Die elaſtiſchen Schwingungen der Saiten und Staͤbe, bey welchen man nur auf einzelne krumme Linien Ruͤckſicht zu nehmen hat, ſind von verſchiedenen ſo genau und ſcharſſinnig berechnet, daß ſich wohl ſehr wenig neues daruͤber moͤchte ſagen laſſen; da hingegen die wahre Beſchaffenheit des Klanges ſolcher Koͤrper, bey denen elaſtiſche Kruͤmmungen ganzer Flaͤchen nach mehreren Dimenſionen zugleich in Betrachtung kommen, noch in die tiefſte Dunkelheit eingehuͤllt iſt; indem weder Berechnungen, die mit der Er - fahrung uͤbereinſtimmen, noch richtige Beobachtungen daruͤber vorhanden ſind. Da es mir gelungen iſt, ein Mittel zu entdecken, um jede moͤgliche Art des Klanges ſolcher Koͤrper ohne Beymiſchung anderer nicht nur hoͤrbar, ſondern auch ſichtbar darzuſtellen; ſo hoffe ich, durch Bekanntmachung mei - ner Beobachtungen wenigſtens einige richtige Vorausſetzungen zu genauerer Unterſuchung dieſes noch ſehr unbearbeiteten Theiles der Mechanik liefern zuAkoͤnnen,2koͤnnen, und bin verſichert, daß jeder die Unvollkommenheit meiner Bemer - kungen entſchuldigen werde, wer aus eigener Erfahrung weiß, wie viele Schwierigkeiten ſich einem, der auf ungebahnten Wegen die Natur beob - achten will, bey jedem Schritte entgegenſtellen.

Jeder klingende Koͤrper kann verſchiedne Toͤne geben, und nimmt bey jedem derſelben eine andere Art der ſchwingenden Bewegung an; indem die dadurch verurſachte Kruͤmmung die Axe, d. i. die Geſtalt des Koͤrpers, wenn er in Ruhe iſt, entweder gar nicht, oder in 1, 2, 3, und mehreren Stellen durchſchneidet. Die Stellen, wo die ſchlangenfoͤrmigen Schwingungslinien die Axe durchſchneiden, werden von Sauveur, de la Hire und andern, Schwingungsknoten genennt; ſie bleiben in Ruhe, waͤhrend daß die uͤbrigen Theile des klingenden Koͤrpers ſich bewegen, und man kann an ei - ner oder mehreren ſolchen Stellen den Koͤrper beruͤhren, oder Daͤmpfungen anbringeu, ohne daß der Klang dadurch gehemmt wird, welches aber ſo - gleich geſchieht, wenn man eine Stelle zwiſchen zween Schwingungsknoten beruͤhret, oder auf andere Art daͤmpft.

Es iſt bekannt, daß bey dem Grundtone einer Saite die Axe nir - gends durchſchnitten wird, bey den uͤbrigen Toͤnen aber, welche man har - moniſche Toͤne nennt, 1, 2, 3 und mehreremal; daß auch, wenn man den Grundton als 1 anſieht, die uͤbrigen Toͤne in der Progreſſion 2, 3, 4, u. ſ. w. ſtehen. ^a)Eben ſo bekannt iſt auch, daß Hoͤrner, Trompeten und offene Pfeifen die naͤmliche Folge von Toͤnen geben, gedeckte Pfeifen aber die mit den ungera - den Zahlen uͤbereinkommenden Toͤne.Jeder beliebige harmoniſche Ton einer Saite laͤßt ſich leicht hervorbringen, wenn man eine Stelle, wo ein Schwingungsknoteniſt,3iſt, gelinde beruͤhrt, und zugleich die Mitte eines ſchwingenden Theils mit dem Violinbogen ſtreicht, oder auf andere Art in Beregung ſetzt. Es wer - den dieſe Toͤne vorzuͤglich auf der Trompete marine ausgeuͤbt; auch habe ich Violoncellſpieler gehoͤrt, die ſich derſelben in einigen Faͤllen mit gutem Er - folge bedienten; indem vorzuͤglich auf der d und a Saite eines Violoncells manche harmoniſche Toͤne von ungewoͤhnlicher Hoͤhe ſich leichter und reiner hervorbringen laſſen, als wenn man ſie auf die gewoͤhnliche Art greifen woll - te; ſo daß verſchiedene harmoniſche Toͤne in der viermalgeſtrichenen Octave allenfalls noch angenehm klingen. ^b)Jn Sulzers Theorie der ſchoͤnen Kuͤnſte wird in dem Artikel Klang mit Un - recht behauptet, daß das viermalgeſtrichene e der hoͤchſte brauchbare Ton ſey; der Verfaſſer dieſes Artikels beruft ſich dabey auf Eulers tentamen no - vae theoriae Muſicae, cap. 1. §. 13, er muß aber die angefuͤhrte Stelle ent - weder nicht nachgeleſen, oder nicht gehoͤrig verſtanden haben; indem Euler daſelbſt nicht das viermalgeſtrichene, ſondern das fuͤnfmalgeſtrichene c als den hoͤchſten hoͤrbaren Ton anſieht. Den an klingenden Koͤrpern von verſchie - dener Art angeſtellten Verſuchen zufolge halte ich ungefaͤhr die Mitte der vier - malgeſtrichenen Octave fuͤr die Graͤnze der brauchbaren, und ungefaͤhr das fuͤnfmalgeſtrichene e oder f fuͤr die Graͤnze der zu unterſcheidenden Toͤne.

