DJe Algebra kan niemals zu viel geruͤhmet wer - den: deñ ſie iſt die Kunſt / durch welche man die Mathematiſchen Wahrheiten von ſich ſelbſt erfinden kan. Wenn ihr demnach die Anfangs-Gruͤnde der Mathematiſchen Wieſſenſchaftẽ / die ich euch in den drey vorher gehenden Theilen erklaͤhret habe / euch bekandt machet und die Algebra dabey ſtu - dieret; ſo werdet ihr aus jenen durch dieſe vor euch ſelbſt finden koͤn - nen / was ihr ſonſt aus Buͤchern o - der von anderen zu lernen von Noͤthen haͤt - tet. Ja ihr werdet auch vieles erfinden koͤn - nen / was andere vor Euch noch nicht gedacht haben. Mit einem Worte ſie machet euch geſchieckt / daß / wenn ihr nur gantz was ge - ringes aus den Mathematiſchen Wieſſen - ſchaften gelernet / ihr von euch ſelbſt ein meh - reres erfinden koͤnnet zu der Zeit / wenn ihr esA 3von6Vorrede. von Noͤthen habet. Es iſt aber keine voll - kommenere Art zu ſtudiren / als wenn man nur ein weniges lernen darf und ſich dabey doch auf alle vorkommende Faͤlle geſchieckt machet. Jch ſage aber noch mehr. Jhr treffet in der Algebra die aller vollkommenſte Manier zu raiſoniren an. Denn ſie ex - primiret die Begrieffe der Sachen durch Zeichen und verwandelt die Schluͤſſe / welche mit vielem Bedacht aus ihnen hergeleitet werden / in eine leichte Manier die Zeichen mit einander zu verknuͤpfen und zu trennen. Da - durch erhaͤlt man zu gleich / daß man oͤfters in einer Zeile mehr haben kan / als in groſſen Folianten nicht Raum finden wuͤrde. Durch das Anſchauen weniger Zeichen werdet ihr oͤfters kluͤger / als ihr durch vieler Jahre Ar - beit nach der gemeinen Art zu lernen und zu dencken nicht werden koͤnnet. Jn dieſer Ab - ſicht pfleget man die Algebra den Giepfel menſchlicher Wieſſenſchaften zu nennen / und dieſes von Rechtswegen. Jch habe dem - nach ſo wol die gemeine Algebra / als die un - vergleichliche Differential - und Jntegral - Rechnung des Herrnvon Leibnitz dergeſtalt erklaͤhren wollen / daß nicht allein ihre Kunſt - Grieffe unvermercket bey gebracht / ſondern auch die Haupt-Lehren von der ſo genannten Matheſi pura zu gleich mit erlernet / ja von ſelbſten gefunden werden.
1.
DJe gemeine Algebra iſt eine Wieſſenſchaft aus einigen ge - gebenen endlichen Groͤſſen an - dere ihres gleichen zu finden / von de - nen in Anſehung der gegebenen etwas bekand gemacht wird.
2. Z. E. Jhr ſollet zwey Zahlen finden / die mit einander multipliciret eine gegebene Zahl 60 / hin - gegen zu ſammen addiret eine andere gegebene Zahl 12 bringen. Allſo werden euch gegeben zwey Zah - len und ihr ſollet aus denſelben zwey andere Zahlen finden / von welchen euch bekand gemacht wird / daß ihre Summe der kleineren / ihr Product aber der groͤſſeren von den gegebenen Zahlen gleich ſeyn ſol. Die Algebra nun lehret euch eine allgemeine Regel finden / nach welcher ihr alle Exempel von dieſer Art rechnen koͤnnet.
3. Allſo iſt die Algebra eine allgemeine Rechen-Kunſt / dadurch man nemlich alles / was ſich rechnen laͤſt / ausrechnen kan. (§. 1. Arithm.)
4. Daher nennet auch der groſſe Mathematicus in Engelland / Herr Jſaac Nevvton. ſeine Anweiſung zur Algebra / welche der beruͤhmte Profeſſor Mathe - matum Whiſton zu Cambridge 1707 in 8 heraus gegeben / Arithmeticam Univerſalem und wir koͤn - ten die Algebra in unſerer Teutſchen Sprache mit gutem Fuge eine Allrechen-Kunſt heiſſen.
5. Eine Groͤſſe nennen wir alles dasjenige was ſich vermehren und ver - mindern laͤſt / in ſo weit es ſich vermeh - ren und vermindern laͤſt.
6. Allſo beſtehet das Weſen einer Groͤſ - ſe in der Verhaͤltnis zu einer andern ihres gleichen.
7. Z. E. die Waͤrme nenne ich in ſo weit eine Groͤſſe / als ich dencken kan / wie viel mal eine gegebe - ne Waͤrme / als die Waͤrme der Luft des heurigen Tages / in einer andern gegebenen Waͤrme / als in der Waͤrme der Luft des geſtriegen Tages enthalten ſey.
8. Und folgends ſind die Groͤſſen undeter -minir -9der Algebra. minirte Zahlen / da man nemlich noch keine gewiſſe Eines ſetzet (§. 6. 8 Arithm.)
9. Nehmet Z. E. eine gerade Linie von einer de - terminirten Laͤnge. Setzet die Linie ſey eingethei - let in 4 gleiche Theile. Wenn ihr einen von denſel - ben zur Eins macht und die Laͤnge der gantzen Linie mit ihm vergleichet: ſo heiſſet die Linie 4 und ihr be - trachtet ihre Laͤnge als eine Zahl. Setzet abermals die Linie ſey eingetheilet in 5 gleiche Theile. Wenn ihr einen von denſelben zur Eins macht und die Laͤn - ge der gantzen Linie m̃it ihr vergleichet: ſo heiſſet die Linie 5 und ihr betrachtet ihre Laͤnge abermals als eine Zahl. Wiederumb ſetzet die Linie ſey einge - theilet in 13 gleiche Theile und vergleichet ihre gan - tze Laͤnge mit einem ſolchen Theile; ſo heiſſet ſie 13 und ihr betrachtet dieſelbe als eine Zahl. Hieraus ſehet ihr / daß die Laͤnge einer Linie durch unzehlich viel Zahlen / groſſe und kleine ausgeſprochen wer - den kan / nach dem ihꝛ nemlich einen groſſen oder kleinen Theil derſelben zur Eins annehmet. Wenn ihr nun keinen gewieſſen Theil ſetzet / mit welchem ſie verglie - chen werden ſol; ſondern ſie nur uͤberhaupt betrach - tet / in ſo weit ſie mit einer gewieſſen Eins kan ver - gliechen werden: ſo ſtellet ihr euch dieſelbe als eine Groͤſſe vor. Und daher kommt es / daß durch die Al - gebra ſehr allgemeine Wahrheiten erfunden werden: Da hingegen die Rechen-Kunſt nur eintzele Exem - pel ausrechnet und allſo ſtets mit eintzelen Faͤllen zu - thun hat.
10. Alles / was wir in der Welt antreffen und in uns ſelbſt finden / hat in allem dem / was es wuͤrcklich iſt und wovon ſich etwas gedencken laͤſt / ſeine Schrancken und laͤſt ſichA 5dan -10Anfangs-Gruͤndedannenhero mit anderen Dingen von ſeiner Art vergleichen und darumb als etwas / ſo vermehret oder vermindert werden kan / das iſt / als eine Groͤſſe (§. 5. 6) betrachten. Derowegen erſtreckt ſich die Albebra auf alle endliche Dinge und fuͤhret uns auf ei - nen deutlichen Begrief von ihrer Endlich - keit.
11. Es kan keine vollkommenere Erkaͤntnis ge - dacht noch verlanget werden / als wenn man von der Endlichkeit der Dinge einen deutlichen Begrief er - langet: welches ich bey anderer Gelegenheit klahr und deutlich ausfuͤhren wil. Daher dienet die Al - gebra zu einer vollkommenen Erkaͤntnis der Dinge zu gelangen / und ohne dieſelbe wuͤrde es in den mei - ſten Faͤllen unmoͤglich ſeyn ſelbe zu uͤberkommen.
12. Weil die Groͤſſen undeterminirte Zah - len ſind (§. 8) / ſo kan man auch keine ande - re Veraͤnderungen / als wie mit Zahlen / mit ihnen vornehmen / und daher ſie entweder zuſammen addiren / oder von einander ſub - trahiren / oder durch einander multipliciren / oder durch einander dividiren (§. 12. 15. 18. 21. 24 Arithm.)
13. Gleichwie ihr aber mit Zahlen keine Rechñung vornehmen koͤnnet / ihr muͤſſet euch vorher dieſelben durch gewieſſe Zeichen vorſtellen: eben ſo wird in der Algebra-erfordert / daß ihr fuͤr die Groͤſſen ge - wieſſe Zeichen erſinnet.
14. Man benenne die gegebenen Groͤſ - ſen jederzeit mit den erſten Buchſta - ben des Alphabets / a, b, c, d u. ſ. w. die unbekandten aber / welche man ſuchet / mit den letzten x, y, z.
15. Wie die Groͤſſen ſich dem Verſtande zuer - kennen geben / ſo muͤſſen ſie auch durch die Zeichen von einander unterſchieden werden. Nun ſtellen ſie ſich in den Algebraiſchen Aufgaben jederzeit dem Ver - ſtande vor entweder als gegebene / das iſt / bekandt gemachte / oder als geſuchte / das iſt / noch unbekandte Groͤſſen: Derowegen muß man auch durch die Zei - chen unſerer Jmagination oder Einbildungs-Kraft dieſen Unterſcheid klaͤhrlich vorſtellen, Denn ſonſt waͤre Gefahr / daß man das unbekandte mit dem Be - kandten leicht verwirrete und daher in Jrrthum verfiele.
16. Es waͤre bey der Benennung der Groͤßen noch gar viel zu erinnern. Denn wenn ſie geſchieckt und zum Erfinden dienlich ſeyn ſol / muͤſſen die Zei - chen alle gegebene relationes der bedeuteten Dinge gegen einander andeuten. Z. E. Wenn eine von den unbekandten Groͤßen drey mal ſo groß iſt als die andere / und die kleinere heiſſet x; ſo nennet man die groͤſſere lieber 3 x als y. Allein ich wuͤrde den An - faͤngern nicht dienen / wenn ich ſie mit vielen Regeln auf einmal uͤberhaͤufete. Und halte es dannenhers fuͤr rathſamer / daß ich es inskuͤnftige lieber durch Exempel lehre / und die Regeln nach und nach gleich - ſam unvermerckt und ohne Muͤhe beybringe.
17. Das Zeichen der Addition iſt + / der Subtraction aber —. Jenes wird durch Mehr; dieſes durch We - niger ausgeſprochen.
18. Z. E. Die Summe zweyer Groͤßen a und b wird geſchrieben a + b und ausgeſprochen: a mehr b. Hingegen die Differentz zweyer Groͤßen wird geſchrieben durch a — b und ausgeſprochen: a we - niger b. Als es bedente a 7 Thaler / b 8 Gro - ſchen: ſo bedeutet a + b 7 Thl + 8 gl das iſt / 7 Thl und 8 gl; hingegen a — b 7 Thl — 8 gl. das iſt / 7 Thl weniger 8 gl.
19. Die Multiplication hat entweder gar kein Zeichen / ſondern man ſetzet die Buchſtaben / welche einander multipli - ciren / ohne einiges Zeichen neben ein - ander: oder man deutet ſie durch ein comma (,) oder einen Punct (. ) an. Jnsgemein brauchet man dieſes Zei - chen x.
20. Wenn a durch b multipliciret werden ſol / ſo ſchreibet das Product a b, oder a, b oder a. b, o - der axb. Wir werden uns des letztern Zeichens nie - mals bedienen / weil es leicht mit dem X vermenget wird. Doch haben wir es hiermit anfuͤhren ſollen / weil es in allen Buͤchern haͤufig vorkommt. Am mei - ſten werden wir kein Zeichen brauchen: das com - ma und den Punet aber nur in gewieſſen Faͤllen ausbe -13der Algebra. beſonderen Urſachen / die ſich zu ſeiner Zeit in den Exempeln zeigen werden.
21. Wenn eine groͤſſe viele andere auf einmal multipliciret ſo ſchlieſſet man dieſelben in eine parentheſin () ein und ſetzet jene ohne einiges Zeichen vor oder hinter die parentheſin: oder man ſetzet zwieſchen dieſelben ein bloſſes comma.
22. Das Product von a + b — c in d, ſchreibet entweder allſo (a + b — c) d, oder dergeſtalt d (a + b ‒ ‒ c), oder auch folgender maſſen a + b ‒ ‒ c, d.
23. Jnsgemein ſchreibet man dieſes Product all - ſo: a+b〈…〉〈…〉 ‒ c × d / oder auch d x a + b ‒ c. Allein wir blei - ben billig bey der Manier des Herrn von Leibnitz / welche mit großem Vortheile in die Acta Eruditorum Lipſienſia eingefuͤhret worden: denn man kan ſich nicht ſo leicht verirren wie bey den gemeinen Zeichen / und macht auch den Buchdruckern nicht ſo viel unnoͤthige Muͤhe / erſpaaret uͤber dieſes viel an dem Raume. An - dere Vortheile wollen wir ietzt nicht gedencken / die ſich zn folgendem zeigen werden.
24. Das Zeichen der Diviſion ſind zwey Puncte: / oder man ſchreibet die Buch - ſtaben / welche einander dividiren ſol - len / wie in der Rechen-Kunſt einen Bruch.
An -14Anfangs-Gruͤnde25. Wenn a durch b dividiret werden ſol / ſo ſchrei - bet man den Qvotienten entweder a: b / oder $$\frac {a}{b}$$ und ſpricht es beyderſeits aus a durch b dividiret.
26. Wenn eine Groͤſſe viel andere auf einmal dividiret / oder viel andere eine dividiren / ſo werden / wie in der Mul - riplication die vielen in eine parentheſin () eingeſchloſſen / oder man kan auch an deren ſtat ein bloſſes Comma brauchen.
27. Wenn a + b durch c dividiret werden ſol / ſo ſchreibet den Qvotienten entweder (a + b): c oder a + b,: c. Sollet ihr a durch b + c dividieren / ſo iſt der Qvotient a: (b + c) oder a:, b + c. Wiederumb wenn ihr a + b durch c + d dividiret / ſo ſchreibet den Qvo - tienten (a + b): (c + d) oder a + b,:, c + d.
28. Nach der gemeinen Art ſchreibet ihr dieſe Qvo - tienten a + b / c, a / b+c a+b / c+d, oder auch a+b: c, a: b+c, a+b: c+d.
29. Einerley Groͤſſen mit einerley und verſchiedenen Zeichen zuſammen zu ad - diren.
a + 2 b ‒ ‒ 3c ‒ ‒ 5d
3a ‒ ‒ 2b + 6c + 2d
4a + 3c ‒ ‒ 3d
Weil die Buchſtaben undeterminirte Zah - len ſind (§. 14); ſo koͤnnet ihr einen ieden als Eines anſehen / und demnach die Groͤſſen / welche durch einerley Buchſtaben benennet werden / als Dinge von gleicher Art zuſam - men zehlen (§. 8 Arithm.) Alle Groͤſſen / wel - che mit dem Zeichen ‒ ‒ bemercket werden / feh - len und hingegen die das Zeichen + haben / ſind vorhanden. Wenn ich derowegen von bey - der Art addiren ſol / ſo wird durch die letzte - ren der Mangel aufgehoben. Und dannen - hero muß freylich die Addition in eine Sub - traction verkehret werden. W. Z. E.
30. Die Groͤſſen / welche mit dem Zeichen — be - mercket werden / hat man nicht anders als Schulden anzuſehen / und hingegen die anderen mit dem Zeichen + als baares Geld. Und daher nennet man auch die er - ſten weniger als nichts / weil man erſt ſo viel weg geben muß / als man ſchuldig iſt / ehe man nichts hat.
31. Damit euch die Rechnung mit Buchſtaben deutlicher wird / ſo bildet euch ein / a bedeute 1 thl. b 1 gl. c 1 pf.
7a ‒ ‒ 9b + 5c 7 thl. ‒ ‒ 9 gl. + 5 pf.
3a + 5b ‒ ‒ 9c 3 thl. + 5 gl. ‒ ‒ 9 pf.
10a — 4b — 4c 10 thl. ‒ 4 gl. ‒ 4 pf.
32 Einerley Groͤſſen mit einerley o - der verſchiedenen Zeichen von einander zuſubtrahiren.
8a ‒ 5c + 9 d 8 thl. ‒ 5 gl. + 9 pf
6a ‒ 8c ‒ 7 d 6 thl. ‒ 8 gl. ‒ 7 pf
2a + 3c + 16 d 2 thl. + 3 gl. + 16 pf
9b + 15c ‒ 7d + 8e ‒ f
6b + 20c ‒ 9d ‒ 9e + 7f
3b ‒ 5c + 2d + 17e ‒ 8 f
Weil ihr jeden Buchſtaben als Eines an - ſehen koͤnnet (§. 8. 14); ſo koͤnnet ihr auch wie in Zahlen die Subtraction verrichten. Allein wenn ihr die groͤſſere von der kleineren abzie - het / und ſie haben das Zeichen + / als 20 c von 15 c / ſo nehmet ihr 20 c weg / muͤſſet aber wie - der von oben die 15 c addiren / und dannenhero fehlen nur noch ſo viel c als der Unterſcheid zwieſchen 20 und 15 iſt, nemlich 5. Hinge - gen wenn das Zeichen ‒ ‒ iſt / als wenn ihr ‒ ‒ 9d von ‒ ‒ 7d abziehen ſollet; ſo muͤſſet ihr ‒ ‒ 9d addiren / weil ihr es zuviel abgezogen. Denn ihr ſolltet 20c ‒ ‒ 9d wegnehmen: ihr habt a - ber 20c gantz weggenommen. Da nun o - ben 7 d fehlen / ſo heben ſich von den 9d / die ihr dazu addiret / 7 auf und bleiben nur noch 2 d uͤbrieg. Darumb doͤrfet ihr in dieſen Faͤl - len nur allzeit die kleinere von deꝛ groͤſſeren ab - ziehen / und zu dem uͤbriegen das wiedrige Zei - chen ſetzen nemlich ‒ ‒ wenn ihr + habet / und + weñ ‒ ‒ iſt. Endlich weñ die Zeichen verſchie -(4) Bden18Anfangs-Gruͤnde1den ſind / und ihr ſollet Z. E. ‒ 9 e von + 8 e ab - ziehen; ſo wieſſet ihr aus dem vorhergehen - den / daß die unteren 9 e addiret werden muͤſ - ſen / weil ihr ſie zuviel in den vorhergehenden abgezogen. Und demnach bekommt ihr + 17 e. Hingegen wenn ihr Z. E. + 7 f von ‒ f ſubtrahiren ſollet; ſo fehlet euch oben ſchon ein f; Wenn ihr nun die 7 f unten auch noch weg - nehmen ſollet / ſo fehlen euch zuſammen 8 f. Daher habet ihr in beyden Faͤllen nur noͤthig die Groͤſſen zu addiren / und zu der Summe das Zeichen zu ſetzen / welches die Groſſe hat / davon die Subtraction geſchiehet.
33. Groͤſſen mit einerley und ver - ſchiedenen Zeichen durcheinander zu multipliciren.
Verrichtet die Multiplication / wie in Zah - len (§. 52 Arithm. ) nur mercket: daß einer - ley Zeichen im Producte + / verſchiedene aber ‒ ‒ geben.
a + b ‒ d 10 = 8 + 4 ‒ 2
a ‒ b ‒ d 2 = 8 ‒ 4 ‒ 2
‒ ad ‒ bd + dd ‒ 16 ‒ 8 + 4
‒ ab ‒ bb + bd ‒ 32 ‒ 16 + 8
aa + ab ‒ ad 64 + 32 ‒ 16
aa ‒ bb ‒ 2 ad + dd 68 ‒ 48 = 20
Wenn ihr + durch + multipliciret / ſo iſt klahr / daß das Product auch + haben muß. Jngleichen iſt nicht ſchweer zu begreiffen / daß in dem Producte das Zeichen — ſeyn muß / wenn ihr + durch ‒ ‒ multipliciret / weil ihr ei - nen Mangel oder eine Schuld etliche mal nehmet. Allein wenn — durch ‒ ‒ multiplici - ret wird / ſcheinet es nicht gleich klahr zu ſeyn / warumb in dem Producte + iſt. Mercket demnach / daß wenn ihr 3 ‒ ‒ 2 durch ‒ 2 multi - pliciren ſollet / ihr den Defect ‒ 2 ſo viel mal nehmen ſollet / als 3 ‒ ‒ 2 Einheiten hat; das iſt / 1 mal. Da ihr nun anfangs 3 mit -2 multi - pliciret / ſo nehmet ihr den Defect 3 mal / und demnach 2 mal zu viel. Derowegen muͤſſet ihr ihn noch zwey mal dazu wieder addiren. Und alſo giebet ‒ ‒ 2 mit ‒ ‒ 2 zum Producte + 4 W. Z. E.
34. Wenn ihr ‒ ‒ a mit + b multipliciret / ſo kommet ‒ ‒ a b heraus. Derowegen wenn ihr ‒ ‒ ab durch + b dividiret / muß ‒ ‒ a heraus kommen. Dividiret ihr aber ‒ ‒ ab durch ‒ ‒ a / ſo muß + b heꝛaus kommen. Demnach iſt klahr / daß auch in der Diviſion die Regel gielt: Einerley Zeichen geben im Qvoti - enten + / verſchiedene aber ‒ ‒.
35. Groͤßen mit einerley und verſchie - denen Zeichen durch einander zu dividi - ren.
B 2Auf -20Anfangs-GruͤndeWenn eine gegebene Groͤſſe durch die an - dere ſich wuͤrcklich dividiren laͤßet; ſo verfah - ret wie in Zahlen (§. 56) / nur daß ihr die Re - gel von Veraͤnderungen der Zeichen wohl in acht nehmet (§. 34).
Kan aber die Diviſion nicht wuͤrcklich ge - ſchehen / ſo bleibet es bey dem / was oben (§. 24 & ſeqq. ) geſaget worden.
aa — bb ‒ ‒ 2 ad + dd (a + b-d a - b - d) aa ‒ ‒ ab ‒ ‒ ad
+ ab — bb ‒ ‒ ad + dd
a ‒ ‒ b ‒ ‒ d) + ab — bb ‒ ‒ bd
+ bd ‒ ‒ ad + dd
a ‒ ‒ b ‒ ‒ d) ‒ ad + bd + dd
o
36. Weil die Buchſtaben nicht wie die Zahlen eine Bedeutung von der Stelle haben / in welcher ſie ſte - hen; ſo doͤrfet ihr euch auch hier an keine Ordnung binden / ſondern moͤget den Qvotienten ſuchen / in wel - chem Gliede ihr ihn findet: welches auch in dem Sub - trahiren des Productes aus dem Diviſore in den Qvo - tienten ſta ſindet.
37. Wenn man eine Groͤſſe durch ſich ſelbſt multipliciret / ſo heiſſet das Pro - duct / welches heraus kommet / die an - dere Potentz oder Dignitaͤt derſelbenGroͤſ -21der Algebra. Groͤſſe. Multipliciret ihr die andere Dignitaͤt noch einmal durch die erſte / ſo kommet die dritte Potentz / oder Di - gnitaͤt heraus. Multipliciret ihr fer - ner die dritte durch die erſte / ſo kommet die vierdte Potentz oder Dignitaͤt her - aus. Multipliciret ihr die vierdte durch die erſte / ſo kommet die fuͤnfte Potentz oder Dignitaͤt heraus / u. ſ. W.
38. Den Gradder Potentz oder Di - gnitaͤt einer Groͤſſe deutet durch eine kleine Zifer / oder / wenn er nicht deter - miniret iſt / durch einen kleinen Buchſta - ben an / den ihr oben zur Rechten an denjenigen Buchſtaben ſetzet / wodurch die Groͤſſe benennet wird. Z. E. die an - dere / dritte / vierdte. ꝛc. Dignitaͤt von X iſt / X2 / X3 / X4 / ꝛc. Xm. Dieſe Zahlen aber werden die Exponenten der Digni - taͤten genennet.
39. Dannenhero wenn ihr eine Dignitaͤt durch eine andere multipliciren ſollet / ſo doͤr - fet ihr nur ihre Exponenten zuſammen addi - ren.
| x 3 | ym | xm xn |
| x 4 | yx | xr xn |
| x 7 | ym+n | am+r x2n |
40. Hingegen wenn ihr die Dignitaͤt ei - ner Groͤſſe durch eine andere Dignitaͤt der - ſelben dividiren ſollet; ſo doͤrfet ihr nur ihre Exponenten voneinander ſubtrahiren.
| x 7 | x 7 | ym+n | ym |
| x 4 | x 3 | yn | yn |
| x 3 | x 4 | ym | ym-n |
41. Endlich wenn ihr die Dignitaͤt einer Groͤße zu einer anderen Dignitaͤt erhe - ben ſollet / ſo doͤrfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der anderen multipli - ciren. Z. E. Jhr ſollet x 3 zu der 4 Dignitaͤt erheben: ſo multipliciret 3 durch 4 / und neh - met x 12 vor die geſuchte Dignitaͤt an.
42. Die Urſache iſt leicht zu errathen. Denn ihr ſollet den Exponenten 3 vier mal zu ſich ſelbſt addiren (§. 37. 39). Dieſes aber geſchiehet / wenn ihr ihn durch 4 multipliciret (§. 23 Arithm.)
43. Folgends wenn ihr aus einer gegebe - nen Dignitaͤt eine verlangte Wurtzel ziehen ſollet / das iſt / diejenige Groͤſſe finden / wel - che zu einer gewießen Dignitaͤt erhoben wor - den (§. 83. 84. Arithm. & §. 37. Algebr. ); ſo doͤrfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der Wurtzel dividiren. Z. E. Die23der Algebra. die Wurtzel der vierdten Dignitaͤt aus x 12 iſt x 3 die Wurtzel m aus xn iſt xn: m.
44. Mercket wohl dieſe Art der Wurtzeln zu zeich - nen / denn ihr werdet ins kuͤnftige großen Vortheil davon haben.
45. Wenn ihr die Wurtzel aus einer Groͤſſe ziehen ſollet / dergleichen ſie nicht hat / ſo ſetzet folgendes Wurtzel-Zeichẽ vor ſie und uͤber daſſelbe den gehoͤrigen Exponenten der Wurtzel: in der Qva - drat-Wurtzel aber koͤnnet ihr den Expo - nenten weglaſſen. Allſo ſchreibet ihr die Eubic-Wurtzel von x / ∛ x; hingegen die Wurtzel der fuͤnften Dignitaͤt von x ſchrei - bet ihr $$\sqrt [5] {}$$ x.
46. Weil Vx = x1: 2 / ∛ x2 = x2: 3 / $$\sqrt [m] {}$$ xn = xn: m (§. 43) ſo koͤnnet ihr iederzeit eine Formul in die Stelle der anderenſetzen / nach - dem ihr von dieſer oder von jener einen Vor - theil haben koͤnnet.
47. Dergleichen Groͤßen / daraus die verlangete Wurtzel nicht gnau gezogen werden kan / werden Jrrational-Groͤſ - ſen oder / wenn es Zahlen ſind / Jrratio - nal-Zahlen genennet. dergleichen ſind V 2 / $$\sqrt [3] {} 4$$ / $$\sqrt [5] {} 6$$
B 4An -24Anfangs-Gruͤnde48. Die Jrrational-Groͤſſen koͤnnen entweder eine Benennung haben / als $$\sqrt [3] {} 2$$ und $$\sqrt [3] {} 5$$ / oder verſchiede - ne als $$\sqrt [4] {} 3$$ und $$\sqrt [5] {} 6$$ .
49. Jrrational Groͤſſen von ver - ſchiedener Benennung zu einer Benen - nung zu bringen.
Es ſeyn die gegebenen Jrrational-Groͤſ - ſen xn: m und yr: s.
Weil der Unterſcheid der Benennung in dem Unterſcheide der Exponenten n: m und r: s beſtehet / hingegen man dieſe Bruͤche in ande - re gleichguͤltige verwandeln kan / die einerley Benennung haben (§. 74 Arithm. ) ſo iſt wei - ter nichts vonnoͤthen als daß ihr die Exponen - ten unter einerley Benennung bringet / und die dadurch gefundenen Bruͤche in die Stelle der Exponenten ſchreibet. So werdet ihr finden / daß xn: m + yr: s = xns: ms + ymr: ms = $$\sqrt [ms] {}$$ xns + $$\frac [ms] {}$$ ymr.
50. Eben dieſer Methode koͤnnet ihr euch in den Jrrational-Zahlen bedienen. Z. E. Jhr ſollet $$\sqrt [3] {} 5$$ und V 3 unter eine Benennung bringen. Weil $$\sqrt [3] {} 5$$ = 51: 3 und V 3 = 31: 2 / ſo findet ihr 51: 3 + 31: 2 = 52: 6 +33: 6 = $$\sqrt [6] {} 5^2$$ + $$\sqrt [6] {} 3^3$$ = (wenn ihr die Groͤſſen un -ter25der Algebra. ter dem Wurtzel-Zeichen wuͤrchlich zu ihrer Dignitaͤt erhebet) V[⁶]25 + V[⁶]27.
51. Jrrational-Groͤſſen auf eine ſchlechtere Art auszudrucken.
Jhr ſollet $$\sqrt [m] {}$$ an xm auf eine andere Art ausdrucken. Setzet
$$\sqrt [m] {}$$ an xm = y $$\sqrt [3] {} 16$$ = $$\sqrt [3] {} 8. 2$$ = x
ſo iſt ax xm = ym 8. 2 = x3
an = ym: xm 2 = x3: 8
$$\sqrt [m] {}$$ an = y: x $$\sqrt [3] {} 2$$ = x: 2
x $$\sqrt [m] {}$$ an = y 2 $$\sqrt [3] {} 2$$ = x
So iſt geſchehen / was man verlangete.
$$\sqrt [3] {} 24$$ = $$\sqrt [3] {} 8. 3$$ = 2 $$\sqrt [3] {} 3$$ . Jnglei - chen � 18 = � 2. 9〈…〉〈…〉 = 3 � 2. Wie - derumb $$\sqrt [4] {}$$ 48 = $$\sqrt [4] {}$$ 16. 3 = 2 $$\sqrt [4] {}$$ 3.
52. Wenn ihr Jrrational-Groͤſſen von ei - nerley Art ſolcher geſtalt reduciret / und es bleibet unter dem Wurtzel-Zeichen einerley Groͤſſe ſtehen; ſo verhalten ſich dieſelbe ge - gen einander wie die Rational-Groͤſſen vor dem Wurtzel-Zeichen. Z. E. � 8 = � 4. 2 = 2 � 2 und � 18 = � 9. 2 = 3 � 2. Derowegen iſt 2 � 2: 3 � 2 = 2: 3 (§. 68. Arithm.)
53. Derowegen koͤnnet ihr durch gegen - waͤrtige Aufgabe finden / ob zwey Jrratio - nal-Groͤſſen eine Verhaͤltnis gegen einan - der haben / die ſich durch Rational-Groͤſſen ausdrucken laͤſſet.
54. Weil ihr in ſolcher Geſtalt reducir - ten Rational-Groͤſſen den Theil / welcher ir - rational bleibet fuͤr den Nahmen der Ein - heit mit Recht haltet (§. 5 & ſeqq. Arithm. ) ſo koͤnnet jhr die Summe oder den Unter -ſcheid27der Algebra. ſcheid der Jrrational-Groͤſſen finden / die un - ter dem Wurtzel-Zeichen einerley Groͤſſen haben und von einerley Art ſind / wenn ihr die Rational-Groͤſſen vor dem Wurtzel-Zei - chen zu ſammen addiret oder von einander ſubtrahiret. So werdet ihr finden / daß � 8 + � 18 = 2 � 2 + 3 � 2 = 5 � 2 und � 18 — � 8 = 3 � 2 — 2 � 2 = � 2. Jngleichen $$\sqrt [3] {} 24$$ + $$\sqrt [3] {} 81$$ = ∛ 3. 8 + ∛ 3 27 = 2 ∛ 3 + 3 ∛ 23 = 5 ∛ 3.
55. Es iſt aus der Aufloͤſung der Aufga - be zugleich klahr / wie ihr verfahren muͤſſet / wenn ihr die Groͤſſen / die zum Theil rational / zum Theil irrational ſind / gantz irrational machen follet. Nemlich ihr muͤſſet die Groͤſ - ſe vor dem Wurtzel-Zeichen zu der Dignitaͤt erheben / welche der Exponente über dem Wurtzel-Zeichen andeutet / und durch ſelbi - ge die Groͤſſe unter dem Wurtzel-Zeichen multipliciren. So werdet ihr finden / daß 5 � 2 = � 2. 25 = � 50 und 5 ∛ 3 = ∛ 3. 53 = ∛ 3. 125 = ∛ 375.
56. Damit ihr erfahret / ob eine vorgegebene Zahl ſich durch eine Dignitaͤt von einem gegebenen Grade dividiren laͤſſet oder nicht; ſo doͤrfet ihr nur dieſelbe in die jenigen Zahlen reſolviren / durch deren Multiplication ſie entſtehet. Dieſes aber geſchie - het / wenn ihr ſie mit den eintzelen Zahlen zu dividi -ren28Anfangs-Gruͤnderen anfanget. Z. E. Jhr ſollet auf ſolche Weiſe 368 reſolviren / ſo findet ihr:
| 2. | 184 |
| 4. | 92 |
| 8. | 46 |
| 16. | 23 |
Wenn ihr uͤber 10 kommen ſeyd / ſo ſehet ihr jeder - zeit / daß die vorgegebene Zahl ſich mit keiner dividiren laͤſſet / die nicht durch Multiplication der vorher ge - fandenen Einer entſtanden.
57. Wem die Jrrational-Rechnungen anfangs ver - druͤßlich fallen / der kan ſie ſo lange uͤberſchlagen biß ſie unten vorkommen. Er huͤte ſich aber mit Fleiß / daß er nicht nach hieſiger Mode fuͤr unnuͤtze Grillen halte / wovon er den Nutzen nicht bald fehen kan. Jhr werdet im folgenden erfahren / daß ich niemals eine Lehre vortrage / die nicht ihren gewießen Nutzen hat.
58. Sonſt mercket noch den Kunſtgrief / deſſen wir uns in Aufloͤſung gegenwaͤrtiger Aufgabe bedienet. Weil wir mit Rational-Groͤſſen umbgehen koͤnnen / haben wir die Jrrational-Groͤſſen auf Rational - Groͤſſen reduciret umb eine Regel zu finden / wie wir dieſelben tractiren koͤnnen. Dieſen Kunſtgrief wer - den wir mehr brauchen und die Ausuͤbung der Al - gebra wird euch geſchieckt machen / auch in andern vorkommenden Faͤllen die ſchweereren auf leichtere zu reduciren: wovon ihr unter andern ein Exempel in der Geometrie gehabt (§: 105 Geom.)
59. Eine Jrrational Groͤſſe durch eine andere von einerley Art zu multi - pliciren.
Auf -29der Algebra.Jhr ſollet $$\sqrt [m] {}$$ an durch $$\sqrt [m] {}$$ br multiplici - ren. Setzet
$$\sqrt [m] {}$$ an = x $$\sqrt [m] {}$$ br = y (§. 59)
So iſt an = xm br = ym br = ym
an br = xm ym (§. 32. Arithm.)
Folgends $$\sqrt [m] {}$$ an br = xy.
Zeichen mit ſeinem Exponenten ( $$\sqrt [m] {}$$ ). So werdet ihr finden / daß V 2. V 3 = V 6 / und ∛ 5. ∛ 7 = ∛ 35.
60. Wenn ihr allſo eine Jrrational-Zahl durch eine andere Jrrational-Zahl dividiren ſollet / ſo doͤrfet ihr nur die Zahlen unter dem Wurtzel-Zeichen durch einander dividiren. So30Anfangs-GruͤndeSo werdet ihr finden / daß ∛ 35: ∛ 7 = ∛ 5 / ∛ 35: ∛ 5 = ∛ 7 und V 6: V 3 = V 2.
61. Eine Aufgabe Algebraiſch auf - zuloͤſen:
62. Unerachtet die Reduction der gefundenen Gleichung ſehr ofte auf beſchriebene Weiſe geſche - hen kan; ſo gehet es doch nicht in allen Faͤllen an. Wir wollen aber erſt dieſe Regeln uns durch Exem - pel recht bekand machen / ehe wir zu anderen ſchrei - ten. Denn die Algebra lernet man nicht ſo wol durch Regeln / als durch Exempel.
63. Aus der gegebenen Summe zwey - er Groͤſſen und ihrem Unterſcheide die Groͤſſen ſelber zu finden.
Es ſey die Sum̃e = a die kleine Groͤſſe = xder32Anfangs-Gruͤndeder Unterſcheid = b die groſſe = y So iſt / x + y = a (§. 15 Arithm. ) y — x = b (§. 18. Arithm.)
x x x x
y = a — x y = b + x
demnach
a — x = b + x
x x
a = b + 2 x
b b
a — b = 2 x
2
〈…〉
Ziehet den Unterſcheid der beyden Groͤſ - ſen (b) von der Summe (a) ab. Den Reſt dividiret durch zwey; ſo iſt der Qvotient die kleine Groͤſſe (x).
Z. E. Es ſey a = 30 / b = 8 / ſo iſt (a — b): 2 = (30 — 8): 2 = 22: 2 = 11.
64. Jhr koͤnnet allzeit aus der letzten Verglei - chung eine Regel machen / dadurch die Aufgabe in al - len vorkommenden Faͤllen aufgeloͤſet werden kan /Wenn33der Algebra. wenn ihr vor die Buchſtaben die Nahmen der Sachen ſetzet / die ſie bedeuten / und an ſtat der Zeichen die Rechnungs-Art benennet / die ſie andeu - ten: allein der Kuͤrtze halber werde ich ins kuͤnftige keine Regel herſetzen / wenn es nicht beſondere Umb - ſtaͤnde erforderen. Und dieſes thue ich umb ſo viel lieber / weil man die Exempel in Zahlen viel hurtiger aufloͤſen kan / wenn man die Zifern in die Stelle der Buchſtaben ſetzet / als wenn man nach der Regel ver - faͤhret.
65. Eine Zahl zufinden / deren Helfte ⅓ und ¼ zuſammen umb 1 groͤßer ſind als die Zahl ſelbſt.
Es ſey die geſuchte Zahl = x / ſo iſt ½ x + ⅓ x + ¼ x = x + 1 das iſt (12x + 8 x + 6x): 24 = $$\frac {26}{24}$$ x = x + 1 (§. 74. Arithm.)
24
26 x = 24 x + 24
24 x 24 x
2 x = 24
2
x = 12
Probe. ½ x + ⅓ x + ¼ x = 6 + 4 + 3 = 13.
66. Aus der gegebenen Sum̃e zweyer Zahlen und dem Producte einer Zahl in die andere / die Zahlen ſelber zu finden.
Es ſey die Summe = a die halbe Diffe -(4) Crentz34Anfangs-Gruͤnderentz = x das Product = b ſo iſt die groſſe
| Zahl ½ a + x | §. 6. |
| die kleine ½ a-x |
Und allſo ¼ aa-xx = b
¼ aa = b + xx
¼ aa-b = xx
� (¼ aa-b) = x
Es ſey a = 14 / b = 48 / ſo iſt � (¼ aa-b) = � (49-48) = 1 / folgends die große Zahl ½ a + x = 7 + 1 = 8 und ½ a — x = 7 — 1 = 6.
67. Es iſt an der Benennung oͤfters viel gelegen. Denn wenn ihr in gegenwaͤrtiger Aufgabe die groſſe Zahl x / die kleine y genennet haͤttet; wuͤrdet ihr auf eine Gleichung kommen ſeyn / die ihr noch nicht aufzu - loͤſen vermoͤgend ſeyd.
68. Es wird gegeben die Summe glei - cher Dignitaͤten zweyer Groͤſſen / und der Unterſcheid ſelbiger Dignitaͤten / ihr ſollet die Groͤßen ſelbſt finden.
Es ſey die Sum̃e = a die kleine Groͤße = x
Der Unterſcheid = b die große = y
ſo iſt /
xm + ym = a ym — xm = b
ym = a — xm ym = b + xm
Fol -35der Algebra.Folgends
a — xm = b + xm
a = b + 2 xm
a — b = 2 xm
(a — b): 2 = x2m
� (½ a ‒ ½ b) = x
Es ſey m = 2 / a = 97 / b = 65 / ſo iſt x = � (½ a — ½ b) = � (48 ½ — 32 ½) = � (16) = 4 und y = � (b + x2) = � (65+16) = � (81) = 9.
69. Zwey Zahlen von der Beſchaffen - heit zu finden / daß das Product einer je - den in die Qvadrat-Wurtzel der an - dern einer gegebenen Zahl gleich iſt.
Es ſey das eine Product = a die eine Zahl = x das andere = b die andere = y
So iſt x V y = a y V x = b
x2 y = a2 y2 x = b2
x = b2: y2
x2 = b4: y4
Wenn ihr den Werth von x 2 in die erſte Glei - chung zur Lincken ſetzet / ſo bekommet ihr
C 2b 4[36]Anfangs-Gruͤndeb4 y: y4 = b2: y3 = a2
b4 = a2 y3
b4: a2 = y3
∛ (b4: a2) = y
Es ſey a = 18 / b = 12 / ſo iſt y = ∛ (b4: a2) = ∛ (20736: 324) = ∛ (64) = 4.
70. Aus der gegebenen Summe zweyer Groͤſſen und der Differentz ihrer Qva - drate die beyde Groͤſſen zu finden.
Es ſey die Sum̃e = a die halbe Diefferentz die Differentz = b der Groͤſſen = y So iſt die eine Groͤſſe $$\frac {2}{2}$$ a + y Die andere ½ a — y
Das Qvadrat der erſten ¼ aa + ay + yy
Das Qvadrat der 2deren ¼ aa — ay + yy
Die Differentz b = 2 ay
2 a
folgends b: 2a = y
Es ſey b = 40 / a = 10 / ſo iſt y = 40: 20 = 2; folgends die eine Zahl ½ a + y = 5 + 2 = 7 / die andere ½ a — y = 5 — 2 = 3.
71. Aus der gegebenen Summe zweyer Groͤßen und der Summe ih - rer Qvadrate die beyden Groͤßen zu finden.
Es ſey die erſte Sum̃e = a die eine Groͤſſe ½ a + y
Die andere = b die andere ½ a-y So iſt das Qvadrat der erſten ½ aa + ay + yy der anderen ¼ aa — ay + yy
Die Summe b = ½ aa + 2 yy
Folgends b — ½ aa = yy
� (½ b — ¼ aa) = y
Es ſey a = 10 / b = 58 / ſo iſt � (½ b — ¼ aa) = � (29 — 25) = � 4 = 2 / folgends ½ a + y = 5 + 2 — 7 und ½ a — y = 5 — 2 = 3.
72. Aus dem gegebenen Producte aus der Summe der Qvadrate zweyer Groͤ - ßen in die kleine und der Summe aus dem Qvadrate ihrer Differentz in das dop - pelte Product derſelben Groͤſſen die bey - den Groͤſſen zu finden.
Es ſey die eine Groͤſſe = x das Product = a Die kleine〈…〉〈…〉 y Die Sum̃e = b
C 3So38Anfangs-GruͤndeSo iſt die Differentz = x — y
Jhr Qvadrat = x2 — 2 xy + yy das doppelte Product = 2 x y
die Summa = x2 + yy
Derowegen iſt
x2 + y2 = b x2 y + y3 = a
x2 — b — y2
Setzet den Werth von x 2 in die Gleichung zur Rechten / ſo habet ihr
by — y3 + y3 = by = a
b
folgends y = b: a
Es ſey a = 910 / b = 130 / ſo iſt b: a = 910: 130 = 7 und x = � (130 — 49) = � 81 = 9.
73 Zwey Zahlen zu finden / deren Product einer gegebenen Zahl gleich iſt / das Qvadrat aber der Summe zu dem Qvadrate der Differentz beyder Zahlen eine gegebene Verhaͤltnis hat.
Es ſey das Product = a die eine Zahl x — y die gegebene Verhaͤltnis = b: c die andere
So iſt x + y
xx — yy = a b: c = 4 x2: 4 y2
xx = a + y2 4 b y2 = 4 c x2
by2: c = x2
Fol -39der Algebra.Folgeids
a + y2 = b y2: c
ac + cy = b y 2
ac = by2 — cy2
b-c
a c: (b ‒ c) — y 2
V a c: V b — c) = y
Es ſey a = 96 / b: c = 25: 1 / ſo iſt y = V 96: � 25 — 1 = � 4 = 2; und x = � (96 + 4) = � 100 = 10:[fo]lgends x + y = 10 + 2 = 12 und x — y = 10 ‒ 2 = 8.
74. Wenn die Wurtzel einer Digni - taͤt oder Potentz auszwey Theilen beſte - het / nennet man ſie eine Binomiſche Wurtzel / als a + b. Beſtehet ſie aus drey Theilen / als a + b + c; ſo heiſſet ſie eine Trinomiſche Wurtzel: Wenn ſie aus vier Theilen beſtehet / eine Ova - drinomiſche Wurtzel u. ſ. w. uͤberhaupt aber nennet man ſie eine Polynomi - ſche Wurtzel / wenn ſie aus mehr als zwey Theilen beſtehet.
75. Die Natur des Qvadrates oderC 4der40Anfangs-Gruͤndeder anderen Digntaͤt einer Binomi - ſchen Wurtzel zu finden.
Jhr verlanget zu weßen / wie das Qva - drat einer Binomiſchn Wurtzel entſtehen kan / (§. 4 Method. M〈…〉〈…〉 them.) Multipli - ciret demnach die Binoniſche Wurtzel a + b durch ſich ſelbſt / ſo wird das Product zei - gen / aus was fuͤr Theilen das Qvadrat zu - ſammen geſetzet werde / und wie dieſe Theile des Qvadrates aus den Theilen der Wur - tzel entſtehen.
a + b
a + b
+ ab + b 2
a2 + ab
a2 + 2 ab + b2 Qvadrat der Bi - nomiſch. Wurtzel.
Das Qvadrat der Binomiſchen Wurtzel begreiffet in ſich die Qvadrate der beyden Theile (a 2 und b 2) und ein Product (2ab) aus dem einen Theile zwey mal genommen (2 a) in den ande - ren (b).
76. Jhr habet hier auf eine ſehr leichtere Art den anderen Lehrſatz der Rechen-Kunſt (§. 86. Arithm. ) gefunden daraus wir die Ausziehung der Qvadrat - Wurtzel (§. 90. Arithm. ) hergeleitet. Wenn ihr a -ber41der Algebra. ber dieſelben Regeln vergeßen haͤttet / koͤnte euch dieſes allgemeine Exempel a2 + 2ab + b 2 an ſtat derſelben die - nen. Denn ihr fehet / wenn ihr in der erſten Claſſe zur Lincken das darinnen befindliche Qvadrat a 2 abzie - het / ihr den erſten Theil der Wurtzel a habet. Wollet ihr nun den anderen finden / ſo muͤſſet ihr mit 2 a / das iſt / mit dem gefundenen Qvotienten zwey mal genom - men / die folgende Zahl 2 a b dividiren / und hernach nicht allein das Product aus dem Diviſore 2 a in den neuen Qvotienten b / ſondern auch das Qvadrat des neuen Qvotienten b 2 ſubtrahiren.
77. Setzet a = a + b und b = c / ſo kom - met fuͤr das Qvadrat der Trinomiſchen Wurtzel (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c2. Und allſo muͤſſet ihr zu dem Binomiſchen Qvadrate noch das Product aus der Summe der bey - den Theile der Binomiſchen Wurtzel zwey mal genommen in den dritten Theil und das Qvadrat des dritten Theiles addiren. Se - tzet a = a + b + c / und b = d / ſo kommet fuͤr das Qvadrat der Trinomiſchen Wur - tzel (a + b + c) 2 + 2 (a + b + c) d + d2. De - rowegen muͤſſet ihr zu dem Qvadrate der Trinomiſchen Wurtzel noch das Product aus der Summe der erſten drey Thei - le viermal genommen in den vierdten Theil und das Qvadrat des vierdten Theiles addiren. Solcher geſtalt ſeher ihr / daß ihr nach der Vinomiſchen Formul auch das Qvadrat einer jeden Polynomiſchen Wurtzel finden / ingleichen aus einer ge - gebenen Zahl eine jede PolynomiſcheC 5Wur -42Anfangs-GruͤndeWurtzel ziehen koͤnnet. Den (a + b + c + d + e &c.) 2 = a2 + 2 ab + b2 + 2 (a + b) c + c2 + 2 (a + b + c) d + d2 + 2 (a + b + c + d) e + e2 u. ſ. w. unendlich fort.
