DJe Algebra kan niemals zu viel geruͤhmet wer - den: deñ ſie iſt die Kunſt / durch welche man die Mathematiſchen Wahrheiten von ſich ſelbſt erfinden kan. Wenn ihr demnach die Anfangs-Gruͤnde der Mathematiſchen Wieſſenſchaftẽ / die ich euch in den drey vorher gehenden Theilen erklaͤhret habe / euch bekandt machet und die Algebra dabey ſtu - dieret; ſo werdet ihr aus jenen durch dieſe vor euch ſelbſt finden koͤn - nen / was ihr ſonſt aus Buͤchern o - der von anderen zu lernen von Noͤthen haͤt - tet. Ja ihr werdet auch vieles erfinden koͤn - nen / was andere vor Euch noch nicht gedacht haben. Mit einem Worte ſie machet euch geſchieckt / daß / wenn ihr nur gantz was ge - ringes aus den Mathematiſchen Wieſſen - ſchaften gelernet / ihr von euch ſelbſt ein meh - reres erfinden koͤnnet zu der Zeit / wenn ihr esA 3von6Vorrede. von Noͤthen habet. Es iſt aber keine voll - kommenere Art zu ſtudiren / als wenn man nur ein weniges lernen darf und ſich dabey doch auf alle vorkommende Faͤlle geſchieckt machet. Jch ſage aber noch mehr. Jhr treffet in der Algebra die aller vollkommenſte Manier zu raiſoniren an. Denn ſie ex - primiret die Begrieffe der Sachen durch Zeichen und verwandelt die Schluͤſſe / welche mit vielem Bedacht aus ihnen hergeleitet werden / in eine leichte Manier die Zeichen mit einander zu verknuͤpfen und zu trennen. Da - durch erhaͤlt man zu gleich / daß man oͤfters in einer Zeile mehr haben kan / als in groſſen Folianten nicht Raum finden wuͤrde. Durch das Anſchauen weniger Zeichen werdet ihr oͤfters kluͤger / als ihr durch vieler Jahre Ar - beit nach der gemeinen Art zu lernen und zu dencken nicht werden koͤnnet. Jn dieſer Ab - ſicht pfleget man die Algebra den Giepfel menſchlicher Wieſſenſchaften zu nennen / und dieſes von Rechtswegen. Jch habe dem - nach ſo wol die gemeine Algebra / als die un - vergleichliche Differential - und Jntegral - Rechnung des Herrnvon Leibnitz dergeſtalt erklaͤhren wollen / daß nicht allein ihre Kunſt - Grieffe unvermercket bey gebracht / ſondern auch die Haupt-Lehren von der ſo genannten Matheſi pura zu gleich mit erlernet / ja von ſelbſten gefunden werden.
1.
DJe gemeine Algebra iſt eine Wieſſenſchaft aus einigen ge - gebenen endlichen Groͤſſen an - dere ihres gleichen zu finden / von de - nen in Anſehung der gegebenen etwas bekand gemacht wird.
2. Z. E. Jhr ſollet zwey Zahlen finden / die mit einander multipliciret eine gegebene Zahl 60 / hin - gegen zu ſammen addiret eine andere gegebene Zahl 12 bringen. Allſo werden euch gegeben zwey Zah - len und ihr ſollet aus denſelben zwey andere Zahlen finden / von welchen euch bekand gemacht wird / daß ihre Summe der kleineren / ihr Product aber der groͤſſeren von den gegebenen Zahlen gleich ſeyn ſol. Die Algebra nun lehret euch eine allgemeine Regel finden / nach welcher ihr alle Exempel von dieſer Art rechnen koͤnnet.
3. Allſo iſt die Algebra eine allgemeine Rechen-Kunſt / dadurch man nemlich alles / was ſich rechnen laͤſt / ausrechnen kan. (§. 1. Arithm.)
4. Daher nennet auch der groſſe Mathematicus in Engelland / Herr Jſaac Nevvton. ſeine Anweiſung zur Algebra / welche der beruͤhmte Profeſſor Mathe - matum Whiſton zu Cambridge 1707 in 8 heraus gegeben / Arithmeticam Univerſalem und wir koͤn - ten die Algebra in unſerer Teutſchen Sprache mit gutem Fuge eine Allrechen-Kunſt heiſſen.
5. Eine Groͤſſe nennen wir alles dasjenige was ſich vermehren und ver - mindern laͤſt / in ſo weit es ſich vermeh - ren und vermindern laͤſt.
6. Allſo beſtehet das Weſen einer Groͤſ - ſe in der Verhaͤltnis zu einer andern ihres gleichen.
7. Z. E. die Waͤrme nenne ich in ſo weit eine Groͤſſe / als ich dencken kan / wie viel mal eine gegebe - ne Waͤrme / als die Waͤrme der Luft des heurigen Tages / in einer andern gegebenen Waͤrme / als in der Waͤrme der Luft des geſtriegen Tages enthalten ſey.
8. Und folgends ſind die Groͤſſen undeter -minir -9der Algebra. minirte Zahlen / da man nemlich noch keine gewiſſe Eines ſetzet (§. 6. 8 Arithm.)
9. Nehmet Z. E. eine gerade Linie von einer de - terminirten Laͤnge. Setzet die Linie ſey eingethei - let in 4 gleiche Theile. Wenn ihr einen von denſel - ben zur Eins macht und die Laͤnge der gantzen Linie mit ihm vergleichet: ſo heiſſet die Linie 4 und ihr be - trachtet ihre Laͤnge als eine Zahl. Setzet abermals die Linie ſey eingetheilet in 5 gleiche Theile. Wenn ihr einen von denſelben zur Eins macht und die Laͤn - ge der gantzen Linie m̃it ihr vergleichet: ſo heiſſet die Linie 5 und ihr betrachtet ihre Laͤnge abermals als eine Zahl. Wiederumb ſetzet die Linie ſey einge - theilet in 13 gleiche Theile und vergleichet ihre gan - tze Laͤnge mit einem ſolchen Theile; ſo heiſſet ſie 13 und ihr betrachtet dieſelbe als eine Zahl. Hieraus ſehet ihr / daß die Laͤnge einer Linie durch unzehlich viel Zahlen / groſſe und kleine ausgeſprochen wer - den kan / nach dem ihꝛ nemlich einen groſſen oder kleinen Theil derſelben zur Eins annehmet. Wenn ihr nun keinen gewieſſen Theil ſetzet / mit welchem ſie verglie - chen werden ſol; ſondern ſie nur uͤberhaupt betrach - tet / in ſo weit ſie mit einer gewieſſen Eins kan ver - gliechen werden: ſo ſtellet ihr euch dieſelbe als eine Groͤſſe vor. Und daher kommt es / daß durch die Al - gebra ſehr allgemeine Wahrheiten erfunden werden: Da hingegen die Rechen-Kunſt nur eintzele Exem - pel ausrechnet und allſo ſtets mit eintzelen Faͤllen zu - thun hat.
10. Alles / was wir in der Welt antreffen und in uns ſelbſt finden / hat in allem dem / was es wuͤrcklich iſt und wovon ſich etwas gedencken laͤſt / ſeine Schrancken und laͤſt ſichA 5dan -10Anfangs-Gruͤndedannenhero mit anderen Dingen von ſeiner Art vergleichen und darumb als etwas / ſo vermehret oder vermindert werden kan / das iſt / als eine Groͤſſe (§. 5. 6) betrachten. Derowegen erſtreckt ſich die Albebra auf alle endliche Dinge und fuͤhret uns auf ei - nen deutlichen Begrief von ihrer Endlich - keit.
11. Es kan keine vollkommenere Erkaͤntnis ge - dacht noch verlanget werden / als wenn man von der Endlichkeit der Dinge einen deutlichen Begrief er - langet: welches ich bey anderer Gelegenheit klahr und deutlich ausfuͤhren wil. Daher dienet die Al - gebra zu einer vollkommenen Erkaͤntnis der Dinge zu gelangen / und ohne dieſelbe wuͤrde es in den mei - ſten Faͤllen unmoͤglich ſeyn ſelbe zu uͤberkommen.
12. Weil die Groͤſſen undeterminirte Zah - len ſind (§. 8) / ſo kan man auch keine ande - re Veraͤnderungen / als wie mit Zahlen / mit ihnen vornehmen / und daher ſie entweder zuſammen addiren / oder von einander ſub - trahiren / oder durch einander multipliciren / oder durch einander dividiren (§. 12. 15. 18. 21. 24 Arithm.)
13. Gleichwie ihr aber mit Zahlen keine Rechñung vornehmen koͤnnet / ihr muͤſſet euch vorher dieſelben durch gewieſſe Zeichen vorſtellen: eben ſo wird in der Algebra-erfordert / daß ihr fuͤr die Groͤſſen ge - wieſſe Zeichen erſinnet.
14. Man benenne die gegebenen Groͤſ - ſen jederzeit mit den erſten Buchſta - ben des Alphabets / a, b, c, d u. ſ. w. die unbekandten aber / welche man ſuchet / mit den letzten x, y, z.
15. Wie die Groͤſſen ſich dem Verſtande zuer - kennen geben / ſo muͤſſen ſie auch durch die Zeichen von einander unterſchieden werden. Nun ſtellen ſie ſich in den Algebraiſchen Aufgaben jederzeit dem Ver - ſtande vor entweder als gegebene / das iſt / bekandt gemachte / oder als geſuchte / das iſt / noch unbekandte Groͤſſen: Derowegen muß man auch durch die Zei - chen unſerer Jmagination oder Einbildungs-Kraft dieſen Unterſcheid klaͤhrlich vorſtellen, Denn ſonſt waͤre Gefahr / daß man das unbekandte mit dem Be - kandten leicht verwirrete und daher in Jrrthum verfiele.
16. Es waͤre bey der Benennung der Groͤßen noch gar viel zu erinnern. Denn wenn ſie geſchieckt und zum Erfinden dienlich ſeyn ſol / muͤſſen die Zei - chen alle gegebene relationes der bedeuteten Dinge gegen einander andeuten. Z. E. Wenn eine von den unbekandten Groͤßen drey mal ſo groß iſt als die andere / und die kleinere heiſſet x; ſo nennet man die groͤſſere lieber 3 x als y. Allein ich wuͤrde den An - faͤngern nicht dienen / wenn ich ſie mit vielen Regeln auf einmal uͤberhaͤufete. Und halte es dannenhers fuͤr rathſamer / daß ich es inskuͤnftige lieber durch Exempel lehre / und die Regeln nach und nach gleich - ſam unvermerckt und ohne Muͤhe beybringe.
17. Das Zeichen der Addition iſt + / der Subtraction aber —. Jenes wird durch Mehr; dieſes durch We - niger ausgeſprochen.
18. Z. E. Die Summe zweyer Groͤßen a und b wird geſchrieben a + b und ausgeſprochen: a mehr b. Hingegen die Differentz zweyer Groͤßen wird geſchrieben durch a — b und ausgeſprochen: a we - niger b. Als es bedente a 7 Thaler / b 8 Gro - ſchen: ſo bedeutet a + b 7 Thl + 8 gl das iſt / 7 Thl und 8 gl; hingegen a — b 7 Thl — 8 gl. das iſt / 7 Thl weniger 8 gl.
19. Die Multiplication hat entweder gar kein Zeichen / ſondern man ſetzet die Buchſtaben / welche einander multipli - ciren / ohne einiges Zeichen neben ein - ander: oder man deutet ſie durch ein comma (,) oder einen Punct (. ) an. Jnsgemein brauchet man dieſes Zei - chen x.
20. Wenn a durch b multipliciret werden ſol / ſo ſchreibet das Product a b, oder a, b oder a. b, o - der axb. Wir werden uns des letztern Zeichens nie - mals bedienen / weil es leicht mit dem X vermenget wird. Doch haben wir es hiermit anfuͤhren ſollen / weil es in allen Buͤchern haͤufig vorkommt. Am mei - ſten werden wir kein Zeichen brauchen: das com - ma und den Punet aber nur in gewieſſen Faͤllen ausbe -13der Algebra. beſonderen Urſachen / die ſich zu ſeiner Zeit in den Exempeln zeigen werden.
21. Wenn eine groͤſſe viele andere auf einmal multipliciret ſo ſchlieſſet man dieſelben in eine parentheſin () ein und ſetzet jene ohne einiges Zeichen vor oder hinter die parentheſin: oder man ſetzet zwieſchen dieſelben ein bloſſes comma.
22. Das Product von a + b — c in d, ſchreibet entweder allſo (a + b — c) d, oder dergeſtalt d (a + b ‒ ‒ c), oder auch folgender maſſen a + b ‒ ‒ c, d.
23. Jnsgemein ſchreibet man dieſes Product all - ſo: a+b〈…〉〈…〉 ‒ c × d / oder auch d x a + b ‒ c. Allein wir blei - ben billig bey der Manier des Herrn von Leibnitz / welche mit großem Vortheile in die Acta Eruditorum Lipſienſia eingefuͤhret worden: denn man kan ſich nicht ſo leicht verirren wie bey den gemeinen Zeichen / und macht auch den Buchdruckern nicht ſo viel unnoͤthige Muͤhe / erſpaaret uͤber dieſes viel an dem Raume. An - dere Vortheile wollen wir ietzt nicht gedencken / die ſich zn folgendem zeigen werden.
24. Das Zeichen der Diviſion ſind zwey Puncte: / oder man ſchreibet die Buch - ſtaben / welche einander dividiren ſol - len / wie in der Rechen-Kunſt einen Bruch.
An -14Anfangs-Gruͤnde25. Wenn a durch b dividiret werden ſol / ſo ſchrei - bet man den Qvotienten entweder a: b / oder $$\frac {a}{b}$$ und ſpricht es beyderſeits aus a durch b dividiret.
26. Wenn eine Groͤſſe viel andere auf einmal dividiret / oder viel andere eine dividiren / ſo werden / wie in der Mul - riplication die vielen in eine parentheſin () eingeſchloſſen / oder man kan auch an deren ſtat ein bloſſes Comma brauchen.
27. Wenn a + b durch c dividiret werden ſol / ſo ſchreibet den Qvotienten entweder (a + b): c oder a + b,: c. Sollet ihr a durch b + c dividieren / ſo iſt der Qvotient a: (b + c) oder a:, b + c. Wiederumb wenn ihr a + b durch c + d dividiret / ſo ſchreibet den Qvo - tienten (a + b): (c + d) oder a + b,:, c + d.
28. Nach der gemeinen Art ſchreibet ihr dieſe Qvo - tienten a + b / c, a / b+c a+b / c+d, oder auch a+b: c, a: b+c, a+b: c+d.
29. Einerley Groͤſſen mit einerley und verſchiedenen Zeichen zuſammen zu ad - diren.
a + 2 b ‒ ‒ 3c ‒ ‒ 5d
3a ‒ ‒ 2b + 6c + 2d
4a + 3c ‒ ‒ 3d
Weil die Buchſtaben undeterminirte Zah - len ſind (§. 14); ſo koͤnnet ihr einen ieden als Eines anſehen / und demnach die Groͤſſen / welche durch einerley Buchſtaben benennet werden / als Dinge von gleicher Art zuſam - men zehlen (§. 8 Arithm.) Alle Groͤſſen / wel - che mit dem Zeichen ‒ ‒ bemercket werden / feh - len und hingegen die das Zeichen + haben / ſind vorhanden. Wenn ich derowegen von bey - der Art addiren ſol / ſo wird durch die letzte - ren der Mangel aufgehoben. Und dannen - hero muß freylich die Addition in eine Sub - traction verkehret werden. W. Z. E.
30. Die Groͤſſen / welche mit dem Zeichen — be - mercket werden / hat man nicht anders als Schulden anzuſehen / und hingegen die anderen mit dem Zeichen + als baares Geld. Und daher nennet man auch die er - ſten weniger als nichts / weil man erſt ſo viel weg geben muß / als man ſchuldig iſt / ehe man nichts hat.
31. Damit euch die Rechnung mit Buchſtaben deutlicher wird / ſo bildet euch ein / a bedeute 1 thl. b 1 gl. c 1 pf.
7a ‒ ‒ 9b + 5c 7 thl. ‒ ‒ 9 gl. + 5 pf.
3a + 5b ‒ ‒ 9c 3 thl. + 5 gl. ‒ ‒ 9 pf.
10a — 4b — 4c 10 thl. ‒ 4 gl. ‒ 4 pf.
32 Einerley Groͤſſen mit einerley o - der verſchiedenen Zeichen von einander zuſubtrahiren.
8a ‒ 5c + 9 d 8 thl. ‒ 5 gl. + 9 pf
6a ‒ 8c ‒ 7 d 6 thl. ‒ 8 gl. ‒ 7 pf
2a + 3c + 16 d 2 thl. + 3 gl. + 16 pf
9b + 15c ‒ 7d + 8e ‒ f
6b + 20c ‒ 9d ‒ 9e + 7f
3b ‒ 5c + 2d + 17e ‒ 8 f
Weil ihr jeden Buchſtaben als Eines an - ſehen koͤnnet (§. 8. 14); ſo koͤnnet ihr auch wie in Zahlen die Subtraction verrichten. Allein wenn ihr die groͤſſere von der kleineren abzie - het / und ſie haben das Zeichen + / als 20 c von 15 c / ſo nehmet ihr 20 c weg / muͤſſet aber wie - der von oben die 15 c addiren / und dannenhero fehlen nur noch ſo viel c als der Unterſcheid zwieſchen 20 und 15 iſt, nemlich 5. Hinge - gen wenn das Zeichen ‒ ‒ iſt / als wenn ihr ‒ ‒ 9d von ‒ ‒ 7d abziehen ſollet; ſo muͤſſet ihr ‒ ‒ 9d addiren / weil ihr es zuviel abgezogen. Denn ihr ſolltet 20c ‒ ‒ 9d wegnehmen: ihr habt a - ber 20c gantz weggenommen. Da nun o - ben 7 d fehlen / ſo heben ſich von den 9d / die ihr dazu addiret / 7 auf und bleiben nur noch 2 d uͤbrieg. Darumb doͤrfet ihr in dieſen Faͤl - len nur allzeit die kleinere von deꝛ groͤſſeren ab - ziehen / und zu dem uͤbriegen das wiedrige Zei - chen ſetzen nemlich ‒ ‒ wenn ihr + habet / und + weñ ‒ ‒ iſt. Endlich weñ die Zeichen verſchie -(4) Bden18Anfangs-Gruͤnde1den ſind / und ihr ſollet Z. E. ‒ 9 e von + 8 e ab - ziehen; ſo wieſſet ihr aus dem vorhergehen - den / daß die unteren 9 e addiret werden muͤſ - ſen / weil ihr ſie zuviel in den vorhergehenden abgezogen. Und demnach bekommt ihr + 17 e. Hingegen wenn ihr Z. E. + 7 f von ‒ f ſubtrahiren ſollet; ſo fehlet euch oben ſchon ein f; Wenn ihr nun die 7 f unten auch noch weg - nehmen ſollet / ſo fehlen euch zuſammen 8 f. Daher habet ihr in beyden Faͤllen nur noͤthig die Groͤſſen zu addiren / und zu der Summe das Zeichen zu ſetzen / welches die Groſſe hat / davon die Subtraction geſchiehet.
33. Groͤſſen mit einerley und ver - ſchiedenen Zeichen durcheinander zu multipliciren.
Verrichtet die Multiplication / wie in Zah - len (§. 52 Arithm. ) nur mercket: daß einer - ley Zeichen im Producte + / verſchiedene aber ‒ ‒ geben.
a + b ‒ d 10 = 8 + 4 ‒ 2
a ‒ b ‒ d 2 = 8 ‒ 4 ‒ 2
‒ ad ‒ bd + dd ‒ 16 ‒ 8 + 4
‒ ab ‒ bb + bd ‒ 32 ‒ 16 + 8
aa + ab ‒ ad 64 + 32 ‒ 16
aa ‒ bb ‒ 2 ad + dd 68 ‒ 48 = 20
Wenn ihr + durch + multipliciret / ſo iſt klahr / daß das Product auch + haben muß. Jngleichen iſt nicht ſchweer zu begreiffen / daß in dem Producte das Zeichen — ſeyn muß / wenn ihr + durch ‒ ‒ multipliciret / weil ihr ei - nen Mangel oder eine Schuld etliche mal nehmet. Allein wenn — durch ‒ ‒ multiplici - ret wird / ſcheinet es nicht gleich klahr zu ſeyn / warumb in dem Producte + iſt. Mercket demnach / daß wenn ihr 3 ‒ ‒ 2 durch ‒ 2 multi - pliciren ſollet / ihr den Defect ‒ 2 ſo viel mal nehmen ſollet / als 3 ‒ ‒ 2 Einheiten hat; das iſt / 1 mal. Da ihr nun anfangs 3 mit -2 multi - pliciret / ſo nehmet ihr den Defect 3 mal / und demnach 2 mal zu viel. Derowegen muͤſſet ihr ihn noch zwey mal dazu wieder addiren. Und alſo giebet ‒ ‒ 2 mit ‒ ‒ 2 zum Producte + 4 W. Z. E.
34. Wenn ihr ‒ ‒ a mit + b multipliciret / ſo kommet ‒ ‒ a b heraus. Derowegen wenn ihr ‒ ‒ ab durch + b dividiret / muß ‒ ‒ a heraus kommen. Dividiret ihr aber ‒ ‒ ab durch ‒ ‒ a / ſo muß + b heꝛaus kommen. Demnach iſt klahr / daß auch in der Diviſion die Regel gielt: Einerley Zeichen geben im Qvoti - enten + / verſchiedene aber ‒ ‒.
35. Groͤßen mit einerley und verſchie - denen Zeichen durch einander zu dividi - ren.
B 2Auf -20Anfangs-GruͤndeWenn eine gegebene Groͤſſe durch die an - dere ſich wuͤrcklich dividiren laͤßet; ſo verfah - ret wie in Zahlen (§. 56) / nur daß ihr die Re - gel von Veraͤnderungen der Zeichen wohl in acht nehmet (§. 34).
Kan aber die Diviſion nicht wuͤrcklich ge - ſchehen / ſo bleibet es bey dem / was oben (§. 24 & ſeqq. ) geſaget worden.
aa — bb ‒ ‒ 2 ad + dd (a + b-d a - b - d) aa ‒ ‒ ab ‒ ‒ ad
+ ab — bb ‒ ‒ ad + dd
a ‒ ‒ b ‒ ‒ d) + ab — bb ‒ ‒ bd
+ bd ‒ ‒ ad + dd
a ‒ ‒ b ‒ ‒ d) ‒ ad + bd + dd
o
36. Weil die Buchſtaben nicht wie die Zahlen eine Bedeutung von der Stelle haben / in welcher ſie ſte - hen; ſo doͤrfet ihr euch auch hier an keine Ordnung binden / ſondern moͤget den Qvotienten ſuchen / in wel - chem Gliede ihr ihn findet: welches auch in dem Sub - trahiren des Productes aus dem Diviſore in den Qvo - tienten ſta ſindet.
37. Wenn man eine Groͤſſe durch ſich ſelbſt multipliciret / ſo heiſſet das Pro - duct / welches heraus kommet / die an - dere Potentz oder Dignitaͤt derſelbenGroͤſ -21der Algebra. Groͤſſe. Multipliciret ihr die andere Dignitaͤt noch einmal durch die erſte / ſo kommet die dritte Potentz / oder Di - gnitaͤt heraus. Multipliciret ihr fer - ner die dritte durch die erſte / ſo kommet die vierdte Potentz oder Dignitaͤt her - aus. Multipliciret ihr die vierdte durch die erſte / ſo kommet die fuͤnfte Potentz oder Dignitaͤt heraus / u. ſ. W.
38. Den Gradder Potentz oder Di - gnitaͤt einer Groͤſſe deutet durch eine kleine Zifer / oder / wenn er nicht deter - miniret iſt / durch einen kleinen Buchſta - ben an / den ihr oben zur Rechten an denjenigen Buchſtaben ſetzet / wodurch die Groͤſſe benennet wird. Z. E. die an - dere / dritte / vierdte. ꝛc. Dignitaͤt von X iſt / X2 / X3 / X4 / ꝛc. Xm. Dieſe Zahlen aber werden die Exponenten der Digni - taͤten genennet.
39. Dannenhero wenn ihr eine Dignitaͤt durch eine andere multipliciren ſollet / ſo doͤr - fet ihr nur ihre Exponenten zuſammen addi - ren.
| x 3 | ym | xm xn |
| x 4 | yx | xr xn |
| x 7 | ym+n | am+r x2n |
40. Hingegen wenn ihr die Dignitaͤt ei - ner Groͤſſe durch eine andere Dignitaͤt der - ſelben dividiren ſollet; ſo doͤrfet ihr nur ihre Exponenten voneinander ſubtrahiren.
| x 7 | x 7 | ym+n | ym |
| x 4 | x 3 | yn | yn |
| x 3 | x 4 | ym | ym-n |
41. Endlich wenn ihr die Dignitaͤt einer Groͤße zu einer anderen Dignitaͤt erhe - ben ſollet / ſo doͤrfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der anderen multipli - ciren. Z. E. Jhr ſollet x 3 zu der 4 Dignitaͤt erheben: ſo multipliciret 3 durch 4 / und neh - met x 12 vor die geſuchte Dignitaͤt an.
42. Die Urſache iſt leicht zu errathen. Denn ihr ſollet den Exponenten 3 vier mal zu ſich ſelbſt addiren (§. 37. 39). Dieſes aber geſchiehet / wenn ihr ihn durch 4 multipliciret (§. 23 Arithm.)
43. Folgends wenn ihr aus einer gegebe - nen Dignitaͤt eine verlangte Wurtzel ziehen ſollet / das iſt / diejenige Groͤſſe finden / wel - che zu einer gewießen Dignitaͤt erhoben wor - den (§. 83. 84. Arithm. & §. 37. Algebr. ); ſo doͤrfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der Wurtzel dividiren. Z. E. Die23der Algebra. die Wurtzel der vierdten Dignitaͤt aus x 12 iſt x 3 die Wurtzel m aus xn iſt xn: m.
44. Mercket wohl dieſe Art der Wurtzeln zu zeich - nen / denn ihr werdet ins kuͤnftige großen Vortheil davon haben.
45. Wenn ihr die Wurtzel aus einer Groͤſſe ziehen ſollet / dergleichen ſie nicht hat / ſo ſetzet folgendes Wurtzel-Zeichẽ vor ſie und uͤber daſſelbe den gehoͤrigen Exponenten der Wurtzel: in der Qva - drat-Wurtzel aber koͤnnet ihr den Expo - nenten weglaſſen. Allſo ſchreibet ihr die Eubic-Wurtzel von x / ∛ x; hingegen die Wurtzel der fuͤnften Dignitaͤt von x ſchrei - bet ihr $$\sqrt [5] {}$$ x.
46. Weil Vx = x1: 2 / ∛ x2 = x2: 3 / $$\sqrt [m] {}$$ xn = xn: m (§. 43) ſo koͤnnet ihr iederzeit eine Formul in die Stelle der anderenſetzen / nach - dem ihr von dieſer oder von jener einen Vor - theil haben koͤnnet.
47. Dergleichen Groͤßen / daraus die verlangete Wurtzel nicht gnau gezogen werden kan / werden Jrrational-Groͤſ - ſen oder / wenn es Zahlen ſind / Jrratio - nal-Zahlen genennet. dergleichen ſind V 2 / $$\sqrt [3] {} 4$$ / $$\sqrt [5] {} 6$$
B 4An -24Anfangs-Gruͤnde48. Die Jrrational-Groͤſſen koͤnnen entweder eine Benennung haben / als $$\sqrt [3] {} 2$$ und $$\sqrt [3] {} 5$$ / oder verſchiede - ne als $$\sqrt [4] {} 3$$ und $$\sqrt [5] {} 6$$ .
49. Jrrational Groͤſſen von ver - ſchiedener Benennung zu einer Benen - nung zu bringen.
Es ſeyn die gegebenen Jrrational-Groͤſ - ſen xn: m und yr: s.
Weil der Unterſcheid der Benennung in dem Unterſcheide der Exponenten n: m und r: s beſtehet / hingegen man dieſe Bruͤche in ande - re gleichguͤltige verwandeln kan / die einerley Benennung haben (§. 74 Arithm. ) ſo iſt wei - ter nichts vonnoͤthen als daß ihr die Exponen - ten unter einerley Benennung bringet / und die dadurch gefundenen Bruͤche in die Stelle der Exponenten ſchreibet. So werdet ihr finden / daß xn: m + yr: s = xns: ms + ymr: ms = $$\sqrt [ms] {}$$ xns + $$\frac [ms] {}$$ ymr.
50. Eben dieſer Methode koͤnnet ihr euch in den Jrrational-Zahlen bedienen. Z. E. Jhr ſollet $$\sqrt [3] {} 5$$ und V 3 unter eine Benennung bringen. Weil $$\sqrt [3] {} 5$$ = 51: 3 und V 3 = 31: 2 / ſo findet ihr 51: 3 + 31: 2 = 52: 6 +33: 6 = $$\sqrt [6] {} 5^2$$ + $$\sqrt [6] {} 3^3$$ = (wenn ihr die Groͤſſen un -ter25der Algebra. ter dem Wurtzel-Zeichen wuͤrchlich zu ihrer Dignitaͤt erhebet) V[⁶]25 + V[⁶]27.
51. Jrrational-Groͤſſen auf eine ſchlechtere Art auszudrucken.
Jhr ſollet $$\sqrt [m] {}$$ an xm auf eine andere Art ausdrucken. Setzet
$$\sqrt [m] {}$$ an xm = y $$\sqrt [3] {} 16$$ = $$\sqrt [3] {} 8. 2$$ = x
ſo iſt ax xm = ym 8. 2 = x3
an = ym: xm 2 = x3: 8
$$\sqrt [m] {}$$ an = y: x $$\sqrt [3] {} 2$$ = x: 2
x $$\sqrt [m] {}$$ an = y 2 $$\sqrt [3] {} 2$$ = x
So iſt geſchehen / was man verlangete.
$$\sqrt [3] {} 24$$ = $$\sqrt [3] {} 8. 3$$ = 2 $$\sqrt [3] {} 3$$ . Jnglei - chen � 18 = � 2. 9〈…〉〈…〉 = 3 � 2. Wie - derumb $$\sqrt [4] {}$$ 48 = $$\sqrt [4] {}$$ 16. 3 = 2 $$\sqrt [4] {}$$ 3.
52. Wenn ihr Jrrational-Groͤſſen von ei - nerley Art ſolcher geſtalt reduciret / und es bleibet unter dem Wurtzel-Zeichen einerley Groͤſſe ſtehen; ſo verhalten ſich dieſelbe ge - gen einander wie die Rational-Groͤſſen vor dem Wurtzel-Zeichen. Z. E. � 8 = � 4. 2 = 2 � 2 und � 18 = � 9. 2 = 3 � 2. Derowegen iſt 2 � 2: 3 � 2 = 2: 3 (§. 68. Arithm.)
53. Derowegen koͤnnet ihr durch gegen - waͤrtige Aufgabe finden / ob zwey Jrratio - nal-Groͤſſen eine Verhaͤltnis gegen einan - der haben / die ſich durch Rational-Groͤſſen ausdrucken laͤſſet.
54. Weil ihr in ſolcher Geſtalt reducir - ten Rational-Groͤſſen den Theil / welcher ir - rational bleibet fuͤr den Nahmen der Ein - heit mit Recht haltet (§. 5 & ſeqq. Arithm. ) ſo koͤnnet jhr die Summe oder den Unter -ſcheid27der Algebra. ſcheid der Jrrational-Groͤſſen finden / die un - ter dem Wurtzel-Zeichen einerley Groͤſſen haben und von einerley Art ſind / wenn ihr die Rational-Groͤſſen vor dem Wurtzel-Zei - chen zu ſammen addiret oder von einander ſubtrahiret. So werdet ihr finden / daß � 8 + � 18 = 2 � 2 + 3 � 2 = 5 � 2 und � 18 — � 8 = 3 � 2 — 2 � 2 = � 2. Jngleichen $$\sqrt [3] {} 24$$ + $$\sqrt [3] {} 81$$ = ∛ 3. 8 + ∛ 3 27 = 2 ∛ 3 + 3 ∛ 23 = 5 ∛ 3.
55. Es iſt aus der Aufloͤſung der Aufga - be zugleich klahr / wie ihr verfahren muͤſſet / wenn ihr die Groͤſſen / die zum Theil rational / zum Theil irrational ſind / gantz irrational machen follet. Nemlich ihr muͤſſet die Groͤſ - ſe vor dem Wurtzel-Zeichen zu der Dignitaͤt erheben / welche der Exponente über dem Wurtzel-Zeichen andeutet / und durch ſelbi - ge die Groͤſſe unter dem Wurtzel-Zeichen multipliciren. So werdet ihr finden / daß 5 � 2 = � 2. 25 = � 50 und 5 ∛ 3 = ∛ 3. 53 = ∛ 3. 125 = ∛ 375.
56. Damit ihr erfahret / ob eine vorgegebene Zahl ſich durch eine Dignitaͤt von einem gegebenen Grade dividiren laͤſſet oder nicht; ſo doͤrfet ihr nur dieſelbe in die jenigen Zahlen reſolviren / durch deren Multiplication ſie entſtehet. Dieſes aber geſchie - het / wenn ihr ſie mit den eintzelen Zahlen zu dividi -ren28Anfangs-Gruͤnderen anfanget. Z. E. Jhr ſollet auf ſolche Weiſe 368 reſolviren / ſo findet ihr:
| 2. | 184 |
| 4. | 92 |
| 8. | 46 |
| 16. | 23 |
Wenn ihr uͤber 10 kommen ſeyd / ſo ſehet ihr jeder - zeit / daß die vorgegebene Zahl ſich mit keiner dividiren laͤſſet / die nicht durch Multiplication der vorher ge - fandenen Einer entſtanden.
57. Wem die Jrrational-Rechnungen anfangs ver - druͤßlich fallen / der kan ſie ſo lange uͤberſchlagen biß ſie unten vorkommen. Er huͤte ſich aber mit Fleiß / daß er nicht nach hieſiger Mode fuͤr unnuͤtze Grillen halte / wovon er den Nutzen nicht bald fehen kan. Jhr werdet im folgenden erfahren / daß ich niemals eine Lehre vortrage / die nicht ihren gewießen Nutzen hat.
58. Sonſt mercket noch den Kunſtgrief / deſſen wir uns in Aufloͤſung gegenwaͤrtiger Aufgabe bedienet. Weil wir mit Rational-Groͤſſen umbgehen koͤnnen / haben wir die Jrrational-Groͤſſen auf Rational - Groͤſſen reduciret umb eine Regel zu finden / wie wir dieſelben tractiren koͤnnen. Dieſen Kunſtgrief wer - den wir mehr brauchen und die Ausuͤbung der Al - gebra wird euch geſchieckt machen / auch in andern vorkommenden Faͤllen die ſchweereren auf leichtere zu reduciren: wovon ihr unter andern ein Exempel in der Geometrie gehabt (§: 105 Geom.)
59. Eine Jrrational Groͤſſe durch eine andere von einerley Art zu multi - pliciren.
Auf -29der Algebra.Jhr ſollet $$\sqrt [m] {}$$ an durch $$\sqrt [m] {}$$ br multiplici - ren. Setzet
$$\sqrt [m] {}$$ an = x $$\sqrt [m] {}$$ br = y (§. 59)
So iſt an = xm br = ym br = ym
an br = xm ym (§. 32. Arithm.)
Folgends $$\sqrt [m] {}$$ an br = xy.
Zeichen mit ſeinem Exponenten ( $$\sqrt [m] {}$$ ). So werdet ihr finden / daß V 2. V 3 = V 6 / und ∛ 5. ∛ 7 = ∛ 35.
60. Wenn ihr allſo eine Jrrational-Zahl durch eine andere Jrrational-Zahl dividiren ſollet / ſo doͤrfet ihr nur die Zahlen unter dem Wurtzel-Zeichen durch einander dividiren. So30Anfangs-GruͤndeSo werdet ihr finden / daß ∛ 35: ∛ 7 = ∛ 5 / ∛ 35: ∛ 5 = ∛ 7 und V 6: V 3 = V 2.
61. Eine Aufgabe Algebraiſch auf - zuloͤſen:
62. Unerachtet die Reduction der gefundenen Gleichung ſehr ofte auf beſchriebene Weiſe geſche - hen kan; ſo gehet es doch nicht in allen Faͤllen an. Wir wollen aber erſt dieſe Regeln uns durch Exem - pel recht bekand machen / ehe wir zu anderen ſchrei - ten. Denn die Algebra lernet man nicht ſo wol durch Regeln / als durch Exempel.
63. Aus der gegebenen Summe zwey - er Groͤſſen und ihrem Unterſcheide die Groͤſſen ſelber zu finden.
Es ſey die Sum̃e = a die kleine Groͤſſe = xder32Anfangs-Gruͤndeder Unterſcheid = b die groſſe = y So iſt / x + y = a (§. 15 Arithm. ) y — x = b (§. 18. Arithm.)
x x x x
y = a — x y = b + x
demnach
a — x = b + x
x x
a = b + 2 x
b b
a — b = 2 x
2
〈…〉
Ziehet den Unterſcheid der beyden Groͤſ - ſen (b) von der Summe (a) ab. Den Reſt dividiret durch zwey; ſo iſt der Qvotient die kleine Groͤſſe (x).
Z. E. Es ſey a = 30 / b = 8 / ſo iſt (a — b): 2 = (30 — 8): 2 = 22: 2 = 11.
64. Jhr koͤnnet allzeit aus der letzten Verglei - chung eine Regel machen / dadurch die Aufgabe in al - len vorkommenden Faͤllen aufgeloͤſet werden kan /Wenn33der Algebra. wenn ihr vor die Buchſtaben die Nahmen der Sachen ſetzet / die ſie bedeuten / und an ſtat der Zeichen die Rechnungs-Art benennet / die ſie andeu - ten: allein der Kuͤrtze halber werde ich ins kuͤnftige keine Regel herſetzen / wenn es nicht beſondere Umb - ſtaͤnde erforderen. Und dieſes thue ich umb ſo viel lieber / weil man die Exempel in Zahlen viel hurtiger aufloͤſen kan / wenn man die Zifern in die Stelle der Buchſtaben ſetzet / als wenn man nach der Regel ver - faͤhret.
65. Eine Zahl zufinden / deren Helfte ⅓ und ¼ zuſammen umb 1 groͤßer ſind als die Zahl ſelbſt.
Es ſey die geſuchte Zahl = x / ſo iſt ½ x + ⅓ x + ¼ x = x + 1 das iſt (12x + 8 x + 6x): 24 = $$\frac {26}{24}$$ x = x + 1 (§. 74. Arithm.)
24
26 x = 24 x + 24
24 x 24 x
2 x = 24
2
x = 12
Probe. ½ x + ⅓ x + ¼ x = 6 + 4 + 3 = 13.
66. Aus der gegebenen Sum̃e zweyer Zahlen und dem Producte einer Zahl in die andere / die Zahlen ſelber zu finden.
Es ſey die Summe = a die halbe Diffe -(4) Crentz34Anfangs-Gruͤnderentz = x das Product = b ſo iſt die groſſe
| Zahl ½ a + x | §. 6. |
| die kleine ½ a-x |
Und allſo ¼ aa-xx = b
¼ aa = b + xx
¼ aa-b = xx
� (¼ aa-b) = x
Es ſey a = 14 / b = 48 / ſo iſt � (¼ aa-b) = � (49-48) = 1 / folgends die große Zahl ½ a + x = 7 + 1 = 8 und ½ a — x = 7 — 1 = 6.
67. Es iſt an der Benennung oͤfters viel gelegen. Denn wenn ihr in gegenwaͤrtiger Aufgabe die groſſe Zahl x / die kleine y genennet haͤttet; wuͤrdet ihr auf eine Gleichung kommen ſeyn / die ihr noch nicht aufzu - loͤſen vermoͤgend ſeyd.
68. Es wird gegeben die Summe glei - cher Dignitaͤten zweyer Groͤſſen / und der Unterſcheid ſelbiger Dignitaͤten / ihr ſollet die Groͤßen ſelbſt finden.
Es ſey die Sum̃e = a die kleine Groͤße = x
Der Unterſcheid = b die große = y
ſo iſt /
xm + ym = a ym — xm = b
ym = a — xm ym = b + xm
Fol -35der Algebra.Folgends
a — xm = b + xm
a = b + 2 xm
a — b = 2 xm
(a — b): 2 = x2m
� (½ a ‒ ½ b) = x
Es ſey m = 2 / a = 97 / b = 65 / ſo iſt x = � (½ a — ½ b) = � (48 ½ — 32 ½) = � (16) = 4 und y = � (b + x2) = � (65+16) = � (81) = 9.
69. Zwey Zahlen von der Beſchaffen - heit zu finden / daß das Product einer je - den in die Qvadrat-Wurtzel der an - dern einer gegebenen Zahl gleich iſt.
Es ſey das eine Product = a die eine Zahl = x das andere = b die andere = y
So iſt x V y = a y V x = b
x2 y = a2 y2 x = b2
x = b2: y2
x2 = b4: y4
Wenn ihr den Werth von x 2 in die erſte Glei - chung zur Lincken ſetzet / ſo bekommet ihr
C 2b 4[36]Anfangs-Gruͤndeb4 y: y4 = b2: y3 = a2
b4 = a2 y3
b4: a2 = y3
∛ (b4: a2) = y
Es ſey a = 18 / b = 12 / ſo iſt y = ∛ (b4: a2) = ∛ (20736: 324) = ∛ (64) = 4.
70. Aus der gegebenen Summe zweyer Groͤſſen und der Differentz ihrer Qva - drate die beyde Groͤſſen zu finden.
Es ſey die Sum̃e = a die halbe Diefferentz die Differentz = b der Groͤſſen = y So iſt die eine Groͤſſe $$\frac {2}{2}$$ a + y Die andere ½ a — y
Das Qvadrat der erſten ¼ aa + ay + yy
Das Qvadrat der 2deren ¼ aa — ay + yy
Die Differentz b = 2 ay
2 a
folgends b: 2a = y
Es ſey b = 40 / a = 10 / ſo iſt y = 40: 20 = 2; folgends die eine Zahl ½ a + y = 5 + 2 = 7 / die andere ½ a — y = 5 — 2 = 3.
71. Aus der gegebenen Summe zweyer Groͤßen und der Summe ih - rer Qvadrate die beyden Groͤßen zu finden.
Es ſey die erſte Sum̃e = a die eine Groͤſſe ½ a + y
Die andere = b die andere ½ a-y So iſt das Qvadrat der erſten ½ aa + ay + yy der anderen ¼ aa — ay + yy
Die Summe b = ½ aa + 2 yy
Folgends b — ½ aa = yy
� (½ b — ¼ aa) = y
Es ſey a = 10 / b = 58 / ſo iſt � (½ b — ¼ aa) = � (29 — 25) = � 4 = 2 / folgends ½ a + y = 5 + 2 — 7 und ½ a — y = 5 — 2 = 3.
72. Aus dem gegebenen Producte aus der Summe der Qvadrate zweyer Groͤ - ßen in die kleine und der Summe aus dem Qvadrate ihrer Differentz in das dop - pelte Product derſelben Groͤſſen die bey - den Groͤſſen zu finden.
Es ſey die eine Groͤſſe = x das Product = a Die kleine〈…〉〈…〉 y Die Sum̃e = b
C 3So38Anfangs-GruͤndeSo iſt die Differentz = x — y
Jhr Qvadrat = x2 — 2 xy + yy das doppelte Product = 2 x y
die Summa = x2 + yy
Derowegen iſt
x2 + y2 = b x2 y + y3 = a
x2 — b — y2
Setzet den Werth von x 2 in die Gleichung zur Rechten / ſo habet ihr
by — y3 + y3 = by = a
b
folgends y = b: a
Es ſey a = 910 / b = 130 / ſo iſt b: a = 910: 130 = 7 und x = � (130 — 49) = � 81 = 9.
73 Zwey Zahlen zu finden / deren Product einer gegebenen Zahl gleich iſt / das Qvadrat aber der Summe zu dem Qvadrate der Differentz beyder Zahlen eine gegebene Verhaͤltnis hat.
Es ſey das Product = a die eine Zahl x — y die gegebene Verhaͤltnis = b: c die andere
So iſt x + y
xx — yy = a b: c = 4 x2: 4 y2
xx = a + y2 4 b y2 = 4 c x2
by2: c = x2
Fol -39der Algebra.Folgeids
a + y2 = b y2: c
ac + cy = b y 2
ac = by2 — cy2
b-c
a c: (b ‒ c) — y 2
V a c: V b — c) = y
Es ſey a = 96 / b: c = 25: 1 / ſo iſt y = V 96: � 25 — 1 = � 4 = 2; und x = � (96 + 4) = � 100 = 10:[fo]lgends x + y = 10 + 2 = 12 und x — y = 10 ‒ 2 = 8.
74. Wenn die Wurtzel einer Digni - taͤt oder Potentz auszwey Theilen beſte - het / nennet man ſie eine Binomiſche Wurtzel / als a + b. Beſtehet ſie aus drey Theilen / als a + b + c; ſo heiſſet ſie eine Trinomiſche Wurtzel: Wenn ſie aus vier Theilen beſtehet / eine Ova - drinomiſche Wurtzel u. ſ. w. uͤberhaupt aber nennet man ſie eine Polynomi - ſche Wurtzel / wenn ſie aus mehr als zwey Theilen beſtehet.
75. Die Natur des Qvadrates oderC 4der40Anfangs-Gruͤndeder anderen Digntaͤt einer Binomi - ſchen Wurtzel zu finden.
Jhr verlanget zu weßen / wie das Qva - drat einer Binomiſchn Wurtzel entſtehen kan / (§. 4 Method. M〈…〉〈…〉 them.) Multipli - ciret demnach die Binoniſche Wurtzel a + b durch ſich ſelbſt / ſo wird das Product zei - gen / aus was fuͤr Theilen das Qvadrat zu - ſammen geſetzet werde / und wie dieſe Theile des Qvadrates aus den Theilen der Wur - tzel entſtehen.
a + b
a + b
+ ab + b 2
a2 + ab
a2 + 2 ab + b2 Qvadrat der Bi - nomiſch. Wurtzel.
Das Qvadrat der Binomiſchen Wurtzel begreiffet in ſich die Qvadrate der beyden Theile (a 2 und b 2) und ein Product (2ab) aus dem einen Theile zwey mal genommen (2 a) in den ande - ren (b).
76. Jhr habet hier auf eine ſehr leichtere Art den anderen Lehrſatz der Rechen-Kunſt (§. 86. Arithm. ) gefunden daraus wir die Ausziehung der Qvadrat - Wurtzel (§. 90. Arithm. ) hergeleitet. Wenn ihr a -ber41der Algebra. ber dieſelben Regeln vergeßen haͤttet / koͤnte euch dieſes allgemeine Exempel a2 + 2ab + b 2 an ſtat derſelben die - nen. Denn ihr fehet / wenn ihr in der erſten Claſſe zur Lincken das darinnen befindliche Qvadrat a 2 abzie - het / ihr den erſten Theil der Wurtzel a habet. Wollet ihr nun den anderen finden / ſo muͤſſet ihr mit 2 a / das iſt / mit dem gefundenen Qvotienten zwey mal genom - men / die folgende Zahl 2 a b dividiren / und hernach nicht allein das Product aus dem Diviſore 2 a in den neuen Qvotienten b / ſondern auch das Qvadrat des neuen Qvotienten b 2 ſubtrahiren.
77. Setzet a = a + b und b = c / ſo kom - met fuͤr das Qvadrat der Trinomiſchen Wurtzel (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c2. Und allſo muͤſſet ihr zu dem Binomiſchen Qvadrate noch das Product aus der Summe der bey - den Theile der Binomiſchen Wurtzel zwey mal genommen in den dritten Theil und das Qvadrat des dritten Theiles addiren. Se - tzet a = a + b + c / und b = d / ſo kommet fuͤr das Qvadrat der Trinomiſchen Wur - tzel (a + b + c) 2 + 2 (a + b + c) d + d2. De - rowegen muͤſſet ihr zu dem Qvadrate der Trinomiſchen Wurtzel noch das Product aus der Summe der erſten drey Thei - le viermal genommen in den vierdten Theil und das Qvadrat des vierdten Theiles addiren. Solcher geſtalt ſeher ihr / daß ihr nach der Vinomiſchen Formul auch das Qvadrat einer jeden Polynomiſchen Wurtzel finden / ingleichen aus einer ge - gebenen Zahl eine jede PolynomiſcheC 5Wur -42Anfangs-GruͤndeWurtzel ziehen koͤnnet. Den (a + b + c + d + e &c.) 2 = a2 + 2 ab + b2 + 2 (a + b) c + c2 + 2 (a + b + c) d + d2 + 2 (a + b + c + d) e + e2 u. ſ. w. unendlich fort.
78. Eine unreine Qvadratiſche Gleichung (Æquatio quadratica affe - cta) wird genennet / in welcher x2 + a x = ± b2.
79. Eine unreine Qvadratiſche Glei - chung aufzuloͤſen.
Weil x2. a x =. b2 / ſo nehmet x fuͤr den einen Theil einer Binomiſchen Wurtzel an / ſo wird a / die bekandte Groͤſſe des ande - ren Gliedes / der andere Theil der Wurtzel zweymal genommen und allſo ½ a der ande - re Theil der Wurtzel ſeyn: folgends fehlet zu einem vollkommenen Qvadrate das Qva - drat von ½ a / nemlich ¼ aa. Wenn ihr nun ſolches beyderſeits addiret; ſo laͤſſet ſich die Qvadrat-Wurtzel ausziehen und die ge - gebene Gleichung voͤllig reduciren.
x 2.43der Algebra.x2. ax =. b2
¼ a2 ¼ a2
x2. ax. ¼ a2 = ¼ a2. b2
x. ½ a = V (¼ a2. b2)
x =. ½ a. V (¼ a2. b2)
80. Jch habe an ſtat der Zeichen + und — nur einen Punct geſetzet / damit es nicht noͤthig waͤre vie - le Faͤlle von einander zu unterſcheiden. Den Nu - tzen dieſer Regel werdet ihr inskuͤnftige uͤberfluͤßig ſehen. Jetzt vergnuͤget mich dieſelbe durch die bey - den folgenden Aufgaben zu erlaͤutern.
81. Zwey Zahlen von der Beſchaf - ſenheit zu finden / daß ihr Product / ihre Summe und die Differentz ihrer Qva - drate einander gleich ſind.
Es ſey die groſſe Zahl = x
die keine = y / ſo iſt
x2 — y2 = xy xy = x + y
x y — y = x
y = x: (x + 1)
Wenn ihr den Werth y in der erſten Glei - chung an ſeine Stelle ſetzet / ſo bekommet ihrx 244Anfangs-Gruͤnde 〈…〉
Ferner weil x y — x = y / ſo iſt x = y: (y — 1). Wenn ihr dieſen Werth in der erſten Gleichung in die Stelle x ſetzet / ſo be - kommet ihr 〈…〉 und wenn ihr die Reduction wie vorhin an - ſtellet / ſo findet ihr endlich y = ½ — V 1¼.
82. Aus dem gegebenen Producte zweyer Groͤſſen und ihrer Differentz die Groͤſſen ſelber zu finden.
Auf -45der Algebra.Es ſey das Product = a die eine Groͤſſe = x die Differentz = b die andere = y
So iſt /
a = x y b = x — y
a: y = x b + y = x
Folgends a: y = b + y
y
a = by + y 2
¼ b2 ¼ b2 (§. 79)
a + ¼ b2 = ¼ b2 + by + y2
V (a + ¼ b2) = ½ b + y
V (a + ¼ b2) — ½ b = y
Es ſey a = 40 / b = 3 / ſo iſt y = V (40 + $$\frac {2}{4}$$ ) — $$\frac {3}{2}$$ = V (169: 4) — $$\frac {3}{2}$$ = ½3 — $$\frac {3}{2}$$ = $$\frac {10}{2}$$ = 5 / und demnach x = 8.
83. Die Natur der dritten Dignitaͤt einer Binomiſchen Wurtzel zu finden.
Jhr habet nur die andere Dignitaͤt /a 246Anfangs-Gruͤndea2 + 2 ab + b2 durch die Wurtzel a + b zu multipli - ciren (§. 37)
+ a2 b + 2ab2 + b 3
a3 + 2a2b + ab 2
a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b 3
Die dritte Dignitaͤt einer Binomi - ſchen Wurtzel enthaͤlt in ſich die dritte Dignitaͤt der beyden Theile (a 3 und b 3) und ein Product aus dem Qvadrate des erſten Theiles drey maligenommen (3a 2) in den anderen Theil (b) nebſt noch einem anderen Producte aus dem erſten Theile drey mal genommen (3 a) in das Qvadrat des anderen Theiles (b 2).
84. Jhr habet hier abermals auf eine ſehr leich - te Art den 3 Lehrſatz der Rechen-Kunſt (§. 92 A - rithm. ) gefunden / daraus die Ausziehung der Eu - bic-Wurtzel hergeleitet worden (§. 96 Arithm.) Wenn ihr aber die dort gegebenen Regeln vergeſſen haͤttet / koͤnnte euch das allgem eine Exempel a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 an deren ſtat dienen. Denn ihr ſehet / daß / wenn ihr in der erſten Claſſe zur lincken die daſelbſt befindliche dritte Dignitaͤt a 3 abziehet / ihr den erſten Theil der Wurtzel a habet. Wenn ihr nun aus den uͤbriegen drey Gliedern den ande - ren Theil finden wollet / muͤſſet ihr das erſte zur lincken 3 a2 b durch das Qvadrat des erſten dreymal47der Algebra. mal genommen (3 a 2) dividiren und hernach nicht allein das Product aus dieſem Diviſore (3 a 2) in den neuen Qvotienten (b) / ſondern auch das Product aus dem Qvadrate des neuen Qvotientens (b 2) in dem vorhergehenden dreymal genommen (3 a) und endlich die dritte Dignitaͤt des neuen Qvotientens (b 3) abziehen.
85. Setzet a = a + b und b = c / ſo kommet fuͤr die dritte Dignitaͤt der Trino - miſchen Wurtzel a + b + c heraus (a + b) 3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b) c2 + c3 / und allſo muͤſſet ihr zu der Dignitaͤt der Binomiſchen Wurtzel noch das Product aus dem Qva - drate der Binomiſchen Wurtzel dreymal ge - nommen 3 (a + b) 2 in den dritten Theil (c) das Product aus der Binomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b) in das Qva - drat des dritten Theiles (c 2) und die dritte Dignitaͤt deſſelben Theiles (c 3) addiren. Setzet a = a + b + c und b = d / ſo iſt die 3te Dignitaͤt der Qvadrinomiſchen Wur - tzel (a + b + c) 3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d2 + d3 folgends muͤſſet ihr noch zu der Dignitaͤt der Trinomiſchen Wurtzel (a + b + c) 3 das Product aus dem Qvadrate der Trinomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b + c) 2 in den vierdten Theil / das Product aus der Trinomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b + c) in das Qva - drat des vierdten Theiles d 2 und die dritteDigni -48Anfangs-GruͤndeDignitaͤt des vierdten Theiles d 3 addiren. Solcher geſtalt ſehet ihr / daß ihr nach der Binomiſchen Regel auch die dritte Digni - taͤt einer jeden Polynomiſchen Wurtzel fin - den / ingleichen aus einer gegebenen Zahl eine jede Polynomiſche Cubic-Wurtzel zie - hen koͤnnet. Den (a + b + c + d + e &c.) 3 = a2 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b) c2 + c3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d2 + d3 + 3 (a + b + c + d) 2 e + 3 (a + b + c + d) e2 + e3 u. ſ. w. unendlich fort.
86. Auf eben ſolche Weiſe koͤnnet ihr fuͤr die hoͤheren Dignitaͤten Regeln ſinden. Und unerach - tet ich in der folgenden Aufgabe zeigen werde / wie ihr an ſtat unendlicher Regeln fuͤr unendliche Dig - nitaͤten / zu denen eine Groͤße erhoben werden kan / eine einige finden koͤnnet; ſo wird euch die Muͤhe doch nicht verdruͤſſen / wenn ihr auf gleiche Art die Natur der vierdten / fuͤnften / ſechſten Dignitaͤt u. ſ. w. unterſuchet. Denn dieſe Unterſuchung ſelbſt wird euch dienen die allgemeine Regel zu erfinden.
87. Eine allgemeine Regel zufinden / nach welcher jede Binomiſche Wurtzel zu jeder verlangeten Dignitaͤt erhoben werden kan.
Wenn ihr die Binomiſche Wurtzel nach und nach zu ihren Dignitaͤten erhebet / wie bey gefuͤgete Tabelle ausweiſet
ſo wer -49der Algebra.| 1 a | 1 b | |||||||
| 1 a 2 | 2 ab | 1 b 2 | ||||||
| 1 a | 3 a2 b | 3 a b 2 | 1 b 3 | |||||
| 1 a 4 | 4 a3 b | 6 a2 b2 | 4 a b 3 | 1 b 5 | ||||
| 1 a 5 | 5 a4 b | 10 a3 b2 | 10 a2 b3 | 5 a b 4 | 1 b 5 | |||
| 1 a 6 | 6 a5 b | 15 a4 b2 | 20 a3 b3 | 15 a2 b4 | 6 a b 5 | 1 b 6 | ||
| 1 a 7 | 7 a6 b | 21 a5 b2 | 35 a4 b3 | 35 a3 b4 | 21 a2 b5 | 7 a b 6 | 1 b 7 | |
| 1 a 8 | 8 a7 b | 28 a6 b2 | 56 a3 b5 | 70 a4 b4 | 56 a3 b5 | 28 a2 b6 | 8 a b 7 | 1 b 8 |
ſo werdet ihr wahrnehmen / daß eine jede Dignitaͤt aus verſchiedenen Producten zu - ſammen geſetzet iſt / und dieſe Producte durch verſchiedene Zahlen in einander multipliciret werden. Es entſtehen aber dieſe Producte(4) Dwenn50Anfangs-Gruͤndewenn ihr jeden Theil der Wurtzel zu allen niedrigeren Dignitaͤten als die gegebene iſt / erhebet / und ſie verkehret in einander mul - tipliciret. Z. E. in der ſechſten Dignitaͤt ſind alle Dignitaͤten von 1 bis zu der ſechſten der beyden Theile a6. a5. a4. a3. a2. a. 1 und 1. b. b2. b3. b4. b5. b. Multipliciret die er - ſte Reihe in die andere / ſo bekommet ihr 1 a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 + 1 b6 / das iſt / alle Producte / woraus die ſechſte Dignitaͤt beſtehet / auſſer denen Zahlen / welche ſie mul - tipliciren / und nach dem Exempel des Ough - tred (Clavis Mathematicæ c. 12. §. 6. p. m. 38) ſonderlich von denen Engellaͤndern Unciæ genennet werden. Derowegen wenn der Exponente m iſt / ſo ſind die Produc - te am + am-1 b + am-2 b2 + am 3 b3 + am-4 b4 + am-5 b5 + am-6 b6 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr nun ferner die Untzen mit den Exponenten der Potentz vergleichet / ſo wer - det ihr finden / daß ihr fuͤr
| 1 + 1 |
| 1 + 2 + 1 |
| 1 + 3 + 3 + 1 |
| 1 + 4 + 6 + 4 + 1 |
| 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 |
| 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 |
| 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 &c. |
ſetzen koͤnnet
1 +51der Algebra.〈…〉
D 21 +52Anfangs-Gruͤnde〈…〉
Denn53der Algebra.Denn Z. E. 〈…〉 〈…〉 = 3 u. ſ. w.
Derowegen wenn der Exponente eine un - determinirte Zahl m iſt / ſo ſind die zu der Di - gnitaͤt gehoͤrigen Unciæ 〈…〉 〈…〉
Wenn ihr nun dieſe Uncias (von welchen ihr 1 weglaſſen koͤnnet / weil ſie keine Zahl mul - tipliciret) in die oben gefundenen Producte multipliciret; ſo bekommet ihr fuͤr die Digni - taͤt m von a + b
〈…〉
D 3m-o. 54Anfangs-Gruͤnde〈…〉
am-6b6 &c. das iſt / weil am-1 = am a / am-2 = am: a2 / am-3 = am: a3 / u. ſ. w. (§. 40) und 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr nun ferner a = P und b: a = Q / das erſte Glied = A / das andere = B; das dritte = C / das vierdte = D / das fuͤnfte = E u. ſ. w. ſetzet; ſo findet ihr endlich (P + PQ) m 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unend - lich fort.
Allſo habet ihr eine allgemeine Regel ge - funden / nach welcher ihr eine jede Binomi -ſche55der Algebra. ſche Wurtzel zu einer jeden verlangeten Di - gnitaͤt erheben koͤnnet.
88. Jhr verlanget die vierdte Dignitaͤt von 18 oder 10 + 8 / ſo iſt m = 4 / P = 10 / Q = 8: 10 = 4: 5 / fol - gends Pm 104 = 4000 = A
m AQ = 4. 10000. ⅘ = 32000 = B
〈…〉 BQ = $$\frac {3}{2}$$ . 32000. ⅘. = 38400 = C
〈…〉 CQ = ⅔. 38400. ⅘. = 20480 = D
〈…〉 DQ = ¼. 20480. ⅘ = 4096 = E
〈…〉 EQ = 0.4096. ⅘ = o = E
10000 = A
32000 = B
38400 = C
20480 = D
4096 = E
104976 vierdte Dignitaͤt von 18.
89. Jhr werdet vielleicht meinen / daß man mit leichter Muͤhe durch das gewoͤhnliche multipliciren / die gegebenen Zahlen zu der verlangeten Dignitaͤt er - heben kan / und dannenhero die gefundene allgemeine Regel fuͤr unnuͤtze halten. Allein ihr ſollet zu ſeiner Zeit erfahren / wie ſehr ihr euch in eurer Meinung be - trogen / wenn ihr den vielfaͤltigen Nutzen derſelbenD 4ver -56Anfangs-Gruͤnde. verſpuͤhren werdet. Jetzt erinnnere ich nur dieſes. Wenn ihr aus iner gegebenen Zahl eine verlangete Wurtzel ausziehen ſollet; ſo koͤnnet ihr die Regeln / nach welchen ſolches geſchichet / wie fuͤr die Qnadrat - und Cubic-Wurtzel (§. 76. 84) finden / wenn ihr durch die gefundene allgemeine Regel die Binomiſche Wurtzel a + b zu der gehoͤrigen Dignitaͤt erhebet. Z. E. Jhr ſollet die Wurtzel der fuͤnften Dianitaͤt aus einer ge - gebenen Zahl ziehen: ſo doͤrfet ihr nur a + b zu der fuͤnften Dignitaͤt erheben. Das allgemeine Exempel von derſelben wird euch die Regeln bald in die Hand geben.
90. Gleichwie ihr aber oben geſehen habet / daß die Regeln fuͤr die Binomiſche Wurtzeln auch dienen eine Polynomiſche Wurtzel zu der andern und drit - ten Dignitaͤt zu erheben (§. 77. 85); allſo gehet es auch an / daß ihr nach dieſer allgemeinen Regel / die zwar eigentlich auch nur auf Binomiſche Wurtzeln gerichtet iſt / auf eine gleiche Weiſe eine jede Polyno - miſche Wurtzel zu der verlangeten Dignitaͤt erhebet.
91. Eine allgemeine Regel zu finden aus allen Dignitaͤten eine verlangte Binomiſche Wurtzel zu ziehen.
Weil $$\sqrt [m] {}$$ xm = xm: n (§. 46) / ſo iſt das Wurtzel-Ausziehen ſo viel als eine Groͤſ - ſe zu einer Dignitaͤt erheben / die zu ihrem Exponenten eine gebrochene Zahl hat. De - rowegen wenn ihr in der vorhin gefundenen Regel an ſtat des Exponenten m den Expo -nen -57der Algebra. nenten m: n ſetzet / ſo bekommet ihr eine all - gemeine Regel / nach welcher ſo wol jede Groͤſſe zu einer verlangeten Dignitaͤt erho - ben / als aus derſelben eine verlangete Wur - tzel gezogen werden kan. Es iſt aber fol - gende:
〈…〉 u. ſ. w. unendlich ſort. 6 n
92. Dieſe ſehr nuͤtzliche Regel hat der vortrefli - che Geometra in Engelland Jſaac Nevvton zu erſt gefunden auf eben dem Wege / den ich angewieſen habe: wie ſolches aus dem Briefe erhellet / denn er A. 1676 an den unvergleichlichen Mathematicum und Polyhiſtorem, den Herrn geheimen Rath von Leibnitz / geſchrieben und Walliſius mit in den drit - ten Theil ſeiner Mathematiſchen Wercke f. 622 dru - cken laſſen. Es iſt aber dieſe Regel einerley mit der vorigen Den wie ihr m: n durch gantze Zahlen in dem Gebrauche derſelben erklaͤhren koͤnnet / wenn ihr n = 1 ſetzet; ſo koͤnnet ihr auch in der vorigen Regel m durch einen Bruch erklaͤhren / wenn eine Wurtzel ausgezogen werden ſol / Z. E. ihr ſetzet m = ½ / wenn ihr die Qvadrat-Wurtzel verlanget / m = ⅓ wenn ihr die Cubic-Wurtzel ſuchet u. ſ. w.
93. Damit ihr aber den Gebrauch der Regel detulich erkennen moͤget; ſo wil ich ſelbige mit ei - nem Exempel erlaͤutern. Jhr verlanget zu wiſſenD 5die58Anfangs-Gruͤndedie Qvadrat-Wurtzel aus aa ‒ ‒ x 2: ſo iſt m = 1 / n = 2 / P = a2 / Q = ‒ ‒ x2: a2 / fol - gends.
Pm: n = a = A
〈…〉
Demnach iſt 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
94. Wenn man aus der gegebenen Groͤſſe eine voll - kommene Wurtzel haben kan / ſo iſt die Zahl der Glie - der allzeit endlich. Hingegen wo dergleichen nicht vorhanden / ſo gehen die Glieder unendlich fort. Mannim -59der Algebra. nimmet aber von denſelben ſo viele in jedem Falle als noͤthig iſt / biß nemlich durch Weglaſſung der uͤ - brigen kein mercklicher Fehler entſtehet.
95. Wen einem die 23 und 24 Aufgabe zu ſchweer vorkommen ſollte / der kan ſie ſo lange bey Seite ſe - tzen / biß wir unten ihrer noͤthig haben werden.
96. Die Differentz zweyer Qvadrate zu finden / derer Wurtzeln umb 1 unter - ſchieden ſind.
Es ſey die eine Wurtzel n / die andere n + 1 / ſo iſt das Qvadrat der groſſen n2 + 2 n + 1 der kleinen n 2 die Differentz 2 n + 1
Weil nun eine jede Zahl zweymal genom - men eine gerade Zahl bringet und eine gera - de Zahl von einer ungeraden umb 1 unter - ſchieden iſt; ſo iſt die Differentz zweyer Qva - drate / derer Wurtzeln umb 1 unterſchieden ſind / eine ungerade Zahl und zwar diejenige / welche heraus kommet / wenn man die kleine Wurtzel mit 2 multipliciret und das Pro - duct umb 1 vermehret. Es ſeyn die Wur - tzeln 8 und 9 / ſo iſt die Differentz ihrer Qva - drate 17.
97. Es ſind ſo viel ungerade als gerade Zahlen und dannenhero halb ſo viel ungeradeals60Anfangs-Gruͤndeals ungerade und gerade zuſammen. De - rowegen wenn ihr die kleine Wurtzel mit 2 multipliciret und 1 dazu addiret / ſo kommet die ungerade Zahl heraus / welche in der Rei - he der ungeraden Zahlen der Ordnung nach eben die Stelle hat / welche der groſſen Wur - tzel nach der Ordnung in der natuͤrlichen Rei - he der Zahlen bekommet. Z. E. 9 iſt die neunte Zahl in ihrer Ordnung von 1 / hinge - gen 17 / die Differentz des Qvadrates von 8 von dem Qvadrate von 9 iſt die neunte un - gerade Zahl.
98. Daher werden die Qvadrat Zahlen in ihrer Ordnung nach einander gefunden / wenn man die ungeraden Zahlen in ihrer Ordnung zu einander addiret.
| Wurtzeln. | ungerade Zahlen. | Qvad. Zahl. |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 5 | 9 |
| 4 | 7 | 16 |
| 5 | 9 | 25 |
| 6 | 11 | 36 |
| 7 | 13 | 49 |
| 8 | 15 | 64 |
| 9 | 17 | 81 |
| 10 | 19 | 100 |
99. Zu finden / was fuͤr eine Zahl her - aus kommet / wenn man eine gerade Zahl zu einer ungeraden addiret / oder ſie von einander abziehet / oder auch durch einander multipliciret.
Weil eine gerade Zahl ſich in zwey gleiche Theile theilen laͤſſet / eine ungerade aber umb 1 von einer geraden unterſchieden iſt; ſo nen - net die gerade Zahl 2 x / die ungerade 2 y + 1 2y + 1 2y + 1 2y + 1 2x 2x 2x Sum̃e 2x + 2y + 1 Differ. 2y+ 1 ‒ 2x Prod. 4x y + 4x die Summe und Differentz ſind ungerade Zahlen / das Product iſt eine gerade Zahl. Denn dieſes laͤſſet ſich halbiren / jenes nicht.
100. Zu finden / was fuͤr eine Zahl heraus kommet / wenn man eine gerade Zahl zu einer geraden addiret / oder ſie voneinander ſubtrahiret / oder auch durch einander multipliciret.
Es ſey die eine gerade Zahl 2x / die andere 2 y. So iſt die Summe 2x + 2y / die Diffe - rentz 2x ‒ 2y / das Product 4 x y und allſo ſindalle62Anfangs-Gruͤndealle drey gerade Zahlen / denn ſie laſſen ſich halbiren.
101. Zu finden / was fuͤr Zahlen her - auskommen / wenn ihr eine ungerade Zahl zu einer ungeraden addiret / oder ſie voneinander ſubtrahiret / oder auch durcheinander multipliciret.
Es ſey die eine ungerade Zahl 2 x + 1 / die andere 2 y + 1.
2 x + 1 2 x + 1
2 y + 1 2 y + 1
Sum̃e = 2x+2y+2 Differ. = 2x-2y
2 x + 1
2 y + 1
+ 2 x +1
4 x y + 2 y
Prod. = 4 x y + 2 x + 2 y + 1
Die Summe und Differentz laſſen ſich hal - biren / ſind allſo gerade Zahlen. Das Pro - duct laͤßet ſich nicht halbiren: iſt allſo eine un - gerade Zahl.
102. Zufinden / was fuͤr Zahlen her - aus kommen / wenn ihr lauter gerade Zahlen / oder eine gerade Anzahl unge -rader63der Algebra. rader Zahlen / oder auch eine nngerade Anzahl ungerader Zahlen addiret.
Es ſeyn die gerade Zahlen 2x / 2y / 2 z / 2t u. ſ. w. ſo iſt die Summe 2x + 2y + 2z + 2t u. ſ. w, das iſt 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) allſo ei - ne gerade Zahl. Derowegen die Summe von lauter geraden Zahlen iſt eine gera - de Zahl.
Es ſeyn die ungeraden Zahlen 2 x + 1 / 2 y + 1 / 2z + 1 / 2t + 1 u. ſ. w. ihre Anzahl 2m. So iſt ihre Summe 2 x + 2 y + 2z + 2 t u. ſ. w. + 2m / das iſt 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) + 2m / folgends eine gerade Zahl. Derowegen Wenn lauter ungerade Zahlen in gera - der Anzahl zuſammen addiret werden / ſo iſt die Summe eine gerade Zahl.
Es ſeyn die ungeraden Zahlen abermals 2x + 1 / 2y + 1 / 2z + 1 / 2t + 1 u. ſ. w. ihre Anzahl 2m + 1. So iſt ihre Summe 2x + 2y + 2z + 2t u. ſ. w. + 2m + 1 / das iſt / 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) + 2m + 1 / folgends eine ungerade Zahl. Derowegen wenn lau - ter ungerade Zahlen in ungerader An - zahl zuſammen addiret werden / ſo iſt die Summe eine ungerade Zahl.
103. Wenn dieſe Aufgaben gleich ſonſt keinen Nutzen haͤtten / ſo ſollten ſie euch doch angenehm ſeyn / weil ſie euch eine neue Maxime der Benennung an die Hand geben. Jhr werdet aber auch bey anderen Ge -legen -64Anfangs-Gruͤndelegenheiten ihren Nutzen verſpuͤren. Z. E. wenn ei - ner verlangete / ihr ſolltet 20 in 5 ungerade Zahlen theilen; ſo werdet ihr bald ſehen / daß dieſes unmoͤg - lich ſey / weil ungerade Zahlen in ungerader Aazahl eine ungerade Zahl bringen / wenn ſie ſummiret wer - den.
104. Zu finden / was fuͤr eine Digni - taͤt herauskommet / wenn man eine Qvadrat - oder Cubic-Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret.
Es ſey die Qvadrat-Zahl x 2 / die Cubic - Zahl x 3. Multipliciret jede durch ſich ſelbſt ſo kommet in dem erſten Falle x 4 / in dem an - deren x 6 / weil der Exponente 4 ſich durch 2 / der Exponente 6 aber ſo wol durch 2 als durch 3 ſich dividiren laͤſſet; ſo iſt x 4 ein Qvadrat / x 6 aber zugleich eine Qvadrat - und eine Cu - bic-Zahl. Derowegen wenn eine Qva - drat-Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret wird / ſo iſt das Product eine Qvadrat - Zahl: Wenn eine Cubic Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret wird / ſo iſt das Pro - duct zugleich eine Quadrat - und auch eine Cubic-Zah!.
105. Auf dieſe Manier koͤnnet ihr noch gar viel an - dere dergleichen Lehrſaͤtze finden / wenn ihr dieſelben noͤthig habet.
106. Zu finden / wie groß in einer A -rith -65der Algebra. rithmetiſchen Progreßion die Summe der beyden aͤuſerſten Glieder ſey.
Es ſey das erſte Glied a / der Unterſcheid der Glieder d / ſo iſt die Progreßion (§. 66. Arithm.)
a. a + d. a + 2d. a + 3 d. a + 4d. a + 5 d 〈…〉
Jn einer Arithmetiſchen Progreßion iſt die Summe der beyden aͤuſerſten Glieder der Summe jeder zweyen Glie - der gleich / die von den aͤuſerſten gleich weit abſtehen / ingleichen zweymal ſo groß als das mittlere / wenn die Glie - der an der Zahl ungleich ſind.
Z. E. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21 12 9 6 3
24 = 24 = 24 = 24
107. Derowegen bekommet ihr die Sum - me der gantzen Progreßion / wenn ihr die Summe des erſten und letzten Gliedes durch(4) Edie66Anfangs-Gruͤndedie halbe Zahl der Glieder multipliciret. Es ſey das erſte Glied a / die Differentz d / die Zahl der Glieder n / ſo iſt das letzte Glied a + (n ‒ ‒ 1) d / folgends die Summe der Pro - greßion (2a + (n ‒ ‒ 1) d) ½ n = an + (n2 ‒ n) ½ d. Es ſey Z. E. a = 3 / n = 7 / d = 3 / ſo iſt die Summe der Progreßion 21 + (49 ‒ 7) $$\frac {3}{2}$$ = 21 + 42. $$\frac {3}{2}$$ = 21 + 21. 3 = 21 + 63 = 84.
108. Jhr koͤnnet demnach die Summe einer Arithmetiſchen Progreßion finden / wenn euch das erſte Glied / der Unterſcheid und die Zahl der Glieder gegeben ſind.
109. Aus dem erſten und letzten Glie - de einer Arithmetiſchen Progreßion und dem Unterſcheide der Glieder / ihre Zahl und die Summe der Progreßion zufinden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x das letzte = b die Sume = y der Unterſcheid = d
So iſt (§. 107)
b = a + dx ‒ d
y = ½ (b + a) x
b +67der Algebra.b + d ‒ a = d x
(b + d ‒ a): d = x
Setzet dieſen Werth in die Stelle von x in der anderen Gleichung / ſo habet ihr y = (b2 + bd ‒ ab + ab + ad ‒ a2): 2d = (b2 + bd + ad ‒ a2): 2d = ½ (b + a) + (b2 ‒ a2): 2d
Es ſey Z. E. a = 2 / b = 17 / d = 3 / ſo iſt x = (17 + 3 ‒ 2): 3 = 18: 3 = 6 und y = ½ (17 + 2) + (289 ‒ 4): 6 = $$\frac {19}{2}$$ + $$\frac {285}{6}$$ = 9½ + 47½ = 57.
110. Aus dem erſten Gliede / dem Un - terſcheide der Glieder / und der Summe einer Arithmetiſchen Progreßion die Zahl der Glieder und das letzte Glied zu finden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x
der Unterſcheid = d das letzte Glied = y
die Summe = c
So iſt (§. 107)
½ x (a + y) = c a + d x — d = y
2
a x + xy = 2c
E 2xy68Anfangs-Gruͤndexy = 2c — ax
x
y = (2c — ax): x folgends
(2c — ax): x = a + d x — d
x
2c — ax = dx2 + ax — dx
d
2c: d = x 2 + $$\frac {(2a - d) x} {d}$$
Setzet (2a — d): d = m / ſo iſt 2c: d = x2 + m x ¼ m2, ¼ m2 (§. 79).
¼ m2 + 2 c: d = x2 + m x + ¼ m2
V (¼ m2 + 2c: d) = x + ½ m
V (¼ m2 + 2c: d) ‒ ½ m = x
Es ſey a = 2 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt m = (4 ‒ 3): 3 = ⅓ / folgends x = � $$\frac {(1+}{36}$$ $$\frac{14) }{3}$$ ‒ ⅙ = V $$\frac {1369}{36}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ = 6. Ferner iſt y = 2 + 18 ‒ 3 = 2 + 15 = 17.
111. Aus dem erſten und letzten Glie - de und der Summe einer Arithmeti - ſchen Progreßion die Zahl und den Un - terſcheid der Glieder zu finden.
Auf -69der Algebra.Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x das letzte = b der Unterſcheid = y die Summe = c
So iſt (§. 107)
½ x (a + b) = c a + xy ‒ y = b
x (a + b) = 2c xy ‒ y = b ‒ a
x = 2c: (a + b) xy = b + y ‒ a
x = (b + y ‒ a): y
Folgends
2c: (a + b) = (b + y ‒ a): y
y
2cy: (a + b) = b + y ‒ a
a + b
2 c y = ab + ay ‒ a2 + b2 + by ‒ ab
2 cy ‒ ay ‒ by = b2 ‒ a2
2 c ‒ a ‒ b
y = (b2 ‒ a2): (2 c ‒ a ‒ b)
Es ſey = a = 2 / b = 17 / c = 57 / ſo iſt x = 114: (2 + 17) = 114: 19 = 6 / und y = 172 — 22): (114 ‒ 2 ‒ 17) = (289 ‒ 4): (114 ‒ 19) = 285: 95 = 3.
