = b k1, b1 h k1 = h k1.
Drittens. Ist A = B und A = 0, so folgt nach Th. 4) auch B = 0, d. h. es ist d h ⊆ k und analog d k ⊆ h. Endlich aus A = 0 und B = 0 folgt in gleicher Weise A = B, d. h. es ist auch h k ⊆ d. Somit ist zu notiren: 30) d h ⊆ k, d h k1 = 0, d h k = d h, d h1 k1 = d k1 d1 h k1 = h k1, 30) 'd k ⊆ h, d h1 k = 0, d h k = d k, d h1 k1 = d h1, d1 h1 k = h1 k, 30)' 'h k ⊆ d, d1 h k = 0, d h k = h k, d1 h k1 = d1 h, d1 h1 k = d1 k, oder, wenn wir einen Teil dieser Resultate zusammenfassen: 30)' '' h k = d h = d k = d h k, d h1 = d k1 = d h1 k1. —
109§ 35. Umfangsbeziehungen analytisch definirt u. aufeinander zurückgeführt.Demnächst soll f definirt werden durch: [40] f = c'1 c = b1 c, somit f1 = c '+ c1 = b + c1, {A ⊂ B} = {A ⊆ B} {B ⊆ A} = {A ⊆ B} {A ⊆ B}; und analog e durch: [50] e = f' = c 'c1 = b c1, e1 = c1' + c = b1 + c, {A ⊃ B} = {B ⊂ A} = {B ⊆ A} {A ⊆ B} = {A ⊆ B} {A ⊆ B}.
Viertens folgt dann, weil unter 10) 'bereits b1 k = 0 erwiesen ist, dass auch b1 c k = 0, oder: 40) f k = 0, f k1 = f, f1 k = k, k ⊆ f1, f ⊆ k1, und analog, weil c1 h = 0 nach 10) ist: 40)' e h = 0, e h1 = e, e1 h = h, h ⊆ e1, e ⊆ h1.
Die letzten Subsumtionen rechts zeigen, dass in jeder Unter - oder Überordnung der terminus major von 0 verschieden sein muss.
Fünftens. Sofort folgt aus den Definitionen [20], [40], [50] nach Th. 30×) auch: 50) d e = 0, d f = 0, e f = 0, woraus zu sehen ist, dass die Fälle d, e, f einander gegenseitig aus - schliessen. In Bezug auf Gleichheit d und Unterordnung f wurde dies schon in § 1 betont.
Sechstens haben wir nach Th. 30×): b = b · i = b (c + c1) = b c + b c1, ebenso c = b c + b1 c und mit Rücksicht auf die erwähnten Definitionen gibt dieses: 60) b = d + e, c = d + f, b1 = d1 e1, c1 = d1 f1.
Ausführlich angeschrieben lautet die zweite c = f + d dieser Glei - chungen nun: {A ⊆ B} = {A ⊂ B} + {A = B}, womit es gerechtfertigt erscheint, das Subsumtionszeichen ⊆ als „ unter - geordnet oder gleich “zu lesen. Die Formel sagt nämlich als disjunktives Urteil aus: wenn A ⊆ B ist, so ist entweder A untergeordnet B; oder aber [„ oder aber “wegen d f = 0, cf. 50)] es ist A gleich B — und vice versa. Betrachtungen, welche wir motivirens halber in dem ein - leitenden § 1 sogar zum Ausgangspunkt genommen, haben hiermit110Siebzehnte Vorlesung.auch im systematischen Aufbau der Theorie jetzt ihre rechtmässige Stelle gefunden.
Siebentens mögen wir als Hülfssatz notiren:
| 70) | f h = h k1 | und 70) ' | e k = h1 k. |
In der That muss sein: f h = f k1 h = b1 c k1 h = b1 k1 h = h k1 wo beim Übergang über jedes Gleichheitszeichen ein früherer Satz zur Anwendung kommt; und zwar ist der erste Übergang gerechtfertigt, weil nach Hülfssatz 40) f = f k1 ist, der zweite, weil nach Def. [40] f = b1 c, der nächste, weil nach Hülfssatz 10) c h = h ist, und der letzte indem nach 20) 'direkt b1 h k1 = h k1 ist. Analog haben wir auch: e k = e h1 k = b c1 h1 k = c1 h1 k = h1 k zur Rechtfertigung der zweiten Formel unsres Hülfssatzes.
Man kann auch etwas kürzer auf 70) schliessen, indem man die letzte Subsumtion von 40) beiderseits mit h multiplizirt, wodurch sich zunächst f h ⊆ h k1 ergibt.
Dass aber auch umgekehrt h k1 ⊆ f h sein muss, und darum Gleichheit eintritt, ergibt sich sogleich aus der Überlegung, dass 0 ⊆ B nach Def. (2×) sein muss; wenn also, während A = 0 kraft h, und sonach A ⊆ B ist, d. h. c gilt, B ungleich 0 — in Formeln B ≠ 0 — vorausgesetzt wird gemäss k1, so ist die Gleichheit A = B oder d ausgeschlossen und bleibt mit Rücksicht auf 60) oder c = d + f nur mehr die Alternative A ⊂ B oder f übrig.
Nach Th. 6×) ist f h ⊆ f, e k ⊆ e, sonach folgt gemäss Th. 3) auch aus 70) und 70) 'dass h k1 ⊆ f, h1 k ⊆ e.
Ersteres, oder (A = 0) (B ≠ 0) ⊆ (A ⊂ B) lässt auch in: (B ≠ 0) ⊆ (0 ⊂ B) sich zusammenziehen, indem man für A den vorausgesetzten Nullwert beiderseits einsetzt, wodurch links der erste Faktor in (0 = 0) = i übergeht und als ein stetsfort gültiger selbstverständlicher gemäss Th. 2̅1̅×) unterdrückt werden darf. Dies Ergebniss lehrt, dass das Null - gebiet wirklich untergeordnet ist jedem von 0 verschiedenen Gebiete, und bildet es sonach eine Umkehrung und Ergänzung zu 40).
Es bleiben jetzt noch die Grundbeziehungen a1 und g zu definiren — die ersten und die letzten von allen.
Wir definiren:111§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.[60] a = {A ⊆ B} = {A B ⊆ 0} = {A B = 0} welche letzten beiden Propositionen nach Th. 5×) ja äquivalent sind.
Durch Negiren jeder Seite dieser Aussagenäquivalenz gemäss Th. 32) ergibt sich hienach auch die Definition von a1 = {A ⊆ B} = {A B ⊆ 0} = {A B ≠ 0}.
Achtens. Da aus A = 0 auch A B = 0 nach Th. 22×) folgt, so haben wir: 80) h ⊆ a, a1 ⊆ h1, a1 h = 0, a1 h1 = a1, a h = h, 80) 'k ⊆ a, a1 ⊆ k1, a1 k = 0, a1 k1 = a1, a k = k, und muss hienach namentlich sein: 80)' 'a1 = a1 h1 = a1 k1 = a1 h1 k1 — letzteres gemäss Th. 14×), indem a1 = a1 a1 = a1 h, · a1 k1 nach dem Vorhergehenden ist.
Neuntens. Wenn neben A B = 0 auch A ⊆ B gilt, so folgt nach Th. 16×) A B ⊆ B B, also 0 ⊆ B oder 0 = B nach bekannten Sätzen, d. h. wir haben: 90) a b ⊆ k, a b k1 = 0, a b k = a b, a b1 k1 = a k1, a1 b k1 = b k1.
Analog ist (A B = 0) (A ⊆ B) ⊆ (A = 0), oder: 90) 'a c ⊆ h, a c h1 = 0, a c h = a c, a c1 h1 = a h1, a1 c h1 = c h1.
Durch beiderseitiges Multipliziren mit c1 resp. b1 folgt aus der letzten rechts von den gewonnenen Gleichungen noch: a1 b c1 k1 = b c1 k1 und a1 b1 c h1 = b1 c h1, oder wegen Def. [40] und [50]: a1 e k1 = e k1, a1 f h1 = f h1.
Nach 80) dürfen wir aber a1 k1 und a1 h1 durch a1 links ersetzen und erhalten:
| 90) '' | a1 e = e k1, | 90) '' ' | a1 f = f h1, |
womit rechnerisch aus der Definition nachgewiesen ist, dass die Unter - ordnung A ⊂ B nur soferne A ≠ 0 ist unter die Beziehung A ⊆ B der Gebietgemeinschaft fällt, etc.
Zehntens. Ist A B = 0 und zugleich A = B, so folgt auch A A = 0 oder A = 0, desgleichen B = 0. Also haben wir:112Siebzehnte Vorlesung.100) a d ⊆ h, a d h1 = 0, a d h = a d, a d1 h1 = a h1, a1 d h1 = d h1, 100) 'a d ⊆ k, a d k1 = 0, a d k = a d, a d1 k1 = a k1, a1 d k1 = d k1; in den letzten Gleichungen rechts dürfen wir aber linkerhand a1 h1 oder a1 k1 nach 80)' 'durch a1 selbst ersetzen, und erhalten namentlich — mit Rücksicht noch auf 30)' '': 100) '' a1 d = d h1 = d k1 = d h1 k1, welches zeigt, dass die Gleichheit nur insofern unter die Wertegemein - schaft fällt, als ihre beiden Seiten von 0 verschieden sind.
Nachdem a1 bereits seine Erklärung gefunden hat, sein Gebrauch legitimirt ist, definiren wir endlich die Schnittigkeitsbeziehung durch die Festsetzung: [70] g = a1 b1 c1 d. h. {A ⊆ B} = {A ⊆ B} {A ⊆ B} {A ⊆ B} = {A B ⊆ 0} {B ⊆ A} {A ⊆ B}; nach 60) wird dann also auch sein [für b1 und c1 ihre dortigen Werte gesetzt]: 110) g = a1 d1 e1 f1, woraus g1 = a + d + e + f durch beiderseitiges Negiren entsteht.
Da nun i = g + g1 nach Th. 30×) ist, so erhalten wir durch Ein - setzung vorstehenden Wertes: 120) i = a + d + e + f + g.
In der fünfgliedrigen Summe rechterhand sind die vier letzten Terme schon ohnehin disjunkt, indem zu den schon gewonnenen Gleichungen 50) kraft der Definitionen [70] in Verbindung mit [20] [40] und [50] auch noch hinzutritt: 130) d g = 0, e g = 0, f g = 0.
[Das erstere Produkt wird ja in der That: a1 b1 c1 · b c, das zweite a1 b1 c1 · b c1, das dritte a1 b1 c1 · b1 c, ein jedes also 0 nach Th. 30×).]
Um nun die Summe vollends in eine reduzirte zu verwandeln, brauchen wir blos nach dem Schema: a + x = a + x a + x a1 = a + a1 x — im Grunde also unter Anwendung von Th. 33+) Zusatz — die Gleichung 120) umzuschreiben in: i = a + a1 d + a1 e + a1 f + a1 g, so werden ausser den rechts (implicite erwähnten) Produkten der vier113§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten Term in jeden folgenden verschwinden.
Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die „ Elementar - fälle “zu bezeichnen haben.
Aus der Def. von g ist aber unmittelbar ersichtlich, dass: 140) a1 g = g, sonach g ⊆ a1, a ⊆ g1, a g = 0, a g1 = a, und hienach in Verbindung mit 100) '', 90) '' und 90) '' 'wird also: 150) i = a + d h1 k1 + e k1 + f h1 + g die Zerfällung in die fünf Klassen sein. Für letztere führen wir zum Teil noch kürzere Namen ein, indem wir definiren: [80] d h1 k1 = δ, e k1 = β, f h1 = γ, g = α, sodass nunmehr 160) i = a + α + β + γ + δ bleiben wird.
Es ist dies eine Hauptgleichung, die man vorerst nicht aus den Augen verlieren darf. Die fünf Terme rechterhand müssen nach Bis - herigem, wie gesagt, disjunkt sein, ihre zehn Produkte zu irgend zweien sind gleich 0. Es tritt hier also der Fall des Zusatz 2 zu Th. 28), Bd. 1, S. 314 sq. auf: die Negation irgend eines Terms oder eines Aggregates von Termen rechterhand ist jeweils das Aggregat der übrigen Terme, z. B. a1 = α + β + γ + δ, etc.
Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be - stimmte Beziehung zwischen den Gebieten A und B statuirt. Die fünf Beziehungen nennen wir eben die „ Elementarbeziehungen “, und haben dieselben nunmehr auch analytisch definirt.
Wie immer die Gebiete A und B auch gegeben werden mögen, so gilt notwendig immer eine von diesen Elementarbeziehungen und dann nicht die übrigen.
Anmerkung. Anstatt d h1 k1 hätten wir nach 100) '' auch einfacher, jedoch auf Kosten der Symmetrie, blos d h1 oder d k1 in 150) und [80] schreiben können. Umgekehrt dürfen wir nach 40) 'und 40) für e auch e h1 und für f auch f k1 schreiben, also e k1 durch e h1 k1 und f h1 durch f h1 k1 er - setzen. Endlich war unter 80)' 'a1 = a1 h1 k1 erwiesen, wonach Def. [70] auch g = g h1 k1 liefert.
Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch schreiben:Schröder, Algebra der Logik. II. 8114Siebzehnte Vorlesung.[90] α = g h1 k1, β = e h1 k1, γ = f h1 k1, δ = d h1 k1 und mag der Hauptgleichung auch die Gestalt gegeben werden: 170) i = a + h1 k1 (d + e + f + g).
Nach [80] verglichen mit 90) '' resp. 90) '' 'und 100)' 'gelten übrigens auch die Gleichungen: 180) β = a1 e, γ = a1 f, δ = a1 d.
Wir haben oben die Elementarbeziehungen zurückgeführt auf die Grundbeziehungen — vergl. [80] — zu denen die Aussagen h (oder A = 0) und k (oder B = 0) nebst deren Negationen noch herangezogen wurden, und welche sämtlich mittelst der Subsumtion ihre analytische Definition gefunden hatten.
Man kann nun auch das Umgekehrte verlangen, fordern dass die 14 Grundbeziehungen nebst den vier Relationen h, k, h1, k1 gewisser - massen in ihrer Verteilung auf die fünf Fächer blosgelegt, durch die 5 Elementarbeziehungen ausgedrückt werden.
Übersichtlich wird dies durch das Tableau geleistet:
| III0) | i = a + α + β + γ + δ | i = a + α + β + γ + δ |
| a1 = α + β + γ + δ, | a = a, | |
| b = k + β + δ, | b1 = k1 a + α + γ, | |
| c = h + γ + δ, | c1 = h1 a + α + β, | |
| d = h k + δ, | d1 = (h1 + k1) a + α + β + γ, | |
| e = h1 k + β, | e1 = (h + k1 a) + α + γ + δ, | |
| f = h k1 + γ, | f1 = (h1 a + k) + α + β + δ, | |
| g = α, | g1 = a + β + γ + δ, | |
| h = h a, | h1 = h1 a + α + β + γ + δ, | |
| k = k a, | k1 = k1 a + α + β + γ + δ, |
über welches wir behufs Markirung der 5 Abteilungen die Haupt - gleichung 160) wiederholt geschrieben haben.