An elaſtiſchen Staͤben und Blechſtreifen, wie auch an Ringen, Schei - ben, Glocken und dergleichen klingenden Koͤrpern, ſind ſowohl die Verhaͤlt - niſſe der verſchiedenen Toͤne des naͤmlichen Koͤrpers, als auch der gleicharti - gen Toͤne an verſchiedenen Koͤrpern ſehr von denen unterſchieden, die an Sai - ten Statt finden. Es laſſen ſich bey den meiſten ſolchen klingenden Koͤrpern nicht alle Toͤne, beſonders wenn ſie ſehr hoch ſind, durch Anſchlagen deut - lich genug hervorbringen, es wird alſo zu Unterſuchung derſelben beſſer ſeyn, den klingenden Koͤrper unter einem rechten Winkel mit einem Violinbogen,A 2der4der mit Colophonium oder einem andern Harze beſtrichen iſt, zu ſtreichen,^c)Staͤbe, Glocken und dergleichen klingende Koͤrper mit den Violinbogen zu ſtreichen, iſt keine Erfindung von mir; indem die ſogenannte Violinharmo - nica ein laͤngſt bekanntes Jnſtrument iſt, auf dem ſich ſchon vor einigen Jah - ren Schroͤter, Senal und andre haben hoͤren laſſen. Auch hat der Abt Mazzocchi ein der Harmonica aͤhnliches Jnſtrument verfertiget, welches aus metallenen Glocken beſteht, die mit dem Violinbogen geſtrichen werden, wo - von man in dem dritten Bande von Forkels muſikaliſchkritiſcher Bibliothek S. 321. und in deſſen muſikaliſchen Almanach auf 1782. S. 33. Nachricht findet. Es hat aber, ſoviel ich weiß, noch niemand ſich des Violinbogens zu Unterſuchung ſolcher klingenden Koͤrper bedient, die ſich nicht fuͤglich an - ders unterſuchen laſſen. wodurch anhaltendere und beſtimmtere Toͤne hervorgebracht, und auch ſogar hoͤlzerne Staͤbe, Kaͤſtchen, Schalen und duͤnne Breter genoͤthiget werden koͤnnen, einen fortdaurenden Klang zu geben. Alle Stellen des klingenden Koͤrpers, an denen die Axe von den ſchlangenfoͤrmigen Kruͤmmungen durch - ſchnitten wird, laſſen ſich, wenn deſſen Oberflaͤche gerade iſt, und horizon - tal gehalten wird, ſichtbar machen, wenn man vor oder bey dem Streichen etwas Sand auf dieſelbe ſtreuet, welcher von den ſchwingenden Stellen, oͤf - ters mit vieler Heftigkeit, heruntergeworfen wird, und an den ſich nicht be - wegenden Stellen liegend bleibt.

Da bey den Klaͤngen elaſtiſcher Staͤbe und Blechſtreifen die ſchwingende Bewegung weit einfacher iſt, als bey Glocken und Scheiben, ſo wird es ſchicklich, und zu mehrerer Deutlichkeit des folgenden nothwendig ſeyn, davon zuerſt einiges zu erwaͤhnen. Ein Stab kann in ſechs Faͤllen beſtimmte Folgen von Toͤnen hoͤren laſſen, und in jedem dieſer Faͤlle andere krumme Linien beſchreiben, naͤmlich

• 1) Wenn das eine Ende ganz feſt, das andere aber frey iſt.
• 2) Wenn das eine Ende nur etwas feſt, und das andere frey iſt.
• 3) Wenn beyde Enden frey ſind.
• 4) Wenn beyde Enden etwas feſt ſind.
• 5) Wenn beyde Enden ganz feſt ſind.
• 6) Wenn ein Ende ganz feſt, das andere aber nur etwas feſt iſt.

Was ich hier ganz feſt nenne, wird von Eulern infixus genannt, er nimmt hierbey an, daß ein unbeweglich ſeyn ſollendes Ende in einer Mauer ſo befeſtiget ſey, daß es gar nicht nachgeben koͤnne. Man kann auch zu mehrerer Bequemlichkeit bey den Verſuchen das Ende des Stabes ſehr feſt in einen Schraubenſtock ſpannen,^d)Nur iſt dabey zu bemerken, daß, wenn die Richtung des Streichens mit der Muͤndung des Schraubenſtockes parallel iſt, die Toͤne tiefer ſind, und mit den gehoͤrigen Verhaͤltniſſen weniger uͤbereinkommen, als wenn man un - ter einem rechten Winkel mit der Muͤndung des Schraubenſtockes ſtreicht; weil bey dem mit der Muͤndung parallelen Streichen ſich die untern Theile des Stabes zu wenig gegen den Schraubenſtock ſtemmen. Der Unterſchied wird bey den einfachern Klaͤngen mehr, als einen ganzen Ton, bey den fol - genden aber weniger betragen. um die naͤmlichen Reſultate zu erhalten. Was ich hier nur etwas feſt nenne, heißt bey Eulern ſimpliciter fixus, er nimmt hierbey an, daß das Ende des Stabes nur gleichſam an einem un - beweglichen Stifte ſo befeſtiget ſey, daß es ſich um denſelben ſrey herumdre - hen koͤnne. Mit dem naͤmlichen Erfolge laſſen ſich die Verſuche anſtellen, wenn das nur etwas feſt ſeyn ſollende Ende des Stabes auf einen Reſonanz - boden oder Tiſch nicht allzuſtark aufgeſtemmt wird.

Die Progreſſionen der Toͤne, welche in allen dieſen ſechs Faͤllen an dem naͤmlichen Stabe oder Blechſtreiſen Statt finden, und die Geſtalt der dadurchA 3gebil -6gebildeten krummen Linien hat L. Euler^e)Inveſtigatio motuum, quibus laminae et virgae elaſticae contremiſcunt, auto - re L. Eulero, in Actis Acad. Scient. Imp. Petrop. pro anno 1779. P. I, pag. 103. ſequ. in den Actis der Kayſerl. Acade - mie der Wiſſenſchaften zu Petersburg fuͤr 1779. ſehr ſcharfſinnig berechnet, wie auch den erſten, dritten, vierten und ſechſten Fall in ſeiner methodo inveniendi curvas etc.^f)Methodus inveniendi curuas maximi minimive proprietate gaudentes, ſ. ſolutio problematis iſoperimetrici, latiſſimo ſenſu accepti, autore L. Eulero, additam. I. de curvis elaſticis p. 282 ſequ. abgehandelt; nur finden ſich in dem zuletzt ange - fuͤhrten Werke einige unrichtige Behauptungen, welche der Graf Giorda - no Riccati^g)Jn dem Aufſatze: delle vibrazioni ſonore dei cilindri, welcher in dem erſten Bande der memorie di matematica e fiſica della ſocieta Italiana (Verona 1782) befindlich iſt. gehoͤrig widerlegt, und die Schwingungen freyſchwebender Cylinder mit aͤußerſter Genauigkeit berechnet hat. Der erſte, welcher mit gutem Erfolge die Schwingungen elaſtiſcher Blechſtreifen und Staͤbe unter - ſucht hat, iſt Daniel Bernoulli; es ſind verſchiedene, dieſen Gegenſtand betreffende Schriften von ihm in den Commentarien und neuen Commenta - rien der Petersburger Academie der Wiſſenſchaften befindlich.