78. Eine unreine Qvadratiſche Gleichung (Æquatio quadratica affe - cta) wird genennet / in welcher x2 + a x = ± b2.
79. Eine unreine Qvadratiſche Glei - chung aufzuloͤſen.
Weil x2. a x =. b2 / ſo nehmet x fuͤr den einen Theil einer Binomiſchen Wurtzel an / ſo wird a / die bekandte Groͤſſe des ande - ren Gliedes / der andere Theil der Wurtzel zweymal genommen und allſo ½ a der ande - re Theil der Wurtzel ſeyn: folgends fehlet zu einem vollkommenen Qvadrate das Qva - drat von ½ a / nemlich ¼ aa. Wenn ihr nun ſolches beyderſeits addiret; ſo laͤſſet ſich die Qvadrat-Wurtzel ausziehen und die ge - gebene Gleichung voͤllig reduciren.
x 2.43der Algebra.x2. ax =. b2
¼ a2 ¼ a2
x2. ax. ¼ a2 = ¼ a2. b2
x. ½ a = V (¼ a2. b2)
x =. ½ a. V (¼ a2. b2)
80. Jch habe an ſtat der Zeichen + und — nur einen Punct geſetzet / damit es nicht noͤthig waͤre vie - le Faͤlle von einander zu unterſcheiden. Den Nu - tzen dieſer Regel werdet ihr inskuͤnftige uͤberfluͤßig ſehen. Jetzt vergnuͤget mich dieſelbe durch die bey - den folgenden Aufgaben zu erlaͤutern.
81. Zwey Zahlen von der Beſchaf - ſenheit zu finden / daß ihr Product / ihre Summe und die Differentz ihrer Qva - drate einander gleich ſind.
Es ſey die groſſe Zahl = x
die keine = y / ſo iſt
x2 — y2 = xy xy = x + y
x y — y = x
y = x: (x + 1)
Wenn ihr den Werth y in der erſten Glei - chung an ſeine Stelle ſetzet / ſo bekommet ihrx 244Anfangs-Gruͤnde 〈…〉
Ferner weil x y — x = y / ſo iſt x = y: (y — 1). Wenn ihr dieſen Werth in der erſten Gleichung in die Stelle x ſetzet / ſo be - kommet ihr 〈…〉 und wenn ihr die Reduction wie vorhin an - ſtellet / ſo findet ihr endlich y = ½ — V 1¼.
82. Aus dem gegebenen Producte zweyer Groͤſſen und ihrer Differentz die Groͤſſen ſelber zu finden.
Auf -45der Algebra.Es ſey das Product = a die eine Groͤſſe = x die Differentz = b die andere = y
So iſt /
a = x y b = x — y
a: y = x b + y = x
Folgends a: y = b + y
y
a = by + y 2
¼ b2 ¼ b2 (§. 79)
a + ¼ b2 = ¼ b2 + by + y2
V (a + ¼ b2) = ½ b + y
V (a + ¼ b2) — ½ b = y
Es ſey a = 40 / b = 3 / ſo iſt y = V (40 + $$\frac {2}{4}$$ ) — $$\frac {3}{2}$$ = V (169: 4) — $$\frac {3}{2}$$ = ½3 — $$\frac {3}{2}$$ = $$\frac {10}{2}$$ = 5 / und demnach x = 8.
83. Die Natur der dritten Dignitaͤt einer Binomiſchen Wurtzel zu finden.
Jhr habet nur die andere Dignitaͤt /a 246Anfangs-Gruͤndea2 + 2 ab + b2 durch die Wurtzel a + b zu multipli - ciren (§. 37)
+ a2 b + 2ab2 + b 3
a3 + 2a2b + ab 2
a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b 3
Die dritte Dignitaͤt einer Binomi - ſchen Wurtzel enthaͤlt in ſich die dritte Dignitaͤt der beyden Theile (a 3 und b 3) und ein Product aus dem Qvadrate des erſten Theiles drey maligenommen (3a 2) in den anderen Theil (b) nebſt noch einem anderen Producte aus dem erſten Theile drey mal genommen (3 a) in das Qvadrat des anderen Theiles (b 2).
84. Jhr habet hier abermals auf eine ſehr leich - te Art den 3 Lehrſatz der Rechen-Kunſt (§. 92 A - rithm. ) gefunden / daraus die Ausziehung der Eu - bic-Wurtzel hergeleitet worden (§. 96 Arithm.) Wenn ihr aber die dort gegebenen Regeln vergeſſen haͤttet / koͤnnte euch das allgem eine Exempel a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 an deren ſtat dienen. Denn ihr ſehet / daß / wenn ihr in der erſten Claſſe zur lincken die daſelbſt befindliche dritte Dignitaͤt a 3 abziehet / ihr den erſten Theil der Wurtzel a habet. Wenn ihr nun aus den uͤbriegen drey Gliedern den ande - ren Theil finden wollet / muͤſſet ihr das erſte zur lincken 3 a2 b durch das Qvadrat des erſten dreymal47der Algebra. mal genommen (3 a 2) dividiren und hernach nicht allein das Product aus dieſem Diviſore (3 a 2) in den neuen Qvotienten (b) / ſondern auch das Product aus dem Qvadrate des neuen Qvotientens (b 2) in dem vorhergehenden dreymal genommen (3 a) und endlich die dritte Dignitaͤt des neuen Qvotientens (b 3) abziehen.
85. Setzet a = a + b und b = c / ſo kommet fuͤr die dritte Dignitaͤt der Trino - miſchen Wurtzel a + b + c heraus (a + b) 3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b) c2 + c3 / und allſo muͤſſet ihr zu der Dignitaͤt der Binomiſchen Wurtzel noch das Product aus dem Qva - drate der Binomiſchen Wurtzel dreymal ge - nommen 3 (a + b) 2 in den dritten Theil (c) das Product aus der Binomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b) in das Qva - drat des dritten Theiles (c 2) und die dritte Dignitaͤt deſſelben Theiles (c 3) addiren. Setzet a = a + b + c und b = d / ſo iſt die 3te Dignitaͤt der Qvadrinomiſchen Wur - tzel (a + b + c) 3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d2 + d3 folgends muͤſſet ihr noch zu der Dignitaͤt der Trinomiſchen Wurtzel (a + b + c) 3 das Product aus dem Qvadrate der Trinomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b + c) 2 in den vierdten Theil / das Product aus der Trinomiſchen Wurtzel dreymal genommen 3 (a + b + c) in das Qva - drat des vierdten Theiles d 2 und die dritteDigni -48Anfangs-GruͤndeDignitaͤt des vierdten Theiles d 3 addiren. Solcher geſtalt ſehet ihr / daß ihr nach der Binomiſchen Regel auch die dritte Digni - taͤt einer jeden Polynomiſchen Wurtzel fin - den / ingleichen aus einer gegebenen Zahl eine jede Polynomiſche Cubic-Wurtzel zie - hen koͤnnet. Den (a + b + c + d + e &c.) 3 = a2 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b) c2 + c3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d2 + d3 + 3 (a + b + c + d) 2 e + 3 (a + b + c + d) e2 + e3 u. ſ. w. unendlich fort.
86. Auf eben ſolche Weiſe koͤnnet ihr fuͤr die hoͤheren Dignitaͤten Regeln ſinden. Und unerach - tet ich in der folgenden Aufgabe zeigen werde / wie ihr an ſtat unendlicher Regeln fuͤr unendliche Dig - nitaͤten / zu denen eine Groͤße erhoben werden kan / eine einige finden koͤnnet; ſo wird euch die Muͤhe doch nicht verdruͤſſen / wenn ihr auf gleiche Art die Natur der vierdten / fuͤnften / ſechſten Dignitaͤt u. ſ. w. unterſuchet. Denn dieſe Unterſuchung ſelbſt wird euch dienen die allgemeine Regel zu erfinden.
87. Eine allgemeine Regel zufinden / nach welcher jede Binomiſche Wurtzel zu jeder verlangeten Dignitaͤt erhoben werden kan.
Wenn ihr die Binomiſche Wurtzel nach und nach zu ihren Dignitaͤten erhebet / wie bey gefuͤgete Tabelle ausweiſet
ſo wer -49der Algebra.| 1 a | 1 b | |||||||
| 1 a 2 | 2 ab | 1 b 2 | ||||||
| 1 a | 3 a2 b | 3 a b 2 | 1 b 3 | |||||
| 1 a 4 | 4 a3 b | 6 a2 b2 | 4 a b 3 | 1 b 5 | ||||
| 1 a 5 | 5 a4 b | 10 a3 b2 | 10 a2 b3 | 5 a b 4 | 1 b 5 | |||
| 1 a 6 | 6 a5 b | 15 a4 b2 | 20 a3 b3 | 15 a2 b4 | 6 a b 5 | 1 b 6 | ||
| 1 a 7 | 7 a6 b | 21 a5 b2 | 35 a4 b3 | 35 a3 b4 | 21 a2 b5 | 7 a b 6 | 1 b 7 | |
| 1 a 8 | 8 a7 b | 28 a6 b2 | 56 a3 b5 | 70 a4 b4 | 56 a3 b5 | 28 a2 b6 | 8 a b 7 | 1 b 8 |
ſo werdet ihr wahrnehmen / daß eine jede Dignitaͤt aus verſchiedenen Producten zu - ſammen geſetzet iſt / und dieſe Producte durch verſchiedene Zahlen in einander multipliciret werden. Es entſtehen aber dieſe Producte(4) Dwenn50Anfangs-Gruͤndewenn ihr jeden Theil der Wurtzel zu allen niedrigeren Dignitaͤten als die gegebene iſt / erhebet / und ſie verkehret in einander mul - tipliciret. Z. E. in der ſechſten Dignitaͤt ſind alle Dignitaͤten von 1 bis zu der ſechſten der beyden Theile a6. a5. a4. a3. a2. a. 1 und 1. b. b2. b3. b4. b5. b. Multipliciret die er - ſte Reihe in die andere / ſo bekommet ihr 1 a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 + 1 b6 / das iſt / alle Producte / woraus die ſechſte Dignitaͤt beſtehet / auſſer denen Zahlen / welche ſie mul - tipliciren / und nach dem Exempel des Ough - tred (Clavis Mathematicæ c. 12. §. 6. p. m. 38) ſonderlich von denen Engellaͤndern Unciæ genennet werden. Derowegen wenn der Exponente m iſt / ſo ſind die Produc - te am + am-1 b + am-2 b2 + am 3 b3 + am-4 b4 + am-5 b5 + am-6 b6 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr nun ferner die Untzen mit den Exponenten der Potentz vergleichet / ſo wer - det ihr finden / daß ihr fuͤr
| 1 + 1 |
| 1 + 2 + 1 |
| 1 + 3 + 3 + 1 |
| 1 + 4 + 6 + 4 + 1 |
| 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 |
| 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 |
| 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 &c. |
ſetzen koͤnnet
1 +51der Algebra.〈…〉
D 21 +52Anfangs-Gruͤnde〈…〉
Denn53der Algebra.Denn Z. E. 〈…〉 〈…〉 = 3 u. ſ. w.
Derowegen wenn der Exponente eine un - determinirte Zahl m iſt / ſo ſind die zu der Di - gnitaͤt gehoͤrigen Unciæ 〈…〉 〈…〉
Wenn ihr nun dieſe Uncias (von welchen ihr 1 weglaſſen koͤnnet / weil ſie keine Zahl mul - tipliciret) in die oben gefundenen Producte multipliciret; ſo bekommet ihr fuͤr die Digni - taͤt m von a + b
〈…〉
D 3m-o. 54Anfangs-Gruͤnde〈…〉
am-6b6 &c. das iſt / weil am-1 = am a / am-2 = am: a2 / am-3 = am: a3 / u. ſ. w. (§. 40) und 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr nun ferner a = P und b: a = Q / das erſte Glied = A / das andere = B; das dritte = C / das vierdte = D / das fuͤnfte = E u. ſ. w. ſetzet; ſo findet ihr endlich (P + PQ) m 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unend - lich fort.
Allſo habet ihr eine allgemeine Regel ge - funden / nach welcher ihr eine jede Binomi -ſche55der Algebra. ſche Wurtzel zu einer jeden verlangeten Di - gnitaͤt erheben koͤnnet.
88. Jhr verlanget die vierdte Dignitaͤt von 18 oder 10 + 8 / ſo iſt m = 4 / P = 10 / Q = 8: 10 = 4: 5 / fol - gends Pm 104 = 4000 = A
m AQ = 4. 10000. ⅘ = 32000 = B
〈…〉 BQ = $$\frac {3}{2}$$ . 32000. ⅘. = 38400 = C
〈…〉 CQ = ⅔. 38400. ⅘. = 20480 = D
〈…〉 DQ = ¼. 20480. ⅘ = 4096 = E
〈…〉 EQ = 0.4096. ⅘ = o = E
10000 = A
32000 = B
38400 = C
20480 = D
4096 = E
104976 vierdte Dignitaͤt von 18.
89. Jhr werdet vielleicht meinen / daß man mit leichter Muͤhe durch das gewoͤhnliche multipliciren / die gegebenen Zahlen zu der verlangeten Dignitaͤt er - heben kan / und dannenhero die gefundene allgemeine Regel fuͤr unnuͤtze halten. Allein ihr ſollet zu ſeiner Zeit erfahren / wie ſehr ihr euch in eurer Meinung be - trogen / wenn ihr den vielfaͤltigen Nutzen derſelbenD 4ver -56Anfangs-Gruͤnde. verſpuͤhren werdet. Jetzt erinnnere ich nur dieſes. Wenn ihr aus iner gegebenen Zahl eine verlangete Wurtzel ausziehen ſollet; ſo koͤnnet ihr die Regeln / nach welchen ſolches geſchichet / wie fuͤr die Qnadrat - und Cubic-Wurtzel (§. 76. 84) finden / wenn ihr durch die gefundene allgemeine Regel die Binomiſche Wurtzel a + b zu der gehoͤrigen Dignitaͤt erhebet. Z. E. Jhr ſollet die Wurtzel der fuͤnften Dianitaͤt aus einer ge - gebenen Zahl ziehen: ſo doͤrfet ihr nur a + b zu der fuͤnften Dignitaͤt erheben. Das allgemeine Exempel von derſelben wird euch die Regeln bald in die Hand geben.
90. Gleichwie ihr aber oben geſehen habet / daß die Regeln fuͤr die Binomiſche Wurtzeln auch dienen eine Polynomiſche Wurtzel zu der andern und drit - ten Dignitaͤt zu erheben (§. 77. 85); allſo gehet es auch an / daß ihr nach dieſer allgemeinen Regel / die zwar eigentlich auch nur auf Binomiſche Wurtzeln gerichtet iſt / auf eine gleiche Weiſe eine jede Polyno - miſche Wurtzel zu der verlangeten Dignitaͤt erhebet.
91. Eine allgemeine Regel zu finden aus allen Dignitaͤten eine verlangte Binomiſche Wurtzel zu ziehen.
Weil $$\sqrt [m] {}$$ xm = xm: n (§. 46) / ſo iſt das Wurtzel-Ausziehen ſo viel als eine Groͤſ - ſe zu einer Dignitaͤt erheben / die zu ihrem Exponenten eine gebrochene Zahl hat. De - rowegen wenn ihr in der vorhin gefundenen Regel an ſtat des Exponenten m den Expo -nen -57der Algebra. nenten m: n ſetzet / ſo bekommet ihr eine all - gemeine Regel / nach welcher ſo wol jede Groͤſſe zu einer verlangeten Dignitaͤt erho - ben / als aus derſelben eine verlangete Wur - tzel gezogen werden kan. Es iſt aber fol - gende:
〈…〉 u. ſ. w. unendlich ſort. 6 n
92. Dieſe ſehr nuͤtzliche Regel hat der vortrefli - che Geometra in Engelland Jſaac Nevvton zu erſt gefunden auf eben dem Wege / den ich angewieſen habe: wie ſolches aus dem Briefe erhellet / denn er A. 1676 an den unvergleichlichen Mathematicum und Polyhiſtorem, den Herrn geheimen Rath von Leibnitz / geſchrieben und Walliſius mit in den drit - ten Theil ſeiner Mathematiſchen Wercke f. 622 dru - cken laſſen. Es iſt aber dieſe Regel einerley mit der vorigen Den wie ihr m: n durch gantze Zahlen in dem Gebrauche derſelben erklaͤhren koͤnnet / wenn ihr n = 1 ſetzet; ſo koͤnnet ihr auch in der vorigen Regel m durch einen Bruch erklaͤhren / wenn eine Wurtzel ausgezogen werden ſol / Z. E. ihr ſetzet m = ½ / wenn ihr die Qvadrat-Wurtzel verlanget / m = ⅓ wenn ihr die Cubic-Wurtzel ſuchet u. ſ. w.
93. Damit ihr aber den Gebrauch der Regel detulich erkennen moͤget; ſo wil ich ſelbige mit ei - nem Exempel erlaͤutern. Jhr verlanget zu wiſſenD 5die58Anfangs-Gruͤndedie Qvadrat-Wurtzel aus aa ‒ ‒ x 2: ſo iſt m = 1 / n = 2 / P = a2 / Q = ‒ ‒ x2: a2 / fol - gends.
Pm: n = a = A
〈…〉
Demnach iſt 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
94. Wenn man aus der gegebenen Groͤſſe eine voll - kommene Wurtzel haben kan / ſo iſt die Zahl der Glie - der allzeit endlich. Hingegen wo dergleichen nicht vorhanden / ſo gehen die Glieder unendlich fort. Mannim -59der Algebra. nimmet aber von denſelben ſo viele in jedem Falle als noͤthig iſt / biß nemlich durch Weglaſſung der uͤ - brigen kein mercklicher Fehler entſtehet.
95. Wen einem die 23 und 24 Aufgabe zu ſchweer vorkommen ſollte / der kan ſie ſo lange bey Seite ſe - tzen / biß wir unten ihrer noͤthig haben werden.
96. Die Differentz zweyer Qvadrate zu finden / derer Wurtzeln umb 1 unter - ſchieden ſind.
Es ſey die eine Wurtzel n / die andere n + 1 / ſo iſt das Qvadrat der groſſen n2 + 2 n + 1 der kleinen n 2 die Differentz 2 n + 1
Weil nun eine jede Zahl zweymal genom - men eine gerade Zahl bringet und eine gera - de Zahl von einer ungeraden umb 1 unter - ſchieden iſt; ſo iſt die Differentz zweyer Qva - drate / derer Wurtzeln umb 1 unterſchieden ſind / eine ungerade Zahl und zwar diejenige / welche heraus kommet / wenn man die kleine Wurtzel mit 2 multipliciret und das Pro - duct umb 1 vermehret. Es ſeyn die Wur - tzeln 8 und 9 / ſo iſt die Differentz ihrer Qva - drate 17.
97. Es ſind ſo viel ungerade als gerade Zahlen und dannenhero halb ſo viel ungeradeals60Anfangs-Gruͤndeals ungerade und gerade zuſammen. De - rowegen wenn ihr die kleine Wurtzel mit 2 multipliciret und 1 dazu addiret / ſo kommet die ungerade Zahl heraus / welche in der Rei - he der ungeraden Zahlen der Ordnung nach eben die Stelle hat / welche der groſſen Wur - tzel nach der Ordnung in der natuͤrlichen Rei - he der Zahlen bekommet. Z. E. 9 iſt die neunte Zahl in ihrer Ordnung von 1 / hinge - gen 17 / die Differentz des Qvadrates von 8 von dem Qvadrate von 9 iſt die neunte un - gerade Zahl.
98. Daher werden die Qvadrat Zahlen in ihrer Ordnung nach einander gefunden / wenn man die ungeraden Zahlen in ihrer Ordnung zu einander addiret.
| Wurtzeln. | ungerade Zahlen. | Qvad. Zahl. |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 5 | 9 |
| 4 | 7 | 16 |
| 5 | 9 | 25 |
| 6 | 11 | 36 |
| 7 | 13 | 49 |
| 8 | 15 | 64 |
| 9 | 17 | 81 |
| 10 | 19 | 100 |
99. Zu finden / was fuͤr eine Zahl her - aus kommet / wenn man eine gerade Zahl zu einer ungeraden addiret / oder ſie von einander abziehet / oder auch durch einander multipliciret.
Weil eine gerade Zahl ſich in zwey gleiche Theile theilen laͤſſet / eine ungerade aber umb 1 von einer geraden unterſchieden iſt; ſo nen - net die gerade Zahl 2 x / die ungerade 2 y + 1 2y + 1 2y + 1 2y + 1 2x 2x 2x Sum̃e 2x + 2y + 1 Differ. 2y+ 1 ‒ 2x Prod. 4x y + 4x die Summe und Differentz ſind ungerade Zahlen / das Product iſt eine gerade Zahl. Denn dieſes laͤſſet ſich halbiren / jenes nicht.
100. Zu finden / was fuͤr eine Zahl heraus kommet / wenn man eine gerade Zahl zu einer geraden addiret / oder ſie voneinander ſubtrahiret / oder auch durch einander multipliciret.
Es ſey die eine gerade Zahl 2x / die andere 2 y. So iſt die Summe 2x + 2y / die Diffe - rentz 2x ‒ 2y / das Product 4 x y und allſo ſindalle62Anfangs-Gruͤndealle drey gerade Zahlen / denn ſie laſſen ſich halbiren.
101. Zu finden / was fuͤr Zahlen her - auskommen / wenn ihr eine ungerade Zahl zu einer ungeraden addiret / oder ſie voneinander ſubtrahiret / oder auch durcheinander multipliciret.
Es ſey die eine ungerade Zahl 2 x + 1 / die andere 2 y + 1.
2 x + 1 2 x + 1
2 y + 1 2 y + 1
Sum̃e = 2x+2y+2 Differ. = 2x-2y
2 x + 1
2 y + 1
+ 2 x +1
4 x y + 2 y
Prod. = 4 x y + 2 x + 2 y + 1
Die Summe und Differentz laſſen ſich hal - biren / ſind allſo gerade Zahlen. Das Pro - duct laͤßet ſich nicht halbiren: iſt allſo eine un - gerade Zahl.
102. Zufinden / was fuͤr Zahlen her - aus kommen / wenn ihr lauter gerade Zahlen / oder eine gerade Anzahl unge -rader63der Algebra. rader Zahlen / oder auch eine nngerade Anzahl ungerader Zahlen addiret.
Es ſeyn die gerade Zahlen 2x / 2y / 2 z / 2t u. ſ. w. ſo iſt die Summe 2x + 2y + 2z + 2t u. ſ. w, das iſt 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) allſo ei - ne gerade Zahl. Derowegen die Summe von lauter geraden Zahlen iſt eine gera - de Zahl.
Es ſeyn die ungeraden Zahlen 2 x + 1 / 2 y + 1 / 2z + 1 / 2t + 1 u. ſ. w. ihre Anzahl 2m. So iſt ihre Summe 2 x + 2 y + 2z + 2 t u. ſ. w. + 2m / das iſt 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) + 2m / folgends eine gerade Zahl. Derowegen Wenn lauter ungerade Zahlen in gera - der Anzahl zuſammen addiret werden / ſo iſt die Summe eine gerade Zahl.
Es ſeyn die ungeraden Zahlen abermals 2x + 1 / 2y + 1 / 2z + 1 / 2t + 1 u. ſ. w. ihre Anzahl 2m + 1. So iſt ihre Summe 2x + 2y + 2z + 2t u. ſ. w. + 2m + 1 / das iſt / 2 (x + y + z + t u. ſ. w.) + 2m + 1 / folgends eine ungerade Zahl. Derowegen wenn lau - ter ungerade Zahlen in ungerader An - zahl zuſammen addiret werden / ſo iſt die Summe eine ungerade Zahl.
103. Wenn dieſe Aufgaben gleich ſonſt keinen Nutzen haͤtten / ſo ſollten ſie euch doch angenehm ſeyn / weil ſie euch eine neue Maxime der Benennung an die Hand geben. Jhr werdet aber auch bey anderen Ge -legen -64Anfangs-Gruͤndelegenheiten ihren Nutzen verſpuͤren. Z. E. wenn ei - ner verlangete / ihr ſolltet 20 in 5 ungerade Zahlen theilen; ſo werdet ihr bald ſehen / daß dieſes unmoͤg - lich ſey / weil ungerade Zahlen in ungerader Aazahl eine ungerade Zahl bringen / wenn ſie ſummiret wer - den.
104. Zu finden / was fuͤr eine Digni - taͤt herauskommet / wenn man eine Qvadrat - oder Cubic-Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret.
Es ſey die Qvadrat-Zahl x 2 / die Cubic - Zahl x 3. Multipliciret jede durch ſich ſelbſt ſo kommet in dem erſten Falle x 4 / in dem an - deren x 6 / weil der Exponente 4 ſich durch 2 / der Exponente 6 aber ſo wol durch 2 als durch 3 ſich dividiren laͤſſet; ſo iſt x 4 ein Qvadrat / x 6 aber zugleich eine Qvadrat - und eine Cu - bic-Zahl. Derowegen wenn eine Qva - drat-Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret wird / ſo iſt das Product eine Qvadrat - Zahl: Wenn eine Cubic Zahl durch ſich ſelbſt multipliciret wird / ſo iſt das Pro - duct zugleich eine Quadrat - und auch eine Cubic-Zah!.
105. Auf dieſe Manier koͤnnet ihr noch gar viel an - dere dergleichen Lehrſaͤtze finden / wenn ihr dieſelben noͤthig habet.
106. Zu finden / wie groß in einer A -rith -65der Algebra. rithmetiſchen Progreßion die Summe der beyden aͤuſerſten Glieder ſey.
Es ſey das erſte Glied a / der Unterſcheid der Glieder d / ſo iſt die Progreßion (§. 66. Arithm.)
a. a + d. a + 2d. a + 3 d. a + 4d. a + 5 d 〈…〉
Jn einer Arithmetiſchen Progreßion iſt die Summe der beyden aͤuſerſten Glieder der Summe jeder zweyen Glie - der gleich / die von den aͤuſerſten gleich weit abſtehen / ingleichen zweymal ſo groß als das mittlere / wenn die Glie - der an der Zahl ungleich ſind.
Z. E. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21 12 9 6 3
24 = 24 = 24 = 24
107. Derowegen bekommet ihr die Sum - me der gantzen Progreßion / wenn ihr die Summe des erſten und letzten Gliedes durch(4) Edie66Anfangs-Gruͤndedie halbe Zahl der Glieder multipliciret. Es ſey das erſte Glied a / die Differentz d / die Zahl der Glieder n / ſo iſt das letzte Glied a + (n ‒ ‒ 1) d / folgends die Summe der Pro - greßion (2a + (n ‒ ‒ 1) d) ½ n = an + (n2 ‒ n) ½ d. Es ſey Z. E. a = 3 / n = 7 / d = 3 / ſo iſt die Summe der Progreßion 21 + (49 ‒ 7) $$\frac {3}{2}$$ = 21 + 42. $$\frac {3}{2}$$ = 21 + 21. 3 = 21 + 63 = 84.
108. Jhr koͤnnet demnach die Summe einer Arithmetiſchen Progreßion finden / wenn euch das erſte Glied / der Unterſcheid und die Zahl der Glieder gegeben ſind.
109. Aus dem erſten und letzten Glie - de einer Arithmetiſchen Progreßion und dem Unterſcheide der Glieder / ihre Zahl und die Summe der Progreßion zufinden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x das letzte = b die Sume = y der Unterſcheid = d
So iſt (§. 107)
b = a + dx ‒ d
y = ½ (b + a) x
b +67der Algebra.b + d ‒ a = d x
(b + d ‒ a): d = x
Setzet dieſen Werth in die Stelle von x in der anderen Gleichung / ſo habet ihr y = (b2 + bd ‒ ab + ab + ad ‒ a2): 2d = (b2 + bd + ad ‒ a2): 2d = ½ (b + a) + (b2 ‒ a2): 2d
Es ſey Z. E. a = 2 / b = 17 / d = 3 / ſo iſt x = (17 + 3 ‒ 2): 3 = 18: 3 = 6 und y = ½ (17 + 2) + (289 ‒ 4): 6 = $$\frac {19}{2}$$ + $$\frac {285}{6}$$ = 9½ + 47½ = 57.
110. Aus dem erſten Gliede / dem Un - terſcheide der Glieder / und der Summe einer Arithmetiſchen Progreßion die Zahl der Glieder und das letzte Glied zu finden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x
der Unterſcheid = d das letzte Glied = y
die Summe = c
So iſt (§. 107)
½ x (a + y) = c a + d x — d = y
2
a x + xy = 2c
E 2xy68Anfangs-Gruͤndexy = 2c — ax
x
y = (2c — ax): x folgends
(2c — ax): x = a + d x — d
x
2c — ax = dx2 + ax — dx
d
2c: d = x 2 + $$\frac {(2a - d) x} {d}$$
Setzet (2a — d): d = m / ſo iſt 2c: d = x2 + m x ¼ m2, ¼ m2 (§. 79).
¼ m2 + 2 c: d = x2 + m x + ¼ m2
V (¼ m2 + 2c: d) = x + ½ m
V (¼ m2 + 2c: d) ‒ ½ m = x
Es ſey a = 2 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt m = (4 ‒ 3): 3 = ⅓ / folgends x = � $$\frac {(1+}{36}$$ $$\frac{14) }{3}$$ ‒ ⅙ = V $$\frac {1369}{36}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ = 6. Ferner iſt y = 2 + 18 ‒ 3 = 2 + 15 = 17.
111. Aus dem erſten und letzten Glie - de und der Summe einer Arithmeti - ſchen Progreßion die Zahl und den Un - terſcheid der Glieder zu finden.
Auf -69der Algebra.Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glieder = x das letzte = b der Unterſcheid = y die Summe = c
So iſt (§. 107)
½ x (a + b) = c a + xy ‒ y = b
x (a + b) = 2c xy ‒ y = b ‒ a
x = 2c: (a + b) xy = b + y ‒ a
x = (b + y ‒ a): y
Folgends
2c: (a + b) = (b + y ‒ a): y
y
2cy: (a + b) = b + y ‒ a
a + b
2 c y = ab + ay ‒ a2 + b2 + by ‒ ab
2 cy ‒ ay ‒ by = b2 ‒ a2
2 c ‒ a ‒ b
y = (b2 ‒ a2): (2 c ‒ a ‒ b)
Es ſey = a = 2 / b = 17 / c = 57 / ſo iſt x = 114: (2 + 17) = 114: 19 = 6 / und y = 172 — 22): (114 ‒ 2 ‒ 17) = (289 ‒ 4): (114 ‒ 19) = 285: 95 = 3.
112. Aus dem Unterſcheide und der Zahl der Glieder / ingleichen der Sum -E 3me70Anfangs-Gruͤndeme einer Arihmetiſchen Progreßion / das erſte und letzte Glied / und folgends alle uͤbrigen zu finden.
Es ſey die Zahl der Glieder = n das erſte Glied = x der Unterſcheid = d das letzte die Summe = c (= y So iſt (§. 107)
½ n (x + y) = c y = x + nd ‒ d
2
n (x + y) = 2c
n
〈…〉
〈…〉 Folgends
〈…〉
n
2c ‒ nx = nx + n2 d ‒ nd
2c + nd ‒ n2d = 2nx
2n
〈…〉
Es71der Algebra.Es ſey n = 6 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt x = $$\frac {57}{6}$$ + $$\frac {3}{2}$$ ‒ $$\frac {18}{2}$$ = $$\frac {57 + 9}{6}$$ ‒ 9 = $$\frac {66}{6}$$ ‒ 9 = 11-9 = 2 und y = $$\frac {114}{6}$$ ‒ 2 = 19 ‒ 2 = 17.
113. Aus dem Unterſcheide der Glie - der / dem letzten Gliede und der Sum - me einer Arithmetiſchen Progreßion das erſte Glied und die Zahl der Glie - der zu finden.
Es ſey das letzte Glied = b das erſte Glied = x der Unterſcheid = d die Zahl der Glieder = y die Summe = c
So iſt (§. 107)
½y (x + b) = c b = x + dy-d
2
y (x + b) = 2c b + d-dy = x
y
x + b = 2c: y
〈…〉 Folgends 〈…〉 y 2c ‒ by = by + dy-dy 2
E 4dy72Anfangs-Gruͤndedy2 ‒ 2by-dy = ‒ 2c
d
〈…〉
Setzet (2b ‒ d): d = - m / ſo iſt
y2 ‒ my = ‒ 2c: d
¼ m2 ¼ m2 (§. 79)
y2 ‒ my + ¼ m2 = ¼ m2 ‒ 2c: d
½m-y oder y ‒ ½ m = V (¼m2 ‒ 2c: d)
y — ½ m ± V (¼m2 ‒ 2c: d)
Es ſey b = 17 / d = 3 / c = 57 / ſo iſt m = (34 + 3): 3 = 37: 3 und ½ m = 37: 6 / folgends y = $$\frac {37}{6}$$ ‒ � $$\frac {(13969-1368) }{36}$$ = $$\frac {37}{6}$$ ‒ � $$\frac {1}{36}$$ = $$\frac {37}{6}$$ ‒ ⅙ = $$\frac {36}{6}$$ = 6 / und x = $$\frac {114}{6}$$ ‒ 17 = 19 ‒ 17 = 2
114. Aus der Summe einer Arithme - tiſchen Progreßion / der Zahl der Glie - der und dem Producte aus dem erſten Gliede in das letzte / die Glieder zu fin - den.
Es ſey das Product = a das 1ſte Glied = x die Zahl der Glieder = n das letzte = y die Summe = c
So iſt
½ n73der Algebra.½ n (x + y) = c (§. 107) a = xy
2 x x
n (x + y) = 2c a: x = y
n
〈…〉
〈…〉 folgends
〈…〉
x
〈…〉
〈…〉
c2: n2 c2: n2
〈…〉
〈…〉
〈…〉
〈…〉
115. Wenn man etliche Glieder vonE 5einer74Anfangs-Gruͤndeeiner Arithmetiſchen Progreßion / die ſich von 1 anfaͤnget zu einander addiret; ſo heiſſet die Summe eine Polygonal - Zahl. (Numerus Polygonus).
116. Jnsbeſondere heiſſet es eine Tri - angular-Zahl / wenn die Differentz der Glieder in der Progreßion 1 iſt; eine Qvadrat-Zahl / wenn ſie 2 iſt: eine Pentagonal-Zahl / wenn ſie 3 iſt; eine Hexagonal-Zahl / wenn ſie 4 iſt u. ſ. w. Arithm. Progr. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Triang. Zahlen. 1. 3. 6. 10. 15. 21. 28. 36. Arithm. Progr. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. Qvadr. Zahlen. 1. 4. 9. 16. 25. 36. 49. 64 Arithm. Progr. 1. 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22. Pentogonal. Zahl. 1. 5. 12. 22. 35. 51. 70. 92. Arithm. Progr. 1. 5. 9. 13. 17. 21. 25. 29. Hepagon. Zahl. 1. 6. 15. 28. 45. 66. 91. 120.
117. Jhr werdet ins kuͤnftige erfaͤhren / daß es es nicht ohne Nutzen ſey / wenn man allerhand Pro - greßionen der Zahlen ſummiren lernet. Zu dem En - de wollen wir auch unterſuchen / wie man die Polygo - nal-Zahlen ſummiren kan.
118. Die Seite der Polygonal - Zahl heiſſet die Zahl der Glieder / wel - che von der Progreßion ſummiret wor - den / damit dieſelbe entſtanden.
119. Durch die Zahl der Winckel verſtehen wir diejenige / welche andeu - tet / wie viel Winckel die Figur hat / von der die Polygonal-Zahl ihren Nahmen bekommen.
120. Allſo iſt die Zahl der Winckel in Tri - gonal-Zahlen 3; in Qvadrat - oder Tetrago - nal-Zahlen 4; in Pentagonal-Zahlen 5 u. ſ. w.
121. Da nun in Trigonal-Zahlen die Differentz der Glieder 1 / in Qvadrat-Zah - len 2 / in Pentagonal-Zahlen 3 u. ſ. w. iſt; ſo iſt die Zahl der Winckel jederzeit umb 2 groͤſ - ſer als die Differentz der Glieder in der Pro - greßion / durch deren Summirung die Po - lygonal-Zahlen entſtehen.
122. Aus der gegebenen Seite einer Polygonal-Zahl und der Zahl der Winckel die Polygonal-Zahl zu finden.
Es ſey die Seite = a
Die Zahl der Winckel = n
das erſte Glied der Progr. iſt = 1 (§. 116).
die Differentz der Glieder = n -2 (§. 121).
das letzte Glied 1 + (n-2) (a-1) (§. 107)
das76Anfangs-Gruͤndedas erſte Glied _ _ 1
Summa des erſten und letzten 2 + an-2a-n+2 halbe Zahl der Glieder ½a (§. 118).
Polygonal-Zahl 2a + ½ a2n-a2-½ an (§. 107) Es ſey n = 3 / ſo iſt die Trigonal-Zahl 2a + $$\frac {3}{2}$$ 〈…〉 Es ſey n = 4 / ſo iſt die Tetragonal-Zahl 2a 〈…〉 Es ſey n — 5 / ſo iſt die Pentagonal-Zahl 2a 〈…〉 Es ſey n = 6 ſo iſt die Hexagonal-Zahl 2a + 〈…〉 Es ſey n = 7 / ſo iſt die Hexagonal-Zahl 2a + 〈…〉 Es ſey n = 8 / ſo iſt die Octogonal-Zahl 2a + 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr dieſe Polygonal-Zahlen betrach - tet / ſo werdet ihr wahrnehmen / 1. daß eine je - de von denſelben zuſammen geſetzet iſt aus dem Qvadrate und der Wurtzel der Seite: 2. daß das Qvadrat multipliciret wird durch die Differentz der Glieder in der Progre -ßion77der Algebra. ßion / daraus die Polygonal-Zahl entſtan - den; 3. hingegen die Wurtzel durch die Dif - ferentz / ſo umb zwey vergeringert worden; 4. daß dieſes andere Product von dem erſten abgezogen / und 5. das uͤberbliebene durch 2 dividiret wird. Dieſes iſt die verlangte all - gemeine Regel.
Jhr ſollet die ſechſte Trigonal-Zahl finden. Weil a = 6 〈…〉 = 18+3 = 21.
Wenn ihr die achte Pentagonal-Zahl ſu - chet / ſo iſt a = 8 / und allſo 〈…〉 3. 32 ‒ 4 = 96 ‒ 4 = 92. Wenn ihr die fuͤnfte Hexagonal-Zahl ſuchet / ſo iſt a = 5 / und allſo 〈…〉 = 2. 25-5 = 50 ‒ 5 = 45.
123. Aus der gegebenen Polygonal - Zahl und der Zahl der Winckel die Seite zu finden.
Es ſey die Polygonal-Zahl = p die Seite die Zahl der Winckel = n = x
So iſt die Differentz der Glieder n -2 (§. 121) das erſte Glied. _ _ 1 (§. 116)
Derowegen das letzte 1 + (x-1) (x-2) (§. 107. 118)
das78Anfangs-Gruͤndedas iſt 3 + nx ‒ 2 x ‒ n das erſte Glied 1
Summe des erſten und letzten 4 + nx ‒ 2x-n halbe Zahlen der Glieder ½ x (§. 118)
2 x + ½ n x2 ‒ x2 ‒ ½ n x
Derowegen iſt
½ n x2 ‒ x2 + 2x ‒ nx = p
2
n x2 ‒ 2 x2 ‒ nx + 4 x = 2 p
n -2
〈…〉
〈…〉
〈…〉
x = n ‒ 4 + � (8p n-16 p + n2 ‒ 8 n + 16)
2 n ‒ 4
Es ſey n = 3 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 4 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉
Es79der Algebra.Es ſey n = 5 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 6 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 7 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 Es ſey n = 8 / ſo iſt x = 〈…〉 = 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr dieſe Polygonal-Zahlen betrach - tet / ſo werdet ihr wahrnehmen / 1. daß uͤberall die Zahl außer dem Wurtzel-Zeichẽ die umb 4 vergeringerte Seite der Polygonal - Zahl ſey; 2 daß die andere Zahl unter dem Wurtzel-Zeichen das Qvadrat neben der umb 4 vergeringerten Seite der Polygonal - Zahl ſey; 3. die erſte aber dem Producte aus der Polygonal-Zahl in den Diviſorem 4 mal genommen gleichet und 4. der Divi - ſor die Summe der Zahl auſſer dem Wur -tzel -80Anfangs-Gruͤndetzel-Zeichen und der Seite der Polygonal - Zahl ausmachet.
Es ſey 21 eine Trigonal-Zahl: ihr ſollet die Seite finden / das iſt / die wie vieleſte ſie in ihrer Ordnung iſt. Weil p = 21 / ſo iſt die verlangete Seite 〈…〉 = ‒ 〈…〉 Es ſey p = 45 und zwar eine Hexagonal-Zahl / ſo iſt die verlangete Seite 〈…〉 〈…〉
124. Wenn ihr allſo nach und nach eine gegebene Zahl in die Stelle von p ſetzet; ſo werdet ihr ſehen / ob dieſelbe mit unter die Polygonal-Zahlen gehoͤre und in welche Reihe derſelben ſie zu ſetzen ſey. Denn ſie findet in allen Reihen ſtat / wo fuͤr ihre Seite eine gantze Rational-Zahl heraus kommet. Allſo wenn euch 20 waͤre gege - den worden / wuͤrdet ihr gefunden haben / daß es die ſechſte Trigonal-Zahl ſey.
125. Jhr doͤrfet aber nicht weiter verſuchen / ob die gegebene Zahl ſich fuͤr p ſetzen laſſen / wenn die Zahl der Winckel derſelben gleich wird / als in dem gegebenen Exempel 21.
126. Die Groͤße des Products der bey - den aͤuſerſten Glieder in einer Geome - triſchen Proportion zu determiniren.
Es ſey in dem erſten Falle / wenn nur 3 Glieder ſind / das erſte = a / der Exponente = m / ſo iſt die Proportion
∺ a. ma. m2 a (§. 63. 65. Arithm.)
(ma) 2 = $$\frac {a}{m^2 a^2}$$ (§. 81 Arithm.)
Es ſey in dem andern Falle / wenn 4 Glieder ſind / das erſte = a / der Exponente = m / das dritte = b / ſo iſt die Proportion
a: m a = b: m b (§. 63. Arithm.) 〈…〉
Wenn drey Groͤſſen einander Geo - metriſch proportional ſind / ſo iſt das Product der beyden aͤuſerſten dem Qvadrate der mittleren gleich; ſind a - ber vier einander proportional / ſo iſt das Product der aͤuſerſten dem Produ - cte der beyden mittleren gleich.
127. Von den Zahlen iſt dieſes ſchon in der Rechen - Kunſt erwieſen worden (§. 102. 103 Arithm.) Wir haben aber in der Geometrie ſolches mit Recht auch auf die Linien / Flaͤchen und Coͤrper appliciret / indem(4) Fman82Anfangs-Gruͤndeman alle Groͤßen als undeterminirte Zahlen anſehen kan (§. 8): welches nun durch gegenwaͤrtige Algebrai - ſche Rechnung noch mehr gerechtfertiget wird.
127. Drey Geometriſch-Proportional - Groͤſſen zu finden / aus dem gegebenen Producte des Qvadrates der dritten in die erſte und dem Exponenten.
Es ſey das Product = a die erſte Groͤße = x der Exponente = m ſo iſt die andere = m x die dritte = m2x
Folgends a = m4 x3
a: m4 = x3
∛ (a: m4) = x
Es ſey a = 648 / m = 3 / ſo iſt x = ∛ (648: 81) = ∛ 8 = 2.
128. Aus der gegebenen Summe des erſten und vierdten Gliedes in einer Geometriſchen Verhaͤltnis / ingleichen der Summe des andern und drittens / und dem Exponenten / jedes Glied ins beſondere zu finden.
Auf -83der Algebra.Es ſey die erſte Summe = a das erſte Glied = x die andere = b ſo iſt das IV = a-x der Exponente = m das andere = y ſo iſt das III. = b-y
Folgends x: y = b-y: a ‒ x mx = y
ax-x2 = by-y2 (§. 126)
ax-x2 = mbx-m2x2
x
a-x = mb ‒ m2 x
m2 x-x = mb-a
m 2 ‒ 1
〈…〉
Es ſey a = 13 / b = 11 / m = 2 / ſo iſt x = $$\frac {22-13}{4-1}$$ = $$\frac {9}{3}$$ = 3 und y = 6.
129. Aus der gegebenen Summe des erſten und letzten Gliedes und dem Er - ponenten in einer Geometriſchen Pro - portion von 3 Gliedeꝛn / die Glieder ſelbſt zu finden.
Es ſey die Summe — a das 1ſte Glied = x der Exponente = m das 2 dere = mx das dritte = m2x
F 2Fol -84Anfangs-GruͤndeFolgends a = m2 x + x
m 2 + 1
a: (m2 + 1) = x
Es ſey a = 50 / m = 2 / ſo iſt x = 50: (4 + 1) = 50: 5 = 10 / m x = 20 / m2 x = 40.
130. Zu finden / auf wie vielerley Art die Glieder einer Geometriſchen Ver - haͤltnis verſetzet werden koͤnnen / damit ſie einander proportional bleiben.
Verſetzet ſie auf alle moͤgliche Weiſe / und vergleichet ihre Summen / Differentzen u. ſ. w. mit ihnen untereinander: fo werdet ihr bald ſehen / in welchen Faͤllen eine Propor - tion bleibet / wenn ihr nur acht gebet / ob das Product der aͤuſerſten Glieder dem Produ - cte der mittleren gleich iſt (§. 126.) oder ob in beyden Verhaͤltniſſen / die miteinander ver - glichen werden / einerley Exponente iſt (§. 63. Arithm.).
Es ſey demnach a: ma = b: mb
ſo iſt (alternatim) a: b = ma: mb
(inverſe) ma: a = mb: b
(converſim) a + ma: a = b + mb: b
(Compoſite) a+m a: ma = b + mb: mb
(Diviſim) ma-a: a = mb ‒ b: b
ma-a: ma = mb-b: mb
Ferner a2: m2a2 = b2: m2 b2
oder uͤberhaupt an: mn an = bn: mn bn
Jngleichen a: mac = b: mbc
a:85der Algebra.〈…〉
ac: ma = bc: mb
〈…〉
ac: mac = b: mb
〈…〉
ac: mac = bd: mbd
〈…〉
131. Hier habet ihr ohne Muͤhe 16 ſehr nuͤtzliche Lehrſaͤtze gefunden / die ihr euch wohl bekandt machen muͤſſet / wenn ihr ins kuͤnftige entweder die Mathema - tiſchen Schriften zu leſen / oder auch durch eigenes Nachſinnen Mathematiſche Wahrheiten heraus zu bringen gedencket. Denn die Geometriſche Propor - tion iſt die Seele der Mathematiſchen Wiſſenſchaf - ten. Jch halte es aber fuͤr unnoͤthig / die gefundenen Lehrſaͤtze mit Woͤrtern auszudrucken / weil ein jeder das fuͤr ſich ſelbſt thun kan / wenn er luſt darzu hat. Z. E der 1 Lehrſatz lautet allſo: Wenn vier Groͤ - ßen proportional ſind / ſo verhaͤlt ſich auch die erſte zu der dritten / wie die an - dere zu der vierdten. Der 11 wird ſo gegeben: Wenn ihr in einer Geometriſchen Ver - haͤltnis das erſte und dritte Glied durchF 3eine86Anfangs-Gruͤndeeine Groͤße multipliciret; ſo bleiben auch die veraͤnderten Groͤßen den vori - gen proportional.
131. Zu finden / wie zwey Groͤßen ver - aͤndert werden koͤnnen / daß doch ihre Verhaͤltniß gegeneinander unveraͤn - dert bleibet.
Es ſeyn zwey Groͤßen a und ma / die ſich gegeneinander verhalten wie 1 zu m; ſo iſt:
I. 〈…〉 II. 〈…〉
III. 〈…〉
IV. 〈…〉
1. Wenn ihr zwey Groͤßen durch eine dritte multipliciret / ſo verhalten ſich die Producte gegeneinander / wie die mul - tiplicirten Groͤßen. 2. Wenn ihr zwey Groͤßen durch eine dritte dividiret / ſover -87der Algebra. verhalten ſich die Qvotienten wie die ſelben Groͤßen. 3. Wenn ſich die weg - genommenen Theile gegen einander verhalten wie die gantze Groͤßen / ſo ver - halten ſich auch die uͤbrigen Theile wie die gantzen Groͤßen. 4. Wenn die hin - zu geſetzten Groͤßen ſich verhalten wie die Groͤßen / zu denẽ ſie addiret werden / ſo haben auch die Summen eben ſelbige Verhaͤltnis.
132. Die Groͤße des Products der bey - den aͤuſerſten Glieder in einer Geome - triſchen Progreßion zu finden.
Es ſey das erſte Glied a / der Exponente o - der Nahme der Verhaͤltnis = m / ſo iſt die Progreßion
a. ma. m2 a. m3 a. m4 a. m5 a. m6 a. 〈…〉
Jn einer Geometriſchen Progreſ - ſiion iſt das Product der beyden aͤuſer - ſten Glieder dem Producte zweyer von den mittleren gleich / die von den aͤuſer - ſten gleich weit abſtehen / und dem Qvadrate des mittleren / wenn ſie an der Zahl ungleich ſind.
