Sect. 1. VOn den lineen.

Die lineen ſind zweyerley / gerade und krumme / dieBKrum -6FORTIFICATIONKrummen ſind mancherley / gehoͤren aber keine eigentlich hieher / als Circkel und Circkelſtuͤcke.

Eine gerade Linee iſt die kuͤrtzeſte diſtantz zwiſchen zweyen puncten; Bey den Lineen ſind zweyerley Accidentia und Zufaͤlle inſondeꝛheit zubetrachten / Pa - rallelismus und interſectio, Parallel oder gleichlauffende Lineen ſeyn / welche an allen Enden und Ecken gleich weit von einander ſtehen / und nirgend / wenn ſie auch in infinitum erſtreckt wuͤrden / zuſammen kommen.

Problem. 1. Einer gegebenen geraden Lineen eine Parallel-Linie zu ziehen. Es ſey gegeben die Liniee a b / dieſer eine andere parallel zu ziehen / beſchreibe ich aus den punct c und d Bogen oder Zirckelriſſe e und f, ſo weit die parallel - Lineen von einander ſtehen ſollen / als nemlich in der Laͤnge A B, und ziehe genaw uͤber ſolche Bogen eine gerade Linee g h. Wann die Linee lang / kan man wohl 3. oder mehr Bogen machen. Man hat zwar mehr und andere Modos dieſer abeꝛ iſt in praxi der leichteſte und kan auff dem Felde auch leicht zu Wercke geſtellet werden / wenn ich nemlich die Kette oder Strick in den Puncten c und d mit Pfaͤhlen feſt mache / und denn ſo weit die parallel-Lineen ſollen von einander ſte - hen / die Bogen e und f beſchreibe / und mit Staͤben abſtecke Fig. 1.

Problem. 2. [Einer] gegebenen Linee eine Parallel-Linee durch einen gewiſſen gegebenen Punct auſſerhalb der Lineen zuziehen: Es ſey gegeben die Linee i k uñ uͤber derſelben der Punct l, Als ſetze ich den einen Fuß des Circkels in den gege - benen Punct / und ziehe einen Bogen der die Linee gerade in m beruͤhre; Behalte deñſelbe apertur deß Circkels / und ſetze einen Fuß nach Beliebung auff die Lineein7oder Kriegs-Bau-Kunſt.in n, und mit dem andern ziehe ich den Bogen o, So ich nun durch den punct l, uͤber den Bogen o eine gerade Linee als p q, ziehe / iſt ſolche der vorigen parallel; Da aber der punct weit auſſerhalb der Lineen als in r were / muß ich die Linie i k biß in s nur blind verlaͤngern / und wie vorgemeldt procediren. Fig. 2.

Oder Fig. 3. beſchreibe ich aus dem gegebenen Punct p, den Circkel-Bogen vv u, nach Beliebung behalte denn des Circkels-apertur, und beſchreibe aus vv den Bogen p x, mache vv u mit p x gleicher Laͤnge / und ziehe durch p und u die Linee y z ꝛc. Wer mehr caſus zu wißen begehrt / der beſehe Metium, Urſinum Trewen / Svventerum und andere.

Sect. 2. Von den Concurſu der Linien und Winckel:

Weñ zwey Linien (man redet dieſes Orts nur von den geraden Linien / mit den Krummen hat man vor dieſesmahl nichts zuſchaffen) nicht parallel / ſondern mit den Enden zuſamme lauffen / machen ſie einen / wo aber eine die andere vor - bey laufft / zwey: Wo ſie aber einander durchſchneiden / vier Winckel. Solche Winckel ſind entweder recht / wenn nemlich die Lineen perpendiculariter, Win - ckelrecht / oder nach den Winckelhacken an einander fallen / oder nicht recht / ſon - dern obliq. und dieſer ſind zweyerley / ſpitziger ſo kleiner / Stumpffe / ſo groͤſſer als recht.