Jn dem erſten Falle, wo ein Ende des Stabes ganz unbeweg - lich, das andere aber frey iſt, wird bey dem tiefſten und einfachſten Klange die Axe des Stabes a b fig. 147. von der krummen Schwingungs - linie a c nirgends durchſchnitten, ſondern nur in dem Puncte a beruͤhrt, wo das unbewegliche Ende iſt. Es erſcheint dieſer Klang bey jedem in einer Wand oder in einem Schraubenſtocke befeſtigten Stabe, Nagel oder Stif - te, ſehr leicht, wenn man irgend einer Stelle, die nicht allzunahe an demunbe -7unbeweglichen Ende iſt, denſelben anſchlaͤgt oder ſtreicht. Man bedient ſich dieſes Klanges bey der ſogenannten Harmonica mit eiſernen Naͤgeln oder Violinharmonica, welche aus eiſernen Stiften beſteht, die in dem Steg ei - nes Reſonanzbodens eingeſchlagen ſind, und mit dem Violinbogen geſtri - chen werden. Außer dem itzt erwaͤhnten Klange laſſen ſich auf dem naͤmli - chen Stabe noch mehrere hervorbringen, bey welchen die krumme Schwin - gungslinie die Axe in 1, 2, 3 oder mehreren Puncten durchſchneidet. Um jeden dieſer Klaͤnge einzeln zu erhalten, beruͤhre man eine oder mehrere Stel - len, wo Durchſchnittspuncte ſind, und ſchlage oder ſtreiche in der Mitte ei - nes ſchwingenden Theils. So wird z. B. der Klang, (fig. 148.) bey wel - chem die krumme Linie a c d e die Axe a b nur in dem einen Puncte d ſchnei - det, zum Vorſchein kommen, wenn der an dem Ende a unbewegliche Stab a b bey d beruͤhrt, und ungefaͤhr bey c, oder allenfalls nahe an dem Ende b angeſchlagen oder geſtrichen wird. Da die aͤußerſten Schwingungsknoten ſich den Enden immer mehr naͤhern, je oͤfter die Axe von der krummen Li - nie durchſchnitten wird, ſo wird man aus der ganzen Reihe der auf dem naͤm - lichen Stabe auf dieſe Art hervorzubringenden Toͤne nicht leicht einen verfeh - len, wenn man mit dem Finger, der den Stab beruͤhrt, immer weiter nach einem Ende zuruͤckt, nnd immer naͤher an dem feſten Ende mit dem Violin - bogen ſtreicht, je groͤßer die Anzahl der Schwingungsknoten ſeyn ſoll. Bey dem Klange, wo ein Schwingungsknoten vorhanden iſt, (fig. 148.) wird der Ton beynahe um 2 Octaven + eine uͤbermaͤßige Quinte hoͤher ſeyn, als bey dem einfachſten Klange. (fig. 147.) Sind zween Schwingungsknoten vorhanden, ſo nimmt die Hoͤhe gegen den vorigen ungefaͤhr um eine Octa - ve + eine falſche Quinte zu, bey dreyen Schwingungsknoten behnahe um eine Octave, bey vieren ungefaͤhr um eine große Sexte u. ſ. w. ſo daß alſo, wenn man das 16fuͤßige oder Contra - C als den einfachſten Klang annimmt, die uͤbrigen zu erhaltenden Toͤne in folgender Ordnung ſtehen:

Es verhalten ſich dieſe Toͤne, den Grundton ausgenommen, beynahe wie die Quadratzahlen von 3, 5, 7 u. ſ. w.

Eben dieſelbe Bewandniß hat es mit den Klaͤngen der Gabeln und ſol - cher Staͤbe, an denen zwar beyde Enden frey ſind, die Mitte derſelben aber an einen Stiel unbeweglich befeſtiget oder in einen Schraubenſtock eingeſpannt iſt; man kann naͤmlich, ohngeachtet beyde Haͤlften einander ihre Schwingun - gen mittheilen, jede Haͤlfte derſelben als einen Stab anſehen, deſſen eines Ende unbeweglich iſt, es findet auch die naͤmliche Folge von Toͤnen Statt.

Jn dem zweyten Falle, wo das eine Ende nur etwas feſt, das andere aber frey iſt, werden die Schwingungsknoten faſt an den naͤmli - chen Stellen befindlich ſeyn, wie in dem erſten Falle, aber die Geſtalt der krummen Linien iſt etwas anders, wie man bey Vergleichung der 149ſten Figur mit der 148ſten ſehen kann. Bey dem einfachſten Klange wird die Axe einmal durchſchnitten, (fig. 149.) bey dem folgenden, (fig. 150.) zweymal, u. ſ. f. Um dieſe Klaͤnge herzorzubringen, halte man den Stab an einer Stelle, wo ein Schwingungsknoten iſt, mit zween Fingern, ſtem - me das eine Ende nicht allzuſtark auf den Tiſch, oder auf einen Reſonanz - boden, und ſtreiche in der Mitte eines ſchwingenden Theils. Wenn der Grundton eines Stabes im erſten Falle das Contra - C iſt, ſo wird der naͤmliche Stab in dem jetzt erwaͤhnten 2ten Falle folgende Toͤne geben, die ſich wie die Quadrate der Zahlen 5, 9, 13, 17 u. ſ. w. verhalten:

Jn dem dritten Falle wird bey dem einfachſten Klange eines Sta - bes, deſſen beyde Enden frey ſind, die Axe zweymal durchſchnitten, (fig. 151.) bey den folgenden drey, (fig. 152.) vier oder mehreremal. Euler leugnet in der methodo inveniendi curvas etc. die Moͤglichkeit der Klaͤnge, bey welchen die Axe in einer ungeraden Anzahl von Puncten durch - ſchnitten wird; indem er annimmt, daß hierbey eine drehende Bewegung (motus rotatorius) um die Mitte des Stabes entſtehen wuͤrde: er hat aber in der Folge, nach angeſtellten genauern Unterſuchungen, in dem ſchon an - gefuͤhrten Aufſatze in den Actis auf 1779. die Moͤglichkeit dieſer Schwin - gungsarten zugegeben. Auch hat der Graf Giordano Riccati in der ſchon vorher erwaͤhnten Schrift: delle vibrazioni ſonore dei cilindri, hinlaͤng - lich gezeigt, daß die Arten des Klanges, bey welchen die Zahl der Durch - ſchnittspuncte ungerade iſt, eben ſowohl moͤglich ſind, als die, wo die Axe in einer geraden Anzahl von Puncten durchſchnitten wird, welches ich denn auch, ehe mir die Riccatiſche Schrift und der Eulerſche Aufſatz in den Actis auf 1779. bekannt war, ſchon durch Verſuche gefunden hatte. Uebrigens hat der Graf Riccati ſowohl uͤber die Klaͤnge freyſchwebender Cylinder, als auch uͤber die Schwingungen der Cylinder uͤberhaupt noch vieles neue zu den Euleriſchen Berechnungen hinzugefuͤgt.