133. Die Groͤße des Qvotienten zu de - terminiren / der heraus kommet / wenn die Differentz der beyden aͤuſerſten Glie - der durch den umb 1 vergeringerten Exponenten dividiret wird.
Es ſey das erſte Glied = a / der Exponen - te = m / die Zahl der Glieder = n / ſo iſt das letzte Glied mn-1 a / die Differentz des erſten und letzten mn-1a-a. Dividiret die - ſelbe durch m -1 / ſo kommet heraus mn-2a + mn-3 a + mn - 4a + mn-5 a + mn-6 + mn-7 a u. ſ. w. Wenn demnach n eine determi - nirte Zahl iſt / Z. E. 7 / ſo iſt n ‒ 7 = 0 und demnach mn -7 = mo / folgends mn - 7a = a. Solcher geſtalt iſt der Qvotient die Sum - me aller Glieder weniger das letzte.
+ mn-6a
+ mn-5 a
+ mn-4a
+ mn-3 a
+ mn 2 a
+ mn-1a (mn-2 a + mn-1a +
mn-3a ‒ mn-2a mn - 4a + mn - 5a +
mn-2a ‒ mn-3 a mn - 6a u. ſ. w.
mn - 3a ‒ mn-4a
mn - 4a ‒ mn-5a
mn - 5a ‒ mn - 6a
134. Wenn ihr demnach die Differentzdes89der Algebra. des erſten und letzten Gliedes in einer Geo - metriſchen Progreßion durch den umb 1 ver - geringerten Exponenten dividiret / und zu dem Qvotienten das letzte Glied addiret; ſo ha - bet ihr die Summe der gantzen Progreßion Es ſey das erſte Glied a / der Exponente m / die Zahl der Glieder n / ſo iſt das letzte Glied mn-1a. Und demnach die Summe der Pro - greßion mn-1a + (mn-1a ‒ a): (m ‒ 1) / das iſt / wenn m = 2 / a = 1 / n = 8 / 128 + 127: 1 = 255.
135. Aus dem gegebenen erſten und letzten Gliede / mit der Zahl der Glie - der in einer Geometriſchen Progreßion / den Exponenten zu finden.
Es ſey das erſte Glied = a der Exponente = x
das letzte = b
die Zahl der Glieder = n So iſt b = xn-1a b: a = xn-1 b1: (n-1): a1: (n-1) = x
Es ſey a = 2 / b = 486 / n = 6 / ſo iſt x = $$\sqrt [5] {} 486$$ : $$\sqrt [5] {} 2$$ = $$\sqrt [5] {} 243$$ = 3.
136. Aus dem gegebenen Exponenten /F 5der90Anfangs-Gruͤndeder Zahl der Glieder und der Summe der Geometriſchen Progreßion das er - ſte Glied zufinden.
Es ſey der Exponente = m das erſte Glied = x die Zahl der Glieder = n So iſt das letzte = mn-1 x die Summe = c
Folgends c = mn-1 x + (mn-1x-x): (m-1) m -1 m c ‒ c = mn x ‒ mn-1 x + mn-1 x ‒ x mn ‒ x (m c ‒ c): (mn-1) = x
Es ſey m = 3 / n = 6 / c = 728 / ſo iſt x = 2. 728 : 728 = 2.
137. Aus dem erſten und letzten Glie - de und dem Exponenten die Zahl der Glieder in einer Geometriſchen Pro - greßion zufinden.
Es ſey das erſte Glied = a die Zahl der Glie - der = x
das letzte = b der Exponente = m
So iſt mx-1 a = b / das iſt / wenn ihr denLo -91der Algebra. Logarithmum von a = la und den Loga - rithmum von m = lm ſetzet / x lm ‒ lm + la = lb (§. 23. 24 Trig. ) x lm = lb ‒ la + lm lm x lm = lb ‒ la + 1 lm
Es ſey a = 2 / b = 486 / m = 3 / ſo iſt lb = 2.6866363 la = 0.3010300 lb ‒ la 2.3856063 3 1
| lb ‒ la = | 23856063 | 5 1 |
| lm = | 4771213 |
6 = x
138. Eine unendliche Zahl Bruͤche zu ſummiren / deren Zehler eines iſt / die Nenner aber in einer Geometriſchen Verhaͤltnis fortgehen.
Es ſey der Nenner des erſten Bruches = a / der Exponente = m. Weil die Bruͤche unendlich abnehmen / ſo muß der letzte ſo klei - ne werden / daß er in Anſehung des erſten fuͤr nichts zu halten. Und allſo iſt die Differentz des erſten und letzten Gliedes dem erſtengleich92Anfangs-Gruͤndegleich / das iſt / 1: a / folgends die Sum̃e 1: a + 1: (ma ‒ a) = (m ‒ 1 + 1): (ma ‒ a) = m: (ma ‒ a).
Es ſey m = 2 / ſo iſt die Summe der Bruͤche 2: (2 a ‒ a) = 2: a / folgends ½ + ¼ + ⅛ + $$\frac {1}{16}$$ + $$\frac {1}{32}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 1.
Es ſey m = 3 / ſo iſt die Summe der un - endlichen Bruͤche 3: (3 a ‒ a) = 3: 2 a / fol - gends ⅓ + ⅑ + $$\frac {1}{27}$$ + $$\frac {1}{71}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 3: 6 = ½.
Es ſey m = 4 / ſo iſt die Summe der un - endlichen Bruͤche 4: (4 a ‒ a) = 4: 3 a / folgends ¼ + $$\frac {1}{16}$$ + $$\frac {1}{64}$$ + $$\frac {1}{256}$$ u. ſ. w. unend - lich fort = 4: 12 = ⅓.
139. Wenn der Zehler uͤberall einerley Zahl iſt / als Z. E. 3 / 6 / 8 &c. ſo koͤnnet ihr eben mit dieſer Regel aus kommen. Denn es ſey der Nenner b / ſo iſt die Summe b: a + b: (ma ‒ a) = (bm ‒ b + b): (ma ‒ a) = bm: (ma ‒ a). Ailſo werdet ihr ſinden / daß ¾ + ⅜ + $$\frac {3}{16}$$ + $$\frac {3}{32}$$ &c. = 6: 4 = $$\frac {3}{2}$$ = 1½.
140. Die Summe unendlicher Bruͤche zufinden / derer Zehler von dem Nen - ner des erſten umb eine gegebene Groͤſ - ſe kleiner iſt / die Nenner aber in einer Geometriſchen Progreßion abneh - men.
Auf -93der Algebra.Es ſey die Differentz zwiſchen dem ge - meinen Zehler und dem Nenner des erſten Bruches = y / der Exponente in der Pro - greßion der Nenner = m / der Nenner des erſten Bruches = a / ſo iſt der gemeine Zeh - ler = a ‒ y / und demnach der erſte Bruch $$\frac {a - y. }{a}$$ Weil nun der letzte Bruch aus der unendlichen Progreßion in Anſehung des er - ſten nichts iſt; ſo iſt der Unterſcheid dieſer 〈…〉
Es ſey m = 2 / a = 6 / y = 3 / ſo iſt die Summe der Progreßion 2 (6 ‒ 3): (2.6 ‒ 6) = 6: 6 = 1 / das iſt / $$\frac {3}{6}$$ + $$\frac {3}{12}$$ + $$\frac {3}{24}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 1.
Eben ſo findet ihr daß $$\frac {5}{7}$$ + $$\frac {5}{21}$$ + $$\frac {5}{63}$$ u. ſ. w. unendlich fort = 15: 14
141. Auf eine gleiche Art koͤnnen noch viel an - dere Aufgaben aufgeloͤſet werden / welche in die A - rithmeticam infinitorum gehoͤren / die Johannes Walliſius zu erſt erfunden / und Iſmael Bullialdus weiter ausgefuͤhret. Allein wẽil man dieſelbe nicht mehr ſonderlich noͤthig hat / nach dem der Herrvon94Anfangs-Gruͤndevon Leibnitz ſeine Differential - und Jntegral - Rechnung bekandt gemacht; wollen wir uns auch mit derſelben nicht aufhalten / ſondern vielmehr zu Geometriſchen Aufgaben fort ſchreiten.
142. Aus dem gegebenen Radio des Circuls ED / die Seite des in ihm be - ſchriebenen Regulaͤren Drey-Eckes AB zufinden.
Weil DB = BE (§. 128 Geom) und bey F rechte Winckel ſind (§. 118 Geom.) ſo iſt auch DF = FE (§. 167 Geom.) Es ſey demnach
DB = a BA = x So iſt DF = ½a BF = ½ x folgends ¾ aa = ¼ xx (§. 167 Geom.) 4 3aa = xx V 3aa = x
Jhr findet demnach x / wenn ihr zwiſchen 3 a und a die mittlere Proportional-Linie ſu - chet (§. 106 Arithm. §. 195. Geom.)
143. Weil 3 aa = xx / ſo iſt aa: xx = 1: 3 / das iſt / ((DE) 2: (AB) 2 = 1.3.
144. Wenn die Seite des Drey-Eckes b gegeben iſt / und ihr ſolltet den Radiumdes95der Algebra. des Circuls y finden / welcher umb ſelbiges beſchrieben werden kan; ſo habet ihr 3 y2 = b / und allſo iſt y = V⅓b2 / folgends doͤr - fet ihr nur zwiſchen der Linie AB (b) und dem dritten Theile derſelben (⅓b) die mitt - lere Proportional-Linie ſuchen (§. 106 A - rithm. §. 195 Geom.)
145. Die halbe Seite AB / nemlich DF iſt der Sinus des Bogens AD von 60° (§. 2 Trigon.) Derowegen koͤnnet ihr durch gegenwaͤrtige Aufgabe den Sinum von 60° finden (§. 11. Trigon.)
146. Aus dem gegebenen Radio desTab. I. Fig 2. Circuls AC die Seite des in ihm beſchrie - benen Regulaͤren Acht-Eckes zufinden.
Es ſey AC = BC = DC = a / BD = x ſo iſt AB = V 2 a2 (§. 167. Geom.) BE = ½ V 2 a2 (§. 118 Geom.) = V ½ a2 EC = V (a2 ‒ ½ a2) (§. 167. Geom.) = V ½ a2 D E = a ‒ V ½ a2 / folgends (§. 167. Geom.) x2 = a2 ‒ 2a V ½ a2 + ½a2 = 2 a2 ‒ 2a V ½ a2 x ≡ V (2a2 ‒ 2a V ½ a2)
Jhr96Anfangs-GruͤndeJhr findet die Seite des Acht-Eckes x / wenn ihr zwiſchen dem Diametro des Cir - culs 2a und der Differentz der halben Seite des Vier-Eckes BE oder EC (V ½ a2) von dem Radio DC (a) / das iſt / der Linie DE die mittlere Proportional-Linie ſuchet (§. 106. Arithm. 195 Geom.).
147. Die halbe Seite des Acht-Eckes iſt der Sinus des Bogens von 24° 30′ (§. 2 Trig. ) dieſen koͤnnet ihr demnach durch gegenwaͤrti - ge Aufgabe finden.
148. Aus der gegebenen Seite desTab. I. Fig. 2. Acht-Eckes DB den Radium des Circuls AC zu finden / der umb daſſelbe beſchrie - ben werden kan.
Es ſey DB = b / BC = y / ſo iſt / vermoͤge deſſen / was bey der vorhergehenden Aufga - be erwieſen worden b2 = 2y2 ‒ 2y V ½y2 2y V ½ y2 = 2y2 ‒ b2 2y4 = 4y4 ‒ 4y2b2 + b4 - b4 = 2y4 ‒ 4b2y22 ‒ ½ b4 = y4 ‒ 2b2y2 b4 _ _ b4 (§. 79) ½ b97der Algebra. ½1b4 = y4 ‒ 2b2 y2 + b4 V ½ b4 = y2 ‒ b2 b2 + V ½ b4 = y2 V (b2 + V ½ b4) = y
Suchet zwiſchen b und ½ b die mittlere Pro - portional-Linie V ½ b2 und denn ferner zwi - ſchen b und b + V ½ b2 noch eine andere mittlere Proportional-Linie (§. 105 Geom.) ſo iſt die - ſelbe V (b2 + b V ½ b2) (§. 106. Arithm.) = V (b2 + V ½ b4) (§. 55).
149. Aus dem gegebenen Radio desTab. I. Fig. 3. Circuls AC die Seite des Zehen-Eckes AB zu finden.
Weil AB = $$\frac {1}{10}$$ der Peripherie / ſo iſt der Winckel ACB 36° / folgends ſind die Win - ckel CAB und ABC ein jeder 72 (§. 95. 101. Geom.) und demnach iſt DAC 108 (§. 56. Geom.) Machet AD = AC / ſo iſt jeder von den Winckeln ADC und DCA 36 (§. 95 101 Geom.) daher DCB 72° / folgends ſind die Triangel BAC und BDC einander aͤhn - lich / und demnach BD: BC = BC: BA (§. 182 Geom.) Es ſey AC = BC = AD = a / AB = x / ſo iſt BD = a + x und dannenhe - ro vermoͤge deſſen was erwieſen worden /
(4) Ga + x98Anfangs-Gruͤndea + x: a = a: x a2 = a x + x2 (§. 103. Arithm. ) ¼a2 ¼a2 $$\frac {5}{4}$$ a2 = ¼ a2 + a x + x2 V $$\frac {5}{4}$$ a2 = ½ a + x V $$\frac {5}{4}$$ a2 = ½ a = x
Richtet auf den Diameter AB den Ra - dium AC = a aus dem centro C perpendi - cular auf (§. 90 Geom.) und theilet CB in 2 gleiche Theile in E / (§. 112 Geom.) ſo iſt CE = ½ a und folgends DE = V $$\frac {5}{4}$$ a2 (§. 167 Geom.) machet EF = DE / ſo iſt CF = V $$\frac {5}{4}$$ a2-½ a.
150. Auf ſolche Art lehret Euclides die Seite des Zehen-Eckes zu finden.
151. Aus dem gegebenen Radio des Cir - culs DC / die Seite des Fuͤnf-Eckes AB zu finden.
Es ſey DC = a AB = x ſo iſt DB = V $$\frac {5}{4}$$ a2 ‒ ½ a = b BE = ½ x BC = V (a2 ‒ ¼ x2) DE = a-V (a2 ‒ ¼ x2)
folgends (§. 167 Geom.)
b2 = ¼ x2 + a2 ‒ 2 aV (a2 ‒ ¼ x2) + a2 ‒ ¼ x22a99der Algebra. 2a V (a2 ‒ ¼ x2) = 2a2 ‒ b2 4a4 ‒ a2 x2 = 4a4 ‒ 4a2 b2 4a2b2 ‒ b4 = a2x2 a2 4b2 ‒ b4: a2 = x2 V (4b2 ‒ b4: a2) = x
Weil nun b = V $$\frac {5}{4}$$ a2 ‒ ½ a (§. 149) und dan -Tab. I. Fig. 4. nenhero b2 = $$\frac {6}{4}$$ a2 ‒ a V $$\frac {5}{4}$$ a2 / b4 = $$\frac {14}{4}$$ a4 ‒ Fig. 4. 3a3 V $$\frac {5}{4}$$ a2 / ſo iſt x2 = $$\frac {10}{4}$$ a2 + 2a V + $$\frac {5}{4}$$ a2 = a2 + $$\frac {6}{4}$$ a2 + 2 a V $$\frac {5}{4}$$ a2 = a2 + b2. Derowe - gen iſt das Qvadrat von der Seite des Fuͤnf-Eckes den Qvadraten der Seite des Sechs-Eckes DC und des Zehen-Eckes FC gleich / und ſolchergeſtalt die Linie DF die Seite des Fuͤnf-Eckes.
152. Euclides lehret abermals die Seite des Fuͤnf - Eckes auf ſolche Art finden.
153. Die halbe Seite des Fuͤnf-Eckes iſt der Sinus von 36° / die halbe Seite des Ze - hen-Eckes der Sinus von 18° (§. 2 Trigon.) Derowegen koͤnnet ihr aus dem gegebenen Radio des Circuls dieſe beyden Sinus fin - den. (§. 11 Trigon.).
154. Eine gerade Linie AC dergeſtaltTab. I. Fig. 5. in F zu ſchneiden / daß die gantze LinieG 2AC100Anfangs-GruͤndeAC ſich zu dem großen Theile AF ver - haͤlt / wie der große Theil AF zu dem kleinen FC / oder daß AF2 = AC in FC.
Es ſey AC = a / AF = x / ſo iſt FC = a ‒ x und allſo x2 = aa-ax. x2 + ax = a2 ¼ a2 ¼a2 (§ 79.). x2 + a x + ¼ a2 = $$\frac {5}{4}$$ a2 a + ½ a = V $$\frac {5}{4}$$ a2 x = V $$\frac {5}{4}$$ a2 ‒ ¼ a
Setzet AC = DC = a rechtwincklicht zu - ſammen / und machet CE = ½ a / ſo iſt DE = V ½ a2 (§. 167 Geom.). Machet ferner EF = DE / ſo iſt die Linie AC in F auf verlange - te Art ſeciret.
155. Die alten Geometræ nennen dieſes lineam media & extrema ratione ſecare. Man pfleget es auch divinam ſectionem zu nennen / weil (wie aus dem Euclide zu ſehen) man viel aus dieſer Section demonſtriret hat.
156. Wenn a der Radius eines Circuls iſt / ſo iſt der groſſe Theil von der Linie x die Seite des Zehen-Eckes (§. 149).
157. Aus dem gegebenen UmbfangeAB101der Algebra. AB + BC + CA eines rechtwincklichten Triangels und ſeinem Jnhalte / die groͤ - ſte Seite BC zu finden.
Es ſey AB + BC + CA = a / BC = x / der Jnhalt = bb _ _ ſo iſt AC + BA = a-x Nun iſt BC2 = AC2 + AB2 (§. 167. Geom.) und AC2 + AB2 = (AB + BC) 2 ‒ 2BA. BC (§. 75). Derowegen iſt auch BC2 = (AB + BC) 2 ‒ 2AB. BC. Es iſt aber BC2 = x2 / (AB + BC) 2 = a2 ‒ 2 a x + xx / 2 AB. BC = 4 b b / weil b2 = ½ AB. BC (§. 150 Geom.) Und demnach habet ihr 〈…〉
Weil 2ax = a2 ‒ 4b2 / ſo iſt 2a: a + 2 b = a ‒ 2b: x (§. 102. Arithm.). Derowe - gen doͤrfet ihr nur zu dem doppelten Umbfan - ge (2a) / der Summe des Umbfanges und der doppelten Seite des Qvadrates / wel - ches dem Jnhalt des Triangels gleich iſt / und der Differentz dieſer beyden Linien / die vierdte Proportional-Linie ſuchen (§. 181. Geom.)
158. Weil alle Flaͤchen durch das Qvadrat aus - gemeſſen werden (§. 144 Geom.); ſo giebet man inG 3Geo -102Anfangs-GruͤndeGeometriſchen Aufgaben jeder zeit die Flaͤche durch ei - ne Linie / deren Qvadrat ihr gleich iſt.
159. Aus der gegebenen Grundlinie B C und den beyden Winckeln an derſelben B und C / die Hoͤhe AD zu finden.
Es ſey BC = a / AD = x. Weil bey D rechte Winckel ſind / ſo wiſſet ihr auch die Winckel BAD und DAC (§. 96 Geom.) Es ſey der Sinus des Winckels ABD = t / der Sinus des Winckels BAD = r / der Sinus des Winckels DAC = q / der Sinus des Winckels ACD = p / ſo iſt t: r = x: BD und p: q = x: DC / (§. 34 Trigon. ) fol - gends BD = rx: t und DC = qx: p. De - rowegen weil BD + DC = BC / ſo habet ihr 〈…〉
Wenn ihr AD als den Sinum totum anſe - het / ſo iſt BD die Tangens des Winckels B AD / und DC die Tangens des WinckelsDAC103der Algebra. DAC (§. 6 Trigon.). Es ſey der Sinus to - tus = t / die Tangentes ſeyn m und n / ſo iſt t: m = x: BD und t: n = x: DC / folgends iſt BD = nx: t und DC = mx: t und dem - nach a = (n x + m x): t at = nx + mx n + m at: (n + m) = x
Suchet allſo zu der Summe der Tangen - tium der beyden Winckel BAD und DAC dem Sinu Toto und der Grundlinie B C die vierdte Proportional-Zahl (§. 107 Arithm. ) ſo kommet die Hoͤhe des Triangels AD her - aus.
160. Aus drey gegebenen Seiten ei -Tab. I. Fig. 7. nes Triangels AB / AC und CB die Hoͤhe AD zu finden.
Es ſey ab = a / _ _ bd = x bc = b _ _ ſo iſt dc = b-x ac = c
Weil nun ab2 ‒ bd2 = ad2 und ac2 ‒ dc2 = ad2 (§. 167 Geom.) / ſo iſt auch ab2 ‒ b d2 = ac2 ‒ dc2 / folgends a2 ‒ x2 = c2 ‒ b2 + 2bx ‒ x2 a2 + b2 ‒ c2 = 2bxG 4a2104Anfangs-Gruͤnde 〈…〉
Wenn ihr BD habet / ſo koͤnnet ihr (§. 167 Geom.) AD finden. Es ſey Z. E. a = 5 / b = 3 / AC = 4 / ſo iſt x = (25 ‒ 16): 6 + $$\frac {3}{2}$$ = 9: 6 + 3: 2 = (3 + 3): 2 = 6: 2 = 3.
Weil BD = BC / ſo muß der gegebene Triangel rechtwincklicht und allſo A D = A C ſeyn. Es ſey a = 6 / b = 4 / AC = 3 / ſo iſt x = (36-9): 8 + 2 = 27: 8 + 2 = 5 + ⅜. AB2 = 2.3.0.4: 64 BD2 = 1849: 64 AD2 = 455: 64 (§. 167 Geom.) 〈…〉 demnach iſt AD = 2133: 800.
161. Auf eine gleiche Weiſe koͤnnet ihr aus drey gegebenen Seiten die Hoͤhe des Triangels finden / wenn er ſtumpfwincklicht iſt.
162. Derowegen koͤnnet ihr auch aus drey gegebenen Seiten den Jnhalt eines Triangels finden / (§. 150 Geom.)
163. Aus dem gegebenen Jnhalte ei -Tab. I. Fig. 6. nes rechtwincklichten Triangels ABC / deſſen drey Seiten AC / BA / DB in einer Geometriſchen Progreßion ſind / die Seiten ſelbſt zufinden.
Es ſey der Jnhalt = a2 / AC = y BA = xy ſo iſt CB = x2y (§. 65 Arithm. ) und dannenhero x4 y4 = x2 y2 + y2 (§. 167 Geom.) 2a2 = x y2 (§. 156 Geom.) x4 — x2 = 1 2 a2 = y2 V (½ + V $$\frac {5}{4}$$ ¼ ¼ (§. 79. V (2a2: V (½ + V $$\frac {5}{4}$$ ) = y x4 — x2 + ¼ = $$\frac {5}{4}$$ x2 — ½ = V $$\frac {5}{4}$$ x2 = ½ + V $$\frac {5}{4}$$ x = V (½ + V $$\frac {5}{4}$$ )
164. Aus der gegebenen Summe derTab. I. Fig. 6. Seiten AC + AB in einem rechtwinck - lichten Triangel CAB und dem Perpen - dicul AD die Seiten zufinden.
G 5Auf -106Anfangs-GruͤndeEs ſey AB + AC = a / AB-BC = y / BC = x AD = b / ſo iſt AB = ½ (a + y) / AC = ½ (a ‒ y) / folgends x2 = ½ (aa + yy) (§. 167 Geom.) 2 x2 = aa + yy BA: DA = BC: AC ½ (a + y): b = x: ½ (a-y) 2x2 ‒ aa = yy ¼ (aa-yy) = bx aa ‒ 4bx = yy derowegen 2x2 ‒ aa = aa ‒ 4bx x2 ‒ 2bx = aa x2 ‒ 2bx + bb = aa + bb (§. 79) x = ‒ b + V (aa + bb)
Wenn ihr b auf a perpendicular aufrich - tet / ſo iſt die Hypotenuſe V′ (bb + aa) / de - rowegen wenn ihr von dieſer die Linie b ab - ſchneidet / ſo bleibet die Hypotenuſe eures Triangels x uͤbrig.
165. Aus dem gegebenen Diameter des Circuls DE oder der Sehne GF und der Tangente AB die Secantem A E / oder AF zufinden.
Auf -107der Algebra.Derowegen iſt bb + y2 + 2 cy = bb + aa y2 + 2 cy = aa y2 + 2cy + cc = aa + cc y = V (aa + cc) ‒ c
Allſo iſt AF = V (aa + cc) + c.
166. Weil x2 + 2 bx = aa und y2 + 2cy = aa / ſo iſt AD. AE = (AB) 2 / inglei - chen AG. AF = (AB) 2 / folgends auchAD. 108Anfangs-GruͤndeAD. AE = AG. AF und demnach AE. AF = AG: AD / welches alles in der Tri - gonometrie (§. 42) ſchon auf andere Art er - wieſen worden.
167. Aus dem gegebenen Sinu eines Winckels den Sinum des doppelten / dreyfachen / vierfachen ꝛc. Winckels zu finden.
Es ſey der einfache Winckel KAE. Neh - met AB fuͤr den Sinum Totum an und macht AB = BC = DC = DE = EK / ſo iſt BF der Sinus des Winckels A und AF = FC (§. 103 Geom.) der Sinus Complementi, ferner GBC = 2 BAC (§. 100 Geom.) DCE = CDA + CAD (§. cit.) = 3 CAD / KDE = DEA + KAE (§. cit.) = 4 KAD u. ſ. w. Folgends iſt GC der Sinus des doppelten / DH des dreyfa - chen / EI des vierfachen Winckels A.
Es ſey AB = r / BF = b / AF = c. AB: BF = AC: GC (§. 182 Geom.) r _ _ b _ _ 2c _ _ 2bc: r AB: AF = AC: AG r _ _ c _ _ 2c _ _ 2cc: r
Derowegen iſt BG = 2cc: r ‒ r = (2cc ‒ rr): r = (weil r2 = b2 c2) (2cc ‒ b2 ‒ c2): r = (c2 ‒ b2): r folgends AD = (3c2 - b2): r.
AB:109der Algebra.AB: BF = AD: DH r _ _ b _ _ (3c2-b2): r _ _ 3bc2-b3,: r2 AB: AF = AD: AH r _ _ c _ _ 3c2-b2,: r 3c3 ‒ b2c,: r2
Derowegen iſt CH = 3c3 ‒ b2c,: r2 ‒ 2c = 3c3 — b2c — 2cr2,: r2 = (weil r2 = c2 — b2) 3c3 — b2c — 2c3 — 2b2c,: r2 = c3 — 3b2c,: r2 / folgends AE = 3c3 ‒ b2c,: r2 + c3 — 3b2c: r2 = 4c3 — 4b2c,: r2. AB: BF = AE: EI r _ _ b _ _ 4c3 ‒ 4b2c,: r2 4bc3-4b3c,: r3 AB: AF = AE: AI r _ _ c _ _ 4c3-4b2c,: r2 4c4-4b2c2,: r3
Derowegen iſt DI = 4c4 ‒ 4b2c2,: r3 — 3c2 + b2,: r = 4c4 ‒ 4b2c2 ‒ 3c2 ‒ 3c2r2 + b2r2,: r3 = 4c4 ‒ 4b2c2 ‒ 3b2c2 ‒ 3c4 + b4 + b2c2,: r3 = c4 ‒ 6b2c2 + b4,: r3.
Wenn demnach der Sinus totus r / der Sinus des einfachen Weinckels b / und ſein Sinus complementi c iſt / ſo iſt der Sinus des zwiefachen 2bc: r des dreyfachen 3b c2 ‒ b3,: r2 des vierfachen 4bc ‒ 4b3c,: r3 des fuͤnffachen 5bc4-18b3 c2 + b5,: r4 des ſechsfachen 6bc5 ‒ 20b3c3 + 6b5c,: r5
Hingegen der Sinus Complementi des zwiefachen cc ‒ bb,: r des dreyfachen c3 ‒ 3b2c,: r2 des vierfachen c4 ‒ 6b2c2 + b4,: r3 des fuͤnffaͤchen c5 ‒ 10b2c3 + 5b4c,: r4 des ſechsfachen c6 ‒ 15b2c + 15b4 c2 ‒ b6,: r5
168. Allſo koͤnnet ihr auch leicht aus der Tangente des einfachen Winckels / die Tan - gentes des zwiefachen / dreyfachen / vierfa - chen ꝛc. finden (§. 18 Trigon.). Denn es ſey der einfache = t = br: c (§. cit. ) ſo iſt der zwiefache 2bcr,: cc — bb = 2t:, c2 — b2.
169. Jhr koͤnnet auch die Tangentes ſucheñ / ohne daß ihr noͤthig habet die Sinus zu wiffen / wie in der folgenden Aufgabe gezeiget wird. Jhr habet aber dazu folgenden Satz noͤthig:
Wenn der Winckel. cab durch die Linie ea in zwey gleiche Theile gethei - let wird / ſo verhaͤlt ſich die eine Seite ab zu dem ihr anliegenden Theile der Grund-Linie be wie die Seite ac zu dem Theile EC / ſo an ihr lieget.
Verlaͤngert ba in d / biß ad = ac und ziehet die Linie cd. Weil der Winckel cab = acd + adc (§. 100 Geom.) und ca = ad; ſo iſt auch acd = adc (§. 101 Geom.) / folgends acd = ½ cab = cae. Dem - nach iſt ea mit cd parallel (§. 92 Geom.) / und daher ba: be = ad (= ac): ec (§. 197 Geom.). W. Z. E:
170. Derowegen verhaͤlt ſich auch ba:ac111der Algebra. ac = be: ec / folgends ba + ac: ac = bc: ec (§. 130).
171. Aus dem Tangente und SecanteTab. I. Fig. 8. des einfachen Winckels die Tangentes und Secantes des zweyfachen / dreyfa - chen / vierfachen ꝛc. zufinden.
Nehmet ab fuͤr den Sinum totum an / ſo iſt bc die Tangens des einfachen Winckels cab / bd die Tangens des zwiefachen dab u. ſ. w.
Es ſey ab = a / bc = b / ed = x / ſo iſt cd = x ‒ b; (cd) 2 = x2 ‒ 2bx + b2 / (ad) 2 = aa + xx. Nun iſt ab: ad = bc: cd (§. 170) / und daher (ab) 2: (ad) 2 = (bc) 2: (cd) 2 (§. 130) / das iſt / a2: a2 + x2 = b2: x2-2bx + b2 a2 b2 + b2 x2 = a2 x2 ‒ 2a2 bx + a2 b2 2a2 x = a2 x2 ‒ b2 x2 a2x ‒ b2 x 2 a2 b: a2 ‒ b2 = x
Derowegen iſt cd = x ‒ b = (2a2 b,: a2 ‒ b2) ‒ b = 2a2b ‒ a2b + b3,:, a2 ‒ b2 = a2 b + b3,:, a2 ‒ b2.
Die Secantem ad findet ihr nun allſo.
bc: cd = ab: ad (§. 170). b:112Anfangs-Gruͤndeb: (a2 b + b3,:, a2-b2) = a: (a3+ab2,:, a2 - b2).
Oder wenn ihr die Secantem des einfachen Winckels ac = V (a2 + b2) = c ſetzet / ſo iſt ad = ac2:, a2 ‒ b2.
Auf gleiche Art wird die Tangens des dreyfachen Winckels BE = 3a2b-b3,:, a2 - 3b2 und die Secans ae = c3:, a2 ‒ 3b2 gefun - den / u. ſ. w.
172. Aus dem gegebenen Jnhalte ei - nes rechtwincklichten Triangels abc und dem Winckel b die Seiten ab und bc zu finden.
Es ſey der Jnhalt = b2 _ _ ab = x der Sinus Totus = r _ _ ſo iſt: die Tangens b = t _ _ r: t = x: ac (§. 6 Trig. ) daher ac = tx: r Folgends tx2: 2r = b2 x = (2b2r: t) x = V (2b2 r: t)
Nehmet auf den einen Schenckel ai des ge - gebenen Winckels kai nach Belieben ab fuͤr r an und richtet in B die perpendicular-Linie DB auf / dieſe iſt = t (§. 6 Trig). Traget db aus a in c und b aus b in e. Ziehet fe mit cb parallel / ſo iſt cf = bt: r (§. 181. Geom.). Machet113der Algebra. Machet ferner FH = 2b / und ſuchet zwiſchen CF und FH die mittlere Proportional-Linie FG (§. 195. Geom.) dieſe iſt = x.
173. Einen Circul zu finden / der ſo groß iſt als die Flaͤche eines gegebenen Cylinders.
Es ſey der Diameter des Cylinders = d / ſeine Peripherie = p / die Hoͤhe = a ſo iſt die Flaͤche = ap (§. 27. 45 Geom.) Es ſey ferner der Diameter des Circuls = x / ſo iſt d: p = x: (px: d). Und demnach die Peripherie des Circuls px: a / folgends ſeine Flaͤche px2: 4d (§. 163 Geom.) Dero - wegen iſt px2: 4d = ap x2 = 4ad x = V 4ad oder ½ x = V ad
Der halbe Diameter des verlangten Circuls iſt die mittlere Proportional-Linie zwiſchen der Hoͤhe und dem Diameter des Cylin - ders.
174. Den Diameter und die Hoͤhe ei - nes Cylinders zufinden / deſſen Flaͤche ei - nem gegebenen Circul gleich iſt.
(4) HAuf -114Anfangs-GruͤndeEs ſey der Diameter des Circuls = r / die Peripherie = p / die Hoͤhe des Cylin - ders = x / ſein Diameter = y. So iſt ſeine Peripherie = py: r / folgends pyx: r = ¼ pr 4yx = r2 x = r2: 4y oder y = r2: 4 x Jhr koͤnnet allſo entweder den Diameter / o - der die Hoͤhe nach belieben annehmen.
175. Aus der gebebenen Verhaͤltnis der Hoͤhe eines Cylinders zu ſeinem Dia - meter und dem Diameter eines Circuls / der ſeiner Flaͤche gleich iſt / die Hoͤhe des Cylinders und ſeinen Diameter zufin - den.
Es ſey die gegebene Verhaͤltnis m: n / der Diameter des Circuls = d / ſeine Peri - pherie = p / die Hoͤhe des Cylinders = x / ſo iſt ſein Diameter = nx: m und ſeine Peripherie = npx: md / folgends npx2: md = ¼ pd x2 = md2: 4n x = V (md2; 4n)
176. Aus dem gegebenen Jnhalte ei - nes Cylinders und der Verhaͤltnis / den ſeine Hoͤhe zu ſeinem Diameter hat / die Hoͤhe und den Diameter zu finden.
Es ſey der Jnhalt des Cylinders = c3 / die gegebene Verhaͤltnis = m: n / die Hoͤhe = x / ſo iſt der Diameter = nx: m ſeine Peripherie 314 nx: 100m (§. 161 Ge - ometr. ) / folgends ſeine Grundflaͤche 314n2 x2: 400m2 (§. 163 Geom.) und daher 314n2 x3: 400m2 = c3 x3 = 400m2 c3: 314n2 x 〈…〉 (400m2: 314n2)
177. Aus dem gegebenen Jnhalte ei - ner Kugel ihren Diameter zu finden.
Es ſey der Jnhalt = a3 / der Diameter = x / ſo iſt 300: 157 = x3: a3 (§. 222 Geom.) 157x3 = 300a3 x3 = 300a3: 157H 2x =116Anfangs-Gruͤndex = 〈…〉 (300a3: 157)
178. Aus der gegebenen Flaͤche einer Kugel ihren Diameter zufinden.
Es ſey der Diameter = x / die Flaͤche = a2 ſo iſt die Peripherie des groͤſten Cir - culs 100x: 314 (§. 161 Geom.) folgends a2 = 100x2: 314 (§. 220 Geom.) 314a2: 100 = x2 V (314a2: 100) = x
179. Aus der gegebenen Flaͤche einer Kugel ihren Coͤrperlichen Jnhalt zu finden.
Es ſey der Coͤrperliche Jnhalt = x / die Flaͤche = a2 / ſo iſt der Diameter = V (314a2: 100) §. 178 / folgends (§. 221 Geom.) ⅙ a3 V (314: 100) = x a3 V 314: 60 = x
180. Aus dem gegebenen Diameter einer Kugel und der Hoͤhe eines Cylin - ders / der ihr gleich iſt / den Diameter des Cylinders zu finden.
Auf -117der Algebra.Es ſey der Diameter der Kugel = d / die Hoͤhe des Cylinders = a / ihr Diameter = x / ſo iſt ihr Jnhalt = 157 d3: 300 (§. 224 Geom.) der Jnhalt des Cylinders 314ax2: 400 (§. 206 Geom.) und dem - nach 157 d3: 300 = 314ax2: 400 400. 157 d3: 300. 314a = x2 V (2d3: 3a) = x.
181. Aus dem gegebenen Diameter eines Coni und der Hoͤhe den Diame - ter eines Cylinders zu finden / der ihm der Hoͤhe und dem Jnhalte nach gleich iſt.
Es ſey der Diameter des Coni = d / die Hoͤhe = a / der Diameter des Cylinders = x / ſo iſt der Jnhalt des Coni = 785 da2: 3000 (§. 213 Geom.) / des Cylinders aber 785adx2: 1000 (§. 206 Geom.). Dero - wegen iſt (§. 212 Geom.) 785adx2: 1000 = 785 ad2: 3000 x2 = ⅓d x = V ⅓ d
182. Aus dem gegebenen Diameter eines Coni und ſeiner Hoͤhe / den Dia - meter einer Kugel zu finden / die ihm gleich iſt.
Es ſey der Diameter des Coni = d / die Hoͤhe = a / der Diameter der Kugel = x ſo iſt der Jnhalt des Coni = 785ad2: 3000 (§. 213 Geom.) hingegen der Jnhalt der Kugel 157x3: 300 (§. 216 Geom.) De - rowegen iſt 157x3: 300 = 785ad2: 3000 x3 = 785ad2: 1570 x = 〈…〉 (785ad2: 1570)
183. Den Jnhalt eines abgekuͤrtzten Coni zufinden.
Es ſey ab = r / gf = b / cd = c / ef = x / ſo iſt eg = b + x / der Jnhalt des Coni aeb = 785 r2 (b + x): 3000 und des Coni ced = 785 c2 x: 3000 / folgends der abgekuͤrtzte Conus acdb = (785 r2 b + 785r2 x — 785 c2 x): 3000. Nun iſt ah: hc = ag: ge (§. 177 Geom.) (r — c): 2 ½ r = b: b + xDem -119der Algebra. demnach br = br — bc + rx — cx bc: (r — c) = x
Setzet dieſen Werth von x in ſeine Stelle in dem Werthe des abgekuͤrtzten Coni, ſo bekommet ihr fuͤr denſelben (785 r2 b + (785r2 bc — 785 bc3,:, r — c): 3000 = (785r3 b — 785r2 bc + 785r2 bc — 785bc3): (3000 r — 3000 c) = 785 b (r3 ‒ c3): 3000 (r ‒ c).
184. Bißher habe ich in leichten Geometriſchen Exempeln den Nutzen der Algebra gezeiget: nun a - ber wird es Zeit ſeyn / daß ich darthue / wie man in der hoͤheren Geometrie mit ſonderbahrem Vortheile ſich derſelben bediene. Es handelt aber die hoͤhere Geometrie von den krummen / Linien. Derowegen ſol ich zeigen / wie man durch Huͤlfe der Algebra die Eigenſchaften der krummen Linien finden kan. Zwar dienet darzu hauptſaͤchlich die Differential - und Jn - tegral-Rechnung / von der im anderen Theile ge - handelt werden ſol: allein man kan auch durch die gemeine Algebra gar viel ausrichten. Damit ihr a - ber verſtehen moͤget / was hinfort beygebracht wer - den ſol; ſo muß uͤberhaupt etwas von den krummen Linien angefuͤhret werden. Bildet euch aber nicht ein / als wenn dieſe Betrachtung gantz fruchtloß waͤre. Vielmehr verſichert euch / daß ſie denenjenigen ſehr zuſtatten kommet / welche die Geheimniffe der Natur und Kunſt gnauer als andere einzuſehen belieben. Jch wuͤrde jetzt vergeblich reden / wenn ich einen weitlaͤuftigen Beweis hiervon fuͤhren wollte. Dar - umb geduldet euch ſo lange / biß in dem dritten Thei - le durch viele Exempel meine Rede beſtetiget wird. Hier mercket nur uͤberhaupt / daß man gewohnet iſtH 4die120Anfangs-Gruͤndedie krummen Linien durch Algebraiſche. Gleichun - gen zu erklaͤhren / welche die relation gewiſſer gera - den Linien / die man innerhalb denſelben ziehen kan / gegen einander exprimiren. Z. E. Es ſey A HB ein halber Cireul und in demſelben PM auf dem Dia -Tab. I. Fig. 14. meter AB perpendicular. Setzet AB = a / AP = x / ſo iſt PB = a-x. Es ſey ferner PM = y / ſo iſt beſtaͤndig y2 = ax-xx (§. 195 Geom. & §. 126 Al - gebr.). Derowegen drucket dieſe Gleichung die Re - lation aus / welche die Linie PM zu AP in allen Punc - ten der Peripherie AHB hat. Und darumb nennet man ſie die Erklaͤhrung des Cireuls. Gleichwie nun aber alles / was von der Sache erkandt werden kan / aus ihrer Erklaͤhrung hergeleitet wird (§. 27 Meth. Math.) ſo pfleget man auch aus dergleichen Glei - chungen durch die Algebra die Eigenſchaften der krum - men Linien herzuleiten.
185. Die Linie AX / welche alle gera - de Linien M M / die mit einander in - nerhalb einer krummen Linie parallel gezogen werden / in zwey gleiche Theile PM und PM theilet / wird der Diame - ter / und inſonderheit die Axe genen - net / wenn ſie mit eben den Linien einen rechten Winckel macht.
186. Die Linien MM werden die Or - dinaten; ihre Helften aber PM die Semiordinaten genennet.
187. Hingegen die Abſciße AP iſt das Stuͤcke des Diameters oder der Axe / welches die Ordinaten MM abſchnei - den.
188. Der Scheitel der krummen Li - nie iſt der Punct a / darinnen ſich die A - re AX endet.
189. Eine Algebraiſche Linie wird genennet / deren Natur durch eine Algebraiſche Æquation ſich erklaͤhren laͤſt.
190. Durch die Algebraiſchen Gleichungen ver - ſtehen wir diejenigen / die einerley Grad haben in allen Puncten der krummen Linie. Dergleichen iſt die Æquation des Circuls y2 = ax-x2. Es iſt aber wohl zu mercken / daß fuͤr eine krumme Linie oͤf - ters verſchiedene Æquationen gefunden werden / gleich wie man verſchiedene Erklaͤhrungen von ihnen geben kan / wenn ſie mehr als eine eigenthuͤmliche Ei - genſchaft haben. Z. E. Es ſey im Circul der halbe Diameter EC = r / PC = x / PM = y / ſo iſt die Æquation, welche die Natur des Circuls erklaͤhret a2 ‒ x2 = y2.
191: Man nennet insgemein mit dem des Cartes die Algebraiſchen Linien / Geometriſche Li - nien: allein wir ſind bey der Benennung desH 5Herrn122Anfangs-GruͤndeHerrn von Leibnitz geblieben / mit welchem auch der große Engellaͤndiſche Geometra Newton uͤberein - ſtimmet / welcher (in Arithm. Univ. p. 280.) wohl er - rinnert / daß nicht die Æquation Urſache ſey / war - umb man eine krumme Linie zu Aufloͤſung der Fragen in die Geometrie nehmen ſol / ſondern es ſolle viel - mehr darumb geſchehen / weil ſie ſich leicht beſchreiben laͤſt.
192. Eine Tranſcendentiſche Linie wird genennet / deren Natur durch kei - ne Algebraiſche Æquation ſich erklaͤh - ren laͤſt / unerachtet man ſie durch eine Tranſcendentiſche erklaͤhren kan.
193. Die Trauſcendentiſchen Æquationen ha - ben keinen deierminirten Grad / ſondern der Exponen - te in den Dignitaͤten der Glieder iſt veraͤnderlich. Dieſe hat der Herr von Leibnitz zuerſt eingefuͤh - ret.
194. Jnsgemein nennet man die Trauſcendenti - ſchen Linien Mechaniſche Linien abermals mit dem des Cartes, und wirft ſolchergeſtalt viel Linien aus der Geometrie / die ſich leicht beſchreiben laßen: wel - ches wir mit den beyden groͤſten Geometris unſerer Zeiten / dem Herrn von Leibnitz und dem Herrn Newton mit Recht mißbilligen / weil man zur Aufloͤ - ſung einer Aufgabe diejenige Linie fuͤr anderen erweh - len ſol / die ſich leichte beſchreiben laͤſt.
195. Alle Algebraiſche Linien werden zu einem Geſchlechte gerechnet / da dieGlie -123der Algebra. Glieder der Æquationen auf gleiche Di - menſionen ſteigen. Da nun die Æqua - tion fuͤr eine gerade Linie allein eine Di - menſion haben kan; ſo nennet man eine Linte von dem erſten Geſchlechte / wenn die Glieder der Æquation zwey Dimenſionen haben: ſind derſelben drey / ſo iſt es eine Linie von dem an - dern Geſchlechte: ſind ihrer viere / ei - ne Linie von dem dritten Geſchlechte u. ſ. w.
196. Die Æquation fuͤr den Eircul iſt y2 = ax - x2 / oder auch a2-x2 = y2. Demnach iſt der Circul eine Linie von dem erſten Geſchlechte. Wie - derumb wenn ax = y2 die Natur einer krummen Li - nie erklaͤhret; ſo iſt dieſelbe abermal eine Linie von dem erſten Geſchlechte. Hingegen wenn die Erklaͤh - rung der krummen Linie a2x = y3 iſt / ſo iſt ſie eine Linie von dem andern Geſchtechte.
197. Alle Algebraiſche Linien rechnen wir zu einer Familie / in deren Glei - chungen alle Glieder bis auf die Erpo - nenten der Dignitaͤten miteinander uͤ - berein kommen.
198. Demnach gehoͤren die krummen Linien / deren Natur durch die Gleichungen ax = y2 / a2x = y3 / a3 x = y4 erklaͤhret wird / zu einer Familie.
199. Die krummen Linien koͤnnen alle unter eine Gleichung gebracht werden / die zu einer Familie gehoͤren / wenn man nemlich fuͤr die determinirte Exponenten undetermi - nirte ſetzet.
200. Solchergeſtalt ſind alle krumme Linien / die ſich durch ax = y2 / a2x = y3 / a3x = y4 u. ſ. w. erklaͤhren laßen / unter dieſer Gleichung enthalten am. 〈…〉〈…〉x = ym. Jhr muͤſſet aber dergleichen Æ - quationen nicht mit den Tranſcendentiſchen verwir - ren. Denn unerachtet auch dieſe keine determinirte Exponenten haben / ſo ſind ſie doch darinnen unter - ſchieden / daß in einem jeden Puncte der krummen Li - nien eine beſondere Zahl in ihre Stelle geſetzt werden muß / dahingegen die gegenwaͤrtige Gleichungen ſich auf alle Puncte der krummen Linien ſchicken / die durch ſie erklaͤhret werden.
201. Solchergeſtalt koͤnnet ihr alle Algebraiſche Li - nien fuͤr eine groſſe Familie rechnen / die aus unendlich kleineren beſtehet / deren iede unendliche Geſchlechter hat. Denn weil in allen Gleichungen / dadurch die Natur der krummen Linien erklaͤhret wird / entweder eine gewiſſe Dignitaͤt der Abſciſſe und Ordinate bloß durch bekandte Groͤſſen / oder zugleich verſchiedene Diantitaͤten derſelben in einander / oder auch fuͤr eini - ge Glieder lauter bekandte Groͤßen[in]einander multi - pliciret werden / alle Gleichungen aber ſich auf o re - ſolviren / wenn man alle Glieder auf eine Seite ſetzet (als an ſtat ax = y2 koͤnnet ihr ſagen y2-ax = o); ſo wird eine General-Æquation fuͤr alle Algebraiſche Linien ſeyn aym + b xn + cycxſ + f = o. Manſetzet125der Algebra. ſetzet uͤberall das Zeichen + / weil die Zeichen auf gar viel Arten veraͤndert werden koͤnnen.
202. Dieſe Eintheilung der Linien in ihre Ge - ſchlechter und Familien hat ihren Nutzen: und dienet die letztere ſonderlich dazu / daß wir dasjenige / was vielen Linien gemein iſt / auf einmal erkennen. Die erſtere Eintheilung iſt zu dem Ende aufgebracht wor - den / daß man eine Wahl der Linien anſtellen koͤnte / wenn man einige zu Aufloͤſung einer Aufgabe ausſu - chen ſol: wovon ich an ſeinem Orte reden wil.
