Ernst Schröder †.

Von J. Lüroth in Freiburg i. Br.

Am 16. Juni 1902 starb Ernst Schröder, großh. badischer Hofrat und Professor der Mathematik an der technischen Hochschule Karlsruhe, nach einer Krankheit von nur wenigen Tagen an Gehirn - entzündung. Mit ihm ist ein guter und liebenswürdiger Mensch, ein tüchtiger Mathematiker, und mir vor allem ein lieber und treuer Freund verschieden, mit dem mich seit vierzig Jahren nahe Beziehungen verbanden.

Indem ich es unternehme, dem Verblichenen hier einige Blätter der Erinnerung zu weihen und über seine mathematischen Leistungen zu berichten, verhehle ich mir nicht die Schwierigkeiten, die mit dieser Aufgabe verbunden sind. Sie haben ihren Grund in dem Forschungs - gebiete, das Schröder besonders in den letzten Jahrzehnten pflegte, das von den gewöhnlichen Wegen mathematischer Bethätigung weit ab liegt. Wenn ich auch, durch den öfteren Verkehr mit Schröder, vielleicht etwas mehr in den Logikkalkul eingeweiht bin als manche Fachgenossen, so bin ich von einer gründlichen Vertrautheit weit ent - fernt; und ich muss daher die Kenner bitten, den Bericht über diese Dinge nachsichtig zu beurteilen.

Ernst Schröder stammte aus einer ursprünglich hannoverschen Familie. Sein Vater war G. Fr. Heinrich Schröder¹⁾Die in Anführungszeichen gesetzten Stellen sind fast wörtlich einer kurzen Selbstbiographie entnommen, die Schröder seinem Bilde im „ Geistigen Deutsch - land “beigegeben hatte., „ der sich durch viele mineralogische, chemische und physikalische Arbeiten, am meisten vielleicht als Vorläufer Pasteurs durch seine Untersuchungen über Fil - tration der Luft “eine geachtete Stellung in der Wissenschaft erworben hatte. Zuerst in seiner Vaterstadt München am polytechnischen Zentral - institut, dann an der Kantonschule in Solothurn thätig, siedelte er 1840 nach Mannheim über, wo ihm die Direktion der höheren Bürgerschulea*IVErnst Schröder †.übertragen wurde, aus der später das Realgymnasium hervorging. Er leitete diese Schule bis zu seiner 1873 erfolgten Pensionirung, nach der er 1876 seinen Wohnsitz in Karlsruhe nahm, wo später ausser seinem ältesten Sohne Ernst noch ein zweiter Sohn in hoher Staats - stellung thätig war. Er starb am 11. Mai 1885. Als erstes Kind aus seiner Ehe mit Karoline Walther, der Tochter des Pfarrers und Seniors Walther in Haunsheim, wurde Ernst am 25. November 1841 in Mannheim geboren. Er genoss zunächst zu Hause, dann zwei Jahre lang bei seinem Grossvater Walther eine vortreffliche Erziehung. Sein gutes Wortgedächtniss und ein grosses Sprachtalent befähigten den Kna - ben, der dem Unterricht von anderen Zöglingen seines Grossvaters bei - wohnte, spielend das Lateinische so weit zu erlernen, dass er im Alter von acht Jahren ziemlich gewandt lateinisch sprach.

„ Diese Frühreife hatte jedoch auch ihre Schattenseiten, indem sie den Knaben auf Unterrichtsgemeinschaft mit meist sehr viel älteren Genossen verwies, ihn der gleichaltrigen Spielkameraden beraubend und so den Grund zum Sondertum und einem Hang zu Einsamkeit legte.

Diesem Übelstande wurde einerseits entgegengewirkt durch mehr - malig freiwilliges Repetiren und Hospitiren in dem nun folgenden Besuch der drei Oberklassen der Schule seines Vaters, wo neuere Sprachen, Chemie und Naturgeschichte ihn besonders anzogen und er auch den Unterricht des namhaften Mathematikers August Weiler (der heute noch in Karlsruhe lebt) genoss.

Andererseits wurde derselbe gemildert durch die Pflege jeder Art von körperlicher Kräftigung gewidmeten Sports. Endlich wurde Schröder vor dem Übergang zum Gymnasium vier Monate lang zu einer befreundeten Oberförstersfamilie gegeben “. Im Jahre 1856 ging Schröder an das Lyceum in Mannheim über und trat in die viert - oberste Klasse, damals Unterquinta geheissen, ein.