Problem: 1. Eine perpendicular-Linie zu machen ſo gerade mitten auff die gegebene Linee auffaͤllet / oder ſelbige rechtwinckelich durchſchneidet. Es ſey gegeben die Linee a b, auff dieſe ſetze ich den einen Fuß des Circkels in a, und thue Jhn nach Beliebung / doch etwas uͤber die Helffte auff / und reiſſe unten und uͤbeꝛB ijder8FORTIFICATION. der Linee zwey Circkulriſſe / ſolche ſchneide ich unverꝛuͤcktes Circkuls aus b, in c, und d durch / ziehe deñ die Linee c d, ſolche faͤllet in e auf die Linee a b perpendi - culariter, ſo ich ſie aber biß d verlaͤngere / ſchneidet ſie dieſelbe rechtwincklich durch / und machet nicht allein mit derſelben 4. rechte Winckel / ſondern theilet auch ſelbige zugleich in zwey Theil; So ich aber zu den Durchſchnitt d, unter deꝛ Linee keinen Raum habe / thue ich den Circkul etwas weiter auff / und mache uͤber den Durchſchnitt c einen Durchſchnitt oder thue den Circkul etwas naͤher zuſammen / doch daß er uͤber die Helffte der vorgegebenẽ Linee iſt / und mache un - ter den Durchſchnitt c einen andern in f und ziehe durch c f eine Linee / biß ſie die gegebene Linee in e beruͤhret. Fig: 4. Wie ich nu oben zwey Durchſchnitte machen kan / wenn unten kein raum iſt / alſo kan ich auch unten zwey Duꝛchſchnitte machẽ / wenn oben kein raum iſt.

Conſect. 1. Wenn ich iedes Theil der Linee a b Fig. 4. / nemlich a e / und b e, wider obgedachter maſſen in zwey Theil theile / ſo iſt dieſelbe in vier / und dẽ iedes wieder in zwey / iſt ſie in 8. Theil / und ſo fort an / abgetheilet / als g a, iſt ein Viertheil der Liniea a b.

Conſect. 2. Eben auff dieſe Weiſe kan ich auch eine krumme Linee oder Cir - ckul-Stuͤcke / wie auch einen Winckel in 24. 8. oder dergleichen Theile abtheilen. Es ſey gegeben das Circkul-Stuͤcke / g h, als ſetze ich einen Fuß deß Circkuls in g, thue den Circkul etwas uͤber die Helffte auff und beſchreibe uͤber demſelben ei - nen Bogen / ſolchen ſchneide ich aus dem andern Ende h, in i, durch / ruͤcke den Circkul etwas naͤher zuſammen / (denn ſonſt faͤllet der unterſte Schnitt zu weithin -9oder Kriegs-Bau-Kunſt.hinaus / doch wo man wil / und raum hat / kan man vorige apertur des Circkuls wohl behalten) und mache aus g und h den Durchſchnitt k unterwarts / und ziehe denn die Linee i k, ſolche theilet den Circkul-Bogen g h, in l, in zwey Theile / wenn ich nun ein Stuͤck deſſelben als h l, wiederumb beſagter maſſen in zwey Theil theile / ſo iſt m h, ein Viertel des Circkuls-Stuͤcks / und da die Linee i k, und n o, einander / als nemlich in p durchſchneiden / iſt ſolcher punct das Centrum deſſelben Circkul-Stuͤcks. Fig. 5. Und auff ſolche Maſſe kan man auch in ei - nem gantzen Circkul das Centrum ſuchen / dafern man ſolches nicht hat / wann man nur zwey Gemercke / ohngefehr in die mittẽ a b in Circkul macht / ſolch Stuͤ - cke / welches die zwey Gemercke begreifft / vor ein Circkul-Stuͤcke ſich nur einbil - det / und angewieſener maſſen procediret, wie Fig. 6. zeiget. Gleich wie ich nun in gerader Lineen-Zertheilung / oben oder unten / wenn an einem Orte kein Raum iſt / zwey Durchſchnitte machen kan / alſo kan ich auch in Zertheilung eines Cir - ckuls-Stuͤcks procediren.

