DJe Algebra kan niemals zu viel geruͤhmet wer - den: deñ ſie iſt die Kunſt / durch welche man die Mathematiſchen Wahrheiten von ſich ſelbſt erfinden kan. Wenn ihr demnach die Anfangs-Gruͤnde der Mathematiſchen Wieſſenſchaftẽ / die ich euch in den drey vorher gehenden Theilen erklaͤhret habe / euch bekandt machet und die Algebra dabey ſtu - dieret; ſo werdet ihr aus jenen durch dieſe vor euch ſelbſt finden koͤn - nen / was ihr ſonſt aus Buͤchern o - der von anderen zu lernen von Noͤthen haͤt - tet. Ja ihr werdet auch vieles erfinden koͤn - nen / was andere vor Euch noch nicht gedacht haben. Mit einem Worte ſie machet euch geſchieckt / daß / wenn ihr nur gantz was ge - ringes aus den Mathematiſchen Wieſſen - ſchaften gelernet / ihr von euch ſelbſt ein meh - reres erfinden koͤnnet zu der Zeit / wenn ihr esA 3von6Vorrede. von Noͤthen habet. Es iſt aber keine voll - kommenere Art zu ſtudiren / als wenn man nur ein weniges lernen darf und ſich dabey doch auf alle vorkommende Faͤlle geſchieckt machet. Jch ſage aber noch mehr. Jhr treffet in der Algebra die aller vollkommenſte Manier zu raiſoniren an. Denn ſie ex - primiret die Begrieffe der Sachen durch Zeichen und verwandelt die Schluͤſſe / welche mit vielem Bedacht aus ihnen hergeleitet werden / in eine leichte Manier die Zeichen mit einander zu verknuͤpfen und zu trennen. Da - durch erhaͤlt man zu gleich / daß man oͤfters in einer Zeile mehr haben kan / als in groſſen Folianten nicht Raum finden wuͤrde. Durch das Anſchauen weniger Zeichen werdet ihr oͤfters kluͤger / als ihr durch vieler Jahre Ar - beit nach der gemeinen Art zu lernen und zu dencken nicht werden koͤnnet. Jn dieſer Ab - ſicht pfleget man die Algebra den Giepfel menſchlicher Wieſſenſchaften zu nennen / und dieſes von Rechtswegen. Jch habe dem - nach ſo wol die gemeine Algebra / als die un - vergleichliche Differential - und Jntegral - Rechnung des Herrnvon Leibnitz dergeſtalt erklaͤhren wollen / daß nicht allein ihre Kunſt - Grieffe unvermercket bey gebracht / ſondern auch die Haupt-Lehren von der ſo genannten Matheſi pura zu gleich mit erlernet / ja von ſelbſten gefunden werden.
1.
DJe gemeine Algebra iſt eine Wieſſenſchaft aus einigen ge - gebenen endlichen Groͤſſen an - dere ihres gleichen zu finden / von de - nen in Anſehung der gegebenen etwas bekand gemacht wird.
2. Z. E. Jhr ſollet zwey Zahlen finden / die mit einander multipliciret eine gegebene Zahl 60 / hin - gegen zu ſammen addiret eine andere gegebene Zahl 12 bringen. Allſo werden euch gegeben zwey Zah - len und ihr ſollet aus denſelben zwey andere Zahlen finden / von welchen euch bekand gemacht wird / daß ihre Summe der kleineren / ihr Product aber der groͤſſeren von den gegebenen Zahlen gleich ſeyn ſol. Die Algebra nun lehret euch eine allgemeine Regel finden / nach welcher ihr alle Exempel von dieſer Art rechnen koͤnnet.
3. Allſo iſt die Algebra eine allgemeine Rechen-Kunſt / dadurch man nemlich alles / was ſich rechnen laͤſt / ausrechnen kan. (§. 1. Arithm.)
4. Daher nennet auch der groſſe Mathematicus in Engelland / Herr Jſaac Nevvton. ſeine Anweiſung zur Algebra / welche der beruͤhmte Profeſſor Mathe - matum Whiſton zu Cambridge 1707 in 8 heraus gegeben / Arithmeticam Univerſalem und wir koͤn - ten die Algebra in unſerer Teutſchen Sprache mit gutem Fuge eine Allrechen-Kunſt heiſſen.
5. Eine Groͤſſe nennen wir alles dasjenige was ſich vermehren und ver - mindern laͤſt / in ſo weit es ſich vermeh - ren und vermindern laͤſt.
6. Allſo beſtehet das Weſen einer Groͤſ - ſe in der Verhaͤltnis zu einer andern ihres gleichen.
7. Z. E. die Waͤrme nenne ich in ſo weit eine Groͤſſe / als ich dencken kan / wie viel mal eine gegebe - ne Waͤrme / als die Waͤrme der Luft des heurigen Tages / in einer andern gegebenen Waͤrme / als in der Waͤrme der Luft des geſtriegen Tages enthalten ſey.
8. Und folgends ſind die Groͤſſen undeter -minir -9der Algebra. minirte Zahlen / da man nemlich noch keine gewiſſe Eines ſetzet (§. 6. 8 Arithm.)
9. Nehmet Z. E. eine gerade Linie von einer de - terminirten Laͤnge. Setzet die Linie ſey eingethei - let in 4 gleiche Theile. Wenn ihr einen von denſel - ben zur Eins macht und die Laͤnge der gantzen Linie mit ihm vergleichet: ſo heiſſet die Linie 4 und ihr be - trachtet ihre Laͤnge als eine Zahl. Setzet abermals die Linie ſey eingetheilet in 5 gleiche Theile. Wenn ihr einen von denſelben zur Eins macht und die Laͤn - ge der gantzen Linie m̃it ihr vergleichet: ſo heiſſet die Linie 5 und ihr betrachtet ihre Laͤnge abermals als eine Zahl. Wiederumb ſetzet die Linie ſey einge - theilet in 13 gleiche Theile und vergleichet ihre gan - tze Laͤnge mit einem ſolchen Theile; ſo heiſſet ſie 13 und ihr betrachtet dieſelbe als eine Zahl. Hieraus ſehet ihr / daß die Laͤnge einer Linie durch unzehlich viel Zahlen / groſſe und kleine ausgeſprochen wer - den kan / nach dem ihꝛ nemlich einen groſſen oder kleinen Theil derſelben zur Eins annehmet. Wenn ihr nun keinen gewieſſen Theil ſetzet / mit welchem ſie verglie - chen werden ſol; ſondern ſie nur uͤberhaupt betrach - tet / in ſo weit ſie mit einer gewieſſen Eins kan ver - gliechen werden: ſo ſtellet ihr euch dieſelbe als eine Groͤſſe vor. Und daher kommt es / daß durch die Al - gebra ſehr allgemeine Wahrheiten erfunden werden: Da hingegen die Rechen-Kunſt nur eintzele Exem - pel ausrechnet und allſo ſtets mit eintzelen Faͤllen zu - thun hat.
10. Alles / was wir in der Welt antreffen und in uns ſelbſt finden / hat in allem dem / was es wuͤrcklich iſt und wovon ſich etwas gedencken laͤſt / ſeine Schrancken und laͤſt ſichA 5dan -10Anfangs-Gruͤndedannenhero mit anderen Dingen von ſeiner Art vergleichen und darumb als etwas / ſo vermehret oder vermindert werden kan / das iſt / als eine Groͤſſe (§. 5. 6) betrachten. Derowegen erſtreckt ſich die Albebra auf alle endliche Dinge und fuͤhret uns auf ei - nen deutlichen Begrief von ihrer Endlich - keit.
11. Es kan keine vollkommenere Erkaͤntnis ge - dacht noch verlanget werden / als wenn man von der Endlichkeit der Dinge einen deutlichen Begrief er - langet: welches ich bey anderer Gelegenheit klahr und deutlich ausfuͤhren wil. Daher dienet die Al - gebra zu einer vollkommenen Erkaͤntnis der Dinge zu gelangen / und ohne dieſelbe wuͤrde es in den mei - ſten Faͤllen unmoͤglich ſeyn ſelbe zu uͤberkommen.
12. Weil die Groͤſſen undeterminirte Zah - len ſind (§. 8) / ſo kan man auch keine ande - re Veraͤnderungen / als wie mit Zahlen / mit ihnen vornehmen / und daher ſie entweder zuſammen addiren / oder von einander ſub - trahiren / oder durch einander multipliciren / oder durch einander dividiren (§. 12. 15. 18. 21. 24 Arithm.)
13. Gleichwie ihr aber mit Zahlen keine Rechñung vornehmen koͤnnet / ihr muͤſſet euch vorher dieſelben durch gewieſſe Zeichen vorſtellen: eben ſo wird in der Algebra-erfordert / daß ihr fuͤr die Groͤſſen ge - wieſſe Zeichen erſinnet.
14. Man benenne die gegebenen Groͤſ - ſen jederzeit mit den erſten Buchſta - ben des Alphabets / a, b, c, d u. ſ. w. die unbekandten aber / welche man ſuchet / mit den letzten x, y, z.
15. Wie die Groͤſſen ſich dem Verſtande zuer - kennen geben / ſo muͤſſen ſie auch durch die Zeichen von einander unterſchieden werden. Nun ſtellen ſie ſich in den Algebraiſchen Aufgaben jederzeit dem Ver - ſtande vor entweder als gegebene / das iſt / bekandt gemachte / oder als geſuchte / das iſt / noch unbekandte Groͤſſen: Derowegen muß man auch durch die Zei - chen unſerer Jmagination oder Einbildungs-Kraft dieſen Unterſcheid klaͤhrlich vorſtellen, Denn ſonſt waͤre Gefahr / daß man das unbekandte mit dem Be - kandten leicht verwirrete und daher in Jrrthum verfiele.
16. Es waͤre bey der Benennung der Groͤßen noch gar viel zu erinnern. Denn wenn ſie geſchieckt und zum Erfinden dienlich ſeyn ſol / muͤſſen die Zei - chen alle gegebene relationes der bedeuteten Dinge gegen einander andeuten. Z. E. Wenn eine von den unbekandten Groͤßen drey mal ſo groß iſt als die andere / und die kleinere heiſſet x; ſo nennet man die groͤſſere lieber 3 x als y. Allein ich wuͤrde den An - faͤngern nicht dienen / wenn ich ſie mit vielen Regeln auf einmal uͤberhaͤufete. Und halte es dannenhers fuͤr rathſamer / daß ich es inskuͤnftige lieber durch Exempel lehre / und die Regeln nach und nach gleich - ſam unvermerckt und ohne Muͤhe beybringe.
17. Das Zeichen der Addition iſt + / der Subtraction aber —. Jenes wird durch Mehr; dieſes durch We - niger ausgeſprochen.
18. Z. E. Die Summe zweyer Groͤßen a und b wird geſchrieben a + b und ausgeſprochen: a mehr b. Hingegen die Differentz zweyer Groͤßen wird geſchrieben durch a — b und ausgeſprochen: a we - niger b. Als es bedente a 7 Thaler / b 8 Gro - ſchen: ſo bedeutet a + b 7 Thl + 8 gl das iſt / 7 Thl und 8 gl; hingegen a — b 7 Thl — 8 gl. das iſt / 7 Thl weniger 8 gl.