Schröder muss mit seinen Mitschülern wenig Beziehungen gehabt haben. Er selbst kam nie auf solche zu sprechen, und, wenn ich, der zwei Jahre hinter ihm dieselbe Anstalt durchlaufen hat, manchmal solche Genossen erwähnte, zeigte sich gewöhnlich, dass Schröder sie kaum kannte. Im Herbste des Jahres 1860 bekam er das Zeugniss der Reife. „ Begeisterung für Naturerkenntniss und reges Interesse an philo - sophischen Spekulationen zeigten sich schon früh, so dass die Berufs - wahl nicht schwer fiel und im zehnten Lebensjahre schon für Schröder der Plan fest stand, sich mathematischen und physikalischen Studien, somit dem Lehrberufe zu widmen. “ Um diesen Plan auszuführen, wandte er sich nach Heidelberg, um unter Hesse, Kirchhoff undVVon J. Lüroth.Bunsen zu studiren. Er that dies mit solchem Eifer und Erfolg, dass er bereits 1862 das Doktorexamen mit der besten Note bestehen konnte.

„ Ein ihm verliehenes Stipendium führte Schröder dann nach Königsberg, wo er neben dem Hören von mathematisch-physikalischen Vorlesungen bei Neumann und Richelot sich eifrig an den Seminar - übungen über diese Disziplinen beteiligte und einige der dafür aus - gesetzten Preise erwarb. Der Herbst des Jahres 1864 schloss die Studienjahre ab. “

Schröder bestand bald darauf in Karlsruhe die Prüfung für Lehramts - praktikanten mit der Note „ gut “. Er hätte wahrscheinlich sofort eine Anstellung im badischen Schuldienst gefunden, wenn er es nicht vor - gezogen hätte, sich zunächst nach Zürich zu wenden. Dort habilitirte er sich für Mathematik am Eidgenössischen Polytechnikum und lehrte gleichzeitig in Vertretung des erkrankten Prof. Gräffe als Vikar an der Kantonschule.

In Zürich verkehrte Schröder sehr viel mit Waadtländern, wobei er Gelegenheit hatte, seine guten Kenntnisse des Französischen wesent - lich zu üben und zu verbessern. Seinen Neigungen zu Leibesübungen getreu benutzte er den Aufenthalt in der Schweiz zu vielen Bergtouren. Unter anderm besuchte er mit einem Freunde zusammen die Gletscher - welt im Hintergrund des Bagnethals, eines der südlichen Nebenthäler der Rhône, und machte dort zum Teil ohne Führer mehrere grosse Be - steigungen.

Obgleich die Stellung in Zürich Schröder seinen Lebensunterhalt sicherte, „ so schienen doch die Chancen für die geplante Laufbahn bei solcher Doppelstellung nach beiden Richtungen hin nicht sonderlich hohe “. Dieser Umstand und unliebsame Vorkommnisse persönlicher Art veranlassten Schröder im Sommer 1868 die Thätigkeit in Zürich aufzugeben und sich wieder dem heimischen Schuldienst zuzuwenden. Er erhielt zunächst eine Aushilfsstelle an der höheren Bürgerschule in Karlsruhe und kurze Zeit darauf eine Lehrstelle am Pädagogium in Pforzheim. Im Oktober 1869 legte er noch das zweite Examen, die sog. Dienstprüfung, mit der Note „ vorzüglich “ab.