Die Theilung eines Winckels betreffende / ſetzet man einen Fuß des Cir - ckuls in des Winckels Spitze oder punct q, und machet auff beyden Seiten Lineen / q vv, und q x Gemerck in r und ſ, nach Beliebung / iedoch daß ſie gleiche lang ſeyn / und aus dieſen Puncten den Durchſchnitt t, ſo ich nun die Linee t q ziehe / theilet ſelbige dem Winckel in zwey Theile / wenn ich nun den Winckel x q t oder vv q t, wiederumb in zwey Theil theile / ſo procedire ich wie vorhin / und iſt vv q u ein Viertheil des Winckels vv q x, und die Helffte des Winckels vv q t Fig. 7.

Auff dem Felde ſchlaͤget man nur bey r und s, nachdem man die Lineen q rB iijund10FORTIFICATIONund q s, gemeſſen / und gleich lang gemacht pfaͤhle ein / und haͤnget ein Ende der Ketten auff r, daß andere auff s, und nimmt zwey gleiche lange Stuͤck zu beyden Seiten / und haͤlt ſie mit den Haͤnden in Punct t, zuſammen und ſtecket den von q durch t mit Staͤben eine Linee ab / oder da die Lineen lang / richtet man aus r und s[perpendicular] - Lineen auff / ſo einander in y durchſchneiden / wie allbereit angewieſen / in dem man auff den Lineen q x und q vv, auff ieder noch ein Ge - mercke machet / in a und b, ſo lang als q s und q r iſt / und ſtecket deñ von q durch y eine Linee mit etlichen Staͤben ab / ſo lang als man wil / wie Fig. 8. weiſet / die - ſes iſt zuerinnern / daß nur ein Durchſchnitt uͤber den Punct s und r, zu den per - pendicular-Lineen gemacht werden darff / weiln allbereit die Puncta r, und s, worauff die perpendicular-Lineen fallen ſollen / verhanden ſeyn; Wenn man nun zwey puncta hat / kan man alſobald perpendicular oder parallel-Lineen zie - hen / und darff alſo des dritten Puncts nicht;

Problem. 2. Eine perpendicular-Linee / auff eine andere zumachen / ſo nicht mitten / ſondern in einem andern Punct auffaͤllet / oder dieſelbe durchſchneidet: Es ſey gegeben die Linee a b, und auff derſelben der punct c, auff dieſen ſoll eine Linee perpendiculariter auffallen / als ſetze ich den einen Fuß des Circkuls in c und mache zu beyden Seiten auff der Linea a b in d, und e gemercke / nach Be - liebung / iedoch gleiche weit. Aus dieſen Gemercken mache ich denn einen Durch - ſchnitt in f oder nun in g, weiln ich allbereit den einen Punct in c habe / und nicht mehr als einen Durchſchnitt unten oder oben machen darff / und ziehe die Linea f c oder g c, nachdem ich oben oder unten den Durchſchnitt gemachet habe Fig. 9.

Problem. 3. Eine perpendicular-Linee zu machen die Gerade auffs Ende auffalle.