19. Die Multiplication hat entweder gar kein Zeichen / ſondern man ſetzet die Buchſtaben / welche einander multipli - ciren / ohne einiges Zeichen neben ein - ander: oder man deutet ſie durch ein comma (,) oder einen Punct (. ) an. Jnsgemein brauchet man dieſes Zei - chen x.
20. Wenn a durch b multipliciret werden ſol / ſo ſchreibet das Product a b, oder a, b oder a. b, o - der axb. Wir werden uns des letztern Zeichens nie - mals bedienen / weil es leicht mit dem X vermenget wird. Doch haben wir es hiermit anfuͤhren ſollen / weil es in allen Buͤchern haͤufig vorkommt. Am mei - ſten werden wir kein Zeichen brauchen: das com - ma und den Punet aber nur in gewieſſen Faͤllen ausbe -13der Algebra. beſonderen Urſachen / die ſich zu ſeiner Zeit in den Exempeln zeigen werden.
21. Wenn eine groͤſſe viele andere auf einmal multipliciret ſo ſchlieſſet man dieſelben in eine parentheſin () ein und ſetzet jene ohne einiges Zeichen vor oder hinter die parentheſin: oder man ſetzet zwieſchen dieſelben ein bloſſes comma.
22. Das Product von a + b — c in d, ſchreibet entweder allſo (a + b — c) d, oder dergeſtalt d (a + b ‒ ‒ c), oder auch folgender maſſen a + b ‒ ‒ c, d.
23. Jnsgemein ſchreibet man dieſes Product all - ſo: a+b〈…〉〈…〉 ‒ c × d / oder auch d x a + b ‒ c. Allein wir blei - ben billig bey der Manier des Herrn von Leibnitz / welche mit großem Vortheile in die Acta Eruditorum Lipſienſia eingefuͤhret worden: denn man kan ſich nicht ſo leicht verirren wie bey den gemeinen Zeichen / und macht auch den Buchdruckern nicht ſo viel unnoͤthige Muͤhe / erſpaaret uͤber dieſes viel an dem Raume. An - dere Vortheile wollen wir ietzt nicht gedencken / die ſich zn folgendem zeigen werden.
24. Das Zeichen der Diviſion ſind zwey Puncte: / oder man ſchreibet die Buch - ſtaben / welche einander dividiren ſol - len / wie in der Rechen-Kunſt einen Bruch.
An -14Anfangs-Gruͤnde25. Wenn a durch b dividiret werden ſol / ſo ſchrei - bet man den Qvotienten entweder a: b / oder $$\frac {a}{b}$$ und ſpricht es beyderſeits aus a durch b dividiret.
26. Wenn eine Groͤſſe viel andere auf einmal dividiret / oder viel andere eine dividiren / ſo werden / wie in der Mul - riplication die vielen in eine parentheſin () eingeſchloſſen / oder man kan auch an deren ſtat ein bloſſes Comma brauchen.
27. Wenn a + b durch c dividiret werden ſol / ſo ſchreibet den Qvotienten entweder (a + b): c oder a + b,: c. Sollet ihr a durch b + c dividieren / ſo iſt der Qvotient a: (b + c) oder a:, b + c. Wiederumb wenn ihr a + b durch c + d dividiret / ſo ſchreibet den Qvo - tienten (a + b): (c + d) oder a + b,:, c + d.
28. Nach der gemeinen Art ſchreibet ihr dieſe Qvo - tienten a + b / c, a / b+c a+b / c+d, oder auch a+b: c, a: b+c, a+b: c+d.
29. Einerley Groͤſſen mit einerley und verſchiedenen Zeichen zuſammen zu ad - diren.
a + 2 b ‒ ‒ 3c ‒ ‒ 5d
3a ‒ ‒ 2b + 6c + 2d
4a + 3c ‒ ‒ 3d
Weil die Buchſtaben undeterminirte Zah - len ſind (§. 14); ſo koͤnnet ihr einen ieden als Eines anſehen / und demnach die Groͤſſen / welche durch einerley Buchſtaben benennet werden / als Dinge von gleicher Art zuſam - men zehlen (§. 8 Arithm.) Alle Groͤſſen / wel - che mit dem Zeichen ‒ ‒ bemercket werden / feh - len und hingegen die das Zeichen + haben / ſind vorhanden. Wenn ich derowegen von bey - der Art addiren ſol / ſo wird durch die letzte - ren der Mangel aufgehoben. Und dannen - hero muß freylich die Addition in eine Sub - traction verkehret werden. W. Z. E.
30. Die Groͤſſen / welche mit dem Zeichen — be - mercket werden / hat man nicht anders als Schulden anzuſehen / und hingegen die anderen mit dem Zeichen + als baares Geld. Und daher nennet man auch die er - ſten weniger als nichts / weil man erſt ſo viel weg geben muß / als man ſchuldig iſt / ehe man nichts hat.
31. Damit euch die Rechnung mit Buchſtaben deutlicher wird / ſo bildet euch ein / a bedeute 1 thl. b 1 gl. c 1 pf.
7a ‒ ‒ 9b + 5c 7 thl. ‒ ‒ 9 gl. + 5 pf.
3a + 5b ‒ ‒ 9c 3 thl. + 5 gl. ‒ ‒ 9 pf.
10a — 4b — 4c 10 thl. ‒ 4 gl. ‒ 4 pf.
32 Einerley Groͤſſen mit einerley o - der verſchiedenen Zeichen von einander zuſubtrahiren.
8a ‒ 5c + 9 d 8 thl. ‒ 5 gl. + 9 pf
6a ‒ 8c ‒ 7 d 6 thl. ‒ 8 gl. ‒ 7 pf
2a + 3c + 16 d 2 thl. + 3 gl. + 16 pf
9b + 15c ‒ 7d + 8e ‒ f
6b + 20c ‒ 9d ‒ 9e + 7f
3b ‒ 5c + 2d + 17e ‒ 8 f
Weil ihr jeden Buchſtaben als Eines an - ſehen koͤnnet (§. 8. 14); ſo koͤnnet ihr auch wie in Zahlen die Subtraction verrichten. Allein wenn ihr die groͤſſere von der kleineren abzie - het / und ſie haben das Zeichen + / als 20 c von 15 c / ſo nehmet ihr 20 c weg / muͤſſet aber wie - der von oben die 15 c addiren / und dannenhero fehlen nur noch ſo viel c als der Unterſcheid zwieſchen 20 und 15 iſt, nemlich 5. Hinge - gen wenn das Zeichen ‒ ‒ iſt / als wenn ihr ‒ ‒ 9d von ‒ ‒ 7d abziehen ſollet; ſo muͤſſet ihr ‒ ‒ 9d addiren / weil ihr es zuviel abgezogen. Denn ihr ſolltet 20c ‒ ‒ 9d wegnehmen: ihr habt a - ber 20c gantz weggenommen. Da nun o - ben 7 d fehlen / ſo heben ſich von den 9d / die ihr dazu addiret / 7 auf und bleiben nur noch 2 d uͤbrieg. Darumb doͤrfet ihr in dieſen Faͤl - len nur allzeit die kleinere von deꝛ groͤſſeren ab - ziehen / und zu dem uͤbriegen das wiedrige Zei - chen ſetzen nemlich ‒ ‒ wenn ihr + habet / und + weñ ‒ ‒ iſt. Endlich weñ die Zeichen verſchie -(4) Bden18Anfangs-Gruͤnde1den ſind / und ihr ſollet Z. E. ‒ 9 e von + 8 e ab - ziehen; ſo wieſſet ihr aus dem vorhergehen - den / daß die unteren 9 e addiret werden muͤſ - ſen / weil ihr ſie zuviel in den vorhergehenden abgezogen. Und demnach bekommt ihr + 17 e. Hingegen wenn ihr Z. E. + 7 f von ‒ f ſubtrahiren ſollet; ſo fehlet euch oben ſchon ein f; Wenn ihr nun die 7 f unten auch noch weg - nehmen ſollet / ſo fehlen euch zuſammen 8 f. Daher habet ihr in beyden Faͤllen nur noͤthig die Groͤſſen zu addiren / und zu der Summe das Zeichen zu ſetzen / welches die Groſſe hat / davon die Subtraction geſchiehet.
33. Groͤſſen mit einerley und ver - ſchiedenen Zeichen durcheinander zu multipliciren.
Verrichtet die Multiplication / wie in Zah - len (§. 52 Arithm. ) nur mercket: daß einer - ley Zeichen im Producte + / verſchiedene aber ‒ ‒ geben.
a + b ‒ d 10 = 8 + 4 ‒ 2
a ‒ b ‒ d 2 = 8 ‒ 4 ‒ 2
‒ ad ‒ bd + dd ‒ 16 ‒ 8 + 4
‒ ab ‒ bb + bd ‒ 32 ‒ 16 + 8
aa + ab ‒ ad 64 + 32 ‒ 16
aa ‒ bb ‒ 2 ad + dd 68 ‒ 48 = 20
Wenn ihr + durch + multipliciret / ſo iſt klahr / daß das Product auch + haben muß. Jngleichen iſt nicht ſchweer zu begreiffen / daß in dem Producte das Zeichen — ſeyn muß / wenn ihr + durch ‒ ‒ multipliciret / weil ihr ei - nen Mangel oder eine Schuld etliche mal nehmet. Allein wenn — durch ‒ ‒ multiplici - ret wird / ſcheinet es nicht gleich klahr zu ſeyn / warumb in dem Producte + iſt. Mercket demnach / daß wenn ihr 3 ‒ ‒ 2 durch ‒ 2 multi - pliciren ſollet / ihr den Defect ‒ 2 ſo viel mal nehmen ſollet / als 3 ‒ ‒ 2 Einheiten hat; das iſt / 1 mal. Da ihr nun anfangs 3 mit -2 multi - pliciret / ſo nehmet ihr den Defect 3 mal / und demnach 2 mal zu viel. Derowegen muͤſſet ihr ihn noch zwey mal dazu wieder addiren. Und alſo giebet ‒ ‒ 2 mit ‒ ‒ 2 zum Producte + 4 W. Z. E.
34. Wenn ihr ‒ ‒ a mit + b multipliciret / ſo kommet ‒ ‒ a b heraus. Derowegen wenn ihr ‒ ‒ ab durch + b dividiret / muß ‒ ‒ a heraus kommen. Dividiret ihr aber ‒ ‒ ab durch ‒ ‒ a / ſo muß + b heꝛaus kommen. Demnach iſt klahr / daß auch in der Diviſion die Regel gielt: Einerley Zeichen geben im Qvoti - enten + / verſchiedene aber ‒ ‒.
35. Groͤßen mit einerley und verſchie - denen Zeichen durch einander zu dividi - ren.
B 2Auf -20Anfangs-GruͤndeWenn eine gegebene Groͤſſe durch die an - dere ſich wuͤrcklich dividiren laͤßet; ſo verfah - ret wie in Zahlen (§. 56) / nur daß ihr die Re - gel von Veraͤnderungen der Zeichen wohl in acht nehmet (§. 34).