Schröder war in diesen Jahren schon literarisch thätig gewesen. Er hatte damals eine gewisse Neigung zu Verallgemeinerungen. So interessirten ihn lebhaft die Bestrebungen, die Definition von Funk - tionen, die von natürlichen Zahlen abhängen, auch auf andere Zahl - formen auszudehnen. Einen Versuch ähnlicher Art hatte er selbst schon gemacht in der kleinen Arbeit über „ Vielecke mit gebrochenerVIErnst Schröder †.Seitenzahl “(1)¹⁾Die Nummern beziehen sich auf das Seite XVII folgende Verzeichniss der Schriften., die er noch als Heidelberger Student veröffentlicht hatte, indem er hierin den Begriff des p / q Ecks aufstellte. Ähnliche Verallgemeinerungen für den Raum führten ihn auf Polyeder von gebrochner Seitenzahl, und ich erinnere mich sehr sauber gearbeitete Pappmodelle von solchen Körpern bei ihm gesehen zu haben, die er während einer Masernkrankheit in Königsberg angefertigt hatte. Doch hat er über diese Dinge nichts veröffentlicht. Auch beschäftigte er sich eingehend mit den Versuchen Liouvilles und anderer, den Be - griff des Differentialquotienten auf beliebige Indices auszudehnen. In seiner Probevorlesung bei der Habilitation in Zürich behandelte Schröder diese Fragen. Eine Verallgemeinerung anderer Art knüpfte er (2) an die Maclaurinsche Summenformel. Er untersucht die Summe. einer Reihe von Funktionswerten, deren Argumente nicht wie gewöhnlich reelle Zahlen, sondern äquidistante Punkte einer be - liebigen Geraden der komplexen Zahlenebene sind. Er kommt hierbei auf Verallgemeinerungen der Bernoulli’schen Funktionen und gewisser von Ubbo Meyer eingeführter Zahlen, die mit den Binomial-Koeffi - zienten zusammenhängen und auf die er durch Kinkelin aufmerksam geworden. In einigen späteren Publikationen (5, 6, 16, 17) kommt er auf diese Dinge öfter zurück. Trotz der Belastung mit etwa 26 Schul - stunden konnte Schröder, der Zeit seines Lebens ein überaus fleissiger Arbeiter war und sich viele Nachtarbeit zumutete, während seines Pforz - heimer Aufenthaltes einige Arbeiten veröffentlichen (3, 4, 5, 6). Zwei von ihnen (3 und 4) beziehen sich auf eine von Eggers angeregte Methode, um Gleichungen durch Iteration aufzulösen. Die beiden anderen (5 und 6) sind wol entstanden bei den Vorarbeiten für das Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Sie behandeln die Frage, auf wie viele verschiedene Arten man ein Produkt von Zahlen berechnen könne. Als der Krieg im Jahre 1870 ausbrach, meldete sich Schröder in patriotischer Begeisterung freiwillig zum Dienst und wurde auch, der seiner Zeit bei der Konskription seiner Augen wegen zurückgewiesen war, als tauglich erklärt. Nach einer kurzen Ausbildungszeit in der Heimat wurde er der 4. schweren Batterie des badischen Feldartillerie - Regiments unter Hauptmann v. Froben zugeteilt. Sein jüngster Bruder stand gleichzeitig bei der Infanterie. Er machte die Belagerung von Strassburg und nach dessen Einnahme den Vormarsch der badischen Division nach Süden gegen Dijon mit, der mit einer Reihe von kleinenVIIVon J. Lüroth.Gefechten verbunden war. Aber vor den ernstlichen Zusammenstössen mit der französischen Südarmee erhielt Schröder die Nachricht, dass er zum Professor befördert sei und wurde bald darauf, am 1. Nov. 1870, nach Reklamation durch die Schulbehörde in die Heimat zurückgeschickt. Er wurde zum Lehrer für Mathematik und Naturwissenschaften an dem Pro - und Realgymnasium zu Baden-Baden ernannt. Diese Stelle behielt er bis zum Jahre 1874.