Jn vorgegebener Figur ſoll ich eine perpendicular-Linien ziehen / die auffs Ende b auffalle / ſetze derowegen den einen Fuß des Circkuls in b mit den andern uͤber der Lineen hineinwerts / wo ich hin wil / mache ich einen Punct i, behalte deſſelben apertur, laſſe den einen Fuß des Circkuls in i ſtehen / und ziehe ein Cir - ckul-Stuͤcke / ſo die Linee a b in k, durchſchneidet / vom k ſetze ich dich diſtantz i b, oder i k dreymahl auff den Circkul-Stuͤcke biß in l herum / und ziehe von l die Li - nee l, b, Fig. 10. Oder ich ziehe von k durch i, eine gerade Linee / in dem ich zuvor uͤber der Lineen hineinwarts ein Punct in i gemacht / und aus i ein Circkul - Stuͤcke / ſo die Linee a b, in k, durchſchneidet / gezogen habe / die beruͤhret daß Cir - ckul-Stuͤcke in l, und ziehe dann die Linee l b, Fig. 11, Oder ich ſetze den einen Fuß des Circkuls in b, mache mit dem andern uͤber der Lineen hineinwerts wo ich wil einen Punct i, wie zuvor behalte deſſelben apertur, und mache auff der Li - neen a b, in k ein Gemercke / ziehe von k durch i, eine Linea / nehme die diſtantz von k biß i, oder von b biß i, und ſetze ſie von i biß l, und ziehe von I die Linee l b Fig. 12. Auff den Felde laſſen ſich beyde folgende Modi am beſten practiciren, es ſey gegeben die Linee m n, als nehme ich von m eine diſtantz in o nach beliebung / und beſchreibe einen gleichſeittigen Triangul m o p, (welches ich gar leicht mit der Ketten oder zwey Stricken gleicher Laͤnge zu Wege bringen kan) und ver - laͤngere deſſen Seiten o p biß in q alſo / daß p q ſo lang ſey als o p und ziehe den von q auff m ein Linea Fig. 13. Oder auff dem andern Ende bey n, meſſe ich vonn in r,12FORTIFICATIONn, in r, 5 Schue / henge denn das eine Ende der Ketten auf einen Pfahl in n einge - ſchlagen und faſſe 4. Schue / das ander Ende henge ich auff einen Pfahl in den Punct 3 geſchlagen / und faſſe mit der andern Hand 5. Schue / halte beyde Haͤn - de zuſammen / ſo habe ich den Punct 5 / von dannen kan ich zu n die begehrte per - pendicular-Linee ziehen; Jſt aber die diſtantz und die Linee lang / nehme ich nach voriger proportion / 6 / 8 / 10 / oder 9 / 12 / 15 / oder 12 / 16 / 20 / oder 15 / 20 / 25 / ꝛc. Schue / denn 3 / 4 / 5 / iſt das Fundament / das kan ich doppelt / dreyfach / vierfach / fuͤnf-fach und ſo fort annehmen / wann ich es doppelt nehme ſo henge ich in n ein Ende der Ketten / und das ander Ende in den Punct 6 / faſſe aus n, 8. Schue / uñ auß den Punct 6. 10. Schue / und halte die Enden zuſammẽ / und alſo fort Fig: 14.

Conſect. 1. Ausdieſen Fundament kan man auch am allerbeſten auf dem Fel - de parallel-Lineen beſchreiben / denn ſo ich erſtlich auff die Enden der Lineen m n perpendicular-Lineen / wie gelehrt / aufſetze / und meſſe denn von m und n gleiche lange Stuͤcke biß in u und t, und ziehe die Linee u t, iſt ſolche der Lineen m n, paral - lel, und iſt alſo beſchrieben das parallelogram m, n, u, t, Fig: 15.

Problem: 4. Auß einem gegebenẽ Punct uͤber der Linee eine perpendicular auf dieſelbe zufaͤllen Solcher Punct iſt entweder faſt umbs Mittel der Linee oder na - he am Ende: Jſt er faſt umbs Mittel / als uͤber der Linee a b in c, ſetze ich den einen Fuß des Circkuls in c, mache auf der Linea a b in d, und c gemercke nach belie - bung und auß demſelben entweder unter der Lineen in f, oder iſt unten kein raum / unter den Punct c. in g / oder uͤber denſelben in h einen Durchſchnitt / dañ ich darff nur einen Durchſchnitt / weil ich ſchon den Punct c habe / und ziehe ſo dann die Li -nea13oder Kriegs-Bau-Kunſt.nea von einẽ Durchſchnitt durch dẽ gegebenẽ Punct / Fig: 16. Jſt aber der Punct gantz nahe beym Ende / als uͤber dem Ende b der Punct i, mache ich zwey Ge - mercke nach Beliebung / auß i nach einander auf der Linee in k und l, auß denſel - ben aber nach der diſtantz k i, und l i, einen Durchſchnitt in m, und ziehe die Linee i, m, Fig: 17. Dann wann ich in dieſen nach der 16. Fig. procediren wolte / wuͤrden ſich die Durchſchnitte gar zu ſehr ſchleiffen und alſo die interſection nicht geſehen werden koͤnnen / wo der Punct were. Jſt aber unten kein raum / ſo ziehe ich von dem Punct i, auf die Linee a b eine ſchrege Linee nach Beliebung ſo auff derſelben in n auffaͤllet / und theile dieſe in o in zwey gleiche Theile / und auß o mache ich nach der Laͤnge n o, oder i o, ein Gemercke / ſo die Linee a b in p durchſchneidet / ſo ich nu von i zu p, eine Linee ziehe / iſt dieſe operation verrichtet Fig: 18.

Problem: 5. Einen gegebenen Winckel einem andern an eine fuͤrgeſtellte Linee gleich zu machen.

Es ſey gegeben der Winckel a c b, Nu ſoll ich an die Linee d e in Punct f, einen anſetzen den vorigen gleich / als ſetze ich den einen Fuß des Circkuls in des Win - ckels Punct c, und ziehe zwiſchen deſſelben Schenckeln den Bogen h l nach Belie - bung / ziehe auch mit ſelbiger Eroͤffnung des Circkuls aus dem Punct f auf die Linee d e den Bogen g k, mache dem g i gleich h l, und ziehe die Linte i f, ſo wird der Winckel i f g, auch gleich ſeyn dem Winckel a c b, Fig: 19.

Problem: 6. Eine gegebene Linee in gewiſſe Theile zu theilen /

Oben iſt gemeldet / wie eine Linee in 2 / 4 / 8 / 16 / und zwar gleiche Theile abzu - theilen / Wenn aber andere fuͤrfallen ſo nicht gleich / ſondern ungleich / hat manCunter -14FORTIFICATIONunterſchiedliche Wege / ich wil einen nicht alleine in Theilung / ſondern auch in proportionirung der Lineen beqvem zugebrauchen anhero ſetzen.

Es ſey gegeben / die Linea a b, dieſe ſoll ich in drey Theile theilen / nehme dem - nach eine andere fuͤr mich / nemlich d e, lang nach Beliebung / und ſetze Vngefehr den Circkel von d in e f und g dreymahl fort / doch daß d e f g, welches dreymahl fortgeſetzet / etwas laͤnger ſey als die Linee a b, faße denn die gantze Laͤnge d g, uñ beſchreibe einen gleichſeitigen Triangel g h d, nehme die gegebene Linee a b, und ſetze ſie von h biß k und i, und ziehe i k zuſammen / ſo wird i k auch ſo lang ſeyn als a b, ſo ich nu von f uñ e Lineẽ zu h ziehe / durchſchneidẽ ſolche die Linee i k, (welche mit a b, gleicher Laͤnge) in l und m, und theilen alſo ſolche in drey Theile. Fig: 20.

Wil ich ſolche Lineen in mehr Theile theilen / ſo ſetze ich den Circkel ſo vielmahl fort / in wie viel Theil ich ſelbige theilen wil / und procedire wie gelehrt.