Kan aber die Diviſion nicht wuͤrcklich ge - ſchehen / ſo bleibet es bey dem / was oben (§. 24 & ſeqq. ) geſaget worden.
aa — bb ‒ ‒ 2 ad + dd (a + b-d a - b - d) aa ‒ ‒ ab ‒ ‒ ad
+ ab — bb ‒ ‒ ad + dd
a ‒ ‒ b ‒ ‒ d) + ab — bb ‒ ‒ bd
+ bd ‒ ‒ ad + dd
a ‒ ‒ b ‒ ‒ d) ‒ ad + bd + dd
o
36. Weil die Buchſtaben nicht wie die Zahlen eine Bedeutung von der Stelle haben / in welcher ſie ſte - hen; ſo doͤrfet ihr euch auch hier an keine Ordnung binden / ſondern moͤget den Qvotienten ſuchen / in wel - chem Gliede ihr ihn findet: welches auch in dem Sub - trahiren des Productes aus dem Diviſore in den Qvo - tienten ſta ſindet.
37. Wenn man eine Groͤſſe durch ſich ſelbſt multipliciret / ſo heiſſet das Pro - duct / welches heraus kommet / die an - dere Potentz oder Dignitaͤt derſelbenGroͤſ -21der Algebra. Groͤſſe. Multipliciret ihr die andere Dignitaͤt noch einmal durch die erſte / ſo kommet die dritte Potentz / oder Di - gnitaͤt heraus. Multipliciret ihr fer - ner die dritte durch die erſte / ſo kommet die vierdte Potentz oder Dignitaͤt her - aus. Multipliciret ihr die vierdte durch die erſte / ſo kommet die fuͤnfte Potentz oder Dignitaͤt heraus / u. ſ. W.
38. Den Gradder Potentz oder Di - gnitaͤt einer Groͤſſe deutet durch eine kleine Zifer / oder / wenn er nicht deter - miniret iſt / durch einen kleinen Buchſta - ben an / den ihr oben zur Rechten an denjenigen Buchſtaben ſetzet / wodurch die Groͤſſe benennet wird. Z. E. die an - dere / dritte / vierdte. ꝛc. Dignitaͤt von X iſt / X2 / X3 / X4 / ꝛc. Xm. Dieſe Zahlen aber werden die Exponenten der Digni - taͤten genennet.
39. Dannenhero wenn ihr eine Dignitaͤt durch eine andere multipliciren ſollet / ſo doͤr - fet ihr nur ihre Exponenten zuſammen addi - ren.
| x 3 | ym | xm xn |
| x 4 | yx | xr xn |
| x 7 | ym+n | am+r x2n |
40. Hingegen wenn ihr die Dignitaͤt ei - ner Groͤſſe durch eine andere Dignitaͤt der - ſelben dividiren ſollet; ſo doͤrfet ihr nur ihre Exponenten voneinander ſubtrahiren.
| x 7 | x 7 | ym+n | ym |
| x 4 | x 3 | yn | yn |
| x 3 | x 4 | ym | ym-n |
41. Endlich wenn ihr die Dignitaͤt einer Groͤße zu einer anderen Dignitaͤt erhe - ben ſollet / ſo doͤrfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der anderen multipli - ciren. Z. E. Jhr ſollet x 3 zu der 4 Dignitaͤt erheben: ſo multipliciret 3 durch 4 / und neh - met x 12 vor die geſuchte Dignitaͤt an.
42. Die Urſache iſt leicht zu errathen. Denn ihr ſollet den Exponenten 3 vier mal zu ſich ſelbſt addiren (§. 37. 39). Dieſes aber geſchiehet / wenn ihr ihn durch 4 multipliciret (§. 23 Arithm.)
43. Folgends wenn ihr aus einer gegebe - nen Dignitaͤt eine verlangte Wurtzel ziehen ſollet / das iſt / diejenige Groͤſſe finden / wel - che zu einer gewießen Dignitaͤt erhoben wor - den (§. 83. 84. Arithm. & §. 37. Algebr. ); ſo doͤrfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der Wurtzel dividiren. Z. E. Die23der Algebra. die Wurtzel der vierdten Dignitaͤt aus x 12 iſt x 3 die Wurtzel m aus xn iſt xn: m.
44. Mercket wohl dieſe Art der Wurtzeln zu zeich - nen / denn ihr werdet ins kuͤnftige großen Vortheil davon haben.
45. Wenn ihr die Wurtzel aus einer Groͤſſe ziehen ſollet / dergleichen ſie nicht hat / ſo ſetzet folgendes Wurtzel-Zeichẽ vor ſie und uͤber daſſelbe den gehoͤrigen Exponenten der Wurtzel: in der Qva - drat-Wurtzel aber koͤnnet ihr den Expo - nenten weglaſſen. Allſo ſchreibet ihr die Eubic-Wurtzel von x / ∛ x; hingegen die Wurtzel der fuͤnften Dignitaͤt von x ſchrei - bet ihr $$\sqrt [5] {}$$ x.
46. Weil Vx = x1: 2 / ∛ x2 = x2: 3 / $$\sqrt [m] {}$$ xn = xn: m (§. 43) ſo koͤnnet ihr iederzeit eine Formul in die Stelle der anderenſetzen / nach - dem ihr von dieſer oder von jener einen Vor - theil haben koͤnnet.
47. Dergleichen Groͤßen / daraus die verlangete Wurtzel nicht gnau gezogen werden kan / werden Jrrational-Groͤſ - ſen oder / wenn es Zahlen ſind / Jrratio - nal-Zahlen genennet. dergleichen ſind V 2 / $$\sqrt [3] {} 4$$ / $$\sqrt [5] {} 6$$
B 4An -24Anfangs-Gruͤnde48. Die Jrrational-Groͤſſen koͤnnen entweder eine Benennung haben / als $$\sqrt [3] {} 2$$ und $$\sqrt [3] {} 5$$ / oder verſchiede - ne als $$\sqrt [4] {} 3$$ und $$\sqrt [5] {} 6$$ .
49. Jrrational Groͤſſen von ver - ſchiedener Benennung zu einer Benen - nung zu bringen.
Es ſeyn die gegebenen Jrrational-Groͤſ - ſen xn: m und yr: s.
Weil der Unterſcheid der Benennung in dem Unterſcheide der Exponenten n: m und r: s beſtehet / hingegen man dieſe Bruͤche in ande - re gleichguͤltige verwandeln kan / die einerley Benennung haben (§. 74 Arithm. ) ſo iſt wei - ter nichts vonnoͤthen als daß ihr die Exponen - ten unter einerley Benennung bringet / und die dadurch gefundenen Bruͤche in die Stelle der Exponenten ſchreibet. So werdet ihr finden / daß xn: m + yr: s = xns: ms + ymr: ms = $$\sqrt [ms] {}$$ xns + $$\frac [ms] {}$$ ymr.
50. Eben dieſer Methode koͤnnet ihr euch in den Jrrational-Zahlen bedienen. Z. E. Jhr ſollet $$\sqrt [3] {} 5$$ und V 3 unter eine Benennung bringen. Weil $$\sqrt [3] {} 5$$ = 51: 3 und V 3 = 31: 2 / ſo findet ihr 51: 3 + 31: 2 = 52: 6 +33: 6 = $$\sqrt [6] {} 5^2$$ + $$\sqrt [6] {} 3^3$$ = (wenn ihr die Groͤſſen un -ter25der Algebra. ter dem Wurtzel-Zeichen wuͤrchlich zu ihrer Dignitaͤt erhebet) V[⁶]25 + V[⁶]27.
51. Jrrational-Groͤſſen auf eine ſchlechtere Art auszudrucken.
Jhr ſollet $$\sqrt [m] {}$$ an xm auf eine andere Art ausdrucken. Setzet
$$\sqrt [m] {}$$ an xm = y $$\sqrt [3] {} 16$$ = $$\sqrt [3] {} 8. 2$$ = x
ſo iſt ax xm = ym 8. 2 = x3
an = ym: xm 2 = x3: 8
$$\sqrt [m] {}$$ an = y: x $$\sqrt [3] {} 2$$ = x: 2
x $$\sqrt [m] {}$$ an = y 2 $$\sqrt [3] {} 2$$ = x
So iſt geſchehen / was man verlangete.
$$\sqrt [3] {} 24$$ = $$\sqrt [3] {} 8. 3$$ = 2 $$\sqrt [3] {} 3$$ . Jnglei - chen � 18 = � 2. 9〈…〉〈…〉 = 3 � 2. Wie - derumb $$\sqrt [4] {}$$ 48 = $$\sqrt [4] {}$$ 16. 3 = 2 $$\sqrt [4] {}$$ 3.
52. Wenn ihr Jrrational-Groͤſſen von ei - nerley Art ſolcher geſtalt reduciret / und es bleibet unter dem Wurtzel-Zeichen einerley Groͤſſe ſtehen; ſo verhalten ſich dieſelbe ge - gen einander wie die Rational-Groͤſſen vor dem Wurtzel-Zeichen. Z. E. � 8 = � 4. 2 = 2 � 2 und � 18 = � 9. 2 = 3 � 2. Derowegen iſt 2 � 2: 3 � 2 = 2: 3 (§. 68. Arithm.)
53. Derowegen koͤnnet ihr durch gegen - waͤrtige Aufgabe finden / ob zwey Jrratio - nal-Groͤſſen eine Verhaͤltnis gegen einan - der haben / die ſich durch Rational-Groͤſſen ausdrucken laͤſſet.
54. Weil ihr in ſolcher Geſtalt reducir - ten Rational-Groͤſſen den Theil / welcher ir - rational bleibet fuͤr den Nahmen der Ein - heit mit Recht haltet (§. 5 & ſeqq. Arithm. ) ſo koͤnnet jhr die Summe oder den Unter -ſcheid27der Algebra. ſcheid der Jrrational-Groͤſſen finden / die un - ter dem Wurtzel-Zeichen einerley Groͤſſen haben und von einerley Art ſind / wenn ihr die Rational-Groͤſſen vor dem Wurtzel-Zei - chen zu ſammen addiret oder von einander ſubtrahiret. So werdet ihr finden / daß � 8 + � 18 = 2 � 2 + 3 � 2 = 5 � 2 und � 18 — � 8 = 3 � 2 — 2 � 2 = � 2. Jngleichen $$\sqrt [3] {} 24$$ + $$\sqrt [3] {} 81$$ = ∛ 3. 8 + ∛ 3 27 = 2 ∛ 3 + 3 ∛ 23 = 5 ∛ 3.
55. Es iſt aus der Aufloͤſung der Aufga - be zugleich klahr / wie ihr verfahren muͤſſet / wenn ihr die Groͤſſen / die zum Theil rational / zum Theil irrational ſind / gantz irrational machen follet. Nemlich ihr muͤſſet die Groͤſ - ſe vor dem Wurtzel-Zeichen zu der Dignitaͤt erheben / welche der Exponente über dem Wurtzel-Zeichen andeutet / und durch ſelbi - ge die Groͤſſe unter dem Wurtzel-Zeichen multipliciren. So werdet ihr finden / daß 5 � 2 = � 2. 25 = � 50 und 5 ∛ 3 = ∛ 3. 53 = ∛ 3. 125 = ∛ 375.