Während seines Aufenthaltes in Baden beschäftigte sich Schröder wesentlich mit den Arbeiten an seinem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, das 1873 erschien. Allerdings kam er nie dazu, seinen ursprüng - lichen Plan vollständig auszuführen und das auf 4 Bände berechnete Werk zu vollenden. Es blieb auf den ersten damals erschienenen Band beschränkt. In ihm behandelt er zunächst sehr ausführlich und ein - gehend den Zahlbegriff und erwähnt dabei, wol als der erste, das allem Zählen zugrunde liegende Axiom, dass die Anzahl unabhängig sei vom Zählprozess; dass man also, wenn man eine Menge wiederholt zähle, immer dieselbe Anzahl bekommen müsse, vorausgesetzt man habe sich nicht verzählt. Dann folgt eine ausführliche Erörterung über die arith - metischen Operationen und zwar über die direkten und inversen. Die direkten Operationen werden einmal untersucht auf Grund einer in - dependenten Definition, und dann, wesentlich nach Grassmann, unter Annahme eines rekurrenten Bildungsgesetzes. Um den Gebrauch von Klammern möglichst einzuschränken, gibt Schröder zwei Konventionen, die seither allgemeine Aufnahme in die Lehrbücher gefunden haben. In einem Anhang wird das Rechnen mit Produkten und Summenzeichen ausführlich erörtert, insbesondere werden die Regeln aufgestellt, die bei Vertauschung der Summationsordnung bei mehrfachen Summen die Änderung der Grenzen ergeben. In den vorhergehenden Kapiteln führt Schröder nun aber eine wesentliche Neuerung ein, indem er die gewöhnlich festgehaltene Eindeutigkeit der Umkehrungen fallen lässt und das Operiren mit mehrdeutigen Ausdrücken eingehend behandelt. Er benutzt hierbei schon das Unterordnungzseichen ⊂ und das Ein - ordnungszeichen, das in seinen späteren Veröffentlichungen über die Logik eine so grosse Rolle spielt. Ferner wurde er — wenn ich nicht irre durch die monatelange Einstellung des Druckes, die durch den grossen Setzerstreik des Jahres 1872 hervorgerufen war —, nach Hankels Vorgang veranlasst, weitergehende Untersuchungen einzufügen über die Gestalt, welche die arithmetischen Formeln annehmen würden, wenn die Operationen anderen als den gewöhnlichen Gesetzen gehorchten. Inbesondere dachte er dabei, dass die Multiplikation weder kommutativVIIIErnst Schröder †.noch assoziativ sein könnte. Sie würde dann zwei Umkehrungen, also zwei Divisionen zulassen, die Schröder als Messen und Teilen be - zeichnete und durch Doppelpunkt und Bruchstrich unterschied. Bei diesen Untersuchungen, die hier begannen, befolgte er zunächst den Zweck, die Folgerungen der einzelnen Annahmen von einander zu trennen, also herauszubringen, welche Formeln alleinige Folgerungen des Kommu - tationsgesetzes seien, welche die Folgen des Assoziationsgesetzes, welche endlich nur beim Zusammenwirken der beiden Gesetze Geltung hätten u. s. w. Im weiteren Verlauf dieser Spekulationen, die Schröder während seines ganzen Lebens beschäftigten, von denen aber nur wenige Resultate publizirt sind, stellte er sich eine sehr viel umfassendere Aufgabe. Die Multiplikation mit ihren beiden Umkehrungen kann als symbolische Bezeichnung einer Funktion von zwei Argumenten auf - gefasst werden mit ihren zwei möglichen Umkehrungen, und das Studium von Gleichungen zwischen solchen Funktionen war nun sein Ziel. Um dieses Problem einigermassen einzuschränken, benützte er den Umstand, dass in den gewöhnlichen arithmetischen Fundamentalgleichungen höch - stens sieben Buchstaben auftreten. Er beschränkte sich daher auf die Betrachtung von solchen Gleichungen mit nur sieben Buchstaben. Die Buchstaben sollen auf der rechten und linken Seite der Gleichungen nur durch Multiplikationen oder ihre beiden Umkehrungen verbunden sein. Ein spezieller Fall ist der, wenn auf der rechten und linken Seite je nur eine Operation zur Anwendung kommt. Bei den ent - sprechenden arithmetischen Gleichungen treten dabei höchstens sechs Buchstaben auf, und deswegen beschränkt sich Schröder auch bei seinen Untersuchungen des speziellen Falles auf Gleichungen mit höch - stens sechs Buchstaben. Er betrachtet dabei diese Buchstaben als ganz allgemeine Zahlen, schliesst alle speziellen Zahlenwerte wie 0, 1 u. dergl. aus, und nimmt an, die Multiplikation wie ihre Umkehrungen seien voll - kommen eindeutig. Er hatte nun die Absicht, die bei den angegebenen Beschränkungen möglichen Gleichungen auf ihre Folgerungen zu unter - suchen, d. h. alle aus einer Gleichung folgenden anderen Gleichungen aufzustellen. Die Gesamtheit aller dieser Folgerungen nannte er in dem allgemeineren der oben genannten Fälle einen „ Kalkul “, im speziellen einen „ Algorithmus “. Die Gleichungen eines solchen Algorithmus oder eines Kalkuls zerfallen in zwei Klassen, indem nämlich aus einer Gleichung die sämtlichen anderen folgen oder nicht. Schröder hat einen ausserordentlichen Fleiss und eine grosse Arbeitskraft auf diese Studien verwendet, von deren Resultaten er Einzelheiten in einer Reihe von Arbeiten veröffentlicht hat (10, 11, 20, 22, 24, 25, 26). IXVon J. Lüroth.Insbesondere beschäftigte ihn ein System von 990 Gleichungen, die in der Gesamtheit von 7342 möglichen Gleichungen eine hervor - ragende Rolle spielen und deren Struktur er eingehend untersucht. Um die Möglichkeit der Algorithmen oder Kalkule und ihre Unabhängig - keit von einander zu beweisen, wendet er zwei Mittel an. Er kon - struirt Lösungen mit Hilfe der gewöhnlichen mathematischen Formeln, indem er einen Bruch, dessen Zähler und Nenner bilineare Funktionen von zwei Veränderlichen sind, so einrichtet, dass er die gegebene Funktionalgleichung erfüllt. Ferner konstruirt er Funktionstafeln, d. h. Tafeln, die zu gegebenen Argumentwerten den Funktionswert liefern, indem er dabei die Anzahl der möglichen Argumentwerte klein, höchstens gleich 8 annimmt. Für den Fall von nur 4 Argumentwerten stellt er die sämtlichen 576 Funktionstafeln auf, die bei eindeutigen Umkehrungen möglich sind, und für den Fall von acht Argumentwerten solche Tafeln, die gegebenen Funktionalgleichungen genügen, während sie bei weniger als acht Werten unmöglich sind. Bei all diesen Unter - suchungen zeigt Schröder eine grosse Gewandtheit in der Behandlung kombinatorischer Probleme, wie er solche auch in einigen speziellen Abhandlungen untersucht hat. Einige habe ich schon früher erwähnt. In einer anderen (21) bestimmt er die Anzahl der Substitutionen, welche in eine gegebene Zahl von Zyklen zerfallen. Bei all diesen Problemen kommt ihm seine Übung in der Benützung der Ubbo Meyer’schen Fakultäten-Koeffizienten, von denen schon früher die Rede war, zugute.