Problem: 7. Zu dreyen bekandtẽ Lineẽ die vierdte proportional-Linee zu findẽ / alſo daß wie die erſte zu der andern ſich verhalte / die dritte zu der vierdten / oder wie die erſte zu der dritten / die andere zu der vierdten. Als es ſeyn gegebẽ die drey Linien a b, a c und d e, zu dieſen ſol ich die qvartam proportionalem ſuchen; Die - ſes wird eben durch vorhergehende Triangel verrichtet; Jch nehme die Laͤngſte a b zur Baſi, und beſchreibe den gleichſeitigen Triangel a b d, die andere a c ſetze ich auch auf die Baſin von b in c, die dritte d e aber trage ich von d herunter biß in e und g, und ziehe die Linee g e, ſolche iſt d e gleich / ſo ich nun von c zu d eine Linee ziehe / durchſchneidet dieſelbige g e in f, und iſt alſo f e die vierde geſuchte pro - portional-Linee / denn / wie ſich verhaͤlt a b zu a c, alſo e g oder g d zu e f, wie Fig: 21. zuerſe -15oder Kriegs-Bau-Kunſt.zuerſehen. Oder ich trageauff die erſte a b nachdem ich zuvorhero einen Trian - gul gemacht habe / von a biß in h, die dritte d e und die andere a c ſetze ich von d in k und l, und ziehe l k, ſolche iſt a c gleich / ſo ich nun von h zu d eine Linee ziehe / duꝛchſchneidet ſelbige l k, in l uñ iſt alſo auch i k die vieꝛdte geſuchte Proportional - Linee / denn wie ſich verhaͤlt a b zu a h, alſo i k, oder k d, oder l d zu k i, Fig. 22.

Dieſe proportion wird in Arithmeticis Regula Detri oder de Tribus genand / und hat beyderſeits / ſo wohl in Geometria als Arithmeticis großen Nutzen.

Sectio 3. Von Circkuͤln und Circkul-Stuͤcken.

Problem. 1. Zu einem gegebenen Circkul oder Circkulſtuͤck das Centrum zufin - den. Es ſey gegeben daß Circkul-Stuͤck a c, zu dieſem das Centrum zu finden / mache ungefehr umbs Mittel den Punct b, und theile denn ieglich Stuͤcke a b und b c durch die Lineen f h und d e in zwey theile / da ſolche ein ander als in g durchſchneiden iſt daß Centrum, aus dieſen kan ich nun den gantzen Circkul com - pliren Fig. 23. Alſo kan ich auch umb drey Puncta einen Circkul beſchreibẽ: Als es ſeyn gegeben die Puncta[a]b c, dieſe ziehe ich mit zweyen Lineen / alß a b uñ b c zuſammen / theile jegliche in zwey Theil / wie oben gelehret / da ſolche einander als in g durchſchneiden / iſt das Centrum, aus welchem ich umb ſelbige drey Pun - cta einen Circkul beſchreiben kan. Fig. 24.

Problem. 2. Wenn eines Circkuls Diameter bekant / deſſen Peripheriam und Vmbkreiß zufinden.

Die Proportion des Diameters zum Umbkreyß zu ſuchen / ſind zwar viele hoch bemuͤhet geweſen / iſt aber biß anhero noch nicht erhalten / wird auch wohl uner - fundẽ bleiben. 1. Reg. cap. 7. v. 23. ſtehet / daß Salomons großer Keßel oder MeerC ijſey16FORTIFICATIONſey 10. Ellen oben breit geweſen / uñ eine Schnur von 30. Ellen der Umbkreiß das iſt wie 1. zu 3. Dieſe proportion aber iſt nicht richtig; Archimedes hat folgende er - fundẽ: Wie 7. zu 22. alſo der Diameter zum Umbkreiß / und were alſo nach dieſer das Meer in Umbkreyß 31〈…〉〈…〉. Ellen geweſen / iſt zwar beſſer denn vorige / und ge - het in kleinen Circkuln an / in großen wil ſie noch nicht Stich halten.

Ludolph von Colln koͤmmt wohl am neheſten deſſen iſt folgende:

Alſo verhaͤlt ſich der Diameter des Circkuls zu ſeiner Circumferentz. Welche pro - portio ein wenig groͤſſer / und ſo ich an ſtatt der letzten 1 ein 0 nehme / iſt ſie ein we - nig kleiner. Metius meinet / ſein Vater ſey auch ziemlich nahe kommẽ / uñ ſetzet wie 113. zu 355. alſo der Diameter zur Circumferentz, differirt weniger von obiger des Ludolph von Coͤlln als $$\frac{1}{1000000}$$ .