56. Damit ihr erfahret / ob eine vorgegebene Zahl ſich durch eine Dignitaͤt von einem gegebenen Grade dividiren laͤſſet oder nicht; ſo doͤrfet ihr nur dieſelbe in die jenigen Zahlen reſolviren / durch deren Multiplication ſie entſtehet. Dieſes aber geſchie - het / wenn ihr ſie mit den eintzelen Zahlen zu dividi -ren28Anfangs-Gruͤnderen anfanget. Z. E. Jhr ſollet auf ſolche Weiſe 368 reſolviren / ſo findet ihr:
| 2. | 184 |
| 4. | 92 |
| 8. | 46 |
| 16. | 23 |
Wenn ihr uͤber 10 kommen ſeyd / ſo ſehet ihr jeder - zeit / daß die vorgegebene Zahl ſich mit keiner dividiren laͤſſet / die nicht durch Multiplication der vorher ge - fandenen Einer entſtanden.
57. Wem die Jrrational-Rechnungen anfangs ver - druͤßlich fallen / der kan ſie ſo lange uͤberſchlagen biß ſie unten vorkommen. Er huͤte ſich aber mit Fleiß / daß er nicht nach hieſiger Mode fuͤr unnuͤtze Grillen halte / wovon er den Nutzen nicht bald fehen kan. Jhr werdet im folgenden erfahren / daß ich niemals eine Lehre vortrage / die nicht ihren gewießen Nutzen hat.
58. Sonſt mercket noch den Kunſtgrief / deſſen wir uns in Aufloͤſung gegenwaͤrtiger Aufgabe bedienet. Weil wir mit Rational-Groͤſſen umbgehen koͤnnen / haben wir die Jrrational-Groͤſſen auf Rational - Groͤſſen reduciret umb eine Regel zu finden / wie wir dieſelben tractiren koͤnnen. Dieſen Kunſtgrief wer - den wir mehr brauchen und die Ausuͤbung der Al - gebra wird euch geſchieckt machen / auch in andern vorkommenden Faͤllen die ſchweereren auf leichtere zu reduciren: wovon ihr unter andern ein Exempel in der Geometrie gehabt (§: 105 Geom.)
59. Eine Jrrational Groͤſſe durch eine andere von einerley Art zu multi - pliciren.
Auf -29der Algebra.Jhr ſollet $$\sqrt [m] {}$$ an durch $$\sqrt [m] {}$$ br multiplici - ren. Setzet
$$\sqrt [m] {}$$ an = x $$\sqrt [m] {}$$ br = y (§. 59)
So iſt an = xm br = ym br = ym
an br = xm ym (§. 32. Arithm.)
Folgends $$\sqrt [m] {}$$ an br = xy.
Zeichen mit ſeinem Exponenten ( $$\sqrt [m] {}$$ ). So werdet ihr finden / daß V 2. V 3 = V 6 / und ∛ 5. ∛ 7 = ∛ 35.
60. Wenn ihr allſo eine Jrrational-Zahl durch eine andere Jrrational-Zahl dividiren ſollet / ſo doͤrfet ihr nur die Zahlen unter dem Wurtzel-Zeichen durch einander dividiren. So30Anfangs-GruͤndeSo werdet ihr finden / daß ∛ 35: ∛ 7 = ∛ 5 / ∛ 35: ∛ 5 = ∛ 7 und V 6: V 3 = V 2.
61. Eine Aufgabe Algebraiſch auf - zuloͤſen:
62. Unerachtet die Reduction der gefundenen Gleichung ſehr ofte auf beſchriebene Weiſe geſche - hen kan; ſo gehet es doch nicht in allen Faͤllen an. Wir wollen aber erſt dieſe Regeln uns durch Exem - pel recht bekand machen / ehe wir zu anderen ſchrei - ten. Denn die Algebra lernet man nicht ſo wol durch Regeln / als durch Exempel.
63. Aus der gegebenen Summe zwey - er Groͤſſen und ihrem Unterſcheide die Groͤſſen ſelber zu finden.
Es ſey die Sum̃e = a die kleine Groͤſſe = xder32Anfangs-Gruͤndeder Unterſcheid = b die groſſe = y So iſt / x + y = a (§. 15 Arithm. ) y — x = b (§. 18. Arithm.)
x x x x
y = a — x y = b + x
demnach
a — x = b + x
x x
a = b + 2 x
b b
a — b = 2 x
2
〈…〉
Ziehet den Unterſcheid der beyden Groͤſ - ſen (b) von der Summe (a) ab. Den Reſt dividiret durch zwey; ſo iſt der Qvotient die kleine Groͤſſe (x).
Z. E. Es ſey a = 30 / b = 8 / ſo iſt (a — b): 2 = (30 — 8): 2 = 22: 2 = 11.
64. Jhr koͤnnet allzeit aus der letzten Verglei - chung eine Regel machen / dadurch die Aufgabe in al - len vorkommenden Faͤllen aufgeloͤſet werden kan /Wenn33der Algebra. wenn ihr vor die Buchſtaben die Nahmen der Sachen ſetzet / die ſie bedeuten / und an ſtat der Zeichen die Rechnungs-Art benennet / die ſie andeu - ten: allein der Kuͤrtze halber werde ich ins kuͤnftige keine Regel herſetzen / wenn es nicht beſondere Umb - ſtaͤnde erforderen. Und dieſes thue ich umb ſo viel lieber / weil man die Exempel in Zahlen viel hurtiger aufloͤſen kan / wenn man die Zifern in die Stelle der Buchſtaben ſetzet / als wenn man nach der Regel ver - faͤhret.
65. Eine Zahl zufinden / deren Helfte ⅓ und ¼ zuſammen umb 1 groͤßer ſind als die Zahl ſelbſt.
Es ſey die geſuchte Zahl = x / ſo iſt ½ x + ⅓ x + ¼ x = x + 1 das iſt (12x + 8 x + 6x): 24 = $$\frac {26}{24}$$ x = x + 1 (§. 74. Arithm.)
24
26 x = 24 x + 24
24 x 24 x
2 x = 24
2
x = 12
Probe. ½ x + ⅓ x + ¼ x = 6 + 4 + 3 = 13.
66. Aus der gegebenen Sum̃e zweyer Zahlen und dem Producte einer Zahl in die andere / die Zahlen ſelber zu finden.
Es ſey die Summe = a die halbe Diffe -(4) Crentz34Anfangs-Gruͤnderentz = x das Product = b ſo iſt die groſſe
| Zahl ½ a + x | §. 6. |
| die kleine ½ a-x |
Und allſo ¼ aa-xx = b
¼ aa = b + xx
¼ aa-b = xx
� (¼ aa-b) = x
Es ſey a = 14 / b = 48 / ſo iſt � (¼ aa-b) = � (49-48) = 1 / folgends die große Zahl ½ a + x = 7 + 1 = 8 und ½ a — x = 7 — 1 = 6.
67. Es iſt an der Benennung oͤfters viel gelegen. Denn wenn ihr in gegenwaͤrtiger Aufgabe die groſſe Zahl x / die kleine y genennet haͤttet; wuͤrdet ihr auf eine Gleichung kommen ſeyn / die ihr noch nicht aufzu - loͤſen vermoͤgend ſeyd.
68. Es wird gegeben die Summe glei - cher Dignitaͤten zweyer Groͤſſen / und der Unterſcheid ſelbiger Dignitaͤten / ihr ſollet die Groͤßen ſelbſt finden.
Es ſey die Sum̃e = a die kleine Groͤße = x
Der Unterſcheid = b die große = y
ſo iſt /
xm + ym = a ym — xm = b
ym = a — xm ym = b + xm
Fol -35der Algebra.Folgends
a — xm = b + xm
a = b + 2 xm
a — b = 2 xm
(a — b): 2 = x2m
� (½ a ‒ ½ b) = x
Es ſey m = 2 / a = 97 / b = 65 / ſo iſt x = � (½ a — ½ b) = � (48 ½ — 32 ½) = � (16) = 4 und y = � (b + x2) = � (65+16) = � (81) = 9.
69. Zwey Zahlen von der Beſchaffen - heit zu finden / daß das Product einer je - den in die Qvadrat-Wurtzel der an - dern einer gegebenen Zahl gleich iſt.
Es ſey das eine Product = a die eine Zahl = x das andere = b die andere = y
So iſt x V y = a y V x = b
x2 y = a2 y2 x = b2
x = b2: y2
x2 = b4: y4
Wenn ihr den Werth von x 2 in die erſte Glei - chung zur Lincken ſetzet / ſo bekommet ihr
C 2b 4[36]Anfangs-Gruͤndeb4 y: y4 = b2: y3 = a2
b4 = a2 y3
b4: a2 = y3
∛ (b4: a2) = y
Es ſey a = 18 / b = 12 / ſo iſt y = ∛ (b4: a2) = ∛ (20736: 324) = ∛ (64) = 4.
70. Aus der gegebenen Summe zweyer Groͤſſen und der Differentz ihrer Qva - drate die beyde Groͤſſen zu finden.
Es ſey die Sum̃e = a die halbe Diefferentz die Differentz = b der Groͤſſen = y So iſt die eine Groͤſſe $$\frac {2}{2}$$ a + y Die andere ½ a — y
Das Qvadrat der erſten ¼ aa + ay + yy
Das Qvadrat der 2deren ¼ aa — ay + yy
Die Differentz b = 2 ay
2 a
folgends b: 2a = y
Es ſey b = 40 / a = 10 / ſo iſt y = 40: 20 = 2; folgends die eine Zahl ½ a + y = 5 + 2 = 7 / die andere ½ a — y = 5 — 2 = 3.
71. Aus der gegebenen Summe zweyer Groͤßen und der Summe ih - rer Qvadrate die beyden Groͤßen zu finden.
Es ſey die erſte Sum̃e = a die eine Groͤſſe ½ a + y
Die andere = b die andere ½ a-y So iſt das Qvadrat der erſten ½ aa + ay + yy der anderen ¼ aa — ay + yy
Die Summe b = ½ aa + 2 yy
Folgends b — ½ aa = yy
� (½ b — ¼ aa) = y
Es ſey a = 10 / b = 58 / ſo iſt � (½ b — ¼ aa) = � (29 — 25) = � 4 = 2 / folgends ½ a + y = 5 + 2 — 7 und ½ a — y = 5 — 2 = 3.
72. Aus dem gegebenen Producte aus der Summe der Qvadrate zweyer Groͤ - ßen in die kleine und der Summe aus dem Qvadrate ihrer Differentz in das dop - pelte Product derſelben Groͤſſen die bey - den Groͤſſen zu finden.
Es ſey die eine Groͤſſe = x das Product = a Die kleine〈…〉〈…〉 y Die Sum̃e = b
C 3So38Anfangs-GruͤndeSo iſt die Differentz = x — y
Jhr Qvadrat = x2 — 2 xy + yy das doppelte Product = 2 x y
die Summa = x2 + yy
Derowegen iſt
x2 + y2 = b x2 y + y3 = a
x2 — b — y2
Setzet den Werth von x 2 in die Gleichung zur Rechten / ſo habet ihr
by — y3 + y3 = by = a
b
folgends y = b: a
Es ſey a = 910 / b = 130 / ſo iſt b: a = 910: 130 = 7 und x = � (130 — 49) = � 81 = 9.
73 Zwey Zahlen zu finden / deren Product einer gegebenen Zahl gleich iſt / das Qvadrat aber der Summe zu dem Qvadrate der Differentz beyder Zahlen eine gegebene Verhaͤltnis hat.