Zum Verständniss der Formeln ist erforderlich, sich gegenwärtig zu halten, dass h und k ganz unter a fallen, also eigentlich durch ha, ka überall zu ersetzen wären, wozu auch die unter 80) und 80) 'er - wiesene achte und neunte Gleichung links in III0) die Erlaubniss aus - spricht. Diese beiden letzten Gleichungen der linksseitigen Kolonne sind hiermit auch schon gerechtfertigt.
115§ 35. Analytischer Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen.Was die Begründung der Formeln im übrigen betrifft, so wurde die erste links schon unter 160) aus dieser Hauptgleichung entnommen; (die erste rechts ist eine analytische Identität); ebenso ergibt aus der siebenten Gleichung links g = α, die als Definition galt, sich auch die siebente rechts aus 160). — Ferner haben wir: f = f h + f h1 = h k1 + γ nach 70) und [80], e = e k + e k1 = h1 k + β nach 70) '„ „, womit die sechste und fünfte Gleichung links gewonnen. — Nach Th. 34+) ist endlich: d = d · i = d (h k + h k1 + h1 k + h1 k1) = d h k + d h1 k1 = h k + δ wegen 30) und 30)', sodann 30) '' 'und [80], womit auch die vierte Formel links gewonnen. Mit dieser folgt dann sofort auch die dritte und zweite links gemäss 60), indem sich bei der Addition dieses d mit f resp. e das einemal h k + h k1 = h, das andremal h k + h1 k = k zusammenzieht. — Um auch noch die Gleichungen rechterhand oder die Ausdrücke für die Negationen unsrer Beziehungen zu gewinnen, sucht man am besten nur die Ergänzung des unter a fallenden Terms (innerhalb der Mannigfaltigkeit der Fälle a selbst) direkt auf, und ent - nimmt die übrigen Terme aus der Hauptgleichung 160); um die For - meln, so wie sie angegeben, zu beweisen, genügt es schon, die Probe zu machen nach den Schemata des Th. 30). [Anstatt des Obigen hätte man auch (h + k1) a resp. (h1 + k) a als ersten Term von e1 resp. f1 schreiben können. ] —
Als eine Anwendung wollen wir jetzt hervorheben und beleuchten den Unterschied der beiden in § 15 besprochenen Redensarten [dort einfach β) und γ) genannt]: β̂) A (ist nicht) B — und γ̂) A ist (nicht B) oder auch: Alle A (sind nicht) B resp. Alle A sind (nicht-B) — unter den A die Elemente oder Punkte des Gebietes A verstanden, desgl. unter den B oder den Nicht-B Punkte ebendieser Gebiete.
Letztere Redensart, γ̂), d. i. auch ohne Klammer geschrieben die: „ A ist Nicht-B “repräsentirt den Fall:8*116Siebzehnte Vorlesung.{A ⊆ B1} = {A B = 0} = a.
Ertere β̂) dagegen, seinerzeit erklärt als die Verneinung der Aus - sage „ A ist B “, repräsentirt den Fall: {A ⊆ B} = {A ⊆ B}1 = c1 = h1 a + α + β = h1 a + g + e k1.
Jene γ̂) besagt: Kein A ist B, falls überhaupt es A’s gibt, und wird versinnlicht durch die Figur 17, in welcher der Kreis A auch schwinden,
gänzlich eingehen, fehlen kann. Abgesehen von diesem Grenzfalle, dessen Möglichkeit die Um - gangssprache einfach übersieht, und für den sie daher auch gar nicht ausgesagt haben will (weder Gültig - keit noch Ungültigkeit für ihre Aussage bean - sprucht) — abgesehen von diesem Grenzfalle ist Vorstehendes der korrekte Sinn, der mit einer Aussage von der Form: „ Alle A sind nicht B “oder „ Kein A ist B “ganz allgemein und von rechtswegen verbunden wird.
Durch das von uns im Einklang mit der herrschenden Termino - logie (aber im Gegensatz zu neueren Theorieen) als ein universal ver - neinendes bezeichnete Urteil γ̂) wird eine Beziehung zwischen den Be - griffsumfängen A und B ausgedrückt, die zugleich eine Elementar -
beziehung und eine Grundbeziehung ist. Die Ver - neinungspartikel „ nicht “gehört dabei zum Prädikate.
Diese Redensart β̂) dagegen sagt aus, was folgt:
Entweder: kein A ist B, während es A’s gibt (Fig. 18) — wobei aber zugelassen ist, dass vielleicht es ein B gar nicht gebe — [um hierauf hinzuweisen, haben wir das Gebiet B blos durch einen Punkt hier dargestellt; wir hätten auch die vorige Figur, Fig. 17, zur Dar - stellung dieses Unterfalles von β) benutzen können, nur ohne die dort beigefügte Erlaubniss der Unterdrückung des Kreises A] —
Oder aber: nur einige A (deren es sonach gibt) sind B und umgekehrt, nur einige B auch sind A (Fig. 19).
Oder aber endlich: es gibt B’s, und diese alle sind A’s, aber nicht umgekehrt (Fig. 20).
Die Redensart β̂) drückt eine Beziehung aus, welche als Negation einer Grundbeziehung auch selber zu den Grundbeziehungen gehört,117§ 35. Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen.dagegen aber keine Elementarbeziehung ist. Von den fünf Elementar - beziehungen vielmehr streicht sie zwei ganze und einen Bruchteil einer dritten aus, und lässt den Rest als möglich zu. —
Es ist gewiss der Wortsprache zur Last zu legen, dass über solche Fragen, wie die den Sinn einer Aussage „ A ist nicht B “be - treffende, noch Meinungsverschiedenheiten und Streit überhaupt bestehen können.
Es lassen sich in Bezug auf unsre zahlreichen Beziehungen manche Fragen aufwerfen und viele Probleme stellen. Um jedoch nicht jetzt schon in einer Menge von (vielleicht nicht uninteressanten) Spezial - untersuchungen uns zu verlieren, und um ferner das Wichtigere ge - bührend hervortreten zu lassen vor dem minder Wichtigen, streben wir zunächst einmal mit ersterm einem Abschluss zu. Solchen zu ge - winnen, suchen wir sämtliche Beziehungen auf einen gemeinsamen Typus zurückzuführen.
Dies gelingt, indem wir sie samt und sonders blos durch Gleichungen und Ungleichungen ausdrücken, das ist durch bejahte oder verneinte Gleichungen.
Auf mannigfache Weise haben wir gelernt, eine jede Subsumtion umzuschreiben in eine Gleichung, z. B. es war: {A ⊆ B} = {A B = A} = {A + B = B} = {A B1 = 0}.
Nach § 18, ϱ) konnte auch umgekehrt jede Gleichung verwandelt werden in eine Subsumtion nach dem Schema: {A = B} = {A + B ⊆ A B}.
Aus diesen Aussagenäquivalenzen folgt durch beiderseitiges Ne - giren gemäss Th. 3̅2̅), dass auch jede Verneinung einer Subsumtion sich schreiben lassen wird als eine Ungleichung, und jede Ungleichung als verneinte Subsumtion; es muss z. B. sein: {A ⊆ B} = {A B ≠ A} = {A B1 ≠ 0}, {A ≠ B} = {A + B ⊆ A B}.
Jedes Problem, dessen Einkleidung in die Zeichensprache möglich war vermittelst Subsumtionen und Gleichungen, musste demnach sich auch in Formeln kleiden lassen, wenn man ausschliesslich nur von einem der beiden zugehörigen Beziehungszeichen Gebrauch machen darf;119§ 36. Zurückführung auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.dasselbe lässt sich bereits in Subsumtionen allein formuliren, des - gleichen schon ganz durch Gleichungen.
Dass aber die Zeichen dieser beiden Beziehungen, als bejahende ⊆ und =, nicht ausreichen zur Behandlung auch nur der Probleme der alten Logik, insbesondre zur Einkleidung der partikularen (und Existenzial -) Urteile, haben wir in § 34 erkannt.
Erst wenn neben den Operationen des identischen Kalkuls an Ge - bieten oder Klassen und mit denselben Operationen an Aussagen auch die Aussagenverneinung zugelassen war, konnte letzteres gelingen, wo - gegen bei Ausschluss der Negation an Aussagen damit nicht durchzu - kommen war, wo sonst man auch über sämtliche Operationen ver - fügte. Mit andern Worten: es waren zwei Beziehungszeichen nötig, ein bejahendes und ein verneinendes.
Dass wir uns nunmehr für die beiden Zeichen = und ≠ aus den Grundbeziehungen d und d1 entscheiden, ist unsre Willkür.
Ebensogut könnten wir nach Vorbemerktem auch mit den beiden Zeichen ⊆ und ⊆ aus c und c1 auskommen; ja es könnte das bejahende Zeichen des einen Paares mit dem verneinenden des andern zum aus - schliesslichen Gebrauch erkoren und bestimmt werden.
Wir lernen so jedoch zunächst einmal auf wenigstens eine Weise zum Ziel zu kommen — und, wie sich zeigen wird, auf eine gute Weise. Ob auf die beste, steht noch dahin. Es bleibt auch ferneren Spezialforschungen vorbehalten, zu ermitteln, mittelst welcher andern Paare von Zeichen man ebenfalls zur Lösung aller einschlägigen Auf - gaben — aller im Gebiet der Logik des Begriffsumfanges überhaupt erdenklichen Probleme — gelangen könnte, und auf welche Weise? Ja, es wäre auch in Bezug auf die Beziehungszeichen der noch übrigen Gruppe eigentlich erst noch nachzusehen, ob man nicht vielleicht mit einem von diesen allein schon auskommen könnte. Man ersieht hier die Möglichkeit von mehreren Algebra’s der Logik! Vergleiche über diese Fragen auch Frau Franklin-Ladd1, 2, 3.
Ich erblicke darin einen Hauptvorzug der rechnerisch exakten Behand - lungsweise der logischen Disziplin vor der herkömmlichen schulmässig-ver - balen, dass sie nach allen Seiten einen Reichtum von Problemen in Sicht stellt. Es war stets Merkmal einer in gesundem Fortschreiten begriffenen Wissenschaft, bei jedem Zuwachs an Erkenntnissmaterial durch Herbei - führung endgültiger Entscheidung über irgend eine Frage, zugleich eine Fülle von neuen Fragestellungen aufzuwerfen und so zu fortgesetztem Forschen anzuregen.
Sehen wir darauf hin uns die schulmässige formale Logik an, so finden wir, wie schon Bd. 1, S. 121 ausgeführt, wohl interessante, hie und da auch120Achtzehnte Vorlesung.gründliche und neue Betrachtungen, wo etwa das Gebiet der Metaphysik, Psychologie, etc. gestreift wird, auch geistreiche Bemerkungen über das Wesen dieser oder jener Begriffe — nicht minder: verdienstliche An - strengungen, die Schwierigkeiten der Darstellung und des Unterrichts zu überkommen. Allein gerade in Bezug auf ihre Hauptaufgabe, die Ent - wickelung einer Kunstlehre und Technik des Denkens, scheint diese Wissen - schaft sich einer grossen Selbstgenügsamkeit zu befleissigen, sich einer lang - weiligen Abgeschlossenheit zu erfreuen (?); sie beschäftigt hier sich mit einem stereotypen Kreise einiger wenigen ein bischen komplizirteren Formen des Schlusses und nirgends wird ersichtlich, dass überhaupt noch etwas zu thun übrig bleibt, noch weniger aber tritt zu Tage, nach welcher Richtung hin etwa weitergearbeitet werden könnte und sollte.
Für die Darstellung aller Grund - und Elementarbeziehungen durch Gleichungen und Ungleichungen erhalten wir folgenden Überblick:
Von diesen Formeln kommen diejenigen rechterhand für die Negationen unsrer Beziehungen auf die andern links hinaus durch beiderseitiges Ne - giren nach Th. 3̅2̅ und 3̅6̅). Und Behufs der Begründung dieser letztgenannten ist auch nur weniges zu sagen.
121§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.Nämlich bei a ist allein auf die Def. [60] hinzuweisen, bei b und c auf das Th. 38×), bei d auf Th. 39×). Die Formeln für e, f, g sind Wieder - holungen der Definitionen [50], [40] und [70], nämlich e = b c1, f = b1 c, g = a1 b1 c1 mit Rücksicht auf die unmittelbar vorher gewonnenen Darstel - lungen der Symbole rechterhand.
Bei β, γ, δ endlich sind die ersten Darstellungen zunächst nur Aus - druck (ausführlichere Wiedergabe) der Definitionen [80]: β = e k1, γ = f h1, δ = d h1 k1. Durch blosses Einsetzen der voraufgehenden Werte von e, f, d aber würde man hieraus etwas andere, als die dahinter angegebenen Dar - stellungen von β, γ, δ erhalten, nämlich solche, in denen an Stelle des letzten Faktors {A B ≠ 0} bezüglich stünde {B ≠ 0}, {A ≠ 0}, und {A ≠ 0} {B ≠ 0} [oder auch einfacher aber unsymmetrisch nur einer von diesen beiden Faktoren allein, gleichviel, welcher von beiden — wegen d h1 k1 = d h1 = d k1 unter 100) '']. Die angegebenen zweiten Darstellungen von β, γ, δ fliessen jedoch sofort aus den Darstellungen 180) mittelst Ein - setzung der gefundenen Werte für die Symbole rechterhand.
Anmerkung. Wo in IV0 die Gleichung A B1 + A1 B = 0 auftritt, könnte dieselbe nach Th. 24+) auch in das Produkt (A B1 = 0) (A1 B = 0) umgeschrieben werden, und da die beiden Aussagen äquivalent sind, müssen nach Th. 3̅2̅) auch ihre Negationen es sein, woraus zu lernen, dass analog die Ungleichung A B1 + A1 B ≠ 0 auch in die Summe (A B1 ≠ 0) + (A1 B ≠ 0) verwandelt werden dürfte.
Es haben sonach alle Umfangsbeziehungen sich durch Aussagen über Gleichheit oder Ungleichheit wirklich darstellen lassen.
Hieraus folgt aber die wichtige Erkenntniss, dass wir jede über Beziehungen zwischen Klassen (oder Umfangsverhältnisse von Begriffen) überhaupt erdenkliche Aufgabe gelöst haben werden, sobald es uns nur ge - lingen wird, das allgemeinste auf Gleichungen und Ungleichungen bezüg - liche Problem zu lösen.
Diesem letztern Ziele werden wir demnach in Bälde zusteuern (§ 41 und 49 besonders).
