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Chriſtianus Wolfius Mathematum in Acadernia Fridericiana Profeßor Ordinarius Der Anfangs-Gruͤnde Aller Mathematiſchen Wiſſenſchafften
Erſter Theil /
Welcher Einen Unterricht Von Der Mathematiſchen Lehr-Art / die Rechen-Kunſt / Geometrie / Trigono - metrie / und Bau-Kunſt in ſich enthaͤlt / Und zu mehrerem Auffnehmen der Ma - thematick ſo wohl auff hohen als niedri - gen Schulen
Halle im MagdeburgiſchenA. MDCCX. Zufinden in Rengeriſcher Buchhandlung.

Dem Hochgebohrnen Brafen und Herrn / HERRN Ferdinand Ernſt / Grafen v. Herberſtein / ꝛc. ꝛc. Seiner Kaͤyſerlichen auch zu Hungarn und Boͤheim Koͤnigl. Majeſtaͤt Hochan - ſehnlichem Cammer-Herrn / des hohen Appellation - Gerichtes im Koͤnigreiche Boͤheim Hochbeſtall - ten Rathe und Referendario in Lehn-Sachen / Meinem Gnaͤdigen Herrn.

Hochgebohrner Brafe / Bnaͤdiger Herr /

DJe gruͤndliche Erkaͤntnis der Dinge iſt ein gewiſ - ſes Zeichen unſerer Voll - kommenheit. Daher entſtehet aus ihr ein ſuͤſſes Vergnuͤgen / und dieſes erreget ein inni - ges Verlangen / daß jederman wie un - unſer einer werden moͤchte. Wie tieffEuerZuſchrifft. Euer Hochgraͤflichen Gnaden die ent - ferneten Wahrheiten eingeſehen / lieget ſchon am Tage. Wie groß Dero Ver - gnuͤgen daruͤber ſey / kan man unter an - dern auch daraus abnehmen / daß ſo viel hohe und wichtige Geſchaͤffte Euer Hoch - graͤflichen Gnaden von Erſinnung neu - er Wahrheiten nicht abhalten koͤnnen / ſondern Sie in dieſer Bemuͤhung eine angenehme Ruhe finden / wenn ſie durch jene ermuͤdet worden. Endlich wie heff - tig das Verlangen nach dem Auffneh - men gruͤndlicher Wiſſenſchafften und nuͤtzlicher Kuͤnſte ſey; kan ich oͤffentlich zeigen / der ich bisher die Gnade gehabt mehr als auff eine Art ſolches zu erken - nen. Da ich nun unſeren Teutſchen in gegenwaͤrtigen Anfangs-Gruͤnden aller Mathematiſchen Wiſſenſchafften einen ebenen und geraden Weg zu einer gruͤndlichen Erkaͤntnis baͤhne; ſo trage ich nicht den geringſten Zweiffel / es wer - de niemand mehr als Euer Hochgraͤfli - chen Gnaden mein gegenwaͤrtiges Vor - haben billigen und demſelben einen er -) (3wuͤnſch -Zuſchrifft. wuͤnſchten Fortgang goͤnnen. Jch ge - dencke aber das letztere nicht beſſer zu er - halten / als wenn Dero hohes Exempel jederman / der dieſes Buch leſen wird / in die Augen leuchtet. Derowegen ha - be ich mir die Freyheit genommen / De - ro Hochgraͤflichen Nahmen demſelben vorzuſetzen / und dadurch zugleich bezei - gen ſollen / daß ich ſey

Hochgebohrner Grafe / Gnaͤdiger Herr / E. Hochgraͤfl. Gnaden

Unterthaͤnig-erge - benſter Chriſtian Wolff.

Vorrede.

DEr groſſe und vielfaͤltige Nutzen hat in un - ſeren Tagen die Mathemathiſchen Wiſſen - ſchafften ſo beliebt gemacht / daß ſie wohl niemals in ſo hohem Werthe geweſen / und mit ſol - chem Eifer getrieben worden. Und was iſt es Wun - der? So jemand uͤber die Kraͤffte des menſchlichen Verſtandes ſich erfreuet / der findet hier einen unver - gleichlichen Schatz der herrlichſten Proben / wie weit man durch rechten Gebrauch derſelben kom - men kan. Die Algebra und hoͤhere Geometrie zei - gen / daß nichts ſo tieff verborgen ſey / welches man nicht ergruͤnden koͤnte. Die Aſtronomie und Geo - graphie uͤberfuͤhren uns / daß nichts von uns ſo weit entfernet ſey / welches man nicht gnau erkennen und ausmeſſen koͤnte. Aus den Calendern und Ephe - meridibus kan man erſehen / mit was vor Gewiß - heit die Aſtronomi die Himmels-Begebenheiten vorher verkuͤndigen koͤnnen / unerachtet die Geſetze der Bewegung ihnen von niemanden offenbahret worden. Die Mathematiſche Lehr-Art giebt den rechten Gebrauch der Vernunfft zu erkennen / wie man nehmlich zu klahren / deutlichen und vollſtaͤndi - gen Begriffen gelange und daraus ohne Anſtoß die uͤbrigen Sachen herleite. Die Rechen-Kunſt / Trigonometrie und Algebra halten die allgemeinen Maximen in ſich / nach welchen der Verſtand gelei - tet wird / wenn er durch eigenes Nachſinnen die verborgene Wahrheit erfinden will / u. wie es anzu - greiffen / daß die Sinnen und Imagination im me -) (4diti -Vorrede. ditiren nicht hinderlich fallen / ſondern vielmehr die ſaure Arbeit dem Verſtande verſuͤſſen helffen. Ja die letztere giebet uns ein Muſter der vollkom - menſten Manier eines aus dem andern zuſchlieſſen / zu welcher der menſchliche Verſtand gelangen kan / wenn er den hoͤchſten Gipffel der Vollkommenheit erſtiegen. Die Optick und zum Theil die Aſtro - nomie weiſen einen klahren Unterſcheid zwiſchen der Erkaͤntnis des Verſtandes und der Vorſtel - lung der Dinge in den Sinnen und der Imagina - tion. Derowegen iſt kein gewiſſerer Weg zur Erkaͤntnis der Kraͤffte des Menſchlichen Verſtan - des zugelangen / als wenn man mit Ernſt die Mathe - matiſchen Wiſſenſchafften treibet / und / weil man eine Fertigkeit nicht anders als durch ſtete Ubung erhalten kan / iſt dieſes zugleich das ſicherſte Mittel zu hurtigem Gebrauche der Vernunfft / ſo wol in Erfindung der noch verborgenen / als in Beurthei - lung der bereits erfundenen Wahrheit zugelangen / und ſich von der ſchaͤdlichen Herrſchafft der Sin - nen und Imagination zu befreyen / das iſt / alle Jrr - thuͤmer und Vorurtheile gluͤcklich zu vermeiden. Und aus dieſer Abſicht lieſſen die alten Griechen niemanden ſtudiren / er hatte denn zuvor die Rechen - Kunſt und Geometrie inne: welchem loͤblichen Exem - pel heute zu Tage die Frantzoſen und Engellaͤnder ruͤhmlich und mit großem Nutzen nachfolgen.

Wer die Geheimniſſe der Natur zu erforſchen Luſt hat und ſich daruͤber vergnuͤget / wenn er die unermaͤßliche Weisheit und Macht des allein wei - ſen und allmaͤchtigen Schoͤpffers und ErhaltersderVorrede. der Welt nicht aus Unwiſſenheit / ſondern mit Ver - ſtande in ſeinen herrlichen Wercken bewundern / und die Creatur ſo wol ſich als anderen zu ſeinem Dienſte nach dem Befehle des HErrn unterthaͤ - nig machen kan; der wird durch Huͤlffe der Mathe - matick in kurtzem in dieſer Arbeit weiter kommen / als er jemals moͤglich zu ſeyn erachtet haͤtte / hin - gegen ohne ihren Beyſtand nur immer anfangen und nichts vollenden / ja wenn er es weit bringet / den Schatten fuͤr das Weſen halten / ich will ſagen / mit leeren Woͤrtern der Kraͤffte / Seelen und Geiſter ſich und andere unverſtaͤndige bethoͤren / folgends ſo wol von einer deutlichen Erkaͤntnis der Macht und Weisheit GOttes / als von der Herrſchafft uͤber die Creatur weit entfernet bleiben. Zeit und Ort wollen es nicht leiden / daß ich ſolches aus der Beſchaffenheit der natuͤrlichen Dinge erweiſen kan. Derowegẽ will ich dieſes bis zu andeꝛer Gelegenheit verſpahren; und begnuͤge mich jetzt das Zeugnis des beruͤhmten Boyle anzufuͤhren / welcherin der Experi - mental-Philoſophie und Chymie mehr gethan als andere / u. mehr darauff verwendet / als viele mitein - ander ſelten verwenden werden. Er ſchreibet aber in ſeinẽ Conſiderationibus circa utilitatem Philo - ſophiæ naturalis experimentalis Exercitat. 6. §. 2. p. m. 483. alſo: Unerachtet ich mich vor dieſem bemuͤhet Keplers u. anderer neueren Aſtrono - morum ungereimte Meinung zu behaupten / daß die Mathematick einẽ gaꝛ nicht geſchickter mache / die Erkaͤntnis der natuͤrl. Dinge leich - ter zu erlangen; ſo muß ich doch auffrichtig ge -) (5ſte -Vorrede. ſtehen / daß / nach dem mir meine Experimen - te / inſonderheit die Mechaniſchen / den groſſen Nutzen der Mathematick in deꝛ Phyſick hand - greifflich zu erkennen gegeben / ich ſchon oͤffters gswuͤnſchet habe / daß ich auff die Theorie in der Geometrie und auf die Algebra / welche ich noch als ein Knabe erlernet habe / den groͤſten Theil der Zeit und des Fleißes gewendet haͤt - te / den ich mit der Planimetrie und Fortifica - tion (wovon ich einen gantzen Tractat ſelbſt geſchrieben) und andern practiſchen Theilen der Mathematick zugebracht. Und in der Vorrede uͤber ſeine nova experimenta de vi aëris elaſtica leſen wir folgende Worte: Jch beſorge / daß ich die in der Mathematick erfahrnen Leſer werde um Verzeihung bitten muͤſſen / daß ich einige Dinge nicht ſo gnau abgehan - delt / als geſchehen waͤre / wenn ich die Ma - themathick beſſer verſtanden haͤtte. Allein was braucht es weiter Zeugnis / da die Sachen ſelbſt reden? Hat man nicht durch die Mathematick die Structur des groſſen Welt-Gebaͤudes / die ewigen Geſetze der Bewegung der groſſen Welt-Coͤrper / die wahre Beſchaffenheit und Eigenſchafften der - ſelben / die Urſachen ihrer Bewegung in der Aſtro - nomie erfunden und dadurch erhalten / daß ſie uns zu Zeugen der unausſprechlichen Majeſtaͤt des groſ - ſen GOttes und untruͤglichen Zeichen der Zeit in der Chronologie dienen muͤſſen / dazu ſie von dem HErꝛn geſetzet wordẽ? Hat man nicht duꝛch die Ma - themathick die Natur des Lichtes und der Farbe / unddieVorrede. die unveraͤnderl. Geſetze des Sehens in den Opti - ſchen Wiſſenſchafften heraus gebracht / u. dadurch die wahre Beſchaffenheit aller Empfindung deutlich erlaͤutert / auch die Natur ſo gluͤcklich beherrſchet / daß ſie uns muß ſehen laſſen / was ſie fuͤr uns ver - ſteckt hatte? Hat man nicht durch die Mathematick in der Mechanick und Hydraulick die Geſetze der Be - wegung; in der Hydroſtatick die Geſetze der Schwee - re erſonnen? Und wer iſt in den Schrifften der Phy - ſicorum ſo wenig erfahren / daß er nicht wuͤſte / was dieſe Wiſſenſchafften zu Erkaͤntnis der natuͤrlichen Dinge beytragen / und wie ſie es unvermerckt lichte machen / da andere in einer Egyptiſchen Finſternis ſitzen? Habe ich nicht in meinen Elementis Aëro - metriæ gewieſen / mit was fuͤr Nutzen man die Mathematick auf die Experimente applicire / und wie daher allein die voͤllige Gewißheit in der Phy - ſick komme? Mit einem Worte / es wird niemand leugnen / daß die Mathematick der Schluͤſſel zu den feſt verwahreten Schaͤtzen der Natur ſey / als der noch nichts damit auffgeſchloſſen.

Fraget einer nach Wiſſenſchafften / welche in dem menſchlichen Leben groſſen Nutzen haben; ſo trage ich kein Bedencken die Mathematiſchen zu nennen. Waͤre mir vergoͤnnet weitlaͤufftig zu ſeyn / ſo wolte ich zeigen / wie die Rechnung Haus-halten hilfft / und mit der Geometrie viele Vortheile zei - get / die man in der Haushaltung oͤffters uͤberſehen wuͤrde; wie die Arithmetick / Geometrie / Baukunſt / Mechanick und Hydraulick einen jeden Haus-Va - ter vorſichtig macht; wie die meiſten Mathemati -ſchenVorrede. ſchen Wiſſenſchafften / als die Arithmetick / die Baukunſt / Mechanick / Hydraulick / Hydroſtatick / Optick und Aſtronomie kein reiſender entrathen kan / wo er nicht der groͤſten Anmuth und des mei - ſten Nutzens / den er vom reiſen haben kan / ſich un - verantwortlich berauben will; was fuͤr Nutzen Cammer-Raͤthe groſſer Herren / Juriſten in Fa - cultaͤten / Perſohnen im Rathe und anderen Gerich - ten / ingleichen alle Kuͤnſtler von einigen Mathema - tiſchen Diſciplinen zugewarten haben; mit einem Worte: wie das groͤſte Theil der irrdiſchen Gluͤck - ſeligkeit auff die Mathematick erbauet ſey / und ohne ſie keine Republic wohl beſtellet werden kan. Allein weil dieſe Dinge groͤſten Theils einem jeden / der ſich umſiehet / in die Augen fallen: ſo habe ich um ſo viel weniger noͤthig viel Worte davon zu machen.

Weil nun die Mathematiſchen Wiſſenſchafften von ſo vielfaͤltigem Nutzen ſind / ich aber die Zeit uͤber / da ich in Leipzig und Halle dieſelben der ſtu - dierenden Jugend erklaͤret / aus eigener Erfahrung befunden / daß es an einem ſolchen Buche fehle / da - durch man ohne Umbwege allen Lernenden nach ihren gantz verſchiedenen Abſichten ein Gnuͤgen thun / auch ihnen die Repetition ſo viel moͤglich er - leichtern koͤnte; habe ich deſto lieber dieſen Mangel durch meine Arbeit zu erſetzen getrachtet / jemehr mich andere dazu auffgemuntert und ſich einigen Nutzen davon verſprochen haben. Damit aber dieſes Werck mit rechten Augen angeſehen werde; muß ich etwas weniges von deſſen Einrichtung er - rinnern. Denen jenigen zu liebe / welche die Ma -thema -Vorrede. themathick zu erlernen gedencken / wie ſie im menſchlichen Le - ben / und auff Reiſen genutzet werden kan / habe ich alle practi - ſche Theile ausfuͤhrlicher abgehandelt / als bisher in keiner Anleitung fuͤr Anfaͤnger geſchehen. Und da jeder Gedancke ſeinen beſonderen Nahmen fuͤhret; werden diejenigen leicht ſe - hen / was ſie zu uͤbergehen haben / die bloß auff praxin ſehen. Sie werden ſich nehmlich in der Arithmetick mit den Erklaͤ - rungen und Auffgaben / in der Geometrie mit den Erklaͤrun - gen / einigen Lehrſaͤtzen und Auffgaben ohne ihren Beweis / in der Trigonometrie mit den Erklaͤrungen und wenigen Auff - gaben vergnuͤgen koͤnnen. Jn der Baukunſt und Artillerie wird nichts noͤthig zu uͤbergehen ſeyn. Jn der Fortification koͤnnen ſie die Trigonometriſchen Rechnungen weg laſſen: Jn der Mechanick und Hydroſtatick den Beweis einiger Lehrſaͤ - tze. Die Aerometrie und Hydraulick enthaͤlt nichts ſchwee - res. Aus der Optick und Aſtronomie / ingleichen der Geo - graphie / erwehlen ſie nur dasjenige / was ohne die Trigonome - trie und Geometriſche Theorie erkandt werden kan. Die Chronologie und Gnomonick iſt durchgehends von ſchweeren Beweiſen frey. Die Sphaͤriſche, Trigonometrie und Alge - bra haben ſie nicht noͤthig. Jch rede aber jetzt nur von Leuten / die wenige Gedult haben: denn ſonſt doͤrffen ſie nichts als die Algebra und die Aſtro nomiſchen Rechnungen mit der Sphaͤ - riſchen Trigonometrie uͤbergehen. Die nun aber durch die Mathematick zu hurtigem Gebrauche ihrer Vernunft gelan - gen wollen / und nach gruͤndlicher Erkaͤntnis der Natur und Kunſt trachten; werden in dieſen Anfangs-gruͤnden einen ebenen Weg dazu finden. Nur muͤſſen ſie alles in der Ord - nung durchgehen und oͤffters uͤberdencken / ohne daß ſie die Baukunſt / Artillerie und Fortification weglaſſen koͤnnen / wenn ſie dazu keine Luſt haben. Abſonderlich aber iſt neben der Arithmetick / Geometrie und Trigonometrie / ihnen die Algebra und Geometriſche Aſtronomie noͤthig. Jch habe die Mathematiſche Lehr-Art ſo viel moͤglich obſerviret / und mich einig und allein an die Ordnung gebunden / wie die Sa - chen am leichteſten aus einander fließen. Die Theorie iſt mit der praxi beſtaͤndig verknuͤpffet / damit ſie nicht unange -nehmVorrede. nehm wuͤrde. Jn der Geometrie iſt der Kern von allen Lehr - ſaͤtzen enthalten / damit man uͤberall auskommen kan / wenn man es gleich weit zu bringen gedencket. Die meiſten Be - weiſe ſind aus den drey Lehrſaͤtzen von der Gleichheit der Tri - angel hergeleitet / daß es dannenhero den Anfaͤngern nicht ſchweer fallen kan derſelben zugewohnen / zumal wenn entwe weder der Lehrer / oder ſie ſelbſt alles durch die gebrauchte Zei - chen vor ſich ſchreiben / was in den angenommenen Bedin - gungen der Lehrſaͤtze / oder in den Aufloͤſungen der Auffgaben enthalten / und daraus durch vorhergehende Lehrſaͤtze geſchloſ - ſen wird. Jn den Aufloͤſungen habe ich alles / was zu thun iſt / hinter einander gleichſam an den Fingern hergezehlet / und die Exempel in Rechnungen gantz mit hinein drucken laſſen / auch durch verſchiedenen Druck die verſchiedenen Sachen von einander unterſchieden / damit die Imagination nicht geirret / und dadurch der Verſtand im Nachdencken geſtoͤhret werde. Jch habe dieſe Anfangs-Gruͤnde Teutſch geſchrieben / weil ſieunſern Tentſchen zu Dienſte ſtehen ſollen; Doch werden die Liebhaber der Lateiniſchen Sprache ſie auch bald in der - ſelben leſen koͤnnen. Die Kunſt-Woͤrter habe ich nach dem Exempel der Frantzoſen / Engellaͤnder und Auslaͤnder behal - ten / und ihnen nur unſerer Mund Art gemaͤße Endungen ge - geben. Die eingeſchlichenen Druckfehler / welche einen un - geuͤbteñ auffhalten koͤnten / ſind zu Ende angemercket worden. Die uͤbrigen wird der geneigte Leſer ſelbſt verbeſſern. GOtt aber gebe demſelben ſeinen Seegen / damit er von meiner we - nigen Arbeit den Nutzen habe / den ich ihm von Her - tzen wuͤntſche.

Bericht an den Buchbinder.

Hinter jede Wiſſenſchafft muͤſſen ſo viel weiße Blaͤtter Papier gebunden werden / als dazu Ta - bellen von den Kupffern gehoͤren / damit dieſelben dergeſtalt eingeleget werden / daß man ſie gantz aus dem Buche heraus ſchlagen kan.

[1]

Kurtzer Unterricht / Von der Mathematiſchen Methode / Oder Lehr-Art.

[2][3]

Vorrede.

Geneigter Leſer:

ES iſt viel daran gelegen / daß man die Mathematiſche Lehr - Art wohl verſtehe. Denn wenn man weiß / was ſie zu ſagen hat; giebt man nicht allein auf alle Lehren / die vorgetragen werden / genaue acht und er - kennet die Urſache ihrer unwiderſprechli - chen Gewißheit / ſondern man lernet auch dieſelbe deſto hurtiger in anderen Wiſſen - ſchafften anbringen. Dieſer Nutzen aber iſt allein zulaͤnglich alle und jede / die ſich auf das Studieren legen / zu Erlernung der Mathematick zu verbinden / wenn ſie gleich ſonſt ihre Wahrheiten die gantze Zeit ihres Lebens zu nichts brauchen wuͤrden. Und aus dieſer Abſicht pflegen auch alle verſtaͤndige mit ſonderbahrem Eyfer die Mathematick den Studierenden zu re - commendiren. Jch begnuͤge mich jetzt nur den Locke in ſeinem Tractate von der Leitung des menſchlichen Verſtandes p. 30. (welcher nebſt einigen ſeiner andern Wercke nach ſeinem Tode zu Londen 1706. heraus kommen /) den Malebranche in ſeinein Wercke von Erfindung der Wahr -A 2heit4Vorrede. heit (lib. 6. c. 4. & 5.) und den Herrn von Tſchiernhauſen in ſeiner Einleitung zur Matheſi und Phyſica, darinnen er den Nutzen dieſer beyden Wiſſenſchafften vor - ſtellet und die Art ſelbige zu ſtudieren be - ſchreibet / anzufuͤhren. Und zwar fuͤhre ich dieſe drey Maͤnner fuͤr allen andern darumb an / weil alle verſtaͤndige beken - nen: daß dieſe von dem menſchlichen Ver - ſtande am beſten geſchrieben. Die Ma - thematiſche Methode hat niemand ge - ſchickter als der Herr von Tſchiernhauſen in ſeiner Medicina mentis erklaͤhret: wel - ches Buch dannenhero alle billig mit Be - dacht durchleſen ſollen / die den Gebrauch der Kraͤffte ihres Verſtandes erlernen wollen. Doch wird in dieſem kurtzen Be - richte der geneigte Leſer vielleicht noch ei - nes und das andere finden / welches er auch in dem angefuͤhrten vortreflichen Wercke vergebens ſuchet. Und darf ich ohne Scheu ſagen / wer dieſen kleinen Un - terricht zuvor geleſen / wird des Herrn von Tſchiernhauſens Medicinam Mentis viel beſſer und leichter als ſonſt verſtehen koͤn - nen: Welches ich einem jeden Liebhaber der Wahrheit von Hertzen wuͤnſche.

5

Kurtzer Unterricht / Von der Mathematiſchen Me - thode.

§. 1.

DJe Lehr-Art der Mathe -Ordnuñg der Ma - themati - ſchen Me - thode. maticorum faͤngt an von den Erklaͤhrungen / gehet fort zu den Grund - Saͤtzen und hiervon weiter zu den Lehr-Saͤ - tzen und Aufgaben: uͤberall aber werden Zuſaͤtze und Anmer - ckungen nach Gelegenheit angehaͤnget.

§. 2. Die Erklaͤhrungen (Deſinitiones)Was Er - klaͤhrun - gen ſind. ſind zweyerley: Entweder Erklaͤhrungen der Woͤrter (definitiones nominales,) oder Erklaͤh - rungen der Sachen (definitiones reales.)

§. 3. Die Erklaͤhrungen der WoͤrterWas Er - klaͤhrun - gen der Woͤrter ſind. geben einige Kennzeichen an / daraus die Sa - che erkannt werden kan / die einen gegebenenA 3Nah -6Kurtzer UnterrichtNahmen fuͤhret Als wenn in der Geome - trie geſaget wird / ein Qvadrat ſey eine Fi - gur / welche vier gleiche Seiten und gleiche Winckel hat.

Was Er - klaͤhrun - gen der Sache ſind.

§. 4. Die Erklaͤhrungen der Sachen ſind ein klahrer und deutlicher Begrief von der Art und Weiſe / wie die Sache moͤglich iſt: Als wenn in der Geometrie geſaget wird; ein Circul wird beſchrieben / wenn ei - ne grade Linie ſich umb einen feſten Punct beweget.

Was ein Begrief iſt.

§. 5. Wir nennen einen Begrief einen jeden Gedancken / den man von einer Sa - che hat.

Was ein klahrer Begrief iſt.

§. 6. Es iſt aber mein Begrief klahr / wenn meine Gedancken machen / daß ich die Sache erkennen kan / ſo bald ſie mir vor - kommt / als z. E. daß ich weiß / es ſey dieje - nige Figur / welche man einen Triangel nennet.

Was ein dunckler Begrief iſt.

§. 7. Hingegen iſt der Begrief dunckel / wenn meine Gedancken nicht zulangen die Sache / ſo mir vorkommt / zu erkennen / als wenn mir eine Pflantze gezeiget wird und ich bin zweifelhafft / ob es eben dieſelbige ſey / die ich zu anderer Zeit geſehen und die dieſen o - der jenen Nahmen fuͤhret.

Was ein deutlicher Begrief iſt.

§. 8. Der klahre Begrief iſt deutlich / wenn ich einem ſagen kan / aus was fuͤr Merck - mahlen ich die vorkommende Sache erkenne / als wenn ich ſage. ein Circul ſey einin7von der Mathemat. Methode. in eine in ſich ſelbſt laufende krumme Linie ein - geſchloſſener Raum / deſſen iedes Punct von dem Mittelpuncte deſſelben gleich weit weg iſt.

§. 9. Ein klahrer Begrief aber iſt ver -Was ein verwier - ter Be - grief iſt. wirret / wenn man einem die Merckmahle nicht ſagen kan / daraus man die vorkom - mende Sache erkennet: dergleichen ihr von der rothen Farbe habt.

§. 10. Es iſt ein deutlicher Begrief voll -Was ein vollſtaͤn - diger Be - grief iſt. ſtaͤndig / wenn man auch von den Merckmah - len / die er einſchlieſt / deutliche Begrieffe hat. Als wenn man in der angegebenen Erklaͤh - rung des Circuls (§. 4.) auch einen deutli - chen Begrief von der graden Linie / von dem Puncte / von einem feſten Puncte und von der Bewegung umb daſſelbe hat.

§. 11. Hingegen iſt er unvollſtaͤndig /Was ein unvoll - ſtaͤndiger Begrief iſt. wenn man von den Merckmahlen / die er in ſich faſſet / keine deutliche Begrieffe hat.

§. 12. Jn den Mathematiſchen Wiſſen - ſchafften befleißiget man ſich fuͤr allen Din -Was fuͤr Begriffe in der Mathe - matick gelten. gen auff deutliche und vollſtaͤndige Begriffe / ſo wohl in den Erklaͤhrungen der Sachen / als in den Erklaͤhrungen der Woͤrter.

§. 13. Daher findet man in den folgenden Erklaͤhrungen keine Woͤrter / welche nicht ent -Beſchaf - fenheit ihrer Er - klaͤhrun - gen. weder ſchon in den vorhergehenden erlaͤutert worden oder als anders woher bekant ange - nommen werden koͤnnen.

A 4§. 14.8Kurtzer Unterricht /
Wenn man mit einem ver wirreten Begrieffe zu frie - den.

§. 14. Ja wenn man in einigen Faͤllen mit einem verwirreten Begrieffe vergnuͤget ſeyn kan / ſo muß er ſo beſchaffen ſeyn / daß man zu denſelben bald ohne Muͤhe gelangen kan / und dannenhero von einer Sache / umb derer Gegenwart man ſich nicht ſonderlich zube - muͤhen hat.

Was die Erklaͤh - rungen uͤber - haupt ſind.

§. 15. Es ſind aber die Erklaͤhrungen uͤberhaupt die erſten Gedancken / die man ſich von den Sachen macht / dadurch man ſie von andern unterſcheidet und daraus man das uͤbrige herleitet / welches man weiter von dieſen Sachen gedencken kan.

Die erſte Art Erklaͤh - rungen zufinden.

§. 16. Man gelanget zu den Erklaͤhrungen der Woͤrter auff verſchiedene Weiſe. Der erſte Weg iſt / wenn man die Sache gegen - waͤrtig wahr nimmt. Auf ſolche Weiſe er - kennet man / daß eine Monds-Finſternis eine Beraubung des Lichts im Vollmond ſey.

Ausuͤ - bung der - ſelben.

§. 17. Soll nun unſere Wort-Erklaͤhrung ein deutlicher Begrief werden / ſo muͤſſen wir mit gutem Bedacht alles von einander un - terſcheiden / was ſich unterſcheiden laͤſt / auff jedes anfangs ins beſondere acht haben und nach dem alles gegen einander halten.

Die an - dere Art.

§. 18. Wenn man die nach vorgeſchriebe - ner Art gefundene Erklaͤhrungen betrachtet / findet man zuweilen gewiſſe Umbſtaͤnde / die man weglaſſen kan; ſo bekommt man durch Weglaſſung derſelben eine neue Erklaͤhrung / die mehrern Dingen als die erſte zukommt. z. E.9von der Mathemat. Methode. z. E. Jch ſetze / ihr habet auf mehr gemeldete Weiſe den Begrief eines Dreyeckes bekom - men / daß es ein Raum ſey / der in drey Lini - en eingeſchloſſen iſt. Laſſet den beſondern Umbſtand / daß drey derſelben Linien ſeyn ſollen / weg; ſo bleibt der Begrief einer Fi - gur uͤbrig / daß ſie ſey ein Raum / der in Linien eingeſchloſſen iſt.

§. 19. Wenn man Erklaͤhrungen / ſie moͤ -Die drit - te Art. gen gefunden worden ſeyn wie ſie wollen / der - geſtalt uͤberleget / daß man auf die beſonderen Umſtaͤnde / dadurch die Sache in ihrer Art determiniret wird / acht hat; ſo kan man durch Nachahmung andere aͤhnliche Umb - ſtaͤnde erdencken / und dadurch andere Sa - chen in ihrer Art determiniren. Und ſol - cher geſtalt findet ihr abermals neue Erklaͤh - rungen. z. E. Wenn ihr bedencket / daß ei - ne Figur ein Dreyecke ſey / ruͤhre von dem be - ſonderen Umbſtande her / daß ſie drey Sei - ten hat; ſo koͤnnet ihr denſelben in einen an - dern verwandeln und z. E. ſetzen / der Raum ſey in vier / oder in 5. oder in 6. Seiten u. ſ.w. eingeſchloſſen. Alsdenn habt ihr neue Er - klaͤhrungen der Vier-Ecke / Fuͤnf-Ecke / Sechs-Ecke u. ſ. w.

§. 20. Ja wie ihr in der andern Art eini -Die vierdte Art. ge Umbſtaͤnde weglaſſet / ſo koͤnnet ihr im Widerſpiele auch neue hinzuſetzen / welche die Sache in denen Dingen determiniren / ſo in der vorgegebenen Erklaͤhrung noch unde -A 5ter -10Kurtzer Unterricht /terminiret ſind. z. E. Wenn ihr die Er - klaͤhrung eines Dreyeckes uͤberdencket / ſo findet ihr / daß in demſelben nicht determini - ret worden / ob die Linien grade oder krum / noch auch ob ſie gleich oder ungleich ſeyn ſol - len. Setzet demnach erſtlich / ſie ſollen gra - de ſeyn: ſo habet ihr die Erklaͤhrung eines gradelinichten Dreyeckes. Setzet ferner / ſie ſollen alle drey einander gleich ſeyn: ſo ha - bet ihr die Erklaͤhrung eines gleichſeitigen Dreyeckes / u. ſ. w.

Die Moͤg lichkeit der Er - klaͤhrung

§. 21. Wenn ihr die Erklaͤhrungen auf die erſte Weiſe gefunden / ſo ſeyd ihr gewiß / daß ſie moͤglich ſind. Denn wer wolte zweifflen / daß dieſes ſeyn koͤnte / welches ihr wuͤrcklich antreffet? Eben ſo ſind die - jenigen moͤglich / welche ihr nach der andern Art von moͤglichen abziehet. Hingegen wenn ihr ſie von Erklaͤhrungen abziehet / de - ren Moͤglichkeit ihr noch nicht erkant habet; ſo wiſſet ihr auch nicht / ob dieſelben moͤglich ſind oder nicht. Z. E. wenn ihr wuͤrcklich wahrgenommen / daß ein Raum in drey gerade Linien eingeſchloſſen ſey / ſo habt ihr keinen Zweiffel daruͤber / ob ein Raum in drey gerade Linien koͤnne geſchloſſen wer - den oder nicht / das iſt / ob die Erklaͤhrung des gradelienichten Dreyecks moͤglich ſey oder nicht. Wenn ihr nun den Begrief einer Figur davon abziehet / daß ſie ein Raum ſey / der in Linien eingeſchloſſen iſt; ſoiſt11von der Mathem. Methode. iſt gleichfalls gewiß gnung / daß ein Raum in Linien eingeſchloſſen werden kan. Derowe - gen koͤnnet ihr dieſe Erklaͤhrungen als unwi - derſprechliche Gruͤnde der Erkaͤntniß anneh - men und verſichert ſeyn / alles dasjenige / was durch richtige Schluͤſſe aus denſelben herge - leitet wird / ſey gleichfalls moͤglich.

§. 22. Hingegen verhaͤlt es ſich gantz an -Wenn ſie unter - ſucht werden muß. ders mit den Erklaͤhrungen / welche nach der dritten und vierdten Methode ausgeſonnen werden. Denn wenn ihr nach der dritten Methode (§. 19.) die beſondern Umſtaͤnde / dadurch die Sache in ihrer Art determini - ret wird / in andere aͤhnliche verwandelt: ſo koͤnnet ihr nicht wiſſen / ob es moͤglich ſey / daß durch die willkuͤhrlich angenommene Umſtaͤn - de eine Sache determiniret werden kan. Z. E. wenn ihr wiſſet / ein Raum kan in drey Li - nien eingeſchloſſen werden; ſo iſt daraus noch nicht klahr / daß er auch in vier / in fuͤnff und in ſechs Linien eingeſchloſſen werden kan. E - ben ſo iſt euch in der vierdten Methode unbe - kandt / ob die willkuͤhrlich hinzugeſetzten Um - ſtaͤnde / dadurch ihr eine Sache genauer zu determiniren geſucht / moͤglich ſind. Denn wenn gleich ein Raum z. E. in drey gerade Linie eingeſchloſſen werden kan; ſo folget dar - aus noch nicht / daß alle drey Linien einander gleich ſeyn koͤnnen. Denn in beyden Faͤllen kan euer Willkuͤhr nichts moͤglich machen; ſondern die Moͤglichkeit beruhet auf der Na -tur12Kurtzer Unterrichttur und Beſchaffenheit der Sachen. Und derowegen muͤſſet ihr aus dieſer dieſelbe zu er - weiſen euch bemuͤhen: Wollet ihr auch dieſe Erklaͤhrung als unwiederſprechliche Gruͤnde der Erkaͤntnis annehmen. Dannenhero als Euclides die Erklaͤhrung des gleichſeiti - gen Dreyeckes nach der vierdten Methode gefunden hatte; zeigte er bald in der erſten Aufgabe / wie ein gleichſeitiges Dreyeck auf einer jeden gegebenen Linie conſtruiret wer - de / umb die Moͤglichkeit deſſelben unter an - dern mit darzuthun.

Was bey den Er - klaͤhrun - gen der Sachen zu beden - cken.

§. 23. Was die Erklaͤhrung der Sachen betrifft / ſo zeigen dieſelbigen / wie eine Sache moͤglich iſt / das iſt / auf was fuͤr Art und Weiſe ſie entſtehen kan (§. 4.) Und derowe - gen hat man bey denſelbẽ auf zweyeꝛley zu ſe - hen / nemlich auf diejenigen Dinge / welche zu ihrer Moͤglichkeit etwas beytragen / und auf dasjenige / was ſie dazu beytragen. Z. E. wenn ein Circul erklaͤhret wird / daß er entſte - he / wenn ſich eine gerade Linie umb einen fe - ſten Punct herumb beweget; ſo erfordert man zu ſeiner Moͤglichkeit einen Punct und eine gerade Linie / der Punct ſoll unbeweglich ſeyn / und alſo die Bewegung der Linie regu - liren / die gerade Linie aber ſoll ſich dergeſtalt bewegen / daß ſie wieder an den Ort koͤmt / wo die Bewegung ſich angefangen.

Wie ihre Moͤglich - keit zu

§. 24. Wenn nun die Erklaͤhrungen der Sachen ihre Richtigkeit haben / oder moͤglichſeyn13von der Mathemat. Methode. ſeyn ſollen / ſo muß man verſichert ſeyn / daßunterſa - chen. dergleichen Dinge ſeyn koͤnnen / als darzu er - fordert werden / und daß auch von ihnen her - ruͤhren kan / was ihnen beygeleget wird. Z. E. wil man verſichert ſeyn / daß ein Circul durch die Bewegung eienr geraden Linie um einen feſten Punct koͤnne beſchrieben werden; ſo muß man gewiß ſeyn / daß eine Linie in ei - nem unbeweglichen Puncte koͤnne befeſtiget und doch umb daſſelbe beweget werden.

§. 25. Zu dieſer Gewißheit gelanget manWeitere Ausfuͤh - rung des vorigen. entweder durch die Erfahrung / oder durch die Erinnerung desjenigen / was man vorhin durch richtige Schluͤſſe gefunden. Z. E. aus der Erfahrung iſt klahr ohne vieles Nach - ſinnen / daß eine Linie an einem Puncte der - geſtalt befeſtiget werden kan / daß ſie ſich umb denſelben bewegen laͤſt. Hingegen wenn ich ein dreyeckichtes Priſma beſchreibe / daß es entſtehe / wenn ein Triangul an einer Linie ſich herunter beweget; wird durch richtige Schluͤſſe ausgemacht / daß drey Linien einen Raum einſchlieſſen koͤnnen. Denn weil man von jedem Puncte zu jedem Puncte eine gerade Linie ziehen kan / ſo kan ein jeder Win - ckel durch eine gerade Linie geſchloſſen wer - den. Nun hat der Winckel zwey gerade Liniẽn zu ſeinen Schenckeln: wenn er nun noch durch eine geſchloſſen wird / ſo iſt der Raum nothwendig von drey geraden Linien eingeſchloſſen.

§. 26.14Kurtzer Unterricht
Wie ſie in der Geome - trie zu ſinden.

§. 26. Jn der Geometrie faͤllet es nicht ſchweer die Erklaͤhrungen der Sachen zu fin - den. Denn die Bewegungen der Puncte geben Linien; die Bewegungen der Linien Flaͤchen; die Bewegungen der Flaͤchen Coͤrper. Wenn man alſo die Puncte / Li - nien und Flaͤchen auf alle erſinnliche Art com - biniret / und ihnen nach und nach alle moͤgli - che Arten der Bewegungen zueignet / ſo kom - men die verlangten Erklaͤhrungen heraus.

Was Grand - ſaͤtze ſind.

§. 27. Die Erklaͤhrungen ſowol der Woͤr - ter als der Sachen koͤnnen entweder vor ſich ins beſondere erwogen / oder mit andern ver - glichen werden. Betrachtet ihr dasjenige / was in den Erklaͤhrungen enthalten iſt / und ſchlieſſet etwas unmittelbahr daraus; ſo nen - nen wir ſolches einen Grundſatz. Z. E. wenn ihr bey der Erklaͤhrung des Circuls be - dencket / daß die Linie / welche ſich umb den Mittelpunct herumb beweget / immer einer - ley Laͤnge behaͤlt; ſo werdet ihr bald begreif - fen / daß alle Linien welche aus dem Mittel - puncte an die Peripherie gezogen werden / ein - ander gleich ſind. Dieſe Wahrheit nun iſt ein Grundſatz.

Jhr Un - terſcheid.

§. 28. Dieſe Grundſaͤtze zeigen entweder / daß etwas ſey / oder daß etwas koͤnne gethan werden. Ein Grundſatz von der erſten Art iſt / den wir erſt aus der Erklaͤhrung des Circuls hergeleitet / daß nemlich alle Li - nien / die aus dem Mittelpuncte an die Peri -phe -15von der Mathem. Methode. pherie gezogen werden / einander gleich ſind. Hingegen ein Grundſatz von der andern Art iſt / der aus der Erklaͤhrung der geraden Linie flieſſet / daß nemlich von einem jeden Puncte zu jedem Puncte eine gerade Linie koͤnne ge - zogen werden. Jm lateiniſchen nennet man die Grundſaͤtze der erſten Art Axiomata; die Grundſaͤtze aber der andern Art Poſtulata. Jch habe es nicht vor noͤthig erachtet dieſel - ben von eiander zu unterſcheiden / weil beyde auf einerley Art aus den Erklaͤhrungen ent - ſpringen / und alſo weſentlich mit einander - bereinkommen.

§. 29. Weil nun die Grundſaͤtze unmittel -Warum ſie keinen Beweiß erfodern. bahr aus den Erklaͤhrungen gezogen werden / haben ſie keines Beweiſes noͤthig / ſondern ih - re Wahrheit erhellet / ſo bald man die Erklaͤh - rungen anſiehet / daraus ſie flieſſen. Man kan demnach nicht ehe verſichert ſeyn / ob der Grundſatz wahr ſey oder nicht / biß man die Moͤglichkeit der Erklaͤhrungen unterſuchet hat. Sonſt weiß man nichts / als daß die Grundſaͤtze richtig ſind / wofern die Erklaͤhrun - gen moͤglich ſind.

§. 30. Mit den Grundſaͤtzen werden un -Was Er - fahrun - gen ſind. terweilen die Erfahrungen verworren. Man nennet aber eine Erfahrung dasjenige / wel - ches man erkennet / wenn man auf ſeine Em - pfindungen acht hat. Z. E. ich ſehe / daß / wenn ein Licht angezuͤndet wird / alle Dinge die um mich ſind / ſichtbahr werden / dieſe Er - kaͤntnis wird eine Erfaͤhrung genennet.

§. 31.16Kurtzer Unterricht
Von was fuͤr Sa - chen ſie handeln.

§. 31. Die Erfahrungen ſind demnach Saͤtze von eintzelen Dingen / weil ich nichts als eintzele Dinge empfinden kan. Dan - nenhero wer ſich auf die Erfahrung beruffet / iſt verbunden einen beſonderen Fall anzufuͤh - ren / wenn ſie nicht ſo beſchaffen iſt / daß man entweder dieſelbe bald haben kan / wenn man ſie verlangt / oder ſich bald darauf beſinnet / weil man dieſelbe oͤffters gehabt. Dieſes nimt man in der Mathematick gnau in acht. Denn wenn man Z. E. in der Aſtronomie von der Bewegung der Sonne redet / fuͤhret man keinen beſonderen Fall an / daß die Son - ne auf - und untergehet / indem es ein ieder alle Tage ſiehet. Hingegen wenn man von der ſcheinbahren Groͤſſe der Sonne redet / fuͤhret man beſondere Faͤlle an / wie groß nemlich ihr Diameter zu dieſer und einer andern Zeit von dieſem und jenem Aſtronomo durch Huͤlffe der darzu gehoͤrigen Jnſtrumente ſey gefun - den worden / weil dieſe Erfahrung nicht ein je - der haben kan / noch zu aller Zeit / wenn er ſie verlangt.