Es ſey das Product = a die eine Zahl x — y die gegebene Verhaͤltnis = b: c die andere
So iſt x + y
xx — yy = a b: c = 4 x2: 4 y2
xx = a + y2 4 b y2 = 4 c x2
by2: c = x2
Fol -39der Algebra.Folgeids
a + y2 = b y2: c
ac + cy = b y 2
ac = by2 — cy2
b-c
a c: (b ‒ c) — y 2
V a c: V b — c) = y
Es ſey a = 96 / b: c = 25: 1 / ſo iſt y = V 96: � 25 — 1 = � 4 = 2; und x = � (96 + 4) = � 100 = 10:[fo]lgends x + y = 10 + 2 = 12 und x — y = 10 ‒ 2 = 8.
74. Wenn die Wurtzel einer Digni - taͤt oder Potentz auszwey Theilen beſte - het / nennet man ſie eine Binomiſche Wurtzel / als a + b. Beſtehet ſie aus drey Theilen / als a + b + c; ſo heiſſet ſie eine Trinomiſche Wurtzel: Wenn ſie aus vier Theilen beſtehet / eine Ova - drinomiſche Wurtzel u. ſ. w. uͤberhaupt aber nennet man ſie eine Polynomi - ſche Wurtzel / wenn ſie aus mehr als zwey Theilen beſtehet.
75. Die Natur des Qvadrates oderC 4der40Anfangs-Gruͤndeder anderen Digntaͤt einer Binomi - ſchen Wurtzel zu finden.
Jhr verlanget zu weßen / wie das Qva - drat einer Binomiſchn Wurtzel entſtehen kan / (§. 4 Method. M〈…〉〈…〉 them.) Multipli - ciret demnach die Binoniſche Wurtzel a + b durch ſich ſelbſt / ſo wird das Product zei - gen / aus was fuͤr Theilen das Qvadrat zu - ſammen geſetzet werde / und wie dieſe Theile des Qvadrates aus den Theilen der Wur - tzel entſtehen.
a + b
a + b
+ ab + b 2
a2 + ab
a2 + 2 ab + b2 Qvadrat der Bi - nomiſch. Wurtzel.
Das Qvadrat der Binomiſchen Wurtzel begreiffet in ſich die Qvadrate der beyden Theile (a 2 und b 2) und ein Product (2ab) aus dem einen Theile zwey mal genommen (2 a) in den ande - ren (b).
76. Jhr habet hier auf eine ſehr leichtere Art den anderen Lehrſatz der Rechen-Kunſt (§. 86. Arithm. ) gefunden daraus wir die Ausziehung der Qvadrat - Wurtzel (§. 90. Arithm. ) hergeleitet. Wenn ihr a -ber41der Algebra. ber dieſelben Regeln vergeßen haͤttet / koͤnte euch dieſes allgemeine Exempel a2 + 2ab + b 2 an ſtat derſelben die - nen. Denn ihr fehet / wenn ihr in der erſten Claſſe zur Lincken das darinnen befindliche Qvadrat a 2 abzie - het / ihr den erſten Theil der Wurtzel a habet. Wollet ihr nun den anderen finden / ſo muͤſſet ihr mit 2 a / das iſt / mit dem gefundenen Qvotienten zwey mal genom - men / die folgende Zahl 2 a b dividiren / und hernach nicht allein das Product aus dem Diviſore 2 a in den neuen Qvotienten b / ſondern auch das Qvadrat des neuen Qvotienten b 2 ſubtrahiren.
77. Setzet a = a + b und b = c / ſo kom - met fuͤr das Qvadrat der Trinomiſchen Wurtzel (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c2. Und allſo muͤſſet ihr zu dem Binomiſchen Qvadrate noch das Product aus der Summe der bey - den Theile der Binomiſchen Wurtzel zwey mal genommen in den dritten Theil und das Qvadrat des dritten Theiles addiren. Se - tzet a = a + b + c / und b = d / ſo kommet fuͤr das Qvadrat der Trinomiſchen Wur - tzel (a + b + c) 2 + 2 (a + b + c) d + d2. De - rowegen muͤſſet ihr zu dem Qvadrate der Trinomiſchen Wurtzel noch das Product aus der Summe der erſten drey Thei - le viermal genommen in den vierdten Theil und das Qvadrat des vierdten Theiles addiren. Solcher geſtalt ſeher ihr / daß ihr nach der Vinomiſchen Formul auch das Qvadrat einer jeden Polynomiſchen Wurtzel finden / ingleichen aus einer ge - gebenen Zahl eine jede PolynomiſcheC 5Wur -42Anfangs-GruͤndeWurtzel ziehen koͤnnet. Den (a + b + c + d + e &c.) 2 = a2 + 2 ab + b2 + 2 (a + b) c + c2 + 2 (a + b + c) d + d2 + 2 (a + b + c + d) e + e2 u. ſ. w. unendlich fort.
78. Eine unreine Qvadratiſche Gleichung (Æquatio quadratica affe - cta) wird genennet / in welcher x2 + a x = ± b2.
79. Eine unreine Qvadratiſche Glei - chung aufzuloͤſen.
Weil x2. a x =. b2 / ſo nehmet x fuͤr den einen Theil einer Binomiſchen Wurtzel an / ſo wird a / die bekandte Groͤſſe des ande - ren Gliedes / der andere Theil der Wurtzel zweymal genommen und allſo ½ a der ande - re Theil der Wurtzel ſeyn: folgends fehlet zu einem vollkommenen Qvadrate das Qva - drat von ½ a / nemlich ¼ aa. Wenn ihr nun ſolches beyderſeits addiret; ſo laͤſſet ſich die Qvadrat-Wurtzel ausziehen und die ge - gebene Gleichung voͤllig reduciren.
x 2.43der Algebra.x2. ax =. b2
¼ a2 ¼ a2
x2. ax. ¼ a2 = ¼ a2. b2
x. ½ a = V (¼ a2. b2)
x =. ½ a. V (¼ a2. b2)
80. Jch habe an ſtat der Zeichen + und — nur einen Punct geſetzet / damit es nicht noͤthig waͤre vie - le Faͤlle von einander zu unterſcheiden. Den Nu - tzen dieſer Regel werdet ihr inskuͤnftige uͤberfluͤßig ſehen. Jetzt vergnuͤget mich dieſelbe durch die bey - den folgenden Aufgaben zu erlaͤutern.
81. Zwey Zahlen von der Beſchaf - ſenheit zu finden / daß ihr Product / ihre Summe und die Differentz ihrer Qva - drate einander gleich ſind.
Es ſey die groſſe Zahl = x
die keine = y / ſo iſt
x2 — y2 = xy xy = x + y
x y — y = x
y = x: (x + 1)
Wenn ihr den Werth y in der erſten Glei - chung an ſeine Stelle ſetzet / ſo bekommet ihrx 244Anfangs-Gruͤnde 〈…〉
Ferner weil x y — x = y / ſo iſt x = y: (y — 1). Wenn ihr dieſen Werth in der erſten Gleichung in die Stelle x ſetzet / ſo be - kommet ihr 〈…〉 und wenn ihr die Reduction wie vorhin an - ſtellet / ſo findet ihr endlich y = ½ — V 1¼.
82. Aus dem gegebenen Producte zweyer Groͤſſen und ihrer Differentz die Groͤſſen ſelber zu finden.
Auf -45der Algebra.Es ſey das Product = a die eine Groͤſſe = x die Differentz = b die andere = y
So iſt /
a = x y b = x — y
a: y = x b + y = x
Folgends a: y = b + y
y
a = by + y 2
¼ b2 ¼ b2 (§. 79)
a + ¼ b2 = ¼ b2 + by + y2
V (a + ¼ b2) = ½ b + y
V (a + ¼ b2) — ½ b = y
Es ſey a = 40 / b = 3 / ſo iſt y = V (40 + $$\frac {2}{4}$$ ) — $$\frac {3}{2}$$ = V (169: 4) — $$\frac {3}{2}$$ = ½3 — $$\frac {3}{2}$$ = $$\frac {10}{2}$$ = 5 / und demnach x = 8.
83. Die Natur der dritten Dignitaͤt einer Binomiſchen Wurtzel zu finden.
Jhr habet nur die andere Dignitaͤt /a 246Anfangs-Gruͤndea2 + 2 ab + b2 durch die Wurtzel a + b zu multipli - ciren (§. 37)
+ a2 b + 2ab2 + b 3
a3 + 2a2b + ab 2
a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b 3
Die dritte Dignitaͤt einer Binomi - ſchen Wurtzel enthaͤlt in ſich die dritte Dignitaͤt der beyden Theile (a 3 und b 3) und ein Product aus dem Qvadrate des erſten Theiles drey maligenommen (3a 2) in den anderen Theil (b) nebſt noch einem anderen Producte aus dem erſten Theile drey mal genommen (3 a) in das Qvadrat des anderen Theiles (b 2).
84. Jhr habet hier abermals auf eine ſehr leich - te Art den 3 Lehrſatz der Rechen-Kunſt (§. 92 A - rithm. ) gefunden / daraus die Ausziehung der Eu - bic-Wurtzel hergeleitet worden (§. 96 Arithm.) Wenn ihr aber die dort gegebenen Regeln vergeſſen haͤttet / koͤnnte euch das allgem eine Exempel a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 an deren ſtat dienen. Denn ihr ſehet / daß / wenn ihr in der erſten Claſſe zur lincken die daſelbſt befindliche dritte Dignitaͤt a 3 abziehet / ihr den erſten Theil der Wurtzel a habet. Wenn ihr nun aus den uͤbriegen drey Gliedern den ande - ren Theil finden wollet / muͤſſet ihr das erſte zur lincken 3 a2 b durch das Qvadrat des erſten dreymal47der Algebra. mal genommen (3 a 2) dividiren und hernach nicht allein das Product aus dieſem Diviſore (3 a 2) in den neuen Qvotienten (b) / ſondern auch das Product aus dem Qvadrate des neuen Qvotientens (b 2) in dem vorhergehenden dreymal genommen (3 a) und endlich die dritte Dignitaͤt des neuen Qvotientens (b 3) abziehen.
85. Setzet a = a + b und b = c / ſo kommet fuͤr die dritte Dignitaͤt der Trino - miſchen Wurtzel a + b + c heraus (a + b) 3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b) c2 + c3 / und allſo muͤſſet ihr zu der Dignitaͤt der Binomiſchen Wurtzel noch das Product aus dem Qva - drate der Binomiſchen Wurtzel dreymal ge - nommen 3 (a + b) 2 in den dritten Theil (c) das Product aus der Binomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b) in das Qva - drat des dritten Theiles (c 2) und die dritte Dignitaͤt deſſelben Theiles (c 3) addiren. Setzet a = a + b + c und b = d / ſo iſt die 3te Dignitaͤt der Qvadrinomiſchen Wur - tzel (a + b + c) 3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d2 + d3 folgends muͤſſet ihr noch zu der Dignitaͤt der Trinomiſchen Wurtzel (a + b + c) 3 das Product aus dem Qvadrate der Trinomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b + c) 2 in den vierdten Theil / das Product aus der Trinomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b + c) in das Qva - drat des vierdten Theiles d 2 und die dritteDigni -48Anfangs-GruͤndeDignitaͤt des vierdten Theiles d 3 addiren. Solcher geſtalt ſehet ihr / daß ihr nach der Binomiſchen Regel auch die dritte Digni - taͤt einer jeden Polynomiſchen Wurtzel fin - den / ingleichen aus einer gegebenen Zahl eine jede Polynomiſche Cubic-Wurtzel zie - hen koͤnnet. Den (a + b + c + d + e &c.) 3 = a2 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b) c2 + c3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d2 + d3 + 3 (a + b + c + d) 2 e + 3 (a + b + c + d) e2 + e3 u. ſ. w. unendlich fort.