Um jeden beliebigen Klang eines an beyden Enden freyen Stabes zu erhalten, lege man an zwo Stellen, wo Schwingungsknoten ſind, den Stab auf nicht allzuharte Unterlagen, als etwa auf zween mit Tuch uͤberzogene Stege, die ſich nach Belieben verruͤcken laſſen, oder allenfalls nur auf et - was ſtarken Bindfaden, zuſammengedrehetes Papier, und dergleichen; und ſtreiche oder ſchlage den Stab zwiſchen zween Schwingungsknoten.

Die Tonverhaͤltniſſe ſind bey einem alſo behandelten Stabe nach den aͤußerſt genauen Berechnungen des Grafen Riccati, mit welchen die Erfah - rung uͤbereinſtimmt, folgende: Jn Vergleichung mit dem einfachſten Klange,Bbey10bey welchem die krumme Schwingungslinie die Axe in zween Puncten ſchnei - det, (fig. 151.) iſt der, bey welchem die Axe in dreyen Puncten durch - ſchnitten wird, (fig. 152.) beynahe um eine Octave + eine uͤbermaͤßige Quarte — ½ Comma ( $$\frac{80}{81}$$ ) hoͤher; der folgende, wo die krumme Linie die Axe viermal ſchneidet, um 2 Octaven + eine Quarte, und etwas mehr als ein Comma; der, wo die Axe fuͤnfmal durchſchnitten wird, um 3 Octa - ven + eine große Secunde; bey ſechs Schwingungsknoten iſt der Ton um 3 Octaven + eine große Sexte, und $$\frac{1}{15}$$ Comma, bey ſieben um vier Octa - ven + eine uͤbermaͤßige Secunde — ⅛ Comma hoͤher, u. ſ. w. Wird kei - ne große Genauigkeit erfordert, ſo kann man annehmen, daß ſich die Toͤne verhalten, wie die Quadrate der Zahlen 3, 5, 7, 9 u. ſ. f. Da der ein - fachſte Klang, bey welchem die Axe zweymal durchſchnitten wird, den Eule - riſchen Berechnungen und der Erfahrung zufolge um 2 Octaven + eine Quinte und einen halben Ton hoͤher iſt, als in dem erſten Falle der einfachſte Klang des naͤmlichen an dem einen Ende ganz unbeweglichen, an dem an - dern aber freyen Stabes, ſo werden, wenn dieſer oben beſchriebene Klang das 16fuͤßige oder Contra - C iſt, die Toͤne des naͤmlichen an beyden Enden freyen Stabes in folgender Ordnung ſtehen:

Ein Stab kann in dem vierten Falle, wenn ſeine beyden Enden nur etwas feſt ſind, ebenfalls unendlich verſchiedene Arten der ſchwingenden Be - wegung annehmen, die in Anſehung ihrer Geſtalt mit den Schwingungen der Saiten uͤbereinkommen, aber ganz andere Tonverhaͤltniſſe geben. Die in dieſem vierten Falle zu erhaltenden Toͤne zeigten ſich allemal in ihren ge - hoͤrigen Verhaͤltniſſen, wenn ich mit einem etwas harten Koͤrper den Stabauf11auf den Tiſch oder auf einen Reſonanzboden ſchwach aufſtemmte, und an den gehoͤrigen Stellen mit den Violinbogen ſtrich, zugleich aber mit einem Finger irgend eine Stelle beruͤhrte, wo ein Schwingungsknoten ſeyn ſollte. Die einfachſte Art des Klanges iſt die, bey welcher kein Schwingungsknoten vorhanden iſt, ſondern der ganze Stab eben ſolche Schwingungen macht, wie eine Saite bey ihrem Grundtone, (fig. 153.) bey der folgenden, wo die Axe einmal durchſchnitten wird, (fig. 154.) iſt der Ton um 2 Octaven hoͤher, bey dem naͤchſtfolgenden, wo zween Schwingungsknoten ſind, um 3 Octaven + einen ganzen Ton u. ſ. w. Es verhalten ſich naͤmlich die in dieſem Falle hervorzubringenden Toͤne genau, wie die Quadrate der Zahlen 1, 2, 3, 4 u. ſ. f.

Der einfachſte Klang in dem jetztbeſchriebenen Falle iſt um eine Octa - ve + eine uͤbermaͤßige Quarte hoͤher, als der einfachſte Klang des naͤmli - chen Stabes in dem erſten Falle war; wenn alſo dieſer, wie ſchon einigemal geſchehen, als das Contra - C angenommen wird, ſo ſind die Toͤne des naͤm - lichen an beyden Enden ſchwach befeſtigten Stabes folgende:

Jn dem fuͤnften Falle, wo beyde Enden des Stabes ganz unbe - weglich ſind, wird bey dem einfachſten Klange die Axe nirgends durch - ſchnitten, bey dem folgenden einmal, u. ſ. f. Die Schwingungsknoten ſind an den naͤmlichen Stellen, wie in dem vierten Falle, aber ſowohl die Ge - ſtalt der krummen Linien, als auch die Tonverhaͤltniſſe, ſind ganz anders be - ſchaffen. Die krumme Linie, welche bey dem einfachſten Klange dieſer Art Statt findet, iſt bey fig. 155. zu ſehen. Die Toͤne ſind nach Eulers An - gabe die naͤmlichen, wie in dem dritten Falle. Jch glaubte dieſe Tonver -B 2haͤltniſ -12haͤltniſſe anzutreffen, wenn ich jedes Ende des Stabes in einen Schrauben - ſtock ſehr feſt einſpannte; es war aber keine Genauigkeit der Beobachtungen dabey moͤglich, weil durch ſtaͤrkeres oder ſchwaͤcheres Einſpannen die Ton - verhaͤltniſſe ſehr veraͤndert wurden, und mithin alle Reſultate ſehr verſchieden ausfielen.