203. Unter dem krummen Linien ſind ſonderlich diejenigen fuͤr anderen beruͤhmt / welche aus geſchick - ter Zerſchneidung eines Kegels oder Coni entſtehen / und daher von den Alten Sectiones Conicæ oder Kegelſchnitte genennet worden. Denn weil die Alten ſie nebſt dem Circul allein in die Geometrie nah - men; haben ſie auch viel von ihren Eigenſchaften ge - ſchrieben / und die neueren haben noch ein mehreres dazu geſunden. Derowegen wollen auch wir ihre vornehmſte Eigenſchaften durch Algebraiſche Rech - nungen unterſuchen / wiewol wir ſie anfangs nicht als Kegelſchnitte betrachten wollen / ſondern ſie durch Æ - quationen erklaͤhren. Es ſind aber dieſer Linien drey / nemlich die Parabola, die Ellipſis und die Hyperbola. Mercket aber hier einmal fuͤr alle mal daß wir beſtaͤndig die Abſciſſe x und die halbe Ordina - te y nennen wollen.
202. Die PARABOLA iſt eine Linie in welcher ax = y2 / das iſt / in welcher das Qvadrat der halben Ordinate dem Re - ctangulo aus der Abſciße in eine beſtaͤn -dige126Anfangs-Gruͤndedige Linie gleich iſt / die der Parameter genennet wird.
205. Derowegen iſt in der Parabel a = y2: x / das iſt / der Parameter iſt die dritte Proportional-Linie zu einer jeden Aſciße und der ihr zugehoͤrigen halben Ordinate.
206. Es iſt ferner V a x = y / das iſt / die halbe Ordinate iſt die mittlere Proportio - nal-Linie zwiſchen dem Parameter und der ihr zugehoͤrigen Abſciſſe.
207. Solchergeſtalt koͤnnet ihr eine Pa - rabel beſchreiben / wenn euch ihr Parameter gegeben wird. Denn es ſey AB der gegebe - ne Parameter. Richter in B eine Perpen - dicular-Linie BC auf. Setzet den Zirckel nach Belieben auf der Linie AD ein / thut ihn auf bis A und beſchreibet die Bogen I1 / II2 / III3 u. ſ. w. ſo ſind B1 / B2 / B3 &c. die mittlere Proportional-Linien zwiſchen AB und BI / BII / BIII &c. (§. 195 Geom.). Derowegen da AB der Parameter iſt / ſo ſind BI / BII / BIII &c. die Abſcißen / hingegen B1 / B2 / B3 &c. die halben Ordinaten. Wenn ihr nun durch I / II / III / &c. Linien mit BC parallel ziehet / und aus I in 1 / 2 / 3 &c. die Linien B1 / B2 / B3 &c. traget; ſo koͤnnet ihr durch die Puncte 1. 2. 3. &c. die Parabel beſchreiben.
208. Jhr koͤnnet auch in einer jeden Pa - rabel einen verlangten Punct Geometriſch determiniren. Z. E. Jhr wolltet wißen / ob M recht in der Parabel ſey. Laſſet aus M in P ein Perpendicul fallen / und traget aus P in A den Parameter. Werfet uͤber BA ei - nen halben Circul / wenn er durch den Punct M gehet / ſo iſt er in der Parabel (§. 195 Geom. & §. 206 Algebr.).
209. Endlich iſt x = y2: a / das iſt / die Abſciße iſt die dritte Proportional-Linie zu dem Parameter und der halben Ordinate.
210. Die erklaͤhrete Parabel (welche man die Apolloniſche zu nennen pfleget / weil A - pollonius Pergæus unter den Alten viel von ihr geſchrieben) iſt eine Linie von dem erſten Geſchlechte (§. 195).
211. Wenn ihr demnach a2 x = y3 / a3x = y4 / a4x = y5 &c. ſetzet / ſo habet ihr Parabeln von dem andern / dritten / vierdten &c. Ge - ſchlechte. Und daher erklaͤhret am-1 x = ym eine gantze Familie unendlicher Geſchlech - ter der Parabeln / in welchen allen a = m-1 V (ym: x) / y = 〈…〉 am-1 x / und x = ym: am. �
212. Jhr koͤntet auch ſetzen ax2 = y3 / ax2 = y4 u. ſ. w unendlich fort / oder uͤberhaupt axm-1 = ym. So kaͤme eine neue Familie unendlicher Ge - ſchlechter von krummen Linien heraus / welche von ei - nigen Semiparabolæ genennet werden. Wolltet ihr die Familien der halben Parabeln und die vorige der Parabeln unter eine Gemeinſchaft bringen / ſo doͤrftet ihr nur ſetzen an xr = ym / unter welcher zugleich noch viele andere begriffen waͤren als a2 x〈…〉〈…〉 = y5. Ei - nige nennen die Parabeln von den hoͤheren Geſchlech - tern auch Paraboloides, ingleichen Paraboliformes. Ei - ne allgemeine Methode alle Paraboloides zu beſchrei - ben hat Bartholomæus Intieri gegeben in Aditu ad nova arcana Gemetrica detegenda (Beneventi 1703 in 4) epiſt. 1. p. 3 & ſeqq. die ihr auch in den Leipziger Actis 1704. p. 272 findet. Sie hat aber dieſe Be - ſchweerlichkeit / daß keine von den hoͤheren beſchrieben werden kan / man habe denn vorhero alle niedrigeren beſchrieben.
213. Der Brenn-Punct (Focus) iſt der Punct in der Axe / wo der Para - meter die Ordinate abgiebet.
214. Die Diſtantz des Brenn-Punc - tes F von der Scheitel zu finden.
Es ſey AF = x / der Parameter = a / ſo iſt FR = ½ a (§. 214) / folgends ¼a2 = ax ¼ a = x
Jn der Parabel iſt die Diſtantz desTab. II. Fig. 17. Brenn-Punctes F von der Scheitel A dem vierdten Theile des Parameters gleich.
215. Die Verhaͤltnis zu finden / wel - che die Ordinaten gegen einandeꝛ haben.
Es ſey der Parameter = a / AP = x / Ap = v / PM = y / pm = z / ſo iſt y2 = ax / und z2 = vx (§. 204) / folgends y2: z2 = ax: av = x: v (§. 130). Demnach iſt (PM) 2: (pm) 2 = AP: Ap.
Jn der Parabel verhalten ſich die Qvadrate der Ordinaten wie die Ab - ſciſſen.
216. Die Groͤſſe des Rectanguli aus der Summe zweyer halben Ordinaten PM + pm in ihre Differentz mR zufin - den.
| PM + pm = V av + V ax | §. 215 |
| mR = V av — Vax |
(PM + pm) mR = av — ax = a, v-x
Das Rectangulum aus der Summe(4) Jzweyer130Anfangs-Gruͤndezweyer halben Ordinaten in ihre Dif - ferentz iſt gleich dem Rectangulo aus dem Parameter in die Differentz der zu gehoͤrigen Abſciſſen.
217. Derowegen verhaͤlt ſich der Para - meter zu der Summe zweyer halben Ordi - naten / wie ihre Differentz zu der Differentz der Abſciſſen.
218. Die groͤſſe des Rectanguli aus der halben Ordinate in die Abſciſſe zufin - den.
Weil PM = Vax: ſo iſt PM. AP =〈…〉〈…〉 Vax = Vax3 (§. 65) = V x2y2.
Jn der Parabel verhaͤlt ſich das Qvadrat der halben Ordinate zu dem Rectangulo aus der Abſciſſe in die hal - be Ordinate / wie dieſes Rectangulum zu dem Qvadrate der Abſciſſe.
219. Die Verhaͤltnis der Sehnen A M und Am zufinden / welche aus der Scheite der Parabel A gegen das En - de der Ordinate M gezogen werden.
Weil (pm) 2 = ax / (ap) 2 = x2 ſo iſt(am) 2131der Algebra. (am) 2 = ax + x2 (§. 167 Geom.). Wie - derumb wenn ihr Ap = v ſetzet; ſo iſt (Am) 2 = av + v2. Derowegen iſt (am) 2: (Am) 2 = ax + x2: av + v2 = a + x, x: a + v, v
Die Qvadrate der Sehnen AM und Am verhalten ſich in der Parabel wie die Rectangula aus den Abſciſſen in die Aggregate der Abſciſſen und des Pa - rameters.
220. Die Groͤſſe der Linie FM zufin -Tab. II. Fig. 17. den / die aus dem Brenn-Puncte an das Ende einer Ordinate M gezogen wird.
Es ſey der Parameter = a / AP = x / ſo iſt AF = ¼ a (§. 214) / PF = x ‒ ¼ a, fol - gends (PF) 2 = x2 ‒ ½ ax + ¼ a2 (PM) 2 = ax (§. 204) (FM) 2 = x2 + ½ ax + ¼ a2 (§. 167 Geom.) FM = x + ¼ a
Die gerade Linie FM / welche aus dem Brenn-Puncte F einer Parabel gegen das Ende ihrer Ordinate M ge -J 2zogen132Anfangs-Gruͤndezogen wird iſt gleich der Summe aus der Abſciſſe und der Diſtantz des Brenn - Punctes von der Scheitel.
221. Wenn ihr den vierdten Theil des Parameters aus A in F und in f tra - get / durch AX ſo viel Parallel-Linien MM ziehet / als euch gefaͤllet und aus F mit der Weite Pf die Puncte M bey derſeits abſchnei - det; ſo koͤnnet ihr abermals eine Parabel beſchreiben.
222. Jhr koͤnnet auch dieſes durch die Bewegung verrichten. Den nehmet wie vorhin auf der Axe Af = AF = ¼ a. Be - feſtiget in A ein Lineal DB der geſtalt / daß es in f mit fx einen rechten Winckel macht. Nehmet einen Stab EC und befeſtiget an ſeinem einen Ende E einen Faden / der ihm gleich iſt: das andere Ende aber des Fa - dens bindet an einen Nagel / den ihr im Brenn-Puncte F eingeſchlagen. Wenn ihr einen Stift an den Stab EC haltet und ihn an dem Lineale DB verſchiebet; ſo wird ſich die Parabel beſchreiben. Denn es iſt beſtaͤndig FM = AP + Af = x + ¼ a und daher M ein Punct in der Parabel (§. 220).
223. Auf ebenmaͤßige Art koͤnnet ihr die Eigen - ſchaften der Parabeln von hoͤheren Geſchlechten un -ter -133der Algebra. terſuchen. Wollet ihr aber diejeaigen haben / wel -Tab. II. Fig. 17. che allen Parabeln gemein ſind / ſo doͤrfet ihr nur die allgemeine Æquation fuͤr ihre gantze Familie an - nehmen. Denn weil am-1 x = ym, ſo iſt auch am-1 v = zm / folgends (PM) m: (Pm) m = AP: Ap. Wiederumb weil PM + pm = 〈…〉 am-1 x + 〈…〉 am-1 v, mR = 〈…〉 a2m 2v - 〈…〉 am-1 x; ſo iſt (PM + pm) mR = 〈…〉 a2m2 v — 〈…〉 a2m-2 x2. Weil FR = ½ a / ſo iſt am: 2m = am-1 x / folgends x = a: 2m = AF.
224. Die ellipsis iſt eine krummeTab. II. Fig. 19. Linie / in welcher ſich verhaͤlt das Qva - drat ihrer halben Ordinate PM zu dem Rectangulo aus den Theilen der Axe AP und PB / wie die Axe AB zu einer un - veraͤnderlichen Linie / die ihr Para - meter genennet wird; das iſt / wenn ihr AB = a / den Parameter = b / PM = y und AP = x ſetzet / in welcher ay2 = abx — bx2.
225. Derowegen iſt y2 = bx ‒ bx2: a / das iſt / das Qvadrat der halben Ordinate iſt gleich einem Rectangulo aus der Abſciſſe in den Parameter / weniger ein Rectangu - lum aus eben dieſer Abſciſſe in die vierdteJ 3Pro -134Anfangs-GruͤndeProportional-Linie zu der Axe / dem Para - meter und der Abſciſſe.
226. Weil ay2 = abx ‒ bx2 / ſo iſt bx2:, bx ‒ y2 — a
Demnach koͤnnet ihr in einer Ellipſi aus dem gegebenen Parameter der Abſciſſe und hal - ben Ordinate die Axe folgender geſtalt fin - den. 1. Suchet zu AB = b / AC = AE = yTab. II. Fig. 20. die dritte Proportional-Linie EF = y2: b. 2 Traget aus A in L die Abſciſſe x / ſo iſt DL = x ‒ y2: b = bx ‒ y2,: b. 3. Machet DF = x / und ſuchet zu DL und DF = L M die dritte Proportional-Linie FG = bx2:, bx ‒ y2. Dieſe iſt die verlangete Axe.
227. Wiederumb weil ayy ≡ abx — bxx / ſo iſt b = ayy:, ax — x2 / und da - her koͤnnet ihr in einer gegebenen Ellipſi den Parameter wie vorhin die Axe finden.
228. Weil yy = (abx — bxx): a / ſo iſt y = V (abx — bxx,: a). Derowegen wenn euch die Axe und der Parameter ge - geben werden / koͤnnet ihr fuͤr jede Abſciſſe ihre gehoͤrige halbe Ordinate folgender ge - ſtalt finden. Suchet zu der Axe AB (=Tab. II. Fig. 21. a) dem Parameter AC (= b) und der Ab -ſciſſe135der Algebra. ſciſſe (— x) die vierdte Proportional-Linie CE (= bx: a) und zwiſchen dieſer und EF (= a ‒ x) die mittlere Proportional-Linie (EG (= V (abx ‒ bx2,: a). Dieſe iſt die verlangete halbe Ordinate.
229. Die Diſtantz des Brenn-Pun - ctes von der Scheitel AF zufinden.
Es ſey AB = a / der Parameter = b / afTab. II. Fig. 19. = x / ſo iſt FR = ½ b (§. 213) / und ¼ ab2 = abx ‒ bxx (§. 224). x2 ‒ ax = — ¼ ab x2 ‒ ax + ¼ a2 = ¼ a2 ‒ ¼ ab $$\frac {3}{2}$$ a ‒ x = V (¼ a2 ‒ ¼ ab) ¼ a ‒ V (¼ a2 ‒ ¼ ab) = x:
Traget aus A in C ¼ AB = ¼ a und ausTab. II. Fig. 22. B in D den Parameter b / ſo iſt DA = a〈…〉〈…〉 b / und die mittlere Proportional-Linie zwiſchen DA und AC = V (¼ a2 ‒ ab¼). Traget aus C in F die Linie EA / ſo iſt F der Brenn - Punct / denn AF = ½ a — V (¼ a2 — ¼ ab).
230. Allſo iſt die Diſtantz des Brenn - Punctes von dem Mittelpuncte C = V (¼ aa ‒ ¼ ab) / das iſt die mittlere Proportional - Linie zwiſchen ½ a und a-b.
231. Die Perpendicular-Linie DC / welche die groͤſſere Axe AB in zwey glei - che Theile theilet / iſt die halbe kleine Axe.
232. Aus dem gegebenen Parameter und der groſſen Axe AB die kleine Axe CD zufinden.
Es ſey der Parameter = b / AB = a / CD = ¼ z ſo iſt ¼ z2: ¼ a2 = a: b (§. 224) z2 = ab z = V ab
Die kleine Axe in der Ellipſi iſt die mittlere Proportional-Linie zwiſchen der groſſen und dem Parameter.
233. Derowegen iſt der Parameter die dritte Proportional-Linie zu der groſſen und kleinen Axe.
234. Wenn die Diſtantz des Brenn -Tab. II. Fig. 19. Punctes von der Scheitel AF = x iſt / ſo iſt ax ‒ xx = ¼ ab (§. 229). Derowegen iſt das Rectangulum aus der Diſtantz des Brenn-Punctes von der Scheitel AF in ihr Eomplement zur groſſen Axe FB dem vierd - ten Theile des Rectanguli aus der groſſen Axe in den Parameter gleich.
235. Die Verhaͤltnis zufinden / wel -Tab. II. Fig. 19. che die halben Ordinaten PM und pm in der Ellipſi gegen einander haben.
Es ſey AB = a / der Parameter = b / AP = x / PM = y / Ap = z / pm = v / ſo iſt
| yy = bx ‒ bx2: a | (§. 224) |
| v2 = bz ‒ bz2: a |
Derowegen iſt y2: v2 = bx ‒ bx2: abz ‒ bz2 = ax ‒ x2: az ‒ z2 = (a ‒ x) x: (a - z): z / das iſt / (PM) 2: (pm) 2 = PB. AP: pB: Ap.
Jn der Ellipſi verhalten ſich die Qvaͤ - drate der halben Ordinaten wie die Re - ctangula aus den Theilen der Axe.
236. Derowegen iſt auch (DC) 2: (PM) 2=138Anfangs-Gruͤnde= (CB) 2: AP. PB / folgends (DC) 2: (CB) 2 = (PM) 2: AP. PB (§. 130) / das iſt / das Qva - drat der halben kleinen Axe verhaͤlt ſich zum Qvadrate der halben groſſen / wie das Qva - drat der halben Ordinate zu dem Rectangu - lo aus den Theilen der groſſen Axe.
237. Setzet demnach CP = x / ſo iſt AP = ½ a — x / PB = ½ a + x / folgends ¼ ab: ¼ a2 = y2: a2 ‒ x2. Derowegen iſt ¼ a2 y2 = ¼ a3 b-abx2 y2 = ab ‒ bx2: a Allſo habet ihr noch eine andere Æquation, welche die Natur der Ellipſis erklaͤhret.
238. Die Groͤße der Linie zu deter - miniren / welche aus dem Brenn-Punc - te f an das Ende D der kleinen Axe gezo - gen wird.
Es ſey der Parameter = b / AB = a / ſo iſt (fC) 2 = ¼ aa ‒ ¼ ab (§. 230) und (DC) 2 = ¼ ab (§. 231). folgends (fD) 2 = ¼ a2 (§. Geom.). Dannenhero FD = ½ a = DB.
239. Wenn euch die kleine und große Axe gegeben werden / koͤnnet ihr die Brenn-Pun - cte F und f gar leicht finden. Denn theiletdie139der Algebra. die groſſe Axe AB in zwey gleiche Theile in C / und richtet aus C die halbe kleine Axe CD perpendicular auf / ſo koͤnnet ihr aus D mit der halben groſſen Axe AB die Brenn-Pun - cte determiniren.
240. Die Groͤſſe der geraden LinienTab. II. Fig. 19. FM und fm zu finden / welche aus bey den Brenn-Puncten F und f an das Ende M einer Semiordinate PM gezogen wer - den.
Es ſey alles wie vorhin / nur FC = fC = c ſo iſt PC = ½ a-x / pf = c + ½ a-x / PF = c-½ a + x / (PF) 2 = cc-ac + 2cx + ¼ aa-ax + xx / (Pf) 2 = cc + ac ‒ 2cx + ¼ aa ‒ ax + xx. Nun iſt (§. 236).
(BC) 2: (DC) 2 = AP. PB: (PM) 2 das iſt / ¼ a2: ¼ a2-c2 = ax ‒ x2: (PM) 2 Solchergeſtalt iſt (PM) 2 = ax-xx-4ccx: a+4ccxx: aa (PF) 2 = cc ‒ ac + 2cx + ¼ aa-ax + xx (FM) 2 = cc-ac + 2cx + ¼a2-4c2 x: a+4c2 x2: a2 FM = ½ a-c + 2c x: a Wiederumb (PM) 2 = ax-xx-4ccx: a+4ccxx: aa (Pf) 2 = cc + ac ‒ 2cx + ¼ aa-ax + xx. fM140Anfangs-Gruͤnde(fM) 2 = c2 + ac ‒ 2cx + ¼ a2 ‒ 4c2 x: a+4c2x2: a2 fM = ½ a + c-2cx: a FM = ½ a + c + 2cx: a fM + FM = a = AB
Jn der Ellipſi ſind die beyden Linien fM und FM / welche aus den Brenn - Puncten F und f an einen Punct M in der Peripherie gezogen werden / zuſam - men genommen der großen Axe AB gleich.
241. Daher koͤnnet ihr gar leicht aus der gegebenen großen und kleinen Axe die Elli - pſin beſchreiben. Denn ſuchet die Brenn - Puncte F und f / und ſchlaget in ihnen zwey Naͤgel ein. Bindet an die Naͤgel einen Faden FMf / der ſo lang iſt als die groſſe Axe AB. Dehnet den Faden mit einem Stifte aus / und fuͤhret den Stift an dem Faden her - umb / ſo wird die Ellipſis beſchrieben.
242. Auffer der Ellipſi des Apollonii / welche von dem erſten Geſchlechte iſt / koͤnnet ihr noch unzehlich viel andere von hoͤheren Geſchlechtern erdencken / wel - che alle unter der allgemeinen Æquation begriffen wer - den: aym+n = bxm (a-x) n. Es iſt nemlich in allen wie der Parameter zu der großen Axe / allſo die Dignitaͤt der halben Ordinate / deren Exponente den Exponenten der Dignitaͤten von den Theilen derAxe141der Algebra. Axe zuſammen gleich iſt / zu dem Producte aus dieſen Dignitaͤten. Z. E. Jn der Ellipſi von dem dritten Geſchlechte iſt b: a = y3: x2 (a-x) 1; in der El - lipſi von dem vierdten Geſchlechte b: a = y4: x2 (a - x) 2.
243. Wen die groſſe Axe der kleinen gleich wird / ſo wird aus der Ellipſi ein Circul. Denn alsdenn iſt ¼ ab = ¼ a2 (§. 232) und daher b = a / folgends an ſtat ay2 = abx ‒ bx2: a bekommet ihr ay2 = a2 x-ax2: a das iſt / y2 = ax-xx / welche Gleichung den Circul erklaͤhret. Wie man nun aber Ellipſes von hoͤheren Geſchlechtern hat / allſo giebet es auch Circul von hoͤhern Geſchlechtern / wenn ihr nemlich ſetzet (AP) m: (PM) m = PM: PB / das iſt / xm: ym = y: a-x. Allſo iſt die Gleichung fuͤr unendliche Cir - cul axm ‒ xm+1 = ym+1 Z. E. Wenn m = 1 / ſo iſt ax-x2 = y2 fuͤr den Circul des erſten Geſchlechtes; iſt m = 4 / ſo iſt ax4-x5 = y5 die Gleichung fuͤr den Circul von dem vierdten Ge - ſchlechte.
244 Die Hyperbel iſt eine krumme Linie in welcher ay2 = abx + bxx / das iſt / wie eine unveraͤnderliche Linie a / welche die Zwerch-Axe (Axis trans - verſus) genennet wird / zu einer anderen unveraͤnderlichen Linie / die ihr Para - meter heiſſet / ſo das Qvadrat der Se - miordinate zu dem Rectangulo aus der Summe der Abſciſſe und Zwerch-Axe in die Abſciſſe.
Zu -142Anfangs-Gruͤnde245. Derowegen iſt y2 = bx + b2: a / b = a y2: (a x+xx) / a = abx + bxx,: y2 u. ſ. w. wie in der Ellipſi, nur daß ihr das Zeichen + an ſtat des Zeichens — habet.
246. Weil die Æquation der Hyper - bel mit der Æquation fuͤr die Ellipſin uͤbereinkommet / ſo nennet man auch hier die mittlere Proportional-Linie zwi - ſchen der Zwerch-Axe und dem Parame - ter die kleine Axe.
247. Wenn ihr die Axe der Hyperbel AX uͤber ihre Scheitel A verlaͤngert / und AB der Zwerch-Axe gleich machet / ſo heiſſet der Punct C / durch welchen AB in zwey gleiche Theile getheilet wird / der Mittelpunct.
248. Aus dem gegebenen Parameter und der Zwerch-Axe AB die Diſtantz des Brenn-Punctes F von der Scheitel A zu finden.
Es ſey der Parameter = b / AB = a ſo iſt FM = ½ b (§. 213) und (§. 244) b: a = ¼ bb: ax + xx ¼ abb = ab x + bxx b¼ aa143der Algebra. ¼aa + ¼ ab = ¼ aa + ax + xx V (¼ aa + ¼ ab) = ½ a + x V (¼ aa + ¼ ab) ‒ ½ a = x
Jhr koͤnnet allſo x wie im 229 §. finden.
249. Allſo iſt die Diſtantz des Brenn - Punctes von dem Mittelpancte FC = V (¼ a a + ¼ab).
250. Weil ax + xx = ¼ ab / und ax + xx = AF. FB / hingegen ¼ ab = (CE) 2 (§. 246); ſo iſt AF. FB = (CE) 2.
251. Die Verhaͤltnis zu finden / welcheTab. II. Fig. 23. die Semiordinaten PM und pm gegen einander haben.
Es ſey die Zwerch-Axe AB = a der Pa - rameter = b / AP = x / PM = y Ap = v / p m = z / ſo iſt y2: z2 = (bx+bxx: a): (bv+b v2: a) = ax+xx: av+vv = a+x, x: a + v, v das iſt / (PM) 2: (pm) 2 = PB. AP: pB. Ap.
Die Qvadrate der Semiordinaten verhalten ſich wie die Rectangula aus den Abſcißen und der Zwerch Axe.
252. Die Verhaͤltnis zu finden / welchedas144Anfangs-Gruͤndedas Qvadrat der Zwerch-Axe zu dem Qvadrate der kleinen Axe hat.
Das Qvadrat der Zwerch-Axe iſt aa / der kleinen Axe aber ab (§. 246). Allſo verhaͤlt ſich jenes zu dieſem wie aa zu ab / das iſt / wie a zu b (§. 130).
253. Weil b: a = (PM) 2: AP. PB / (§. 244) ſo iſt auch das Qvadrat der kleinen Axe zu dem Qvadrate der Zwerch-Axe wie das Qvadrat der Semiordinate zu dem Re - ctangulo aus der Abſciſſe in die Summe aus der Abſciſſe und der Zwerch-Axe.
254. Es ſeyn zwey Hyperbeln von glei - cher Groͤſſe / die allſo einen Parameter / eine Zwerch-Axe und kleine Axe haben / einander entgegen geſetzet in der Weite ihrer Zwerch-Axe AB. Ziehet aus bey - der Brennpuncte f und F gegen einen Punct einer Hyperbel M zwey gerade Linien fm und FM. Jhr ſollet ihre Groͤſſe finden.
Es ſey alles wie vorhin / nur FC = fC = c / ſo iſt AF = c ‒ ½ a / Af = c + ½ a / PF = x-c + ½ a / Pf = c + ½ a + x / (PF) 2 = xx-2cx + cc + a x ‒ ac + ¼ aa / (Pf) 2 = cc + ac + ¼ aa + 2cx + ax + xx. Nun iſt §. 250 (CE) 2 = cc ‒ ¼ aa (AC) 2; (CE) 2 = AP. PB: (PM) 2das145der Algebra. das iſt / ¼ aa: cc ‒ ¼aa = ax + xx: (PM) 2 Demnach iſt (PM) 2 = ‒ ax-xx + 4c2x: a + 4ccxx: a2 (PF) 2 = xx ‒ 2cx + cc + ax ‒ ac + ¼ aa (FM) 2 = cc ‒ 2cx ‒ ac + ¼ aa + 4c2x: a + 4c2 x2: a2 FM = c ‒ ½ a + 2cx: a Wiederumb (PM) 2 = ‒ ax ‒ x2 + 4c2 x: a + 4c2 x2: a2 (Pf) 2 = cc + ac + ¼ aa + 2c x + x + a x + xx (fM) 2 = cc + ac + ¼ a2 + 2cx + 4c2 x: a + 4c2 x2: a2 fM = c x + ½ a + 2cx: a FM = c ‒ ½ a + 2cx: a fM ‒ FM = a = AB.
255. Hieraus fließet eine Methode die Hyperbel zu beſchreiben. Nemlich auf ei - ne gerade Linie ZX traget die Zwerch-Axe A B und aus A in F / ingleichen aus B in f die Diſtantz des Brennpunctes von der Schei - tel (§. 248). Schlaget in F und f Naͤgel ein. Bindet an den Nagel F einen Faden FMC und mit ſeinem anderen Ende an das Ende eines Linials fC / welches umb die Zwerch-A - xe AB laͤnger als der Faden iſt. Haͤnget das Lineal mit dem anderen Ende an den Nagel in f. Druͤcket den Faden mit einem(4) KStif -146Anfangs-GruͤndeStifte an das Lineal und ſchiebet es fort / ſo wird er die Hyperbel beſchreiben.
256. Wie die Parabel / Hyperbel und Ellipſis auf vielerley Weiſe beſchrieben werden kan / lehret Franciſcus à Schooten in Tractatu de Organica Coni - carum Sectionum in plano deſcriptione, Lugd. Bat. 1646. in 4.
257. Wenn ihr die kleine Axe DE an die Scheitel der Hyperbel A rechtwinck - licht ſetzet und aus dem Mittelpuncte C durch ihre beyden Ende D und E die ge - raden Linien CG und CF ziehet; ſo werden dieſelben die Aſymptoten ge - nennet.
258. Wenn die Ordinate Mm bey - derſeits biß an die Aſymptoten in R und r verlaͤngert wird / die Verhaͤltnis der Theile RM und rm zu finden.
Weil ſo wol Ad (§. 257) als PR (§. 185) mit CP einen rechten Winckel macht; ſo iſt DE mit PR parallel (§. 92 Geom.) fol - gends (§. 177 Geom.) CA: AD = CP: PR und CA: AE = cP: Pr / das iſt / weil DA = AE (§. 257) / CP: PR = cP: Pr / das iſt / CP: cP = PR: Pr (§. 130). Da nuncP147der Algebra. cP = CP / ſo iſt PR = Pr folgends weil PM = pm RM = rm.
Wenn die Ordinaten der Hyperbel biß an ihre Aſymptoten verlaͤngert wer - den / ſo ſind die Theile zu beyden Sei - ten zwiſchen den Aſymptoten und der Hyperbel einander gleich.
259. Den Unterſcheid zwiſchen den Qvadraten PM und PR zufinden.
Weil CA: DA = CP: PR (§. 177 Geo - metr. ) und DA = V ¼ ab (§. 146) / CP = ½ a + x / ſo findet ihr PR = (½ a V ¼ ab + x V ¼ ab): ½ a = V ¼ ab + 2x V ¼ ab: a. Derowegen iſt (PR) = ¼ ab + bx + bxx: a (PM) 2 = bx + bxx: a (§. 244). (PR) 2 - (PM) 2 = ¼ ab = (DA) 2.
260. Wenn ihr ſetzet / daß die Hyperbel mit ihrer Aſymptote zuſammen ſtoſſe / ſo faͤl - let der Punct R auf M und iſt (PR) 2 = (PM) 2 / folgends (PR) 2 ‒ (PM) 2 = o.
K 2Allein148Anfangs-GruͤndeAllein (PR) 2 ‒ (PM) 2 = (DA) 2. Dar - umb iſt (DA) 2 = o. Da nun dieſes un - gereimt iſt / ſchlieſſet man daraus daß die Aſymptote mit der Hyperbel niemals zu - ſammen kommen kan.
261. Die Groͤſſe des Rectanguli aus MR in Mr zufinden.
Es ſey PR = c / MR = y / ſo iſt MR = c ‒ y / mR = y + c / folgends MR. mR = c2 ‒ y2 = (PR) 2 ‒ (PM) 2.
Das Rectangulum aus MR in mR iſt gleich der Differentz der Qvadrate von PR und PM.
262. Weil (PR) 2 ‒ (PM) 2 = (DA) 2 (§. 259) / ſo iſt mR. MR = (DA) 2.
263. Derowegen da die Ordinate MM immer zu nimmet / muß MR immer kleiner werden: folgends die Aſymptote der Hy - perbel immer naͤher kommen.
264. Wenn QM und ſm mit der einen Aſymptote Cr / hingegen qm und SMmit149der Algebra. mit der anderen OQ parallel gezogen wird / die Verhaͤltnis der Rectangulo - rum aus QM in MS und qm in ms zufin - den.
Es ſey RM = mr = a / Rm = rM = b / MQ = v mq = z. Nun iſt (§. 177 Geom.)
RM: MQ = Rm: mſ a: v = b: (bv: a) rm: mq = rM: MS a: z = b: (bz: a)
Derowegen iſt MQ. MS = bvz: a und mq. mſ = bvz: a / folgends MQ. MS = mq. mſ.
Die Rectangula aus MQ in MS und mq in mſ ſind einander gleich.
265. Es ſeyn AB und BC die Aſympto -Tab. II. Fig. 20. ten einer Hyperbel. Setzet BD = DE = a / PM = y / BP = x / ſo iſt xy = aa die Æquation, welche die Natur der Hyperbel zwiſchen ihren Aſymptoten erklaͤhret.
266. Alſo iſt die Æquation fuͤr unendli - che Hyperpeln am+n = xmym.
267. Eben ſo koͤnnet ihr eine Æquation fuͤr un - endliche Hyperbeln in Anſehung der Axe findenK 3ay150Anfangs-Gruͤndeaym+n = bxm (a + x) n / deren Beſchreibung In - tieri in aditu ad nova arcana Geometrica detegen - da lehret pag. 36. & ſeq. Es iſt aber zu mercken / daß nach ſeiner Methode die Hyperbeln von einem hoͤheren Geſchlechte niemals beſchrieben werden koͤn - nen / man habe denn zuvor alle niedrigeren beſchrie - ben.
268. Wenn ihr wie vorhin BD = DE = a / BF = b / FP = x / PM = y ſetzet / ſo iſt AP = b + x / folgends a2 = by + xy / wel - che Æquation gleichfals die Natur der Hy - perbeln zwiſchen ihren Aſymptoten erklaͤh - ret.
268. Jch habe bißher die vornehmſten Eigen - ſchaften der beruͤhmteſten Algebraiſchen Linien erklaͤh - ret / und werdet ihr noch viel andere durch die Dif - ferential - und Jntegral-Rechnung finden. Damit ich aber auch etwas von den Mechaniſchen beybringe / ſo wil ich gleichfals nur von den beruͤhmteſten Mel - dung thun. Es ſind aber ſelbige die Spiral-Linie des Archimedis, die Conchoides des Nicomedis, die Ciſſoides des Dioclis, die Cyclois, die Logarith - mica, die Quadratrix, welche alle die neueren Geo - metræ unendlich vermehret und noch viel andere da - zu gefunden haben.
269. Wenn eine gerade Linie AC ſich umb einen feſten Punct A beweget / und in der Zeit ein Punct von C und A der - geſtalt fortlaͤuft / wie wol mit gleicher Geſchwindigkeit / daß er in A kommet /wenn151der Algebra. wenn die Linie CA den gantzen Circul beſchrieben; ſo beſchreibet der Punct die Spiral-Linie C. 1. 2. 3. 4. 5. A.
270. Es iſt alſo beſtaͤndig / wie der Bo - gen AI zu der gantzen Peripherie; ſo die Linie CI / zu CA.
271. Es ſey demnach AC = a / die Peri - pherie = b / der Bogen AI = x / Ii = y / ſo iſt C1 = a ‒ y / folgends x: b = a ‒ y: a (§. 270) und daher (wenn ihr x fuͤr die Abſciſſe / 11 fuͤr die Semiordinate annehmet) ax = ab ‒ by die Æquation, welche die Natur der Spiral-Linie erklaͤhret.
272. Wenn ihr aber C1 = y ſetzet und das uͤbrige wie vorhin behaltet / ſo erklaͤhret ax = by (§. 270) die Natur der Spiral - Linie.
273. Daher erklaͤhret an xm = bn ym die Natur unendlicher Spiral-Linien.
274. Jhr doͤrfet nicht meinen / als wenn die Spi - ral-Linien Algebraiſche Linien waͤren. Denn die Gleichungen / welche ſie erklaͤhren / ſind nicht voͤllig Algebraiſch / maſſen in den Algebraiſchen Gleichungen die Abſciſſe x und Semiordinate y zwey gerade Li - nie ſeyn ſollen / in dieſen aber iſt x ein Circul-Bogen.
275. Gleich wie ihr in der Archimediſchen Spi - ral-Linie die Circul-Bogen zu den Abſciſſen anneh - met; ſo koͤnnet ihr auch auf gleiche Weiſe alle Bogen von allen andern Algebraiſchen Linien zu Abſciſſen an - nehmen und unendliche andere Arten der Spiral-Li - nien erdencken: dergleichen Arbeit hat Varignon ruͤhmlich verrichtet in den Memoires de l’ Academie Royale des Sciences A. 1704 p. m. 91. 181.
276. Es ſey eine gerade Linie AB / welche mitten in E von einer anderen de rechtwincklicht durchſchnitten wird. Ziehet aus D durch AB ſo viel gerade Li - nien als ihr wollet / und machet uͤberall ec = EC. Die Linie / welche durch alle Puncte c gehet / iſt die CONCHOI - DES.
277. Weil eC mit AB immer einen ſchieferen Winckel macht / je weiter ſie von EC wegkommet; ſo muß die Conchoides der geraden Linie AB im̃er naͤher kommen.
278. Doch weil CE niemals zu einem Pun - cte werden kan / ſondern vielmehr immer ei - nerley Laͤnge behaͤlt / ſo koͤnnen auch die Pun - cte C und e niemals zufammen ſtoſſen / fol - gends kan die Conchoides niemals mit der Linie AB zuſammen kommen. Und allſo iſt AB ihre Aſymptote.
279. Wenn ihr an ſtat DE krumme Linien ſetzet / ſo werdet ihr noch andere Arten bekommen. Ja ihr koͤnnet auch ſetzen daß / an ſtat CE = ec / AE. EC = De. ec. Solcher geſtalt habet ihr / wenn Ed = a / Ec = b / De = x / ec = y iſt / ab = xy. Und ſo waͤre fuͤr unendliche dergleichen Linien ambm = xm ym.
280. Ziehet die zwey Diameters einesTab. III. Fig. 29. Circuls AD und CD. die einander recht - wincklicht durchſchneiden. Nehmet in beyden Qvadranten BD und CB glei - che Bogen Be und Cf. Ziehet aus den Puncten e und f perpendicular-Linien / ei und fi auf den Diameter CD. Leget an D und die Puncte f nach einander ein Lineal und mercket die Puncte h / da - rinnen die Linien le durchſchnitten wer - den. Die Linie / welche durch die Pun - cte h gehet / heiſſet CISSOIDES.
281. Weil DI: IF = DG: GH (§. 177 Geom.) und DI = GC / IF = GE (§. 114. Geom. §. 2. Trigon. ); ſo iſt auch GC: GE = DG: GH.
282. Theilet einen Qvadranten ei -Tab. III. Fig. 30. nes Circuls ABC in ſo viel gleiche TheileK 5als154Anfangs-Gruͤndeals euch beliebet. Jn eben ſo viel Thei - le theilet den halben Diameter AB in I. II. III. u. ſ. w. Richtet aus dieſen Pun - cten Perpendicular-Linien auf / und zie - het aus dem Mittelpuncte C in die Theilungs-Puncte des Bogens die Li - nien B1 / B2 / B3 u. ſ. w. welche die perpen - dicular-Linien in a. b. c. d. e. durch - ſchneiden. Die krumme Linie / welche durch die Puncte a. b. c &c. gehet / wird QVADRATRIX genennet.
283. Derowegen iſt allzeit wie der gantze Bogen AC zu dem Bogen C4 / ſo AB zu BIV oder df. Es ſey AC = b / AB = a / C4 = x / BIV = y / ſo iſt ax = by.
284. Theilet eine Linie AB in lauter gleiche Theile / und richtet aus den Thei - lungs-Puncten 1. 2. 3. 4 ꝛc. Perpendicu - lar-Linien auf 1I / 2II / 3III / 4IV &c. die in einer Geometriſchen Proportion zuneh - men. Die krumme Linie / welche durch die Puncte I. II. III. IV &c. gehet / wird die Logarithmiſche genennet.
285. Es wird dieſe Linie die Logarithmiſche ge - nennet / weil die Semiordinaten 1I / 2II / 3III &c. ſich wie die Zahlen / die Abſciſſen A1 / A2 / A3 &c. aber wie ihre zugehoͤrige Logarithmi verhalten. Es koͤn - nen aber noch andere Arten der Logarithmiſchen Liniener -155der Algebra. erdacht werden. Hugenius hat zu Ende ſeines Di - ſcurſes ſur la preſanteur verſchiedene Eigenſchafften dieſer Linie beſchrieben / welche Guido Grandus in ei - nem beſonderen Buche demonſtriret / welches er unter dem Titul Geometrica Demonſtratio Theorema - tum Hugenianorum circa Logiſticam ſeu Logari - thmicam Lineam zu Florentz 1701 in 4. herausgegebẽ. Man hat auch noch eine andere LogarithmiſcheTab. III. Fig. 32. Spiral-Linie erfunden / da der Qvadrant AB in gleiche Theile getheilet wird / und aus dem Mittel - puncte C gegen die Theilungs-Puncte des Bogens die Radii, CI, CII, CIII &c. gezogen / von ihnen a - ber in Geometriſcher Proportion die Linien C1. C2. C3 &c. abgeſchnitten werden / durch deren Ende 1 2. 3 &c. die verlangte Linie gehet.
286. Wenn ſich ein Circul X auf einerTab. IV. Fig. 33. Linie AC fort beweget / bis er ſich gantz uͤberworfe hat / ſo beſchreibet der Punct a die Linie ABC / welche CYCLOIS oder die Rade-Linie genennet wird.
287. Es iſt allſo die Linie AC der Peri - pherie des Circuls und uͤberhaupt eine jede Semiordinate PM dem Bogen Ma gleich. Denn die gerade Linie AD iſt dem Bogen Pd / und daher der uͤbrige Bogen Pb / folgends auch der Bogen BM der Linie dD gleich. Nun iſt oD = ML (§. 91 Geom.) = PN (§. 114 Geom. §. 2. Trig.). Derowegen da NM = dO / ſo iſt auch PN + MN = do + O D / das iſt PM = dD. Folgends iſt dieSe -156Anfangs-GruͤndeSemiordinate PM dem Bogen Pb / oder ih - rer Abſciſſe BM gleich.
288. Jhr koͤnnet ſich auch einen Circul auf krum - men Linien wie vorhin auf einer geraden bewegen laſ - ſen / ſo bekommet ihr noch unzehlich viel andere Ar - ten der krummen Linien.
289. Bisher habe ich die leichteſten Regeln der Algebra von den niedrigſten Æquationen erklaͤhret / und auf allerhand Aufgaben appliciret. Nun wil ich die uͤbrigen vornehmen / welche man in Aufloͤſung der hoͤhern Æquationen vonnoͤthen hat.
290. Die Wurtzel iſt der Werth der unbekandten Groͤſſe in einer Æqua - tion. Und iſt es eine wahre Wurtzel / wenn ſie das Zeichen + hat / Z. E. wenn x = + 3; hingegen eine falſche Wurtzel / wenn ſie das Zeichen-hat. Z. E. wenn x = -3.
291. Die Natur der Æquationen und ihre vornehmſte Eigenſchaften zu un - terſuchen.
Es ſey x = 2 _ _ x = a x = ‒ 3 _ _ x = ‒ b x = 4 _ _ x = c ſo iſt x ‒ 2 = 0 _ _ x ‒ a = 0 x + 3 = 0 _ _ x + b = 0 x ‒ 4 = 0 _ _ x ‒ c = 0 x ‒ 2 = 0 _ _ x ‒ a = 0 x + 3 = 0 x + b = 0 + 3 x ‒ 6 _ _ x2 ‒ 2x _ _ x2 + bx ‒ ab = 0 - ax x2 + x ‒ 6 = 0 _ _ x ‒ c = 0 x ‒ 4 = 0 _ _ ‒ 4x2 ‒ 4x + 24 _ _ x3 + bx2 ‒ abx ‒ abc = 0 〈…〉 ‒ ax2 ‒ bcx ‒ cx2 + acx
Wenn ihr dieſe Gleichungen (die ihr nach Belieben auf hoͤhere Grade erhoͤhen koͤnnet) betrachtet; ſo werdet ihr mit dem Harriot und Carteſio wahrnehmen /
292. Der erſte und andere Satz laͤſſet ſich gar leicht aus der Art / wie die Gleichungen entſtehen / de - monſtriren / ſo daß ich es fuͤr unnoͤthig achte / den Be -weiß159der Algebra. weiß hieher zu ſetzen. Allein den dritten / welchen Harriot zuerſt durch vielen Verſuch gefunden / hat zur Zeit noch keiner uͤberhaupt erweiſen koͤnnen / daher ihn auch Reynault aus ſeiner Analyſe demonſtré gar weg gelaſſen / weil er prædentiret die Regeln der Al - gebra zu demonſtriren.
293. Jhr boͤrfet euch nicht wundern / daß eine eini - ge Æquation ſo gar verſchiedene Wurtzeln haben kan. Denn es iſt zu wiſſen / datz eine einige Aufgabe oͤfters verſchiedene Faͤlle haben kan / und wir in jedem Falle auf einerley Gleichung verfallen. Doch weil unter - weilen einige Faͤlle unmoͤglich werden / ſo muß auch die Æquation unmoͤgliche Wurtzeln haben. Wie viel aber in jedem Falle unmoͤgliche Wurtzeln ſind / hat zwar Newton in ſeiner Arithmetica Univerſali p. 242. zu zeigen einiger maſſen ſich bemuͤhet; doch weil weder die Regel allgemein iſt / noch auch er die De - monſtration hinzu ſetzet / ſo wollen wir uns damit nicht aufhalten / zumal da man ſie auch in den Leipzi - ger Actis A. 1708. p. 522. 523 findet.
294. Die Wurtzel einer gegebenen Gleichung umb eine gegebene Groͤſſe zu vermehren oder zu vermindern / uner - achtet man ſie noch nicht erkandt hat.
Es ſey die gegebene Æquation x3 ‒ 6x2 + 13x ‒ 10 = 0. Jhr ſollet die Wurtzel umb 3 vermehren. Setzet x + 3 = y So iſt x = y ‒ 3 x2 = y2 ‒ 6y + 9x3160Anfangs-Gruͤndex3 = y3 ‒ 9y2 + 27y ‒ 27 ‒ 6x2 = ‒ 6y2 + 36y ‒ 54 + 13x = _ _ + 13y ‒ 39 -10 = _ _ ‒ 10 y3 ‒ 15y2 + 76y ‒ 130 = 0
Eine neue Gleichung / darinnen y = x + 3.
Wenn ihr in der Gleichung die Wurtzel umb 3 vermindern ſollet / ſo ſetzet y ‒ 3 = x y = x+ 3 y2 = x2 + 6 x + 9 y3 = x3 + 9x + 27 x + 27 ‒ 15y2 = + 15x2 ‒ 90x ‒ 135 + 76y = _ _ +76x + 228 ‒ 130 = _ _ ‒ 130 x3 ‒ 6x2 + 13 x ‒ 10 = 0
Eine neue Gltichung / darinnen x — y ‒ 2.
295. Die Wurtzel in einer Gleichung durch eine gegebene Groͤſſe zu multipli - ciren.
Jhr ſollet in der Æquation x3 + px2 + qx ‒ r = 0 die Wurtzel durch a multipliciren. Setzetax161der Algabra. ax = y ſo iſt x = y: a x2 = y2: a2 x3 = y3: a3 ‒ px2 = ‒ py2: a2 + qx = + qy: a ‒ r = - r y3 ‒ a3 py2: a2 + qy: a ‒ r = 0 a3 y3 ‒ apy2 + a2qy-r = 0 / Eine neue Gleichung / in welcher y = ax.
296. Hieraus erhellet / daß ihr nur die vorgegebene Æquation durch eine Geome - triſche Progreßion multipliciren doͤrfet / de - ren erſtes Glied 1 / der Exponente aber die jenige Zahl iſt / durch welche die Wurtzel multipliciret werden ſol. Z. E. Es ſol in der Gleichung x4 + 4x3 ‒ 19 x2 ‒ 106 x ‒ 120 = 0 die Wurtzel durch 2 multipliciret wer - den: ſo verfahret allſo.
x4 + 4x3 ‒ 19x2 ‒ 106x ‒ 120 = 0 1 2 4 8 16 y4 + 8y3 ‒ 76y2 ‒ 848y ‒ 1920 = 0 eine Gleichung / darinnen y = 2x.
Wiederumb es ſol in der Gleichung x4 + q(4) Lx2162Anfangs-Gruͤndex2 ‒ rx-ſ = 0 die Wurtzel durch c multi - pliciret werden. Verfahret allſo x4 * + qx2 — rx — ſ = 0 1 c c2 _ _ c3 _ _ c4 y4 * + c2 qx2 ‒ c3 rx ‒ c4ſ — 0 / eine neue Gleichung / darinnen y = cx.