112. Aus dem Unterſcheide und der Zahl der Glieder / ingleichen der Sum -E 3me70Anfangs-Gruͤndeme einer Arihmetiſchen Progreßion / das erſte und letzte Glied / und folgends alle uͤbrigen zu finden.
Es ſey die Zahl der Glieder = n das erſte Glied = x der Unterſcheid = d das letzte die Summe = c (= y So iſt (§. 107)
½ n (x + y) = c y = x + nd ‒ d
2
n (x + y) = 2c
n
〈…〉
〈…〉 Folgends
〈…〉
n
2c ‒ nx = nx + n2 d ‒ nd
2c + nd ‒ n2d = 2nx
2n
〈…〉
Es71der Algebra.Es ſey n = 6 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt x = $$\frac {57}{6}$$ + $$\frac {3}{2}$$ ‒ $$\frac {18}{2}$$ = $$\frac {57 + 9}{6}$$ ‒ 9 = $$\frac {66}{6}$$ ‒ 9 = 11-9 = 2 und y = $$\frac {114}{6}$$ ‒ 2 = 19 ‒ 2 = 17.
113. Aus dem Unterſcheide der Glie - der / dem letzten Gliede und der Sum - me einer Arithmetiſchen Progreßion das erſte Glied und die Zahl der Glie - der zu finden.
Es ſey das letzte Glied = b das erſte Glied = x der Unterſcheid = d die Zahl der Glieder = y die Summe = c
So iſt (§. 107)
½y (x + b) = c b = x + dy-d
2
y (x + b) = 2c b + d-dy = x
y
x + b = 2c: y
〈…〉 Folgends 〈…〉 y 2c ‒ by = by + dy-dy 2
E 4dy72Anfangs-Gruͤndedy2 ‒ 2by-dy = ‒ 2c
d
〈…〉
Setzet (2b ‒ d): d = - m / ſo iſt
y2 ‒ my = ‒ 2c: d
¼ m2 ¼ m2 (§. 79)
y2 ‒ my + ¼ m2 = ¼ m2 ‒ 2c: d
½m-y oder y ‒ ½ m = V (¼m2 ‒ 2c: d)
y — ½ m ± V (¼m2 ‒ 2c: d)
Es ſey b = 17 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt m = (34 + 3): 3 = 37: 3 und ½ m = 37: 6 / folgends y = $$\frac {37}{6}$$ ‒ � $$\frac {(13969-1368) }{36}$$ = $$\frac {37}{6}$$ ‒ � $$\frac {1}{36}$$ = $$\frac {37}{6}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ = 6 / und x = $$\frac {114}{6}$$ ‒ 17 = 19 ‒ 17 = 2
114. Aus der Summe einer Arithme - tiſchen Progreßion / der Zahl der Glie - der und dem Producte aus dem erſten Gliede in das letzte / die Glieder zu fin - den.
Es ſey das Product = a das 1ſte Glied = x die Zahl der Glieder = n das letzte = y die Summe = c
So iſt
½ n73der Algebra.½ n (x + y) = c (§. 107) a = xy
2 x x
n (x + y) = 2c a: x = y
n
〈…〉
〈…〉 folgends
〈…〉
x
〈…〉
〈…〉
c2: n2 c2: n2
〈…〉
〈…〉
〈…〉
〈…〉
115. Wenn man etliche Glieder vonE 5einer74Anfangs-Gruͤndeeiner Arithmetiſchen Progreßion / die ſich von 1 anfaͤnget zu einander addiret; ſo heiſſet die Summe eine Polygonal - Zahl. (Numerus Polygonus).
116. Jnsbeſondere heiſſet es eine Tri - angular-Zahl / wenn die Differentz der Glieder in der Progreßion 1 iſt; eine Qvadrat-Zahl / wenn ſie 2 iſt: eine Pentagonal-Zahl / wenn ſie 3 iſt; eine Hexagonal-Zahl / wenn ſie 4 iſt u. ſ. w. Arithm. Progr. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Triang. Zahlen. 1. 3. 6. 10. 15. 21. 28. 36. Arithm. Progr. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. Qvadr. Zahlen. 1. 4. 9. 16. 25. 36. 49. 64 Arithm. Progr. 1. 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22. Pentogonal. Zahl. 1. 5. 12. 22. 35. 51. 70. 92. Arithm. Progr. 1. 5. 9. 13. 17. 21. 25. 29. Hepagon. Zahl. 1. 6. 15. 28. 45. 66. 91. 120.
117. Jhr werdet ins kuͤnftige erfaͤhren / daß es es nicht ohne Nutzen ſey / wenn man allerhand Pro - greßionen der Zahlen ſummiren lernet. Zu dem En - de wollen wir auch unterſuchen / wie man die Polygo - nal-Zahlen ſummiren kan.
118. Die Seite der Polygonal - Zahl heiſſet die Zahl der Glieder / wel - che von der Progreßion ſummiret wor - den / damit dieſelbe entſtanden.
119. Durch die Zahl der Winckel verſtehen wir diejenige / welche andeu - tet / wie viel Winckel die Figur hat / von der die Polygonal-Zahl ihren Nahmen bekommen.
120. Allſo iſt die Zahl der Winckel in Tri - gonal-Zahlen 3; in Qvadrat - oder Tetrago - nal-Zahlen 4; in Pentagonal-Zahlen 5 u. ſ. w.
121. Da nun in Trigonal-Zahlen die Differentz der Glieder 1 / in Qvadrat-Zah - len 2 / in Pentagonal-Zahlen 3 u. ſ. w. iſt; ſo iſt die Zahl der Winckel jederzeit umb 2 groͤſ - ſer als die Differentz der Glieder in der Pro - greßion / durch deren Summirung die Po - lygonal-Zahlen entſtehen.
122. Aus der gegebenen Seite einer Polygonal-Zahl und der Zahl der Winckel die Polygonal-Zahl zu finden.
Es ſey die Seite = a
Die Zahl der Winckel = n
das erſte Glied der Progr. iſt = 1 (§. 116).
die Differentz der Glieder = n -2 (§. 121).
das letzte Glied 1 + (n-2) (a-1) (§. 107)
das76Anfangs-Gruͤndedas erſte Glied _ _ 1
Summa des erſten und letzten 2 + an-2a-n+2 halbe Zahl der Glieder ½a (§. 118).
Polygonal-Zahl 2a + ½ a2n-a2-½ an (§. 107) Es ſey n = 3 / ſo iſt die Trigonal-Zahl 2a + $$\frac {3}{2}$$ 〈…〉 Es ſey n = 4 / ſo iſt die Tetragonal-Zahl 2a 〈…〉 Es ſey n — 5 / ſo iſt die Pentagonal-Zahl 2a 〈…〉 Es ſey n = 6 ſo iſt die Hexagonal-Zahl 2a + 〈…〉 Es ſey n = 7 / ſo iſt die Hexagonal-Zahl 2a + 〈…〉 Es ſey n = 8 / ſo iſt die Octogonal-Zahl 2a + 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr dieſe Polygonal-Zahlen betrach - tet / ſo werdet ihr wahrnehmen / 1. daß eine je - de von denſelben zuſammen geſetzet iſt aus dem Qvadrate und der Wurtzel der Seite: 2. daß das Qvadrat multipliciret wird durch die Differentz der Glieder in der Progre -ßion77der Algebra. ßion / daraus die Polygonal-Zahl entſtan - den; 3. hingegen die Wurtzel durch die Dif - ferentz / ſo umb zwey vergeringert worden; 4. daß dieſes andere Product von dem erſten abgezogen / und 5. das uͤberbliebene durch 2 dividiret wird. Dieſes iſt die verlangte all - gemeine Regel.
Jhr ſollet die ſechſte Trigonal-Zahl finden. Weil a = 6 〈…〉 = 18+3 = 21.
Wenn ihr die achte Pentagonal-Zahl ſu - chet / ſo iſt a = 8 / und allſo 〈…〉 3. 32 ‒ 4 = 96 ‒ 4 = 92. Wenn ihr die fuͤnfte Hexagonal-Zahl ſuchet / ſo iſt a = 5 / und allſo 〈…〉 = 2. 25-5 = 50 ‒ 5 = 45.
123. Aus der gegebenen Polygonal - Zahl und der Zahl der Winckel die Seite zu finden.
Es ſey die Polygonal-Zahl = p die Seite die Zahl der Winckel = n = x
So iſt die Differentz der Glieder n -2 (§. 121) das erſte Glied. _ _ 1 (§. 116)
Derowegen das letzte 1 + (x-1) (x-2) (§. 107. 118)
das78Anfangs-Gruͤndedas iſt 3 + nx ‒ 2 x ‒ n das erſte Glied 1
Summe des erſten und letzten 4 + nx ‒ 2x-n halbe Zahlen der Glieder ½ x (§. 118)
2 x + ½ n x2 ‒ x2 ‒ ½ n x
Derowegen iſt
½ n x2 ‒ x2 + 2x ‒ nx = p
2
n x2 ‒ 2 x2 ‒ nx + 4 x = 2 p
n -2
〈…〉
〈…〉
〈…〉
x = n ‒ 4 + � (8p n-16 p + n2 ‒ 8 n + 16)
2 n ‒ 4
Es ſey n = 3 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 4 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉
Es79der Algebra.Es ſey n = 5 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 6 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 7 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 8 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr dieſe Polygonal-Zahlen betrach - tet / ſo werdet ihr wahrnehmen / 1. daß uͤberall die Zahl außer dem Wurtzel-Zeichẽ die umb 4 vergeringerte Seite der Polygonal - Zahl ſey; 2 daß die andere Zahl unter dem Wurtzel-Zeichen das Qvadrat neben der umb 4 vergeringerten Seite der Polygonal - Zahl ſey; 3. die erſte aber dem Producte aus der Polygonal-Zahl in den Diviſorem 4 mal genommen gleichet und 4. der Divi - ſor die Summe der Zahl auſſer dem Wur -tzel -80Anfangs-Gruͤndetzel-Zeichen und der Seite der Polygonal - Zahl ausmachet.
Es ſey 21 eine Trigonal-Zahl: ihr ſollet die Seite finden / das iſt / die wie vieleſte ſie in ihrer Ordnung iſt. Weil p = 21 / ſo iſt die verlangete Seite 〈…〉 = ‒ 〈…〉 Es ſey p = 45 und zwar eine Hexagonal-Zahl / ſo iſt die verlangete Seite 〈…〉 〈…〉
124. Wenn ihr allſo nach und nach eine gegebene Zahl in die Stelle von p ſetzet; ſo werdet ihr ſehen / ob dieſelbe mit unter die Polygonal-Zahlen gehoͤre und in welche Reihe derſelben ſie zu ſetzen ſey. Denn ſie findet in allen Reihen ſtat / wo fuͤr ihre Seite eine gantze Rational-Zahl heraus kommet. Allſo wenn euch 20 waͤre gege - den worden / wuͤrdet ihr gefunden haben / daß es die ſechſte Trigonal-Zahl ſey.
125. Jhr doͤrfet aber nicht weiter verſuchen / ob die gegebene Zahl ſich fuͤr p ſetzen laſſen / wenn die Zahl der Winckel derſelben gleich wird / als in dem gegebenen Exempel 21.
126. Die Groͤße des Products der bey - den aͤuſerſten Glieder in einer Geome - triſchen Proportion zu determiniren.
Es ſey in dem erſten Falle / wenn nur 3 Glieder ſind / das erſte = a / der Exponente = m / ſo iſt die Proportion
∺ a. ma. m2 a (§. 63. 65. Arithm.)
(ma) 2 = $$\frac {a}{m^2 a^2}$$ (§. 81 Arithm.)
Es ſey in dem andern Falle / wenn 4 Glieder ſind / das erſte = a / der Exponente = m / das dritte = b / ſo iſt die Proportion
a: m a = b: m b (§. 63. Arithm.) 〈…〉
Wenn drey Groͤſſen einander Geo - metriſch proportional ſind / ſo iſt das Product der beyden aͤuſerſten dem Qvadrate der mittleren gleich; ſind a - ber vier einander proportional / ſo iſt das Product der aͤuſerſten dem Produ - cte der beyden mittleren gleich.
127. Von den Zahlen iſt dieſes ſchon in der Rechen - Kunſt erwieſen worden (§. 102. 103 Arithm.) Wir haben aber in der Geometrie ſolches mit Recht auch auf die Linien / Flaͤchen und Coͤrper appliciret / indem(4) Fman82Anfangs-Gruͤndeman alle Groͤßen als undeterminirte Zahlen anſehen kan (§. 8): welches nun durch gegenwaͤrtige Algebrai - ſche Rechnung noch mehr gerechtfertiget wird.
127. Drey Geometriſch-Proportional - Groͤſſen zu finden / aus dem gegebenen Producte des Qvadrates der dritten in die erſte und dem Exponenten.
Es ſey das Product = a die erſte Groͤße = x der Exponente = m ſo iſt die andere = m x die dritte = m2x
Folgends a = m4 x3
a: m4 = x3
∛ (a: m4) = x
Es ſey a = 648 / m = 3 / ſo iſt x = ∛ (648: 81) = ∛ 8 = 2.
128. Aus der gegebenen Summe des erſten und vierdten Gliedes in einer Geometriſchen Verhaͤltnis / ingleichen der Summe des andern und drittens / und dem Exponenten / jedes Glied ins beſondere zu finden.
Auf -83der Algebra.Es ſey die erſte Summe = a das erſte Glied = x die andere = b ſo iſt das IV = a-x der Exponente = m das andere = y ſo iſt das III. = b-y
Folgends x: y = b-y: a ‒ x mx = y
ax-x2 = by-y2 (§. 126)
ax-x2 = mbx-m2x2
x
a-x = mb ‒ m2 x
m2 x-x = mb-a
m 2 ‒ 1
〈…〉
Es ſey a = 13 / b = 11 / m = 2 / ſo iſt x = $$\frac {22-13}{4-1}$$ = $$\frac {9}{3}$$ = 3 und y = 6.
129. Aus der gegebenen Summe des erſten und letzten Gliedes und dem Er - ponenten in einer Geometriſchen Pro - portion von 3 Gliedeꝛn / die Glieder ſelbſt zu finden.
Es ſey die Summe — a das 1ſte Glied = x der Exponente = m das 2 dere = mx das dritte = m2x
F 2Fol -84Anfangs-GruͤndeFolgends a = m2 x + x
m 2 + 1
a: (m2 + 1) = x
Es ſey a = 50 / m = 2 / ſo iſt x = 50: (4 + 1) = 50: 5 = 10 / m x = 20 / m2 x = 40.
130. Zu finden / auf wie vielerley Art die Glieder einer Geometriſchen Ver - haͤltnis verſetzet werden koͤnnen / damit ſie einander proportional bleiben.
Verſetzet ſie auf alle moͤgliche Weiſe / und vergleichet ihre Summen / Differentzen u. ſ. w. mit ihnen untereinander: fo werdet ihr bald ſehen / in welchen Faͤllen eine Propor - tion bleibet / wenn ihr nur acht gebet / ob das Product der aͤuſerſten Glieder dem Produ - cte der mittleren gleich iſt (§. 126.) oder ob in beyden Verhaͤltniſſen / die miteinander ver - glichen werden / einerley Exponente iſt (§. 63. Arithm.).
Es ſey demnach a: ma = b: mb
ſo iſt (alternatim) a: b = ma: mb
(inverſe) ma: a = mb: b
(converſim) a + ma: a = b + mb: b
(Compoſite) a+m a: ma = b + mb: mb
(Diviſim) ma-a: a = mb ‒ b: b
ma-a: ma = mb-b: mb
Ferner a2: m2a2 = b2: m2 b2
oder uͤberhaupt an: mn an = bn: mn bn
Jngleichen a: mac = b: mbc
a:85der Algebra.〈…〉
ac: ma = bc: mb
〈…〉
ac: mac = b: mb
〈…〉
ac: mac = bd: mbd
〈…〉
131. Hier habet ihr ohne Muͤhe 16 ſehr nuͤtzliche Lehrſaͤtze gefunden / die ihr euch wohl bekandt machen muͤſſet / wenn ihr ins kuͤnftige entweder die Mathema - tiſchen Schriften zu leſen / oder auch durch eigenes Nachſinnen Mathematiſche Wahrheiten heraus zu bringen gedencket. Denn die Geometriſche Propor - tion iſt die Seele der Mathematiſchen Wiſſenſchaf - ten. Jch halte es aber fuͤr unnoͤthig / die gefundenen Lehrſaͤtze mit Woͤrtern auszudrucken / weil ein jeder das fuͤr ſich ſelbſt thun kan / wenn er luſt darzu hat. Z. E der 1 Lehrſatz lautet allſo: Wenn vier Groͤ - ßen proportional ſind / ſo verhaͤlt ſich auch die erſte zu der dritten / wie die an - dere zu der vierdten. Der 11 wird ſo gegeben: Wenn ihr in einer Geometriſchen Ver - haͤltnis das erſte und dritte Glied durchF 3eine86Anfangs-Gruͤndeeine Groͤße multipliciret; ſo bleiben auch die veraͤnderten Groͤßen den vori - gen proportional.
131. Zu finden / wie zwey Groͤßen ver - aͤndert werden koͤnnen / daß doch ihre Verhaͤltniß gegeneinander unveraͤn - dert bleibet.
Es ſeyn zwey Groͤßen a und ma / die ſich gegeneinander verhalten wie 1 zu m; ſo iſt:
I. 〈…〉 II. 〈…〉
III. 〈…〉
IV. 〈…〉
1. Wenn ihr zwey Groͤßen durch eine dritte multipliciret / ſo verhalten ſich die Producte gegeneinander / wie die mul - tiplicirten Groͤßen. 2. Wenn ihr zwey Groͤßen durch eine dritte dividiret / ſover -87der Algebra. verhalten ſich die Qvotienten wie die ſelben Groͤßen. 3. Wenn ſich die weg - genommenen Theile gegen einander verhalten wie die gantze Groͤßen / ſo ver - halten ſich auch die uͤbrigen Theile wie die gantzen Groͤßen. 4. Wenn die hin - zu geſetzten Groͤßen ſich verhalten wie die Groͤßen / zu denẽ ſie addiret werden / ſo haben auch die Summen eben ſelbige Verhaͤltnis.
132. Die Groͤße des Products der bey - den aͤuſerſten Glieder in einer Geome - triſchen Progreßion zu finden.
Es ſey das erſte Glied a / der Exponente o - der Nahme der Verhaͤltnis = m / ſo iſt die Progreßion
a. ma. m2 a. m3 a. m4 a. m5 a. m6 a. 〈…〉
Jn einer Geometriſchen Progreſ - ſiion iſt das Product der beyden aͤuſer - ſten Glieder dem Producte zweyer von den mittleren gleich / die von den aͤuſer - ſten gleich weit abſtehen / und dem Qvadrate des mittleren / wenn ſie an der Zahl ungleich ſind.
133. Die Groͤße des Qvotienten zu de - terminiren / der heraus kommet / wenn die Differentz der beyden aͤuſerſten Glie - der durch den umb 1 vergeringerten Exponenten dividiret wird.
Es ſey das erſte Glied = a / der Exponen - te = m / die Zahl der Glieder = n / ſo iſt das letzte Glied mn-1 a / die Differentz des erſten und letzten mn-1a-a. Dividiret die - ſelbe durch m -1 / ſo kommet heraus mn-2a + mn-3 a + mn - 4a + mn-5 a + mn-6 + mn-7 a u. ſ. w. Wenn demnach n eine determi - nirte Zahl iſt / Z. E. 7 / ſo iſt n ‒ 7 = 0 und demnach mn -7 = mo / folgends mn - 7a = a. Solcher geſtalt iſt der Qvotient die Sum - me aller Glieder weniger das letzte.
+ mn-6a
+ mn-5 a
+ mn-4a
+ mn-3 a
+ mn 2 a
+ mn-1a (mn-2 a + mn-1a +
mn-3a ‒ mn-2a mn - 4a + mn - 5a +
mn-2a ‒ mn-3 a mn - 6a u. ſ. w.
mn - 3a ‒ mn-4a
mn - 4a ‒ mn-5a
mn - 5a ‒ mn - 6a
134. Wenn ihr demnach die Differentzdes89der Algebra. des erſten und letzten Gliedes in einer Geo - metriſchen Progreßion durch den umb 1 ver - geringerten Exponenten dividiret / und zu dem Qvotienten das letzte Glied addiret; ſo ha - bet ihr die Summe der gantzen Progreßion Es ſey das erſte Glied a / der Exponente m / die Zahl der Glieder n / ſo iſt das letzte Glied mn-1a. Und demnach die Summe der Pro - greßion mn-1a + (mn-1a ‒ a): (m ‒ 1) / das iſt / wenn m = 2 / a = 1 / n = 8 / 128 + 127: 1 = 255.
135. Aus dem gegebenen erſten und letzten Gliede / mit der Zahl der Glie - der in einer Geometriſchen Progreßion / den Exponenten zu finden.
Es ſey das erſte Glied = a der Exponente = x
das letzte = b
die Zahl der Glieder = n So iſt b = xn-1a b: a = xn-1 b1: (n-1): a1: (n-1) = x
Es ſey a = 2 / b = 486 / n = 6 / ſo iſt x = $$\sqrt [5] {} 486$$ : $$\sqrt [5] {} 2$$ = $$\sqrt [5] {} 243$$ = 3.
136. Aus dem gegebenen Exponenten /F 5der90Anfangs-Gruͤndeder Zahl der Glieder und der Summe der Geometriſchen Progreßion das er - ſte Glied zufinden.
Es ſey der Exponente = m das erſte Glied = x die Zahl der Glieder = n So iſt das letzte = mn-1 x die Summe = c
Folgends c = mn-1 x + (mn-1x-x): (m-1) m -1 m c ‒ c = mn x ‒ mn-1 x + mn-1 x ‒ x mn ‒ x (m c ‒ c): (mn-1) = x
Es ſey m = 3 / n = 6 / c = 728 / ſo iſt x = 2. 728 : 728 = 2.
137. Aus dem erſten und letzten Glie - de und dem Exponenten die Zahl der Glieder in einer Geometriſchen Pro - greßion zufinden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glie - der = x
das letzte = b der Exponente = m
So iſt mx-1 a = b / das iſt / wenn ihr denLo -91der Algebra. Logarithmum von a = la und den Loga - rithmum von m = lm ſetzet / x lm ‒ lm + la = lb (§. 23. 24 Trig. ) x lm = lb ‒ la + lm lm x lm = lb ‒ la + 1 lm
Es ſey a = 2 / b = 486 / m = 3 / ſo iſt lb = 2.6866363 la = 0.3010300 lb ‒ la 2.3856063 3 1
| lb ‒ la = | 23856063 | 5 1 |
| lm = | 4771213 |
6 = x
138. Eine unendliche Zahl Bruͤche zu ſummiren / deren Zehler eines iſt / die Nenner aber in einer Geometriſchen Verhaͤltnis fortgehen.
Es ſey der Nenner des erſten Bruches = a / der Exponente = m. Weil die Bruͤche unendlich abnehmen / ſo muß der letzte ſo klei - ne werden / daß er in Anſehung des erſten fuͤr nichts zu halten. Und allſo iſt die Differentz des erſten und letzten Gliedes dem erſtengleich92Anfangs-Gruͤndegleich / das iſt / 1: a / folgends die Sum̃e 1: a + 1: (ma ‒ a) = (m ‒ 1 + 1): (ma ‒ a) = m: (ma ‒ a).
Es ſey m = 2 / ſo iſt die Summe der Bruͤche 2: (2 a ‒ a) = 2: a / folgends ½ + ¼ + ⅛ + $$\frac {1}{16}$$ + $$\frac {1}{32}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 1.
Es ſey m = 3 / ſo iſt die Summe der un - endlichen Bruͤche 3: (3 a ‒ a) = 3: 2 a / fol - gends ⅓ + ⅑ + $$\frac {1}{27}$$ + $$\frac {1}{71}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 3: 6 = ½.
Es ſey m = 4 / ſo iſt die Summe der un - endlichen Bruͤche 4: (4 a ‒ a) = 4: 3 a / folgends ¼ + $$\frac {1}{16}$$ + $$\frac {1}{64}$$ + $$\frac {1}{256}$$ u. ſ. w. unend - lich fort = 4: 12 = ⅓.
139. Wenn der Zehler uͤberall einerley Zahl iſt / als Z. E. 3 / 6 / 8 &c. ſo koͤnnet ihr eben mit dieſer Regel aus kommen. Denn es ſey der Nenner b / ſo iſt die Summe b: a + b: (ma ‒ a) = (bm ‒ b + b): (ma ‒ a) = bm: (ma ‒ a). Ailſo werdet ihr ſinden / daß ¾ + ⅜ + $$\frac {3}{16}$$ + $$\frac {3}{32}$$ &c. = 6: 4 = $$\frac {3}{2}$$ = 1½.
140. Die Summe unendlicher Bruͤche zufinden / derer Zehler von dem Nen - ner des erſten umb eine gegebene Groͤſ - ſe kleiner iſt / die Nenner aber in einer Geometriſchen Progreßion abneh - men.
Auf -93der Algebra.Es ſey die Differentz zwiſchen dem ge - meinen Zehler und dem Nenner des erſten Bruches = y / der Exponente in der Pro - greßion der Nenner = m / der Nenner des erſten Bruches = a / ſo iſt der gemeine Zeh - ler = a ‒ y / und demnach der erſte Bruch $$\frac {a - y. }{a}$$ Weil nun der letzte Bruch aus der unendlichen Progreßion in Anſehung des er - ſten nichts iſt; ſo iſt der Unterſcheid dieſer 〈…〉
Es ſey m = 2 / a = 6 / y = 3 / ſo iſt die Summe der Progreßion 2 (6 ‒ 3): (2.6 ‒ 6) = 6: 6 = 1 / das iſt / $$\frac {3}{6}$$ + $$\frac {3}{12}$$ + $$\frac {3}{24}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 1.
Eben ſo findet ihr daß $$\frac {5}{7}$$ + $$\frac {5}{21}$$ + $$\frac {5}{63}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 15: 14
141. Auf eine gleiche Art koͤnnen noch viel an - dere Aufgaben aufgeloͤſet werden / welche in die A - rithmeticam infinitorum gehoͤren / die Johannes Walliſius zu erſt erfunden / und Iſmael Bullialdus weiter ausgefuͤhret. Allein wẽil man dieſelbe nicht mehr ſonderlich noͤthig hat / nach dem der Herrvon94Anfangs-Gruͤndevon Leibnitz ſeine Differential - und Jntegral - Rechnung bekandt gemacht; wollen wir uns auch mit derſelben nicht aufhalten / ſondern vielmehr zu Geometriſchen Aufgaben fort ſchreiten.
142. Aus dem gegebenen Radio des Circuls ED / die Seite des in ihm be - ſchriebenen Regulaͤren Drey-Eckes AB zufinden.
Weil DB = BE (§. 128 Geom) und bey F rechte Winckel ſind (§. 118 Geom.) ſo iſt auch DF = FE (§. 167 Geom.) Es ſey demnach
DB = a BA = x So iſt DF = ½a BF = ½ x folgends ¾ aa = ¼ xx (§. 167 Geom.) 4 3aa = xx V 3aa = x
Jhr findet demnach x / wenn ihr zwiſchen 3 a und a die mittlere Proportional-Linie ſu - chet (§. 106 Arithm. §. 195. Geom.)
143. Weil 3 aa = xx / ſo iſt aa: xx = 1: 3 / das iſt / ((DE) 2: (AB) 2 = 1.3.
144. Wenn die Seite des Drey-Eckes b gegeben iſt / und ihr ſolltet den Radiumdes95der Algebra. des Circuls y finden / welcher umb ſelbiges beſchrieben werden kan; ſo habet ihr 3 y2 = b / und allſo iſt y = V⅓b2 / folgends doͤr - fet ihr nur zwiſchen der Linie AB (b) und dem dritten Theile derſelben (⅓b) die mitt - lere Proportional-Linie ſuchen (§. 106 A - rithm. §. 195 Geom.)
145. Die halbe Seite AB / nemlich DF iſt der Sinus des Bogens AD von 60° (§. 2 Trigon.) Derowegen koͤnnet ihr durch gegenwaͤrtige Aufgabe den Sinum von 60° finden (§. 11. Trigon.)
146. Aus dem gegebenen Radio desTab. I. Fig 2. Circuls AC die Seite des in ihm beſchrie - benen Regulaͤren Acht-Eckes zufinden.
Es ſey AC = BC = DC = a / BD = x ſo iſt AB = V 2 a2 (§. 167. Geom.) BE = ½ V 2 a2 (§. 118 Geom.) = V ½ a2 EC = V (a2 ‒ ½ a2) (§. 167. Geom.) = V ½ a2 D E = a ‒ V ½ a2 / folgends (§. 167. Geom.) x2 = a2 ‒ 2a V ½ a2 + ½a2 = 2 a2 ‒ 2a V ½ a2 x ≡ V (2a2 ‒ 2a V ½ a2)
Jhr96Anfangs-GruͤndeJhr findet die Seite des Acht-Eckes x / wenn ihr zwiſchen dem Diametro des Cir - culs 2a und der Differentz der halben Seite des Vier-Eckes BE oder EC (V ½ a2) von dem Radio DC (a) / das iſt / der Linie DE die mittlere Proportional-Linie ſuchet (§. 106. Arithm. 195 Geom.).
147. Die halbe Seite des Acht-Eckes iſt der Sinus des Bogens von 24° 30′ (§. 2 Trig. ) dieſen koͤnnet ihr demnach durch gegenwaͤrti - ge Aufgabe finden.
148. Aus der gegebenen Seite desTab. I. Fig. 2. Acht-Eckes DB den Radium des Circuls AC zu finden / der umb daſſelbe beſchrie - ben werden kan.
Es ſey DB = b / BC = y / ſo iſt / vermoͤge deſſen / was bey der vorhergehenden Aufga - be erwieſen worden b2 = 2y2 ‒ 2y V ½y2 2y V ½ y2 = 2y2 ‒ b2 2y4 = 4y4 ‒ 4y2b2 + b4 - b4 = 2y4 ‒ 4b2y22 ‒ ½ b4 = y4 ‒ 2b2y2 b4 _ _ b4 (§. 79) ½ b97der Algebra. ½1b4 = y4 ‒ 2b2 y2 + b4 V ½ b4 = y2 ‒ b2 b2 + V ½ b4 = y2 V (b2 + V ½ b4) = y
Suchet zwiſchen b und ½ b die mittlere Pro - portional-Linie V ½ b2 und denn ferner zwi - ſchen b und b + V ½ b2 noch eine andere mittlere Proportional-Linie (§. 105 Geom.) ſo iſt die - ſelbe V (b2 + b V ½ b2) (§. 106. Arithm.) = V (b2 + V ½ b4) (§. 55).
149. Aus dem gegebenen Radio desTab. I. Fig. 3. Circuls AC die Seite des Zehen-Eckes AB zu finden.
Weil AB = $$\frac {1}{10}$$ der Peripherie / ſo iſt der Winckel ACB 36° / folgends ſind die Win - ckel CAB und ABC ein jeder 72 (§. 95. 101. Geom.) und demnach iſt DAC 108 (§. 56. Geom.) Machet AD = AC / ſo iſt jeder von den Winckeln ADC und DCA 36 (§. 95 101 Geom.) daher DCB 72° / folgends ſind die Triangel BAC und BDC einander aͤhn - lich / und demnach BD: BC = BC: BA (§. 182 Geom.) Es ſey AC = BC = AD = a / AB = x / ſo iſt BD = a + x und dannenhe - ro vermoͤge deſſen was erwieſen worden /
(4) Ga + x98Anfangs-Gruͤndea + x: a = a: x a2 = a x + x2 (§. 103. Arithm. ) ¼a2 ¼a2 $$\frac {5}{4}$$ a2 = ¼ a2 + a x + x2 V $$\frac {5}{4}$$ a2 = ½ a + x V $$\frac {5}{4}$$ a2 = ½ a = x
Richtet auf den Diameter AB den Ra - dium AC = a aus dem centro C perpendi - cular auf (§. 90 Geom.) und theilet CB in 2 gleiche Theile in E / (§. 112 Geom.) ſo iſt CE = ½ a und folgends DE = V $$\frac {5}{4}$$ a2 (§. 167 Geom.) machet EF = DE / ſo iſt CF = V $$\frac {5}{4}$$ a2-½ a.
150. Auf ſolche Art lehret Euclides die Seite des Zehen-Eckes zu finden.
151. Aus dem gegebenen Radio des Cir - culs DC / die Seite des Fuͤnf-Eckes AB zu finden.
Es ſey DC = a AB = x ſo iſt DB = V $$\frac {5}{4}$$ a2 ‒ ½ a = b BE = ½ x BC = V (a2 ‒ ¼ x2) DE = a-V (a2 ‒ ¼ x2)
folgends (§. 167 Geom.)
b2 = ¼ x2 + a2 ‒ 2 aV (a2 ‒ ¼ x2) + a2 ‒ ¼ x22a99der Algebra. 2a V (a2 ‒ ¼ x2) = 2a2 ‒ b2 4a4 ‒ a2 x2 = 4a4 ‒ 4a2 b2 4a2b2 ‒ b4 = a2x2 a2 4b2 ‒ b4: a2 = x2 V (4b2 ‒ b4: a2) = x
Weil nun b = V $$\frac {5}{4}$$ a2 ‒ ½ a (§. 149) und dan -Tab. I. Fig. 4. nenhero b2 = $$\frac {6}{4}$$ a2 ‒ a V $$\frac {5}{4}$$ a2 / b4 = $$\frac {14}{4}$$ a4 ‒ Fig. 4. 3a3 V $$\frac {5}{4}$$ a2 / ſo iſt x2 = $$\frac {10}{4}$$ a2 + 2a V + $$\frac {5}{4}$$ a2 = a2 + $$\frac {6}{4}$$ a2 + 2 a V $$\frac {5}{4}$$ a2 = a2 + b2. Derowe - gen iſt das Qvadrat von der Seite des Fuͤnf-Eckes den Qvadraten der Seite des Sechs-Eckes DC und des Zehen-Eckes FC gleich / und ſolchergeſtalt die Linie DF die Seite des Fuͤnf-Eckes.
152. Euclides lehret abermals die Seite des Fuͤnf - Eckes auf ſolche Art finden.
153. Die halbe Seite des Fuͤnf-Eckes iſt der Sinus von 36° / die halbe Seite des Ze - hen-Eckes der Sinus von 18° (§. 2 Trigon.) Derowegen koͤnnet ihr aus dem gegebenen Radio des Circuls dieſe beyden Sinus fin - den. (§. 11 Trigon.).
154. Eine gerade Linie AC dergeſtaltTab. I. Fig. 5. in F zu ſchneiden / daß die gantze LinieG 2AC100Anfangs-GruͤndeAC ſich zu dem großen Theile AF ver - haͤlt / wie der große Theil AF zu dem kleinen FC / oder daß AF2 = AC in FC.
Es ſey AC = a / AF = x / ſo iſt FC = a ‒ x und allſo x2 = aa-ax. x2 + ax = a2 ¼ a2 ¼a2 (§ 79.). x2 + a x + ¼ a2 = $$\frac {5}{4}$$ a2 a + ½ a = V $$\frac {5}{4}$$ a2 x = V $$\frac {5}{4}$$ a2 ‒ ¼ a
Setzet AC = DC = a rechtwincklicht zu - ſammen / und machet CE = ½ a / ſo iſt DE = V ½ a2 (§. 167 Geom.). Machet ferner EF = DE / ſo iſt die Linie AC in F auf verlange - te Art ſeciret.
155. Die alten Geometræ nennen dieſes lineam media & extrema ratione ſecare. Man pfleget es auch divinam ſectionem zu nennen / weil (wie aus dem Euclide zu ſehen) man viel aus dieſer Section demonſtriret hat.
156. Wenn a der Radius eines Circuls iſt / ſo iſt der groſſe Theil von der Linie x die Seite des Zehen-Eckes (§. 149).
157. Aus dem gegebenen UmbfangeAB101der Algebra. AB + BC + CA eines rechtwincklichten Triangels und ſeinem Jnhalte / die groͤ - ſte Seite BC zu finden.
Es ſey AB + BC + CA = a / BC = x / der Jnhalt = bb _ _ ſo iſt AC + BA = a-x Nun iſt BC2 = AC2 + AB2 (§. 167. Geom.) und AC2 + AB2 = (AB + BC) 2 ‒ 2BA. BC (§. 75). Derowegen iſt auch BC2 = (AB + BC) 2 ‒ 2AB. BC. Es iſt aber BC2 = x2 / (AB + BC) 2 = a2 ‒ 2 a x + xx / 2 AB. BC = 4 b b / weil b2 = ½ AB. BC (§. 150 Geom.) Und demnach habet ihr 〈…〉
Weil 2ax = a2 ‒ 4b2 / ſo iſt 2a: a + 2 b = a ‒ 2b: x (§. 102. Arithm.). Derowe - gen doͤrfet ihr nur zu dem doppelten Umbfan - ge (2a) / der Summe des Umbfanges und der doppelten Seite des Qvadrates / wel - ches dem Jnhalt des Triangels gleich iſt / und der Differentz dieſer beyden Linien / die vierdte Proportional-Linie ſuchen (§. 181. Geom.)
158. Weil alle Flaͤchen durch das Qvadrat aus - gemeſſen werden (§. 144 Geom.); ſo giebet man inG 3Geo -102Anfangs-GruͤndeGeometriſchen Aufgaben jeder zeit die Flaͤche durch ei - ne Linie / deren Qvadrat ihr gleich iſt.
159. Aus der gegebenen Grundlinie B C und den beyden Winckeln an derſelben B und C / die Hoͤhe AD zu finden.
Es ſey BC = a / AD = x. Weil bey D rechte Winckel ſind / ſo wiſſet ihr auch die Winckel BAD und DAC (§. 96 Geom.) Es ſey der Sinus des Winckels ABD = t / der Sinus des Winckels BAD = r / der Sinus des Winckels DAC = q / der Sinus des Winckels ACD = p / ſo iſt t: r = x: BD und p: q = x: DC / (§. 34 Trigon. ) fol - gends BD = rx: t und DC = qx: p. De - rowegen weil BD + DC = BC / ſo habet ihr 〈…〉
Wenn ihr AD als den Sinum totum anſe - het / ſo iſt BD die Tangens des Winckels B AD / und DC die Tangens des WinckelsDAC103der Algebra. DAC (§. 6 Trigon.). Es ſey der Sinus to - tus = t / die Tangentes ſeyn m und n / ſo iſt t: m = x: BD und t: n = x: DC / folgends iſt BD = nx: t und DC = mx: t und dem - nach a = (n x + m x): t at = nx + mx n + m at: (n + m) = x
Suchet allſo zu der Summe der Tangen - tium der beyden Winckel BAD und DAC dem Sinu Toto und der Grundlinie B C die vierdte Proportional-Zahl (§. 107 Arithm. ) ſo kommet die Hoͤhe des Triangels AD her - aus.
160. Aus drey gegebenen Seiten ei -Tab. I. Fig. 7. nes Triangels AB / AC und CB die Hoͤhe AD zu finden.
Es ſey ab = a / _ _ bd = x bc = b _ _ ſo iſt dc = b-x ac = c
Weil nun ab2 ‒ bd2 = ad2 und ac2 ‒ dc2 = ad2 (§. 167 Geom.) / ſo iſt auch ab2 ‒ b d2 = ac2 ‒ dc2 / folgends a2 ‒ x2 = c2 ‒ b2 + 2bx ‒ x2 a2 + b2 ‒ c2 = 2bxG 4a2104Anfangs-Gruͤnde 〈…〉
Wenn ihr BD habet / ſo koͤnnet ihr (§. 167 Geom.) AD finden. Es ſey Z. E. a = 5 / b = 3 / AC = 4 / ſo iſt x = (25 ‒ 16): 6 + $$\frac {3}{2}$$ = 9: 6 + 3: 2 = (3 + 3): 2 = 6: 2 = 3.
Weil BD = BC / ſo muß der gegebene Triangel rechtwincklicht und allſo A D = A C ſeyn. Es ſey a = 6 / b = 4 / AC = 3 / ſo iſt x = (36-9): 8 + 2 = 27: 8 + 2 = 5 + ⅜. AB2 = 2.3.0.4: 64 BD2 = 1849: 64 AD2 = 455: 64 (§. 167 Geom.) 〈…〉 demnach iſt AD = 2133: 800.
161. Auf eine gleiche Weiſe koͤnnet ihr aus drey gegebenen Seiten die Hoͤhe des Triangels finden / wenn er ſtumpfwincklicht iſt.
162. Derowegen koͤnnet ihr auch aus drey gegebenen Seiten den Jnhalt eines Triangels finden / (§. 150 Geom.)
163. Aus dem gegebenen Jnhalte ei -Tab. I. Fig. 6. nes rechtwincklichten Triangels ABC / deſſen drey Seiten AC / BA / DB in einer Geometriſchen Progreßion ſind / die Seiten ſelbſt zufinden.
Es ſey der Jnhalt = a2 / AC = y BA = xy ſo iſt CB = x2y (§. 65 Arithm. ) und dannenhero x4 y4 = x2 y2 + y2 (§. 167 Geom.) 2a2 = x y2 (§. 156 Geom.) x4 — x2 = 1 2 a2 = y2 V (½ + V $$\frac {5}{4}$$ ¼ ¼ (§. 79. V (2a2: V (½ + V $$\frac {5}{4}$$ ) = y x4 — x2 + ¼ = $$\frac {5}{4}$$ x2 — ½ = V $$\frac {5}{4}$$ x2 = ½ + V $$\frac {5}{4}$$ x = V (½ + V $$\frac {5}{4}$$ )
164. Aus der gegebenen Summe derTab. I. Fig. 6. Seiten AC + AB in einem rechtwinck - lichten Triangel CAB und dem Perpen - dicul AD die Seiten zufinden.
G 5Auf -106Anfangs-GruͤndeEs ſey AB + AC = a / AB-BC = y / BC = x AD = b / ſo iſt AB = ½ (a + y) / AC = ½ (a ‒ y) / folgends x2 = ½ (aa + yy) (§. 167 Geom.) 2 x2 = aa + yy BA: DA = BC: AC ½ (a + y): b = x: ½ (a-y) 2x2 ‒ aa = yy ¼ (aa-yy) = bx aa ‒ 4bx = yy derowegen 2x2 ‒ aa = aa ‒ 4bx x2 ‒ 2bx = aa x2 ‒ 2bx + bb = aa + bb (§. 79) x = ‒ b + V (aa + bb)
Wenn ihr b auf a perpendicular aufrich - tet / ſo iſt die Hypotenuſe V′ (bb + aa) / de - rowegen wenn ihr von dieſer die Linie b ab - ſchneidet / ſo bleibet die Hypotenuſe eures Triangels x uͤbrig.
165. Aus dem gegebenen Diameter des Circuls DE oder der Sehne GF und der Tangente AB die Secantem A E / oder AF zufinden.
Auf -107der Algebra.Derowegen iſt bb + y2 + 2 cy = bb + aa y2 + 2 cy = aa y2 + 2cy + cc = aa + cc y = V (aa + cc) ‒ c
Allſo iſt AF = V (aa + cc) + c.
166. Weil x2 + 2 bx = aa und y2 + 2cy = aa / ſo iſt AD. AE = (AB) 2 / inglei - chen AG. AF = (AB) 2 / folgends auchAD. 108Anfangs-GruͤndeAD. AE = AG. AF und demnach AE. AF = AG: AD / welches alles in der Tri - gonometrie (§. 42) ſchon auf andere Art er - wieſen worden.
167. Aus dem gegebenen Sinu eines Winckels den Sinum des doppelten / dreyfachen / vierfachen ꝛc. Winckels zu finden.
Es ſey der einfache Winckel KAE. Neh - met AB fuͤr den Sinum Totum an und macht AB = BC = DC = DE = EK / ſo iſt BF der Sinus des Winckels A und AF = FC (§. 103 Geom.) der Sinus Complementi, ferner GBC = 2 BAC (§. 100 Geom.) DCE = CDA + CAD (§. cit.) = 3 CAD / KDE = DEA + KAE (§. cit.) = 4 KAD u. ſ. w. Folgends iſt GC der Sinus des doppelten / DH des dreyfa - chen / EI des vierfachen Winckels A.
Es ſey AB = r / BF = b / AF = c. AB: BF = AC: GC (§. 182 Geom.) r _ _ b _ _ 2c _ _ 2bc: r AB: AF = AC: AG r _ _ c _ _ 2c _ _ 2cc: r
Derowegen iſt BG = 2cc: r ‒ r = (2cc ‒ rr): r = (weil r2 = b2 c2) (2cc ‒ b2 ‒ c2): r = (c2 ‒ b2): r folgends AD = (3c2 - b2): r.
AB:109der Algebra.AB: BF = AD: DH r _ _ b _ _ (3c2-b2): r _ _ 3bc2-b3,: r2 AB: AF = AD: AH r _ _ c _ _ 3c2-b2,: r 3c3 ‒ b2c,: r2
Derowegen iſt CH = 3c3 ‒ b2c,: r2 ‒ 2c = 3c3 — b2c — 2cr2,: r2 = (weil r2 = c2 — b2) 3c3 — b2c — 2c3 — 2b2c,: r2 = c3 — 3b2c,: r2 / folgends AE = 3c3 ‒ b2c,: r2 + c3 — 3b2c: r2 = 4c3 — 4b2c,: r2. AB: BF = AE: EI r _ _ b _ _ 4c3 ‒ 4b2c,: r2 4bc3-4b3c,: r3 AB: AF = AE: AI r _ _ c _ _ 4c3-4b2c,: r2 4c4-4b2c2,: r3
Derowegen iſt DI = 4c4 ‒ 4b2c2,: r3 — 3c2 + b2,: r = 4c4 ‒ 4b2c2 ‒ 3c2 ‒ 3c2r2 + b2r2,: r3 = 4c4 ‒ 4b2c2 ‒ 3b2c2 ‒ 3c4 + b4 + b2c2,: r3 = c4 ‒ 6b2c2 + b4,: r3.
Wenn demnach der Sinus totus r / der Sinus des einfachen Weinckels b / und ſein Sinus complementi c iſt / ſo iſt der Sinus des zwiefachen 2bc: r des dreyfachen 3b c2 ‒ b3,: r2 des vierfachen 4bc ‒ 4b3c,: r3 des fuͤnffachen 5bc4-18b3 c2 + b5,: r4 des ſechsfachen 6bc5 ‒ 20b3c3 + 6b5c,: r5
Hingegen der Sinus Complementi des zwiefachen cc ‒ bb,: r des dreyfachen c3 ‒ 3b2c,: r2 des vierfachen c4 ‒ 6b2c2 + b4,: r3 des fuͤnffaͤchen c5 ‒ 10b2c3 + 5b4c,: r4 des ſechsfachen c6 ‒ 15b2c + 15b4 c2 ‒ b6,: r5
168. Allſo koͤnnet ihr auch leicht aus der Tangente des einfachen Winckels / die Tan - gentes des zwiefachen / dreyfachen / vierfa - chen ꝛc. finden (§. 18 Trigon.). Denn es ſey der einfache = t = br: c (§. cit. ) ſo iſt der zwiefache 2bcr,: cc — bb = 2t:, c2 — b2.
169. Jhr koͤnnet auch die Tangentes ſucheñ / ohne daß ihr noͤthig habet die Sinus zu wiffen / wie in der folgenden Aufgabe gezeiget wird. Jhr habet aber dazu folgenden Satz noͤthig:
Wenn der Winckel. cab durch die Linie ea in zwey gleiche Theile gethei - let wird / ſo verhaͤlt ſich die eine Seite ab zu dem ihr anliegenden Theile der Grund-Linie be wie die Seite ac zu dem Theile EC / ſo an ihr lieget.
Verlaͤngert ba in d / biß ad = ac und ziehet die Linie cd. Weil der Winckel cab = acd + adc (§. 100 Geom.) und ca = ad; ſo iſt auch acd = adc (§. 101 Geom.) / folgends acd = ½ cab = cae. Dem - nach iſt ea mit cd parallel (§. 92 Geom.) / und daher ba: be = ad (= ac): ec (§. 197 Geom.). W. Z. E:
170. Derowegen verhaͤlt ſich auch ba:ac111der Algebra. ac = be: ec / folgends ba + ac: ac = bc: ec (§. 130).
171. Aus dem Tangente und SecanteTab. I. Fig. 8. des einfachen Winckels die Tangentes und Secantes des zweyfachen / dreyfa - chen / vierfachen ꝛc. zufinden.
Nehmet ab fuͤr den Sinum totum an / ſo iſt bc die Tangens des einfachen Winckels cab / bd die Tangens des zwiefachen dab u. ſ. w.
Es ſey ab = a / bc = b / ed = x / ſo iſt cd = x ‒ b; (cd) 2 = x2 ‒ 2bx + b2 / (ad) 2 = aa + xx. Nun iſt ab: ad = bc: cd (§. 170) / und daher (ab) 2: (ad) 2 = (bc) 2: (cd) 2 (§. 130) / das iſt / a2: a2 + x2 = b2: x2-2bx + b2 a2 b2 + b2 x2 = a2 x2 ‒ 2a2 bx + a2 b2 2a2 x = a2 x2 ‒ b2 x2 a2x ‒ b2 x 2 a2 b: a2 ‒ b2 = x
Derowegen iſt cd = x ‒ b = (2a2 b,: a2 ‒ b2) ‒ b = 2a2b ‒ a2b + b3,:, a2 ‒ b2 = a2 b + b3,:, a2 ‒ b2.
Die Secantem ad findet ihr nun allſo.
bc: cd = ab: ad (§. 170). b:112Anfangs-Gruͤndeb: (a2 b + b3,:, a2-b2) = a: (a3+ab2,:, a2 - b2).
Oder wenn ihr die Secantem des einfachen Winckels ac = V (a2 + b2) = c ſetzet / ſo iſt ad = ac2:, a2 ‒ b2.
Auf gleiche Art wird die Tangens des dreyfachen Winckels BE = 3a2b-b3,:, a2 - 3b2 und die Secans ae = c3:, a2 ‒ 3b2 gefun - den / u. ſ. w.
172. Aus dem gegebenen Jnhalte ei - nes rechtwincklichten Triangels abc und dem Winckel b die Seiten ab und bc zu finden.
Es ſey der Jnhalt = b2 _ _ ab = x der Sinus Totus = r _ _ ſo iſt: die Tangens b = t _ _ r: t = x: ac (§. 6 Trig. ) daher ac = tx: r Folgends tx2: 2r = b2 x = (2b2r: t) x = V (2b2 r: t)
Nehmet auf den einen Schenckel ai des ge - gebenen Winckels kai nach Belieben ab fuͤr r an und richtet in B die perpendicular-Linie DB auf / dieſe iſt = t (§. 6 Trig). Traget db aus a in c und b aus b in e. Ziehet fe mit cb parallel / ſo iſt cf = bt: r (§. 181. Geom.). Machet113der Algebra. Machet ferner FH = 2b / und ſuchet zwiſchen CF und FH die mittlere Proportional-Linie FG (§. 195. Geom.) dieſe iſt = x.
173. Einen Circul zu finden / der ſo groß iſt als die Flaͤche eines gegebenen Cylinders.
Es ſey der Diameter des Cylinders = d / ſeine Peripherie = p / die Hoͤhe = a ſo iſt die Flaͤche = ap (§. 27. 45 Geom.) Es ſey ferner der Diameter des Circuls = x / ſo iſt d: p = x: (px: d). Und demnach die Peripherie des Circuls px: a / folgends ſeine Flaͤche px2: 4d (§. 163 Geom.) Dero - wegen iſt px2: 4d = ap x2 = 4ad x = V 4ad oder ½ x = V ad
Der halbe Diameter des verlangten Circuls iſt die mittlere Proportional-Linie zwiſchen der Hoͤhe und dem Diameter des Cylin - ders.
174. Den Diameter und die Hoͤhe ei - nes Cylinders zufinden / deſſen Flaͤche ei - nem gegebenen Circul gleich iſt.
(4) HAuf -114Anfangs-GruͤndeEs ſey der Diameter des Circuls = r / die Peripherie = p / die Hoͤhe des Cylin - ders = x / ſein Diameter = y. So iſt ſeine Peripherie = py: r / folgends pyx: r = ¼ pr 4yx = r2 x = r2: 4y oder y = r2: 4 x Jhr koͤnnet allſo entweder den Diameter / o - der die Hoͤhe nach belieben annehmen.
175. Aus der gebebenen Verhaͤltnis der Hoͤhe eines Cylinders zu ſeinem Dia - meter und dem Diameter eines Circuls / der ſeiner Flaͤche gleich iſt / die Hoͤhe des Cylinders und ſeinen Diameter zufin - den.
Es ſey die gegebene Verhaͤltnis m: n / der Diameter des Circuls = d / ſeine Peri - pherie = p / die Hoͤhe des Cylinders = x / ſo iſt ſein Diameter = nx: m und ſeine Peripherie = npx: md / folgends npx2: md = ¼ pd x2 = md2: 4n x = V (md2; 4n)
176. Aus dem gegebenen Jnhalte ei - nes Cylinders und der Verhaͤltnis / den ſeine Hoͤhe zu ſeinem Diameter hat / die Hoͤhe und den Diameter zu finden.
Es ſey der Jnhalt des Cylinders = c3 / die gegebene Verhaͤltnis = m: n / die Hoͤhe = x / ſo iſt der Diameter = nx: m ſeine Peripherie 314 nx: 100m (§. 161 Ge - ometr. ) / folgends ſeine Grundflaͤche 314n2 x2: 400m2 (§. 163 Geom.) und daher 314n2 x3: 400m2 = c3 x3 = 400m2 c3: 314n2 x 〈…〉 (400m2: 314n2)
177. Aus dem gegebenen Jnhalte ei - ner Kugel ihren Diameter zu finden.
Es ſey der Jnhalt = a3 / der Diameter = x / ſo iſt 300: 157 = x3: a3 (§. 222 Geom.) 157x3 = 300a3 x3 = 300a3: 157H 2x =116Anfangs-Gruͤndex = 〈…〉 (300a3: 157)
178. Aus der gegebenen Flaͤche einer Kugel ihren Diameter zufinden.
Es ſey der Diameter = x / die Flaͤche = a2 ſo iſt die Peripherie des groͤſten Cir - culs 100x: 314 (§. 161 Geom.) folgends a2 = 100x2: 314 (§. 220 Geom.) 314a2: 100 = x2 V (314a2: 100) = x
179. Aus der gegebenen Flaͤche einer Kugel ihren Coͤrperlichen Jnhalt zu finden.
Es ſey der Coͤrperliche Jnhalt = x / die Flaͤche = a2 / ſo iſt der Diameter = V (314a2: 100) §. 178 / folgends (§. 221 Geom.) ⅙ a3 V (314: 100) = x a3 V 314: 60 = x
180. Aus dem gegebenen Diameter einer Kugel und der Hoͤhe eines Cylin - ders / der ihr gleich iſt / den Diameter des Cylinders zu finden.
Auf -117der Algebra.Es ſey der Diameter der Kugel = d / die Hoͤhe des Cylinders = a / ihr Diameter = x / ſo iſt ihr Jnhalt = 157 d3: 300 (§. 224 Geom.) der Jnhalt des Cylinders 314ax2: 400 (§. 206 Geom.) und dem - nach 157 d3: 300 = 314ax2: 400 400. 157 d3: 300. 314a = x2 V (2d3: 3a) = x.
181. Aus dem gegebenen Diameter eines Coni und der Hoͤhe den Diame - ter eines Cylinders zu finden / der ihm der Hoͤhe und dem Jnhalte nach gleich iſt.
Es ſey der Diameter des Coni = d / die Hoͤhe = a / der Diameter des Cylinders = x / ſo iſt der Jnhalt des Coni = 785 da2: 3000 (§. 213 Geom.) / des Cylinders aber 785adx2: 1000 (§. 206 Geom.). Dero - wegen iſt (§. 212 Geom.) 785adx2: 1000 = 785 ad2: 3000 x2 = ⅓d x = V ⅓ d
182. Aus dem gegebenen Diameter eines Coni und ſeiner Hoͤhe / den Dia - meter einer Kugel zu finden / die ihm gleich iſt.
Es ſey der Diameter des Coni = d / die Hoͤhe = a / der Diameter der Kugel = x ſo iſt der Jnhalt des Coni = 785ad2: 3000 (§. 213 Geom.) hingegen der Jnhalt der Kugel 157x3: 300 (§. 216 Geom.) De - rowegen iſt 157x3: 300 = 785ad2: 3000 x3 = 785ad2: 1570 x = 〈…〉 (785ad2: 1570)
183. Den Jnhalt eines abgekuͤrtzten Coni zufinden.
Es ſey ab = r / gf = b / cd = c / ef = x / ſo iſt eg = b + x / der Jnhalt des Coni aeb = 785 r2 (b + x): 3000 und des Coni ced = 785 c2 x: 3000 / folgends der abgekuͤrtzte Conus acdb = (785 r2 b + 785r2 x — 785 c2 x): 3000. Nun iſt ah: hc = ag: ge (§. 177 Geom.) (r — c): 2 ½ r = b: b + xDem -119der Algebra. demnach br = br — bc + rx — cx bc: (r — c) = x
Setzet dieſen Werth von x in ſeine Stelle in dem Werthe des abgekuͤrtzten Coni, ſo bekommet ihr fuͤr denſelben (785 r2 b + (785r2 bc — 785 bc3,:, r — c): 3000 = (785r3 b — 785r2 bc + 785r2 bc — 785bc3): (3000 r — 3000 c) = 785 b (r3 ‒ c3): 3000 (r ‒ c).
184. Bißher habe ich in leichten Geometriſchen Exempeln den Nutzen der Algebra gezeiget: nun a - ber wird es Zeit ſeyn / daß ich darthue / wie man in der hoͤheren Geometrie mit ſonderbahrem Vortheile ſich derſelben bediene. Es handelt aber die hoͤhere Geometrie von den krummen / Linien. Derowegen ſol ich zeigen / wie man durch Huͤlfe der Algebra die Eigenſchaften der krummen Linien finden kan. Zwar dienet darzu hauptſaͤchlich die Differential - und Jn - tegral-Rechnung / von der im anderen Theile ge - handelt werden ſol: allein man kan auch durch die gemeine Algebra gar viel ausrichten. Damit ihr a - ber verſtehen moͤget / was hinfort beygebracht wer - den ſol; ſo muß uͤberhaupt etwas von den krummen Linien angefuͤhret werden. Bildet euch aber nicht ein / als wenn dieſe Betrachtung gantz fruchtloß waͤre. Vielmehr verſichert euch / daß ſie denenjenigen ſehr zuſtatten kommet / welche die Geheimniffe der Natur und Kunſt gnauer als andere einzuſehen belieben. Jch wuͤrde jetzt vergeblich reden / wenn ich einen weitlaͤuftigen Beweis hiervon fuͤhren wollte. Dar - umb geduldet euch ſo lange / biß in dem dritten Thei - le durch viele Exempel meine Rede beſtetiget wird. Hier mercket nur uͤberhaupt / daß man gewohnet iſtH 4die120Anfangs-Gruͤndedie krummen Linien durch Algebraiſche. Gleichun - gen zu erklaͤhren / welche die relation gewiſſer gera - den Linien / die man innerhalb denſelben ziehen kan / gegen einander exprimiren. Z. E. Es ſey A HB ein halber Cireul und in demſelben PM auf dem Dia -Tab. I. Fig. 14. meter AB perpendicular. Setzet AB = a / AP = x / ſo iſt PB = a-x. Es ſey ferner PM = y / ſo iſt beſtaͤndig y2 = ax-xx (§. 195 Geom. & §. 126 Al - gebr.). Derowegen drucket dieſe Gleichung die Re - lation aus / welche die Linie PM zu AP in allen Punc - ten der Peripherie AHB hat. Und darumb nennet man ſie die Erklaͤhrung des Cireuls. Gleichwie nun aber alles / was von der Sache erkandt werden kan / aus ihrer Erklaͤhrung hergeleitet wird (§. 27 Meth. Math.) ſo pfleget man auch aus dergleichen Glei - chungen durch die Algebra die Eigenſchaften der krum - men Linien herzuleiten.
185. Die Linie AX / welche alle gera - de Linien M M / die mit einander in - nerhalb einer krummen Linie parallel gezogen werden / in zwey gleiche Theile PM und PM theilet / wird der Diame - ter / und inſonderheit die Axe genen - net / wenn ſie mit eben den Linien einen rechten Winckel macht.
186. Die Linien MM werden die Or - dinaten; ihre Helften aber PM die Semiordinaten genennet.
187. Hingegen die Abſciße AP iſt das Stuͤcke des Diameters oder der Axe / welches die Ordinaten MM abſchnei - den.
188. Der Scheitel der krummen Li - nie iſt der Punct a / darinnen ſich die A - re AX endet.
189. Eine Algebraiſche Linie wird genennet / deren Natur durch eine Algebraiſche Æquation ſich erklaͤhren laͤſt.
190. Durch die Algebraiſchen Gleichungen ver - ſtehen wir diejenigen / die einerley Grad haben in allen Puncten der krummen Linie. Dergleichen iſt die Æquation des Circuls y2 = ax-x2. Es iſt aber wohl zu mercken / daß fuͤr eine krumme Linie oͤf - ters verſchiedene Æquationen gefunden werden / gleich wie man verſchiedene Erklaͤhrungen von ihnen geben kan / wenn ſie mehr als eine eigenthuͤmliche Ei - genſchaft haben. Z. E. Es ſey im Circul der halbe Diameter EC = r / PC = x / PM = y / ſo iſt die Æquation, welche die Natur des Circuls erklaͤhret a2 ‒ x2 = y2.
191: Man nennet insgemein mit dem des Cartes die Algebraiſchen Linien / Geometriſche Li - nien: allein wir ſind bey der Benennung desH 5Herrn122Anfangs-GruͤndeHerrn von Leibnitz geblieben / mit welchem auch der große Engellaͤndiſche Geometra Newton uͤberein - ſtimmet / welcher (in Arithm. Univ. p. 280.) wohl er - rinnert / daß nicht die Æquation Urſache ſey / war - umb man eine krumme Linie zu Aufloͤſung der Fragen in die Geometrie nehmen ſol / ſondern es ſolle viel - mehr darumb geſchehen / weil ſie ſich leicht beſchreiben laͤſt.
192. Eine Tranſcendentiſche Linie wird genennet / deren Natur durch kei - ne Algebraiſche Æquation ſich erklaͤh - ren laͤſt / unerachtet man ſie durch eine Tranſcendentiſche erklaͤhren kan.
193. Die Trauſcendentiſchen Æquationen ha - ben keinen deierminirten Grad / ſondern der Exponen - te in den Dignitaͤten der Glieder iſt veraͤnderlich. Dieſe hat der Herr von Leibnitz zuerſt eingefuͤh - ret.
194. Jnsgemein nennet man die Trauſcendenti - ſchen Linien Mechaniſche Linien abermals mit dem des Cartes, und wirft ſolchergeſtalt viel Linien aus der Geometrie / die ſich leicht beſchreiben laßen: wel - ches wir mit den beyden groͤſten Geometris unſerer Zeiten / dem Herrn von Leibnitz und dem Herrn Newton mit Recht mißbilligen / weil man zur Aufloͤ - ſung einer Aufgabe diejenige Linie fuͤr anderen erweh - len ſol / die ſich leichte beſchreiben laͤſt.
195. Alle Algebraiſche Linien werden zu einem Geſchlechte gerechnet / da dieGlie -123der Algebra. Glieder der Æquationen auf gleiche Di - menſionen ſteigen. Da nun die Æqua - tion fuͤr eine gerade Linie allein eine Di - menſion haben kan; ſo nennet man eine Linte von dem erſten Geſchlechte / wenn die Glieder der Æquation zwey Dimenſionen haben: ſind derſelben drey / ſo iſt es eine Linie von dem an - dern Geſchlechte: ſind ihrer viere / ei - ne Linie von dem dritten Geſchlechte u. ſ. w.
196. Die Æquation fuͤr den Eircul iſt y2 = ax - x2 / oder auch a2-x2 = y2. Demnach iſt der Circul eine Linie von dem erſten Geſchlechte. Wie - derumb wenn ax = y2 die Natur einer krummen Li - nie erklaͤhret; ſo iſt dieſelbe abermal eine Linie von dem erſten Geſchlechte. Hingegen wenn die Erklaͤh - rung der krummen Linie a2x = y3 iſt / ſo iſt ſie eine Linie von dem andern Geſchtechte.
197. Alle Algebraiſche Linien rechnen wir zu einer Familie / in deren Glei - chungen alle Glieder bis auf die Erpo - nenten der Dignitaͤten miteinander uͤ - berein kommen.
198. Demnach gehoͤren die krummen Linien / deren Natur durch die Gleichungen ax = y2 / a2x = y3 / a3 x = y4 erklaͤhret wird / zu einer Familie.
199. Die krummen Linien koͤnnen alle unter eine Gleichung gebracht werden / die zu einer Familie gehoͤren / wenn man nemlich fuͤr die determinirte Exponenten undetermi - nirte ſetzet.
200. Solchergeſtalt ſind alle krumme Linien / die ſich durch ax = y2 / a2x = y3 / a3x = y4 u. ſ. w. erklaͤhren laßen / unter dieſer Gleichung enthalten am. 〈…〉〈…〉x = ym. Jhr muͤſſet aber dergleichen Æ - quationen nicht mit den Tranſcendentiſchen verwir - ren. Denn unerachtet auch dieſe keine determinirte Exponenten haben / ſo ſind ſie doch darinnen unter - ſchieden / daß in einem jeden Puncte der krummen Li - nien eine beſondere Zahl in ihre Stelle geſetzt werden muß / dahingegen die gegenwaͤrtige Gleichungen ſich auf alle Puncte der krummen Linien ſchicken / die durch ſie erklaͤhret werden.
201. Solchergeſtalt koͤnnet ihr alle Algebraiſche Li - nien fuͤr eine groſſe Familie rechnen / die aus unendlich kleineren beſtehet / deren iede unendliche Geſchlechter hat. Denn weil in allen Gleichungen / dadurch die Natur der krummen Linien erklaͤhret wird / entweder eine gewiſſe Dignitaͤt der Abſciſſe und Ordinate bloß durch bekandte Groͤſſen / oder zugleich verſchiedene Diantitaͤten derſelben in einander / oder auch fuͤr eini - ge Glieder lauter bekandte Groͤßen[in]einander multi - pliciret werden / alle Gleichungen aber ſich auf o re - ſolviren / wenn man alle Glieder auf eine Seite ſetzet (als an ſtat ax = y2 koͤnnet ihr ſagen y2-ax = o); ſo wird eine General-Æquation fuͤr alle Algebraiſche Linien ſeyn aym + b xn + cycxſ + f = o. Manſetzet125der Algebra. ſetzet uͤberall das Zeichen + / weil die Zeichen auf gar viel Arten veraͤndert werden koͤnnen.
202. Dieſe Eintheilung der Linien in ihre Ge - ſchlechter und Familien hat ihren Nutzen: und dienet die letztere ſonderlich dazu / daß wir dasjenige / was vielen Linien gemein iſt / auf einmal erkennen. Die erſtere Eintheilung iſt zu dem Ende aufgebracht wor - den / daß man eine Wahl der Linien anſtellen koͤnte / wenn man einige zu Aufloͤſung einer Aufgabe ausſu - chen ſol: wovon ich an ſeinem Orte reden wil.
203. Unter dem krummen Linien ſind ſonderlich diejenigen fuͤr anderen beruͤhmt / welche aus geſchick - ter Zerſchneidung eines Kegels oder Coni entſtehen / und daher von den Alten Sectiones Conicæ oder Kegelſchnitte genennet worden. Denn weil die Alten ſie nebſt dem Circul allein in die Geometrie nah - men; haben ſie auch viel von ihren Eigenſchaften ge - ſchrieben / und die neueren haben noch ein mehreres dazu geſunden. Derowegen wollen auch wir ihre vornehmſte Eigenſchaften durch Algebraiſche Rech - nungen unterſuchen / wiewol wir ſie anfangs nicht als Kegelſchnitte betrachten wollen / ſondern ſie durch Æ - quationen erklaͤhren. Es ſind aber dieſer Linien drey / nemlich die Parabola, die Ellipſis und die Hyperbola. Mercket aber hier einmal fuͤr alle mal daß wir beſtaͤndig die Abſciſſe x und die halbe Ordina - te y nennen wollen.
202. Die PARABOLA iſt eine Linie in welcher ax = y2 / das iſt / in welcher das Qvadrat der halben Ordinate dem Re - ctangulo aus der Abſciße in eine beſtaͤn -dige126Anfangs-Gruͤndedige Linie gleich iſt / die der Parameter genennet wird.
205. Derowegen iſt in der Parabel a = y2: x / das iſt / der Parameter iſt die dritte Proportional-Linie zu einer jeden Aſciße und der ihr zugehoͤrigen halben Ordinate.
206. Es iſt ferner V a x = y / das iſt / die halbe Ordinate iſt die mittlere Proportio - nal-Linie zwiſchen dem Parameter und der ihr zugehoͤrigen Abſciſſe.
207. Solchergeſtalt koͤnnet ihr eine Pa - rabel beſchreiben / wenn euch ihr Parameter gegeben wird. Denn es ſey AB der gegebe - ne Parameter. Richter in B eine Perpen - dicular-Linie BC auf. Setzet den Zirckel nach Belieben auf der Linie AD ein / thut ihn auf bis A und beſchreibet die Bogen I1 / II2 / III3 u. ſ. w. ſo ſind B1 / B2 / B3 &c. die mittlere Proportional-Linien zwiſchen AB und BI / BII / BIII &c. (§. 195 Geom.). Derowegen da AB der Parameter iſt / ſo ſind BI / BII / BIII &c. die Abſcißen / hingegen B1 / B2 / B3 &c. die halben Ordinaten. Wenn ihr nun durch I / II / III / &c. Linien mit BC parallel ziehet / und aus I in 1 / 2 / 3 &c. die Linien B1 / B2 / B3 &c. traget; ſo koͤnnet ihr durch die Puncte 1. 2. 3. &c. die Parabel beſchreiben.
208. Jhr koͤnnet auch in einer jeden Pa - rabel einen verlangten Punct Geometriſch determiniren. Z. E. Jhr wolltet wißen / ob M recht in der Parabel ſey. Laſſet aus M in P ein Perpendicul fallen / und traget aus P in A den Parameter. Werfet uͤber BA ei - nen halben Circul / wenn er durch den Punct M gehet / ſo iſt er in der Parabel (§. 195 Geom. & §. 206 Algebr.).
209. Endlich iſt x = y2: a / das iſt / die Abſciße iſt die dritte Proportional-Linie zu dem Parameter und der halben Ordinate.
210. Die erklaͤhrete Parabel (welche man die Apolloniſche zu nennen pfleget / weil A - pollonius Pergæus unter den Alten viel von ihr geſchrieben) iſt eine Linie von dem erſten Geſchlechte (§. 195).
211. Wenn ihr demnach a2 x = y3 / a3x = y4 / a4x = y5 &c. ſetzet / ſo habet ihr Parabeln von dem andern / dritten / vierdten &c. Ge - ſchlechte. Und daher erklaͤhret am-1 x = ym eine gantze Familie unendlicher Geſchlech - ter der Parabeln / in welchen allen a = m-1 V (ym: x) / y = 〈…〉 am-1 x / und x = ym: am. �
212. Jhr koͤntet auch ſetzen ax2 = y3 / ax2 = y4 u. ſ. w unendlich fort / oder uͤberhaupt axm-1 = ym. So kaͤme eine neue Familie unendlicher Ge - ſchlechter von krummen Linien heraus / welche von ei - nigen Semiparabolæ genennet werden. Wolltet ihr die Familien der halben Parabeln und die vorige der Parabeln unter eine Gemeinſchaft bringen / ſo doͤrftet ihr nur ſetzen an xr = ym / unter welcher zugleich noch viele andere begriffen waͤren als a2 x〈…〉〈…〉 = y5. Ei - nige nennen die Parabeln von den hoͤheren Geſchlech - tern auch Paraboloides, ingleichen Paraboliformes. Ei - ne allgemeine Methode alle Paraboloides zu beſchrei - ben hat Bartholomæus Intieri gegeben in Aditu ad nova arcana Gemetrica detegenda (Beneventi 1703 in 4) epiſt. 1. p. 3 & ſeqq. die ihr auch in den Leipziger Actis 1704. p. 272 findet. Sie hat aber dieſe Be - ſchweerlichkeit / daß keine von den hoͤheren beſchrieben werden kan / man habe denn vorhero alle niedrigeren beſchrieben.
213. Der Brenn-Punct (Focus) iſt der Punct in der Axe / wo der Para - meter die Ordinate abgiebet.
214. Die Diſtantz des Brenn-Punc - tes F von der Scheitel zu finden.
Es ſey AF = x / der Parameter = a / ſo iſt FR = ½ a (§. 214) / folgends ¼a2 = ax ¼ a = x
Jn der Parabel iſt die Diſtantz desTab. II. Fig. 17. Brenn-Punctes F von der Scheitel A dem vierdten Theile des Parameters gleich.
215. Die Verhaͤltnis zu finden / wel - che die Ordinaten gegen einandeꝛ haben.
Es ſey der Parameter = a / AP = x / Ap = v / PM = y / pm = z / ſo iſt y2 = ax / und z2 = vx (§. 204) / folgends y2: z2 = ax: av = x: v (§. 130). Demnach iſt (PM) 2: (pm) 2 = AP: Ap.
Jn der Parabel verhalten ſich die Qvadrate der Ordinaten wie die Ab - ſciſſen.
216. Die Groͤſſe des Rectanguli aus der Summe zweyer halben Ordinaten PM + pm in ihre Differentz mR zufin - den.
| PM + pm = V av + V ax | §. 215 |
| mR = V av — Vax |
(PM + pm) mR = av — ax = a, v-x
Das Rectangulum aus der Summe(4) Jzweyer130Anfangs-Gruͤndezweyer halben Ordinaten in ihre Dif - ferentz iſt gleich dem Rectangulo aus dem Parameter in die Differentz der zu gehoͤrigen Abſciſſen.
217. Derowegen verhaͤlt ſich der Para - meter zu der Summe zweyer halben Ordi - naten / wie ihre Differentz zu der Differentz der Abſciſſen.
218. Die groͤſſe des Rectanguli aus der halben Ordinate in die Abſciſſe zufin - den.
Weil PM = Vax: ſo iſt PM. AP =〈…〉〈…〉 Vax = Vax3 (§. 65) = V x2y2.
Jn der Parabel verhaͤlt ſich das Qvadrat der halben Ordinate zu dem Rectangulo aus der Abſciſſe in die hal - be Ordinate / wie dieſes Rectangulum zu dem Qvadrate der Abſciſſe.
219. Die Verhaͤltnis der Sehnen A M und Am zufinden / welche aus der Scheite der Parabel A gegen das En - de der Ordinate M gezogen werden.
Weil (pm) 2 = ax / (ap) 2 = x2 ſo iſt(am) 2131der Algebra. (am) 2 = ax + x2 (§. 167 Geom.). Wie - derumb wenn ihr Ap = v ſetzet; ſo iſt (Am) 2 = av + v2. Derowegen iſt (am) 2: (Am) 2 = ax + x2: av + v2 = a + x, x: a + v, v
Die Qvadrate der Sehnen AM und Am verhalten ſich in der Parabel wie die Rectangula aus den Abſciſſen in die Aggregate der Abſciſſen und des Pa - rameters.
220. Die Groͤſſe der Linie FM zufin -Tab. II. Fig. 17. den / die aus dem Brenn-Puncte an das Ende einer Ordinate M gezogen wird.
Es ſey der Parameter = a / AP = x / ſo iſt AF = ¼ a (§. 214) / PF = x ‒ ¼ a, fol - gends (PF) 2 = x2 ‒ ½ ax + ¼ a2 (PM) 2 = ax (§. 204) (FM) 2 = x2 + ½ ax + ¼ a2 (§. 167 Geom.) FM = x + ¼ a
Die gerade Linie FM / welche aus dem Brenn-Puncte F einer Parabel gegen das Ende ihrer Ordinate M ge -J 2zogen132Anfangs-Gruͤndezogen wird iſt gleich der Summe aus der Abſciſſe und der Diſtantz des Brenn - Punctes von der Scheitel.
221. Wenn ihr den vierdten Theil des Parameters aus A in F und in f tra - get / durch AX ſo viel Parallel-Linien MM ziehet / als euch gefaͤllet und aus F mit der Weite Pf die Puncte M bey derſeits abſchnei - det; ſo koͤnnet ihr abermals eine Parabel beſchreiben.
222. Jhr koͤnnet auch dieſes durch die Bewegung verrichten. Den nehmet wie vorhin auf der Axe Af = AF = ¼ a. Be - feſtiget in A ein Lineal DB der geſtalt / daß es in f mit fx einen rechten Winckel macht. Nehmet einen Stab EC und befeſtiget an ſeinem einen Ende E einen Faden / der ihm gleich iſt: das andere Ende aber des Fa - dens bindet an einen Nagel / den ihr im Brenn-Puncte F eingeſchlagen. Wenn ihr einen Stift an den Stab EC haltet und ihn an dem Lineale DB verſchiebet; ſo wird ſich die Parabel beſchreiben. Denn es iſt beſtaͤndig FM = AP + Af = x + ¼ a und daher M ein Punct in der Parabel (§. 220).
223. Auf ebenmaͤßige Art koͤnnet ihr die Eigen - ſchaften der Parabeln von hoͤheren Geſchlechten un -ter -133der Algebra. terſuchen. Wollet ihr aber diejeaigen haben / wel -Tab. II. Fig. 17. che allen Parabeln gemein ſind / ſo doͤrfet ihr nur die allgemeine Æquation fuͤr ihre gantze Familie an - nehmen. Denn weil am-1 x = ym, ſo iſt auch am-1 v = zm / folgends (PM) m: (Pm) m = AP: Ap. Wiederumb weil PM + pm = 〈…〉 am-1 x + 〈…〉 am-1 v, mR = 〈…〉 a2m 2v - 〈…〉 am-1 x; ſo iſt (PM + pm) mR = 〈…〉 a2m2 v — 〈…〉 a2m-2 x2. Weil FR = ½ a / ſo iſt am: 2m = am-1 x / folgends x = a: 2m = AF.
224. Die ellipsis iſt eine krummeTab. II. Fig. 19. Linie / in welcher ſich verhaͤlt das Qva - drat ihrer halben Ordinate PM zu dem Rectangulo aus den Theilen der Axe AP und PB / wie die Axe AB zu einer un - veraͤnderlichen Linie / die ihr Para - meter genennet wird; das iſt / wenn ihr AB = a / den Parameter = b / PM = y und AP = x ſetzet / in welcher ay2 = abx — bx2.