Während seines Aufenthaltes in Baden-Baden begann Schröder auch die Erlernung der russischen Sprache und benutzte seine freie Zeit, um die schöne Umgebung der berühmten Bäderstadt nach allen Richtungen hin in tüchtigen Fussmärschen, auf denen ich ihn öfter begleitete, kennen zu lernen.

Seine mathematischen Arbeiten bewirkten, dass er im Jahre 1874 nach Darmstadt an die technische Hochschule als ordentlicher Professor der Mathematik berufen wurde. Im Jahre 1876 folgte er einem Rufe an die technische Hochschule nach Karlsruhe; hier lehrte er, seiner Neigung entsprechend, die Fächer der Arithmetik, Trigonometrie und höheren Analysis. In dieser Stellung blieb er, später zum Hofrat er - nannt, bis zu seinem Tode. Das Vertrauen seiner Kollegen berief ihn im Jahre 1890 zum Direktor des Polytechnikums, während er dem Senat der Hochschule wiederholt angehört hatte.

Unter den Arbeiten, die er in Darmstadt und Karlsruhe veröffent - lichte, verdient neben den sofort zu besprechenden besonders die über „ Ein auf die Einheitswurzeln bezügliches Theorem der FunktionenXErnst Schröder †.lehre “(12) Erwähnung, weil Schröder hier ein einfaches Beispiel einer analytischen Formel gibt, die in verschiedenen Teilen ihres Gebietes verschiedene Werte annimmt. Dieses Beispiel wurde später von Weier - strass benutzt.

Schon bei der Vorbereitung zu dem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra war Schröder, wol durch Robert Grassmann’s Formenlehre, auf die rechnerische Behandlung der Logik aufmerksam geworden. Diese Disziplin war es, welche seit seiner Übersiedlung nach Karlsruhe sein wissenschaftliches Leben vollständig erfüllte. Er lernte die Werke von Boole, De Morgan, Ch. S. Peirce und anderen besonders englischen und amerikanischen Autoren über die mathematische Logik kennen und studirte eifrig die Schriften von Sigwart, Trendelenburg, Lotze, Überweg, Wundt u. s. w. über den philosophischen Teil dieser Disziplin.