297. Der Stern wird jederzeit in die Stelle der Glieder geſetzet / welche fehlen.
298. Die Wurtzel in einer gegebenen Æquation durch eine gegebene Groͤſſe zu dividiren.
Es ſey die gegebene Gleichung x3 ‒ px2 + qx ‒ r = 0. Die Wurtzel ſol durch a di - vidiret werden. Setzet x: a = y ſo iſt x = ay x2 = a2 y2 x3 = a3 y3 - px2 = ‒ a2 py2 + qx = + aqy ‒ r = ‒ r a3 y3 ‒ a2 py2 + a qy ‒ r = 0 / a3y163der Algebra. y3 ‒ py2: a + qy: a2 ‒ r: a3 = 0 / Eine neue Gleichung / in welcher y = x: a.
299. Hieraus erhellet / daß ihr die vorge - gebene Gleichung nur durch eine Geometri - ſche Progreßion dividiren doͤrfet / deren erſtes Glied 1 / der Exponente aber die jenige Groͤſ - ſe iſt / wodurch die Diviſion geſchehen ſol. Z. E. die Wurtzel von x4 + 8 x3 ‒ 76x2 ‒ 848 x — 1920 = 0 ſol durch 2 dividiret werden. Verfahret alſo: x4 + 8x3 ‒ 76x2 ‒ 848x ‒ 1920 = 0 1 _ _ 2 _ _ 4 _ _ 8 _ _ 16 y4 + 4y3 ‒ 19y2 ‒ 106y -120 = 0 /
Eine neue Gleichung / darinnen y = ½ x. Wiederumb es ſol die Wurtzel von x3 ‒ 36x ‒ 54 = 0 durch 3 dividiret werden. Ver - fahret alſo: x3 * ‒ 36 x ‒ 54 = 0 1 3 9 27 y3 ‒ 4y ‒ 2 = 0 / eine neue Gleichung / darinnen y = ⅓ x.
300. Eine Æquation, darinnen einige Glieder fehlen / vollſtaͤndig zumachen.
Vermehret die Wurtzel umb ſo viel alsL 2ihr164Anfangs-Gruͤndeihr wollet oder vermindert ſie (§. 294): ſo iſt geſchehen / was man verlangete.
Z. E. Es ſey x3 * ‒ 23x ‒ 70 = 0. Setzet x + 1 = y ſo iſt x = y-1 x2 = y2 ‒ 2y + 1 x3 = y3 ‒ 3y2 + 3y-1 ‒ 23x = ‒ 23y + 23 ‒ 70 = _ _ ‒ 70 y3 ‒ 3y2 ‒ 20y ‒ 48 = 0
Eine neue Gleichung / darinnen kein Glied fehlet und y = x + 1
301. Aus einer gegebenen Æquation das andere Glied weg zu ſchaffen.
Wenn das andere Glied das Zeichen + hat / ſo vermehret; hat es aber das Zei - chen ‒ / ſo vermindert die Wurtzel (§. 294) durch den Qvotienten / der heraus kommet / ſo man die bekandte Groͤſſe des andern Glie - des durch den Exponenten des erſten dividi - ret.
Z. E. Jhr ſollet aus der Gleichung x3 ‒ 8 x2 ‒ x + 8 = 0 das andere Glied wegnehmen. Setzet x ‒ 8: 3 =[9]ſo iſt x = y + 8: 3 x2 = y2 + 16y: 3 + 64: 9x3165der Algebra. x3 = y3 + 8y2 + 192y: 9+ 512: 27 ‒ 8x2 = ‒ 8 y2 ‒ 128y: 3 ‒ 512: 9 ‒ x = _ _ ‒ y _ _ ‒ 8: 3 + 8 = _ _ + 8 y3* ‒ 67y: 3 ‒ 880: 27 = 0 Eine neue Gleichung / darinnen das andere Glied fehlet und y = x ‒ 8: 3.
302. Wenn ihr alſo aus einer Qvadra - tiſchen Æquation das andere Glied weg - nehmet; koͤnnet ihr ſolche noch auf eine ande - re Art / als vorhin geſchehen / aufloͤſen. Z. E. Es ſey x2 ‒ 8x + 15 = 0. Setzet x ‒ 4 = y / ſo iſt x = y + 4 x2 = y2 + 8y + 16 ‒ 8 x = ‒ 8y ‒ 32 + 15 = _ _ + 15 y2 ‒ 1 = 0 y = 1 folgends x = 1 + 4 = 5.
303. Aus einer gegebenen Æquation die Bruͤche wegzuſchaffen.
Multipliciret die Wurtzel durch das Pro - duct aus den Nennern aller vorkommenden Bruͤche / oder eine Zahl / durch welche ſichL 3die166Anfangs-Gruͤndedie Nenner dividiren laſſen. So iſt geſchehen / was man verlangete.
y3 * ‒ 67: 3y ‒ 880: 27 = 0 1 3 _ _ 9 _ _ 27 x3 ‒ 201 x ‒ 880 = 0 /
Eine neue Gleichung / in welcher x = 3y x3 ‒ ⅔ x2 + ¾ x ‒ 64 = 0 1 12 144 1728 y3 ‒ 8 y2 + 108y ‒ 110592 = 0
Eine neue Gleichung / in welcher y = 12 x.
304. Aus einer gegebenen Æquation die Jrrational-Groͤſſen abzuſchaffen.
Multipliciret die Wurtzel durch die Jr - rational-Groͤſſe / ſo weggenommen werden ſol (§. 296).
x4 + 2 ax3 V 2 + 8 abx2 ‒ a3 x V 8 ‒ 2a2 b2 = 0 1 V 2 _ _ 2 V8 _ _ 4 y4 + 4ay3 + 16 aby2 ‒ 8a3y ‒ 8 a2b2 = 0 / eine neue Gleichung darinnen y = x V 2.
305. Wenn hoͤhere Jrrational-Groͤſſen vorkom - men / muͤſſet ihr die Wurtzel der Æquation nicht durch die Groͤſſe die ihr wegſchaffen ſollet / ſondern durch eine andere / die umb einen Grad niedriger iſt /mul -167der Algebra. multipliciren: wie ihr aus beygefuͤgtem Exempel erſehet.
x3 ‒ ax2 〈…〉 2 + ab x 〈…〉 32 ‒ aab = 0 1 41: 3 _ _ 161: 3 ‒ 4 y3 ‒ 2ay2 + 8aby ‒ 4aab = 0 /
Eine neue Gleichung / die gantz rational iſt und de - ren Wurtzel y = 41: 3 x.
306. Unterweilen koͤnnen die Jrrational-Groͤſſen auch durch das dividiren weggeſchaffet werden / wie aus folgenden Exempel zu erſehen: x3 ‒ 21: 3 ax2 + (32) 1: 3 abx ‒ a2 b ≡ 0 1 21: 3 41: 3 2 y3 ‒ ay2 + 2aby ‒ 2aab = 0 /
Eine neue Gleichung / die gantz rational iſt und de - ren Wurtzel y = x 121: 3
Allein keine von beyden Methoden iſt zulaͤnglich alle vorkommende Gleichungen gantz rational zuma - chen.
307. Alles / was bißher von den Æquationen ge - lehret worden / iſt zu dem Ende geſchehen / damit wir ſie voͤllig aufloͤſen / das iſt / den Werth der unbekand - ten Groͤſſe ſo wol Geometriſch / als in Zahlen fin - den koͤnten; welches nun in folgendem gezeiget wer - den ſol.
308. Alle Rational-Wurtzeln / die in einer gegebenen Æquation enthalten ſind / zufinden.
L 4Auf -168Anfangs-GruͤndeJhr doͤrfet auch nur die Zahlen / in welche das letzte Glied zerfaͤllet worden / nach einan - der in die Stelle vor x ſetzen: denn wenn durch dieſe Subſtitution die gantze Glei - chung zernichtet wird / ſo iſt die vor x geſetzte Zahl eine von ihren Rational-Wurtzeln (§. 291). Z. E. Es ſey x2 ‒ 6 x + 8 = 0. Dasletzte169der Algebra. letzte Glied 8 entſtehet / wenn ihr 2 durch 4 multipliciret. Setzet 4 = x ſo iſt 16 = x2 ‒ 24 = ‒ 6x + 8 = + 8 0 = 0
Solcher geſtalt iſt + 4 eine von den Rational - Wurtzeln.
309. Weil in der erſten Methode das viele dividi - ren beſchwerlich fallen wuͤrde / hat man dieſen Vor - theil ausgedacht. 1. Ziehet die Zahl / welche ihr ver - verſuchen wollet / von der bekandten Zahl des andern Gliedes ab / und was heraus kommet / multipliciret durch eben ſelbe Zahl. 2. das Produet ziehet von der bekandten Zahl in dem dritten Gliede ab / und was uͤberbleibet / multipliciret abermal durch mehr ge - dachte Zahl. 3. das neue Product ziehet von dem vierdten Gliede ab u. ſ. w. Wenn endlich bey dem letzten Gliede nichts uͤbrig bleibet / ſo iſt die verſuchte Zahl eine von den Rational-Wurtzeln. Z. E. Jhr ſuchet die Rational-Wurtzeln von x3 ‒ 3x2 ‒ 13x + 15 = 0. Das letzte Glied 10 laͤſſet ſich in 1. 3. 5. 15. zer - faͤllen. Wenn ihr verſuchen wollet / ob einige darun - ter von den Wurtzeln ſeyn; geſchiehet es ſolgender Geſtalt.
x3 ‒ 3x2 ‒ 13 x + 15 = 0 ‒ 1 + 2 + 15 ‒ 2 + 15 0 + 2 + 15L 5x3170Anfangs-Gruͤndex3 ‒ 3x2 ‒ 13x + 15 = 0 +3 ‒ 18 15 ‒ 6 5 0 — +3 — +3 ‒ 18 _ _ 15 x3 ‒ 3x2 ‒ 13 x + 15 = 0 ‒ 5 ‒ 10 + 15 + 2 ‒ 3 0 — -5 — -5 -10 + 15
Alſo iſt x-1 — 0 / x + 3 = 0 / x ‒ 5 = 0 / das iſt 1 und 5 ſind die beyden wahren Wurtzeln / 3 iſt die falſche.
310. Damit ihr aber ſehet / daß dieſer Vortheil aus der erſten Methode voͤllig genommen / und fuͤr keine beſondere zu halten ſey / wil ich das vorige E - xempel nach der gemeinen Art rechnen.
x-1) x3 ‒ 3x2 ‒ 13x + 15 0 (x2 ‒ 2x-15 x3 ‒ x2 ‒ 2x2 ‒ 13 x ‒ 2x2 + 2 x -15 x + 15 - 15x + 15 0 0
311. Die Schrancken zu finden / zwi -ſchen171der Algebra. ſchen welchen die Groͤſſe der Wurtzeln enthalten iſt.
Es ſey x3 ‒ qx + r = o / ſo iſt x2 + r = qx und demnach qx groͤſſer als r / folgends x groͤſſer als r: q. Wiederumb qx iſt groͤſſer als x3 / und daher q groͤſſer als x2 / folgends x kleiner als V q. Die Schrancken der Wurtzeln in gegenwaͤrtigem Falle ſind alſo r: q und V q.
Es ſey x3 + qx ‒ r = o / ſo iſt x3 + qx = r / und demnach qx kleiner als r / folgends x klei - ner als r: q. Wiederumb a iſt groͤſſer als x3 und daher x groͤſſer als r1: 3 / folgends xr2: 3 groͤſſer als x3 / und xr2: 3 + qx groͤſſer als r / endlich x groͤſſer als r: (r2: 3 + q). Alſo faͤl - let die Groͤſſe der Wurtzel zwiſchen r: q und r: (r2: 3 + q). Es ſey x3 ‒ px2 + qx ‒ r = o, ſo iſt x3 ‒ px2 = r-qx. Wenn nun x groͤſ - ſer als p / ſo iſt auch r groͤſſer als qx und dan - nenher r: q groͤſſer als x. Hingegen wenn p groͤſſer als x iſt / ſo iſt qx groͤſſer als r / und dannenhero auch q: r groͤſſer als x. De - rowegen fallen in beyden Faͤllen die Wur - tzeln zwiſchen p und r: q.
Es ſey x3 ‒ px2 ‒ qx + r = o / ſo iſt x3 + r = px2 + qx / folgends px2 + qx groͤſſer als r / und daher auch x2 + qx: p + qq: 4pp groͤſſer als r: p + qq: + pp / x + q: 2p groͤſſer als V (r: p + qq: 4pp) / endlich x groͤſſer als V (r: p+qq172Anfangs-Gruͤndeqq: 4pp) - q: 2p. Wiederumb px2 + qx iſt groͤſſer als x3 / dannenhero px + q groͤſſer als x2 / und q groͤſſer als x2 ‒ px / das iſt x2 ‒ px + ¼ pp kleiner als q + ¼ pp / x ‒ ½p kleiner als V (q + ¼pp) / endlich x kleiner als ½p + V (q + ¼ pp.). Die Schrancken alſo der Wurtzeln ſind V (r: p + qq: 4pp) ‒ q: 2p und V (q + ¼ pp).
Es ſey x4 ‒ qx2 ‒ rx ‒ s = o / ſo iſt x4 ‒ qx2 = rx + s. Demnach iſt x2 groͤſſer als q / weil ſich qx2 von x4 abziehen laͤſt / und x groͤſ - ſer als V q. Alſo iſt ferner xV q groͤſſer als qx. Wiederumb weil x4 ‒ rx = qx2 + ſ / ſo iſt x3 groͤſſer als r und x groͤſſer als r1: 3 / auch x3 r1: 3 groͤſſer als rx. Endlich da x4 ‒ s = qx2 rx / ſo iſt x4 groͤſſer als s / und x groͤſſer als s1: 4 / folgends x3s1: 4 groͤſſer als s. Weil nun x4 = qx2 + rx + s / ſo iſt x4 kleiner als x3 V qr1: 3 + x3 s1: 4 / und deswegen x klei - ner q1: 2 + r1: 3 + s1: 4. Die Schrancken der Wurtzel in gegenwaͤrtigem Falle ſind al - ſo V q oder r1: 3 und q1: 2 + r1: 3 + s1: 4.
Eben ſo wird in andern Faͤllen verfahren.
311. Damit ihr dir vorgeſchriebene Methode beſſer faſſen moͤget / wil ich ein Exempel in Zahlen anfuͤhren. Z. E. Es ſey x3 ‒ 3 x + 1 = 0 / ſo iſt q = 3 und r = 1 / folgends r: q ≡ 1: 3 und V q = V 3. Sol - cher maſſen ſind die Schrancken dieſer Gleichung ⅔ und V 3 / das iſt / die Wurtzel muß groͤſſer als ⅓ und kleiner als V 3 ſeyn.
312. Wenn ihr die Zahl wiſſet / welche groͤſſer als eure Wurtzel iſt / ſo werdet ihr nicht mit vergeblichen Zahlen (§. 308. 309. ) verſuchen / ob ſie unter die Rational-Wur - tzeln gehoͤren oder nicht.
313. Die Schrancken / zwiſchen wel - chen die Groͤße der Wurtzeln enthalten iſt / noch auf andere Art zu finden.
x5 ‒ 2x4 ‒ 10x3 + 30x2 + 63 x ‒ 120 = 0 5 4 3 2 1 05x5174Anfangs-Gruͤnde5x5 = 8x4 ‒ 30x3 + 60x2 + 63x = 0 x 5x4 ‒ 8x3 ‒ 30x2 + 60x + 63 = 0 4 3 2 1 0 20x4 ‒ 24x3 ‒ 60x2 + 60x = 0 x 20x3 ‒ 24x2 ‒ 60x + 60 = 0 3 2 1 0 60x3 ‒ 48x2 ‒ 60x = 0 x 60x2 ‒ 48x ‒ 60 = 0 2 1 0 120x2 ‒ 48x = 0 x 120x ‒ 48 = 0 2 5x ‒ 2 = 0
Verſuchet ob 1 ſich in die Stelle der Qvo - tienten von x ſetzen laſſe / ſolchergeſtalt daß eine Zahl mit + heraus kommet Jhr fin - det 5x ‒ 2 = +3 / aber 5xx ‒ 4x ‒ 5 = 5-4-5 = ‒ 4. Demnach iſt der Schrancken groͤſ - ſer als 1. Verſuchet es mit 2 / ſo habet ihr 5x ‒ 2 = + 8 5xx ‒ 4x ‒ 5 = + 7 5x3 ‒ 6xx ‒ 15x + 15 = +1 5x4 ‒ 8x3 ‒ 30xx + 60x + 63 = +79 x5 ‒ 2x4 ‒ 10x3 + 30x2 + 63x ‒ 120 = + 46.
Da175der Algebra.Da nun alle Zahlen 8. 7. 1. 79. 46 das Zei - chen + haben / ſo iſt 2 groͤſſer als alle wahre Wurtzeln.
Z. E. Wenn ihr in dem vorigen Falle mit 1 und 2 verſuchet / findet ihr nicht uͤberall Zah - len mit dem Zeichen +. Derowegen iſt der Schrancke der falſchen Wurtzeln groͤſſer als -2. Verſuchet es mit 3 / ſo kommet 5x + 2 = + 17 5xx + 4x ‒ 5 = + 40 5x3 + 6x2 ‒ 15x + 15 = + 159 5x4 + 8x3 ‒ 30x2 ‒ 90x + 63 = + 184 x5 + 2x4 ‒ 10x3 ‒ 30x2 + 63x + 120 = + 124 Alſo iſt -3 groͤſſer als eine jede falſche Wur - tzel.
314. Damit die Arbeit nicht zu weitlaͤuftig wird / doͤrffet ihr nur die Subſtitution anfangs in dem Qvotienten verſuchen / in welchem die falſchen Wur - tzeln die Oberhand zu haben ſcheinen. Denn wenn in dieſem Falle — heraus kommet / ſo ſehet ihr auf einmal / daß die Zahl / mit der ihr es verſuchet / ver - werflich iſt.
315. Newton in ſeiner Arithmetica univerſali (p. 250 & ſeqq. ) hat noch eine andere Methode / die aber weitlaͤuftiger iſt / und daher in der Ausuͤbung ver - drießlicher faͤllet.
316. Aus einer Cubiſchen Æquation die Wurtzeln zu finden.
Wenn aus den Cubiſchen Æquationen das andere Glied weggenommen wird / ſo bekommet ihr drey Faͤlle / nemlich x3 = + px + q x3 = - px + q x3 = + px ‒ q Damit ihr nun die Wurtzeln findet / ſo ſetzet x = y + z Dann iſt x3 = y3 + 3y2z + 3z2y + z3 px = py + pz y3 + 3y2z + 3z2y + z3 = py + pz + q im erſten Setzet 3y2z + 3z2y = py + pz (Falle. y + z ſo iſt 3yz = p z = p: 3y Es iſt y3 + z3 = q ferner das iſt y3 + p3: 27y3 = qy6177der Algebra. y6 + p3: 27 = qy3 y6 ‒ qy3 = p3: 27 ¼qq ¼qq (§. 79). y6 ‒ qy3 + ¼ qq = qq + $$\frac {1}{27}$$ p3 y3 ‒ ½ q = V (¼qq + $$\frac {1}{27}$$ p3) y = (½ q + V (¼ qq + $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3 Nun iſt z3 = q ‒ y3 das iſt z3 = ½q + V (¼qq - $$\frac {1}{27}$$ p3 z = (½ q + V (¼qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3
Demnach iſt y + z = (½ q-V (¼ qq - $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3 + (½ q + V (¼ qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3 die verlangte Wurtzel in dem erſten Falle.
Setzet fuͤr ‒ p nun ferner + p / ſo kommet die Wurtzel in dem anderen Falle (½ q + V (¼qq + $$\frac {1}{27}$$ p3) 1: 3 + (½ q + V (¼ qq + $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3.
Endlich fuͤr + q nehmet ‒ q / ſo erhaltet ihr die Wurtzel in dem dritten Falle (‒ ½ q ‒ V (¼ qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3 + (‒ ½ q ‒ V (¼ qq ‒ $$\frac {1}{27}$$ p3)) 1: 3.
317. Dieſe Regeln werden insgemeinCardani Regeln genennet / weil er ſie zu erſt erfunden.
318. Damit aber ihr Gebrauch deutlich erhelle / ſo wil ich eines und das andere Exempel anfuͤhren. Es ſey x3 = * 6 x + 40. Weil p = 6 / q = 40 / und daher ⅓ q = 20 / ¼ qq = 400 / ⅓ p(4) M=178Anfangs-Gruͤnde= 2 / $$\frac {1}{27}$$ p3 = 8; ſo iſt vermoͤge der erſten Regel x = (20 ‒ V (400-8) 1: 3 + (20 + V (400-8)) 1: 3 = (20 ‒ V 392) 1: 3 + (20 + V 392) 1: 3 = (wenn die Cubic-Wurtzel beyderſeits wuͤrcklich aus - gezogen wird) 2 ‒ V 2 + 2 + V 2 = 4. Jſt dem - nach 4 eine wahre Wurtzel.
Es ſey x3 = * ‒ 3x + 36. Weil p = -3 / q = 36 / und daher ½ q = 18 / ¼ qq = 324 / ⅓ p = -1 / $$\frac {1}{27}$$ p3 = 1; ſo iſt vermoͤge der anderen Regel die Wurtzel (18 ‒ V (324 + 1)) 1: 3 + (18 + V (324 + 1)) 1: 3 = (wenn ihr die Cubic-Wurtzel beyderſeits wuͤrcklich ausziehet) 1½ ‒ V 3¼ + 1½ + V 3¼ =
Es ſey x3 = * 6x ‒ 40. Weil p = 6 / q = 40 / und daher ½ q = 20 / ¼ qq = 400 / ⅓ p = 2 / $$\frac {1}{27}$$ p3 = 8; ſo iſt vermoͤge der dritten Regel (‒ 20 ‒ V (400-8)) 1: 3 + (‒ 20 ‒ V (400 ‒ 8)) 1: 3 = (‒ 20 ‒ V 392)) 1: 3 + (‒ 20 ‒ V (392) 1: 3 = (wenn die Cubic-Wurtzel beyderſeits wuͤrck - lich ausgezogen wird) ‒ 2 - V 2 + V 2 ‒ 2 = ‒ 4. Demnach iſt 4 eine falſche Wurtzel der vorgegebenen Æquation.
Aus dieſen Exempeln erhellet zu gleich daß ¼ qq allzeit groͤſſer ſeyn muß im erſten und dritten Falle als $$\frac {1}{27}$$ p3.
319. Man hat zwar auf eine gleiche Art eine Re - gel fuͤr die Wurtzeln aus einer Æquation von dem vierdten Grade aus zuziehen gefunden; allein weil fie nicht ſonderlich gebraucht werden / ſo wil ich die Anfaͤnger damit nicht aufhalten / ſondern gehe viel - mehr fort und zeige wie man durch Naͤherung die Wurtzel finden kan / wenn eine Æquation keine Ra - tional-Wurtzel hat.
320. Aus einer Æquation durch Naͤ - herung die Wurtzel zu ſuchen.
Die gemeineſte Methode iſt dieſe / welche ich bald auf ein Exempel appliciren wil / da - mit ſie deſto deutlicher werde. Es ſey dem - nach aus x3 + 2xx - 23x - 70 = o die Wur - tzel durch Naͤherung zu ſuchen: das iſt / man ſol eine Zahl finden / die dem Werthe von x ſo nahe kommet als man verlanget.
Setzet demnach x3 + 2x2 = 23 x + 70 und 1 in die Stelle von x / ſo findet ihr 1 + 2 = 23 + 70. Derowegen habet ihr fuͤr x zu wenig angenommen. Setzet x = 10 / ſo iſt 1000 + 200 = 230 + 70. Derowegen iſt x zu groß angenommen. Setzet x = 5 ſo iſt 125 + 50 = 115 + 70. Derowegen iſt fuͤr x zu wenig genommen. Setzet x = 6 / ſo iſt 216 + 72 = 138 + 70 / und demnach x zu groß angenommen. Setzet x = 5.5 (= 5 $$\frac {5}{10}$$ ) ſo iſt 166375 + 60500 = 126500 + 7000 (denn 166375: 1000 + 6050: 100 = 1265: 10 + 70). Derowegen iſt 5.5 groͤſſer als x. Nehmet x = 5.2 / ſo habet ihr 140608 + 54080 = 119600 + 70000 / und alſo iſt 5. 2 noch zu groß. Stellet x = 5.1 / ſo iſt 132651 + 52020 = 117300 + 70000 / und demnach 5.1 zu wenig. Setzet x = 5. 15 / ſo habet ihr 136590875 + 53045000 =M 21184180Anfangs-Gruͤnde118450000 + 7000000 / und alſo iſt 5. 15 zu groß. Stellet x = 5. 14 / ſo habet ihr 135796744 + 79258800 = 141220000 + 70000000. Derowegen iſt 5. 14. noch zu groß. Setzet x = 5. 13 ſo iſt 13500 5697 + 52633800 = 117990000 + 70000000 / und demnach x groͤſſer als 5. 13. Wenn ihr nun nicht weiter gehen wollet / koͤnnet ihr entweder 5. $$\frac {13}{100}$$ oder 5. $$\frac {14}{100}$$ fuͤr die Wurtzel annehmen.
321. Unerachtet dieſe Methode gar leichte zube - greiffen iſt; ſo iſt ſie doch ſehr beſchweerlich aus zu uͤben / ſonderlich wenn x durch groſſe Zahlen multi - pliciret wird. Derowegen wil ich noch zeigen / wie man durch einen kuͤrtzeren Weg hierzu gelangen kan.
322. Aus einer jeden vorkommenden Æquation die Wurtzel zuziehen.
Es ſey xn. axn-1. bxn-2. cxn-3 dxn-4 exn-5 ꝛc .. R = o / in welcher Æquation R das letzte Glied iſt / ſo nichts unbekandtes in ſich enthaͤlt / a. b. c. d. e aber die bekandten Zahlen / durch welche die Glieder der Æqua - tion multipliciret ſind. Nehmet eine Zahl nach belieben an / die der Wurtzel ſo nahe kommet / ale moͤglich (wie wol dieſes nicht ſchlechter Dinges nothwendig iſt / ſondern nur zu Erleichterung der Rechnung dienet) und addiret dazu einen unbekandten Theiloder181der Algebra. oder ſubtrahiret ihn / nach dem die ange - nommene Zahl entweder kleiner oder groͤſſer iſt als die Wurtzel. Setzet nemlich m + y = x / ſo wird die gegebene Æquation in folgende verwandelt (m + y) n. a (m + y) n 1 b (m + y) n-2. c (m + y) n 3. d (m + y) n-4 das iſt / wenn ihr jedes Glied wuͤrcklich zu ſeiner gehoͤrigen Dignitaͤt erhebet (§. 87) / 〈…〉 M 3dm182Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 Weil ihr nicht die Wurtzel gantz gnau ver - verlanget / ſondern nur beynahe; ſo werffet die Glieder weg / in welchen eine Dignitaͤt von u zu finden / und behaltet nur + 1. mn -- n-o 〈…〉 das183der Algebra. das iſt / wenn ihr alles unter eine Benennung bringet / (nmn + n-1) amn - 1+ (n-2) bmn-2 + (n-3) cmn - 〈…〉 (n-4) dm n-4 &c. + R + mn 〈…〉 amn 〈…〉 bmn-2 〈…〉 bmn-3 + dmn -4: nmn-1 + (n-1) amn-2 + (n-2) bmn-3 + (n-3) cmn-4 + (n-4) dmn-5 &c. = (wenn ihr die Glieder von gleicher Art zu - ſammen bringet)
〈…〉
Wenn der Werth von y mit dem Zeichen + gefunden wird / ſo iſt er zu groß: wird er aber mit dem Zeichen-gefunden / ſo iſt er kleiner als er ſeyn ſol. Wenn nun die Wurtzel zu groß heraus koͤmmet; ſo nimmet man m et - was kleiner an / und ſuchet von neuem den Werth von y. Nachdem man oͤfters die Rechnung erneuret / koͤmmet man immer naͤher dem wahren Werthe der Wurtzel.
323. Wenn xn = R / ſo iſt y = 〈…〉 und 〈…〉
324. Durch dieſe Regel koͤnnet ihr aus al - len Jrational-Zahlen die Wurtzel ziehen. Es iſt aber dienlich / daß ihr vorher die allgemeine Regel in eine beſondere auf euren Fall verwandelt. Denn wenn n = 2 / ſo iſt y = 〈…〉 wenn n = 3 / ſo iſt y = 〈…〉 : wenn n -4 / ſo iſt y = 〈…〉 : wenn n = 5 / ſo iſt y = 〈…〉 &c. Jn allen Faͤllen iſt x = y + m.
Z. E. Es ſol aus 2 die Qvadrat-Wurtzel gezogen werden; ſo iſt R = 2.
Setzet m = 1 / ſo iſt R-m2,: 2m = 2-1,: 2 = ½ x = 1.0 + $$\frac {5}{10}$$ = 1.5
Setzet m = 1.5 / ſo iſt R-m2,: 2m = 200 - 225,: 30 = 0. 250 : 30 = 0.083 / x = 1.500 - 0.083 = 1.417.
Setzet m = 1.417 / ſo iſt R-m2,: 2m = 2. 000000-2007889,: 2834 = -0.02783 / x = 1. 417000-2783 = 1.414217.
Setzet m = 1.414217 / ſo iſt R-m2,: 2m ≡ 2. 000000000000-2000009723089,: 2. 828434 = - 0.00000 3437622 / x = 1414217000 -185der Algebra. 000000 -- 0.000003437622 = 1.414213562 378.
Wiederumb es ſol aus 3 die Qvadrat - Wurtzel gezogen werden. Dann iſt R = 3.
Setzet m = 2 / ſo iſt R-m2,: 2m = 3-4,: 4 = - ¼ / x ≡ 1-¾ = 1 $$\frac {7}{10}$$ = 1.7.
Setzet m = 1.7 / ſo iſt R-m2,: 2m = 300 - 289,: 34 = 0.032, x = 1.700 + 0.032 = 1732.
Setzet m = 1.732 / ſo iſt R-m2,: 2m = 30000000-2999824,: 3464 = 〈…〉 0.000050 / x = 1.732000 + 0.000050 = 1.732050 u. ſ. w. Jemehr ihr an den Werth von y Nullen anhaͤnget / ie mehr nim - met der Werth der Wurtzel zu; und obgleich die letzten Zahlen nicht zutreffen / ſo wird doch der Jrrthum in der folgenden Operation ſtets gehoben.
325. Wenn x2 - px = R / ſo iſt y = (R + m2 - pm): (2m-p). Wenn x2 + px = R / ſo iſt y ≡ (R-m2 - pm): (2m-p). Wenn x2 - px = - R, ſo iſt y = (R + m2 - pm): (p-2m). Z. E. Es ſey x2-5x = 31. Dann iſt R = 31 / p = 5.
Setzet m = 8 / ſo iſt R + m2 + pm,:, 2m — p = 31 - 64 + 40,:, 86 - 5 = 7: 11 = 0.6 / x = 8 + 0.6 = 8.6.
M 5Se -186Anfangs-GruͤndeSetzet m = 8.6 / ſo iſt R-m2 + pm,:, 2m-p = 3100-7396 + 7400,:, 17. 2-5.0 / x = 0. 04 : 12.2 = 0.0032.
x = 8.6000 + 0.0032 = 8.6032.
Setzet m = 8.6032 / ſo iſt R-m2 + pm,:, 2m-p = 31. 00000000-7401505024 + 4. 301600000, :, 172064 - 50000 = 0.0000 94976: 12.2064 = 0.000007808 / x = 8. 6000000000 + 0.0000077808 = 8.603277 808.
326. Wenn x3 + qx = R, ſo iſt y = R-m3 - qm,:. 3m2 + q. Eben ſo / wenn x3 + px2 + qx = R / iſt y = R-m3 + pm2 + qm,:, Rm + 3 m2 + 2pm.
327. Auf eine gleiche Weiſe koͤnnen fuͤr alle andere Æquationen Regeln hergeleitet werden / dadurch man aus ihnen die Wurtzeln ziehen kan. Nur iſt zu mercken / daß die Glieder / welche in der Æquation fehlen / auch in der Regel ausgelaſſen werden. Z. E. in der vorigen Gleichung x3 + qx = R fehlet px 2 / da nun mit p in der Regel das a uͤbereinkommet / ſo bleibet amn-1 aus dem Zehler und amn-2 aus dem Nenner weg. Es hat aber Edmundus Halley durch Veranlaſſung einiger Regeln des deLagny von Aus zie hung der Cubic - und fuͤnften Wurtzel noch andere Re - geln erfunden / durch welche ſich aus einer jeden Gleichung die Wurtzeln viel geſchwinder als durch al - le uͤbrige Methoden / ſo von andern erdacht worden / ausziehen laſſen: Derowegen wird es nuͤtzlich ſeyn /wenn187der Algebra. wenn ich dieſelbe aus unſerer General-Gleichung her - leite.
328. Setzet in der General-Æquation 〈…〉 r y2 u. ſ. w. ſo bekommet ihr p -- qy -- ′ ry2 -- ſy3 &c. -- R = o. Derowegen iſt p = -- qy -- ry2 -- ſy3 &c. -- R. Wenn ihr alſo den Werth von y nur beynahe verlanget / ſetzet p = qy / ſo iſt y = p: q. Weil aber dieſes noch zu viel fehlen wuͤrde; ſetzet p = -- qy -- ry 2; ſo iſt y = p: (q + ry) = (wenn ihr den vorigen Werth von y in die Stelle ſetzet) p: (q + y4 rp) = qp: (qq + rp). Demnach iſt x = m + y = m + pq: (qq + rp) / welches die Ratio - nal-Regel iſt / die Halley giebet / aus einer je - den unreinẽ Æquation die Wurtzel zu ziehen. Denn weil m der Wurtzel ſehr nahe koͤm - met / ſo iſt y ein ſehr kleiner Theil derſelben / und alſo ſind die Dignitaͤten von y in Anſe -hung188Anfangs-Gruͤndehung derer von m noch viel kleinerer / ie hoͤher ſie ſteigen / und koͤnnen dahero weggelaſſen werden / wo man aus Kleinigkeiten nichts machet.
329. Wenn ihr wie vorhin + p = qy + ry2 ſetzet / ſo iſt ¼ qq + p = ¼ qq + qy + ry2 / oder y2 + qy: r + ¼ qq: rr = (¼ qq + pr): r2 und daher y = (½ q .. V (¼ qq + pr)): r / folgends x = m + (½ q .. V (¼ qq + pr)): r, welches die Jrrational-Regel iſt / die Hal - ley giebet / aus einer jeden unreinen Æqua - tion die Wurtzel zu ziehen.
230. Wenn ihr die Rechnung von neuem anfanget / muͤſſet ihr fuͤr m den vorher gefundenen Werth von x annehmen / wie vorhin geſchehen (§. 324. 325.)
331. Damit ihr p / q und r finden koͤnnet / habet ihr das Taͤfelein noͤthig / welches zu Formirung der Po - tentzen §. 87. p. 49 gegeben worden: wie aus folgen - den Exempeln erhellen ſol. Es iſt aber zu mercken / daß m + y = x / wenn R und p einerley; hingegen m-y = x / wenn ſie verſchiedene Zeichen haben. O - der es iſt m + y = x / wenn p und r verſchiedene / und m-y = x / wenn ſie einerley Zeichen haben. Wenn p und r einerley Zeichen haben / ſo iſt y = (q½ - V¼ qq-pr)): r; wenn ſie aber verſchiedene Zeichen ha - den / ſo iſt y = (V (¼ qq + pr) + ½ q): r
332. Damit der Gebrauch dieſer Regel erhelle / ſo wil ich ein Exempel hinzu ſetzen. Es ſey x3 + 438x2 - 7825x-98508430 = 0.
1. Setzet m = 300 / ſo iſt
x3 = + 27000000 + 270000y + 900y2 + y3 + .. x2 = + 39420000 + 262800y + 438y2 - .. x = - 2347500 7825 y - R = - 34435930 das iſt - 34435930 + 524975y + 1338y2 = 0 oder - p + qy + ry 2 = 0
Da nun R und p einerley Zeichen / oder auch p und r verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt m kleiner als die geſuchte Wurtzel / und demnach x = m + y.
Setzet in die Regel y = p: (p + pr: q) die Wer - the von p = 34435930 und von q = 524975; ſo bekommet ihr 34435930: (524975 + 460752743 40: 524975) = 34435930: 612739 = 56.2 Derowegen iſt x = 300 + 56.2 = 356.2
2. Stellet nun von neuem m = 356 / ſo iſt vermoͤge des Dignitaͤten-Taͤfeleins (§. 87) x3 = + 45118016 + 380208y + 1068y2 + y3 + .. x2 = + 55570368 + 311856y + 438y2 - .. x = - 2785700 - 7825y - .. R = - 98508430 das iſt - 665746 + 684239y + 1506y2 = 6 oder - p + qy + ry2 ≡ 0Weil190Anfangs-GruͤndeWeil R und p einerley / p und r aber verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt abermal x = m + y. Se - tzet wie vorhin in der Regel y = p: (p + pr: q) die Werthe von p = 665746 / q = 684239 und r = 1506; ſo bekommet ihr y = 970894. Derowegen iſt x = 356.970894
Wollet ihr die Wurtzel noch gnauer haben / ſo koͤnnet ihr von neuem m = 356970894 ſtellen. Eben auf ſolche Art koͤnnet ihr durch die Jrrational - Regel die verlangte Wurtzel ſuchen. Denn
1. Setzet / wie vorhin m = 300 / ſo findet ihr abermal p = 34435930 / q = 52497 / r = 1338. Dieſe Werthe ſetzet in die Jrrational-Regel y = (V (¼ qq + pr) - ½ q): r / ſo bekommet ihr y = 57 und x = 357.
2. Stellet von neuem m = 357 / ſo iſt x = m + 357
x3 = + 45499293 - 382347 y + 1071y2 + y3 + -. x2 = + 55822662 - 312732y + 438y2 - .. x = — 2793525 + 7825y - R = — 98508830 das iſt + 20000 — 687254 y + 1509y2 = 0 oder + p — qy + ry2 = 0 Weil R und p verſchiedene / oder auch p und r ei - nerley Zeichen haben / ſo iſt m - y = x.
Wenn ihr nun die von neuem gefundenen Werthe von p. q und r in die Jrrational-Regel ſetzet; bekommet ihr y = (½ q - V (¼ qq - pr): r 02910318180. Derowegen iſt x = 356. 9708968182.
Es191der Algebra.Es ſey x3 - 17x2 + 54 x - 350 = 0.
Setzet m = 10 / folgends 10 + y = x / ſo iſt x3 = 1000 + 300y + 30y2 + y3 - 17x2 = - 1700 - 340y -. 17y2 + 54 x = + 540 + 54y - R = - 550.
das iſt / - 510 + 14y + 13y2 = o
oder - p + qy + ry = o
Weil R und p einerley / oder auch p und r verſchie - dene Zeichen haben / ſo iſt m zu kleine angenommen / und demnach m + y = x. Weil nun p und r verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt y = (V (¼ qq + pr) - ½ q): r = (V (49 + 6630) - 7): 13 = (V 6679 - 7): 13 = 5.7 / und alſo x = 100 + 57 = 15. 7.
Stellet nun ferner 15 = m / oder 15 + y = x ſo iſt
x3 = + 3375 + 675y + 45y2 + y3 - 17x2 = - 3825 - 510y - 17y2 + 54x = + 810 + 54y - R = - 350 + 10 + 219y + 28y2 = o + p + qy + ry2 = o
Weil p und R verſchiedene / p aber und r einerley Zeichen haben / ſo iſt die Wurtzel etwas zu groß an - genommen / und demnach m - y = x. Da aber p und r einerley Zeichen haben / ſo iſt y = (½ q - V (¼ qq - pr)): r = (109 ½ - V (11990¼ - 280)): 28 = (109½ - V 11710¼): 28 = 0. 045932. Derowegen x = 15 - y = 14. 954068.
333. Die Anfaͤnger haben ſich wohl in acht zu - nehmen / daß ſie ſich nicht mit den Decimal-Bruͤchen confundiren: welches ſie aber leicht vermeiden koͤn - nen / wenn ſie nur bedencken / daß ſie ſo viel Zahlen fuͤr die Decimal-Bruͤche rechnen muͤſſen / als ſie Nul - len bey der Diviſion angehaͤngt in der Rational-Re - gel / oder halb ſo viel / als ſie Nullen hinzugeſetzt bey Ausziehung der Qvadrat-Wurtzel in der Jrrational - Regel. Derowegen wenn in beyden Faͤllen weni - ger Zahlen nach geſchehener Diviſion oder Auszie - hung der Wurtzel heraus kommen / muͤſſen zur rech - ten ſo viel Nullen vorgeſetzt werden als Zahlen feh - len. Hingegen umb wie viel Zahlen der Decimal - Bruch durch die neue Operation vermehreter her - aus kommet; ſo viel Nullen muͤſſen der angenom - menen Wurtzel beygefuͤgt werden / ehe ihr den Werth von ihr abziehen / oder ihn zu ihr addiren koͤnnet.
334. Je oͤfters man die Rechnung von neuem anfaͤngt / je naͤher kommet man der wahren Wurtzel. Da man nun aber ſelten in ſo viel Zahlen ſie zu wiſſen verlangt / als in der anderen Operalion heraus kom - men: hat Halley noch eine Regel gegeben / wie man die in der andern Operation gefundene Wurtzel cor - rigiren kan / damit ſie der wahren naͤher komme und alſo nicht erſt die dritte anſtellen darf. Nemlich wenn + y iſt / muͤſſet ihr in Cubiſchen ½ m3: V (¼ qq + pr) / in Qvadrato-Ovadratiſchen Æqua - tionen (½ ſm3 + ½ m4): V (¼ qq + pr) u. ſ. w. addiren; hingegen wenn + y iſt / in dem erſten Falle ½ m3: V (¼ qq - pr) / im andern (½ ſm3 - ½ m4): V (¼ qq - pr) u. ſ. w. ſubtrahiren / damit der geſundene Werth von x der wahren Wurtzelnaͤher193der Algebra. naͤher komme. Wir wollen das Exempel behalten / welches Halley ſelbſt giebet / weil es als ein ſonder - bahres angefuͤhret wird von denjenigen / welche die Wurtzeln durch Naͤherungen aus den Gleichungen zu ſuchen ſich bemuͤhet. Es ſey nemlich x4 - 80 x3 + 1998 x2 - 14937x + 5000 = 0. Dividi - ret die Wurtzel durch 10 / damit die Operation nicht verdruͤßlich faͤllet. x4 - 80x3 + 1998x2 - 14937x + 5000 = 0 1 10 100 1000 10000 z4 - 8z3 + 169 $$\frac {40}{50}$$ z2 - 14 $$\frac {927}{1000}$$ z + 0.5 = 0
Umb die Bruͤche zu vermeiden / nehmet fuͤr dieſe Æquation an z4 - 8z3 + 20 z2 - 15 z + 0.5 oder 0.5 = - z4 + 8z3 - 20z2 + 15 z.
Setzet m = 1 / ſo iſt 1 + y = z - z4 = - 1 - 4y - 6y2 - 4y3 - y4 + 8z3 = + 8 + 24y + 24y2 + 8y3 - 20z2 = - 20 - 40y - 20y2 + 15z = + 10 + 15y - R = - 0.5 das iſt + 1.5 - 5y - 2y2 + 4y3 - y4 = 0 oder + p - qy - ry2 + ſy3 = 0
Weil R und p verſchiedene Zeichen haben / ſo iſt m zu groß angenommen und daher m - y = o. Und weil p und r verſchiedene Zeichen haben; ſo iſt y = (V (¼ qq + pr) - ½ q): r = (V 37 - 5): 4 = (6.08 - 500): 4 =. 27 / und demnach z = 1.27.
Stellet nun von neuem 1.27 = m / ſo iſt - 26014. 4641-8193.532y-967.74y2-508y3-y[+](4) N+194Anfangs-Gruͤnde- 163870.640 + 38709. 60y + 3048y2 + 80y3 + 322257.42 - 50749. 2y - 1998y2 + 1896699.9 + 14937 y -5000 das iſt / + 298.6559 - 5296. 132y+82.26y2 + 29. 2y3 = o
oder + p - qy + ry2 + ſy3 = o Weil R (= 5000) und p verſchiedene Zeichen ha - ben / ſo iſt m - y = x / und da p und r einerley Zei - chen haben y = (½ q - V (¼ qq - pr)): r = (2648.066 - V (6987686.106022): 82.26 =. 05644080331 ----
Wollet ihr nun dieſen Werth corrigiren / ſo muͤſ - ſet ihr (½ ſm3 - ½ m4): V (¼ qq - pr) dazu ad - diren.
Nun iſt (½ ſm3 - ½ m4): V (¼ qq - pr) =. 0026201 .....: 2643. 432 ...... =. 000 00099117. Derowegen iſt y = 05644179 448 und z = 12.75644179448. Es iſt zu erinnern / daß / wenn ihr die Werthe von p. q. r. und ſ. ſuchet / in den Producten von 20 in z 2 und 15 in z ſo viel wieder abgezogen wird / als 20 und 15 zu groß angenommen worden. Z. E. An ſtat 19 $$\frac {98}{100}$$ z 2 ha - bet ihr 20z 2 genommen / und alſo $$\frac {1}{50}$$ zu viel. De - rowegen wenn ihr den Werth von z 2 durch 20 oder vielmehr 2000 multipliciret / muͤſſet ihr $$\frac {1}{50}$$ deſſelben von dem Prodncte wieder abziehen. Als im erſten Gliede iſt das Product aus 16129 in 20000 = 32258000 / $$\frac {1}{50}$$ aber von 16129 = 32258. Wenn ihr nun dieſes von 32258000 abziehet / bleibet das wahre Product 3225742 uͤbrig. Eben ſo verhaͤlt ſichs in den uͤbrigen Gliedern.
335. Nun koͤnnte ich auch zeigen / wie der Werth von x in den gegebenen Æquationen Geometriſch ge - ſucht werde. Allein weil die Geometriſche Conſtru - ction der determinirten Aufgaben ſich am beſten aus der Conſtruction der undeterminirten herleiten laͤſt; wil ich zu erſt Arithmetiſche Exempel von dergleichen Aufgaben beybringen / zu mal da dieſelben in der hoͤheren Geometrie und der Differential-Rechnung mehr Nutzen haben / als wohl einige vermeinen / auch beſondere Kunſtgriffe nachzuſinnen an die Hand ge - ben.
336. Vier Zahlen von der Beſchaf - fenheit zufinden / daß die Summe der beyden erſten der dritten und ihre Dif - ferentz der vierdten Zahl gleich ſey.
Es ſey die erſte Zahl x / die andere y / die dritte z / die vierdte t / ſo iſt y + x = z x - y = t 2y + t = z x = t + y 2y = z - t > x = t + ½z - ½ t y = (z - t): 2 x = (z + t): 2 da nun nicht mehr Æquationen zu erdencken ſind / koͤnnen die Zahlen z und t nach belieben angenommen werden. Es ſey z = 8 / t = 2 /N 2ſo196Anfangs-Gruͤndeſo iſt x = (8 + 2): 2 = 10: 2 = 5 / und y = (8-2): 2 = 6: 2 = 3. Es ſey z = 5 / t = 1 / ſo iſt x = (5+1): 2 = 6: 2 = 3 / t = 5) - 1): 2 = 4: 2 = 2.
337. Wenn ihr gantze Zahlen verlanget / ſo muͤſ - ſen vor z und t ſolche angenommen werden / deren Summe und Differentz ſich durch 2 dividiren laͤſt.
338. Zwey Zahlen zu finden / deren Summe zu gleich mit ihrem Producte einer gegebenen Zahl gleich iſt.
Es ſey die gegebene Zahl = a / die eine von den begehrten = x / die andere = y / ſo iſt xy + x + y = a xy + x = a - y x = (a - y): (y + 1) Es ſey a = 30 / y = 2 / ſo iſt x = (30 - 2): (2 + 1) = 28: 3 = 9⅓. Es ſey a = 20 / y = 2 / ſo iſt x ≡ (20 - 2): (2 + 1) = 18: 3 = 6. Es ſey a = 19 / y = 4 / ſo iſt x = (19 - 4): (4 + 1) = 15: 5 = 3.
339. Zwey Zahlen zufinden / deren Product ein vollkommener Cubus iſt / deſſen Wurtzel dem Producte aus der erſten in das Qvadrat der andern gleich iſt.
Auf -197der Algebra.Es ſey die erſte Zahl = x / die andere ≡ y / die Cubic-Wurtzel = v / ſo iſt v -- xy2 xy - v 3 v: y2 = x x = v3: y v: y2 = v3: y vy = v3 y2 vy 1 = v2 y 1: v2 = y Derowegen iſt v5 = x Setzet v = 2 / ſo iſt x = 32 / y = ¼. Es ſey v = 3 / ſo iſt x = 243 / y = $$\frac {1}{9}$$ .