Die Klaͤnge des ſechſten Falles, wo ein Ende des Stabes ganz unbeweglich, das andere aber nur etwas feſt iſt, kann man leicht in ihren gehoͤrigen Verhaͤltniſſen erhalten, wenn der Stab an dem einen En - de feſt in einen Schraubenſtock geſpannt, an das andere aber ein etwas har - ter Koͤrper ſchwach angeſtemmt wird. Bey dem einfachſten Klange dieſer Art wird die Axe nirgends durchſchnitten, die Geſtalt der dabey Statt fin - denden krummen Linie iſt fig. 156. zu ſehen; bey den folgenden Klaͤngen ſind 1, 2, 3 oder mehrere Durchſchnittspuncte. Die Toͤne ſind, ohnge - achtet der ganz verſchiedenen Geſtalt der krummen Linien, ganz die naͤmli - chen, wie in dem zweyten Falle, wo der Stab an dem einen Ende nur et - was feſt, an dem andern aber frey iſt.

Wenn m die jeder Art des Klanges zukommende Zahl, D den Durch - meſſer, r die Steifigkeit der Materie, L die Laͤnge, und g die ſpecifiſche Schwere bedeutet, ſo iſt der Klang S eines Stabes = $$\frac{m^{2}D}{L^{2}}\ (\sqrt{ (r: g) }\)$$ Die aus dieſer Formel herzuleitenden einzelnen Saͤtze uͤbergehe ich der Kuͤrze wegen, da ſie jeder leicht ſelbſt daraus wird ziehen koͤnnen. Euler behaup - tet in methodo inveniendi curvas maximi minimive proprietate gauden - tes etc. S. 269. daß die abſolute Elaſticitaͤt der Blechſtreifen im zuſam - mengeſetzten Verhaͤltniſſe der Steifigkeit ihrer Materie r, ihrer Breite B, und der Quadrate ihrer Dicke D2 ſtehe. Es wuͤrde alſo dieſer Meynung zu - folge ſeyn S = $$\frac{m^{2}}{L^{2}}\ (\sqrt{ (Dr: g) }\)$$ Wenn aber dieſes gegruͤndet waͤre, muͤß -ten13ten die gleichartigen Toͤne der Blechſtreifen, die nur in Anſehung ihrer Dicke verſchieden ſind, im Verhaͤltniſſe der Quadratwurzeln der Dicke ſtehen, da man ſich doch durch Verſuche leicht uͤberzeugen kann, daß ſie ſich wie die Di - cke verhalten. Der Graf Riccati hat in der ſchon angefuͤhrten Schrift die - ſe Behauptung widerlegt, und ſtreng erwieſen, daß die abſolute Elaſticitaͤt nicht = rBD2, ſondern = rBD3, und mithin S = $$\frac{m^{2}D}{L^{2}}\ (\sqrt{ (r: g) }\)$$ ſey, welches auch die Erfahrung beſtaͤtiget. ^h)Daß die gleichartigen Toͤne ſich an Staͤben von gleicher Materie verhalten, wie $$\frac{D}{L^{2}}$$ , hatte ich ſchon vorher, ehe ich etwas daruͤber las, durch verſchiede - ne, an metallenen und hoͤlzernen Staͤben angeſtellte Verſuche, gefunden, auch die in dem erſten, dritten und vierten Falle zu erhaltenden Tonfolgen beob - achtet.Euler hat auch ſelbſt ſchon, ehe die Riccatiſche Schrift herausgekommen war, in ſeiner inveſtigatione mo - tuum, quibus laminae et virgae elaſticae contremiſcunt, die richtigere Meynung angenommen, daß ſich die gleichartigen Toͤne bey Staͤben, die aus der naͤmlichen Materie beſtehen, wie deren Dicke, und umgekehrt, wie die Quadrate ihrer Laͤngen verhalten.