225. Derowegen iſt y2 = bx ‒ bx2: a / das iſt / das Qvadrat der halben Ordinate iſt gleich einem Rectangulo aus der Abſciſſe in den Parameter / weniger ein Rectangu - lum aus eben dieſer Abſciſſe in die vierdteJ 3Pro -134Anfangs-GruͤndeProportional-Linie zu der Axe / dem Para - meter und der Abſciſſe.
226. Weil ay2 = abx ‒ bx2 / ſo iſt bx2:, bx ‒ y2 — a
Demnach koͤnnet ihr in einer Ellipſi aus dem gegebenen Parameter der Abſciſſe und hal - ben Ordinate die Axe folgender geſtalt fin - den. 1. Suchet zu AB = b / AC = AE = yTab. II. Fig. 20. die dritte Proportional-Linie EF = y2: b. 2 Traget aus A in L die Abſciſſe x / ſo iſt DL = x ‒ y2: b = bx ‒ y2,: b. 3. Machet DF = x / und ſuchet zu DL und DF = L M die dritte Proportional-Linie FG = bx2:, bx ‒ y2. Dieſe iſt die verlangete Axe.
227. Wiederumb weil ayy ≡ abx — bxx / ſo iſt b = ayy:, ax — x2 / und da - her koͤnnet ihr in einer gegebenen Ellipſi den Parameter wie vorhin die Axe finden.
228. Weil yy = (abx — bxx): a / ſo iſt y = V (abx — bxx,: a). Derowegen wenn euch die Axe und der Parameter ge - geben werden / koͤnnet ihr fuͤr jede Abſciſſe ihre gehoͤrige halbe Ordinate folgender ge - ſtalt finden. Suchet zu der Axe AB (=Tab. II. Fig. 21. a) dem Parameter AC (= b) und der Ab -ſciſſe135der Algebra. ſciſſe (— x) die vierdte Proportional-Linie CE (= bx: a) und zwiſchen dieſer und EF (= a ‒ x) die mittlere Proportional-Linie (EG (= V (abx ‒ bx2,: a). Dieſe iſt die verlangete halbe Ordinate.
229. Die Diſtantz des Brenn-Pun - ctes von der Scheitel AF zufinden.
Es ſey AB = a / der Parameter = b / afTab. II. Fig. 19. = x / ſo iſt FR = ½ b (§. 213) / und ¼ ab2 = abx ‒ bxx (§. 224). x2 ‒ ax = — ¼ ab x2 ‒ ax + ¼ a2 = ¼ a2 ‒ ¼ ab $$\frac {3}{2}$$ a ‒ x = V (¼ a2 ‒ ¼ ab) ¼ a ‒ V (¼ a2 ‒ ¼ ab) = x:
Traget aus A in C ¼ AB = ¼ a und ausTab. II. Fig. 22. B in D den Parameter b / ſo iſt DA = a〈…〉〈…〉 b / und die mittlere Proportional-Linie zwiſchen DA und AC = V (¼ a2 ‒ ab¼). Traget aus C in F die Linie EA / ſo iſt F der Brenn - Punct / denn AF = ½ a — V (¼ a2 — ¼ ab).
230. Allſo iſt die Diſtantz des Brenn - Punctes von dem Mittelpuncte C = V (¼ aa ‒ ¼ ab) / das iſt die mittlere Proportional - Linie zwiſchen ½ a und a-b.
231. Die Perpendicular-Linie DC / welche die groͤſſere Axe AB in zwey glei - che Theile theilet / iſt die halbe kleine Axe.
232. Aus dem gegebenen Parameter und der groſſen Axe AB die kleine Axe CD zufinden.
Es ſey der Parameter = b / AB = a / CD = ¼ z ſo iſt ¼ z2: ¼ a2 = a: b (§. 224) z2 = ab z = V ab
Die kleine Axe in der Ellipſi iſt die mittlere Proportional-Linie zwiſchen der groſſen und dem Parameter.
233. Derowegen iſt der Parameter die dritte Proportional-Linie zu der groſſen und kleinen Axe.
234. Wenn die Diſtantz des Brenn -Tab. II. Fig. 19. Punctes von der Scheitel AF = x iſt / ſo iſt ax ‒ xx = ¼ ab (§. 229). Derowegen iſt das Rectangulum aus der Diſtantz des Brenn-Punctes von der Scheitel AF in ihr Eomplement zur groſſen Axe FB dem vierd - ten Theile des Rectanguli aus der groſſen Axe in den Parameter gleich.
235. Die Verhaͤltnis zufinden / wel -Tab. II. Fig. 19. che die halben Ordinaten PM und pm in der Ellipſi gegen einander haben.
Es ſey AB = a / der Parameter = b / AP = x / PM = y / Ap = z / pm = v / ſo iſt
| yy = bx ‒ bx2: a | (§. 224) |
| v2 = bz ‒ bz2: a |
Derowegen iſt y2: v2 = bx ‒ bx2: abz ‒ bz2 = ax ‒ x2: az ‒ z2 = (a ‒ x) x: (a - z): z / das iſt / (PM) 2: (pm) 2 = PB. AP: pB: Ap.
Jn der Ellipſi verhalten ſich die Qvaͤ - drate der halben Ordinaten wie die Re - ctangula aus den Theilen der Axe.
236. Derowegen iſt auch (DC) 2: (PM) 2=138Anfangs-Gruͤnde= (CB) 2: AP. PB / folgends (DC) 2: (CB) 2 = (PM) 2: AP. PB (§. 130) / das iſt / das Qva - drat der halben kleinen Axe verhaͤlt ſich zum Qvadrate der halben groſſen / wie das Qva - drat der halben Ordinate zu dem Rectangu - lo aus den Theilen der groſſen Axe.
237. Setzet demnach CP = x / ſo iſt AP = ½ a — x / PB = ½ a + x / folgends ¼ ab: ¼ a2 = y2: a2 ‒ x2. Derowegen iſt ¼ a2 y2 = ¼ a3 b-abx2 y2 = ab ‒ bx2: a Allſo habet ihr noch eine andere Æquation, welche die Natur der Ellipſis erklaͤhret.
238. Die Groͤße der Linie zu deter - miniren / welche aus dem Brenn-Punc - te f an das Ende D der kleinen Axe gezo - gen wird.
Es ſey der Parameter = b / AB = a / ſo iſt (fC) 2 = ¼ aa ‒ ¼ ab (§. 230) und (DC) 2 = ¼ ab (§. 231). folgends (fD) 2 = ¼ a2 (§. Geom.). Dannenhero FD = ½ a = DB.
239. Wenn euch die kleine und große Axe gegeben werden / koͤnnet ihr die Brenn-Pun - cte F und f gar leicht finden. Denn theiletdie139der Algebra. die groſſe Axe AB in zwey gleiche Theile in C / und richtet aus C die halbe kleine Axe CD perpendicular auf / ſo koͤnnet ihr aus D mit der halben groſſen Axe AB die Brenn-Pun - cte determiniren.
240. Die Groͤſſe der geraden LinienTab. II. Fig. 19. FM und fm zu finden / welche aus bey den Brenn-Puncten F und f an das Ende M einer Semiordinate PM gezogen wer - den.
Es ſey alles wie vorhin / nur FC = fC = c ſo iſt PC = ½ a-x / pf = c + ½ a-x / PF = c-½ a + x / (PF) 2 = cc-ac + 2cx + ¼ aa-ax + xx / (Pf) 2 = cc + ac ‒ 2cx + ¼ aa ‒ ax + xx. Nun iſt (§. 236).
(BC) 2: (DC) 2 = AP. PB: (PM) 2 das iſt / ¼ a2: ¼ a2-c2 = ax ‒ x2: (PM) 2 Solchergeſtalt iſt (PM) 2 = ax-xx-4ccx: a+4ccxx: aa (PF) 2 = cc ‒ ac + 2cx + ¼ aa-ax + xx (FM) 2 = cc-ac + 2cx + ¼a2-4c2 x: a+4c2 x2: a2 FM = ½ a-c + 2c x: a Wiederumb (PM) 2 = ax-xx-4ccx: a+4ccxx: aa (Pf) 2 = cc + ac ‒ 2cx + ¼ aa-ax + xx. fM140Anfangs-Gruͤnde(fM) 2 = c2 + ac ‒ 2cx + ¼ a2 ‒ 4c2 x: a+4c2x2: a2 fM = ½ a + c-2cx: a FM = ½ a + c + 2cx: a fM + FM = a = AB
Jn der Ellipſi ſind die beyden Linien fM und FM / welche aus den Brenn - Puncten F und f an einen Punct M in der Peripherie gezogen werden / zuſam - men genommen der großen Axe AB gleich.
241. Daher koͤnnet ihr gar leicht aus der gegebenen großen und kleinen Axe die Elli - pſin beſchreiben. Denn ſuchet die Brenn - Puncte F und f / und ſchlaget in ihnen zwey Naͤgel ein. Bindet an die Naͤgel einen Faden FMf / der ſo lang iſt als die groſſe Axe AB. Dehnet den Faden mit einem Stifte aus / und fuͤhret den Stift an dem Faden her - umb / ſo wird die Ellipſis beſchrieben.
242. Auffer der Ellipſi des Apollonii / welche von dem erſten Geſchlechte iſt / koͤnnet ihr noch unzehlich viel andere von hoͤheren Geſchlechtern erdencken / wel - che alle unter der allgemeinen Æquation begriffen wer - den: aym+n = bxm (a-x) n. Es iſt nemlich in allen wie der Parameter zu der großen Axe / allſo die Dignitaͤt der halben Ordinate / deren Exponente den Exponenten der Dignitaͤten von den Theilen derAxe141der Algebra. Axe zuſammen gleich iſt / zu dem Producte aus dieſen Dignitaͤten. Z. E. Jn der Ellipſi von dem dritten Geſchlechte iſt b: a = y3: x2 (a-x) 1; in der El - lipſi von dem vierdten Geſchlechte b: a = y4: x2 (a - x) 2.
243. Wen die groſſe Axe der kleinen gleich wird / ſo wird aus der Ellipſi ein Circul. Denn alsdenn iſt ¼ ab = ¼ a2 (§. 232) und daher b = a / folgends an ſtat ay2 = abx ‒ bx2: a bekommet ihr ay2 = a2 x-ax2: a das iſt / y2 = ax-xx / welche Gleichung den Circul erklaͤhret. Wie man nun aber Ellipſes von hoͤheren Geſchlechtern hat / allſo giebet es auch Circul von hoͤhern Geſchlechtern / wenn ihr nemlich ſetzet (AP) m: (PM) m = PM: PB / das iſt / xm: ym = y: a-x. Allſo iſt die Gleichung fuͤr unendliche Cir - cul axm ‒ xm+1 = ym+1 Z. E. Wenn m = 1 / ſo iſt ax-x2 = y2 fuͤr den Circul des erſten Geſchlechtes; iſt m = 4 / ſo iſt ax4-x5 = y5 die Gleichung fuͤr den Circul von dem vierdten Ge - ſchlechte.
244 Die Hyperbel iſt eine krumme Linie in welcher ay2 = abx + bxx / das iſt / wie eine unveraͤnderliche Linie a / welche die Zwerch-Axe (Axis trans - verſus) genennet wird / zu einer anderen unveraͤnderlichen Linie / die ihr Para - meter heiſſet / ſo das Qvadrat der Se - miordinate zu dem Rectangulo aus der Summe der Abſciſſe und Zwerch-Axe in die Abſciſſe.
Zu -142Anfangs-Gruͤnde245. Derowegen iſt y2 = bx + b2: a / b = a y2: (a x+xx) / a = abx + bxx,: y2 u. ſ. w. wie in der Ellipſi, nur daß ihr das Zeichen + an ſtat des Zeichens — habet.
246. Weil die Æquation der Hyper - bel mit der Æquation fuͤr die Ellipſin uͤbereinkommet / ſo nennet man auch hier die mittlere Proportional-Linie zwi - ſchen der Zwerch-Axe und dem Parame - ter die kleine Axe.
247. Wenn ihr die Axe der Hyperbel AX uͤber ihre Scheitel A verlaͤngert / und AB der Zwerch-Axe gleich machet / ſo heiſſet der Punct C / durch welchen AB in zwey gleiche Theile getheilet wird / der Mittelpunct.
248. Aus dem gegebenen Parameter und der Zwerch-Axe AB die Diſtantz des Brenn-Punctes F von der Scheitel A zu finden.
Es ſey der Parameter = b / AB = a ſo iſt FM = ½ b (§. 213) und (§. 244) b: a = ¼ bb: ax + xx ¼ abb = ab x + bxx b¼ aa143der Algebra. ¼aa + ¼ ab = ¼ aa + ax + xx V (¼ aa + ¼ ab) = ½ a + x V (¼ aa + ¼ ab) ‒ ½ a = x
Jhr koͤnnet allſo x wie im 229 §. finden.
249. Allſo iſt die Diſtantz des Brenn - Punctes von dem Mittelpancte FC = V (¼ a a + ¼ab).
250. Weil ax + xx = ¼ ab / und ax + xx = AF. FB / hingegen ¼ ab = (CE) 2 (§. 246); ſo iſt AF. FB = (CE) 2.
251. Die Verhaͤltnis zu finden / welcheTab. II. Fig. 23. die Semiordinaten PM und pm gegen einander haben.
Es ſey die Zwerch-Axe AB = a der Pa - rameter = b / AP = x / PM = y Ap = v / p m = z / ſo iſt y2: z2 = (bx+bxx: a): (bv+b v2: a) = ax+xx: av+vv = a+x, x: a + v, v das iſt / (PM) 2: (pm) 2 = PB. AP: pB. Ap.
Die Qvadrate der Semiordinaten verhalten ſich wie die Rectangula aus den Abſcißen und der Zwerch Axe.
252. Die Verhaͤltnis zu finden / welchedas144Anfangs-Gruͤndedas Qvadrat der Zwerch-Axe zu dem Qvadrate der kleinen Axe hat.
Das Qvadrat der Zwerch-Axe iſt aa / der kleinen Axe aber ab (§. 246). Allſo verhaͤlt ſich jenes zu dieſem wie aa zu ab / das iſt / wie a zu b (§. 130).
253. Weil b: a = (PM) 2: AP. PB / (§. 244) ſo iſt auch das Qvadrat der kleinen Axe zu dem Qvadrate der Zwerch-Axe wie das Qvadrat der Semiordinate zu dem Re - ctangulo aus der Abſciſſe in die Summe aus der Abſciſſe und der Zwerch-Axe.
254. Es ſeyn zwey Hyperbeln von glei - cher Groͤſſe / die allſo einen Parameter / eine Zwerch-Axe und kleine Axe haben / einander entgegen geſetzet in der Weite ihrer Zwerch-Axe AB. Ziehet aus bey - der Brennpuncte f und F gegen einen Punct einer Hyperbel M zwey gerade Linien fm und FM. Jhr ſollet ihre Groͤſſe finden.
Es ſey alles wie vorhin / nur FC = fC = c / ſo iſt AF = c ‒ ½ a / Af = c + ½ a / PF = x-c + ½ a / Pf = c + ½ a + x / (PF) 2 = xx-2cx + cc + a x ‒ ac + ¼ aa / (Pf) 2 = cc + ac + ¼ aa + 2cx + ax + xx. Nun iſt §. 250 (CE) 2 = cc ‒ ¼ aa (AC) 2; (CE) 2 = AP. PB: (PM) 2das145der Algebra. das iſt / ¼ aa: cc ‒ ¼aa = ax + xx: (PM) 2 Demnach iſt (PM) 2 = ‒ ax-xx + 4c2x: a + 4ccxx: a2 (PF) 2 = xx ‒ 2cx + cc + ax ‒ ac + ¼ aa (FM) 2 = cc ‒ 2cx ‒ ac + ¼ aa + 4c2x: a + 4c2 x2: a2 FM = c ‒ ½ a + 2cx: a Wiederumb (PM) 2 = ‒ ax ‒ x2 + 4c2 x: a + 4c2 x2: a2 (Pf) 2 = cc + ac + ¼ aa + 2c x + x + a x + xx (fM) 2 = cc + ac + ¼ a2 + 2cx + 4c2 x: a + 4c2 x2: a2 fM = c x + ½ a + 2cx: a FM = c ‒ ½ a + 2cx: a fM ‒ FM = a = AB.
255. Hieraus fließet eine Methode die Hyperbel zu beſchreiben. Nemlich auf ei - ne gerade Linie ZX traget die Zwerch-Axe A B und aus A in F / ingleichen aus B in f die Diſtantz des Brennpunctes von der Schei - tel (§. 248). Schlaget in F und f Naͤgel ein. Bindet an den Nagel F einen Faden FMC und mit ſeinem anderen Ende an das Ende eines Linials fC / welches umb die Zwerch-A - xe AB laͤnger als der Faden iſt. Haͤnget das Lineal mit dem anderen Ende an den Nagel in f. Druͤcket den Faden mit einem(4) KStif -146Anfangs-GruͤndeStifte an das Lineal und ſchiebet es fort / ſo wird er die Hyperbel beſchreiben.
256. Wie die Parabel / Hyperbel und Ellipſis auf vielerley Weiſe beſchrieben werden kan / lehret Franciſcus à Schooten in Tractatu de Organica Coni - carum Sectionum in plano deſcriptione, Lugd. Bat. 1646. in 4.
257. Wenn ihr die kleine Axe DE an die Scheitel der Hyperbel A rechtwinck - licht ſetzet und aus dem Mittelpuncte C durch ihre beyden Ende D und E die ge - raden Linien CG und CF ziehet; ſo werden dieſelben die Aſymptoten ge - nennet.
258. Wenn die Ordinate Mm bey - derſeits biß an die Aſymptoten in R und r verlaͤngert wird / die Verhaͤltnis der Theile RM und rm zu finden.
Weil ſo wol Ad (§. 257) als PR (§. 185) mit CP einen rechten Winckel macht; ſo iſt DE mit PR parallel (§. 92 Geom.) fol - gends (§. 177 Geom.) CA: AD = CP: PR und CA: AE = cP: Pr / das iſt / weil DA = AE (§. 257) / CP: PR = cP: Pr / das iſt / CP: cP = PR: Pr (§. 130). Da nuncP147der Algebra. cP = CP / ſo iſt PR = Pr folgends weil PM = pm RM = rm.
Wenn die Ordinaten der Hyperbel biß an ihre Aſymptoten verlaͤngert wer - den / ſo ſind die Theile zu beyden Sei - ten zwiſchen den Aſymptoten und der Hyperbel einander gleich.
259. Den Unterſcheid zwiſchen den Qvadraten PM und PR zufinden.
Weil CA: DA = CP: PR (§. 177 Geo - metr. ) und DA = V ¼ ab (§. 146) / CP = ½ a + x / ſo findet ihr PR = (½ a V ¼ ab + x V ¼ ab): ½ a = V ¼ ab + 2x V ¼ ab: a. Derowegen iſt (PR) = ¼ ab + bx + bxx: a (PM) 2 = bx + bxx: a (§. 244). (PR) 2 - (PM) 2 = ¼ ab = (DA) 2.
260. Wenn ihr ſetzet / daß die Hyperbel mit ihrer Aſymptote zuſammen ſtoſſe / ſo faͤl - let der Punct R auf M und iſt (PR) 2 = (PM) 2 / folgends (PR) 2 ‒ (PM) 2 = o.
K 2Allein148Anfangs-GruͤndeAllein (PR) 2 ‒ (PM) 2 = (DA) 2. Dar - umb iſt (DA) 2 = o. Da nun dieſes un - gereimt iſt / ſchlieſſet man daraus daß die Aſymptote mit der Hyperbel niemals zu - ſammen kommen kan.
261. Die Groͤſſe des Rectanguli aus MR in Mr zufinden.
Es ſey PR = c / MR = y / ſo iſt MR = c ‒ y / mR = y + c / folgends MR. mR = c2 ‒ y2 = (PR) 2 ‒ (PM) 2.
Das Rectangulum aus MR in mR iſt gleich der Differentz der Qvadrate von PR und PM.
262. Weil (PR) 2 ‒ (PM) 2 = (DA) 2 (§. 259) / ſo iſt mR. MR = (DA) 2.
263. Derowegen da die Ordinate MM immer zu nimmet / muß MR immer kleiner werden: folgends die Aſymptote der Hy - perbel immer naͤher kommen.
264. Wenn QM und ſm mit der einen Aſymptote Cr / hingegen qm und SMmit149der Algebra. mit der anderen OQ parallel gezogen wird / die Verhaͤltnis der Rectangulo - rum aus QM in MS und qm in ms zufin - den.
Es ſey RM = mr = a / Rm = rM = b / MQ = v mq = z. Nun iſt (§. 177 Geom.)
RM: MQ = Rm: mſ a: v = b: (bv: a) rm: mq = rM: MS a: z = b: (bz: a)
Derowegen iſt MQ. MS = bvz: a und mq. mſ = bvz: a / folgends MQ. MS = mq. mſ.
Die Rectangula aus MQ in MS und mq in mſ ſind einander gleich.
265. Es ſeyn AB und BC die Aſympto -Tab. II. Fig. 20. ten einer Hyperbel. Setzet BD = DE = a / PM = y / BP = x / ſo iſt xy = aa die Æquation, welche die Natur der Hyperbel zwiſchen ihren Aſymptoten erklaͤhret.
266. Alſo iſt die Æquation fuͤr unendli - che Hyperpeln am+n = xmym.
267. Eben ſo koͤnnet ihr eine Æquation fuͤr un - endliche Hyperbeln in Anſehung der Axe findenK 3ay150Anfangs-Gruͤndeaym+n = bxm (a + x) n / deren Beſchreibung In - tieri in aditu ad nova arcana Geometrica detegen - da lehret pag. 36. & ſeq. Es iſt aber zu mercken / daß nach ſeiner Methode die Hyperbeln von einem hoͤheren Geſchlechte niemals beſchrieben werden koͤn - nen / man habe denn zuvor alle niedrigeren beſchrie - ben.
268. Wenn ihr wie vorhin BD = DE = a / BF = b / FP = x / PM = y ſetzet / ſo iſt AP = b + x / folgends a2 = by + xy / wel - che Æquation gleichfals die Natur der Hy - perbeln zwiſchen ihren Aſymptoten erklaͤh - ret.
268. Jch habe bißher die vornehmſten Eigen - ſchaften der beruͤhmteſten Algebraiſchen Linien erklaͤh - ret / und werdet ihr noch viel andere durch die Dif - ferential - und Jntegral-Rechnung finden. Damit ich aber auch etwas von den Mechaniſchen beybringe / ſo wil ich gleichfals nur von den beruͤhmteſten Mel - dung thun. Es ſind aber ſelbige die Spiral-Linie des Archimedis, die Conchoides des Nicomedis, die Ciſſoides des Dioclis, die Cyclois, die Logarith - mica, die Quadratrix, welche alle die neueren Geo - metræ unendlich vermehret und noch viel andere da - zu gefunden haben.
269. Wenn eine gerade Linie AC ſich umb einen feſten Punct A beweget / und in der Zeit ein Punct von C und A der - geſtalt fortlaͤuft / wie wol mit gleicher Geſchwindigkeit / daß er in A kommet /wenn151der Algebra. wenn die Linie CA den gantzen Circul beſchrieben; ſo beſchreibet der Punct die Spiral-Linie C. 1. 2. 3. 4. 5. A.
270. Es iſt alſo beſtaͤndig / wie der Bo - gen AI zu der gantzen Peripherie; ſo die Linie CI / zu CA.
271. Es ſey demnach AC = a / die Peri - pherie = b / der Bogen AI = x / Ii = y / ſo iſt C1 = a ‒ y / folgends x: b = a ‒ y: a (§. 270) und daher (wenn ihr x fuͤr die Abſciſſe / 11 fuͤr die Semiordinate annehmet) ax = ab ‒ by die Æquation, welche die Natur der Spiral-Linie erklaͤhret.
272. Wenn ihr aber C1 = y ſetzet und das uͤbrige wie vorhin behaltet / ſo erklaͤhret ax = by (§. 270) die Natur der Spiral - Linie.
273. Daher erklaͤhret an xm = bn ym die Natur unendlicher Spiral-Linien.
274. Jhr doͤrfet nicht meinen / als wenn die Spi - ral-Linien Algebraiſche Linien waͤren. Denn die Gleichungen / welche ſie erklaͤhren / ſind nicht voͤllig Algebraiſch / maſſen in den Algebraiſchen Gleichungen die Abſciſſe x und Semiordinate y zwey gerade Li - nie ſeyn ſollen / in dieſen aber iſt x ein Circul-Bogen.
275. Gleich wie ihr in der Archimediſchen Spi - ral-Linie die Circul-Bogen zu den Abſciſſen anneh - met; ſo koͤnnet ihr auch auf gleiche Weiſe alle Bogen von allen andern Algebraiſchen Linien zu Abſciſſen an - nehmen und unendliche andere Arten der Spiral-Li - nien erdencken: dergleichen Arbeit hat Varignon ruͤhmlich verrichtet in den Memoires de l’ Academie Royale des Sciences A. 1704 p. m. 91. 181.
276. Es ſey eine gerade Linie AB / welche mitten in E von einer anderen de rechtwincklicht durchſchnitten wird. Ziehet aus D durch AB ſo viel gerade Li - nien als ihr wollet / und machet uͤberall ec = EC. Die Linie / welche durch alle Puncte c gehet / iſt die CONCHOI - DES.
277. Weil eC mit AB immer einen ſchieferen Winckel macht / je weiter ſie von EC wegkommet; ſo muß die Conchoides der geraden Linie AB im̃er naͤher kommen.
278. Doch weil CE niemals zu einem Pun - cte werden kan / ſondern vielmehr immer ei - nerley Laͤnge behaͤlt / ſo koͤnnen auch die Pun - cte C und e niemals zufammen ſtoſſen / fol - gends kan die Conchoides niemals mit der Linie AB zuſammen kommen. Und allſo iſt AB ihre Aſymptote.
279. Wenn ihr an ſtat DE krumme Linien ſetzet / ſo werdet ihr noch andere Arten bekommen. Ja ihr koͤnnet auch ſetzen daß / an ſtat CE = ec / AE. EC = De. ec. Solcher geſtalt habet ihr / wenn Ed = a / Ec = b / De = x / ec = y iſt / ab = xy. Und ſo waͤre fuͤr unendliche dergleichen Linien ambm = xm ym.
280. Ziehet die zwey Diameters einesTab. III. Fig. 29. Circuls AD und CD. die einander recht - wincklicht durchſchneiden. Nehmet in beyden Qvadranten BD und CB glei - che Bogen Be und Cf. Ziehet aus den Puncten e und f perpendicular-Linien / ei und fi auf den Diameter CD. Leget an D und die Puncte f nach einander ein Lineal und mercket die Puncte h / da - rinnen die Linien le durchſchnitten wer - den. Die Linie / welche durch die Pun - cte h gehet / heiſſet CISSOIDES.
281. Weil DI: IF = DG: GH (§. 177 Geom.) und DI = GC / IF = GE (§. 114. Geom. §. 2. Trigon. ); ſo iſt auch GC: GE = DG: GH.
282. Theilet einen Qvadranten ei -Tab. III. Fig. 30. nes Circuls ABC in ſo viel gleiche TheileK 5als154Anfangs-Gruͤndeals euch beliebet. Jn eben ſo viel Thei - le theilet den halben Diameter AB in I. II. III. u. ſ. w. Richtet aus dieſen Pun - cten Perpendicular-Linien auf / und zie - het aus dem Mittelpuncte C in die Theilungs-Puncte des Bogens die Li - nien B1 / B2 / B3 u. ſ. w. welche die perpen - dicular-Linien in a. b. c. d. e. durch - ſchneiden. Die krumme Linie / welche durch die Puncte a. b. c &c. gehet / wird QVADRATRIX genennet.
283. Derowegen iſt allzeit wie der gantze Bogen AC zu dem Bogen C4 / ſo AB zu BIV oder df. Es ſey AC = b / AB = a / C4 = x / BIV = y / ſo iſt ax = by.
284. Theilet eine Linie AB in lauter gleiche Theile / und richtet aus den Thei - lungs-Puncten 1. 2. 3. 4 ꝛc. Perpendicu - lar-Linien auf 1I / 2II / 3III / 4IV &c. die in einer Geometriſchen Proportion zuneh - men. Die krumme Linie / welche durch die Puncte I. II. III. IV &c. gehet / wird die Logarithmiſche genennet.
285. Es wird dieſe Linie die Logarithmiſche ge - nennet / weil die Semiordinaten 1I / 2II / 3III &c. ſich wie die Zahlen / die Abſciſſen A1 / A2 / A3 &c. aber wie ihre zugehoͤrige Logarithmi verhalten. Es koͤn - nen aber noch andere Arten der Logarithmiſchen Liniener -155der Algebra. erdacht werden. Hugenius hat zu Ende ſeines Di - ſcurſes ſur la preſanteur verſchiedene Eigenſchafften dieſer Linie beſchrieben / welche Guido Grandus in ei - nem beſonderen Buche demonſtriret / welches er unter dem Titul Geometrica Demonſtratio Theorema - tum Hugenianorum circa Logiſticam ſeu Logari - thmicam Lineam zu Florentz 1701 in 4. herausgegebẽ. Man hat auch noch eine andere LogarithmiſcheTab. III. Fig. 32. Spiral-Linie erfunden / da der Qvadrant AB in gleiche Theile getheilet wird / und aus dem Mittel - puncte C gegen die Theilungs-Puncte des Bogens die Radii, CI, CII, CIII &c. gezogen / von ihnen a - ber in Geometriſcher Proportion die Linien C1. C2. C3 &c. abgeſchnitten werden / durch deren Ende 1 2. 3 &c. die verlangte Linie gehet.
286. Wenn ſich ein Circul X auf einerTab. IV. Fig. 33. Linie AC fort beweget / bis er ſich gantz uͤberworfe hat / ſo beſchreibet der Punct a die Linie ABC / welche CYCLOIS oder die Rade-Linie genennet wird.
287. Es iſt allſo die Linie AC der Peri - pherie des Circuls und uͤberhaupt eine jede Semiordinate PM dem Bogen Ma gleich. Denn die gerade Linie AD iſt dem Bogen Pd / und daher der uͤbrige Bogen Pb / folgends auch der Bogen BM der Linie dD gleich. Nun iſt oD = ML (§. 91 Geom.) = PN (§. 114 Geom. §. 2. Trig.). Derowegen da NM = dO / ſo iſt auch PN + MN = do + O D / das iſt PM = dD. Folgends iſt dieSe -156Anfangs-GruͤndeSemiordinate PM dem Bogen Pb / oder ih - rer Abſciſſe BM gleich.
288. Jhr koͤnnet ſich auch einen Circul auf krum - men Linien wie vorhin auf einer geraden bewegen laſ - ſen / ſo bekommet ihr noch unzehlich viel andere Ar - ten der krummen Linien.
289. Bisher habe ich die leichteſten Regeln der Algebra von den niedrigſten Æquationen erklaͤhret / und auf allerhand Aufgaben appliciret. Nun wil ich die uͤbrigen vornehmen / welche man in Aufloͤſung der hoͤhern Æquationen vonnoͤthen hat.
290. Die Wurtzel iſt der Werth der unbekandten Groͤſſe in einer Æqua - tion. Und iſt es eine wahre Wurtzel / wenn ſie das Zeichen + hat / Z. E. wenn x = + 3; hingegen eine falſche Wurtzel / wenn ſie das Zeichen-hat. Z. E. wenn x = -3.
291. Die Natur der Æquationen und ihre vornehmſte Eigenſchaften zu un - terſuchen.
Es ſey x = 2 _ _ x = a x = ‒ 3 _ _ x = ‒ b x = 4 _ _ x = c ſo iſt x ‒ 2 = 0 _ _ x ‒ a = 0 x + 3 = 0 _ _ x + b = 0 x ‒ 4 = 0 _ _ x ‒ c = 0 x ‒ 2 = 0 _ _ x ‒ a = 0 x + 3 = 0 x + b = 0 + 3 x ‒ 6 _ _ x2 ‒ 2x _ _ x2 + bx ‒ ab = 0 - ax x2 + x ‒ 6 = 0 _ _ x ‒ c = 0 x ‒ 4 = 0 _ _ ‒ 4x2 ‒ 4x + 24 _ _ x3 + bx2 ‒ abx ‒ abc = 0 〈…〉 ‒ ax2 ‒ bcx ‒ cx2 + acx
Wenn ihr dieſe Gleichungen (die ihr nach Belieben auf hoͤhere Grade erhoͤhen koͤnnet) betrachtet; ſo werdet ihr mit dem Harriot und Carteſio wahrnehmen /
292. Der erſte und andere Satz laͤſſet ſich gar leicht aus der Art / wie die Gleichungen entſtehen / de - monſtriren / ſo daß ich es fuͤr unnoͤthig achte / den Be -weiß159der Algebra. weiß hieher zu ſetzen. Allein den dritten / welchen Harriot zuerſt durch vielen Verſuch gefunden / hat zur Zeit noch keiner uͤberhaupt erweiſen koͤnnen / daher ihn auch Reynault aus ſeiner Analyſe demonſtré gar weg gelaſſen / weil er prædentiret die Regeln der Al - gebra zu demonſtriren.
293. Jhr boͤrfet euch nicht wundern / daß eine eini - ge Æquation ſo gar verſchiedene Wurtzeln haben kan. Denn es iſt zu wiſſen / datz eine einige Aufgabe oͤfters verſchiedene Faͤlle haben kan / und wir in jedem Falle auf einerley Gleichung verfallen. Doch weil unter - weilen einige Faͤlle unmoͤglich werden / ſo muß auch die Æquation unmoͤgliche Wurtzeln haben. Wie viel aber in jedem Falle unmoͤgliche Wurtzeln ſind / hat zwar Newton in ſeiner Arithmetica Univerſali p. 242. zu zeigen einiger maſſen ſich bemuͤhet; doch weil weder die Regel allgemein iſt / noch auch er die De - monſtration hinzu ſetzet / ſo wollen wir uns damit nicht aufhalten / zumal da man ſie auch in den Leipzi - ger Actis A. 1708. p. 522. 523 findet.
294. Die Wurtzel einer gegebenen Gleichung umb eine gegebene Groͤſſe zu vermehren oder zu vermindern / uner - achtet man ſie noch nicht erkandt hat.
Es ſey die gegebene Æquation x3 ‒ 6x2 + 13x ‒ 10 = 0. Jhr ſollet die Wurtzel umb 3 vermehren. Setzet x + 3 = y So iſt x = y ‒ 3 x2 = y2 ‒ 6y + 9x3160Anfangs-Gruͤndex3 = y3 ‒ 9y2 + 27y ‒ 27 ‒ 6x2 = ‒ 6y2 + 36y ‒ 54 + 13x = _ _ + 13y ‒ 39 -10 = _ _ ‒ 10 y3 ‒ 15y2 + 76y ‒ 130 = 0
Eine neue Gleichung / darinnen y = x + 3.
Wenn ihr in der Gleichung die Wurtzel umb 3 vermindern ſollet / ſo ſetzet y ‒ 3 = x y = x+ 3 y2 = x2 + 6 x + 9 y3 = x3 + 9x + 27 x + 27 ‒ 15y2 = + 15x2 ‒ 90x ‒ 135 + 76y = _ _ +76x + 228 ‒ 130 = _ _ ‒ 130 x3 ‒ 6x2 + 13 x ‒ 10 = 0
Eine neue Gltichung / darinnen x — y ‒ 2.
295. Die Wurtzel in einer Gleichung durch eine gegebene Groͤſſe zu multipli - ciren.
Jhr ſollet in der Æquation x3 + px2 + qx ‒ r = 0 die Wurtzel durch a multipliciren. Setzetax161der Algabra. ax = y ſo iſt x = y: a x2 = y2: a2 x3 = y3: a3 ‒ px2 = ‒ py2: a2 + qx = + qy: a ‒ r = - r y3 ‒ a3 py2: a2 + qy: a ‒ r = 0 a3 y3 ‒ apy2 + a2qy-r = 0 / Eine neue Gleichung / in welcher y = ax.
296. Hieraus erhellet / daß ihr nur die vorgegebene Æquation durch eine Geome - triſche Progreßion multipliciren doͤrfet / de - ren erſtes Glied 1 / der Exponente aber die jenige Zahl iſt / durch welche die Wurtzel multipliciret werden ſol. Z. E. Es ſol in der Gleichung x4 + 4x3 ‒ 19 x2 ‒ 106 x ‒ 120 = 0 die Wurtzel durch 2 multipliciret wer - den: ſo verfahret allſo.
x4 + 4x3 ‒ 19x2 ‒ 106x ‒ 120 = 0 1 2 4 8 16 y4 + 8y3 ‒ 76y2 ‒ 848y ‒ 1920 = 0 eine Gleichung / darinnen y = 2x.
Wiederumb es ſol in der Gleichung x4 + q(4) Lx2162Anfangs-Gruͤndex2 ‒ rx-ſ = 0 die Wurtzel durch c multi - pliciret werden. Verfahret allſo x4 * + qx2 — rx — ſ = 0 1 c c2 _ _ c3 _ _ c4 y4 * + c2 qx2 ‒ c3 rx ‒ c4ſ — 0 / eine neue Gleichung / darinnen y = cx.
297. Der Stern wird jederzeit in die Stelle der Glieder geſetzet / welche fehlen.
298. Die Wurtzel in einer gegebenen Æquation durch eine gegebene Groͤſſe zu dividiren.
Es ſey die gegebene Gleichung x3 ‒ px2 + qx ‒ r = 0. Die Wurtzel ſol durch a di - vidiret werden. Setzet x: a = y ſo iſt x = ay x2 = a2 y2 x3 = a3 y3 - px2 = ‒ a2 py2 + qx = + aqy ‒ r = ‒ r a3 y3 ‒ a2 py2 + a qy ‒ r = 0 / a3y163der Algebra. y3 ‒ py2: a + qy: a2 ‒ r: a3 = 0 / Eine neue Gleichung / in welcher y = x: a.
299. Hieraus erhellet / daß ihr die vorge - gebene Gleichung nur durch eine Geometri - ſche Progreßion dividiren doͤrfet / deren erſtes Glied 1 / der Exponente aber die jenige Groͤſ - ſe iſt / wodurch die Diviſion geſchehen ſol. Z. E. die Wurtzel von x4 + 8 x3 ‒ 76x2 ‒ 848 x — 1920 = 0 ſol durch 2 dividiret werden. Verfahret alſo: x4 + 8x3 ‒ 76x2 ‒ 848x ‒ 1920 = 0 1 _ _ 2 _ _ 4 _ _ 8 _ _ 16 y4 + 4y3 ‒ 19y2 ‒ 106y -120 = 0 /
Eine neue Gleichung / darinnen y = ½ x. Wiederumb es ſol die Wurtzel von x3 ‒ 36x ‒ 54 = 0 durch 3 dividiret werden. Ver - fahret alſo: x3 * ‒ 36 x ‒ 54 = 0 1 3 9 27 y3 ‒ 4y ‒ 2 = 0 / eine neue Gleichung / darinnen y = ⅓ x.
300. Eine Æquation, darinnen einige Glieder fehlen / vollſtaͤndig zumachen.
Vermehret die Wurtzel umb ſo viel alsL 2ihr164Anfangs-Gruͤndeihr wollet oder vermindert ſie (§. 294): ſo iſt geſchehen / was man verlangete.
Z. E. Es ſey x3 * ‒ 23x ‒ 70 = 0. Setzet x + 1 = y ſo iſt x = y-1 x2 = y2 ‒ 2y + 1 x3 = y3 ‒ 3y2 + 3y-1 ‒ 23x = ‒ 23y + 23 ‒ 70 = _ _ ‒ 70 y3 ‒ 3y2 ‒ 20y ‒ 48 = 0
Eine neue Gleichung / darinnen kein Glied fehlet und y = x + 1
301. Aus einer gegebenen Æquation das andere Glied weg zu ſchaffen.
Wenn das andere Glied das Zeichen + hat / ſo vermehret; hat es aber das Zei - chen ‒ / ſo vermindert die Wurtzel (§. 294) durch den Qvotienten / der heraus kommet / ſo man die bekandte Groͤſſe des andern Glie - des durch den Exponenten des erſten dividi - ret.
Z. E. Jhr ſollet aus der Gleichung x3 ‒ 8 x2 ‒ x + 8 = 0 das andere Glied wegnehmen. Setzet x ‒ 8: 3 =[9]ſo iſt x = y + 8: 3 x2 = y2 + 16y: 3 + 64: 9x3165der Algebra. x3 = y3 + 8y2 + 192y: 9+ 512: 27 ‒ 8x2 = ‒ 8 y2 ‒ 128y: 3 ‒ 512: 9 ‒ x = _ _ ‒ y _ _ ‒ 8: 3 + 8 = _ _ + 8 y3* ‒ 67y: 3 ‒ 880: 27 = 0 Eine neue Gleichung / darinnen das andere Glied fehlet und y = x ‒ 8: 3.
302. Wenn ihr alſo aus einer Qvadra - tiſchen Æquation das andere Glied weg - nehmet; koͤnnet ihr ſolche noch auf eine ande - re Art / als vorhin geſchehen / aufloͤſen. Z. E. Es ſey x2 ‒ 8x + 15 = 0. Setzet x ‒ 4 = y / ſo iſt x = y + 4 x2 = y2 + 8y + 16 ‒ 8 x = ‒ 8y ‒ 32 + 15 = _ _ + 15 y2 ‒ 1 = 0 y = 1 folgends x = 1 + 4 = 5.
303. Aus einer gegebenen Æquation die Bruͤche wegzuſchaffen.
Multipliciret die Wurtzel durch das Pro - duct aus den Nennern aller vorkommenden Bruͤche / oder eine Zahl / durch welche ſichL 3die166Anfangs-Gruͤndedie Nenner dividiren laſſen. So iſt geſchehen / was man verlangete.
y3 * ‒ 67: 3y ‒ 880: 27 = 0 1 3 _ _ 9 _ _ 27 x3 ‒ 201 x ‒ 880 = 0 /
Eine neue Gleichung / in welcher x = 3y x3 ‒ ⅔ x2 + ¾ x ‒ 64 = 0 1 12 144 1728 y3 ‒ 8 y2 + 108y ‒ 110592 = 0
Eine neue Gleichung / in welcher y = 12 x.
304. Aus einer gegebenen Æquation die Jrrational-Groͤſſen abzuſchaffen.
Multipliciret die Wurtzel durch die Jr - rational-Groͤſſe / ſo weggenommen werden ſol (§. 296).
x4 + 2 ax3 V 2 + 8 abx2 ‒ a3 x V 8 ‒ 2a2 b2 = 0 1 V 2 _ _ 2 V8 _ _ 4 y4 + 4ay3 + 16 aby2 ‒ 8a3y ‒ 8 a2b2 = 0 / eine neue Gleichung darinnen y = x V 2.
305. Wenn hoͤhere Jrrational-Groͤſſen vorkom - men / muͤſſet ihr die Wurtzel der Æquation nicht durch die Groͤſſe die ihr wegſchaffen ſollet / ſondern durch eine andere / die umb einen Grad niedriger iſt /mul -167der Algebra. multipliciren: wie ihr aus beygefuͤgtem Exempel erſehet.
x3 ‒ ax2 〈…〉 2 + ab x 〈…〉 32 ‒ aab = 0 1 41: 3 _ _ 161: 3 ‒ 4 y3 ‒ 2ay2 + 8aby ‒ 4aab = 0 /
Eine neue Gleichung / die gantz rational iſt und de - ren Wurtzel y = 41: 3 x.
306. Unterweilen koͤnnen die Jrrational-Groͤſſen auch durch das dividiren weggeſchaffet werden / wie aus folgenden Exempel zu erſehen: x3 ‒ 21: 3 ax2 + (32) 1: 3 abx ‒ a2 b ≡ 0 1 21: 3 41: 3 2 y3 ‒ ay2 + 2aby ‒ 2aab = 0 /
Eine neue Gleichung / die gantz rational iſt und de - ren Wurtzel y = x 121: 3
Allein keine von beyden Methoden iſt zulaͤnglich alle vorkommende Gleichungen gantz rational zuma - chen.
307. Alles / was bißher von den Æquationen ge - lehret worden / iſt zu dem Ende geſchehen / damit wir ſie voͤllig aufloͤſen / das iſt / den Werth der unbekand - ten Groͤſſe ſo wol Geometriſch / als in Zahlen fin - den koͤnten; welches nun in folgendem gezeiget wer - den ſol.
308. Alle Rational-Wurtzeln / die in einer gegebenen Æquation enthalten ſind / zufinden.
L 4Auf -168Anfangs-GruͤndeJhr doͤrfet auch nur die Zahlen / in welche das letzte Glied zerfaͤllet worden / nach einan - der in die Stelle vor x ſetzen: denn wenn durch dieſe Subſtitution die gantze Glei - chung zernichtet wird / ſo iſt die vor x geſetzte Zahl eine von ihren Rational-Wurtzeln (§. 291). Z. E. Es ſey x2 ‒ 6 x + 8 = 0. Dasletzte169der Algebra. letzte Glied 8 entſtehet / wenn ihr 2 durch 4 multipliciret. Setzet 4 = x ſo iſt 16 = x2 ‒ 24 = ‒ 6x + 8 = + 8 0 = 0
Solcher geſtalt iſt + 4 eine von den Rational - Wurtzeln.
309. Weil in der erſten Methode das viele dividi - ren beſchwerlich fallen wuͤrde / hat man dieſen Vor - theil ausgedacht. 1. Ziehet die Zahl / welche ihr ver - verſuchen wollet / von der bekandten Zahl des andern Gliedes ab / und was heraus kommet / multipliciret durch eben ſelbe Zahl. 2. das Produet ziehet von der bekandten Zahl in dem dritten Gliede ab / und was uͤberbleibet / multipliciret abermal durch mehr ge - dachte Zahl. 3. das neue Product ziehet von dem vierdten Gliede ab u. ſ. w. Wenn endlich bey dem letzten Gliede nichts uͤbrig bleibet / ſo iſt die verſuchte Zahl eine von den Rational-Wurtzeln. Z. E. Jhr ſuchet die Rational-Wurtzeln von x3 ‒ 3x2 ‒ 13x + 15 = 0. Das letzte Glied 10 laͤſſet ſich in 1. 3. 5. 15. zer - faͤllen. Wenn ihr verſuchen wollet / ob einige darun - ter von den Wurtzeln ſeyn; geſchiehet es ſolgender Geſtalt.
x3 ‒ 3x2 ‒ 13 x + 15 = 0 ‒ 1 + 2 + 15 ‒ 2 + 15 0 + 2 + 15L 5x3170Anfangs-Gruͤndex3 ‒ 3x2 ‒ 13x + 15 = 0 +3 ‒ 18 15 ‒ 6 5 0 — +3 — +3 ‒ 18 _ _ 15 x3 ‒ 3x2 ‒ 13 x + 15 = 0 ‒ 5 ‒ 10 + 15 + 2 ‒ 3 0 — -5 — -5 -10 + 15
Alſo iſt x-1 — 0 / x + 3 = 0 / x ‒ 5 = 0 / das iſt 1 und 5 ſind die beyden wahren Wurtzeln / 3 iſt die falſche.
310. Damit ihr aber ſehet / daß dieſer Vortheil aus der erſten Methode voͤllig genommen / und fuͤr keine beſondere zu halten ſey / wil ich das vorige E - xempel nach der gemeinen Art rechnen.
x-1) x3 ‒ 3x2 ‒ 13x + 15 0 (x2 ‒ 2x-15 x3 ‒ x2 ‒ 2x2 ‒ 13 x ‒ 2x2 + 2 x -15 x + 15 - 15x + 15 0 0
311. Die Schrancken zu finden / zwi -ſchen171der Algebra. ſchen welchen die Groͤſſe der Wurtzeln enthalten iſt.
Es ſey x3 ‒ qx + r = o / ſo iſt x2 + r = qx und demnach qx groͤſſer als r / folgends x groͤſſer als r: q. Wiederumb qx iſt groͤſſer als x3 / und daher q groͤſſer als x2 / folgends x kleiner als V q. Die Schrancken der Wurtzeln in gegenwaͤrtigem Falle ſind alſo r: q und V q.
Es ſey x3 + qx ‒ r = o / ſo iſt x3 + qx = r / und demnach qx kleiner als r / folgends x klei - ner als r: q. Wiederumb a iſt groͤſſer als x3 und daher x groͤſſer als r1: 3 / folgends xr2: 3 groͤſſer als x3 / und xr2: 3 + qx groͤſſer als r / endlich x groͤſſer als r: (r2: 3 + q). Alſo faͤl - let die Groͤſſe der Wurtzel zwiſchen r: q und r: (r2: 3 + q). Es ſey x3 ‒ px2 + qx ‒ r = o, ſo iſt x3 ‒ px2 = r-qx. Wenn nun x groͤſ - ſer als p / ſo iſt auch r groͤſſer als qx und dan - nenher r: q groͤſſer als x. Hingegen wenn p groͤſſer als x iſt / ſo iſt qx groͤſſer als r / und dannenhero auch q: r groͤſſer als x. De - rowegen fallen in beyden Faͤllen die Wur - tzeln zwiſchen p und r: q.
Es ſey x3 ‒ px2 ‒ qx + r = o / ſo iſt x3 + r = px2 + qx / folgends px2 + qx groͤſſer als r / und daher auch x2 + qx: p + qq: 4pp groͤſſer als r: p + qq: + pp / x + q: 2p groͤſſer als V (r: p + qq: 4pp) / endlich x groͤſſer als V (r: p+qq172Anfangs-Gruͤndeqq: 4pp) - q: 2p. Wiederumb px2 + qx iſt groͤſſer als x3 / dannenhero px + q groͤſſer als x2 / und q groͤſſer als x2 ‒ px / das iſt x2 ‒ px + ¼ pp kleiner als q + ¼ pp / x ‒ ½p kleiner als V (q + ¼pp) / endlich x kleiner als ½p + V (q + ¼ pp.). Die Schrancken alſo der Wurtzeln ſind V (r: p + qq: 4pp) ‒ q: 2p und V (q + ¼ pp).
Es ſey x4 ‒ qx2 ‒ rx ‒ s = o / ſo iſt x4 ‒ qx2 = rx + s. Demnach iſt x2 groͤſſer als q / weil ſich qx2 von x4 abziehen laͤſt / und x groͤſ - ſer als V q. Alſo iſt ferner xV q groͤſſer als qx. Wiederumb weil x4 ‒ rx = qx2 + ſ / ſo iſt x3 groͤſſer als r und x groͤſſer als r1: 3 / auch x3 r1: 3 groͤſſer als rx. Endlich da x4 ‒ s = qx2 rx / ſo iſt x4 groͤſſer als s / und x groͤſſer als s1: 4 / folgends x3s1: 4 groͤſſer als s. Weil nun x4 = qx2 + rx + s / ſo iſt x4 kleiner als x3 V qr1: 3 + x3 s1: 4 / und deswegen x klei - ner q1: 2 + r1: 3 + s1: 4. Die Schrancken der Wurtzel in gegenwaͤrtigem Falle ſind al - ſo V q oder r1: 3 und q1: 2 + r1: 3 + s1: 4.
Eben ſo wird in andern Faͤllen verfahren.
311. Damit ihr dir vorgeſchriebene Methode beſſer faſſen moͤget / wil ich ein Exempel in Zahlen anfuͤhren. Z. E. Es ſey x3 ‒ 3 x + 1 = 0 / ſo iſt q = 3 und r = 1 / folgends r: q ≡ 1: 3 und V q = V 3. Sol - cher maſſen ſind die Schrancken dieſer Gleichung ⅔ und V 3 / das iſt / die Wurtzel muß groͤſſer als ⅓ und kleiner als V 3 ſeyn.
312. Wenn ihr die Zahl wiſſet / welche groͤſſer als eure Wurtzel iſt / ſo werdet ihr nicht mit vergeblichen Zahlen (§. 308. 309. ) verſuchen / ob ſie unter die Rational-Wur - tzeln gehoͤren oder nicht.
313. Die Schrancken / zwiſchen wel - chen die Groͤße der Wurtzeln enthalten iſt / noch auf andere Art zu finden.
x5 ‒ 2x4 ‒ 10x3 + 30x2 + 63 x ‒ 120 = 0 5 4 3 2 1 05x5174Anfangs-Gruͤnde5x5 = 8x4 ‒ 30x3 + 60x2 + 63x = 0 x 5x4 ‒ 8x3 ‒ 30x2 + 60x + 63 = 0 4 3 2 1 0 20x4 ‒ 24x3 ‒ 60x2 + 60x = 0 x 20x3 ‒ 24x2 ‒ 60x + 60 = 0 3 2 1 0 60x3 ‒ 48x2 ‒ 60x = 0 x 60x2 ‒ 48x ‒ 60 = 0 2 1 0 120x2 ‒ 48x = 0 x 120x ‒ 48 = 0 2 5x ‒ 2 = 0
Verſuchet ob 1 ſich in die Stelle der Qvo - tienten von x ſetzen laſſe / ſolchergeſtalt daß eine Zahl mit + heraus kommet Jhr fin - det 5x ‒ 2 = +3 / aber 5xx ‒ 4x ‒ 5 = 5-4-5 = ‒ 4. Demnach iſt der Schrancken groͤſ - ſer als 1. Verſuchet es mit 2 / ſo habet ihr 5x ‒ 2 = + 8 5xx ‒ 4x ‒ 5 = + 7 5x3 ‒ 6xx ‒ 15x + 15 = +1 5x4 ‒ 8x3 ‒ 30xx + 60x + 63 = +79 x5 ‒ 2x4 ‒ 10x3 + 30x2 + 63x ‒ 120 = + 46.
Da175der Algebra.Da nun alle Zahlen 8. 7. 1. 79. 46 das Zei - chen + haben / ſo iſt 2 groͤſſer als alle wahre Wurtzeln.
Z. E. Wenn ihr in dem vorigen Falle mit 1 und 2 verſuchet / findet ihr nicht uͤberall Zah - len mit dem Zeichen +. Derowegen iſt der Schrancke der falſchen Wurtzeln groͤſſer als -2. Verſuchet es mit 3 / ſo kommet 5x + 2 = + 17 5xx + 4x ‒ 5 = + 40 5x3 + 6x2 ‒ 15x + 15 = + 159 5x4 + 8x3 ‒ 30x2 ‒ 90x + 63 = + 184 x5 + 2x4 ‒ 10x3 ‒ 30x2 + 63x + 120 = + 124 Alſo iſt -3 groͤſſer als eine jede falſche Wur - tzel.
314. Damit die Arbeit nicht zu weitlaͤuftig wird / doͤrffet ihr nur die Subſtitution anfangs in dem Qvotienten verſuchen / in welchem die falſchen Wur - tzeln die Oberhand zu haben ſcheinen. Denn wenn in dieſem Falle — heraus kommet / ſo ſehet ihr auf einmal / daß die Zahl / mit der ihr es verſuchet / ver - werflich iſt.
315. Newton in ſeiner Arithmetica univerſali (p. 250 & ſeqq. ) hat noch eine andere Methode / die aber weitlaͤuftiger iſt / und daher in der Ausuͤbung ver - drießlicher faͤllet.
316. Aus einer Cubiſchen Æquation die Wurtzeln zu finden.
Wenn aus den Cubiſchen Æquationen das andere Glied weggenommen wird / ſo bekommet ihr drey Faͤlle / nemlich x3 = + px + q x3 = - px + q x3 = + px ‒ q Damit ihr nun die Wurtzeln findet / ſo ſetzet x = y + z Dann iſt x3 = y3 + 3y2z + 3z2y + z3 px = py + pz y3 + 3y2z + 3z2y + z3 = py + pz + q im erſten Setzet 3y2z + 3z2y = py + pz (Falle. y + z ſo iſt 3yz = p z = p: 3y Es iſt y3 + z3 = q ferner das iſt y3 + p3: 27y3 = qy6177der Algebra. y6 + p3: 27 = qy3 y6 ‒ qy3 = p3: 27 ¼qq ¼qq (§. 79). y6 ‒ qy3 + ¼ qq = qq + $$\frac {1}{27}$$ p3 y3 ‒ ½ q = V (¼qq + $$\frac {1}{27}$$ p3) y = (½ q + V (¼ qq + $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3 Nun iſt z3 = q ‒ y3 das iſt z3 = ½q + V (¼qq - $$\frac {1}{27}$$ p3 z = (½ q + V (¼qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3
Demnach iſt y + z = (½ q-V (¼ qq - $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3 + (½ q + V (¼ qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3 die verlangte Wurtzel in dem erſten Falle.
Setzet fuͤr ‒ p nun ferner + p / ſo kommet die Wurtzel in dem anderen Falle (½ q + V (¼qq + $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3 + (½ q + V (¼ qq + $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3.
Endlich fuͤr + q nehmet ‒ q / ſo erhaltet ihr die Wurtzel in dem dritten Falle (‒ ½ q ‒ V (¼ qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3 + (‒ ½ q ‒ V (¼ qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3.
317. Dieſe Regeln werden insgemeinCardani Regeln genennet / weil er ſie zu erſt erfunden.
318. Damit aber ihr Gebrauch deutlich erhelle / ſo wil ich eines und das andere Exempel anfuͤhren. Es ſey x3 = * 6 x + 40. Weil p = 6 / q = 40 / und daher ⅓ q = 20 / ¼ qq = 400 / ⅓ p(4) M=178Anfangs-Gruͤnde= 2 / $$\frac {1}{27}$$ p3 = 8; ſo iſt vermoͤge der erſten Regel x = (20 ‒ V (400-8) 1: 3 + (20 + V (400-8)) 1: 3 = (20 ‒ V 392) 1: 3 + (20 + V 392) 1: 3 = (wenn die Cubic-Wurtzel beyderſeits wuͤrcklich aus - gezogen wird) 2 ‒ V 2 + 2 + V 2 = 4. Jſt dem - nach 4 eine wahre Wurtzel.
Es ſey x3 = * ‒ 3x + 36. Weil p = -3 / q = 36 / und daher ½ q = 18 / ¼ qq = 324 / ⅓ p = -1 / $$\frac {1}{27}$$ p3 = 1; ſo iſt vermoͤge der anderen Regel die Wurtzel (18 ‒ V (324 + 1)) 1: 3 + (18 + V (324 + 1)) 1: 3 = (wenn ihr die Cubic-Wurtzel beyderſeits wuͤrcklich ausziehet) 1½ ‒ V 3¼ + 1½ + V 3¼ =
Es ſey x3 = * 6x ‒ 40. Weil p = 6 / q = 40 / und daher ½ q = 20 / ¼ qq = 400 / ⅓ p = 2 / $$\frac {1}{27}$$ p3 = 8; ſo iſt vermoͤge der dritten Regel (‒ 20 ‒ V (400-8)) 1: 3 + (‒ 20 ‒ V (400 ‒ 8)) 1: 3 = (‒ 20 ‒ V 392)) 1: 3 + (‒ 20 ‒ V (392) 1: 3 = (wenn die Cubic-Wurtzel beyderſeits wuͤrck - lich ausgezogen wird) ‒ 2 - V 2 + V 2 ‒ 2 = ‒ 4. Demnach iſt 4 eine falſche Wurtzel der vorgegebenen Æquation.
Aus dieſen Exempeln erhellet zu gleich daß ¼ qq allzeit groͤſſer ſeyn muß im erſten und dritten Falle als $$\frac {1}{27}$$ p3.
319. Man hat zwar auf eine gleiche Art eine Re - gel fuͤr die Wurtzeln aus einer Æquation von dem vierdten Grade aus zuziehen gefunden; allein weil fie nicht ſonderlich gebraucht werden / ſo wil ich die Anfaͤnger damit nicht aufhalten / ſondern gehe viel - mehr fort und zeige wie man durch Naͤherung die Wurtzel finden kan / wenn eine Æquation keine Ra - tional-Wurtzel hat.
320. Aus einer Æquation durch Naͤ - herung die Wurtzel zu ſuchen.
Die gemeineſte Methode iſt dieſe / welche ich bald auf ein Exempel appliciren wil / da - mit ſie deſto deutlicher werde. Es ſey dem - nach aus x3 + 2xx - 23x - 70 = o die Wur - tzel durch Naͤherung zu ſuchen: das iſt / man ſol eine Zahl finden / die dem Werthe von x ſo nahe kommet als man verlanget.
Setzet demnach x3 + 2x2 = 23 x + 70 und 1 in die Stelle von x / ſo findet ihr 1 + 2 = 23 + 70. Derowegen habet ihr fuͤr x zu wenig angenommen. Setzet x = 10 / ſo iſt 1000 + 200 = 230 + 70. Derowegen iſt x zu groß angenommen. Setzet x = 5 ſo iſt 125 + 50 = 115 + 70. Derowegen iſt fuͤr x zu wenig genommen. Setzet x = 6 / ſo iſt 216 + 72 = 138 + 70 / und demnach x zu groß angenommen. Setzet x = 5.5 (= 5 $$\frac {5}{10}$$ ) ſo iſt 166375 + 60500 = 126500 + 7000 (denn 166375: 1000 + 6050: 100 = 1265: 10 + 70). Derowegen iſt 5.5 groͤſſer als x. Nehmet x = 5.2 / ſo habet ihr 140608 + 54080 = 119600 + 70000 / und alſo iſt 5. 2 noch zu groß. Stellet x = 5.1 / ſo iſt 132651 + 52020 = 117300 + 70000 / und demnach 5.1 zu wenig. Setzet x = 5. 15 / ſo habet ihr 136590875 + 53045000 =M 21184180Anfangs-Gruͤnde118450000 + 7000000 / und alſo iſt 5. 15 zu groß. Stellet x = 5. 14 / ſo habet ihr 135796744 + 79258800 = 141220000 + 70000000. Derowegen iſt 5. 14. noch zu groß. Setzet x = 5. 13 ſo iſt 13500 5697 + 52633800 = 117990000 + 70000000 / und demnach x groͤſſer als 5. 13. Wenn ihr nun nicht weiter gehen wollet / koͤnnet ihr entweder 5. $$\frac {13}{100}$$ oder 5. $$\frac {14}{100}$$ fuͤr die Wurtzel annehmen.
321. Unerachtet dieſe Methode gar leichte zube - greiffen iſt; ſo iſt ſie doch ſehr beſchweerlich aus zu uͤben / ſonderlich wenn x durch groſſe Zahlen multi - pliciret wird. Derowegen wil ich noch zeigen / wie man durch einen kuͤrtzeren Weg hierzu gelangen kan.
322. Aus einer jeden vorkommenden Æquation die Wurtzel zuziehen.
Es ſey xn. axn-1. bxn-2. cxn-3 dxn-4 exn-5 ꝛc .. R = o / in welcher Æquation R das letzte Glied iſt / ſo nichts unbekandtes in ſich enthaͤlt / a. b. c. d. e aber die bekandten Zahlen / durch welche die Glieder der Æqua - tion multipliciret ſind. Nehmet eine Zahl nach belieben an / die der Wurtzel ſo nahe kommet / ale moͤglich (wie wol dieſes nicht ſchlechter Dinges nothwendig iſt / ſondern nur zu Erleichterung der Rechnung dienet) und addiret dazu einen unbekandten Theiloder181der Algebra. oder ſubtrahiret ihn / nach dem die ange - nommene Zahl entweder kleiner oder groͤſſer iſt als die Wurtzel. Setzet nemlich m + y = x / ſo wird die gegebene Æquation in folgende verwandelt (m + y) n. a (m + y) n 1 b (m + y) n-2. c (m + y) n 3. d (m + y) n-4 das iſt / wenn ihr jedes Glied wuͤrcklich zu ſeiner gehoͤrigen Dignitaͤt erhebet (§. 87) / 〈…〉 M 3dm182Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 Weil ihr nicht die Wurtzel gantz gnau ver - verlanget / ſondern nur beynahe; ſo werffet die Glieder weg / in welchen eine Dignitaͤt von u zu finden / und behaltet nur + 1. mn -- n-o 〈…〉 das183der Algebra. das iſt / wenn ihr alles unter eine Benennung bringet / (nmn + n-1) amn - 1+ (n-2) bmn-2 + (n-3) cmn - 〈…〉 (n-4) dm n-4 &c. + R + mn 〈…〉 amn 〈…〉 bmn-2 〈…〉 bmn-3 + dmn -4: nmn-1 + (n-1) amn-2 + (n-2) bmn-3 + (n-3) cmn-4 + (n-4) dmn-5 &c. = (wenn ihr die Glieder von gleicher Art zu - ſammen bringet)
〈…〉
Wenn der Werth von y mit dem Zeichen + gefunden wird / ſo iſt er zu groß: wird er aber mit dem Zeichen-gefunden / ſo iſt er kleiner als er ſeyn ſol. Wenn nun die Wurtzel zu groß heraus koͤmmet; ſo nimmet man m et - was kleiner an / und ſuchet von neuem den Werth von y. Nachdem man oͤfters die Rechnung erneuret / koͤmmet man immer naͤher dem wahren Werthe der Wurtzel.
323. Wenn xn = R / ſo iſt y = 〈…〉 und 〈…〉
324. Durch dieſe Regel koͤnnet ihr aus al - len Jrational-Zahlen die Wurtzel ziehen. Es iſt aber dienlich / daß ihr vorher die allgemeine Regel in eine beſondere auf euren Fall verwandelt. Denn wenn n = 2 / ſo iſt y = 〈…〉 wenn n = 3 / ſo iſt y = 〈…〉 : wenn n -4 / ſo iſt y = 〈…〉 : wenn n = 5 / ſo iſt y = 〈…〉 &c. Jn allen Faͤllen iſt x = y + m.
Z. E. Es ſol aus 2 die Qvadrat-Wurtzel gezogen werden; ſo iſt R = 2.
Setzet m = 1 / ſo iſt R-m2,: 2m = 2-1,: 2 = ½ x = 1.0 + $$\frac {5}{10}$$ = 1.5
Setzet m = 1.5 / ſo iſt R-m2,: 2m = 200 - 225,: 30 = 0. 250 : 30 = 0.083 / x = 1.500 - 0.083 = 1.417.
Setzet m = 1.417 / ſo iſt R-m2,: 2m = 2. 000000-2007889,: 2834 = -0.02783 / x = 1. 417000-2783 = 1.414217.
Setzet m = 1.414217 / ſo iſt R-m2,: 2m ≡ 2. 000000000000-2000009723089,: 2. 828434 = - 0.00000 3437622 / x = 1414217000 -185der Algebra. 000000 -- 0.000003437622 = 1.414213562 378.
Wiederumb es ſol aus 3 die Qvadrat - Wurtzel gezogen werden. Dann iſt R = 3.
Setzet m = 2 / ſo iſt R-m2,: 2m = 3-4,: 4 = - ¼ / x ≡ 1-¾ = 1 $$\frac {7}{10}$$ = 1.7.
Setzet m = 1.7 / ſo iſt R-m2,: 2m = 300 - 289,: 34 = 0.032, x = 1.700 + 0.032 = 1732.
Setzet m = 1.732 / ſo iſt R-m2,: 2m = 30000000-2999824,: 3464 = 〈…〉 0.000050 / x = 1.732000 + 0.000050 = 1.732050 u. ſ. w. Jemehr ihr an den Werth von y Nullen anhaͤnget / ie mehr nim - met der Werth der Wurtzel zu; und obgleich die letzten Zahlen nicht zutreffen / ſo wird doch der Jrrthum in der folgenden Operation ſtets gehoben.
325. Wenn x2 - px = R / ſo iſt y = (R + m2 - pm): (2m-p). Wenn x2 + px = R / ſo iſt y ≡ (R-m2 - pm): (2m-p). Wenn x2 - px = - R, ſo iſt y = (R + m2 - pm): (p-2m). Z. E. Es ſey x2-5x = 31. Dann iſt R = 31 / p = 5.
Setzet m = 8 / ſo iſt R + m2 + pm,:, 2m — p = 31 - 64 + 40,:, 86 - 5 = 7: 11 = 0.6 / x = 8 + 0.6 = 8.6.
M 5Se -186Anfangs-GruͤndeSetzet m = 8.6 / ſo iſt R-m2 + pm,:, 2m-p = 3100-7396 + 7400,:, 17. 2-5.0 / x = 0. 04 : 12.2 = 0.0032.
x = 8.6000 + 0.0032 = 8.6032.
Setzet m = 8.6032 / ſo iſt R-m2 + pm,:, 2m-p = 31. 00000000-7401505024 + 4. 301600000, :, 172064 - 50000 = 0.0000 94976: 12.2064 = 0.000007808 / x = 8. 6000000000 + 0.0000077808 = 8.603277 808.
326. Wenn x3 + qx = R, ſo iſt y = R-m3 - qm,:. 3m2 + q. Eben ſo / wenn x3 + px2 + qx = R / iſt y = R-m3 + pm2 + qm,:, Rm + 3 m2 + 2pm.
327. Auf eine gleiche Weiſe koͤnnen fuͤr alle andere Æquationen Regeln hergeleitet werden / dadurch man aus ihnen die Wurtzeln ziehen kan. Nur iſt zu mercken / daß die Glieder / welche in der Æquation fehlen / auch in der Regel ausgelaſſen werden. Z. E. in der vorigen Gleichung x3 + qx = R fehlet px 2 / da nun mit p in der Regel das a uͤbereinkommet / ſo bleibet amn-1 aus dem Zehler und amn-2 aus dem Nenner weg. Es hat aber Edmundus Halley durch Veranlaſſung einiger Regeln des deLagny von Aus zie hung der Cubic - und fuͤnften Wurtzel noch andere Re - geln erfunden / durch welche ſich aus einer jeden Gleichung die Wurtzeln viel geſchwinder als durch al - le uͤbrige Methoden / ſo von andern erdacht worden / ausziehen laſſen: Derowegen wird es nuͤtzlich ſeyn /wenn187der Algebra. wenn ich dieſelbe aus unſerer General-Gleichung her - leite.
328. Setzet in der General-Æquation 〈…〉 r y2 u. ſ. w. ſo bekommet ihr p -- qy -- ′ ry2 -- ſy3 &c. -- R = o. Derowegen iſt p = -- qy -- ry2 -- ſy3 &c. -- R. Wenn ihr alſo den Werth von y nur beynahe verlanget / ſetzet p = qy / ſo iſt y = p: q. Weil aber dieſes noch zu viel fehlen wuͤrde; ſetzet p = -- qy -- ry 2; ſo iſt y = p: (q + ry) = (wenn ihr den vorigen Werth von y in die Stelle ſetzet) p: (q + y4 rp) = qp: (qq + rp). Demnach iſt x = m + y = m + pq: (qq + rp) / welches die Ratio - nal-Regel iſt / die Halley giebet / aus einer je - den unreinẽ Æquation die Wurtzel zu ziehen. Denn weil m der Wurtzel ſehr nahe koͤm - met / ſo iſt y ein ſehr kleiner Theil derſelben / und alſo ſind die Dignitaͤten von y in Anſe -hung188Anfangs-Gruͤndehung derer von m noch viel kleinerer / ie hoͤher ſie ſteigen / und koͤnnen dahero weggelaſſen werden / wo man aus Kleinigkeiten nichts machet.
329. Wenn ihr wie vorhin + p = qy + ry2 ſetzet / ſo iſt ¼ qq + p = ¼ qq + qy + ry2 / oder y2 + qy: r + ¼ qq: rr = (¼ qq + pr): r2 und daher y = (½ q .. V (¼ qq + pr)): r / folgends x = m + (½ q .. V (¼ qq + pr)): r, welches die Jrrational-Regel iſt / die Hal - ley giebet / aus einer jeden unreinen Æqua - tion die Wurtzel zu ziehen.
230. Wenn ihr die Rechnung von neuem anfanget / muͤſſet ihr fuͤr m den vorher gefundenen Werth von x annehmen / wie vorhin geſchehen (§. 324. 325.)
331. Damit ihr p / q und r finden koͤnnet / habet ihr das Taͤfelein noͤthig / welches zu Formirung der Po - tentzen §. 87. p. 49 gegeben worden: wie aus folgen - den Exempeln erhellen ſol. Es iſt aber zu mercken / daß m + y = x / wenn R und p einerley; hingegen m-y = x / wenn ſie verſchiedene Zeichen haben. O - der es iſt m + y = x / wenn p und r verſchiedene / und m-y = x / wenn ſie einerley Zeichen haben. Wenn p und r einerley Zeichen haben / ſo iſt y = (q½ - V¼ qq-pr)): r; wenn ſie aber verſchiedene Zeichen ha - den / ſo iſt y = (V (¼ qq + pr) + ½ q): r
332. Damit der Gebrauch dieſer Regel erhelle / ſo wil ich ein Exempel hinzu ſetzen. Es ſey x3 + 438x2 - 7825x-98508430 = 0.
1. Setzet m = 300 / ſo iſt
x3 = + 27000000 + 270000y + 900y2 + y3 + .. x2 = + 39420000 + 262800y + 438y2 - .. x = - 2347500 7825 y - R = - 34435930 das iſt - 34435930 + 524975y + 1338y2 = 0 oder - p + qy + ry 2 = 0
Da nun R und p einerley Zeichen / oder auch p und r verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt m kleiner als die geſuchte Wurtzel / und demnach x = m + y.
Setzet in die Regel y = p: (p + pr: q) die Wer - the von p = 34435930 und von q = 524975; ſo bekommet ihr 34435930: (524975 + 460752743 40: 524975) = 34435930: 612739 = 56.2 Derowegen iſt x = 300 + 56.2 = 356.2
2. Stellet nun von neuem m = 356 / ſo iſt vermoͤge des Dignitaͤten-Taͤfeleins (§. 87) x3 = + 45118016 + 380208y + 1068y2 + y3 + .. x2 = + 55570368 + 311856y + 438y2 - .. x = - 2785700 - 7825y - .. R = - 98508430 das iſt - 665746 + 684239y + 1506y2 = 6 oder - p + qy + ry2 ≡ 0Weil190Anfangs-GruͤndeWeil R und p einerley / p und r aber verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt abermal x = m + y. Se - tzet wie vorhin in der Regel y = p: (p + pr: q) die Werthe von p = 665746 / q = 684239 und r = 1506; ſo bekommet ihr y = 970894. Derowegen iſt x = 356.970894
Wollet ihr die Wurtzel noch gnauer haben / ſo koͤnnet ihr von neuem m = 356970894 ſtellen. Eben auf ſolche Art koͤnnet ihr durch die Jrrational - Regel die verlangte Wurtzel ſuchen. Denn
1. Setzet / wie vorhin m = 300 / ſo findet ihr abermal p = 34435930 / q = 52497 / r = 1338. Dieſe Werthe ſetzet in die Jrrational-Regel y = (V (¼ qq + pr) - ½ q): r / ſo bekommet ihr y = 57 und x = 357.
2. Stellet von neuem m = 357 / ſo iſt x = m + 357
x3 = + 45499293 - 382347 y + 1071y2 + y3 + -. x2 = + 55822662 - 312732y + 438y2 - .. x = — 2793525 + 7825y - R = — 98508830 das iſt + 20000 — 687254 y + 1509y2 = 0 oder + p — qy + ry2 = 0 Weil R und p verſchiedene / oder auch p und r ei - nerley Zeichen haben / ſo iſt m - y = x.
Wenn ihr nun die von neuem gefundenen Werthe von p. q und r in die Jrrational-Regel ſetzet; bekommet ihr y = (½ q - V (¼ qq - pr): r 02910318180. Derowegen iſt x = 356. 9708968182.
Es191der Algebra.Es ſey x3 - 17x2 + 54 x - 350 = 0.
Setzet m = 10 / folgends 10 + y = x / ſo iſt x3 = 1000 + 300y + 30y2 + y3 - 17x2 = - 1700 - 340y -. 17y2 + 54 x = + 540 + 54y - R = - 550.
das iſt / - 510 + 14y + 13y2 = o
oder - p + qy + ry = o
Weil R und p einerley / oder auch p und r verſchie - dene Zeichen haben / ſo iſt m zu kleine angenommen / und demnach m + y = x. Weil nun p und r verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt y = (V (¼ qq + pr) - ½ q): r = (V (49 + 6630) - 7): 13 = (V 6679 - 7): 13 = 5.7 / und alſo x = 100 + 57 = 15. 7.
Stellet nun ferner 15 = m / oder 15 + y = x ſo iſt
x3 = + 3375 + 675y + 45y2 + y3 - 17x2 = - 3825 - 510y - 17y2 + 54x = + 810 + 54y - R = - 350 + 10 + 219y + 28y2 = o + p + qy + ry2 = o
Weil p und R verſchiedene / p aber und r einerley Zeichen haben / ſo iſt die Wurtzel etwas zu groß an - genommen / und demnach m - y = x. Da aber p und r einerley Zeichen haben / ſo iſt y = (½ q - V (¼ qq - pr)): r = (109 ½ - V (11990¼ - 280)): 28 = (109½ - V 11710¼): 28 = 0. 045932. Derowegen x = 15 - y = 14. 954068.
333. Die Anfaͤnger haben ſich wohl in acht zu - nehmen / daß ſie ſich nicht mit den Decimal-Bruͤchen confundiren: welches ſie aber leicht vermeiden koͤn - nen / wenn ſie nur bedencken / daß ſie ſo viel Zahlen fuͤr die Decimal-Bruͤche rechnen muͤſſen / als ſie Nul - len bey der Diviſion angehaͤngt in der Rational-Re - gel / oder halb ſo viel / als ſie Nullen hinzugeſetzt bey Ausziehung der Qvadrat-Wurtzel in der Jrrational - Regel. Derowegen wenn in beyden Faͤllen weni - ger Zahlen nach geſchehener Diviſion oder Auszie - hung der Wurtzel heraus kommen / muͤſſen zur rech - ten ſo viel Nullen vorgeſetzt werden als Zahlen feh - len. Hingegen umb wie viel Zahlen der Decimal - Bruch durch die neue Operation vermehreter her - aus kommet; ſo viel Nullen muͤſſen der angenom - menen Wurtzel beygefuͤgt werden / ehe ihr den Werth von ihr abziehen / oder ihn zu ihr addiren koͤnnet.