86. Auf eben ſolche Weiſe koͤnnet ihr fuͤr die hoͤheren Dignitaͤten Regeln ſinden. Und unerach - tet ich in der folgenden Aufgabe zeigen werde / wie ihr an ſtat unendlicher Regeln fuͤr unendliche Dig - nitaͤten / zu denen eine Groͤße erhoben werden kan / eine einige finden koͤnnet; ſo wird euch die Muͤhe doch nicht verdruͤſſen / wenn ihr auf gleiche Art die Natur der vierdten / fuͤnften / ſechſten Dignitaͤt u. ſ. w. unterſuchet. Denn dieſe Unterſuchung ſelbſt wird euch dienen die allgemeine Regel zu erfinden.
87. Eine allgemeine Regel zufinden / nach welcher jede Binomiſche Wurtzel zu jeder verlangeten Dignitaͤt erhoben werden kan.
Wenn ihr die Binomiſche Wurtzel nach und nach zu ihren Dignitaͤten erhebet / wie bey gefuͤgete Tabelle ausweiſet
ſo wer -49der Algebra.| 1 a | 1 b | |||||||
| 1 a 2 | 2 ab | 1 b 2 | ||||||
| 1 a | 3 a2 b | 3 a b 2 | 1 b 3 | |||||
| 1 a 4 | 4 a3 b | 6 a2 b2 | 4 a b 3 | 1 b 5 | ||||
| 1 a 5 | 5 a4 b | 10 a3 b2 | 10 a2 b3 | 5 a b 4 | 1 b 5 | |||
| 1 a 6 | 6 a5 b | 15 a4 b2 | 20 a3 b3 | 15 a2 b4 | 6 a b 5 | 1 b 6 | ||
| 1 a 7 | 7 a6 b | 21 a5 b2 | 35 a4 b3 | 35 a3 b4 | 21 a2 b5 | 7 a b 6 | 1 b 7 | |
| 1 a 8 | 8 a7 b | 28 a6 b2 | 56 a3 b5 | 70 a4 b4 | 56 a3 b5 | 28 a2 b6 | 8 a b 7 | 1 b 8 |
ſo werdet ihr wahrnehmen / daß eine jede Dignitaͤt aus verſchiedenen Producten zu - ſammen geſetzet iſt / und dieſe Producte durch verſchiedene Zahlen in einander multipliciret werden. Es entſtehen aber dieſe Producte(4) Dwenn50Anfangs-Gruͤndewenn ihr jeden Theil der Wurtzel zu allen niedrigeren Dignitaͤten als die gegebene iſt / erhebet / und ſie verkehret in einander mul - tipliciret. Z. E. in der ſechſten Dignitaͤt ſind alle Dignitaͤten von 1 bis zu der ſechſten der beyden Theile a6. a5. a4. a3. a2. a. 1 und 1. b. b2. b3. b4. b5. b. Multipliciret die er - ſte Reihe in die andere / ſo bekommet ihr 1 a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 + 1 b6 / das iſt / alle Producte / woraus die ſechſte Dignitaͤt beſtehet / auſſer denen Zahlen / welche ſie mul - tipliciren / und nach dem Exempel des Ough - tred (Clavis Mathematicæ c. 12. §. 6. p. m. 38) ſonderlich von denen Engellaͤndern Unciæ genennet werden. Derowegen wenn der Exponente m iſt / ſo ſind die Produc - te am + am-1 b + am-2 b2 + am 3 b3 + am-4 b4 + am-5 b5 + am-6 b6 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr nun ferner die Untzen mit den Exponenten der Potentz vergleichet / ſo wer - det ihr finden / daß ihr fuͤr
| 1 + 1 |
| 1 + 2 + 1 |
| 1 + 3 + 3 + 1 |
| 1 + 4 + 6 + 4 + 1 |
| 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 |
| 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 |
| 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 &c. |
ſetzen koͤnnet
1 +51der Algebra.〈…〉
D 21 +52Anfangs-Gruͤnde〈…〉
Denn53der Algebra.Denn Z. E. 〈…〉 〈…〉 = 3 u. ſ. w.
Derowegen wenn der Exponente eine un - determinirte Zahl m iſt / ſo ſind die zu der Di - gnitaͤt gehoͤrigen Unciæ 〈…〉 〈…〉
Wenn ihr nun dieſe Uncias (von welchen ihr 1 weglaſſen koͤnnet / weil ſie keine Zahl mul - tipliciret) in die oben gefundenen Producte multipliciret; ſo bekommet ihr fuͤr die Digni - taͤt m von a + b
〈…〉
D 3m-o. 54Anfangs-Gruͤnde〈…〉
am-6b6 &c. das iſt / weil am-1 = am a / am-2 = am: a2 / am-3 = am: a3 / u. ſ. w. (§. 40) und 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr nun ferner a = P und b: a = Q / das erſte Glied = A / das andere = B; das dritte = C / das vierdte = D / das fuͤnfte = E u. ſ. w. ſetzet; ſo findet ihr endlich (P + PQ) m 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unend - lich fort.
Allſo habet ihr eine allgemeine Regel ge - funden / nach welcher ihr eine jede Binomi -ſche55der Algebra. ſche Wurtzel zu einer jeden verlangeten Di - gnitaͤt erheben koͤnnet.
88. Jhr verlanget die vierdte Dignitaͤt von 18 oder 10 + 8 / ſo iſt m = 4 / P = 10 / Q = 8: 10 = 4: 5 / fol - gends Pm 104 = 4000 = A
m AQ = 4. 10000. ⅘ = 32000 = B
〈…〉 BQ = $$\frac {3}{2}$$ . 32000. ⅘. = 38400 = C
〈…〉 CQ = ⅔. 38400. ⅘. = 20480 = D
〈…〉 DQ = ¼. 20480. ⅘ = 4096 = E
〈…〉 EQ = 0.4096. ⅘ = o = E
10000 = A
32000 = B
38400 = C
20480 = D
4096 = E
104976 vierdte Dignitaͤt von 18.
89. Jhr werdet vielleicht meinen / daß man mit leichter Muͤhe durch das gewoͤhnliche multipliciren / die gegebenen Zahlen zu der verlangeten Dignitaͤt er - heben kan / und dannenhero die gefundene allgemeine Regel fuͤr unnuͤtze halten. Allein ihr ſollet zu ſeiner Zeit erfahren / wie ſehr ihr euch in eurer Meinung be - trogen / wenn ihr den vielfaͤltigen Nutzen derſelbenD 4ver -56Anfangs-Gruͤnde. verſpuͤhren werdet. Jetzt erinnnere ich nur dieſes. Wenn ihr aus iner gegebenen Zahl eine verlangete Wurtzel ausziehen ſollet; ſo koͤnnet ihr die Regeln / nach welchen ſolches geſchichet / wie fuͤr die Qnadrat - und Cubic-Wurtzel (§. 76. 84) finden / wenn ihr durch die gefundene allgemeine Regel die Binomiſche Wurtzel a + b zu der gehoͤrigen Dignitaͤt erhebet. Z. E. Jhr ſollet die Wurtzel der fuͤnften Dianitaͤt aus einer ge - gebenen Zahl ziehen: ſo doͤrfet ihr nur a + b zu der fuͤnften Dignitaͤt erheben. Das allgemeine Exempel von derſelben wird euch die Regeln bald in die Hand geben.
90. Gleichwie ihr aber oben geſehen habet / daß die Regeln fuͤr die Binomiſche Wurtzeln auch dienen eine Polynomiſche Wurtzel zu der andern und drit - ten Dignitaͤt zu erheben (§. 77. 85); allſo gehet es auch an / daß ihr nach dieſer allgemeinen Regel / die zwar eigentlich auch nur auf Binomiſche Wurtzeln gerichtet iſt / auf eine gleiche Weiſe eine jede Polyno - miſche Wurtzel zu der verlangeten Dignitaͤt erhebet.
91. Eine allgemeine Regel zu finden aus allen Dignitaͤten eine verlangte Binomiſche Wurtzel zu ziehen.
Weil $$\sqrt [m] {}$$ xm = xm: n (§. 46) / ſo iſt das Wurtzel-Ausziehen ſo viel als eine Groͤſ - ſe zu einer Dignitaͤt erheben / die zu ihrem Exponenten eine gebrochene Zahl hat. De - rowegen wenn ihr in der vorhin gefundenen Regel an ſtat des Exponenten m den Expo -nen -57der Algebra. nenten m: n ſetzet / ſo bekommet ihr eine all - gemeine Regel / nach welcher ſo wol jede Groͤſſe zu einer verlangeten Dignitaͤt erho - ben / als aus derſelben eine verlangete Wur - tzel gezogen werden kan. Es iſt aber fol - gende:
〈…〉 u. ſ. w. unendlich ſort. 6 n
92. Dieſe ſehr nuͤtzliche Regel hat der vortrefli - che Geometra in Engelland Jſaac Nevvton zu erſt gefunden auf eben dem Wege / den ich angewieſen habe: wie ſolches aus dem Briefe erhellet / denn er A. 1676 an den unvergleichlichen Mathematicum und Polyhiſtorem, den Herrn geheimen Rath von Leibnitz / geſchrieben und Walliſius mit in den drit - ten Theil ſeiner Mathematiſchen Wercke f. 622 dru - cken laſſen. Es iſt aber dieſe Regel einerley mit der vorigen Den wie ihr m: n durch gantze Zahlen in dem Gebrauche derſelben erklaͤhren koͤnnet / wenn ihr n = 1 ſetzet; ſo koͤnnet ihr auch in der vorigen Regel m durch einen Bruch erklaͤhren / wenn eine Wurtzel ausgezogen werden ſol / Z. E. ihr ſetzet m = ½ / wenn ihr die Qvadrat-Wurtzel verlanget / m = ⅓ wenn ihr die Cubic-Wurtzel ſuchet u. ſ. w.
93. Damit ihr aber den Gebrauch der Regel detulich erkennen moͤget; ſo wil ich ſelbige mit ei - nem Exempel erlaͤutern. Jhr verlanget zu wiſſenD 5die58Anfangs-Gruͤndedie Qvadrat-Wurtzel aus aa ‒ ‒ x 2: ſo iſt m = 1 / n = 2 / P = a2 / Q = ‒ ‒ x2: a2 / fol - gends.
Pm: n = a = A
〈…〉
Demnach iſt 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
94. Wenn man aus der gegebenen Groͤſſe eine voll - kommene Wurtzel haben kan / ſo iſt die Zahl der Glie - der allzeit endlich. Hingegen wo dergleichen nicht vorhanden / ſo gehen die Glieder unendlich fort. Mannim -59der Algebra. nimmet aber von denſelben ſo viele in jedem Falle als noͤthig iſt / biß nemlich durch Weglaſſung der uͤ - brigen kein mercklicher Fehler entſtehet.