340. Die Summe zweyer vollkom - menen Qvadrate in zwey andere voll - kommene Qvadrate zutheilen.
Es ſey die Seite des groͤſten Qvadrates = a / des kleineſten = b: die Seite des ei - nen von den geſuchten a - z / des andern yz - b. So iſt aa - 2az + zz + y2z2 - 2byz + bb - aa + bb zz + yyzz = 2byz + 2az zN 3z +198Anfangs-Gruͤndez + yyz = 2 by + 2a 1 + y2 z = (2by + 2a): (y2 + 1)
Alſo iſt = a - z = a - (2by + 2a): (y2 + 1) = (ay2 - a - 2by + 2a): (y2 + 1) = (ay2 - 2by - a): (y2 + 1). Hingegen yz - b = (2 by2 + 2ay): (y2 + 1) - b = (2by2 + 2ay + by2 - b): (y2 + 1) - (by2 + 2ay - b): (y2 + 1). Es ſey a = 3 / b - 2 / y = 2 ſo iſt z = (8 + 6) 5 — 14: 5 / folgends a - z = 3 - 14: 5 = ⅕ / und yz - b = 28: 5 - 2 = (28 - 10): 5 = 18: 5 deren Qvadrate (1 - 324): 25 = 103 = 9 + 4.
341. Zwey vollkommene Qvadrate zufinden / deren Differentz einer gege - benen Zahl gleich iſt.
Es ſey die Seite des kleinen = x / des groſ - ſen x + y / die Differentz = d. So iſt das kleine Qvadrat = x2 / das groſſe = x2 + 2xy+y2 / folgends y2 + 2xy = d 2xy = d - y2 x = (d - y2): 2y Weil ſich y2 von d abziehen laͤſt / ſo muß y kleiner ſeyn als V d.
Z. E. Es ſey d = 10 / y = 3 / ſo iſt x -(10 -199der Algebra. (10 - 9): 6 = ⅙ / x + y - 3 + ⅙. Es ſey d = 11 / y = 2 / ſo iſt x = (11 - 4): 4 = $$\frac {7}{4}$$ / x + y ≡ 2 + $$\frac {7}{4}$$ = $$\frac {15}{4}$$ .
342. Eine Zahl in zwey andere zu zer - theilen / deren Product ein vollkomme - nes Qvadrat iſt.
Es ſey die Zahl = 2a / die Differentz = 2y / ſo iſt die groſſe a + y / die kleine a - y / ihr Product = aa - yy. Setzet die Seite des Qvadrates xy - a. So iſt aa - yy = aa - 2axy + x2 y2 2axy = x2 y2 + y2 y 2ax = x2 y + y x2 + 1 2ax: (x2 + 1) = y
Es ſey x = 2 / 2a = 10 / ſo iſt y = 20: 5 = 4 / a + y = 5 + 4 = 9 / a - y = 5 - 4 = 1.
Es ſey 2a = 10 / x = 0 / ſo iſt y = 0 / fol - gends a + y = 5 / a - y = 5.
Es ſey 2a - 10 / x = 3 / ſo iſt y = 30: 10 = 3 / a + y = 5 + 3 = 8 / a - y = 5 - 3 = 2.
343. Zwey Zahlen zu finden von der Beſchaffenheit / daß / wenn die eine zuN 4dem200Anfangs-Gruͤndedem Qvadrate der andern geſetzt wird die Summe ein Qvadrat ſey / deren Sei - te die Summe der Zahlen iſt.
Es ſey die eine Zahl x / die andere y / ſo iſt x2 + y = x2 + 2 xy + y2 y - y2 — 2xy 2y (1 - y): 2 = x
Es ſey y = ½ / ſo iſt x = ½: 2 = ¼. Es ſey y = ⅓ / ſo iſt x = (1 — ⅓): 2 = ⅔: 2 = ⅓.
344. Zwey Zahlen zu finden von der Beſchaffenheit / daß / wenn die eine zu dem Qvadrate der andern geſetzt wird / die Summe die Seite eines Qvadrates ſey ſo den beyden Zahlen gleich iſt.
Es ſey die eine Zahl x die andere y / ſo iſt z2 + y = V (z + y) z4 + 2z2y + yy = z + y z4 + 2z2y - y + yy = z das iſt wenn 2z2 - 1 = v vy + yy = z - z4 $$\frac {1}{14}$$ v 2201der Algebra. ¼v2 + vy + yy = ¼ v2 + z - z ½v + y = V (¼ v2 + z-z4) y = V (¼ v2 + z - z4) - ½v das iſt / wenn ihr fuͤr v wieder ſeinen Werth in die Stelle ſetzet y = V (z4 - 2z2 + ¼ + z - z4) - z2 + ½ das iſt y = V (¼ + z - z2) + ½ - z2 Wenn ihr nun Rational-Zahlen verlanget / ſo muß ¼ + z-z2 ein vollkommen Qvadrat ſeyn.
Setzet demnach ſeine Seite = zx-½ / ſo iſt z2x2-zx + ¼ = ¼ + z-z2 z2x2 - zx = z - z2 zx2 - x = 1 - z z zx2 + = x + 1 z = (x + 1): (x2 + 1)
Es ſey x = 2 / ſo iſt z = (2 + 1): (4 + 1) = ⅗ / folgends y = ½ - $$\frac {9}{25}$$ + V (¼ + ⅗ - $$\frac {9}{25}$$ ) = (5 = 19): 50 + V (25 + 24.: 100) = 7: 50 + V (49: 100) = $$\frac {7}{50}$$ + $$\frac {7}{10}$$ = 〈…〉 = $$\frac {420}{500}$$ = $$\frac {21}{25}$$ .
345. Zwey Qvadrate von der Be - ſchaffenheit zu finden / daß wenn ihr das eine zu dem Producte von beyden addi -N 5ret /202Anfangs-Gruͤnderet / eine jede Summe ein vollkommenes Qvadrat ſey.
Es ſey das eine Qvadrat x 2 / das andere y 2 / ſo iſt ihr Product x2 y2 folgends ſind x2 y2 + x2 und x2 y2 + y2 vollkommene Qva - drate. Dividiret das erſte durch x 2 / das andere durch y 2 / ſo ſind y 2 + 1 und x 2 + 1 gleich - fals vollkommene Qvadrate. Nennet die Seite des erſten z-y / das andern t-x / ſo iſt y2 + 1 = z2 - 2zy + y2 x2 + 1 = t2 - 2tx + x2 1 = z2 - 2zy 1 = t2 - 2tx 1 + 2 zy = z2 2tx = t2 - 1 y = (z2 - 1): 2z x = (t2 - 1): 2t
Es ſey z = 2 / t = 3 / ſo iſt y = (4-1): 4 = ¾ x = (9-1): 6 = $$\frac {8}{6}$$ = $$\frac {4}{3}$$ .
Es ſey z = 3 / t = 4 / ſo iſt y ≡ (9-1): 6 = (9-1): 6 = $$\frac {4}{3}$$ / x = (16-1): 8 = $$\frac {15}{8}$$ .
346. Zwey Qvadrate zu finden / von der Beſchaffenheit / daß / wenn ihre Summe zu ihrem Producte geſetzt wird / ein vollkommenes Qvadrat her - aus kommet.
Es ſey das eine Qvadrat x 2 / das andere y 2 / ſo iſt x2y2 + x2 + y2 / ein vollkommenes Qva - drat. Setzet anfangsy 2203der Algebra. y2-2ty + tt = yy + 1 ſo iſt t2 = t + 2ty (t2 - 1): 2t = y t-y = t - (t-1): 2t2 = (t2 + 1): 2t
Setzet ferner v = V (yy + 1) = t-y = (t2 + 1): 2t / ſo iſt x2y2 + x2 + y2 = x2 v2 + y2. Stel - let deſſen Seite = z - vx / ſo iſt x2 v2 + y2 = z2 - 2vxz + v2 x2 y2 = z2 - 2vxz 2vxz = z2 - y2 x = (z2 - y2): 2vz hier werden z und t nach Gefallen angenom - men.
Es ſey Z. E. z = 2 / t = 3 / ſo iſt y = (9 - 1) 6-8: 6 = $$\frac {4}{3}$$ / v = t-y = 3 - $$\frac {4}{3}$$ = 〈…〉 = $$\frac {5}{3}$$ und alſo x = (4 - $$\frac {16}{9}$$ ): $$\frac {20}{3}$$ = 〈…〉 : $$\frac {20}{3}$$ = $$\frac {20}{9}$$ : $$\frac {20}{3}$$ = $$\frac {20}{60}$$ = ⅓.
347. Zwey Zahlen von der Beſchaf - fenheit zu finden / daß / wenn ihr Pro - duct zu der Summe ihrer Qvadrate ge - ſetzt wird / ein vollkommenes Qvadrat heraus kommet.
Auf -204Anfangs-GruͤndeEs ſey die Summe der beyden Zahlen 2x / ihre Differentz 2y / die Seite des Qvadrates t + y / ſo iſt die groſſe Zahl x + y / die kleine x-y / und demnach x2 - y2 + x2 + 2xy + yy + x2 - 2xy + yy / das iſt / 3x2 + y2 - t2 = 2ty + yy 3x2 - t2 = 2ty 2t (3x2-t2): 2t = y
Es ſey x = 4 / t = 6 / ſo iſt y = (48-36): 12 = 12: 12 = 1 / folgends x + y = 4 + 1 = 5 / x-y = 4-3 = 1.
348. Eine Zahl von der Beſchaffen - heit zufinden / daß / wenn ſie durch zwey bekandte Zahlen multipliciret wird / beyde Producte ein vollkommenes Qvadrat ſind.
Es ſey eine gegebene Zahl = a / die andere b / die geſuchte x / das eine Qvadrat y 2 / das andere v 2 / ſo iſt ax = y2 bx = v2 x = y2: a x = v2: b y2: a = v2: b by2 = av2: by 2205der Algebra. y2 = av2: b y = v V (a: b) Wenn demnach eine Rational-Zahl gefun - den werden ſol / muß a: b ein vollkommenes Qvadrat ſeyn.
Es ſey a = 32 / b = 8 / ſo iſt V (a: b) = 2. Setzet v = 5 / ſo iſt y = 10 / folgends x = 100: 32 = $$\frac {25}{8}$$ .
349. Eine Zahl zu finden von der Be - ſchaffenheit / daß / wenn ſie durch zwey gegebene Zahlen multipliciret / und zu jedem Producte noch eine andere Zahl addiret wird / beyderſeits ein vollkom - menes Qvadrat heraus kommet.
Es ſeyn die erſten beyden gegebenen Zah - len a und b / die andern c und d / die geſuchte x / die beyden Qvadrate yy und vv / ſo iſt ax + c = yy bx + d = vv x = (yy-c): a x = (vv-d): b (yy-c): a = (vv-d): b byy-bc = avv-ad byy = av2 - ad + bc b y2 = (av2 - ad + bc): by =206Anfangs-Gruͤndey = V (av2 - ad + bc): b Wenn ihr nun eine Rational-Zahl verlan - get / ſetzet a: b ≡ m2 / ſo iſt y2 = m2v2-m2d + c Setzet ferner fuͤr die Seite dieſes Qvadra - tee t-mv oder mv-t / ſo iſt m2v2-m2d + c = m2v2-3tmv + t2 2tmv = t2 + m2 d - c v = (t2 + m3d - c): 2tm das iſt / wenn ihr fuͤr m 2 ſeinen Werth wieder hinſetzet v = (bt2 + ad-bc): 2tbm.
Es ſey t = 4 / a = 1 / b = 1 / c = 2 / d = 3 / ſo iſt m 2 = 1: 1 = 1 und m = 1 / folgends v = (16 + 3-2): 8 = 17: 8 = 2⅛ und x = 289: 64-3 = (289-192): 64 = 97: 64.
350. Die Linie / durch welche eine un - determinirte Aufgabe Geometriſch auf - geloͤſet wird / heiſſet ein Geometriſcher Ort / (Locus Geometricus). Jnsbe - ſondere nennet man es einen Ort an ei - ner geraden Linie / wenn ſie eine gera - de Linie iſt: einen Ort an dem Cir - cul / wenn ſie ein Circul iſt: einen Ort an der Parabel / Hyperbel / Ellipsi u. ſ. w. wenn ſie eine von dieſen Linien iſt.
351. Der Ort an einer geraden Linie wird auch ein einfacher Ort; der an einem Circul / ein ebener Ort; (Locus planus); der an einer Parabel / Hyper - bel und Ellipſi ein coͤrperlicher Ort (Locus ſolidus) genennet.
351. Einen Ort an einer geraden Li - nie zu cooſtruiren.
Einen Ort conſtruiren heiſſet die Linie ziehen / welche der undeterminirte AufgabeTab. II. Fig. 21. ein Gnuͤgen thut. Alle Qerter an einer ge - raden Linie laſſen ſich durch folgende Æqua - tionen vorſtellen: y = ax: b / y = (ax: b) + c / y = c-ax: b conſtruiret nach Belieben ei - nen Winckel EAD / nehmet in demſelben an AB = b / BC = a / ſo iſt AD = x / DE = y. Denn AB: BC = AD: DE (§. Geom.) das iſt / b: a = x: y / folgends ax: b = y.
Jn dem andern Falle darf nur eine gege - bene Linie c allzeit zu DE geſetzt / oder davon ſubtrahiret werden.
Jn dem dritten Falle wird DE von einer gegebenen Linie abgezogen.
Es iſt aber nicht noͤthig zu erinnern / daß AD oder x auf AG ſo groß angenonmen werden darf / als man wil.
352. Einen Ort an einem Circul zu conſtruiren.
1. Es ſey yy = aa - xx / beſchreibet mit BC = a einen Circul / und machet CE = x / ſo iſt M E — y.
Denn AE = a + x / EB = a-x. Nun iſt AE. EB = (ME) 2 (§. 195 Geom. §. 126 Alg.) Derowegen iſt aa - x2 = y2. W. Z. E. II. Es ſey yy = bx-xx. Nehmet das andere Glied bx weg / (§. 301). Setzet nemlich x = u + ½b ſo iſt - x2 = u2 - bu - ¼bb + ax = + bu + ½bb - x2 + bx = - u2 + ¼bb folgends y2 ≡ ¼bb - u2.
Solcher geſtalt kan der Ort / wie vorhin con - ſtruiret werden / nur daß ihr den halben Dia - meter AC = ½b annehmet. Denn ſo iſt all - zeit AE = x / ME = y.
III. Auf gleiche Art wird die Æquation yy - by = cx-xx auf den erſten Fall reduciret. Denn nehmet anfangs by weg / daß ihr ſetzet y = v + ½ b y2 = v2 + by + ¼ bbby209der Algebra. - by = - bv - ½bb y2 - by = v2 - ¼bb Setzet ferner x = t + ½ c - x2 = - x2 - c + - ¼ cc + cx = + c t + ½ cc cx - x2 = ¼ cc - t2 Solchergeſtalt bekommet ihr v2-¼bb = ¼ cc-t2 Setzet endlich V (¼bb + ¼ cc) = m / ſo iſt v2 = m2 - t2 / eine Gleichung / wie die in dem erſten Falle / und wird der Circul mit ½m beſchrieben.
353. Einen Ort an einer Parabel zu conſtruiren.
Die Faͤlle / ſo hier vorkommen koͤnnen / ſind folgende.
y2 = ax / y2 = ax + bb / y2 = bb - ax. Jn dem erſten Falle iſt klahr / daß nur mit dem Parameter a eine Parabel (§. 207. 221. 222 ) beſchrieben werden darf / ſo ſind die Ab -Tab. II. Fig. [15]〈…〉〈…〉. ſciſſen x / die Semiordinaten y (§. 204).
Jn dem andern nehmet entweder AF oder Af = bb: a / ſo iſt FP oder fP = x / PM = y. Denn AP = x + bb: a / und daher y2 = ax + bb. Wiederumb wenn fP = x /(4) Oſo210Anfangs-Gruͤndeſo iſt AP = x - bb: a / folgends y2 = ax - bb (§. 204.).
Endlich in dem letzten Falle nehmet aber - mals AL = bb: a / ſo iſt LP = x / PM = y. Denn AP = bb: a-x und darumb y2 = bb - ax.
354. Auf dieſe Faͤlle werden alle uͤbrigen / die vor kommen / reduciret / wie in folgenden Aufgaben gewieſen wird.
355. Einen Ort an einer Parabel zu conſtruiren / da yy + ay = bx - ¼ aa.
Nehmet das andere Glied ay weg (§. 301) Setzet nemlich y = v - ½a ſo iſt y2 = v2 - av + ¼ aa + ay = v2 + av - ½ aa v2 - ¼aa = bx - ¼ aa v2 = bx Alſo iſt der Ort auf den erſten Fall reduci - ret / und ihr doͤrfet nur mit dem Parameter b eine Parabel beſchreiben / PR = ½a machen / ſo iſt AP = x / RM = y.
356. Einen Ort zu conſtruiren / da yy - ay = bx + cc.
Auf -211der Algebra.Nehmet das andere Glied ay weg. Stel - let nemlich y = v + ½ a ſo iſt y2 = v2 + av + ¼ aa - ay = - av - ½ aa v2 - ¼ a2 = bx + cc v2 = bx + cc + ¼ a2
Setzet ferner V (cc + ¼ aa) = m / ſo habet ihr v2 = bx + m2 Solcher geſtalt iſt die gegebene Æquation auf den andern Fall der Aufgabe (§. 129. 353) reduciret worden.
357. Einen Ort zu conſtruiren / da y2 - axy: b = cx - aa xx: 4bb.
Nehmet das andere Glied axy: b weg. Setzet nemlich y = v + ax: 2b ſo iſt y2 = v2 + axv: b + ax2: 4bb - axy: b = - axv: b - ax2: 2bb v2 - ax2: 4b2 = cx - a2x2: 4b2 v2 = cxO 2Alſo212Anfangs-GruͤndeAlſo iſt gegenwaͤrtiger Fall abermals auf den erſten der Paraboliſchen Oerter reduciret worden (§. 354).
358. Einen Ort an einer Ellipſi zu conſtruiren.
359. Einen Ort an einer gleichſeiti - gen Hyperbel zu conſtruiren.
360. Einen Ort an einer ungleichſei - tigen Hyperbel zu conſtruiren.
360. Einen Ort an einer HyperbelTab. II. Fig. 26. zwiſchen ihren Aſymptoten zu conſtrui - ren.
362. Jhr ſehet aus den gegebenen Exempeln / daß die erſte Æquationen ſich aus der Natur der krum - men Linie herleiten laſſen / die andern / aber auf der - gleichen reduciret werden. Jch koͤnte zwar nach dem Exempel des Craigii in ſeinem Tractatu de Qvadra - turis Curvarum & Locis Geometricis und des Mar - quis de l’ Hoſpital in ſeinem Tráite des Sections Co - niques lib. 7. p. 20. & ſeqq. allgemeine Æquationen geben / nach welchen alle Geometriſche Oerter / die ſich durch den Circul und die Kegelſchnitte conſtruiren laſſen / conſtruiret werden koͤnnen: allein ich wil die Anfaͤnger damit nicht aufhalten / ſondern vielmehr zeigen / wie die Cubiſchen und Quadrato-quadratiſchen Æquationen durch Verknuͤpfung zwey Geometriſcher Oerter / in welche man ſie reduciret / conſtruiret wer - den.
363. Eine Cubiſche Æquation / darin -nen219der Algebra. nen das andere Glied fehlet / in Geome - triſche Oerter zu bringen.
364. Jhr koͤnnet noch mehrere Oerter heraus brin - gen / wenn ihr es verlanget. Denn ſetzet zu dem Or -te221der Algebra. te an der Parabel im erſten Falle y2 + by = cx den andern Ort an der Parabel ay = x2 / ſo bekommet ihr y2 + ay + by = x2 + cx / einen Ort an einer gleich - ſeitigen Hyperbel. Setzet ferner in der Æquation x4 + abx2 = aacx an die Stelle von x 4 ſeinen Werth a y 2 / ſo bekommet ihr a2y2 + abx2 = a2cx a2 y2 + bx2: a = cx y2 = cx - bx2: a / einen Ort an einer El - lipſi. Eben dergleichen Oerter koͤnnet ihr auf ſolche Weiſe in dem andern und dritten Falle finden.
365. Wenn ihr euch die Æquationen fuͤr die Geometriſchen Oerter bekandt machet / ſo werdet ihr gar leicht ſehen / wie ihr die Sache angreiffen muͤſſet / damit die vorgegebene Æquation in Geometriſche Oerter reduciret werde.
366. Eine Cubiſche Æquation zu con - ſtruiren / darinnen das andere Glied feh - let.
Denn es ſey PM = x / AC = ½a / DC = ½ b / DH = ½c / ſo iſt (AE) 2 = (aa + bb + cc): 4 und aus der Natur der Parabel AP = xx: a2 folgends DP = HE = xx: a - ½a - ½b / und ME = x-½c. Alſo iſt (FE) 2 — x4: a2 - x2 - bx2: a + ¼aa + ¼bb + ½ab + xx - cx + ¼ cc und demnach x4: a2 - bx2 - cx + (aa + bb + 2ab + cc): 4 = (aa + bb + cc + 2ab): 4 / das iſt / x4: a2 - bx2: a = cx a2 x4 - abx2 = a2 cx x x3 - abx = aac welches eben die vorgegebene Æquation iſt / die auf gleiche Weiſe heraus kommet / wenn ihr PN = - x annehmet. Damit ihr aber den halben Diameter HN leichte finden koͤn - net / doͤrfet ihr nur PN bis in O verlaͤngern; ſo iſt ON = PN + DH = ½ c-x und HO = DP. Derowegen iſt PM die waare Wur - tzel / und PN ſind die beyden falſchen Wur - tzeln.
II. 224Anfangs-GruͤndeDer Beweiß iſt voͤllig wie in dem erſten Falle.
Weil DH = ½c / DC = ½b / AC = ½a / ſo iſt DA = ½b-½a / (AH) 2 = ¼cc + ¼bb + ¼aa - ½ab. Und weil PM = x / ſo iſt aus der Natur der Parabel AP = x2: a / folgends DP = HR = x2: a + ½b - ½a / (HR) 2 = x4: a2 + bx2: a + ¼bb-x2-½ab + ¼ aa. Endlich da PR = DH = ½c / ſo iſt MR = x - ½ c und (MR) 2 = x2-cx + ¼cc. Derowegen iſt (M H) 2 = x4: a2 + bx2: a + ¼bb - x2 - ½ab + ¼ aa + x2 - cx + ¼cc = (AH) 2 = ¼cc + ¼bb + ¼aa - ½ab / und ſolcher geſtalt 8x4: a2 + bx2: a = cx a2 x4 + abx2 = a2cx x x3 + abx = a2c.
Da nun dieſes die vorgegebene Æqua - tion iſt; ſo ſiehet man / daß x die Wurtzel derſelben ſey. W. Z. E.
367. Setzet a = 1 / b = q / c = r / ſo ſind die drey Cubiſchen Æquationen x3 * - qx - r = o x3 * - qx + r = o x3 * + qx - r = o und in den beyden erſten Faͤllen iſt AD = ½a + ½q / das iſt / die Summe aus dem halben Parameter der(3) PPa -226Anfangs-GruͤndeParabel und der halben bekandten Groͤße des dritten Gliedes; in dem dritten aber ½q - ½ a / das iſt / die Summe aus dem halben Parameter der Parabel und der halben bekandten Groͤſſe des dritten Gliedes; in dem dritten aber ½q-½a das iſt / die Differentz zwi - ſchen dem halben Parameter und der halben bekandten Groͤſſe des dritten Gliedes / und in allen drey Faͤllen DH = ½r / das iſt / das halbe dritte Glied: welches die Regel iſt / die Carteſius fuͤr die Conſtruction der Cubiſchen Æquationen gegeben.
368. Wenn der Circul die Parabel nicht durch - ſchneidet / ſo hat die Æquation keine wuͤrckliche Wur - tzeln. Eben dieſes gielt von einigen Wurtzeln / wenn die Parabel nicht in drey Puncten durchſchnitten wird.
369. Wenn alle Glieder in der Æquation zugegen ſind / koͤnnet ihr (§. 301) das andere wegſchaffen: wie wol ihr ſie auch conſtruiren koͤnnet / wenn das andere behalten wird. Denn es ſey Z. E. x3 + ax2 + abx = aac. Wenn ihr dieſe Æquation mit x - a multipliciret / und in der / ſo heraus kommet / x4 + abx2 - aax2 - abx = aacx - aac den Werth von x 2 aus dem angenommenem Or - te an der Parabel x2 = ay ſtellet / ſo entſtehet ein anderer Ort an einer Parabel yy + by - ay = bx + cx - ac. Wenn ihr ferner dieſen von dem erſten abziehet / bleibet ein Ort an einem Circul xx-bx-cx + ac = 2ay-by-yy uͤbrig / deſ - ſen halber Diameter V (a2 - ab + ½bb-ac + ½Tab. IV. Fig. 36. bc + ¼cc) gefunden wird (§. 352.). Mit dem erſten Orte an der Parabel und dem Orte anden227der Algebra. dem Circul koͤnnet ihr die Æquation con - ſtruiren. Beſchreibet nemlich mit dem Para - meter a eine Parabel und macht Ac = a / CD = ½b + ½c / DH = ½b / ſo iſt aus der Natur der Parabel CR = V ½a2 = a / daher DR = a-½b-½c / (DR) 2 = a2 - ab + ¼bb-ac + ½bc + ¼cc / (DH) 2 = ¼bb / folgends HR = V (a2 - ab + ½bb - ac + ½bc + ¼cc). Solchergeſtalt muß aus H mit HR durch den Punct R der Circul beſchrieben werden. Den Beweis koͤnnet ihr wie vorhin finden. Denn wenn ihr PM = x annehmet / werdet ihr die verlang - te Æquation heraus bringen.
370. Eine Qvadrato-qvadratiſche Æ - quation / darinnen das andere Glied fehlet / in Geometriſche Oerter zu brin - gen.
371. Eine Qvadrato-Qvadratiſche Gleichung zu conſtruiren / darinnen das andere Glied fehlet.
372. Dieſe Methode gehet nicht allein ferner an / wenn alle Glieder in einer Qvadrato-Qvadratiſchen Æquation vorhanden; ſondern auch in hoͤheren Æ -qua -231der Algebra. quationen / nur daß in dem letzten Falle die Geome - triſchen Oerter / ſo zur Conſtruction genommen wer - den / keumme Linien von hoͤheren Geſchlechten ſind.
373. Wenn ihr alle Cubiſche und Qvadrato-qva - dratiſche Æquationen auf die vorgeſchriebene Weiſe conſtruiret; ſo werdet ihr wahrnehmen / daß man gar leicht eine allgemeine Regel finden kan / alle Æ - quationen von dem dritten und vierdten Grade zu conſtruiren. Dergleichen Regel hat Thomas Baker, ein Engellaͤnder / in ſeinem Clave Geometrica Ca - tholica gegeben / wiewol er ſie auf andere Weiſe ge - funden. Allein es iſt viel rathſamer / wenn man ſich an die Methode haͤlt / die ich bißher erklaͤhret habe. Weil man in beſonderen Faͤllen oͤfters geſchicktere Conſtructionen dadurch finden kan / als wenn man alles auf einerley Art verrichten will. Die Regel / welche Baker giebt / das centrum H zu finden iſt fol - gende: AD = ½ a + p2: 8 a + q: 2a DH = ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a2 + r: 2a〈…〉〈…〉 Bey dem Gebrauch iſt folgendes zu mercken:
374. Wenn ihr den Beweis von dieſer Regel ver - langet / kan es am fuͤglichſten folgender geſtalt geſche - hen. Setzet AD = b / DH = d / AQ = c / ſo iſt (AH) 2 = dd + bb. Es ſey ferner PM = x der Parameter = a / ſo iſt OM = x + c / RM = x + d und weil a: OM + AQ = PM: AP (§. 217) / AP = (xx + 2cx): a / folgends DP = HR = (xx + 2cx): a-b / (HR) 2 = x4: a2 + 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 2bxx: a-4bcx: a / (RM) 2 = x2 + 2dx + dd. Solchergeſtalt habet ihr x4: a2 + 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 2bx2: a-4bcx: a + x + 2dx + dd = bb + dd x4: a2 + 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 4bcx: a = o - 2bx2: a + 2dx + x2x 3233der Algebra. x3 + 4cx2 + 4c2x-4abc = o. - 2abx + 2a2d + a2x
Hieraus ſehet ihr / daß / wenn die wahre Wurtzel zur Rechten fallen ſol / das andere Glied das Zeichen + haben muß und / wenn c fehlet / der Punct A in a faͤllet. Damit ihr nun auch die Werthe von c / b und d findet / die in der Central-Regel angegeben worden; ſo ſetzet x3 + px2 + qx + r = o. Dann iſt 4c = p 4c2 - 2ab + a2 = q c = ¼p 4c2 + a2 - q = 2ab $$\frac {}{4}$$ p2 + a2 - q = 2ab 2a ½a + p2: 8a - q: 2a = b a2 + 4c2 - 2ab = - q a2 + ¼p2 + q = 2ab 2a ½a + p2: 8a + q: 2a = b 2a2d - 4abc = r 2a2d = 4abc + r d = 2bc: a + r: 2a2 das iſt / d = ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a2 + r: 2a2 2a2d - 4abc = - rP 52a 2234Anfangs-Gruͤnde2a2d = 4abc - r 2a2 d = 2bc: a - r: 2a2 / das iſt / d = ¼p + p3: 16a2 〈…〉 pq: 4a2-r: 2a2 Alſo kommet ſo wol AD als DH in allen Faͤl - len / da + p iſt / wie ſie in der Regel angegeben worden.
Laſſet nun auch PN = x ſeyn und das uͤ - brige alles / wie vorhin: ſo iſt NR = x - d / NO = x - c / PM = x - 2c und / weil a: PN = PM: AP (§. 217) / AP = (xx - 2cx): a / folgends DP = HR = (xx-2cx): a - b. Solcher geſtalt iſt x4: a2 - 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 - 2bxx: a + 4bcx: a + bb + x2 - 2dx + dd = bb + dd / das iſt / x4: a2 - 4cx3: a2 + 4c2x2: a2 + 4bcx: a = o - 2bx2: a - 2dx + x2 x3 - 4cx2 + 4c2x + 4abc = o - 2abx - 2a2d + a2x
Hieraus ſehet ihr / daß / wenn die wahre Wurtzel zur Lincken faͤllet / das andere Glied das Zeichen ‒ haben muß. Damit ihr nun auch die Werthe von c / b und d findet / ſo ſetzet x3 - px2 + qx + r = o. Dann iſt- p235der Algebra. - p = - 4c 4 ¼ p = c 4c2 - 2ab + a2 = q a2 + 4c2 - q = 2ab 2a ½ a + 2c2: a - q: 2a = b das iſt / ½ a + p2: 8a - q: 2a = b 4c2 - 2ab + a2 = q 4c2 + a2 + q = 2ab 2a ½a + 2c2: a + q: 2a = b das iſt / ½a + p2: 8a + q: 2a = b 4abc - 2a2 d = r 4abc - r = 2a2d 2bc: a - r: 2a2 = d ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a - r: 2a2 ≡ d 4abc - 2a2d = - r 4abc + r = 2a2d 2a2 2bc: a + r: 2a2 = d ¼p + p3: 16a2 + pq: 4a + r: 2a2 = d Alſo kommet abermal in allen Faͤllen / da - piſt /236Anfangs-Gruͤndeiſt / ſo wol AD als DH / wie es die Regel er - fordert.
Auf gleiche Art koͤnnet ihr die Regel von den Qvadrato-Qvadratiſchen Gleichungen erweiſen.
375. Es wil aber noͤthig ſeyn / daß ich die Con - ſtruction der Cubiſchen und Biqvadratiſchen Æqua - tionen durch Exempel erlaͤutere.
376. Zwiſchen zwey gegebenen Lini - en AB und DC zwey mittlere Propor - tional-Linien zu finden.
Es ſey AB = a DC = b / die geſuchten Li - nien x und y / ſo iſt ∺ a. x. y a: x = y: b ay = x2 (§. 126) ab = xy y = x2: a ab: x = y x2: a = ab: x x3 = a2b Wenn ihr dieſe Æquation in Geometriſche Oerter reduciret (§. 363); ſo findet ihr unter andern den Ort an der Parabel ay = x2 und den Ort an dem Circul y2 - ay = bx - xx / deſſen halber Diameter (§. 352) = V (¼ aa + ¼ bb). Beſchreibet demnach mit demPa -237der Algebra. Parameter a die Parabel / und nehmet inTab. IV. Fig. 34. derſelben AD = ½a / DH = ½b an; ſo koͤnnet ihr den Circul durch A beſchreiben / und iſt PM = x / AP = y / weil a: PM = PM: AP (§. 209).
377. Eine gerade Linie AB / die nachTab IV. Fig. 41. belieben in C getheilet worden / noch ferner in D dergeſtalt zu theilen / daß CD: DB = (AC) 2: (CD) 2.
Es ſey AC = a / CB = b / CD = x / ſo iſt DB = b - x / folgends x: b - x = a2: x2 x3 = a2b - a2x (§. 126) x3 - a2x = a2b Wenn ihr dieſe Æquation in Geometriſche Oerter (§. 363) reduciret / ſo bekommet ihrTab. IV. Fig. 34. unter andern den Ort an der Parabel ay = x 2 und den Ort an dem Circul y2 = bx + x2 deſſen halber Diameter = V ¼ bb = ½b iſt (§. 352). Derowegen wird in gegenwaͤrti - gem Falle DA = o / und ihr doͤrfet nur an dem Scheitel-Puncte der Parabel A den halben Diameter des Circuls perpendicu - lar aufrichten.
378. Jn einem rechtwincklichten Tri - angel BAC / darinnen AC = BD / wird gegeben die groͤſſere Seite AB / die Lini - en AC und BD zufinden.
Es ſey AB = a / AC = BD = x / ſo iſt (AD) 2 = aa - xx. Nun iſt AB: BD = AC: AD (§. 177 Geom.) und demnach AD = x: a / folgends x4: a2 = aa - xx x4 = a2 - a2x2 x4 + a2x2 = a4 Refolviret dieſe Æquation in Geometriſche Oerter (§. 370); ſo findet ihr unter andern den Ort an der Parabel ay = xx und den Ort an dem Circul y2 = a2 - x2 / deſſen hal - ber Diameter a iſt (§. 352). Derowegen geſchiehet die Conſtruction voͤllig / wie in der vorhergehenden Aufgabe.
379. Jn einem rechtwincklichten Tri -Tab. V. Fig. 45. angel A B C wird gegeben das Stuͤcke der Hypotenuſe BD und das Stuͤcke der Grund-Linie BC uͤber dieſes die Per - pendicular-Linie BA; und ſollen diebey -239der Algebra. beyden Seiten BC und AC gefunden werden.
AB = a / BD = b / BC = c / EC = x / AE = y / ſo iſt BC = x + b CD: DE = CB: BA (EC) 2 = (DC) 2 + (DE) 2 x: y = b + x: x cc + yy = xx. ax = by + xy xx - cc = yy ax: (b + x) = y a2x2: (bb + 2bx + xx) = xx - cc a2x2 = b2x2 - b2c2 + 2bx3 - 2bc2x + x4 - c2x2 x4 + 2bx3 + b2 x2 - 2bc2x = b2c2 - a2x2 - c2x2
Nehmet das andere Glied 2bx 2 (§. 301) weg / ſo koͤnnet ihr die vorgegebene Æqua - tion (§. 370) in Geometriſche Oerter redu - ciren und durch Huͤlfe eines Ortes an der Parabel und eines Ortes an dem Circul (§. 144) conſtruiren. Wollet ihr aber die Central-Regel des Bakers brauchen / ſo neh - met a fuͤr den Parameter an / damit die Pa - rabel beſchrieben wird / und weil p = 2b / q = bb - aa - cc / r = 2bcc / ſ = bbcc / ſo iſt AD = ½a + p2: 8-½q (§. 373) = ½a + 4bb:8 -240Anfangs-Gruͤnde8-½bb + ¼aa + ½cc = (weil a = 1) a + ½ cc / hingegen DH = ¼ p + p3: 16 - pq: 4 - ½ r = ½b + 8b3: 16 + 2b3: 4 + 2a2b: 4 + 2bc2: 4 = (weil a = 1 / und alſo 2a2b: 4 = ½ b) b + ½ bcc. Es iſt aber cc die dritte Proportional - Linie zu a und c / weil a = 1.
380. Jhr haͤttet auf eben eine ſolche Art in deñ vorhergehenden Aufgaben durch die Bakeriſche Cen - tral-Regel die Werthe von AD und DH finden koͤnnen. Denn Z. E. es ſey (§. 378) x4 + a2 x2 - a4 = o; ſo iſt p = o / r = a2. Nehmet a fuͤr den Parameter und fuͤr 1 an; ſo iſt a2 = a / folgends AD = ½a - ½ a = o / und DH = ½ a.
Ende des erſten Theiles.
381. Die Differential-Rechnung iſt eine Wiſſenſchafft aus einer gegebe - nen endlichen Groͤſſe eine unendlich klei - ne zufinden / deren unendliche zuſam - men genommen ihr gleich werden.
382. Der Herr Geheime Rath von Leibnitz hat dieſe Rechnung zu erſt gefunden. Es iſt aber zu einerley Zeit der tiefſinnige Geometra Jſaac Nevv - ton in Engelland auf eben dergleichen Gedancken kom - men / wie wol er eine andere Manier hat die unend - lich kleinen Groͤſſen zu exprimiren und auch die Rech - nung ſelbſt mit einem andern Nahmen nennet / nem - lich Methodum Fluxionum.
383. Eine unendlich kleine Groͤſſe iſt diejenige / welche ſo ein geringer Theil von der andern iſt / daß er mit ihr nicht verglichen werden kan.
384. Dannenhero iſt ſie in Anſehung(4) Oder -242Anfangs-Gruͤndederjenigen Groͤſſe / mit welcher ſie nicht ver - glichen werden kan / fuͤr nichts zu halten.
385. Folgends wenn eine unendlich kleine Groͤſſe zu einer andern addiret / oder von ihr ſubtrahiret wird / ſo iſt in dem erſten Falle die Summe / in dem andern die Differentz der gegebenen gleich zu achten / das iſt / eine un - endlich kleine Groͤſſe kan eine endliche weder vermehren noch vermindern.
386. Mercket aber wohl / daß eine unendlich klei - ne Groͤſſe nur in Anſehung einer andern fuͤr nichts zu achtẽ; in ſich aber nicht nichts iſt. Denn bildet euch ein / ihr wollet die Hoͤhe eines Berges meſſen und indem ihr uͤber der Arbeit begriffen waͤret / jagte der Wind ein Koͤrnlein Sand von der Spitze weg. So waͤre der Berg umb den Diameter eines Sand-Koͤrnleins niedriger worden. Allein weil weil die Methode / wodurch die Groͤſſe eines Berges gemeſſen wird / ſo beſchaffen iſt / daß die Hoͤhe einerley gefunden wird / ob das Sandkoͤrnlein liegen bleibet / oder von dem Winde weggejaget wird; kan man das Sand-Koͤrn - lein in Anſehung eines groſſen Berges fuͤr nichts und alſo ſeine Groͤſſe in Anſehung der Groͤſſe des Berges fuͤr unendlich kleine halten. Dieſes hat man ſchon laͤngſt uͤberall in acht genommen / wo man die Geo - metrie auf coͤrperliche Dinge in der Natur applici - ret. Alſo ſetzen wir in der Aſtronomie / der Diame - ter der Erde ſey in Anſehung der Weite von der Son - ne und noch mehr der Fixſterne fuͤr einen Punct oder unendlich kleine zu halten / weil die erſte Bewegung der Sterne ſich eben ſo verhalten wuͤrde / wenn die Er - de wuͤrcklich ein untheilbahrer Punct waͤre. Sohal -243der Algebra. halten wir in den Mond-Finſterniſſen die Erde fuͤr eine vollkommene Kugel und alſo die Hoͤhen der Berge in Anſehung des Diameters der Erde fuͤr un - endlich kleine oder fuͤr nichts; weil der Schatten der Erde ſich auf dem Monden nicht anders praͤſentiren wuͤrde / wenn die Berge nicht da waͤren und die Erde die voͤllige Geſtalt einer Kugel haͤtte. Da nun auch in der Geometrie / da man die Groͤſſen in abſtracto betrachtet / man groſſen Vortheil davon hat / wenn man ſie in unendlich kleine Theile in Gedancken re - ſolviret / das iſt / in ſo kleine / die in Anſehung ihrer fuͤr nichts zu halten ſind / in dem man daraus die end - lichen Groͤſſen oͤfters determiniren und ihre verbor - gene Eigenſchaften auf die allerleichteſte Manier fin - den kan: wer wil es den Geometris verdencken / daß ſie dergleichen vornehmea?
387. Jhr wiſſet aus der gemeinen Geomẽtrie / daß eine Linie beſchrieben wird / wenn ein Punct ſich durch einen gewiſſen Raum beweget; eine Flaͤche / wenn eine Linie; ein Coͤrper / wenn eine Flaͤche ſich bewe - get. Alſo erwachſen die die Groͤſſen / in dem unend - lich viel unendlich kleine Theile nach einander anwach - ſen. Und in dieſer Abſicht nennet ſie Nevton Flu - xionen oder Fluxiones.
388. Wenn die unendlich kleinen Groͤſſen als der Unterſcheid zweyer endlichen angeſehen werden / nennet man ſie Differential-Groͤſſen.
389. Differentiiren heiſſet die Dif -Q 2feren -244Anfangs-Gruͤndeferential-Groͤſſe von einer gegebenen endlichen finden.
390. Die Groͤſſen / welche immer wach - ſen oder abnehmen / in dem andere un - veraͤndert bleiben / heiſſen veraͤnderli - che; die andern aber unveranderli - che Groͤſſen. Alſo ſind in einer Parabel die Abſciſſen und Semiordinaten veraͤnder - liche Groͤſſen / der Parameter aber iſt eine unveraͤnderliche. Denn in dem jene beyden beſtaͤndig wachſen / bleibt dieſer unveraͤndert (§. 204).
391. Da nun die Differential-Groͤſſen die unendlich kleine Theile ſind / welche nach und nach anwachſen / in dem ſie ſich generi - ren (§. 387. 388); ſo haben die unveraͤnder - lichen Groͤſſen keine Differential-Groͤſſe.
392. Nennet die veraͤnderlichen Groͤſ - ſen mit den letzten Buchſtaben des Al - phabets / x / y / z; die unveraͤnderlichen aber mit den erſten a / b / c &c.
393. Die Differential-Groͤſſe von x nennet dx / die von y nennet dy und ſo weiter.
Der245der Algebra.394. Alſo iſt da / oder db / oder dc = o (§. 391).
395. Und die Differential-Groͤſſe von x + y - a iſt dx + dy; die von x - y + a aber dx - dy. Demnach iſt es leicht die Groſſen / wel - che zu einander addiret / oder von einander ſubirahiret ſind / zu differentiiren.
396. Zwey Groͤſſen die einander mul - tipliciren als xy zu differentiiren.
Laſſet x und y umb ihre halbe Differen - tial-Groͤſſe vermehret und vermindert wer - den / ſo kommet im erſten Falle x - ½dx und y - ½ dy / im andern Falle y + ½ dx und x + ½ dy. Multipliciret beyde durch einander in beyden Faͤllen / ſo bekommet ihr xy - ½ ydx - ½ xdy + ¼ dxdy und xy + ½ ydx + ½ xdy + ¼ dx dy: wenn ihr beyde Producte von einanderQ 3ab -246Anfangs-Gruͤndeabziehet / ſo bleibet fuͤr die Differential-Groͤſ - ſe des Rectanguli xy uͤbrig xdy + ydx. W. Z. E.
397. Wenn viel Groͤſſen einander mul - tipliciren / ſo doͤrfet ihr nurzwey oder mehre - re nacheinander als eine anſehen und ihr koͤn - net ſie nach der gegebenen Regel differentii - ren. Z. E. Es ſey xyv zu differentiiren / ſo iſt die Differential-Groͤſſe xydv + xvdy + yvdx. Denn es ſey xy = t / ſo iſt xyv = tv / folgends d (xyv) = tdv + vdt. Nun iſt dt = xdy + ydx. Derowegen wenn ihr fuͤr t und dt die gehoͤrigen Werthe ſetzet / ſo findet ihr tdv + vdt = xydv + vxdy + vydx.
398. Dannenhero findet ihr ferner die Differential-Groͤſſe einer Potentz / wenn ihr ihren Exponenten umb 1 vermindert / und als denn die erniedrigte Potentz in ihren unver - aͤnderten Exponenten und die Differential - Groͤſſe der Wurtzel multipliciret. Nemlich d (x2) = 2xdx / d (x3) = 3x2dx und uͤber - haupt d (xm) = xm-1 dx.
399. Die Differential-Groͤſſe von 2y iſt ady + yda. Nun iſt da = o (§. 394). De - rowegen iſt d (ay) = ady.
400. Weil V x = x1: 2 und uͤberhaupt m V xn = xn: m (§. 43) / ſo iſt die Differential - Groͤſſe von einer Jrrational-Groͤſſe (n: m) xn: m-1dx = (n: m) xn-m,: m dx = (n: m) m V xn-m dx.
401. Wiederumb weil 1: x = x-1 / 1: x2 = x-2 und uͤberhaupt 1: xm = x-m / ſo iſt die Differential-Groͤſſe von 1: x / und 1: x2 / in - gleichen 1: xm = - x-2 dx / - 2x-3dx und - m xm-1 dx.
402. Daß 1: x = x-1 1: x2 = x-2 / 1: x3 = x-3 u. ſ. w. koͤnnet ihr bald begreiffen / wenn ihr nur bedencket / es gehen die Exponenten in einer Arith - metiſchen Verhaͤltnis fort / in dem die Dignitaͤten in einer Geometriſchen fortſchreiten. Nun ſeyñ die Dignitaͤten x2. x. 1. 1: x. 1: x2. 1: x3 / ſo find die Expon. 2. 1. 0. -1. -2. -3.
403. Endlich weil 1: V x = 1: x1: 2 = x-1: 21: Vx3 = 1: x3: 2 = x-3: 2 und uͤberhaupt m 1: V xn = 1: xn: m = x-n: m; ſo ſind die Dif - ferential-Groͤſſen von dergleichen Groͤſſen - ½ x-3 - $$\frac {3}{2}$$ x-5: 2 dx und uͤberhaupt x3 (- n: m) m x-n: m-1 dx = (- n: m) xn-m, m-21 - (n: mVxm+n dx.
404. Zwey Groͤßen / die einander di - vidiren / x: y zu differentiiren.
Es ſey x: y = v ſo iſt x = vy dx = vdy + ydv (§. 396) dx - vdy = ydv das iſt / dx: y - xdy: y2 = dv oder (ydx - xdy): y2 = dv
(1) Multipliciret die Differential - Groͤſſe des Zehlers in den Nenner und (2) des Nenners in den Zehler. (3) Ziehet das letzte Product von dem er - ſten ab. (4) Das uͤbrige dividiret durch das Qvadrat des Nenners.
405. Wenn im Zehler und Nenner viel veraͤnderliche Groͤſſen enthalten / koͤnnet ihr ſie gleichfals nach dergegebenen Regeln dif - ferentiiren / wenn ihr zwey als eine anſehet. Denn es ſey xy: vz zu differentiiren. Se - tzet xy = t und vz = ſ ſo iſt d (xy: vz) = (ſdt-tdſ): ſ2. Nun iſt dt = xdy + ydx und dſ = vdz + zdv (§. 396) Derowegen iſtſdt249der Algebra. ſdt-tdſ = vzxdy + vzy dx-vxydv-xyzdv / folgends d (xy: vz) = (vzxdy + vzydx - xyzdv-xyvdz): v2z2.
406. Wie wir die Regel in der Diviſion gefunden / haͤttet ihr auch alle Regeln finden koͤnnen / die in dem 4. 5 und 6. Zuſatze der vorhergehenden Aufgabe (§. 400. 1. 3 ) auf eine andere Art hergeleitet worden. Denn ſetzet m V xn = v ſo iſt xn = vm nxn-1dx = mvm-1dv (§. 398). nxn-1 dx: mvm-1 = dv m Nun iſt vm -1 = vm: v = xn: V xn / folgends nxn-1 dx 〈…〉 xn: mxn = (n: m) x-1 dx 〈…〉 xn = (n: m) x1 xn: m dx = (n: m) xn: m-1 dx / wie ihr es (§. 400) gefunden.
407. Nach den bisher gegebenen Regeln koͤnnen alle Groͤſſen / ſie moͤgen ausſehen / wie ſie wollen / dif - ferentiiret werden / und und iſt die Rechnung / wie ihr ſehet / einerley / die Groͤſſen moͤgen rational oder irra - tional ſeyn. So findet ihr Z. E. dV (x2 - y2) = d (x2-y2) 1: 2 = ½ (2xdx - 2ydy): (x2-y2) 1: 2 = xdx-ydy,: V (x2-y2) §. 400 / und d V (aa -Q 5y2)450[250]Anfangs-Gruͤndey2) = d (a2-y2) 1: 2 = ½. - 2ydy: (a2-y) 1: 2 = - ydy: V (a2-y2).