Wie ſie gnau zu unter - ſcheiden.

§. 32. Auch findet man / daß die Mathe - matici die Erfahrung von demjenigen / was daraus geſchloſſen wird / gnau unterſchei - den: welches hingegen von andern nicht ge - ſchiehet. Z. E. Es wird ein Licht angezun - den / ſo fange ich an umb mich zuſehen / was fuͤr meinen Augen vorher gantz verdeckt und verborgen war. Dieſes iſt die Erfahrung. Hin -17von der Mathem. Methode. Hingegen wenn ich bedencke / daß das Licht die Urſache ſey / warumb die Sachen geſehen werden / die im Finſtern unſichtbahr waren; und dabey uͤberlege / daß die natuͤrlichen Din - ge unter einerley Umbſtaͤnden immer einerley Wuͤrckung haben: ſo iſt bey mir kein Zwei - fel uͤbrieg / daß / weñ auch zu anderer Zeit an ei - nem andern Orte im Finſtern ein anderes Licht werde aufgeſteckt werden / man gleichfals ſe - hen werde / was im Finſtern verborgen lag. Und dannenhero ſchlieſſe ich: Das Licht macht alles ſichtbahr / was es erleuchtet. Die - ſer allgemeine Satz iſt nicht die Erfahrung ſelbſt / ſondern durch einen richtigen Schluß aus der Erfahrung hergeleitet worden.

§. 32. Wenn die Methode bekand iſt / nachWenn man die Erfah - rungen ſelbſt nicht an - fuͤhren darff. welcher aus der Erfahrung dergleichen Saͤtze hergeleitet worden / kan man dieſe ohne jene beybringen. Z. E. den groͤſten Abſtand der Sonne von dem Æquatore kan man nicht unmittelbahr ſelbſt meſſen / ſondern man leitet denſelben her aus der vorher gefundenen Hoͤhe des Æquatoris und der im Mittage des Solſtitii obſervirten Hoͤhe der Son - ne. Wenn ich nun hiervon meine Erfah - rung beybringen wil / iſt eben nicht noͤthig / daß ich die Mittags-Hoͤhe der Sonne / die ich obſerviret / mit angebe; ſondern wenn bekand iſt / wie groß ich des Æquatoris Hoͤhe annehme / darff ich nur bald ſagen / wie groß ich den gemeldeten Abſtand der SonneBvon18Kurtzer Unterricht /von dem Æquatore gefunden. Als denn weiß auch ein jeder / wie groß die Mittags-Hoͤ - he der Sonne geweſen. Kan man aber nicht aus dem angefuͤhrten Satze errathen / wie ei - ner denſelben aus ſeiner Erfahrung hergelei - tet; ſo iſt er allerdings ſchuldig dieſelbe in ih - rem beſondern Falle anzufuͤhren / damit man urtheilen kan / ob er durch richtige Schluͤſſe auf ſeinen Satz kommen ſey oder nicht. Denn daß einer etwas durch den Einfall der aͤuſſer - lichen Dinge empfunden / kan er nicht erwei - ſen / ſondern er fordert mit recht / daß man es ihm glaube; Hingegen wie er geſchloſſen / muß durch den Verſtand beurtheilet werden und demnach kan keiner mit recht fordern / daß man ihm dieſes glaube.

Was ein Lehr - Satz iſt.

§. 33. Wenn man verſchiedene Erklaͤh - rungen gegen einander haͤlt und daraus ſchließt / was durch eintzeler Betrachtung zu erkennen unmoͤglich war / ſo nennet man ſol - ches einen Lehr-Satz (Theorema. ) z. E. [we]nn man in der Geometrie einen Trian - gel mit einem Parallelogrammo vergleicht / welches einerley Grund-Linie und Hoͤhe hat / und in dieſer Vergleichung theils unmittel - bahr aus den Erklaͤhrungen dieſer beyden Flaͤchen / theils aus andern Eigenſchafften derſelben / die aus ihren Erklaͤhrungen ſchon vorher gefunden worden / ſchließt daß der Tri - angel nur halb ſo groß iſt als das Parallelo - grammum: wird dieſer Satz; der Triangeliſt19von der Mathem. Methode. iſt die Helffte eines Parallelogrammi, wel - ches mit ihm einerley Grund-Linie und Hoͤhe hat / ein Lehr-Satz genennet.

§. 34. Es iſt aber bey jedem Lehr-SatzeWas bey einem Lehr - Satze zu beden - cken. auff zweyerley zuſehen / nemlich einmal auff den Satz / darnach auff den Beweiß. Je - ner ſaget aus / was einer Sache unter ge - wiſſen Bedingungen zukommen koͤnne oder nicht: dieſer aber erklaͤhret / wie unſer Ver - ſtand dazu gebracht wird / daß er ſich ſolches von der Sache gedencken kan.

§. 35. Nichts iſt ſchlechter Dinges moͤg -Theile des Sa - tzes. lich / auſſer das Selbſt-ſtaͤndige Weſen; ſon - dern alles hat ſeine Urſachen / warumb es iſt. Derowegen muß ein richtiger Satz keinen von den Umbſtaͤnden auslaſſen / unter wel - chen dasjenige moͤglich iſt / was in demſelben bekraͤfftiget wird. z. E. der Triangel iſt die Helffte eines Parallelogrammi, wenn beyde Figuren einerley Hoͤhe und Grund - Linien haben. Sol nun der Satz richtig ſeyn / ſo muß er die Bedingung von der Gleich - heit ſo wol der Grund-Linien / als der Hoͤ - hen nothwendig in ſich faſſen. Und ſolcher geſtalt kan man jeden Satz in zwey Theile zertheilen / nemlich in die Bedingung / unter welcher etwas bekraͤfftiget oder verneinet wird / und in die Ausſage / welche dasjeni - ge in ſich begreift / ſo bekraͤfftiget oder ver - neinet wird. Jene pflegen wir im Lateini - ſchen Hypotheſin; dieſe aber Theſin zu nen -B 2nen.20Kurtzer Unterricht /nen. z. E. Jn dem angezogenen Satze iſt die Bedingung / wenn ein Triangel und Pa - rallelogrammum einerley Grund-Linie und Hoͤhe haben: die Ausſage aber; ſo iſt der Triangel die Helffte des Parallelogrammi.

Nutzen der Be - dingung ſo in je - dem Satze enthal - ten.

§. 37. Demnach zeiget mir jederzeit die Bedingung / in welchem Falle die Ausſage ſtat findet / und macht / daß ich niemals den Satz unrecht anbringen kan. Und dannen - hero hat man einen jeden Satz in dieſe zwey Theile zuzerlegen. Es iſt aber zumercken / daß zuweilen die Bedingung nicht deutlich aus gedruckt wird / wenn ſie nemlich in der Erklaͤhrung der Sache enthalten iſt. z. E. Wenn ich ſage; Alle drey Winckel in einem Triangel zuſammen genommen machen 180. Grad: ſo ſcheinet keine dergleichen Bedin - gung in dem Satze enthalten zu ſeyn. Se - tzet aber an ſtat des Wortes Triangel nur ſeine Erklaͤhrung hin; ſo werdet ihr bald die Bedingung wahr nehmen / denn der Satz wird alſo lauten: Wenn eine Figur in drey grade Linien eingeſchloſſen iſt / ſo machen ihre drey Winckel zuſammen genommen 180. Grad. Hier iſt alſo die Bedingung / unter welcher etwas ausgeſaget wird / dieſe / daß der Raum in drey grade Linien eingeſchloſ - ſen ſeyn ſol.

Beſchaf - fenheit der Aus - ſage.

§. 38. Die Ausſage nun findet unter der Bedingung / ſo im Satze enthalten / bey der Sache bloß ſtat. Denn weil bey einer Sa -che21von der Matem. Methode. che dasjenige anzutreffen iſt / was die Bedin - gung in ſich faſſet; ſo kom̃t ihr auch das an - dere zu / welches die Ausſage von ihr bekraͤf - tiget / oder es kan ihr nicht zugeeignet werden / was dieſelbe von ihr verlanget. Solcher ge - ſtalt iſt klahr / daß man bey jedem Lehr-Satze ſich zweyerley von einer Sache gedencket / und zwar das andere umb des erſtern willen / o - der auch daß man ſich das andere von einer Sache nicht gedencken kan / geſetzt man dencke ſich das erſte von derſelben. z. E. Wenn ich den Lehrſatz vor mir habe; Ein Triangel / der mit einem Parallleogrammo einerley Grund-Linie und Hoͤhe hat / iſt die Helfte deſ - ſelben; ſo gedencke ich mir erſtlich von dem Triangel / er habe einerley Grund-Linie und Hoͤhe mit einem Parallelogrammo; dar - nach / er ſey die Helfte deſſelben. Das letzte - re gedencke ich mir umb des erſten willen.

§. 39. Sol nun der Satz richtig ſeyn / ſoBeſchaf - fenheit des Be - weiſes. muß ſich eine nothwendige Verknuͤpfung meiner Gedancken finden / ſo daß / wenn ich mir das gedencke / welches die Bedingung in der Sache erfordert / es mir unmoͤglich faͤllt / das Wiederſpiel deſſen von ihr zu gedencken / was in der Ausſage von ihr bekraͤftiget wird. Oder auch wenn ich mir gedencke / was diẽ Bedingung in der Sache ſetzet / muß ich mir unmoͤglich von ihr gedencken koͤnnen / was in der Ausſage von ihr verneinet wird. Der Beweiß nun entdecket in dem erſten Falle dieB 3noth -22Kuttzer Unterricht /nothwendige / in dem andern aber die un - moͤgliche Verknuͤpfung meiner Gedancken.

Gruͤnde des Be - weiſes.

§. 40. Solcher geſtalt ſind die Gruͤnde des Beweiſes theils die Erklaͤhrungen der - jenigen Woͤrter und Sachen / die ſo wol in der Bedingung als in der Ausſage enthal - ten ſind / theils auch die aus gedachten Er - klaͤhrungen von eben dieſen Sachen ſchon vorhin hergeleiteten Eigenſchaften. Weil man nun in der Mathematick nichts zu den Gruͤnden annehmen laͤſt / als was entweder in den vorhergeſetzten Erklaͤhrungen / oder da - her geleiteten Grund - und Lehr-Saͤtzen ent - halten; ſo pflegt man die Erklaͤhrungen und Lehr-Saͤtze jederzeit anzufuͤhren / auf welche man den Beweiß gruͤndet / theils damit ein jeder ſiehet / daß die angenommenen Gruͤnde des Beweiſes ihre Richtigkeit haben; theils damit diejenigen / welche die Gruͤnde noch nicht erkannt oder auch wohl wieder vergeſ - ſen haben / nachſchlagen koͤnnen und ſich ih - rer Gewißheit verſichern.

Nutzen der cita - tionum.

§. 41. Es hat aber die Anfuͤhrung der Er - klaͤhrungen / Grund - und Lehr-Saͤtze / aus welchen der Beweiß gefuͤhret wird / groſſen Nutzen / und geſchiehet dannenhero nicht ohne Urſache / daß man in der Mathematick iedem Gedancken ſeinen beſondern Nahmen giebt / dieſen eine Erklaͤhrung / einen andern einen Grund - und Lehr-Satz / noch einẽ andern eine Aufgabe / und noch einen andern eine Zugabenen -23von der Mathem. Methode. nennet. Denn wenn mich der Beweiß von der Richtigkeit des Satzes voͤllig uͤberzeugen ſoll / ſo darff ich keinen Zweiffel an ſeinen Gruͤnden haben / ſondern muß vielmehr von ihrer Richtigkeit voͤllig uͤberfuͤhret ſeyn. Dan - nenhero zeigen mir die citationes, was man bey demjenigen als bekand vorausſetzen muß / den ich von der Richtigkeit eines jeden Lehr - ſatzes uͤberfuͤhren will. Und weil die Er - klaͤhrungen die erſten Gedancken ſind / die Grundſaͤtze aus ihnen unmittelbahr flieſſen / hingegen die Lehrſaͤtze entweder unmit - telbahr oder mittelbahr aus ihnen herge - leitet werden; ſo ſiehet man bald aus der Anfuͤhrung der Nahmen von ieder Wahr - heit / die zum Grunde des Beweiſes geleget wird / ob man viel oder wenig voraus ſetzen muß / und in was fuͤr einer Ordnung man es anfaͤngt / damit die Uberfuͤhrung ſtat ſinden kan. Ja weil auch beſondere Kunſt - Griffe ſind / dadurch man einen von der Rich - tigkeit der Erklaͤhrungen / beſondere wodurch man ihn von der Richtigkeit der Grundſaͤtze und beſondere wodurch man ihn von der Richtigkeit der Lehrſaͤtze uͤberfuͤhret; ſo geben mir die angefuͤhrte Nahmen der Gruͤn - de des Beweiſes zugleich Gelegenheit an die gehoͤrige Methode zu gedencken / dadurch ich einen von der Richtigkeit der angenommenen Gruͤnde des Beweiſes uͤberzeugen kan.

§. 42. Die Art und Weiſe aus den ge -Art aus den GruͤnB 4ſetz -23[24]Kurtzer Unterricht. den zu ſchlieſſen.ſetzten Gruͤnden zu ſchlieſſen iſt keine andere / als die laͤngſt in allen Buͤchern von der Logi - ca oder Vernunft-Kunſt beſchrieben wor - den. Es ſind die Beweiſe oder Demonſtra - tiones der Mathematicorum nichts anders als ein Hauffen nach den Regeln der Ver - nunft-Kunſt zuſammen geſetzter Schluͤſſe. Daß demnach in denſelben alles durch die ſo genanten Syliogiſmos geſchloſſen wird / nur daß man zuweilen / oder wol meiſtens eine von den præmiſſis weglaͤſſet / weil ſie entwe - der dem Leſer / der ſich den Beweiß zu geden - cken bemuͤhet / vor ſich einfaͤllt / oder aus der beygefuͤgten citation leichte kan errathen werden.

Erlaͤu - terung des vori - gen.

§. 43. Unerachtet es mir nicht ſchweer fallen wuͤrde zu behaupten / daß kein uͤberfuͤh - render Beweiß anders gefuͤhret werden kan / als wenn unſere Gedancken nach den ſyllo - giſtiſchen Regeln auf einander folgen; ſo iſt doch hier dieſe Weitlaͤufftigkeit unnoͤthig / denn da die Frage allein von dem iſt / was geſchiehet; doͤrfen wir uns nur auf Exempel beruffen. Es hat aber nicht allein Clavius ſolches an dem Beweiſe des erſten Lehrſatzes in den Elementis Euclidis; ſondern auch Daſipodius durch einige Buͤcher dieſer Ele - mentorum gewieſen.

Was Anfga - ben ſind.

§. 44. Die Aufgaben handeln von et - was / ſo gethan oder gemacht werden ſoll / und werden in drey Theile eingetheilet / in denSatz /25Von der Mathem. Methode. Satz / die Aufloͤſung und den Beweiß. Jn dem Satze geſchiehet der Vortrag von dem / was gemacht werden ſoll. Die Aufloͤ - ſung erzehlet alles / was man thun muß / und wie man eines nach dem andern zu verrichten hat / damit geſchehe / was man verlanget. Endlich der Beweiß fuͤhret aus / wenn das geſchiehet / was in der Aufloͤſung vorgeſchrie - ben wird; ſo muͤſſe man auch nothwendig erhalten / was man in dem Satze verlangte. Solchergeſtalt wird jede Aufgabe in einen Lehrſatz verwandelt / wenn ſie bewieſen wer - den ſoll / in welchen die Aufloͤſung die Bedin - gung / der Satz aber die Ausſage giebet. Es heiſſet nemlich uͤberhaupt: Wenn man al - les thut / wie es die Aufloͤſung erfordert / ſo ge - ſchiehet / was man thun ſolte. Dannenhe - ro iſt nicht noͤthig von den Aufgaben beſon - ders weitlaͤufftig zu handeln.

§. 45. Zuweilen geſchiehet es / daß manWas Zu - ſaͤtze ſind. umb beſonderer Urſachen willen einen Satz auf einen beſonderen Fall appliciret / oder auch aus demſelben durch unmittelbahre Folge einen andern Satz herleitet. Der - gleichen Arten der Wahrheiten werden Zu - ſaͤtze (Corollaria) genennet.

§. 46. Die erſte Art der Zuſaͤtze erfordertUnter - ſchied der Zuſaͤtze. keinen Beweiß. Denn was uͤberhaupt von allen Faͤllen erwieſen worden / darff nicht ins beſondere von einem von neuem dargethan werden. Z. E. wenn man von einem jedenB 5Tri -26Kurtzer Unterricht. Triangel erwieſen / daß alle drey Winckel zuſammen genommen zweyen rechten Win - ckeln gleich ſeyn: ſo darff man nicht erſt be - ſonders von einem rechtwinckelichten Trian - gel erweiſen / daß auch ſeine drey Winckel zu - ſammen genommen zweyen rechten Win - ckeln gleich ſind. Hingegen die andere Art der Zuſaͤtze hat einen Beweiß noͤthig. Denn wenn etwas aus andern Saͤtzen hergeleitet wird / ſo muß man zeigen / auf was fuͤr Art ei - nes aus dem andern geſchloſſen wird. Z. E. wenn einer zu den gemeldetem Lehrſatze dieſen Zuſatz ſetzt; Jn einem rechtwinckelichten Triangel kan nicht mehr als ein Winckel ein rechter Winckel ſeyn: ſo hat er noͤthig zu zei - gen / wie dieſer Zuſatz aus dem Lehrſatze flieſ - ſet. Nemlich weil die drey Winckel zuſam - men zwey rechte Winckel ſind / ſo bliebe von dem dritten nichts uͤbrig / wenn zwey wuͤrck - lich rechte Winckel waͤren.

Was An - merckun - gen ſind.

§. 47. Endlich in den Anmerckungen / die ſo wol den Erklaͤhrungen / als Grund - und Lehr-Saͤtzen / ingleichen den Aufgaben bey - gefuͤget werden / pfleget man das jenige / was noch dunckel ſeyn moͤchte / zu erlaͤutern / den Nutzen der vorgetragenen Lehren anzudeu - ten / die Hiſtorie der Erfindung beyzubringen und was etwan ſonſt nuͤtzlich zu wiſſen vor - faͤllt.

Die Ma - themati - ſche Lehr - Art iſt

§. 48. Wer die bißher erlaͤuterte Me - thode oder Lehr-Art betrachtet / wird ohneMuͤhe27der Mathem. Methode. Muͤhe iñen werden / daß ſie allgemein iſt / undallge - mein in allen Wiſſenſchafften gebraucht werden ſoll, wenn man anders richtige Erkaͤntnis der Dinge verlanget. Man nennet es aber die Mathematiſche / zuweilen auch gar die Geo - metriſche Methode oder Lehrart / weil bißher faſt die Mathematici allein / ſonderlich in der Geometrie / ſich derſelben bedienet.

§. 49. Und darumb / weil in der Mathe -Nutzen der Ma - thema - thick. matick dieſe Lehrart auf das allergnaueſte in acht genom̃en wird / ruͤhmet man von ihr / daß ſie den Verſtand des Menſchen ſchaͤrfe / das iſt / geſchickt mache in alle Dinge / die er erken - nen lernet / tieffer und richtiger einzuſehen / als ein anderer.

ENDE Des Unterrichts von der Me - thode.

An -[28][29]

Anfangs-Gruͤnde Der Rechen-Kunſt.

[30][31]

Vorrede.

Geehrter Leſer /

DJe meiſten / welche von der Re - chen-Kunſt geſchrieben / haben den Beweiß der Regeln weg - gelaſſen. Einige als Dechales in ſeinem Mundo Mathematico, und Tac - quet in ſeiner Theoria & Praxi Arithme - ticæ, haben die Regeln zwar richtig erwie - ſen: allein ſie ſind unterweilen durch Umb - wege gegangen und haben in der Weite geſucht / was ſie in der Naͤhe viel leichter haͤtten haben koͤnnen. Jch habe mich be - muͤhet den wahren Grund zuzeigen / in dem ich alles aus dem weſentlichen Be - griefe der Sachen hergeleitet / welcher ihre Moͤglichkeit deutlich vor Augen leget / und bringe dannenhero die Liebhaber der Wahrheit auf die rechte Spur / welcher die erſten Erfinder / gefolget ſind. Ob ich gleich aber nur auf die Dinge ge - dacht / welche ihren gewiſſen Nutzen ha - ben; ſo zweifele ich doch nicht / es werden einige vermeinen / als wenn ich zuweilen etwas unnoͤthiges mit eingeruͤckt haͤtte. Dieſe aber wil ich freundlich gebeten ha -ben -30[32]Vorrede. ben / ſie wollen nicht eher ihr Urtheil faͤl - len / biß ſie darthun koͤnnen / daß etwas vorkomme / welches in den folgenden Thei - len der Mathematick nicht wieder ange - wendet wird. Denn ſolcher geſtalt bin ich verſichert / ſie werden dergleichen Urtheil gar unterlaſſen. Von dem Nutzen der Rechen-Kunſt iſt nicht noͤthig zu reden. Jederman empfindet denſelben / und wird ihn noch mehr verſpuͤren / wenn er die Mathematiſchen Wiſſenſchafften ſtudieret. Daß aber die Rechen-Kunſt auch einige Regeln zu Leitung des Verſtandes in Er - findung und Unterſuchung der Wahr - heit an die Hand gebe / iſt in dem Wercke ſelbſt errinnert worden. Jch mache von ihr den Anfang / weil alle uͤbrige Theile der Mathematick ihre Erkaͤntnis voraus ſetzen.

An -33

Anfangs-Gruͤnde Der Rechen-Kunſt.

Die erſte Erklaͤhruug.

1. Die Rechen-Kunſt iſt eine Wiſ - ſenſchafft aus einigen gegebenen Zah - len andere zufinden / von denen eine Eigenſchafft in Anſehung der gegebe - nen Zahlen bekand gemacht wird. Z. E. Man ſol eine Zahl finden / die ſo groß iſt wie 6. und 8. zuſammen.

Der 1. Zuſatz.

2. Weil die Wiſſenſchafft eine Fertigkeit andeutet alles dasjenige / was man von ei - ner Sache behauptet / aus unumſtoͤßlichen Gruͤnden unwiederſprechlich darzuthun. So muß man nicht allein in Erklaͤhrung der Rechen-Kunſt die Regeln zeigen / nach wel - chen man die verlangte Zahlen finden kan; ſondern man muß auch deutlich begreifen / warumb durch ſelbe Regeln die verlang - ten Zahlen koͤnnen gefunden werden.

Der 2. Zuſatz.

3. Die Rechen-Kunſt iſt ein beſonderes Theil der Erfindungs-Kunſt / und kan man demnach durch reifes uͤberlegen von ihren Re - geln die all gemeine Maximen der Kunſt ver - borgene Dinge zuerfinden abziehen.

CAn -34Anfangs-Gruͤnde

Anmerckung.

4. Dergleichen haben in etwas gethan des Cartes in ſeinem Buche von der Methode und Malebranche in ſeinem Wercke von Erfindung der Wahrheit / ſo er in Frantzoͤſiſcher Sprache unter dem Titul la Re - cherche de la Verité herausgegeben. Auch gehoͤ - ret hieher meiſtentheils / was der erſtere von Leitung des Gemuͤths in Erfindung der Wahrheit geſchrie - ben / ſo unter ſeinen Wercken / die nach ſeinem Tode heraus kommen / befindlich.

Die 2. Erklaͤhrung.

5. Wenn man viel eintzele Dinge von einer Art zuſammen nimmt / ent - ſtehet daraus eine Zahl. Z. E. Wenn man zu einer Kugel noch eine andere legt / ſo hat man zwey Kugeln. Leget man noch eine dazu / ſo hat man derſelben drey. u. ſ. w.

Der 1. Zuſatz.

6. Zehlen heiſſet demnach ſo viel als an - deuten / wie viel Sachen von einer Art bey - ſammen ſind.

Der 2. Zuſatz.

7. Jede Sache / in ſo weit ſie vor ſich an - geſehen wird / macht Eins aus / und in ſo weit ſie zu einer Zahl Anlaß geben ſol / muß ſie durch gewiſſe Eigenſchaften dem Ver - ſtande vorgeſtellet werden. Denn alle die - ſe Dinge / bey denen man ſolche Merckmah - le findet / machen gleichfals eine Eines aus / und dieſe Einheiten zuſammen genommen geben eine Zahl. Z. E. Eine Kugel hat dieſe Eigenſchaft daraus ſie erkannt wird /daß35der Rechen-Kunſt. daß alle Puncte in ihrer Flaͤche von dem in - nern Mittelpuncte gleichweit abſtehen. Wenn man nun dieſe Eigenſchaft zum Merckmahle der Eines macht / ſo werden al - le Coͤrper / die eben dergleichen Eigenſchaft ha - ben / zu einer ſolchen Eins. Und eben dieſe Eigenſchaft dienet mir zum Merckmahle / daraus ich erkennen kan / wie viel dergleichen Einheiten in einem gegebenen Orte anzu - treffen / das iſt / wie viel Kugeln vorhanden ſind.

Der 3. Zuſatz.

8. Alſo erfordert jede Zahl eine gewiſſe Einheit / und laſſen ſich keine Zahlen mit ein - ander vergleichen / auch nicht zuſammen ſe - tzen / welche nicht aus einerley Einheiten ent - ſtanden.

Der 4. Zuſatz.

9. Doch weil das Weſen der Zahl bloß darinnen beſtehet / daß man einerley Einhei - ten etliche mal zuſammen nimmt; ſo hat man in Erwegung der Zahlen uͤberhaupt keines weges auf die Merckmahle der Ein - heiten zuſehen / die ſich das Gemuͤthe in Zeh - lung gewiſſer Dinge vorſtellet.

Der 5. Zuſatz.

10. Eine Zahl wird groͤſſer gemacht oder vermehret / wenn man andere Zahlen von ihrer Art hinzuſetzt: Hingegen wird ſie ver - mindert / wenn man eine oder mehrere Zah - len von ihrer Art wegnimmt. Und weiterC 2kan36Anfangs-Gruͤndekan man keine Veraͤnderung mit den Zah - len vornehmen.

Der 6. Zuſatz.

11. Wenn zwey Zahlen mit einander ver - glichen werden / ſo hat entweder eine ſo viel Einheiten als die andere / oder die eine hat mehrere / die andere weniger. Jn dem er - ſten Fall nennet man es gleiche Zahlen; in dem andern Falle iſt die erſte Zahl groͤſ - ſer als die andere / hingegen die andere klei - ner als die erſte. Daher wenn eine Zahl vermehret wird / ſind die Zahlen / ſo zu der - ſelben geſetzt werden / entweder alle vor ſich derſelben gleich / oder ſie ſind groͤſſer und klei - ner als dieſelben und dannenhero ſind zwey verſchiedene Arten eine Zahl zuvermehren.

Der 7. Zuſatz.

12. Eben ſo iſt klahr / daß / wenn eine Zahl vermindert wird / man entweder eine / oder mehrere kleinere Zahlen nacheinander von denſelben wegnimmt; oder auch nur eine Zahl / ſo viel mal von derſelben weg thut als man kan. Und demnach ſind zwey ver - ſchiedene Arten eine Zahl zu vermindern.

Der 8. Zuſatz.

13. Da nun keine andere Veraͤnderung mit den Zahlen vorgenommen werdenkan / als daß ſie vermehret oder vermindert wer - den / (§. 10.); nicht aber mehr als zwey Arten der Vermehrung (§. 11.) und zwey Arten der Verminderung (§. 12.) moͤglich ſind;ſo37der Rechen-Kunſt,ſo koͤunen auch aus gegebenen Zahlen keine andere gefunden werden als durch dieſe Ar - ten der Vermehrung und Verminderung. Nemlich man kan eine Zahl finden / die ſo groß iſt wie verſchiedene andere zuſammen genommen / oder wie eine Zahl etliche mal genommen (§. 11.): ingleichen eine Zahl / wel - che mit einer gegebenen Zahl eine andere ge - gebene Zahl ausmacht / oder auch eine Zahl welche andeutet / wie viel mal man eine ge - gebene Zahl nehmen muß / damit eine andere gegebene Zahl heraus kommt (§. 12).

Anmerckung.

14. Dieſe vier Rechnungs-Arten werden mit be - ſonderen Nahmen genennet umb eine von der andern zu unterſcheiden: Welche Nahmen hier ferner zu er - klaͤhren ſind / damit wir nicht allein kurtz von den - ſelben reden koͤnnen / ſondern auch gewiſſe Merck - mahle haben / daraus wir zu urtheilen vermoͤgend ſind / welcher man in jedem vorkommenden Falle ſich zu bedienen hat.

Die 3. Erklaͤhrung.

15. Addiren heiſſet eine Zahl finden / welche verſchiedenen. Zahlen zuſam - men genommen gleich iſt. Die gege - benen Zahlen werden die Summirenden; die gefundene aber wird die Summe oder das Aggregat genennet.

Zuſatz.

16. Weil eine jede Zahl von vielen Ein - heiten zuſammen geſetzt iſt (§. 5.) ſo geſchie - het das addiren / wenn man zu der einen ge -gebe -38Anfangs-Gruͤndegebenen Zahl die Einheiten der andern nach und nach zehlet.

Anmerckung.

17. Die Einheiten der Zahlen ſtellet man ſich an - fangs durch die Finger vor und verrichtet das zum addiren noͤthige zehlen ſo lange durch die Finger / bis man in dem Gedaͤchtnis behalten / wie viel eine jede kleine Zahl zu einer andern Zahl genommen aus macht / Z. E. daß zwey und drey fuͤnfe / ſechs und achte aber vierzehen iſt.

Die 4. Erklaͤhrung.

18. Subtrahiren oder Abziehen iſt ſo viel als eine Zahl finden / welche mit einer gegebenen Zahl zuſammen genom - men einer andern gegebenen Zahl gleich iſt. Die Zahl / welche durch ſubtrahiren ge - funden wird / heiſſet die Differentz oder der Unterſcheid der gegebenen Zahlen.

Zuſatz.

19. Weil eine jede Zahl aus vielen Ein - heiten beſtehet (§. 5); ſo geſchiehet das Subtrahiren / wenn man von der einen ge - gebenen Zahl die Einheiten der andern nach und nach wegnimmt.

Anmerckung.

20. Was in der Anmerckung uͤber die vorherge - hende Erklaͤhrung von dem Addiren erinnert wor - den / findet auch hier bey dem Subtrahiren ſtat.

Die 5. Erklaͤhrung.

21. Multipliciren iſt eine Zahl fin - den aus zwey gegebenen Zahlen / in welcheꝛ die eine gegebene ſo viel mal ent -halten39der Rechen-kunſt. halten iſt als die andere von den ge - gebenen Eines in ſich begreift. Die Zahl / ſo gefunden wird / heiſſet das Pro - duct / oder FACTUM: Die gegebenen Zahlen werden die FACTORES genennet.

Anmerckung.

22. Wenn man multipliciret / findet man eine Zahl / die ſo groß iſt / wie eine andere etliche mal ge - nommen. Alſo muß nothwendig die Zahl / welche et - lichemal genom̃en werden ſoll / ſo vielmal in der gefun - denen Zahl enthalten ſeyn als die Zahl / welche an - deutet / wie viel mal man die eine gegebene Zahl nehmen ſoll / Eines in ſich begreift.

Zuſatz.

23. Multiplieiren iſt alſo nichts anders als eine Zahl etliche mal zu ſich ſelbſt addi - ren. (§. 15.)

Die 6. Erklaͤhrung.

24. Dividiren iſt eine Zahl finden aus zwey gegebenen Zahlen / welche andeutet / wie viel mal die eine gegebe - ne Zahl in der andern enthalten iſt / und dannenhero Qvotus oder der Qvotient genennet wird.

Der 1. Zuſatz.

25. Alſo iſt dividiren nichts anders als eine Zahl von einer andern etliche mal ſub - trahiren. (§. 18.)

Der 2. Zuſatz.

26. Und wie viel mal die eine gegebene Zahl (welche Diviſor genennet wird) in derC 4andern40Anfangs-Gruͤndeandern (die man den Dividendu[m]nennt) ent - halten iſt / ſo viel mal muß Eines in dem Qvotienten enthalten ſeyn.

Der 1. Grundſatz.

27. Eine jede Zahl iſt ihr ſelber gleich.

Anmerckung.

28. Man ſagt / daß zwey Zahlen einander gleich ſind / wenn eine ſo viel Einheiten in ſich enthaͤlt / als die andere (§. 11). Derowegen weil iede Zahl aus ih - ren gehoͤrigen Einheiten beſtehet / und nicht mehr die - ſelbe Zahl bleibet / wenn man eine hin zu thut / oder da - von nimt (§. 5. 7. ); ſo iſt nothwendig iede Zahl ihr ſel - ber gleich. Es hat aber dieſer Grundſatz ſeinen Nu - tzen / weil man eine Zahl anſehen kan / wie ſie durch verſchiedene Zuſammenſetzungen oder Veraͤnderun - gen anderer Zahlen heraus kommt. Z. E. Sechs ent - ſtehet / wenn ich 4 und 2 addire; wenn ich 3 durch 2 multiplicire; wenn ich 2 von 8 ſubtrahire; wenn ich 12 durch 2 dividire. Alſo ſind vermoͤge unſers Grundſatzes die Summe von 4 und 2 / das Product aus 3 in 2 / die Differentz zwiſchen 2 und 8 / der Qvo - tient aus 12 und 2 einander gleich.

Der 2. Grundſatz.

28. Wenn zwey Zahlen einer dritten Zahl gleich ſind / ſo ſind ſie einander ſel - ber gleich.

Anmerckung.

29. Jch habe Z. E. drey Haͤuffen Geld. Jn dem erſten ſind ſo viel Thaler als wie in dem andern; in dem dritten gleichfalls ſo viel als in dem andern. Al - ſo muß auch ſo viel in dem dritten als in dem erſten ſeyn.

Der 3. Grundſatz.

30. Wenn man gleiches zu gleichemaddi -41der Rechen-Kunſt. addiret / ſo kommen gleiche Summen heraus.

Der 4. Grundſatz.

31. Wenn man gleiches von glei - chem ſubtrahiret / ſo bleibet gleiches - brig.

Der 5. Grundſatz.

32. Wenn man gleiches durch gleiches multipliciret / ſo kommen gleiche Produ - cte heraus.

Der 6. Grundſatz.

33. Wenn man gleiches durch gleiches dividiret / ſo ſind die Qvotienten einan - der gleich.

Zuſatz.

34. Daher wenn zwey ein Exempel rech - nen / und keiner von beyden fehlet / muß einer - ley heraus kommen: ſo ſie aber verſchiedenes heraus bringen / muß einer von beyden gefeh - let haben.

Der 7. Grundſatz.

35. Das gantze iſt ſeinen Theilen zu - ſammen genommen gleich.

Der 1. willkuͤhrliche Satz.

37. Man gehe im Zehlen nicht weiter fort als biß auf zehen. Wenn man biß zehen gezehlet / ſo fange man wieder von neuem an / nur daß man iederzeit dazu ſetze / wie viel mal man ſchon gezehlet.

Anmerckung.

37. Dieſes iſt das allgemeine G[e]ſetze / darnach manC 5ſich42Anfangs-Gruͤnde. ſich im Zehlen richtet: und weil wir deſſelben von Jn - gend auf ſo gewohnet ſind / ſcheinet es eine Nothwen - digkeit zu haben. Allein es hat nicht allein Weige - lius in ſeiner Arithmetica Tetractyca gewieſen / daß man nur biß auf viere zehlen koͤnne; ſondern der vor - treffliche Leibnitz hat auch eine Arithmeticam binariam erfunden / welche nicht uͤber zwey zehlet / und den Ge - lehrten die verborgenen Eigenſchaffteu der Zahlen zu unterſuchen dienen kan. Vid. Memoires de l Acade - mie Royale des Sciences A. 1703. p. 105. & ſeqq. Die Urſache aber / warumb man nur biß auf zehen zehlet / iſt ſonder zweifel daher zu holen / weil die Menſchen die Sachen an ihren Fingern zu zehlen pflegen / ehe ſie ſich im rechnen geuͤbet. (§. 17.)

Zuſatz.

38. Alſo hat man vor jede von den zehen Zahlen einen beſonderen Nahmen vonnoͤ - then / und wiederum andere Nahmen / da - durch die Vielheit der Zehner bemercket wird. Jene ſind Eins / zwey / drey / vier / fuͤnff / ſechs / ſieben / acht / neun / zehen / die - ſe aber zwantzig / dreißig / viertzig / funff - zig / ſechtzig / ſiebentzig / achtzig / neuntzig / hundert.

Der 2. willkuͤhrliche Satz.

39. Gleichwie man zehen mal zehen hundert nennet; alſo nenne man ferner zehen mal hundert Tauſend; tauſend mal tauſend eine Million; tauſend mal tauſend Millionen eine Billion; tauſend mal tauſend Billionen eine Trillion oder dreyfache Million / u. ſ. w.

An -43der Rechen-kunſt.

Anmerckung.

40. Dieſe Benennung geſchiehet bloß zu dem En - de / damit man ſich in groſſen Zahlen nicht verwirret; ſondern von iedem Theile derſelben einen deutlichen Begrief formiren kan.

Der 3. willkuͤhrliche Satz.

41. Die neun Zahlen bemercke man mit folgenden Zeichen: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. damit man aber auch die Zehener / Hunderte / Tauſende / u. ſ. w. dadurch an - deuten kan / ſo gebe man ihnen ihre Be - deutung von der Stelle / in welcher ſie ſtehen. Nemlich wenn ſie entweder allein / oder in der erſten Stelle zur Rech - ten anzutreffen ſind / ſollen ſie Einer be - deuten; in der andern Zehener / in der vierdten Tauſende / u. ſ. w.

Die 1. Aufgabe.

42. Eine geſchriebene Zahl auszuſpre - chen / das iſt / einem ieden Zeichen in der - ſelben ſeinen Werth zuzueignen.

Aufloͤſung.

  • 1. Theilet die gegebene Zahl in Claſſen von der Rechten an gegen die Lincke zu vermit - telſt kleiner Strichlein / und eignet ieder Claſſe drey Stellen zu. Am Ende gegen die Lincke moͤgen drey oder wenigere uͤbrieg bleiben.
  • 2 - Uber die Zahl / welche nach dem andern Strichlein komt / machet einen Punct und uͤber die ſo nach dem vierdten folget / zwey Puncte / u. ſ. w.
  • 3. Sprecht ein bloſſes Striechlein durch Tau -ſend44Anfangs-Gruͤnde. ſend aus / einen Punct durch Million / zwey Puncte durch Billion / u. ſ. w. Hin - gegen die erſte Zahl gegen die Lincke in eine Claſſe durch Hunderte / die mittle - re durch Zehner / und die letzte durch Ei - ner. So iſt geſchehen / was man ver - langte. Z. E. wenn ihr folgende Zahl ausſprechen wollet.

2 / 125 / 473 / 613 / 578 / 432 / 597. ſo ſagt: zwey Trillionen / hundert und fuͤnf und zwantzig tauſend / und vierhun - dert und drey und ſiebentzig Billionen / ſechs hundert und dreyzehentauſend fuͤnfhun - dert und acht und ſiebentzig Millionen / vierhundert und zwey und dreyßig tauſend / fuͤnfhundert und ſieben und neuntzig.

Beweiß.

Es iſt alles klahr aus den vorhergeſetzten willkuͤhrlichen Saͤtzen. (§. 36. 41).

Die 2. Aufgabe.

43. Verſchiedene Zahlen zu addiren.

Aufloͤſung.

  • 1. Schreibet die gegebene Zahlen dergeſtalt untereinander / daß die einfachen unter den einfachen / die Zehener unter den Zehenern / die Hunderte unter den Hunderten / u. ſ. w. zu ſtehen kommen.
  • 2. Ziehet unter den geſchriebenen Zahlen einen Strich / und
  • 3. Zehlet beſonders zuſammen die Einer / und ſchreibet unter ſie ihre Summe. Enthaͤltdie45der Rechen-kunſt. die etliche Zehener in ſich / ſo zehlet dieſelben zugleich mit den gegebenen Zehenern zu - ſammen / und ſetzt ihre Summe gleichfals unter die Reihe der Zehener. Wenn ihr ſo fortfahret / werdet ihr endlich die verlang - te Summe aller Zahlen heraus bekom - men.

Z. E. wenn ihr folgende Zahlen addiren ſollet

  • 3578
  • 524
  • 63
4165

ſo ſprecht: 4 und 3 iſt 7 / noch 8 darzu iſt 15. Se - tzet 5 unter die Einer. Den 1. Zehner aber zehlet zu den gegebenen Zehenern / und ſprecht ferner: 1 (nemlich Zehener) und 6 ſind 5 (Ze - hener) / noch 2 dazu ſind 9 / noch 7 dazu ſind 16 (Zehener.) Setzet die 6 Zehener unter die Zehener der gegebenen Zahlen und die uͤbrigen 10 Zehener / das iſt 1 Hundert zehlet zu den Hunderten der gegebenen Zahlen. Sprecht demnach 1 und 5 iſt 6 / noch 5 dazu iſt 11 (nemlich Hundert.) Setzet 1 unter die Hunderte der gegebenen Zahlen / und die - brigen 10 Hunderte / das iſt 1 Tauſend / zeh - let zu den Tauſenden der gegebenen Zahlen. Sprecht alſo endlich 1 und 3 iſt 4 (nemlich Tauſend) und ſetzt die 4 unter die Tauſende der gegebenen Zahlen / ſo habt ihr die verlang - te Summe 4165.

Be -46Anfangs-Gruͤnde

Beweiß.

Vermoͤge der geſchehenen Rechnung ent - haͤlt die gefundene Zahl in ſich alle Einer / al - le Zehener / alle Hunderte / alle Tanſende u. ſ. w. der vorgegebenen Zahlen / das iſt / alle ihre Theile. Und alſo iſt ſie ſo groß wie alle gegebene zuſammen genommen / (§. 25.): fol - gends ſind die gegebenen Zahlen zuſammen addiret worden. (§. 15.) W. z. E.

Die 1. Anmerckung.

44. Wenn ihr alle Theile der gegebenen Zahlen als lauter Einer anſehet / ſo werdet ihr wahrnehmen / daß ihr in die Summe nur allzeit den Uberſchuß der ſummirten Zahlen uͤber 9. ſchreibet. Denn an ſtatt fuͤnfzehen ſchreibet ihr die Zahlen 1 und 5 / welche 6 machen / wenn man ſie beyde fuͤr Einer haͤlt / und al - ſo der Uberſchuß der Zahl funffzehen uͤber neune ſind. Eben ſo ſchreibet ihr an ſtat ſechzehen unter die Reihe der Zehener / 6. und unter die Hun - derte 1 / welche beyde Zahlen zuſammen genommen 7 ausmachen / wenn man ſie fuͤr Einer anſiehet / und demnach der Uberſchuß von ſechzehen uͤber neune ſind. u. ſ. w. hieraus iſt klahr / daß man bey Summi - rung der Zahlen bey ieder Reihe ſo viel Neunen weglaͤſſt / als man Einheiten zu der folgenden Rei - he zehlet.

Die 2. Anmerckung.

45. Wollet ihr demnach wiſſen / ob die gefundene Zahl ſo groß ſey wie die gegebenen zuſammen genom - men / ſo (1.) mercket die beſagten Einheiten auf der Seite und nach vollbrachter Rechnung zehlet die - ſelben zuſammen / damit ihr ſehet / wie vielmal 9 im Summiren weggelaſſen worden. (2.) Werfet uͤberdie -47der Rechen-Kunſt. dieſes noch aus der Summe ſo viel 9 weg / als ihr koͤn - net / und zehlet die im Summiren weggelaſſene mit dazu: die Zahl aber / ſo uͤbrieg bleibt / mercket ſo wol als die Anzahl der weggeworfenẽ Neunen. (3.) End - lich gebet auch acht / wie vielmal ihr aus den gegebenen Zahlen 9 wegwerfen koͤnnet / und was zuletzt fuͤr eine Zahl uͤbrig bleibet. Denn ſo die Anzahl der wegge - worffenen Neunen beyderſeits gleich iſt / auch einer - ley Zahl beyderſeits uͤbrig bleibet / ſo iſt die gefunde - ne Zahl ſo groß / wie die gegebenen zuſammen genom - men. (§. 31.) Und ihr ſeyd daher gewiß / daß ihr nach der Regel richtig verfahren. Als in dem vorigen E - xempel ſind wehrender Rechnung drey Neunen weggelaſſen worden / und eine laͤſt ſich noch von der ge - gebenen Summe wegwerfen / worauf 7 uͤbrieg bleiben. Wenn man aber aus den gegebenen Zahlen / die uͤber der Linie ſtehen / gleichfals 4 mal 9 ausſtreichet / blei - ben auch 7 uͤbrig. Demnach iſt recht addiret worden.

Die 3. Anmerckung.

46. Die Mathematici haben ein beſonderes Zei - chen / dadurch ſie die Addition andeuten / nemlich das Zeichen + / welches ſie durch mehr ausſprechen. Demnach ſchreiben ſie die Summe zweyer Zahlen / als 3 und 7 / alſo: 3+7.

Die 3. Aufgabe.

47. Eine kleinere Zahl von einer groͤſ - ſeren zu ſubtrahiren.

Aufloͤſung.

  • 1. Schreibet die kleinere Zahl unter die groͤſ - ſere auf die Art / wie im Addiren geſche - hen. (§. 46.)
  • 2. Ziehet unter die geſchriebene Zahlen eine Linie.
  • 3. Subtrahiret beſonders die Einer von denEi -48Anfangs-GruͤndeEinern / die Zehener von den Zehenern / die Hunderte von den Hunderten / u. ſ. w. und ſetzt allzeit die Zahl / ſo uͤbrieg bleibet / an ihren gehoͤrigen Ort unter die Linie: nemlich was bey den Einern uͤbrieg bleibt / unter die Einer / was bey den Zehenern uͤbrieg bleibt / unter die Zehener / u. ſ. w.
  • 4. Geſchiehet es aber / daß eine groͤſſere Zahl von der kleinen weggenommen werden ſol / ſo nehmet aus der folgenden Reihe eines weg / und ſetzt es in die vorhergehende / wo es zehen gielt (§. 41). Alſo kan von der umb zehen vermehrten Zahl die Sub - traction geſchehen: die Zahl aber in der folgenden Stelle iſt umb eines kleiner wor - den / welches durch einen Punct bemercket wird.
  • 5. Endlich wenn in der folgende Stelle zur Lincken 0 ſtehet / gehet ſo weit fort gegen die Lincke / biß ihr eine Zahl antrefft / und neh - met von derſelben 1 weg / ſo iſt es eben ſo viel als wenn ihr in alle leere Stellen 9 und in die wo man nicht ſubtrahiren konte / 10 ſetzet (§. 41.)
  • Nach dieſen Regeln kan man eine iede gege - gebenen Zahl ſubtrahiren. W. Z. T.

Z. E. Wenn ihr folgende Zahlen von ein - ander ſubtrahiren ſolt /

  • 98.0.0.4.0.34.59
  • 4743865263
5056538196

ſo49der Rechen-kunſt. ſo ſprecht: 3 von 9 laͤſſet 6 / und ſchreibet 6 unter die Linie in die Stelle der Einer. Sprecht ferner: 6 (nemlich Zehener) von 5 kan ich nicht (wegnehmen.) Borget demnach 1 von 4 in der folgenden Stelle / ſo bleiben in derſelben 3 und ihr habt 15 an ſtat der 5. Nun nehmet 6 von 15 / ſo bleiben 9 uͤbrieg / welche ihr wiederum unter die Linie in die Stelle der Zehener ſchreibet. Hierauf fah - ret fort und ſprecht: 2 von 3 laͤſſet 1: 5 von 3 kan ich nicht (ſubtrahiren). Derowegen borge ich 1 von 4 und ſetze es in die leere Stelle / ſo habe ich in derſelben 10. davon nehme ich 1 weg / ſo bleiben in derſelben 9 und an ſtat 3 bekomme ich 13. Nun nehmet 5 von 13 / blei - ben 8 uͤbreg und 6 von 9 laͤſſet. 3 Weil 8 von 3 wieder nicht angehet / ſo nehmet 1 von 8 und ſetzet es in die erſte leere Stelle / ſo habet ihr daſelbſt 10 und dorten noch 7. davon nehmet 1 weg / und ſetzet es in die andere leere Stelle gegen die rechte / ſo bleiben an ſtat 10 noch 9 / und in dieſer habt ihr 10. davon nehmet wieder 1 weg / ſo bleiben in derſelben noch 9 und an ſtat 3 bekommt ihr 13. Sprecht nun: 8 von 13 laͤſ - ſet 7; 3 von 9 laͤſſet 6; 4 von 9 laͤſſet 5; 7 von 7 laͤſſet 0; 4 von 9 laͤſſet 5. Wenn ihr nun das uͤbriege allzeit unter die Linie an ſeinen ge - hoͤrigen Ort ſchreibet / ſo habt ihr die verlang - te Zahl gefunden.

Beweiß.

Vermoͤge der geſchehenen Rechnung haͤltDdie50Anfangs-Gruͤndedie gefundene Zahl in ſich den Reſt aller Ei - ner / aller Zehner / aller Hunderte / aller Tauſende / u. ſ. w. das iſt den Reſt aller Theile. Da nun der Reſt aller Theile zu - ſammen dem gantzen Reſte gleich iſt (§. 35); ſo iſt die gefundene Zahl der Reſt / welcher uͤbrieg / bleibt / wenn man eine Zahl von der andern wegnimt / und folgends mit der wegge - nommenen Zahl zuſammen der andern gege - benen Zahl gleich. Derowegen geſchiehet durch die gegebenen Regeln die Subtracti - on (§. 18.) W. Z. E.

Anmerckung.

48. Wollet ihr wiſſen / ob ihr recht gerechnet / ſo ad - diret nach der 2. Aufgabe (§. 43.) die gefunde - ne Zahl zu der kleinren von den gegebenen. Die Sum - meiſt die groͤſſere. (§. 18.)

9800403459 47438652632 50565381965 9800403459

Die 2. Anmerckung.

49. Das Zeichen der Subtraction iſt wel - ches man durch weniger ausſpricht: daher ſchreibet man den Unterſchied zweyer Zahlen / als 8 und 5 alſo 8 5

Die 4. Aufgabe.

50. Das Einmahl Eins aufzuſetzen /da -51der Rechenkunſt. das iſt / eine Tabelle verfertigen / in wel - cher alle Producte zu finden / welche he - raus kommen / wenn man die Einer durcheinander multipliciret.

Aufloͤſung.

  • 1. Theilet iede Seite eines Qvadrats in 9. gleiche Theile / und zerſchneidet es durch Qverſtriche in lauter kleine Faͤcher.
  • 2. Oben in der erſten Reihe derſelben zur lin - cken ſchreibet die Zahlen von 1 bis 9 in ih - rer natuͤrlichen Ordnung.
  • 3. Addiret 2 zu ſich ſelbſt / und ſetzet das Pro - duct 4 unter die 2. dazu addiret noch 2 / ſo iſt 6 das Product aus 3 in 2 / zu 6 addiret noch einmahl 2 / ſo habt ihr 8 das Product aus 2 in 4.
  • 4. Wenn ihr nun auf gleiche Weiſe die - briegen Zahlen findet / und in ihre gehoͤri - gen Faͤcher einſchreibet; ſo iſt das Ein mal Eins fertig / welches man machen ſolte.
D 2An -52Anfangs-Gruͤnde
123456789
24681012141618
369121518212427
4812162024283236
51015202530354045
61218243036424854
71421283542495663
81624324048566472
91827364554637281

Anmerckung.

51. Das Einmal Eins muß man auswendig lernen / wenn man im multipliciren und dividi - ren hurtig fortkommen wil. So lange man es aber noch nicht inne hat / muß es iederzeit / wenn man mul - tipliciret oder dividiret / bey der Hand ſeyn.

Die 5. Aufgabe.

52. Eine gegebene Zahl durch eine andere gegebene Zahl zn multipliciren.

Auf -53der Rechen-kunſt.

Aufloͤſung.

  • 1. Schreibet die eine Zahl dergeſtalt unter die andere / wie in der Addition geſchehen. (§. 43.)
  • 2. Unter die geſchriebenen Zahlen ziehet eine Linie.
  • 3. Schreibet aus dem Einmal Eins da - runter alle Producte aus iedem Theile der untern Zahlen in iedes von der oberen / und zwar dergeſtalt / daß ihr allzeit die Zehe - ner von einem Producte zum folgenden Producte zehlet / und jede Reihe der Pro - ducte umb eine Stelle weiter hinein ruͤckt.
  • 4. Endlich addiret (§. 43.) dieſe Producte zuſammen; ſo iſt die Summe derſelben das Product / welches man finden ſolte.

Z. E. wenn ihr 38476 durch 35 multipliciret / ſo ſchreibet die Zahlen folgender geſtalt unter - einander

  • 38476
  • 35
  • 192380
  • 115428
1346660

und ſprecht: 5 mal 6 iſt 30. Schreibet die 0 unter die 5 und ſprecht weiter: 5 mal 7 iſt 35 / 3 dazu (ſo euch zuvor uͤberblieben) iſt 38. Schreibet 8 neben 0 gegen die lincke und ſprecht ferner: 4 mal 5 iſt 20 / 3 darzu iſt 23. D 3Schreibt54Anfangs-GruͤndeSchreibt 3 neben 8 und ſagt: 5 mal 8 iſt 40 / 2 dazu iſt 42. Schreibet 2 neben 3 und ſagt abermal: 5 mal 3 iſt 15 / 4 dazu iſt 19. Schreibet 19 neben 2 / ſo habt ihr die obere Zahl 5 mahl genommen. Verfahret nun auf gleiche Weiſe mit 3 und ſagt: 3 mal 6 iſt 18. Schreibet 8. um eine Stelle weiter hinein gegen die lincke und ſprecht ferner: 3 mal 7 iſt 21 / 1 dazu iſt 22. Schreibet 2 neben die 8 ge - gen die lincke / u. ſ. w. Endlich addiret die beyden gefundenen Zahlen / ſo iſt die Sum - me 1346660. das geſuchte Product.

Beweiß.

Vermoͤge der geſchehenen Rechnung und des Einmal eins begreift die erſte Reihe der Zahlen / die addiret werden / die obere Zahl ſo viel mal in ſich als die erſtere von der unteren gegen die Rechte Eins in ſich enthaͤlt. Und weil die folgenden Reihen immer umb eine Stelle weiter hineingeruͤcket werden / ſo be - greifft iede von denſelben die obere Zahl ſo vielmal in ſich / als iede von den folgenden der unteren Eins in ſich enthaͤlt (§. 41). Derowe - gen wenn man alle Reihen zuſammen addi - ret; ſo muß die Sum̃e die obere Zahl ſo viel - mal in ſich enthaltẽ / als die untere Eins in ſich begreif (§. 15). Derowegen hat man die obere Zahl durch die untere multipliciret (§. 21.) W. Z. E.

Anmerckung.

53. Wenn an einer Zahl Nullen hangen / ſo darf man dieſelben nur hinten an das Praduct der uͤbri - gen Zahlen in einander anhaͤngen wie aus beygeſetz - ten Exempeln zu erſehen.

36855der Rechenkunſt.
3684750
2003 0
73600142500

Die 6. Aufgabe.

54. Ohne das Einmal Eins zu mul - tipliciren.

Aufloͤſung.

Wenn ihr nur dupliren koͤnnet / ſo koͤnnet ihr das uͤbrige ohne das Einmal Eins mul - tipliciren. Denn addiret das Einfache und Zweyfache / ſo habt ihr das Dreyfache. Dupliciret das Zweyfache / ſo habt ihr das Vierfache. Halbiret das Zehenfache / das iſt die zu multiplicirende Zahl mit einer Nul - le vermehret / ſo habt ihr das Fuͤnfffache. Addiret dazu das Einfache / ſo habt ihr das Sechsfache. Addiret zum halben Zehen - fachen das Zweyfache / ſo habt ihr das Sie - benfache. Ziehet ab vom Zehenfachen das Zweyfache / ſo habt ihr das Achtfache. Endlich ziehet das Einfache von dem Ze - henfachen / ſo habt ihr das Neunfache.

NOMENCLATURA.

  • 1. Simplum.
  • 2. Duplum.
  • 3. Triplum
  • 4. Quadruplum
  • 5. Quintuplum
  • 6. Sextuplum
  • 1. Simplum.
  • 2. Duplum.
  • 1+2. Duplum & Sim - plum
  • 2.2 Dupli duplum
  • $$\frac {10}{2}$$ Decupli dimidium
  • $$\frac {10}{2}$$ + 1 Decupli dimidi - um & Simplum.
D 47. Se -56Anfangs-Gruͤnde
  • 7. Sextuplum
  • 8. Octuplum
  • 9. Noncuplum
  • $$\frac {10}{2}$$ +2 Decupli dimidium & duplum
  • 10 2 Decuplum ſine duplo
  • 10 3 Deculum ſine ſimplo.

Exempel.

  • 3894
  • 3)
  • 7788
11682
  • 3894
  • 4)
  • 7788
15576
  • 3894
  • 5)
19470
  • 3894
  • 6)
  • 19470
23364
  • 3894
  • 7)
  • 19470 7788
27258
  • 3894
  • 8)
  • 7788
31152
  • 389.4.
  • 9)
35046

Anmerckung.

55. Man ſiehet leicht / daß / wenn weitlaͤufftige E - xempel vorkommen / man fuͤr die Multiplication nur immer die obern Producte wieder hmſchreiben darf.

Die 7. Aufgabe.

56. Eine gegebene Zahl durch eine an - dere kleinere Zahl zu dividiren.

Aufloͤſung.

Der erſte Fall. Wenn der Diviſor o - der Theiler nur ein Einer iſt / ſo

1. Se -57der Rechenkunſt.
  • 1. Setzet ihn unter die erſte Zahl zur Lincken / und fragt / wie vielmal er in derſelben ent - halten ſey. Die Zahl / ſo ſolches andeu - tet / ſetzet an ſtat des Qvotienten hinter den zur Rechten gemachten Strich.
  • 2. Mit dieſem Qvotienten multipliciret den Diviſorem, und ziehet das Product von der Zahl ab / die ihr dividiret / ſtreicht dieſelbe aus und ſetzt / was uͤberbleibt / da - ruͤber.
  • 3. Ruͤcket den Diviſorem um eine Stelle fort / und fragt abermals wie viel derſelbe in der zur Lincken uͤbergebliebenen / und zur Rechten uͤber ihm ſtehenden Zahl zuſam - men enthalten ſey. Und verfahret im - briegen wie vorhin.

Wenn ihr dieſes durch alle Zahlen fort fuͤhret / ſo werdet ihr den verlangten Qvo - tienten finden.

Z. E. Man ſol 7856 durch 3 dividiren. 〈…〉 Setzet 3 unter 7 und ſprecht: 3 in 7 habe ich 2 mal. Schrei - bet 2 hinter den zur Rechten gemachten Striech / und fprecht ferner; 2 mal 3 iſt 6: 6 von 7 laͤſ - ſet 1. Ruͤcket 3 unter 8 und ſagt: 3 in 18 habe ich 6 mal. Setzet 6 zu dem erſten Theile des Qvotienten und ſprecht; 3 mal 6 iſt 18: 18 von 18 hebet ſich auf. Wenn ihr nun auf gleiche Weiſe fort fahret / ſo fin - det ihr den gantzen Qvotienten 2618 undD 5blei -58Anfangs-Gruͤndebleiben 2 uͤbrieg. Daraus zu erfehen / daß die vorgegebene Zahl ſich nicht voͤllig in 3 gleiche Theile theilen laͤſſet.

Beweiß.

Weil man aus dem Ein mal Eins wiſſen kan / wie viel mal eine Zahl aus der Claſſe der Einer in einer andern Zahl enthalten iſt / welche aus der Multiplica - tion der Einer durch einander entſtanden / (§. 50); ſo iſt klahr / daß die gefundene Zahl andeutet / wie vielmal der Diviſor in den Tauſenden / Hundert en / Zehenern u. Ei - nern der vorgegebenen Zahl (§. 35.) enthal - ten ſey. Derowegen iſt ſie der geſuchte Qvotient und man hat die vorgegebene Zahl durch die andere dividiret (§. 24.) w. z. E.

Der andere Fall. Wenn der Diviſor mehr als aus einem Theile beſtehet / ſo

  • 1. Fanget an denſelben unter der erſten Zahl zur lincken / und ſo fort gegen die Rechte zuſchreiben / und macht wie vorhin hinter die Zahl einen Striech.
  • 2. Unterſuchet durch Huͤlfe des Ein mal Eins / wie viel mal die erſte Zahl des Di - viſoris iu der erſten Zahl der Dividiren - den enthalten ſey.
  • 3. Multipliciret duach dieſen Qvotien - ten den gantzen Diviſorem und gebet acht / ob ſich das Product von den Zahlen die uͤber jenem ſtehen / abziehen laͤſt.
4. Wenn59der Rechen-Kunſt.
  • 4. Wenn dieſes angehet / ſo ſchreibet die vor gefundene Zahl in die Stelle des Qvo - tienten hinter den Striech / und ziehet das Product wuͤrcklich ab. Die Zahlen / von welchen ihr abziehet / ſtreichet aus und / was uͤbrieg bleibet / ſetzt daruͤber. Gehet es aber nicht an / ſo nehmet zum Qvotien - ten eines oder auch mehrere weniger / biß ihr das Product abziehen koͤnnet.
  • 5. Ruͤcket euren Diviſorem umb eine Stel - le fort gegen die Rechte und verfahret wie vorhin / bis endlich der Diviſor nicht wei - ter fortgeruͤckt werden kan. So iſt ge - ſchehen / was mau verlangte.

Z. E. Man ſol 7856 durch 32 dividiren. Setzet 32 unter 78 und ſprecht: 3 in 7 ha - 〈…〉 be ich 2 mal. Multipliciret 2 mit 32 / ſo kommt heraus 64. Weil nuu dieſes Pro - duct ſich von 78 abziehen laͤſ - ſet / ſo ſchreibet 2 an ſtat des Qvotienten / und / was nach geſchehener Subtraction uͤbrieg bleibet / 14 ſchreibet uͤber 78. Ruͤcket euren Divi - ſorem umb eine Stelle fort und ſprecht: 3 in 14 habe ich 4 mal. Multipliciret 4 mit 32 / ſo kommt heraus 128. Weil nun dieſes Product ſich von 145 abziehen laͤſt / ſo ſchreibet 4 in die Stelle des Qvotienten / und was nach geſchehener Subtraction uͤbrieg bleibt / 17 ſchreibet uͤber die ausgeſtrichenenZah -60Anfangs-GruͤndeZahlen daruͤber. Ruͤcket euren Diviſorem abermal umb eine Stelle fort und ſprecht: 3 in 17 habe ich 5 mal. Multipliciret 32. mit 5. Weil das Product 160 ſich von 176 abziehen laͤſt / ſo ſchreibet 5 zu dem Qvo - tienten und was nach geſchehener Sub - traction uͤbrieg bleibet / 16 ſchreibet uͤber die ausgeſtrichenen Zahlen daruͤber. Die ge - fundene Zahl 245 iſt der verlangte Qvo - tient.

Beweiß.

Der Beweiß iſt faſt eben wie in dem er - ſten Falle. Nur iſt zumercken / daß / weil man vermoͤge des Einmal Eins nicht wiſ - ſen kan / wie vielmal der gantze Diviſor in dem daruͤber geſchriebenen Zahlen enthal - ten iſt / man ſetze / er ſtecke ſo vielmal darin - nen als die erſte Zahl des Diviſoris zur lin - cken in der uͤber ihr geſchriebenen Zahl. Denn ob dieſes gleich nicht jederzeit ein - trieft; ſo kan es einen doch nicht in Jrr - thum verleiten / weil die Probe gleich ange - ſtellet wird / wenn man den Diviſorem durch den angenommenen Qvotienten multi - pliciret und ihn alſo vermittelſt derſelben ſo lange umb eines vermindert / biß man den rechten Qvotienten erhaͤlt.

Anmerckung.

57. Es ſcheinet zwar dieſe Methode verdruͤßlich zu ſeyn / weil man erſt verſuchen muß. Allein die Erfahrung lehret / daß man ſehr geſchwinde die Pro -be61der Rechen-Kunſt. be in den Gedancken anſtellen kan / wenn man ſich erſt eine Weile geuͤbet.

Die 8. Aufgabe.

58. Ohne das Ein mal Eins zu di - vioiren.

Aufloͤſung

  • 1. Schreibet die Zahl / welche dividiret wer - den ſol / gewoͤhnlicher maſſen vor Euch / macht darhinter einen Vertical-Striech und unter die Stelle des Qvotienten ei - nen Horizontal-Striech.
  • 2. Unter dieſen andern Striech ſchreibet den Diviſorem und daneben zur Rech - ten 1 / des Diviſoris duplum und dane - ben 2 / endlich auch die Helfte des zehen fachen und daneben 5 / ſo koͤnnet ihr dar - aus alle vielfache Zahlen des Diviſoris haben (§. 53.)
  • 3. Nehmet ſo viel Zahlen der zu dividiren - den Zahl als der Diviſor Theile hat / und vergleichet ſie mit ſeinen vielfachen; ſo werdet ihr den Qvotienten haben.
  • 2. Dieſen ſchreibet gewoͤhnlicher maßen an ſeinen Ort / das dazu gehoͤrige vielfache a - ber des Diviſoris unter die gemeldeten Theile der zu dividirenden Zahl und zie - het jenes von dieſen ab.
  • 5. Zu dem uͤberbliebenen / ſetzet zur Rechten die naͤchſt folgende Zifer von der zu divi - direnden Zahl und verfahret wie vorhin.

Wenn ihr nun ſo fortfahret / ſo werdet ihrohne62Anfangs-Gruͤndeohne Ein mal Eins und ohne beſchwerli - ches Nachdencken den voͤlligen Qvotienten finden.

Z. E. Jhr ſollet 385724615 durch 157 dividiren / ſchreibet die Zahl folgender ge - ſtalt nieder mit dem benoͤthigten vielfachen Zahlen des Diviſoris: 〈…〉

Vergleichet mit dieſen 385 / ſo ſehet ihr / daß 350 ihnen am naͤchſten kommt und demnach 2 der Qvotient iſt. Dieſen ſchreibet an ſeinen gehoͤrigen Ort / ſetzt 350 unter 385 und ziehet die erſtere Zahl von der andern ab. Zu dem uͤberbliebenen 35 ſetzet aus der zu dividirenden Zahl noch die 7 herunter. Vergleichet aber 357 mit den vielfachen Zah - len des Diviſoris, ſo werdet ihr finden / daßdie -63der Rechen-Kunſt. dieſer Zahl 350 am naͤchſten kommt und al - ſo 2 abermal der Qvotient ſey. Subtra - hiret 350 gehoͤriger maſſen von 357 / ſo blei - ben 7 uͤbrieg. Dazu ſetzet die 2 herunter / ſo werdet ihr wahrnehmen / daß 72 kleiner als der Diviſor und allſo / fuͤr dieſe Stelle der Qvotient 0 ſey. Ruͤcket demnach mit der 4 herunter / ſo ſehet ihr bald das 724 zwiſchen das zweyfache 350 und fuͤnf - fache 875 faͤllet / und zwar des zweyfa - chen zweyfaches / das iſt / das vierfache 700 denſelben am naͤchſten kommt / folgends der Qvotient 4 ſey. Wenn ihr nun ſol - cher geſtalt eure Arbeit fort ſetzet / ſo werdet ihr den voͤlligen Qvotienten 2204140 fin - den und werden euch noch 115 uͤbrieg blei - ben.

Die 1. Anmerckung.

59. Ein jeder wird verſpuͤren / daß dieſe Manier zu dividiren der gewoͤhnlicheu / die in der vorherge - henden Anfgabe erklaͤhret worden / unſtreitig weit vorzuziehen ſey / nicht allein weil das werdruͤßliche Nachſinnen / welches mit der gewoͤhnlichen Art ver - knuͤpfet iſt (§. 57.) / voͤllig gehoben wird / ſondern auch weil man hier nicht ſo leicht fehleu kan / inglei - chen in den groͤſten Exempeln ſich nicht abmattet.

Die 2. Anmerckung.

60. Es hat dieſe Art ohne das Ein mal Eins zurechnen ſchon vor langer Zeit der Herr LUDOLF / Profeſſor Mathematum zu Erfurt erſonnen / als einem ſeiner Zuhoͤrer das Ein mal Eins nicht in Kopf wolte / und ſie nach der Zeit mit gutem Fortgan - ge in den Erfurtiſchen Schulen als Inſpector -ber64Anfangs-Gruͤndeber dieſelben einfuhren laſſen. Als er mir dieſelbe communiciret / hat er mich verſichert / daß auch Hu - genius ſelbſt ſich daruͤber vergnuͤget / als er bey deſſen Leben in HAGE unter andern Mathematiſchen Diſcurſen auch von dieſer ſeiner Rechnungs-Art mit ihm geſprochen.

Die 3. Anmerckung.

61. Unerachtet ich aber dieſelbe / ſonderlich im di - vidiren / allen mit Ernſt recommendire / ſo wolte ich doch auch nicht gerne / daß man das Ein mal Eins gantz verwuͤrfe / weil gewiſſe Faͤlle vorkom - men koͤnnen / da man ohne ſich eines Vortheiles zu begeben daſſelbe nicht wohl entrathen kan. Wir werden bald ein kl[a]hres Exempel in Reduction der Bruͤche ſehen.

Die 7. Erklaͤhrung.

62. Wenn man zwey Zahlen (4 und 12) dergeſtalt mit einander vergleichet / daß man ihren Unterſcheid (8) durch die Subtraction ſuchet / nennet man ihre Relation, diẽ ſie gegen einander ha - ben / Eine Arithmetiſche Verhaͤlt - nis: ſiehet man aber auf den Qvo - tienten (3) / der durch die Diviſion gefunden wird / Eine Geometriſche Verhaͤltnis. Der Qvotient / welcher andeutet / wie vielmal die kleinere Zahl in der groͤſſern enthalten iſt / heiſſet der Nahme der Verhaͤltnis (NO - MEN ſive EXPONENS RA - TIONIS.)

Die65der Rechen-Kunſt.

Die 8. Erklaͤhrung.

63. Wenn in zweyen oder mehrern Arithmetiſchen Verhaͤltniſſen (3.5 und 6. 8) der Unterſchied der Glieder; in Geometriſchen (3.12 und 5.20) der Nah - me der Verhaͤltnis einerley iſt / ſo nen - net man ſie aͤhnllch und ihre Aehnlich - keit eine Proportion.

Anmerckung.

64. Die Zahlen / ſo eine Arithmetiſche Proportion mit einander machen / ſchreibet man alſo / 3.5 6.8[;]die in einer Geometriſchen neben einander ſtehen / dergeſtalt 3.12 5. 20 oder auch mit dem Herrn von Leibnitz 3: 12 = 5: 20. Jn beyden ſpricht man: Wie ſich ver - haͤlt die erſte Zahl zu der andern / ſo die dritte zu der vierdten. Dieſe Redeus-Art hat in dem erſten Falle den Verſtand: Umb wie viel die erſte Zahl groͤſſer ober kleiner als die andere / umb eben ſo viel iſt die dritte Zahl groͤſſer oder klei - ner als die vierdte. Hingegen in dem andern Falle muß man ſie dergeſtalt erklaͤhren: Wieviel mal die erſte Zahl die andere in ſich enthaͤlt / oder in derſel - ben enthalten iſt 3 eben ſo vielmal enthaͤlt die dritte Zahl die vierdte in ſich / oder iſt in derſelben enthal - ten.

Die 9. Erklaͤhrung.

65. Zuweilen vertrit das andere Glied zugleich die Stelle des dritten / und dann nennet man es PROPOR - TIONEM CONTINUAM. Jſt nun dieſelbe Arithmetiſch / ſo ſchreibet manEſie66Anfangs-Gruͤndeſie alſo: $$\frac {. .}{.}$$ 3. 6. 9 ; iſt ſie Geometriſch / folgender maſſen; 3. 6. 12.

Die 10. Erklaͤhrung.

66. Eine Progreßion wird ge - nennet eine Reihe Zahlen / die in einer Arithmetiſchen oder auch