95. Wen einem die 23 und 24 Aufgabe zu ſchweer vorkommen ſollte / der kan ſie ſo lange bey Seite ſe - tzen / biß wir unten ihrer noͤthig haben werden.
96. Die Differentz zweyer Qvadrate zu finden / derer Wurtzeln umb 1 unter - ſchieden ſind.
Es ſey die eine Wurtzel n / die andere n + 1 / ſo iſt das Qvadrat der groſſen n2 + 2 n + 1 der kleinen n 2 die Differentz 2 n + 1
Weil nun eine jede Zahl zweymal genom - men eine gerade Zahl bringet und eine gera - de Zahl von einer ungeraden umb 1 unter - ſchieden iſt; ſo iſt die Differentz zweyer Qva - drate / derer Wurtzeln umb 1 unterſchieden ſind / eine ungerade Zahl und zwar diejenige / welche heraus kommet / wenn man die kleine Wurtzel mit 2 multipliciret und das Pro - duct umb 1 vermehret. Es ſeyn die Wur - tzeln 8 und 9 / ſo iſt die Differentz ihrer Qva - drate 17.
97. Es ſind ſo viel ungerade als gerade Zahlen und dannenhero halb ſo viel ungeradeals60Anfangs-Gruͤndeals ungerade und gerade zuſammen. De - rowegen wenn ihr die kleine Wurtzel mit 2 multipliciret und 1 dazu addiret / ſo kommet die ungerade Zahl heraus / welche in der Rei - he der ungeraden Zahlen der Ordnung nach eben die Stelle hat / welche der groſſen Wur - tzel nach der Ordnung in der natuͤrlichen Rei - he der Zahlen bekommet. Z. E. 9 iſt die neunte Zahl in ihrer Ordnung von 1 / hinge - gen 17 / die Differentz des Qvadrates von 8 von dem Qvadrate von 9 iſt die neunte un - gerade Zahl.
98. Daher werden die Qvadrat Zahlen in ihrer Ordnung nach einander gefunden / wenn man die ungeraden Zahlen in ihrer Ordnung zu einander addiret.
| Wurtzeln. | ungerade Zahlen. | Qvad. Zahl. |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 5 | 9 |
| 4 | 7 | 16 |
| 5 | 9 | 25 |
| 6 | 11 | 36 |
| 7 | 13 | 49 |
| 8 | 15 | 64 |
| 9 | 17 | 81 |
| 10 | 19 | 100 |
99. Zu finden / was fuͤr eine Zahl her - aus kommet / wenn man eine gerade Zahl zu einer ungeraden addiret / oder ſie von einander abziehet / oder auch durch einander multipliciret.
Weil eine gerade Zahl ſich in zwey gleiche Theile theilen laͤſſet / eine ungerade aber umb 1 von einer geraden unterſchieden iſt; ſo nen - net die gerade Zahl 2 x / die ungerade 2 y + 1 2y + 1 2y + 1 2y + 1 2x 2x 2x Sum̃e 2x + 2y + 1 Differ. 2y+ 1 ‒ 2x Prod. 4x y + 4x die Summe und Differentz ſind ungerade Zahlen / das Product iſt eine gerade Zahl. Denn dieſes laͤſſet ſich halbiren / jenes nicht.
100. Zu finden / was fuͤr eine Zahl heraus kommet / wenn man eine gerade Zahl zu einer geraden addiret / oder ſie voneinander ſubtrahiret / oder auch durch einander multipliciret.
Es ſey die eine gerade Zahl 2x / die andere 2 y. So iſt die Summe 2x + 2y / die Diffe - rentz 2x ‒ 2y / das Product 4 x y und allſo ſindalle62Anfangs-Gruͤndealle drey gerade Zahlen / denn ſie laſſen ſich halbiren.
101. Zu finden / was fuͤr Zahlen her - auskommen / wenn ihr eine ungerade Zahl zu einer ungeraden addiret / oder ſie voneinander ſubtrahiret / oder auch durcheinander multipliciret.
Es ſey die eine ungerade Zahl 2 x + 1 / die andere 2 y + 1.
2 x + 1 2 x + 1
2 y + 1 2 y + 1
Sum̃e = 2x+2y+2 Differ. = 2x-2y
2 x + 1
2 y + 1
+ 2 x +1
4 x y + 2 y
Prod. = 4 x y + 2 x + 2 y + 1
Die Summe und Differentz laſſen ſich hal - biren / ſind allſo gerade Zahlen. Das Pro - duct laͤßet ſich nicht halbiren: iſt allſo eine un - gerade Zahl.
102. Zufinden / was fuͤr Zahlen her - aus kommen / wenn ihr lauter gerade Zahlen / oder eine gerade Anzahl unge -rader63der Algebra. rader Zahlen / oder auch eine nngerade Anzahl ungerader Zahlen addiret.
Es ſeyn die gerade Zahlen 2x / 2y / 2 z / 2t u. ſ. w. ſo iſt die Summe 2x + 2y + 2z + 2t u. ſ. w, das iſt 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) allſo ei - ne gerade Zahl. Derowegen die Summe von lauter geraden Zahlen iſt eine gera - de Zahl.
Es ſeyn die ungeraden Zahlen 2 x + 1 / 2 y + 1 / 2z + 1 / 2t + 1 u. ſ. w. ihre Anzahl 2m. So iſt ihre Summe 2 x + 2 y + 2z + 2 t u. ſ. w. + 2m / das iſt 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) + 2m / folgends eine gerade Zahl. Derowegen Wenn lauter ungerade Zahlen in gera - der Anzahl zuſammen addiret werden / ſo iſt die Summe eine gerade Zahl.
Es ſeyn die ungeraden Zahlen abermals 2x + 1 / 2y + 1 / 2z + 1 / 2t + 1 u. ſ. w. ihre Anzahl 2m + 1. So iſt ihre Summe 2x + 2y + 2z + 2t u. ſ. w. + 2m + 1 / das iſt / 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) + 2m + 1 / folgends eine ungerade Zahl. Derowegen wenn lau - ter ungerade Zahlen in ungerader An - zahl zuſammen addiret werden / ſo iſt die Summe eine ungerade Zahl.
103. Wenn dieſe Aufgaben gleich ſonſt keinen Nutzen haͤtten / ſo ſollten ſie euch doch angenehm ſeyn / weil ſie euch eine neue Maxime der Benennung an die Hand geben. Jhr werdet aber auch bey anderen Ge -legen -64Anfangs-Gruͤndelegenheiten ihren Nutzen verſpuͤren. Z. E. wenn ei - ner verlangete / ihr ſolltet 20 in 5 ungerade Zahlen theilen; ſo werdet ihr bald ſehen / daß dieſes unmoͤg - lich ſey / weil ungerade Zahlen in ungerader Aazahl eine ungerade Zahl bringen / wenn ſie ſummiret wer - den.
104. Zu finden / was fuͤr eine Digni - taͤt herauskommet / wenn man eine Qvadrat - oder Cubic-Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret.
Es ſey die Qvadrat-Zahl x 2 / die Cubic - Zahl x 3. Multipliciret jede durch ſich ſelbſt ſo kommet in dem erſten Falle x 4 / in dem an - deren x 6 / weil der Exponente 4 ſich durch 2 / der Exponente 6 aber ſo wol durch 2 als durch 3 ſich dividiren laͤſſet; ſo iſt x 4 ein Qvadrat / x 6 aber zugleich eine Qvadrat - und eine Cu - bic-Zahl. Derowegen wenn eine Qva - drat-Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret wird / ſo iſt das Product eine Qvadrat - Zahl: Wenn eine Cubic Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret wird / ſo iſt das Pro - duct zugleich eine Quadrat - und auch eine Cubic-Zah!.
105. Auf dieſe Manier koͤnnet ihr noch gar viel an - dere dergleichen Lehrſaͤtze finden / wenn ihr dieſelben noͤthig habet.
106. Zu finden / wie groß in einer A -rith -65der Algebra. rithmetiſchen Progreßion die Summe der beyden aͤuſerſten Glieder ſey.
Es ſey das erſte Glied a / der Unterſcheid der Glieder d / ſo iſt die Progreßion (§. 66. Arithm.)
a. a + d. a + 2d. a + 3 d. a + 4d. a + 5 d 〈…〉
Jn einer Arithmetiſchen Progreßion iſt die Summe der beyden aͤuſerſten Glieder der Summe jeder zweyen Glie - der gleich / die von den aͤuſerſten gleich weit abſtehen / ingleichen zweymal ſo groß als das mittlere / wenn die Glie - der an der Zahl ungleich ſind.
Z. E. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21 12 9 6 3
24 = 24 = 24 = 24
107. Derowegen bekommet ihr die Sum - me der gantzen Progreßion / wenn ihr die Summe des erſten und letzten Gliedes durch(4) Edie66Anfangs-Gruͤndedie halbe Zahl der Glieder multipliciret. Es ſey das erſte Glied a / die Differentz d / die Zahl der Glieder n / ſo iſt das letzte Glied a + (n ‒ ‒ 1) d / folgends die Summe der Pro - greßion (2a + (n ‒ ‒ 1) d) ½ n = an + (n2 ‒ n) ½ d. Es ſey Z. E. a = 3 / n = 7 / d = 3 / ſo iſt die Summe der Progreßion 21 + (49 ‒ 7) $$\frac {3}{2}$$ = 21 + 42. $$\frac {3}{2}$$ = 21 + 21. 3 = 21 + 63 = 84.
108. Jhr koͤnnet demnach die Summe einer Arithmetiſchen Progreßion finden / wenn euch das erſte Glied / der Unterſcheid und die Zahl der Glieder gegeben ſind.
109. Aus dem erſten und letzten Glie - de einer Arithmetiſchen Progreßion und dem Unterſcheide der Glieder / ihre Zahl und die Summe der Progreßion zufinden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x das letzte = b die Sume = y der Unterſcheid = d
So iſt (§. 107)
b = a + dx ‒ d
y = ½ (b + a) x
b +67der Algebra.b + d ‒ a = d x
(b + d ‒ a): d = x
Setzet dieſen Werth in die Stelle von x in der anderen Gleichung / ſo habet ihr y = (b2 + bd ‒ ab + ab + ad ‒ a2): 2d = (b2 + bd + ad ‒ a2): 2d = ½ (b + a) + (b2 ‒ a2): 2d
Es ſey Z. E. a = 2 / b = 17 / d = 3 / ſo iſt x = (17 + 3 ‒ 2): 3 = 18: 3 = 6 und y = ½ (17 + 2) + (289 ‒ 4): 6 = $$\frac {19}{2}$$ + $$\frac {285}{6}$$ = 9½ + 47½ = 57.
110. Aus dem erſten Gliede / dem Un - terſcheide der Glieder / und der Summe einer Arithmetiſchen Progreßion die Zahl der Glieder und das letzte Glied zu finden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x
der Unterſcheid = d das letzte Glied = y
die Summe = c
So iſt (§. 107)
½ x (a + y) = c a + d x — d = y
2
a x + xy = 2c
E 2xy68Anfangs-Gruͤndexy = 2c — ax
x
y = (2c — ax): x folgends
(2c — ax): x = a + d x — d
x
2c — ax = dx2 + ax — dx
d
2c: d = x 2 + $$\frac {(2a - d) x} {d}$$
Setzet (2a — d): d = m / ſo iſt 2c: d = x2 + m x ¼ m2, ¼ m2 (§. 79).