408. Damit ihr den Nutzen der Differential - Rechnung in der hoͤheren Geometrie ſehet / ſo muß ich zeigen / wie die Eigenſchafften der krummen Linien dadurch erfunden werden.
409. Weil der Punct / ſo die krummeTab. V. Fig. 46. Linie beſchreibet / in ſeiner Bewegung ſeine Direction beſtaͤndig aͤndert (§. 5. Geom.); ſo kan man ſich die krummen Linien vorſtellen / als wenn ſie aus un - endlich kleinen geraden Linien zuſam - men geſetzt / und daher ein Polygon von unzehlich unendlich kleiner Seiten waͤ - ren. Wenn ihr nun ſetzet / daß eine von dieſen Seiten Mm in eine endliche gerade Linie TM verlaͤngert wird; ſo iſt ſelbige die Tangens der krummen Li - nie.
410. Derowegen zeiget die Tangens die direction, welche der Punct / ſo die krumme Linie beſchrieben / an jedem Theile derſelben gehabt.
411. Die SUBTANGENS iſt die Li -Tab. V. Fig. 46. nie PT / welche zwiſchen der Tangente T M und der Semiordinate PM enthalten iſt.
412. Wenn ihr in dem Puncte der Be - ruͤhrung M eine Perpendicular-Linie MR aufrichtet / biß ſie die Axe in R errei - chet / ſo heiſſet ſie die Normal-Linie; der Theil der Axe aber in H / welcher zwi - ſchen ihr und der Semiordinate PM lie - get / die Subnormal-Linie.
413. Jn einer jeden gegebenen Alge - braiſchen Linie die zu einem gegebenen Puncte gehoͤrige Subtangentem zu fin - den.
Setzet die Semiordinate pm der andernTab. V. Fig. 46. PM unendlich nahe / und ziehet MR mit der Axe HK parallel / ſo iſt MR = Pp (§. 91. Geom.) die Differential der Abſciße AP / m R die Differential der Semiordinate PM (§. 388). Weil nun PM mit pm parallel iſt / ſo iſt der Winckel MmR dem Winckel Tmp gleich (§. 92 Geom.) folgends da bey R und P rechte Winckel ſind (§. 185. 186 ) / MTp = m MR (§. 99. Geom.). Demnach iſt mR: MR252Anfangs-GruͤndeR = PM: PT / (§ 182 Geom.). Setzet nun PM = y / PA = x / ſo iſt MR = dx / mR = dy (§. 39.) / folgends dy: dx = y: pT / u demnach PT = ydx: dy. Wenn ihr nun den Werth von dx aus der Æquation ſubſtituiret / wel - che die Natur einer krummen Linie insbeſon - dere erklaͤhret; ſo verſchwindet dx und dy / und kommet die Subtangens TP in lauter endlichen Groͤſſen heraus. W. Z. F. und Z. E.
414. Es ſey ax = y2 / ſo iſt adx = 2ydy / dx = 2ydy: a / folgends PT = ydx: dy = 2y2dy: ady = 2y2: a = 2ax: a = 2x. Dero - wegen iſt in der Parabel die Subtangens TP zu der Abſciſſe AP wie 2 zu 1.
415. Es ſey fuͤr unendliche Parabeln am-1 x = ym / ſo iſt am-1 dx = mym-1 dy (§. 398.) dx = mym-1 dy: am-1 PT = ydx: dy = mym dy: am-1 dy = mym: am-1 = mam-1 x: am-1 = mx. Wenn alſo m = 3 / ſo iſt PT = 3x / das iſt / in der Parabel von dem andern Geſchlechte iſt PT: AP = 3: 1 &c.
416. Es ſey an xr = ym / ſo iſtran253der Algebrr. ran xr-1 dx = mym-1 dy (§. 398) dx = mym-1dy: ran xr-1 PT = ydx: dy = mym dy: ran xr-1dy = mym: ran xr 1 = man xr: ran xr-1 = mx: r. Setzet z. E. a3x2 = y5 ſo iſt PT = $$\frac {5}{2}$$ x / das iſt / PT: AP = 5: 2.
417. Jn dem Circul iſt ax - xx = yy / und demnach adx-2xdx = 2ydy dx = 2ydy: (a-2x) PT = ydx: dy = 2y2dy: (a-2x) dy = 2y2: (a-2x) = (2ax-xx): (a-2x). Solcherge - ſtalt iſt a-2x: 2a-x = x: PT Weil PT = (2ax-xx): (a-2x) / ſo iſt AT =Tab. V. Fig. 47. (2ax-xx): (a-x) - x = (2ax-xx-ax+xx): (a - 2x) = ax: (a-2x) / folgends BP: 2AP = A B: TA.
418. Es ſey fuͤr unendliche Circul (§. 243) axm - xm+1 = ym+1 ſo iſt maxm-1dx - (m-1) xm dx = (m+1) ymdy dx = (m+1) ym dy: maxm-1 - (m-1) xm PT = ydx: dy = (m + 1) ym+1: maxm-1 - (m-1) km = (m+1) (axm - xm+1):, maxm-1 - (m-1) xm. Dem -254Anfangs-GruͤndeDemnach iſt AT = (m+1) (axm - xm+1):, m axm-1 - (m-1) xm - x = (maxm - mxm+1 + axm - axm+1 + maxm + mxm+1 + xm+-1):, maxm-1 - (m -1) xm = axm+1: (maxm -1 - (m-1) xm). Es ſey ein Circul von dem anderen Geſchlech - te / ſo iſt m = 2 / alſo PT = (3ax2 - x3): (2ax-3x2) und AT = ax2: (2ax-3x2) &c.
419. Jn der Ellipſi iſt ay2 = abx-bx2 (§. 224) und daher 2aydy = abdx-2bxdx dx = 2aydy: (ab-2bx) PT = ydx: dy = 2ay2dy: (ab-2bx) dy = 2ay2: (ab-2bx) = (2abx-2bx2): (ab-2bx). Daher iſt AT = (2abx-2bx2): (ab-2bx) - x = (2abx-2bx2-abx + 2bx2): (ab-2ax) = ax: (a-2x) wie im Circul.
420. Fuͤr unendliche Ellipſes iſt (§. 242) aym+n = bxm (a-x) n und daher (m+n) aym+n-1 dy = mbxm-1 (a-x) n dx-nbxm (a-x) n-1dx (m+n) aym+n-1 dy: (mbxm-1 (a-x) n - nbxm (a - x) n-1) = dx PT = ydx: dy = (m+n) aym+n: (mbxm-1 (a-x) n - nbxm (a-x) n-1) = (mbxm (a-x) n + nbxm(a-x) 255der Algebra. (a-x) n): (mbxm-1 (a-x) n - nbxm (a-x) n-1) = (wenn ihr mit bxm-1 und (a-x) n-1 divi - diret) (m+n) (ax-xx): (ma-mx-nx).
Derowegen iſt AT (m+n, ax-xx): ma-mx - nx) - x = (max-mx2 + nax-nx2-max + m2 x2 + nx2): (ma-m-xnx) = nax: (ma-mx - nx).
Es ſey Z. E. eine Ellipſis von dem andern Geſchlechte / ſo iſt m = 2 / n = 1 (§. 242) / PT = (3ax-3xx): (2a-3x) / AT = ax: (2a-3x)
421. Fuͤr eine Hyperbel iſt ay2 = abx+bxx und daher findet ihr wie §. 419 PT = (2ax + 2xx): (a + 2x) und AT = ax: (a+2x).
422. Fuͤr unenendliche Hyberbeln iſt aym+n = bxm (a-x) n (§. 265). Derowegen fin - det ihr wie §. 420 PT = (m+n) (ax + xx): (ma + mx + nx) und AT = ax: (ma + mx + nx).
423. Fuͤr eine Hyperbel zwiſchen ihren A - ſymptoten iſt xy = aa (§. 265)
Daher xdy + ydx = o (§. 394. 396). ydx = - xdy PT = ydx: dy = - xdy: dy = - x.
Alſo iſt die Subtangens der Abſciſſe gleich / muß aber / weil - x iſt / ihrem Uhrſprunge ent -ge -256Anfangs-Gruͤndegegen geſetzt werden / das iſt / wenn der Punct / wovon die Abſciſſen gerechnet wer - den / zur Lincken der Semiordinate iſt / ſo wird die Subtangens auf der Axe zu ihrer Rech - ten genommen.
424. Fuͤr unendliche Hyperbeln zwiſchen ihren Aſymptoten iſt am+n = yxn (§. 266) Daher o = mxn ym-1 dy+nxn-1ym dx - mxn ym-1dy: nxn 1ym = dx PT = ydx: dy = - mxn ym: nxn -1 ym = - mx: n. Es ſey eine Hyperbel von dem andern Ge - ſchlechte / ſo iſt m = 2 / n = 1 / PT = - 2x.
425. Endlich weil fuͤr alle Algebraiſche Li - nien aym + bxn + cyr xſ + f = o / ſo iſt maym-1 dy + nbxn-1 dx + rcyr-1xſ dy + ſcyr xſ-1 dx = o nbxn-1 dx + ſcyr xſ-1 dx = - maym-1dy-rcyr-1 xſ dy dx = (- maym-1 dy-rcyr-1xſ dy): (nbxn-1 + ſcyr xſ-1) PT257der Algebra. PT = ydx: dy = (- maym - rcyr): (nbxn-1 + ſcyr xſ-1) nach welcher Regel alleꝛ Algebra - iſchen Linien Subtangentes gefunden wer - den / wenn ihr fuͤr die undeterminirte Buchſtaben a / c / b und die Exponenten m / n / r / ſ ihren Werth aus ihrer Gleichung ſetzet. Z E. Weil fuͤr die Parabel vom erſten Geſchlechte ax = y2 / oder y2 - ax = o ſo iſt aym = y2 bxn = - ax cyr xſ = o f = o a = 1 m = 2 b = - a n = 1 c = o r = o ſ = o daher PT = (- 2. 1y2 - 0. 0yo): (- 1. ax1.1 + 0. 0yo xo) = - 2y2: - a = 2ax: a = x.
Wiederumb es ſey y3 - x3 - axy = o / ſo iſt aym = r3 bxn = - x3 cyr xſ = - axy f = o a = 1 m = 3 b = -1 n = 3 c = - a r = 1 ſ = 1 daher PT = (- 3. 1y3-1. - ay): (3. -1x3-1 + 1. - ay) = (- 3y3 + axy): (- 3x2 - ay) = (3y3 - ay): (3x2 + ay): folgends AT = (3y3 - ay): (3x2 + ay) - x = (3y3 - axy - 3x2 - axy): (3x2 + ay) = (3axy - 2axy): (3x2 + ay) = axy: (3x2 + ay).
425. Wenn ihr die Subtangentem PT habet / koͤnnet ihr auch die Tangentem TM ziehen.
426. Weil pT = ydx: dy / PM = y / ſo(4) Riſt258Anfangs-Gruͤndeiſt TM = V (y2dx2: dy2 + y2) = V (y2dx2 + y2dy2:, dy2) = yV (dx2 + dy2): dy.
427. Die Subnormal-Linie PH in ei - ner Algebraiſchen Linie zu finden.
Weil der Triangel TMH bey M recht - wincklicht iſt / ſo iſt TP: PM = PM: PH (§. 195 Geom.) (ydx: dy): y = y: PH.
Derowegen PH = y2dy: ydx = ydy: dx. Wenn ihr demnach aus der Æqua - tion fuͤr eine beſondere Linie den Werth von dy durch x exprimiret; ſo bekommet ihr die Subormal-Linie / wie vorhin die Subtan - gentem, in lauter endlichen Groͤſſen.
428. Es ſey ax = y2 / ſo iſt adx = 2ydy ½ adx = ydy PH = ydy: dx = adx: 2dx = ½a Demnach iſt in der Parabel die Subnor - mal-Linie beſtaͤndig dem halben Parameter gleich / folgends die Normal-Linie MH = V (y y+¼aa) = V (ax+¼aa). Nun iſt die Linie / die aus dem Brenn-Puncte in M gezogen wird / = x+¼ a. Derowegen iſt das Qvadrat der Nor -mal -259der Algebra. mal-Linie gleich einem Rectangulo aus dem Parameter in die Linie / ſo aus dem Brenn - Puncte an das Ende der Semiordinate ge - zogen wird.
429. Eben ſo findet ihr die Subnormal-Linie in allen anderen Faͤllen / und durch deren Huͤlfe koͤnnet ihr aus jedem gegebenen Puncte einer Algebraiſchen Linie eine Perpendicular-Linie HM aufrichten. Z. E. im Circul iſt ax - xx = y2 adx-2xdx = 2ydy ½adx - xdx = ydy PH = ydy: dx = ½a - x. Daher iſt klahr das alle Normal-Linien in dem Circul durch das Centrum gehen / oder / daß alle Radii des Circuls auf der Periphe - rie perpendicular ſtehen und demnach die Tangens des Circuls mit dem Radio einen rechten Winckel macht. Woraus erhellet / daß / wenn ihr die Tangentes, Subtangen - tes, Normal - und Subnormal-Linien ſu - chet / dadurch noch viele andere Eigenſchaf - ten der krummen Linien gantz leichte entde - cket werden / die ſonſt einen ſehr weitlaͤufti - gen Beweiß erfordern.
430. Weil PH = ydy: dx / ſo iſt MHR 2= V260Anfangs-Gruͤnde= V (y2 + y2dy2: dx2) = V (y2dx2 + y2dy2 /: dx2) = yV (dx2 + dy2): dx.
431. Dannenhero iſt TM: MH = yV (dx2+dy2): dy /: yV (dx2 + dy2): dx = dy: dx.
432. Die Aſymptoten einer Algebrai - ſchen Linie zu determiniren.
Z. E. Jn der Hyperbel iſt AT = ax: (a + 2x) und demnach a in Anſehung x unendlich kleine / folgends ax: 2x = ½ a = AC / wie ſchon oben (§. 260) auf andere Art erwie - ſen worden.
2. Laſ -261der Algebra.Z. E. Jn der Hyberbel iſt ay2 = bx (a + x). Da nun a in Anſehung x unendlich kleine iſt / ſo habet ihr ay2 = bx2 / folgends yV a = xVb dyVa = dxVb dx: dy = V a: V b Nun iſt dx: dy = AC: AE (§. 182 Geom) das iſt Va: Vb = ½a: AE. Demnach iſt AE = ½aV b: V a = V¼aa b: V a = V¼ab / wie abermal oben (§. 260) ſchon auf andere Art erwieſen worden.
433. Jn unendlichen Hyperbeln iſt uͤber - haupt AT = ax: (ma+mx + nx). Daher AC = nax: (mx + nx) = na: (m + n). Und weil ferner aym+n = bxm (a + x) n ſo iſt aym+n = bxm+n oder / wenn ihr m + n = r ſetzetR 3ay -262Anfangs-Gruͤndeayr = bxr ya1: r = xb1: r dya1: r = dxb1: r dx: dy = a1: r: b1: r = AC: AE a1: r: b1: r = (na: r): AE Derowegen iſt AE = nab1: r: ra1: r = nar-1,: r b1-r: r = (n: r) 〈…〉 ar-1b.
404. Die Subtangentem AH in einer Spiral-Linie zu finden.
Es ſey der halbe Diameter des Eirculs AB = a / die Peripherie = b / der Bogen BC = x / AG = y / ſo iſt CD = dx / EF = dy. Weil nun AC der Linie AD un - endlich nahe iſt / ſo koͤnnet ihr EG als einen Bogen anſehen / der mit dem halben Dia - meter AG beſchrieben worden. Demnach iſt AD: AG = CD: EG a y dx ydx: a Weil EG mit FA einen rechten Winckel macht (§. 429) und AH iſt gleichfals auf EA perpendicular aufgerichtet worden; ſo iſt (§. 182. Geom.)
FE:263der Algebra.FE: EG = GA: AH dy ydx: a y y2dx: ady Nun iſt fuͤr die Archimediſche Spiral-Linie ax = by (§. 272). daher adx = bdy dx = bdy: a AH = y2dx: ady = by2: a2 = axy: a2 = xy: a
405. Alſo koͤnnet ihr die Subtangentem nicht finden / ihr muͤſſet vorher den Circul - Bogen x in eine gerade Linie verwandeln koͤnnen.
406. Fuͤr unendliche Spiral-Linien iſt am xn = bn ym (§. 273) nam xm-1dx = mbn ym-1 dy dx = mbn ym-1dy: nam xm-1 AH = y2dx: ady = mbn ym+1: nam + 1 xn-1 = mam xn y: nam+1xn-1 = mxy: na.
407. Setzet / daß der Bogen BC ſich zu FC verhalten ſolle wie die Abſciſſe in ei - ner Algebraiſchen Linie zu ihrer Semiordi -R 4nate.264Anfangs-Gruͤndenate. Solcher geſtalt iſt BC = x / CD = dx / FC = y / EF = dy.
Nun iſt AD: AG = CD: EG r r - y dx (rdx-ydx): r FE: EG = GA: AH dy (rdx-ydx): r r-y (r-y) 2 dx: rdy Wenn ihr nun fuͤr dx in dem Werthe von AH ſeinen Werth aus der Æquation einer Al - gebraiſchen Linie ſetzet; ſo habet ihr die Subtangentem AH.
Z. E. Jn der Parabel iſt ax = y2 / und alſo dx = 2ydy: a Derowegen wenn der Bogen BC die Abſciſſe einer Parabel / FC die Semiordinate und a ihren Parameter vorſtellet; ſo iſt AH = 2 (r-y) 2 ydy: ady = (2r2y - 4ry2 + y3): a = (2r2y - 4arx + axy): a = xy - 4rx + 2r2y: a.
408. Jhr koͤnnet BC fuͤr die Abſciſſe und FC fuͤr die Semiordinate einer jeden Algebraiſchen Linie an - nehmen / und aus der allgemeinen Æquation fuͤr alle krumme Linien einen allgemeinen Werth fuͤr AH fin - den.
409. Die Subtangentem AT in der Conchoide des Nicomedis zu finden.
Richtet AT auf AM perpendicular auf /und265der Algebra. und ziehet Am mit aM unendlich nahe. Laſ - ſet uͤber dieſes die beyden Perpendicular-Li - nien MR und PQ fallen. Nun ſey AH = b / PM = a / AM = y / AP = x / ſo iſt x-y = a (§. 276) und Qp = dx / Rm = dy. Nun ſind bey Q und A rechte Winckel. MPp = HP A (§. 58 Geom.) / MPp = PAp + PpA = P pA / weil PAp unendlich kleine iſt (§. 385) / fol - gends iſt auch QPp = AHP (§. 99 Geom.) und daher (§. 182 Geom.). AP: AH = PQ: PQ x b dx bdx: x Nun iſt ferner (§. 177 Geom.) AP: PQ = AM: MR x bd: x y bydx: x2 Endlich weil wie vorhin erwieſen werden kan / daß jeder Winckel in dem Triangel MRm ſo groß iſt wie jeder in dem andern TAM / ſo habet ihr (§. 182 Geom.). Rm: RM = AM: AT dy bydx: x2 y by2dx: x2dy Weil nun in der Conchoide des Nicome - dis y-x = a ſo iſt y = a + x dy = dxR 5AT266Anfangs-GruͤndeAT = by2dx: x2 dy = by2: a2.
410. Die Subtangentem PT in der Cy - cloide zu finden.
Es ſey APB der Circul / der die Cycloidem beſchreibet / KP die Tangens des Circuls / qm der andern Linie QM unendlich nahe und M R mit dem unendlich kleinen Bogen Pp paral - lel / den ihr fuͤr eine gerade Linie halten koͤn - net. Da nun MS = Po und der Winckel bey R ſo groß wie der bey pO (§. 92 Geom.) folgends weil bey S und O rechte Winckel ſind M = P (§. 99 Geom.) ſo iſt auch MR = Pp (§. 68 Geom). Es ſey AP = x / PM = y / ſo iſt Pp = MR = dx / mR = dy. Nun iſt MR mit MT parallel / und daher MmR = TMP (§. 92 Geom.). Und weil MR mit TP paral - lel iſt / ſo iſt mRM = mPT ≡ MPT (§. cit. ) folgends mMR = MTP (§. 99 Geom.) und daher (§. 182 Geom.) mR: MR = PM: PT dy dx y ydx: dy Nun iſt in der Cycloide (§. 286) y = x und da - her dy = dx / ſolgends ydx: dy = y.
411. Wenn ihr alſo die Tangentem des Circuls TK (§. 429) ziehet; ſo iſt es auch leich - te die Tangentem der Cycloidis TM zuzie - hen.
412. Laſſet APB eine andere Algebraiſche krumme Linie ſeyn / derer Tangentem ihr ziehen koͤnnet / ihre Bogen aber AP die Ab - ſciſſen der Tranſcendentiſchen Linie AMC; ſo koͤnnet ihr auf gleiche Weiſe ihre Tangentes ziehen. Es ſey Z. E. bx = ay ſo iſt bdx = ady dx = ady: b PT = ydx: dy = aydy = ay: b.
413. Die Subtangentem TP zu der Lo -Tab. V. Fig. 51. garithmiſchen Linie zu finden.
Es ſey AX die Axe / PM die Ordinate. Setzet AP = x / PM = y / ſo iſt Pp = RM = dx / mR = dy und weil die Aehnlichkeit der Triangel mRM und PMT wie oben §. 413 erwieſen werden kan; ſo iſt (§. 182 Geom.) mR: RM = PM: PT dy dx y ydx: dy Setzet eine andere Abſciſſe = v / die zugehoͤri - ge Semiordinate = z: ſo iſt die Subtangens = zdv: dz. Weil die Abſciſſen in einerA -268Anfangs-GruͤndeArithmetiſchen Progreßion fortgehen / ſo iſt dx = dv. Hingegen weil die Semiordi - naten in einer Geometriſchen fortſchreiten (§. 284) / ſo iſt y: y + dy = z: z + dz daher y: dy = z: dz (§. 130) dx = dv ydx: dy = zdv: dz
Alſo ſind in der Logarithmiſchen Linie alle Subtangentes einander gleich / oder die Sub - tangens iſt eine unveraͤnderliche Linie.
414. Wenn die Semiordinaten bis zu einem gewiſſen Ziele immer mit den Abſciſſen wachſen / hernach aber wieder abnehmen / unerachtet dieſe noch be - ſtaͤndig zunehmen; ſo nennet man die Groͤſte diejenige / wo der Wachsthum aufhoͤret. Jngleichen wenn ſie bis auf ein gewiſſes Ziel immer abnehmen / in - dem die Abſciſſen zunehmen / und her - nach mit dieſen fortwachſen / ſo heiſſet diejenige die Kleineſte / wo die Verge - ringerung aufhoͤret. Die Methode einen Werth der Abſciſſe in lauter un -ver -269der Algebra. veraͤnderlichen Groͤſſen zu finden / dem die groͤſte oder kleineſte Applicate oder Semiordinate zukommet / nennet man die Methode von den Groͤſten und den Kleineſten. (Methodum de maximis & minimis).
415. Man kan durch dieſe Methode auch viel an - dere Fragen aufloͤſen / da das groͤſte oder kleineſte un - ter Dingen von einer Art geſucht wird; wie es dir folgenden Exempel zeigen werden.
416. Die groͤſte oder kleineſte Appli -Tab. V. Fig. 47. cate in einer Algebraiſchen Linie zu de - terminiren.
Es iſt klahr / daß die Tangens in dem Puncte D / wo die groͤſte oder kleineſte Appli - cate iſt / mit der Axe parallel laufft / und daher die Subtangens unendlich groß iſt; wenn nun in allen Algebraiſchen Linien die Sub - tangens ydx: dy (§. 413) unendlich groß wird; ſo iſt dy in Anſehung des Zehlers ydx unendlich kleine / weil er dy unendlich mal in ſich begreiffen muß / und darumb dy = 0 (§. 384). Suchet derowegen aus der gegebe - nen Æquation fuͤ die krumme Linie die Dif - ferential-Groͤſſe der Applicate und ſetzet ſie = 0; ſo koͤnnet ihr aus dieſer Æquation den Werth von x durch gehoͤrige Reduction fin - den.
Jn270Anfangs-GruͤndeJn einigen Linien faͤllet die Tangens in die Applicate DE und alsdenn iſt die Sub - tangens ydx: dy = 0. Wenn nun dieſer Bruch unendlich kleine ſeyn ſoll / ſo muß dy unendlich groß ſeyn in Anſehung des Zeh - lers ydx. Dannenhero wenn dy = 0 keinen moͤglichen Werth fuͤr die Abſciſſe zur groͤſten Applicate giebet; ſo ſetzet dy = ∞ / das iſt / einem unendlichen Werthe / und ſuchet aus dieſer Gleichung die Abſciſſe x.
417. Jm Circul iſt ax-xx = y2 adx-2xdx = 2ydy (adx-2xdx): 2y = dy = 0 a-2x = 0 2 ½a = x Die Abſciſſe / welche in dem Circul der groͤ - ſten Applicate zugehoͤret; iſt dem halben Dia - meter gleich.
418. Fuͤr unendliche Circul iſt maxm-1 dx - (m-1) xmdx = (m+1) ymdy = 0 maxm-1 = (m-1) xm xm-1 ma = (m-1) xma271der Algebrr. ma: (m-1) = x Es ſey m = 3 / ſo iſt es ein Circul von dem drit - ten Geſchlechte und x = $$\frac {3}{2}$$ a.
419. Fuͤr unendliche Ellipſes iſt (m+n) aym+n-1 dy = mbxn-1 (a-x) n dx-nbxm (a-x) n-1 dx dy = mbxm-1 (a-x) n dx-nbxm (a-x) n-1 dx,: (m+n) aym+n-1 = 0 nbxm - (a-x) n-1 = mbxm-1 (a-x) n nbx = mba-mbx nbx + mbx = mba x = ma: (m+n)
Es ſey m = 1 / n = 1 / ſo iſt es eine Ellipſis von dem erſten Geſchlechte und x = ½a / wie im Circul. Hingegen ſey m = 2 / n = 1 / ſo iſt es eine Ellipſis von dem andern Geſchlech - te und x = ⅔a.
420. Es ſey y3+y3 = axy ſo iſt 3x2dx + 3y2dy = axdy + aydx 3x2dx-aydx = axdy - 3y2dy (3x2dx-aydx): (ax-3y2) = dy = 03x 2272Anfangs-Gruͤnde3x2 = ay 3x2: a = y x3+27x6: a3 = 3ax3: a = 3x3 27x6 = 2a3x3 27x3 = 2a3 3x = a $$\sqrt [3] {} 2$$ x = ⅓ a $$\sqrt [3] {} 2$$
421. Es ſey y-a = a1: 3 (a-x) 2: 3 dy = - 2dxa1: 3: 3 (a-x) 1: 3 = 0 - 2a1: 3 = 0 Weil ihr keinen Werth von x findet / wenn ihr dy = 0 ſetzet / ſo nehmet dy = - 2dxa1: 3: 3 (a-x) 1: 3 = ∞ Alſo iſt 3 (a-x) 1: 3 in Anſehung ſeines Zehlers 2dxa 1: 3 unendlich kleine. Darumb habet ihr 3 (a-x) 1: 3 = 0 a-x = 0 a = x
422. Aus dem gegebenen Puncte R inTab. II. Fig. 15. der Axe einer krummen Linie an die Peripherie eine gerade Linie NR zie - hen / welche die kleineſte unter allen iſt / die ſich aus dieſem Puncte ziehen laſſen.
Es ſey AP = x / PM = y / AR = c / ſo iſt PR = c-x / und / weil (PM) 2 + (PR) 2 = (MR) 2 (§. 167 Geom.) / c2 - 2cx + xx + yy = (MR) 2 Nehmet MR an als die Applicate einer krum - men Linie und ſetzet c2 - 2cx + xx + yy = z2 ſo iſt 2xdx - 2cdx + 2ydy = 2zdz (2xdx - 2cdx + 2ydy): 2z = dz = 0 xdx-cdx + ydy = 0
Wenn ihr nun aus der Æquation fuͤr ei - ne krumme Linie den Werth von ydy ſubſti - tuiret; ſo koͤnnet ihr daraus AP determini - ren / der die Applicate PN zu gehoͤret / dahin die kuͤrtzeſte Linie NR gezogen wird.
423. Es ſey fuͤr eine Parabel ax = yy ſo iſt adx = 2ydy(4) S½ adx274Anfangs-Gruͤnde½adx = ydy xdx - cdx + ydy = xdx - cdx + ½adx = 0 x-c+½a = 0 x = c-½a.
424. Es ſey fuͤr eine Ellipſin ay2 = abx - bx2 ſo iſt 2aydy = abdx - 2bxdx 2a ydy = ½bdx - bxdx: a xdx - cdx + ydy = xdx - cdx + ½bdx - bxdx: (a = 0 x - c + ½b - bx: a = 0 ax - ac + ½ab - bx = 0 ax - bx = ac - ½ ab a-b x = (ac - ½ab): (a-b)
425. Auf gleiche Weiſe findet ihr fuͤr die Hyperbel / daß x = (ac + ½ ab): (a + b).
426. Eine Linie AB dergeſtalt in Ezu275der Algebra. zu ſchneiden / daß das Product aus demTab. V. Fig. 49. Qvadrate des einen Theiles AE in den andern EB das groͤſte ſey unter allen / die auf dergleichen Art formiret werden koͤnnen.
Es ſey AB = a / AE = x / ſo iſt (AE) 2. EB = axx - x3. Setzet demnach / es ſey eine krumme Linie / in welcher axx - x3 = aay ſo iſt 2axdx - 3x2dx = aady (2axdx - 3x2dx): aa = dy = 0 2ax = 3x2 ⅔a = x
427. Eine Linie AB dergeſtalt in ETab. V. Fig. 49 zu ſchneiden / daß das Product aus ei - ner gegebenen Dignitaͤt des einen Thei - les AE in eine gegebene Dignitaͤt des an - dern Theiles EB das groͤſte unter allen ſey / die auf dergleichen Art formiret werden.
Es ſey AB = a / AE = x / ſo iſt xm (a - x) 2 das groͤſte von ſeiner Art. Setzet dem - nachS 2xm276Anfangs-Gruͤndexm (a-x) n = am+n-1y ſo iſt mxm-1 (a-x) n dx-nxm (a-x) n-1 dx = (am+n-1dy (mxm-1 (a-x) n dx - nxm (a-x) n-1dx): am+n-1 (= dy = 0 mxm-1 (a-x) n = nxm (a-x) n-1 m (a-x) n = nx (a-x) n-1 ma-mx = nx ma: (m+n) = x
428. Unter allen Parallelepipedis, die einem gegeben Wuͤrfel gleich ſind / und deren eine Seite gegeben wird / dasje - nige zufinden / das die geringſte Flaͤche hat.
Es ſey b die eine Seite / x die andere / der gegebene Wuͤrfel = a3 / ſo iſt die dritte = a3: bx.
Folgends die Flaͤche des Parallelepipedi 2bx + 2a3: x+2a3: b. Setzet demnach es ſey in einer krummen Linie 2bx + 2a3: x + 2a3: b = ayſo277der Algebra. ſo iſt 2bdx - 2a3dx: x2 = ady = 0 2b-2a3: x2 = 0 bx2 = a3 x2 = a3: b x = V (a3: b)
Alſo ſind die drey Seiten b / V (a3: b) und a3: b V (a3: b) = V (a6: V (b2a3: b)) = V (a6 b: V (a3b2)) = V (a3: b).
429. Unter allen Parallelepipedis, die einem gegebenen Wuͤrfel gleich ſind / dasjenige zufinden / ſo die kleineſte Flaͤ - che hat.
Es ſey der gegebene Wuͤrfel = a 3 / die ei - ne Seite = x / ſo ſind die beyden andern Sei - ten (§. 428) V (a3: x) / und daher iſt die Flaͤ - che des Parallelepipedi = 2a3: x + 4 V a3x. Da nun dieſes die kleineſte von ihrer Art iſt / ſo ſetzet die Æquation fuͤr eine krum - me Linie 2a3: x + 4V a3x = ay ſo iſt - 2a3dx: x + 2a3dx: V a3x = ady - 2a2dx: x2 + 2a2dx: V a3x = 0S 3a 2:278Anfangs-Gruͤndea2: V a3x = a2: x2 x2 = V a3x x4 = a3x x3 = a3 x = a
Alſo hat der Wuͤrfel ſelbſt die kleineſte Flaͤche.
430. Unter allen Kegeln / die inner - halb einer Kugel beſchrieben werden koͤnnen / denjenigen zu determiniren / der die groͤſte Flaͤche hat.
Es iſt klahr / daß / wenn ſich ein halber Cir - cul umb ſeinen Diameter AB wendet / derſel - be eine Kugel / die Triangel aber ANP / AFE / &c. Kegel beſchreiben. Die Flaͤche des Kegels kommet heraus / wenn ihr die Seite des Kegels FE durch die Peripherie / die mit dem Radio TE beſchrieben worden / multi - pliciret. Weil ihr nun die groͤſte von ihrer Art ſuchet / ſo ſetzet AE = x / AB = a / und es iſt FE = V (ax-xx) (§. 195 Geom.) die Peripherie mV (ax-xx) AF = V ax. Derowegen habet ihr die Æquation fuͤr ei - ne krumme Linie
m279der Algebra.mV (ax-xx) V ax = ay mV (a2x2-ax3) = ay 2ma2xdx-3max2dx: mV (a2x2-ax3) = ady 2ax-3x2 = 0 2a = 3x2 ⅔a = x
Ende des andern Theiles.
431. Die Jntegral-Rechnung iſt ei - ne Wiſſenſchaft aus einer gegebenen unendlich kleinen Groͤſſe diejenige end - liche zufinden / durch deren Differentii - rung ſie entſtehet.
432. Derowegen habet ihr eine gewiſſe Probe ob ihr die rechte Groͤſſe gefunden / wenn ihr die gefundene Jntegral nach den oben gegebenen Regeln differentiiret und die gegebene Differential wieder heraus kom - met.
433. Jntegriren oder Summiren heiſſet die Groͤſſe finden / aus welcher durch Diſſerentiirung die gegebene un - endlich kleine entſtanden.
434. Eine gegebene Differential zu integriren oder ſummiren.
Auf -281der Algebra.Gleichwie man die Differentiale der ver - aͤnderlichen Groͤſſen durch d andeutet; ſo pfle - get man die Jntegrale derſelben als die Summe unendlicher unendlich kleiner Groͤſ - ſen durch ſ anzudeuten. Daher heiſſet ſydx ſo viel als die Jntegral von ydx.
Wann ihr nun die Jntegral finden wollet / ſo vergleichet die gegebene Differential mit denen / ſo ihr oben (§. 393 & ſeqq. ) gefunden: ſo werdet ihr bald wahrnehmen / wie die Veraͤnderung vorzunehmen ſey. Es iſt a - ber I. ſdx _ _ = x II. ſ (dx+dy) _ _ = x+y+a oder x+y III. ſ. (xdy+ydx) _ _ = xy IV. ſmxm-1dx _ _ = xm V ſ (n: m) xn-m,: m dx = xn: m VI. (ydx-xdy): y2 = x: y Von dieſen Formeln ſeyd ihr gewiß / daß ſie ſich alle integriren laſſen / und zwar ſetzet ihr in dem andern und erſten Falle nur an ſtat dx oder dy die veraͤnderliche Groͤſſe x oder y ſelbſt. Jn dem dritten multipliciret ihr die beyden veraͤnderlichen Groͤſſen xy durch ein - ander / dadurch ihre Differentiale dy und dx multipliret ſind. Jn dem vierdten und fuͤnff - ten (welcher der gewoͤhnlichſte iſt) addiret ihr zu dem Exponenten der Dignitaͤt der ver - aͤnderlichen Groͤſſe 1 und durch den vermehr -S 5ten282Anfangs-Gruͤndeten und die Differential der veraͤnderlichen Groͤſſe dividiret ihr die gegebene Differen - tial. Endlich in dem ſechſten Falle nehmet ihr die veraͤnderliche Groͤſſe mit dem Zeichen - fuͤr den Zehler und die Wurtzel von dem Qvadrate des Nenners fuͤr den Nenner an.
435. Es koͤnnen zwar noch viel andere Faͤlle vor - kommen / die hier nicht beruͤhret werden: allein ihr werdet es beſſer aus folgenden Exempeln / als durch weitlaͤuftige Regeln finden.
436. Mercket aber daß einige Groͤſſen ſind / die ſich nicht integriren laſſen. Denn wie man in der ge - meinen Algebra zwar alle Groͤſſen zu einer verlangten Dignitaͤt erheben / nicht aber aus jeder Dignitaͤt eine verlangte Wurtzel ausziehen kan; eben ſo kan man in der hoͤheren Analyſi zwar eine jede veraͤnderliche Groͤſſe differentiiren / allein nicht eine jede Differen - tial ſummiren. Gleichwie man aber in der gemei - nen Algebra die Wurtzel durch Naͤherung ſuchet / e - ben ſo pfleget man in der hoͤheren die Jntegral durch Naͤherung zu ſuchen / wo man ſie nicht vollkommen haben kan. Allein zur Zeit hat man noch keine Re - gel / daraus man ſchlieſſen koͤnte / ob die Summation ſtat findet oder nicht / und koͤnnen wohl einige Diffe - rentiale zum Summiren geſchickt ſeyn / die wir zur Zeit noch nicht ſummiren koͤnnen.
437. Die Differential oder dasEle -283der Algebra. Element einer ebenen Flaͤche / die in ei -Tab. V. Fig. 46. ne krumme und zwey gerade Linien ein - geſchloſſen / als AMP / iſt das Rectangu - lum aus der Semiordinate PM in die Differential der Abſciſſe Pp.
438. Derowegen wenn die Semiordina - te PM = y / AP = x / ſo iſt Pp = dx und das Rectangulum PMRP = ydx.
439. Weil die Semiordinaten PM und pm einander unendlich nahe ſind / ſo iſt ihre Differentz mR in Anſehung ihrer nichts (§. 385) und daher das Rectangulum PMRp dem Trapezio PMmp gleich. Da ihr nun die Figur in unendlich ſolche Trapezia reſol - viren koͤnnet; ſo iſt ſydx der Jnhalt der Flaͤ - che AMP.
440. Derowegen wenn ihr aus der Æ - quation fuͤr eine krumme Linie den Werth von y ſubſtituiret / und ihr koͤnnet die Diffe - rential der Flaͤche integriren; ſo habet ihr die Qvadratur der Flaͤche gefunden.
441. Den Jnhalt eines Triangels zu finden.
Wenn ihr die krumme Linie AM als einegera -284Anfangs-Gruͤndegerade anſchet / ſo iſt AMP ein Triangel / und daher auch ſein Element ydx. Setzet nun die Hoͤhe des Triangels / davon x ein Theil iſt / = a / die Grundlinie / welche mit PM oder y parallel iſt / = b; ſo iſt (§. 177 Geom.) a: b = x y folgends ay = bx y = bx: a ydx = bxdx: a ſydx = bx2: 2a (§. 434) Wenn ihr nun den gantzen Triangel verlan - get / ſo ſetzet fuͤr den Theil der Hoͤhe x / die gantze Hoͤhe a und ihr findet den Jnhalt ba2: 2a = ½ab.
442. Dieſes Exempel habe ich nur zu dem Ende gegeben / damit ihr ſehet / daß durch die Jntegral - Rechnung / deren Gruͤnde den Anfaͤngern zuerſt zwei - felhaft ſcheinen / eben das gefunden wird / was in der gemeinen Geometrie aus andern Gruͤnden erwieſen worden.
443. Die Parabel zu qvadriren.
Jn der Parabel iſt ax = y2 a½x½ = yydx285der Algebra. ydx = a½x½dx ſydx = ⅔a½x $$\frac {3}{2}$$ = ⅔ V ax3 = ⅔V (x2 y2) = ⅔ xy.
444. Alſo verhaͤlt ſich der Raum in der Parabel AMP zu dem Rectangulo aus der Semiordinate PM in die Abſciſſe AP wie ⅔ xy zu xy / das iſt wie 2 zu 3.
445. Unendliche Parabeln auf ein - mal zu qvadriren.
Fuͤr unendliche Parabeln und noch an - dere Linien iſt amxn = yr am: rxn: r = y ydx = am: r xn: r dx ſydx = (r:, n+r) am: rxn+r,: r = (r:, n+r) yx Z. E. Es ſey eine Parabel von dem andern Geſchlechte / ſo iſt a2x = y3 / daher r = 3 / n = 2 / folgends ſydx = ⅗xy.
446. Eine Linie zu qvadriren / in wel - cher xy3 = a4.
Auf -286Anfangs-GruͤndeWeil xy3 = a4 ſo iſt y3 = a4: x = a4x-1 y = a4: 2 x1: 3 ydx = a4: 3 x1: 3 dx ſydx = $$\frac {3}{2}$$ a4: 3 x2: 3 = $$\frac {3}{2}$$ $$\sqrt [3] {}$$ a4x2.
447. Die krumme Linie des Carteſii (Tom. 3. Epiſt. p. 219.) zu qvadriren / in welcher b2: x2 = b-x: y.
Weil b2y = bx2 - x3 ſo iſt y = (bx2-x3): b2 ydx = (bx2dx-x3dx): b2 ſydx = x3: 3b-x4: b2
448. Die krumme Linie zu qvadriren / deren Æquation iſt x[y5]+ a x4 + a2x〈…〉〈…〉 + a3 x2+a[5]= a4y.
Weil y — x5: a4 + x4: a3 + x3: a2 + x2: + a ſo iſt ydx = (x5: a4 + x4: a3+x3: a2 + x2: a+a) dxſydx287der Algebra. ſydx = x6: 6a4 + x5: 5a3+x4: 4a2+x3: 3a + ax.
449. Eine krumme Linie zu qvadri - ren / deren Æquation y2 = x4 + a2x2.
Weil y2 = x4 + a2 x2 ſo iſt y = V (x4 + a2x2) = xV (x2+a2) ydx = xdx� (x2+a2)
Damit dieſes Element zum integriren ge - ſchickt werde / ſetzet x2+a2 = v2 ſo iſt 2xdx = 2vdv xdxV (a2+x2) = v2dv ſxdxV (x2+a2) = ⅓v3 = ⅓ (x2+a2) V (x2 + a2)
450. Eine krumme Linie zu qvadri - ren / deren Æquation y2 = x3+ax2.
Weil y2 = x3+axx ſo iſt y = xV (x+a) ydx = xdxV (x+a)
Damit dieſes Element zum integriren ge - ſchickt werde / ſetzetx+a288Anfangs-Gruͤndex+a = v2 ſo iſt x = v2-a dx = 2vdv xdxV (x+a) = 2v4dv-2av2dv ſxdxV (x+a) = ⅖v5 - ⅔ av3 = (⅖ (xx+ax+a a) - ⅔ (ax-aa)) V (x+a) = ( $$\frac {6}{15}$$ (xx+ax+aa) - $$\frac {10}{15}$$ (ax-aa)) V (x+a) = (6x2 + 2ax-4aa) V (x+a): 15.
451. Eine krumme Linie zu qvadri - in welcher y2 ≡ x2: (x+a).
Weil y2 = x2: (x+a) ſo iſt y = x: V (x+a) ydx = xdx: V (x+a)
Setzet V (x+a) = v ſo iſt x+a = v2 x = v2-a dx = 2vdv xdx: V (x+a) = 2v3dv-2avdv): vdas289der Algebra. das iſt = 2v3dv-2adv ſxdx: V (x+a) = ⅔v3-2av = (⅔x+⅔a-2a) V (x+a) = (⅔x - $$\frac {4}{3}$$ a) V (x+a) = V (4x3-12ax2 +16a3,: 9) = ⅔ V (x3-3axx+4a3).
452. Die Hyperbel zwiſchen ihren Aſymptoten zu qvadriren.
Fuͤr die Hyperbel zwiſchen ihren Aſym - ptoten iſt.
a2 = by + xy (§. 268) daher a2: (b + x) = y ydx = a2dx: (b + x)
Damit dieſes Element zum integriren ge - ſchickt werde / ſo dividiret in der That 〈…〉
(4) TDenn290Anfangs-GruͤndeDenn iſt a2dx: 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort. Folgends habet ihr 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
453. Dieſe Qvadratur der Hyperbel hat zu erſt Nic. Mercator in ſeiner Logarithmotechnia gege - ben / welcher die unendlichen Reihen zu Qvadrirung der Figuren zu erſt gebrauchet / die man nicht accu - rat qvadriren kan.
454. Den Circul zu qvadriren.
Die Æquation fuͤr den Circul iſt y2 = a2 - x2 (§. 190) y = V (a2 - x2) ydx = dxV (a2 - x2) Ziehet aus V (a2 - x2) die Wurtzel / ſo findet ihr (§. 93) 〈…〉 -291der Algebra. 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort / des Jntegral 〈…〉 u. ſ. w.Tab. I. Fig. 4. unendlich fort den Theil des Circuls DCPM ausdrucket.
Wenn ihr fuͤr x den halben Diameter a ſetzet / ſo kommet der Werth des Qvadran - tens 〈…〉 u. ſ. w. Setzet a = ½ / ſo iſt a2 = ¼ / und demnach der gantze Cir - cul 1 - ⅙ - $$\frac {1}{40}$$ - $$\frac {1}{112}$$ - $$\frac {5}{1152}$$ u. ſ. w. unendlich fort.
Es ſey die Tangens des halben BogensTab. I. Fig. 11 CB = x / der halbe Diameter BA = a / ſo iſt die Tangens des doppelten Bogens BD = 2aax: (aa - xx) (§. 171) folgends DA = (a3+ax2): (aa-xx) (§. 167 Geom.) da - her DE = 2ax2: (aa - xx). Nun iſt (§. 177 Geom.) DA: DB = GA: GH / darumb findet ihr GH = 2a2x: (a2+x2) und ferner AH = (a3 - ax2): (aa + xx) (§. 167 Geom.) / endlich BH = 2ax2: (aa + xx). Wenn ihr die beyden Differential-Groͤſſen GH und BH nemlich (2a4dx - 2a2x2dx): (a2 + x2) 2 und 4a3xdx: (a2+x2) 2 Qvadrate (4a8dx2 - 8a6T 2x2292Anfangs-Gruͤndex2dx2 + 4a4 x4 dx2): (a2 + x2) 4 und 16a6x2dx2: (a2 + x2) 4 zuſammen ſetzet / und aus der Summe (4a8dx2 + 8a6x2dx2 + 4a4x4dx2): (a2+x2) 4 die Qvadrat-Wurtzel (2a4dx + 2a2x2dx): (a2 + x2) 2 = 2a2dx: (a2 + x2) ausziehet; ſo habet ihr die Differenti - al des Bogens CB. Multipliciret dieſe in den halben Radium oder ½ a; ſo kommet das Element des Sectoris B C A (§. 166) heraus (a3dx): a2 + x2. Setzet a = 1; ſo iſt das Element dx: (1+x2). Nun findet ihr durch die gemeine Diviſion wie in der vorher - gehendẽ Aufgabe (§. 452) 1: (1+x2) = 1-x2+x4 - x6 + x8 - x10 u. ſ. w. unendlich fort / und fol - gends ſdx: (1 + x2) = x - x3 + x5 - x7 + x9 3 5 7 9 $$\frac {- x^11}{11}$$ u. ſ. w. unendlich fort. Dieſe unendliche Reihe exprimiret den Sectorem, deſſen hal - ben Boges Tang. x iſt. Nun iſt die Tang. des halben Qvadrantẽs dem Radio gleich. De - rowegẽ wenn ihr x = 1 ſetzet / ſo iſt 1 - ⅓ + ⅕ - ⅐ + ⅑ - $$\frac {1}{11}$$ u. ſ. w. unendlich fort der Jnhalt des Qvadrantens. Nehmet ihr endlich den Diameter des Circuls 1 an; ſo iſt eben ſel - bige unendliche Reihe der Jnhalt des gan - tzen Circuls.
455. Die erſte Reihe fuͤr den Circul hat der Herr Nevvton; die andere der Herr von Leibnitz zu erſt geſunden.
456. Die Ellipſin zu qvadriren.
Es ſey Ac = a / DC = b / PC = x / ſo iſt AP = a - x / PB = a + x / und aus der Natur der Ellipſis AP. PB: (AC) 2 = (PM) 2: (CD) 2 (§. aa - xx aa yy bb 236) aayy = bb (aa-xx) y = b V (aa - xx): a ydx = bdx V (aa-xx): a Nun iſt 〈…〉 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort (§. 93).
Derowegen iſt bdx V (aa-xx): a = bdx 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort. Folgends iſt ſydx = bx - 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Wenn ihr fuͤr x die halbe Axe a ſetzet / ſoT 3be -294Anfangs-Gruͤndebekommet ihr fuͤr den Ovadranten der El - lipſis ab - ⅙ab - $$\frac {1}{40}$$ ab - $$\frac {1}{112}$$ ab - $$\frac {5}{1152}$$ ab u. ſ. w. unendlich fort / und alſo fuͤr die gantze El - lipſin eben dieſelbe Reihe / wenn ihr a fuͤr die gantze groſſe und b fuͤr die gantze kleine Axe annehmet.
457. Wenn ihr V ab = 1 ſetzet / ſo kom - met die Reihe fuͤr den Circul 1-⅙ - $$\frac {1}{40}$$ - $$\frac {1}{112}$$ - $$\frac {5}{1152}$$ u. ſ. w. heraus (§. 454.). Derowegen iſt die Ellipſis einem Circul gleich / deſſen Diameter die mittlere Proportional-Linie iſt zwiſchen ſeiner kleinen und groſſen Axe und alſo verhaͤlt ſich die Ellipfis zu dem Cir - cul wie die kleine Axe zu der groſſen.
458. Alſo dependiret die Qvadratur der Ellipſis von der Qvadratur des Circuls.
459. Die Qvadratur des Circuls / der Ellipſis und Hyperbel hat noch niemand durch einen endli - chen Werth gegeben.
460. Aus der gefundenen Qaadratur der Ellip - ſis laͤſſet ſich nun ferner der Lehrſatz erweiſen / den wir in der Aſtronomie (§. 447) angenommen / daß nemlich der Sector des Circuls KAP ſich zu dem Se - ctore CAP verhalte wie der Circul zu der Ellipſi. Denn es iſt klahr / daß CRP ſich zu K R P verhalte / wie der Circul zur Ellipſi; Die Triangel aberCAR295der Algebra. CAR und KAR verhalten ſich wie CL zu KL (§. 172 Geom.) oder wie RE zu CR / folgends wie die Ellipſis zu dem Circul (§. 457). Folgends iſt KAR + KRP zu CAR + CRP wie der Circul zu der Ellipſi.
461. Daß aber LC: LK = RE: DR laͤſſet ſich leicht erweiſen. Denn vermoͤge der gegenwaͤrtigen Aufgabe iſt LC = b V (aa-xx): a und LK = V (aa-xx). Daher LC: LK = bV (aa-xx): a V (aa-xx) = b: a = RE: DR.
462. Den Raum PXNM zwiſchenTab. V. Fig. 51. der Logarithmiſchen Linie MN und ih - rer Axe PX zu finden.
Es ſey PM = y Pp = dx / die Subtangens = a (§. 413) / ſo iſt ydx: dy = a ydx = ady ſydx = ay
463. Setzet QS = z / ſo iſt QXNS = az / folgends PQSM = ay-az = a (y-z) das iſt / dem Rectangulo aus der Subtangente in die Differentz der Semiordinaten.
464. Derowegen verhalten ſich die Raͤume zwiſchen zweyen Semiordinaten wie die Differentzen der Semiordinaten.
465. Die Spiral-Linie zu qvadriren.
Es ſey alles / wie in der 6 Aufgabe (§. 404) ſo iſt EG = ydx: a / folgends der kleine Sector EAG oder das Element der Flaͤche y2dx: 2a. Nun iſt fuͤr die Spiral-Linie (§. 272).
ax = by a2x2: b2 = y2 y2dx: 2a = ax2dx: 2bb ſy2dx: 2a = ax3: 6bb
Wenn ihr fuͤr x die gantze Peripherie b ſe - tzet / ſo kommet fuͤr den Raum / den die gantze Spiral-Linie einſchlieſſet / ⅙ ab.
566. Da nun der umbſchriebene Circul ½ ab iſt / ſo verhaͤlt ſich die Spiral-Flaͤche zu ihm wie ½ab zu ⅙ ab / das iſt / wie 2 zu 6 oder wie 1 zu 3.
467. Fuͤr unendliche Spiral-Linien iſt amxn = bnym (§. 273) abn: m: bn: m = y a2x2n: m: b2n: m = y2 ſy2dx: 2a = max2n+m,: m: (4n+2m) b2n: mWenn297der Algebra. Wenn ihr nun fuͤr x die gantze Peripherie b ſetzet / ſo bekommet ihr mab2n+m,: m: (4n + 2m) a2n: m = mab: (4n+2m).
468. Dannenhero verhaͤlt ſich uͤberhaupt die Spiral-Flaͤche zu dem umbſchriebenen Circul wie mab: (4n+2m) zu ½ ab / das iſt / wie 2m zu 4n+2m / oder wie m zu 2n+m.
469. Setzet / daß der Bogen BC ſich zu FC verhalten ſolle / wie die Abſciſſe in einer Alge - braiſchen Linie zu ihrer Semiordinate.
Und es ſey der Bogen BC = x / AE = y / A C = r / ſo iſt FC = r-y / CD = dx und AC: CD = AE: EG r _ _ dx _ _ y _ _ ydx: r folgends das Element oder der Sector AEG ½y2dx: r. Setzet nun es ſey BC die Abſciſ - ſe / EC die Semiordinate einer Parabel / ſo iſt ax = r2-2ry+yy dx = (2ydy-2rdy): a y2dx: r = (y3dy-ry2dy): ar ſy2dx: r = y4: 4ar-y3: 3a
470. Jhr koͤnnet auch den Raum BFCT 5fin -298Anfangs-Gruͤndefinden / wenn ihr das Element GDCE ſuchet / welches ihr findet / wenn ihr CD+EG mit ½ F C multipliciret / weil ihr es als ein Trape - zium anſehen koͤnnet / deſſen baſes CD und E G parallel ſind. Nun iſt CD+EG = dx+ydx 2r und ½ FC = ½r-½y. Derowegen das ver - langte Element (y2dx-y2dx): 2r. Nehmet nun wie in dem vorigen Exempel (§. 469) dx = (2ydy-2rdy): ar / ſo iſt das beſondere Ele - ment (ry2dy+r2ydy-y3dy-r3dy): ar / deſſen Jntegral y3: 3a+ry2: 2a-y4: 4ar-r2y: a den verlangten Raum giebet.
471. Die Flaͤche eines jeden Coͤrpers zu finden / der ſich generiret / indem eine krumme Linie umb ihre Axe beweget wird.
Setzet die Verhaͤltnis des halben Dia - meters zu der Peripherie = r: c / die Abſciße AP = x / die Semiordinate PM = y / ſo iſt Pp = dx / mR = dy / Mm = V (dx2 + dy2) (§. 167 Geom.) und die Peripherie / welche mit PM beſchrieben wird / = cy: r. Daher das Element der Flaͤche cy V (dx2+dy2): r. Wenn ihr nun fuͤr dx2 ſeinen Werth aus der gegebenen Æquation fuͤr die krumme Linie ſetzet / und das Element hernach integriret; ſo kommet der Jnhalt eines Stuͤckes von der verlangten Flaͤche heraus.
472. Es ſey MP ein Triangel / deſſen Hoͤhe AD = b / die Grundlinie = r / ſo iſt xy = rx (§. 177 Geom. & §. 126 Algebr. ) und dan - nenhero ady: r = dx a2dy2: r2 = dx2 cyV (dx2+dy2): r = cy V (a2dy2+r2dy2): r2 cyV (dx2+dy2): r = cydyV (a2+r2): 2r2 ſcyV (dx2+dy2): r = cy2 (a2 + r2): 2r2 Setzet fuͤr y die Grundlinie r; ſo kommet die Flaͤche des Coni heraus ½c V (r2+a2). Da nun V (r2+a2) ſeine Seite iſt; ſo ſehet ihr / daß die Kegel-Flaͤche einem Triangel gleich ſey / deſſen Grundlinie die Peripherie der Grund - Flaͤche des Kegels und die Hoͤhe ſeiner Sei - te gleich iſt.
473. Wenn ihr fuͤr die beſchreibende Linie einen halben Eircul annehmet / ſo findet ihr die Kugel-Flaͤche. Da nun im Circul 2rx-xx = y2 ſo iſt 2rdx-2xdx = 2ydy (2rdx-2xdx): 2y = dyr2300Anfangs-Gruͤnde(r2dx2-2rxdx2+x2dx2) y2 = dy2 cyV dx2 + dy2): r = cyV (dx2 + (r2dx2 - rdx2-2rx2dx2+x2dx2):, 2rx-xx): r = cyV (2rxdx2-x2dx2 + r2dx2-2rxdx2 + x2d2,:, 2rx-xx): r = cyV (r2dx2: y2): r = cyrd): ry = cdx ſcdx = cx Setzet fuͤr x / den Diameter 2r / ſo iſt die gan - tze Kugel-Flaͤche 2cr.
474. Da nun die Flaͤche des groͤſten Cir - culs ½ cr; ſo iſt die Flaͤche der Kugel viermal ſo groß als ihr groͤſter Circul. Hingegen je des Stuͤcke der Kugel-Flaͤche verhaͤlt ſich zu der gantzen wie cx zu 2cr / das iſt / wie x zu 2r / oder die Hoͤhe des Stuͤckes der Kugel zu dem gantzen Diameter.
475. Es ſey die beſchreibende Linie eine Parabel / ſo findet ihr die Flaͤche eines Pa - raboliſchen After-Kegels. Da nun in der Parabel adx = 2ydy ſo iſt dx2 = 4y2dy2: a2 cyV (dx2+dy2): r = cy (4y2dy2+a2dy2,: a2): r = cydy V (yy+aa): r.
Se -301der Algebra.Setzet V (yy+aa) = v ſo iſt yy+aa = v2 2ydy = 2vdv cydy V (yy+aa): r = cv2dv: r ſcv2dv: r = cv3: 3r = (cyy+caa) V (yy+aa): 3r Setzet r fuͤr y / ſo habet ihr die Flaͤche des gan tzen After-Kegels (crr+caa) V (rr+aa): 3r.
476. Jhr wißet aus dem Differentiiren / daß ſdx = x / oder auch x+a. Derowegen muß man in eini - gen Faͤllen zu der gefundenen Jntegral noch etwas hin zu ſetzen / wenn man ſie gnau haben wil. Hier zu aber giebet man folgende Regel: Setzet die gefunde - ne Jntegral = 0 / ſo koͤnnet ihr daraus finden / ob die Groͤſſe / ſo man hinzu ſetzen ſol / das Zeichen + oder — haben muß. Setzet ferner die undeterminirte Groͤſ - ſe in der Jntegral = 0 / ſo findet ihr daraus den Werth der determinirten Groͤſſe / die noch beyzufuͤgen iſt. Z. E. Setzet in der 9. Anfgabe (§ 450) (6x2+2ax-4aa) V (x+a): 15 = 0 ſo iſt 6x2 = - 2ax 6x = - 2a Und alſo muß noch von der gefundenen Jntegral et - was ſubtrahiret werden / da mit der Werth gnaue her - aus kommet.
Setzet ferner x = 0ſo302Anfangs-Gruͤndeſo iſt (6x2+2ax-4aa) V (x+a): 15 = - 4a2Va: 15 Demnach habet ihr - 4a2Va: 15 noch zugegebener Jn - tegral bey zufuͤgen.
Eben ſo koͤnnet ihr in anderen Faͤllen verfahren.
477. Eine krumme Linie rectifici - ren heiſſet ſo viel als die Laͤnge derſel - ben finden.
478. Wenn die beyden Semiordinaten PM und pm einander unendlich nahe ſind / ſoTab. V. Fig. 46. iſt der Bogen Mm das Element des Bo - gens AM / das iſt / (Vdx2+dy2)
479. Derowegen wenn ihr vor dx2 oder dy2 den Werth aus der Natur der krummen Linie ſetzet / und das beſondere Element inte - griret; ſo habet ihr die krumme Linie oder ih - ren Bogen AM rectificiret.
480. Jhr koͤnnet auch das Element Mm finden / wenn ihr ſetzet: BM: TM = dy: Mm.
481. Die Parabel zu rectificiren.
Auf -303der Algebra.Jn der Parabel iſt ax = y2 adx = 2ydy a2dx2 = 4y2dy2 dx2 = 4y2dy2: a2 V (dx2+dy2) = V (dy2+4y2dy2: a2) das iſt = dy V (aa+4y2): a Weil V (aa + 4y2) die Semiordinate einer gleichſeitigen Hyperbel exprimiret; ſo iſt dieſes Element zugleich das Element einer gleichſeitigen Hyperbel. Und demnach de - pendiret die Rectification der Parabel von der Quadratur der Hyperbel. Damit ihr nun dieſes Element integriren koͤnnet / ſo zie - het (§. 91) die Wurtzel aus V (aa+4y2). Es iſt nemlich n = 2 / m = 1 / P = a2 Q = 4y2: a2 Pm: n = +a = A 〈…〉 u. ſ.w. unendlich fort.
Dem -304Anfangs-GruͤndeDemnach iſt 〈…〉 〈…〉 &c. und daher dy V (aa+ 〈…〉 dy &c. Deren Jntegral 〈…〉 〈…〉 &c. Die Laͤnge des Bogens expri - miret.
482. Die Parabel zu rectificiren / in welcher ax2 = y3.
Weil ax2 = y3 So iſt 2axdx = 3y2dy 4a2x2dx2 = 9y4dy2 dx2 = 9y4dy2: 4a2x2 = 9ydy2: (4a V (dx2 + dy2) = V (9ydy2 + 4ady2,: 4a) = dy V (9y + 4a,: 4a) Setzet V (9y + 4a,: 4a) = v ſo iſt 9y + 4a = 4av29dy305der Algebra. 9dy = 8avdv dyV (9y+4a,: 4a) = $$\frac {8}{9}$$ av2dv ſdy V (9y+4a,: 4a) = $$\frac {8}{27}$$ av3 = $$\frac {8}{27}$$ (9y+4,: 4) V (9y+4,: 4) = $$\frac {2}{27}$$ (9y+4) ½ V (9 y+4) = $$\frac {1}{27}$$ (9y+4) V (9y+4) - $$\frac {8}{27}$$ (§. 476) wenn a = 1.
483. Unendliche Parabeln zu rectifi - ciren.
Fuͤr unendliche Parabeln iſt nyn = an-1x = x / wenn a = 1. nyn-1dy = dx n2y2n-2dy2 = dx2 V (dx2+dy2) = V (n2y2n-2 dy2+dy2) = dy V (n2y2n-2 + 1) Ziehet nun aus V (1+n2y2n-2) die Wurtzel (§. 91) / und ſetzet der Kuͤrtze halber 2n-2 = r ſo iſt in dem Nevvtoniſchen Lehrſatze m = 1 / n = 2 / P = 1 / Q = n2yr Pm: n = 1 = A $$\frac {m}{n}$$ AQ = ½n2yr = B $$\frac {m-n}{2n}$$ BQ = - ¼. ½n2yr. n2yr — - ⅛n4y2r = C(4) U 〈…〉 306Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 = - $$\frac {3}{6}$$ . - ⅛ n4y2r. n2yr = + $$\frac {1}{16}$$ n6 y3r = D $$\frac {m-3n}{4n}$$ DQ = - ⅝. $$\frac {1}{16}$$ n4y3r. n2yr = - $$\frac {5}{128}$$ n8y4r &c. Demnach iſt dy V (1+ny2n-2) = dy+½n2yr dy - ⅛n4y2r dy + $$\frac {1}{16}$$ n6y3r dy - $$\frac {5}{128}$$ n8y4r dy u. ſ. w. unendlich fort / deſſen Jntegral 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort die Laͤnge unendlicher Parabeln ausdrucket. Wollet ihr fuͤr r ſeinen Werth 2n -2 in die Stelle ſetzen / ſo be - kommet ihr 〈…〉 〈…〉 &c. Es ſey Z. E. n = 2 / ſo bekommet ihr y + 4y3 - 〈…〉 das iſt / 〈…〉 fuͤr die Apolloniſche Parabel / welche Reihe mit der obengefundenen uͤberein kom̃et / wenn ihr a = 1 ſetzet.
484. Aus der gegebenen Tangente ei - nes Circul-Bogens den Bogen zu fin - den.
Auf -307der Algebra.Es ſye die Tangens KB = x / BC = 1 / ſo iſt AK = dx / KC = V (1+xx) / AL = xdx: V (1+xx) wenn nemlich KC und AC einander unendlich nahe ſind. Da nun bey L und B rechte Winckel ſind (§. 429) und BKC = KA L / weil KCL unendlich kleine iſt; ſo iſt auch BCK = AKL (§. 99 Geom.). folgends KC: BC = AK: KL (§. 182 Geom.) V (1+x2) 1 dx dx: V (1+x2) Ferner KC: KL = IC: ID (§. 45 Geom.) V (1+x2) dx: V (1+x2) 1 dx: (1+x2) Wenn ihr nun 1 durch 1+x 2 wuͤrcklich dividi - ret / ſo bekommtt ihr fuͤr das Elemenr DE des Bogens BI dx-x2dx+x4 dx+x6 dx+x8 dx - x10 dx u. ſ. w. unendlich fort / deſſen Jntegral x - ⅓x3 + ⅕x5 - ⅐x7 + ⅑x9 - $$\frac {1}{11}$$ x11 u. ſ. w. un - endlich fort den Bogen BI exprimiret / deſſen Tangens BK = x.
485. Die Tangens des Bogens von 45° iſt dem Radio BC gleich / und alſo wird x = 1 / folgends der Bogen von 45° oder der halbe Qvadrant 1-⅓+⅕-⅐+⅑ - $$\frac {1}{11}$$ &c. Setzet ihr aber den gantzen Diameter eines / ſo iſt der Qvadrante 1-⅓+⅕-⅐+⅑ - $$\frac {1}{11}$$ &c.
486. Derowegen verhaͤlt ſich das Qvadrat des Diameters zu der Circul-Flaͤche wie derU 2Dia -308Anfangs-GruͤndeDiameter zu dem Qvadranten von der Pe - ripherie.
487. Jhr haͤttet eben dieſe Methode brauchen koͤn - nen den Circul zu qvadriren.
488. Wenn ihr aus dem gegebenen Bogen die Tangentem finden wollet / doͤrfet ihr nur aus der Rei - he / die fuͤr den Bogen gefunden worden / eine andere fuͤr die Tangentem ſuchen. Daher ich vorher uͤber - haupt zu zeigen noͤthig habe / wenn u = ax + bx2 + c x3 + dx4cx5 &c. Wie der Werth von x in einer unendlichen Reihe durch u exprimiret werde.
489. Wenn der Werth einer veraͤn - derlichen Groͤſſe u durch eine unendliche Reihe aus den Dignitaͤten einer andern veraͤnderlichen Groͤſſe x ausgedrucket iſt / den Werth von x durch ſeine unend - liche Reihe aus den Dignitaͤten von u auszudrucken.
Es ſey Z. E. u = ax + bx2 + cx3 + dx4 + cx5 &c. Setzet x = hu + iu2 + ku3 + lu4 + mu5 + nu6 &c. ſo iſt x2 = h2u2 + 2hiu3 + i2u4 + 2hlu5 + k2u6 + 2kk + 2ik + 2hm + 2il x3 = h3u3 + 3h2iu4 + hi2u5 + 3h2lu6 &c. + 3l2k + 6hik + i3x 4309der Algebra. x4 = h4x4 + 4h3ix5 + 6h2i2u6. &c. + 4h3k x5 = h5a5 + 5h4iu6 &c. x6 = h6u6 &c. Setzet in der Æquation 0 = - u + ax + bx2 + cx3 + dx4 + ex5 + fx6 &c. die gefundenenen Werthe von x / x2 / x3 &c. ſo bekommet ihr
| - u = - u | ||||||
| + ax = | + ahu | + aiu2 | + aku3 | + alu4 | + amu5 | + anu6 |
| + bx2 = | + bh2 .. | + 2bhi .. | + bi2 .. | + 2bhl .. | + bk2 .. | |
| + 2bhk .. | + 2bik .. | + 2bhm .. | ||||
| + 2il .. | ||||||
| + cx3 = | + ch3 .. | + 3ch2i. | + 2chi2 .. | + 3ch2l .. | ||
| + 3cl2k .. | + 6chik .. | |||||
| + dx4 | + ci3 .. | |||||
| + dh4 .. | + 4dh3i. | + 6dh2i2 .. | ||||
| + 4dh3k .. | ||||||
| + ex5 = | + eh5 .. | + 5eh4i .. | ||||
| + fx6 = | + fh6 .. |
U 3Se -310Anfangs-GruͤndeSetzet in der neuen Æquation jedes gefun - denes Glied = 0 / ſo iſt ah-1 = 0 ai + bh2 = 0 ak+2bhi+ch3 = 0 h = 1: a i = - bh2: a k = (- 2bhi-ch3): a i = - b: a3 k = (+2b2-ac): a5 al + bi2+2bhk+3ch2i + dh4 = 0 l = (bi2-2bhk - 3chi - dh4): a l = - b3: a7-4b: a7 + 2bc a6 + 3bc: a6-d: a5 l = (5abc-5b3-a2d): a7
Eben ſo findet ihr m = 14b4+6a2bd-21ab2c + 3a2c2-a3e): a9 n = (- 42b5 + 84ab3c-28a2bc - 28a2b2d + 7a3 cd+7a〈…〉〈…〉 be-a4f): a11 u. ſ. w.
Setzet nun endlich in der angenommenen Æquation x = hu+iu2+ku3+lu4+mu5+nu6 &c. die gefundenen Werthe von h. i. k. l. m. n; ſo kommet die verlangte Reihe 〈…〉 u. ſ. w. her - aus.
490. Auf gleiche Art koͤnnet ihr in allen andern Faͤllen verfahren. Doch wenn die Exponenten der Dignitaͤten in einer andern Arithmetiſchen Propor -tion311der Algebra. tion fortgehen als in der natuͤrlichen Ordnung der Zahlen; doͤrfet ihr die Glieder / ſo fehlen / nur fuͤr nichts halten / und dannenhero auch an den uͤbrigen alles weglaͤſſen / was durch die Groͤſſen multipliciret iſt / ſo ſie multipliciren. Z. E. Es ſey v = ax+cx3ex5 &c. ſo iſt b = 0 d = 0 und demnach 〈…〉 〈…〉 &c.
491. Jhr koͤnnet zwar durch die oben (§. 87) ge - fundene Regeleine jede vorgegebene unendliche Reihe zu einer jeden verlangten Dignitaͤt erheben; allein es iſt doch rathſamer / daß ihr die Arbeit einmal fuͤr alle - mal thut. Jhr werdet demnach finden / daß (a+by+cy2 +dy3+ey4+fy5 &c.) m = am+ $$\frac {m}{1}$$ by 〈…〉 U 4+312Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 +313der Algebra. 〈…〉
Wenn ihr dieſe Reihe durch ym multipliciret / ſo bekommet ihr eine andere fuͤr (ay + by2 + cy3 + dy4 + ey5 + fy6 + gy7 &c.) m / in welcher die Unciæ wie in der vorigen bleiben / hingegen die Di - gnitaͤten ſind ym + ym+1 +ym+2 + ym+3 + ym+4 + ym+5 &c.
492. Wenn ihr nun eine unendliche Reihe zu der andern Dignitaͤt erheben wollet / ſo ſetzet ihr nur au ſtat m 2 / fuͤr die dritte 3 / fuͤr die vierdte 4 u. ſ. w. ingleichen fuͤr a. b. c. d. e. f. g und ſo weiter die anderen Buchſtaben / durch welche in der gege - benen Reihe y multipliciret iſt. Z. E. Wenn ihr hx + ix2 + kx3 + lx4 + mx5 + nx6 &c. Zu der anderen Dignitaͤt erheben wollet / ſo iſt m = 2 / a = h / b = i / c = k / d = l / e = m / f = nU 5&c. 314Anfangs-Gruͤnde& e. und demnach bekommet ihr fuͤr die andere Di - gnitaͤt h2x2 + 2hix3 + i2x4 + 2ikx5 + 2hkx4 + 2hlx5 &c.
493. Aus dem gegebenen Bogen ei - nes Circuls / der kleiner iſt als ein Qva - drant / die Tangentem zufinden.
Wenn die Tangens x iſt / ſo iſt der Bo - gen v = x - ⅓ x3 + ⅕ x5 - ⅐ x7 &c. (§. 484).
Suchet nun den Werth x durch v (§. 489). Vergleichet nemlich eure Æquation u = x - ⅓ x + ⅕ x5 - ⅐ x7 &c. mit dieſer u = ax + cx3 + ex5 + gx7 &c. ſo iſt a = 1 / c = - ⅓ / e = + ⅕ / g = - ⅐.
Setzet dieſe Werthe in ihre gehoͤrige Stel - len der Æquation 〈…〉 〈…〉 &c. ſo bekommet ihr x = v + ⅓ v3 + $$\frac {2}{15}$$ v5 + $$\frac {17}{315}$$ v7 + $$\frac {62}{2835}$$ v9 &c. welche Æquati - on die Tangentem durch den Bogen ex - primiret.
494. Aus dem gegebenen Sinu eines Bogens den Bogen / der kleiner als ein Qvadrant iſt / zu finden.
Auf -315der Algebra.Wenn der halbe Diameter des Circuls r / der Sinus des Bogens der die Semior - dinate y / der Sinus verſus oder die Abſciſſe x iſt; ſo iſt die Æquation des Circuls 2rx - xx = yy daher 2rdx-2xdx = 2ydy dx = ydy: (r - x) dx2 = y2dy2: (r2 - 2rx+xx) das iſt = y2dy2: (r2 - y2) V (dx2 + dy2) = V (y2dy2 + (r2dy2-y2dy2,:, r2-y2) = rdy: V (r2-y2)
Damit dieſes Element des Bogens zum integriren geſchickt werde / ſo ziehet aus 1: (r2-y2) die Wurtzel in der That (§. 87). Es iſt aber m = -1 / n = 2 / P = r2 / Q = - y2: r2 Pm: n = r-1 = 1: r = A 〈…〉 u. ſ. w. unendlich fort.
Alſo316Anfangs-GruͤndeAlſo iſt rdy 〈…〉 〈…〉 &c. deſſen Jntegral y + 〈…〉 &c. den verlangten Bogen durch ſeinen Sinum ausdrucket. Wenn ihr beſſer ſehen wollet / wie die Reihe unendlich fortgehet / ſo nennet das erſte Glied A / das andere B / das dritte C u. ſ. w. ſo findet ihr 〈…〉
491. Weil der Bogen 〈…〉 〈…〉 &c. ſo findet ihr (§. 489) wie in der 22 Aufgabe (§. 493) 〈…〉 +317der Algebra. 〈…〉 〈…〉 das iſt / wenn ihr das erſte Glied A / das an - dere B / das dritte C &c. ſetzet / 〈…〉 〈…〉
496. Aus dem gegebenen Sinu verſo den Bogen des Circuls zufinden.
Wenn der Diameter des Circuls 2r / die Abſciſſe oder der Sinus verſus = x iſt / ſo iſt fuͤr den Circul 2rx - xx = yy 2rdx-2xdx = 2ydy (rdx-xdx): y = dy (r2dx2-2rxdx3+x2dx2): y2 = dy2 V (dx2+dy2) = V (dx2+ (r2dx2-2rxdx2 + x2 dx2):, 2rx-xx) = V (2rxdx2 x2dx2+r2dx2- 2rx338[318]Anfangs-Gruͤnde- 2rxdx2+x2dx2,: ,2rx-xx) = rdx: V (2rx - xx) = rdx (2rx-x2) -1: 2 damit dieſes Ele - ment zum integriren geſchickt werden / ſo zie - hetaus 2rx-x 2 die Wurtzel in der That / (§. 91).
Es iſt aber m = -1 / m = 2 / P = 2rx / 〈…〉 und demnach Pm: n = V 2r-1: 2 x½ = A 〈…〉
Alſo319der Algebra.Alſo iſt das Element des Bogens V 2r1: 2 〈…〉 deſſen Jntegral 〈…〉 〈…〉 〈…〉 = (wenn ihr den Diame - ter = r ſetzet) 〈…〉 〈…〉 &c.) den Bogen durch den Sinum verſum exprimiret.
497. Wollet ihr den Sinum verſum durch den Bogen ausdrucken / ſo werdet ihr (§. 489) finden 〈…〉 &c. 320Anfangs-Gruͤnde&c. = (wenn ihr das erſte Glied A / das andere B u. ſ. w. ſetzet) 〈…〉 〈…〉 C &c.
Von der Cubatur der Coͤrper.
498. Cubiren heiſſet den Jnhalt eines Coͤrpers finden.
499. Wenn ein Eoͤrper ſich generiret in dem eine Figur ſich umb ihre Axe herumb beweget / ſo beſchreibet jede Semiordinate einen Eircul und dannenhero iſt das Ele - ment deſſelben das Product aus einem Cir - cul / der mit der Semiordinate beſchrieben wird / in die Differential der Abſciſſe. Wenn ihr demnach die Verhaͤltnis des Radii zu der Peripherie ſetzet r: c / ſo iſt die Peripherie des gedachten Circuls cy: r und der Jnhalt cy2: r (§. 163 Geom.) / folgends das Element cy2dx: 2r.
500. Wenn ihr demnach den Werth von y2 durch x aus der Æquation fuͤr die gegebene Figur ſubſtituiret und das Ele - ment integriret; ſo habet ihr den verlang - ten Jnhalt des Coͤrpers.
501. Den Conum zu cubiren.
Weil der Conus von einem Triangel be - ſchrieben wird (§. 33 Geom.) ſo habet ihr (wenn die Hoͤhe des Triangels a / die Grund - Linie r iſt rx = ay r2x2: a2 = y2 cy2dx: 2r = crx2dx: 2a2 ſcy2dx: r = crx3: 6a2
Wenn ihr den gantzen Kegel verlanget / ſo ſetzet a fuͤr x / und ihr findet ſeinen Jnhalt cra3: ba2 = ⅙cra = ½cr. ⅓ a / das iſt / wenn ihr die Grundflaͤche ½ cr durch den dritten Theil der Hoͤhe ⅓ a multipliciret.
502. Die Kugel zu cubiren.
Die Kugel wird von einem halben Cir - cul beſchrieben (§. 25 Geom.) / in welchem 2rx - xx = yy daher iſt cy2dx: 2r = cxdx - cx2dx: 2r ſcy2dx: 2r = ½crx2 - cx3: 6r(4) XWenn322Anfangs-GruͤndeWenn ihr die gantze Kugel verlanget / ſo ſetzet 2r oder den Diameter fuͤr x oder die Hoͤhe des Kugel-Stuͤckes / und ihr bekommet fuͤr ihren Jnhalt 2cr2 - cr2: 6 = 4cr2: 6 = ⅔ cr2.
503. Der Jnhalt eines umbſchriebenen Cylinders / deſſen Hoͤhe nemlich dem Dia - meter / die Grund-Flaͤche dem groͤſten Circul der Kugel gleichet / iſt cr2 / und demnach ver - haͤlt er ſich zur Kugel wie cr2 zu ⅔ cr2 / das iſt / wie 3 zu 2.
504. Einen Paraboliſchen After-Ke - gel zu cubiren.
Jn der Parabel iſt y2 = ax daher cy2dx: 2r = acxdx: 2r ſcy2dx: 2r = acx2: 4r = cy2x: 4r Wenn die Hoͤhe des gantzen Kegels b und der halbe Diameter in der Grundflaͤche r iſt; ſo iſt der Jnhalt deſſelben bcr2: 4r = ¼ bcr.
505. Da nun der umbſchriebene Cylinder ½bcr iſt / ſo verhaͤlt ſich dieſer zu dem Para - boliſchen After-Kegel wie ½bcr zu ¼bcr / das iſt / wie 1 zu 2.
506. Unendliche Paraboliſche After - Kegel auf einmal zu cubiren.
Es ſey der Parameter = 1 / ſo iſt fuͤr un - endliche Parabeln ym = x y = x1: m y2 = x2: m ſcy2dx: 2r = cx2: mdx: 2r ſcy2dx: 2r = mcx2+m,: m: (4 + 2m) r = mcxy2: (2m + 4) r.
507. Eine Elliptiſche After-Kugel zu cubiren.
Es ſey der kleine Diameter in der Ellipſe 2r / der groſſe = 2a / ſo iſt yy = rr - r2x2: a2 (§. 237). cy2dx: 2r = ½ crdx - crx2dx: 2a2 ſcy2dx: 2r = ½ crx - crx3: 6a2.
Setzet fuͤr x die gantze groſſe Axe 2a / ſo kommet der Jnhalt des gantzen Coͤrpers acr - $$\frac {2}{6}$$ acr = ⅔ acr.
508. Der umbſchriebene Cylinder iſt acr und demnach verhaͤlt er ſich zu der Ellipti - ſchen After-Kugel wie acr zu ⅔ acr / das iſt / wie 1 zu ⅔ / oder 3 zu 2.
509. Die Kugel / deren Diameter dem groſſen Diameter der Ellipſis gleichet / iſt 2 a3c3: 3r (§. 502). Demnach verhaͤlt ſie ſich zu der Elliptiſchen After-Kugel wie 2a3c: 3r zu ⅔ acr das iſt / wie a2 zu r2 / oder wie das Qvadrat der groſſen Axe zu der kleinen.
510. Die Kugel / deren Diameter dem kleinen Diameter der Ellipſis gleichet / iſt ⅔ cr2. Derowegen verhaͤlt ſie ſich zu der El - liptiſchen After-Kugel wie ⅔cr2 zu ⅔ acr / das iſt wie r zu a / oder die kleine Axe zu der groſ - ſen.
511. Einen Hyperboliſchen After-Ke - gel zu cubiren.
Es ſey die Zwerch-Axe = 2a / die kleine Axe = 2r / die Abſciſſe = x / die Semior - dinate = y / rr: aa = y2: 2ax + xxy2325der Algebra. y2 = (2ar2x + r2x2): a2 cy2dx: 2r = crxdx: a + crx2dx: 2a2 ſcy2dx: 2r = crx2: 2a + crx3: 6a2
Setzet fuͤr x die gantze Hoͤhe des After - Kegels b / ſo kommet ſein Jnhalt crb2: 2a + crb3: 6a2.
512. Den Jnhalt des Coͤrpers zu fin -Tab. V. Fig. 51. den / der ſich generiret / in dem der Raum zwiſchen der Logarithmiſchen Linie MN und der geraden Linie PX ſich umb PX herumb beweget.
Jn der Logarithmiſchen Linie / deren Sub - tangens = a / iſt ydx = ady (§. 462). dx = ady: y cy2dx: 2r = acy2dy: 2ry = acydy: 2r ſcy dx: 2r = acy2: 4r
Nehmet r fuͤr die letzte Semiordinate AB an / ſo iſt der Jnhalt des gantzen Coͤrpers ¼ acr / der durch die Bewegung des unendli - chen Raumes NBAX beſchrieben wird.
X 3Die326Anfangs-Gruͤnde513. Den Jnhalt eines Coͤrpers zu - finden / der beſchrieben wird / indem ſich eine halbe Parabel AMP umb ihre Se - miordinate PM beweget.
Jn dieſem Falle iſt das Element gleich dem Producte aus einem Circul / der mit MR der Differentz zwiſchen der Abſciſſe AP und der gantzen Axe AX beſchrieben wird / in die Dif - ferential der Semiordinate. Setzet nun AX = r / MX = b / AP = x / ſo iſt MR = r - x. Wenn nun die Verhaͤltnis des Ra - dii zur Peripherie r: c / ſo findet ihr die Pe - ripherie ſo mit MR beſchrieben worden (rc - cx): r / folgends den Circul (r2c-2rcx + cx2): 2r. Dannenhero iſt das Element (r2cdy - 2rcxdy + cx2dy): 2r. Nun iſt in der Para - bel / wenn der Parameter = 1 / y2 = x und y4 = x2 daher das Element ½rcdy - cy2dy + cy4dy: 2r / deſſen Jntegral ½ rcy - ⅓ cy3 + cy5: 10r das Stuͤcke des Coͤrpers exprimi - ret / welches von MMR beſchrieben worden.
Wenn ihr fuͤr y2 ſeinen Werth x ſetzet / ſo habet ihr fuͤr eben daſſelbe Stuͤcke ½ rcy - ⅓ cxy + cx2y: 10r. Setzet nun ferner r fuͤr x und b fuͤr y; ſo bekommet ihr fuͤr den gantzen Coͤrper ½rcb - ⅓ crb + cr2b: 10r = (½ - ⅓ + ⅒) bcr = ( $$\frac {30-20+6}{60}$$ bcr = $$\frac {4}{15}$$ bcr.
514. Auf gleiche Weiſe koͤnnet ihr den Jnhalt der Coͤrper finden / wenn ihr ſetzet / daß ſich eine Flaͤche umb eine andere Linie / als Z. E. umb die Tangen - tem oder Subnormal-Linie beweget.
515. Die verkehrte Methode der TANGENTIUM (Methodus Tangen - tium inverſa) iſt diejenige welche zeiget / wie man aus der gegebenen Subtangen - te, Tangente, Normal-Linie oder Sub, normal-Linie die Æquation finden kan / welche die Natur der Linie erklaͤhret.
516. Setzet nehmlich die gegebenen Linien ihrem Werthe gleich / darinnen die Diffe - rential-Groͤſſen anzutreffen ſind / ſo bekommet ihr die Differential-Gleichung fuͤr die geſuch - te Linie. Wenn ihr nun ſelbige integriret / ſo bekommet ihr die geſuchte Æquation.
517. Eine krumme Linie zu finden / deren Subtangens = 2yy: a.
Weil die Subtangens in einer jeden Al - gebraiſchen Linie = ydx: dy / ſo iſtX 42y2:328Anfangs-Gruͤnde2y2: a = ydx: dy 2y2dy = aydx〈…〉〈…〉 2ydy = adx y2 = ax
Welche Æquation zeiget / daß die ver - langte Linie eine Parabel ſey.
518. Haͤtte man geſagt / die Subtangens ſolte 2x ſeyn (ich ſetze aber beſtaͤndig / wie vorhin / daß x all - zeit die Abſciſſe / y die Semiordinate bedeute); ſo bekaͤmet ihr ydx = 2xdy. Wollet ihr nun dieſe Æquation zum integriren geſchickt machen / ſo ſehet ihr daß / wenn ihr x durch y exprimiren wollet / ihr y2 durch eine beſtaͤndige Groͤſſe dividiren muͤſſet / und dannen - hero fuͤr 2x annehmen 2y2: a.
519. Eine krumme Linie zu finden / deren Subnormal-Linie beſtaͤndig von einer Groͤſſe iſt / Z. E. = a.
Die Subnormal-Linie iſt ydy = dx (§. 427). Demnach ydy: dx = a ydy = adx ½y2 = axy2329der Algebra. y2 = 2ax
Alſo iſt die verlangte Linie eine Parabel / deren Parameter der doppelten Subnormal - Linie gleich iſt.
520. Eine krumme Linie zu finden / deren Subtangens die mittlere Propor - tional-Linie iſt zwiſchen x und y.
Es iſt ydx: dy = V xy ydx = dyV xy = x1: 2y1: 2dy y dx = y-1: 2x1: 2 dy x1: 2 x-1: 2dx = y-1: 2 dy 2x1: 2 = 2y-1: 2 Vx = Vy x = y Alſo iſt die verlangte Figur ein gleichſchenck - lichter rechtwincklichter Triangel. Jhr koͤn - net aber auch ſetzen Vx + Va = Vy ſo iſt x + 2 V ax+a = y 2Vax = y-x-aX 54ax330Anfangs-Gruͤnde4ax = y2-2yx+ax+2ax-2ay+aa 2ax-xx = y2-2xy-2ay+aa. oder 2xy+2ay-y = x2-2ax+aa Dergleichen Æquation auch heraus kom - met / wenn ihr Vx-V a = Vy ſetzet.
521. Eine krumme Linie zu finden / de - ren Subnormal-Linie = r-x.
Es iſt ydy: dx = r-x ydy = rdx - xdx ½y2 = rx - ½ x2 y2 = 2rx - xx Alſo iſt die verlangte Linie ein Circul / deſſen Diameter = 2r.
522. Eine Linie zu finden / deren Sub - normal-Linie = V ax.
Es iſt ydy: dx = V ax = a1: 2 x1: 2 ydy = a1: 2 x1: 2 dx ½y2 = ⅔V ax3 2 y2 = $$\frac {4}{3}$$ Vax3 = ⅔V4ax3 Alſo iſt das Qvadrat der Semiordinate indie -331der Algebra. dieſer Linie jederzeit einem Paraboliſchen Raume gleich.
523. Eine krumme Linie zu conſtrui - ren / deren Subtangens einer unveraͤn - derlichen Linie gleich iſt.
Es iſt ydx: dy = a dx = ay-1 dy ſdx = ſay-1dy Wenn ihr ay-1dy (§. 434) integriren wol - tet / ſo kaͤme heraus ay0: 0 = a: 0 / das iſt / eine unendlich groſſe Groͤſſe. Und alſo gehet die Jntegration Algebraiſch nicht an. Da nun aber bekandt iſt (§. 413) / daß die ange - nommene Eigenſchafft der Logarithmiſchen Linie zugehoͤret / in dieſer aber die Abſciſſen x die Logarithmi der Semiordinaten ſind (§. 284.) ſo muß auch ſay-1 dx (= x) der Loga - rithmus der Semiordinate ſeyn / und dan - nenhero koͤnnet ihr jederzeit fuͤr die Jntegral von ay-1dy oder ady: y den Logarithmum von y oder ly ſetzen. Es muß aber der Lo - garithmus in einer Logarithmiſchen Linie ge - nommen werden / deren Subtangens a iſt.
524. Da nun die Differential eines Loga -rith -332Anfangs-Gruͤnderithmi = ady: y / ſo koͤnnet ihr jetzt auch die jenigen Groͤſſen differentiiren / in welchen Logarithmi zu finden. Es ſey Z. E. lyn / ſo iſt die Differential nlyn-1 ady: y.
525. Es ſey die Differential eines Loga - rithmi = dy: (1+y); ſo iſt der Logarithmus der Zahl 1+y = ſdy: (1+y). Nun iſt 1: (1+y) = 1-y+y2 - y3 + y4 u. ſ. w. wie ihr es findet / wenn ihr in der That dividiret / und daher d. y: (1+y) = dy-ydy+y2dy - y3dy+y4dy &c. Derowegen iſt ſdy: (1+y) oder der Logari - thmus von der Zahl 1+y = y-½y2 + ⅓y3 - ¼y4 + ⅕y5 &c.
526. Weil nun l = y-½y2+⅓y3-¼y4 + ⅕ y5 &c. ſo findet ihr (§. 489); 〈…〉 〈…〉 &c. wo l den Logarithmum von 1 bedeutet und alſo = 0.
527. Jhr ſehet zugleich (§. 524) / wie die Differentiale der Logarithmiſchen Groͤſſen integriret werden / wenn man a fuͤr die Sub - tangentem der Logarithmiſchen Linie an - nimmet. Es iſt Z. E. ſlyn dy: y = lyn+1: (n+1) a / ſlydy V (aa+ly2) = (aa+ly2) 3: 2: 3a u. ſ. w.
528. Wenn man die Differential - Æquation nicht integriren kan / ſo ſuchet man dieſelbe auf die Qvadratur oder Rectification des Circuls / oder Pa - rabel / Hyperbel und Ellipſis zu reduciren / weil dieſe Linien bekandt ſind / und iſt vergnuͤget / wenn man ſa - gen kan / daß die Conſttuction der verlangten Linie von der Qvadratur oder Rectification einer von der gemeldeten Linien dependire: wovon ich noch einige Exempel hieher ſetzen muß. Jhr habet euch aber zu dem Ende alle Elemente der Flaͤchen und Laͤnge in den Kegelſchnitten bekandt zu machen / damit ihr umb ſo viel leichter wahr nehmet / auf was fuͤr eine Qvadratur oder Rectification ſich jeder vorkommender Fall redu - ciren laſſe.
529. Eine krumme Linie zu conſtrui - ren / in welcher dz = qdu.
Es bedeutet q eine Groͤſſe / die aus veraͤn - derlichen und unveraͤnderlichen in Geſtalt ei - nes Bruches zuſammen geſetzet iſt. Be - ſchreibet in unendlichen Faͤllen die unter der gegebenen Æquation begriffen ſind / eine krumme Linie / deren Abſciſſen = u / die Se - miordinaten = aq; ſo iſt das Element die - ſer Linie aqdu. Wenn ihr nun dieſes durch a dividiret / ſo bekommet ihr qdu. Derowe - gen richtet auf eben der Axe fuͤr die Abſciſſen u andere Semiordinaten auf / die = ſqdu / das iſt / dem Raume gleich ſind / der zwiſchen dieſer krummen Linie und ihren Coordinaten enthalten / wenn man ihn durch eine unver -aͤnder -334Anfangs-Gruͤndeaͤnderliche Groͤſſe a dividiret / ſo bekommet ihr die Linie / deren Differential-Æquation dz = qdu.
531. Es ſey ydx = ady oder dx = ady: y / ſo ſind die Semiordinaten der Linie von de - ren Qvadratur die Conſtruction dependiret / aa: y. Da nun die Æquation einer gleich - ſeitigen Hyperbel zwiſchen ihren Aſymptoten (§. 265) aa = zy. So erkennet ihr daraus die Art der Linie.
531. Wenn in der verlangten Linie die Subtangens = yV (aa+yy): a / ſo iſt dx = dyV (aa+yy): a. Alſo ſind die Semiordi - naten der Linie / von deren Qvadratur die Conſtruction dependiret / V (aa+yy). Wo - raus ihr abermal erkennet / daß es ei - ne ungleichſeitige Hyperbel ſey.
Ende des dritten Theiles.
532. Die Exponential-Rechnung beſtehet im Differentiiren und Jntegri - ren ſolcher Groͤſſen / die einen veraͤnder - lichen Exponenten haben. als xx / ax / und Exponential-Groͤſſen genennet wer - den.
533. Eine Exponential-Groͤſſe zu dif - ferentiiren.
Die gantze Kunſt kommet darauf an / daß man die Exponential-Groͤſſen auf Logarith - miſche reduciret / und ſie (§. 524) differentiiret. Setzet nemlich y x = z ſo iſt ylx = lz lxdy+ydx: x = dz: z (§. 524) z336Anfangs-Gruͤndez (lxdy + ydx: x) = dz das iſt xy (lxdy+ydx: x) = dz oder xylxdy+yxy-1dx = dz
Setzet abermahl xy v = z ſo iſt xylv = lz (xy lxdy+yxy-1dx) lv + xydv: v = dz: z z (xylxdy+yxy-1dx) lv+zxydv: v = z 〈…〉 Auf gleiche Weiſe verfahret ihr in andern Faͤllen.
534. Eine Exponential-Linie wird genennet eine krumme Linie / welche durch eine Exponential-Æquation er - klaͤhret wird / als wenn xx = y.
535. Wenn ihr die Exponential-Linien-Æ - quation differentiiret (§. 533) und den Werth von dx in dem Differential-Werthe der Sub -tan -337der Algebra. tangentis und Subnormal-Linie ſubſtitui - ret; ſo findet ihr wie in den Algebraiſchen Li - nien ihre Subtangentem und Subnormal - Linie. Es ſey Z. E. xx = y ſo iſt ylxdx + ydx = dy dx = dy: (ylx+y) ydx: dy = ydy: (ylx+y) dy = 1: (1+lx) Fuͤr die Subnormal-Linie iſt ydy: dx = (y2lxdx+y2dx): dx = y2lx+ y2 = y2xx+y2.
536. Die Differential einer Exponen - tial-Groͤſſe zu integriren.
Jhr ſollet Z. E. xxdx integriren. Setzet x = 1+y So iſt lx = l (1+y) dx = dy xx dx = xlxdx = l (1+y) (1+y) dy. Nun iſt l (1+y) = y-½y2 + ⅓y - ¼y4 + ⅕ y5 &c. Derowegen l (1+y) (1+y) dy = y(4) Yy+338Anfangs-Gruͤnde 〈…〉 folgends die verlangte Jntegral 〈…〉 〈…〉 &c. in wel - cher Reihe y = x - 1.
Auf gleiche Manier koͤnnet ihr in ande - ren Faͤllen verfahren.
537. Wenn ihr die Differential einer Ex - ponential-Groͤſſe integriren koͤnnet / ſo koͤn - net ihr auch die Exponential-Linien qvadri - ren / wenn ihr in dem Elemente der Flaͤche ydx den Werth x aus ihrer Æquation ſubſti - tuiret. Es ſey Z. E. xx = y / oder xlx = y / ſo iſt ydx = xlxdx. Setzet x = v +1 / ſo iſt 〈…〉 〈…〉 &c.
538. Man kan dieſe Aufgabe noch auf viele an - dere Art aufloͤſen / ich habe den Anfaͤngern nur die leichteſte zeigen ſollen.
539. Differentio-differentiiren heiſſet ſo viel als die Differential von einer Differential-Groͤſſe finden.
Zu -339der Algebra.540. Wenn die Differential dx iſt / ſo nennet ihre Differential oder die Differen - tio-Differential von x / ddx; die Differen - tial von ddx aber dddx u. ſ. w.
541. Eine jede gegebene Differenti - al-Groͤſſe von neuem zu differentiiren.
Es geſchiehet nach den Regeln (§. 396. & ſeqq. ) nach welchen die veraͤnderlichen Groͤſ - ſen differentiiret werden / nur daß man eine Differential-Groͤſſe meiſtentheils als eine unveraͤnderliche annimmet und