Insofern mit einem Beziehungszeichen, bei Zulassung der Negation auch an den solche Beziehung statuirenden Aussagen, immer schon dessen Ver - neinung mitgegeben erscheint, können wir auch sagen:
Die Logik des Umfanges kommt mit den Operationen der identischen drei Spezies (zur Not schon mit Negation und Multiplikation, vergl. Th. 36) Anm.) und einem einzigen Beziehungszeichen aus bei allen ihren Problemen und Untersuchungen, und zwar namentlich mit dem Zeichen = der Gleich - heit, oder wenn man will auch mit dem Zeichen ⊆ der Subsumtion.
Praktisch werden die beiden Zeichen = und ≠, oder auch die beiden ⊆ und ⊆ alle Dienste versehen.
Auf Grund der Darstellungen IV0 bewahrheiten sich unmittelbar die folgenden Beziehungsäquivalenzen:
122Achtzehnte Vorlesung.Einige von diesen sind uns bereits aus früheren Definitionen und Theoremen bekannt, insbesondere aus Th. 32) und 37).
Andere lehren, dass wie die Gleichheit, so auch die Gebietgemein - schaft (Korrelation) und die Schnittigkeit (Sekanz) eine symmetrische Be - ziehung ist, dass man die beiden Seiten (Beziehungsglieder) jeder der - artigen Relation vertauschen, die Beziehung ohne weiteres auch rückwärts lesen darf. Und die Negation einer symmetrischen Beziehung ist eben - falls immer wieder eine symmetrische Beziehung. Auch die Gleichheit als Elementarbeziehung (elementare Gleichheit) ist symmetrisch.
Für die übrigen, die unsymmetrischen Beziehungen drücken unsre Formeln aus, dass man dieselben auch rückwärts lesen kann, indem man ihr Beziehungszeichen umkehrt. Ferner: durch beiderseitiges Negiren ent - springen aus ihnen wieder richtige Beziehungen, wofern man ebenfalls das zu negirende Beziehungszeichen umkehrt, oder, falls man das unmittelbar negirte beibehalten will, dafür Major und Minor vertauscht, und zwar gilt dies sowol für die bejahenden als für die verneinenden unsymmetrischen Beziehungen.
Die Negation einer Elementarbeziehung ist allerdings keine Ele -123§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.mentarbeziehung, bietet nicht mehr das Interesse einer solchen. Die ev. über ihr Zeichen gesetzte ∘ wäre samt diesem vom Negationsstrich zu durchsetzen, weil in dieser Negation das Verschwinden des an - gezogenen Terms nicht mehr ausgeschlossen, sondern vielmehr zugelassen erscheint.
[Die meisten, alle nicht symmetrischen, von den Sätzen V0 sind in doppelter Ausfertigung angeschrieben, nämlich für das Gebietepaar A, B sowol als für das B, A.]
Um das Theorem {A ⊂ B} = {B ⊃ A} ganz direkt zu beweisen, könnte man auch die bekannte, seinerzeit als Definition der rechten Seite hingestellte Äquivalenz: {A ⊆ B} = {B ⊆ A} nach Th. 1̅9̅×) überschiebend multipliziren mit der andern: {A ≠ B} = {B ≠ A} welche sich aus dem Zusatze zu Def. (1): {A = B} = {B = A} durch beiderseitiges Negiren nach Th. 3̅2̅), ergibt. Man hätte dabei blos zu be - rücksichtigen, dass laut Definition von e und f nach [20] sein muss: (b1 c =) c d1 = f und (b c1 =) b d1 = e, wie sich dies auch aus dem Tableau III0 bewahrheitet.
Ebenso lässt sich das Theorem: {A ⊂ B} = {A1 ⊃ B1}, also auch = {B1 ⊂ A1} beweisen, indem man die nach Th. 37) bekannte Äquivalenz: {A ⊆ B} = {A1 ⊆ B1} überschiebend multiplizirt mit der Gleichung: {A ≠ B} = {A1 ≠ B1} welche sich aus dem Th. 32) durch Anwendung auf sich selbst ergab.
Die Formeln der ersten beiden Zeilen in V0 zeigen, dass das Zeichen ⊆ „ der Disjunktion “, welches die Gebietgemeinschaft verneint und zu - gleich dem Elementarfall a entspricht, sich vertreten lässt durch das Subsumtionszeichen ⊆, somit auch die Verneinung des erstern durch die des letztern, d. h. dass ebenso das Zeichen ⊆ der Gebietgemein - schaft a1 entbehrlich gemacht werden kann durch dasjenige ⊆ der Sub - sumtionenverneinung oder Nicht-Einordnung. Gegenüber dem letzteren hat aber das erstere Zeichen den Vorzug der Symmetrie.
Es ist demnach auch ⊆ und ⊆ ein Paar von Beziehungszeichen, welches für die Logik des Umfanges ausreichen würde, während mit einem derselben allein (im frühern Sinne) nicht auszukommen wäre. Ebendieser, die sie nur äusserlich anders gestaltet, bedient sich Miss Ladd in 1.
(Überschlagbar.)
Wir wollen nun an unsre Umfangsbeziehungen noch einige Studien an - knüpfen, welche derjenige Leser überschlagen mag, der etwa rasch dem Hauptprobleme und den Syllogismen zueilen möchte. Ein solcher wird auch die übrigen Paragraphen gegenwärtiger Vorlesung vorerst überspringen können, deren Thema wir jedoch für ein an sich kaum minder interessautes und wichtiges erklären müssen. Wir reden demnächst nur von Beziehungen zwischen durchweg denselben zwei Gebieten A und B.
Das Produkt von irgend zwei verschiedenen Elementarbeziehungen ist 0, weil diese disjunkt sind, einander gegenseitig ausschliessen. Eine Summe von solchen ist einfach hinzuschreiben und lässt sich nicht ver - einfachen.
Dagegen kann man für die Produkte und Summen von Grund - beziehungen verlangen, dass dieselben entwickelt werden, so, dass klar zu sehen ist, wie viel jeweils davon unter eine jede der fünf Elementar - abteilungen fällt.
Auf Grund der Tafel III0 des § 35 ist die Ermittelung dieser Ver - knüpfungsergebnisse eine blosse Rechenübung. Wir bringen die Resul - tate in übersichtliche Tabellen, die auch für rasches Nachschlagen erwünscht sein können.
Bei der Bildung der Produkte von nach den fünf Fächern a, α, β, γ, δ geordneten Summen ist der Vorteil zu beachten, dass das Aus - multipliziren zu bewerkstelligen ist durch einfaches Übereinanderschieben, Superponiren derselben, nämlich durch multiplikative Verknüpfung von immer nur den gleichstelligen Termen — geradeso, wie bei nach den - selben Argumenten entwickelten Funktionen in Th. 45+) geschildert — weil die ungleichstelligen Terme hier ebenfalls disjunkt sein müssen — vergl. den Zusatz Bd. 1, S. 422.
In sämtlichen Tafeln sind die lateinischen Symbole rechterhand durch ihre Werte aus dem Tableau III0 ersetzt zu denken; insbesondere ist also a unverändert zu lassen, h k, h k1 und h1 k gemäss der ersten Zeile von VI0 mit dem Faktor a versehen zu denken, während g rechts immer den Elementarfall α vertritt.
Es sind die Tafeln dazu bestimmt, wenn über zwei Gebiete oder Klassen A und B eine ganze Reihe von Aussagen gegeben sein sollte, die irgendwelche Elementar - oder Grundbeziehungen zwischen denselben als simultan oder alternativ geltende oder nichtgeltende hinstellen, den logischen Gehalt der aus all’ diesen Aussagen sich zusammensetzenden Kollektiv -125§ 37. Produkte und Summen der Grundbeziehungen.VI0. Produkte der Grundbeziehungen mit den Hülfs - beziehungen h, h1, k, k1.
| h k = h k a, | h k1 = h k1 a, | h1 k = h1 k a, | h1 k1 = h1 k1 a + a1. |
| a1 h = 0, | a1 h1 = a1, | a h = h, | a h1 = h1 a, |
| a1 k = 0, | a1 k1 = a1, | a k = k, | a k1 = k1 a, |
| b h = h k, | b h1 = e + δ, | b1 h = h k1, | b1 h1 = h1 k1 a + α + γ, |
| b k = k, | b k1 = β + δ, | b1 k = 0, | b1 k1 = b1 |
| c h = h, | c h1 = γ + δ, | c1 h = 0, | c1 h1 = c1, |
| c k = h k, | c k1 = f + δ, | c1 k = h1 k, | c1 k1 = h1 k1 a + α + β, |
| d h = h k, | d h1 = δ, | d1 h = h k1, | d1 h1 = c1 + γ, |
| d k = h k, | d k1 = δ, | d1 k = h1 k, | d1 k1 = b1 + β, |
| e h = 0, | e h1 = e, | e1 h = h, | e1 h1 = h1 k1 a + α + γ + δ, |
| e k = h1 k, | e k1 = β, | e1 k = h k, | e1 k1 = b1 + δ, |
| f h = h k1, | f h1 = γ, | f1 h = h k, | f1 h1 = c1 + δ, |
| f k = 0, | f k1 = f, | f1 k = k, | f1 k1 = h1 k1 a + α + β + δ, |
| g h = 0, | g h1 = g, | g1 h = h, | g1 h1 = h1 a + β + γ + δ, |
| g k = 0, | g k1 = g, | g1 k = k, | g1 k1 = k1 a + β + γ + δ. |
VII0. Summen der Grundbeziehungen mit den h, h1, k, k1.
| h + k = (h + k) a, | h + k1 = e1 + β, | h1 + k = f1 + γ, | h1 + k1 = d1 + δ, |
| a1 + h = h + a1, | a1 + h1 = h1, | a + h = a, | a + h1 = i, |
| a1 + k = k + a1, | a1 + k1 = k1, | a + k = a, | a + k1 = i, |
| b + h = h + b, | b + h1 = f1 + γ, | b1 + h = h + b1, | b1 + h1 = d1 + δ, |
| b + k = b, | b + k1 = i, | b1 + k = a + α + γ, | b1 + k1 = k1, |
| c + h = c, | c + h1 = i, | c1 + h = a + α + β, | c1 + h1 = h1, |
| c + k = k + c, | c + k1 = c1 + β, | c1 + k = k + c1, | c1 + k1 = d1 + δ, |
| d + h = h + δ, | d + h1 = f1 + γ, | d1 + h = a + α + β + γ, | d1 + h1 = d1 + δ, |
| d + k = k + δ, | d + k1 = e1 + β, | d1 + k = a + α + β + γ, | d1 + k1 = d1 + δ, |
| e + h = (h + k) + β, | e + h1 = h1, | e1 + h = e1, | e1 + h1 = i, |
| e + k = k + β, | e + k1 = d1 + δ, | e1 + k = a + α + γ + δ, | e1 + k1 = e1 + β, |
| f + h = h + γ, | f + h1 = d1 + δ, | f1 + h = a + α + β + δ, | f1 + h1 = f1 + γ, |
| f + k = (h + k) + γ, | f + k1 = k1, | f1 + k = f1, | f1 + k1 = i, |
| g + h = h + α, | g + h1 = h1, | g1 + h = g1, | g1 + h1 = i, |
| g + k = k + α, | g + k1 = k1, | g1 + k = g1, | g1 + k1 = i. |
126Achtzehnte Vorlesung.VIII0. Produkte der Grundbeziehungen unter sich.
| a1 b = β + δ, | a1 b1 = α + γ, | a b = k, | a b1 = k1 a, |
| a1 c = γ + δ, | a1 c1 = α + β, | a c = h, | a c1 = h1 a, |
| a1 d = δ, | a1 d1 = α + β + γ, | a d = h k, | a d1 = (h1 + k1) a, |
| a1 e = β, | a1 e1 = α + γ + δ, | a e = h1 k, | a e1 = (h + k1 a), |
| a1 f = γ, | a1 f1 = α + β + δ, | a f = h k1, | a f1 = (h1 a + k), |
| a1 g = g, | a1 g1 = β + γ + δ, | a g = 0, | a g1 = a, |
| b c = d, | b c1 = e, | b1 c = f, | b1 c1 = h1 k1 a + α, |
| b d = d, | b d1 = e, | b1 d = 0, | b1 d1 = b1, |
| b e = e, | b e1 = d, | b1 e = 0, | b1 e1 = b1, |
| b f = 0, | b f1 = b, | b1 f = f, | b1 f1 = h1 k1 a + α, |
| b g = 0, | b g1 = b, | b1 g = g, | b1 g1 = k1 a + γ, |
| c d = d, | c d1 = f, | c1 d = 0, | c1 d1 = c1, |
| c e = 0, | c e1 = c, | c1 e = e, | c1 e1 = h1 k1 a + α, |
| c f = f, | c f1 = d, | c1 f = 0, | c1 f1 = c1, |
| c g = 0, | c g1 = c, | c1 g = g, | c1 g1 = h1 a + β, |
| d e = 0, | d e1 = d, | d1 e = e, | d1 e1 = b1, |
| d f = 0, | d f1 = d, | d1 f = f, | d1 f1 = c1, |
| d g = 0, | d g1 = d, | d1 g = g, | d1 g1 = (h1 + k1) a + β + γ, |
| e f = 0, | e f1 = e, | e1 f = f, | e1 f1 = (h k + h1 k1 a) + α + δ, |
| e g = 0, | e g1 = e, | e1 g = g, | e1 g1 = (h + k1 a) + γ + δ, |
| f g = 0, | f g1 = f, | f1 g = g, | f1 g1 = (h1 a + k) + β + δ. |
aussage möglichst rasch herauszuschälen, die Tragweite derselben über - sichtlich zu machen, insbesondre nämlich diese Kollektivaussage nach den fünf Elementarfällen alsbald zu entwickeln.
Letzteres wird erreicht durch successive „ Ausrechnung “, aussagen - rechnerische Reduktion jener Kollektivaussage unter Benutzung der Tafeln.
Ein paar Beispiele mögen das Gesagte erläutern.