¼ m2 + 2 c: d = x2 + m x + ¼ m2
V (¼ m2 + 2c: d) = x + ½ m
V (¼ m2 + 2c: d) ‒ ½ m = x
Es ſey a = 2 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt m = (4 ‒ 3): 3 = ⅓ / folgends x = � $$\frac {(1+}{36}$$ $$\frac{14) }{3}$$ ‒ ⅙ = V $$\frac {1369}{36}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ = 6. Ferner iſt y = 2 + 18 ‒ 3 = 2 + 15 = 17.
111. Aus dem erſten und letzten Glie - de und der Summe einer Arithmeti - ſchen Progreßion die Zahl und den Un - terſcheid der Glieder zu finden.
Auf -69der Algebra.Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x das letzte = b der Unterſcheid = y die Summe = c
So iſt (§. 107)
½ x (a + b) = c a + xy ‒ y = b
x (a + b) = 2c xy ‒ y = b ‒ a
x = 2c: (a + b) xy = b + y ‒ a
x = (b + y ‒ a): y
Folgends
2c: (a + b) = (b + y ‒ a): y
y
2cy: (a + b) = b + y ‒ a
a + b
2 c y = ab + ay ‒ a2 + b2 + by ‒ ab
2 cy ‒ ay ‒ by = b2 ‒ a2
2 c ‒ a ‒ b
y = (b2 ‒ a2): (2 c ‒ a ‒ b)
Es ſey = a = 2 / b = 17 / c = 57 / ſo iſt x = 114: (2 + 17) = 114: 19 = 6 / und y = 172 — 22): (114 ‒ 2 ‒ 17) = (289 ‒ 4): (114 ‒ 19) = 285: 95 = 3.
112. Aus dem Unterſcheide und der Zahl der Glieder / ingleichen der Sum -E 3me70Anfangs-Gruͤndeme einer Arihmetiſchen Progreßion / das erſte und letzte Glied / und folgends alle uͤbrigen zu finden.
Es ſey die Zahl der Glieder = n das erſte Glied = x der Unterſcheid = d das letzte die Summe = c (= y So iſt (§. 107)
½ n (x + y) = c y = x + nd ‒ d
2
n (x + y) = 2c
n
〈…〉
〈…〉 Folgends
〈…〉
n
2c ‒ nx = nx + n2 d ‒ nd
2c + nd ‒ n2d = 2nx
2n
〈…〉
Es71der Algebra.Es ſey n = 6 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt x = $$\frac {57}{6}$$ + $$\frac {3}{2}$$ ‒ $$\frac {18}{2}$$ = $$\frac {57 + 9}{6}$$ ‒ 9 = $$\frac {66}{6}$$ ‒ 9 = 11-9 = 2 und y = $$\frac {114}{6}$$ ‒ 2 = 19 ‒ 2 = 17.
113. Aus dem Unterſcheide der Glie - der / dem letzten Gliede und der Sum - me einer Arithmetiſchen Progreßion das erſte Glied und die Zahl der Glie - der zu finden.
Es ſey das letzte Glied = b das erſte Glied = x der Unterſcheid = d die Zahl der Glieder = y die Summe = c
So iſt (§. 107)
½y (x + b) = c b = x + dy-d
2
y (x + b) = 2c b + d-dy = x
y
x + b = 2c: y
〈…〉 Folgends 〈…〉 y 2c ‒ by = by + dy-dy 2
E 4dy72Anfangs-Gruͤndedy2 ‒ 2by-dy = ‒ 2c
d
〈…〉
Setzet (2b ‒ d): d = - m / ſo iſt
y2 ‒ my = ‒ 2c: d
¼ m2 ¼ m2 (§. 79)
y2 ‒ my + ¼ m2 = ¼ m2 ‒ 2c: d
½m-y oder y ‒ ½ m = V (¼m2 ‒ 2c: d)
y — ½ m ± V (¼m2 ‒ 2c: d)
Es ſey b = 17 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt m = (34 + 3): 3 = 37: 3 und ½ m = 37: 6 / folgends y = $$\frac {37}{6}$$ ‒ � $$\frac {(13969-1368) }{36}$$ = $$\frac {37}{6}$$ ‒ � $$\frac {1}{36}$$ = $$\frac {37}{6}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ = 6 / und x = $$\frac {114}{6}$$ ‒ 17 = 19 ‒ 17 = 2
114. Aus der Summe einer Arithme - tiſchen Progreßion / der Zahl der Glie - der und dem Producte aus dem erſten Gliede in das letzte / die Glieder zu fin - den.
Es ſey das Product = a das 1ſte Glied = x die Zahl der Glieder = n das letzte = y die Summe = c
So iſt
½ n73der Algebra.½ n (x + y) = c (§. 107) a = xy
2 x x
n (x + y) = 2c a: x = y
n
〈…〉
〈…〉 folgends
〈…〉
x
〈…〉
〈…〉
c2: n2 c2: n2
〈…〉
〈…〉
〈…〉
〈…〉
115. Wenn man etliche Glieder vonE 5einer74Anfangs-Gruͤndeeiner Arithmetiſchen Progreßion / die ſich von 1 anfaͤnget zu einander addiret; ſo heiſſet die Summe eine Polygonal - Zahl. (Numerus Polygonus).
116. Jnsbeſondere heiſſet es eine Tri - angular-Zahl / wenn die Differentz der Glieder in der Progreßion 1 iſt; eine Qvadrat-Zahl / wenn ſie 2 iſt: eine Pentagonal-Zahl / wenn ſie 3 iſt; eine Hexagonal-Zahl / wenn ſie 4 iſt u. ſ. w. Arithm. Progr. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Triang. Zahlen. 1. 3. 6. 10. 15. 21. 28. 36. Arithm. Progr. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. Qvadr. Zahlen. 1. 4. 9. 16. 25. 36. 49. 64 Arithm. Progr. 1. 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22. Pentogonal. Zahl. 1. 5. 12. 22. 35. 51. 70. 92. Arithm. Progr. 1. 5. 9. 13. 17. 21. 25. 29. Hepagon. Zahl. 1. 6. 15. 28. 45. 66. 91. 120.
117. Jhr werdet ins kuͤnftige erfaͤhren / daß es es nicht ohne Nutzen ſey / wenn man allerhand Pro - greßionen der Zahlen ſummiren lernet. Zu dem En - de wollen wir auch unterſuchen / wie man die Polygo - nal-Zahlen ſummiren kan.
118. Die Seite der Polygonal - Zahl heiſſet die Zahl der Glieder / wel - che von der Progreßion ſummiret wor - den / damit dieſelbe entſtanden.
119. Durch die Zahl der Winckel verſtehen wir diejenige / welche andeu - tet / wie viel Winckel die Figur hat / von der die Polygonal-Zahl ihren Nahmen bekommen.
120. Allſo iſt die Zahl der Winckel in Tri - gonal-Zahlen 3; in Qvadrat - oder Tetrago - nal-Zahlen 4; in Pentagonal-Zahlen 5 u. ſ. w.
121. Da nun in Trigonal-Zahlen die Differentz der Glieder 1 / in Qvadrat-Zah - len 2 / in Pentagonal-Zahlen 3 u. ſ. w. iſt; ſo iſt die Zahl der Winckel jederzeit umb 2 groͤſ - ſer als die Differentz der Glieder in der Pro - greßion / durch deren Summirung die Po - lygonal-Zahlen entſtehen.
122. Aus der gegebenen Seite einer Polygonal-Zahl und der Zahl der Winckel die Polygonal-Zahl zu finden.
Es ſey die Seite = a
Die Zahl der Winckel = n
das erſte Glied der Progr. iſt = 1 (§. 116).
die Differentz der Glieder = n -2 (§. 121).
das letzte Glied 1 + (n-2) (a-1) (§. 107)
das76Anfangs-Gruͤndedas erſte Glied _ _ 1
Summa des erſten und letzten 2 + an-2a-n+2 halbe Zahl der Glieder ½a (§. 118).
Polygonal-Zahl 2a + ½ a2n-a2-½ an (§. 107) Es ſey n = 3 / ſo iſt die Trigonal-Zahl 2a + $$\frac {3}{2}$$ 〈…〉 Es ſey n = 4 / ſo iſt die Tetragonal-Zahl 2a 〈…〉 Es ſey n — 5 / ſo iſt die Pentagonal-Zahl 2a 〈…〉 Es ſey n = 6 ſo iſt die Hexagonal-Zahl 2a + 〈…〉 Es ſey n = 7 / ſo iſt die Hexagonal-Zahl 2a + 〈…〉 Es ſey n = 8 / ſo iſt die Octogonal-Zahl 2a + 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr dieſe Polygonal-Zahlen betrach - tet / ſo werdet ihr wahrnehmen / 1. daß eine je - de von denſelben zuſammen geſetzet iſt aus dem Qvadrate und der Wurtzel der Seite: 2. daß das Qvadrat multipliciret wird durch die Differentz der Glieder in der Progre -ßion77der Algebra. ßion / daraus die Polygonal-Zahl entſtan - den; 3. hingegen die Wurtzel durch die Dif - ferentz / ſo umb zwey vergeringert worden; 4. daß dieſes andere Product von dem erſten abgezogen / und 5. das uͤberbliebene durch 2 dividiret wird. Dieſes iſt die verlangte all - gemeine Regel.
Jhr ſollet die ſechſte Trigonal-Zahl finden. Weil a = 6 〈…〉 = 18+3 = 21.
Wenn ihr die achte Pentagonal-Zahl ſu - chet / ſo iſt a = 8 / und allſo 〈…〉 3. 32 ‒ 4 = 96 ‒ 4 = 92. Wenn ihr die fuͤnfte Hexagonal-Zahl ſuchet / ſo iſt a = 5 / und allſo 〈…〉 = 2. 25-5 = 50 ‒ 5 = 45.
123. Aus der gegebenen Polygonal - Zahl und der Zahl der Winckel die Seite zu finden.
Es ſey die Polygonal-Zahl = p die Seite die Zahl der Winckel = n = x
So iſt die Differentz der Glieder n -2 (§. 121) das erſte Glied. _ _ 1 (§. 116)
Derowegen das letzte 1 + (x-1) (x-2) (§. 107. 118)
das78Anfangs-Gruͤndedas iſt 3 + nx ‒ 2 x ‒ n das erſte Glied 1
Summe des erſten und letzten 4 + nx ‒ 2x-n halbe Zahlen der Glieder ½ x (§. 118)
2 x + ½ n x2 ‒ x2 ‒ ½ n x
Derowegen iſt
½ n x2 ‒ x2 + 2x ‒ nx = p
2
n x2 ‒ 2 x2 ‒ nx + 4 x = 2 p
n -2
〈…〉
〈…〉
〈…〉
x = n ‒ 4 + � (8p n-16 p + n2 ‒ 8 n + 16)
2 n ‒ 4
Es ſey n = 3 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 4 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉
Es79der Algebra.Es ſey n = 5 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 6 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 7 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 8 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr dieſe Polygonal-Zahlen betrach - tet / ſo werdet ihr wahrnehmen /</