334. Je oͤfters man die Rechnung von neuem anfaͤngt / je naͤher kommet man der wahren Wurtzel. Da man nun aber ſelten in ſo viel Zahlen ſie zu wiſſen verlangt / als in der anderen Operalion heraus kom - men: hat Halley noch eine Regel gegeben / wie man die in der andern Operation gefundene Wurtzel cor - rigiren kan / damit ſie der wahren naͤher komme und alſo nicht erſt die dritte anſtellen darf. Nemlich wenn + y iſt / muͤſſet ihr in Cubiſchen ½ m3: V (¼ qq + pr) / in Qvadrato-Ovadratiſchen Æqua - tionen (½ ſm3 + ½ m4): V (¼ qq + pr) u. ſ. w. addiren; hingegen wenn + y iſt / in dem erſten Falle ½ m3: V (¼ qq - pr) / im andern (½ ſm3 - ½ m4): V (¼ qq - pr) u. ſ. w. ſubtrahiren / damit der geſundene Werth von x der wahren Wurtzelnaͤher193der Algebra. naͤher komme. Wir wollen das Exempel behalten / welches Halley ſelbſt giebet / weil es als ein ſonder - bahres angefuͤhret wird von denjenigen / welche die Wurtzeln durch Naͤherungen aus den Gleichungen zu ſuchen ſich bemuͤhet. Es ſey nemlich x4 - 80 x3 + 1998 x2 - 14937x + 5000 = 0. Dividi - ret die Wurtzel durch 10 / damit die Operation nicht verdruͤßlich faͤllet. x4 - 80x3 + 1998x2 - 14937x + 5000 = 0 1 10 100 1000 10000 z4 - 8z3 + 169 $$\frac {40}{50}$$ z2 - 14 $$\frac {927}{1000}$$ z + 0.5 = 0
Umb die Bruͤche zu vermeiden / nehmet fuͤr dieſe Æquation an z4 - 8z3 + 20 z2 - 15 z + 0.5 oder 0.5 = - z4 + 8z3 - 20z2 + 15 z.
Setzet m = 1 / ſo iſt 1 + y = z - z4 = - 1 - 4y - 6y2 - 4y3 - y4 + 8z3 = + 8 + 24y + 24y2 + 8y3 - 20z2 = - 20 - 40y - 20y2 + 15z = + 10 + 15y - R = - 0.5 das iſt + 1.5 - 5y - 2y2 + 4y3 - y4 = 0 oder + p - qy - ry2 + ſy3 = 0
Weil R und p verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt m zu groß angenommen und daher m - y = o. Und weil p und r verſchiedene Zeichen haben; ſo iſt y = (V (¼ qq + pr) - ½ q): r = (V 37 - 5): 4 = (6.08 - 500): 4 =. 27 / und demnach z = 1.27.
Stellet nun von neuem 1.27 = m / ſo iſt - 26014. 4641-8193.532y-967.74y2-508y3-y[+](4) N+194Anfangs-Gruͤnde- 163870.640 + 38709. 60y + 3048y2 + 80y3 + 322257.42 - 50749. 2y - 1998y2 + 1896699.9 + 14937 y -5000 das iſt / + 298.6559 - 5296. 132y+82.26y2 + 29. 2y3 = o
oder + p - qy + ry2 + ſy3 = o Weil R (= 5000) und p verſchiedene Zeichen ha - ben / ſo iſt m - y = x / und da p und r einerley Zei - chen haben y = (½ q - V (¼ qq - pr)): r = (2648.066 - V (6987686.106022): 82.26 =. 05644080331 ----
Wollet ihr nun dieſen Werth corrigiren / ſo muͤſ - ſet ihr (½ ſm3 - ½ m4): V (¼ qq - pr) dazu ad - diren.
Nun iſt (½ ſm3 - ½ m4): V (¼ qq - pr) =. 0026201 .....: 2643. 432 ...... =. 000 00099117. Derowegen iſt y = 05644179 448 und z = 12.75644179448. Es iſt zu erinnern / daß / wenn ihr die Werthe von p. q. r. und ſ. ſuchet / in den Producten von 20 in z 2 und 15 in z ſo viel wieder abgezogen wird / als 20 und 15 zu groß angenommen worden. Z. E. An ſtat 19 $$\frac {98}{100}$$ z 2 ha - bet ihr 20z 2 genommen / und alſo $$\frac {1}{50}$$ zu viel. De - rowegen wenn ihr den Werth von z 2 durch 20 oder vielmehr 2000 multipliciret / muͤſſet ihr $$\frac {1}{50}$$ deſſelben von dem Prodncte wieder abziehen. Als im erſten Gliede iſt das Product aus 16129 in 20000 = 32258000 / $$\frac {1}{50}$$ aber von 16129 = 32258. Wenn ihr nun dieſes von 32258000 abziehet / bleibet das wahre Product 3225742 uͤbrig. Eben ſo verhaͤlt ſichs in den uͤbrigen Gliedern.
335. Nun koͤnnte ich auch zeigen / wie der Werth von x in den gegebenen Æquationen Geometriſch ge - ſucht werde. Allein weil die Geometriſche Conſtru - ction der determinirten Aufgaben ſich am beſten aus der Conſtruction der undeterminirten herleiten laͤſt; wil ich zu erſt Arithmetiſche Exempel von dergleichen Aufgaben beybringen / zu mal da dieſelben in der hoͤheren Geometrie und der Differential-Rechnung mehr Nutzen haben / als wohl einige vermeinen / auch beſondere Kunſtgriffe nachzuſinnen an die Hand ge - ben.
336. Vier Zahlen von der Beſchaf - fenheit zufinden / daß die Summe der beyden erſten der dritten und ihre Dif - ferentz der vierdten Zahl gleich ſey.
Es ſey die erſte Zahl x / die andere y / die dritte z / die vierdte t / ſo iſt y + x = z x - y = t 2y + t = z x = t + y 2y = z - t > x = t + ½z - ½ t y = (z - t): 2 x = (z + t): 2 da nun nicht mehr Æquationen zu erdencken ſind / koͤnnen die Zahlen z und t nach belieben angenommen werden. Es ſey z = 8 / t = 2 /N 2ſo196Anfangs-Gruͤndeſo iſt x = (8 + 2): 2 = 10: 2 = 5 / und y = (8-2): 2 = 6: 2 = 3. Es ſey z = 5 / t = 1 / ſo iſt x = (5+1): 2 = 6: 2 = 3 / t = 5) - 1): 2 = 4: 2 = 2.
337. Wenn ihr gantze Zahlen verlanget / ſo muͤſ - ſen vor z und t ſolche angenommen werden / deren Summe und Differentz ſich durch 2 dividiren laͤſt.
338. Zwey Zahlen zu finden / deren Summe zu gleich mit ihrem Producte einer gegebenen Zahl gleich iſt.
Es ſey die gegebene Zahl = a / die eine von den begehrten = x / die andere = y / ſo iſt xy + x + y = a xy + x = a - y x = (a - y): (y + 1) Es ſey a = 30 / y = 2 / ſo iſt x = (30 - 2): (2 + 1) = 28: 3 = 9⅓. Es ſey a = 20 / y = 2 / ſo iſt x ≡ (20 - 2): (2 + 1) = 18: 3 = 6. Es ſey a = 19 / y = 4 / ſo iſt x = (19 - 4): (4 + 1) = 15: 5 = 3.
339. Zwey Zahlen zufinden / deren Product ein vollkommener Cubus iſt / deſſen Wurtzel dem Producte aus der erſten in das Qvadrat der andern gleich iſt.
Auf -197der Algebra.Es ſey die erſte Zahl = x / die andere ≡ y / die Cubic-Wurtzel = v / ſo iſt v -- xy2 xy - v 3 v: y2 = x x = v3: y v: y2 = v3: y vy = v3 y2 vy 1 = v2 y 1: v2 = y Derowegen iſt v5 = x Setzet v = 2 / ſo iſt x = 32 / y = ¼. Es ſey v = 3 / ſo iſt x = 243 / y = $$\frac {1}{9}$$ .
340. Die Summe zweyer vollkom - menen Qvadrate in zwey andere voll - kommene Qvadrate zutheilen.
Es ſey die Seite des groͤſten Qvadrates = a / des kleineſten = b: die Seite des ei - nen von den geſuchten a - z / des andern yz - b. So iſt aa - 2az + zz + y2z2 - 2byz + bb - aa + bb zz + yyzz = 2byz + 2az zN 3z +198Anfangs-Gruͤndez + yyz = 2 by + 2a 1 + y2 z = (2by + 2a): (y2 + 1)
Alſo iſt = a - z = a - (2by + 2a): (y2 + 1) = (ay2 - a - 2by + 2a): (y2 + 1) = (ay2 - 2by - a): (y2 + 1). Hingegen yz - b = (2 by2 + 2ay): (y2 + 1) - b = (2by2 + 2ay + by2 - b): (y2 + 1) - (by2 + 2ay - b): (y2 + 1). Es ſey a = 3 / b - 2 / y = 2 ſo iſt z = (8 + 6) 5 — 14: 5 / folgends a - z = 3 - 14: 5 = ⅕ / und yz - b = 28: 5 - 2 = (28 - 10): 5 = 18: 5 deren Qvadrate (1 - 324): 25 = 103 = 9 + 4.
341. Zwey vollkommene Qvadrate zufinden / deren Differentz einer gege - benen Zahl gleich iſt.
Es ſey die Seite des kleinen = x / des groſ - ſen x + y / die Differentz = d. So iſt das kleine Qvadrat = x2 / das groſſe = x2 + 2xy+y2 / folgends y2 + 2xy = d 2xy = d - y2 x = (d - y2): 2y Weil ſich y2 von d abziehen laͤſt / ſo muß y kleiner ſeyn als V d.
Z. E. Es ſey d = 10 / y = 3 / ſo iſt x -(10 -199der Algebra. (10 - 9): 6 = ⅙ / x + y - 3 + ⅙. Es ſey d = 11 / y = 2 / ſo iſt x = (11 - 4): 4 = $$\frac {7}{4}$$ / x + y ≡ 2 + $$\frac {7}{4}$$ = $$\frac {15}{4}$$ .
342. Eine Zahl in zwey andere zu zer - theilen / deren Product ein vollkomme - nes Qvadrat iſt.
Es ſey die Zahl = 2a / die Differentz = 2y / ſo iſt die groſſe a + y / die kleine a - y / ihr Product = aa - yy. Setzet die Seite des Qvadrates xy - a. So iſt aa - yy = aa - 2axy + x2 y2 2axy = x2 y2 + y2 y 2ax = x2 y + y x2 + 1 2ax: (x2 + 1) = y
Es ſey x = 2 / 2a = 10 / ſo iſt y = 20: 5 = 4 / a + y = 5 + 4 = 9 / a - y = 5 - 4 = 1.
Es ſey 2a = 10 / x = 0 / ſo iſt y = 0 / fol - gends a + y = 5 / a - y = 5.
Es ſey 2a - 10 / x = 3 / ſo iſt y = 30: 10 = 3 / a + y = 5 + 3 = 8 / a - y = 5 - 3 = 2.
343. Zwey Zahlen zu finden von der Beſchaffenheit / daß / wenn die eine zuN 4dem200Anfangs-Gruͤndedem Qvadrate der andern geſetzt wird die Summe ein Qvadrat ſey / deren Sei - te die Summe der Zahlen iſt.
Es ſey die eine Zahl x / die andere y / ſo iſt x2 + y = x2 + 2 xy + y2 y - y2 — 2xy 2y (1 - y): 2 = x
Es ſey y = ½ / ſo iſt x = ½: 2 = ¼. Es ſey y = ⅓ / ſo iſt x = (1 — ⅓): 2 = ⅔: 2 = ⅓.
344. Zwey Zahlen zu finden von der Beſchaffenheit / daß / wenn die eine zu dem Qvadrate der andern geſetzt wird / die Summe die Seite eines Qvadrates ſey ſo den beyden Zahlen gleich iſt.
Es ſey die eine Zahl x die andere y / ſo iſt z2 + y = V (z + y) z4 + 2z2y + yy = z + y z4 + 2z2y - y + yy = z das iſt wenn 2z2 - 1 = v vy + yy = z - z4 $$\frac {1}{14}$$ v 2201der Algebra. ¼v2 + vy + yy = ¼ v2 + z - z ½v + y = V (¼ v2 + z-z4) y = V (¼ v2 + z - z4) - ½v das iſt / wenn ihr fuͤr v wieder ſeinen Werth in die Stelle ſetzet y = V (z4 - 2z2 + ¼ + z - z4) - z2 + ½ das iſt y = V (¼ + z - z2) + ½ - z2 Wenn ihr nun Rational-Zahlen verlanget / ſo muß ¼ + z-z2 ein vollkommen Qvadrat ſeyn.
Setzet demnach ſeine Seite = zx-½ / ſo iſt z2x2-zx + ¼ = ¼ + z-z2 z2x2 - zx = z - z2 zx2 - x = 1 - z z zx2 + = x + 1 z = (x + 1): (x2 + 1)
Es ſey x = 2 / ſo iſt z = (2 + 1): (4 + 1) = ⅗ / folgends y = ½ - $$\frac {9}{25}$$ + V (¼ + ⅗ - $$\frac {9}{25}$$ ) = (5 = 19): 50 + V (25 + 24.: 100) = 7: 50 + V (49: 100) = $$\frac {7}{50}$$ + $$\frac {7}{10}$$ = 〈…〉 = $$\frac {420}{500}$$ = $$\frac {21}{25}$$ .
345. Zwey Qvadrate von der Be - ſchaffenheit zu finden / daß wenn ihr das eine zu dem Producte von beyden addi -N 5ret /202Anfangs-Gruͤnderet / eine jede Summe ein vollkommenes Qvadrat ſey.
Es ſey das eine Qvadrat x 2 / das andere y 2 / ſo iſt ihr Product x2 y2 folgends ſind x2 y2 + x2 und x2 y2 + y2 vollkommene Qva - drate. Dividiret das erſte durch x 2 / das andere durch y 2 / ſo ſind y 2 + 1 und x 2 + 1 gleich - fals vollkommene Qvadrate. Nennet die Seite des erſten z-y / das andern t-x / ſo iſt y2 + 1 = z2 - 2zy + y2 x2 + 1 = t2 - 2tx + x2 1 = z2 - 2zy 1 = t2 - 2tx 1 + 2 zy = z2 2tx = t2 - 1 y = (z2 - 1): 2z x = (t2 - 1): 2t
Es ſey z = 2 / t = 3 / ſo iſt y = (4-1): 4 = ¾ x = (9-1): 6 = $$\frac {8}{6}$$ = $$\frac {4}{3}$$ .
Es ſey z = 3 / t = 4 / ſo iſt y ≡ (9-1): 6 = (9-1): 6 = $$\frac {4}{3}$$ / x = (16-1): 8 = $$\frac {15}{8}$$ .
346. Zwey Qvadrate zu finden / von der Beſchaffenheit / daß / wenn ihre Summe zu ihrem Producte geſetzt wird / ein vollkommenes Qvadrat her - aus kommet.
Es ſey das eine Qvadrat x 2 / das andere y 2 / ſo iſt x2y2 + x2 + y2 / ein vollkommenes Qva - drat. Setzet anfangsy 2203der Algebra. y2-2ty + tt = yy + 1 ſo iſt t2 = t + 2ty (t2 - 1): 2t = y t-y = t - (t-1): 2t2 = (t2 + 1): 2t
Setzet ferner v = V (yy + 1) = t-y = (t2 + 1): 2t / ſo iſt x2y2 + x2 + y2 = x2 v2 + y2. Stel - let deſſen Seite = z - vx / ſo iſt x2 v2 + y2 = z2 - 2vxz + v2 x2 y2 = z2 - 2vxz 2vxz = z2 - y2 x = (z2 - y2): 2vz hier werden z und t nach Gefallen angenom - men.
Es ſey Z. E. z = 2 / t = 3 / ſo iſt y = (9 - 1) 6-8: 6 = $$\frac {4}{3}$$ / v = t-y = 3 - $$\frac {4}{3}$$ = 〈…〉 = $$\frac {5}{3}$$ und alſo x = (4 - $$\frac {16}{9}$$ ): $$\frac {20}{3}$$ = 〈…〉 : $$\frac {20}{3}$$ = $$\frac {20}{9}$$ : $$\frac {20}{3}$$ = $$\frac {20}{60}$$ = ⅓.
347. Zwey Zahlen von der Beſchaf - fenheit zu finden / daß / wenn ihr Pro - duct zu der Summe ihrer Qvadrate ge - ſetzt wird / ein vollkommenes Qvadrat heraus kommet.
Auf -204Anfangs-GruͤndeEs ſey die Summe der beyden Zahlen 2x / ihre Differentz 2y / die Seite des Qvadrates t + y / ſo iſt die groſſe Zahl x + y / die kleine x-y / und demnach x2 - y2 + x2 + 2xy + yy + x2 - 2xy + yy / das iſt / 3x2 + y2 - t2 = 2ty + yy 3x2 - t2 = 2ty 2t (3x2-t2): 2t = y
Es ſey x = 4 / t = 6 / ſo iſt y = (48-36): 12 = 12: 12 = 1 / folgends x + y = 4 + 1 = 5 / x-y = 4-3 = 1.
348. Eine Zahl von der Beſchaffen - heit zufinden / daß / wenn ſie durch zwey bekandte Zahlen multipliciret wird / beyde Producte ein vollkommenes Qvadrat ſind.
Es ſey eine gegebene Zahl = a / die andere b / die geſuchte x / das eine Qvadrat y 2 / das andere v 2 / ſo iſt ax = y2 bx = v2 x = y2: a x = v2: b y2: a = v2: b by2 = av2: by 2205der Algebra. y2 = av2: b y = v V (a: b) Wenn demnach eine Rational-Zahl gefun - den werden ſol / muß a: b ein vollkommenes Qvadrat ſeyn.
Es ſey a = 32 / b = 8 / ſo iſt V (a: b) = 2. Setzet v = 5 / ſo iſt y = 10 / folgends x = 100: 32 = $$\frac {25}{8}$$ .
349. Eine Zahl zu finden von der Be - ſchaffenheit / daß / wenn ſie durch zwey gegebene Zahlen multipliciret / und zu jedem Producte noch eine andere Zahl addiret wird / beyderſeits ein vollkom - menes Qvadrat heraus kommet.
Es ſeyn die erſten beyden gegebenen Zah - len a und b / die andern c und d / die geſuchte x / die beyden Qvadrate yy und vv / ſo iſt ax + c = yy bx + d = vv x = (yy-c): a x = (vv-d): b (yy-c): a = (vv-d): b byy-bc = avv-ad byy = av2 - ad + bc b y2 = (av2 - ad + bc): by =206Anfangs-Gruͤndey = V (av2 - ad + bc): b Wenn ihr nun eine Rational-Zahl verlan - get / ſetzet a: b ≡ m2 / ſo iſt y2 = m2v2-m2d + c Setzet ferner fuͤr die Seite dieſes Qvadra - tee t-mv oder mv-t / ſo iſt m2v2-m2d + c = m2v2-3tmv + t2 2tmv = t2 + m2 d - c v = (t2 + m3d - c): 2tm das iſt / wenn ihr fuͤr m 2 ſeinen Werth wieder hinſetzet v = (bt2 + ad-bc): 2tbm.
Es ſey t = 4 / a = 1 / b = 1 / c = 2 / d = 3 / ſo iſt m 2 = 1: 1 = 1 und m = 1 / folgends v = (16 + 3-2): 8 = 17: 8 = 2⅛ und x = 289: 64-3 = (289-192): 64 = 97: 64.
350. Die Linie / durch welche eine un - determinirte Aufgabe Geometriſch auf - geloͤſet wird / heiſſet ein Geometriſcher Ort / (Locus Geometricus). Jnsbe - ſondere nennet man es einen Ort an ei - ner geraden Linie / wenn ſie eine gera - de Linie iſt: einen Ort an dem Cir - cul / wenn ſie ein Circul iſt: einen Ort an der Parabel / Hyperbel / Ellipsi u. ſ. w. wenn ſie eine von dieſen Linien iſt.
351. Der Ort an einer geraden Linie wird auch ein einfacher Ort; der an einem Circul / ein ebener Ort; (Locus planus); der an einer Parabel / Hyper - bel und Ellipſi ein coͤrperlicher Ort (Locus ſolidus) genennet.
351. Einen Ort an einer geraden Li - nie zu cooſtruiren.
Einen Ort conſtruiren heiſſet die Linie ziehen / welche der undeterminirte AufgabeTab. II. Fig. 21. ein Gnuͤgen thut. Alle Qerter an einer ge - raden Linie laſſen ſich durch folgende Æqua - tionen vorſtellen: y = ax: b / y = (ax: b) + c / y = c-ax: b conſtruiret nach Belieben ei - nen Winckel EAD / nehmet in demſelben an AB = b / BC = a / ſo iſt AD = x / DE = y. Denn AB: BC = AD: DE (§. Geom.) das iſt / b: a = x: y / folgends ax: b = y.
Jn dem andern Falle darf nur eine gege - bene Linie c allzeit zu DE geſetzt / oder davon ſubtrahiret werden.
Jn dem dritten Falle wird DE von einer gegebenen Linie abgezogen.
Es iſt aber nicht noͤthig zu erinnern / daß AD oder x auf AG ſo groß angenonmen werden darf / als man wil.
352. Einen Ort an einem Circul zu conſtruiren.
1. Es ſey yy = aa - xx / beſchreibet mit BC = a einen Circul / und machet CE = x / ſo iſt M E — y.
Denn AE = a + x / EB = a-x. Nun iſt AE. EB = (ME) 2 (§. 195 Geom. §. 126 Alg.) Derowegen iſt aa - x2 = y2. W. Z. E. II. Es ſey yy = bx-xx. Nehmet das andere Glied bx weg / (§. 301). Setzet nemlich x = u + ½b ſo iſt - x2 = u2 - bu - ¼bb + ax = + bu + ½bb - x2 + bx = - u2 + ¼bb folgends y2 ≡ ¼bb - u2.
Solcher geſtalt kan der Ort / wie vorhin con - ſtruiret werden / nur daß ihr den halben Dia - meter AC = ½b annehmet. Denn ſo iſt all - zeit AE = x / ME = y.
III. Auf gleiche Art wird die Æquation yy - by = cx-xx auf den erſten Fall reduciret. Denn nehmet anfangs by weg / daß ihr ſetzet y = v + ½ b y2 = v2 + by + ¼ bbby209der Algebra. - by = - bv - ½bb y2 - by = v2 - ¼bb Setzet ferner x = t + ½ c - x2 = - x2 - c + - ¼ cc + cx = + c t + ½ cc cx - x2 = ¼ cc - t2 Solchergeſtalt bekommet ihr v2-¼bb = ¼ cc-t2 Setzet endlich V (¼bb + ¼ cc) = m / ſo iſt v2 = m2 - t2 / eine Gleichung / wie die in dem erſten Falle / und wird der Circul mit ½m beſchrieben.
353. Einen Ort an einer Parabel zu conſtruiren.
Die Faͤlle / ſo hier vorkommen koͤnnen / ſind folgende.
y2 = ax / y2 = ax + bb / y2 = bb - ax. Jn dem erſten Falle iſt klahr / daß nur mit dem Parameter a eine Parabel (§. 207. 221. 222 ) beſchrieben werden darf / ſo ſind die Ab -Tab. II. Fig. [15]〈…〉〈…〉. ſciſſen x / die Semiordinaten y (§. 204).
Jn dem andern nehmet entweder AF oder Af = bb: a / ſo iſt FP oder fP = x / PM = y. Denn AP = x + bb: a / und daher y2 = ax + bb. Wiederumb wenn fP = x /(4) Oſo210Anfangs-Gruͤndeſo iſt AP = x - bb: a / folgends y2 = ax - bb (§. 204.).
Endlich in dem letzten Falle nehmet aber - mals AL = bb: a / ſo iſt LP = x / PM = y. Denn AP = bb: a-x und darumb y2 = bb - ax.
354. Auf dieſe Faͤlle werden alle uͤbrigen / die vor kommen / reduciret / wie in folgenden Aufgaben gewieſen wird.
355. Einen Ort an einer Parabel zu conſtruiren / da yy + ay = bx - ¼ aa.
Nehmet das andere Glied ay weg (§. 301) Setzet nemlich y = v - ½a ſo iſt y2 = v2 - av + ¼ aa + ay = v2 + av - ½ aa v2 - ¼aa = bx - ¼ aa v2 = bx Alſo iſt der Ort auf den erſten Fall reduci - ret / und ihr doͤrfet nur mit dem Parameter b eine Parabel beſchreiben / PR = ½a machen / ſo iſt AP = x / RM = y.
356. Einen Ort zu conſtruiren / da yy - ay = bx + cc.
Auf -211der Algebra.Nehmet das andere Glied ay weg. Stel - let nemlich y = v + ½ a ſo iſt y2 = v2 + av + ¼ aa - ay = - av - ½ aa v2 - ¼ a2 = bx + cc v2 = bx + cc + ¼ a2
Setzet ferner V (cc + ¼ aa) = m / ſo habet ihr v2 = bx + m2 Solcher geſtalt iſt die gegebene Æquation auf den andern Fall der Aufgabe (§. 129. 353) reduciret worden.
357. Einen Ort zu conſtruiren / da y2 - axy: b = cx - aa xx: 4bb.
Nehmet das andere Glied axy: b weg. Setzet nemlich y = v + ax: 2b ſo iſt y2 = v2 + axv: b + ax2: 4bb - axy: b = - axv: b - ax2: 2bb v2 - ax2: 4b2 = cx - a2x2: 4b2 v2 = cxO 2Alſo212Anfangs-GruͤndeAlſo iſt gegenwaͤrtiger Fall abermals auf den erſten der Paraboliſchen Oerter reduciret worden (§. 354).
358. Einen Ort an einer Ellipſi zu conſtruiren.
359. Einen Ort an einer gleichſeiti - gen Hyperbel zu conſtruiren.
360. Einen Ort an einer ungleichſei - tigen Hyperbel zu conſtruiren.
360. Einen Ort an einer HyperbelTab. II. Fig. 26. zwiſchen ihren Aſymptoten zu conſtrui - ren.
362. Jhr ſehet aus den gegebenen Exempeln / daß die erſte Æquationen ſich aus der Natur der krum - men Linie herleiten laſſen / die andern / aber auf der - gleichen reduciret werden. Jch koͤnte zwar nach dem Exempel des Craigii in ſeinem Tractatu de Qvadra - turis Curvarum & Locis Geometricis und des Mar - quis de l’ Hoſpital in ſeinem Tráite des Sections Co - niques lib. 7. p. 20. & ſeqq. allgemeine Æquationen geben / nach welchen alle Geometriſche Oerter / die ſich durch den Circul und die Kegelſchnitte conſtruiren laſſen / conſtruiret werden koͤnnen: allein ich wil die Anfaͤnger damit nicht aufhalten / ſondern vielmehr zeigen / wie die Cubiſchen und Quadrato-quadratiſchen Æquationen durch Verknuͤpfung zwey Geometriſcher Oerter / in welche man ſie reduciret / conſtruiret wer - den.
363. Eine Cubiſche Æquation / darin -nen219der Algebra. nen das andere Glied fehlet / in Geome - triſche Oerter zu bringen.
364. Jhr koͤnnet noch mehrere Oerter heraus brin - gen / wenn ihr es verlanget. Denn ſetzet zu dem Or -te221der Algebra. te an der Parabel im erſten Falle y2 + by = cx den andern Ort an der Parabel ay = x2 / ſo bekommet ihr y2 + ay + by = x2 + cx / einen Ort an einer gleich - ſeitigen Hyperbel. Setzet ferner in der Æquation x4 + abx2 = aacx an die Stelle von x 4 ſeinen Werth a y 2 / ſo bekommet ihr a2y2 + abx2 = a2cx a2 y2 + bx2: a = cx y2 = cx - bx2: a / einen Ort an einer El - lipſi. Eben dergleichen Oerter koͤnnet ihr auf ſolche Weiſe in dem andern und dritten Falle finden.
365. Wenn ihr euch die Æquationen fuͤr die Geometriſchen Oerter bekandt machet / ſo werdet ihr gar leicht ſehen / wie ihr die Sache angreiffen muͤſſet / damit die vorgegebene Æquation in Geometriſche Oerter reduciret werde.
366. Eine Cubiſche Æquation zu con - ſtruiren / darinnen das andere Glied feh - let.
Denn es ſey PM = x / AC = ½a / DC = ½ b / DH = ½c / ſo iſt (AE) 2 = (aa + bb + cc): 4 und aus der Natur der Parabel AP = xx: a2 folgends DP = HE = xx: a - ½a - ½b / und ME = x-½c. Alſo iſt (FE) 2 — x4: a2 - x2 - bx2: a + ¼aa + ¼bb + ½ab + xx - cx + ¼ cc und demnach x4: a2 - bx2 - cx + (aa + bb + 2ab + cc): 4 = (aa + bb + cc + 2ab): 4 / das iſt / x4: a2 - bx2: a = cx a2 x4 - abx2 = a2 cx x x3 - abx = aac welches eben die vorgegebene Æquation iſt / die auf gleiche Weiſe heraus kommet / wenn ihr PN = - x annehmet. Damit ihr aber den halben Diameter HN leichte finden koͤn - net / doͤrfet ihr nur PN bis in O verlaͤngern; ſo iſt ON = PN + DH = ½ c-x und HO = DP. Derowegen iſt PM die waare Wur - tzel / und PN ſind die beyden falſchen Wur - tzeln.
II. 224Anfangs-GruͤndeDer Beweiß iſt voͤllig wie in dem erſten Falle.
Weil DH = ½c / DC = ½b / AC = ½a / ſo iſt DA = ½b-½a / (AH) 2 = ¼cc + ¼bb + ¼aa - ½ab. Und weil PM = x / ſo iſt aus der Natur der Parabel AP = x2: a / folgends DP = HR = x2: a + ½b - ½a / (HR) 2 = x4: a2 + bx2: a + ¼bb-x2-½ab + ¼ aa. Endlich da PR = DH = ½c / ſo iſt MR = x - ½ c und (MR) 2 = x2-cx + ¼cc. Derowegen iſt (M H) 2 = x4: a2 + bx2: a + ¼bb - x2 - ½ab + ¼ aa + x2 - cx + ¼cc = (AH) 2 = ¼cc + ¼bb + ¼aa - ½ab / und ſolcher geſtalt 8x4: a2 + bx2: a = cx a2 x4 + abx2 = a2cx x x3 + abx = a2c.
Da nun dieſes die vorgegebene Æqua - tion iſt; ſo ſiehet man / daß x die Wurtzel derſelben ſey. W. Z. E.
367. Setzet a = 1 / b = q / c = r / ſo ſind die drey Cubiſchen Æquationen x3 * - qx - r = o x3 * - qx + r = o x3 * + qx - r = o und in den beyden erſten Faͤllen iſt AD = ½a + ½q / das iſt / die Summe aus dem halben Parameter der(3) PPa -226Anfangs-GruͤndeParabel und der halben bekandten Groͤße des dritten Gliedes; in dem dritten aber ½q - ½ a / das iſt / die Summe aus dem halben Parameter der Parabel und der halben bekandten Groͤſſe des dritten Gliedes; in dem dritten aber ½q-½a das iſt / die Differentz zwi - ſchen dem halben Parameter und der halben bekandten Groͤſſe des dritten Gliedes / und in allen drey Faͤllen DH = ½r / das iſt / das halbe dritte Glied: welches die Regel iſt / die Carteſius fuͤr die Conſtruction der Cubiſchen Æquationen gegeben.
368. Wenn der Circul die Parabel nicht durch - ſchneidet / ſo hat die Æquation keine wuͤrckliche Wur - tzeln. Eben dieſes gielt von einigen Wurtzeln / wenn die Parabel nicht in drey Puncten durchſchnitten wird.
369. Wenn alle Glieder in der Æquation zugegen ſind / koͤnnet ihr (§. 301) das andere wegſchaffen: wie wol ihr ſie auch conſtruiren koͤnnet / wenn das andere behalten wird. Denn es ſey Z. E. x3 + ax2 + abx = aac. Wenn ihr dieſe Æquation mit x - a multipliciret / und in der / ſo heraus kommet / x4 + abx2 - aax2 - abx = aacx - aac den Werth von x 2 aus dem angenommenem Or - te an der Parabel x2 = ay ſtellet / ſo entſtehet ein anderer Ort an einer Parabel yy + by - ay = bx + cx - ac. Wenn ihr ferner dieſen von dem erſten abziehet / bleibet ein Ort an einem Circul xx-bx-cx + ac = 2ay-by-yy uͤbrig / deſ - ſen halber Diameter V (a2 - ab + ½bb-ac + ½Tab. IV. Fig. 36. bc + ¼cc) gefunden wird (§. 352.). Mit dem erſten Orte an der Parabel und dem Orte anden227der Algebra. dem Circul koͤnnet ihr die Æquation con - ſtruiren. Beſchreibet nemlich mit dem Para - meter a eine Parabel und macht Ac = a / CD = ½b + ½c / DH = ½b / ſo iſt aus der Natur der Parabel CR = V ½a2 = a / daher DR = a-½b-½c / (DR) 2 = a2 - ab + ¼bb-ac + ½bc + ¼cc / (DH) 2 = ¼bb / folgends HR = V (a2 - ab + ½bb - ac + ½bc + ¼cc). Solchergeſtalt muß aus H mit HR durch den Punct R der Circul beſchrieben werden. Den Beweis koͤnnet ihr wie vorhin finden. Denn wenn ihr PM = x annehmet / werdet ihr die verlang - te Æquation heraus bringen.
370. Eine Qvadrato-qvadratiſche Æ - quation / darinnen das andere Glied fehlet / in Geometriſche Oerter zu brin - gen.
371. Eine Qvadrato-Qvadratiſche Gleichung zu conſtruiren / darinnen das andere Glied fehlet.
372. Dieſe Methode gehet nicht allein ferner an / wenn alle Glieder in einer Qvadrato-Qvadratiſchen Æquation vorhanden; ſondern auch in hoͤheren Æ -qua -231der Algebra. quationen / nur daß in dem letzten Falle die Geome - triſchen Oerter / ſo zur Conſtruction genommen wer - den / keumme Linien von hoͤheren Geſchlechten ſind.
373. Wenn ihr alle Cubiſche und Qvadrato-qva - dratiſche Æquationen auf die vorgeſchriebene Weiſe conſtruiret; ſo werdet ihr wahrnehmen / daß man gar leicht eine allgemeine Regel finden kan / alle Æ - quationen von dem dritten und vierdten Grade zu conſtruiren. Dergleichen Regel hat Thomas Baker, ein Engellaͤnder / in ſeinem Clave Geometrica Ca - tholica gegeben / wiewol er ſie auf andere Weiſe ge - funden. Allein es iſt viel rathſamer / wenn man ſich an die Methode haͤlt / die ich bißher erklaͤhret habe. Weil man in beſonderen Faͤllen oͤfters geſchicktere Conſtructionen dadurch finden kan / als wenn man alles auf einerley Art verrichten will. Die Regel / welche Baker giebt / das centrum H zu finden iſt fol - gende: AD = ½ a + p2: 8 a + q: 2a DH = ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a2 + r: 2a〈…〉〈…〉 Bey dem Gebrauch iſt folgendes zu mercken:
374. Wenn ihr den Beweis von dieſer Regel ver - langet / kan es am fuͤglichſten folgender geſtalt geſche - hen. Setzet AD = b / DH = d / AQ = c / ſo iſt (AH) 2 = dd + bb. Es ſey ferner PM = x der Parameter = a / ſo iſt OM = x + c / RM = x + d und weil a: OM + AQ = PM: AP (§. 217) / AP = (xx + 2cx): a / folgends DP = HR = (xx + 2cx): a-b / (HR) 2 = x4: a2 + 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 2bxx: a-4bcx: a / (RM) 2 = x2 + 2dx + dd. Solchergeſtalt habet ihr x4: a2 + 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 2bx2: a-4bcx: a + x + 2dx + dd = bb + dd x4: a2 + 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 4bcx: a = o - 2bx2: a + 2dx + x2x 3233der Algebra. x3 + 4cx2 + 4c2x-4abc = o. - 2abx + 2a2d + a2x
Hieraus ſehet ihr / daß / wenn die wahre Wurtzel zur Rechten fallen ſol / das andere Glied das Zeichen + haben muß und / wenn c fehlet / der Punct A in a faͤllet. Damit ihr nun auch die Werthe von c / b und d findet / die in der Central-Regel angegeben worden; ſo ſetzet x3 + px2 + qx + r = o. Dann iſt 4c = p 4c2 - 2ab + a2 = q c = ¼p 4c2 + a2 - q = 2ab $$\frac {}{4}$$ p2 + a2 - q = 2ab 2a ½a + p2: 8a - q: 2a = b a2 + 4c2 - 2ab = - q a2 + ¼p2 + q = 2ab 2a ½a + p2: 8a + q: 2a = b 2a2d - 4abc = r 2a2d = 4abc + r d = 2bc: a + r: 2a2 das iſt / d = ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a2 + r: 2a2 2a2d - 4abc = - rP 52a 2234Anfangs-Gruͤnde2a2d = 4abc - r 2a2 d = 2bc: a - r: 2a2 / das iſt / d = ¼p + p3: 16a2 〈…〉 pq: 4a2-r: 2a2 Alſo kommet ſo wol AD als DH in allen Faͤl - len / da + p iſt / wie ſie in der Regel angegeben worden.
Laſſet nun auch PN = x ſeyn und das uͤ - brige alles / wie vorhin: ſo iſt NR = x - d / NO = x - c / PM = x - 2c und / weil a: PN = PM: AP (§. 217) / AP = (xx - 2cx): a / folgends DP = HR = (xx-2cx): a - b. Solcher geſtalt iſt x4: a2 - 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 2bxx: a + 4bcx: a + bb + x2 - 2dx + dd = bb + dd / das iſt / x4: a2 - 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 + 4bcx: a = o - 2bx2: a - 2dx + x2 x3 - 4cx2 + 4c2x + 4abc = o - 2abx - 2a2d + a2x
Hieraus ſehet ihr / daß / wenn die wahre Wurtzel zur Lincken faͤllet / das andere Glied das Zeichen ‒ haben muß. Damit ihr nun auch die Werthe von c / b und d findet / ſo ſetzet x3 - px2 + qx + r = o. Dann iſt- p235der Algebra. - p = - 4c 4 ¼ p = c 4c2 - 2ab + a2 = q a2 + 4c2 - q = 2ab 2a ½ a + 2c2: a - q: 2a = b das iſt / ½ a + p2: 8a - q: 2a = b 4c2 - 2ab + a2 = q 4c2 + a2 + q = 2ab 2a ½a + 2c2: a + q: 2a = b das iſt / ½a + p2: 8a + q: 2a = b 4abc - 2a2 d = r 4abc - r = 2a2d 2bc: a - r: 2a2 = d ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a - r: 2a2 ≡ d 4abc - 2a2d = - r 4abc + r = 2a2d 2a2 2bc: a + r: 2a2 = d ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a + r: 2a2 = d Alſo kommet abermal in allen Faͤllen / da - piſt /236Anfangs-Gruͤndeiſt / ſo wol AD als DH / wie es die Regel er - fordert.
Auf gleiche Art koͤnnet ihr die Regel von den Qvadrato-Qvadratiſchen Gleichungen erweiſen.
375. Es wil aber noͤthig ſeyn / daß ich die Con - ſtruction der Cubiſchen und Biqvadratiſchen Æqua - tionen durch Exempel erlaͤutere.
376. Zwiſchen zwey gegebenen Lini - en AB und DC zwey mittlere Propor - tional-Linien zu finden.
Es ſey AB = a DC = b / die geſuchten Li - nien x und y / ſo iſt ∺ a. x. y a: x = y: b ay = x2 (§. 126) ab = xy y = x2: a ab: x = y x2: a = ab: x x3 = a2b Wenn ihr dieſe Æquation in Geometriſche Oerter reduciret (§. 363); ſo findet ihr unter andern den Ort an der Parabel ay = x2 und den Ort an dem Circul y2 - ay = bx - xx / deſſen halber Diameter (§. 352) = V (¼ aa + ¼ bb). Beſchreibet demnach mit demPa -237der Algebra. Parameter a die Parabel / und nehmet inTab. IV. Fig. 34. derſelben AD = ½a / DH = ½b an; ſo koͤnnet ihr den Circul durch A beſchreiben / und iſt PM = x / AP = y / weil a: PM = PM: AP (§. 209).
377. Eine gerade Linie AB / die nachTab IV. Fig. 41. belieben in C getheilet worden / noch ferner in D dergeſtalt zu theilen / daß CD: DB = (AC) 2: (CD) 2.
Es ſey AC = a / CB = b / CD = x / ſo iſt DB = b - x / folgends x: b - x = a2: x2 x3 = a2b - a2x (§. 126) x3 - a2x = a2b Wenn ihr dieſe Æquation in Geometriſche Oerter (§. 363) reduciret / ſo bekommet ihrTab. IV. Fig. 34. unter andern den Ort an der Parabel ay = x 2 und den Ort an dem Circul y2 = bx + x2 deſſen halber Diameter = V ¼ bb = ½b iſt (§. 352). Derowegen wird in gegenwaͤrti - gem Falle DA = o / und ihr doͤrfet nur an dem Scheitel-Puncte der Parabel A den halben Diameter des Circuls perpendicu - lar aufrichten.
378. Jn einem rechtwincklichten Tri - angel BAC / darinnen AC = BD / wird gegeben die groͤſſere Seite AB / die Lini - en AC und BD zufinden.
Es ſey AB = a / AC = BD = x / ſo iſt (AD) 2 = aa - xx. Nun iſt AB: BD = AC: AD (§. 177 Geom.) und demnach AD = x: a / folgends x4: a2 = aa - xx x4 = a2 - a2x2 x4 + a2x2 = a4 Refolviret dieſe Æquation in Geometriſche Oerter (§. 370); ſo findet ihr unter andern den Ort an der Parabel ay = xx und den Ort an dem Circul y2 = a2 - x2 / deſſen hal - ber Diameter a iſt (§. 352). Derowegen geſchiehet die Conſtruction voͤllig / wie in der vorhergehenden Aufgabe.
379. Jn einem rechtwincklichten Tri -Tab. V. Fig. 45. angel A B C wird gegeben das Stuͤcke der Hypotenuſe BD und das Stuͤcke der Grund-Linie BC uͤber dieſes die Per - pendicular-Linie BA; und ſollen diebey -239der Algebra. beyden Seiten BC und AC gefunden werden.
AB = a / BD = b / BC = c / EC = x / AE = y / ſo iſt BC = x + b CD: DE = CB: BA (EC) 2 = (DC) 2 + (DE) 2 x: y = b + x: x cc + yy = xx. ax = by + xy xx - cc = yy ax: (b + x) = y a2x2: (bb + 2bx + xx) = xx - cc a2x2 = b2x2 - b2c2 + 2bx3 - 2bc2x + x4 - c2x2 x4 + 2bx3 + b2 x2 - 2bc2x = b2c2 - a2x2 - c2x2
Nehmet das andere Glied 2bx 2 (§. 301) weg / ſo koͤnnet ihr die vorgegebene Æqua - tion (§. 370) in Geometriſche Oerter redu - ciren und durch Huͤlfe eines Ortes an der Parabel und eines Ortes an dem Circul (§. 144) conſtruiren. Wollet ihr aber die Central-Regel des Bakers brauchen / ſo neh - met a fuͤr den Parameter an / damit die Pa - rabel beſchrieben wird / und weil p = 2b / q = bb - aa - cc / r = 2bcc / ſ = bbcc / ſo iſt AD = ½a + p2: 8-½q (§. 373) = ½a + 4bb:8 -240Anfangs-Gruͤnde8-½bb + ¼aa + ½cc = (weil a = 1) a + ½ cc / hingegen DH = ¼ p + p3: 16 - pq: 4 - ½ r = ½b + 8b3: 16 + 2b3: 4 + 2a2b: 4 + 2bc2: 4 = (weil a = 1 / und alſo 2a2b: 4 = ½ b) b + ½ bcc. Es iſt aber cc die dritte Proportional - Linie zu a und c / weil a = 1.
380. Jhr haͤttet auf eben eine ſolche Art in deñ vorhergehenden Aufgaben durch die Bakeriſche Cen - tral-Regel die Werthe von AD und DH finden koͤnnen. Denn Z. E. es ſey (§. 378) x4 + a2 x2 - a4 = o; ſo iſt p = o / r = a2. Nehmet a fuͤr den Parameter und fuͤr 1 an; ſo iſt a2 = a / folgends AD = ½a - ½ a = o / und DH = ½ a.
Ende des erſten Theiles.
381. Die Differential-Rechnung iſt eine Wiſſenſchafft aus einer gegebe - nen endlichen Groͤſſe eine unendlich klei - ne zufinden / deren unendliche zuſam - men genommen ihr gleich werden.
382. Der Herr Geheime Rath von Leibnitz hat dieſe Rechnung zu erſt gefunden. Es iſt aber zu einerley Zeit der tiefſinnige Geometra Jſaac Nevv - ton in Engelland auf eben dergleichen Gedancken kom - men / wie wol er eine andere Manier hat die unend - lich kleinen Groͤſſen zu exprimiren und auch die Rech - nung ſelbſt mit einem andern Nahmen nennet / nem - lich Methodum Fluxionum.
383. Eine unendlich kleine Groͤſſe iſt diejenige / welche ſo ein geringer Theil von der andern iſt / daß er mit ihr nicht verglichen werden kan.
384. Dannenhero iſt ſie in Anſehung(4) Oder -242Anfangs-Gruͤndederjenigen Groͤſſe / mit welcher ſie nicht ver - glichen werden kan / fuͤr nichts zu halten.
385. Folgends wenn eine unendlich kleine Groͤſſe zu einer andern addiret / oder von ihr ſubtrahiret wird / ſo iſt in dem erſten Falle die Summe / in dem andern die Differentz der gegebenen gleich zu achten / das iſt / eine un - endlich kleine Groͤſſe kan eine endliche weder vermehren noch vermindern.
386. Mercket aber wohl / daß eine unendlich klei - ne Groͤſſe nur in Anſehung einer andern fuͤr nichts zu achtẽ; in ſich aber nicht nichts iſt. Denn bildet euch ein / ihr wollet die Hoͤhe eines Berges meſſen und indem ihr uͤber der Arbeit begriffen waͤret / jagte der Wind ein Koͤrnlein Sand von der Spitze weg. So waͤre der Berg umb den Diameter eines Sand-Koͤrnleins niedriger worden. Allein weil weil die Methode / wodurch die Groͤſſe eines Berges gemeſſen wird / ſo beſchaffen iſt / daß die Hoͤhe einerley gefunden wird / ob das Sandkoͤrnlein liegen bleibet / oder von dem Winde weggejaget wird; kan man das Sand-Koͤrn - lein in Anſehung eines groſſen Berges fuͤr nichts und alſo ſeine Groͤſſe in Anſehung der Groͤſſe des Berges fuͤr unendlich kleine halten. Dieſes hat man ſchon laͤngſt uͤberall in acht genommen / wo man die Geo - metrie auf coͤrperliche Dinge in der Natur applici - ret. Alſo ſetzen wir in der Aſtronomie / der Diame - ter der Erde ſey in Anſehung der Weite von der Son - ne und noch mehr der Fixſterne fuͤr einen Punct oder unendlich kleine zu halten / weil die erſte Bewegung der Sterne ſich eben ſo verhalten wuͤrde / wenn die Er - de wuͤrcklich ein untheilbahrer Punct waͤre. Sohal -243der Algebra. halten wir in den Mond-Finſterniſſen die Erde fuͤr eine vollkommene Kugel und alſo die Hoͤhen der Berge in Anſehung des Diameters der Erde fuͤr un - endlich kleine oder fuͤr nichts; weil der Schatten der Erde ſich auf dem Monden nicht anders praͤſentiren wuͤrde / wenn die Berge nicht da waͤren und die Erde die voͤllige Geſtalt einer Kugel haͤtte. Da nun auch in der Geometrie / da man die Groͤſſen in abſtracto betrachtet / man groſſen Vortheil davon hat / wenn man ſie in unendlich kleine Theile in Gedancken re - ſolviret / das iſt / in ſo kleine / die in Anſehung ihrer fuͤr nichts zu halten ſind / in dem man daraus die end - lichen Groͤſſen oͤfters determiniren und ihre verbor - gene Eigenſchaften auf die allerleichteſte Manier fin - den kan: wer wil es den Geometris verdencken / daß ſie dergleichen vornehmea?
387. Jhr wiſſet aus der gemeinen Geomẽtrie / daß eine Linie beſchrieben wird / wenn ein Punct ſich durch einen gewiſſen Raum beweget; eine Flaͤche / wenn eine Linie; ein Coͤrper / wenn eine Flaͤche ſich bewe - get. Alſo erwachſen die die Groͤſſen / in dem unend - lich viel unendlich kleine Theile nach einander anwach - ſen. Und in dieſer Abſicht nennet ſie Nevton Flu - xionen oder Fluxiones.
388. Wenn die unendlich kleinen Groͤſſen als der Unterſcheid zweyer endlichen angeſehen werden / nennet man ſie Differential-Groͤſſen.
389. Differentiiren heiſſet die Dif -Q 2feren -244Anfangs-Gruͤndeferential-Groͤſſe von einer gegebenen endlichen finden.
390. Die Groͤſſen / welche immer wach - ſen oder abnehmen / in dem andere un - veraͤndert bleiben / heiſſen veraͤnderli - che; die andern aber unveranderli - che Groͤſſen. Alſo ſind in einer Parabel die Abſciſſen und Semiordinaten veraͤnder - liche Groͤſſen / der Parameter aber iſt eine unveraͤnderliche. Denn in dem jene beyden beſtaͤndig wachſen / bleibt dieſer unveraͤndert (§. 204).
391. Da nun die Differential-Groͤſſen die unendlich kleine Theile ſind / welche nach und nach anwachſen / in dem ſie ſich generi - ren (§. 387. 388); ſo haben die unveraͤnder - lichen Groͤſſen keine Differential-Groͤſſe.
392. Nennet die veraͤnderlichen Groͤſ - ſen mit den letzten Buchſtaben des Al - phabets / x / y / z; die unveraͤnderlichen aber mit den erſten a / b / c &c.
393. Die Differential-Groͤſſe von x nennet dx / die von y nennet dy und ſo weiter.
Der245der Algebra.394. Alſo iſt da / oder db / oder dc = o (§. 391).
395. Und die Differential-Groͤſſe von x + y - a iſt dx + dy; die von x - y + a aber dx - dy. Demnach iſt es leicht die Groſſen / wel - che zu einander addiret / oder von einander ſubirahiret ſind / zu differentiiren.
396. Zwey Groͤſſen die einander mul - tipliciren als xy zu differentiiren.
Laſſet x und y umb ihre halbe Differen - tial-Groͤſſe vermehret und vermindert wer - den / ſo kommet im erſten Falle x - ½dx und y - ½ dy / im andern Falle y + ½ dx und x + ½ dy. Multipliciret beyde durch einander in beyden Faͤllen / ſo bekommet ihr xy - ½ ydx - ½ xdy + ¼ dxdy und xy + ½ ydx + ½ xdy + ¼ dx dy: wenn ihr beyde Producte von einanderQ 3ab -246Anfangs-Gruͤndeabziehet / ſo bleibet fuͤr die Differential-Groͤſ - ſe des Rectanguli xy uͤbrig xdy + ydx. W. Z. E.
397. Wenn viel Groͤſſen einander mul - tipliciren / ſo doͤrfet ihr nurzwey oder mehre - re nacheinander als eine anſehen und ihr koͤn - net ſie nach der gegebenen Regel differentii - ren. Z. E. Es ſey xyv zu differentiiren / ſo iſt die Differential-Groͤſſe xydv + xvdy + yvdx. Denn es ſey xy = t / ſo iſt xyv = tv / folgends d (xyv) = tdv + vdt. Nun iſt dt = xdy + ydx. Derowegen wenn ihr fuͤr t und dt die gehoͤrigen Werthe ſetzet / ſo findet ihr tdv + vdt = xydv + vxdy + vydx.
398. Dannenhero findet ihr ferner die Differential-Groͤſſe einer Potentz / wenn ihr ihren Exponenten umb 1 vermindert / und als denn die erniedrigte Potentz in ihren unver - aͤnderten Exponenten und die Differential - Groͤſſe der Wurtzel multipliciret. Nemlich d (x2) = 2xdx / d (x3) = 3x2dx und uͤber - haupt d (xm) = xm-1 dx.
399. Die Differential-Groͤſſe von 2y iſt ady + yda. Nun iſt da = o (§. 394). De - rowegen iſt d (ay) = ady.
400. Weil V x = x1: 2 und uͤberhaupt m V xn = xn: m (§. 43) / ſo iſt die Differential - Groͤſſe von einer Jrrational-Groͤſſe (n: m) xn: m-1dx = (n: m) xn-m,: m dx = (n: m) m V xn-m dx.
401. Wiederumb weil 1: x = x-1 / 1: x2 = x-2 und uͤberhaupt 1: xm = x-m / ſo iſt die Differential-Groͤſſe von 1: x / und 1: x2 / in - gleichen 1: xm = - x-2 dx / - 2x-3dx und - m xm-1 dx.
402. Daß 1: x = x-1 1: x2 = x-2 / 1: x3 = x-3 u. ſ. w. koͤnnet ihr bald begreiffen / wenn ihr nur bedencket / es gehen die Exponenten in einer Arith - metiſchen Verhaͤltnis fort / in dem die Dignitaͤten in einer Geometriſchen fortſchreiten. Nun ſeyñ die Dignitaͤten x2. x. 1. 1: x. 1: x2. 1: x3 / ſo find die Expon. 2. 1. 0. -1. -2. -3.
403. Endlich weil 1: V x = 1: x1: 2 = x-1: 21: Vx3 = 1: x3: 2 = x-3: 2 und uͤberhaupt m 1: V xn = 1: xn: m = x-n: m; ſo ſind die Dif - ferential-Groͤſſen von dergleichen Groͤſſen - ½ x-3 - $$\frac {3}{2}$$ x-5: 2 dx und uͤberhaupt x3 (- n: m) m x-n: m-1 dx = (- n: m) xn-m, m-21 - (n: mVxm+n dx.
404. Zwey Groͤßen / die einander di - vidiren / x: y zu differentiiren.
Es ſey x: y = v ſo iſt x = vy dx = vdy + ydv (§. 396) dx - vdy = ydv das iſt / dx: y - xdy: y2 = dv oder (ydx - xdy): y2 = dv
(1) Multipliciret die Differential - Groͤſſe des Zehlers in den Nenner und (2) des Nenners in den Zehler. (3) Ziehet das letzte Product von dem er - ſten ab. (4) Das uͤbrige dividiret durch das Qvadrat des Nenners.
405. Wenn im Zehler und Nenner viel veraͤnderliche Groͤſſen enthalten / koͤnnet ihr ſie gleichfals nach dergegebenen Regeln dif - ferentiiren / wenn ihr zwey als eine anſehet. Denn es ſey xy: vz zu differentiiren. Se - tzet xy = t und vz = ſ ſo iſt d (xy: vz) = (ſdt-tdſ): ſ2. Nun iſt dt = xdy + ydx und dſ = vdz + zdv (§. 396) Derowegen iſtſdt249der Algebra. ſdt-tdſ = vzxdy + vzy dx-vxydv-xyzdv / folgends d (xy: vz) = (vzxdy + vzydx - xyzdv-xyvdz): v2z2.
406. Wie wir die Regel in der Diviſion gefunden / haͤttet ihr auch alle Regeln finden koͤnnen / die in dem 4. 5 und 6. Zuſatze der vorhergehenden Aufgabe (§. 400. 1. 3 ) auf eine andere Art hergeleitet worden. Denn ſetzet m V xn = v ſo iſt xn = vm nxn-1dx = mvm-1dv (§. 398). nxn-1 dx: mvm-1 = dv m Nun iſt vm -1 = vm: v = xn: V xn / folgends nxn-1 dx 〈…〉 xn: mxn = (n: m) x-1 dx 〈…〉 xn = (n: m) x1 xn: m dx = (n: m) xn: m-1 dx / wie ihr es (§. 400) gefunden.
407. Nach den bisher gegebenen Regeln koͤnnen alle Groͤſſen / ſie moͤgen ausſehen / wie ſie wollen / dif - ferentiiret werden / und und iſt die Rechnung / wie ihr ſehet / einerley / die Groͤſſen moͤgen rational oder irra - tional ſeyn. So findet ihr Z. E. dV (x2 - y2) = d (x2-y2) 1: 2 = ½ (2xdx - 2ydy): (x2-y2) 1: 2 = xdx-ydy,: V (x2-y2) §. 400 / und d V (aa -Q 5y2)450[250]Anfangs-Gruͤndey2) = d (a2-y2) 1: 2 = ½. - 2ydy: (a2-y) 1: 2 = - ydy: V (a2-y2).
408. Damit ihr den Nutzen der Differential - Rechnung in der hoͤheren Geometrie ſehet / ſo muß ich zeigen / wie die Eigenſchafften der krummen Linien dadurch erfunden werden.
409. Weil der Punct / ſo die krummeTab. V. Fig. 46. Linie beſchreibet / in ſeiner Bewegung ſeine Direction beſtaͤndig aͤndert (§. 5. Geom.); ſo kan man ſich die krummen Linien vorſtellen / als wenn ſie aus un - endlich kleinen geraden Linien zuſam - men geſetzt / und daher ein Polygon von unzehlich unendlich kleiner Seiten waͤ - ren. Wenn ihr nun ſetzet / daß eine von dieſen Seiten Mm in eine endliche gerade Linie TM verlaͤngert wird; ſo iſt ſelbige die Tangens der krummen Li - nie.
410. Derowegen zeiget die Tangens die direction, welche der Punct / ſo die krumme Linie beſchrieben / an jedem Theile derſelben gehabt.
411. Die SUBTANGENS iſt die Li -Tab. V. Fig. 46. nie PT / welche zwiſchen der Tangente T M und der Semiordinate PM enthalten iſt.
412. Wenn ihr in dem Puncte der Be - ruͤhrung M eine Perpendicular-Linie MR aufrichtet / biß ſie die Axe in R errei - chet / ſo heiſſet ſie die Normal-Linie; der Theil der Axe aber in H / welcher zwi - ſchen ihr und der Semiordinate PM lie - get / die Subnormal-Linie.
413. Jn einer jeden gegebenen Alge - braiſchen Linie die zu einem gegebenen Puncte gehoͤrige Subtangentem zu fin - den.
Setzet die Semiordinate pm der andernTab. V. Fig. 46. PM unendlich nahe / und ziehet MR mit der Axe HK parallel / ſo iſt MR = Pp (§. 91. Geom.) die Differential der Abſciße AP / m R die Differential der Semiordinate PM (§. 388). Weil nun PM mit pm parallel iſt / ſo iſt der Winckel MmR dem Winckel Tmp gleich (§. 92 Geom.) folgends da bey R und P rechte Winckel ſind (§. 185. 186 ) / MTp = m MR (§. 99. Geom.). Demnach iſt mR: MR252Anfangs-GruͤndeR = PM: PT / (§ 182 Geom.). Setzet nun PM = y / PA = x / ſo iſt MR = dx / mR = dy (§. 39.) / folgends dy: dx = y: pT / u demnach PT = ydx: dy. Wenn ihr nun den Werth von dx aus der Æquation ſubſtituiret / wel - che die Natur einer krummen Linie insbeſon - dere erklaͤhret; ſo verſchwindet dx und dy / und kommet die Subtangens TP in lauter endlichen Groͤſſen heraus. W. Z. F. und Z. E.
414. Es ſey ax = y2 / ſo iſt adx = 2ydy / dx = 2ydy: a / folgends PT = ydx: dy = 2y2dy: ady = 2y2: a = 2ax: a = 2x. Dero - wegen iſt in der Parabel die Subtangens TP zu der Abſciſſe AP wie 2 zu 1.
415. Es ſey fuͤr unendliche Parabeln am-1 x = ym / ſo iſt am-1 dx = mym-1 dy (§. 398.) dx = mym-1 dy: am-1 PT = ydx: dy = mym dy: am-1 dy = mym: am-1 = mam-1 x: am-1 = mx. Wenn alſo m = 3 / ſo iſt PT = 3x / das iſt / in der Parabel von dem andern Geſchlechte iſt PT: AP = 3: 1 &c.
416. Es ſey an xr = ym / ſo iſtran253der Algebrr. ran xr-1 dx = mym-1 dy (§. 398) dx = mym-1dy: ran xr-1 PT = ydx: dy = mym dy: ran xr-1dy = mym: ran xr 1 = man xr: ran xr-1 = mx: r. Setzet z. E. a3x2 = y5 ſo iſt PT = $$\frac {5}{2}$$ x / das iſt / PT: AP = 5: 2.
417. Jn dem Circul iſt ax - xx = yy / und demnach adx-2xdx = 2ydy dx = 2ydy: (a-2x) PT = ydx: dy = 2y2dy: (a-2x) dy = 2y2: (a-2x) = (2ax-xx): (a-2x). Solcherge - ſtalt iſt a-2x: 2a-x = x: PT Weil PT = (2ax-xx): (a-2x) / ſo iſt AT =Tab. V. Fig. 47. (2ax-xx): (a-x) - x = (2ax-xx-ax+xx): (a - 2x) = ax: (a-2x) / folgends BP: 2AP = A B: TA.
418. Es ſey fuͤr unendliche Circul (§. 243) axm - xm+1 = ym+1 ſo iſt maxm-1dx - (m-1) xm dx = (m+1) ymdy dx = (m+1) ym dy: maxm-1 - (m-1) xm PT = ydx: dy = (m + 1) ym+1: maxm-1 - (m-1) km = (m+1) (axm - xm+1):, maxm-1 - (m-1) xm. Dem -254Anfangs-GruͤndeDemnach iſt AT = (m+1) (axm - xm+1):, m axm-1 - (m-1) xm - x = (maxm - mxm+1 + axm - axm+1 + maxm + mxm+1 + xm+-1):, maxm-1 - (m -1) xm = axm+1: (maxm -1 - (m-1) xm). Es ſey ein Circul von dem anderen Geſchlech - te / ſo iſt m = 2 / alſo PT = (3ax2 - x3): (2ax-3x2) und AT = ax2: (2ax-3x2) &c.
419. Jn der Ellipſi iſt ay2 = abx-bx2 (§. 224) und daher 2aydy = abdx-2bxdx dx = 2aydy: (ab-2bx) PT = ydx: dy = 2ay2dy: (ab-2bx) dy = 2ay2: (ab-2bx) = (2abx-2bx2): (ab-2bx). Daher iſt AT = (2abx-2bx2): (ab-2bx) - x = (2abx-2bx2-abx + 2bx2): (ab-2ax) = ax: (a-2x) wie im Circul.
420. Fuͤr unendliche Ellipſes iſt (§. 242) aym+n = bxm (a-x) n und daher (m+n) aym+n-1 dy = mbxm-1 (a-x) n dx-nbxm (a-x) n-1dx (m+n) aym+n-1 dy: (mbxm-1 (a-x) n - nbxm (a - x) n-1) = dx PT = ydx: dy = (m+n) aym+n: (mbxm-1 (a-x) n - nbxm (a-x) n-1) = (mbxm (a-x) n + nbxm(a-x) 255der Algebra. (a-x) n): (mbxm-1 (a-x) n - nbxm (a-x) n-1) = (wenn ihr mit bxm-1 und (a-x) n-1 divi - diret) (m+n) (ax-xx): (ma-mx-nx).
Derowegen iſt AT (m+n, ax-xx): ma-mx - nx) - x = (max-mx2 + nax-nx2-max + m2 x2 + nx2): (ma-m-xnx) = nax: (ma-mx - nx).
Es ſey Z. E. eine Ellipſis von dem andern Geſchlechte / ſo iſt m = 2 / n = 1 (§. 242) / PT = (3ax-3xx): (2a-3x) / AT = ax: (2a-3x)
421. Fuͤr eine Hyperbel iſt ay2 = abx+bxx und daher findet ihr wie §. 419 PT = (2ax + 2xx): (a + 2x) und AT = ax: (a+2x).
422. Fuͤr unenendliche Hyberbeln iſt aym+n = bxm (a-x) n (§. 265). Derowegen fin - det ihr wie §. 420 PT = (m+n) (ax + xx): (ma + mx + nx) und AT = ax: (ma + mx + nx).
423. Fuͤr eine Hyperbel zwiſchen ihren A - ſymptoten iſt xy = aa (§. 265)
Daher xdy + ydx = o (§. 394. 396). ydx = - xdy PT = ydx: dy = - xdy: dy = - x.
Alſo iſt die Subtangens der Abſciſſe gleich / muß aber / weil - x iſt / ihrem Uhrſprunge ent -ge -256Anfangs-Gruͤndegegen geſetzt werden / das iſt / wenn der Punct / wovon die Abſciſſen gerechnet wer - den / zur Lincken der Semiordinate iſt / ſo wird die Subtangens auf der Axe zu ihrer Rech - ten genommen.
424. Fuͤr unendliche Hyperbeln zwiſchen ihren Aſymptoten iſt am+n = yxn (§. 266) Daher o = mxn ym-1 dy+nxn-1ym dx - mxn ym-1dy: nxn 1ym = dx PT = ydx: dy = - mxn ym: nxn -1 ym = - mx: n. Es ſey eine Hyperbel von dem andern Ge - ſchlechte / ſo iſt m = 2 / n = 1 / PT = - 2x.
425. Endlich weil fuͤr alle Algebraiſche Li - nien aym + bxn + cyr xſ + f = o / ſo iſt maym-1 dy + nbxn-1 dx + rcyr-1xſ dy + ſcyr xſ-1 dx = o nbxn-1 dx + ſcyr xſ-1 dx = - maym-1dy-rcyr-1 xſ dy dx = (- maym-1 dy-rcyr-1xſ dy): (nbxn-1 + ſcyr xſ-1) PT257der Algebra. PT = ydx: dy = (- maym - rcyr): (nbxn-1 + ſcyr xſ-1) nach welcher Regel alleꝛ Algebra - iſchen Linien Subtangentes gefunden wer - den / wenn ihr fuͤr die undeterminirte Buchſtaben a / c / b und die Exponenten m / n / r / ſ ihren Werth aus ihrer Gleichung ſetzet. Z E. Weil fuͤr die Parabel vom erſten Geſchlechte ax = y2 / oder y2 - ax = o ſo iſt aym = y2 bxn = - ax cyr xſ = o f = o a = 1 m = 2 b = - a n = 1 c = o r = o ſ = o daher PT = (- 2. 1y2 - 0. 0yo): (- 1. ax1.1 + 0. 0yo xo) = - 2y2: - a = 2ax: a = x.
Wiederumb es ſey y3 - x3 - axy = o / ſo iſt aym = r3 bxn = - x3 cyr xſ = - axy f = o a = 1 m = 3 b = -1 n = 3 c = - a r = 1 ſ = 1 daher PT = (- 3. 1y3-1. - ay): (3. -1x3-1 + 1. - ay) = (- 3y3 + axy): (- 3x2 - ay) = (3y3 - ay): (3x2 + ay): folgends AT = (3y3 - ay): (3x2 + ay) - x = (3y3 - axy - 3x2 - axy): (3x2 + ay) = (3axy - 2axy): (3x2 + ay) = axy: (3x2 + ay).
425. Wenn ihr die Subtangentem PT habet / koͤnnet ihr auch die Tangentem TM ziehen.
426. Weil pT = ydx: dy / PM = y / ſo(4) Riſt258Anfangs-Gruͤndeiſt TM = V (y2dx2: dy2 + y2) = V (y2dx2 + y2dy2:, dy2) = yV (dx2 + dy2): dy.
427. Die Subnormal-Linie PH in ei - ner Algebraiſchen Linie zu finden.
Weil der Triangel TMH bey M recht - wincklicht iſt / ſo iſt TP: PM = PM: PH (§. 195 Geom.) (ydx: dy): y = y: PH.
Derowegen PH = y2dy: ydx = ydy: dx. Wenn ihr demnach aus der Æqua - tion fuͤr eine beſondere Linie den Werth von dy durch x exprimiret; ſo bekommet ihr die Subormal-Linie / wie vorhin die Subtan - gentem, in lauter endlichen Groͤſſen.
428. Es ſey ax = y2 / ſo iſt adx = 2ydy ½ adx = ydy PH = ydy: dx = adx: 2dx = ½a Demnach iſt in der Parabel die Subnor - mal-Linie beſtaͤndig dem halben Parameter gleich / folgends die Normal-Linie MH = V (y y+¼aa) = V (ax+¼aa). Nun iſt die Linie / die aus dem Brenn-Puncte in M gezogen wird / = x+¼ a. Derowegen iſt das Qvadrat der Nor -mal -259der Algebra. mal-Linie gleich einem Rectangulo aus dem Parameter in die Linie / ſo aus dem Brenn - Puncte an das Ende der Semiordinate ge - zogen wird.
429. Eben ſo findet ihr die Subnormal-Linie in allen anderen Faͤllen / und durch deren Huͤlfe koͤnnet ihr aus jedem gegebenen Puncte einer Algebraiſchen Linie eine Perpendicular-Linie HM aufrichten. Z. E. im Circul iſt ax - xx = y2 adx-2xdx = 2ydy ½adx - xdx = ydy PH = ydy: dx = ½a - x. Daher iſt klahr das alle Normal-Linien in dem Circul durch das Centrum gehen / oder / daß alle Radii des Circuls auf der Periphe - rie perpendicular ſtehen und demnach die Tangens des Circuls mit dem Radio einen rechten Winckel macht. Woraus erhellet / daß / wenn ihr die Tangentes, Subtangen - tes, Normal - und Subnormal-Linien ſu - chet / dadurch noch viele andere Eigenſchaf - ten der krummen Linien gantz leichte entde - cket werden / die ſonſt einen ſehr weitlaͤufti - gen Beweiß erfordern.
430. Weil PH = ydy: dx / ſo iſt MHR 2= V260Anfangs-Gruͤnde= V (y2 + y2dy2: dx2) = V (y2dx2 + y2dy2 /: dx2) = yV (dx2 + dy2): dx.
431. Dannenhero iſt TM: MH = yV (dx2+dy2): dy /: yV (dx2 + dy2): dx = dy: dx.
432. Die Aſymptoten einer Algebrai - ſchen Linie zu determiniren.
Z. E. Jn der Hyperbel iſt AT = ax: (a + 2x) und demnach a in Anſehung x unendlich kleine / folgends ax: 2x = ½ a = AC / wie ſchon oben (§. 260) auf andere Art erwie - ſen worden.
2. Laſ -261der Algebra.Z. E. Jn der Hyberbel iſt ay2 = bx (a + x). Da nun a in Anſehung x unendlich kleine iſt / ſo habet ihr ay2 = bx2 / folgends yV a = xVb dyVa = dxVb dx: dy = V a: V b Nun iſt dx: dy = AC: AE (§. 182 Geom) das iſt Va: Vb = ½a: AE. Demnach iſt AE = ½aV b: V a = V¼aa b: V a = V¼ab / wie abermal oben (§. 260) ſchon auf andere Art erwieſen worden.
433. Jn unendlichen Hyperbeln iſt uͤber - haupt AT = ax: (ma+mx + nx). Daher AC = nax: (mx + nx) = na: (m + n). Und weil ferner aym+n = bxm (a + x) n ſo iſt aym+n = bxm+n oder / wenn ihr m + n = r ſetzetR 3ay -262Anfangs-Gruͤndeayr = bxr ya1: r = xb1: r dya1: r = dxb1: r dx: dy = a1: r: b1: r = AC: AE a1: r: b1: r = (na: r): AE Derowegen iſt AE = nab1: r: ra1: r = nar-1,: r b1-r: r = (n: r) 〈…〉 ar-1b.
404. Die Subtangentem AH in einer Spiral-Linie zu finden.
Es ſey der halbe Diameter des Eirculs AB = a / die Peripherie = b / der Bogen BC = x / AG = y / ſo iſt CD = dx / EF = dy. Weil nun AC der Linie AD un - endlich nahe iſt / ſo koͤnnet ihr EG als einen Bogen anſehen / der mit dem halben Dia - meter AG beſchrieben worden. Demnach iſt AD: AG = CD: EG a y dx ydx: a Weil EG mit FA einen rechten Winckel macht (§. 429) und AH iſt gleichfals auf EA perpendicular aufgerichtet worden; ſo iſt (§. 182. Geom.)
FE:263der Algebra.FE: EG = GA: AH dy ydx: a y y2dx: ady Nun iſt fuͤr die Archimediſche Spiral-Linie ax = by (§. 272). daher adx = bdy dx = bdy: a AH = y2dx: ady = by2: a2 = axy: a2 = xy: a
405. Alſo koͤnnet ihr die Subtangentem nicht finden / ihr muͤſſet vorher den Circul - Bogen x in eine gerade Linie verwandeln koͤnnen.
406. Fuͤr unendliche Spiral-Linien iſt am xn = bn ym (§. 273) nam xm-1dx = mbn ym-1 dy dx = mbn ym-1dy: nam xm-1 AH = y2dx: ady = mbn ym+1: nam + 1 xn-1 = mam xn y: nam+1xn-1 = mxy: na.
407. Setzet / daß der Bogen BC ſich zu FC verhalten ſolle wie die Abſciſſe in ei - ner Algebraiſchen Linie zu ihrer Semiordi -R 4nate.264Anfangs-Gruͤndenate. Solcher geſtalt iſt BC = x / CD = dx / FC = y / EF = dy.
Nun iſt AD: AG = CD: EG r r - y dx (rdx-ydx): r FE: EG = GA: AH dy (rdx-ydx): r r-y (r-y) 2 dx: rdy Wenn ihr nun fuͤr dx in dem Werthe von AH ſeinen Werth aus der Æquation einer Al - gebraiſchen Linie ſetzet; ſo habet ihr die Subtangentem AH.
Z. E. Jn der Parabel iſt ax = y2 / und alſo dx = 2ydy: a Derowegen wenn der Bogen BC die Abſciſſe einer Parabel / FC die Semiordinate und a ihren Parameter vorſtellet; ſo iſt AH = 2 (r-y) 2 ydy: ady = (2r2y - 4ry2 + y3): a = (2r2y - 4arx + axy): a = xy - 4rx + 2r2y: a.
408. Jhr koͤnnet BC fuͤr die Abſciſſe und FC fuͤr die Semiordinate einer jeden Algebraiſchen Linie an - nehmen / und aus der allgemeinen Æquation fuͤr alle krumme Linien einen allgemeinen Werth fuͤr AH fin - den.
409. Die Subtangentem AT in der Conchoide des Nicomedis zu finden.
Richtet AT auf AM perpendicular auf /und265der Algebra. und ziehet Am mit aM unendlich nahe. Laſ - ſet uͤber dieſes die beyden Perpendicular-Li - nien MR und PQ fallen. Nun ſey AH = b / PM = a / AM = y / AP = x / ſo iſt x-y = a (§. 276) und Qp = dx / Rm = dy. Nun ſind bey Q und A rechte Winckel. MPp = HP A (§. 58 Geom.) / MPp = PAp + PpA = P pA / weil PAp unendlich kleine iſt (§. 385) / fol - gends iſt auch QPp = AHP (§. 99 Geom.) und daher (§. 182 Geom.). AP: AH = PQ: PQ x b dx bdx: x Nun iſt ferner (§. 177 Geom.) AP: PQ = AM: MR x bd: x y bydx: x2 Endlich weil wie vorhin erwieſen werden kan / daß jeder Winckel in dem Triangel MRm ſo groß iſt wie jeder in dem andern TAM / ſo habet ihr (§. 182 Geom.). Rm: RM = AM: AT dy bydx: x2 y by2dx: x2dy Weil nun in der Conchoide des Nicome - dis y-x = a ſo iſt y = a + x dy = dxR 5AT266Anfangs-GruͤndeAT = by2dx: x2 dy = by2: a2.
410. Die Subtangentem PT in der Cy - cloide zu finden.
Es ſey APB der Circul / der die Cycloidem beſchreibet / KP die Tangens des Circuls / qm der andern Linie QM unendlich nahe und M R mit dem unendlich kleinen Bogen Pp paral - lel / den ihr fuͤr eine gerade Linie halten koͤn - net. Da nun MS = Po und der Winckel bey R ſo groß wie der bey pO (§. 92 Geom.) folgends weil bey S und O rechte Winckel ſind M = P (§. 99 Geom.) ſo iſt auch MR = Pp (§. 68 Geom). Es ſey AP = x / PM = y / ſo iſt Pp = MR = dx / mR = dy. Nun iſt MR mit MT parallel / und daher MmR = TMP (§. 92 Geom.). Und weil MR mit TP paral - lel iſt / ſo iſt mRM = mPT ≡ MPT (§. cit. ) folgends mMR = MTP (§. 99 Geom.) und daher (§. 182 Geom.) mR: MR = PM: PT dy dx y ydx: dy Nun iſt in der Cycloide (§. 286) y = x und da - her dy = dx / ſolgends ydx: dy = y.
411. Wenn ihr alſo die Tangentem des Circuls TK (§. 429) ziehet; ſo iſt es auch leich - te die Tangentem der Cycloidis TM zuzie - hen.
412. Laſſet APB eine andere Algebraiſche krumme Linie ſeyn / derer Tangentem ihr ziehen koͤnnet / ihre Bogen aber AP die Ab - ſciſſen der Tranſcendentiſchen Linie AMC; ſo koͤnnet ihr auf gleiche Weiſe ihre Tangentes ziehen. Es ſey Z. E. bx = ay ſo iſt bdx = ady dx = ady: b PT = ydx: dy = aydy = ay: b.
413. Die Subtangentem TP zu der Lo -Tab. V. Fig. 51. garithmiſchen Linie zu finden.
Es ſey AX die Axe / PM die Ordinate. Setzet AP = x / PM = y / ſo iſt Pp = RM = dx / mR = dy und weil die Aehnlichkeit der Triangel mRM und PMT wie oben §. 413 erwieſen werden kan; ſo iſt (§. 182 Geom.) mR: RM = PM: PT dy dx y ydx: dy Setzet eine andere Abſciſſe = v / die zugehoͤri - ge Semiordinate = z: ſo iſt die Subtangens = zdv: dz. Weil die Abſciſſen in einerA -268Anfangs-GruͤndeArithmetiſchen Progreßion fortgehen / ſo iſt dx = dv. Hingegen weil die Semiordi - naten in einer Geometriſchen fortſchreiten (§. 284) / ſo iſt y: y + dy = z: z + dz daher y: dy = z: dz (§. 130) dx = dv ydx: dy = zdv: dz
Alſo ſind in der Logarithmiſchen Linie alle Subtangentes einander gleich / oder die Sub - tangens iſt eine unveraͤnderliche Linie.
414. Wenn die Semiordinaten bis zu einem gewiſſen Ziele immer mit den Abſciſſen wachſen / hernach aber wieder abnehmen / unerachtet dieſe noch be - ſtaͤndig zunehmen; ſo nennet man die Groͤſte diejenige / wo der Wachsthum aufhoͤret. Jngleichen wenn ſie bis auf ein gewiſſes Ziel immer abnehmen / in - dem die Abſciſſen zunehmen / und her - nach mit dieſen fortwachſen / ſo heiſſet diejenige die Kleineſte / wo die Verge - ringerung aufhoͤret. Die Methode einen Werth der Abſciſſe in lauter un -ver -269der Algebra. veraͤnderlichen Groͤſſen zu finden / dem die groͤſte oder kleineſte Applicate oder Semiordinate zukommet / nennet man die Methode von den Groͤſten und den Kleineſten. (Methodum de maximis & minimis).
415. Man kan durch dieſe Methode auch viel an - dere Fragen aufloͤſen / da das groͤſte oder kleineſte un - ter Dingen von einer Art geſucht wird; wie es dir folgenden Exempel zeigen werden.
416. Die groͤſte oder kleineſte Appli -Tab. V. Fig. 47. cate in einer Algebraiſchen Linie zu de - terminiren.
Es iſt klahr / daß die Tangens in dem Puncte D / wo die groͤſte oder kleineſte Appli - cate iſt / mit der Axe parallel laufft / und daher die Subtangens unendlich groß iſt; wenn nun in allen Algebraiſchen Linien die Sub - tangens ydx: dy (§. 413) unendlich groß wird; ſo iſt dy in Anſehung des Zehlers ydx unendlich kleine / weil er dy unendlich mal in ſich begreiffen muß / und darumb dy = 0 (§. 384). Suchet derowegen aus der gegebe - nen Æquation fuͤ die krumme Linie die Dif - ferential-Groͤſſe der Applicate und ſetzet ſie = 0; ſo koͤnnet ihr aus dieſer Æquation den Werth von x durch gehoͤrige Reduction fin - den.
Jn270Anfangs-GruͤndeJn einigen Linien faͤllet die Tangens in die Applicate DE und alsdenn iſt die Sub - tangens ydx: dy = 0. Wenn nun dieſer Bruch unendlich kleine ſeyn ſoll / ſo muß dy unendlich groß ſeyn in Anſehung des Zeh - lers ydx. Dannenhero wenn dy = 0 keinen moͤglichen Werth fuͤr die Abſciſſe zur groͤſten Applicate giebet; ſo ſetzet dy = ∞ / das iſt / einem unendlichen Werthe / und ſuchet aus dieſer Gleichung die Abſciſſe x.
417. Jm Circul iſt ax-xx = y2 adx-2xdx = 2ydy (adx-2xdx): 2y = dy = 0 a-2x = 0 2 ½a = x Die Abſciſſe / welche in dem Circul der groͤ - ſten Applicate zugehoͤret; iſt dem halben Dia - meter gleich.
418. Fuͤr unendliche Circul iſt maxm-1 dx - (m-1) xmdx = (m+1) ymdy = 0 maxm-1 = (m-1) xm xm-1 ma = (m-1) xma271der Algebrr. ma: (m-1) = x Es ſey m = 3 / ſo iſt es ein Circul von dem drit - ten Geſchlechte und x = $$\frac {3}{2}$$ a.
419. Fuͤr unendliche Ellipſes iſt (m+n) aym+n-1 dy = mbxn-1 (a-x) n dx-nbxm (a-x) n-1 dx dy = mbxm-1 (a-x) n dx-nbxm (a-x) n-1 dx,: (m+n) aym+n-1 = 0 nbxm - (a-x) n-1 = mbxm-1 (a-x) n nbx = mba-mbx nbx + mbx = mba x = ma: (m+n)
Es ſey m = 1 / n = 1 / ſo iſt es eine Ellipſis von dem erſten Geſchlechte und x = ½a / wie im Circul. Hingegen ſey m = 2 / n = 1 / ſo iſt es eine Ellipſis von dem andern Geſchlech - te und x = ⅔a.
420. Es ſey y3+y3 = axy ſo iſt 3x2dx + 3y2dy = axdy + aydx 3x2dx-aydx = axdy - 3y2dy (3x2dx-aydx): (ax-3y2) = dy = 03x 2272Anfangs-Gruͤnde3x2 = ay 3x2: a = y x3+27x6: a3 = 3ax3: a = 3x3 27x6 = 2a3x3 27x3 = 2a3 3x = a $$\sqrt [3] {} 2$$ x = ⅓ a $$\sqrt [3] {} 2$$
421. Es ſey y-a = a1: 3 (a-x) 2: 3 dy = - 2dxa1: 3: 3 (a-x) 1: 3 = 0 - 2a1: 3 = 0 Weil ihr keinen Werth von x findet / wenn ihr dy = 0 ſetzet / ſo nehmet dy = - 2dxa1: 3: 3 (a-x) 1: 3 = ∞ Alſo iſt 3 (a-x) 1: 3 in Anſehung ſeines Zehlers 2dxa 1: 3 unendlich kleine. Darumb habet ihr 3 (a-x) 1: 3 = 0 a-x = 0 a = x
422. Aus dem gegebenen Puncte R inTab. II. Fig. 15. der Axe einer krummen Linie an die Peripherie eine gerade Linie NR zie - hen / welche die kleineſte unter allen iſt / die ſich aus dieſem Puncte ziehen laſſen.
Es ſey AP = x / PM = y / AR = c / ſo iſt PR = c-x / und / weil (PM) 2 + (PR) 2 = (MR) 2 (§. 167 Geom.) / c2 - 2cx + xx + yy = (MR) 2 Nehmet MR an als die Applicate einer krum - men Linie und ſetzet c2 - 2cx + xx + yy = z2 ſo iſt 2xdx - 2cdx + 2ydy = 2zdz (2xdx - 2cdx + 2ydy): 2z = dz = 0 xdx-cdx + ydy = 0
Wenn ihr nun aus der Æquation fuͤr ei - ne krumme Linie den Werth von ydy ſubſti - tuiret; ſo koͤnnet ihr daraus AP determini - ren / der die Applicate PN zu gehoͤret / dahin die kuͤrtzeſte Linie NR gezogen wird.
423. Es ſey fuͤr eine Parabel ax = yy ſo iſt adx = 2ydy(4) S½ adx274Anfangs-Gruͤnde½adx = ydy xdx - cdx + ydy = xdx - cdx + ½adx = 0 x-c+½a = 0 x = c-½a.
424. Es ſey fuͤr eine Ellipſin ay2 = abx - bx2 ſo iſt 2aydy = abdx - 2bxdx 2a ydy = ½bdx - bxdx: a xdx - cdx + ydy = xdx - cdx + ½bdx - bxdx: (a = 0 x - c + ½b - bx: a = 0 ax - ac + ½ab - bx = 0 ax - bx = ac - ½ ab a-b x = (ac - ½ab): (a-b)
425. Auf gleiche Weiſe findet ihr fuͤr die Hyperbel / daß x = (ac + ½ ab): (a + b).
426. Eine Linie AB dergeſtalt in Ezu275der Algebra. zu ſchneiden / daß das Product aus demTab. V. Fig. 49. Qvadrate des einen Theiles AE in den andern EB das groͤſte ſey unter allen / die auf dergleichen Art formiret werden koͤnnen.
Es ſey AB = a / AE = x / ſo iſt (AE) 2. EB = axx - x3. Setzet demnach / es ſey eine krumme Linie / in welcher axx - x3 = aay ſo iſt 2axdx - 3x2dx = aady (2axdx - 3x2dx): aa = dy = 0 2ax = 3x2 ⅔a = x
427. Eine Linie AB dergeſtalt in ETab. V. Fig. 49 zu ſchneiden / daß das Product aus ei - ner gegebenen Dignitaͤt des einen Thei - les AE in eine gegebene Dignitaͤt des an - dern Theiles EB das groͤſte unter allen ſey / die auf dergleichen Art formiret werden.
Es ſey AB = a / AE = x / ſo iſt xm (a - x) 2 das groͤſte von ſeiner Art. Setzet dem - nachS 2xm276Anfangs-Gruͤndexm (a-x) n = am+n-1y ſo iſt mxm-1 (a-x) n dx-nxm (a-x) n-1 dx = (am+n-1dy (mxm-1 (a-x) n dx - nxm (a-x) n-1dx): am+n-1 (= dy = 0 mxm-1 (a-x) n = nxm (a-x) n-1 m (a-x) n = nx (a-x) n-1 ma-mx = nx ma: (m+n) = x
428. Unter allen Parallelepipedis, die einem gegeben Wuͤrfel gleich ſind / und deren eine Seite gegeben wird / dasje - nige zufinden / das die geringſte Flaͤche hat.
Es ſey b die eine Seite / x die andere / der gegebene Wuͤrfel = a3 / ſo iſt die dritte = a3: bx.
Folgends die Flaͤche des Parallelepipedi 2bx + 2a3: x+2a3: b. Setzet demnach es ſey in einer krummen Linie 2bx + 2a3: x + 2a3: b = ayſo277der Algebra. ſo iſt 2bdx - 2a3dx: x2 = ady = 0 2b-2a3: x2 = 0 bx2 = a3 x2 = a3: b x = V (a3: b)
Alſo ſind die drey Seiten b / V (a3: b) und a3: b V (a3: b) = V (a6: V (b2a3: b)) = V (a6 b: V (a3b2)) = V (a3: b).
429. Unter allen Parallelepipedis, die einem gegebenen Wuͤrfel gleich ſind / dasjenige zufinden / ſo die kleineſte Flaͤ - che hat.
Es ſey der gegebene Wuͤrfel = a 3 / die ei - ne Seite = x / ſo ſind die beyden andern Sei - ten (§. 428) V (a3: x) / und daher iſt die Flaͤ - che des Parallelepipedi = 2a3: x + 4 V a3x. Da nun dieſes die kleineſte von ihrer Art iſt / ſo ſetzet die Æquation fuͤr eine krum - me Linie 2a3: x + 4V a3x = ay ſo iſt - 2a3dx: x + 2a3dx: V a3x = ady - 2a2dx: x2 + 2a2dx: V a3x = 0S 3a 2:278Anfangs-Gruͤndea2: V a3x = a2: x2 x2 = V a3x x4 = a3x x3 = a3 x = a
Alſo hat der Wuͤrfel ſelbſt die kleineſte Flaͤche.
430. Unter allen Kegeln / die inner - halb einer Kugel beſchrieben werden koͤnnen / denjenigen zu determiniren / der die groͤſte Flaͤche hat.
Es iſt klahr / daß / wenn ſich ein halber Cir - cul umb ſeinen Diameter AB wendet / derſel - be eine Kugel / die Triangel aber ANP / AFE / &c. Kegel beſchreiben. Die Flaͤche des Kegels kommet heraus / wenn ihr die Seite des Kegels FE durch die Peripherie / die mit dem Radio TE beſchrieben worden / multi - pliciret. Weil ihr nun die groͤſte von ihrer Art ſuchet / ſo ſetzet AE = x / AB = a / und es iſt FE = V (ax-xx) (§. 195 Geom.) die Peripherie mV (ax-xx) AF = V ax. Derowegen habet ihr die Æquation fuͤr ei - ne krumme Linie
m279der Algebra.mV (ax-xx) V ax = ay mV (a2x2-ax3) = ay 2ma2xdx-3max2dx: mV (a2x2-ax3) = ady 2ax-3x2 = 0 2a = 3x2 ⅔a = x
Ende des andern Theiles.
431. Die Jntegral-Rechnung iſt ei - ne Wiſſenſchaft aus einer gegebenen unendlich kleinen Groͤſſe diejenige end - liche zufinden / durch deren Differentii - rung ſie entſtehet.
432. Derowegen habet ihr eine gewiſſe Probe ob ihr die rechte Groͤſſe gefunden / wenn ihr die gefundene Jntegral nach den oben gegebenen Regeln differentiiret und die gegebene Differential wieder heraus kom - met.
433. Jntegriren oder Summiren heiſſet die Groͤſſe finden / aus welcher durch Diſſerentiirung die gegebene un - endlich kleine entſtanden.
434. Eine gegebene Differential zu integriren oder ſummiren.
Auf -281der Algebra.Gleichwie man die Differentiale der ver - aͤnderlichen Groͤſſen durch d andeutet; ſo pfle - get man die Jntegrale derſelben als die Summe unendlicher unendlich kleiner Groͤſ - ſen durch ſ anzudeuten. Daher heiſſet ſydx ſo viel als die Jntegral von ydx.
Wann ihr nun die Jntegral finden wollet / ſo vergleichet die gegebene Differential mit denen / ſo ihr oben (§. 393 & ſeqq. ) gefunden: ſo werdet ihr bald wahrnehmen / wie die Veraͤnderung vorzunehmen ſey. Es iſt a - ber I. ſdx _ _ = x II. ſ (dx+dy) _ _ = x+y+a oder x+y III. ſ. (xdy+ydx) _ _ = xy IV. ſmxm-1dx _ _ = xm V ſ (n: m) xn-m,: m dx = xn: m VI. (ydx-xdy): y2 = x: y Von dieſen Formeln ſeyd ihr gewiß / daß ſie ſich alle integriren laſſen / und zwar ſetzet ihr in dem andern und erſten Falle nur an ſtat dx oder dy die veraͤnderliche Groͤſſe x oder y ſelbſt. Jn dem dritten multipliciret ihr die beyden veraͤnderlichen Groͤſſen xy durch ein - ander / dadurch ihre Differentiale dy und dx multipliret ſind. Jn dem vierdten und fuͤnff - ten (welcher der gewoͤhnlichſte iſt) addiret ihr zu dem Exponenten der Dignitaͤt der ver - aͤnderlichen Groͤſſe 1 und durch den vermehr -S 5ten282Anfangs-Gruͤndeten und die Differential der veraͤnderlichen Groͤſſe dividiret ihr die gegebene Differen - tial. Endlich in dem ſechſten Falle nehmet ihr die veraͤnderliche Groͤſſe mit dem Zeichen - fuͤr den Zehler und die Wurtzel von dem Qvadrate des Nenners fuͤr den Nenner an.
435. Es koͤnnen zwar noch viel andere Faͤlle vor - kommen / die hier nicht beruͤhret werden: allein ihr werdet es beſſer aus folgenden Exempeln / als durch weitlaͤuftige Regeln finden.
436. Mercket aber daß einige Groͤſſen ſind / die ſich nicht integriren laſſen. Denn wie man in der ge - meinen Algebra zwar alle Groͤſſen zu einer verlangten Dignitaͤt erheben / nicht aber aus jeder Dignitaͤt eine verlangte Wurtzel ausziehen kan; eben ſo kan man in der hoͤheren Analyſi zwar eine jede veraͤnderliche Groͤſſe differentiiren / allein nicht eine jede Differen - tial ſummiren. Gleichwie man aber in der gemei - nen Algebra die Wurtzel durch Naͤherung ſuchet / e - ben ſo pfleget man in der hoͤheren die Jntegral durch Naͤherung zu ſuchen / wo man ſie nicht vollkommen haben kan. Allein zur Zeit hat man noch keine Re - gel / daraus man ſchlieſſen koͤnte / ob die Summation ſtat findet oder nicht / und koͤnnen wohl einige Diffe - rentiale zum Summiren geſchickt ſeyn / die wir zur Zeit noch nicht ſummiren koͤnnen.
437. Die Differential oder dasEle -283der Algebra. Element einer ebenen Flaͤche / die in ei -Tab. V. Fig. 46. ne krumme und zwey gerade Linien ein - geſchloſſen / als AMP / iſt das Rectangu - lum aus der Semiordinate PM in die Differential der Abſciſſe Pp.
438. Derowegen wenn die Semiordina - te PM = y / AP = x / ſo iſt Pp = dx und das Rectangulum PMRP = ydx.
439. Weil die Semiordinaten PM und pm einander unendlich nahe ſind / ſo iſt ihre Differentz mR in Anſehung ihrer nichts (§. 385) und daher das Rectangulum PMRp dem Trapezio PMmp gleich. Da ihr nun die Figur in unendlich ſolche Trapezia reſol - viren koͤnnet; ſo iſt ſydx der Jnhalt der Flaͤ - che AMP.
440. Derowegen wenn ihr aus der Æ - quation fuͤr eine krumme Linie den Werth von y ſubſtituiret / und ihr koͤnnet die Diffe - rential der Flaͤche integriren; ſo habet ihr die Qvadratur der Flaͤche gefunden.
441. Den Jnhalt eines Triangels zu finden.
Wenn ihr die krumme Linie AM als einegera -284Anfangs-Gruͤndegerade anſchet / ſo iſt AMP ein Triangel / und daher auch ſein Element ydx. Setzet nun die Hoͤhe des Triangels / davon x ein Theil iſt / = a / die Grundlinie / welche mit PM oder y parallel iſt / = b; ſo iſt (§. 177 Geom.) a: b = x y folgends ay = bx y = bx: a ydx = bxdx: a ſydx = bx2: 2a (§. 434) Wenn ihr nun den gantzen Triangel verlan - get / ſo ſetzet fuͤr den Theil der Hoͤhe x / die gantze Hoͤhe a und ihr findet den Jnhalt ba2: 2a = ½ab.
442. Dieſes Exempel habe ich nur zu dem Ende gegeben / damit ihr ſehet / daß durch die Jntegral - Rechnung / deren Gruͤnde den Anfaͤngern zuerſt zwei - felhaft ſcheinen / eben das gefunden wird / was in der gemeinen Geometrie aus andern Gruͤnden erwieſen worden.
443. Die Parabel zu qvadriren.
Jn der Parabel iſt ax = y2 a½x½ = yydx285der Algebra. ydx = a½x½dx ſydx = ⅔a½x $$\frac {3}{2}$$ = ⅔ V ax3 = ⅔V (x2 y2) = ⅔ xy.
444. Alſo verhaͤlt ſich der Raum in der Parabel AMP zu dem Rectangulo aus der Semiordinate PM in die Abſciſſe AP wie ⅔ xy zu xy / das iſt wie 2 zu 3.
445. Unendliche Parabeln auf ein - mal zu qvadriren.
Fuͤr unendliche Parabeln und noch an - dere Linien iſt amxn = yr am: rxn: r = y ydx = am: r xn: r dx ſydx = (r:, n+r) am: rxn+r,: r = (r:, n+r) yx Z. E. Es ſey eine Parabel von dem andern Geſchlechte / ſo iſt a2x = y3 / daher r = 3 / n = 2 / folgends ſydx = ⅗xy.
446. Eine Linie zu qvadriren / in wel - cher xy3 = a4.
Auf -286Anfangs-GruͤndeWeil xy3 = a4 ſo iſt y3 = a4: x = a4x-1 y = a4: 2 x1: 3 ydx = a4: 3 x1: 3 dx ſydx = $$\frac {3}{2}$$ a4: 3 x2: 3 = $$\frac {3}{2}$$ $$\sqrt [3] {}$$ a4x2.
447. Die krumme Linie des Carteſii (Tom. 3. Epiſt. p. 219.) zu qvadriren / in welcher b2: x2 = b-x: y.
Weil b2y = bx2 - x3 ſo iſt y = (bx2-x3): b2 ydx = (bx2dx-x3dx): b2 ſydx = x3: 3b-x4: b2
448. Die krumme Linie zu qvadriren / deren Æquation iſt x[y5]+ a x4 + a2x〈…〉〈…〉 + a3 x2+a[5]= a4y.
Weil y — x5: a4 + x4: a3 + x3: a2 + x2: + a ſo iſt ydx = (x5: a4 + x4: a3+x3: a2 + x2: a+a) dxſydx287der Algebra. ſydx = x6: 6a4 + x5: 5a3+x4: 4a2+x3: 3a + ax.
449. Eine krumme Linie zu qvadri - ren / deren Æquation y2 = x4 + a2x2.
Weil y2 = x4 + a2 x2 ſo iſt y = V (x4 + a2x2) = xV (x2+a2) ydx = xdx� (x2+a2)
Damit dieſes Element zum integriren ge - ſchickt werde / ſetzet x2+a2 = v2 ſo iſt 2xdx = 2vdv xdxV (a2+x2) = v2dv ſxdxV (x2+a2) = ⅓v3 = ⅓ (x2+a2) V (x2 + a2)
450. Eine krumme Linie zu qvadri - ren / deren Æquation y2 = x3+ax2.
Weil y2 = x3+axx ſo iſt y = xV (x+a) ydx = xdxV (x+a)
Damit dieſes Element zum integriren ge - ſchickt werde / ſetzetx+a288Anfangs-Gruͤndex+a = v2 ſo iſt x = v2-a dx = 2vdv xdxV (x+a) = 2v4dv-2av2dv ſxdxV (x+a) = ⅖v5 - ⅔ av3 = (⅖ (xx+ax+a a) - ⅔ (ax-aa)) V (x+a) = ( $$\frac {6}{15}$$ (xx+ax+aa) - $$\frac {10}{15}$$ (ax-aa)) V (x+a) = (6x2 + 2ax-4aa) V (x+a): 15.
451. Eine krumme Linie zu qvadri - in welcher y2 ≡ x2: (x+a).
Weil y2 = x2: (x+a) ſo iſt y = x: V (x+a) ydx = xdx: V (x+a)
Setzet V (x+a) = v ſo iſt x+a = v2 x = v2-a dx = 2vdv xdx: V (x+a) = 2v3dv-2avdv): vdas289der Algebra. das iſt = 2v3dv-2adv ſxdx: V (x+a) = ⅔v3-2av = (⅔x+⅔a-2a) V (x+a) = (⅔x - $$\frac {4}{3}$$ a) V (x+a) = V (4x3-12ax2 +16a3,: 9) = ⅔ V (x3-3axx+4a3).
452. Die Hyperbel zwiſchen ihren Aſymptoten zu qvadriren.
Fuͤr die Hyperbel zwiſchen ihren Aſym - ptoten iſt.
a2 = by + xy (§. 268) daher a2: (b + x) = y ydx = a2dx: (b + x)
Damit dieſes Element zum integriren ge - ſchickt werde / ſo dividiret in der That 〈…〉
(4) TDenn290Anfangs-GruͤndeDenn iſt a2dx: 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort. Folgends habet ihr 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
453. Dieſe Qvadratur der Hyperbel hat zu erſt Nic. Mercator in ſeiner Logarithmotechnia gege - ben / welcher die unendlichen Reihen zu Qvadrirung der Figuren zu erſt gebrauchet / die man nicht accu - rat qvadriren kan.
454. Den Circul zu qvadriren.
Die Æquation fuͤr den Circul iſt y2 = a2 - x2 (§. 190) y = V (a2 - x2) ydx = dxV (a2 - x2) Ziehet aus V (a2 - x2) die Wurtzel / ſo findet ihr (§. 93) 〈…〉 -291der Algebra. 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort / des Jntegral 〈…〉 u. ſ. w.Tab. I. Fig. 4. unendlich fort den Theil des Circuls DCPM ausdrucket.
Wenn ihr fuͤr x den halben Diameter a ſetzet / ſo kommet der Werth des Qvadran - tens 〈…〉 u. ſ. w. Setzet a = ½ / ſo iſt a2 = ¼ / und demnach der gantze Cir - cul 1 - ⅙ - $$\frac {1}{40}$$ - $$\frac {1}{112}$$ - $$\frac {5}{1152}$$ u. ſ. w. unendlich fort.
Es ſey die Tangens des halben BogensTab. I. Fig. 11 CB = x / der halbe Diameter BA = a / ſo iſt die Tangens des doppelten Bogens BD = 2aax: (aa - xx) (§. 171) folgends DA = (a3+ax2): (aa-xx) (§. 167 Geom.) da - her DE = 2ax2: (aa - xx). Nun iſt (§. 177 Geom.) DA: DB = GA: GH / darumb findet ihr GH = 2a2x: (a2+x2) und ferner AH = (a3 - ax2): (aa + xx) (§. 167 Geom.) / endlich BH = 2ax2: (aa + xx). Wenn ihr die beyden Differential-Groͤſſen GH und BH nemlich (2a4dx - 2a2x2dx): (a2 + x2) 2 und 4a3xdx: (a2+x2) 2 Qvadrate (4a8dx2 - 8a6T 2x2292Anfangs-Gruͤndex2dx2 + 4a4 x4 dx2): (a2 + x2) 4 und 16a6x2dx2: (a2 + x2) 4 zuſammen ſetzet / und aus der Summe (4a8dx2 + 8a6x2dx2 + 4a4x4dx2): (a2+x2) 4 die Qvadrat-Wurtzel (2a4dx + 2a2x2dx): (a2 + x2) 2 = 2a2dx: (a2 + x2) ausziehet; ſo habet ihr die Differenti - al des Bogens CB. Multipliciret dieſe in den halben Radium oder ½ a; ſo kommet das Element des Sectoris B C A (§. 166) heraus (a3dx): a2 + x2. Setzet a = 1; ſo iſt das Element dx: (1+x2). Nun findet ihr durch die gemeine Diviſion wie in der vorher - gehendẽ Aufgabe (§. 452) 1: (1+x2) = 1-x2+x4 - x6 + x8 - x10 u. ſ. w. unendlich fort / und fol - gends ſdx: (1 + x2) = x - x3 + x5 - x7 + x9 3 5 7 9 $$\frac {- x^11}{11}$$ u. ſ. w. unendlich fort. Dieſe unendliche Reihe exprimiret den Sectorem, deſſen hal - ben Boges Tang. x iſt. Nun iſt die Tang. des halben Qvadrantẽs dem Radio gleich. De - rowegẽ wenn ihr x = 1 ſetzet / ſo iſt 1 - ⅓ + ⅕ - ⅐ + ⅑ - $$\frac {1}{11}$$ u. ſ. w. unendlich fort der Jnhalt des Qvadrantens. Nehmet ihr endlich den Diameter des Circuls 1 an; ſo iſt eben ſel - bige unendliche Reihe der Jnhalt des gan - tzen Circuls.
455. Die erſte Reihe fuͤr den Circul hat der Herr Nevvton; die andere der Herr von Leibnitz zu erſt geſunden.
456. Die Ellipſin zu qvadriren.
Es ſey Ac = a / DC = b / PC = x / ſo iſt AP = a - x / PB = a + x / und aus der Natur der Ellipſis AP. PB: (AC) 2 = (PM) 2: (CD) 2 (§. aa - xx aa yy bb 236) aayy = bb (aa-xx) y = b V (aa - xx): a ydx = bdx V (aa-xx): a Nun iſt 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort (§. 93).
Derowegen iſt bdx V (aa-xx): a = bdx 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort. Folgends iſt ſydx = bx - 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr fuͤr x die halbe Axe a ſetzet / ſoT 3be -294Anfangs-Gruͤndebekommet ihr fuͤr den Ovadranten der El - lipſis ab - ⅙ab - $$\frac {1}{40}$$ ab - $$\frac {1}{112}$$ ab - $$\frac {5}{1152}$$ ab u. ſ. w. unendlich fort / und alſo fuͤr die gantze El - lipſin eben dieſelbe Reihe / wenn ihr a fuͤr die gantze groſſe und b fuͤr die gantze kleine Axe annehmet.
457. Wenn ihr V ab = 1 ſetzet / ſo kom - met die Reihe fuͤr den Circul 1-⅙ - $$\frac {1}{40}$$ - $$\frac {1}{112}$$ - $$\frac {5}{1152}$$ u. ſ. w. heraus (§. 454.). Derowegen iſt die Ellipſis einem Circul gleich / deſſen Diameter die mittlere Proportional-Linie iſt zwiſchen ſeiner kleinen und groſſen Axe und alſo verhaͤlt ſich die Ellipfis zu dem Cir - cul wie die kleine Axe zu der groſſen.
458. Alſo dependiret die Qvadratur der Ellipſis von der Qvadratur des Circuls.
459. Die Qvadratur des Circuls / der Ellipſis und Hyperbel hat noch niemand durch einen endli - chen Werth gegeben.
460. Aus der gefundenen Qaadratur der Ellip - ſis laͤſſet ſich nun ferner der Lehrſatz erweiſen / den wir in der Aſtronomie (§. 447) angenommen / daß nemlich der Sector des Circuls KAP ſich zu dem Se - ctore CAP verhalte wie der Circul zu der Ellipſi. Denn es iſt klahr / daß CRP ſich zu K R P verhalte / wie der Circul zur Ellipſi; Die Triangel aberCAR295der Algebra. CAR und KAR verhalten ſich wie CL zu KL (§. 172 Geom.) oder wie RE zu CR / folgends wie die Ellipſis zu dem Circul (§. 457). Folgends iſt KAR + KRP zu CAR + CRP wie der Circul zu der Ellipſi.
461. Daß aber LC: LK = RE: DR laͤſſet ſich leicht erweiſen. Denn vermoͤge der gegenwaͤrtigen Aufgabe iſt LC = b V (aa-xx): a und LK = V (aa-xx). Daher LC: LK = bV (aa-xx): a V (aa-xx) = b: a = RE: DR.
462. Den Raum PXNM zwiſchenTab. V. Fig. 51. der Logarithmiſchen Linie MN und ih - rer Axe PX zu finden.
Es ſey PM = y Pp = dx / die Subtangens = a (§. 413) / ſo iſt ydx: dy = a ydx = ady ſydx = ay
463. Setzet QS = z / ſo iſt QXNS = az / folgends PQSM = ay-az = a (y-z) das iſt / dem Rectangulo aus der Subtangente in die Differentz der Semiordinaten.
464. Derowegen verhalten ſich die Raͤume zwiſchen zweyen Semiordinaten wie die Differentzen der Semiordinaten.
465. Die Spiral-Linie zu qvadriren.
Es ſey alles / wie in der 6 Aufgabe (§. 404) ſo iſt EG = ydx: a / folgends der kleine Sector EAG oder das Element der Flaͤche y2dx: 2a. Nun iſt fuͤr die Spiral-Linie (§. 272).
ax = by a2x2: b2 = y2 y2dx: 2a = ax2dx: 2bb ſy2dx: 2a = ax3: 6bb
Wenn ihr fuͤr x die gantze Peripherie b ſe - tzet / ſo kommet fuͤr den Raum / den die gantze Spiral-Linie einſchlieſſet / ⅙ ab.
566. Da nun der umbſchriebene Circul ½ ab iſt / ſo verhaͤlt ſich die Spiral-Flaͤche zu ihm wie ½ab zu ⅙ ab / das iſt / wie 2 zu 6 oder wie 1 zu 3.
467. Fuͤr unendliche Spiral-Linien iſt amxn = bnym (§. 273) abn: m: bn: m = y a2x2n: m: b2n: m = y2 ſy2dx: 2a = max2n+m,: m: (4n+2m) b2n: mWenn297der Algebra. Wenn ihr nun fuͤr x die gantze Peripherie b ſetzet / ſo bekommet ihr mab2n+m,: m: (4n + 2m) a2n: m = mab: (4n+2m).
468. Dannenhero verhaͤlt ſich uͤberhaupt die Spiral-Flaͤche zu dem umbſchriebenen Circul wie mab: (4n+2m) zu ½ ab / das iſt / wie 2m zu 4n+2m / oder wie m zu 2n+m.
469. Setzet / daß der Bogen BC ſich zu FC verhalten ſolle / wie die Abſciſſe in einer Alge - braiſchen Linie zu ihrer Semiordinate.
Und es ſey der Bogen BC = x / AE = y / A C = r / ſo iſt FC = r-y / CD = dx und AC: CD = AE: EG r _ _ dx _ _ y _ _ ydx: r folgends das Element oder der Sector AEG ½y2dx: r. Setzet nun es ſey BC die Abſciſ - ſe / EC die Semiordinate einer Parabel / ſo iſt ax = r2-2ry+yy dx = (2ydy-2rdy): a y2dx: r = (y3dy-ry2dy): ar ſy2dx: r = y4: 4ar-y3: 3a
470. Jhr koͤnnet auch den Raum BFCT 5fin -298Anfangs-Gruͤndefinden / wenn ihr das Element GDCE ſuchet / welches ihr findet / wenn ihr CD+EG mit ½ F C multipliciret / weil ihr es als ein Trape - zium anſehen koͤnnet / deſſen baſes CD und E G parallel ſind. Nun iſt CD+EG = dx+ydx 2r und ½ FC = ½r-½y. Derowegen das ver - langte Element (y2dx-y2dx): 2r. Nehmet nun wie in dem vorigen Exempel (§. 469) dx = (2ydy-2rdy): ar / ſo iſt das beſondere Ele - ment (ry2dy+r2ydy-y3dy-r3dy): ar / deſſen Jntegral y3: 3a+ry2: 2a-y4: 4ar-r2y: a den verlangten Raum giebet.
471. Die Flaͤche eines jeden Coͤrpers zu finden / der ſich generiret / indem eine krumme Linie umb ihre Axe beweget wird.
Setzet die Verhaͤltnis des halben Dia - meters zu der Peripherie = r: c / die Abſciße AP = x / die Semiordinate PM = y / ſo iſt Pp = dx / mR = dy / Mm = V (dx2 + dy2) (§. 167 Geom.) und die Peripherie / welche mit PM beſchrieben wird / = cy: r. Daher das Element der Flaͤche cy V (dx2+dy2): r. Wenn ihr nun fuͤr dx2 ſeinen Werth aus der gegebenen Æquation fuͤr die krumme Linie ſetzet / und das Element hernach integriret; ſo kommet der Jnhalt eines Stuͤckes von der verlangten Flaͤche heraus.
472. Es ſey MP ein Triangel / deſſen Hoͤhe AD = b / die Grundlinie = r / ſo iſt xy = rx (§. 177 Geom. & §. 126 Algebr. ) und dan - nenhero ady: r = dx a2dy2: r2 = dx2 cyV (dx2+dy2): r = cy V (a2dy2+r2dy2): r2 cyV (dx2+dy2): r = cydyV (a2+r2): 2r2 ſcyV (dx2+dy2): r = cy2 (a2 + r2): 2r2 Setzet fuͤr y die Grundlinie r; ſo kommet die Flaͤche des Coni heraus ½c V (r2+a2). Da nun V (r2+a2) ſeine Seite iſt; ſo ſehet ihr / daß die Kegel-Flaͤche einem Triangel gleich ſey / deſſen Grundlinie die Peripherie der Grund - Flaͤche des Kegels und die Hoͤhe ſeiner Sei - te gleich iſt.
473. Wenn ihr fuͤr die beſchreibende Linie einen halben Eircul annehmet / ſo findet ihr die Kugel-Flaͤche. Da nun im Circul 2rx-xx = y2 ſo iſt 2rdx-2xdx = 2ydy (2rdx-2xdx): 2y = dyr2300Anfangs-Gruͤnde(r2dx2-2rxdx2+x2dx2) y2 = dy2 cyV dx2 + dy2): r = cyV (dx2 + (r2dx2 - rdx2-2rx2dx2+x2dx2):, 2rx-xx): r = cyV (2rxdx2-x2dx2 + r2dx2-2rxdx2 + x2d2,:, 2rx-xx): r = cyV (r2dx2: y2): r = cyrd): ry = cdx ſcdx = cx Setzet fuͤr x / den Diameter 2r / ſo iſt die gan - tze Kugel-Flaͤche 2cr.
474. Da nun die Flaͤche des groͤſten Cir - culs ½ cr; ſo iſt die Flaͤche der Kugel viermal ſo groß als ihr groͤſter Circul. Hingegen je des Stuͤcke der Kugel-Flaͤche verhaͤlt ſich zu der gantzen wie cx zu 2cr / das iſt / wie x zu 2r / oder die Hoͤhe des Stuͤckes der Kugel zu dem gantzen Diameter.
475. Es ſey die beſchreibende Linie eine Parabel / ſo findet ihr die Flaͤche eines Pa - raboliſchen After-Kegels. Da nun in der Parabel adx = 2ydy ſo iſt dx2 = 4y2dy2: a2 cyV (dx2+dy2): r = cy (4y2dy2+a2dy2,: a2): r = cydy V (yy+aa): r.
Se -301der Algebra.Setzet V (yy+aa) = v ſo iſt yy+aa = v2 2ydy = 2vdv cydy V (yy+aa): r = cv2dv: r ſcv2dv: r = cv3: 3r = (cyy+caa) V (yy+aa): 3r Setzet r fuͤr y / ſo habet ihr die Flaͤche des gan tzen After-Kegels (crr+caa) V (rr+aa): 3r.
476. Jhr wißet aus dem Differentiiren / daß ſdx = x / oder auch x+a. Derowegen muß man in eini - gen Faͤllen zu der gefundenen Jntegral noch etwas hin zu ſetzen / wenn man ſie gnau haben wil. Hier zu aber giebet man folgende Regel: Setzet die gefunde - ne Jntegral = 0 / ſo koͤnnet ihr daraus finden / ob die Groͤſſe / ſo man hinzu ſetzen ſol / das Zeichen + oder — haben muß. Setzet ferner die undeterminirte Groͤſ - ſe in der Jntegral = 0 / ſo findet ihr daraus den Werth der determinirten Groͤſſe / die noch beyzufuͤgen iſt. Z. E. Setzet in der 9. Anfgabe (§ 450) (6x2+2ax-4aa) V (x+a): 15 = 0 ſo iſt 6x2 = - 2ax 6x = - 2a Und alſo muß noch von der gefundenen Jntegral et - was ſubtrahiret werden / da mit der Werth gnaue her - aus kommet.
Setzet ferner x = 0ſo302Anfangs-Gruͤndeſo iſt (6x2+2ax-4aa) V (x+a): 15 = - 4a2Va: 15 Demnach habet ihr - 4a2Va: 15 noch zugegebener Jn - tegral bey zufuͤgen.
Eben ſo koͤnnet ihr in anderen Faͤllen verfahren.
477. Eine krumme Linie rectifici - ren heiſſet ſo viel als die Laͤnge derſel - ben finden.
478. Wenn die beyden Semiordinaten PM und pm einander unendlich nahe ſind / ſoTab. V. Fig. 46. iſt der Bogen Mm das Element des Bo - gens AM / das iſt / (Vdx2+dy2)
479. Derowegen wenn ihr vor dx2 oder dy2 den Werth aus der Natur der krummen Linie ſetzet / und das beſondere Element inte - griret; ſo habet ihr die krumme Linie oder ih - ren Bogen AM rectificiret.
480. Jhr koͤnnet auch das Element Mm finden / wenn ihr ſetzet: BM: TM = dy: Mm.
481. Die Parabel zu rectificiren.
Auf -303der Algebra.Jn der Parabel iſt ax = y2 adx = 2ydy a2dx2 = 4y2dy2 dx2 = 4y2dy2: a2 V (dx2+dy2) = V (dy2+4y2dy2: a2) das iſt = dy V (aa+4y2): a Weil V (aa + 4y2) die Semiordinate einer gleichſeitigen Hyperbel exprimiret; ſo iſt dieſes Element zugleich das Element einer gleichſeitigen Hyperbel. Und demnach de - pendiret die Rectification der Parabel von der Quadratur der Hyperbel. Damit ihr nun dieſes Element integriren koͤnnet / ſo zie - het (§. 91) die Wurtzel aus V (aa+4y2). Es iſt nemlich n = 2 / m = 1 / P = a2 Q = 4y2: a2 Pm: n = +a = A 〈…〉 u. ſ.w. unendlich fort.
Dem -304Anfangs-GruͤndeDemnach iſt 〈…〉 〈…〉 &c. und daher dy V (aa+ 〈…〉 dy &c. Deren Jntegral 〈…〉 〈…〉 &c. Die Laͤnge des Bogens expri - miret.
482. Die Parabel zu rectificiren / in welcher ax2 = y3.
Weil ax2 = y3 So iſt 2axdx = 3y2dy 4a2x2dx2 = 9y4dy2 dx2 = 9y4dy2: 4a2x2 = 9ydy2: (4a V (dx2 + dy2) = V (9ydy2 + 4ady2,: 4a) = dy V (9y + 4a,: 4a) Setzet V (9y + 4a,: 4a) = v ſo iſt 9y + 4a = 4av29dy305der Algebra. 9dy = 8avdv dyV (9y+4a,: 4a) = $$\frac {8}{9}$$ av2dv ſdy V (9y+4a,: 4a) = $$\frac {8}{27}$$ av3 = $$\frac {8}{27}$$ (9y+4,: 4) V (9y+4,: 4) = $$\frac {2}{27}$$ (9y+4) ½ V (9 y+4) = $$\frac {1}{27}$$ (9y+4) V (9y+4) - $$\frac {8}{27}$$ (§. 476) wenn a = 1.
483. Unendliche Parabeln zu rectifi - ciren.
Fuͤr unendliche Parabeln iſt nyn = an-1x = x / wenn a = 1. nyn-1dy = dx n2y2n-2dy2 = dx2 V (dx2+dy2) = V (n2y2n-2 dy2+dy2) = dy V (n2y2n-2 + 1) Ziehet nun aus V (1+n2y2n-2) die Wurtzel (§. 91) / und ſetzet der Kuͤrtze halber 2n-2 = r ſo iſt in dem Nevvtoniſchen Lehrſatze m = 1 / n = 2 / P = 1 / Q = n2yr Pm: n = 1 = A $$\frac {m}{n}$$ AQ = ½n2yr = B $$\frac {m-n}{2n}$$ BQ = - ¼. ½n2yr. n2yr — - ⅛n4y2r = C(4) U 〈…〉 306Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 = - $$\frac {3}{6}$$ . - ⅛ n4y2r. n2yr = + $$\frac {1}{16}$$ n6 y3r = D $$\frac {m-3n}{4n}$$ DQ = - ⅝. $$\frac {1}{16}$$ n4y3r. n2yr = - $$\frac {5}{128}$$ n8y4r &c. Demnach iſt dy V (1+ny2n-2) = dy+½n2yr dy - ⅛n4y2r dy + $$\frac {1}{16}$$ n6y3r dy - $$\frac {5}{128}$$ n8y4r dy u. ſ. w. unendlich fort / deſſen Jntegral 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort die Laͤnge unendlicher Parabeln ausdrucket. Wollet ihr fuͤr r ſeinen Werth 2n -2 in die Stelle ſetzen / ſo be - kommet ihr 〈…〉 〈…〉 &c. Es ſey Z. E. n = 2 / ſo bekommet ihr y + 4y3 - 〈…〉 das iſt / 〈…〉 fuͤr die Apolloniſche Parabel / welche Reihe mit der obengefundenen uͤberein kom̃et / wenn ihr a = 1 ſetzet.
484. Aus der gegebenen Tangente ei - nes Circul-Bogens den Bogen zu fin - den.
Auf -307der Algebra.Es ſye die Tangens KB = x / BC = 1 / ſo iſt AK = dx / KC = V (1+xx) / AL = xdx: V (1+xx) wenn nemlich KC und AC einander unendlich nahe ſind. Da nun bey L und B rechte Winckel ſind (§. 429) und BKC = KA L / weil KCL unendlich kleine iſt; ſo iſt auch BCK = AKL (§. 99 Geom.). folgends KC: BC = AK: KL (§. 182 Geom.) V (1+x2) 1 dx dx: V (1+x2) Ferner KC: KL = IC: ID (§. 45 Geom.) V (1+x2) dx: V (1+x2) 1 dx: (1+x2) Wenn ihr nun 1 durch 1+x 2 wuͤrcklich dividi - ret / ſo bekommtt ihr fuͤr das Elemenr DE des Bogens BI dx-x2dx+x4 dx+x6 dx+x8 dx - x10 dx u. ſ. w. unendlich fort / deſſen Jntegral x - ⅓x3 + ⅕x5 - ⅐x7 + ⅑x9 - $$\frac {1}{11}$$ x11 u. ſ. w. un - endlich fort den Bogen BI exprimiret / deſſen Tangens BK = x.
485. Die Tangens des Bogens von 45° iſt dem Radio BC gleich / und alſo wird x = 1 / folgends der Bogen von 45° oder der halbe Qvadrant 1-⅓+⅕-⅐+⅑ - $$\frac {1}{11}$$ &c. Setzet ihr aber den gantzen Diameter eines / ſo iſt der Qvadrante 1-⅓+⅕-⅐+⅑ - $$\frac {1}{11}$$ &c.
486. Derowegen verhaͤlt ſich das Qvadrat des Diameters zu der Circul-Flaͤche wie derU 2Dia -308Anfangs-GruͤndeDiameter zu dem Qvadranten von der Pe - ripherie.
487. Jhr haͤttet eben dieſe Methode brauchen koͤn - nen den Circul zu qvadriren.
488. Wenn ihr aus dem gegebenen Bogen die Tangentem finden wollet / doͤrfet ihr nur aus der Rei - he / die fuͤr den Bogen gefunden worden / eine andere fuͤr die Tangentem ſuchen. Daher ich vorher uͤber - haupt zu zeigen noͤthig habe / wenn u = ax + bx2 + c x3 + dx4cx5 &c. Wie der Werth von x in einer unendlichen Reihe durch u exprimiret werde.
489. Wenn der Werth einer veraͤn - derlichen Groͤſſe u durch eine unendliche Reihe aus den Dignitaͤten einer andern veraͤnderlichen Groͤſſe x ausgedrucket iſt / den Werth von x durch ſeine unend - liche Reihe aus den Dignitaͤten von u auszudrucken.
Es ſey Z. E. u = ax + bx2 + cx3 + dx4 + cx5 &c. Setzet x = hu + iu2 + ku3 + lu4 + mu5 + nu6 &c. ſo iſt x2 = h2u2 + 2hiu3 + i2u4 + 2hlu5 + k2u6 + 2kk + 2ik + 2hm + 2il x3 = h3u3 + 3h2iu4 + hi2u5 + 3h2lu6 &c. + 3l2k + 6hik + i3x 4309der Algebra. x4 = h4x4 + 4h3ix5 + 6h2i2u6. &c. + 4h3k x5 = h5a5 + 5h4iu6 &c. x6 = h6u6 &c. Setzet in der Æquation 0 = - u + ax + bx2 + cx3 + dx4 + ex5 + fx6 &c. die gefundenenen Werthe von x / x2 / x3 &c. ſo bekommet ihr
| - u = - u | ||||||
| + ax = | + ahu | + aiu2 | + aku3 | + alu4 | + amu5 | + anu6 |
| + bx2 = | + bh2 .. | + 2bhi .. | + bi2 .. | + 2bhl .. | + bk2 .. | |
| + 2bhk .. | + 2bik .. | + 2bhm .. | ||||
| + 2il .. | ||||||
| + cx3 = | + ch3 .. | + 3ch2i. | + 2chi2 .. | + 3ch2l .. | ||
| + 3cl2k .. | + 6chik .. | |||||
| + dx4 | + ci3 .. | |||||
| + dh4 .. | + 4dh3i. | + 6dh2i2 .. | ||||
| + 4dh3k .. | ||||||
| + ex5 = | + eh5 .. | + 5eh4i .. | ||||
| + fx6 = | + fh6 .. |
U 3Se -310Anfangs-GruͤndeSetzet in der neuen Æquation jedes gefun - denes Glied = 0 / ſo iſt ah-1 = 0 ai + bh2 = 0 ak+2bhi+ch3 = 0 h = 1: a i = - bh2: a k = (- 2bhi-ch3): a i = - b: a3 k = (+2b2-ac): a5 al + bi2+2bhk+3ch2i + dh4 = 0 l = (bi2-2bhk - 3chi - dh4): a l = - b3: a7-4b: a7 + 2bc a6 + 3bc: a6-d: a5 l = (5abc-5b3-a2d): a7
Eben ſo findet ihr m = 14b4+6a2bd-21ab2c + 3a2c2-a3e): a9 n = (- 42b5 + 84ab3c-28a2bc - 28a2b2d + 7a3 cd+7a〈…〉〈…〉 be-a4f): a11 u. ſ. w.
Setzet nun endlich in der angenommenen Æquation x = hu+iu2+ku3+lu4+mu5+nu6 &c. die gefundenen Werthe von h. i. k. l. m. n; ſo kommet die verlangte Reihe 〈…〉 u. ſ. w. her - aus.
490. Auf gleiche Art koͤnnet ihr in allen andern Faͤllen verfahren. Doch wenn die Exponenten der Dignitaͤten in einer andern Arithmetiſchen Propor -tion311der Algebra. tion fortgehen als in der natuͤrlichen Ordnung der Zahlen; doͤrfet ihr die Glieder / ſo fehlen / nur fuͤr nichts halten / und dannenhero auch an den uͤbrigen alles weglaͤſſen / was durch die Groͤſſen multipliciret iſt / ſo ſie multipliciren. Z. E. Es ſey v = ax+cx3ex5 &c. ſo iſt b = 0 d = 0 und demnach 〈…〉 〈…〉 &c.
491. Jhr koͤnnet zwar durch die oben (§. 87) ge - fundene Regeleine jede vorgegebene unendliche Reihe zu einer jeden verlangten Dignitaͤt erheben; allein es iſt doch rathſamer / daß ihr die Arbeit einmal fuͤr alle - mal thut. Jhr werdet demnach finden / daß (a+by+cy2 +dy3+ey4+fy5 &c.) m = am+ $$\frac {m}{1}$$ by 〈…〉 U 4+312Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 +313der Algebra. 〈…〉
Wenn ihr dieſe Reihe durch ym multipliciret / ſo bekommet ihr eine andere fuͤr (ay + by2 + cy3 + dy4 + ey5 + fy6 + gy7 &c.) m / in welcher die Unciæ wie in der vorigen bleiben / hingegen die Di - gnitaͤten ſind ym + ym+1 +ym+2 + ym+3 + ym+4 + ym+5 &c.
492. Wenn ihr nun eine unendliche Reihe zu der andern Dignitaͤt erheben wollet / ſo ſetzet ihr nur au ſtat m 2 / fuͤr die dritte 3 / fuͤr die vierdte 4 u. ſ. w. ingleichen fuͤr a. b. c. d. e. f. g und ſo weiter die anderen Buchſtaben / durch welche in der gege - benen Reihe y multipliciret iſt. Z. E. Wenn ihr hx + ix2 + kx3 + lx4 + mx5 + nx6 &c. Zu der anderen Dignitaͤt erheben wollet / ſo iſt m = 2 / a = h / b = i / c = k / d = l / e = m / f = nU 5&c. 314Anfangs-Gruͤnde& e. und demnach bekommet ihr fuͤr die andere Di - gnitaͤt h2x2 + 2hix3 + i2x4 + 2ikx5 + 2hkx4 + 2hlx5 &c.
493. Aus dem gegebenen Bogen ei - nes Circuls / der kleiner iſt als ein Qva - drant / die Tangentem zufinden.
Wenn die Tangens x iſt / ſo iſt der Bo - gen v = x - ⅓ x3 + ⅕ x5 - ⅐ x7 &c. (§. 484).
Suchet nun den Werth x durch v (§. 489). Vergleichet nemlich eure Æquation u = x - ⅓ x + ⅕ x5 - ⅐ x7 &c. mit dieſer u = ax + cx3 + ex5 + gx7 &c. ſo iſt a = 1 / c = - ⅓ / e = + ⅕ / g = - ⅐.
Setzet dieſe Werthe in ihre gehoͤrige Stel - len der Æquation 〈…〉 〈…〉 &c. ſo bekommet ihr x = v + ⅓ v3 + $$\frac {2}{15}$$ v5 + $$\frac {17}{315}$$ v7 + $$\frac {62}{2835}$$ v9 &c. welche Æquati - on die Tangentem durch den Bogen ex - primiret.
494. Aus dem gegebenen Sinu eines Bogens den Bogen / der kleiner als ein Qvadrant iſt / zu finden.
Auf -315der Algebra.Wenn der halbe Diameter des Circuls r / der Sinus des Bogens der die Semior - dinate y / der Sinus verſus oder die Abſciſſe x iſt; ſo iſt die Æquation des Circuls 2rx - xx = yy daher 2rdx-2xdx = 2ydy dx = ydy: (r - x) dx2 = y2dy2: (r2 - 2rx+xx) das iſt = y2dy2: (r2 - y2) V (dx2 + dy2) = V (y2dy2 + (r2dy2-y2dy2,:, r2-y2) = rdy: V (r2-y2)
Damit dieſes Element des Bogens zum integriren geſchickt werde / ſo ziehet aus 1: (r2-y2) die Wurtzel in der That (§. 87). Es iſt aber m = -1 / n = 2 / P = r2 / Q = - y2: r2 Pm: n = r-1 = 1: r = A 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Alſo316Anfangs-GruͤndeAlſo iſt rdy 〈…〉 〈…〉 &c. deſſen Jntegral y + 〈…〉 &c. den verlangten Bogen durch ſeinen Sinum ausdrucket. Wenn ihr beſſer ſehen wollet / wie die Reihe unendlich fortgehet / ſo nennet das erſte Glied A / das andere B / das dritte C u. ſ. w. ſo findet ihr 〈…〉
491. Weil der Bogen 〈…〉 〈…〉 &c. ſo findet ihr (§. 489) wie in der 22 Aufgabe (§. 493) 〈…〉 +317der Algebra. 〈…〉 〈…〉 das iſt / wenn ihr das erſte Glied A / das an - dere B / das dritte C &c. ſetzet / 〈…〉 〈…〉
496. Aus dem gegebenen Sinu verſo den Bogen des Circuls zufinden.
Wenn der Diameter des Circuls 2r / die Abſciſſe oder der Sinus verſus = x iſt / ſo iſt fuͤr den Circul 2rx - xx = yy 2rdx-2xdx = 2ydy (rdx-xdx): y = dy (r2dx2-2rxdx3+x2dx2): y2 = dy2 V (dx2+dy2) = V (dx2+ (r2dx2-2rxdx2 + x2 dx2):, 2rx-xx) = V (2rxdx2 x2dx2+r2dx2- 2rx338[318]Anfangs-Gruͤnde- 2rxdx2+x2dx2,: ,2rx-xx) = rdx: V (2rx - xx) = rdx (2rx-x2) -1: 2 damit dieſes Ele - ment zum integriren geſchickt werden / ſo zie - hetaus 2rx-x 2 die Wurtzel in der That / (§. 91).
Es iſt aber m = -1 / m = 2 / P = 2rx / 〈…〉 und demnach Pm: n = V 2r-1: 2 x½ = A 〈…〉
Alſo319der Algebra.Alſo iſt das Element des Bogens V 2r1: 2 〈…〉 deſſen Jntegral 〈…〉 〈…〉 〈…〉 = (wenn ihr den Diame - ter = r ſetzet) 〈…〉 〈…〉 &c.) den Bogen durch den Sinum verſum exprimiret.
497. Wollet ihr den Sinum verſum durch den Bogen ausdrucken / ſo werdet ihr (§. 489) finden 〈…〉 &c. 320Anfangs-Gruͤnde&c. = (wenn ihr das erſte Glied A / das andere B u. ſ. w. ſetzet) 〈…〉 〈…〉 C &c.
Von der Cubatur der Coͤrper.
498. Cubiren heiſſet den Jnhalt eines Coͤrpers finden.
499. Wenn ein Eoͤrper ſich generiret in dem eine Figur ſich umb ihre Axe herumb beweget / ſo beſchreibet jede Semiordinate einen Eircul und dannenhero iſt das Ele - ment deſſelben das Product aus einem Cir - cul / der mit der Semiordinate beſchrieben wird / in die Differential der Abſciſſe. Wenn ihr demnach die Verhaͤltnis des Radii zu der Peripherie ſetzet r: c / ſo iſt die Peripherie des gedachten Circuls cy: r und der Jnhalt cy2: r (§. 163 Geom.) / folgends das Element cy2dx: 2r.
500. Wenn ihr demnach den Werth von y2 durch x aus der Æquation fuͤr die gegebene Figur ſubſtituiret und das Ele - ment integriret; ſo habet ihr den verlang - ten Jnhalt des Coͤrpers.
501. Den Conum zu cubiren.
Weil der Conus von einem Triangel be - ſchrieben wird (§. 33 Geom.) ſo habet ihr (wenn die Hoͤhe des Triangels a / die Grund - Linie r iſt rx = ay r2x2: a2 = y2 cy2dx: 2r = crx2dx: 2a2 ſcy2dx: r = crx3: 6a2
Wenn ihr den gantzen Kegel verlanget / ſo ſetzet a fuͤr x / und ihr findet ſeinen Jnhalt cra3: ba2 = ⅙cra = ½cr. ⅓ a / das iſt / wenn ihr die Grundflaͤche ½ cr durch den dritten Theil der Hoͤhe ⅓ a multipliciret.
502. Die Kugel zu cubiren.
Die Kugel wird von einem halben Cir - cul beſchrieben (§. 25 Geom.) / in welchem 2rx - xx = yy daher iſt cy2dx: 2r = cxdx - cx2dx: 2r ſcy2dx: 2r = ½crx2 - cx3: 6r(4) XWenn322Anfangs-GruͤndeWenn ihr die gantze Kugel verlanget / ſo ſetzet 2r oder den Diameter fuͤr x oder die Hoͤhe des Kugel-Stuͤckes / und ihr bekommet fuͤr ihren Jnhalt 2cr2 - cr2: 6 = 4cr2: 6 = ⅔ cr2.
503. Der Jnhalt eines umbſchriebenen Cylinders / deſſen Hoͤhe nemlich dem Dia - meter / die Grund-Flaͤche dem groͤſten Circul der Kugel gleichet / iſt cr2 / und demnach ver - haͤlt er ſich zur Kugel wie cr2 zu ⅔ cr2 / das iſt / wie 3 zu 2.
504. Einen Paraboliſchen After-Ke - gel zu cubiren.
Jn der Parabel iſt y2 = ax daher cy2dx: 2r = acxdx: 2r ſcy2dx: 2r = acx2: 4r = cy2x: 4r Wenn die Hoͤhe des gantzen Kegels b und der halbe Diameter in der Grundflaͤche r iſt; ſo iſt der Jnhalt deſſelben bcr2: 4r = ¼ bcr.
505. Da nun der umbſchriebene Cylinder ½bcr iſt / ſo verhaͤlt ſich dieſer zu dem Para - boliſchen After-Kegel wie ½bcr zu ¼bcr / das iſt / wie 1 zu 2.
506. Unendliche Paraboliſche After - Kegel auf einmal zu cubiren.
Es ſey der Parameter = 1 / ſo iſt fuͤr un - endliche Parabeln ym = x y = x1: m y2 = x2: m ſcy2dx: 2r = cx2: mdx: 2r ſcy2dx: 2r = mcx2+m,: m: (4 + 2m) r = mcxy2: (2m + 4) r.
507. Eine Elliptiſche After-Kugel zu cubiren.
Es ſey der kleine Diameter in der Ellipſe 2r / der groſſe = 2a / ſo iſt yy = rr - r2x2: a2 (§. 237). cy2dx: 2r = ½ crdx - crx2dx: 2a2 ſcy2dx: 2r = ½ crx - crx3: 6a2.
Setzet fuͤr x die gantze groſſe Axe 2a / ſo kommet der Jnhalt des gantzen Coͤrpers acr - $$\frac {2}{6}$$ acr = ⅔ acr.
508. Der umbſchriebene Cylinder iſt acr und demnach verhaͤlt er ſich zu der Ellipti - ſchen After-Kugel wie acr zu ⅔ acr / das iſt / wie 1 zu ⅔ / oder 3 zu 2.
509. Die Kugel / deren Diameter dem groſſen Diameter der Ellipſis gleichet / iſt 2 a3c3: 3r (§. 502). Demnach verhaͤlt ſie ſich zu der Elliptiſchen After-Kugel wie 2a3c: 3r zu ⅔ acr das iſt / wie a2 zu r2 / oder wie das Qvadrat der groſſen Axe zu der kleinen.
510. Die Kugel / deren Diameter dem kleinen Diameter der Ellipſis gleichet / iſt ⅔ cr2. Derowegen verhaͤlt ſie ſich zu der El - liptiſchen After-Kugel wie ⅔cr2 zu ⅔ acr / das iſt wie r zu a / oder die kleine Axe zu der groſ - ſen.
511. Einen Hyperboliſchen After-Ke - gel zu cubiren.
Es ſey die Zwerch-Axe = 2a / die kleine Axe = 2r / die Abſciſſe = x / die Semior - dinate = y / rr: aa = y2: 2ax + xxy2325der Algebra. y2 = (2ar2x + r2x2): a2 cy2dx: 2r = crxdx: a + crx2dx: 2a2 ſcy2dx: 2r = crx2: 2a + crx3: 6a2
Setzet fuͤr x die gantze Hoͤhe des After - Kegels b / ſo kommet ſein Jnhalt crb2: 2a + crb3: 6a2.
512. Den Jnhalt des Coͤrpers zu fin -Tab. V. Fig. 51. den / der ſich generiret / in dem der Raum zwiſchen der Logarithmiſchen Linie MN und der geraden Linie PX ſich umb PX herumb beweget.
Jn der Logarithmiſchen Linie / deren Sub - tangens = a / iſt ydx = ady (§. 462). dx = ady: y cy2dx: 2r = acy2dy: 2ry = acydy: 2r ſcy dx: 2r = acy2: 4r
Nehmet r fuͤr die letzte Semiordinate AB an / ſo iſt der Jnhalt des gantzen Coͤrpers ¼ acr / der durch die Bewegung des unendli - chen Raumes NBAX beſchrieben wird.
X 3Die326Anfangs-Gruͤnde513. Den Jnhalt eines Coͤrpers zu - finden / der beſchrieben wird / indem ſich eine halbe Parabel AMP umb ihre Se - miordinate PM beweget.
Jn dieſem Falle iſt das Element gleich dem Producte aus einem Circul / der mit MR der Differentz zwiſchen der Abſciſſe AP und der gantzen Axe AX beſchrieben wird / in die Dif - ferential der Semiordinate. Setzet nun AX = r / MX = b / AP = x / ſo iſt MR = r - x. Wenn nun die Verhaͤltnis des Ra - dii zur Peripherie r: c / ſo findet ihr die Pe - ripherie ſo mit MR beſchrieben worden (rc - cx): r / folgends den Circul (r2c-2rcx + cx2): 2r. Dannenhero iſt das Element (r2cdy - 2rcxdy + cx2dy): 2r. Nun iſt in der Para - bel / wenn der Parameter = 1 / y2 = x und y4 = x2 daher das Element ½rcdy - cy2dy + cy4dy: 2r / deſſen Jntegral ½ rcy - ⅓ cy3 + cy5: 10r das Stuͤcke des Coͤrpers exprimi - ret / welches von MMR beſchrieben worden.
Wenn ihr fuͤr y2 ſeinen Werth x ſetzet / ſo habet ihr fuͤr eben daſſelbe Stuͤcke ½ rcy - ⅓ cxy + cx2y: 10r. Setzet nun ferner r fuͤr x und b fuͤr y; ſo bekommet ihr fuͤr den gantzen Coͤrper ½rcb - ⅓ crb + cr2b: 10r = (½ - ⅓ + ⅒) bcr = ( $$\frac {30-20+6}{60}$$ bcr = $$\frac {4}{15}$$ bcr.
514. Auf gleiche Weiſe koͤnnet ihr den Jnhalt der Coͤrper finden / wenn ihr ſetzet / daß ſich eine Flaͤche umb eine andere Linie / als Z. E. umb die Tangen - tem oder Subnormal-Linie beweget.
515. Die verkehrte Methode der TANGENTIUM (Methodus Tangen - tium inverſa) iſt diejenige welche zeiget / wie man aus der gegebenen Subtangen - te, Tangente, Normal-Linie oder Sub, normal-Linie die Æquation finden kan / welche die Natur der Linie erklaͤhret.
516. Setzet nehmlich die gegebenen Linien ihrem Werthe gleich / darinnen die Diffe - rential-Groͤſſen anzutreffen ſind / ſo bekommet ihr die Differential-Gleichung fuͤr die geſuch - te Linie. Wenn ihr nun ſelbige integriret / ſo bekommet ihr die geſuchte Æquation.
517. Eine krumme Linie zu finden / deren Subtangens = 2yy: a.
Weil die Subtangens in einer jeden Al - gebraiſchen Linie = ydx: dy / ſo iſtX 42y2:328Anfangs-Gruͤnde2y2: a = ydx: dy 2y2dy = aydx〈…〉〈…〉 2ydy = adx y2 = ax
Welche Æquation zeiget / daß die ver - langte Linie eine Parabel ſey.
518. Haͤtte man geſagt / die Subtangens ſolte 2x ſeyn (ich ſetze aber beſtaͤndig / wie vorhin / daß x all - zeit die Abſciſſe / y die Semiordinate bedeute); ſo bekaͤmet ihr ydx = 2xdy. Wollet ihr nun dieſe Æquation zum integriren geſchickt machen / ſo ſehet ihr daß / wenn ihr x durch y exprimiren wollet / ihr y2 durch eine beſtaͤndige Groͤſſe dividiren muͤſſet / und dannen - hero fuͤr 2x annehmen 2y2: a.
519. Eine krumme Linie zu finden / deren Subnormal-Linie beſtaͤndig von einer Groͤſſe iſt / Z. E. = a.
Die Subnormal-Linie iſt ydy = dx (§. 427). Demnach ydy: dx = a ydy = adx ½y2 = axy2329der Algebra. y2 = 2ax
Alſo iſt die verlangte Linie eine Parabel / deren Parameter der doppelten Subnormal - Linie gleich iſt.
520. Eine krumme Linie zu finden / deren Subtangens die mittlere Propor - tional-Linie iſt zwiſchen x und y.
Es iſt ydx: dy = V xy ydx = dyV xy = x1: 2y1: 2dy y dx = y-1: 2x1: 2 dy x1: 2 x-1: 2dx = y-1: 2 dy 2x1: 2 = 2y-1: 2 Vx = Vy x = y Alſo iſt die verlangte Figur ein gleichſchenck - lichter rechtwincklichter Triangel. Jhr koͤn - net aber auch ſetzen Vx + Va = Vy ſo iſt x + 2 V ax+a = y 2Vax = y-x-aX 54ax330Anfangs-Gruͤnde4ax = y2-2yx+ax+2ax-2ay+aa 2ax-xx = y2-2xy-2ay+aa. oder 2xy+2ay-y = x2-2ax+aa Dergleichen Æquation auch heraus kom - met / wenn ihr Vx-V a = Vy ſetzet.
521. Eine krumme Linie zu finden / de - ren Subnormal-Linie = r-x.
Es iſt ydy: dx = r-x ydy = rdx - xdx ½y2 = rx - ½ x2 y2 = 2rx - xx Alſo iſt die verlangte Linie ein Circul / deſſen Diameter = 2r.
522. Eine Linie zu finden / deren Sub - normal-Linie = V ax.
Es iſt ydy: dx = V ax = a1: 2 x1: 2 ydy = a1: 2 x1: 2 dx ½y2 = ⅔V ax3 2 y2 = $$\frac {4}{3}$$ Vax3 = ⅔V4ax3 Alſo iſt das Qvadrat der Semiordinate indie -331der Algebra. dieſer Linie jederzeit einem Paraboliſchen Raume gleich.
523. Eine krumme Linie zu conſtrui - ren / deren Subtangens einer unveraͤn - derlichen Linie gleich iſt.
Es iſt ydx: dy = a dx = ay-1 dy ſdx = ſay-1dy Wenn ihr ay-1dy (§. 434) integriren wol - tet / ſo kaͤme heraus ay0: 0 = a: 0 / das iſt / eine unendlich groſſe Groͤſſe. Und alſo gehet die Jntegration Algebraiſch nicht an. Da nun aber bekandt iſt (§. 413) / daß die ange - nommene Eigenſchafft der Logarithmiſchen Linie zugehoͤret / in dieſer aber die Abſciſſen x die Logarithmi der Semiordinaten ſind (§. 284.) ſo muß auch ſay-1 dx (= x) der Loga - rithmus der Semiordinate ſeyn / und dan - nenhero koͤnnet ihr jederzeit fuͤr die Jntegral von ay-1dy oder ady: y den Logarithmum von y oder ly ſetzen. Es muß aber der Lo - garithmus in einer Logarithmiſchen Linie ge - nommen werden / deren Subtangens a iſt.
524. Da nun die Differential eines Loga -rith -332Anfangs-Gruͤnderithmi = ady: y / ſo koͤnnet ihr jetzt auch die jenigen Groͤſſen differentiiren / in welchen Logarithmi zu finden. Es ſey Z. E. lyn / ſo iſt die Differential nlyn-1 ady: y.
525. Es ſey die Differential eines Loga - rithmi = dy: (1+y); ſo iſt der Logarithmus der Zahl 1+y = ſdy: (1+y). Nun iſt 1: (1+y) = 1-y+y2 - y3 + y4 u. ſ. w. wie ihr es findet / wenn ihr in der That dividiret / und daher d. y: (1+y) = dy-ydy+y2dy - y3dy+y4dy &c. Derowegen iſt ſdy: (1+y) oder der Logari - thmus von der Zahl 1+y = y-½y2 + ⅓y3 - ¼y4 + ⅕y5 &c.
526. Weil nun l = y-½y2+⅓y3-¼y4 + ⅕ y5 &c. ſo findet ihr (§. 489); 〈…〉 〈…〉 &c. wo l den Logarithmum von 1 bedeutet und alſo = 0.
527. Jhr ſehet zugleich (§. 524) / wie die Differentiale der Logarithmiſchen Groͤſſen integriret werden / wenn man a fuͤr die Sub - tangentem der Logarithmiſchen Linie an - nimmet. Es iſt Z. E. ſlyn dy: y = lyn+1: (n+1) a / ſlydy V (aa+ly2) = (aa+ly2) 3: 2: 3a u. ſ. w.
528. Wenn man die Differential - Æquation nicht integriren kan / ſo ſuchet man dieſelbe auf die Qvadratur oder Rectification des Circuls / oder Pa - rabel / Hyperbel und Ellipſis zu reduciren / weil dieſe Linien bekandt ſind / und iſt vergnuͤget / wenn man ſa - gen kan / daß die Conſttuction der verlangten Linie von der Qvadratur oder Rectification einer von der gemeldeten Linien dependire: wovon ich noch einige Exempel hieher ſetzen muß. Jhr habet euch aber zu dem Ende alle Elemente der Flaͤchen und Laͤnge in den Kegelſchnitten bekandt zu machen / damit ihr umb ſo viel leichter wahr nehmet / auf was fuͤr eine Qvadratur oder Rectification ſich jeder vorkommender Fall redu - ciren laſſe.
529. Eine krumme Linie zu conſtrui - ren / in welcher dz = qdu.
Es bedeutet q eine Groͤſſe / die aus veraͤn - derlichen und unveraͤnderlichen in Geſtalt ei - nes Bruches zuſammen geſetzet iſt. Be - ſchreibet in unendlichen Faͤllen die unter der gegebenen Æquation begriffen ſind / eine krumme Linie / deren Abſciſſen = u / die Se - miordinaten = aq; ſo iſt das Element die - ſer Linie aqdu. Wenn ihr nun dieſes durch a dividiret / ſo bekommet ihr qdu. Derowe - gen richtet auf eben der Axe fuͤr die Abſciſſen u andere Semiordinaten auf / die = ſqdu / das iſt / dem Raume gleich ſind / der zwiſchen dieſer krummen Linie und ihren Coordinaten enthalten / wenn man ihn durch eine unver -aͤnder -334Anfangs-Gruͤndeaͤnderliche Groͤſſe a dividiret / ſo bekommet ihr die Linie / deren Differential-Æquation dz = qdu.
531. Es ſey ydx = ady oder dx = ady: y / ſo ſind die Semiordinaten der Linie von de - ren Qvadratur die Conſtruction dependiret / aa: y. Da nun die Æquation einer gleich - ſeitigen Hyperbel zwiſchen ihren Aſymptoten (§. 265) aa = zy. So erkennet ihr daraus die Art der Linie.
531. Wenn in der verlangten Linie die Subtangens = yV (aa+yy): a / ſo iſt dx = dyV (aa+yy): a. Alſo ſind die Semiordi - naten der Linie / von deren Qvadratur die Conſtruction dependiret / V (aa+yy). Wo - raus ihr abermal erkennet / daß es ei - ne ungleichſeitige Hyperbel ſey.
Ende des dritten Theiles.
532. Die Exponential-Rechnung beſtehet im Differentiiren und Jntegri - ren ſolcher Groͤſſen / die einen veraͤnder - lichen Exponenten haben. als xx / ax / und Exponential-Groͤſſen genennet wer - den.
533. Eine Exponential-Groͤſſe zu dif - ferentiiren.
Die gantze Kunſt kommet darauf an / daß man die Exponential-Groͤſſen auf Logarith - miſche reduciret / und ſie (§. 524) differentiiret. Setzet nemlich y x = z ſo iſt ylx = lz lxdy+ydx: x = dz: z (§. 524) z336Anfangs-Gruͤndez (lxdy + ydx: x) = dz das iſt xy (lxdy+ydx: x) = dz oder xylxdy+yxy-1dx = dz
Setzet abermahl xy v = z ſo iſt xylv = lz (xy lxdy+yxy-1dx) lv + xydv: v = dz: z z (xylxdy+yxy-1dx) lv+zxydv: v = z 〈…〉 Auf gleiche Weiſe verfahret ihr in andern Faͤllen.
534. Eine Exponential-Linie wird genennet eine krumme Linie / welche durch eine Exponential-Æquation er - klaͤhret wird / als wenn xx = y.
535. Wenn ihr die Exponential-Linien-Æ - quation differentiiret (§. 533) und den Werth von dx in dem Differential-Werthe der Sub -tan -337der Algebra. tangentis und Subnormal-Linie ſubſtitui - ret; ſo findet ihr wie in den Algebraiſchen Li - nien ihre Subtangentem und Subnormal - Linie. Es ſey Z. E. xx = y ſo iſt ylxdx + ydx = dy dx = dy: (ylx+y) ydx: dy = ydy: (ylx+y) dy = 1: (1+lx) Fuͤr die Subnormal-Linie iſt ydy: dx = (y2lxdx+y2dx): dx = y2lx+ y2 = y2xx+y2.
536. Die Differential einer Exponen - tial-Groͤſſe zu integriren.
Jhr ſollet Z. E. xxdx integriren. Setzet x = 1+y So iſt lx = l (1+y) dx = dy xx dx = xlxdx = l (1+y) (1+y) dy. Nun iſt l (1+y) = y-½y2 + ⅓y - ¼y4 + ⅕ y5 &c. Derowegen l (1+y) (1+y) dy = y(4) Yy+338Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 folgends die verlangte Jntegral 〈…〉 〈…〉 &c. in wel - cher Reihe y = x - 1.
Auf gleiche Manier koͤnnet ihr in ande - ren Faͤllen verfahren.
537. Wenn ihr die Differential einer Ex - ponential-Groͤſſe integriren koͤnnet / ſo koͤn - net ihr auch die Exponential-Linien qvadri - ren / wenn ihr in dem Elemente der Flaͤche ydx den Werth x aus ihrer Æquation ſubſti - tuiret. Es ſey Z. E. xx = y / oder xlx = y / ſo iſt ydx = xlxdx. Setzet x = v +1 / ſo iſt 〈…〉 〈…〉 &c.
538. Man kan dieſe Aufgabe noch auf viele an - dere Art aufloͤſen / ich habe den Anfaͤngern nur die leichteſte zeigen ſollen.
539. Differentio-differentiiren heiſſet ſo viel als die Differential von einer Differential-Groͤſſe finden.
Zu -339der Algebra.540. Wenn die Differential dx iſt / ſo nennet ihre Differential oder die Differen - tio-Differential von x / ddx; die Differen - tial von ddx aber dddx u. ſ. w.
541. Eine jede gegebene Differenti - al-Groͤſſe von neuem zu differentiiren.
Es geſchiehet nach den Regeln (§. 396. & ſeqq. ) nach welchen die veraͤnderlichen Groͤſ - ſen differentiiret werden / nur daß man eine Differential-Groͤſſe meiſtentheils als eine unveraͤnderliche annimmet und daher auch die andere Differential vor nichts haͤlt (§. 391).
Z. E. Die andere Differential von xdx findet ihr dx2 + xddx (§. 396). d (〈…〉〈…〉: dx) = - ddx: dx2 (§. 404); d (ydy: dx) = (dy2 - y ddy): dx / wenn ihr dx unveraͤnderlich an - nehmet / hingegen = (dy2dx - ydyddx): d x2 = dy2: dx - ydyddx: dx2 (§. 404); dV (dx2 + dy2) = dyddy: V (dx2 + dy2) wenn dx unveraͤnderlich; hingegen dxddx: V (d x2 + dy2) / wenn dy unveraͤnderlich (§. 400) u. ſ. w.
542. Wenn die Rechnung auf gewiſſe Faͤlle ap - pliciret wird / ſo iſt nicht ſchweer zu ſehen / welche Dif - ferential ihr fuͤr unveraͤnderlich annehmen koͤnnet.
543. Wenn eine krumme Linie AFK anfangs die hohle / hernach die erhabe - ne Seite gegen die Are AK kehret / und imer in einem mit der Axe fortgehet / ſo heiſſet der Punct F / wo die Wendung geſchiehet / der Wendungs-Punct; hingegen der Wiederkehr - Punct / wenn ſie wieder zuruͤcke gegen die Axe kehret. Jm Lateiniſchen nennet man ſie Puncta flexus contrarii.
544. Wenn die krumme Linie einen Wen - dungs-Punct hat / ſo iſt klahr / daß die Linie AT zunimmet mit der Abſciſſe AP / bis dieſe in E kommet / denn ſo bald ſich die Linie wen - det / ſo nimmet die Linie AT wieder ab / und die Abſciſſe nimmet wie vorhin zu. Dero - wegen koͤnnet ihr AL als die groͤſte Linie von ihrer Art anſehen.
545. Hingegen wenn die krumme Linie ei - nen Wiederkehrungs-Punct hat / ſo waͤchſet anfangs die Linie AT zugleich mit der Ab - ſciſſe biß in L: nach dieſem wenn die Linie ſich wendet / nimmet die Linie AT zu / hingegen die Abſciſſen gehen wieder zuruͤcke und neh - men ab / und dannenhero muß in dieſem Fal - le die Linie AE die groͤſte von ihrer Art wer - den.
546. Da nun AL = (ydx: dy) - x (§. 413) / ſo iſt / wenn ihr dx fuͤr unveraͤnderlich anneh - met / (dy2dx-ydxddy) dy2-dx = 0 dy2dx-ydxddy-dy2dx = 0 - yddy = 0 - y ddy = 0 / oder ddy = ∞ (§ 416)
547. Man nimmet dx fuͤr unveraͤnderlich an / in Anſehung dy. Denn weil dy endlich zu nichts wird im Puncte F / da dx einmahl ſo groß wie das andere angenommen wird; ſo muß dy nach und nach abneh - men / und dannenhero veraͤnderlich ſeyn / indem dx un - veraͤnderlich behalten wird.
548. Wenn die Semiordinaten BM ausTab. VI. Fig. 53. einem Puncte B gezogen ſind / ſo ziehet Bm und BM unendlich nahe / u. Bt auf BM perpen - dicular: dañ iſt klahr / daß an der hohlen Seite Bt groͤſſer iſt als BO / hingegen an der erha - benen kleiner wird. Derowegen iſt in dem Wendungs-Puncte tO = o. Beſchreibet nun aus dem Mittelpuncte B den Bogen TH und MR / ſo ſind die Triangel mMR MBT und T H O einander aͤhnlich / und die Aus - ſchnitte des Circuls ſind wegen der unendli - chen kleinen Winckel bey B auch einander aͤhnlich. Demnach iſt (§. 182 Geom.).
Y 3mR342Anfangs-GruͤndemR: MR = BM: BT dy _ _ dx _ _ y _ _ ydx: dy BM: BT = MR: TH y _ _ ydx: dy _ _ dy _ _ dx2: dy MR: TH = TH: HO dx _ _ dx: dy _ _ dx2: dy _ _ dx3: dy2
Alſo iſt die Differential von BT oder tH wenn ihr dx fuͤr unveraͤnderlich annehmet / = (dxdy2-ydxddy): dy2 (§. 541) / dannenhero OH + tH = Ot = (dx3 + dxdy2-ydxddy): dy2. Da nun die Linie tO im Wendungs-Puncte nichts wird / ſo iſt (dx3+dxdy2-ydxddy): dy2 = 0 dx2+dy2 - yddy = 0 oder = ∞
549. Den Wendungs-Punct in einer Linie zu finden / da die Semiordinaten miteinander parallel ſind.
Weil in dieſem Falle ddy = 0 / ſo ſuchetTab. VI. Fig. 52. dieſen Werth aus der gegebenen Æquation fuͤr die krumme Linie durch x / und ihr werdet daraus den Werth von AE / das iſt / der Ab - ſciſſe finden / welcher die aus dem Wen - dungs-Puncte F gezogene Semiordinate E F zugehoͤret.
550. Es ſey axx = xxy+aay ſo iſt 2axdx = 2xydx + x2dy + aady 2axdx-2xydx = x2dy+aady d. i. 2axdx - (2ax3dx: (xx+aa) = x2dy+aady 2a3xdx: (xx+aa) = x3dy+aady 2a2xdx: (xx+aa) 2 = dy Wenn ihr nun dx fuͤr unveraͤnderlich anneh - met / ſo iſt 2a3dx2 (xx+aa) 2 - (8a2x4dx2 - 8a5x2dx2): (x2 + a2) 4 = ddy = 0 2a3x2+2a5 - 8a3x2 = 0 2a3 xx + aa-4xx = 0 V ⅓ a2 = x Setzet ihr dieſen Werth in die Stelle von x in der Æquation y = axx: (xx+aa) ſo iſt y = ⅓a3: (⅓aa+aa) = ⅓ a3: ( $$\frac {4}{3}$$ aa) = a3: 4aa = ¼a.
Solchergeſtalt koͤnnet ihr den Wendungs - Punct finden / auch wenn die krumme Linie nicht beſchrieben iſt.
551. Es ſey y-a = (x-a) 3: 5 ſo iſt dy = ⅗ (x-a) 2: 5dx ddy = - $$\frac {6}{25}$$ (x-a) -7: 5dx2 = 0 Wenn nemlich dx unveraͤnderlich angenom - men wird: folgends - $$\frac {6}{25}$$ (x-a) -7: 5 = 0 - 6 = 0. Weil ihr keinen Werth von x findet / ſo ſetzet - $$\frac {6}{25}$$ (x-a) -7: 5dx 2 = ∞ das iſt - 6dx2: $$\sqrt [5] {}$$ (x-a) 7 = ∞ ſo iſt $$\sqrt [5] {}$$ (x-a) 7 = 0 x-a = 0 x a
552. Jn der Parabel iſt ax = y2 a1: 2 x1: 2 = y ½a1: 2x1: 2 dx = dy- ¼345der Algebra. - ¼ a1: 2 x-1: 2 dx2 = ddy = 0 - ¼a1: 2 = 0
Setzet ferner ½ a1: 2 x-3: 2dx2 = ∞ ſo iſt x3: 2 = 0
Da ihr nun keinen Werth von x findet / ihr moͤget ddy = 0 oder ddy = ∞ ſetzen; ſo hat die Parabel keinen Wendungs - Punct.
553. Den Wendungs-Punct in einer krummen Linie zufinden / deren Semi - ordinaten alle aus einem Puncte gezo - gen werden.
Weil in dieſem Falle dx2 + dy2 - yddy = 0 (§. 548) ſo doͤrfet ihr nur aus der gegebenen Æquation fuͤr die Linie den Werth von dy durch dx exprimiren und ihr werdet wie vor - hin den Werth von x in unveraͤnderlichen Groͤſſen finden koͤnnen.
554. Es ſey in der Conchoide des Ni -Tab. III. Fig. 28. comedis EC = a / ED = b / De = z / dc = y / ſo iſt (§. 276) z+a = y dz = dyY 5Fer -346Anfangs-GruͤndeFerner iſt Ee = V (zz-bb) und (§. 182 Geom. Ee: DE = nF: eF V (zz-bb) _ _ b _ _ dz _ _ bdz: V (zz-bb) De: eF = Dc: cL z _ _ bdz: V (zz-bb) _ _ z+a _ _ cL demnach iſt cL = (z+a) bdz: z V (zz-bb) = dx / folgends (z + a) bdz = zdx V (zz-bb) dz = dy = zdxV (zz-bb): (bz+ab). ddy = (bz3 + 2abzz-ab3) dzdx: (bz + ab) 2V (zz-bb) / wenn ihr dx fuͤr unveraͤnderlich an - nehmet / = (bz4 + 2abz3 - ab3z) dx2: (bz + ab) 3 / wenn ihr fuͤr dx ſeinen. Werth ſe - tzet.
Setzet nun in der Æquation yddy = d x2 + dy2 (§. 548) die gehoͤrigen Werthe an ihre Stelle / ſo habet ihr (z4 + 2az3-abbz) dx2: (bz+ab) 2 = (z4+2abbz + aabb) dx2: (bz + ab) 2 z4 + 2az3 - abbz = z4 + 2abbz + aabb 2az3 - 3abbz - aabb = 0 z3 - $$\frac {3}{2}$$ bbz - ½ abb = 0 Suchet endlich aus dieſer Gleichung die Wurtzel (§. 373). Wenn ihr dieſe mit a vermehret / ſo habet ihr die verlangte LinieDC347der Algebra. DC (= z + a) / welche den Wendungs-Punct determiniret.
555. Wenn eine krumme Linie BDFTab. VI. Fig. 53. mit einem Faden uͤberleget iſt / ſo immer gleichviel gedehnet wird und die gera - de Linie BA aufangs die krumme in B beruͤhret / hernach aber immer nach und nach von der krummen abgezogen wird / ſo beſchreibet der aͤuſſere Punct A eine andere krumme Linie AHR / und nen - net man die krumme Linie BDF die E - volute der Linie AHR / die Theile des Fadens DH / RF &c. aber die RADIOS der Evolute.
556. Wenn der Punct A in B faͤllet und AB = 0 / ſo iſt DH oder der Radius der Evo - lute dem Bogen BD / ſonſt aber der Diffe - rentz zwiſchen dem Bogen DB und der Linie AB gleich.
557. Jhr koͤnnet jeden unendlich kleinen Bogen der Linie AHR als einen Circul-Bo - gen anſehen / der mit dem Radio DH / oder FR / &c. aus dem Mittel-Puncte D oder F &c. beſchrieben worden / und demnach ſtehen die Radii der Evolute alle auf der Linie AHR perpendicular (§. 429).
558. Weil nur ſo lange ein Circul-Bogen beſchrieben wird / als der Radius der Evolute DH mit einem unendlich kleinen Bogen in der Evolute BDF eine gerade Linie machet; ſo muͤſſen alle Radii die Evolute BDF beruͤh - ren (§. 409).
559. Die Laͤnge des Radii der Evolu - te MC zufinden / wenn die Semiordi - naten PM der Linie A M D auf der Axe AB perpendicular ſtehen.
Es ſey die Semiordinate pm der andern PM unendlich nahe / ingleichen der Radius cm dem Radio CM. Ziehet CE mit der A - xe A B parallel / bis ſie die verlaͤngerte Se - miordinate in E erreichet. Weil bey R und E rechte Winckel ſind / und RMm = E MC / indem EMG und cMm (§. 557) rechte Winckel ſeyn / ſo iſt auch MmR = EcM (§. 99 Geom.) folgends (§. 182 Geom.).
MR: Mm = ME: MC dx _ _ V (dx2+dy2) z _ _ zV (dx2+dy2): dx Da nun der Mittelpunct in C iſt / daraus der kleine Bogen Mm mit dem Radio cM be - ſchrieben / und dieſer unveraͤndert bleibet / in - dem ME umb mR zunimmet; ſo muß die Differential des Radii cM in Anſehung der Differential mR der Linie ME nichts ſeyn. Nun349der Algebra. Nun iſt die Differential des Radii cM / wenn ihr dx fuͤr unveraͤnderlich (das iſt in allen Puncten der Linie von gleicher Groͤſſe) an - nehmet / (dzdx2+dzdy2+zdyddy): dx V (dx2 + dy2). Derowegen habet ihr dz dx2+dzdy2+zdyddy): dxV (dx2+dy2) = 0 dzdx2 + dzdy2 = - zdy ddy dyddy (dzdx2+dzdy2): - dyddy = z das iſt / weil dz = dy (dx2+dy2): - ddy = z. Wenn ihr nun die Werthe von dy2 und ddy durch x aus der Æquation fuͤr die krumme Linie exprimiret / ſo werdet ihr den Werth von z durch x finden.
560. Jn der Parabel iſt ax = y2 daher adx = 2ydy adx: 2y = dy a2dx2: 4y2 = dy2 das iſt adx2: 4x = dy2 Und wenn ihr dx fuͤr unveraͤnderlich anneh - met - adx2: 4xVax = ddy. Folgends (dx2+dy2): - ddy = (4xdx2+adx2) xV ax350Anfangs-Gruͤnde der Algebra. V ax: axdx2 = (a+4x) Vax: a = Vax + 4xV ax: a = z.
561, Es ſey fuͤr unendliche Parabeln ym = x ſo iſt mym-1dy = dx Wenn ihr nun dx fuͤr unveraͤnderlich anneh - met / ſo iſt (mm-m) ym-2dy2 + mym-1ddy = 0 (mm-m) ym-2dy2 = - mym-1ddy (m-1) y-1 dy = - ddy das iſt (m-1) dy: y = - ddy. Demnach iſt (dx2+dy2): - ddy = (ydx2+ydy2): (m-1) dy2.
Nun iſt dx2 = m2y2m-2 dy2. Derowe - gen wann ihr dieſen Werth in die Stelle von dx 2 ſetzet / bekommet ihr (m2y2m-1 dy2+ydy2): (m-1) dy2 = z. (m2y2m-1 + y): (m-1) = z. Setzet Z. E. m = 2 / ſo iſt 4xVx+Vx = z. welche Æquation mit der vorigen uͤberein kommet / wenn a = 1.
560. Wena euch das Differentiiren beſchwerlich fallen will; ſo brauchet den Vortheil / dadurch wie o - ben (§. 406) die Regeln zu differentiiren / zu fin - den angewieſen.
Ende des vierdten Theiles.
1.
DJe Geſchwindigkeit / mit wel - cher ſich ein Coͤrper beweget / iſt die Verhaͤltnis des Raumes zu der Zeit.
2. Es ſey der Raum = r / die Zeit = t / ſo iſt die Geſchwindigkeit = r: t.
3. Die Materie eines Coͤrpers iſt diejenige / welche mit ihm wieget und beweget wird.
4. Daher iſt ſie ſeiner Schwere jederzeit proportional.
4. Die Groͤſſe der Bewegung erwaͤchſet / wenn die Materie des Coͤr - pers durch die Geſchwindigkeit der Be - wegung multipliciret wird.
Zu -352Anhang6. Es ſey die Geſchwindigkeit des Coͤrpers = c ſeine Materie = m / ſo iſt die Groͤſſe der Bewegung = mc.
7. Die Lehrſaͤtze zufinden / nach wel - chen die Bewegungen zweyer Coͤrper / die ſich die gantze Zeit ihrer Bewegung mit einerley Geſchwindigkeit bewegen / verglichen werden.
Es ſey der eine Coͤrper A / ſeine Geſchwin - digkeit C / ſeine Materie M / die Zeit ſeiner Bewegung T / der Raum / den er durchlauf - fen R: die Groͤſſe der Bewegung Q. Der andere Coͤrper a / ſeine Geſchwindigkeit c / ſeine Materie m / die Zeit ſeiner Bewegung t / der Raum / den er durchlauffen / r / die Groͤſſe ſeiner Bewegung q. So iſt C = T: R und c = t: r (§. 2) und Q = CM / aber q = cm (§. 6). Solchergeſtalt habet ihr I. C: c = (T: R): (t: r) II. Q: q = CM: cm Setzet C = c / ſo iſt T: R = t: r. folgends III. T: t = R: r Setzet Q = q / ſo iſt CM = cm. Folgends IV. C: c = M: m Setzet ferner T = t / ſo iſt V. R = r. Se -353zu der Algebra. Setzet C = c / ſo iſt VI. M = m. Wiederumb weil C: c = (R: T): (r: t) ſo iſt CTr = ctR / folgends VII. T: t = cR: Cr. VIII. R: r = TC: tc Setzet T = t / ſo iſt Cr = cR. Folgends IX. C: c = R: r. Setzet R = r / ſo iſt CT = ct. Folgends X. C: c = t: T. Weil Q: q = CM: cm, ſo iſt Qcm = qCM / folgends XI. C: c = Qm: qM XII. M: m = Qc: qC Setzet C = c / ſo iſt Qm = qM. Folgends XIII. Q: q = m: M. Setzet M = m, ſo iſt Qc = qC. Folgends Q: q = C: c Endlich weil C: c = (R: T): (r: t) Q: q = CM: cm ſo iſt CQ: qc = tRCM: Trcm CQTrcm = cqtRCM Cc QTrm = qtRM dannenhero iſt XIV. Q: q = tRM: Trm XV. T: t = qRM: Qrm XVI. R: r = QTm: qtM(4) ZXVII. 354AnhangXVII. M: m = QTr: qtR.
8. Es iſt nicht noͤthig zu erinnern / wie die ge - fundenen Lehrſaͤtze ausgeſprochen werden / weil ſol - ches denen zur Gnuͤge bekandt ſeyn muß / die das vor - hergehende verſtanden. Aber wohl iſt noͤthig / daß ich ermahne / man ſolle ſich dieſe Lehrſaͤtze wohl be - kandt machen / die weil man in Aufloͤſung anderer Auf - gaben dieſelbe gar oͤfters von Noͤthen hat. Mer - cket aber zugleich / wie man ſo viel Lehrſaͤtze durch die Algebra gleichſam ſpielende heraus bringen kan / die ſonſt durch viele Umbwege zu erweiſen und noch ſchweerer zu erfinden waͤren.
9. Die Geſetze zu finden / nach welchen die ſchweren Coͤrper in einem Raume da ihnen kein Wiederſtand geſchiehet / herunter fallen.
10. Wenn in dem Triangel AB = BC =Tab. VII. Fig. 57. CD = DE = T / BF = CG = DH = EI = C; ſo ſind die Triangel = ½ TC = R. Wenn ihr nun ſetzet / daß alle Ordinaten BF / CG / DH / EI einander gleich ſind / ſo wird der Triangel ein Rectangulum, deſſen Jnhalt = TC. Da nun dieſes den Raum vorſtel - let / welchen der Coͤrper in der Zeit T mit der Geſchwindigkeit C durchlauffen wuͤrde / die er zu Ende der Zeit hat / wenn er ſie gleich an - fangs haͤtte und ſtets dieſelbe unveraͤndert behielte; ſo iſt klahr / daß dieſer Raum ſichzu357zu der Algebra. zu jenem verhaͤlt wie TC zu ½ TC / das iſt wie 1 zu ½ / oder wie 2 zu 1.
11. Aus der gegebenen Zeit / in welcher ein Coͤrper durch eine gewiſſe Hoͤhe gefallen iſt / zu finden / wie er in jedem Theile derſelben Zeit gefallen.
Es ſey der erſte Theil der Zeit 1 / die Zahl der Theile m / der Raum in dem erſten Thei - le x; ſo iſt der Raum in dem letzten (2m-2) x + x (§. 9. & §. 66 Arithm. ) und die Sum - me in allen Theilen der Zeit m2x (§. 107 Algebr.). Setzet nun den gantzen Raum a / ſo iſt m2x = a x = a: m2 /
Es ſey Z. E. a = 125 / m = 5 Secun - den / ſo iſt x = 125: 25 = 5. Alſo iſt der Coͤr - per in der erſten Secunde 5′ / in der andern 15 in der dritten 25 / in der vierdten 35 / in der fuͤnften 49′ gefallen.
12. Es bewegen ſich zwey Coͤrper durch einen Weg mit verſchiedener Ge - ſchwindigkeit und in verſchiedenen Zei - ten von verſchiedenen Orten an / man ſol aus dem gegebenen Unterſcheide derZ 3Zeit358AnhangZeit und der Diſtantz der Oerter / wo ſie ſich zu bewegen anfangen / und der Geſchwindigkeit / den Ort finden / wo ſie zuſammen kommen.
Es beweget ſich der eine Coͤrper in der Zeit T durch R / der andere in der Zeit t durch den Raum r. Die Diſtantz der Oerter / wo ſie ſich zu bewegen anfangen / iſt d / der Unter - ſcheid der Zeiten m. Setzet die Laͤnge des Weges / ſo der weiteſte zu lauffen hat x / ſo iſt der Weg des andern x-m. Setzet die Zeit der Bewegung des erſten y / des andern z. So iſt T: R = y: x _ _ t: r = z: x-d Ry = Tx _ _ rz = tx-td y = Tx: R _ _ z = (tx-td): r Tx: R - (tx+td): r = m Trx-tRx+tRd = mrR Trx-tRx = mrR-tRd x = (mrR-tRd): (Tr-tR) Hingegen wenn z-y = m / ſo findet ihr x = (mrR+Rtd): (Rt-Tr).
13. Wenn die Coͤrper einander entgegenge -359zu der Algebra. gehen / ſo findet ihr den Ort / wo ſie einander begegnen / faſt wie vorhin. Denn es ſey die Weite der beyden Oerter / wo ſie ſich anfan - gen zu bewegen / m; die Weite des einen von dem Orte / wo ſie zuſammen kommen / x; ſo iſt die Weite des andern davon m-x. Wenn nun das uͤbrige wie vorhin bleibet / ſo habet ihr
| T: R = y: x | t: r = z: m-x | y†z = m |
| — — — | — — — | z-y = m |
| Tx = Ry | tm-tx = rz | |
| — — | — — | |
| Tx: R = y | (tm-tx): r = z | |
| Tx: R - (tm†tx): r = m | ||
| — — — — — | ||
| Trx-tmR†tRx = mrR | ||
| — — — — — | ||
| Trx†tRx = mrR†tmR | ||
| — — — — — | ||
| x = (mrR†tmR): (Tr†tR) | ||
Wenn z-y = m / ſo findet ihr x = (tmR-mr R): (tR†Tr).
14. Z. E. Die Sonne lauffet in einem Tage bey na - he einen / der Mond 13. Grade. Setzet nun / die Sonne ſey heute im 8° ♌ / den Monden ſehet ihr uͤber 5 Tage in dem 6° ♉: ſo koͤnnet ihr durch die Regel des andern Falles in der Aufgabe finden / in welchem Orte des Himmels der Mond und die Sonne am er - ſten zuſammen kommen werden. Es iſt nemlich T = 1 / t = 1 / R = 13° / r = 1 / m = 5 / d = 92 / folgends x = (mrR † Rtd): (Rt-Tr) = (5. 1. 13. † 13. 1. 92. ): (13. 1. ‒ 1. 1 ) = (65 † 1196): (12Z 4=360Anhang= 1261: 12 = 105 $$\frac {1}{12}$$ . Wenn ihr nun dieſe Grade zu dem Orte des Mondens 36° addiret / ſo kom - met fuͤr den Ort der Zuſammenkunfft 141 $$\frac {1}{12}$$ / das iſt (wenn ihr mit 30 dividiret) 21° $$\frac {1}{12}$$ ♌.
15. Es wird eine Kugel aus C nach der Linie DC wieder die Wand AB geworf - fen / man ſol den Winckel EDG finden / welchen die Linie EB nach welcher er zuruͤck prallet / mit AB macht. Wir wollen CDF den Einfalls-Winckel / EDG aber den Reſlexions-Winckel nennen.
Laſſet aus C und E die Perpendicular-Li - nien CF und EG fallen. Es ſey CF = a / E G = b / FG = c / DF = x / ſo iſt DG = c-x / (C C) 2 = aa†xx / (DE) 2 = bb†cc-2cx†xx. Da nun die Natur immer den kuͤrtzeſten Weg ge - het / ſo muß die Kugel in D dergeſtalt zuruͤcke prallen / daß ſie bis E den kuͤrtzeſten Weg nim - met / welchen ſie aus C durch das zuruͤ - cke prallen von der Flaͤche AB nehmen kan. Und demnach iſt CD†DE die kleineſte Groͤſſe von ihrer Art; bildet euch demnach eine krumme Linie ein / deren Æquation
V (aa†xx) † V (bb†cc-2cx†xx) = y ſo iſt xdx: V′ (aa†xx) † (xdx-cdx): V′ (bb†cc - 2cx†xx) = dy = o (§. 416)
xV′361zu der Algebra.xV′ (bb†cc-2x†xx) † (x-c) V′ (aa†xx) = o
xV (bb†cc-2cx†xx) = (2c-ax) V′ (aa+xx) das iſt FD. ED = DG. CD.
Folgends FD: CD = DG: DE. Wenn nun CD = DE / ſo iſt auch DF = DG.
Alſo iſt der Reflexions-Winckel EDG dem Einfalls-Winckel CDF gleich.
16. Hieraus ſehet ihr zugleich / daß / wenn ein Strahl des Lichtes CD auf einen Spie - gel faͤllet / er dergeſtalt in E reflectiret wird / daß der Reflexions-Winckel EDG dem Ein - falls-Winckel CDF gleich iſt.
17. Aus der gegebenen Diſtantz einesTab. VII. Fig. 59. ſtrahlenden Punctes A von dem Mit - telpuncte B eines Sphaͤriſchen Spiegels DEF den Punct zu finden / wo der re - flectirte Strahl DE mit der Axe verei - niget wird.
Es ſey AB = a / BD = BE = r / BC = x / ſo iſt CE = r-x. Weil das Auge / welches den ſtrahlenden Punct A im Spiegel ſiehet / in det Axe AE ſtehet / ſo muß der Punct D / wovon der Strahl / der in das Au - ge faͤllet / reflectiret wird / der Axe A E uͤberaus nahe ſeyn. Und dannenhero iſtZ 5DC362AnhangDC = CE = r-x / die Winckel m / n / p und und q ſind unendlich kleine / und daher iſt D B: AB = m: n und DC: CB = q: p / fol - folgends auch DB†AB: AB = m†n: n. Da nun q = m†n (§. 100. Geom.) und p = n (§. 16); ſo iſt DB†AB: AB = q: p. Derowegen iſt
DB†AB: AB = DC: BC das iſt / AE: AB = EC: BC a†r a a-x x ax†rx = ar-ax 2ax†rx = ar x = ar: (r†2a) 〈…〉〈…〉- x = r-ar: (r†2a) = (r2†ar): (r†2a).
das iſt / EC = (AE. BE): (BE+2AE) / oder / wenn ihr AE = r+a = d ſetzet / = dr: (2d - r).
18. Wenn d groͤſſer iſt als r ſo iſt auch 2d: (2d-r) groͤſſer als 1 (§. 70) und daher ½ r. 2d: (2d-r) = dr: (2d-r) groͤſſer als ½ r / das iſt / wenn der ſtrahlende Punct a vor dem Hohl - Spiegel weiter weg iſt als der Semidiame - ter des Spiegels BE austraͤget / ſo iſt die Di - ſtantz des Bildes EC groͤſſer als der vierdte Theil des Diameters.
19. Wenn d groͤſſer als r / ſo iſt auch 2d-r groͤſſer als d / und daher d: (2d-r) weniger als 1 (§. 70) / folgends dr: (2d-r) weniger als r / das iſt / die Diſtantz des Bildes von dem Hohl-Spiegel iſt geringer als der Diame - ter.
20. Wenn d = r / ſo iſt dr: (2d-r) = rr: (2r-r) = r / das iſt / wenn der ſtrahlende Punct umb den halben Diameter des Spie - gels von demſelben weg iſt / oder in ſeinem Mittelpuncte ſtehet / ſo wird auch ſein Bild daſelbſt geſehen.
21. Wenn d = ½ r / ſo iſt 2d = r und rd: (2d-r) = dr: o / das iſt / die Diſtantz des Bildes von dem Hohl-Spiegel wird unend - lich groß / weil der Nenner in Anſehung des Zehlers zu nichts wird / das iſt / die Strah - len werden mit der Axe parallel / denn in dieſem Falle koͤnnen ſie niemals mit ihr zu - ſammen kommen.
22. Wenn d kleiner iſt als r und 2d groͤſ - ſer als r (oder d groͤſſer als ½ r) ſo iſt 2d: (2d - r) groͤſſer als 1. Denn ſetzet 2d = r†m / ſo iſt 2d-r = m / und daher 2d: (2d-r) =〈…〉〈…〉 †r: m. Und demnach iſt ½ r. 2d: (2d-r) groͤſſer als ½ r. Dero -364AnhangDerowegen wird das Bild auſſer dem Hohl - Spiegel geſehen / wenn die Sache zwiſchen dem Mittelpuncte und dem Brenn-Puncte lieget / der (§. 24) umb ½ r vom. Spiegel weg iſt.
23. Wenn d kleiner iſt als ½ r / ſo hat der Nenner 2d-r das Zeichen -. Denn ſetzet 2d = r-m / ſo iſt 2d-r = - m. Und alſo hat der gantze Bruch dr: (2d-r) das Zeichen -. Derowegen muß der Ort des Bildes hinter dem Hohl-Spiegel ſeyn / wenn die Sache zwiſchen dem Brenn-Puncte und dem Spiegel liget.
24. Wenn d unendlich groß wird / das iſt / wenn die Strahlen mit der Axe parallel ein - fallen / ſo iſt r in Anſehung 2d fuͤr nichts zu halten / und demnach iſt dr: (2d-r) = dr: 2d = ½r.
25. Wenn der Spiegel erhaben iſt / ſo iſt d = a-r / und daher bekommet ihr an ſtat (rr†ar): (2a†r) die Linie EC = (ar-rr): (2 a-r) = dr: (2d†r). Denn weil 2a-2r = 2d / ſo iſt 2a-r = 2d†r. Weil nun hier d allzeit groͤſſer iſt als r (denn ſonſt muͤſte die Sache innerhalb dem Spiegel ſtehen) / und d: (2d†r) weniger als 1; ſo iſt auch dr: (2d†r)365zu der Algebra. †r) weniger als r. Derowegen wird das Bild zwiſchen dem Mittelpuncte des Spie - gels und ſeiner Flaͤche geſehen / die Sache mag ſo weit weg ſeyn als ſie wil.
26. Setzet d unendlich groß / ſo iſt r in Anſehung 2d unendlich kleine und dannenhe - ro dr: (2d†r) = dr: 2d = ½r. Derowegen wird das Bild niemals weiter hinter einem erhabe - nen Spiegel geſehen / als den vierdten Theil des Diameters / wenn es gleich unendlich weit wegſtehet.
27. Es iſt nicht noͤthig zu er innern / daß / wenn d und r durch Zahlen exprimiret werden / auch die Di - ſtantz des Bildes von der Spiegel-Flaͤche in Zahlen heraus komme / und ihr auch daher die Verhaͤltnis der Diſtantz zum Diameter des Spiegels finden koͤnnet.
28. Wenn r unendlich groß wird / ſo iſt der Spiegel platt und als denn iſt 2d in Anſehung r unendlich kleine. Derowegen wird in die - ſem Falle dr: (2d†r) = dr: r = d / das iſt / in einem platten Spiegel iſt das Bild ſo weit hinter / als die Sache vor demſelben.
29. Setzet die Diſtantz des ſtrahlenden Punctes in einem Hohl-Spiegel werde nd ſo iſt die Diſtantz des Bildes ndr: (2nd-r). Dero -366AnhangDerowegen weñ die Weiten des ſtrahlenden Punctes von dem Hohl-Spiegel ſich gegen einander verhalten wie d zu nd / ſo verhalten ſich die Weiten des Bildes von demſelben wie dr: (2d-r) zu ndr: (2nd-r) / das iſt / wie n: (2nd-r) zu 1: (2d-r) / oder wie 2nd-rn zu 2nd - r. Wenn nun n eine gantze Zahl und d groͤſſer als r iſt; ſo iſt 2nd-rn kleiner als 2nd - r. Derowegen wenn der ſtrahlende Punct auſſer dem Mittelpuncte des Spiegels iſt / ſo gehet das Bild naͤher zu dem Spiegel / wenn der ſtrahlende Punct weiter davon weggehet. Hingegen wenn n eine gebrochene Zahl iſt / ſo iſt 2nd-rn groͤſſer als 2nd-r. Derowegen wenn der ſtrahlende Punct von dem Hohl - Spiegel weiter weg iſt als der Mittelpunct deſſelben / ſo gehet das Bild vom Spiegel weg / wenn der ſtrahlende Punct ſich zu dem - ſelben naͤhert.
29. Wenn d kleiner iſt als ½ r und nd gleichfals kleiner als ½ r / ſo verhalten ſich die Weiten des Bildes von dem Spiegel wie r - 2nd zu rn-2nd. Wenn nun n eine gantze Zahl iſt / ſo iſt rn-2nd groͤſſer als rn-2nd / das iſt / wenn der ſtrahlende Punct vom Spiegel weggehet / ſo gehet auch das Bild davon weg. Hingegen wenn n eine gebrochene Zahl iſt / ſo iſt r-2nd groͤſſer als rn-2nd / das iſt / wennder367zu der Algebra. der ſtrahlende Punct dem Spiegel naͤher kommet / ſo kommet auch das Bild demſelben naͤher.
30. Es werde gleichfals bey einem erha - benen Spiegel die Diſtantz des ſtrahlenden Punctes nd / ſo wird die Weite des Bildes von dem Spiegel ndr: (2nd†r) / das iſt / wenn die Weiten des ſtrahlenden Pun - ctes ſich verhalten wie d zu nd; ſo verhalten ſich die Weiten des Bildes von dem er - habenen Spiegel wie dr: (2d†r) zu ndr: (2nd†r) / das iſt / wie 1: (2d†r) zu n: (2nd†r) oder wie 2nd†r zu 2nd†nr. Wenn nun n eine gantze Zahl iſt / ſo iſt 2nd†nr groͤſſer als 2nd†r. Derowegen wenn der ſtrahlende Punct von dem Spiegel weggehet / ſo gehet auch das Bild zuruͤcke. Hingegen wenn n eine gebrochene Zahl iſt / ſo iſt 2nd†nr kleiner als 2nd†r. Derowegen wenn der ſtrahlen - de Punct dem Spiegel naͤher kommet / ſo kommet auch das Bild demſelben naͤher.
31. Das Geſetze der Natur zu finden / nach welchem die Strahlen des Lichtes gebrochen werden / wenn ſie aus einem durch ſichtigen Coͤrper in einen anderen dichteren fahren.
Auf -368AnhangEs werde der Strahl AB in B gebrochen und fahre in G. Setzet die Geſchwindig - keit / mit welcher ſich der ungebrochene Strahl AB beweget verhalte ſich zu der Geſchwin - digkeit des gebrochenen BG wie m zu n. De - rowegen iſt die Zeit in welcher die Linie A B durchlauffen wird / zu der Zeit in welcher das Licht durch die Linie BG kommet wie n BA zu m BG (§. 7). Laſſet nun von A und G die Perpendicular-Linien AD und GC fallen und es ſey AD = a / CG = b / CD = c / CB = x / ſo iſt BD = c-x / folgends BG = V (xx†bb). AB = V (aa†cc-2cx†xx) und n BA † m GB = n V (aa†cc-2cx†xx) m V (xx † bb). Weil nun das Licht aus A in G in der ge - ſchwindeſten Zeit kommen muß / indem die Natur immer den kuͤrtzeſten Weg gehet; ſo iſt nV′ (aa†cc-2cx†xx) †mV′ (xx†bb) die kuͤr - tzeſte Zeit / in welcher das Licht durch die Re - fraction aus A in G gelangen kan. Bildet euch demnach eine krumme Linie ein / in wel - cher
nV′ (aa†cc-2cx-xx) †mV (xx†bb) = y ſo iſt (§. 416)
n (xdx-cdx): V′ (aa†cc-2cx†x2†mxdx: V (x x2†b2 = dy = o
mx: V (x2†b2) = n (c-x): V (aa†cc-2cx†x2) das iſt m CB: BG = n DB: AB
m CB. AB = n BD. BG
Se -369zu der Algebra.Setzet BG = AB / ſo iſt
m CB = n BD
folgends m: n = BD: BC
Wenn ihr nun BG und AB fuͤr den Si - num Totum annehmet / ſo iſt BD der Sinus des Winckels B A D oder ABK / hingegen BC der Sinus des Winckels BGC oder GBF (§. 92. Geom. §. 3. Trigon.). Und dem - nach hat der Sinus des Jnclinations-Win - ckels ABK zu dem Sinui des gebrochenen Winckels FBG beſtaͤndig einerley Verhaͤlt - nis.
32. Den Punct f zufinden / wo dieTab. VII. Fig. 61. Strahlen des Lichtes nach geſchehe - ner Refraction in dem Glaſe KL mit der Axe AF vereiniget werden.
Setzet der Strahl AD ſey dem Strahle AB unendlich nahe / ſo iſt der Winckel A un - endlich kleine und die Linie DI / ſo mit der Axe einen rechten Winckel in I macht / ſtehet auch auf AD perpendicular. Eben ſo macht GH ſo wol in G als H einen rechten Winckel. Es ſey nun AD = AB = y / Bc = a / EC = b / BE = ſ / DF = IF = BF = x / HF = EF = GF = v / Hf = Ef = Gf = z / cP = r / CM = t / die Verhaͤltnis der Reſraction aus der Luft ins Glaß 3: 2 / ſo iſt AC = y†a FC = u†b / Fc = x-a, Weil nun 3: 2 =(4) A acP370AnhangcP: cQ: (§. 31) / ſo iſt cQ = 2r: 3. Eben ſo weil 2: 3 = CM: CN (§. 31) / ſo iſt cN = 3t: 2. Weil Bd mit cP parallel / ſo iſt (§. 177 Geom.)
Ac: cP = AI: ID y†a r y ry: (y†a)
Eben ſo weil wegen der rechten Winckel bey D und Q die Linien ID und cQ parallel ſind / iſt (§. 177 Geom.)
FI: ID = Fc: cQ x ry: (y†a) x-a ⅔r ⅔rx = (rxy-ary): (y†a) 2rxy † 2arx = 3rxy-3ary 3ary = rxy-2arx 3ay: (y-2a) = x
Wiederumb weil wegen der rechten Win - ckel bey M und H die Linien CM und GH pa - rallel ſind / ſo iſt (§. 177 Geom.)
FC: CM = FG: GH b†v t v tv: (b † v)
Und endlich weil wegen der rechten Winckel bey N und H die Linien CN und GH paral - lel ſind / ſo iſt (§. 177 Geom.)
fC: CN = fG: GH b†z $$\frac {3}{2}$$ t z tv: (b†v) $$\frac {3}{2}$$ tz = (btv†tvz): (b†v)
3btz371zu der Algebra.3btz † 3tvz = 2btv † 2tvz 3bz = 2bv-vz 3bz: (2b-z) = v = x-ſ. ſ†3bz: (2b-z) = x = 3ay: (y-2a) 2bſy-ſzy†2aſz-4abſ † 3bz-6abz = 6aby-3azy 3azy†3bzy†2aſz - ſzy - 6abz = 6aby † 4abſ - (2bſy z = 6aby † 4abſ-2bſy — — — — — — — = Ef 3ay † 3by † 2aſ-ſy-6ab
Wenn ihr die Dicke des Glaſes nicht re - gardiret / ſo verlieren ſich alle Glieder / die durch ſ multipliciret ſind / und ihr bekommet
Ef = z = 6aby: (3ay†3by-6ab) = 2aby: (ay†by-2ab).
33. Unerachtet die gefundene Regel hauptſaͤchlich dienet den Ort des Bildes zufinden / wenn das Glaß auf beyden Seiten erhaben iſt und zwar die Radiſ der erhabenen Flaͤchen nicht von einerley Groͤſſe ſind; ſo koͤnnet ihr doch daraus gar leichte auch Regeln fuͤr alle uͤbrige Faͤlle herleiten / wie aus folgenden Zuſaͤtzen erhellet.
34. Wenn das Glaß auf beyden Sei - ten gleich erhaben iſt / ſo iſt cB = CE / dasA a 2iſt /372Anhangiſt / a = b und daher z = 6a2y: (6ay-6a2) = ay: (y-a).
35. Wenn cB oder a unendlich groß wird / ſo iſt die Seite KBL / die gegen den ſtrahlen - den Punct A gekehret iſt / platt / und die Glie - der / die durch a nicht multipliciret ſind / wer - den in Anſehung der andern unendlich kleine oder nichts. Daher iſt z = 6aby: (3ay - 6ab) = 2by: (y-2b).
36. Hingegen wenn b unendlich groß wird / ſo iſt das Glaß auf der hinteren Seite KEL platt und die Glieder / darinnen b nicht vor - handen / werden in Anſehung der andern un - endlich kleine. Solchergeſtalt iſt z = 6ab y: (3by-6ab) = 2ay: (y-2a).
37. Alſo iſt es ein Thun / ob ihr die erha - bene oder die platte Flaͤche eines Glaſes / ſo auf einer Seite erhaben / auf der andern platt iſt / gegen den ſtrahlenden Punct kehret.
38. Wenn ſo wol a als b unendlich groß werden / ſo wird daß Glaß auf beyden Sei - ten platt und 3ay†3by werden in Anſehung 6ab unendlich kleine. Daher iſt z = 6aby: - 6ab = - y. Alſo kommen die Strahlennir -373zu der Algebra. nirgends zuſammen / als in dem Puncte / wo ſie ausflieſſen.
39. Wenn y unendlich groß wird / ſo fal - len die Strahlen mit der Axe parallel ein / und daher iſt 6ab in Anſehung der uͤbrigen Glieder unendlich kleine / folgends z = 6ab y: (3ay†3by) = zab: (a†b) fuͤr ein Glaß / welches auf beyden Seiten auf verſchiedene Art erhaben iſt.
40. Wenn das Glaß beyderſeits auf gleiche Art erhaben iſt / ſo iſt z = 2aa: 2a = a.
41. Wenn a unendlich groß wird / ſo iſt die Seite KBL gegen den ſtrahlenden Punct zu platt / und b in Anſehung a unendlich klei - ne. Derowegen iſt z = 2ab: a = 2b. Hin - gegen wenn b unendlich groß wird / ſo iſt die vom ſtrahlenden Puncte A weggekehrte Sei - te KEL platt / und a in Anſehung b unendlich kleine. Derowegen iſt z = 2ab: b = 2a.
42. Wenn ihr fuͤr † b in der Regel - b ſe - tzet / ſo wird das Glaß auf der Seiten KBL ge - gen den ſtrahlenden Punct A zu hohl / und z = - aby: (ay-by † 2ab).
43. Setzet - a fuͤr † a / ſo wird das Glaß auf der vom ſtrahlenden Puncte weggekehr - ten Seite hohl und z = - aby: (by†2ab-ay).
44. Wenn ihr fuͤr a und b zugleich - a und - b ſetzet / ſo wird das Glaß auf beyden Seiten hohl / und z = 2aby: (- ay-by-2ab).
45. Wenn a unendlich groß wird und ihr - b fuͤr b ſetzet / ſo iſt das Glaß auf der Seite gegen den ſtrahlenden Punct platt / auf der an - deren aber erhaben / und die Groͤſſen / ſo durch a nicht multipliciret ſind / werden in Anſehung der anderen unendlich kleine. Daher iſt z = - 2by: (y†2b).
46 Wenn b unendlich groß wird und ihr - a fuͤr a ſetzet / ſo iſt das Glaß auf der Seite gegen den ſtrahlenden Punct zu hohl / auf der andern erhaben / und die Groͤſſen ſo durch b nicht multipliciret ſind / werden in Anſehung der andern unendlich kleine. Daher iſt z = - 2ay: (y†2a).
48. Wenn y unendlich groß wird / ſo fal - len die Strahlen parallel ein und daher wird (§. 42) z = - 2aby: (ay-by) = - 2ab: (a-b) / (§. 43) z = - 2aby: (- ay†by) = - 2ab: (b-a) =375zu der Algebra. = (wenn a = b) - 2a2 / (§. 44) z = 2aby: (- ay-by) = 2ab: (- a-b) = (wenn a = b) ‒ 2a2 / (§. 45) z = - 2by: y = - 2b / (§. 46) z = - 2ay: y = - 2a.
48. Weil in den Hohl-Glaͤſern die Di - ſtantz des Punctes / wo die einfallenden Strahlen mit der Axe vereiniget werden / das Zeichen-hat / ſo iſt klahr / daß derſelbe auf der Seite gegen den ſtrahlenden Punct zu ge - ſucht werden muß und dannenhero die Strahlen in dergleichen Glaͤſern von der Axe weggebrochen werden. Ob aber ſolches viel oder wenig geſchehe / kan aus den gefun - denen Regeln geurtheilet werden.
49. Aus dieſen Exempeln koͤnnet ihr ſehen / wie die Algebra mit groſſem Vortheile in anderen Wiſ - ſenſchaften angebracht wird / und werde ich bey an - derer Gelegenheit noch ein mehreres zeigen / auch in folgendem erinnern / wo ihr mehrere dergleichen Exempel finden koͤnnet.
Ende der Algebra.
§. 1.
DJe Arithmetiſchen Schrifften er - klaͤhren entweder die Eigenſchafften der Zahlen / oder lehren die verſchie - denen Rechnungs-Arten. Dieſe zeigen entweder zugleich mit den Grund der Rechnungen oder nicht.
§. 2. Die Eigenſchafften der Zahlen hat Eu - clides in dem ſiebenden / achten und neundten Buche ſeiner Elementorum beſchrieben: nachdem aber die Rechnung mit den Buch - ſtaben erfunden worden / pfleget man dieſe Lehren in die Algebraiſche Schrifften zu zie - hen / wie in dem dritten Capitel erwieſen wird.
§. 3. Derer Schrifften / darinnen die Rechnungs-Arten ſchlechterdings gelehret werden / iſt faſt keine Zahl. Und kan man alle gar wohl miſſen / wenn man die in dem erſtenThei -380Kurtzer UnterrichtTheile befindliche Anfangs-Gruͤnde der Rechen-Kunſt inne hat. Daher halte ich mich mit ihrer Erzehlung nicht auf. Denen / die Luſt in Krieg haben / zu liebe hat Clermont ſeine L’ Arithmetique Militaire zu Straß - burg 1707. zum andern male heraus gegeben (in 12. Bog. 11. ½) darinnen er die gemeinen Regeln der Rechen-Kunſt durch zum Kriege gehoͤrige Exempel erlaͤutert.
§. 4. Der gelehrte Jeſuit / Andreas Tac - quet, hat in ſeiner Theoria & praxi Ari - thmetices die zu verſchiedenen malen heraus kommen / unter andern zu Amſterdam 1704. (in 8. Bog. 34. Tabb. 8) die 3. erwehnten Buͤ - cher des Euclidis erlaͤutert / und die Rech - nungs-Arten zugleich erwieſen / wiewol ſeine Beweiſe nicht ſo leichte und deutlich ſind wie diejenigen / welche in meinen Anfangs-Gruͤn - den der / Rechen kunſt zu finden. Daher ich nicht leicht einem Anfaͤnger dieſes Buch re - commendiren wollte.
§. 5. Der vortreffliche Mathem. in Engel - land / weiland Geometriæ Prof. Savilianus in Oxfurt / Joh. Walliſius hat die Theoriam und Praxin der Nechen-Kunſt weitlaͤufftig ausgefuͤhret / und das Rechnen durch Buch - ſtaben mit dem Rechnen durch Zifern ver - knuͤpfet / daher auch in ſeinen Beweiſen ſich der Buchſtaben-Rechen-Kunſt bedienet. Es iſt zuerſt An. 1657. zu Oxfurt in 4. gedruckt worden; aber hernach in den erſten Theil ſei -ner381von den Mathem. Schrifften. ner Operum Mathematicorum (Oxoniæ 1695 in fol.) mit hinein geſetzt worden. Weil aber dieſes Werck den Anfaͤngern zu ſchweer iſt / ſo hat Eduard Wells einen kurtzen und leichten Auszug daraus gemacht / und zu Ox - furt unter dem Titul: Elementa Arithmeti - cæ 1698. in 8. heraus gegeben / welcher verdie - net von Anfaͤngern geleſen zu werden.
§. 6. Samuel Morland, ein Engellaͤnder / hat in ſeiner Mutter-Sprache zu London 1673 (in 12. Bog. 6½) die Beſchreibung zweyer Jnſtrumente heraus gegeben / durch deren ei - nes man mit bloſſer Bewegung einiger Scheiben das Addiren und Subtrahiren / durch das andere aber auf gleiche Art das Multipliciren verrichten kan. Beydes hat er ſchon 1666. dem Koͤnige Carl II. praͤſenti - ret. Dieſer Beſchreibung iſt eine voͤllige Rechen-Kunſt mit leichten Beweiſen beyge - fuͤget. Allein viel vollkommener iſt die Ma - chine des Hrn. Geheimden Raths von Leib - nitz / die er vor langen Jahren in ſeiner Ju - gend erfunden / und nun in den Miſcellaneis Berolinenſibus (Berolini 1710. in 4. p. 394. Tabb. XXX. ) der gelehrten Welt mitge - theilet / dadurch alle Rechnungs-Arten ohne einiges Nachſinnen durch hloſſe Bewegung mit der Hand verrichtet werden. Vid. part. 3. p. 317. & ſeqq.
§. 1. Die Geometriſchen Schrifften han - deln entweder von der bloſſen Theorie / oder erklaͤhren die praxin auf dem Papiere und Felde. Die Theoretiſchen Schrifften erlaͤu - tern entweder die gemeine Geometrie / welche von den geraden Linien und dem Circul und denen Figuren und Coͤrpern handeln / welche ſich durch dieſe Elemente beſchreiben laſſen: oder ſie gehoͤren zu der hoͤheren Geometrie / welche die Natur und Eigenſchafften der krummen Linien unterſuchet. Die Practi - ſchen Buͤcher fuͤgen entweder den Beweiß zu den aufgeloͤſeten Aufgaben / oder ſie laſſen ihn weg.
§. 2. Die vollſtaͤndigſte Geometria pra - ctica, die ohne Beweiß zur Zeit heraus kom - men / iſt die / welche Mallet in Frantzoͤſiſcher Sprache beſchrieben. Sie beſtehet aus 4 Theilen / und iſt zu Paris 1702 in groß Octav gedruckt worden. (Tom. I. 23. Tom. II. 26. Tom. III. 24. Tom. IV. 18. Bo - gen.). Es ſind faſt ſo viel ſaubere Kupfer in dem Buche als Blaͤtter / die zur Sache nicht gehoͤren / und ohne Noth das gar nuͤtzliche Buch ſehr theuer machen. Das Feldmeſ - ſen wird ſowol mit den Staͤben und der Meß-Ruthe / als mit dem halben Circul / demGeo -383von den Mathem. Schrifften. Geometriſchen Qvadrate / dem Proportio - nal-Circul / dem Aſtrolabio, der Bouſſole, dem Jacobs-Stabe / dem Meß-Tiſchlein zu verrichten angewieſen.
§. 3. Jn unſerer Teutſchen Sprache ha - ben wir Daniel Schwenters / weiland Profeſſoris Matheſeos zu Altdorf / Geome - triæ practicæ Libros IV. welche Georg Andreas Boͤckler mit Anmerckungen ver - mehret und zu Nuͤrnb. 1667 in 4. drucke laſſen / mit vielen Holtzſchnitten (4 Alph. 18 Bog.). Die Praxis auf dem Papiere wird gar deut - lich und vollſtaͤndig erklaͤhret; auf dem Felde aber nur der Gebrauch der bloſſen Staͤbe u. Schnure und des Meß-Tiſchleins angewie - ſen.
§. 4. Vor ihm hat Bernhard Cantzler zum Gebrauch der Feldmeſſer einen kurtzen und leichten Bericht vom Feld-Meſſer - aufgeſetzet: welchen hernach Abdias Trew / Matheſ. Prof. zu Altdorff mit vielen Anmer - ckungen vermehret / die zweymal ſo viel als das Buch ſelbſt austragen / ſo daß eine voͤllige Geometria practica daraus worden / die den Liebhabern dieſer Wiſſenſchafft ein Gnuͤgen thun kan. Das Buch iſt in unſe - rer Sprache mit einem Lateiniſchen Titul: Summa Geometriæ practicæ zu Nuͤrnberg 1673 heraus kommen (in 8. Bog. 33. Tabb. 55 und viel Holtzſchnitte).
§. 5. Man ruͤhmet auch die l’Ecoledes384Kurtzer Unterricht. des Arpenteurs oder die Feldmeſſer - Schule / welche de la Hire zu Paris 1689 in 8 heraus gegeben / ingleichen des Ozanam zu Paris 1609 in 8 edirte Methode facile pour arpenter, ou meſurer toutes ſortes de ſuperficies & pour toiſer exactement. Es verdienet auch ihr Lob des Chriſtoph Clavii, eines beruͤhmten Jeſuiten zu Bam - berg / Geometria practica, die in dem andern Theile ſeiner Wercke zu finden / auch vorhin beſonders gedruckt worden. Zu den Forti - fications-Buͤchern pflegen gemeiniglich und oͤffters ſehr vollſtaͤndige Geometriæ practi - cæ mit angehaͤngt zu werden: wovon an ſei - nem Orte ein mehreres folgen ſol.
§. 5. Vom Marckſcheiden haben wir die Marckſcheide-Kunſt oder Grometriam Sub - terraneam des Herrn Nicolai Voigtels Zehendners in der Grafſchafft Mansfeld. (Eisleben 1688 in fol. 32. Bogen Tabb. 9.) uñ von dem Proportional-Circul / deſſen Ge - brauch Malles in ſeiner Geometrie practi - que gar deutlich beſchrieben / und Galilæus zu erſt erfunden / hat Nicolaus Goldmann in Teutſcher und Lateiniſcher Sprache einen beſonderen Tractat ediret (Lugd. Batav. 1697 in fol. 1. Alph. Tabb. 16) / aus welchem Michael Scheffelt ſeinen Unterricht von dem Proportional-Circul meiſtens ge - nommen / (Ulm 1697 in 4. 18. Bog. Tabb. XII) welcher den Liebhabern dieſes Jnſtru -ments385von den Mathem. Schriften. ments zu recommendiren / weil der Gold - manniſche Tractat nicht ſo leichte zu haben. Galilæus ſelbſt hat 1607 ſein Jnſtrument zuerſt in Jtaliaͤniſcher Sprache beſchrieben. Der Titul des Buchs iſt: Le Operationi del Compaſſo Geometrico & militare.
§. 6. Was nun die Theoretiſchen Schrif - ten betrift / ſo hat die gemeine Geometrie un - ter den Alten Euclides beſchrieben. Die Elementa Euclidis ſind von verſchiedenen heraus gegeben worden. Den Griechi - ſchen Text mit einer Lateiniſchen Uberſe - tzung hat uns David Gregorius, Profeſſor Aſtronomiæ Savilianus zu Oxfurt / gegeben unter dem Titul: Ευκλείδου τὰ σωζομενα, h. e. Euclidis, quæ ſuperſunt omnia (Oxoniæ 1703 fol. 7 Alphab. 17 Bogen). Es haben aber andere die demonſtrationes leichter zuma - chen geſucht als ſie bey dem Euclide zu finden. Wer demnach den gantzen Euclidem ver - langet / dem kan die Edition dienen / welche Iſaac Barrow, weyland Matheſeos Pro - feſſor zu Cambridge, an ſelbigem Orte in 8 heraus gegeben / oder auch des Chriſtopho - ri Clavii Libri XV Elementorum Euclidis (Franc. 1654. in 8. Tom. I. 2 Alph. 4 Bog. Tom. II. 1 Alph. 20 Bog.) Wie wol die erſtere Edition wegen ihrer Kuͤrtze viel angeneh - mer iſt als die andere / ſo wegen des vielen Zuſatzes allzu weitlaͤuftig gerathen. Allein weil den Anfaͤngern der gantze Euclides(4) B bnichts386Kurtzer Unterrichtnichts nutzet; ſo koͤnnen ſie ſich entweder mit den Elemens d’ Euclide des Dechales, oder den Elementis Geometriæ planæ & ſolidæ des Tacquet vergnuͤgen. Die beſte Edition von dem erſten iſt die / welche wir dem Ozanam zu dancken haben (Paris 1709 in Regal 12. Bogen 12. Tabb. 16.) Die beſte Edition von dem andern hat uns Guil. Whiſton Matheſ. Prof. zu Cambrid - ge gegeben (Cambridge 1703. 8. Bogen 16 Tabb. 7) denn er hat einige Anmerckun - gen hinzu geſetzt / darinnen er den Nutzen der Lehren des Euclidis zeiget. Vorhin war die letzte Edition, welche zu Amſter - dam 1701 in 8 heraus kam (1. Alph. Tabb. 6.).
§. 7. Weil vielen die Ordnung des Eu - clidis nicht gefallen / auch viele Lehren uͤber - fluͤßig geſchienen; ſo hat man auf andere Elementa Geometriæ gedacht und haben wir in dieſem Stuͤcke ſonderlich der Fran - tzoſen Fleiß zu loben. Hierher gehoͤren les Elemens de Geometrie des Jeſuiten Igna - tii Gaſtonis Pardies, die unter ſeinen Oeu - vres de Mathematiques zu finden (A la Haye 1691 in 12) aber auch vorhin beſon - ders etliche mal nachgedruckt (Edit. 4 Ha - gæ Com. 1690 in 12. 8 Bog. ) und von dem Herrn Abt Schmidt / hochberuͤhmten Theo - log. Profeſſore in Helmſtaͤdt in das Latein uͤberſetzt worden / als er noch die Mathema -tick387von den Mathem. Schriften. tick und Philoſophie zu Jena lehrete. Fuͤr andern verdienen auch ein Lob die Elemens de Geometrie de Monſeigneur le Duc de Bourgogne (A Trevoux 1705 in Reg. 4. 1 Alph. 7. Bog. ) weil darinnen die noͤthi - gen Lehren in einer ſchoͤnen Ordnung kurtz und deutlich vorgetragen werden. Denn unerachtet die Elemens des Arnaud, La - my und Polynier faſt eben auf dieſe Art eingerichtet; ſo ſind ſie doch viel weitlaͤufti - ger. Jch koͤnte auch hier des Euclidis Re - formati gedencken / den verwichenes Jahr Angelus de Marchettis heraus gegeben (Li - burni 1709 in 4. 1 Alph. 10 B. / der Nouveaux Elemens de Geometrie des P. Morgues &c. wenn mehrere zu nennen noͤthig waͤre. Jch habe den Kern des Euclidis in den Anfangs-Gruͤnden der Geometrie derge - ſtalt vorgetragen / daß einer ohne Anſtoß zu hoͤheren Sachen ſchreiten kan / ohne einiges von den bisher genannten Buͤchern dabey zu leſen.
§. 8. Was in dem Euclide von der Cir - cul-Kugel - und Cylinder-Rechnung fehlet / hat Archimedes in ſeinen 2 Buͤchern de Sphæra & Cylindro und dem Buͤchlein de dimenſione circuli erſetzet / daraus Tacquet die nuͤtzlichſten Lehren unter dem Titul: Se - lecta ex Archimede Theoremata ſeinen Elementis Geometriæ beygefuͤget. Eben dieſer Archimedes hat uns einige Schrif -B b 2ten388Kurtzer Unterrichtten in der hoͤheren Geometrie hinterlaſſen / nemlich ein Buch de Spiralibus, eines de Conoidibus & Sphæroidibus und eines de Quadratura Parabolæ. Alle ſeine Wer - cke nebſt den erſten 4 Buͤchern Conicorum Apollonii und den 3 Buͤchern Sphærico - rum Theodoſii hat Iſaacus Barrovv mit einigen demonſtrationibus nach andern heraus gegeben. (Londini 1675 in 4. O - pera Archimedis 24 Bog. Tabb. 13. Apol - lonii 14 Bog. Tabb. 12; Theodoſii 6 Bogen Tabb. 3).
§. 9. Die alten Geometræ betrachteten in der hoͤheren Geometrie meiſtentheils nur die Sectiones Conicas oder Kegelſchnitte / nemlich die Parabel / Hyperbel und Ellip - fin. Von dieſen hat Apollonius Pergæus 8 Buͤcher geſchrieben. Die erſten vier Buͤ - cher Conicorum Apollonii ſind verſchiedene mal heraus kommen. Unter die beſten E - ditiones iſt zuzehlen diejenige / welche mit den Commentariis Claudii Richardi, ei - nes Jeſuiten / zu Antwerpen 1655 in fol. das Tagelicht erblicket (Alph. 5 Bog. 19. Tabb. 30.) Das fuͤnfte / ſechſte und ſiebende hat Joh. Alphonſus Borellus, in Acad. Piſana Matheſ. Profeſſor, aus einem Arabiſchen MSC. zuerſt heraus gegeben und mit An - merckungen vermehret. (Florentiæ 1661 in fol. 4 Alph. 21 Bogen.). Wir haben mit eheſtem aus Engelland eine vollſtaͤndige E -diti -389von den Mathem. Schrifften. dition der 8 Buͤcher des Apollonii zuhof - fen / welche zu Oxfurt unter der Preſſe iſt. Der Titul des Werckes iſt: Apollonii Per - gæi Conicorum libri octo. Priores qua - tuor cum Lemmatis Pappi & Commen - tariis Eutocii Græco-Latini. Græce nunc primum prodeuntes ex MSS. Bodlejanis & Savilianis: poſteriorum tres ex colla - tis diverſis MSS. Arabicis in Latinum ver - ſi. Octavus autem agnito ejus argumen - to reſtitutus. Accedunt Sereni Libri duo de Sectionibus Cylindri & Coni Græco - Latini. Græce jam primum ex Biblio - theca Regia Pariſienſi. Opera & ſtudio Edm. Halleji, Geometriæ Profeſſoris Sa - viliani; fol. Ehe Borellus des Apollonii Buͤcher / die man vor verlohren hielt / heraus gab / hat Vincentius Viviani aus der Be - ſchreibung des Pappi das fuͤnfte zu reſtitui - ren geſucht und ſeine Arbeit unter dem Ti - tul: De maximis & minimis Geometrica divinatio in 5um Conicorum Apollonii Pergæi adhuc deſideratum zu Florentz 1659. in fol. den Geometris mitgetheilet. Gleichwie es aber der Ausgang wieß / daß er in ſeinem Rathen ſehr gluͤcklich war; ſo trieb ihn dieſes an / eine vor langer Zeit ſchon angefangene Arbeit fortzuſetzen / und den Verluſt / den die Geometrie an des Ariſtæi Schriften erlitten / wieder zuerſetzen. Da -B b 3her390Kurtzer Unterrichther kam endlich An. 1701 zum Vorſchein De Locis ſoli dis ſecunda divinatio Geo - metrica in quinque libros injuria tempo - rum amiſſos Ariſtæi ſenioris Geometræ (Florentiæ in fol. 3 Alph. 15 Bog. Text / 2½ Bogen Kupfer und viel Holtzſchnitte). Es koͤnnen aber die Schrifften des Viviani de - nen jenigen dienen / welche nach Art der al - ten Geometrarum ihre demonſtrationes einrichten wollen: welche Arbeit nicht zu verſaͤumen / indem ſie nicht allein den Ver - ſtand exerciret / ſondern man auch aus Be - trachtung der Figuren oͤfters einige Sachen leichter als durch Rechnung haben kan / gleichwie wir heute zu Tage insgemein durch Rechnung leichter finden / was aus Betrach - tung der Figuren durch groſſe Umbwege ge - ſucht werden muͤſte / ja oͤffters gar nicht zu - finden waͤre. Was wir ſonſt von den alten Geometris wiſſen / iſt aus des Pappi Colle - ctionibus Mathemeticis zuholen / der ihre uͤ - brige Erfindungen zuſammen gebracht und ihre Schriften erzehlet. Die erſten zwey Buͤcher haͤlt man vor verlohren: die uͤbrigen aber ſind mehr als einmal aufgeleget wor - den.
§. 10. Wenn einer Luſt hat die Eigen - ſchaften der Kegelſchnitte nach Art der Al - ten erwieſen ſich bekandt zu machen / dem waͤ - re kaum zurathen / daß er ſich in die unnuͤtzeWeit -391von den Mathem. Schrifften. Weitlaͤuftigkeiten des Apollonii und ſeines Commentatoris Richar di einlieſſe; ſondern er kan mit groͤſſerem Nutzen des umb die Geometrie wohl verdienten Jeſuitens P. Gregorii a S. Vincentio Opus Geometri - cum Quadraturæ Circuli & Sectionum Coni leſen. Denn unerachtet dieſes Werck auch ſehr weitlaͤuftig iſt / ſo ſind doch ſeine demonſtrationes viel leichter und iſt in die - ſem Wercke zu den neuern Erfindungen ein guter Grund geleget worden. Der unver - gleichliche Leibnitz bekennet ſelbſt (in Act. Erud. An. 1691 p. 438) daß ihm bald ein groſſes Licht in der hoͤheren Geometrie auf - gegangen / als er nebſt des Hugenii vortrefli - chem Wercke de Horologio Oſcillatorio und des Dettonvillæi oder Paſcalii Brie - fen den Gregorium à S. Vincentio geleſen.
§. 11. Zwar verdienet fuͤr dem Apollo - nio der Frantzoſe / Claudius Mydorgius, gelobet zu werden / welcher ſo wol die theo - riam, als praxin der Kegelſchnitte in einem beſonderen Wercke deutlich vorgetragen / welches 1632 / und alſo 15 Jahr eher als des Gregorii a S. Vincentio, zu Paris in fol. heraus kommen: allein es wird wol das letz - tere den Preiß vor dem erſten bey allen ver - ſtaͤndigen behalten. Sonſt hat in neueren Zeiten Ph. de la Hire-Sectiones Conicas in 9 libros diſtributas denen Liebhabern derB b 4Geo -392Kurtzer UnterrichtGeometrie mitgetheilet (Pariſiis 1685 in fol. 2 Alph. 18 Bogen) / in welchem nicht allein alles / was im Apollonio zu finden / ſondern auch noch einige andere Sachen auf eine neue Art / jedoch nach der Manier der alten Geometrarum aus der bloſſen Betrachtung der Figuren / ohne einige Rechnung erwieſen werden.
§. 12. Denen Anfaͤngern wuͤrde dieſes Werck zu weitlaͤuftig ſeyn / nicht minder / als die bißher genennten alle. Derowegen hat er 6 Jahre vorher ihnen zu Liebe Elemens des Sections Coniques zu Paris in 12 her - aus gegeben / fuͤr welche ſich auch des Oza - nam Traité des Lignes du premier genre wohl ſchicket (A Paris 1687 in 4. 1 Alph. 3 Bogen Tabb. 14). Eben ihnen zu gefalleu hat Jacobus Milnes aus dem groſſen Wer - cke des de la Hire einen Auszug gemacht / welcher zu Oxfurt 1702 in 8 gedruckt wor - den unter dem Titul: Sectionum Conica - rum Elementa nova methodo demonſtra - ta (12 Bogen Text; 19 Bog. Kupfer).
§. 13. Wie man die Kegelſchnitte auf einer ebenen Flaͤche auf verſchiedene Art beſchrei - ben kan / hat nach dem Mydorgio in dem an - dern Theile ſeines vorhin (§. 11) geruͤhmten Werckes / in einem beſonderen Tractatu de organica Conicarum Sectionum in plano deſcriptione (Lugd. Batav. 1646 in 4. 12. Bog.)393von den Mathem. Schrifften. Bog. ) der beruͤhmte Profeſſor zu Leyden Franciſcus à Schooten gewieſen / welcher auch mit unter ſeinen Exercitationibus Ma - thematicis zu finden.
§. 14. Bißher habe ich einige Autores ge - nennet / welche des Apollonii Lehren theils beſſer als er vorgetragen / theils auch vermeh - ret. Allein es fehlet auch nicht an ſolchen / welche mit den Erfindungen des Archimedis ein gleiches gethan. Johannes Kepler hat in ſeiner Nova Stereometria Doliorum Vinariorum, imprimis Auſtriaci (Lincii 1615 in fol. plag. 28) hiervon einen Anfang gemacht / darinnen unter andern anzutreffen Supplementum ad Archimedem de Stereo - metria figur arum Concoidibus & Sphæ - roidibus proxime ſuccedentium. Eben dieſes Werck hat er folgendes Jahr von neuem zu Lintz drucken laſſen / (in fol. Bog. 28) und hin und wieder veraͤndert / auch umb etwas vermehret. Der Titul des Buches iſt: Auszug aus der uralten Meſſe - Kunſt Archimedis und deroſelben neu - lich in Latein ausgegangener Ergen - tzung ꝛc. Weil er aber nicht mehrere Ar - ten der Coͤrper betrachtete / als zu der Viſier - Kunſt dienen koͤnnen: ſo wurde Bonaventu - ra Cavalerius, aus dem Orden des H. Hie - ronymi / durch ſein Exempel aufgemuntert / noch weiter zu gehen / und den Jnhalt meh - rerer Coͤrper zu ſuchen / als Archimedes undB b 5Kep -394Kurtzer UnterrichtKepler gethan / wie er ſelbſt bekennet in der Vorrede zu ſeiner Geometria indiviſibilibus continuorum nova ratione promota (Bo - noniæ 1653 in 4. 3 Alph. 1. Bog.) Gleichwie aber Kepler in Erweiſung des Archimedei - ſchen Lehrſatzes (part. 1. theor. 2.) / daß der Eircul ſich zum Qvadrate des Diametri wie 11 zu 14 verhalte / den Circul in lauter Secto - res reſolviret / deren baſis ein unendlich klei - ner Theil der Peripherie iſt / und den Trian - gel in lauter kleine Triangel / die einerley Hoͤhe mit dem groſſen haben / aber einen un - endlich kleinen Theil von ſeiner Grundlinie; ſo hat er dieſe Methode zu demonſtriren uͤ - berall gebrauchet / und unter dem Titul me - thodi indiviſibilium bekandt gemacht. Er haͤtte aber beſſer gethan / wenn er die Elemen - te der Figuren mit dem Kepler fuͤr Figuren gehalten haͤtte / deren eine dimenſion eine endliche / die andere aber eine unendlich kleine Linie iſt / als daß er ſie Linien / und die Ele - mente der Coͤrper Flaͤchen genennet / weil die - ſes vielen ohne Noth Anſtoß gegeben.
§. 15. Evangeliſta Torricellius, des Groß-Hertzogs zu Florentz Mathematicus hat ſich gleichfals fuͤrgenommen / die Archi - medeiſchen Erfindungen in der Geometrie zu erlaͤutern und zu vermehren. Solches erhellet aus ſeinen Operibus Geometricis de Solidis Sphæralibus, de motu, de dimenſione Para - bolæ, de ſolido Hyperbolico cum appendici -bus395von den Mathem. Schrifften. bus de Cycloide & cochlea (Florentiæ 1644 in 4. 2 Alph.).
§. 16. Der Jeſuit Paulus Guldinus hat in ſeinem Wercke de Centro gravitatis eine neue Methode angewieſen / den Jnhalt der Figuren und Coͤrper zu finden / welche De - chales in ſeinem Mundo Mathematio (Tom. 2. lib. 11. Geom. pract. f. 124 & ſqq. ) den Anfaͤngern gar deutlich vortraͤget. Des Guldini Werck iſt in 4. Buͤcher eingetheilet / welche alle zu Wien in fol. gedruckt worden / das erſte 1635 (4. Alph. 21 Bog. ) das andere / dritte und vierdte 1640 (4 Alph. 14 Bog.) Bey dem erſten Buche iſt mit angehaͤnget Diſſer - tatio Phyſico-Mathematica de Motu rerum ex mutatione centri gravitatis ipſius pro - veniente. Uberdieſes findet ihr einen groſſen Anhang / darinnen Tabulæ numerorum quadratorum & Cuborum decies mil - lium enthalten / und ihre Ausrechnung wie auch ihr Gebrauch deutlich angewieſen wird. Es hat aber Guldinus ſeine Methode nur auf die Coͤrper und Figuren appliciret / deren Ausmeſſung aus dem Euclide, Archimede und Keplern ſchon vorhin bekandt war.
§. 17. Die Lehre von den krummen Li - nien hat Iſaacus Barrow in ſeinen Lectioni - bus Geometricis ſehr erweitert / und viele Ei - genſchaften / die vorhin nur von einigen Linien erwieſen worden / uͤberhaupt von allen er - wieſen. Es ſind ſelbige zugleich mit ſeinenLe -396Kurtzer UnterrichtLectionibus Opticis zu Londen 1674 in 4. ge - druckt worden. (Jene haben 21 Bogen Text XIII. Tabb. Kupfer; dieſe 15 Bogen Text. XIX Tabb. Kupfer.).
§. 18. Nachdem nicht allein die Algebra von dem Vieta und Carteſio in einen ſolchen Stand geſetzet worden / daß man ſie mit Nu - tzen in der Geometrie hat anbringen koͤnnen; ſondern auch der unvergleichliche Leibnitz ſeine Differential - und Jntegral-Rechnung erfunden / dadurch die Geheimniſſe in der hoͤ - hern Geometrie ergruͤndet werden: hat auch dieſelbe ein gantz anderes Ausſehen gewon - nen / als ſie vorhin gehabt / und doͤrffen ſich die Anfaͤnger / wenn ſie nur meine Anfangs - Gruͤnde der Geometrie wohl inne haben / mit Leſung keines einigen von allen den bisher er - zehleten Buͤchern aufhalten. Vielmehr wenn es ihnen ein Ernſt iſt in der hoͤheren Geometrie etwas rechtes zu thun / muͤſſen ſie ſich bald auf die Algebra des Carteſii und die neuere des Herrn von Leibnitz legen / da - mit ſie die neueren Schrifften der Geometra - rum verſtehen / darinnen durch Algebraiſche Rechnungen alles viel leichter u. vollkom̃ener ausgefuͤhret wird. Von dieſen Schriften aber will ich in dem folgenden Capitel reden. Doch muß ich noch erinnern / daß es ihnen ſehr dienlich ſeyn werde / wenn ſie nach dieſem entweder den Gregorium à S. Vincentio, den Viviani, de la Hire oder einen anderen der -glei -397von den Mathem. Schrifften. gleichen Autorem leſen / welcher nach Art der Alten aus Betrachtung der Figuren die Sa - chen erweiſet.
§. 1. Die Alten gebrauchten die Algebra bloß zur Aufloͤſung Arithmetiſcher Aufgaben / und hatten keine beqveme Zeichen. Das aͤlteſte Buch / ſo wir von dieſer Materie ha - ben / iſt des Diopbanti, welcher zu Alexan - drien im andern Jahrhunderte nach Chriſti Geburt gelebet. Er hat zwar 13. Buͤcher von der Algebra aufgeſetzt; allein es ſind nur 6. heute zutage vorhanden / welche Xy - lander aus dem Griechiſchen in das Lateini - ſche uͤberſetzet / und hernach Caſpar Bachet mit ſeinen Commentariis vermehret. Sie ſind an. 1575 das erſte mal gedruckt worden. Bachet hat A. 1621 zu ſeiner Edition den Griechiſchen Text mit dazu geſetzt / und den Diophantum beſſer erklaͤhret / wo ihn Xylan - der nicht recht verſtanden hatte.
§. 2. Ehe aber etwas von dem Diophan - to heraus kam / hat Lucas Paciolus, oder wie er mit ſeinem Ordens-Nahmen genennet wird / Lucas de Burgo Sancti ſepulchri, ein Minorite / von Geburt ein Jtaliener / A. 1494 zu Venedig ein Buch drucken laſſen unter dem Titul: Summa Arithmeticæ & Geo -me -398Kurtzer Unterricht. metriæ proportionumque & proportiona - litatum, darinnen er auch in dem achten Bu - che der Arithmetick mit wenigem die Algebra beſchreibet / wie ſie von den Arabern gelehret wurde.
§ 3. Unſere Teutſchen haben auch dazu bald luſt gehabt / ſo gar daß ſich auch die Re - chen-Meiſter / als Adam Rieſe / mitt Fleiß darauf geleget. Unter andern hat Michael Stiefel in ſeiner Arithmetica integra, die 1543 zuerſt heraus kommen / in dem dritten Buche die Algebra kurtz erklaͤhret / wiewol er nicht weiter als Frater Lucas gegangen. Nemlich alle ſind zur ſelben Zeit nur bey der Aufloͤſung der Qvadratiſchen Æquationen geblieben / bis Scipio Ferreus ein Jtaliener / die Regeln fuͤr die Cubiſchen Æquationen erfunden / welche insgemein Regulæ Carda - ni genennet werden / weil ſie Cardanus in ſei - ner Arte Magna, quam vulgo Coſſam vo - cant, ſeu Regulas Algebræ A. 1545 zuerſt pu - bliciret / und A. 1579 Raphaël Bombelli in ſeiner Algebra / die er Jtalieniſch geſchrie - ben / aus des Ludovici Ferrarienſis Erfin - dung angewieſen / wie man die Qvadrato - qvatratiſchen Æquationen durch Huͤlffe der Cubiſchen zu zwey qvadratiſchen reduciren kan: wobey man es auch noch bis auf dieſe Stunde bewenden laſſen.
§. 4. Umb das Jahr Chriſti 1590 hat Franciſcus Vieta der Algebra ein neues Licht gegeben / als er zuerſt die Rechnung mitBuch -399von den Mathem. Schrifften. Buchſtaben und eine allgemeine Methode aus allen Arithmetiſchen Æquationen die Wurtzel ſo gnau zu ziehen / als man verlan - get / erfunden. Es hat ſeine Opera Mathe - matica zuſammen Franciſcus à Schooten, Profeſſor Matheſeos in ſeinem Vaterlande zu Leyden / A. 1646 in fol. daſelbſt heraus ge - geben (6 Alph.) Es gehoͤren hieher 1. Iſagoge in Artem Analyticam, darinnen die Rech - nung mit Buchſtaben erklaͤhret wird; 2. Ad Logiſticen ſpecioſam Notæ priores, darinnẽ der Nutzen dieſer Rechnung in Arithmeti - ſchen Exempeln und anderen aus der gemei - nen Geometrie gezeiget wird; 3. Zetetico - rum libri quinque, darinnen allerhand Fra - gen aus der Rechenkunſt und gemeinen Geo - metrie aufgeloͤſet werden; 4. De æquatio - num recognitione & emendatione, darin - nen von der Reduction der Æquationen ge - handelt wird; 4. De numeroſa Poteſtatum ad Exegeſin Reſolutione, darinnen die allge - meine Regel gegebẽ wird aus allen Arithme - tiſchen Æquationen die Wurtzel zu ziehen.
§. 5. Die Art mit Buchſtaben zu rech - nen / wie ſie von dem Vieta erfunden worden / hat Guilielmus Oughtred, ein Engellaͤnder in ſeinem Clavi Mathematicæ behalten / nur daß er die Dignitaͤten kuͤrtzer zu bezeichnen angewieſen. Dieſes Buch iſt das erſte mal 1631. heraus kommen / aber A. 1693 zu Ox - furt das fuͤnffte mal mit einigen andern ſei -nen400Kurtzer Unerrichtnen Schrifften wieder aufgeleget wurden. Er appliciret die Regeln auf allerhand E - xempel / und zeiget / wie durch die Buchſtabe - Rechen-Kunſt in der gemeinen Geometrie Lehrſaͤtze zu erfinden und Aufgaben aufzuloͤ - ſen ſind. Er handelt auch nach dem Exem - pel des Vietæ von Ausziehung der Wurtzel aus allen Arithmetiſchen Æquationen ſo na - he / als man verlanget. (Meine Edition von An. 1693. beſtehet aus 12 Bogen.).
§. 6. Thomas Harriot, auch ein Engel - laͤnder / welcher A. 1621 zu Londen geſtorben / hat Artis Analyticæ Praxin ad æquationes Algebraicas novas, expedita & generali methodo reſolvendas geſchrieben / welche Waltherus Warner ohne ſeinen Namen zu melden A. 1631 in fol. zu Londen herausgege - ben (2. Alph. 2 Bog.) Darinnen hat er die Rechnung des Vietæ ſehr erleichtert / und zuerſt in dieſe Forme gebracht / die ſie bis auf gegenwaͤrtige Stunde hat. Er hat nem - lich nicht allein die kleinen Buchſtaben an ſtat der groſſen eingefuͤhret / ſondern (welches das Hauptwerck iſt) die Multiplication durch verknuͤpfung der Buchſtaben ohne Zei - chen und die Zeichnung der Dignitaͤten durch a / aa / aaa / &c. oder a. a2. a3 &c. zuerſt eingefuͤhret. Uber dieſes hat er auch den Urſprung der Æquationen durch die Multiplication und ihre daraus flieſſende Eigenſchaften zu erſt gelehret. Mit einemWorte401von den Mathem. Schriften. Worte er hat die Regeln der Algebraͤ in den Zuſtand geſetzet / wie wir ſie jetzt haben; a - ber auf keine Exempel weder in der Arith - metick / noch Geometrie appliciret.
§. 7. Carteſius gab An. 1637 zu erſt ſei - ne Geometrie in Frantzoͤſiſcher Sprache her - aus / welche hernach von dem Franciſco â Schooten in die Lateiniſche Sprache uͤber - ſetzt und mit weitlaͤufftigen Commentariis vermehret / auch mehr als einmal von neuem wieder aufgeleget worden. Jn derſelben hat er die Algebra voͤllig behalten / wie ſie bey dem Harriot zufinden / unerachtet er ſeiner nicht im geringſten gedencket / und gleichwie vor ihm Oughtred in ſeinem Clavi Mathe - maticæ (§. 5) und Marinus Ghetaldus in ſeinen 5 Buͤchern de Reſelutione & Compo - ſitione Mathematica (Romæ 1630 in fol. 2 Alph. 15 Bogen) die Vietæiſche Rechnung auf die gemeine Geometrie appliciret und die Qvadratiſchen Æquationen Geometriſch conſtruiret; ſo hat Carteſius die Harrioti - ſche auch in der hoͤheren angebracht und auch die hoͤheren Æquationen / ſonderlich die Cu - biſchen und Biqvadratiſchen durch die Pa - rabel und einen Circul zu conſtruiren ange - wieſen: fuͤr welche zwey letztere eine allge - meine Regel in allen Faͤllen (denn nach des Carteſii Regel muß das andere Glied in der Æquation fehlen / oder erſt weggenom - men werden) Thomas Baker in ſeinem Cla -(4) C cvi402Kurtzer Unterrichtvi Geometrica catholica, der in Lateiniſcher und Engliſcher Sprache zu Londen 1784 in 4 heraus kommen (1 Alph. 10 Bogen Tabb. X.) angiebet. Allein das wahre Funda - ment der Geometriſchen Conſtructionen durch Verknuͤpfung zweyer Geometriſchen Oerter hat Renatus Sluſius in dem andern Theile ſeines Meſolabi (welches das andere mal mit dem andern Theile und vielen Miſ - cellaneis zu Luͤttig 1668 in 4 heraus kom - men (24 Bogen) gezeiget. Jn ſeinen Miſ - callaneis hat er die Analyſin ſpecioſam o - der neuere Algebra auf die Qvadraturen der krummen Linien / auf die Fragen de Ma - ximis & Minimis, auf die Methode den Wendungs-Punct zufinden / auf den Me - thodum centrobayricam Guldini &c. ap - pliciret / dergleichen Arbeit auch andere / als Fermatius in ſeinen Operibus Mathemati - cis (Toloſæ 1679 in fol.) und Robervall in den divers Ouvrages de Mathematique & de Phyſique par Mr. de l’ Academie Royale des Sciences, ingleichen Barrow in ſeinen Lectionibus Geometricis mit Ruhm verrichtet.
§. 8. Bißher habe ich von denjenigen ge - redet / welche die gemeine Algebra zu verbeſ - ſern ſich angelegen ſeyn laſſen. Nun muß ich auch von ſolchen Buͤchern reden / welche die Erfindungen anderer zu Nutzen der An - faͤnger deutlich erklaͤhret. Johannes Ker -ſey403von den Mathem. Schriften. ſey, ein Engellaͤnder / hat Elementa Alge - bræ in Engliſcher Sprache zu Londen 1671 in fol. heraus gegeben / welche wegen ihrer ſonderbahren Deutlichkeit wohl verdiene - ten / daß ſie in die Lateiniſche Sprache zu mehrerem Gebrauch uͤberſetzt und von neu - em aufgeleget wuͤrden. Man hat zwar vor weniger Zeit vorgegeben / als wenn der be - ruͤhmte Halley ſie von neuem mit einigen Zu - ſaͤtzen heraus geben wolte; aber es ſcheinet / als wenn man die Hofnung faſt ſolte ſincken laſſen.
§. 9. Die Regeln der gemeinen Algebra ht ohne Exempel Gerard Kinchuyſen gar deutlich erklaͤhret in ſeiner Algebra ofte Stel-Konſt (Haerlem 1661 in 4. 14 Bog.) Jn ſeinem Grondt der Meetkonſt, ofte Verklaringe der Keegel-Sneeden (Haer - lem 1684 in 4. 12 Bog. ) hat er die vornehm - ſten Eigenſchaften der Kegelſchnitte durch die Algebraiſche Rechnung erwieſen / und in ſeiner Geometria ofte Meet-Konſt (Ha - erlem 1663 in 4. 22 Bogen) hat er aller - hand Geometriſche Aufgaben aus der ge - meinen und hoͤheren Geometrie aufgeloͤſet und artige Conſtructiones davon gege - ben / auch in dem Anhange die Geometri - ſchen Conſtructionen der Cubiſchen Æqua - tionen erlaͤutert. Dieſe Schriften verdie - nen von den Liebhabern der gemeinen Algebra geleſen zu werden. Was ſein LandsmanC c 2Abra -404Kurtzer UnterrichtAbraham de Graaf in dieſer Sache ruͤhm - liches verrichtet / ſol unten beygebracht wer - den. Sonſt ruͤhmet man auch wegen der vielen Exempel des Jacob Weſſenaer Stelkonſt.
§. 10. Was Kerſey unter den Engel - laͤndern gethan / hat Jean Preſtet bey den Frantzoſen zu verrichten ſich vorgenommen / und zwar in der andern Edition ſeiner Nou - veaux Elemens de Mathematique (A Pa - ris 1694 in 4. Tom. I. 3 Alph. 8 Bogen Tom. II. 2 Alph. 18 Bog. ) in welchem Wer - cke er nicht allein alle Regeln / die bisher in der gemeinen Algebra erfunden worden / weitlaͤuftig erklaͤhret / ſondern auch alle zur Matheſi univerſali, oder vielmehr der A - rithmeticæ Theoreticæ gehoͤrige Lehrſaͤtze und Aufgaben durch die Algebraiſche Rech - nung ausfuͤhret / und zugleich alle Aufgaben des Diophanti und Vietæ nach der neueren Art des Harriot und Carteſii aufloͤſet. Allein der Application der Algebra auf die Geometrie enthaͤlt er ſich gantz und gar. Es verdienet aber dieſes Buch hauptſaͤchlich umb der Diophantiſchen Aufgaben willen fleißig geleſen zu werden / weil ſie in der hoͤhe - ren Analyſi des Herrn von Leibnitz mehr Nutzen haben als man ſich insgemein ein - bildet: wie der Herr von Leibnitz ſelbſt (in Actis Erudit. Lipſ. An. 1702 p. 219) errinnert und augenſcheinlich erweiſet. Dochweil405von den Mathem. Schriften. weil der Autor wegen allzu vieler Weit - laͤuftigkeit den Anfaͤngern verdruͤßlich faͤllet / ſo hat ihnen zum beſten / der durch verſchie - dene Schriften bekandte und mit einem gu - ten Verſtande begabte Prêtre de l’ Oratoi - re in Franckreich / Bernhard Lamy, nach ſeiner Art / einen ſehr deutlichen Auszug dar - aus gemacht / welcher unter dem Titul: E - lemens de Mathematique in Franckreich und Holland zu verſchiedenen malen heraus kommen. Die letzte Pariſer-Edition von 1704 in Reg. 12 (1 Alph. 7 Bog. ) iſt ver - mehrter als die anderen und nachdem in Holland wieder nachgedruckt worden. Al - lein zu den Diophantiſchen Rechnungen fin - det man in dieſem Buche keine Anwei - ſung.
§. 17. Wer nicht allein in der Harrioti - ſchen / ſondern zugleich der Diophantiſchen Rechnung ſich mit Fleiß uͤben wil; dem kan / nach dem er entwe der den Lamy, oder den er - ſten Theil meiner Anfangs-Gruͤnde der Al - gebra durchſtudiret / Ozanam in ſeinen No - veaux Elemens d’ Algebre, (A Amſterdam 1703 in Reg. 8. I. Alph. 21 Bog. ) ein voͤlliges Gnuͤgen thun. Jch recommendire vorher den Lamy oder ein anderes gleichguͤltiges Buch zu leſen / weil der erſte Theil aus lauter Regeln beſtehet / ohne einige Application, damit ein Anfaͤnger uͤberhaͤuffet und ver - druͤßlich gemacht wird. Es fehlet dieſemC c 2Bu -406Kurtzer UnterrichtBuche die Application der Algebra auf die Geometrie / welche er in dem andern Theile zu zeigen verſprochen / der aber zur Zeit nicht heraus kommen. Doch iſt dieſer Abgang einiger Maſſen dadurch erſetzet / daß der Au - tor ſchon vorhin 1687 mit dem Traité des li - gnes du premier genre (§. 12 c. 12) zugleich ſeinen Traité des Lieux Geometriques (8 B. Tabb. 12) und Traité de la conſtruction des Equations (12 Bog. Tabb. 9.) heraus gegeben. Dieſe beyden Tractate verdienen wegen ihrer ſonderbahren Deutligkeit fuͤr al - len andern in dieſer Materie geleſen zu wer - den. Und nimmet mich Wunder / warumb man dieſelben in Holland nicht nachgedruckt / da man ſonſt alle uͤbrigen Wercke dieſes ge - lehrten Mannes daſelbſt von neuem aufgele - get. Es hat zwey Tractate von gleichem Nahmen auch de la Hire zu den oben ange - fuͤhrten Elemens des Sections Coniques an - gehaͤnget / die gleichfals ihr Lob verdienen.
§. 12. Da aber aus gedachten Tractaten die Liebhaber der Algebra nur erkennen / wie man die Algebraiſchen Æquationen nach dem Exempel des vortreflichen Sluſii durch Verknuͤpfung der Geometriſchen Oerter conſtruire kan / keinesweges aber ſich in Auf - loͤſung Geometriſcher Exempel durch die Al - gebra zu uͤben Gelegenheit bekommen: ſo koͤn - nen ſie auch in dieſem Stuͤcke voͤllig vergnuͤ - get werden / wenn ſie die Arithmeticam uni -ver -407von den Mathem. Schrifften. ver ſalem des vortrefflichen Newton (Can - tabrigiæ 1707 in 8. 1. Alphab. ) durch - gehen / darinnen ſie nicht allein einen ziemli - chen Vorrath auserleſener Exempel / ſondern auch einige neue Regeln finden / die ſie anders wo vergebens ſuchen. Es hat aber dieſe E - lementa Algebræ ohne des Autoris und ſei - nen Nahmen Guil. Whiſton, Matheſeos Profeſſor Lucaſianus in Cambridge, zum gemeinen Nutzen zum Drucke befoͤrdert.
§. 12. Die Ausziehung der Wurtzel aus allen Arithmetiſchen Æquationen hat Joſe - phus Raphſon in ſeiner Analyſi Æquatio - num Univerſali, welche zum andern male mit ſeinem Conamine Metaphyſico de Spa - tio reali ſeu ente infinito zu Londen 1702 o - der vielmehr 1697 in 4. gedruckt worden / (die Analyſis beſtehet aus 7 / der andere Tractat aus 13 Bogen) / ziemlich erleichtert. Es koͤn - nen aber ſeine Regeln alle aus der 113 Auf - gabe des erſten Theiles der Algebra (§. 322) hergeleitet werden / und ſind (§. 323 & ſqq. ) einige Exempel davon verhanden. Allein nach dem de Lagny in ſeinen Noveaux Elemens d’ Algebre fuͤr die Auszie - hung der Wurtzel aus den Cubiſchen Æqua - tionen und denen von dem fuͤnfften Grade eine viel leichtere Regel erfunden / hat Halley dieſelbe in den Transactionibus Anglicanis allgemein gemacht / und haben die Halleja ni - ſche allgemeine Methode / Wells in ſeinen E - lementis Arithmeticæ, Whiſton in dem An -C c 4han -408Kurtzer Unterrichthange zu den Elementis Algebræ Newtoni und ich (§. 328 & ſqq. Algebr. ) erklaͤhret.
§. 13. Jn dem Traité d’ Algebre, welchen Rolle, ein Mitglied der Koͤnigl. Academie der Wiſſenſchafft / zu Paris 1790 in 4. (12 Bog. ) herausgegeben / ſind einige gute Re - geln / ſonderlich fuͤr die Ausziehung der Wurtzeln. Allein es iſt verdrießlich / daß dieſer Mann ſo ſehr affectiret alles neu zu ma chen / und andere Erfindungen zu verkleinern / wie theils aus dem Journal des Sçavans, theils aus der Hiſtoire de l’ Academie des Sciences bekandt iſt / und daher auch in die - ſem Buche lauter ungewoͤhnliche Woͤrter brauchet.
§. Die Application der gemeinen Al - gebra auf die hoͤhere Geometrie kan man aus keinem Buche beſſer erlernen / als aus des Marquis de l’ Hoſpital Traité Analy - tique des Sections Coniques & de leur u - ſage pour la Reſolution des Equations dans les Problemes tant déterminez qu’ indéterminez (A Paris 1707. 2 Alphab. 12½ Bog. Tabb. XXXII): welches Buch allen denen zu recommendiren / welche in der Mathematick etwas rechtſchaffenes zu - thun gedencken. Eben dergleichen Arbeit hat Guiſnée verrichtet / welche er zu Paris An. 1705 in 4. unter dem Titul: Applicati - on de l’ Algebre a la Geometrie, heraus gegeben / darinnen gleichfals die Geometri -ſche409von den Mathem. Schrifften. ſche Conſtructionen durch Verknuͤpfung der Geometriſchen Oerter deutlich erklaͤhret und zugleich zu dem Ende die vornehmſten Eigenſchaften der Kegelſchnitte durch Alge - braiſche Rechnungen eruiret werden. Und iſt dieſes Buch ſo geſchrieben / daß ſich die Anfaͤnger darinnen leicht zurechte finden / wenn ſie nemlich die gemeine Geometrie und die Algebraiſchen Rechnungen wohl ver - ſtehen.
§. 15. Die Application der Algebra auf ſolche Fragen / davon man keine gewiſſe Erkaͤntnis haben / ſondern nur etwas muth - maſſen kan / hat nach dem Exempel des Pa - ſcal und Hugenii, deren jener in ſeinem Triangle Arithmetique 1654 / dieſer zu Ende der Exercitationum Geometricarum Schoo - tenii einige Aufgaben von dem Fortgange des Spieles aufgeloͤſet / Remond de Mon - mort in ſeinem Esſay d’ Analyſe ſur les jeux de hazard (A Paris 1708. 1 Alph. 4 Bog. ) gezeiget: welches Buch nur umb des willen zuleſen / weil dergleichen Fragen gantz beſondere Analytiſche Kunſtgriffe erfordern. Wenn aber des ſeeligen Herrn Jacobi Ber - noulli Ars Conjectandi heraus kommen wird / darauf ſein Vetter in den Leipziger - Actis (Supplem. Tom. IV. Sect. 4. p. 159.) nahe Hofnung macht; ſo wird man noch mehrere dergleichen Kunſtgriffe lernen /C c 5und410Kurtzer Unterrichtund zugleich die Algebra auf politiſche Fra - gen appliciret ſehen.
§. 16. Des Herrn Johann Chriſtoph Sturms Matheſis Enuclata (Norimberg. 1695 in 8. 1 Alph. Text / 7 Bogen Kup fer) iſt bekandt gnung. Allein wie ich nicht in Abrede bin / daß man aus dieſem Buche die vornehmſte Lehrſaͤtze der gemeinen Geome - trie / die erſten Regeln der Algebraiſchen Rechnung / auch einige zur hoͤheren Geome - trie gehoͤrige Lehrſaͤtze und etwas von der Auf - loͤſung Algebraiſcher Aufgaben lernen kan; ſo kan ich doch auch nicht laͤugnen / daß man in eben der Zeit / da dieſes Buch durchſtudi - ret wird / nicht allein alles / was in demſelben ſtehet / viel leichter; ſondern auch noch uͤber dieſes viel mehrere und eben ſo noͤthige Sa - chen lernen kan. Jch wil jetzt eben nicht ſa - gen / daß ſolches durch meine Anfangs-Gruͤn - de der Geometrie und Algebra geſchehen koͤnne / ob wol jedermann leicht zugeben wird / daß wer ſie geleſen und verſtanden / nicht mehꝛ noͤthig hat nach gedachtem Buche zu fra - gen; ſondern nur raiſon von meinem Urthei - le geben. Da er die gewoͤhnlichen theore - mata oder gemeine Geometrie faſt zu lau - ter Coroſlariis machet / und man doch alles dasjenige ſich gedencken muß / was andere in ihren demonſtrationibus beybringen; ſo wird es den Anfaͤngern ſehr beſchwerlich / theils die auſſer der Ordnung geſetzten præ -miſ -411von den Mathem. Schrifften. miſſas in Gedancken ordentlich zu ſetzen / theils die ausgelaſſenen zu ſuppliren. Die Arithmetica Surdorum iſt nicht allein ſehr mangelhafft / ſondern nachdem der Herr von Leibnitz ſchon lange Jahre vorher gezeiget hatte / wie man die Jrrational-Groͤſſen als Rational-Groͤſſen in allen Rechnungen tra - ctiren koͤnne; ſo erwehlet der Autor aus den vorhin uͤblichen Regeln die allerbeſchwerlich - ſten / und gedencket dieſer ſo nuͤtzlichen Ver - beſſerung nicht mit einem Worte. Jn der hoͤheren Geometrie gedencket er nicht einmal des Haupt-Werckes / nemlich wie die krum - men Linien durch Algebraiſche Æquationen exprimiret / und daraus ihre Eigenſchafften eruiret werden / da er doch durch Application der Algebra auf die Geometrie des Carteſii Geometriam illuſtriren will. Daher ge - ſchiehet es auch / daß er nicht das geringſte von den Geometriſchen Oertern errinnert. Was er durch die Arithmeticam infinito - rum mit groſſer Muͤhe demonſtriret / haͤtte er durch die viele Jahre vorher von dem Hn. von Leibnitz publicirte / und von dem be - ruͤhmten Jacob Bernoulli mit deutlichen E - xempeln in den Leipziger-Actis illuſtrirte Differential - und Jntegral-Rechnung nur ſpielende / ja leichter als einen von allen Lehrſaͤ - tzen des andern Buches erweiſen koͤnnen. An ſtat der weitlaͤufftigen Inductionum, da - durch er einige propoſitiones Arithmericæin -412Kurtzer Unterrichtinfinitorum erweiſen wil / haͤtte er unendli - che derſelben auf einmal durch die gemeine Algebraiſche Rechnung erweiſen koͤnnen. Jn der Algebra ſelbſt gehet er nicht weiter als Fr. Lucas, der am erſten davon ſchrieb / als noch faſt nichts darinnen gethan war. Und bey den Geometriſchen Conſtructionibus hat er das wahre Fundament derſelben / wel - ches Sluſius entdecket / und ſchon de la Hire und Ozanam deutlich gnung erlaͤutert hat - ten / gar nicht beruͤhret. Von andern Din - gen wil ich ietzt nicht reden. Bey dieſen Um - ſtaͤnden wundere ich mich jetzund nicht mehr / daß / wie ich dieſes Buch anderen deutlich er - klaͤhren konte / ich doch gantz ungeſchickt war die Mathematiſchen Schrifften der neueren zu verſtehen. Dieſes ſchreibe ich nur zu dem Ende / damit unſere Teutſche Jugend / die zu einer gruͤndlichen Mathematiſchen Wiſſen - ſchafft luſt hat / ſich nicht mit dieſem Buch aufhalten laſſe / ſo gut geweſen waͤre / wenn die Haupt-Erfindungen des verwichenen Se - culi noch nicht vorhanden waͤren / und nie - mand einen leichten Weg zu ihnen gebaͤhnet haͤtte.
§. 17. Es haben ſich auch einige gefunden / welche die Regeln der gemeinen Algebra ta - deln wollen / als wenn ſie nicht in allem ihre Richtigkeit haͤtten. Hieher gehoͤret Ægi - dius Franciſcus de Gottignes, aus Bruͤſſel buͤrtig / ein Jeſuit / in ſeiner Logistica Univer -ſali413von den Mathem. Schrifften. ſali (Neap. 1687. in fol. 5 Alph. 14 Bog. Tabb. V.). Dergleichen hat auch Hugo de Ome - rique in ſeiner Analyſi Geometrica (Gadi - bus 1698) gethan / wie ich mich beſinne in den Tranſactionibus Anglicanis geleſen zu haben. Allein die guten Leute thun nichts mehr als daß ſie durch Umbwege ſuchen / wo - zu man gerades Weges gelangen kan / und dadurch den Fortgang der Wiſſenſchaff - ten aufhalten.
§. 18. Johannes Walliſius bemuͤhete ſich die von dem Kepler zu Erlaͤuterung des Archimedis vorgebrachte und dem Ca - valerio gluͤcklich gebrauchte Methode die Fi - guren und Coͤrper in unendlich kleine Ele - lemente zu ſolviren / mit der Algebraiſchen Rechnung zu vereinigen / und gab zu dem En - de A. 1655 ſeine Arithmeticam infinitorum heraus / darinnen er unendliche Reihen Geo - metriſcher Progreßionen zu ſummiren / und ihre Verhaͤltnis gegeneinander zu finden an - wieß / umb die Qvadraturen der Figuren und Cubaturen der Coͤrper dadurch zu finden. Jetzund treffen wir ſie in dem erſten Theile ſeiner Mathematiſchen Wercke f. 365 & ſqq. an. Weil aber Walliſius ſich mit der In - duction vergnuͤgete (dergleichen Beweiß den Mathematiſchen Wiſſenſchafften unan - ſtaͤndig iſt) / ſo bemuͤhete ſich Iſmael Bullial - dus, wiewol durch viele Umwege / nach Art der alten Geometrarum, aus der Natur derZah -414Kurtzer UnterrichtZahlen und Progreßionen die Arithmeti - cam infinitorum zu demonſtriren / wie aus ſeinem Opere Novo ad Arithmeticam infi - nitorum libris 6 comprehenſum (Pariſiis 168[2]in fol. 4 Alph. 16 Bog. ) mit mehrerem zu erſehen.
§. 19. Allein Walliſius und Bullialdus, der ihm folgete / waren nicht auf den rech - ten Weg gerathen. Hingegen der ſcharff - ſinnige Leibnitz konte denſelben nicht verfeh - len / als er ſich nach ihm umbſaͤhe. Denn als er ſich A. 1674 / 75 und 76 zu Paris auf - hielt / und bey muͤßigen Stunden auf die hoͤ - here Geometrie und andere Mathematiſche Wiſſenſchafften gedachte; gerieth er auf ſei - ne unvergleichliche Differential - und Jnte - gral-Rechnung / auf welche auch der groͤſte Geometra in Engelland / Iſaacus Newton zu eben ſelbiger Zeit vor ſich kam. Denn als dieſe beyde groſſe Maͤnner von Geome - triſchen Sachen mit einander in Briefen conferirten / ſchrieb unter andern Newton vom 24 Oct. 1676. Inverſa de Tangentibus problemata ſunt in poteſtate aliaque illis difficiliora: ad quæ ſolvenda uſus ſum duplici methodo; una concinniori, altera generaliori. Utramque viſum est in præ - ſentia litteris tranſpoſitis conſignare ‒ ‒: 5 accd 10ffh &c. welche Buchſtaben! wenn ſie in ihre rechte Ordnung gebracht werden / dieſen Verſtand haben: Una me -tho -415von den Mathem. Schriften. thodus conſiſtit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione ſimul involven - te fluxionem ejus: altera tantum in aſſum - tione ſeriei pro quantitate qualibet inco - gnita, ex qua cetera commode derivari poſſunt & in collatione terminorum homo - logorum æquationis reſultantis ademeni - dos terminos aſſumtæ ſeriei. Und der Herr von Leibnitz uͤberſchrieb in ſeinem Briefe vom 21. Jun. ſeine Differential - Rechnung ſelbſt: wie nicht allein aus den beyden Briefen zu erſehen / die in dem dritten Theile der Mathematiſchen Wercke des Walliſii (f. 634. 648) zufinden; ſondern auch Newton ſelbſt aufrichtig bekennet in Principiis Philoſophiæ Naturalis Mathe - maticis ſchol. Lemnat. 2. lib. 2 p. 253. 254. Er hat aber ſeine Rechnung erſt An. 1684 in den Leipziger Actis p. 467 und Newton A. 1687 in dem jetztangezogenen Buche der gelehrten Welt bekandt gemacht: hingegen die beyden Herren Bernoulli haben durch herrliche Aufgabe dieſelbe illuſtriren und weiter perflectioniren helffen.
§. 20. Der Marquis de l’ Hoſpital wel - cher von dem Hn. Joh. Bernoulli, jetzund be - ruͤhmten Profeſſore Mathematum in Baſel / die Differential - und Jntegral-Rechnung des Herrn von Leibnitz erlernet / hat zu erſt in ſeiner Analyſe des infiniment (A Pa - ris 1696 in Reg. 4. 1 Alph. 2 Bog. Tabb. 11) die416Kurtzer Unterrichtdie Differential-Rechnung deutlich beſchrie - ben und ihren vortreflichen Nutzen in der hoͤ - heren Geometrie gezeiget. Dieſes Werck verdienet mit Bedacht geleſen zu werden / wenn man zu hoͤheren Dingen Luſt hat. Er war zwar willens noch einen Theil heraus zu geben / darinnen er die Jntegral-Rechnung auf gleiche Weiſe erlaͤutern wolte: allein weil er von dem Herrn von Leibnitz ver - nahm / daß er ſelbſt geſonnen waͤre eine Sci - entiam infiniti heraus zu geben / ſo wolte er lieber ſeine Arbeit unterlaſſen / als dadurch die gelehrte Welt eines herrlicheren Wer - ckes berauben.
§. 21. Da der Herr von Leibnitz durch viele wichtige Geſchaͤffte bißher abge - halten worden / mit ſeinem ſinnreichen Wer - cke die gelehrte Welt zuerfreuen / deſſen Vor - treflichkeit aus den herrlichen Specimini - bus abzunehmen / die in den Leipziger-Actis A. 1702 p. 210 & ſeqq. und An. 1703 p. 19 & ſeqq. geleſen werden; wollte Carré in ſeiner Methode pour la meſure des ſurfa - ces, la dimenſion des ſolides, leurs centres de peſanteur, de percusſion & d’ oſcilla - tion par l’ application du Calcul integral (A Paris 1700 in Reg. 4. 15 Bog. Tabb. IV) den Verluſt einiger maſſen erſetzen / den wir in Ermangelung des anderen Thei - les von der Analyſe des infiniment petits erlitten. Ob er nun aber gleich nur die er -ſten417von den Mathem. Schriften. ſten Buchſtaben der Jntegral-Rechnung ge - lehret; ſo iſt man ihm doch deswegen viel Danck ſchuldig / daß er den Anfaͤngern da - zu den Weg gebahnet.
§. 22. Etwas weiter als er gieng Geor - gius Cheynæus in ſeinem Methodo inver - ſa Fluxionum (denn ſo nennen die Engellaͤn - der die Jntegral-Rechnung) / welchen er zu London 1703 in Reg. 4 drucken ließ (6 Bo - gen). Jn dieſem Buche erklaͤhret er haupt - ſaͤchlich / was Newton und der Herr von Leibnitz von den unendliche Reihen erfun - den / wiewol zu der Zeit da Cheynæus ſchrieb / der Herr von Leibnitz viel hoͤhere Dinge hiervon publicirte. Vid. Acta Lipſienſ. loc. cit. Nachdem nemlich Nica - laus Mercator, ein Holſteiner / in ſeiner Lo - garithmotechnia prop. 17 p. 31. ſeqq. (Lond. 1668 in 4. mit des Michaëlis An - geli Riccii Exercitatione Geometrica, die zu erſt in Rom heraus kommen) die Qva - dratur der Hyperbel durch eine unendliche Reihe exprimirte und dadurch zeigte / wie man die Bruͤche durch die Diviſion in un - endliche Reihen reduciren ſollte / ſo erfandt Newton noch eine andere Methode durch - Ausziehung der Wurtzel aus Jrrational - Groͤſſen unendliche Reihen zuerfinden / und der Herr von Leibnitz erdachte / wie man aus einer angenommenen undeterminirten Reihe eine andere / darinnen die coëfficien -(4) D dtes418Kurtzer Unterrichttes determiniret ſind / finden ſolle: wie bey - des aus ihren Briefen erhellet / die in dem dritten Theile der Operum Walliſii f. 622. 629 zufinden. David Gregorius in ſeiner Exercitatione Geometrica de dimenſione figurarum (Edinburgi 1684 in 4) hat die Methodos des Mercatoris und Newtonis durch viele Exempel illuſtriret / die zum Theil ſein Vetter Jacobus Gregorius ausgerech - net hatte / wie er p. 2. 3 & 4 erinnert / deſſen Buch de Vera Circuli & Hyperbolæ Qua - dratura (Patav iæ 1668 in 4) mit dem an - gehaͤngten Geometriæ parte univerſali, quantitatum curvarū transmutationi in - ſerviente zeiget / was man ſich hierinnen von ihm haͤtte verſprechen koͤnnen / wenn nicht der Todt ſein Vorhaben gehindert haͤtte. Johannes Craige, ein Schottlaͤnder / braucht in ſeinem Methodo figurarum lineis rectis & curvis comprehenſarum Quadraturas determinandi (Londini 1685 in 4. 6 Bo - gen Tab. I.) und in ſeinem Tractatu de fi - gurarum curvilinearum Quadraturis & Locis Geometricis (Londini 1693. in 4. 11 Bogen Tab. I.) auch unter weilen die un - endlichen Reihen; allein ſo wol Gregorius als Craige gehen im Qvadriren durch Um - wege / weil ſie dazumal die Jntegral-Rech - nung noch nicht verſtanden. Des Craigii Methodus generalis de Locis Geometricis iſt von dem Marquis de l’ Hoſpital in ſeinenSe -419von den Mathem. Schrifften. Sections Coniques (§. 14) deutlicher ausge - fuͤhret worden.
§. 23. Niemand hat zur Zeit die Jnte - gral-Rechnung ausfuͤhrlicher abgehandelt als Gabriel Manfredius, in ſeinem Wercke de Conſtructione Æquationum differen - tialium primi gradus, (Bononiæ 1707 in 4. 1 Alph. 2 Bog. Tabb. VII) darinnen er die Methoden erklaͤhret / welche in den Ex - empeln der vortreflichſten Mathematicorum unſerer Zeiten / die hauptſaͤchlich in den Leip - ziger-Actis hin und wieder anzutreffen / ver - borgen liegen. Dannenhero dieſes Buch denen dienet / welche mit leichter Muͤhe den Methodum Tangentium inverſam wol - len verſtehen und gebrauchen lernen.
§. 24. Alles / was in des Marquis de l’ Hoſpital Analyſe des infiniment petits, dem Carré, Cheynæo, Gregorio und Cra - gio anzutreffen / hat Charles Hayes in ſei - nem Traitiſe of Fluxions, or introduction to Mathematical and Mechanical Philo - ſophy, auch zugleich viele nuͤtzliche Aufga - ben / die in den Leipziger-Actis zufinden, il - luſtriret / abſonderlich dasjenige was der Herr von Leibnitz von den Urſachen der himmliſchen Bewegungen angegeben. Es iſt zu Londen 1704 in fol. heraus kommen / und beſtehet aus 3 Alph. 3 Bog.
D d 2§. 25.420Kurtzer Unerricht§. 25. Es hat zwar Bernhardus Nieu - wentiit in ſeinen Conſiderationibus circa Analyſeos ad quantitates infinite parvas applicatæ principia & calculi differenti - alis uſum in reſolvendis problematibus Geometricis (Amſtel. 1694 in 8. 3 Bogen) und in ſeinen Conſiderationibus ſecundis circa calculi differentialis principia (Am - ſtel. 1696 in 8. 3 Bog. ) wieder die Diffe - rential-Rechnung einige Einwuͤrfſe gemacht / und daher eine andere Methode in ſeiner A - nalyſi infinitorum (Amſtelod. 1695 in 8. 20 Bog Tabb. XXI) angewieſen / dadurch eben dieſes verrichtet werden ſol / was man durch die Differential - und Jntegral-Rech - nung gethan: allein es haben nicht allein aus dem / was der Herr von Leibnitz und der Herr Bernoulli in den Leipziger-Actis An. 1695 p. 310 & ſeqq. it. p. 369 & ſeqq. & A. 1697 p. 125 & ſeqq. und der Herr Ja - cob Hermann, in ſeiner Reſponſione ad Cl. Viri Bernhardi Nieuwentiit Conſidera - tiones ſecundas circa calculi differentia - lis principia editas (Baſileæ 1700 in 8. 4 Bog. ) uͤberfluͤßig erwieſen / daß ſie alle kei - nen Grund haben / ſondern man kan auch von ihm urtheilen / was ich oben (§. 17) von denen angemercket / welche in den Anfangs - Gruͤnden der gemeinen Algebra ohne Noth Schwierigkeiten geſucht. Sonſt wiſſenver -421von den Mathem. Schrifften. verſtaͤndige auch die Analyſin infinitorum des Nieuwentiit noch zugebrauchen.
§. 26. Der vortrefliche Mathematicus Johannes Wallis hat zu erſt An. 1685 in En - gliſcher / hernach vermehrter in Lateiniſcher Sprache einen Tractatum Hiſtoricum & Practicum de Algebra publiciret / welcher den groͤſten Theil von dem andern Volu - mine Operum Mathematicorum ausmacht. Gleichwie er aber / was in der gemeinen Al - gebra gethan worden / weitlaͤuftig ausfuͤhret; ſo hat er hingegen von der Differential - und Jntegral-Rechnung gar nichts / auſſer daß er nur mit wenigem zwey problemata be - ſchreibet f. 391 & ſeqq. deren Newton in dem oben angefuͤhrten Briefe an den Herrn von Leibnitz gedencket. Denn da die erſte E - dition heraus kam / war noch wenig von der Differential - und Jntegral-Rechnung be - kandt. Was aber nach der Zeit / ſonderlich in den Leipziger-Actis davon zum Vorſchei - ne kommen / hat er nicht erfahren / weil er in ſeinem hohen Alter nicht mehr alle Buͤcher leſen koͤnnen / wie er ſich ſelbſt damit in einem Briefe an den Herrn von Leibnitz ent - ſchuldiget. Vid. Acta Erudit. Lipſ. An. 254. Dannenhero / iſt dieſes Werck nur von denen zugebrauchen / welche nachdem ſie die Algebra verſtehen / erkennen wollen / was nach und nach in derſelben gethan worden / und wie oͤfters durch verſchiedene Wege manD d 3ein422Kurtzer Unterrichtein Ziel erreichet habe. Dergleichen Be - trachtungen aber ſind denen ſehr dienlich / welche die Kraͤfte des menſchlichen Verſtan - des erkennen zulernen bemuͤhet ſind.
§. 27. Charles Reyneau hat in ſeiner A - nalyſe demonſtreé (A Paris 1708 in Reg. 4. 5 Alph. 7 B. 5 Tabb. ) alle Methoden weitlaͤuf - tig erklaͤhret / die bisher ſo wol in der gemei - nen Algebra / als der Differential - und Jn - tegral-Rechnung des Herrn von Leibnitz erfunden worden. Allein weil er mit Ex - empeln ſehr ſparſam iſt; ſo muß kein An - faͤnger ſich uͤber dieſes Buch machen. Hin - gegen wenn einer meine Anfangs-Gruͤnde der Algebra recht inne hat / kan er ſonder groſſe Muͤhe und nicht ohne Nutzen dieſes Werck durchgehen / das ein jeder Liebhaber der Algebra ſich zu legen ſol.
§. 28. Die gantze Matheſin puram mit der neuen und alten Algebra findet man in W. Jones Synopſi Palmarionem Matheſe - os or, New Introduction to the Mathema - ticks containing the principles of Arith - metic and Geometry demonſtrated &c. Jn den erſten zur Arithmetic mit Zifern und Buchſtaben gehoͤrigen Sachen iſt der Autor ſo deutlich / daß er es nicht deutlicher haͤtte machen koͤnnen. Allein da er in ſol - genden alles durch characteres exprimiret / ſo wird er ſonderlich in der Geometrie fuͤr Anfaͤnger unterweilen allzukurtz. Wer a -ber423von den Mathem. Schrifften. ber nur mercket / daß in dergleichen Buͤchern jede Zeile mit Nachdencken und in richtiger Ordnung geleſen werden muß; wird auch darein ſich leicht finden lernen. Es kan aber dieſes Buch den Lehrenden dienen / wenn ſie den Anfaͤngern etwas erklaͤhren wollen; hingegen wenn dieſe auch aus andern Buͤ - chern die Sachen gelernet / koͤnnen ſie die Synopſin palmariorum Matheſeos zur Re - petition brauchen.
§. 29. Wer die Application der Alge - bra / ſonderlich der neueren / erkennen wil / auch ſich immer mehr und mehr in derſelben zu perfectioniren gedencket; hat Urſache die Acta Erudit. und Hiſtoire de l’ Aca - demie des Sciences mit ihren Memoires, ingleichen die Miſcellanea Berolinenſia zu - leſen / wiewol auch die Transactiones An - glicanæ und das Journal des Sçavans, dazu etwas beytragen koͤnnen. Die vor - nehmſten Algebraiſchen Erfindungen / die in den Transactionibus Anglicanis enthalten / treffet ihr in den beyden erſten Theilen der Miſcellaneorem Curioſorum, being a col - lection of ſome of the principal phœno - mena in Natur &c. an / welche von Wort zu Wort aus ihnen genommen. Der erſte Theil iſt zu Londen 1705 / der andere 1706 in Reg 8. heraus kommen. (Tom. I. 1 Alph. Tabb. V. Tom. II. 1 Alphab. 2 Bogen Tabb. VIII.).
§. 1. Mit dem / was ich in der Trigono - metrie gelehret / kan man uͤberall auskommen / wo man Trigonometriſche Rechnungen noͤ - thig hat. Derowegen iſt wohl kaum noͤthig / daß ich viel von Trigonometriſchen Schrif - ten rede.
§. 2. Doch damit ich etwas gedencke / ſo errinnere ich / daß Joh. Regiomontanus (ei - gentlich Muͤller genannt) zuerſt ein Buch von den Triangeln A. 1464 in oͤffentlichen Druck befoͤrdert. Das erſte Buch aber / wel - ches in dieſer Materie kurtz / deutlich und doch ausfuͤhrlich geſchrieben worden / iſt des Phi - lippi Lansbergii Geometria Triangulo - rum, die er A. 1591 zuerſt heraus gegeben. Es iſt aber nachmals dieſelbe zu Middelburg in Seeland 1663 in fol. vermehrter aufgelegt worden / beſtehet aus 11 Bogen und ſtehet zu Anfange ſeiner Operum. Jn der Trigo - nometria Sphærica bin ich ihm meiſtens nachgefolget / weil er ſelbe faſt gantz und gar aus den Elementis Euclidis deduciret / da man bey andern viele Lehrſaͤtze aus des The - adoſii Libris Sphæricorum (§. 8. c. 2) zum Grunde legen muß.
§. 3.425von den Mathem. Schrifften.§. 3. Mit ihm kommet in vielen Stuͤcken Bartholomæus Pitiſcus uͤberein / in ſeinen li - bris quinque Trigonometriæ, die zuerſt A. 1599 / hernach vermehrter zum dritten mal zu Franckfurt 1612 in 4. (2 Alph. 15 Bog. ) her - aus kommen. Dieſes Buch iſt nicht allein umb des willen zu loben / weil die conſtructio Tabularum, Sinuum & Tangentium deut - lich vorgetragen / und die Aufloͤſungen der Trigonometriſchen Aufgaben geſchickt er - klaͤhret werden; ſondern auch wegen des durch 11 Buͤcher zertheileten groſſen Vorraths von allerhand Aufgaben aus der Geometria practica, Fortification / Geographie / Gno - monick und Aſtronomie / die durch die Trigo - nometrie aufgeloͤſet werden; wiewol in mei - nen Anfangs-Gruͤnden mehr Application als in dieſem Buche zu finden.
§. 4. Zu Ende des erſten Theiles der O - perum Mathematicorum findet man des Jo - bannis Caswell Trigonometriam planam & Sphæricam. Die Beweiſe ſind auf ei - ne neue Art eingerichtet / aber nicht fuͤr An - ſaͤnger.
§. 5. Viel beſſer iſt fuͤr ſie des P. Jacobi Gooden, eines Jeſuiten Trigonometria pla - na & Sphærica (Leodii 1704 in 8. 12½ B.) darinne beyde Trigonometrien gruͤndlich er - klaͤhret / und mit nuͤtzlichen Aufgaben aus der Geometrie / Aſtronomie und Geographie er - laͤutert werden.
D d 5§. 6.426Kurtzer Unterricht§. 6. Man findet auch die Regeln beyder Trigonometrie bey den gewoͤhnlichen Ta - hulis Sinuum & Tangentium, itemque Lo - garithmorum, welche vielfaͤltig heraus kom - men. Man lobet die Edition des Vlacq und Ozanam. Wenn man die Logari - thmos Sinuum & Tangentium auch fuͤr Secunden verlanget; ſo kan des Adriani Vlacci Trigonometria artiſicialis dazu die - nen (Goudæ 1633 in fol. 5 Alph. 3. Bog.).
§. 7. Jn einigen Curſibus Mathematicis iſt die Trigonometrie ſehr wohl erklaͤhret; in - gleichen hat man ſie einigen Aſtronomien præmittiret: wovon unten an ſeinem Orte geredet werden ſol.
§. 1. Aus dem Alterthume ſind uns allein Vitruvii zehen Buͤcher von der Bau-Kunſt uͤbrig geblieben / in welchen er alles / was zur Baukunſt gehoͤret / ausfuͤhrlich zu lehren ſich bemuͤhet. Die beſte lateiniſche Edition iſt des de Laët welche zu Amſterdam 1649 in f. mit den Anmerckungen des Guil. Philandri, Danielis Barbari und Claudii Salmaſii, dem Lexico Vitruviano Bernhar dini Baldi, den Elementis Architecturæ Henrici Wottoni &c. zum Vorſchein kommen.
§. 2. Man tadelt aber an dem ſonſt ſo ruhmwuͤrdigem Wercke des Vitruvii, daßer427von den Mathem. Schrifften. er keine gute Ordnung gehalten / ſondern alles untereinander geworffen; uͤberaus unver - ſtaͤndlich geſchrieben / nemlich nach dem Ur - theile des Alberti (lib. 6. c. 1. de re ædifica - toria pag. 80 & ſeq. ) den Griech en Latei - niſch / und den Lateinern Griechiſch; und viel uͤberfluͤßiges mit eingemiſchet.
§. 3. Den erſten und dritten Fehler hat Perrault gehoben / als er nach dem Rathe des Philibert de l’ Orme in ſeiner Archite - cture generale de Vitruve reduite en A - bregé (Amſtel. 1681 in 8. 16 ½ Bogen Text / 1½ Kupfer) die Lehren des Vitruvii in eine accurate Ordnung gebracht / die durch das gantze Werck hin und wieder zerſtreuet ſind.
§. 4. Den dunckelen Text des Vitruvii hat D. Gualt. H. Rivius durch ſeine Teutſche Uberſetzung / und die jedem Capitel beyge - fuͤgte Auslegung verſtaͤndlich gemacht. Es iſt ſein uͤberſetzter Vitruvius das letzte mal zu Baſel 1614 in fol. heraus kommen (7 Alph. 2 Bog. mit vielen Figuren) / aber nach dem Exempel des Vitruvii viel uͤberfluͤßiges mit eingemenget. Derowegen iſt in dieſem Stuͤcke die Frantzoͤſiſche Uberſetzung des Perrault, die Anfangs 1673 / hernach 1684 vermehrter und hin und wieder veraͤndert / mit auserleſenen Anmerckungen und aus - buͤndig ſchoͤnen Kupffern unter dem Titul: Lex dix Livres d’ Architecture de Vitru -ve428Kurtzer Unterrichtve zu Paris in Reg. fol. gedruckt worden (4. Alph. 5. Bog.).
§. 5. Weil aber Vitruvius die Lehre von den 5. Ordnungen / welche von einigen fuͤr das Hauptwerck in der Baukunſt gehalten wird / nicht vollſtaͤndig abgehandelt; wie denn auch zu ſeiner Zeit die Roͤmiſche Ord - nung noch nicht erfunden war; ſo hat wohl - gedachter Perrault ein herrliches Werck von den 5 Ordnungen der Bau-Kunſt / unter dem Titul: Ordonnance des cinq eſpe - ces de Colonnes ſelon la methode des anciens, zu Paris 1684 in fol. herausgege - ben / darinnen er die Vorurtheile der Bau - meiſter gewaltig beſtreitet.
§. 6. Lange nach dem Vitruvio hat Leo Baptiſta de Albertis gelebet / deſſen Libri de re ædificatoria decem zu Paris 1512 ge - druckt worden (2 Alph. in 4). Er hat ſich an - gelegen ſeyn laſſen die Regeln der Baukunſt zuſammen zu tragen; aber die wichtige Lehre von den 5 Ordnungen gar ſchlecht abgehan - delt. Zwar wolte er dem Vitruvio ſeinen Ruhm abjagen; aber es iſt ihm nicht gelun - gen. Es iſt dieſes Buch auch 1585. zu Flo - rentz lateiniſch / und 1665 zu Venedig Jtalie - niſch in 4. heraus kommen: ja vorhin 1553 ins Frantzoͤſiſche uͤberſetzt worden.
§. 7. Bald nach ihm haben Sebaſtian Serli und Andreas Palladio zu einer Zeit gelebet. Jener hat 7 / dieſer 4 Buͤcher vonder429von den Mathem. Schrifften. der Baukunſt geſchrieben. Die erſten 5 Buͤcher des Serlii ſind Jtalieniſch zu Ve - nedig 1601 in fol. Teutſch zu Baſel 1609 in f. gedruckt worden (4 Alph. 13 Bog.). Er handelt nur von allerhand Gebaͤuden und Architectoniſchen Wercken / und den 5 Ord - nungen. Die Grund-Regeln hat er weg - gelaſſen / ſonder zweifel weil er ſie aus dem Vitruvio ſupponiret / den er ſo hoch gehal - ten / daß es ihm unrecht geſchienen im gering - ſten von ihm abzuweichen. Vid. lib. 3. fol. 46. edit. Venet. Das ſechſte Buch von den Wohnungs-Gebaͤuden iſt nicht zum Vorſchein kommen. Das ſiebende von den Haͤuſern auf dem Lande hat Jacobus Strada Laͤteiniſch und Jtalieniſch zu Franckfurt 1575 in fol. drucken laſſen.
§. 8. Palladius hat den Ruhm / daß er es allen andern Baumeiſtern in den 5 Ord - nungen zuvor gethan / und ſeinen Wercken ein praͤchtiges Anſehen giebet. Jn ſeinem erſten Buche iſt eine vollſtaͤndige Anweiſung zur Baukunſt enthalten. Jn den uͤbrigen wird von allerhand Arten der Gebaͤude und anderen Architectoniſchen Wercken gehan - delt. Er hat ordentlich und deutlich ge - ſchrieben. Daher er auch fuͤr andern den Anfaͤngern der Baukunſt zu recommendi - ren. Alle 5 Buͤcher ſind Jtalieniſch A. 1575 in fol. gedruckt worden. Die erſten zwey hat Georg Andreas Boͤckler in das Teutſcheuͤber -430Kurtzer Unterrichtuͤberſetzt / und mit vielen Anmerckungen zu Nuͤrnberg 1689 in fol. (1 Alph. 3 Bog. Tab. 88) auflegen laſſen.
§. 8. Der Abt Philibertus de Lorme, Caroli des IX. Rath / Eleemoſinarius und Baumeiſter hat A. 1567 zu Paris 9 Buͤcher von der Bau-Kunſt in Frantzoͤſiſcher Spra - che in fol. heraus gegeben. Es ſind viel nuͤtzliche Negeln / ſonderlich von den Gewoͤl - bern / darinnen zu finden / die man anderswo vergebens ſuchet. Er war zu ſeiner Zeit ſo beruͤhmt / daß man ihn auch auſſer Franck - reich Koͤnigliche und Fuͤrſtliche Pallaͤſte an - geben ließ. Cr miſchet aber wie Vitruvius und Alberti viel Dinge mit ein / die zur Sa - che nicht gehoͤren.
§. 9. Jacob Barozzio Vignola hat 1631 in Jtalieniſcher Sprache ein Werck von den 5 Ordnungen heraus gegeben. Weil er a - b er ſehr kurtz geſchrieben / hat es Daviler in ſeiner Frantzoͤſiſchen Uberſetzuug mit weit - laͤufftigen Commentariis vermehret / in wel - chen die gantze Baukunſt erlaͤutert wird. Das Werck iſt unter dem Titul: Cours d’ Architecture, qui comprend les Ordres de Vignole, avec des Commentaires, les figures & deſcriptions des plus beaux batimens & de ceux de Michel Angel &c. zu Paris heraus kommen / und zu Amſterdam 1694 in 4 (3 Alph. 20 Bogen Tabb. 13. 6 Bog.). Der Herr Prof. Sturm431von den Mathem. Schriften. Sturm hat dieſes Buch in das Teutſche uͤ - berſetzet / und mit einigen Anmerckungen ver - mehret / das Lexicon aber / daraus der groͤ - ſte Theil des Buches beſtehet / weggelaſſen / auch noch 3½ Bogen Figuren dazu gemacht. (Amſtel. 1699. in 4. 2 Alph.).
§. 10. Vincentius Scamozzi hat 1615 zu Venedig unter dem Titul: L’ Idea della Architettura Univerſale das erſte / ande - re / dritte / ſechſte und ſiebende Buch ſeiner Bau-Kunſt in fol. drucken laſſen. Das ſechſte und dritte iſt ins Teutſche uͤberſetzt worden / und unter dem Titul: Klaͤhrliche Beſchreibung der fuͤnff Saͤulen-Ord - nungen und der gantzen Bau-Kunſt zu Nuͤrnberg 1697 in fol. nachgedruckt worden. (2. Alph. 6. Bog. Tabb. 85.). Man ruͤh - met ihn / daß er ſich wohl auf die Proportion verſtanden. Allein er hat verwirret geſchrie - ben / und wird einer die Baukunſt aus ihm nicht lernen.
§. 11. Carolus Philippus Dieuſſart hat in ſeinem in Teutſcher Sprache herausgege - benem Theatro Architecturæ Civilis (Bamberg 1697 in Reg. fol. 1 Alph. 3 Bog. Tabb. LXV.) nicht allein die zur Baukunſt noͤthigen Regeln gegeben; ſondern auch die 5 Oednungen nach dem Palladio, Vignola, Scamozzi, Pietro Cataneo, Sebaſtian Ser - lio, Branca untereinander verglichen: der - gleichen Arbeit vor ihm Rol. Freard deCham -432Kurtzer Unterricht. Chambray (A Paris 1650 in fol.) verrichtet.
§. 12. Blondell hat A. 1698 ſeinen Cours d’ Architecture in 5 Theilen zu Paris in Regal fol. drucken laſſen / davon ſchon etwas A. 1675 heraus kommen war (8 Alph. 14 B. Tabb. XXIV und ſehr viel eingedruckte Kupfer). Jn dem erſten Theile erlaͤutert er die 5 Ordnungen nach dem Vitruvio, Vi - gnola, Palladio, Scomozzi; in den uͤbrigen handelt er meiſtens von dem Gebrauch der Ordnungen aus aller beruͤhmten Baumei - ſter Schriften.
§. 13. Es dienen auch zu Erlaͤuterung der fuͤnf Ordnungen des Antoine Desgodetz Edifices antiques de Rome A Paris 1697 in fol. 3 Alph. 17 Bog. mit ausbuͤndig ſchoͤnen eingedruckten Kupfern): ingleichen Joh. Balthaſar Lauterbachs Abregé d’ Ar - chitecture (Amſt. 1699 in 8. 2 Bog. Tabb. XVIII). Er hat die leichteſte Manier die Ordnungen zu zeichnen / und zwar auf eine neue Art angewieſen.
§. 14. Nicolaus Goldmann / ein Breß - lauer / hat in ſeinem Tractatu de Stylome - tris oder dem Gebrauche der Bauſtaͤbe (Lugd. Bat. 1661 in fol. Lat. & Germ. 9. Bog. Tabb. XL) Jnſtrumente beſchrieben / dadurch man die 5 Ordnungen uͤberaus leich - te beſchreiben kan / und die Ordnungen ſelbſt in groͤſſere perfection geſetzt / als vor ihm nie geſchehen. Jn ſeiner Vollſtaͤndigen An -wei -433von den Mathem. Schriften. weiſung zu der Civil - Bau-Kunſt / welche der Herr Sturm zu Wolffenbuͤttel 1696 in Reg. fol. (2 Alph. 4 Bog. Tabb. 74) wie eben dieſe Lehre von Ordnungen vorgetra - gen / und ihr Gebrauch gezeiget / uͤber dieſes aber auch alles uͤbrige mit Fleiß zuſammen getragen / was in den Schriften des Vitru - vii der beruͤhmten Jtaliaͤniſchen Baumei - ſter und dem Commentario des Vilalpan - di uͤber den Propheten Ezechiel hin und wie - der zerſtreuet zufinden. Er hat Anfangs die Kunſt-Woͤrter erklaͤhret / und ihnen einige allgemeine Regeln von der Feſtigkeit / Be - qvemlichkeit / und Zierlichkeit des Gebaͤudes beygefuͤget: keines Weges aber wie die Ma - thematici aus dieſen vorhergeſetzten Gruͤn - den das folgende demonſtriret. Daher muß man ſich nicht einbilden / als wenn er ſein Buch nach der Mathematiſchen Lehr - Art eingerichtet / und die Regln der Bau - Kunſt / wie in Wiſſenſchaften gebraͤuchlich / demonſtriret haͤtte. Es iſt aber ſonſt die - ſes Buch das beſte unter allen: wiewol zum Gebrauch der Ungelehrten viel dienli - cher waͤre / wenn man ein kuͤrtzeres und voll - ſtaͤndigeres in beſſerer Ordnung aufſetzte / zumal da die Kuͤrtze der Deutlichkeit nichts benehmen wuͤrde. Es hat aber auch ſchon der Herr Sturm An. 1699 in der erſten Ausuͤbung der Civil-Bau-Kunſt des Goldmanns viel erſetzet / was ihm an noͤ -(4) E ethigen434Kurtzer Unterrichtthigen Materien abgehet. Jn dieſen An - merckungen thut er zugleich einen Vorſchlag von einer ſechſten Ordnung / die aber zur Zeit noch nicht angenommen worden. (1 Alph. 14 Bogen Tab. XIX).
§. 15. Wer die zur Zimmer-Kunſt gehoͤ - rige Sachen erkennen wil / damit er lerne / wie geſchickte Verbindungen des Holtzwer - ckes zuerhalten; kan ſich aus Johann Wilhelms Architectura Civili oder Be - ſchreibung und Vorreiſſung vieler vor - nehmer Dachwerck &c. (Nuͤrnberg in fol. 5. Bog. Tab. LXXIV. in 2 Theilen) und Johann Vogels Modernen Baukunſt (Hamburg 1707 in fol. 3 Bog. Tabb. 36) Raths erholen.
§. 16. Zu dem Waſſerbaue ſind gute Buͤcher L’ Arte di reſtituire à Roma la tralaſciata Navigatione del ſuo Tevere des Cornelii Meyers / eines Hollaͤnders / (in Roma 1685 in fol. 2 Alph. 3 Bog. mit vielen eingedruckten Kupfern): ſeine Nuo - vi ritrovamenti (in Roma 1689 in fol. 8 Bog. mit vielen Kupfern) und ein anderes Buch / ſo von eben dieſem Autore zu Rom 1696 in fol. (12 Bog. mit vielen Kupfern) gedruckt worden. Hieher gehoͤret auch des Joh. Baptiſtæ Baratteri Architectura d’ Acque (Piacenza 1656 in fol. 3 Alphab. 6 Bog.). Aus dem erſten Buche hat ein un - genannter Frantzoſe einen angenehmenAus -435von den Mathem. Schriſſten. Auszug gemacht und ihn als ſein eigenes Werck unter dem Titul: Traité des mo - yens de rendre les Rivieres navigables zu Amſterdam in 8. heraus gegeben (Amſter - dam 1696 in Reg. 8. 6 Bog. Tabb. XII).
§. 17. Endlich muß ich auch des Herrn des Argues Kunſtrichtig - und Prob - maͤßige Zeichnung zum Steinhauen in der Bau-Kunſt ruͤhmen / darinnen die ſchoͤne Erfindung der Frantzoſen die Steine nach Geometriſchen Gruͤnden zu allen Ar - ten der Bogen und Gewoͤlber zu hauen deut - lich vorgeſtellet wird. Die Teutſche Uber - ſetzung aus dem Frantzoͤſiſchen iſt zu Nuͤrn - berg 1699 in 8 gedruckt worden. (15 Bog. Tabb. 114).
§. 1. Unter unſeren Teutſchen / die ſich auf Feuerwercke verſtehen / werden Caſimi - rus Simienowitz, ein Pohle / Johann Si - gismund Buchner und Ernſt Braun im Werth gehalten. Des erſten vollkom - mene Buͤchſenmeiſterey-Kunſt iſt mit dem andern Theile von Daniel Ellrichen vermehret worden und zu Franckſ. am Mayn in fol. heraus kommen (3 Alph. 20 Bogen Tabb. 43). Des Buchners Artillerie iſt zu Nuͤrnberg 1685 in fol. (2 Alphab. 18E e 2Bog.436Kurtzer UnterrichtBog. Tabb. 53) und des Braunens zu Dantzig 1687 in fol. (2 Alph. 16 Bog. Tabb. 60) gedruckt worden. Es handeln aber dieſe Autores nicht allein vom Pulver und dem Geſchuͤtze; ſondern auch von allen Luſt - und Ernſt-Feuerwercken: von welchen Ma - terien zuſammen ein kurtzer / doch deutlicher Begriff / in Georg Andreaͤ Boͤcklers drit - tem und vierdtem Theile des Manualis Ar - chitecturæ Militaris oder Hand-Buͤchleins uͤber die Fortification zufinden (Franckf. und Leipzig 1689 in 16. Tom. III. 4 Bogen Tabb. XI. Tom. IV. 10 Bogen Tabb. XXXIV).
§. 2. Michael Mieth hat in ſeiner Ge - ſchuͤtz-Beſchreibung zwar das Geſchuͤtze mit dem Pulver und ſeinem Gebrauche ruͤhmlich beſchrieben; allein von anderen Feuer-Wercken nichts beygebracht (3 Alph. 10 Bog. Tab. LX).
§. 3. Dergleichen Arbeit iſt faſt La For - ge de Vulcain, ou l’ Appareil des Machi - nes de Guerre, die der Chevalier de Saint Julien (A la Haye 1706 in Regal 8. 10 Bog. ) heraus gegeben / nur daß / wie leichte zu erachten / nicht alles ſo weitlaͤuftig wie dort ausgefuͤhret wird / ſondern der Autor ſich bemuͤhet junge Leute die einige Erkaͤnt - nis von der Artillerie zuwiſſen verlangen / nicht aber Artillerie-Bediente und Stuͤck-Gieſſerzu437von den Mathem. Schrifften. zu unterrichten: wozu das Miethens Werck dienlich.
§. 4. Alles was nur von Geſchuͤtze / deſ - ſen man ſich im Kriege bedienet / erfunden worden / hat ſehr accurat beſchrieben und vorgezeichnet Surirey de Saint Remy in ſei - nen Memoires d’ Artillerie. Die beſte Edition iſt zu Paris 1707 in Reg. 4 (4 Alph. 17 Bogen Tabb. 196) heraus kom - men und vermehrter als die andern.
§. 5. Abſonderlich iſt denen / welche ger - ne was kurtzes und gutes von der Artillerie haben wollen / der gruͤndliche Unterricht von der Artillerie zu recommendiren / der zu Hamburg 1699. in 8. aus dem Hollaͤndi - ſchen uͤberſetzt worden. (10 Bog. Tabb. 6¼ Bog. ) und den beruͤhmten Cœhorn zu ſeinem Autore hat.
§. 6. Man kan auch hieher des Blondell L’ Art de jetter les Bombes (A Paris 1683 in 4) ziehen / welche ins Teutſche uͤberſetzt zu Sultzbach 1686 in 8. gedruckt worden / und die einige Schrifft in dieſer Materie iſt / die Mathematiſch ausgefuͤhret worden. Jn - gleichen muß hier des Lamberti Lambion Bau-Practica nicht vergeſſen werden (Wien 1696 in 8. mit verſchiedenen Kupfern) darinnen ausfuͤhrlicher als anderswo von den Minen gehandelt wird.
§. 1. Die Fortificatations-Schrifften enthalten entweder ihrer Autorum eigene Erfindungen in ſich / oder ſind zum Unterrich - te derjenigen geſchrieben / welche die Fortifi - cation lernen wollen. Von beyden wil ich nur die vornehmſten erzehlen.
§. 2. Anfangs hielte man die Hollaͤndiſche Fortification fuͤr ſo vollkom̃en / daß nichts da - ran zu verbeſſern ſtuͤnde. Dieſelbe hat Frey - tag ihr Erfinder / und nach ihm haben ſie viele andere beſchrieben / wird auch faſt in al - len Anweiſungen zur Fortification nicht un - billig zuerſt erklaͤhret / weil ſie zu den neueren Erfindungen Anlaß gegeben / und dieſe durch ſie deſto leichter verſtanden werden. Mel - der differiret von Freytagen nur in der Pro - portion der Linien / und Antoine de Ville kom - met in den Haupt-Marimen auch mit ihm uͤberein.
§. 3. Der erſte Verbeſſerer der Freyta - giſchen Manier iſt der Herr Graf von Pa - gan geweſen / welcher A. 1645 ſeine Manier zu fortificiren bekandt gemacht. Es iſt an - fangs Frantzoͤſiſch zu Paris 1645 in fol. un - ter dem Titul: Les Fortifications de M. le Comte de Pagan (1 Alph. 6 Bog. Tabb. XI) heraus kommen / und hernach auch in un - ſere Teutſche Sprache uͤberſetzt worden. Mit dieſer kommet in dem meiſten die uͤber in / welche Heinrich Ruße Baron von Ruſ - ſenſtein entworffen / und Melder mit ſeinenweit -439von den Mathem. Schriften. weitlaͤuftigen Anmerckungen zu Oſnabruͤck in fol. herausgegeben (43. Bog. Text und 16 Bog. Kupfer.).
§. 4. Etwas weiter gehet Blondells Manier von ihr ab / welche viel ſchoͤne Maxi - men in ſich begreiffet / aber allzu koſtbahr iſt. Es iſt ſeine Nouvelle maniere de fortifier les places anfangs zu Paris 1686 in Reg. 12. (5. Bog. Text / Tabb. XII) gedruckt / und nachdem auch in Haage 1686 in 8. nachge - druckt worden.
§. 5. Vauban hat zweyerley Manieren zu fortificiren erſonnen / die ich beyde in meinen Anfangs-Gruͤnden beſchrieben. Er ſelbſt hat niemals etwas davon entworffen: aber verſchiedene andere haben ſie publiciret. Fuͤr die beſte Edition haͤlt man diejenige / welche wir dem Abte du Fay zu dancken haben / weil ſie Vauban ſelbſt approbiret. Sie iſt unter dem Titul La Veritable maniere de bien fortifier de M. Vauban zu Amſterdam 1692 in 12. gedruckt worden (9 Bog. mit einigen Kupfern). Der Herr Profeſſor Sturm hat in ſeinem Veritable Vauban (A La Haye 1709 in Reg. 8. 14 Bogen Tabb. 31) beyde Manieren wohl beſchrieben / auch die Fun - damental-Regeln der Fortification zugleich erzehlet / und nach Gewohnheit eine Arith - meticam und Geometriam practicam præ - mittiret / daß allſo die Anfaͤnger dieſes Buch wohl nutzen koͤnnen.
E e 4§. 6.440Kurtzer Unterricht§. 6 - Cœhorn hat ſeine Manier zu befeſti - gen in Hollaͤndiſcher Sprache 1685 zu Leeu - warden in fol. publiciret (45 Bog. Tabb. XIV). Nach dieſem iſt ſie ins Frantzoͤſiſche uͤberſetzt worden / und unter dem Titul: Nou - velle Fortification tant pour un ter - rain bas & humide, que Sec & elevé zu Hage 1706 in Reg. 8 (19 Bog. Tabb. XIV. ) heraus kommen.
§. 7. Unter unſeren Teutſchen iſt Bern - hardt Scheithers Neuvermehrte und verſtaͤrckte Veſtungs-Bau - und Krie - ges-Schule bekandt / die zu Braunſchweig 1672 in fol. gedruckt worden (1 Alph. 7. B. Tabb. XXIV in Reg. fol.). Als Chri - ſtian Neubauer das folgende Jahr darauf in ſeinen zu Coͤlln an der Spree gedruckten wohlmeinen den Gedancken oder Di - ſcurs uͤber ausgegangene Fortification des Tit. Hrn. Joh. Bernhard Schei - tern wieder dieſelbe ſchrieb / und ſeine neue Invention ihr entgegen ſetzte; gab Schei - ther A. 1677 zu Straßburg in fol. ſein E - xamen Fortificatorium heraus / darinnen er die Neubauriſche Invention verwirffet / ſeine alte vertheidiget / und noch eine andere neue hinzu ſetzt (1 Alph. 2 Bog. Tabb. VIII). Neubauer hat A. 1679 in ſeiner Vera pra - xi Arthitecturæ Militaris oder gruͤndlichen Beſchreibung der neu-inventirten Inven - tion (Stargard 1679 in fol. 19 B. T. VIII). wieder darauf geantwortet.
§. 8.441von den Mathem. Schrifften.§. 8. Der Herr Ernſt Friedrich von Borgsdorff hat in ſeiner unuͤberwindlichen Feſtung (Ulm 1682 in 8. 7 Bog. Tabb. VIII. ) allerhand gute Maximen / welche verdienen geleſen zu werden. Eben ſo verdienet Joh. Jac. Werdmuͤllers Probier-Stein der Ingenieures (Franc. 16 Bog. mit einigen Kupfern) wegen der guten Maximen / die bey ihm anzutreffen / recommendiret zu wer - den. Eben von der Art iſt ſeine Apologia Fortificatoria (Franc. 1691 in f. 1 Alph. 15 Bogen Tabb. XVI). Der Hr. von Borgs - dorff aber hat noch einen andere Tractat un - tet dem Titul: Die befeſtigte Stuͤtze eines Fuͤrſtenthums / oder neuerfundene De - fenſion wieder das ſonſt Welt-bezwin - gende Canoniren / Bombardiren und Miniren / zu Nuͤrnberg 1687 in 8 (8 Bogen mit einigen Kupfern) heraus gegeben.
§. 9. Kein Buch hat groͤſſer Aufſehen ge - macht als George Rimplers befeſtigte Fe - ſtung (Franc. 12. 16 Bog. ) darinnen er gantz eine andere Beſchaffenheit der Feſtungen er - fordert / als alle bisher erbauete und inven - tirte Feſtungen haben. Er hat ſelbſt hier - von keinen Riß gegeben. Niemand aber hat ſich mehr angelegen ſeyn laſſen ſolches zu præſtiren als der Herr Sturm in ſeiner Entdeckung der unſtreitig allerbeſten Manier zu befeſtigen (Franckf. an der O - der 1704 in 8. 12 Bog. Tabb. IX).
E e 5§. 10.442Kurtzer Unterricht§. 10. Chriſtoph Heeres Theoria & praxis Artis muniendi, oder Kunſtmaͤßi - ge Handgriffe und Anweiſung der vier - fachen Fortification / nach welcher heu - te zu Tage die Feſtnngen in Europa er - bauet zu werden pflegen (Franckf. 1689 in 4. 16. Bog. Tabb. XXX) iſt wegen ſeiner ar - tigen Manieren die Feſtungen zu zeichnen / und der Beſchreibung des wuͤrcklichen Baues der Feſtung mit Fleiß zu leſen. Jn ſeinem Speculo Artis Muniendi oder hel - leuchtendem Fortifications-Spiegel (Leipzig 1694 in 4. 17 Bog. Tabb. XXXI). hat er gleichfals beſondere Conſtructiones und beſchr ibet einige vornehme Feſtungen in Europa.
§. 11. Daniel Speckle / ein Baumeiſter in Straßburg / hat ſchon A. 1589 eine Archi - tectur am von Feſtungen in fol. (2 Alph. 10 Bog. Tabb. XXXVI) ausgehen laſſen; allein er hat ſo viel vortrefliche Sachen in ſei - nem Wercke / daß er noch heut zu Tage uͤber - all in ſonderbahrer Hochachtung iſt. Da - her hat man es auch A. 1705 zu Dreßden von neuem in fol. auflegen laſſen. Man findet viel darinnen / ſo man anderswo vergebens ſuchet.
§. 12. Jch koͤnte auch noch Wilhelm Dilichii Peribologiam oder Bericht von Veſtungs-Gebaͤuen anfuͤhren / welche zu Franckfurt am Maͤyn 1640 in fol. gedrucktwor -443von den Mathem. Schriften. worden (2 Alph. 2 Bog. Tabb. 409 oder 9 Alph. 11 Bog. ) / weil Verſtaͤndige viele zur praxi gehoͤrige Dinge daraus nehmen koͤnnen. Er hat auch eine Krieges-Schn - le geſchrieben / die zu Franckf. am Maͤyn 1689 in fol. heraus kommen (10 Alph. 13 Bog. mit einer groſſen Menge Kupfer und eingedruck - ten Figuren). Darinnen wird alles zum Kriege gehoͤrige erklaͤhret / und daher findet man auch viel von den Feſtungen und Atta - qven darinnen. Er beſchreibet aber zugleich das Kriegsweſen der alten Roͤmer und Grie - chen.
§. 13. Nun will ich auch von einigen nuͤtz - lichen Buͤchern reden / welche zu dem Ende ge - ſchrieben ſind / damit die Anfaͤnger in der Fortification unterrichtet werden koͤnnen. Jn der Frantzoͤſiſchen Sprache haben wir ver - ſchiedene von dieſer Sorte. Es verdienet Don Sebaſtian Fernandez de Medrano hier nicht ohne Ruhm genennet zu werden / deſſen Ingenieur Practique ou l’ Architecture militaire & moderne (A Bruſſelles 1696 in 8. 1 Alph. Tabb. XXXV) gute praxin mit raiſon beybringet. Es iſt zugleich eine zur Fortification zulaͤngliche Geometria pra - ctica mit darinnen enthalten.
§. 14. Ozanam in ſeinem Traité de Fortification (A Paris 1694. 17 Bog. Tabb. XLIV) hat die Maximen der Fortification wohl erklaͤhret / und verſchiedene Manierenzu444Kurtzer Unterrichtzu befeſtigen / als ſeine eigene / des Errard, des Grafen von Pagen / des Bombelle, des Blondel, des Vauban, des Sardi, des de Vil - le, des Marolois, ausfuͤhrlich abgehandelt / auch in allen die Trigonometriſche Rechnung gewieſen.
§. 15. Der Ingenieur François (A Paris 1691 in Reg. 8. 13½ Bog. Tab XXXIII) wird gleichfalls von denen geliebet / die von dem Kriege Profeſſion machen / weil nebſt der Geometria practica auf dem Papiere und Felde die Haupt-Maximen der Fortification in angenehmer Kuͤrtze vorgetragen / die Zeich - nung der Feſtungen ohne Tabellen angewie - ſen / auch der wuͤrckliche Bau erlaͤutert / und Vaubans verſtaͤrckte Manier zuerſt darinnen publiciret wird.
§. 13. Der Chevalier de Saint Julien in ſeiner Architecture militaire (A la Haye 1705 in 8. 11 Bog. XXV) erklaͤhret uͤber - haupt die Maximen der Fortification und das deſſein verſchiedener Ingenieurs, thut einen Vorſchlag wie man groſſe Staͤdte vortheilhaft fortificiren koͤnte und zeiget eine leichte herrliche Methode die Jrregulaͤren Oerter bey nahe wie Regulaͤre zu fortifici - ren / die ſich bey jedem deſſein gebrauchen laͤſt.
§. 14. Jch muß auch die Nouvelle mani - ere de fortifier les places, tirée des me - thodes du Chevalier de Ville, du Comtede445von den Mathem. Schrifften. de Pagan & de Monſieur de Vauban, (A Amſterdam 1689 in Reg. 12. 10 Bogen Tabb XV.) / weil man nicht allein in dieſem Wercke die Maximen der Fortification faſt beſſer als ſonſt irgends wo antrifft / ſondern auch daraus lernen kan / wie man die Deſ - ſeins verſchiedener Ingenieurs auf einmal nutzen kan.
§. 15. Jn unſerer Teutſchen Sprache ha - ben wir George Conrad Martii oder Stahls Europaͤiſchen Ingenieur (Nuͤrn - berg 1696 in 8. 2 Alph. 16 Bog. Tabb. LX) / darinnen nebſt der Fortification eine voll - ſtaͤndige Arithmetick und Geometrica pra - ctica enthalten: des Herrn Johann Hein - rich Behrs aufs neu verſchantzten Tu - renne oder gruͤndliche Alt und Neue Kriegs-Bau-Kunſt (Franckf. 1690 in 8. 1 Alph. 16 Bog. Tabb. XXXII) / welches faſt eben ſo wie das vorige eingerichtet: Se - baſtian Grubers Friedens - und Krie - ges-Schule (Nuͤrnberg 1697 in 8. 2 Alph. Text 11½ Bogen Kupfer) und andere derglei - chen mehr.
§. 16. Wer die Fortification verſtehet / kan des Herrn Leonhard Chriſtoph Sturms Architecturam Militarem hy - potheticam & Electicam, das iſt / getreue Anweiſung / wie man ſich der gar ver - ſchiedenen Teutſchen / Frantzoͤſiſchen / Hollaͤndiſchen und Jtaliaͤniſchen Be -feſti -446Kurtzer Unterrichtfeſtigungs-Manieren bedienen koͤnnen (Nuͤrnberg 1702 in 8. 10 Bog. Text / 6 Bog. Kupfer) mit Nutzen leſen / maſſen in ſelbigem Buche die Schriften der meiſten Ingenieurs erzehlet / ihre deſſeins erlaͤutert / beurtheilet und oͤfters veraͤndert werden.
§. 17. Von den Attaqven hat Goulon einen beſonderen Tractat aufgeſetzet / darin - nen dieſe Materie ausfuͤhrlicher aus der Er - fahrung abgehandelt wird / als ſonſt in For - tifications-Schriften zu geſchehen pfleget. Es ſind dieſe Memoires pour l’ Attaque & pour la defenſe d’ une Place zu Weſel 1706 in Reg. 8 nachgedruckt worden (5 Bogen Tabb. IV).
§. 18. Joh. Teyler hat in ſeiner Architectu - ra militari (Rot. 1697 in 4.8 Bog. Tabb. 41) hat die Principia der Fortification durch die Algebra zu erweiſen angefangen.
§. 1. Jn den Mechaniſchen Schrifften werden entweder die Geſetze der Bewegung erklaͤhret / oder die Kraͤffte der einfachen Machinen unterſuchet / daraus die andern zuſammen geſetzt werden / oder auch verſchie - dene Machinen beſchrieben.
§. 2. Unter die erſte Claſſe gehoͤren Gali - læi Galilæi diſcurſus & demonſtrationesMa -447von den Mathem. Schriften. Mathematicæ circa duas novas ſcientias pertinentes ad Mechanicam & Motum lo - calem, welche zugleich mit ſeinen Dialogis de ſyſtemate Mundi zu Leyden 1699 in 4 aus dem Jtaliaͤniſchen in das Lateiniſche uͤ - berſetzt heraus kommen. Die Dialogi d - motu beſtehen aus 1 Alph. 14 Bogen. Sei - ne Lehren hat zum Theil Torricellius in ſei - nen zwey Buͤchern de motu gravium natu - raliter deſcendentium & projectorum er - laͤutert und erweitert / welche unter ſeinen Operibus Geometricis anzutreffen (§. 15. c. 2.).
§. 3. Es gehoͤret ferner hieher des Mari - otte Traité du choc des corps (A Paris 1673. 12. ) des Dechales Traité du mouve - ment (Lugd. 1682. in 8), Pardies diſcours du Mouvement Local avec des remarques ſur le Mouvement (Edit. tert. Haye Com. 1691 in 12): allein man hat nun beſſere Schrifften als dieſe / deren Autoribus es nicht in allem gelungen.
§. 4. Chriſtianus Hugenius und Chriſto - phorus Wren ſind die erſten geweſen / welche von den Geſetzen der Bewegung der Elaſti - ſchen Coͤrper etwas zuverlaͤßiges gegeben: gleichwie Walliſius von den anderen Coͤr - pern / die nicht Elaſtiſch find / einige Re - geln gefunden. Walliſii Regeln ſtehen in den Transact. Anglic. n. 43 p. 864. Wrennii n. 43 p. 867. Hugenii n. 46 p. 927448Kurtzer Unterricht927. Conf. the Philoſophical Transactions abrig’d Vol. I. cap. 5. p. 545 & ſeqq.
§. 5. Der vortrefliche Walliſius hat ei - nen herrlichen Tractat de Motu A. 1669 in 4. zu Oxfurt heraus gegeben / welcher nun den erſten Theil ſeiner Operum Mathema - ticorum zieret / in welchem nicht allein alles / was Galilæus, Wren, Hugenius und er ſelbſt dazumal von den Geſetzen der Bewegung erfunden / durch Huͤlfe der Algebra erwie - ſen; ſondern auch die Kraͤfte der einfachen Machinen / die Hydroſtatiſchen Lehren und viel andere zur hoͤheren Geometrie dienen - de Sachen weitlaͤuftig erklaͤhret werden. Da nun aber Walliſi Werck nicht fuͤr An - faͤnger iſt; ſo hat der Herr Joh. Keill ſehr wohl gethan / daß er in ſeiner Introductione ad Veram Phyſicam alles / was bißher von gedachten Autoribus von der Bewegung gutes erfunden / aus den Anfangs-Gruͤn - den der Geometrie denen Anfaͤngern zu Liebe deutlich erwieſen. Und meritiret dieſes Buch abſonderlich von denen geleſen zuwer - den / welche in der Phyſica was rechtes zu - thun gedencken. Es iſt zum andern mal vermehrter zu Oxfurt in Reg. 8 heraus kom - men / und beſtehet aus 19½ Bogen.
§. 6. Unter den Opuſculis poſthumis des Hugenii finden wir einen Tractatum de Motu Corporum ex percuſſione, und einen anderen de Vi centrifuga. Die Lehrſaͤtzedes449von den Mathem. Schriften. des letztern hatte er ſchon in ſeinem Horologio Oſcillatorio (Pariſ. 1673 in fol. 2 Alph.) zu Ende ohne demonſtration publiciret / und iſt uͤberhaupt viel von der Bewegung / ſon - derlich der pendulorum in dieſem Buche zu finden: wie er deñ auch part. 3 de linea - rum curvarum evolutione & dimenſione die hoͤhere Geometrie mit neuen Erfindun - gen illuſtriret.
§. 7. Der groſſe Geometra Iſaacus New - ton hat in ſeinen Principiis Mathematicis Philoſophiæ Naturalis (Londini 1682 in Reg. 4. 2 Alphab. 18 Bog. ) viel ſcharff - ſinnige Erfindungen von der Bewegung / abſonderlich den viribus centripetis & centrifugis. Allein es erfordert dieſes Werck einen Leſer / der in der hoͤheren Geometrie und beyder Analyſi wohl geſetzt iſt. An. 1706 hat H. Ditton ein Buch heraus gegeben / deſſen Titui und die aus andern Specimi - nibus bekandte Geſchicklichkeit des Man - nes mich alles gute von ihm hoffen laſſen / ob ich zwar das Buch ſelbſt noch nicht geſe - hen. Und meine ich er werde nicht allein mit dem Herrn Keill zu des Galilæi, Wal - liſii, Wrennii, Hugenii; ſondern auch zu des Herrn Newtoni Erfindungen einen ebe - nen Weg gebaͤhnet haben. Der Titul des Buches iſt: The general Laws of Nature und Motion with their application to Me - chanicks. Alſo the doctrine of centripe -(4) F ftal450Kurtzer Unterricht. tal Forces and Velocities of Bodies, de - ſcribing any of the Conick Sections, being a part of the great Mr. Newtons Princi - ples. The whole illuſtrated with variety of uſeful Theorems and Problems, and accomodated to the uſe of Youger Mathe - maticians.
§. 8. Jn den Memoires, welche die A - cademie Royale des Sciences alle Jahre zu Paris heraus giebet / findet man viel herrli - che allgemeine Regeln von der Bewegung / welche der Herr Varignon durch die Dif - ferential-Rechnung des Herrn von Leibnitz eruiret. Und in den Leipziger-Actis ſind viel vortrefliche Schediaſmata des Herrn von Leibnitz / darinnen die Scientia motus durch neue Erfindungen illuſtriret wird.
§. 9. Jn der anderen Claſſe muß ich zu - erſt des Archimedis gedencken / in deſſen zwey Buͤchern de Æquiponderantibus die Lehrſaͤtze enthalten ſind / daraus die Kraͤfte der Machinen beurtheilet werden. Er fuͤh - ret ſich aber in denſelben zugleich als einen groſſen Geometram auf und iſt nicht fuͤr Anfaͤnger: fuͤr welche ſich beſſer des Jaco - bi Rohault Tractatus de Mechanica ſchi - cket / die unter ſeinen Oeuvres poſthumes zu - finden / auch einigen Editionen ſeiner in La - tein uͤberſetzten Phyſicæ mit angehaͤnget iſt.
§. 10. Auch iſt ein gutes Buch in dieſer Materie / des Pardies La ſtatique ou laSci -451von den Mathem. Schrifften. Science des Forces monvantes, die zum drit - ten mal (A la Haye 1691 in 12 gedruckt wor - den und aus 10½ Bogen beſtehet). Die La - teiniſche Uberſetzung tauget nicht im gering - ſten. Abſonderlich dienet fuͤr Anfaͤnger Trai - té de Mechanique par le P. Lamy, in dem dieſes Mannes Deutlichkeit bekandt iſt. (A Paris 1687 in 12. 12 Bog.). Er hat auch noch einen anderen kleinen Tractat zu Pa - ris 1687 in 12 von einem einigen Bogen her - aus gegeben / deſſen Titul: Nouvelle ma - niere de demontrer les principaux theore - mes des Elemens des Mechaniques.
§. 11. De la Hire in ſeinem Traité de Mecanique (A Paris 1695 in Regal 12. 18 Bogen) fuͤhret ſchon auf hoͤhere Sachen / denn er erweiſet nicht allein / was in Verfer - tigung der Machinen Nutzen haben kan; ſondern handelt auch zugleich von den Geſe - tzen der Bewegung. Es iſt eines der beſten Buͤcher / die wir zur Zeit in dieſer Materie haben.
§. 12. Paulus Caſatus in Mechanicorum libris VIII. (Lugd. Gall. 1684 in 4. 4 Al - phab. 7 Bog. ) hat viel nuͤtzliche zur praxi dienende Sachen: iſt aber etwas weitlaͤuf - tig. Und unſer Andreas Jungenickel in ſeinem Schluͤſſel zur Mechanica dienet gleichfals denen die auf die praxin haupt - ſaͤchlich ſehen / und hat er die theoriam Me - chanicam ſolchergeſtalt vorgetragen / daßF f 2auch452Kurtzer Unterrichtauch in der Geometrie gantz unerfahrene und im raiſoniren ungeuͤbte ſie gar wohl be - greiffen koͤnnen. Sie iſt zu Nuͤrnberg 1661 in 4 heraus kommen und beſtehet aus 2 Al - phab. 3 Bog.
§. 13. Guilielmus Oughtred hat Inſtitu - tiones Mechanicas geſchrieben / die unter ſeinen Opuſculis poſthumis (Oxonii 1677 in Reg. 8. 15 Bog. ) die erſte Stelle einnehmen / darinnen von weiter nichts als den Kraͤften der einfachen Machinen geredet wird.
§. 14. Wer ſo wol die gemeine Algebra / als die Differential-Rechnung auf die Me - chanick appliciret ſehen wil; kan die Ele - mens de Mécanique & Phyſique des Pa - rent nachſchlagen (A Paris 1700 in Regal 12. 22 Bogen Tabb. 12). Darinnen er die Geſetze der Bewegung der aneinander ſtoſ - ſenden Coͤrper nach den Hugenianiſchen principiis vortraͤget und zugleich die Kraͤfte der einfachen Machinen erklaͤhret / dabey viel nuͤtzliche Mechaniſche Fragen eroͤrtert.
§. 14. Johannes Alphonſus Borellus hat in ſeinem Buche de motu Animalium die Geſetze der gemeinen Mechanick in Erklaͤh - rung der Bewegungen der Thiere ſehr gluͤck - lich gebrauchet. Es iſt zum andern mal zu Leyden 1685 in 4 aufgelegt worden (3 Alph - 17 Bogen Tabb. XVIII) und nuͤtzlich denen zu leſen / welche ſich auf die Erforſchung der Natur legen. Er hat auch noch ein Buchde453von den Mathem. Schrifften. de Vi pereusſionis und ein anderes de mo - tionibus Naturalibus â gravitate penden - tibus geſchrieben / welche beyde zuſammen zu Leyden 1686 unter dem Titul: J. A. Bo - relli Atrium Phyſico Mathematicum aper - tum ad ædificium ejus magnificum de mo - tu animalium nachgedruckt worden (3 Al - phab. 16 Bog. Tabb. XX).
§. 15. Bloſſe Machinen beſchreibet Georg Andreas Boͤckler in ſeinem Thea - tro Machinarum oder Schauplatze der Mechaniſchen Kuͤnſte (Nuͤrnberg 1673 in fol. 11 Bog. Tabb. 154). Der groͤſte Theil ſeiner Machinen iſt nichts nutze. Die uͤbrigen Machinen ſind ſchon in einem viel beſſeren Stande als ſie von ihm beſchrieben werden. Die Proportionen der Theile / darinnen die Seele der Machinen beſtehet / ſind gantz verſchwiegen. Doch kan man aus ſeinen Figuren die verſchiedene Manie - ren die Bewegende Kraͤfte an Machinen zu appliciren / und durch ſie Coͤrper in Bewegung zu bringen nehmen. Es iſt zur Zeit kein rechtes Theatrum Machinarum verhanden. Noch elender als des Boͤcklers iſt des Zeiſings Theatrum Machinarum.
§. 16. Accuratere Beſchreibungen geben Perrault von einigen Machinen in ſeinem Recueil de pluſieurs Machines de Nou - velle invention (A Paris 1700 in 4. 7 Bog. Tabb. XI) und Hugenius in ſeinem Auto - mato Planetario zu Ende der Operum poſt -F f 3hu -454Kurtzer Unterrichthumorum, darinnen er eine Machine be - ſchreibet / dadurch alle Bewegungen der Planeten richtig vorgeſtellet werden. Er hat auch ſeine Perpendicul-Uhr in dem Horo - logio Oſcillatorio deutlich beſchrieben.
§. 17. Uberhaupt hat die Structur der Uhrwercke ein gewiſſer Engellaͤnder umb - ſtaͤndlich erklaͤhret / deſſen Artificial Clock - maker or A Treatiſe of Watch and Clock-Worck das andere mal zu Londen 1700 in Reg. 12 vermehrter heraus kommen (7½ Bog. Tabb. II). Und man hat wohl gethan / daß man es in die Teutſche Spra - che uͤberſetzt / und zu des Welpers Gnomo - nick mit drucken laſſen. Es handelt auch von dieſer Materie Oughtred in ſeinen Ope - ribus poſthumis p. 68 & ſeqq
§. 18. Petrus Limpergh in ſeinem Moo - le-Book (Amſterd. 1690 in Reg. fol. 2. Bog. Tabb. XXXII) beſchreibet ſonderlich die Hollaͤndiſchen Wind-Muͤhlen / ſo wol die Mahl-als Schneide. Muͤhlen.
§. 1. Die Hydroſtatick hat Archimedes zuerſt erfunden / und gehoͤren hieher ſeine zwey Buͤcher de inſidentibus humido. Die Lehren des Archimedis hat Marinus Ghetal -dus455von den Mathem. Schrifften. dus in ſeinem Archimede Promoto vermeh - ret / daraus Oughtred in ſeinen Operibus poſthumis p. 55. & ſeqq. einen Auszug giebet.
§. 2. Mariotte in ſeinem Traité du mou - vement des eaux & des autres Corps fluides (A Paris 1686 in Reg. 12 17½ Bogen) hat die Hydroſtatiſchen / auch verſchiedene zur Hydraulick gehoͤrige Lehrſaͤtze durch Ex - perimente und rationes erwieſen. Es iſt das beſte Buch / welches wir zur Zeit in dieſer Sache haben.
§. 3. Es meritiret auch Robertus Bayle in ſeinen Paradoxis Hydroſtaticis (Genevæ 1680 in 4. 15 Bog. Tabb. 3) und in ſeiner Me - dicina Hydroſtatica (Genevæ 1693 in 4. 10½ Bog. ) von denen geleſen zu werden / wel - che dieſe Wiſſenſchafft in der Phyſica und im gemeinen Leben nutzen wollen.
§. 4. Franciſcus Tertius de Lanis hat in dem dritten Theile ſeines Magiſterii Natu - & Artis (Parmæ 1692 in f. 6 Alph. 14 Bog. Tabb. XIII) lib. 25. f. 49. & ſqq. die Hydro - ſtatick ausfuͤhrlicher erklaͤhret / als ſie ſonſt ir - gendswo zu finden. Und in dem erſten und abſonderlich dem anderen Theile findet man die Machinas Hydraulicas hin und wieder beſchrieben: gleich wie auch in dem erſten Theile die Mehanica ſehr illuſtriret wird. (Tom. I. Brixiæ 1684 in fol. 6 Alph. Tabb. XXIV. Tom. II. Brixiæ 1686. 6 Alph. 5 Bog. Tabb. XX).
F f 4§. 1.456Kurtzer Unerricht§. 5. Lamy erlaͤutert in dem andern Theile ſeiner Mechanique, oder dem Traité de l’ equilibre des liqueurs gleichfals die Hydroſtatiſchen und Hydrauliſchen Haupt - lehren. Dergleichen thut auch Rohault zu Ende ſeiner Mechanick. Eben ſo Wal - liſius hat ſeine Mechanicam mit den Hy - droſtatiſchen Lehrſaͤtzen beſchloſſen. Und Newton hat in ſeinen principiis Philoſ. Nat. Mathem. Sect. 5. lib. 5. p. 29. & ſeqq. die Hy - droſtatick illuſtriret.
§. 6. Von der Aerometrie iſt noch kein be - ſonderes Buch vorhanden auſſer dem / was ich unter dem Titul Elementa Aërometriæ 1709 zu Leipzig in 12 (16 Bog. Tabb. XII) drucken laſſen. Doch gehoͤren mit unter die Aerometriſchen Schrifften / die Traitez des Barometrés, Thermometres & Notiome - tres, ou Hygrométres (A Amſterdam 1707 in 12. 7 Bog. Tabb. XXXV).
§. 7. Von der Bewegung der fluͤßigen Coͤrper haben wir zur Zeit nichts beſſeres / als was Varignon in den Memoires de l’ Aca - cademie des Sciences A. 1699 & 1703 un̄ Do - minicus Gulielmini in Menſura Aquarum Fluentium (Bononiæ 1690. 1691. in 4. 19. B. Tabb. VIII.). gegeben / und aus den Divers Ouvrages de Mathematique & de Phyſique par Mſr. de l’ Academie Royale des Sciences koͤnnen hieher einige Tractaͤt -lein457von den Mathem. Schrifften. lein des Picard und Mariotte gezogen wer - den.
§. 8. Von dem Picard haben wir Traité du Nivellement (à Paris 1684 in 12. 15 Bog. Tabb. II) / in welchem das Waſſer-waͤgen / welches man zu Waſſerleitungen noͤthig hat / auf die neueſte Manier beſchrieben wird. Es iſt faſt das eintzige in der Materie.
§. 9. Unter den Alten hat Heron Alexan - drinus in ſeinem Libro Spiritalium, wel - ches Commandinus in das Lateiniſche uͤberſe - tzet / und zu Paris 1583 in 4. heraus gegeben / die verſchiedenen Arten der Fontain en be - ſchrieben. Dergleichen Arbeit haben wir auch dem bekandten Jeſuiten Caſpari Schot to in ſeiner Mechanica Hydraulico-pneuma - tica zu dancken (Herbipoli 1658 in 4.) Ge - org Andreas Boͤckler in ſeiner Archite - ctura Curioſa oder Bau - und Waſſer - Kunſt (Nuͤrnberg 1704 in fol. 21 Bogen Tabb. 200) hat ſo wol die einfachen Machi - nas Hydraulicas, als allerhand biß 70 Ar - ten der Aufſaͤtze zu Fontainen / und uͤber 120 Arten von Waſſer - und Luſt-Bronnen / be - ſchrieben. Und Lucas Antonius Portius hat ſeinen Nonnullis de motu corporum auch etwas de nonnullis Fontibus Naturalibus angehaͤnget / darinnen er die Moͤglichkeit ei - niger Brunnen zeiget / derer bey dem Plinio gedacht wird. (Neapoli 1704 in 12. 7 Bog. Tabb. V).
§. 1. Von den Alten hat einiges von der Optick und Catoptrick Euclides aufgezeich - net / welches in der neuen Edition ſeiner Wercke des Gregorii (§. 6) zu finden.
§. 2. Umb das Jahr Chriſti 1100 hat Alhazen ein Araber ein groſſes Werck von der Optick geſchrieben / welches Fridericus Riſnerius in VII Buͤcher und Capitel ge - theilet. Aus ihm hat A. 1250 Vitellio, ein Pole / in ſeinen weitlaͤuftigen 10 Buͤchern von der Optick das meiſte entlehnet. Es ſind a - ber beyde Wercke nicht ſonderlich zu ach - ten. Denn von der Dioptrick wuſte man dazumal faſt gar nichts / indem die Vergroͤſ - ſerungs - und die Fern-Glaͤſer noch nicht er - funden waren. Und in der Lehre von dem Lichte und den Farben ſteckten ſie in groſſen Vorurtheilen / wie ſie denn auch nicht die wahre Beſchaffenheit des Sehens verſtun - den.
§. 3. Die neuern haben meiſtens die Di - optrick excoliret. Kepler hat zuerſt A. 1611 zu Augſpurg eine Dioptricam in 8. heraus gegeben: allein dieſes Buͤchlein iſt noch ſehr unvollkommen. Carteſius hat in ſeiner Di - optrica, welche ſtets mit zu ſeinen Principiis Philoſophiæ gedruckt wird / viel Phyſicali -ſche459von den Mathem. Schriften. ſche Materien. Was er vom Glaß-Schleif - fen ſchreibet / iſt nicht viel nutze.
§. 4. P. Cherubin, ein Capuciner / hat in ſeiner Dioptrique Ocnlaire (A Paris 1671 in fol. 5 Alph. 11 Bog. Tabb. XVI) ſonder - lich viel practica und beſchreibet viel Machi - nen zum Glaßſchleiffen. Jn ſeinem ande - ren Wercke de la Viſion par faite (A Paris 1678 in fol. 3 Alph. 10 Bog. Tabb. 23) iſt ſein Hauptwerck ſein doppeltes Fernglaß zu ver - theidigen / dadurch man mit zwey Augen zu - gleich ſehen kan / welches er zu Ende ſeiner Dioptrique angegeben hatte.
§. 5. Nicolaus Hartſoeker hat in ſei - nem Eſſay de Dioptrique (A Paris. 1 Alph. 10 Bogen mit viel eingedruckten Figuren) viel Phyſicaliſche Materien mit abgehan - delt; doch handelt er auch wohl von dem Glaßſchleiffen und dem Gebrauch der ge - ſchliffenen Glaͤſer / als einer der aus der Er - fahrung redet / und demonſtriret die Eigen - ſchafften der geſchliffenen Glaͤſer. Dieſes Buch verdienet demnach recommendiret zu werden.
§. 6. Fuͤr diejenigen / welche die Theorie lieben / und von aller praxi richtigen Grund verlangen / dienet des William Molineux Dioptrica Nova, or à Treatiſe of Dio - ptricks (Londini 1692 in 4. 16 Bog. T. 40.) Und kan des Hugenii Dioptrica aus ſeinen Operibus poſthumis mit dem Tractatu depo -460Kurtzer Unterrichtpoliendis vitris mit dazu genommen werden / in welchem Buche viel neue Dinge anzutref - fen ſind. Es ſind dieſe Opera zu Leyden 1703 in 4 heraus kommen (2 Alph. 19 Bog. Tabb. 24).
§. 7. Die Optick allein / ohne Catoptrick und Dioptrick erklaͤhret Chriſtophorus Scheinerus (Oeniponti 1619 in 4. 1 Alph. 10 Bog.). Der Herr Newton in ſeiner Opticks or a Treatiſe of the Reflexions, Refractions, Inflexions and colurs of Light (Lond. 1704 in Reg. 4. 2 Alph. 5 Bogen Tab. 19) hat durch ſehr viel Experimente ſeine neue Thorie von dem Lichte und den Farben zu erweiſen ſich angelegen ſeyn laſſen. Zu Ende ſind zwey Lateiniſche Tractate / der erſte de Enumera - tione Linearum tertii generis; der andere de quadratura Curvarum. Samuel Clark hat dieſes Werck in das Lateiniſche uͤberſetzt / und Newton die Uberſetzung gut geheiſſen / auch etwas weniges von neuem hinzugethan. (Londini 1706 in Reg. 4. 2 Alph. 9 Bogen. Tabb XIX). Hieher kan man auch des Mariotti Eſſay de la Nature des Couleurs (A Paris 1681 in Reg. 12. 1 Alph. 9 Bogen / Tabb. XVI) welcher der vierdte und groͤſte Theil von ſeinen Eſſays de Phyſique it / und des Hugenii Traité de la Lumiere (A Lei - de 1690 in 4. 1 Alph. 2 Bog. ) gerechnet wer - den / deſſen hypotheſi ſich Pierre Ango in ſeiner Optique (A Paris 1682 in 12) die mei -ſten461von den Mathem. Schrifften. ſten Optiſchen phoenomena zu demonſtri - ren bedienet.
§. 8. Andreas Tacquet hat in ſeiner Optica, die mit unter ſeinen Operibus Ma - thematicis zufinden / dasjenige erwieſen / wor - aus ſich die Regeln der Perſpectiv herleiten laſſen / die er zugleich mit durchnimmet: in ſeiner Catoptrica aber die Eigenſchafften der platten / hohlen und erhabenen Spiegel erwieſen. Iſaacus Borrow in ſeinen Lectio - nibus Opticis hingegen handelt die Theorie von der Catoptrick und Dioptrick ab: der - gleichen auch David Gregorius in einem an - genehmen Compendio, nemlich in ſeinen E - lementis Dioptricæ & Catoptricæ Sphæri - cæ (Oxonii 1625 in Reg. 8. 7 Bog. ) verrich - tet.
§. 9. Die Optick / Catroptrick und Di - optrick zugleich erklaͤhret Zacharias Traber, ein Jeſuite / in ſeinem Nervo Optico (Vi - ennæ 1675 in fol. 2 Alph. 16 Bog. Tabb. XXVIII) / welcher mit einer ungeſchick - ten Theorie anmuthige praxes verknuͤp - fet. Noch mehrere praxes aber hat Joh. Zahn in ſeinem Oculo artificiali Teledio - ptrico. Die andere Edition iſt vermehr - ter / aber mit vielen Druckfehlern zu Nuͤrn - berg 1702 in fol. heraus kommen (9 Alph. 8 Bog. mit vielen Holtzſchnitten und Kup - fern). Dieſes Buch iſt denen zu recom - mendiren / die ſich auf praxin legen. Jo -hann462Kurtzer Unterrichthann Chriſtoph Kolhans hat in ſei - nem Tractatu Optico (Lipſ. 1663 in 8) aus allerhand Buͤchern excerpta zuſammen getragen. Athanaſius Kircherus in ſeiner Arte Magna Lucis & Umbræ (Romæ 1646 in fol. 10 Alph. 16 Bog. Tabb. XXXIV) nnd viel Holtzſchnitte) illuſtriret alle Opti - ſche Wiſſenſchafften und hat viel angench - me Kunſt-Stuͤcke.
§. 10. Andræ Alberti zwey Buͤcher von der Perſpectiv (Nuͤrnberg 1670 in fol. 19 Bog. Tabb. XV) ſind allen Liebhabern dieſer Kunſt ſehr zu loben / und nicht weniger des Deſargues Maniere Univerſelle pour pratiquer la Perſpectiv / die anfangs von Abr. Boſſe heraus gegeben und darnach in die Hollaͤndiſche Sprache uͤberſetzt worden. (Amſt. 1686 in 8. 12 Bogenund ſehr viel Figuren).
§. 11. Denen / die ſich in Perſpectivi - ſchen Zeichnungen uͤben wollen / kan des P. Andreæ Puzzo Architectur a Pictorum & Sculptorum dienen. Der erſte Theil iſt Lateiniſch und Jtaliaͤniſch zu Rom 1693 in Reg. fol. der andere aber 1700 heraus kom - men. Es hat jeder ſo viel Kupfer als Blaͤt - ter / nemlich der erſte 102; der andere 120. Es iſt demnach der Muͤhe werth geweſen / daß der Jtaliaͤniſche Text ins Teutſche und die ſehr groſſen Kupfer in ein beqvemeres For - mat gebracht worden / damit mehrere die -ſes463von den Mathem. Schrifften. ſes nuͤtzliche Werck brauchen koͤnnen. Der erſte Theil iſt zu Augſpurg 1706 der andere 1709 nachgeſtochen worden.
§. 12. Eben ſo hat Johann Chriſtoph Rembold gar ruͤhmlich eines Frantzoͤſi - ſchen Jeſuitens Perſpective practique (A Paris 1642 in 4) in die Teutſche Sprache uͤberſetzet und zu Nuͤrnberg in dieſem Jahre heraus gegeben / weil in derſelben eine fer - tige praxis mit einer leichten Theorie ver - knuͤpffet wird. Es beſtehet aus 1 Alph. 8 Bog. und ſind 150 ſaubere Kupfer mit einge - druckt.
§. 12. Den Anfaͤngern dienet des Lamy Perſpective (A Paris 1701 in 8) / darinnen ihre Gruͤnde auf eine leichte Art Mathema - tiſch erwieſen werden. Die Demonſtra - tiones lieben / koͤnnen des Joh. Franc. Ni - ceronis Thaumaturgum Opticum aufſchla - gen und doch eine leichte Praxin dabey ha - ben. Es wollte zwar dieſer Minorite noch zwey Theile von der Catoptrick und Diop - trick heraus geben; aber er iſt zu fruͤhzeitig geſtorben. Der erſte Theil iſt zu Paris 1646 in fol. gedruckt worden (2 Alph. 18 Bogen Tabb. XLII). Es iſt auch dieſes Moͤnches Perſpective curieuſe zu Paris 1652 in 4 heraus kommen / welche in 4 Buͤcher gethei - let iſt und mehr als der Thaumaturgus Op - ticus in ſich enthaͤlt.
§. 13. Jch kan unter die Optiſchen Schrif -teu464Kurtzer Unterrichtten auch noch diejenige rechnen / welche Ob - ſervationen durch Vergroͤſſerungs-Glaͤſer gegeben. Hieher gehoͤret Roberti Hooke Micrographia, ſo Engliſch zu Londen 1667 in fol. (3 Alph. 8 Bog. Tabb. XXXVIII) gedruckt worden und die Phyſick ſehr illu - ſtriret. Von ſolcher Beſchaffenheit ſind auch des Antonii van Leeuwenhoek Schrif - ten / nemlich 1 Arcana Naturæ detecta (Delphis Batav. 1695 in 4): 2 Continua - tio Arcanorum Naturæ detectorum, Ibid. 1697 in 4): 3 Arcana Naturæ ope & bene - ficio exquiſitisſimorum Microſcopiorum detecta (Lugd. Batav. 1696 in 4): 4. Con - tinuatio epiſtolarum datarum ad longe celeberrimam Regiam Societatem Londi - nenſem (Lugd Bat. 1696 in 4. Von ge - ringerem Werthe iſt Johann Frantz Griendels von Ach Micrographia Curio - ſa oder Beſchreibung verſchiedener klei - ner Coͤrper (Nuͤrnberg 1687 in 4 9 Bog. Tabb. XXXV). Nicht viel beſſer iſt die Micrographia Curioſa, welche Philippus Bonanni ſeinen Obſervationibus circa vi - ventia, quæ in rebus non viventibus repe - riuntur (Rom. 1691 in 4. 2 Alph. 12 Bog. Tabb. LXVIII) angehaͤngt / wenn man aus - nimmet / was er von ſeinem Vergroͤſſerungs - Glaſe geſchrieben.
§. 1. Die Aſtronomiſchen Schrifften ent - halten entweder die Obſervationen in ſich / oder ſie erklaͤhren die Trigonometriſchen und Geometriſchen Methoden aus den Ob - ſervationen die Aſtronomiſchen Tabellen zu conſtruiren und die Bewegung der Sterne zu calculiren / oder ſind Aſtronomiſche Ta - bellen / oder ſie erklaͤhren den Gebrauch der Himmels-Kugel / oder auch nur die Natur und Eigenſchafften der Welt-Coͤrper.
§. 2. Was wir von den Obſervationen der Alten uͤbrig haben / unter denen ſonder - lich Hipparchus beruͤhmt iſt / hat uns Pto - lemæus in ſeinem Almageſto erhalten. An. 882 fieng unter den Saracenen Albategni - us an ſich hervorzuthun: An. 1457 Johan - nes Regiomontanus (der eigentlich Muͤller heiſſet und von ſeiner Vaterſtadt in Fran - cken den Nahmen Regiomontanus bekom̃en /) nach ſeinem Tode aber biß 1504 ſeine Schuͤ - ler Johann Werner und Bernhard Walther / welche zu Nuͤrnberg obſerviret / da auch Regiomontanus ſeine meiſten Ob - ſervationen angeſtellet. Von An. 1509 an hat Copernicus, nach ihnen der Landgraf von Heſſen Wilhelm mit ſeinem Mathe - matico Chriſtophoro Rothmanno zu Caſſel und Tycho de Brahe zu Uranienburg obſer -(4) G gviret.466Kurtzer Unterrichtviret. Tycho hat An. 1582 angefangen und bis 1601 continuiret mit einem groͤſſeren Vorrathe und beſſeren Jnſtrumenten / als vor ihm nicht geſchehen war. Alle bißher erzehleten Obſervationen treffen wir in der Hiſtoria Cœleſti an / welche auf Befehl Sr. Kaͤyſerlichen Majeſtaͤt Ferdinandi III. glor - wuͤrdigſtens Andencken / zu Strasburg 1672 in fol. gedruckt worden (12 Alph. 6 Bogen Tabb. III.). Es werden zugleich des Ty - chonis Jnſtrumente darinnen beſchrieben / die er ſelbſt An. 1602 in ſeiner Aſtronomiæ inſtruratæ Mechanica vorgeſtellet / auch des Mœſtlini, Schikardi und einiger anderen Obſervationen mit angehaͤngt.
§. 3. Jn dem verwichenen Seculo hat ſich die Zahl der Obſervatorum ſehr ver - mehret. Wir haben in Engelland den Ho - roccium, den Halley und Flamſtaͤdt; in Franckreich den Gaſſendum, Caſſini und de la Hire; in Jtalien den Ricciolum; in Teutſchland den Hevelium, Eimarten / Wurtzelbauern und den Koͤnigl. Aſtro - nomum in Berlin / Kirchen; in Coppen - hagen den Konigl. Mathematicum, Etats - Cantzeley - und Conſiſtorial-Rath / auch Po - licey - und Buͤrgemeiſter / den Herrn Roͤ - mer.
§. 4. Jn den Operibus poſthumis des Je - remiæ Horoccii (Londini 1673 in 4. 3 Al - phab. 2 Bogen Tabb. 2) findet man Ex -cerpta467von den Mathem. Scheifften. cerpta ex Epiſtolis ad Guil. Crabtri[um], ſuum in ſtudiis Aſtronomicis ſocium, da - rinnen ſeine Obſervationes von 1636 biß 1640 beſchrieben werden; einen Catalo - gum obſervationum, die et in gedachten Jah - ren gehalten / und excerpta ex Schediaſ - matis Guil. Crabtrii de obſervationibus ab ipſo inſtitutis An. 1635. 36. 37. 38.
§ 5. Joh. Baptiſta Ricciolus, ein Jeſuit in Jtalien / hat in ſeiner Aſtronomia Refor - mata (Bononiæ 1665 in fol. 6 Alph. 5 Bo - gen) einen Kern alter und neuer Obſervatio - nen mit den vornehmſten der ſeinigen verei - einiget / und daraus geſchloſſen / wie weit man in allen Theilen der Aſtronomie nunmehro kommen ſey: welches Buch da - her von den Liebhabern der Aſtronomie mit Nutzen zuleſen.
§. 6. Johannes Hevelius, ein Raths - Herr in der Alt-Stadt zu Dantzig / hat es dem Tychoni ſo wol an Jnſtrumenten / als an Fleiß zu obſerviren weit zu vorgethan. Seine Jnſtrumente hat er in dem erſten Theile ſeiner Machinæ cœleſtis (Gedani 1673 in Reg. fol. 5 Alph. 4 Bogen Tabb. XXX) beſchrieben. Der andere Theil (Gedani 1679 in fol. 14 Alph. 6 Bog. mit vielen Kupfern) enthaͤlt ſeine Obſervationen von 48 Jahren in ſich und iſt zu bedauren / daß die meiſten Exemplaria davon durch einen unvermutheten Brand noch ſelbigesG g 2Jahr468Kurtzer UnterrichtJahr im Feuer aufgegangen. Robertus Hooke, in ſeinen Animadverſionibus uͤber den erſten Theil / die er zu Londen in Engli - ſcher Sprache 1674 in 4 heraus gab / wollte die Richtigkeit ſeiner Jnſtrumente in Zwei - fel ziehen; allein als der beruͤhmte Halley nach Dantzig von der Societaͤt geſchickt wur - de / hat er ſie in allem gantz richtig befun - den und die Methode zu obſerviren des He - velii gebilliget. Die Obſervationen die er ihm zugefallen An. 1679 angeſtellet / nebſt vielen andern hat er zu dem Ende in ſeinem Anno Climacterico ſ. Rerum Uranicarum ob - ſervationum quadrageſimo nono (Gedani 1685 in fol. 2 Alphab. 6 Bogen mit vielen Kupfern).
§. 7. Von dem Casſini ſind auserleſene Obſervationen in einem vortreflichen Wer - cke anzutreffen / welches unter dem Titul: Recueil d’ obſervations faites en pluſieurs voyages par ordre de Sa Majeſtè, pour perfectionner l’ Aſtronomie & la Geogra - phie, avec divers Traitez Aſtronomiques par Mesſieurs de l’ Academie Royale des Sciences (A Paris 1693 in fol. 6 Alph. 12 Bog. Tabb. II) heraus kommen und viele merckwuͤrdige Sachen in ſich enthaͤlt. Was man von den dreyßig-jaͤhrigen Obſervationen des Herrn Flamſtaͤdts ſich zu verſprechen habe / iſt aus den Miſcellaneis Berolinenſi - bus p. 263 & ſeqq. zuerſehen. Und waͤrezu469von den Mathem. Schrifften. zu wuͤnſchen / daß ſeine Hiſtoria cœleſtis Bri - tannica bald in der Gelehrten Haͤnden waͤ - re. Nicht weniger waͤre zu wuͤnſchen / daß auch dem Herren Roͤmer von ſeinen wich - tigen affairen ſo viel Zeit uͤbrig waͤre als er - fordert wird ſeine auserleſenen Obſervatio - nen zu publiciren / die er ſo viele Jahre her angeſtellet / oder er einen anderen geſchickten Gehuͤlffen bekaͤme / der ſie zu groſſem Auf - nehmen der Aſtronomie in Ordnung braͤch - te. Auch wuͤrden die Liebhaber der Aſtro - nomie aus des Herrn Kirchs / des Herrn Wurtzelbauers und des ſeeligen Herrn Eimarts Obſervationen Nutzen haben / wenn man die vornehmſten derſelben ihnen mittheilen wollten. Sonſt findet man vie - le Aſtronomiſche Obſervationen in den Me - moires de l’ Academie Royale des Scien - ces, den Tranſactionibus Anglicanis, den Miſcellaneis Berolinenſibus und den Actis Eruditorum.
§. 8. Die Geometriſche Aſtronomie hat unter den Alten Claudius Ptolemæus, der im Jahr Chriſti 147 geſtorben / beſchrieben. Seine μέγα Σύνταξις iſt A. C. 827 auf Befehl des Koͤniges der Saracenen Mai - monis aus dem Griechiſchen in das Arabi - ſche und An. 1528 aus dem Arabiſchen von dem Georgio Trapezuntio in das Lateini - ſche uͤberſetzt / von dem Luca Gaurico Ma -G g 3the -470Kurtzer Unterrichttheſeos Profeſſore zu Neapel uͤberſehen und in gedachtem Jahre das erſte mal zum Dru - cke befoͤrdert worden. Weil dieſes Werck eine vollkomme Aſtronomie in ſich begreifft / aber fuͤr Anfaͤnger zu weitlaͤuftig iſt / ſo wol - te Georgius Purbachius daraus einen Aus - zug machen. Wie er aber uͤber der Arbeit ſtarb / ſo hat Regiomontanus vollendet / was ſein Lehrmeiſter nicht ausfuͤhren konte / und dadurch das Almageſtum des Ptolemæi (welches dieſen Nahmen von den Arabern bekommen hat) deutlich erklaͤhret. Es iſt a - ber erſt An. 1543 heraus kommen. Des Albategnii Werck de ſcientia ſtellarum (Norimbergæ 1537 it. Bonomiæ 1545 in 4) iſt nach der Art des Almageſti eingerichtet / aber die Aſtronomie wird in ſelbem aus den eigenen Obſervationen des Albategnii ver - beſſert.
§. 9. Nicolaus Copernicus hat A. 1566 zu einer wahren Aſtronomie den Grund ge - leget / als er in ſeinen Libris 6 Revolutio - num cœleſtium (die mehr als einmal ge - druckt worden) des Philolai Lehre von der Bewegung der Erde umb ihre Axe und um die Sonne eingefuͤhret / und dadurch die verwirreten Epicyclos und Epicycepicy - clos auf einmal verbannet. Und iſt ſich dannenhero zu verwundern / daß Tycho de Brahe ihm nicht gefolget.
§. 10.471von den Mathem. Schrifften.§. 10. Chriſtianus S. Longomontanus hat in ſeiner Aſtronomica Danica (Am - ſtelod. 1640 in fol. 6 Alph.) die gantze A - ſtronomie abgehandelt und mit Exempeln die Regeln erlaͤutert. Allein weil er mit dem Tychone das Syſtema Copernici nicht annehmen wil; multipliciret er die Circul in ſeinen Theorien vor die Bewegung der Pla - neten uͤber die maſſen. Phil. Lansbergius hingegen in ſeinen Theoricis Motuum cœ - leſtium bleibet bey dem Copernico und giebt dannenhero viel leichtere Theorien der Be - wegung der Planeten.
§. 11. Die bisher genannte Aſtronomi alle / und die zu ihren Zeiten gelebet / haben davor gehalten / daß die Planeten ſich in Circuln bewegeten. Wer nun die Aſtro - nomiam circularem voͤllig zu erkennen Luſt hat / dem kan Andreas Tacquet in ſeinen Libris Octo Aſtronomiæ ein gnuͤgen thun. Es ſind dieſelben der herrlichſte Theil von ſeinen Operibus Mathematicis und den Liebhabern der Aſtronomie zu recommendi - ren. Nur iſt zubeklagen / daß er keine E - xempel gegeben.
§. 12. Johannes Keplerus hat in ſeinen ſehr tieffſinnigen Commentariis de moti - bus Stellæ Martis zuerſt dargethan / daß die Planeten ſich nicht in Circuln / ſondern in einer Ellipſi bewegeten / in derẽ einem BrennG g 4Puncte47([472]Kurtzer UnterrichtPuncte die Sonne waͤre und nach dem wahren Geſetzen der Natur die Bewegun - gen der Planeten in ſeinem Epitome Aſtro - nomiæ Copernicanæ (Franc. 1635 in 8. 2 Alph. 15 Bogen) erklaͤhret / auch in beyden Buͤchern die Urſachen der himmliſchen Be - wegungen unterſuchet / welche der Herr von Leibnitz in ſeinem Tentamine de cauſis motuum Cœleſtium Phyſicis (welches in den Leipziger-Actis A. 1689. p. 82 zufinden) und der Herr Newton Lib. 3. Princip. Ma - them. Philoſ. Nat. beſſer als er getroffen und weiter ausgefuͤhret: auch neulich Phi - lippe Villemot in ſeinem Nouveau Syſteme du mouvement des Planetes (A Lyon 1707 in 12. 12 Bogen Tabb. 12) erlaͤutert.
§. 13. Iſmaël Bullialdus wolte in ſeiner Aſtronomia Philolaica (Pariſ. 1645. in fol. 7 Alph. 20 Bogen) Keplers Theorie ver - beſſern; aber es zeigete Sethus Wardus in Inquiſitione in Aſtronomiam Philolaicam Bullialdi, daß es ihm nicht voͤllig gelungen war. Doch hat er in ſeinen Fundamentis Aſtronomiæ Philolaicæ clarius explicatis & aſſertis adverſus Wardi impugnatio - nem (Pariſiis 1657 in 4. 7 Bogen) ſeine Fehler ziemlich gluͤcklich verbeſſert und waͤ - re zu wuͤnſchen geweſen / daß er (wie er Vorhabens war) ſeine Aſtronomiam Phi - lolaicam nach dieſer Verbeſſerung geaͤn - dert haͤtte.
§. 14.473von den Mathem. Schriften.§. 14. Nach derſelben gehet Thomas Streete in ſeiner Aſtronomia Carolina, die der Herr Gabriel Doppelmaͤyer aus dem Engliſchen in das Lateiniſche uͤberſetzet (No - ribergæ 1705 in 41 Alph. 13 Bogen Tabb. V). Hingegen Vincentius Wing hat in ſei - ner Aſtronomia Britannica die erſte Ma - nier des Bullialdi in etwas veraͤndert. (Lon - dini 1669 in fol. 7 Alph. 5 Bog.) Dieſes Buch dienet fuͤr Anfaͤnger / weil ſie alle Auf - gaben der Aſtronomie durch wahre Exempel erlaͤutert / die Trigonometrie deutlich erklaͤh - ret / und einen Auszug aus den alten und neu - en Obſervationen darinnen finden.
§. 15. Es hat zwar Sethus Wardus in ſei - ner Aſtronomia Geometrica (Londini 1656 in Reg. 8. 14½ Bog. ) eine gantz Geometriſche Methode angewieſen die Bewegungen der Planeten in der Ellipſi zu rechnen / und hat dieſelbe Joh. Newton in ſeiner Aſtronomia Britannica (Lond. 1657 in 4. 1 Alph. 20 B. Engliſch) durch alle Planeten mit Exem - peln erlaͤutert / allein da er von den wahren Gruͤnden / die Kepler angegeben / abgewi - chen / iſt es kein Wunder / daß ſie mit der Er - fahrung nicht uͤberein kommet. Deſſen un - geachtet hat auch der Graf von Pagan in ſeiner Theorie des Planetes (A Paris 1657 in 4.) dieſelbe behalten.
§. 16. Alle Erfindungen der Aſtrono - morum hat Joh. Baptiſta Ricciolus in ſei -G g 5nem474Kurtzer UnterrichtAlmageſto Novo (Bon. 1651 in f. 16½ Alph.) zuſammen getragen. Hingegen David Gre - gorius hat in ſeinen Elementis Aſtronomiæ Phyſicæ & Geometricæ (Oxoniæ 1702 in f. 5 Aiph. 12 Bog. ) eine ſolche Aſtrongmie ge - geben / wie man ſie wuͤnſchen kan / nachdem Copernicus das wahre Syſtema Mundi auf die Bahn gebracht / Kepler die richtige Ge - ſetze der Bewegung entdecket / und Newton ihre Urſachen ausgemacht. Es verdienete das vortreffliche Werck / daß es aus den Ob - ſervationen des Herrn Flamſtaͤdt durch und durch mit wahren Exempeln erlaͤutert wuͤrde.
§. 17. Die Anfaͤnger finden den Kern der neueren Aſtronomie in des Guilielmi Whi - ſton Prælectionibus Aſtronomicis (Canta - brigiæ 1707 in Reg. 8. 1 Alph. 6 Bog. ) wie - wol er nur die Theorie der Planeten abhan - delt. Sonſt ſind auch des Nic. Mercato - ris Institutionum Aſtronomicarum Libri duo (Londini 1676 in 8. 1 Alph.) ein ſehr dienliches Buch / darinnen beyde Theile der Aſtronomie nach den hypotheſibus der al - ten und neuen Aſtronomorum erklaͤhret und mit Exempeln illuſtriret worden.
§. 18. Die alleraͤltiſten Aſtronomiſchen Tabellen ſind des Ptolomæi, die in ſeinem Almageſto zu finden / aber nicht mehr mit dem Himmel uͤberein kommen. Alphonſus X / Koͤnig in Caſtilien / hat dieſelben verbeſſernlaſ -475von den Mathem. Schriften. laſſen / hauptſaͤchlich durch den Juden Iſ. Hazan. Daher ſind A. 1252 / die Tabulæ Alphonſinæ zuerſt publiciret worden. Er hat uͤber 400000 Ducaten auf die Aſtrono - mie zu verbeſſerung der Tabellen gewendet / und ſelbſt eine Vorrede dazu gemacht / die in etlichen Exemplaribus zu finden. Man merckte aber bald / daß auch dieſe Tabellen nicht ſo viel Ruhm verdienten als ſie hatten / und da Purbachius Profeſſor Matheſeos zu Wien und Regiomontanus ihre Unvollkom - menheit bekandt machten / legete man ſich auf das Obſerviren / publicirte und emen - dirte die Schrifften der alten Aſtronomo - rum: aber es kam die Sache nicht zuſtande / abſonderlich da Regiomontanus fruͤhzeitig ſtarb / welcher der Arbeit gewachſen war.
§. 19. Nicolaus Copernicus hat in ſeinen Libris Revolutionum neue Tabellen gege - ben / aber ſie ſind niemals gebraucht worden / indem Eraſmus Reinholdus Math. Prof. in Wittenberg die Tabulas Prutenicas bald daraus verfertigte. Es erkannte aber Ty - cho de Brahe ſchon in ſeiner Jugend ihre Un - vollkommenheit / und legte ſich mit ſolchem Ei - fer auf das Obſerviren / weil er ſie verbeſſern wolte: allein er hat es ſelber nicht zu ſtande gebracht. Zwar verfertigte aus des Tychonis Obſervationen Longomontanus die Tabulas Danicas, die er nach dem Exempel des Co - pernici in ſeiner Astronomia Danica derTheo -476Kurtzer UnterrichtTheorie eines jeden Planetens beyfuͤgte: al - lein ſie wurden durch des unvergleichlichen Keplers Tabulas Rudolphinas (Ulmæ 1627 in fol. 2 Alph. 20 Bog. ) bald verdunckelt. Un - erachtet Lansbergius durch ſeine Tabulas motuum cœleſtium perpetuas dieſer ihren Werth verkleinern wollte; ſo hat er doch nicht Glauben gefunden / ſondern vielmehr Horoc - cius in ſeiner Aſtronomia Kepleriana defen - ſa, die der groͤſte Theil von ſeinen operibus poſthumis iſt / ihm oͤffentlich wiederſpro - chen. Eine beſſere Arbeit war des Morini, der Mariæ Cunitiæ, und des Nicolai Mer - catoris, welche den ſchweeren calculum Ru - dolphinum den Anfaͤngern zu erleichtern getrachtet / und daher die Tabulas Rudol - phinas in eine andere Forme gebracht. Mo - rini Tabulæ Rudolphinæ in Compendium redactæ ſind mit des Streetii Aſtronomia Carolina zu Nuͤrnberg heraus kommen (§. 14). Maria Cunitia hat ihre Arbeit unter dem Titul: Urania propitia ſive Tabulæ Aſtronomicæ mire faciles, vim hypotheſium phyſicarum à Keplero proditarum comple - xæ, facillimo calculandi compendio ſine ul - la Logarithmorum mentione phœnomenis ſatisfacientes Lateiniſch un̄ Teutſch zu Oeltze in Schleſien drucken laſſen (1650 in f. 6 Alph 4 Bog.) Mercator aber iſt in ſeinen Inſti - tutionibus Aſtronomicis nachzuſchlagen.
§. 20. Die Tabulæ des Wingii in ſeinerAſtro -477von den Mathem. Schriften. Astronomia Britannica und die Noval - mageſticæ des Riccioli in ſeiner Aſtronomia Reformata ſind fuͤr den Rudolphinis nicht in groſſes Anſehen kommen / noch weniger a - ber die / welche Joh. Newton in ſeiner A - ſtronomia Britannica nach den Theorien des Wardi gerechnet / und die Tables Aſtro - nomiques du Comte de Pagan (A Paris 1658 in 4.1 Alph. 11 Bog. ) die auf eben dieſen Grund gebauet. Bulialdi Tabulæ Philo - laicæ in ſeiner Aſtronomia Philolaica ſind denen dienlich / welche ſich in Aſtronomiſchen Rechnungen anfangen zu uͤben. Der be - ruͤhmte Aſtronomus Flamſtaͤdt haͤlt die Tabulas Carolinas des Streetii in ſeiner A - ſtronomia Carolina, mit vor die beſten / daher ſie auch Whiſton mit zu ſeinen Prælectioni - bus Aſtronomicis drucken laſſen. Endlich hat de la Hire ſeine Tabulas Aſtronomi - cas auf bloſſe Obſervationes, und keine Hy - potheſin gebauet: welches vorhin zu præ - ſtiren unmoͤglich war / ehe man die Fernglaͤ - ſer / Micrometra und Perpendicul-Uhren hatte. Sie ſind zu Paris 1702 in 4. heraus kommen (1 Alph. 4 Bog. Tabb. IV. ) und treffen zur Zeit uͤberaus gnau mit den Ob - ſervationen uͤberein.
§. 21. Johannes Hevelius hat in ſeinem Prodromo Astronomiæ (Gedani 1690 in f. 4 Alph. 7 Bog. ) neben dem Catalogo Fixa - rum auch neue Tabulas Solares und ſeinFir -478Kurtzer UnterrichtFirmamentum Sobieſcianum, welches die Sterne kennen zu lernen dienet: wozu auch unter den Aſtronomis Joh. Bayeri Urano - metria (Ulmæ 1661 in f. 13 Bog. Tabb. 48) gebraucht wird. Fuͤr Anfaͤnger dienen auch dazu Ægidii Strauchii Aſtrognoſia (Wit - teb. 1684 in 129 Bog. Tabb. 25) und Wilhel - mi Schickardi Aſtroſcopium (Lipſiæ 1698 in 12. 6 Bog. Tabb. II.).
§. 22. Von dem Gebrauch der Him - mels - und Erd-Kugel haben Guil. Bleau in ſeiner Inſtitutione Aſtronomica de uſu Glo - borum (Amſtel. 1690 in Reg. 8. 16. Bog. ) und ſonderlich Bion in ſeiner Uſage des Globes celestes & terreſtres & des Sphe - res (A Paris 1699 in Reg. 12. 16 Bog. Tabb. 26) ſehr wohl geſchrieben / welcher mit glei - chem Fleiſſe / einen Tractat von einem Aſtro - nomiſchẽ Jnſtrumente / ſo Aſtrolabium heiſ - ſet / und zur Aufloͤſung vieler Aſtronomiſchen Fragẽ dienet / zu Paris 1702 unter dem Titul: l’ Uſage des Aſtrolahes tant univerſals, que particuliers (10½ Bog. Tabb. IX). he - raus gegeben.
§. 23. Wer die Natur und Eigenſchafften der Welt-Coͤrper zu erkennen luſt hat / dem dienen auſſer dem Almageſto des Riccioli 1. Chriſtophori Scheineri Roſa Urſina (Brac - ciani 1630 in f. mit vielen koſtbahren Figu - ren) darinnen ſonderlich die Sonnen-Fle - cken erklaͤhret werden: 2. ejusdem disquiſi -tio -479von den Mathem. Schrifften. tiones Mathematicæ de Controverſiis & novitatibus Aſtronomicis (Ingolſtadii 1614 in 4) 3. Galilæi Hiſtorie von den Sonnen - Flecken / die er in Jtalieniſcher Sprache zu Rom 1613 heraus gegeben: 4. Scheineri O - puſculum de refractionibus cœleſtibus (In - golſtadii 1617 in 4): 5. Johannis Kepleri Li - britres de Cometis (Auguſtæ Vindelico - rum 1619 in 4.): 6. Ejusdem Prodromus Diſſertationum Coſmographicarum, ſo mehr als einmal heraus kommen. 7. Ejus - dem ſomnium de Aſtronomia Lunari, ſo 1634 nach ſeinem Tode gedruckt worden: 8. Johannis Hevelii Selenographia (Gedani 1647 in f. 6 Alph. 10 Bog. Tabb. III): 9. E - jusdem Cometographia (Gedani 1668 in fol. 10 Alph. 19 Bog. Tabb. 38 und ſehr viel ein - gedruckte Kupfer): 10. Chriſtiani Hugenii Syſtema Saturninum (Hagæ-Comitis 1659 in 4. 12 Bog. ) und abſonderlich 11. ſein Co - ſmotheoros (Ibid. 1698 in 4. 18. Bog. T. 5. it. Leoburgi 1704 in 8. 8 Bog. Tab. V.) 12. Jacobi Bernoulli Conamen novi Syste - matis Cometarum (Amſtelod. 1682 in 8. 6½ Bog. Tab. 8): 13 Joh. Bapt. du Hamel in ſeiner Aſtronomia Phyſica (Tom. I. Oper. Philoſ. Norimb. 1681 in 4.) wiewol in den Schrifften auch viel zu finden / welches die Geometriſche Aſtronomie erlaͤutert. Und uͤber dieſes ſind auch diejenigen Schrifften hieher zu ziehen / die oben von den Urſachender480Kurtzer Unterrichtder himmliſchen Bewegungen (§. 12) ange - fuͤhret worden.
§. 24. Die Wahrheit und Vortrefflig - keit des Copernicaniſchen Welt-Baues hat Galilæus Galilæi in ſeinem Syſtemate Co - ſmico (Lugd. Bat. 1699 in 4. 3. Alph. 21 B.) erwieſen / welches Buch mit groſſem Ver - ſtande geſchrieben / und unter andern viel zu der Aſtronomia Phyſica beytraͤget. E - ben dergleichen Arbeit haben wir dem Petro Megerlino in ſeinem Syſtemate Mundi Co - pernicano, argumentis invictis demonſtra - to (Amſtel. 1682 in 8. 6 Bog. Tab. 3) zu dancken.
§. 25. Jch koͤnte auch noch von den E - phemeridibus und einigen andern kleinen Schrifften (als Antonii de Monforte de ſi - derum intervallis & magnitudinibus, Neap. in 4. 16½ Bog. Joh. Hanckii, eines Jeſuiten Doctrina Elipſium pro opportunio - re diſcentium uſu in compendium redacti) Mongunt. 1683. 16 Bogen Joh. Jacob Zimmermanns auf alle und jede hypo - theſes applicable fundamental Aufga - ben von den Sonn - und Mond-Finſter - niſſen Hamburg 1691 in 8. 15½ Bog. ) re - den / wenn mein Vorhaben nicht waͤre nur der vornehmſten Schrifften zu gedencken. Doch erinnere ich von den Ephemeridibus, daß in verwichenen Seculo des Argoli fuͤr andern beruͤhmt geweſen. Von 1700 biß1720481von den Mathem. Schrifften. 1720 hat Mezzavachi einige heraus gege - ben / und man hoffet wenigſtens fuͤr 50 Jah - re dieſes Seculi Ephemerides von der Aca - demie des Sciences zu Paris.
§. 1. Die Haupt-Buͤcher in der Chrono - logie ſind des Joſephi Scaligeri de Emen - datione Temporum, Dionyſii Petavii Do - ctrina Temporum, Sethi Calviſii Intro - ductio in Chronologiam und Johannis Baptiſtæ Riccioli Chronologia Reforma - ta.
§. 2. Scaliger hat ſein Werck zu erſt 1587 heraus gegeben / welches er aber 15 Jahre hernach faſt gantz geaͤndert / daß es ſich kaum mehr aͤhnlich geblieben. Er hat in der Chronologie den Weg gebaͤhnet und dadurch ſeine groſſe Gelehrſamkeit ſehen laſſen. Es iſt aber kein Buch fuͤr Anfaͤn - ger.
§. 3. Petavii Doctrina Temporum iſt anfangs zu Paris 1627 in fol. heraus kom - men. Allein viel beſſer iſt die neue Edition / welche in drey Theilen zu Antwerpen 1703 in fol. (21 Alph. 7 Bog. ) gedruckt worden. Jn der erſten Edition fehlet der gantze dritte Theil / darinnen ſein Uranolgioum ſive Syſtema va - riorum Auctorum, qui de Sphæra ac ſi -(4) H hderi482Kurtzer Unterrichtderibus eorumque motibus Græce com - mentati ſunt (ſo er An. 1630 beſonders heraus gegeben) / ſeine Libri VIII varia - rum Diſſertationum, welche die Chronolo - gie illuſtriren / und Libri tres Epiſtolarum enthalten. Es waͤre wohl gethan geweſen / wenn er den Scaligerum nicht ſo hart tra - ctiret haͤtte.
§. 4 Sethi Calviſii Werck iſt mehr als einmal ſo wol in fol. als in 4. aufgelegt wor - den. Er hat die ſchweeren Lehren Scalige - ri erleichtert. Riccioli Chronologia Refor - mata iſt zu Bononien 1669 in fol. gedruckt worden und meritiret wie ſeine uͤbrigen Schrifften geleſen zu werden / ſonderlich von denen die gerne alles / was gethan worden / beyſammen finden wollen.
§. 5. Fuͤr Anfaͤnger ſind gute Buͤcher 1 Dionyſii Petavii Rationarium Temporum (Moguntiæ 1646 in 8. 2 Alph. 22 Bogen) 2 Guilielmi Beveregii Inſtitutiones Chro - nologicæ cum Arithmetica Chronologica (Londini 1705 in 4. 1 Alph. 11 Bogen). 3 Ægidii Strauchii Breviarium Chronolo - gicum (Wittebergæ 1664 in 12. 2 Alphab. 10 Bogen).
§. 6. Zum Calender-Weſen gehoͤrige Sachen muͤſſen in des Chriſtophori Cla - vii Operibus; Sethi Calviſii Elencho Ca - lendarii Gregoriani (Franc. ad Mœn. 1612 in 4. 27 Bogen) Franciſci Vietæ Re -latio -483von den Mathem. Schriften. latione Calendarii vere Gregorianii, und Calendario Gregoriano perpetuo, ſo beyde unter ſeinen Operibus zu finden; Blondells Hiſtoire du Calendrier Romain (A Paris 1682 in 4). Erhardi Weigelii Buͤrger - lichem Zeit-Siegel (Jena 1664 in 4. 15 Bogen); Guil. Bonjour Calendario Ro - mano (Romæ 1701 in fol. 21 Bog.); Fran - ciſci Blanchinii Solutione Problematis Pa - ſchalis (Romæ 1703 in 4. 13 Bogen Tabb. V); Dominici Quartaironii Reſponſioni - bus ad aſſertiones Dominici Casſini pro Reformatione Calendarii Gregoriani (Romæ 1703 in Reg. 4. 4 Bogen) und Euſtachii Manfredii Epiſtola ad Quar - taironium, qua Caſſini aſſertiones 16 vin - dicantur (Venetiis 1705 in Reg. 4. 8 Bo - gen) und Thomæ Pii Maphæi opera de Cyclorum Soli-Lunarium inconſtantia & emendatione (Venetiis 1706 in 4. 1½ Alph.) geſucht werden.
§. 1. Das vollſtaͤndigſte und faſt das ei - nigſte Werck von der Mathematiſchen Ge - ographie iſt des ſchon oͤfters mit Ruhm er - wehnten Jeſuitens Riccioli Geographia Re - formata (Venetiis 1662 in fol. 7 Alph. 17H h 2Bo -484Kurtzer UnterrichtBogen). Aus ihm hat Erhard Weigel in ſeinem Erd-Spiegel fuͤr die Anſaͤnger einen Auszug gemacht (Jena 1665 in 4. 1 Alph. 3 Bog.)
§. 2. Es verdienet auch des Bernhar diVa - renii Geographia generalis gelobet zu wer - den / die zu Cambridge 1672 in 8 heraus kommen (1 Alph. 9 Bog. Tabb. V) und zu Jena nach dieſer Edition 1693 in 8 nachge - druckt worden. Den Anfaͤngern iſt des Herrn Sturms Geographia Mathematica (Teutſch. Franckfurt an der Oder 1705 in 8. 10 Bog. Tabb. V) nuͤtzlich zuleſen / da - rinnen die Befchreibung der Land-Charten gar geſchickt vorgetragen wird.
§. 3. Hieher gehoͤret auch des Georgii Fournier, eines beruͤhmten Jeſuitens / Hy - drographie (A Paris 1653. 10 Alph. 10 Bo - gen) welches das vollſtaͤndigſte Werck iſt / ſo wir von der Schiffart zur See haben.
§. 4. Die Gnomonick hat Chriſtopho - rus Clavius faſt zu erſt in richtige Verfaſ - ſung gebracht. Es macht aber ſeine Gno - monica den vierdten Theil ſeiner Operum (Moguntiæ 1612 in fol.) aus und iſt allzu weitlaͤuftig und verwirret geſchrieben.
§. 5. Athanaſius Kircherus hat in ſeiner Arte Magna Lucis & Umbræ ſehr viel von Sonnen-Uhren. Und wer deutlichere de - monſtrationes als des Clavii verlanget / denen wird Guarinus Guarini in parte po -ſterio -485von den Mathem Schrifften. ſteriore Mathematicæ Cœleſtis (Me - diol. 1683 in fol. 1 Alph. 3 Bog. mit vie - len Kupfern) vergnuͤgen. Der erſte Theil die - ſes Buches (mit vielen Kupf. 7 Alph. 5 B.) iſt zugleich mit dem andern heraus kommen und erklaͤhret die gantze Aſtronomie ſehr deut - lich. Anfaͤnger koͤnnen die demonſtrationes der Haupt-Sonnen-Uhren in des Henr. Cœt - ſii Horologiographia leſen (Lugd. Bat. 1689 in 4. 13 Bogen mit verſchiedenen Figuren).
§. 26. Picard hat eine Methode erfun - den durch Rechnung die Linien auf groſſen Sonnen-Uhren zu ſuchen / die in den oben citirten Divers Ouvrages des Mathema - tiques (§. 7) ſtehet. Philippus de la Hire hat in ſeiner Gnomonique (A Paris 1683 in 12) Geometriſche Methoden angewieſen aus einigen obſervirten Schatten Sonnen-Uhren zu beſchreiben. Beyde ſind in dem vierd - ten Theile / welcher in der dritten Edition zu der Neu vermehrten Welperiſchen Gnomonica (Nuͤrnberg 1708 in fol. 2 Alph 16 Bog. Tabb. 35). kommen. Es iſt kein beſſeres Werck als dieſes fuͤr diejenigen / die mehr auf praxin als Theorie ſehen: wie wol der Herr Joh. Chriſtoph Sturm / dem wir die erſte Vermehrung in der ande - ren Edition zudancken haben / in ſeinen An - merckungen auch die Urſachen der Beſchrei - bung angefuͤhret.
H h 3§. 7.486Kurtzer Unterricht§. 7. Eben ſo finden dergleichen Liebha - ber die Beſchreibung von allerhand Arten der Sonnen-Uhren in Johann Peterſon Stengels Gnomonica Univerſali oder Ausfuͤhrlicher Beſchreibung der Son - nen-Uhren (Ulm 1706 in 8. 18 Bog. Tab. 109). Aber kurtze / doch gruͤndliche Anwei - ſungen von Beſchreibung der vornehmſten Sonnen-Uhren hat man in dem Anhange zu dem Clavi Mathematicæ des Oughbtre - di und des Phil. Lansbergii Horologiogra - phia plana unter ſeinen Operibus Mathe - maticis.
§. 8. Ignatius Gaſton Pardies hat zwey Machinen erſonnen / dadurch alle Arten der Sonnen-Uhren ſehr leichte beſchrieben wer - den. Jhre Beſchreibung iſt ſeiner Stati - que (§. 10. c. 8.) beygefuͤget.
§. 1. Petrus Herigonius hat den erſten Curſum Mathematicum in Lateiniſcher und Frantzoͤſiſcher Sprache geſchrieben und in 6 Theilen zu Paris 1644 in 8 (10 Alph. 2 Bog. ) drucken laſſen. Er erklaͤhret die 13 Buͤcher des Euclidis mit ſeinen Datis, ne - benſt einigen Schrifften des Apollonii Per - gæi, ſo verlohren gangen und von Willebro -do487von den Mathem. Schrifften. do Snellio und Franciſco Vieta reſtituiret worden; die Arithmetick / Algebra / Trigo - nometrie / Geometriam practicam, Forti - fication / Aſtronomie / Geographie / Schiff - Kunſt / Optick / Catoptrick / Dioptrick / Per - ſpectiv / Gnomonick und Muſic. Jm de - monſtriren gebraucht er lauter beſondere Zeichen / welche die Anfaͤnger irre machen. Die Sachen / die er fuͤr traͤget) ſind gut: al - lein die meiſten Diſciplinen haben ſich von der Zeit an ſehr veraͤndert. Auch gehet er mehr auf Theorie / als auf praxin.
§. 2. Des Caſparis Schotti Curſus Ma - thematicus (Bambergæ 1676 in fol. 7 Alph. 19 Bog. und uͤber 2 Alph. Kupfer) gehet zwar mehr auf praxin, als auf die Theorie: allein er iſt in den hauptſachen ſehr unvoll - ſtaͤndig und ſeine Algebra tauget gar nichts.
§. 3. Jn Engelland hat William Ley - bourn (An. 1690 in fol. (11 Alph. Tabb. 43) ſeine Mathematical Sciences drucken laſſen. Darunter findet man die Arith - metick / Geometrie / Algebra / Geographie / Chronologie / Trigonometrie / Schiff-Kunſt / Gnomonick und Aſtronomie. Solcherge - ſtalt iſt dieſer Curſus ſehr unvollkommen.
§. 4. Jn Holland haben wir dem Abra - ham de Graaf de geheele Matheſin of Wiskonſt zu dancken (Amſtelod. 1694 in Reg. 4. 1 Alph. 21 Bog. Tabb. XCIV). H h 4Sie488Kurtzer UnterrichtSie beſtehet aus der Arithmetick / Geome - trie / Trigonometrie / Aſtronomie / Schiff - Kunſt / Fortification / Gnomonick / Mecha - nick / Catoptrick und Dioptrick mit der Perſpectiv / und der Algebra: die Algebra iſt an Exempeln und Regeln vollſtaͤndig. Eben ſo gehet der Arithmetick / Geometrie und Trigonometrie nichts ab: allein in den uͤbrigen Diſciplinen iſt er meiſtens allzu kurtz.
§. 5. Ozanam Cours de Mathematique (à Paris 1699 in Reg. 8. 4 Alph. 14 Bog. Tabb. 155) beſtehet aus drey Theilen. Jn dem erſten ſind die erſten 6 und das 11 und 12te Buch des Euclidis mit der Buchſtabe-Re - chen-Kunſt. Jn dem andern die Arithme - tick ohne Beweiſe / die Trigonometrie mit den Tabulis Sinuum, Tangentium & Logari - thmorum; in dem dritten die Geometria practica mit vielen nicht ſonderlich nutzbah - ren Aufgaben; in dem vierdten die Mecha - nick und Perſpectiv; in dem fuͤnften die Geo - graphie un̄ Gnomonick. Die Mechanick / Per - pectiv und Gnomonick werden denen / die pra - ctica lieben / als wie die Kriegsleute / fuͤr die er ſonderlich ſein Buch geſchrieben / allzu theore - tiſch ſeyn. Wer aber demonſtrationes liebet / dem wird dieſes Buch gefallen. Doch iſt es ein ſehr unvollſtaͤndiger Curſus.
§. 6. Der vollſtaͤndigſte Curſus iſt desClau -489von den Mathem. Schrifften. Claudii Franciſci Milliet de Chales Mun - dus Mathematicus, der zum dritten mal 1690 in fol. zu Lyon in 4 Theilen (32 Alph.) auf - gelegt worden. Darinnen ſind ein Tractat von den Mathematiſchen Schrifften) die 13 Buͤcher Euclidis, Sphærica Theodoſii, ſeine eigene Sectiones Conicæ, die Arithmetick / Trigonometrie / Algebra / Geometria pra - ctica, Mechanick / Statick / Geographie / Magnetologie / Baukunſt / Zimmerkunſt / Steinhauerkunſt / Fortification / Hydroſta - tick / ein Tractat von den Qvellen und Fluͤſ - ſen / Hydraulick / Schiffkunſt / Optick / Per - ſpectiv / Catoptrick / Dioptrick / Muſic / Py - rotechmie / ein Tractat vom Aſtrolabio, Gnomonick / die Aſtronomie / mit ſeinen calcu - lirten Tabellen / Aſtrologie / ein Tractat von den Meteoris und einer von dem Calender. Jn der Algebra behaͤlt er des Vietæ Rech - nung / und appliciret ſie nicht auf die Geo - metrie. Die Baukunſt tauget nichts. Die uͤbrigen Diſciplinen ſind alle gar wohl durch tractiret / nur daß er in einigen allzuſehr un - terweilen auf Nebenwege ausſchweiffet. Er hat die alten Sachen gar fleißig und deutlich zuſammen getragen / und behaͤlt zur Zeit den Preiß fuͤr allen Curſibus.
§. 7. Unter den Lexicis Mathematicis æſtimiret man des Ozanam Dictionaire de Mathematique (Amſt. 1691 in Reg. 4. 4H h 5Alph.490Kurtzer Unterricht von den Math. Alph.). Es erklaͤhret nicht allein der Au - tor die in den Mathematiſchen Diſciplinen gebraͤuchlichen Woͤrter nach Ordnung der Diſciplinen; ſondern auch viele Sachen zu - gleich mit.
§. 8. Das beſte Mathematiſche Lexi - con, ſo wir haben / iſt das Lexicon Techni - cum Magnum or an univerſal Engliſch Dictionary of Arts and Sciences, ex - plaining not only the Terms of Art, but the Arts them ſelves, by J. Harris (London 1704 in fol.) wiewol in dieſem Buche nicht allein die Mathematiſchen Woͤrter und vornehmſten Wahrheiten / ſon - dern auch aller uͤbrigen Philoſophiſchen Di - ſciplinen / ingleichen der Chymie / Wappen - Kunſt / Gnomonick / Rhetorick ꝛc. erklaͤhret werden. Alſo kan man aus dieſem Buche mit den Woͤrtern zugleich die Sachen lernen.
Ende des vierdten Theiles.
NB. Die erſte Zahl bedeutet die Seite die andere die Zeile. Was corrigiret werden ſoll / iſt in eine parentheſin ge - ſchloſſen: auſſerhalb derſelben ſtehet / was an deſſen ſtatt geſetzt werden muß.
62.4. & 10. (157) 175.71.24. (dividi ret werden) dividiren 85. 21. & 24. (14) 24. 121.28. (DEG) DEF. 128. 5. (Adab) AD ab. (Fd) FD. 8. (Ad) AD. 24. (DE) BE. 129. 30. (DE) DB. 132. 22. (CB) CE. (FB) FE. 23. (CDA) CFD. (CFB) CFE. 24. (FB) FE. 141. 18. (CB) EB. 146. 14. (ADC) ABC. (ABC) ADC. 155. 16. (BC) DC. 165. 23. (36) 6. 166. 18. (HG) AG. 170. 16. (AB) AD. 172. 15. (EBC) EDC. 26. 27. (AD) DB. (AC) EC. 174. 14. (ABD) ADE. 21. (BC) AC. 176. 1. (ED) BD. 211. 13. (ED) CD. 219. 1. (10) 18. &c. 12. (EF) EG. 233. (ſinu toto) quadrat des Sinus totius. 235. Jn Fig. 6. muͤſſen A und C. verwechſelt werden. 1. (IK) IL. 237. 4. (DE) DC. 256. 9. (AF) AE. 263. 1. (ACD) ACB. 297. 22. (geloͤſchet) entzuͤndet. 310. 16. (¼ BF) ¼ BE 21. (A) B. 313. 28. & 314. 15. (quadran - ten) Bogen. 369. 29. (AD). CD. 370. 14. (E) C. 384. 8. (ſtoſ - ſen) wohlſtoſſen.
26. 13. (aus A) ſetzet hinzu: in G und AG. aus A in. 33. 1. & 2. ( $$\frac {1}{12}$$ ) $$\frac {2}{12}$$ . ( $$\frac {4}{12}$$ ) $$\frac {5}{12}$$ 37. 28. (des ſiebenden) des drit - ten. 38. 5. (TZ) XZ. 51. 9. (CDE) DCE 53. 13. (27) 37. 55. 17. (AC iſt) AC: 89. 11. (Geſchuͤtze) ſetzt hinzu: ſicher 1. 29. 25. (den Fac en) den gantzen Facen. 136. 9. (den Bruſtwehren) dem bedeckten Wege) 137. 1. (Bomben) Granaten. 160. 27. (und C.) und G. 163. 15. (½ AD) AD. 164. 10. (10º) 10′. 187. 10. (b) c. 190. 29. ſtreichet aus die Worte aus einem Pun - cte &c. bis zwiſchen dieſen. 207. (Fig. 25.) Fig. 26. 209. 9. (T) F. 211. 16. (ec) OP. 283. 18. (G) C. 296. 30. (Tab. III. Fig. 23.) Tab. I. Fig. 7. 2. (DB) CB. 303. (Fig. 33.) Fig. 23. 315. 20. (C) B. 253. 26. (LFGL) KFGL. 366. 17. (die Groͤſſe) die Groͤſ - ſe der Schweere. 418. 2. (gegen G) gegen B unter einem Winckel von 45º. (F) I. (G) H. (H) G. (A) F. 421. 30. (in -wen -
wendig und auswendig) auswendig. 422. 15. (EC) HI. 424. 10. (gleichſam) gleichfalls. 437. 4. (AK) AB.
16. 5. (AB) AE 17. 3. (FD) FB. 22. 13. (D) B. 26. 23. (die Farben) die Strahlen. 32. 27. (STV) SVT. 37. 5. (ON) SM. 47. 22. (C) B. 64. 19. (9º) 90º. 71. 11. (⅔EFM) ⅔EFN. 75. 28. (AN) ſetzet hinzu: und die Dicke des Glaſes OP. 119. 7. 13. (HR.) AL. 11. 12. (B2, B3) A2, C3. 130. 17. (AI) HI. 131. 22. (des Bogens) des Bogens BA und BH der Sinus des Bogens BC. 142. 16. (in C) in e. 148. 21. (AC) AB. 150. 18. (AC) AD. 24. (DE) DB. 188. 29. (AC) AO. 189. 31. (PA) IA. 207. 3. (PZ) ſetzet hinzu: als das Complement der Polhoͤhe und PS. 210. 21. (dem Complement der Hoͤhe) der Hoͤhe. 230. 12. [gerade Aſcenſion] declination. 13. [DG] DS. 239. 3. [LF] FO. 246. 31. [aufhoret] ſetzet hinzu: Suchet in den Tabulis Declinationum auf / wenn die Sonne die gegebene declination hat. 358. 12. [118] 178. 369. 22. [AP] BP. 371. 13. [1648.] 1647. den 20. Martii. 375. 9. [HP] KP. 11. 12. [CBL] KBL. 376. 26. [AK] DK. 380. 27. [des] der differentz der ge - raden Aſcenſion des. 382. 24. [360] ſetzt hinzu: ſo vielmal ge - nommen als der Planet herumkommen. 385. 27. [Erdbahn] Erde. 386. [22000] 20000. 387. 10. [DEB] EDB. oder HDB. 392. 25. [PR] PR. in der Ecliptick. 393. 10. [HR.] PR. 403. 13. [42] 12. 414. 6. [BC] BO. 415. 1. [DBH] DBP. 23. [BZ.] BA 416. 8. [TV] LV. 418. 1. [41′ 32″] 40″30″. 8. [der Ent - gegenſetzung] dem erſten Viertel und der Entgegenſetzung bis zu dem letzten Viertel. 420. 25. [HAL] HAK. 438. 24. [Or - te] in einem Orte. 442. 10. [Parallaxis] ſetzt hinzu: der Sonne / CDF. 446. 24. [AL] Al. 447. 28. [DC] DI. 449. 19. [Diameter] Diameter deſſelben dem halben ſcheinbahren Diameter. 463. 17. [Oſten] Norden. 446. 13. [33º] 23º. 472. 27. [LA] LH. 495. 6. [mit dem Æquatore Parallel-Lini - en] der mit dem Æquatore AC. auf gleiche Weiſe getheilet worden andere Circul-Linien. 514. 24. [360] 366. 551. 14. [C] E. 18. [11] 2. 564. 21. [beſchrieben] beſchienen 576. 24. 25. [D] C.
16. 7. (4a) 10a. 21. 27. (xmxn) amxn. 28. (x) ar. 35. 5. (x2m) xm. 37. 13. (yy) 2yy. 44. 19. (1½-V 1¼) ½ + V 1¼. 77. 30. (x-2) n-2. 79. 80. (Seite) Zahl der Winckel. 88. 24. (mn-1a) mn-1 a — a. 95. 9. (DF) AF. 95. 25. (½ a2) ½a2 + ½ a2. 100. 11. (¼a) ½ a. 101. 8. & ſeqq. (BC) AC. 105. 4. (DB) CB. 106. 2. (BC) AC. 107. 14. (y + z) y + c. 108. 19. (KAD) KAE. 116. 9. (100x: 314) 314x: 100. 117. 21. (da2) ad2. 26. (⅓d) ⅓d - 121. 25. (EC) BC. 133. §. 224. & 141. §. 244. verwech - ſelt den Parameter mit der Axe. 134. 10. (EF) AD. 135. 22. ſetzt hinzu: Fig. 19. 142. 2. (b2) bx2. 148. 10. (MR = y) PM = y. 150. 11. (AP) PB. 31. (und A) ge - gen A. 153. 4. (AE &c.) DE: De = ec: CE. 16. (ei) eg. 155. 26. (AD) Ad. 167. 15. (2aab) ½aab. 169. 29. (+15) ‒ 15. 177. 8. 9. 14. (½q +) ½q-2. 4. 5. ( $$\frac {1}{27}$$ p3) - $$\frac {1}{27}$$ p3. 18. 19. loͤſchet $$\frac {n-2}{3}$$ aus. 182. 7. (von u) von y. 12. $$\frac {(n-2) }{1}$$ $$\frac {n-3}{1}$$ . 185. 21. 22. 26. (+ m2-pm) - m2+pm. 187. 22. (y4rp) rp. 188. 29. (+ ½ q) - ½ q. 189. 15. (p+) q +. 191. 6. (-550) -350. 192. ſind die Zeichen + und ‒ verwechſelt worden. 193. 24. (= o) = z. 198. 7. (+ by2) - by2. 198. 12. (103) 13. 201. 15. (zx2 +) zx2 + z. 203. (t-1): 2t2) t2 + 1,: 2t. 204. 13 (4-3 = 1) 4-1 = 3. 208. ſetzt hin - zu: Tab. I. Fig. 4. 209. 4. (- x2-c) - t2-ct. 217. 19. (AB) OB. 20. (BH) BD. 21 (HK.) DE 22. (C) E. 222. 15. & ſeqq. (½b2) ½b2 + ½ ab 223. 10. (AE) AD. (oa) aa + ab. 13. (FE) HM. 224. 30. (+ ½ ab) - ½ ab. 227. 5. (½ a2) a2. 228. 11. (- by) + by. 229. (M) N. = 30. 12. 14. 22. (M) N. (N) M. 11. (- by) + by. 246. 27. (2y) ay. 247. 29. (x-3) x-3 dx. 30. (x-n-m, m-21) x-n m〈…〉〈…〉 m dx. 251. 9. (R) H. 253. 17. loͤſchet aus: folgends BP:2AP. 2 AP = AB: TA. 255. 17. (a-x) a + x. 256. 8. (yxn) ymxn. 266. 1. [a2] x2. 271. 20. [y3] x3. 273. 3. 16. 17. [N] M. 278. 19. [FE] FA. 299. 2. [b] a. [xy] ay. 304. 5. [dy] ady. 7. [xy] ay. 315. 29. [125r6] 128r9. 328. 22. [dx]: dx. 360. 17. [CC] CD. 361. 19. [DE] DC. 362. 10. [a-x] r-x. 368. 30. leſet: mCB: nBD. = BG: AB.
NB. Es ſind T. IV. p. 410. ſeqq. wider diejenige / welche vorgeben / als wenn Sturmii Mattheſis Enucleata die Matthe, ſin puram nach dem Zuſtande unſerer Zeiten zulaͤnglich ab - handelte / rationes angefuͤhret worden / daß ſolches Vorgeben nicht Grund habe: wodurch man weder dem beruͤhmten Au - tori, noch auch denen zu nahe getreten / die ſie aus anderer Ab - ſicht erklaͤhren / als die inventa recentiora in Mattheſi pura beyzubringen. Unerachtet dieſer in privat-Schreiben geſcha - henen Erklaͤhrung und beygefuͤgter Verſicherung / man wolle in der Lateiniſchen Edition dieſes weglaſſen / hat ein gewiſſer Mann in der Vorrede in ſeinem Compendio Matheſeos da - her Anlaß genommen die Arbeit des Autoris und ſeine Per - ſon zu verunglimpfen. Es haͤlt aber der Autor nicht vor noͤ - thig / ihm zu antworten / weil ein jeder den Werth ſeiner Schluͤſſe finden kan / der ſie logice anatomiret / und aus allen libris Arithmeticis [vid. Sturmii Math. Comp. Tab. II. Arithm. f. 14.] lernen wird / daß 5 communis menſura maxima von 40. und 75. ſey. Es wird auch ſonſt niemand dem Autori verar - gen / daß er die vorgetragene Sachen nach der Abſicht des Werckes nicht nach den Blaͤttern proportioniret; ſo wenig als man es dem alten Herrn Sturm veruͤbelt / daß er von der Per - ſpectiv in ſeinen Tabulis nur eine Zeile hat / mit Algebraiſcher Auflloͤſung einiger Arithmetiſchen Auffgaben aber 828. Zei - len anfuͤllet. Der Autor achtet es endlich ſeiner Exiſtima - tion bey verſtaͤndigen zu wieder ſich gleich denen herum zu zan - cken / die den Affecten die Herrſchafft uͤber ſich geſtatten. Wenn aber jemand aus Liebe zur Wahrheit mit anſtaͤndiger Beſcheidenheit und gravitaͤt von Dingen / die unterſuchet zu werden verdienen / etwas einzuwenden hat / dem wird er ſo wie andern gelehrten und beruͤhmten Maͤnnern in Engelland und Franckreich in Act. Erud. A. 1710. & 1711. begegnen.
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