Bey verſchiedenen Schriftſtellern findet man viele irrige Behauptungen uͤber den Klang der Cylinder und aͤhnlicher Koͤrper, welche aber keiner Wi - derlegung beduͤrfen; indem niemand, wer die Natur der ſchwingenden Be - wegung aus den Schriften der Herren Bernoulli, Euler und anderer, beſ - ſer kennt, ſich wird einfallen laſſen, ſolchen Jrrthuͤmern beyzutreten. Louis Carre’ hat zuerſt die Tonverhaͤltniſſe cylindriſcher und prismatiſcher Staͤbe unterſucht,ⁱ⁾in der Hiſtoire und den Memoires de l’academie royale des ſciences 1709. es ſind aber ſeine Verſuche eben ſo unrichtig angeſtellt, als beurtheilt; welches auch nicht zu verwundern iſt, da er nicht einmal bemerktB 3hat,14hat, daß ein Cylinder mehr als einen Ton geben koͤnne, und mithin den er - ſten gehoͤrten Klang eines Cylinders fuͤr den einzigen gehalten hat. Auch hat er darinnen ſehr Unrecht, daß er das Weſen eines Klanges in Erzitte - rung der kleinſten Theile ſucht, die er frémiſſemens nennet, und bey einem Cylinder ſowohl Erzitterungen nach ſeinem Umfange, als nach ſeiner Laͤnge (vibrations tant circulaires, que longitudinales) annimmt. Den naͤmli - chen Jrrthum begeht de la Hire,^k)in der Hiſtoire und den Memoires de l’academie royale des ſciences 1716. welcher die Beobachtung, daß ein Cylinder oder eine Feuerzange mehrere Toͤne geben kann, aus einer Erzitte - rung der kleinſten Theile zu erklaͤren ſich bemuͤht. Unter andern ſucht er aus dem Umſtande, daß eine Feuerzange nicht klingt, wenn man ihre beyden Haͤlften mit den Fingern zuſammendruͤckt und ſie ſchnell loslaͤßt, aber hoͤhe - re und ſtaͤrkere Toͤne giebt, wenn ſie an verſchiedenen Stellen angeſchlagen wird, darzuthun, daß der Klang nicht blos in pendelartigen Schwingungen des klingenden Koͤrpers beſtehe, ſondern daß Erzitterungen der kleinſten Thei - le dazu erfordert wuͤrden. Hr. Prof. Funk^l)in ſeinem Verſuch uͤber Schall und Ton, (ſollte heißen: uͤber Schall und Klang,) welcher in dem Leipziger Magazin fuͤr Naturkunde, Mathematik und Oeconomie, herausgegeben von Funk, Leske und Hindenburg, Jahrg. 1781. befindlich iſt, S. 90, ſ. auch deſſen Schrift: de ſono et tono, Lipſ. 1779. S. 3. behauptet zwar mit Recht, daß de la Hire nicht gut unterſucht habe, und daß keine Erzitterung der klein - ſten Theile Statt finde; erklaͤrt aber den Verſuch mit der Feuerzange eben ſo unrichtig, als de la Hire. Er ſagt, eine Feuerzange klinge bey Loslaſ - ſung der vorher mit den Fingern zuſammengehaltenen beyden Enden deswe - gen nicht, weil man die Finger nicht ſchnell genug zuruͤckziehen koͤnne, um die Schwingungen nicht zu hindern, dahingegen bey dem Anſchlagen die Be - wegung des Fingers oder eines andern anſchlagenden Koͤrpers geſchwinderſey,15ſey, und mithin der Anfang der ſchwingenden Bewegung nicht gehindert werde. Man wird aber leicht einſehen, daß dieſes nicht der wahre Grund des Klingens oder Nichtklingens iſt, ſondern daß nach dem ſchnellen Loslaſ - ſen der vorher zuſammengehaltenen Enden die Feuerzange deswegen nicht klinge, weil die beyden Schenkel viel zu langſam ſchwingen, als daß ein hoͤrbarer Klang dabey Statt finden koͤnne; daß aber der Klang bey dem An - ſchlagen deswegen ſtaͤrker ſey, weil die Feuerzange ſodann einen und andern von den mannigfaltigen hoͤhern Toͤnen giebt, die ſie ſo, wie jeder andere ela - ſtiſche Blechſtreifen, geben kann. Es ſcheint uͤberhaupt, als ob faſt alles, was ſchon lange vorher Daniel Bernoulli und Euler uͤber die ſchwingende Bewegung elaſtiſcher Staͤbe und Blechſtreifen entdeckt hatten, dem Herrn Profeſſor Funk, als er den jetzt angefuͤhrten Aufſatz ſchrieb, eben ſo, wie noch verſchiednen andern Schriftſtellern, die ſich eigentlich davon haͤtten un - terrichten ſollen, ganz unbekannt geweſen ſey. Jn des Hrn. v. Crouſaz Abhandlung vom Schoͤnen^m)Jch habe nur die deutſche Ueberſetzung bey der Hand, welche ſich in dem er - ſten und zweyten Bande von Forkels muſikaliſch-kritiſcher Bibliothek findet. Die hier angefuͤhrte Stelle iſt im 2ten Bande der muſik. krit. Bibl. S. 83. findet man uͤber die Toͤne der Cylinder viel un - richtiges, z. B. daß man, um bey Cylindern, die aus der naͤmlichen Ma - terie verſertiget ſind, die Verhaͤltniſſe ihrer Toͤne zu finden, ihre Hoͤhe durch das Quadrat ihres Diameters multipliciren muͤſſe, u. ſ. w. Selbſt Eu - lerⁿ⁾Tentamen novae theoriae Muſicae cap. 1, §. 23. hat, bevor er auf Veranlaſſung des Daniel Bernoulli genauere Un - terſuchungen uͤber die Schwingungen ſolcher elaſtiſcher Koͤrper angeſtellt hat - te, die ungegruͤndete Meynung geaͤußert, als ob die Toͤne cylindriſcher und prismatiſcher Staͤbe blos von ihrer Laͤnge abhiengen; indem man annehmen muͤſſe, daß jede Faſer fuͤr ſich erzittere.

So ſehr die Erfahrung alle die vorhandenen richtigen Berechnungen uͤber die Klaͤnge elaſtiſcher Staͤbe oder Blechſtreifen beſtaͤtiget, eben ſo ſehr weicht ſie von alle dem ab, was uͤber die Klaͤnge elaſtiſcher Ringe geſagt iſt. Nach den Behauptungen Eulers in der Schrift: de ſono campa - narum^o)in Nov. Comment. Acad. ſc. Imp. Petrop. Tom. X. ſollen die Klaͤnge elaſtiſcher Ringe, aus welchen er auch die Klaͤn - ge der Glocken zu erklaͤren ſucht, in folgenden Verhaͤltniſſen ſtehen: 1, $$(\sqrt{6}\)$$ , $$(\sqrt{20}\)$$ , $$(\sqrt{50}\)$$ , $$(\sqrt{105}\)$$ , $$(\sqrt{196}\)$$ , u. ſ. w. Es ſollen alſo, wenn man den Grundton als C anſieht, die uͤbrigen in folgender Ordnung ſtehen: C, e —, d̅ —, b̅ —, e̅̅+, b̅̅ —, d̅̅̅+, ꝛc. Jn der Schrift: inveſtigatio motuum, quibus laminae et virgae elaſticae contremiſcunt,^p)in Actis Acad. ſc. Imp. Petropol. pro anno 1779. P. I. behauptet er hingegen, daß, wenn der Grundton 1 iſt, die uͤbrigen Toͤne ſich wie die Quadratzahlen von 2, 3, 4 u. ſ. f. verhalten ſollen. Das naͤmliche hat Hr. Golovin^q)Applicatio tentaminis de ſono campanarum autore L. Eulero, novorum com - mentariorum tomo X. inſerti ad ſonos ſcyphorum vitreorum, qui ſub nomi - ne inſtrumenti harmonici ſunt cogniti, autore M. Golovin. in Actis Acad. ſc. Imp. Petrop. pro ann. 1781. P. II. zu beſtaͤtigen, und auf die Klaͤnge der Harmonicaglocken anzuwenden geſucht. Es wird von dieſen und andern Schriftſtellern ange - nommen, daß, wenn ein elaſtiſcher Ring klingt, die Theile, in welche er ſich eintheilt, aus und einwaͤrts ſchwingen ſollen; die Erfahrung lehrt aber, daß die Theile eines nicht allzubreiten elaſtiſchen Ringes, wenn man ſeine La - ge als horizontal annimmt, geneigter ſind, auf - und niederwaͤrts, als aus - und einwaͤrts zu ſchwingen, daß auch ſowohl bey auf - und niederwaͤrts, als auch bey aus - und einwaͤrtsgehenden Schwingungen ſeiner Theile ganz ande - re Tonverhaͤltniſſe ſich zeigen, als von den jetzt angefuͤhrten Schriftſtellernange -17angegeben ſind. Bey dem einfachſten Klange wird die natuͤrliche Geſtalt des Ringes von den Schwingungen ſeiner Theile in vier Puncten, bey den uͤbrigen in 6, 8 und ſo weiter in einer geraden Anzahl von Puncten durch - ſchnitten. Die Toͤne ſtehen in den Verhaͤltniſſen der Quadratzahlen von 3, 5, 7 u. ſ. w. Wenn alſo der Grundton C iſt, wird man folgende Reihe von Toͤnen erhalten:

Um dieſes durch Verſuche zu beſtaͤtigen, lege man den Ring an drey Stel - len, wo bey der verlangten Art des Klanges Schwingungsknoten ſind, auf etwas ſtarken Bindfaden, zuſammengedrehetes Papier, oder aͤhnliche Un - terlagen, druͤcke ihn, damit er ſich nicht verruͤcke, mit ein paar Fingern auf die Unterlagen, und ſtreiche mit dem ſenkrecht gehaltenen Violinbogen die Mitte eines ſchwingenden Theils; es werden bey dieſem Verfahren die Toͤ - ne mit den oben angegebenen Verhaͤltniſſen ziemlich genau uͤbereinkommen. Wenn der Ring in der horizontalen Richtung ſeines Durchmeſſers geſtrichen wird, erhaͤlt man die Klaͤnge mit weniger Leichtigkeit, weil wegen der ge - woͤlbten Geſtalt des Ringes jeder Theil ſich nach innen zu ſo an die andern ſtemmt, daß die ſchwingende Bewegung dadurch einigermaßen erſchweret wird. Die einfachſten Toͤne ſind dabey faſt um einen ganzen Ton, und die uͤbrigen ungefaͤhr um einen halben Ton, oder etwas weniger, hoͤher, als man ſie durch ſenkrechtes Streichen erhaͤlt. Zu Verſuchen ſcheint etwas ſtar - ker Meſſingdrat, deſſen Enden mit Schlagloth ſauber zuſammengeloͤthet ſind, am beſten ſich gebrauchen zu laſſen.

Die gleichartigen Klaͤnge an zween aus der naͤmlichen Materie verfer - tigten Ringen verhalten ſich, wie deren Dicke, und umgekehrt, wie die Qua - drate der Durchmeſſer.

Bey allen den Arten des Klanges, von welchen bisher die Rede war, kommt es nur auf elaſtiſche Kruͤmmungen einzelner Linien an, weit mehre - ren Schwierigkeiten aber iſt die Beurtheilung ſolcher Klaͤnge unterworfen, bey denen ganze Flaͤchen nach mehreren Dimenſionen zugleich elaſtiſche Kruͤm - mungen annehmen, wofuͤr man bisher weder die gehoͤrigen Berechnungsar - ten ausfindig gemacht, noch brauchbare Verſuche daruͤber angeſtellt hat. Das wenige, was von einigen daruͤber geſagt iſt, ſtimmt groͤßtentheils mit der Erfahrung gar nicht uͤberein; da ich alſo bey meinen Beobachtungen uͤber dieſe zuſammengeſetztern ſchwingenden Bewegungen einen ganz ungebahnten Weg betreten muß, verdiene ich deſto mehr Nachſicht, wenn ich bisweilen irren ſollte.

Zu deutlicher Darſtellung ſolcher Klaͤnge wird erfordert, daß man den klingenden Koͤrper an einer oder mehreren Stellen, die bey der verlangten Art des Klanges in Ruhe bleiben, mit den Fingern oder auf andere Art hal - te, den Rand deſſelben an einer ſchicklichen Stelle unter einem rechten Win - kel mit dem Vielinbogen ſtreiche, und, wenn man verlangt, daß die Ab - theilung des klingenden Koͤrpers ſichtbar werden ſoll, auf die horizontal ge - haltene Oberflaͤche deſſelben Sand ſtreue, welcher von den ſchwingenden Stellen heruntergeworfen wird, und auf den nicht ſchwingenden Stellen ru - hig liegend bleibt. Durch bloßes Anſchlagen wird man nur wenige ſolche Klaͤnge ohne Beymiſchung anderer deutlich genug hoͤren koͤnnen, auch wird dadurch keine ſo ſtarke und anhaltende ſchwingende Bewegung entſtehen, daß die Abtheilung des klingenden Koͤrpers durch Aufſtreuung des Sandes ſichtbar gemacht werden koͤnnte; es iſt alſo hierzu ſchlechterdings noͤthig, ſich des Violinbogens zu bedienen. Wenn der Rand etwas zu ſcharf ſeyn ſoll - te, muß ihm vermittelſt einer Feile die Schaͤrfe benommen werden, weil ſonſt die Haare des Violinbogens Schaden leiden. Am fuͤglichſten wirdman19man den klingenden Koͤrper an ſolchen Stellen halten oder beruͤhren koͤnnen, wo bey der verlangten Art des Klanges zwo feſte Linien einander durchſchnei - den; indem ſodann die Erzitterung der benachbarten Stellen weniger gehin - dert wird, und mehrentheils ſowohl der Klang ſelbſt, als auch die ihm zu - kommende Abtheilung des klingenden Koͤrpers ſich am deutlichſten wahrneh - men laͤßt. Manche ſolcher Arten der ſchwingenden Bewegung laſſen ſich oh - ne viele Muͤhe erhalten, zu manchen andern aber iſt oͤfters viele Gedult, und eine anhaltende Uebung in dieſer Art von Verſuchen noͤthig: man wird mich alſo keiner falſchen Behauptungen beſchuldigen, wenn die verlangte Art des Klanges nicht ſogleich erſcheinen will: bey fortgeſetzten Experimentiren erreicht man ſeinen Endzweck endlich doch, und oft wird mancher ſonſt ſchwer zu erhaltende Klang ſich unvermuthet zeigen, wenn man einen andern ſucht.