Sei etwa die Kollektivaussage folgende: x = (A ⊆ B) (A ⊆ B) + (A ⊆ B) (A ≠ O) (B = O) + + (A ⊆ B) (A ⊆ B) (A ⊆ B), so haben wir (aus Tafel II0 und § 35, [30] die Werte einsetzend, sodann aus Tafel VIII0 c1 g = g, aus Tafel VI0 a k = k, aus VIII0 b1 c = f und a1 f = γ, endlich aus III0 g = α berücksichtigend):127§ 37. Produkte und Summen der Grundbeziehungen.IX0. Summen der Grundbeziehungen unter sich.
| a1 + b = k + a1, | a1 + b1 = k1, | a + b = a + β + δ, | a + b1 = a + α + γ, |
| a1 + c = h + a1, | a1 + c1 = h1, | a + c = a + γ + δ, | a + c1 = a + α + β, |
| a1 + d = h k + a1, | a1 + d1 = d1 + δ, | a + d = a + δ, | a + d1 = a + α + β + γ, |
| a1 + e = h1 k + a1, | a1 + e1 = e1 + β, | a + e = a + β, | a + e1 = a + α + γ + δ, |
| a1 + f = h k1 + a1, | a1 + f1 = f1 + γ, | a + f = a + γ, | a + f1 = a + α + β + δ, |
| a1 + g = a1, | a1 + g1 = i, | a + g = a + α, | a + g1 = g1, |
| b + c = (h + k) + β + γ + δ, | b + c1 = f1, | b1 + c = e1, | b1 + c1 = d1, |
| b + d = b, | b + d1 = i, | b1 + d = e1, | b1 + d1 = d1, |
| b + e = b, | b + e1 = i, | b1 + e = d1, | b1 + e1 = e1, |
| b + f = (h + k) + β + γ + δ, | b + f1 = f1, | b1 + f = b1, | b1 + f1 = i, |
| b + g = b + α, | b + g1 = g1, | b1 + g = b1, | b1 + g1 = i, |
| c + d = c, | c + d1 = i, | c1 + d = f1, | c1 + d1 = d1, |
| c + e = (h + k) + β + γ + δ, | c + e1 = e1, | c1 + e = c1, | c1 + e1 = i, |
| c + f = c, | c + f1 = i, | c1 + f = d1, | c1 + f1 = f1, |
| c + g = c + α, | c + g1 = g1, | c1 + g = c1, | c1 + g1 = i, |
| d + e = b, | d + e1 = e1, | d1 + e = d1, | d1 + e1 = i, |
| d + f = c, | d + f1 = f1, | d1 + f = d1, | d1 + f1 = i, |
| d + g = d + α, | d + g1 = g1, | d1 + g = d1 | d1 + g1 = i, |
| e + f = (h1 k + h1 k) + β + γ, | e + f1 = f1, | e1 + f = e1, | e1 + f1 = i, |
| e + g = e + α, | e + g1 = g1, | e1 + g = e1, | e1 + g1 = i, |
| f + g = f + α, | f + g1 = g1, | f1 + g = f1, | f1 + g1 = i |
x = g c1 + a h1 k + a1 c b1 = g + h1 k + γ = h1 k + α + γ als die gesuchte Zerfällung der Aussage x in die fünf Elementarfächer. Dieselbe lässt sofort übersehen, welche Möglichkeiten der von den Gebieten A, B gebildeten Figur zugelassen und eventuell gefordert sind, welche da - gegen ausgeschlossen — auch leuchtet das Ergebniss unmittelbar ein, wenn man sich die Bedeutung der Beziehungszeichen zum Bewusstsein bringt. —
Was verlangt die Aussage: y = (a1 b1 + b c1 + c d1) (a b + b1 c + c1 d + d1 a1)? Antwort: y = (α + γ + e + f) (k + f + 0 + α + β + γ) = = (h k1 + h1 k + α + β + γ) (k + h k1 + α + β + γ) = (h k1 + h1 k) + α + β + γ. —
128Achtzehnte Vorlesung.Wenn z = e1 f1 (c + e) (d1 + h) bedeutet, so wird man ebenso mittelst der Zwischenrechnung: z = {(h k + h1 k1 a) + α + δ} {(h + k) + β + γ + δ} {a + α + β + γ} = a (h + k) (h k + h1 k1 a) dies leicht reduziren zu: z = h k. Etc.
In dieser Weise können die hier gegebenen Tafeln auch dazu bei - tragen, die Aufgabe der Reduktion einer Kollektivaussage auf den Typus der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36, Tafel IV0 und später noch § 39, Tafel XVII0 vorbereitend zu erleichtern.
Für manch’ ein Untersuchungsfeld ist ständig h = 0 und k = 0, nämlich von vornherein die Möglichkeit ausgeschlossen, dass A oder B ein leeres Gebiet sei, „ nichts “bedeute, oder, wie wir auch sagen können „ sinnlos “oder „ undeutig “werde. Dies wäre z. B. der Fall bei den Anwendungen auf eine Mannigfaltigkeit, welcher die identische Null nicht adjungirt ist, nicht angehört. Eine Exemplifikation bildet die Rechnung mit vieldeutigen Zahlen-Ausdrücken, mehrdeutigen Funktionen, welche für das ganze Zahlengebiet, „ explizirt “sind, niemals eines Wertes entbehren oder undeutig ausfallen, wie ich sie in meinem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra 1 in Untersuchung gezogen habe. Da hier h1 = i, k1 = i ist, so wird δ = d, γ = f, β = e, und da ohnehin stets α = g, so geht die „ Hauptgleichung “nebst dem Tableau III0 über in:
wo nunmehr die Terme rechterhand sämtlich disjunkt sind.
Wir können dann sagen, dass von den vier Zeichen der „ Wert - gemeinschaft “: ⊆, ⊆, ⊆, = (entsprechend a1, b, c, d) das erste in die drei letzten und die drei ersten in das letzte übergehen oder ausarten können, wie ich dies schon 1 p. 148 bemerkte.
Die Tafeln VI0 und VII0 kommen dann von selbst in Wegfall, und verlohnt es, zusammenzustellen, zu was sich die Tafeln VIII0 und IX0 alsdann vereinfachen:129§ 37. Produkte und Summen von Grundbeziehungen.XI0. Multiplikationstabelle bei Ausschluss undeutiger Symbole.
| — — —, | a1 b = b = d + e, | a1 c = c = d + f, | a1 d = d, | a1 e = e, | a1 f = f, | a1 g = g, |
| a b1 = a, | — — — — — —, | b c = d, | b d = d, | b e = e, | b f = 0, | b g = 0, |
| a c1 = a, | b1 c1 = a + g, | — — — — — —, | c d = d, | c e = 0, | c f = f, | c g = 0, |
| a d1 = a, | b1 d1 = b1 = a + f + g, | c1 d1 = c1 = a + e + g, | — — — — — —, | d e = 0, | d f = 0, | d g = 0, |
| a e1 = a, | b1 e1 = b1 = a + f + g, | c1 e1 = a + g, | d1 e1 = b1 = a + f + g, | — — — — — —, | e f = 0, | e g = 0, |
| a f1 = a, | b1 f1 = a + g, | c1 f1 = c1 = a + e + g, | d1 f1 = c1 = a + e + g, | e1 f1 = a + d + g, | — — — — — —, | f g = 0, |
| a g1 = a, | b1 g1 = a + f, | c1 g1 = a + e, | d1 g1 = a + e + f, | e1 g1 = a + d + f, | f1 g1 = a + d + e, | — — — — — —, |
| — — —, | a1 b1 = f + g, | a1 c1 = e + g, | a1 d1 = e + f + g, | a1 e1 = d + f + g, | a1 f1 = d + e + g, | a1 g1 = e + d + f, |
| a b = 0, | — — — — — —, | b c1 = e, | b d1 = e, | b e1 = d, | b f1 = b = d + e, | b g1 = b = d + e, |
| a c = 0, | b1 c = f, | — — — — — —, | c d1 = f, | c e1 = c = d + f, | c f1 = d, | c g1 = c = d + f, |
| a d = 0, | b1 d = 0, | c1 d = 0, | — — — — — —, | d e1 = d, | d f1 = d, | d g1 = d, |
| a e = 0, | b1 e = 0, | c1 e = e, | d1 e = e, | — — — — — —, | e f1 = e, | e g1 = e, |
| a f = 0, | b1 f = f, | c1 f = 0, | d1 f = f, | e1 f = f, | — — — — — —, | f g1 = f, |
| a g = 0, | b1 g = g, | c1 g = g, | d1 g = g, | e1 g = g, | f1 g = g, | — — — — — —. |
Schröder, Algebra der Logik. II. 9130Achtzehnte Vorlesung.XII0. Additionstabelle bei Ausschluss undeutiger Symbole.
| — — — — — —, | a1 + b = a1 = etc., | a1 + c = a1 = etc., | a1 + d = a1 = etc., | a1 + e = a1 = etc., | a1 + f = a1 = etc., | a1 + g = a1 = etc., |
| a + b1 = b1 = a + f + g, | — — — — — —, | b + c = d + e + f, | b + d = b = d + e, | b + e = b = d + e, | b + f = d + e + f, | b + g = d + e + g, |
| a + c1 = c1 = a + e + g, | b1 + c1 = d1 = etc., | — — — — — —, | c + d = c = d + f, | c + e = d + e + f, | c + f = c = d + f, | c + g = d + f + g, |
| a + d1 = d1 = etc., | b1 + d1 = d1 = etc., | c1 + d1 = d1 = etc., | — — — — — —, | d + e = b = d + e, | d + f = c = d + f, | d + g = d + g, |
| a + e1 = e1 = etc., | b1 + e1 = e1 = etc., | c1 + e1 = i, | d1 + e1 = i, | — — — — — —, | e + f = e + f, | e + g = e + g, |
| a + f1 = f1 = etc., | b1 + f1 = i, | c1 + f1 = f1 = etc., | d1 + f1 = i, | e1 + f1 = i, | — — — — — —, | f + g = f + g, |
| a + g1 = g1 = etc., | b1 + g1 = i, | c1 + g1 = i, | d1 + g1 = i, | e1 + g1 = i, | f1 + g1 = i, | — — — — — —, |
| — — — — — —, | a1 + b1 = i, | a1 + c1 = i, | a1 + d1 = i, | a1 + e1 = i, | a1 + f1 = i, | a1 + g1 = i, |
| a + b = a + d + e, | — — — — — —, | b + c1 = f1 = etc., | b + d1 = i, | b + e1 = i, | b + f1 = f1 = etc., | b + g1 = g1 = etc., |
| a + c = a + d + f, | b1 + c = e1 = etc., | — — — — — —, | c + d1 = i, | c + e1 = e1 = etc., | c + f1 = i, | c + g1 = g1 = etc., |
| a + d = a + d, | b1 + d = e1 = etc., | c1 + d = f1 = etc., | — — — — — —, | d + e1 = e1 = etc., | d + f1 = f1 = etc., | d + g1 = g1 = etc. |
| a + e = a + e, | b1 + e = d1 = etc., | c1 + e = c1 = a + c + g, | d1 + e = d1 = etc., | — — — — — —, | e + f1 = f1 = etc., | e + g1 = g1 = etc., |
| a + f = a + f, | b1 + f = b1 = a + f + g, | c1 + f = d1 = etc., | d1 + f = d1 = etc., | e1 + f = e1 = etc., | — — — — — —, | f + g1 = g1 = etc., |
| a + g = a + g, | b1 + g = b1 = a + f + g, | c1 + g = c1 = a + e + g, | d1 + g = d1 = etc., | e1 + g = e1 = etc., | f1 + g = f1 = etc., | — — — — — —, |
Es wurde schon unter Theorem 37) erwähnt, dass die Anwendung desselben, oder der Schluss von einer Subsumtion A ⊆ B auf die B1 ⊆ A1 (oder umgekehrt) genannt wird die Konversion — durch Kontraposition — des die betreffende Prämisse bildenden Subsumtionsurteils. Ebenso leistete das Theorem 32) in Gestalt des Schlusses von einer Gleichung A = B auf die A1 = B1 (oder umgekehrt) diese „ Konversion durch Kontraposition “für die umkehrbaren oder reziprokabelen Urteile. *)Die man auch konvertible nennen könnte — „ konvertibel “jedoch in andrem Sinne, nämlich mittelst einfacher Umkehrung der „ conversio simplex “. In Bezug auf die Umkehrung mittelst „ Kontraposition “würden alle Urteile als konvertible zu bezeichnen sein.
Dies verallgemeinernd wollen wir nunmehr aus einer Beziehung irgend welcher Art zwischen irgend zweien der vier Gebiete A, B, A1, B1 auf jede damit äquivalente Beziehung zwischen wiederum zweien von diesen Gebieten schliessen lernen.
Zu dem Ende ziehen wir ausser den sämtlichen in § 34 einge - führten Beziehungen zwischen den Gebieten A und B selber auch noch diejenigen in Betracht, welche aus jenen hervorgehen, wenn man B oder A, oder beide Gebiete durch ihre Negationen B1 resp. A1 ersetzt.
Um zunächst diese zahlreichen Beziehungen als Aussagen syste - matisch, übersichtlich und mnemonisch zu bezeichnen, lassen wir die in § 34 den Symbolen a101, a110 und a111 untergelegte Bedeutung oder gegebene Auslegung fallen und verwenden die Exponenten 01, 10 und 11 in einem neuen (bei a1 hiervon abweichenden) Sinne; wir machen uns also unabhängig von gewissen in § 34 vorübergehend stipulirten, zu einem Teil aber inzwischen schon überflüssig gewordenen, ohnehin antiquirten Bezeichnungen.
Es werde fortan unter a101 verstanden die Aussage a1, wenn darin A belassen, aber B durch B1 ersetzt wird,
unter a110 die Aussage a1, wenn umgekehrt darin A durch A1 er - setzt, B belassen wird,
mit a111 werde die Aussage a1 bezeichnet, wenn darin A durch A1 und zugleich auch B durch B1 ersetzt wird.
Analog werde jetzt b01, b10 und b11 erklärt als die Aussage b, nachdem in dieser bezüglich B durch B1, oder A durch A1, oder B nebst A durch B1 und A1 ersetzt sind, und finde c01, c10, c11 und so weiter bis g01, g10 und g11 (mit letzterem zugleich auch α01, α10, und α11) und dann noch weiter β01, … bis δ11 die entsprechende Erklärung.
9*132Achtzehnte Vorlesung.Nach II0 haben wir also die Bedeutungen: a101 = {A ⊆ B1}, a110 = {A1 ⊆ B}, a111 = {A1 ⊆ B1}, a01 = {A ⊆ B1}, a10 = {A1 ⊆ B}, a11 = {A1 ⊆ B1}, b01 = {A ⊆ B1}, b10 = {A1 ⊆ B}, b11 = {A1 ⊆ B1}, ...................... δ01 = {A ≗ B1}, δ10 = {A1 ≗ B}, δ11 {A1 ≗ B}. Diese Aussagen werden zum Teil auf frühere zurückkommen und liefern uns dann Regeln der „ Konversion “im eigentlichen Sinne.
Zunächst sollen diese sämtlichen Aussagen nach den 5 Elementar - fällen entwickelt, über die 5 Fächer verteilt werden.
Dazu bedürfen wir ausser den beiden h, k noch dreier weitern Hülfsaussagen mit ihren Negationen, nämlich der folgenden: m = {A1 = 0} = {A = 1}, m1 = {A1 ≠ 0} = {A ≠ 1}, n = {B1 = 0} = {B = 1}, n1 = {B1 ≠ 0} = {B ≠ 1}, l = {A1 B1 = 0}, l1 = {A1 B1 ≠ 0}.
Für die Aussage m brauchte man freilich kein neues Zeichen; man könnte sie wegen m = h10 = h11 (sintemal für eine B nicht enthaltende Aussage es einerlei, ob man B durch B1 ersetzt, oder nicht) konsequenter - weise durch eines dieser beiden letzteren Symbole darstellen, während h01 = h bedeuten würde, und ebenso könnte ja n = k10 = k11 genannt werden, während k01 = k bleibt. Endlich ist ersichtlichermassen laut Defi - nition l einerlei mit a11.
Allein für Hülfssymbole, die nicht nur als linke Seite von Aussagen - äquivalenzen anzusetzen sind, sondern auch rechterhand in komplizirtere Aus -
Fall l, wo A1 B1 = 0. drücke wiederholt eingehen werden, erscheinen uns diese systematisch ge - wählten Zeichen als zu schwerfällig und ziehen wir vor, jene vorstehend eingeführten einfacheren Namen dafür zu gebrauchen.
Nach Th. 34+) ist: 1 = A B + A B1 + A1 B + A1 B1. Bezüglich der drei ersten von den vier rechts zusammengefassten Termen kommt das Verschwinden immer auf eine unsrer früher betrachteten Beziehungen133§ 38. Erweiterung des Beziehungskreises.hinaus, indem {A B = 0} = a, {A B1 = 0} = c, {A1 B = 0} = b ist. Nunmehr haben wir aber in Gestalt von l auch ein Symbol, um aus - zudrücken, dass auch der vierte und letzte Term verschwinde, oder verschwinden solle.
Diesen Fall, der in der That Interesse beansprucht, versinnlicht die Figur 21, in welcher A den (vertikal schraffirten) Aussenkreis von A1, B den (horizontal schraffirten) Aussenkreis von B1 bedeutet.
In unserm früheren engeren Sinne des Wortes „ Beziehung “stellt dieser Fall nur eine Beziehung zwischen A1 und B1 vor, im weiteren Sinne können wir ihn auch als eine Beziehung zwischen A und B hinstellen.
Für die Grund - und obigen Hülfsbeziehungen gibt die Lösung der gestellten Aufgabe im Überblick die Tafel: XIII0. Zerfällung der hinzugekommenen Grundbeziehungen. m = m k + m β + m n δ, m1 = m1 a + α + m1 β + γ + m1 n1 δ, n = n h + n γ + m n δ, n1 = n1 a + α + β + n1 γ + m1 n1 δ, l = a11 = b01 = c10 = l a + l α + m β + n γ + m n δ, l1 = a111 = b101 = c110 = l1 a + l1 α + m1 β + n1 γ + m1 n1 δ; a101 = b111 = c1, a01 = b11 = c, a110 = c111 = b1, a10 = c11 = b; b10 = c01 = a, b110 = c101 = a1; d01 = d10 = l a, d101 = d110 = l1 a + α + β + γ + δ, d11 = d, d111 = d1; e01 = f10 = l α + m β + n γ + m n δ, e101 = f110 = a + l1 α + m1 β + n1 γ + m1 n1 δ e10 = f01 = l1 a, e110 = f101 = l a + α + β + γ + δ, e11 = f, e111 = f1, f11 = e, f111 = e1; g01 = α01 = l1 α + m1 β, g101 = α101 = a + l α + m β + γ + δ, g10 = α10 = l1 α + n1 γ, g110 = α110 = a + l α + β + n γ + δ, g11 = α11 = h1 k1 l1 a + l1 α, g111 = α111 = (h + k + l a) + l α + β + γ + δ — worin bei denjenigen Zerfällungen, die auf solche der Tafel III0 zurückkommen, dieselben nicht wiederholt angegeben sind, sondern durch die rechte Seite der Aussagenäquivalenz nur einfach auf diese Tafel zurückverwiesen ist. Hiezu ist anzufügen die Tafel für die XIV0. Zerfällung der noch hinzukommenden Elementarbeziehungen.
| β01 = l α + m β, | β101 = a + l1 α + m1 β + γ + δ, |
| β10 = k1 l1 a, | β110 = (k + l a) + α + β + γ + δ, |
| β11 = h k1 n1 + n1 γ, | β111 = (k + h n + h1 a) + α + β + n γ + δ; |
| γ01 = h1 l1 a, | γ101 = (h + l a) + α + β + γ + δ, |
| γ10 = l α + n γ, | γ110 = a + l1 α + β + n1 γ + δ, |
| γ11 = h1 k m1 + m1 β, | γ111 = (h + k m + k1 a) + α + m β + γ + δ: |
| δ01 = h1 l a, | δ101 = (h + l1 a) + α + β + γ + δ, |
| δ10 = k1 l a, | δ110 = (k + l1 a) + α + β + γ + δ, |
| δ11 = h k + m1 n1 δ, | δ111 = (h1 + k1) a + α + β + γ + m n δ. |
Zu diesen Tafeln verdient noch angemerkt zu werden, dass die wiederholt als Term in ihnen auftretende Aussage la bedeutet, dass die Gebiete A und B Negationen von einander sind. Nach Th. 24+) und 39+) haben wir nämlich in der That: l a = {A B = 0} {A1 B1 = 0} = {A B + A1 B1 = 0} = {A = B1} = {B = A1}.
Der Beweis ihrer Formeln — soweit (unter XIII0) die Aussagen linkerhand nicht unmittelbar auf solche der Tafel III0 ohnehin zurück - kommen — kann geleistet werden erstens selbständig, nach dem Schema: x = x a + x α + x β + x γ + x δ — wo also x die Aussage linkerhand in irgend einer zu beweisenden Formel vorstellt — indem man eine Reihe von Hülfssätzen dazu auf - stellt, die sich analog wie die in § 35 beweisen lassen.
Als solche seien namhaft gemacht: XV0. Hülfssätze.
| m ⊆ b, | oder | m b1 = 0, | m b = m, | m1 b1 = b1, | |
| n ⊆ c, | n c1 = 0, | n c = n, | n1 c1 = c1, | ||
| m ⊆ l, | m l1 = 0, | m l = m, | m1 l1 = l1, | ||
| n ⊆ l, | n l1 = 0, | n l = n, | n1 l1 = l1; | ||
| d m ⊆ n, | oder | d m n1 = 0, d m n = d m, d m1 n1 = d n1, d1 m n1 = m n1, | |||
| d n ⊆ m, | d m1 n = 0, d m n = d n, d m1 n1 = d m1, d1 m1 n = m1 n, | ||||
| m n ⊆ d, | d1 m n = 0, d m n = m n, d1 m n1 = d1 m, d1 m1 n = d1 n, | ||||
namentlich also: m n = d m = d n = d m n, d m1 = d n1 = d m1 n1. Sonach auch:
| m f = 0 | oder | m f1 = m, m1 f = f; | desgl. | n e = 0, n e1 = n, n1 e = e; |
| m γ = 0, | m γ1 = m, m1 γ = γ; | n β = 0, n β1 = n, n1 β = β; |
135§ 38. Erweiterter Beziehungskreis.m n1 δ = 0, m1 n δ = 0, m n δ1 = 0, also wie oben: m n = m δ = n δ = m n δ, m1 δ = n1 δ = m1 n1 δ. Ferner: m g = m α = 0, m1 α = α; n g = n α = 0, n1 α = α; h m = 0, h m1 = h, h1 m = m; k n = 0, k n1 = k, k1 n = n; m a = k l = k m, k l1 = k m1; n a = h l = h n, h l1 = h n1; l b = m, l c = n, l d = m n; l β = m β, l γ = n γ, l δ = m n δ; h k l = 0, h k l1 = h k, h k1 l = h l = h n, h1 k l = k l = k m; m1 k1 a = k1 a, n1 h1 a = h1 a, m n a = 0. Von diesen werden wir einige (der das Symbol l enthaltenden) auch später noch gebrauchen, und reichen dieselben jedenfalls zum Beweise des ersten Teils der Tafel XIII0 aus. Im übrigen möge die Formeln in dieser Weise zu begründen als eine Fundgrube von Übungsaufgaben dem Studirenden empfohlen sein.
Zweitens kann man aber auch sich begnügen, die Formeln unsrer Tafeln blos durch Rechnung zu verifiziren auf eine Weise, die wir im nächsten Paragraphen auseinandersetzen und die als das aller - bequemste Mittel erscheint, sich der Berechtigung zu ihrem Gebrauche zu versichern. Das Verfahren erscheint zwar auf den ersten Blick als weniger heuristisch, doch würden im Anschluss an dasselbe sich auch Wege zeigen lassen, die Formeln systematisch durch Rechnung zu entdecken.
Sieht man bei Tafel XIII0 von den Zerfällungen in die 5 Fächer ab, so bleiben doch noch gewisse Aussagenäquivalenzen daselbst stehen, und diese lösen das eingangs statuirte Problem, die „ Konversion mittelst Kontra - position “der bisherigen Beziehungen zu leisten, soweit eine solche zulässig erscheint. Das Wesentlichste von diesen Sätzen haben wir bereits im § 36 unter Tafel V0 zusammengestellt. Sie geben zugleich im Kreise der bis - herigen Beziehungen die aus einer gegebenen Relation ziehbaren „ unmittel - baren Folgerungen “an, soweit diese Folgerungen sich auch umkehren lassen.
Zufolge der Berücksichtigung auch von A1, B1 neben A, B sind zu den alten Grund -, Hülfs - und Elementarbeziehungen im gegen - wärtigen Paragraphen noch fernere Beziehungen hinzugekommen. Alle zusammen wollen wir „ urwüchsige Umfangsbeziehungen “schlechtweg nennen (im Hinblick auf ihre Interpretirbarkeit für die Logik der Begriffsumfänge), und zwar „ urwüchsige “im Gegensatz zu den später noch in’s Auge zu fassenden „ abgeleiteten “Umfangsbeziehungen. Jene werden also entweder Grund - oder Elementarbeziehungen sein, sei es zwischen A und B, sei es zwischen A und B1, oder zwischen136Achtzehnte Vorlesung.A1 und B, oder zwischen A1 und B1 — oder aber sie werden als die „ Hülfsbeziehungen “das Verschwinden resp. Nichtverschwinden von nur einem der Gebiete A, B selbst oder von seiner Negation aus - drücken.
Am bequemsten wird man sämtliche Umfangsbeziehungen aus - drücken durch die vier folgenden, welche „ primitive Beziehungen “heissen mögen: XVI0. a = {A B = 0}, c = {A B1 = 0}, b = {A1 B = 0}, l = {A1 B1 = 0}, und deren Negationen: a1 = {A B ≠ 0}, c1 = {A B1 ≠ 0}, b1 = {A1 B ≠ 0}, l1 = {A1 B1 ≠ 0}.
Für die Grund - und Elementarbeziehungen ist dies bereits in § 36, Tafel IV0 wesentlich geleistet, und erhalten wir aus den dortigen Formeln — durch Einsetzung der für die rechterhand stehenden Aus - sagen geltenden Symbole — unmittelbar den Anfang der nächst - folgenden Tafel, sofern wir nur eines berücksichtigen und zwar dieses:
Nach Th. 24+) ist: (A B1 + A1 B = 0) = (A B1 = 0) (A1 B = 0) und wie hieraus durch beiderseitiges Negiren (Kontraposition) folgt auch: (A B1 + A1 B ≠ 0) = (A B1 ≠ 0) + (A1 B ≠ 0). — Ebenso ist aber auch ferner: h = (A = 0) = (A B + A B1 = 0) = (A B = 0) (A B1 = 0) und analog: k = (B = 0) = (A B + A1 B = 0) = (A B = 0) (A1 B = 0). Sonach werden auch die Hülfsrelationen — zunächst h, k — sich in Faktoren der obigen vier Formen zerspalten lassen.
Die Fortsetzung der Tafel ergibt sich leicht, wenn man hierin, sowie in IV0, B durch B1 oder (resp. und) A durch A1 ersetzt und dann wieder rechterhand für die Aussagen selbst die zur Abkürzung für sie eingeführten Symbole schreibt.
137§ 39. Die Umfangsbeziehungen durch die 4 De Morgan’s ausgedrückt.XVII0. Tafel für die Darstellung sämtlicher bisherigen Um - fangsbeziehungen zwischen Gebieten A, B, A1, B1 durch die vier primitiven Beziehungen.
XVIIa0. Die auxiliären Relationen.
h = a c, h1 = a1 + c1, k = a b, k1 = a1 + b1, l = l, l1 = l1, m = b l, m1 = b1 + l1, n = c l, n1 = c1 + l1.
XVIIb0. Grund - und Elementarbeziehungen für A, B: a = a, a1 = a1, b = b, b1 = b1, c = c, c1 = c1, d = d11 = b c, d1 = d111 = b1 + c1, e = f11 = b c1, e1 = f111 = b1 + c, f = e11 = b1 c, f1 = e111 = b + c1, g = α = a1 b1 c1, g1 = α1 = a + b + c, β = a1 b c1, β1 = a + b1 + c, γ = a1 b1 c, γ1 = a + b + c1, δ = a1 b c, δ1 = a + b1 + c1.
XVIIc0. Desgleichen mit Hinzuziehung von A1, B1:
| a111 = b101 = c110 = l1, | a11 = b01 = c10 = l, |
| a101 = b111 = c1, a01 = b11 = c, | a110 = c111 = b1, a10 = c11 = b, |
| b110 = c01 = a, | b110 = c101 = a1, |
| d01 = d10 = a l, | d101 = d110 = a1 + l1, |
| e01 = f10 = a1 l, e101 = f110 = a + l1, e10 = f01 = a l1, e110 = f101 = a1 + l, | |
| g01 = α01 = a1 c1 l1, g101 = α101 = a + c + l, g10 = α10 = a1 b1 l1, g110 = α110 = a + b + l, | |
| g11 = α11 = b1 c1 l1, | g111 = α111 = b + c + l, |
| β01 = a1 c1 l, β101 = a + c + l1, β10 = a b1 l1, β110 = a1 + b + l, β11 = b1 c l1, β111 = b + c1 + l, | |
| γ01 = a c1 l1, γ101 = a1 + c + l, γ10 = a1 b1 l, γ110 = a + b + l1, γ11 = b c1 l1, γ111 = b1 + c + l, | |
| δ01 = a c1 l, δ101 = a1 + c + l1, δ10 = a b1 l, δ110 = a1 + b + l1, δ11 = b c l1, δ111 = b1 + c1 + l. | |
Zwischen den vier primitiven Aussagen a, c, b, l selbst besteht übrigens eine Relation, nämlich diese: a1 + c1 + b1 + l1 = i, also auch a b c l = 0 zufolge des Theorems 34+) und 3̅2̅).
In der letzteren Fassung unsrer Relation als einer „ Inkonsistenz “138Achtzehnte Vorlesung.lässt dieselbe in der That sich indirekt, durch „ reductio ad absurdum “beweisen:
Gälte nämlich zugleich: (A B = 0) (A B1 = 0) (A1 B = 0) (A1 B1 = 0) so hätten wir: A B + A B1 + A1 B + A1 B1 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 und führte das Th. 34+) auf die Absurdität: 0 = 1.
Mit Hülfe der Ausdrücke in den Tafeln XVII0, die an Einfachheit nichts zu wünschen übrig lassen, können nun sämtliche Formeln der gegenwärtigen und der vorigen Vorlesung auf das leichteste verifizirt werden und laufen sie durchweg auf analytische Identitäten, wo nicht auf die Relation a c b l = 0, hinaus. Auch stehen mancherlei Kontrolen zur Verfügung, indem man z. B. die angegebene Negation einer Rela - tion aus dieser selbst ableiten oder auch direkt verifiziren kann. Etc.
Erinnert man sich der vier Urteilsformen der Wortsprache, so fällt der Umstand auf, dass es wieder vier Urteilsformen waren — — zusammen mit ihren Negationen aber acht Formen — durch welche alle Umfangsbeziehungen sich so ungezwungen darstellen liessen. Diese aber sind mit jenen nur zur Hälfte identisch.
Von den Buchstaben a, e, i, o haben wir von § 33 ab die beiden a und e in einem Sinne gebraucht, der zu dem herkömmlichen dort - selbst angegebenen in keiner Beziehung stand, vielmehr von demselben wesentlich abwich. Nimmt man die Buchstaben wieder im früheren in § 33 erläuterten Sinne, so sollen (zur Unterscheidung von der teil - weise ihnen später beigelegten Bedeutung) dieselben nun in Gestalt von â, ê, î, ô mit einem Circumflexe versehen werden.
Es zeigt sich, dass â = c = (A B1 = 0), ê = a = (A B = 0), î = a1 = (A B ≠ 0), ô = c1 = (A B1 ≠ 0). —
Jene acht Urteilsformen decken sich nicht ganz mit den sogenannten „ acht Propositionen “De Morgan’s in deren gewöhnlichem Sinne, insofern De Morgan, wenn er von „ alle A “spricht, das Verschwinden dieser Sub - jektklasse auszuschliessen pflegt, sich also auf eine Mannigfaltigkeit bezieht, welche das Nichts nicht adjungirt hat, und indem er ferner „ einige A “139§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.als im Gegensatz zu „ alle A “stehend aufgefasst wissen will. Diese Unter - schiede sind keineswegs belanglos, vielmehr von tiefeinschneidender Wirkung. Formell aber fallen die einen und die andern Urteilsformen zusammen. Auch konnte De Morgan selbst nicht umhin, sie in unserm Sinne zu nehmen, da wo er von denselben unter dem von ihm so genannten „ ony - matischen “Gesichtspunkt spricht, unter welchem das Urteil sein soll die Behauptung oder Verneinung der Verbundenheit (Concomitanz) zweier Namen, sonach A B ≠ 0 bedeutete: die Namen A und B haben eine (und A B = 0: sie haben keine) gemeinsame Anwendung. Vergl. Syllabus3, p. 112 und 8.
Ich will die vier primitiven Aussagen XVI0 samt ihren Negationen kurz „ die acht De Morgan’schen Propositionen “nennen. Aus ihnen müssen alle denkbaren Urteile über die Klassen A und B sich zu - sammensetzen lassen.
Der Frage, wie vielerlei und welche von einander verschiedenen Aus - sagen sich über zwei bestimmte Gebiete (A und B) in unsrer Zeichen - sprache überhaupt abgeben lassen, sollen die weiteren Betrachtungen gewidmet sein. Als „ verschieden “haben nur solche Aussagen zu gelten, die nicht denknotwendig einander äquivalent sind, also auch für mindestens einen der 5 Elementarfälle verschiedenes statuiren.
Zunächst ist es leicht sich über die möglichen Kombinationen zu orientiren, in welchen die 8 De Morgan’schen Propositionen als simul - tane ausgesprochen werden können.
Es sind 28 „ Amben “, nämlich 〈…〉 Kombinationen (ohne Wieder - holung) zu zweien möglich. Nach Abrechnung der vier inkompatiblen a a1, c e1, b b1, l l1 bleiben 24. Von diesen erweisen sich unter den als „ urwüchsige “aufgezählten Umfangsbeziehungen vertreten folgende zehn:
| a c = h | a b = k | a l = d01 = d10 | c b = d | c l = n | b l = m |
| a l1 = e10 = f01 | c b1 = f | ||||
| a1 l = e01 = f10 | c1 b = e |
Nicht vertreten sind die vierzehn:
| x) a c1 | a b1 | c l1 | b l1 | ||
| a1 c | a1 b | c1 l | b1 l | ||
| a1 c1 | a1 b1 | a1 l1 | c1 b1 | c1 l1 | b1 l1 |
welche wir so aufgestellt haben, dass sie sich mit den darüber stehenden ohne weiteres zu dem vollständigen Tableau der (leidlich) geordneten Binionen oder Amben zusammenschieben liessen.
140Achtzehnte Vorlesung.Zu dreien könnte man die 8 Propositionen auf 〈…〉 = 56 Arten ohne Wiederholungen kombiniren. Davon fallen aber als in - kompatibel, unzulässig fort die 4 × 6 = 24, in welchen ein Faktor mit seiner Negation zusammentrifft (wie a a1 verbunden mit c, b, l, c1, b1 oder l1; etc.).
Von den 32 hienach noch zugelassenen Ternionen oder „ Ternen “ist unter unsern urwüchsigen Umfangsbeziehungen schon aufgezählt gerade die Hälfte, nämlich die 16 folgenden:
| a1 c b = δ | a c1 l = δ01 | a b1 l = δ10 | c b l1 = δ11 |
| a1 c b1 = γ | a c1 l1 = γ01 | a b1 l1 = β10 | c b1 l1 = β11 |
| a1 c1 b = β | a1 c1 l = β01 | a1 b1 l = γ10 | c1 b l1 = γ11 |
| a1 c1 b1 = g = α | a1 c1 l1 = g01 = α01 | a1 b1 l1 = g10 = α10 | c1 b1 l1 = g11 = α11. |
Nicht aufgenommen erscheinen die andern 16:
| y) a c b | a c l | a b l | c b l |
| a c b1 | a c l1 | a b l1 | c b1 l |
| a c1 b | a1 c l | a1 b l | c1 b l |
| a c1 b1 | a1 c l1 | a1 b l1 | c1 b1 l. |
Von den 〈…〉 = 70 möglichen Quaternen könnte man wieder diejenigen in Abrechnung zu bringen suchen, welche (weil sie ein - oder zweimal ein Symbol samt seiner Negation zum Faktor haben) als inkonsistente verschwinden. Bequemer lässt sich aber die Zahl und Beschaffenheit der zulässigen Quaternen direkt ermitteln.
Man sieht, dass in einer solchen die vier Faktoren verschiedene Buchstaben sein müssen. Denn käme in einer Quaterne ein Buchstabe zweimal als Faktor vor, so könnte das, da eine tautologische Wieder - holung ausgeschlossen ist, nur einmal mit und einmal ohne Negations - strich sein, die Quaterne müsste also verschwinden. Jenachdem nun in a c b l der erste, zweite, dritte oder vierte Faktor ohne oder mit Negationsstrich steht, werden wir also 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 möglicherweise zulässige Quaternen erhalten.
Von diesen war aber die eine: a c b l, welche = 0, als Inkonsistenz zu verwerfen. Und mit Rücksicht auf letztere kommen von den 15 übrigen Quaternen noch die folgenden viere auf (schon angeführte) Ternen zurück:141§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.a c b l1 = a c b, a c b1 l = a c l, a c1 b l = a b l, a1 c b l = c b l, wie man leicht nach dem Vorbild: a1 c b l = 0 + a1 c b l = a c b l + a1 c b l = (a + a1) c b l = i · c b l = c b l auch für die übrigen beweist.
Demnach fallen nur noch in Betracht die 11 Quaternen: z)
| a c b1 l1 | a1 c b1 l1 | |
| a c1 b l1 | a1 c b l1 | a1 c1 b l1 |
| a c1 b1 l | a1 c b1 l | a1 c1 b1 l |
| a c1 b1 l1 | a1 c1 b l | a1 c1 b1 l1. |
Mehr wie vier Faktoren, entnommen aus der Gruppe der acht primitiven Propositionen: a, c, b, l, a1, c1, b1, l1, können nicht zu einem Produkt zusammengefasst werden, ohne dass sich einer von den vier Buchstaben zweimal vertreten findet, infolge welchen Umstandes aber, wie vorhin ausgeführt, das Produkt dann verschwinden müsste.
Wir haben also die möglichen Produkte von De Morgan’schen Propositionen mit Vorstehendem erschöpft.
Unter x), y) und z) ergaben sich 14 + 16 + 11 = 41 neue Pro - positionen, die wir als „ abgeleitete Beziehungen “zu bezeichnen haben werden. Sind diese nun aber auch wirklich zulässig, und sind sie sämtlich unter sich und von den früheren verschieden?
Auf diese Fragen erlangen wir Antwort, indem wir zuvörderst die hinzugekommenen Produkte sämtlich in die 5 Elementarfächer zerfällen. Zu dem Ende braucht man nur die Tafel zu benutzen, welche gewisse Teile aus den Tafeln III0 und XIII0 hervorhebend zusammenfasst: XVIII0. Zerfällung der Unionen von De Morgan’s Propositionen. a = a, c = h + γ + δ, b = k + β + δ, l = l a + l a + m β + n γ + m n δ, a1 = α + β + γ + δ, c1 = h1 a + α + β, b1 = k1 a + α + γ, l1 = l1 a + l1 a + m1 β + n1 γ + m1 n1 δ. [Man beachte hiezu, dass h, = h a, und k, = k a, in das Fach a fallen, und dass: i = a + α + β + γ + δ.] Die Anwendung dieser Tafeln wird eine blosse Multiplikationsübung sein, erleichtert durch den Prozess des Übereinanderschiebens.
142Achtzehnte Vorlesung.Mit der sich hiernach ergebenden Zerfällung der neu hinzuge - kommenen oder „ zusammengesetzten “Aussagen wollen wir aber so - gleich auch diejenige der bisherigen „ ursprünglichen “Aussagen (soweit sie multiplikative Kombinationen von De Morgan’schen Propositionen sind) rekapitulirend in übersichtlicher Zusammenstellung verbinden, da man letztere sonst aus verschiedenen Tafeln erst mühsam zusammen - suchen müsste.
Wir haben dann die Tafeln: XIX0. Zerfällung der Binionen De Morgan’scher Propositionen.
| a c = h | a b = k | a l = l a | c b = h k + δ |
| a c1 = h1 a | a b1 = k1 a | a l1 = l1 a | c b1 = h k1 + γ |
| a1 c = γ + δ | a1 b = β + δ | a1 l = l a + m β + n γ + m n δ | c1 b = h1 k + β |
| a1 c1 = α + β | a1 b1 = α + γ | a1 l1 = l1 α + m1 β + n1 γ + m1 n1 δ | c1 b1 = h1 k1 a + α |
| c l = h n + n γ + m n δ | b l = k m + m β + m n δ |
| c l1 = h n1 + n1 γ + m1 n1 δ | b l1 = k m1 + m1 β + m1 n1 δ |
| c1 l = h1 l a + l α + m β | b1 l = k1 l a + l α + n γ |
| c1 l1 = h1 l1 a + l1 α + m1 β | b1 l1 = k1 l1 a + l1 α + n1 γ |
XX0. Zerfällung der Ternionen von De Morgan’s Propositionen.
| a1 c b = δ | a c1 l = h1 l a | a b1 l = k1 l a | c b l1 = h k + m1 n1 δ |
| a1 c b1 = γ | a c1 l1 = h1 l1 a | a b1 l1 = k1 l1 a | c b1 l1 = h k1 n1 + n1 γ |
| a1 c1 b = β | a1 c1 l = l α + m β | a1 b1 l = l α + n γ | c1 b l1 = h1 k m1 + m1 β |
| a1 c1 b1 = α | a1 c1 l1 = l1 α + m1 β | a1 b1 l1 = l1 α + n1 γ | c1 b1 l1 = h1 k1 l1 a + l1 α |
| a c b = h k | a c l = h n | a b l = k m | c b l = m n δ |
| a c b1 = h k1 | a c l1 = h n1 | a b l1 = k m1 | c b1 l = h n + n γ |
| a c1 b = h1 k | a1 c l = n γ + m n δ | a1 b l = m β + m n δ | c1 b l = k m + m β |
| a c1 b1 = h1 k1 a | a1 c l1 = n1 γ + m1 n1 δ | a1 b l1 = m1 β + m1 n1 δ | c1 b1 l = h1 k1 l a + l α |
143§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.XXI0. Zerfällung der Quaternionen von De Morgan’s Propositionen.
| a c b1 l1 = h k1 n1 | a1 c b1 l1 = n1 γ | |
| a c1 b l1 = h1 k m1 | a1 c b l1 = m1 n1 δ | a1 c1 b l1 = m1 β |
| a c1 b1 l = h1 k1 l a | a1 c b1 l = n γ | a1 c1 b1 l = l α |
| a c1 b1 l1 = h1 k1 l1 a | a1 c1 b l = m β | a1 c1 b1 l1 = l1 α |
| [wozu | a c b l = 0 | und |
a c b l1 = a c b, a c b1 l = a c l, a c1 b l = a b l, a1 c b l = c b l in Erinnerung gerufen werde.]
Bei der Aufstellung haben wir auch gelegentlich Gebrauch gemacht von den Hülfssätzen XV0: h l = h n, k l = k m, h l1 = h n1, k l1 = k m1, h1 m = m, k1 n = n, h k l1 = h k, wonach insbesondre: h1 k l = h1 k m = k m und h k1 l = h k1 n = h n gesetzt werden durfte. —
Man sieht, dass die vier Elementarfälle α, β, γ, δ sich als ternäre Aussagen darstellen.
Vermittelst der acht primitiven Propositionen können also über zwei Gebiete A, B abgegeben werden:
zusammen 75 Urteile, welche lediglich gleichzeitige (koexistirende, simul - tane) De Morgan’sche Beziehungen statuiren und die wir kurz „ mono - mische “oder „ einfache “Aussagen nennen werden.
Der Anblick ihrer Zerfällungen in den vorstehenden Tafeln offen - bart sofort, dass diese 75 Urteile durchweg zulässig und von einander verschieden sind — letzteres schon durch die verschiedenartige Be - setzung der Elementarfächer in ihnen, ersteres aber auch dadurch, dass man sich die Bedeutung jedes Koeffizienten, mit welchem irgend ein Elementarfall behaftet erscheint, zum Bewusstsein bringen und durch eine Figur anschaulich exemplifiziren kann.
Mit Hülfe dieser Tafeln XVIII0 bis XXI0 wird nun jede noch so komplizirte Aussage sich auf’s leichteste nach den 5 Elementarfällen entwickeln lassen.
144Achtzehnte Vorlesung.Jeder Komplex von auf dieselben Gebiete A, B bezüglichen Aus - sagen muss auf eine Alternative zwischen diesen 75 hinauslaufen, rechnerisch gesprochen durch eine Summe von solchen darstellbar sein.
Da in Bezug auf jede einzelne dieser 75 Aussagen die zwei Möglich - keiten vorliegen, dass sie (als Summand) zugelassen oder ausgeschlossen wird, so ergibt dies anscheinend die ungeheure Zahl von 275 — 1 über A und B möglichen Aussagen — um 1 weniger als 275, weil der Fall, wo jede Aussage ausgeschlossen wird, unzulässig ist, indem die Summe aller = i sein, also mindestens eine derselben zutreffen muss.
Bei genauerem Zusehen jedoch stellt sich diese Zahl, wenn auch als eine immer noch erhebliche, so doch als sehr bedeutend kleiner heraus.
Indem wir hiemit dem Problem näher treten: die Anzahl der Ur - teile zu ermitteln, welche die Logik abzugeben vermag über zwei oder auch noch mehr Begriffe — wird es sich nur um die durchweg von ein - ander verschiedenen (d. h. wie gesagt, niemals einander allgemein äqui - valenten), Urteile handeln, und wird die Form, in der sie statuirt, aus - gesagt werden, als ganz nebensächlich gelten.
Die Formel, welche für n Begriffe obiges Problem löst, ist von Herrn Peano in dem Vorwort zu seiner Schrift 1 ohne eine Andeutung über ihre Herleitung bekannt gegeben worden, und werde ich dieselbe am Schluss dieses Paragraphen begründen.
Für n = 2 hatte ich die Aufgabe (ohne Kenntniss von Peano’s Ergebnisse — vergl. Bd. 1, S. 713) auf zwei Wegen gelöst die hier ebenfalls dargelegt werden sollen, und war ich zu einem mit dem Herrn Peano’s sich übereinstimmend erweisenden Ergebniss gelangt.
Der erste Weg ist zwar länger und etwas mühsamer; er studirt die möglichen Aussagen in ihrer Entwickelung nach den fünf Ger - gonne’schen Elementarbeziehungen. Auf dem kürzeren zweiten Wege, der sich auch zu beliebig viel Klassen ausdehnen liess, werden die Aussagen lediglich betrachtet als nach De Morgan’s vier primitiven Urteilen entwickelt.
Der erste Weg hat aber den Vorzug, die — soweit sich zur Zeit übersehen lässt — beste Übersicht über die fraglichen Aussagen selbst zu verschaffen; sein Zuwerkegehen bewährt sich auch für die Ent - scheidung von Nebenfragen, die mit unserm Probleme zusammenhängen, als z. B. der Frage nach Zahl und Art der lediglich universalen von jenen Aussagen.
Schon darum möchte ich zuerst gedachten längeren Weg zu Ende gehen, und werde behufs Darlegung des kürzesten zweiten das Problem noch einmal ganz selbständig gegen Ende des Paragraphen aufnehmen,145§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.die Verallgemeinerung auf n Begriffe an die Fälle n = 1 und n = 2 alsdann anreihend.
Die Methode des Fortschreitens wird auf beiden Wegen wesent - lich dieselbe sein und sich an einen Vorgang von Jevons anlehnen.
Zudem sind wir aber auch mit Begehung des längeren Weges schon ziemlich weit gelangt und ohnehin im Zuge.
Wir finden im Ganzen — nämlich bei den obigen Kombinationen und, als monomische Glieder wenigstens, sogar bei allen bisher er - wähnten (sowie überhaupt erdenklichen) Aussagen — nur die folgenden Möglichkeiten in den 5 Elementarfächern vertreten:
Die am Ende der ersten Kolumne unter dem Strich (wegen XIII0) angeführten beiden Beziehungen: m1 a = k l1 + k1 a, n1 a = h l1 + h1 a bewahrheiten sich als Identitäten leicht aus Tafel XVII0, oder auch als kleine Hülfssätze durch direkte Überlegungen nach Art derjenigen, die zu unsern andern Hülfssätzen führten.
Zu jeder der drei über a1 angeführten Möglich - keiten einer Kolonne ist als vierte noch 0 hinzu - zufügen als diejenige mit welcher — in Gestalt von 0 · α, 0 · β, 0 · γ, 0 · δ — die betreffende Ele - mentarbeziehung gar nicht (in der Aussage) ver - treten erscheinen mag. Ebenso ist in der ersten Kolonne zu den 25 (resp. 23 über dem Strich) an - geführten Möglichkeiten noch als 26 (resp. 24) ste die Annahme 0, = 0 · a in Gedanken hinzuzu - schlagen.
Darnach lassen durch irgendwelche Multiplika - tionen zwischen den Aussagen einer jeden so durch Adjunktion der 0, Nullaussage vervollständigten Kolonne — die erste nur bis zum Strich genommen — sich jeden - falls keine neuen Aussagen mehr gewinnen, keine, die nicht in eben -Schröder, Algebra der Logik. II. 10146Achtzehnte Vorlesung.dieser Kolonne bereits einregistrirt wären, d. h. in Bezug auf die Operation der Multiplikation bilden die Aussagen einer jeden von den gedachten 5 Kolonnen mathematisch gesprochen eine „ Gruppe “. *)Man überzeugt sich davon unschwer, auch bei der (nur bis zum Strich genommen) ersten Kolonne, unter Berücksichtigung der Hülfsrelationen XV0, doch wird dieser Nachweis durch spätere Betrachtungen überflüssig gemacht.
Bei einer jeden von den vier letzten Kolonnen thun sie dies auch in Bezug auf die Operation der Addition: auch additiv lassen sich die 4 Aussagen einer jeden der vier Kolonnen von a1 nicht weiter zu neuen Aussagen kombiniren; denn während das Addiren von 0 ohne - hin nichts ändert, ist z. B. auch α + l α = α, α + l1 α = α, l α + l1 α = α; etc.
Als additive Kombinationen der unter a unterscheidbaren mög - lichen Aussagen in je den vier Elementarfällen erhalten wir demnach 4 × 4 × 4 × 4 = 44 = 28 = 256 welche unter sich verschieden und zulässig sein werden.
Nennen wir x die (noch unbekannte) Anzahl der Arten, auf welche auch die 24 Aussagen der ersten Kolonne additiv miteinander eigentümlich kombinirt werden können, so wird x × 256 — 1 die gesuchte Anzahl der Urteile sein, welche die Logik des Umfanges über zwei bestimmte Begriffe A und B abzugeben vermag.
[Um 1 ist wieder das arithmetische Produkt x × 256 zu ver - mindern, weil diejenige Aussage unzulässig bleibt, bei welcher jede von den 5 Elementaraussagen mit dem Faktor 0 versehen erschiene. Dagegen ist die Aussage „ Eins “in obiger Auzahl mit eingerechnet, obwol sie „ nichtssagend “ist, nämlich in Gestalt von 1, = a1 + α + β + γ + δ, eine jede Möglichkeit offenlässt.]
Es würde x = 226 sein müssen, wären die additiven Kombinationen der 26 unter a registrirten Fälle alle unter sich verschieden. Das sind sie aber nicht, vielmehr kommen sie teilweise auf diese Fälle selbst oder auf andere von ebendiesen Kombinationen zurück. Darum wird auch die Zahl x erheblich kleiner sein. Um sie zu ermitteln, könnte man ver - suchen, diese additiven Kombinationen etwa für die 24 in h, k, l, a1 monomischen von den 26 Aussagen selbst aufzustellen als Amben, Ternen und so weiter bis zur „ 24-erne “(vigintiquaterne) um eine jede derselben auf ihre Verschiedenheit von den ihr vorhergegangenen zu untersuchen — zu welchem Ende die kombinatorischen Summen etwa je zu „ entwickeln “147§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.wären nach jenen vier in ihrer Gesamtheit vorkommenden Symbolen. Wegen ihrer, sechzehn Millionen übersteigenden Anzahl (16 777 216) würde das aber eine übergrosse Geduldsprobe werden.
Besser verfahren wir in der folgenden Weise, einen Gedankengang verwirklichend, auf welchen bei einem analogen Problem schon Jevons9 verfallen ist (vergl. Bd. 1, Anhang 6), dessen noch verfehlte Anwendung aber von Miss Ladd1 zuerst richtig gestellt worden.
Behufs Ermittelung der Zahl x „ entwickeln “wir den Elementar - fall a (selbst) nach den vier Symbolen a, h, k, l, aus deren Kombi - nationen — wenn man will ausschliesslich — die Unterfälle des a sich zusammensetzen. Zu dem Ende braucht man nur a zu multipliziren mit der Entwickelung der 1 nach den drei letztern Symbolen. Wegen h k l = 0 fällt aber von den acht Gliedern (Konstituenten) dieser Ent - wickelung das erste fort, und bleibt: a = a (h k l1 + h k1 l + h k1 l1 + h1 k l + h1 k l1 + h1 k1 l + h1 k1 l1), was mit Rücksicht auf die angeführte Relation noch weiter sich ver - einfachen lässt zu: a = a (h k + h l + h k1 l1 + k l + h1 k l1 + h1 k1 l + h1 k1 l1) und mit Rücksicht auf die mehrerwähnten Hülfsrelationen auch ge - schrieben werden könnte in einer der beiden Formen: a = h k + h l + h k1 l1 + k l + h1 k l1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a, a = h k + h n + h k1 n1 + k m + h1 k m1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a. Bei diesen Summen sind wir nun sicher, dass sie „ reduzirte “, dass ihre Glieder unter sich „ disjunkt “sind.
Die sieben Glieder sind auch die Konstituenten der Entwickelung jedes erdenklichen Unterfalles von a nach ebendiesen Symbolen h, k, l.
Die Logik des Umfanges mit ihren mannigfachen Beziehungs - zeichen vermochte aber, wie wir gesehen haben, nur solche Unter - fälle von a zu konstruiren, auszusprechen, zu beschreiben, in deren Ausdruck lediglich die Symbole a, h, k, l auftreten. (Die Verwendung der m und n liess sich ja im Elementarfall a umgehen, war daselbst eine blos fakultative.) Also: jeder angebbare Unterfall von a ist eine Funktion lediglich von a, h, k und l, in deren Ausdruck ausser diesen vier Buchstaben — die drei letztern negirt oder unnegirt genommen — keine weiteren Buchstabensymbole vorkommen.
Entwickelt nach allen vier Argumenten wird er a in jedem Gliede zum ausdrücklichen oder stillschweigenden Faktor haben — letzteres inso - fern bei h und k der Faktor als ein selbstverständlicher unterdrückt werden durfte — und zwar weil nach Th. 20×) ⊆ a äquivalent ist: x = x a
10*148Achtzehnte Vorlesung.Denken wir uns solchen Unterfall entwickelt, so kann mit irgend einem der 7 Konstituenten als der zugehörige Koeffizient (in Ermangelung eben noch andrer Buchstaben) nur entweder 0 oder 1 verknüpft sein, d. h. der betreffende Konstituent ist in der Entwickelung entweder ganz oder gar nicht als Glied vorhanden.
Hieraus erhellt, dass jeder Unterfall von a auf eine Alternative zwischen jenen 7 Konstituenten hinauslaufen, als Summe irgend einer Gruppe von aus den sieben herausgegriffenen Gliedern darstellbar sein muss.
Die Anzahl x der erdenklichen Unterfälle von a fällt darum zu - sammen mit der Anzahl der möglichen additiven Kombinationen unsrer sieben Konstituenten.
Diese Kombinationen lassen sich aber leicht vollständig auf - stellen und noch leichter lässt ihre Anzahl sich a priori ermitteln.
Da in Bezug auf jeden einzelnen der 7 Konstituenten (ganz un - abhängig von den übrigen) die zwei Möglichkeiten vorliegen, dass er als Alternativfall zugelassen, nämlich als Glied in der Entwickelung vertreten, oder aber ausgeschlossen, nicht als Glied vorhanden ist, so haben wir: x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27 = 128.
Von dieser Anzahl der möglichen Unterfälle von a ist keine Einheit in Abzug zu bringen, weil der Fall 0 · a wirklich vorkommen kann, der Elementarfall a überhaupt nicht vorzuliegen braucht, sofern nämlich nur von den übrigen Elementarfällen α, β, γ, δ dann allermindestens einer vorliegt.
Hiermit ist nun auch endlich 128 × 256 — 1 = 27 × 28 — 1, oder 215 — 1 = 32767 sage: dreissigzweitausend siebenhundert sechzigsieben gefunden als die Anzahl der inhaltlich verschiedenen Aussagen, Urteile, welche die Logik des Umfanges über zwei bestimmte Gebiete, Klassen, Begriffe A, B ab - zugeben, zu fällen vermag.
Es versteht sich übrigens, dass die hier eingeflochtenen auf Zahlen bezüglichen Betrachtungen (zu denen immer schon die Kenntniss des Ein - maleinses ausreicht) lediglich als ein Beiwerk unsrer Theorie anzusehen sind, welche grundsätzlich die Zahlen ganz der Arithmetik überlässt und wesentliche Schlüsse wol nirgends auf numerische Betrachtungen gründet.
Es verlohnt wol, die 128 sub a unterscheidbaren Fälle einmal wirklich zusammenzustellen, zugleich damit für einen jeden derselben auch die Angabe seines einfachsten Formelausdrucks zu verbinden.
149§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.Für erstern Zweck empfiehlt es sich, die sieben Terme der obigen Entwickelung von a der Reihe nach mit den Ziffern 2 bis 8 kürze - halber zu benennen und die additiven Kombinationen dieser sieben Ziffern sodann streng systematisch (nach den Regeln der Kombina - torik) aufzustellen, wodurch einer jeden als Unterfall von a möglichen Alternative eine bestimmte Ordnungszahl (von 1 bis 128) zugeteilt wird.
Von diesen Unterfällen stellen wir aber jeweils diejenigen neben - einander, welche in der Mannigfaltigkeit a Negationen von einander sind, sodass die 128 Fälle in zwei Kolonnen auf 64 Zeilen unter - gebracht werden. Die erste Kolonne geht dabei an ihrem Ende huf - eisenförmig in die zweite über, deren Nummern demnach von unten nach oben gelesen sich an diejenigen der ersten Kolonne anschliessen.
Als einfachsten Ausdruck eines Unterfalles geben wir erstens den - jenigen an (eventuell, wo mehrere gleichberechtigt, einen solchen) der aus den Symbolen h, k, l, a bei Berücksichtigung der Relation h k l = 0 mit minimalem Buchstabenaufwande in Aggregatform sich für ihn her - stellen lässt. Zweitens aber fügen wir diesem Ausdruck auch noch einen andern bei, wofern solcher nach den für seine Bildung aufzu - stellenden Grundsätzen möglich und von dem vorigen äusserlich ver - schieden erscheint.
Die zweite Form des Ausdrucks soll diejenige sein, welche für A, B am einfachsten zu deuten wäre. In dieser Hinsicht fällt in Be - tracht, dass eine Aussage, die eine Beziehung zwischen A und B sta - tuirt, weniger leicht nach ihrem logischen Gehalt zu übersehen ist, als wie Aussagen, die über A, resp. B nur je für sich aussagen. Die Information z. B. dass (A ≠ 0) (A ≠ 1) (B = 1) sei, erscheint fass - licher, als etwa eine Information des Inhaltes, dass (A1 B1 ≠ 0) (A B = 0), und ist die Tragweite der letztern unstreitig weniger leicht zu übersehen als die der vorigen; nicht leicht wird man sich auf sie hin das Verhältniss zwischen A und B sofort anschaulich vorzustellen vermögen. Der Interpretation zuliebe werden daher die Symbole a, l und ihre Negationen thunlichst zu verdrängen sein durch die h, k, m, n samt Negationen, indem eben letztere je nur über A oder B allein eine Aussage abgeben.
Die Ausmerzung der Symbole l, l1, wo solche sich finden, gelingt nun zuweilen ganz, nicht selten aber auch gar nicht, oder nur teilweise, näm - lich bei einzelnen Gliedern; auch konnte ja a bei h und k stets unter - drückt, ferner konnte m a durch k m, sowie n a durch h n ersetzt werden, etc. Überhaupt genügt die Anwendung der Hülfssätze XV0 S. 134 sq. zur Er - reichung des gesteckten Zieles und jedenfalls lassen sich die von mir auf - gestellten Transformationsgleichungen, durch Einsetzung der Werte aus150Achtzehnte Vorlesung.Tafel XVII0 für sämtliche Symbole, stets leicht als Identitäten in a, c, b, l verifiziren.
[Wo l, l1 nicht zu beseitigen sind, wird sich erkennen lassen aus dem Anblick der Formeln: l a = h n + k m + u h1 k1 a, l1 a = h n1 + k m1 + u1 m1 n1 a, in welchen u eine unbestimmte Aussage bedeutet, und die sich ergeben, indem man das Gleichungenpaar m = b l, n = c l systematisch nach der Unbekannten l resp. l1 auflöst, hernach mit a multiplizirt und die Hülfs - relationen berücksichtigt.]
Zur Übung (und gelegentlichen Anwendung) mag man auch sich über - zeugen, dass:
| h (k1 + l) = h (k1 + m) = h (k1 + n) = h k1, | k (h1 + l) = k (h1 + m) = k (h1 + n) = h1 k, |
| h (k + l1) = h (k + n1) = h l1 = h n1, | k (h + l1) = k (h + m1) = k l1 = k m1, |
| h1 k + l1 a = k + l1 a, | h k1 + l1 a = h + l1 a |
| [nämlich a (b + l1) = a (b l + l1) = a (b c l + b c1 l + l1) = a (b c1 l + l1) = a (b c1 + l1)], | |
| h k1 + h1 l a = h k1 + l a, | h1 k + k1 l a = h1 k + l a, |
| h k1 + k l1 = h + k l1 = h k1 + k m1 = h + k m1, h1 k + h l1 = k + h l1 = h1 k + h n1 = k + h n1, | |
| (h1 + n1) a = n1 a, | (k1 + m1) a = m1 a, |
| m (h1 + n1) a = m a = k m, | n (k1 + m1) a = n a = h n, |
| (h1 + n1) (k1 + m1) a = m1 n1 a, | |
| (h + k) (h1 + n1) (k1 + m1) = h n1 + k m1, | |
| h n + k m + m1 n1 a = a, | |
etc. — Relationen, dergleichen manche noch aus dem Anblick unsrer Tafel selbst entnommen werden können.
Nach diesen Vorbemerkungen erscheint als motivirt und gerecht - fertigt nach Anordnung und Inhalt die nachfolgende Tafel, von welcher indess zu wünschen ist, dass sie vielseitig geprüft werde, da nicht ganz ausgeschlossen, dass vielleicht eine Vereinfachungsmöglichkeit von mir noch übersehen wäre.
151§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.XXII0. Tafel der 128 Unterfälle von a.
| 1) 0 · a | 128 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = a |
| 2 = h k l1 = h k | 127 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (h1 + k1) a = h k1 + h1 a = h1 k + k1 a |
| 3 = h k1 l = h l = h n | 126 = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (h1 + l1) a = h n1 + h1 a = n1 a |
| 4 = h k1 l1 = h k1 n1 | 125 = 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 = k + (h1 + l) a = k + h n + h1 a |
| 5 = h1 k l = k l = k m | 124 = 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 = (k1 + l1) a = k m1 + k1 a = m1 a |
| 6 = h1 k l1 = h1 k m1 | 123 = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = h + (k1 + l) a = h + k m + k1 a |
| 7 = h1 k1 l a | 122 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 = h + k + l1 a |
| 8 = h1 k1 l1 a | 121 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = h + k + l a |
| 9 = 2 + 3 = h (k + l) = h (k + n) | 120 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (h1 + k1 l1) a = h k1 n1 + h1 a |
| 10 = 2 + 4 = h l1 = h n1 | 119 = 3 + 5 + 6 + 7 + 8 = (h1 + l) a = h n + h1 a |
| 11 = 2 + 5 = k (h + l = k (h + m) | 118 = 3 + 4 + 6 + 7 + 8 = (k1 + h1 l1) a = h1 k m1 + k1 a |
| 12 = 2 + 6 = k l1 = k m1 | 117 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = (k1 + l) a = k m + k1 a |
| 13 = 2 + 7 = h k + h1 k1 l a | 116 = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 = h k1 + h1 k + h1 k1 l1 a |
| 14 = 2 + 8 = h k + h1 k1 l1 a | 115 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = h k1 + h1 k + h1 k1 l a |
| 15 = 3 + 4 = h k1 | 114 = 2 + 5 + 6 + 7 + 8 = k + h1 a |
| 16 = 3 + 5 = (h + k) l = h n + k m | 113 = 2 + 4 + 6 + 7 + 8 = (h1 k1 + l1) a = m1 n1 a |
| 17 = 3 + 6 = h l + h1 k l1 = h n + h1 k m1 | 112 = 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = h l1 + (h1 l + k1 l1) a = k m + h n1 + h1 k1 a |
| 18 = 3 + 7 = k1 l a | 111 = 2 + 4 + 5 + 6 + 8 = k + l1 a |
| 19 = 3 + 8 = h l + h1 k1 l1 a = h n + h1 k1 l1 a | 110 = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = h1 l a + (h + k) l1 = k + h n1 + h1 l a |
| 20 = 4 + 5 = k l + h k1 l1 = k m + h k1 n1 | 109 = 2 + 3 + 6 + 7 + 8 = k l1 + (k1 l + h1 l1) a = h n + k m1 + h1 k1 a |
| 21 = 4 + 6 = (h k1 + h1 k) l1 = h k1 n1 + h1 k m1 | 108 = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 = h k + (h1 k1 + l) a = h k + h n + k m + h1 k1 a |
| 22 = 4 + 7 = k1 (h l1 + h1 l a) = k1 (h n1 + h1 l a) | 107 = 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = k + h l + h1 l1 a = k + h n + h1 l1 a |
| 23 = 4 + 8 = k1 l1 a | 106 = 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = k + l a |
| 24 = 5 + 6 = h1 k | 105 = 2 + 3 + 4 + 7 + 8 = h + k1 a |
| 25 = 5 + 7 = h1 l a | 104 = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = h + l1 a |
| 26 = 5 + 8 = k l + h1 k1 l1 a = k m + h1 k1 l1 a | 103 = 2 + 3 + 4 + 6 + 7 = k1 l a + (h + k) l1 = h + k m1 + k1 l a |
| 27 = 6 + 7 = h1 (k l1 + k1 l a) = h1 (k m1 + k1 l a) | 102 = 2 + 3 + 4 + 5 + 8 = h + k l + k1 l1 a = h + k m + k1 l1 a |
| 28 = 6 + 8 = h1 l1 a | 101 = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = h + l a |
| 29 = 7 + 8 = h1 k1 a | 100 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = h + k |
| 30 = 2 + 3 + 4 = h | 99 = 5 + 6 + 7 + 8 = h1 a |
| 31 = 2 + 3 + 5 = h k + (h + k) l = h k + h n + k m | 98 = 4 + 6 + 7 + 8 = {h1 k1 + (h1 + k1) l1} a = h k1 n1 + h1 k m1 + h1 k1 a |
| 32 = 2 + 3 + 6 = h l + k l1 = h n + k m1 | 97 = 4 + 5 + 7 + 8 = (h1 l + k1 l1) a = k m + h k1 n1 + h1 k1 a |
| 33 = 2 + 3 + 7 = h k + k1 l a | 96 = 4 + 5 + 6 + 8 = h1 k + k1 l1 a |
| 34 = 2 + 3 + 8 = h (k + l) + h1 k1 l1 a = h (k + n) + h1 k1 l1 a | 95 = 4 + 5 + 6 + 7 = h1 (k + l a) + h k1 l1 = h1 k + h k1 n1 + h1 l a |
| 35 = 2 + 4 + 5 = h l1 + k l = h n1 + k m | 94 = 3 + 6 + 7 + 8 = (h1 l1 + k1 l) a = h n + h1 k m1 + h1 k1 a |
| 36 = 2 + 4 + 6 = (h + k) l1 = h n1 + k m1 | 93 = 3 + 5 + 7 + 8 = (h1 k1 + l) a = h n + k m + h1 k1 a |
| 37 = 2 + 4 + 7 = h l1 + h1 k1 l a = h n1 + h1 k1 l a | 92 = 3 + 5 + 6 + 8 = h l + h1 (k + l1 a) = h n + h1 (k + l1 a) |
| 38 = 2 + 4 + 8 = (h + k1 a) l1 = h n1 + k1 l1 a | 91 = 3 + 5 + 6 + 7 = h1 k + l a |
| 39 = 2 + 5 + 6 = k | 90 = 3 + 4 + 7 + 8 = k1 a |
| 40 = 2 + 5 + 7 = h k + h1 l a | 89 = 3 + 4 + 6 + 8 = h k1 + h1 l1 a |
| 41 = 2 + 5 + 8 = k (h + l) + h1 k1 l1 a = k (h + m) + h1 k1 l1 a | 88 = 3 + 4 + 6 + 7 = k1 (h + l a) + h1 k l1 = h k1 + h1 k m1 + k1 l a |
| 42 = 2 + 6 + 7 = k l1 + h1 k1 l a = k m1 + h1 k1 l a | 87 = 3 + 4 + 5 + 8 = k l + k1 (h + l1 a) = k m + k1 (h + l1 a) |
| 43 = 2 + 6 + 8 = (k + h1 a) l1 = k m1 + h1 l1 a | 86 = 3 + 4 + 5 + 7 = h k1 + l a |
| 44 = 2 + 7 + 8 = h k + h1 k1 a | 85 = 3 + 4 + 5 + 6 = h k1 + h1 k |
| 45 = 3 + 4 + 5 = h k1 + k l = h k1 + k m | 84 = 2 + 6 + 7 + 8 = h1 k1 a + k l1 = k m1 + h1 k1 a |
| 46 = 3 + 4 + 6 = h k1 + h1 k l1 = h k1 + h1 k m1 | 83 = 2 + 5 + 7 + 8 = k (h + l) + h1 k1 a = k (h + m) + h1 k1 a |
| 47 = 3 + 4 + 7 = k1 (h + l a) | 82 = 2 + 5 + 6 + 8 = k + h1 l1 a |
| 48 = 3 + 4 + 8 = k1 (h + l1 a) | 81 = 2 + 5 + 6 + 7 = k + h1 l a |
| 49 = 3 + 5 + 6 = h1 k + h l = h1 k + h n | 80 = 2 + 4 + 7 + 8 = h1 k1 a + h l1 = h n1 + h1 k1 a |
| 50 = 3 + 5 + 7 = l a | 79 = 2 + 4 + 6 + 8 = l1 a |
| 51 = 3 + 5 + 8 = (h + k) l + h1 k1 l1 a = h n + k m + h1 k1 l1 a | 78 = 2 + 4 + 6 + 7 = (h + k) l1 + h1 k1 l a = h n1 + k m1 + h1 k1 l a |
| 52 = 3 + 6 + 7 = k1 l a + h1 k l1 = h1 k m1 + k1 l a | 77 = 2 + 4 + 5 + 8 = k (h + l) + k1 l1 a = k (h + m) + k1 l1 a |
| 53 = 3 + 6 + 8 = h l + h1 l1 a = h n + h1 l1 a | 76 = 2 + 4 + 5 + 7 = h l1 + h1 l a = h n1 + h1 l a |
| 54 = 3 + 7 + 8 = h l + h1 k1 a = h n + h1 k1 a | 75 = 2 + 4 + 5 + 6 = k + h l1 = k + h n1 |
| 55 = 4 + 5 + 6 = h1 k + h k1 l1 = h1 k + h k1 n1 | 74 = 2 + 3 + 7 + 8 = h (k + l) + h1 k1 a = h (k + n) + h1 k1 a |
| 56 = 4 + 5 + 7 = h1 l a + h k1 l1 = h k1 n1 + h1 l a | 73 = 2 + 3 + 6 + 8 = h (k + l) + h1 l1 a = h (k + n) + h1 l1 a |
| 57 = 4 + 5 + 8 = k l + k1 l1 a = k m + k1 l1 a | 72 = 2 + 3 + 6 + 7 = k l1 + k1 l a = k m1 + k1 l a |
| 58 = 4 + 6 + 7 = (h k1 + h1 k) l1 + h1 k1 l a = h k1 n1 + h1 k m1 + h1 k1 l a | 71 = 2 + 3 + 5 + 8 = h k + (h + k) l + h1 k1 l1 a = h k + h n + k m + h1 k1 l1 a |
| 59 = 4 + 6 + 8 = (h1 + k1) l1 a = h k1 n1 + h1 k m1 + h1 k1 l1 a | 70 = 2 + 3 + 5 + 7 = h k + l a |
| 60 = 4 + 7 + 8 = (h1 + l1) k1 a = k1 n1 a | 69 = 2 + 3 + 5 + 6 = k + h l = k + h n |
| 61 = 5 + 6 + 7 = h1 (k + l a) | 68 = 2 + 3 + 4 + 8 = h + k1 l1 a |
| 62 = 5 + 6 + 8 = h1 (k + l1 a) | 67 = 2 + 3 + 4 + 7 = h + k1 l a |
| 63 = 5 + 7 + 8 = k l + h1 k1 a = k m + h1 k1 a | 66 = 2 + 3 + 4 + 6 = h + k l1 = h + k m1 |
| 64 = 6 + 7 + 8 = (k1 + l1) h1 a = h1 m1 a | 65 = 2 + 3 + 4 + 5 = h + k l = h + k m |
Verbindet man auf jegliche Weise irgend eine von diesen 128 An - gaben mit irgend einer von den vieren in jeder nachstehenden Kolumne: XXIII0. Tafel der 256 Unterfälle von a1:
| 1 | 0 · α | 0 · β | 0 · γ | 0 · δ |
| 2 | l α | m β | n γ | m n δ |
| 3 | l |