Er ging nun daran die von den Vertretern der mathematischen Logik erhaltenen Resultate in einheitlicher Weise darzustellen. Es gelang ihm zunächst das System von Boole dadurch zu verbessern, dass er die Benutzung der gewöhnlichen Zahlen als unnötig nachwies. Die Division und Subtraktion ersetzte er durch Einführung der Nega - tion. Er hatte schon in seinem Lehrbuch der Arithmetik sich dahin ausgesprochen, dass man dann im Stande sein müsse, mit der Termino - logie, die einem nun zu Gebote stehe, alle Beziehungen auszudrücken, in denen Begriff dem Umfang nach stehen. In dem kleinen Buche (13) „ Operationskreis des Logikkalkuls “, das 1877 erschienen ist, gibt er in diesem Sinne eine kurze Übersicht der Theorie. Er operirt mit Klassen von Dingen, d. h. mit der Gesamtheit aller Dinge, die gegebene Merkmale gemein haben. Zwei Klassen a und b können Individuen ge - mein haben; deren Gesamtheit wird mit a · b oder a b bezeichnet. Da - gegen soll unter a + b die Klasse der Dinge verstanden werden, die entweder zu a oder zu b gehören. Indem man nun immer auf die Individuen zurückgeht, beweist man die Rechengesetze, die mit den ge - wöhnlichen identisch sind, aber deswegen einfacher ausfallen, weil in der Logik a + a = a und a · a = a ist. Die Menge der Dinge, die nicht zu a gehören, wird mit ā bezeichnet. Dies ist die in späteren Schriften adoptierte Bezeichnung, früher schrieb Schröder dafür a1. Für diese Negation gelten die Gesetze (a̅ +̅ b̅) = ā · b̄ und (a̅ b̅) = ā + b̄. Diese wenigen Formeln reichen hin, um einen grossen Teil der Logik des Umfanges der Begriffe im rechnerischen Gewande darzustellen. Erst im Jahre 1890 liess Schröder diesem kleinen Werke den ersten Band (27) einer ausführlichen auf drei Bände berechneten Darstellung der Logik in mathematischem Gewande, der exakten Logik, wie er sieXIVon J. Lüroth.gern nannte, folgen. In diesen „ Vorlesungen über die Algebra der Logik “gibt uns Schröder eine ausführliche systematische Dar - stellung der ganzen Theorie, in der er die Forschungen der Engländer und Amerikaner, insbesondere von Charles S. Peirce, in einheitlichem Gewande, vermehrt durch zahlreiche eigene Untersuchungen vorträgt. Wie in seinem früheren Schriftchen, beschränkt er sich hier auf die Logik des Umfangs. Während er aber früher die Beweise und Definitionen auf die Betrachtung der Individuen gründete, stellt er jetzt in rein formaler Weise Definitionen an die Spitze, die einen Kalkul darstellen, den er als „ identischen “bezeichnet. In dieser Weise wird zunächst die Subsumtion definirt, oder wie Schröder sagt, die Ein - ordnung, dann die Summe und das Produkt. Um die Formeln all - gemein gültig zu machen und gewisse Ausnahmen zu vermeiden, be - nutzt er mit Boole die durch das Symbol 0 bezeichnete Nullklasse, zu der im Gegensatz die Klasse 1 steht, die allen anderen übergeordnet ist und den ganzen Denkbereich umfasst. Es gelingt mit Hilfe von diesen Definitionen, eine ganze Anzahl der Rechnungsregeln des identischen Kalkuls zu beweisen. Insbesondere auch den einen Teil des Distributions - gesetzes a b + a ca (b + c). Dagegen gelingt es nicht, auch dessen zweiten Teil a (b + c)a b + a c abzuleiten; und in einem Anhang an das Buch gibt sogar Schröder einen strengen Beweis dafür, dass dies unmöglich ist, indem er eine Gruppe von Operationen aufzeigt, welche die Gesetze des identischen Kalkuls erfüllen, ohne dass der zweite Teil des Distributionsgesetzes gilt. Die genannten Deduktionen werden unterbrochen durch eine Untersuchung über die Deutung der Operationen, über die Übersetzung aus der Wortsprache in die Zeichensprache, wobei besonders die verschiedene Bedeutung von „ oder “genau studirt wird. Um nun auch den zweiten Teil des Distributionsgesetzes zu beweisen, benutzt Schröder die Negation und setzt jenen zweiten Teil für einen speziellen Fall voraus. DieNegation ā einer Klasse a, die Schröder das Negat von a nannte und „ a-Strich “aussprach, definirt Schröder ebenfalls rein formal und zeigt dann ihre Identität mit denjenigen Dingen des Denkbereiches auf, die zur Klasse a nicht gehören. Die Frage, wie Urteile, die eine Ver - neinung enthalten, in die Zeichensprache zu übersetzen seien, macht eine genauere Untersuchung nötig über die Bedeutung eines Urteils, das eine Negation enthält; er entscheidet sich dafür, „ a ist nicht b “zu übersetzen durch a = b̄, womit er sich an die Ansicht von Aristoteles und Wundt anschliesst. Die Negation erlaubt, die Subtraktion und die Division, welche die englischen Logiker noch benutzt hatten, ganz zu umgehen und damit gewisse Schwierigkeiten zu vermeiden, die sich sonst einstellen. Die Be -XIIErnst Schröder †.handlung von Gleichungen gestaltet sich im Logikkalkul besonders einfach, da man alle Gleichungen in eine einzige zusammenfassen, die eine Seite auf 0 bringen und die andere in eine lineare und homogene Funktion der unbekannten Klasse und deren Verneinung entwickeln kann. In dieser Form lässt sich dann leicht die Bedingung für die Löslichkeit, d. h. die Resultante, und der Ausdruck für die unbekannte Klasse ablesen. Eine Reihe von Beispielen zeigt die Übersetzung eines Systems von Prämissen in die Zeichensprache und die weitere Behandlung durch die Rechnung, die sich öfters überraschend einfach gestaltet. Ein Nachteil dieser Theorie ist es, dass sie nur universale Urteile behandeln kann und dass partikulare Urteile sich in ihr nur schwer unterbringen lassen. Diesem Übelstand begegnet Schröder in dem 1891 erschienenen zweiten Bande seiner Vorlesungen, von dem aber leider nur die erste Abteilung herauskam. Schröder führt in diesem Buche neben dem Subsumtions - zeichen das Ungleichheitszeichen ein, für das er das Zeichen ≠ benutzt. Er kann dann das Urteil, einige a sind b durch die Formel a b̅ ≠ 0 ausdrücken. Um die Deduktionen zu erleichtern, und in gewisser Be - ziehung auch als eine Anwendung des identischen Kalkuls, benutzt Schröder den ebenfalls von Boole erfundenen sog. Aussagenkalkul d. h. eine symbolische Zusammenfassung von Aussagen durch Zeichen. Man kann (nach Mac Coll) jedem Urteil oder jeder Aussage ein Wert - zeichen zuteilen; und zwar das Zeichen 0, wenn die Aussage falsch ist, und das Zeichen 1, wenn sie richtig ist. Dann kann man, indem man unter den Aussagen oder den sie vertretenden Buchstaben, diese Wert - zeichen versteht, mit den Aussagen rechnen, indem man die Gesetze 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0; 1 · 1 = 1 00 01 11 0̅ = 1, 1̅ = 0 benutzt. Die Formel ab zwischen den zwei Aussagen a und b, sagt dann aus: wenn a gilt, so gilt b, oder aus a folgt b, oder a zieht b nach sich (nicht wie man etwa versucht wäre zu denken, aus b folgt a). Schröder benutzt mit Boole, um den identischen Kalkul anwenden zu können, immer die Zeiträume, in denen die einzelnen Ur - teile gelten. Die getroffenen Festsetzungen verlangen, dass ein Urteil, das niemals wahr ist, immer einem richtigen eingeordnet ist. Hier - durch werden zwar Ausnahmen vermieden, es ergeben sich aber anderer - seits auch Sätze, die auf den ersten Blick etwas Fremdartiges haben und deren Richtigkeit man sich erst besonders zum Bewusstsein bringen muss. Schröder betrachtet nach sorgfältiger und eingehender Dis -XIIIVon J. Lüroth.kussion des Aussagenkalkuls die fünf möglichen Beziehungen, die nach Gergonne zwei Klassen zu einander haben können, und deren Ver - bindungen miteinander. In ähnlicher Weise untersucht er die vier primitiven Urteile De Morgan’s über zwei Klassen. Hierbei macht die Zulassung der 0-Klasse einige Schwierigkeiten. Mit Hilfe der ge - wonnenen Resultate werden dann die Syllogismen der alten Logik sorgfältig studirt und gezeigt, dass sie auf die von Miss Ladd gegebene Regel hinauslaufen, dass drei Klassen a, b, c, nicht gleichzeitig die Gleichungen a b = 0, b̅ c = 0 und die Ungleichung a c ≠ 0 befriedigen können. Diese syllogistischen Untersuchungen werden noch erweitert, indem andere zwischen drei Begriffen mögliche Prämissen betrachtet werden, welche in der gewöhnlichen Syllogistik nicht auftreten. Bei all diesen Eliminationsproblemen zwischen Gleichungen und Ungleichungen ergibt sich die Notwendigkeit, den Resultanten eine Klausel beizufügen, die das Auftreten von Ausartungen unmöglich machen soll. Und diese Klausel wieder leitet Schröder dazu über, den Begriff des Individuums festzustellen, d. h. in einer Formel auszusprechen, wann eine Klasse ein Individuum ist. Die ganze Untersuchung dieses zweiten Bandes macht ausführliche Erörterungen über verschiedene Gegenstände der allgemeinen Logik, partikulare Urteile, die Verneinung, die Kon - version und dergleichen nötig. Auch eine Reihe von Beispielen werden mit der Rechnung behandelt. Im Jahre 1895 erschien der dritte Band der Algebra der Logik (34) mit dem Untertitel „ Algebra und Logik der Relative “. Allerdings ist von diesem Buch nur eine erste Abteilung publizirt und ob sich eine zweite Abteilung aus Schröder’s Manuskripten wird zusammenstellen lassen, ist zur Zeit noch nicht bekannt. Der Schöpfer dieser Logik der Relative ist Charles S. Peirce, und seine Theorie ist es im wesentlichen, die Schröder vorträgt. Unter einem Relativ versteht bekanntlich Peirce die Gesamtheit aller Aussagen, die sich darüber machen lassen, ob sich irgend zwei Individuen i und j des Denkbereichs in einer bestimmten Beziehung A zu einander befinden. Zu der Aussage „ i steht zu j in der Beziehung A “gehört ein Wertzeichen ai j, ein Relativkoeffizient, wie Schröder sagt, der diese Aussage, je nachdem er 1 oder 0 ist, als wahr oder unwahr kennzeichnet. Das zu A gehörige Relativ a ist dann die Gesamtheit aller Aussagen oder aller Relativkoeffizienten, die allen möglichen Paaren von Ele - menten des Denkbereichs entsprechen.

Aus zwei Relativen, a und b, werden nach bestimmten Regeln neue Relative abgeleitet. Und zwar betrachtet man zwei Additionen und zwei Multiplikationen: je eine identische und eine relative.

Die identische Summe a + b und das identische Produkt, bezeichnet durch a · b oder einfacher a b, sind Relative, die durch die Relativ - koeffizienten ai j + bi j bezw. ai j · bi j definirt sind, wobei hier, wie im folgenden, die Rechnungen mit den Wertzeichen nach den beim Aus - sagenkalkul angeführten Regeln erfolgen. Das relative Produkt be - zeichnet Schröder mit a; b und spricht es a von b. Bei ihm ist der Relativkoeffizient (a; b) i j = 1, wenn es irgend ein Element h des Denk - bereiches gibt, für das ai h bh j = 1 ist, dagegen ist er Null, wenn dies nicht der Fall ist.

Die relative Summe bezeichnet Schröder mit ab, was er „ a piu b “aussprach. Sie ist dadurch definirt, dass der Relativkoeffizient (ab) i j = 1 ist, wenn für jedes Element h des Denkbereichs ai h + bh j = 1 ist, Null dagegen, wenn dies nicht eintritt.

Neben diesen sich auf zwei Relative erstreckenden Operationen beziehen sich die Negation und Konversion auf nur ein Relativ. Das negirte Relativ a, das Schröder mit ā bezeichnet, hat den Relativ - koeffizienten āi j[und] das konvertirte ă, das Schröder „ a convers “aussprach, den ai j. Ein Relativ a ist einem b eingeordnet, oder in Zeichen es ist ab, wenn zwischen allen Relativkoeffizienten die Be - ziehung ai jbi j besteht.

Die gegenseitigen Beziehungen, die zwischen Relativen hiernach stattfinden können, und deren Zahl gegenüber den bei Zahlen möglichen gross ist, werden ausführlich untersucht. Während die Peirceschen Arbeiten, an sich nicht leicht zu lesen, durch den Wechsel der Be - zeichnungen sehr schwer verständlich sind, bietet das Studium des Schröderschen Buches keine wesentlichen Schwierigkeiten, indem es in einheitlicher Durchführung und hinreichender Ausführlichkeit die einschlägigen Fragen beantwortet. Ähnlich wie bei dem identischen Kalkul lässt sich jedes System von Gleichungen durch eine einzige Gleichung ausdrücken. Der relative Kalkul leistet aber noch mehr, indem sich auch jedes System von Ungleichungen, ja sogar die Forderung, dass von einer Anzahl Gleichungen und Ungleichungen eine oder die andere gelte, durch eine einzige Gleichung ausdrücken lässt. Schröder behandelt ausführlich die Herstellung der Resultante, die erfüllt sein muss, damit die Auflösung möglich ist, und die Auflösung selbst. Während aber die erstere sich herstellen lässt, erfordert die letztere so - gar unter Umständen unendliche Operationen. Für eine begrenzte An - zahl von Gleichungen werden alle möglichen Aufgaben ausführlich er - ledigt. Als eine Anwendung der Theorie gibt dann Schröder die Darstellung der Lehre von den Zahlen, wie sie in Dedekind’sXVVon J. Lüroth.bekannter Schrift „ Was sind und was sollen die Zahlen “enthalten ist, im Gewande des Relativkalkuls. Er weist zunächst nach, dass die wichtigsten Sätze Dedekinds als allgemeine Sätze über Relative unter der Geltung gewisser Prämissen erscheinen. Dann aber zeigt er, dass sich die Theorie noch wesentlich vereinfachen lasse.

Weitere Studien betreffen die Mengen oder Systeme von Individuen, die man auch als Relative auffassen kann, und deren Abbildung auf einander, wobei die von Cantor und von Dedekind eingeführten Be - griffe der Gleichmächtigkeit und Ähnlichkeit, die auf der eindeutigen Abbildung beruhen, zur Sprache kommen. Schröder formulirt die nötigen Definitionen durch Beziehungen zwischen Relativen, die ge - statten, daraus Sätze abzuleiten, ohne dass man nötig hat, auf die Individuen zurückzugehen. Weitere Anwendungen werden endlich noch gemacht auf den Begriff der Funktion und den der Substitution. Als eine Fortsetzung der zuletzt erwähnten Untersuchung erscheinen zwei Abhandlungen (36, 37, 38) aus dem Jahre 1896, die allerdings erst 1898 erschienen sind. In der einen vergleicht Schröder eine von Peirce herrührende Definition der Endlichkeit eines Systems mit der Dedekind - schen Definition der Unendlichkeit und zeigt durch Rechnung, dass die eine die Negirung der andern ist. Im Anschluss daran beweist er vier von den fünf Sätzen, die Cantor über Mengen von gleicher Mächtig - keit aufgestellt hat, ohne dass er dabei von den transfiniten Zahlen Gebrauch machen muss. Den fünften Satz allerdings konnte er damals noch nicht herleiten.

In der zweiten stellt er mit Hilfe der Relativoperationen die Be - dingung her, dass zwei Relative, die Systeme sind, gleich viele Indi - viduen enthalten und ferner die Bedingung, dass die Anzahl dieser Individuen 0, 1, 2 oder 3 ist.

Durch diese Relativoperationen, glaubt Schröder, sei ein wesent - licher Schritt vorwärts gethan nach dem Ziel einer allgemeinen Pasi - graphie, nach einer allgemein verständlichen, von den nationalen Sprachen unabhängigen Zeichensprache zur Darstellung wissenschaftlicher Er - örterungen. Dass die Peirce’sche, von ihm verbesserte Zeichensprache des Relativkalkuls neben dem Aussagenkalkul dies eher zu leisten im - stande ist als die Symbole Peano’s und seiner Schüler, ist wol sicher. Ob aber das Schrödersche Ideal, wie er es in einer geistvollen Karls - ruher Rektoratsrede über das Zeichen (31) und einem Vortrag auf dem Züricher Mathematikerkongress (39 und 40) hingestellt hat, sich ver - wirklichen wird, muss zur Zeit dahingestellt bleiben.