Durch die elaſtiſchen Flaͤchenkruͤmmungen wird die natuͤrliche Geſtalt des klingenden Koͤrpers eben ſo in gewiſſen Linien durchſchnitten, wie dieſes bey den krummen Schwingungslinien der Saiten und Staͤbe in gewiſſen Puncten geſchieht. Zwo Stellen, die durch eine ſolche feſte Linie von ein - ander abgeſondert ſind, als fig. 82 a n b, und b o d, ſchwingen allezeit nach entgegengeſetzten Richtungen, d. i. die Kruͤmmung der einen Stelle befin - det ſich uͤber deren natuͤrlichen Lage, waͤhrend die andere unter dieſelbe ge - kruͤmmt iſt, und ſo umgekehrt. Zwo Stellen, die in entgegengeſetzten Winkeln ſtehen, z. B. a n b und c m d fig. 82. ſchwingen allemal nach der naͤmlichen Richtung. Bey den meiſten Klangfiguren nehmen gewiſſe feſte Linien mehrentheils ſchlangenfoͤrmige Kruͤmmungen an, deren Anzahl bey jeder Figur beſtimmt iſt. An ſolchen neben einander gehenden Linien iſt die Lage der Kruͤmmungen faſt allemal ſo beſchaffen, daß entweder zwo unmittel - bar neben einander befindliche Linien, oder in wenigen Faͤllen zwo durch eine gerade Linie getrennte ſchlangenfoͤrmige Linien gegenſeitig ſich einander naͤ -C 2hern,20hern, und von einander entfernen. Jn jedem Naͤherungspuncte koͤnnen ſie ſich ſo verbinden, daß ſie einander durchkreuzen; es nehmen alſo in dieſem Falle zwo ſich naͤhernde Kruͤmmungen fig. 83. oder 84. die Geſtalt von fig. 82. an. Eben ſo koͤnnen zwo einander durchſchneidende Linien fig. 82. ſich in ihrer Mitte ſo trennen, daß zween gegen einander ſtehende Bogen krum - mer Linien fig. 83. oder 84. daraus werden. Oft theilen ſich manche Bo - gen ſolcher feſten Linien, die dem Rande des klingenden Koͤrpers am naͤchſten ſind, in ihrer Mitte, ſo daß fig. 86. ein ſolcher dem Rande g f entgegenſte - hender Bogen ſich als zwey ſchief gegen einander laufende Enden von gera - den oder krummen Linien (fig. 85.) darſtellt, oder es erſcheinen zwey gegen den Rand ſchief laufende Enden von Linien fig. 85. als ein Bogen einer krummen Linie. fig. 86. Alles dieſes geſchieht ſo haͤufig, daß man bey Be - urtheilung der Figuren zwo einander durchſchneidende Linien fig. 82, und zween gegen einander ſtehende Bogen krummer Linien fig. 83. und 84. in allen Faͤllen als gleichbedeutend annehmen, desgleichen auch fig. 85. und 86. allezeit mit einander verwechſeln kann. Manche Figuren werden bisweilen dadurch ſo ſehr veraͤndert, daß man ohne gehoͤriger Uebung ihre eigenthuͤm - liche Geſtalt nicht wuͤrde daraus beurtheilen koͤnnen. Ueberhaupt erſcheinen die meiſten Figuren aͤußerſt ſelten ſo regelmaͤßig, wie ſie in den Tafeln ge - zeichnet ſind; mehrentheils ſind bey ſehr zuſammengeſetzten Figuren manche Stellen ſo undeutlich, daß deren eigentliche Beſchaffenheit aus dem Zuſam - menhange mit den uͤbrigen deutlichern Stellen errathen werden muß. Der Ton iſt bey einer abgeaͤnderten Figur der naͤmliche, als wenn ſich die Figur ganz regelmaͤßig zeigt. Der Grund ſolcher Abaͤnderungen liegt bisweilen in der Geſtalt des klingenden Koͤrpers ſelbſt, mehrentheils aber in der etwas ungleichen Dicke oder Elaſticitaͤt deſſelben; oͤfters werden ſelbige auch da - durch veranlaßt, wenn man den klingenden Koͤrper nicht genau an den Stellen haͤlt oder beruͤhrt, wo eigentlich feſte Linien ſeyn ſollten, ſo daß manoft21oft eine Figur durch wenige Verruͤckung der Finger nach Willkuͤhr auf gewiſ - ſe Arten mit Beybehaltung des naͤmlichen Tones abaͤndern, oder die eigen - thuͤmliche Beſchaffenheit derſelben wiederherſtellen kann.

An Blech - oder Glasſtreifen, deren Geſtalt ein Rectangel iſt, ſind außer den oben erwaͤhnten, und von andern ſchon berechneten ein - fachern Schwingungsarten^r)Auch die oben erwaͤhnten einfachen Klaͤnge eines auch in die Breite ausge - dehnten Blech - oder Glasſtreifens ſind bey weiten noch nicht hinlaͤnglich un - terſucht; indem aus den Kruͤmmungen, welche die feſten Linien (die hier eben das ſind, was ich vorher Schwingungsknoten nennte) in den meiſten Faͤllen annehmen, erhellet, daß dabey oft Schwingungen nach mehr, als ei - ner Richtung geſchehen. Es kann naͤmlich eine jede einfache ſchwingende Be - wegung eines ſolchen Koͤrpers, bey welcher gleichſam eine unendliche Menge krummer Schwingungslinien mit einander parallel gehen, (z. B. fig. 93, wo eine ganze gleichſeitig viereckige Scheibe ſo ſchwingt, wie ein freyer Stab bey fig. 152.) ſich mit Beybehaltung des naͤmlichen Tones in eine zuſammenge - ſetztere Bewegung umaͤndern, bey welcher Schwingungen nach zwo oder mehreren Richtungen einander unter ſchiefen oder rechten Winkeln durch - ſchneiden; wenn dieſes unter ſchiefen Winkeln geſchieht, nehmen die feſten Linien, welche eigentlich gerade ſeyn ſollten, Kruͤmmungen an; (aus fig. 93. wird ſodann fig. 94.) geſchieht es unter rechten Winkeln, ſo durchſchneiden ſich die feſten Linien in den Naͤherungspuncten ihrer Kruͤmmungen auch recht - winklich. (fig. 93. zeigt ſich alsdenn wie fig. 95.) Eben ſo koͤnnen auch bey einer zuſammengeſetzten Bewegung die Winkel, unter welchen die Richtun - gen der Schwingungen einander durchſchneiden, ſich ſehr veraͤndern, ſo daß, wenn der Winkel = 0 iſt, eine einfache, oder wenn die Bewegung ſehr zu - ſammengeſetzt iſt, eine weniger zuſammengeſetzte Bewegung daraus wird, bey welcher ſich die feſten Linien gerade zeigen. noch eine unendliche Menge anderer moͤglich, die zuſammengeſetzter, als die vorigen, und noch von niemanden unterſuchtC 3ſind.22ſind. Bey dieſen Klaͤngen zeigen ſich, ſoweit es die Breite des Rectangels zulaͤßt, 1, 2, oder mehrere nach der Richtung ſeiner Laͤnge gehende feſte Li - nien, außerdem aber noch feſte Linien, die in die Quere gehen, und von den in die Laͤnge ſich erſtreckenden rechtwinklich durchſchnitten werden. Es ſind ſolche Klaͤnge in jedem der folgenden Faͤlle anders beſchaffen: