Düsseldorf, Wolf’sche Buchdruckerei Hermann Voss.
Es ist nicht meine Absicht, den vielen ausführlichen Lehr - büchern über die Perspektive noch ein neues hinzuzufügen, denn mehreren derselben kann ich die Anerkennung nicht versagen, dass sie sowohl rücksichtlich der Methode, wie auch der Vollständigkeit kaum etwas zu wünschen übrig lassen. Dagegen scheint mir das Bedürfniss eines möglichst kompendiösen und auf die wesentlichsten Regeln und Sätze reducirten Abrisses dieser Wissenschaft ein sehr fühlbares zu sein. Denn es liegt in der Natur der Sache, dass der eigentliche Begriff einer Wissenschaft — und insbesondere einer solchen, deren Erlernung von langwierigen Zeichnen - und Konstruktionsoperationen begleitet ist — durch Erschöpfung aller möglichen Aufgaben mehr oder weniger verdunkelt wird. Je weniger Aufgaben und Beispiele den Gang der Entwicklung bezeichnen, desto klarer wird das Wesentliche sich herausstellen und desto fester dem Gedächtnisse sich einprägen.
Ich habe es nun versucht, einen solchen gedrängten Abriss zu entwerfen, der zunächst dazu bestimmt ist, den Theilnehmern an meinen Vorträgen das einfache Skelett der Perspektive in grösserer Bündigkeit und Uebersichtlich - keit vor Augen zu stellen, als es dem Lehrer bei einemIV vollständigeren und mit Zeichnen verbundenen langen Lehr - kursus, wie er den Anforderungen einer Akademie entspricht, möglich ist. Sodann hoffe ich aber auch, dass dieser Abriss jeden Zeichner, der nicht oft in den Fall kommt die Per - spektive anzuwenden, und dem desshalb zuweilen die eine oder die andere Regel entfallen sein könnte, in den Stand setzen möge, leicht und schnell sich wieder in den Zusam - menhang der Grundregeln des perspektivischen Zeichnens zu finden. Ich darf mich wohl auf die Erfahrung eines Jeden berufen, wenn ich behaupte, dass eine flüchtige Rekapi - tulation der Hauptsätze auch sofort wieder zum Bewusst - werden aller der Konstruktionen zu führen pflegt, welche mittelbar oder unmittelbar aus jenen abgeleitet sind.
Was die von mir befolgte Methode betrifft, so wird man finden, dass ich der Thibault’schen mich am nächsten an - geschlossen habe. Diese halte ich für die zweckmässigste und klarste und möchte sie insbesondere den Malern em - pfehlen. Das Thibault’sche Handbuch, von Chapuis heraus - gegeben, lässt zwar bei manchen oft vorkommenden Aufgaben den Schüler im Stich; aber diese Lücken lassen sich ohne Schwierigkeit ausfüllen. Die Art, in der ich dieses in vor - liegendem Abriss versucht habe, dürfte sich durch den Zweck desselben rechtfertigen. Denn, ich wiederhole es, er ist nicht für Meister in der Perspektive bestimmt, sondern für Solche, die für gewöhnliche Fälle des Raths und der An - leitung bedürfen.
Die Perspektive giebt die Anleitung auf einer Tafel, deren Gestalt und Lage bekannt, Gegenstände von beliebiger Form und in jeder geforderten Stellung und Beleuchtung so ab - zubilden, wie sie dem an einem bestimmten Orte befind - lichen Auge erscheinen würden.
Denkt man sich zwischen dem Auge und dem nachzu - bildenden Gegenstande eine durchsichtige Glastafel aufge - stellt, so erscheint auf dieser ein Bild, wie es auf einer undurchsichtigen Tafel, welche an die Stelle der Glastafel gedacht wird, nach den Regeln der Perspektive gezeichnet werden soll. Demnach wird jede von dem Auge nach einem Gegenstande gedachte gerade Linie durch denjenigen Punkt des perspektivischen Bildes gehen, welcher dem getroffenen Punkte des Gegenstandes entspricht.
Alle vermittelst des Gesichtssinns wahrgenommenen Bil - der von äusseren Gegenständen — selbst das unendlich feine Abbild, welches sich von denselben auf der Netzhaut des Auges erzeugt — entstehen nach den Gesetzen der Per - spektive. Deshalb ist diese Wissenschaft ganz besonders wichtig, ja unerlässlich für den Maler, dessen Kunst ja eben in der richtigen Darstellung natürlicher Gegenstände das einzige Mittel zur Mittheilung und Veranschaulichung6 ihrer Schöpfungen besitzt. Ein dem Künstler inwohnendes Gefühl für Perspektive oder die durch vieles Zeichnen nach der Natur erlangte Uebung führen nur zu annäherungsweise richtigen Resultaten, an denen im günstigsten Falle nur der Laie keinen Anstoss nimmt, vermögen aber niemals die sichern Konstruktionen nach mathematisch begründeten Regeln zu ersetzen.
Die Tafel, welche das perspektivische Bild aufnehmen soll, kann nun jede beliebige Form, als: eine auswärts oder einwärts, kugel -, kegel - oder walzenförmig gebogene Fläche, eben so jede beliebige Neigung gegen den Beschauer haben, und es wird sich dennoch das Bild eines Gegenstandes so darauf darstellen lassen, wie dieser dem an einem gewissen Punkte befindlichen Auge erscheint. Wir wollen uns aber im Folgenden an den in der Malerei gewöhnlichen Fall halten, dass diese Tafel eine ebene Fläche, und zwar in senkrechter Stellung vor dem Auge, sei.
Aus der doppelten Anforderung, welche an abgebildete Gegenstände zu stellen ist, nämlich, dass sie in ihren Um - rissen, der Gestalt und Grösse nach richtig gezeichnet seien, und auch dass die Beleuchtung (Schattirung) der - selben den in der jedesmaligen Aufgabe enthaltenen Be - dingungen entspreche, ergiebt sich die Eintheilung der Perspektive in zwei besonders abzuhandelnde Theile, die Linear-Perspektive und die Schatten-Perspektive.
Zur Vermeidung möglicher Undeutlichkeiten in den öfter wiederkehrenden Kunstausdrücken mögen die Erklärungen der - selben hier vorab Platz finden:
Alle Gegenstände scheinen in dem Maasse an Grösse zu verlieren, in welchem sie sich weiter von uns entfernen.
Jeder Gegenstand ist nur auf eine gewisse Entfernung sichtbar, über welche hinaus er dem Gesichtssinn verschwindet.
Ein Gegenstand verschwindet in grösserer oder geringerer Entfernung, je nachdem er selbst grösser oder kleiner ist.
Parallellinien weithin verlängert, scheinen sich einander zu nähern und an ihrem Ende in einen Punkt zu vereinigen, z. B. Alleen, Strassen u. dgl.
Eine horizontale Ebene in der Höhe des Auges erscheint als eine wagerechte gerade Linie. Eine solche Ebene unterhalb des Auges scheint sich nach dem Horizont hin zu heben, z. B. das Meer. Eine horizontale Ebene oberhalb des Auges scheint mit dem entfernteren Ende dagegen sich zu senken, z. B. die Decke eines Zimmers.
Alle diese Erscheinungen erklären sich aus der oben er - wähnten Abnahme der Grössen sowohl der Gegenstände als auch der Zwischenräume, die sie trennen, bei zunehmender Entfernung vom Auge.
Eine in gleiche Theile getheilte gerade Linie, frontal gese - hen, zeigt immer gleiche Theile, wie klein diese durch die Ent - fernung auch werden. Eine solche verschwindende Linie wird dem Auge scheinbar ungleiche Theile zeigen, und zwar so, dass die entfernteren die kleineren, die näheren die grösseren sind.
Parallellinien, frontal gesehen, erscheinen auch perspekti - visch parallel.
10Die perspektivische Zeichnung einer mit der Tafel paral - lelen ebenen Figur ist dem Original ähnlich, z. B. ein frontal gesehenes Quadrat bleibt auch perspektivisch ein Quadrat, wel - ches jedoch nach Maassgabe der Entfernung mehr oder weniger verkleinert erscheint.
Sind solche Figuren nicht mit der Tafel parallel, so wird die perspektivische Zeichnung dieselben mehr oder weniger ver - schoben darstellen.
Auf einem Bilde lässt sich ein Gegenstand nur aus einem einzigen Gesichtspunkte und in einer einzigen Lage darstellen.
Um eine Ansicht in der Natur oder ein Gemälde zu be - trachten, stellt man sich unwillkürlich mitten davor, d. h. so, dass der Hauptstrahl senkrecht auf die Mitte des Horizonts trifft. Man wählt eine solche Entfernung, dass man mit Leich - tigkeit und ohne den Kopf wenden zu müssen, das Bild über - sehen kann.
Daher muss Alles, was auf einer Tafel dargestellt werden soll, sich einem einzigen Gesichtspunkte unterordnen. Der Hauptpunkt muss in die Mitte des Horizonts gesetzt werden.
Diese ist in der Regel willkürlich, und nur in den Fäl - len gegeben, da ein Bild von einem bestimmten Orte aus gese - hen werden soll, z. B. bei Dioramen u. dgl. Es ist rathsam, die Hauptdistanz eher zu gross, als zu klein anzunehmen, da ein Bild, dem eine grosse Distanz zum Grunde liegt, in der Nähe nicht so entstellt und verzogen erscheint, wie eins mit einer kleinen Distanz aus grösserer Entfernung. Das kleinste Maass der Hauptdistanz sei die Diagonale des Bildes; die beste aber ist die Länge und Höhe des Bildes zusammengenommen.
Der Maler bestimmt sehr selten die Distanz direkt, son - dern er giebt den Halbirungslinien oder den Schenkeln eines11 rechten Winkels ihre Neigung nach dem Augenmaass. Dadurch ist dann indirekt die Hauptdistanz bestimmt, indem der so an - gegebene Winkel nur für eine bestimmte Distanz ein rechter ist. Soll dann noch ein anderer rechtwinklichter Gegenstand auf demselben Bilde dargestellt werden, so ist es erforderlich, zu - vor aus dem nach dem Augenmaass gezeichneten rechten Winkel (oder dessen Hälfte) die diesem entsprechende Distanz zu suchen und sie dem andern zum Grunde zu legen.
Im Folgenden werden wir ein sehr einfaches Verfahren zur Auffindung der Distanz in jeder freien Zeichnung ken - nen lernen.
ist in jedem Bilde diejenige Linie, welche zuerst zu bestim - men ist. Sie giebt allen darzustellenden Linien und Körpern erst eine bestimmte Lage. In ihr verschwinden alle horizon - talen Linien und Ebenen, begrenzen sich Meer und Himmel.
Da der Hauptpunkt in der Mitte des Horizonts liegt und der Hauptstrahl vom Augenpunkt senkrecht auf die Tafel in den Hauptpunkt geht, so folgt, dass der Augenpunkt in derselben Höhe mit dem Horizont liegt.
Für Bilder, welche hoch gehängt werden sollen, wird also ein niedriger Horizont zu wählen sein; ja manchmal ist es nöthig, den Horizont ganz unterhalb des Bildes fallen zu las - sen. Bei tief hängenden Bildern ist dagegen ein hoher Hori - zont anzunehmen.
Alle Höhen und Breiten in der Frontalansicht bleiben un - verändert, wenn sie dieselbe Tiefe, d. h. denselben Abstand vom Auge behalten und bei unveränderter Entfernung von der Basis der Tafel oder dem Horizont auf derselben Ebene bleiben. Ein blosses seitwärts Weiterrücken in der Horizontalen bleibt ohne Einwirkung auf ihre Grösse. Steigen gewisse Höhen und Breiten12 der Frontalansicht in eine andere Ebene hinauf oder hinab, so kommen sie nur so viel höher oder tiefer zu stehen, als der Abstand dieser Ebenen vom Grunde beträgt. Fig. I. a.
Es soll zu der verschwindenden Linie AB, deren Verschwindungspunkt in P ist, auf derselben horizonta - len Ebene durch E eine Parallele gezogen werden. Fig. I. b.
Auflösung. Man ziehe von E eine Linie nach dem Ver - schwindungspunkte P der gegebenen Linie AB.
Folgerung. Da AB parallel mit EP ist, so sind auch alle zwischen beiden denkbaren horizontalen Linien (CB, ik, mn und EA) von gleicher Länge.
Es soll in der Vertikalebene durch F eine Parallele mit AB gezogen werden.
Auflösung. Man ziehe die Linie FP.
Folgerung. Da FG parallel mit AB, so sind alle zwi - schen beiden möglichen senkrechten Linien von gleicher Länge, z. B, AF = no = ke = BG.
Fig. II. Eine bestimmte Höhe, z. B. die einer menschlichen Figur, sei in AB gegeben, man soll in C eine gleiche angeben.
Auflösung. Man ziehe die Horizontale CK, von K die Verticale KL und von L wieder eine Horizontale Lc bis zum Durchschnitt der von A in einen beliebigen Verschwindungs - punkt N im Horizont gezogenen Linie AN. Dann ziehe man auch von B eine Linie BN in denselben Verschwindungspunkt, errichte in c eine Senkrechte ce, so wird diese mit AB gleiche Höhe haben. Die Höhe ce giebt das Maass der Figur CE.
Es soll in H eine Figur von gleicher Grösse mit AB gezeichnet werden.
Auflösung. Man ziehe von H die Horizontale Hh bis zu der verschwindenden Linie AN. In h errichte man die Senk -13 rechte hi, so ist die zwischen den Parallelen AN und BN enthaltene Höhe hi die gesuchte Grösse der Figur HI, denn iI ist parallel mit hH, ebenso iB mit hA, also müssen alle zwischen denselben gezogenen Senkrechten von gleicher Länge sein.
Es soll die Grösse einer auf einer über dem Horizont befindlichen Ebene in F stehenden Figur gesucht werden.
Auflösung. Man ziehe die Horizontale Ff, die Senkrechte fm und dann wieder die Horizontale mf′, so wird die zwi - schen den Parallelen AN und BN enthaltene Senkrechte f′g′ das gesuchte Maass der Figur in F sein.
Folgerung. Da jede im Horizonte verschwindende Linie auch parallel mit demselben ist, so behält jede Grösse, wel - chen Ort sie auf der verschwindenden Ebene auch einnehmen mag, immer dasselbe Verhältniss zu dem senkrechten Abstande des Horizonts von ihrem Fusspunkte. Befindet sich demnach
Bei y bleiben die Scheitel aller Figuren ⅓ des Abstandes ihrer Fusspunkte vom Horizonte entfernt.
Bei z ragen alle Figuren ¼ ihrer Grösse über den Hori - zont hinaus.
Das vorhin angewendete Verfahren, Parallelen zu einer gegebenen Linie zu ziehen, war sehr einfach, da der Verschwin - dungspunkt noch innerhalb der Tafel lag. Befindet sich ein solcher aber ausserhalb der Tafel, was nicht allein sehr oft vorkommen kann, sondern bei der von uns angenommenen Hauptdistanz bei weitem am häufigsten vorkommen muss, dann wird das Verfahren, Parallelen zu ziehen, etwas umständlicher. Es ist dann erforderlich, den eigentlichen ausserhalb der Tafel liegenden Verschwindungspunkt durch einen innerhalb derselben liegenden zu ersetzen. Dieses Verfahren gründet sich auf die Eigenschaft ähnlicher Dreiecke, dass, wenn solche eine gleich - namige Seite parallel haben, auch die beiden andern parallel sind, und ferner: dass alle gleichnamigen Seiten zu einander in einem und demselben Verhältniss der Länge stehen, so dass, wenn z. B. die Eine die halbe Länge der gleichnamigen im andern Dreieck hat, dieses bei den übrigen ebenso der Fall ist. Aus diesem Grunde suchen wir uns ein ganz innerhalb der Tafel fallendes kleines Dreieck zu verschaffen, welches dem grossen, dessen einer Winkel ausserhalb der Tafel liegt, ähnlich ist. Alle daran vorkommenden Winkel und Grössenverhält - nisse der Seiten werden dann auch den gleichnamigen Win - keln und Grössenverhältnissen der gleichnamigen Seiten des grossen undarstellbaren Dreiecks gleich sein. Das Verfahren selbst soll durch folgende Aufgaben erläutert werden:
Es soll der rechtwinklichte Körper GHBAE richtig gezeichnet werden. Die Oberkanten AB und AE sind als richtig und gegeben zu betrachten, eben so die senkrechte Kante AG. Es soll nun durch C eine Parallele zu AB gezo - gen werden.
Auflösung. Da der Verschwindungspunkt von AB augen - scheinlich ausserhalb der Tafel liegt, so muss er ersetzt wer - den. Dieses geschieht auf folgende Weise:
15Man verbinde A mit dem Hauptpunkte P, bestimme in AP beliebig einen Punkt a, der jedoch so liegen muss, dass eine durch denselben gezogene Parallele mit AB den Horizont noch innerhalb der Tafel — etwa in f trifft. Dann ziehe man von C nach P und von a eine Senkrechte ag. Wo diese die Linie CP schneidet, ist der Punkt c, von welchem eine gerade Linie nach f gezogen, die Richtung der gesuchten Parallele CI giebt. Man ziehe nur durch C eine geometrische Parallele mit cf, und CI ist perspektivisch parallel mit AB.
Dasselbe Verfahren findet statt, wenn durch C eine Paral - lele mit AE gezogen werden soll. Ebenso, wenn durch G Parallelen mit AB und AE gefordert werden, nur mit dem Unterschiede, dass hier die kleinen Hülfsdreiecke unterhalb des Horizonts zu konstruiren sind.
Folgerung. Da AC von AG der ebensovielste Theil ist, als BI von BH, so lassen sich für den Fall, dass AE eine gewisse Anzahl Male genau in AG enthalten sein und dass ein Theilpunkt in den Horizont fallen sollte, auch auf folgende Weise Parallelen zeichnen. Fig. III.
KL und KN sind gegeben. Man theile KL in die ver - langte Anzahl gleicher Theile, doch so, dass ein Theilpunkt in den Horizont fällt. Da nun zwischen K und dem Horizont drei Theile enthalten sind, so theile man auch die Senkrechte zwischen N und dem Horizonte in drei gleiche Theile und trage einen solchen so oft auf der unbestimmt langen Linie NM herunter, als Theile in der Linie KL enthalten sind. Verbindet man dann die entsprechenden Theilpunkte 1 und 1′, 2 und 2′ u. s. w., so werden alle diese Verbindungslinien untereinander und mit NK parallel sein. Auf diese Weise ergiebt sich auch die Länge der Linie NM.
Es wird oft erfordert, eine verschwindende Linie in eine vorgeschriebene Anzahl gleicher oder nach einem bestimmten16 Verhältniss ungleicher Theile zu theilen, um eine Reihe Säu - len, Fenster oder dergl. darzustellen. Zu diesem Zweck kön - nen verschiedene Verfahrungsweisen führen. Es sollen hier einige mitgetheilt werden, unter denen die dem besondern Falle vorzugsweise angemessene auszuwählen ist.
Fig. IV.
Das Parallelogramm ABEC soll durch eine Senkrechte in zwei gleiche Theile getheilt werden.
Auflösung. Man ziehe die Diagonalen AE und BC und durch deren gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt die Linie gh, so ist dieses die verlangte Theilungslinie.
Folgerung. Wenn gefordert würde, an ein gegebenes Pa - rallelogramm LIKM ein gleiches NLMO anzusetzen, so könnte man das Erstere als die Hälfte des noch unbekannten Parallelogramms NIKO betrachten, dessen Diagonale IO durch die Mitte m von LM ginge, welche letztere desshalb das grosse Viereck in zwei gleiche Theile theilte. Man wird also das gewünschte gleiche Parallelogramm erhalten, wenn man durch die Mitte von LM die Linie Im zieht, und diese bis zum Durchschnitt der verschwindenden Linie KP verlängert. Durch diesen Durchschnittspunkt O ziehe man die Parallele ON.
Sollen noch mehrere solcher gleichen Purallelogramme auf der verschwindenden Ebene IPK an einander gezeichnet wer - den, so ziehe man durch die Mitte m von LM nach dem Ver - schwindungspunkte der Ebene P, welche Linie durch die Mitten aller zu zeichnenden Parallelogramme gehen wird. Mit Be - nutzung dieser Mitten verfahre man, wie vorhin, und sehe jede zuletzt erhaltene Figur für die gegebene an.
Das Rechteck RSTQ ist gegeben; es wird gefordert, dass in derselben Ebene ein jenem gleiches Rechteck gezeichnet werde, welches indess von dem erstern durch den gegebenen Zwischenraum UT getrennt ist. Fig. IV.
17Auflösung. Man verlängere die verschwindenden Seiten QU und RS bis in deren Verschwindungspunkt P, errichte in U die Senkrechte UV, ziehe die Diagonalen des Trennungs - rechtecks TUVS und ziehe durch deren gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt die Linie RX. Errichtet man nun in X die Senkrechte XW, so ist UVWX das geforderte Rechteck.
Die verschwindende Linie AB in zwei gleiche Theile zu theilen. Fig. V.
Auflösung. Man ziehe durch A eine Horizontale, trage auf dieser von A aus zwei gleiche, willkürlich grosse Längen AD und DC auf, ziehe von C durch B eine gerade Linie CH bis in den Horizont und eine andere von D in den Ver - schwindungspunkt H der erstern, so wird diese in G durch die Mitte von AB gehen.
Die Linie IM soll in sieben gleiche Theile getheilt werden.
Auflösung. Man verlängere die Senkrechte LM bis N in der durch I gezogenen Horizontalen IN; theile diese letztere in sieben (geometr. ) gleiche Theile und ziehe von jedem Theilpunkte nach O, dem Verschwindungspunkte der Linie NM. Diese Linien werden die Gegebene IM in die geforderten sieben perspekti - visch gleiche Theile theilen.
Die Linie AB in fünf gleiche Theile zu theilen. Fig. VI.
(Geeignet für einen niedrigen Horizont.).
Auflösung. Man ziehe von B die Horizontale BF, theile diese in die geforderte Anzahl geometrisch gleicher Theile und ziehe von E aus gerade Linien durch die Theilpunkte, welche verlängert die verlangte Theilung auf AB geben.
Die Linie GH in sechs gleiche Theile zu theilen, Fig. VI.
Auflösung. Man ziehe die Diagonale IH; theile GI in die geforderten sechs geometrisch gleiche Theile, und ziehe von jedem dieser Theilpunkte in den Verschwindungspunkt P der Linie GH. In den Durchschnittspunkten dieser Linien mit der Diagonale IH errichte man Senkrechte, welche GH treffen, so werden dieselben die letztere in der gewünschten Weise theilen.
Für manche Aufgaben ist es wünschenswerth, den ver - schwindenden Grund in Streifen von gleicher Tiefe (nach Er - fordern auch in gleiche Quadrate) zu theilen. Das einfachste Verfahren, bei der Annahme, dass die Hauptdistanz gleich der doppelten Länge der Tafel ist, ist folgendes: Fig. VII.
Man theile die Höhe von der Basis der Tafel bis zum Horizont durch eine Horizontale in zwei gleiche Theile: dann ist die Tiefe des vordern gleich der Distanz. Theilt man dieselbe Höhe zwischen der Basis der Tafel und dem Horizont in drei gleiche Theile, und zieht durch den obern Theilpunkt eine Horizontale, so bezeichnet diese, von der Basis ab gerech - net, eine Tiefe, die der zweifachen Distanz gleich ist. Durch die Theilung derselben Höhe in vier gleiche Theile, erhält man durch den obern Theilpunkt eine Tiefe, welche der dreifachen Distanz gleich ist, u. s. w.
Die Probe lässt sich nach Anleitung der Fig. IV machen.
Bei weitem die meisten Gegenstände, welche auf Gemälden vorkommen und die genaue Anwendung der Perspektive erheischen,19 sind rechtwinklichte, z. B. Gebäude und deren Theile, Posta - mente, Treppen, Parkettirungen, Tische u. s. w. Die Zeich - nung des rechten Winkels wird daher eine häufig vorkommende Aufgabe sein.
Wir wissen aus Erfahrung, dass ein horizontal liegender rechter Winkel, z. B. das Kranzgesimse eines Gebäudes, je nach unserm Standpunkte vor demselben, sich mehr oder weni - ger stumpf zeigt, und dass die Schenkel desselben mehr oder weniger geneigt und verkürzt erscheinen, je nachdem wir uns demselben näher oder ferner stellen oder uns links oder rechts bewegen. Um nun sowohl rechte Winkel in jeder verlangten Lage in der horizontalen Ebene für eine bestimmte Distanz zu zeichnen, als auch um für jeden willkürlich gezeichneten rechten Winkel diejenige Distanz auffinden zu können, für welche er ein rechter ist, müssen wir folgende drei Fälle hinsichtlich seiner Lage zur Tafel unterscheiden und besonders betrachten:
Ein rechtwinklichter Gegenstand liegt in gerader Ansicht oder frontal.
Alsdann ist der eine Schenkel des rechten Winkels parallel mit dem Horizont und der andre geht nach dem Hauptpunkt. Es wird also die eine Seite des Gegenstandes parallel mit der Tafel und die andere senkrecht darauf sein.
Befindet sich ein Quadrat in dieser Lage, so geht dessen eine Diagonale nach dem einen, und die andere nach dem an - dern Distanzpunkte.
Folgerung. Vermittelst der Diagonalen kann man dem einen Schenkel des rechten Winkels genau die Länge des an - dern geben.
Ein rechtwinklichter Körper wird übereck gesehen und die beiden Seiten desselben sind unter einem halben rechten Winkel gegen die Tafel geneigt.
2*20In diesem Falle laufen die Schenkel des rechten Winkels nach den Distanzpunkten, die eine Diagonale ist horizontal und die andre geht nach dem Hauptpunkte.
Hier haben demnach die Schenkel diejenige Lage, welche die Diagonalen im ersten Falle hatten, und die Diagonalen des rechten Winkels im zweiten Falle entsprechen den Schenkeln desselben im ersten; kurz, was hier Seite ist, war dort Diago - nale und umgekehrt.
Ein rechtwinklichter Gegenstand zeigt sich in schräger oder zufälliger Ansicht und die Schenkel des rechten Winkels sind weder parallel mit der Tafel, noch stehen sie senkrecht darauf, noch gehen sie nach den Distanzpunkten. Sie können demnach unendlich viele verschiedene Lagen haben.
Unter diese drei Fälle ist jeder rechte Winkel, dessen Zeichnung verlangt werden könnte, zu bringen. Es sollen nun die Regeln mitgetheilt werden, nach denen zu verfahren ist.
An die horizontale Linie AB soll in der horizontalen Ebene eine andere Linie gelegt werden, welche mit der ersten bei B einen rechten Winkel bildet. Fig. VIII.
Auflösung. Man ziehe von B die Linie BC nach dem Hauptpunkte P, so ist der Winkel ABC ein rechter (ein aus - springender.)
An die Horizontale AB soll bei A eine Linie unter einem rechten Winkel gelegt werden.
Auflösung. Man ziehe von A die Linie AP nach dem Hauptpunkte und verlängere diese über A hinaus bis E, so ist der Winkel EAB ein rechter (ein einspringender.)
Die rechten Winkel bei A und B zu halbiren.
21Auflösung. Man ziehe aus den Scheitelpunkten der Win - kel A und B nach dem Distanzpunkte D die Linien AD und BD und verlängere diese über A und B hinaus, so sind dieses die Halbirungslinien der genannten rechten Winkel, oder Dia - gonalen (eines Quadrats).
Den Schenkel BP des rechten Winkels ABC dem gegebenen andern Schenkel AB gleich zu machen.
Auflösung. Man ziehe von A nach dem Distanzpunkte D′ so wird, weil diese Linie eine Diagonale, BC gleich AB sein.
Folgerung. Mit Hülfe der Diagonalen kann man recht - winklichten Körpern gleiche und parallele Ausladungen geben.
Der rechtwinklichte Körper KGFH ist gegeben, man soll eine Platte darauf zeichnen, welche an allen vier Seiten um das Maass rF ausladet.
Auflösung. Man ziehe von H und G nach dem einen Distanzpunkte D und verlängere die erstere über H hinaus, ferner ziehe man von dem andern Distanzpunkte D′ nach F und verlängere auch diese über F hinaus. Sodann ziehe man durch den gegebenen Punkt r aus dem Hauptpunkte P eine Parallele ws mit GF. Von dem Durchschnittspunkte s dieser Parallele mit der Diagonale Fs ziehe man su parallel mit FH. Ferner ziehe man von u eine Parallele mit GF und von w eine mit FH. Nun ist ein Rechteck gezeichnet, dessen Seiten parallel mit denen des gegebenen Prismas sind, und dessen Winkel mit ihren Scheitelpunkten in den Diagonalen liegen. Giebt man dieser Ebene nun noch die Dicke st und legt durch t die Parallelen lx und tv und zieht die Senkrechten uv und wx, so ist die Aufgabe gelöst.
A sei der Scheitelpunkt eines rechten Winkels, man soll dessen beide Schenkel zeichnen. Fig. IX.
Auflösung. Man ziehe von A nach den Distanzpunkten D und D′ die Linien AD und AD′.
Man soll an AC bei C einen einsprin genden rechten Winkel zeichnen.
Auflösung. Man ziehe DC und verlängere diese über C hinaus.
Anmerkung. Der rechte Winkel bei A wird halbirt durch die Verlängerung der Linie, welche von A nach dem Hauptpunkte P geht (Diagonale), — der in C durch die der Diagonale CP und der in E durch die der Diagonale EP. Alle diese drei Diagonalen sind perspektivische Parallelen.
Die Diagonalen, welche die rechten Winkel bei B und F halbiren, sind die Horizontalen KB und FG. (Vergl. S. 20 oben.)
Folgerung. Vermittelst der Diagonalen kann man auch hier, wie im ersten Fall, die Länge des einen Schenkels der gegebenen Länge des andern gleich machen. So ist z. B. BA gleich AC, weil die Horizontale BC durch beide Endpunkte der Schenkel geht.
Man soll an eine Linie AB, welche weder horizontal ist, noch senkrecht auf die Tafel steht (d. h. in den Hauptpunkt geht), noch unter einem halben rechten Winkel gegen die Tafel geneigt ist (d. h. nach einem Distanz - punkte läuft), sondern welche eine von diesen Richtungen ver - schiedene hat, bei A einen rechten Winkel zeichnen. Die Distanz ist bekannt. Fig. X.
Auflösung. Man verlängere AB bis in den Horizont, trage die Hauptdistanz PD von P aus auf die Hauptlothrechte23 und ziehe von dem Verschwindungspunkte F des Schenkels AB eine gerade Linie nach D, lege an FD bei D einen rechten Winkel FDF′ und ziehe den Schenkel DF′ bis zum Horizont. Der Durchschnittspunkt F′ ist der Verschwindungspunkt der Linie AC, welche mit AB einen rechten Winkel bildet.
Durch A eine Diagonale zu ziehen. Fig. X.
Auflösung. Man theile den rechten Winkel bei D in zwei gleiche Theile und verlängere die Theilungslinie bis in den Horizont. Dieser Durchschnittspunkt E ist der Verschwin - dungspunkt aller Linien, welche die rechten Winkel, deren Schenkel mit BA und AC parallel sind, halbiren. Die Diago - nale durch A ist also EI, die durch C ist EK und die durch G ist EL. Die Ausladungen werden zwischen diesen Diagonalen nach Analogie der Fig. IX gezeichnet.
Da der Maler in der Regel die Hauptdistanz nicht vor Beginn des Zeichnens angiebt, sondern die rechten Winkel nach dem Augenmaasse zeichnet, es aber gleichwohl unerlässlich ist, dass jeder in einem und demselben Bilde vorkommende rechte Winkel einer einzigen Hauptdistanz entspreche, so ist es24 nothwendig, ein Verfahren kennen zu lernen, aus einem gege - benen perspektivischen rechten Winkel diejenige Distanz abzu - leiten, für welche allein er ein rechter ist, um auch den übrigen im Bilde vorkommenden rechten Winkeln die so erhaltene Distanz zum Grunde legen zu können.
Der grössern Deutlichkeit halber waren die vorhergehen - den Aufgaben so eingerichtet, dass alle Verschwindungspunkte,25 deren man benöthigt war, sich innerhalb der Tafel fanden. Da aber mehrere derselben mit den Distanzpunkten zusammen - fielen und andere nicht weit davon lagen, so folgt daraus, dass dieselben bei einer Distanz, wie wir sie früher als vortheilhaft für die Wirkung eines Bildes festgesetzt haben, mehr oder weniger ausserhalb der Tafel liegen werden. Wollten wir nun die bisher gegebenen Konstruktionen im Grossen ausführen, so würden wir allerlei umständliche Vorrichtungen und äusserst lange Lineale und grosse Instrumente nöthig haben, um die Verschwindungspunkte festhalten und die verschwindenden Li - nien ziehen zu können. Daraus entstände dann unfehlbar eine Unbequemlichkeit, welche uns die Ausübung der Perspektive und die Anwendung derselben auf Gegenstände der Malerei sehr verleiden würde.
Glücklicherweise haben wir im Vorhergehenden ein Ver - fahren, unzugängliche Verschwindungspunkte zu ersetzen, kennen gelernt. Dieses wollen wir uns ins Gedächtniss zurückrufen und vermittelst desselben folgende Aufgaben auflösen.
Es ist die frontale Seite AB eines gleichseitigen rechtwinklichten Thurms ABL gegeben, man soll der verschwindenden Seite BC (deren Verschwindungspunkt natürlich hier der Hauptpunkt ist) dieselbe Tiefe geben, so dass die Grundfläche des Thurms ein Quadrat wird. Von der Di - stanz ist nur ⅓ = P $$\frac{D}{3}$$ auf dem Horizont darstellbar. Fig. XII.
Auflösung. Erstes Verfahren. Man bedarf dazu einer Diagonale durch A. Um diese zu erhalten, ziehe man von dem Punkte, durch welchen die Diagonale gehen soll (also hier von A) eine gerade Linie AP nach dem Hauptpunkte, theile diese in so viel gleiche Theile, als der Nenner des Bruchs sagt, welcher die Distanz angiebt (also hier in drei), ziehe von dem dem Hauptpunkte am nächsten befindlichen Theilpunkte 1 nach $$\frac{D′}{3}$$ 26und damit eine geometrisch Parallele AC durch A, so ist dieses die gesuchte Diagonale, welche die rechten Winkel bei A und C halbirt und dem Schenkel BC die Länge von AB giebt.
Anderes Verfahren. Fig. XII. Um die verschwin - dende Seite MN der frontalen NO gleich zu machen, theile man die letztere in so viel gleiche Theile, als der Nenner des die Distanz bezeichnenden Bruchs angiebt (also hier in drei) und ziehe von dem dem fraglichen rechten Winkel zunächst befindlichen Theilpunkte die Gerade 1 $$\frac{D}{3}$$ , so wird der Durch - schnittspunkt M in der Verschwindenden NP die geforderte Länge bezeichnen.
Drittes Verfahren. Fig. XII. Man kann auch ein per - spektivisches Quadrat über der gegebenen Seite RS zeichnen, wenn man dieselbe (für ⅓ der Distanz) in drei gleiche Theile theilt, die Verschwindenden RP und SP zieht und von dem Theilpunkt 1′ eine Linie nach $$\frac{D′}{3}$$ zieht. Der Durchschnitts - punkt T ist eine Ecke des geforderten Quadrats. Eine Hori - zontale TQ durch T vollendet die Aufgabe.
Man soll ein rechtwinklichtes übereck gesehenes Gebäude zeichnen, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen vordere lothrechte Kante in B endigt. Fig. XIII. Es ist ¼ der Distanz bekannt.
Auflösung. Man verbinde B mit dem Hauptpunkt P, theile die Linie BP in vier gleiche Theile, ziehe von dem Theil -27 punkt 1 die Linien 1 $$\frac{D}{4}$$ und 1 $$\frac{D′}{4}$$ und mit diesen parallel BA und BC. Soll die Linie BA maassgebend für BC sein, so ziehe man von A eine Horizontale, welche die Linie BC gleich der Linie BA machen wird. Dann wird auch AC durch BP genau in der Mitte geschnitten.
Man soll ein rechtwinklichtes Gebäude in zufälliger Lage zeichnen, von welchem die eine Oberkante KI (Fig. XIII) gegeben ist. Die Distanz ist dieselbe, wie sie in der vorigen Aufgabe angenommen war.
Auflösung. Man verbinde I mit P, theile diese Linie IP in 8 gleiche Theile, ziehe von dem Theilpunkte 1, welcher dem Hauptpunkte am nächsten liegt, 1F parallel mit KI. Dann trage man auf die Hauptlothrechte $$\frac{D}{8}$$ , d. h. die Hälfte des ge - gebenen Viertels der Distanz, ziehe von F nach $$\frac{D}{8}$$ , lege an diese Linie bei $$\frac{D}{8}$$ eine andere unter einem rechten Winkel, welche verlängert den Horizont in F′ trifft. Nun ziehe man 1F′ und damit parallel IL, welche der gesuchte Schenkel des rechten Winkels bei I ist.
Es versteht sich von selbst, dass dieselbe Konstruktion, welche bisher oberhalb des Horizonts stattgefunden, auch unter - halb desselben, nur in umgekehrter Lage, ausführbar ist. Man wählt aber am zweckmässigsten dazu diejenigen Winkel, welche am weitesten vom Horizont abstehen, damit die Hülfslinien sich nicht in zu spitzen Winkeln durchschneiden und dadurch ungenaue Resultate herbeigeführt werden.
Von der quadratischen Grundfläche einer Pyramide ist die eine Seite AB gegeben, von der andern Seite BC ist nur die Richtung, nicht aber die Länge bestimmt, es soll das Quadrat, und über diesem als der Grundfläche, eine Pyramide gezeichnet werden. Fig. XIV.
Auflösung. Zuvörderst ist die Distanz, für welche der willkürlich gezeichnete Winkel ABC ein rechter ist, zu ermit - teln, und zwar, da dieselbe in ihrem ganzen Betrage auf der Tafel nicht wird dargestellt werden können, ein bestimmter Theil — hier ¼ derselben. Zu diesem Zweck verbinde man den Winkelpunkt B mit dem Hauptpunkte P, theile die Linie BP in 4 gleiche Theile und ziehe von dem Theilpunkt 1 die geometrischen Parallelen 1F und 1F′ mit AB und BC, bis zur Durchschneidung des Horizonts. Ueber der Linie FF′ beschreibe man einen Halbkreis und errichte in P die Hauptlothrechte P $$\frac{D}{4}$$ , deren Länge den vierten Theil der Hauptdistanz darstellt.
Ferner halbire man den rechten Winkel bei $$\frac{D}{4}$$ und führe die Theilungslinie $$\frac{D}{4}$$ M bis zum Horizont herab, ziehe von 1 eine Gerade nach M, so ist 1M die Halbirungslinie des rech - ten Winkels F 1F′ d. h. eine Diagonale.
29Von B ziehe man eine unbestimmt lange Linie BE geo - metrisch parallel mit 1M, so ist diese die Diagonale des über der Seite AB zu zeichnenden Quadrats.
Sodann verbinde man den gegebenen Endpunkt A der Seite AB mit dem Hauptpunkt P, wodurch an der Linie F1 der Theil a1 abgeschnitten wird, welcher der Parallele AB ent - spricht.
Von a ziehe man eine Gerade aF′ in den Verschwin - dungspunkt von 1F′, welche die Diagonale 1M in e schneidet, und geometrisch parallel damit die Linie AE bis zur Durch - schneidung der Diagonale BE.
Ferner ziehe man von e die Linie eF in den Verschwin - dungspunkt der Linie 1F und verlängere sie über e hinaus, bis sie die Linie 1F′ in c trifft, und geometrisch parallel mit ihr EC bis zur Durchschneidung der der Richtung nach gegebenen Linie BC. Nun ist die Figur ABCE ein richtig gezeichnetes Quadrat.
Zieht man nun auch noch die zweite Diagonale AC, er - richtet auf dem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte S beider sich gegenseitig halbirenden Diagonalen die Axe SG und zieht man von den vier Ecken des Quadrats die Linien AG, BG, CG und EG, so ist die Aufgabe aufgelöst.
Die Grundfläche ABEE der Pyramide AGC soll als eine Platte von der Dicke AI dargestellt werden. Fig. XIV.
Auflösung. Man ziehe von I die Linie IP nach dem Hauptpunkte, fälle von a die Senkrechte ai bis zur Durchschnei - dung von IP. Durch i ziehe man die Linie iF und verlängere30 diese über i hinaus bis zu der aus der Ecke 1 gefällten Senk - rechten 1k. Parallel mit KF ziehe man durch I die Linie IK und die Senkrechte BK.
Sodann ziehe man von k in den Verschwindungspunkt F′ die Linie kl und parallel mit derselben durch K die Linie KL, und endlich fälle man von C die Senkrechte CL.
Nach dem Obigen ist man im Stande, einfache wie com - plicirte rechtwinklichte auf der horizontalen Ebene befindliche Körper in jeder beliebigen Lage und Ansicht perspektivisch richtig zu zeichnen. Man hat nur auf jeden Schenkel eines rechten Winkels die betreffenden Regeln anzuwenden, sich die verjüngte Hülfsfigur zu verschaffen und mit den an dieser ge - fundenen Linien geometrische Parallelen durch die gleichnamigen Punkte der Hauptfigur zu ziehen.
Wenn man einen Complex von Gegenständen, die unter einander in bestimmten Beziehungen stehen, in Perspektive zu bringen hat, kann man mancherlei Vereinfachungen und Abkür - zungen dadurch eintreten lassen, dass man gewisse Grund - konstruktionen nur an einem Gegenstande ursprünglich vollzieht und diese dann auf die gleichen andern in derselben Reihe überträgt. Es lässt sich diese Art der Anwendung der perspekti - vischen Regeln am einleuchtendsten an einem Beispiele darstellen.
Es soll eine von viereckigen Pfeilern gebildete offene Halle, und zwar im ersten Falle, in Perspek - tive gebracht werden. ¼ der Hauptdistanz ist bekannt. Fig. XV.
Auflösung. Nachdem die Pfeileraxen 1, 2, 3 und 4 (nach Fig. V oder VI) richtig gesetzt worden, wird von dem einen Endpunkte der Axe 3 (nach Fig. XII) eine Diagonale gezogen, welche die Entfernung (und auch die Kanten) des Pfeilers 5 bestimmt. Der so erhaltene Abstand des Pfeilers 5 von 4 findet auch zwischen 5 und 6 u. s. w. statt.
Sodann giebt man auf der Horizontalen durch den End - punkt der Axe des vordersten Pfeilers 1 das Profil (die Breite)31 desselben mn an, und zwar zu jeder Seite der Axe die Hälfte der Breite. Durch diese Punkte m und n ziehe man nach dem Hauptpunkte, so dass man die Parallelen erhält, zwischen wel - chen die ganze Pfeilerreihe sich befindet.
Ferner zieht man durch denselben Endpunkt der Axe eine Diagonale, und Horizontalen durch die Durchschnittspunkte der - selben mit den verschwindenden Parallelen, welche das Quadrat des Pfeilers vollenden.
In dem Quadrat zieht man auch die andre Diagonale, giebt auf der Verlängerung der Linie mn das Maass der Ausladung der Platte no an, zieht durch o eine Verschwindende nach P, verlängert beide vorhin gezeichneten Diagonalen bis zur Durch - schneidung dieser Verschwindenden und vollendet das Quadrat der Platte, giebt der letztern die gewünschte Dicke, und zeichnet den darauf liegenden Architrav.
Um die verschwindende Linie des Architravs richtig zu zeichnen, ziehe man von N eine Horizontale NO, von O eine Senkrechte OQ und von Q wieder eine Horizontale QR bis zur Durchschneidung der verlängerten Pfeilerkante AN in R. Durch den Punkt R geht die eine Unterkante ST des Architravs.
Die Stufen richtig zu zeichnen, auf welchen die Pfeiler stehen. Fig. XV.
Auflösung. Wenn die frontalen und verschwindenden Stufen an der vordern Ecke gleichen Abstand eC von der Axe des vordern Pfeilers haben sollen, so verlängere man die Axe unbestimmt über K hinaus, zeichne das Profil der Stufen cefgh in der Ebene der Axe, ziehe die Horizontalen fI und hK, wo - durch die Höhen CI und IK in der Axe bestimmt werden. Ferner ziehe man durch die Punkte des Profils e, f, g und h Linien nach dem Verschwindungspunkte der Seite AB und ver - längere dieselben rückwärts. Sodann ziehe man die Diagonale CA und verlängere sie bis zur Durchschneidung der Linie eE in E, von E ziehe man die Senkrechte EF. Nun ziehe man von I über F hinaus bis zur Durchschneidung der Verschwin -32 denden gG und von G die Senkrechte GH, so sind die Ecken der Stufen bestimmt. Zuletzt werden noch durch E, F, G und H die horizontalen Kanten der frontalen Stufenseiten gezogen.
Den Plattenbelag des Fussbodens zu zeichnen. Fig. XV.
Auflösung. Zuerst ziehe man aus dem Scheitelpunkt des einspringenden rechten Winkels r die Diagonale rt, und von dem des ausspringenden s die Diagonale st. Die Linie sr theile man in eine ungerade Anzahl perspektivisch gleiche Theile und ziehe durch jeden dieser Theilpunkte Horizontalen über den ganzen Fussboden. Ferner ziehe man durch die Durch - schnittspunkte der Horizontalen und Diagonalen Linien in den Verschwindungspunkt von sr.
Sollen statt der frontalgesehenen Quadratplatten solche übereck gelegt werden, so kann man diese mit Hülfe der ersteren leicht zeichnen, versäume nur nicht in den einspringenden rech - ten Winkel eine Viertelplatte zu bringen. In der Zeichnung sind die übereckgelegten Platten von der doppelten Länge der frontalgelegten.
Folgerung. Wäre die frontale Länge ku der kleinen Quadratplatten gegeben gewesen, so würde dieses Maass auf der Horizontalen durch ka abzutragen und durch jeden Theil - punkt eine Linie in den Verschwindungspunkt von kr zu ziehen gewesen sein. Durch die Durchschnittspunkte dieser Verschwin - denden und der Diagonalen rt und st würden dann Horizontalen über den ganzen Fussboden gezogen werden müssen u. s. w.
Alle möglichen Aufgaben dieser Art lassen sich, wie die Lage des rechten Winkels, auf drei Fälle zurückführen, nämlich
Das geometrische Maass der auf die Tafel senkrecht stehenden Linie AB zu finden. Von der Distanz ist ¼ angegeben. Fig. XVI.
Auflösung. Man ziehe von A eine Linie nach $$\frac{D}{4}$$ , von B eine Horizontale BC bis zur Durchschneidung der Linie A $$\frac{D}{4}$$ . Dann ist BC der vierte Theil von AB. Ist nun auf der Basis der Tafel ein geometrischer Maassstab angegeben, und etwa EG ein Fuss, so erhält man die Länge desselben auf der Linie CB, wenn man von E und G Linien durch CB nach einem beliebigen Punkte im Horizont zieht. Dann ist C1 die Länge eines Fusses für CB, und die Anzahl Male, welche C1 darin enthalten ist, viermal genommen, giebt die Länge von AB an.
Bei einem rechtwinklichten Gebäude die Tiefe der verschwindenden Seite HI zu finden. Fig. XVI.
Auflösung. Man errichte in P die Hauptlothrechte und trage $$\frac{D}{4}$$ darauf, dann ziehe man von I nach diesem $$\frac{D}{4}$$ die Linie I $$\frac{D}{4}$$ , welche die Linie HL in 1 schneidet. H1 ist ein Viertel von HI. Trägt man die Länge von H1 noch dreimal auf L1 ab, so ist H4 die ganze Länge von HI.
Zieht man von H eine Horizontale HM, und von einem Theilpunkte N des Maassstabes auf der Basis der Tafel durch H in einen Punkt f im Horizonte, ferner von diesem Punkte f eine andere Linie nach O, so ist die zwischen beiden enthaltene Horizontale HM die Maasseinheit für H4.
Bei einem rechtwinklichten Gebäude, welches übereck gesehen wird, die geometrische Länge der Seite AB zu finden. Von der Distanz ist ¼ angegeben. Fig. XVII.
Auflösung. Man ziehe von A nach P, durch B die Horizontale BC, errichte in C eine Senkrechte CH, welche so lang wie BC ist, und ziehe BH. Dann ist BH die geometri - sche Länge von AB. Um diese mit dem Maass LM zu messen, bestimme man dessen Länge auf einer Horizontalen durch G und messe mit der Grösse GI die Linie BH. So oft GI darin enthalten, so oft ist auch LM in AB enthalten.
Erläuterung. Das rechtwinklichte gleichschenklichte Dreieck ACB erscheint in HCB aus seiner horizontalen Lage in die vertikale gebracht, so dass alle Seiten unverkürzt zu35 sehen sind, und mithin die Hypothenuse HB die wahre Länge von AB darstellt.
Bei einem rechtwinklichten Gebäude, dessen Seiten eine zufällige Neigung gegen die Tafel haben, die geometrische Länge von ON zu bestimmen. Fig. XVII.
Auflösung. Man ziehe von N nach dem Hauptpunkte, dann von O eine Horizontale bis diese NP in Q trifft. In Q errichte man eine unbestimmt lange Senkrechte QR. Ferner ziehe man von O nach dem Hauptpunkte, theile diese Linie in so viele gleiche Theile, als der Nenner des Bruchs, welcher von der Distanz bekannt ist, anzeigt, ziehe von dem dem Haupt - punkte am nächsten befindlichen Theilpunkte 1 eine Parallele mit NO. Der Durchschnittspunkt derselben mit dem Horizont ist F. Nun ziehe man von F nach $$\frac{D}{4}$$ , welches auf der Haupt - lothrechten aufgetragen ist, und endlich mit dieser eine geo - metrische Parallele durch O, welche die Senkrechte QR in R trifft. Dann ist OR die geometrische Länge von ON. Für diese wird eben so, wie vorhin, das geometrische Maass nach dem Maassstabe auf der Basis der Tafel bestimmt. Es ist indess zu bemerken, dass OR in einer Tiefe steht, welche durch O bestimmt ist.
Erläuterung. Das rechtwinklichte Dreieck OQN er - scheint in OQR aus seiner horizontalen Lage in die vertikale aufgerichtet.
Da verschwindende Parallelen in der horizontalen Ebene in einem Punkte des Horizonts ihren Verschwindungspunkt haben, so folgt daraus, dass verschwindende Parallelen auf Ebenen, welche gegen den Horizont steigen, ihren Verschwindungspunkt oberhalb,3*36und Parallelen auf gegen den Horizont abfallenden Ebenen den ihrigen unterhalb des Horizonts haben müssen.
Parallelen solcher geneigten Linien, die nicht verschwinden, d. h. deren Projektion auf die horizontale Ebene eine Horizon - tale ist, sind unter einander geometrisch parallel.
Rücksichtlich der verschwindenden geneigten Linien gilt die Regel: dass der Verschwindungspunkt ihrer Parallelen in der Senkrechten liegt, welche durch den Verschwindungspunkt der Projektion geht, die von der gegebenen Linie auf die hori - zontale Ebene gemacht ist. Und zwar befindet sich der Ver - schwindungspunkt der Parallelen oberhalb des Horizonts, wenn die gegebene Linie gegen diesen steigt, und unterhalb des Horizonts, wenn sie gegen denselben abfällt.
Ist der Verschwindungspunkt der Projektion der geneigten Linie auf die horizontale Ebene der Hauptpunkt, so fällt der Verschwindungspunkt der Parallelen in die Hauptlothrechte.
Es soll durch den Punkt H eine Paral - lele mit der geneigten Kante AB einer Rampe gezogen werden. Fig. XVIII.
Auflösung. Man ziehe durch H die Linie HK geo - metrisch parallel mit der Gegebenen AB. Denn die Projek - tionen beider Linien auf die horizontale Ebene, GA und KH, sind parallel mit dem Horizont.
Aus demselben Grunde sind auch die geneigten Linien EC, OQ und RS geometrisch parallel mit der Gegebenen AB.
Es soll durch M eine Parallele mit der in den Hauptpunkt P verschwindenden Kante BC gezogen wer - den. Fig. XVIII.
Auflösung. Man ziehe durch M in den Hauptpunkt P und verlängere diese Linie über M hinaus bis sie die Kante AB in N trifft; denn die Projektionen beider Linien auf die horizontale Ebene, Gc und nm, haben ihren gemeinschaftlichen Verschwindungspunkt in P.
37Aus demselben Grunde ist auch die Linie AE perspekti - visch parallel mit der Gegebenen BC.
An der geneigten Ebene TVW, deren Winkel W um die senkrechte Höhe WU über dem Punkte T und V erhaben ist, sollen durch e und g perspektivische Paral - lelen mit ab gezogen werden. Fig. XVIII.
Auflösung. Man fälle von a die Senkrechte ad bis auf die Kante TU, verbinde d mit b, so ist db von ab die Projektion auf die horizontale Ebene. Die Linie db verlängere man bis sie den Horizont in f schneidet. Durch f ziehe man eine un - bestimmt lange Senkrechte und verlängere die Linie ab bis sie diese in i trifft, dann ist i der Verschwindungspunkt der durch e und g zu ziehenden perspektivischen Parallelen.
Dasselbe Verfahren findet statt, wenn auf der geneigten Ebene xYZ durch u und t perspektivische Parallelen mit or gezogen werden sollen, nur mit dem Unterschiede, dass hier der Verschwindungspunkt der Parallelen oberhalb des Horizonts ist, weil sie gegen denselben steigen, während er in der vori - gen Aufgabe unterhalb des Horizonts lag, da die Parallelen gegen denselben fielen.
Auf der Zeichnung Fig. XIX sollen Figuren von gleicher Grösse mit der Gegebenen ef angegeben werden, und zwar auf den gegen den Horizont steigenden Ebe - nen ABC und IGG′ und der gegen denselben abfallenden GKG′.
Auflösung. Man bringe die Grösse ef auf die (aus Auf - gabe 2) bekannte Art auf die geneigte Ebene IGG′, wo sie in gk zu stehen kommt. Auf dieser ziehe man gi in den Ver - schwindungspunkt h dieser Ebene und durch k eine perspekti - vische Parallele kp. Durch i und p ziehe man ferner per - spektivische Parallelen iT und pT in den Verschwindungspunkt dieser abwärts geneigten Ebene, so ist zwischen diesen Paral - lelen kpT und giT die Grösse von ef für jeden Ort auf den38 gedachten beiden Ebenen enthalten, und man kann den Figuren in l, m, n und o ihre entsprechende Höhe geben.
Rücksichtlich der Figuren auf der geneigten Ebene ABC ist dasselbe Verfahren anzuwenden. Nachdem die Höhe der ge - gebenen Figur ef für den Fusspunkt m gefunden, wird die für diesen sich ergebende Grösse auf die geneigte Linie AB ge - tragen, wo sie 1a ist. Durch a wird eine perspektivische Paral - lele mit AB d. h. in den Verschwindungspunkt H der letztern gezogen, und zwischen beiden Linien finden sich die Grössen der Figuren für die verschiedenen Orte b, c und d.
Auch die Parallelen mit AB, welche durch C und Y gehen, sind in den Verschwindungspunkt H zu ziehen.
Der geneigten Ebenen bedient man sich auch, um Gesims - gliederungen, deren Gesammtmasse in solche zusammengefasst werden können, perspektivisch zu zeichnen.
Das Profil eines Mauerkropfs mit voll - ständigem Gebälk ONqrstuvwRQ nebst der Axe SL ist gege - ben, man soll dessen perspektivische Darstellung im ersten Fall ausführen. Fig. XIX.
Auflösung. Man gebe die Diagonalen SV und SW durch den obern Endpunkt der Axe an, ziehe durch alle ein - und aus - springenden Winkel des Profils Linien nach dem Hauptpunkte und verlängere diese unbestimmt rückwärts. Dann ziehe man von W und V die Linien WM und VM in den Punkt M der Axe, in welchem diese durch die Verlängerung von Nq und st geschnitten wird. Ferner ziehe man die Horizontale VU bis an die von dem Hauptpunkte durch O gehende Linie, und Senk - rechte durch die Punkte, in welchen VM und WM von der Verschwindenden PQ geschnitten werden; ebenfalls durch die - enigen, in welchen sie durch die Verschwindenden Pt, Pw und PR geschnitten werden. Sodann ziehe man aus dem39 Punkte L, in welchem die verlängerte VW die Axe schneidet, durch die Punkte 2 und 3 Linien bis zur Durchschneidung der Verschwindenden Pv, ferner Horizontalen von unbestimm - ter Länge durch alle Punkte, in welchen die Linien VM und 3L, von den Verschwindenden durch q, r, s, t, v, w und R geschnitten werden.
Um die Kante, mit welcher das Gebälk sich an die Mauer lehnt, richtig zu zeichnen, verfahre man in folgender Weise:
Man ziehe von M und L in der Axe die Horizontalen Mz und LX bis an die Grenze OQ des Profils, verbinde U mit z. Von dem Punkte 4 ziehe man die Senkrechte 47; ferner von P aus die Linie xy und durch y eine Senkrechte y8. Endlich ziehe man von X durch 5 die Linie X6.
Es giebt verschiedene Methoden den Kreis perspektivisch zu zeichnen, unter denen jedoch diejenigen, nach welchen der - selbe aus dem gegebenen Radius abgeleitet wird, für unsern Gebrauch zu unbequem sind. Auch das Verfahren, die per - spektivische Zeichnung des Kreises aus der geometrischen abzu - leiten, muss — wenigstens bei Darstellung der ganzen Figur — gegen die im Folgenden mitgetheilten Konstruktionen mittelst eines Quadrats zurückstehen.
Einen Kreis perspektivisch zu zeichnen, dessen Durchmesser hk ist. Fig. 20.
Auflösung. Erste Methode. Man ziehe vom Haupt - punkte P Linien nach h und k und verlängere dieselben über letztere Punkte unbestimmt hinaus. Dann ziehe man durch die Mitte v des gegebenen Durchmessers eine Diagonale, welche die aus dem Hauptpunkte gezogenen Linien in b und d schneidet. Durch die Horizontalen ba und dc vollende man das perspekti - vische Quadrat abcd und ziehe auch die andere Diagonale ac40 Durch den gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt r beider Dia - gonalen ziehe man nach dem Hauptpunkte und verlängere diese Linie bis zur Durchschneidung der Seite ab. Dann wird der dem Quadrat einzuschreibende Kreis die Seiten des erstern in ehik berühren.
Um noch andere vier Punkte des Kreises zu bestimmen, theile man die Seite ab des Quadrats in 7 gleiche Theile und ziehe von den Theilpunkten 1 und 6 die Linien 1f und 6g nach dem Hauptpunkte; die Durchschnittspunkte derselben mit den Diagonalen sind Punkte der Kreislinie.
Die geometrische Zeichnung des Quadrats ABCD erläutert dieses Verfahren.
Der Durchmesser rq ist gegeben, es soll ein Kreis darüber gezeichnet werden. Fig. 20.
Auflösung. Man beschreibe das Quadrat mnol wie bei der vorigen Aufgabe, theile dasselbe durch die Verschwinden - den st in zwei gleiche Rechtecke, und ziehe in beiden die Dia - gonalen tl und ms, ns und to. Sodann theile man die Seite lo in 10 gleiche Theile und ziehe durch 1 und 9 Linien in den Hauptpunkt, welche in den Diagonalen Punkte der Kreis - linie bezeichnen.
Genügen die so erhaltenen 8 Punkte noch nicht, so erhält man anderweitige 4, wenn man die Diagonalen der beiden Recht - ecke nmrq und qrlo und Linien von den Theilpunkten 2 und 841 nach dem Hauptpunkte zieht. Die Durchschnittspunkte dieser Linien sind ebenfalls Punkte der Kreislinie.
Die geometrische Figur MNOL erläutert die Konstruktion.
Anmerkung. Dieses Verfahren ist vorzugsweise geeig - net zur Zeichnung von Halbkreisen bei Gewölben u. s. w.
Der perspektivische Kreis eines Bassins ABME nebst dem Mittelpunkte x ist gegeben, es soll in derselben Ebene ein konzentrischer Rand von der auf dem verlängerten Ra - dius Ax angegebenen Breite aA um denselben gezeichnet werden.
Auflösung. Man errichte in A eine Senkrechte, welche den Horizont berührt, theile diese Senkrechte AH in so viele gleiche Theile, dass eine Linie von a durch den untersten Theil - punkt die in x senkrecht stehende genugsam verlängerte Axe xS noch innerhalb der Tafel trifft. Sodann ziehe man mehrere andere Radien und verlängere sie unbestimmt, z. B. xC, errichte in C eine Senkrechte bis an den Horizont, theile diese in eben so viele gleiche Theile, als bei AH geschehen und ziehe von S durch den untersten Theilpunkt bis zur Durchschneidung der Verlängerung von Cx in c, dann ist c ein Punkt des gesuchten konzentrischen Randes. Auf diese Weise sucht man beliebig viele Punkte.
Es soll ein Parallelkreis zu dem gege - benen ABME, aber in einer tiefern Ebene, gezeichnet werden; die Tiefe Kk betrage ¼ des Abstandes von K vom Horizonte. Fig. 21.
Auflösung. Man errichte auf dem gegebenen Kreise ABME beliebig viele Senkrechte, die den Horizont erreichen, z. B. L4, M4 u. s. w., theile jede in 4 gleiche Theile und ver - längere jede um einen ihrer Theile nach unten, so werden die Endpunkte l, m dieser Verlängerungen Punkte der zu zeichnen - den Kreislinie angeben.
Das Gesimse eines runden Thurms zu zeichnen, dessen Oberkante efg perspektivisch richtig dargestellt ist. Die Höhe des Gesimses soll ⅙ = ea der Höhe des Thurms über dem Horizonte und seine Ausladung gleich Ae sein. S ist der Mittelpunkt. Fig. 22.
Auflösung. Man ziehe von der obern Kante beliebig viele Senkrechte fF, hH, iI u. s. w. bis zum Horizonte, theile jede in 6 gleiche Theile, so werden die obersten Theilpunkte den perspektivischen Halbkreis acdb bestimmen. Ferner ziehe man durch S eine Senkrechte, welches die Axe ist, von A eine Linie durch a, welche verlängert die Axe in R trifft. Nun ziehe man von S aus beliebige Radien SC, SK u. s. w., und verlän - gere sie unbestimmt, fälle von den Durchschnittspunkten der - selben in dem obern Kreise e, f, g Senkrechte fc, ik u. s. w. bis zu dem Halbkreise acdkb und ziehe von R aus gerade Linien durch die Punkte c, k u. s. w., welche verlängert die Radien in C, K u. s. w. treffen. Diese Punkte C, K nebst A und B sind Punkte der Oberkante des Gesimses.
An einem cylindrischen Thurme soll eine bestimmte Anzahl von Parallelkreisen, z. B. 6, in gleichen Ent - fernungen von einander — etwa Steinschichten — angegeben werden. Die perspektivische Zeichnung des Thurms ist gege - ben. Fig. 22.
Auflösung. Durch die einander entsprechenden Theil - punkte in den verschiedenen senkrechten Linien zwischen der Oberkante des Thurms und dem Horizonte, welche bei Auflösung der vorhergehenden Aufgabe erhalten wurden, lege man per - spektivische Halbkreise. Dieselben werden, je näher dem Hori - zonte, desto weniger gekrümmt sein, und der in den Horizont fallende ist eine völlig gerade Linie.
Soll der Fuss des Thurms 2 Steinschichten unterhalb des Horizonts liegen, so trage man auf den verlängerten Senkrechten eE, fF u. s. w. noch zwei der darauf bezeichneten Theile nach unten zu ab, und ziehe auch durch diese, wie durch die obern43 geschehen, horizontale Halbkreise. Der unterste EFHIG bildet die Basis des Thurms.
Mit dem gegebenen perspektivischen Halbkreise AIBE soll in derselben Ebene ein Parallelkreis ge - zeichnet werden, dessen Abstand von dem erstem BF ist. Fig. 23.
Auflösung. Man ziehe von dem Mittelpunkte C eine Horizontale und von F aus eine Gerade, welche die Horizon - tale in einem beliebigen Punkte S trifft. Von dem Punkte B des gegebenen Kreises ziehe man eine Horizontale BH bis zur Durchschneidung der Linie FS, von H eine Senkrechte HG bis auf die Horizontale CS und durch G, den Durchschnitts - punkt beider, eine Verschwindende in den Hauptpunkt, welche über G unbestimmt zu verlängern ist. Soll nun ein mit irgend einem des gegebenen Bogens korrespondirender Punkt des zu zeichnenden Parallelkreises bestimmt werden, z. B. der mit dem Punkte I korrespondirende, so fälle man von diesem eine Senk - rechte IR auf den Durchmesser, ziehe von R und I Horizon - talen und errichte in T wieder eine Senkrechte, welche die Horizontale durch I in K schneidet. Durch diesen Durch - schnittspunkt K ziehe man von S aus eine Gerade und verlän - gere diese, bis sie die Verlängerung des aus C durch I gezogenen Halbmessers CI in L schneidet. Dieser Durchschnittspunkt L ist ein Punkt des geforderten Parallelkreises. Durch Wieder - holung dieser Konstruktion an mehreren Punkten kann man sich eine zur richtigen Zeichnung des Halbkreises genügende Anzahl Punkte verschaffen.
Zu dem gegebenen perspektivischen Halb - kreise WeU soll ein Parallelbogen von gleichem Halbmesser, aber in einer andern Ebene, welche von der des gegebenen Bogens um WV absteht, gezeichnet werden. Fig. 23.
44Auflösung. Man ziehe den Durchmesser WU und durch P und V eine perspektivische Parallele Vk. Will man nun einen mit irgend einem des gegebenen Halbkreises korrespon - direnden Punkt des geforderten Parallelbogens bestimmen, z. B. den mit dem Punkte e korrespondirenden, so fälle man von e eine Senkrechte, welche den Durchmesser WU in g schneidet, von g ziehe man eine Horizontale, welche Vk in h trifft, und in h errichte man eine Senkrechte. Zieht man nun auch durch e eine Horizontale, so ist der Punkt f, in welchem diese jene Senkrechte schneidet, ein Punkt des geforderten Parallelbogens. Diese Konstruktion ist beliebig oft zu wiederholen.
Auf den Pfeilerkanten cu und At soll ein Spitzbogen perspektivisch gezeichnet werden. Fig. 24.
Auflösung. Man verlängere die Kante tA bis M und zeichne die Pfeilerkante Cv, und beschreibe über dieser und der Kante At einen Spitzbogen ABC in frontaler Ansicht. Die Oeffnung dieses Bogens der gegebenen Weite cA gleich zu machen, dient eine Diagonale von a aus gezogen, welche den Punkt v bestimmt. Von der Spitze B des geometrischen Bogens ziehe man die Horizontale Bm, durch m ziehe man aus P die Linie mb, welche die Höhe des perspektivischen Bogens an - giebt. Die Spitze liegt in der Senkrechten durch den Durch - schnittspunkt der Diagonalen Au und ct.
Zur Bestimmung zweier anderer Punkte des gewünschten Bogens, theile man die Weite AC des geometrischen Spitzbogens in 4 gleiche Theile, ziehe durch G und F Senkrechte, welche den Bogen in I und H schneiden. Durch diese Punkte ziehe man eine Horizontale In bis zu der Linie tM, und von P durch n eine Verschwindende nh. Theilt man nun auch die Weite des perspektivischen Bogens cA in 4 perspektivisch gleiche Theile (durch Halbirung der schon gefundenen Hälften ce und eA) und zieht von den Theilpunkten f und g Senkrechte bis an die Linie hn, so bezeichnen die Durchschnittspunkte h und i45 die beiden mit H und I korrespondirenden Punkte des perspek - tivischen Bogens.
Durch nochmaliges Halbiren der bereits erhaltenen äusser - sten Theile der Bogenweite AG und FC, sowie Ag und fc ist man im Stande noch anderweite zwei Punkte zu bestimmen. Durch die auf diese Weise gefundenen Punkte c, b und i und die Endpunkte c und A der Pfeiler ist die perspektivische Bogenlinie zu legen.
Dasselbe Verfahren findet statt bei der perspektivischen Zeichnung des geometrisch dargestellten Stichbogens K 1 2 3 L.
Der vertikale Durchschnitt (Profil) durch die Mitte einer Kugel GAEFB und durch einen stumpf zuge - spitzten Cylinder HK ist gegeben; es soll darnach die per - spektivische Zeichnung für das angegebene Viertel der Distanz gemacht werden. Fig. 25.
Auflösung. Man ziehe den horizontalen Durchmesser AB und in gleichem Abstande nach oben und unten, die hori - zontalen Sehnen EF und GI, beschreibe über jeder dieser drei Linien als Durchmesser betrachtet, perspectivische Kreise in horizontaler Lage, so werden diese Kreise in die Oberfläche der Kugel fallen müssen. Verbindet man nun die am meisten über den Durchschnitt hinausgreifenden Punkte der perspektivi - schen Kreise durch eine stetige krumme Linie GQOBN, so wird diese den Umriss der perspektivisch gezeichneten Kugel darstellen.
Ein horizontaler Halbkreis über HK giebt die Oberkante des Cylinders; die Zuspitzung desselben verbirgt sich dem Auge.
Ein regelmässiges Sechseck, von wel - chem zwei Seiten parallel mit der Basis der Tafel sind, und dessen grösster Durchmesser AB gegeben ist, soll perspektivisch gezeichnet werden. Von der Distanz ist ⅓ angegeben. Fig. 26.
47Auflösung. Man zeichne einen perspektivischen Kreis, dessen Durchmesser die Linie AB ist, theile letztere in 4 gleiche Theile und ziehe durch die Theilpunkte 1 und 3 Linien nach P, welche bis an die Peripherie des Kreises verlängert die Punkte E, F und e, f bezeichnen, welche nebst A und B sämmtliche Ecken der verlangten Figur bestimmen.
Ein regelmässiges Achteck zu zeichnen, dessen eine horizontale Seite LM gegeben ist. Fig. 26.
Auflösung. Man theile diese Seite LM in 7 gleiche Theile, trage 5 derselben auf deren Verlängerung nach jeder Seite, und zeichne über der so erhaltenen geraden Linie GK ein Quadrat. Sodann ziehe man beide Diagonalen GI und HK, ziehe von L und M Linien nach dem Hauptpunkte, und durch die Durchschnittspunkte dieser Linien mit den Diagonalen die Horizontalen Nn und Qq; dann bezeichnen die Punkte Q, l, m, q, n, M, L, N die Ecken der verlangten Figur, welche durch gerade Linien zu verbinden sind.
Es giebt verschiedene Arten von Gewölben, als: Kugel - oder Kuppelgewölbe, Tonnengewölbe, Kloster - oder Walmge - wölbe, Kreuzgewölbe u. s. w. Die gewöhnlich vorkommenden sind die Kuppel -, Tonnen - und Kreuzgewölbe, letztere als charakteristische Eigenthümlichkeit der romanischen und alt - deutschen Bauweise. Die Hellenen der klassischen Zeit, wie die Aegypter und anderen Orientalen kannten das Gewölbe noch nicht. Erst die Römer, die es ohne Zweifel von den Hetruskern er - hielten, wandten es zu vielerlei Zwecken an.
Da die Zeichnung des Kuppelgewölbes nach denselben Regeln geschieht, wie die der Kugel, so kann dieses hier über - gangen werden.
48Das Tonnengewölbe ist ein Theil — in der Regel die Hälfte — eines hohlen Cylinders.
Das Kreuzgewölbe entsteht durch die Durchschneidung zweier Tonnengewölbe. Regelmässig heisst es, wenn die Durch - schneidung rechtwinklicht erfolgt und die beiden Tonnengewölbe gleich sind.
Ueber den Pfeilern AE und BF, deren Oberkanten parallel sind, soll ein halbkreisförmiges Tonnen - gewölbe im ersten Fall gezeichnet werden. Fig 27.
Auflösung. Man suche die Mitte C der Linie AB und beschreibe aus dieser einen Halbkreis; sodann ziehe man von C nach dem Hauptpunkte die Linie CP; wo diese die Linie EF schneidet, ist der Mittelpunkt des dem ersten perspektivisch gleichen Halbkreises über EF.
Ueber den Pfeilern A, B, C, E, die ein Quadrat einschliessen, soll ein regelmässiges Kreuzgewölbe gezeichnet werden. Von der Distanz ist ¼ angegeben. Fig. 28.
Auflösung. Man verlängere die inneren Pfeilerkanten um die Hälfte ihres Abstandes von einander, also aA und bB um ½ fg, d. h. bis f und g, und eE und cC um ½ ih, d. h. bis i und h. Von diesen 4 Punkten ziehe man Linien nach S, welches in dem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte der bei - den Diagonalen AQ und BE liegt. Auf diese Weise hat man eine umgestürzte Pyramide erhalten, deren Grundfläche das horizontal liegende Quadrat fghi ist und deren Kanten gS, fS, iS und hS sich in der Spitze S vereinigen. Theilt man nun den Halbkreis FHIG in 4 gleiche Theile und zieht von H und I Linien nach dem Hauptpunkte, so werden diese die Kanten der Pyramide in k, m und l und n schneiden und als Punkte in den Transversalgräten des Kreuzgewölbes bezeichnen. Der Durchschnittspunkt o der Diagonalen gi und fh ist auch der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt der Gräte, deren einer dann von dem Punkte E des linken hintern Pfeilers durch49 m, o, l nach dem Punkte B des rechten vordern Pfeilers zu ziehen ist. Der andere Grat geht von C des rechten hintern Pfeilers durch n, o, k nach A des linken vordern Pfeilers.
Es sind auf zwei rechtwinklichten Wän - den die beiden Halbkreise gleichen Durchmessers AEB und BHC gegeben, es soll das zwischen denselben befindliche Viertel eines Kreuzgewölbes gezeichnet werden. Fig. 29.
Auflösung. Man verlängere die senkrechte Kante B über G hinaus, ziehe von einem beliebigen Punkte E des Viertelkreises EB eine Horizontale EG bis an die Senkrechte BG, durch den Durchschnittspunkt G ziehe man von P aus die Linie GH bis zur Durchschneidung des perspektivischen Viertelkreises HB. Ferner ziehe man von H eine Horizontale HF bis an die Verschwindende, welche von P aus durch E gezogen worden, so ist die Ecke F des Quadrats FHGE ein Punkt des zu zeichnenden Grats (und zwar hier der gemein - schaftliche Durchschnittspunkt beider Gräte) da E und H die Scheitel der Bögen sind. Dasselbe Verfahren mehrmals und für beliebige Punkte der gegebenen Bögen wiederholt, verschafft die zur Zeichnung des ganzen Grats erforderlichen festen Punkte f u. s. w.
Bei allen Auflösungen der im Vorigen mitgetheilten Auf - gaben ist der Einfachheit halber der rechte Winkel im ersten Falle angenommen worden. Es versteht sich aber von selbst, dass die Konstruktionen auch auf den zweiten und dritten Fall angewandt richtige Resultate geben, dass die Vollziehung dersel - ben indess wegen der vielen Parallelen, deren Verschwindungs - punkt meistentheils ausserhalb der Tafel liegt, umständlicher ist.
450In dem Obigen sind nun alle die Regeln mitgetheilt wor - den, nach welchen die Auflösung der gewöhnlichen Aufgaben auf eine ungemein leichte und zweckmässige Weise geschieht. Man wird indess sehr bald gewahr werden, dass jene Methode in vielen andern Fällen den Zeichner entweder ganz im Stiche lässt oder doch sehr unbequem werden kann. So z. B. ist sie zur perspektivischen Zeichnung spitzer und stumpfer Winkel meistens ungeeignet.
Es ist bei diesem Mangel freilich auch der grosse Vortheil nicht zu übersehen, dass wir zur Fertigung der perspektivi - schen Zeichnung weder einen geometrischen Grundriss, noch einen Aufriss nöthig hatten, sondern, mit äusserst wenigen Aus - nahmen, die Zeichnung unmittelbar entwerfen konnten. Dieses ist aber begreiflicherweise nur bei solchen Aufgaben möglich, wo es sich um Winkel, Formen und Verhältnisse handelt, welche durch wenige Worte zu unserer innern Anschauung ge - bracht werden können. Wo dieses nicht mehr angeht, ist eine geometrische Darstellung des Gegenstandes unerlässlich, und zwar ein Grundriss und ein Aufriss (letzterer behuf der Höhen).
jeden beliebigen Gegenstand nach dessen Grund - und Aufriss in Perspektive zu bringen, soll an einem Beispiele erläutert werden.
Der Grundriss einer Burg G ist gege - ben, man soll eine perspektivische Ansicht derselben von dem Gesichtspunkte p′ machen, jedoch so, dass die Burg nicht in die Mitte der Tafel, sondern grösstentheils rechts vom Hauptpunkte zu stehen kommt. Die perspektivische Gruppe soll auf Fig. 31 von H bis I sich ausdehnen und der Gesichtspunkt p (Fig. 30) um DE über dem Grunde erhaben sein.
Auflösung. Man bestimme im Grundrisse den Punkt P′, welcher in der Zeichnung mit dem Hauptpunkte zusammenfallen51 soll, ziehe von p′ eine gerade Linie p′P′. Ferner ziehe man von den äussersten Punkten des Grundrisses x und y Linien nach p, lege zwischen dem Grundriss und p′ rechtwinklicht durch P′p′ eine Gerade AB und zwar in solcher Entfernung von p′, dass das durch xp′ und yp′ darauf abgeschnittene Stück vw ein be - stimmter Theil der vorgeschriebenen Ausdehnung HI der Zeich - nung (Fig. 31) ist — hier die Hälfte.
Nun ist AB als die Ebene der Tafel zu betrachten und deren direkte Entfernung vom Auge D′p′ ist die Hauptdistanz. Da indess die perspektivische Zeichnung in der doppelten Grösse des Bildes gemacht werden soll, welches auf AB gemessen wird, so ist D′p′ für die perspektivische Zeichnung nur die halbe Distanz.
Ferner ziehe man von p′ die Gesichtsstrahlen nach allen sichtbaren Ecken des Grundrisses und bezeichne deren Durch - schnittspunkte auf AB.
Nun kann man schon alle senkrechten Linien auf der per - spektivischen Zeichnung angeben. Man bestimme in der Mitte der Tafel (Fig. 31) den Hauptpunkt, trage rechts und links von demselben die doppelten Entfernungen der durch die Seh - strahlen auf der Linie AB bezeichneten Durchschnittspunkte — und zwar in derselben Ordnung, wie hier — und ziehe Senk - rechte von unbestimmter Länge durch diese aufgetragenen Punkte.
Die Längen werden sowohl nach Maassgabe ihrer wirk - lichen Grössen, als auch nach dem Verhältniss ihrer grössern oder geringern Entfernung vom Auge verschieden sein. Um den obern und untern Endpunkt jeder Senkrechten zu bestim - men, verfahre man in folgender Weise:
Man ziehe ausserhalb des Grundrisses die Linie FE parallel mit P′p′, betrachte diese als die Grundlinie, auf welcher die Gegenstände stehen. Ferner ziehe man von jeder Ecke und jedem sonst wichtigen Punkte des Grundrisses eine Senkrechte hinauf und gebe ihr oberhalb der Basis FE diejenige Höhe, welche sie an dem Gegenstande nach dem Maasstabe des Grund -4 *52risses hat. Sodann gebe man die Höhe des Gesichtspunkts p über der Basis an und ziehe durch diesen den Horizont Pp parallel mit der Basis. Ferner verlängere man AB über A hinaus bis C und mache Dp gleich D′p′, so dass bei dem Auf - riss dieselbe Distanz stattfindet, welche bei dem Grundrisse angenommen ward. Ferner ziehe man vom obern und untern Endpunkte jeder Senkrechten des Aufrisses Gesichtsstrahlen nach p und bemerke deren Durchschnittspunkte auf der Linie CE. Nachdem auch auf Fig. 31 der Horizont angegeben, trage man alle Höhen der Linien des Aufrisses, wie sie auf CE sich dar - stellen, sowohl oberhalb als unterhalb des Horizonts, doppelt genommen, auf den gleichnamigen Senkrechten der perspekti - vischen Zeichnung Fig. 31 oberhalb und unterhalb des Hori - zonts ab. Endlich verbinde man diese Endpunkte nach Anlei - tung der geometrischen Zeichnung durch gerade oder krumme Linien und die perspektivische Zeichnung ist vollendet.
Wenn der Mond oder die Sonne im Bilde erscheint, so ist der Maler nicht selten in Verlegenheit rücksichtlich der Grösse, die er dem Gestirn geben soll. Dass diese Grösse nicht ganz willkürlich ist, fühlt er sehr wohl; desshalb wird er durch Abnehmen oder Zusetzen seinem Gefühle zu genügen suchen. Dass dabei aber meistens ein sehr unrichtiges Resultat erscheinen muss, bedarf keines weitern Nachweises.
Um eine sichere und einfache Regel zur richtigen Grössen - angabe des Mondes oder der Sonne zu gewinnen, müssen wir uns der Eigenschaft ähnlicher Dreiecke erinnern: dass die gleichnamigen Seiten unter einander in demselben Verhältniss der Länge stehen. Daraus folgt nun für eine perspektivische Zeichnung — (welche so weit vom Auge entfernt gedacht wer - den muss, als die Distanz beträgt) — dass der Durchmesser des Mondes auf der Zeichnung in demselben Verhältniss zu der Hauptdistanz stehen muss, in welchem der Durchmesser des wirklichen Mondes zu dessen Entfernung von der Erde steht. Oder: dass der Durchmesser des Mondes auf der Zeichnung zum Durchmesser des wirklichen Mondes in demselben Ver - hältniss steht, welches zwischen der Hauptdistanz und der Mondweite von der Erde obwaltet.
Da nun die Entfernung des Mondes von der Erde 80,000 Meilen, dessen Durchmesser aber 782 Meilen beträgt, so wird sein Durchmesser immer ungefähr $$\nicefrac{1}{100}$$ der Distanz sein müssen.
Da die Sonne 34,000,000 Meilen von der Erde entfernt ist, ihr Durchmesser aber 320,000 Meilen misst, so ist der Bruch, welcher das Verhältniss des Durchmessers zur Distanz ausdrückt ( $$\nicefrac{1}{106}$$ ), noch etwas kleiner, als der für den Mond gefundene.
Daraus ergiebt sich nun die Regel, dass der Durchmesser des Mondes oder der Sonne auf einer Zeichnung immer unge -54 fähr den hundertsten Theil der der Zeichnung zum Grunde liegenden Distanz betragen müsse. Des hellen Lichtes wegen, welches beiden Himmelskörpern eigen ist, erscheinen sie indess dem Auge um Einiges grösser, was auch der Maler, zumal da er mit seinen Farben jenes Licht beiweitem nicht zu erreichen vermag, zu berücksichtigen hat. Ausserdem ist es gut, für Gemälde, in denen die Sonne oder der Mond sichtbar ist, eine nicht zu kurze Distanz zu nehmen, dieselbe sei denn vorge - schrieben, wie bei Dioramen, Theatervorhängen u. s. w.
Ein Körper ist nur dann sichtbar, wenn er beleuchtet ist. Diese Beleuchtung rührt entweder von einem direkten Lichte her (von der Sonne, dem Monde oder einer Kerze) oder von einem reflektirten, d. h. von einem durch direktes Licht er - leuchteten andern Gegenstande.
Der Theil des Körpers, welcher vom Lichte nicht ge - troffen wird, befindet sich im Schatten.
Der eigene Schatten eines Körpers ist derjenige, welcher auf der dem Lichte abgewandten Seite desselben sich befindet.
Der Schlagschatten entsteht, wenn ein undurchsichtiger Körper zwischen das Licht und eine von diesem beleuchtete Fläche tritt. Die Grenzen des Schlagschattens werden von den Lichtstrahlen gebildet, welche an den Grenzen zwischen dem beleuchteten Theile und dem eigenen Schatten eines undurch - sichtigen Körpers vorbeistreifen.
In der Natur giebt es keinen absoluten Schatten, denn von allen Seiten, aus der erleuchteten Luft und von andern erleuchteten Gegenständen, strömt reflektirtes Licht, durch welches die Schatten mehr oder weniger erhellt werden.
Das Licht pflanzt sich nur in gerader Linie fort. Wenn dasselbe als unendlich weit entfernt zu betrachten ist, wie die Sonne und der Mond, so sind dessen Strahlen parallel. Ist die Entfernung des Lichts aber eine endliche, wie bei einer56 Kerze der Fall ist, so divergiren die Strahlen desselben nach allen Seiten.
Der Mittelpunkt des Lichts ist der Verschwindungspunkt aller von demselben ausgehenden Lichtstrahlen, und der Punkt, in welchem eine aus dem Mittelpunkte des Lichts auf die Projektionsebene (welche den Schatten aufnimmt) gefällte Senkrechte diese Ebene trifft, ist der Verschwindungspunkt der unter einander und mit jener Ebene parallelen Streif-Schatten. Dieser Verschwindungspuukt heisst der Fuss des Lichts.
Um die Schatten richtig angeben zu können ist es erfor - derlich, die Richtung der Lichtstrahlen oder den Ort des leuch - tenden Körpers zu kennen.
Rücksichtlich des Standes eines solchen Lichts (der Sonne) gegen die Ebene der Tafel sind drei Fälle möglich.
Wenn die Sonne sich in der ins Unendliche verlängerten Ebene der Tafel befindet, und also auf der letztern nicht ihr Ort selbst, sondern nur die Richtung ihrer Strahlen angegeben werden kann, so ist die Richtung des Schlagschattens einer vertikalen Linie auf der horizontalen Ebene oder einer solchen Geneigten, deren Verschwindungspunkt in der Hauptlothrechten liegt, parallel mit dem Horizonte. Die Länge des Schattens wird durch eine geometrische Parallele mit der gegebenen Rich -57 tungslinie des Lichts, welche durch den obern Endpunkt der schattenwerfenden Linie geht, bestimmt.
Der Schlagschatten der Senkrechten AB (Axe einer Figur) soll gezeichnet werden; das Licht kommt in der Richtung RS. Fig. 32.
Auflösung. Man ziehe von B eine Horizontale von unbestimmter Länge, lege durch A eine Parallele mit RS; wo diese die Horizontale in C trifft, ist der Endpunkt des Schlag - schattens.
Der Schlagschatten der Figur ab wird auf dieselbe Weise gefunden, weil die geneigte Ebene, auf welcher sie steht, ihren Verschwindungspunkt in der Hauptlothrechten hat.
Den Schlagschatten der Figur de zu bestimmen.
Auflösung. Man ziehe von e eine Horizontale bis an die Grenze der geneigten Ebene, von dieser an ziehe man un - bestimmt weiter parallel mit MN. Der Punkt f, in welchem diese Linie von der mit RS parallelen df getroffen wird, be - zeichnet den Endpunkt des Schlagschattens.
Auf ähnliche Weise wird auch der Schlagschatten der Figur gi gefunden, nur dass der eine Theil desselben parallel mit der Böschungsneigung uT ist.
Den Schlagschatten der Mauer GH zu zeichnen.
Auflösung. Da die Mauer parallel mit der Ebene der Tafel ist, so erhält sie auf der vordern Seite sowohl, als auf der hintern, Streiflicht, so dass sie einen Schlagschatten nur in der Richtung ihrer Länge und von der Breite ihrer Dicke werfen kann. Der Schlagschatten der verschwindenden Fläche bei GH muss also theils auf die gegenüberstehende verschwin - dende Fläche von derselben Tiefe, theils auf den Boden zwi - schen diese und die erstere fallen. Den Schatten der Linie GV erhält man, wenn man von G die Linie GI pararellel mit58 RS, und von I nach P zieht. Die letztere bestimmt den ge - forderten Schatten von GV.
Den Schlagschatten des Gebäudes FEL zu zeichnen.
Auflösung. Man suche zuerst den Schatten der senk - rechten EF, dessen Richtung man findet, wenn man von F die Horizontale Fx, von x die Senkrechte bis auf den Boden und von hier die Horizontale bis an die geneigte Ebene zieht; wenn man ferner von y die Linie yz parallel mit OQ, der Neigung jener Ebene, und von z wieder eine Horizontale zieht. Das Ende des Schlagschattens der Senkrechten FE findet man in jener Richtung, wenn man durch E eine Parallele mit RS legt, welche die Richtungslinie Fxx′yzK in K schneidet und in diesem Punkte die Länge des Schattens giebt.
Um den Schatten von EL zu erhalten, ziehe man von K eine perspektivische Parallele mit derselben d. h. in den Hauptpunkt.
Um den Schlagschatten des Gebäudes FEL auf der fron - talen Mauer zu bestimmen, verlängere man die Grenze der Mauer von U senkrecht hinauf bis W, ziehe von diesem Punkte eine Parallele mit RS bis auf den Grund. Diese giebt die Grenze des Schlagschattens auf der Mauer an.
Den Schlagschatten des obersten Ge - simses des auf Fig. 32 befindlichen Gebäudes zu zeichnen.
Auflösung. Man verlängere die horizontale Wandlinie über m bis zu der Vorderkante des Gesimses an der verschwin - denden Seite, welche von jener in k getroffen wird; durch k ziehe man die Linie kv parallel mit RS, durch l nach dem Haupt - punkte, so sind beide Linien die Grenzen des Schlagschattens.
Den Schlagschatten des Gurtgesimses auf der dossirten Mauer des untern Geschosses desselben Ge - bäudes zu finden.
59Auflösung. Man fälle von der Ecke s eine Senkrechte; von dem Punkte w, wo die schräge Mauerkante von jener ge - troffen wird, ziehe man die Horizontale wn. Von der Ecke s ziehe man ferner die Linie sq parallel mit RS, welche wn in q trifft.
Dann verlängere man die horizontale Wandlinie dnrch o bis sie die verschwindende Kante st in r schneidet; von r ziehe man rp parallel mit RS, von p die Gerade pu perspekt. parallel mit st und die Gerade pq. Beide bezeichnen die Grenzen der Schlagschatten. Von q ziehe man die Horizontale qn, welche den Schatten der frontalen Seite des Gurts auf der dossirten Mauer angiebt.
Anmerkung. Die Art, wie die dossirte Mauer und ihre Kanten, so wie auch die Rampen richtig zu konstruiren sind, erhellt aus der Zeichnung; 1 2, 3 4 und 5 6 sind nämlich Diagonalen.
Wenn die Sonne sich jenseits der Tafel oder deren ver - längerten Ebene befindet, so muss, um die Schatten konstruiren zu können, der Ort der Sonne, d. h. die Erhebung derselben üher den Horizont und deren Abweichung oder Abstand vom Hauptpunkte angegeben sein.
Der Schlagschatten einer senkrechten Linie AB soll gezeichnet werden, wenn die Erhebung der Sonne ST und deren Abstand vom Hauptpunkte PT ist. Fig. 33.
Auflösung. Man ziehe von dem Fuss T der Sonne eine Gerade nach B, verlängere dieselbe unbestimmt über B hinaus und ziehe von S durch A eine Linie SA, welche ver - längert die erstere in C schneidet. Dann ist CB der gesuchte Schlagschatten.
Der Schlagschatten, welchen der vor - springende Thurm GFE auf die Mauer DGe und den Grund wirft, soll gezeichnet werden. Fig. 33.
Auflösung. Man ziehe von S die Horizontale Ss bis zur Durchschneidung der Hauptlothrechten, dann ist s die senkrechte Projektion der Sonne auf die verlängerte Ebene der Mauer DGe. Von s ziehe man eine Gerade sG und verlän - gere dieselbe über G hinaus. Dann ziehe man von S die Linie SF, deren Verlängerung jene erstere in f schneidet; dieser Punkt ist das Ende des Streifschattens Gf, oder der Schatten des Punktes F. Da nun FE parallel mit der Mauer DGe ist, so muss auch der Schlagschatten jener Kante mit dieser pa - rallel sein, also von f senkrecht herabgehen.
Dieser Schatten fe wird die Grundlinie der Mauer ey in demselben Punkte treffen, in welchem die verlängerte Gerade von T durch E, welche den Streifschatten Ee auf dem Boden angiebt, dieselbe schneidet.
Den Schlagschatten der Mauer KHN und des Thurmes QOR zu zeichnen. Fig. 33.
Auflösung ähnlich der vorigen, nur dass alle Streif - schatten auf dem horizontalen Grunde sich befinden und also in T ihren Verschwindungspunkt haben.
Rücksichtlich des Thurmes muss man dessen Standort61 uvw kennen, um durch diese Punkte von T aus die Streifschat - ten ziehen zu können.
Die bisherigen Aufgaben gestatteten die Angabe des Orts der Sonne selbst auf der Tafel. Es wird aber in den bei wei - tem am häufigsten vorkommenden Fällen sowohl die Erhebung der Sonne als deren Abstand vom Hauptpunkte so gross sein, dass der Punkt S mehr oder weniger weit ausserhalb der Ta - fel fällt. In diesen Fällen müssen wir uns wieder — wie auch schon in der Linearperspektive — parallele Seiten ähnlicher Dreiecke zur Vollziehung der geforderten Konstruktion bedienen und zu dem Zweck von der Erhebung der Sonne, wie von ihrem Abstande, einen bestimmten Bruch kennen. Folgende Aufgabe wird das dabei zu beobachtende Verfahren erläutern.
Es soll der Schlagschatten gezeichnet werden, welchen die äussere Kante einer Bogenöffnung NKFA auf die gegenüberstehende Bogenleibung wirft. $$\frac{T}{3}$$ $$\frac{S}{3}$$ ist ⅓ der Erhebung der Sonne über dem Horizonte und P $$\frac{T}{3}$$ ist ⅓ ihres Abstandes vom Hauptpunkte. Fig. 34.
Auflösung. Man verbinde den Mittelpunkt C des schat - tenwerfenden Halbkreises mit P, theile CP in 3 gleiche Theile, beschreibe um den Theilpunkt c, als Mittelpunkt, einen Halb - kreis nkf, dessen Halbmesser ⅓ des Halbmessers des Bogens NKF ist. Von den Endpunkten des kleinen Halbkreises ziehe man Senkrechte bis auf die verlängerten Linien EB und GA, welche von jenen in b und a getroffen werden.
Nun wird der wirkliche Ort der Sonne zu dem Bogen MKF in demselben Verhältniss stehen, in welchem der Punkt $$\frac{S}{3}$$ zu dem kleinen Hülfsbogen steht.
Soll nun der Schlagschatten z. B. des Bogenanfanges F gefunden werden, so suche man den diesem entsprechenden Punkt62 in dem kleinen Hülfsbogen. Dieser ist der Punkt f, in wel - chem die Gerade von F zum Hauptpunkte den kleinen Bogen schneidet. Ferner ziehe man von diesem Durchschnittspunkte die Linie f $$\frac{S}{3}$$ und geometr. parallel mit derselben die Linie FI. Ferner FH parallel mit P $$\frac{S}{3}$$ und endlich PH, welche genugsam verlängert FI in I schneidet. Dann ist I der Schlag - schatten des Punktes F.
Dieses Verfahren kann man für so viele Punkte wieder - holen, als man zur richtigen Zeichnung des Schattens ILN nöthig zu haben glaubt.
Da die Kante FA parallel mit der Ebene ME ist, und der Schatten von F in I gefunden worden, so folgt, dass der Schatten der Kante FA, so weit er von jener Ebene aufge - fangen wird, die Senkrechte IO sein muss. Der übrige Theil des Schlagschattens von FA wird dann durch die Gerade OA dargestellt, welche als Streifschatten auf der horizontalen Ebene geometr. parallel mit a $$\frac{T}{3}$$ sein wird.
Zur Bestimmung des Punktes N lege man die Tangente n $$\frac{S}{3}$$ an den Hülfsbogen und parallel mit dieser eine Tangente an den Bogen MKF, welche diesen in N berührt. In diesem Punkte wird auch die Schattenlinie ILN den Bogen MNF be - rühren.
Wenn die Sonne diesseits der Tafel und deren verlänger - ter Ebene steht, so kann zwar ihr Ort selbst auf der Tafel nicht enthalten sein, aber es lässt sich doch ein Punkt ange - ben, welcher bei der Konstruktion der Schatten dieselben Dienste leistet, nämlich ein Punkt N, welcher die negative Erhebung der Sonne sowie ihre negative Abweichung bezeichnet, d. h. welcher so weit unter dem Horizonte steht, als die Sonne63 über demselben angenommen wird, und nach der dem Sonnen - stande entgegengesetzten Seite vom Hauptpunkte abstehend.
Es soll der Schlagschatten gezeichnet werden, welchen die Senkrechte AB auf den horizontalen Grund wirft. PT ist die negative Abweichung und TN die ne - gative Erhebung der Sonne. Fig. 35.
Auflösung. Man ziehe von B eine Gerade nach T, wel - ches der Verschwindungspunkt der Streifschatten auf der hori - zontalen Ebene ist, ziehe dann von A die Linie AN. Der Punkt C, in welchem die Letztere die Erstere schneidet, ist der End - punkt des Schlagschattens BC.
Den Schlagschatten des Parallelopipe - dums abck zu zeichnen. Fig. 35.
Auflösung. Man ziehe von den Punkten g, l und b ge - rade Linien nach T, von d eine nach N, welche lT in o schneidet. Von o ziehe man om perspektivisch parallel mit ed, deren Schatten sie ist, und op perspektivisch parallel mit dk, d. h. hier horizontal.
Es versteht sich von selbst, dass die Punkte p und m auch direkt wären zu finden gewesen, indem man aus k und c ge - rade Linien nach N gezogen und auf diese Weise die Länge der Streifschatten gp und bm bestimmt hätte.
Den Schlagschatten zu zeichnen, wel - chen das Gesimse tH auf die frontale Mauer des Gebäudes IHG wirft. Fig. 35.
64Auflösung. Man ziehe von einem beliebigen Punkte t der Unterkante des Gesimses die geraden Linien tT und tN. Von dem Punkte r, in welchem die erstere die Mauerlinie trifft, fälle man eine Senkrechte, welche die Linie tN in s schneidet. Durch diesen Punkt s ziehe man sq parallel mit tH, so bezeich - net diese die Breite des Schlagschattens.
Den Schlagschatten zu zeichnen, wel - cher von dem Körper QWS auf die in den Hauptpunkt ver - schwindende Mauer geworfen wird. Fig. 35.
Auflösung. Man ziehe von N eine Horizontale bis zur Hauptlothrechten, beider Durchschnittspunkt n ist der Verschwin - dungspunkt aller Streifschatten auf Ebenen, welche in den Haupt - punkt verschwinden. Sodann ziehe man Linien von S, R und V naeh n; ferner von Q eine Linie nach N, welche Rn in u schneidet. Durch u ziehe man von P aus uw, und die Senk - rechte uv, so ist der Schlagschatten bestimmt. Es ist dann uv der Schatten von QW, uw der von QO, wS der von OS und vV der von WV.
Es soll der Schatten gezeichnet werden, welcher von der Kante ABCH einer Bogenöffnung auf deren innere Leibung und den Grund geworfen wird. Ein Drittel der negativen Abweichung der Sonne ist $$\frac{T}{3}$$ und ein Drittel ih - rer negativen Erhebung $$\frac{N}{3}$$ . Fig. 36.
65Auflösung. Von dem Mittelpunkte K des schattenwer - fenden Halbkreises BCM ziehe man die Gerade KP, theile die - selbe in drei gleiche Theile, beschreibe um den Theilpunkt d, als Mittelpunkt, einen Halbkreis bcm, dessen Radius ⅓ vom Radius BK ist. Dieser Hülfsbogen hat nun dasselbe Verhält - niss zu den Punkten $$\frac{T}{3}$$ und $$\frac{N}{3}$$ , wie der grosse Halbkreis zu den Einheiten dieser Brüche. Um nun den Schatten des An - fangspunktes B des Bogens zu finden, ziehe man die Linie BP, welche den Hülfsbogen in b schneidet. Man ziehe dann b $$\frac{N}{3}$$ und durch B mit dieser parallel BF. Ferner ziehe man P $$\frac{N}{3}$$ und mit dieser parallel BE; von dem Punkte E, in welchem BE die Kante LM schneidet, ziehe man die Linie EP, welche BF in F schneidet. Dann ist F der Schattenpunkt von B. Wiederholt man diese Konstruktion bei mehreren Punkten der Bogenkante (z. B. bei C, welchem c in dem Hülfsbogen ent - spricht) so erhält man eben so viele Punkte des Schlagschattens HGF. Der Schatten der senkrechten Kante BA ist theils die Senkrechte FI, theils die Gerade Al. Letztere muss parallel sein mit der Linie a $$\frac{T}{3}$$ und erstere mit AB.
Es soll der Schlagschatten der Gesims - kante AB auf der vertikalen Mauer gezeichnet werden. Die Hälften der negativen Abweichung und Erhebung sind gege - ben. Fig. 37.
Auflösung. Man ziehe von einem beliebigen Punkte a der schattenwerfenden Kante AB eine Gerade nach P, ziehe von der Mitte derselben a′ die Linie a′ $$\frac{T}{2}$$ und parallel mit letzterer die Linie ab bis zur Berührung der Oberkante der Mauer. Von b ziehe man eine Senkrechte bc von unbestimmter Länge. Sodann ziehe man die Gerade a′ $$\frac{N}{2}$$ und parallel mit dieser566eine Gerade durch a, welche die Senkrechte bc in c schnei - det. Die Horizontale durch c giebt die Breite des gesuchten Schlagschattens an.
Den Schlagschatten zu bestimmen, welchen der Stein zWX auf die Mauer wirft. Fig 37.
Auflösung. Man suche die Mitte W′ der Geraden WP und verfahre, wie bei der vorhergehenden Aufgabe. Zur Darstel - lung des Schattens der Kante zW verbinde man z mit w, so ist zww′ die Grenze des geforderten Schattens.
Es soll der Schlagschatten angegeben werden, welcher durch den aus der Mauer hervorragenden Stein dik auf derselben verursacht wird. Fig. 37.
Auflösung. Man verbinde die drei Eckpunkte d, i, f mit dem Hauptpunkte P, theile jede dieser Linien dP, iP und fP in zwei gleiche Theile, wodurch die Punkte l, m und n als Ecken einer dem Parallelogramm dif ähnlichen Figur lmn ge - funden werden. Sodann ziehe man die Gerade l $$\frac{T}{2}$$ und parallel mit dieser durch d die Linie de. Ferner verlängere man hg, sofern sie noch nicht durch de geschnitten wurde, bis zur Durchschneidung derselben in e. Von e ziehe man eine Senk - rechte ed′ von unbestimmter Länge und ziehe von d eine Pa - rallele mit l $$\frac{N}{2}$$ , welche ed′ in d′ schneidet. Durch d′ lege man die Horizontale d′i′. In dem Punkte i′, welcher der Durch - schnittspunkt der Horizontalen d′i′ mit der Geraden ii′ ist, welche durch i parallel mit m $$\frac{N}{2}$$ gezogen worden, errichte man die unbestimmt lange Senkrechte i′f′. Den Endpunkt f′ der - selben findet man durch Ziehung der Linie ff′ durch f als Parallele mit n $$\frac{N}{2}$$ . Endlich verbinde man h mit d′ und k mit f′ und der geforderte Schatten ist gefunden.
67Den Schlagschatten in der Mauerblende OMQR zu finden. Fig. 37.
Auflösung. Man ziehe die Linie OP und aus der Mitte o derselben die Linie o $$\frac{T}{2}$$ . Mit dieser Linie o $$\frac{T}{2}$$ parallel ziehe man den Streifschatten OU und errichte in U die unbestimmt lange Senkrechte US. Ferner ziehe man die Gerade MP und verbinde deren Mitte M′ mit $$\frac{N}{2}$$ durch eine Gerade. Mit dieser parallel ziehe man MS, welche die Länge der Senkrechten US bestimmt. Von S ziehe man die Horizontale SV, welche den Schlagschatten eines Theils der Kante MQ giebt. Endlich ver - binde man V mit Q, wodurch der von dem übrigen Theile von MQ auf der verschwindenden Mauerfläche verursachte Streif - schatten erhalten wird.
Der von der Mauerecke ECF auf die Treppenstufen H, I und L geworfene Schatten soll dargestellt werden. Fig. 37.
(NB. Die richtige Zeichnung der Stufen, bei denen das Verhältniss der Höhe zur Breite gewöhnlich wie 1 zu 2 ist, geschieht am kürzesten, wenn man von den Endpunkten G und H der obern und untern Kante der untersten Stufe Linien nach $$\frac{D}{2}$$ auf der Hauptlothrechten zieht. Zwischen diese beiden Linien fallen die Höhen und Breiten aller übrigen Stufen.)
Auflösung. Man zeichne auf die bereits oben angegebene Art den Streifschatten Ev, den senkrechten Schlagschatten vu5*68und von u aus wieder den unbestimmt langen Streifschatten uq. Den Endpunkt q desselben bezeichnet die Linie Cq, welche parallel mit der aus der Mitte c′ von CP gezogenen Linie c′ $$\frac{N}{2}$$ ist. Von q ziehe man in der Richtung nach dem Hauptpunkte qr bis an die Grundlinie der zweiten Stufe. Ferner verlängere man die Senkrechte IK bis o′, ziehe Kp in der Richtung der Streifschatten. Der Endpunkt p derselben wird durch die Linie o′p bestimmt, welche parallel mit der aus der Mitte o″ von o′P gezogenen Linie o″ $$\frac{N}{2}$$ ist. Durch p ziehe man über die ganze Breite der Stufe die Linie st in der Richtung nach P und verbinde s mit r und t mit F. Dann stellt die gebrochene Linie Ftsrq den Schatten der Kante CF, und quvE den der Kante CE dar.
Wir haben bisher die Schlagschatten einfach durch eine Linie begränzt und ganz davon abgesehen, dass in der Natur zwischen jedem Schlagschatten und der erleuchteten Fläche ein Halbschatten sich befindet, welcher desto breiter ist, je grösser der Durchmesser des leuchtenden Körpers oder der Abstand des schattenwerfenden Gegenstandes von der Schattengrenze ist. Wäre der leuchtende Körper ein blosser Punkt, so würde kein Halbschatten entstehen können.
Den Schatten und Halbschatten darzu - stellen, welche das Parallelopipedum EAC auf den Grund wirft. TS ist die Erhebung und TP der Abstand der Sonne. Ihr Durchmesser ist ac. Fig. 38.
Auflösung. Man trage den Halbmesser der Sonne zu beiden Seiten von T ab, so dass be = ac. Nun ziehe man bB und eB und verlängere beide über B hinaus; ferner ziehe man bF und eF und verlängere auch diese beiden über F hin - aus; nun ziehe man TC, bis g verlängert. Sodann ziehe man die Gerade aD, deren Verlängerung Cg in h schneidet, und cD, welche verlängert die Linie von T durch C in g trifft. 69Die Horizontale hf, die in den Hauptpunkt gehende hi und fB und iF begrenzen den eigentlichen Schatten des Körpers EAC; die Horizontale gd, die in den Hauptpunkt verschwindende gk und dB und kF bezeichnen die Breite des Halbschattens. Es versteht sich von selbst, dass die Ecken d, g und k abgerundet erscheinen.
Der Halbschatten an der Mauer KIL ist nach dem Vor - hergehenden leicht darzustellen.
Da die Lichtstrahlen eines solchen Lichts nicht parallel unter einander sind, sondern nach allen Seiten hin divergiren, so folgt daraus, dass auch die durch dasselbe hervorgebrachten Schlagschatten desto mehr an Breite zunehmen, je länger sie werden, vorausgesetzt, dass der schattenwerfende Körper dem Lichte eine grössere Fläche zukehrt, als dieses selbst ist.
Auch zu der Konstruktion der durch ein künstliches Licht hervorgebrachten Schlagschatten bedürfen wir derselben beiden Punkte, welche wir bei der Darstellung der von einem unend - lich entfernten Lichte verursachten Schatten nöthig hatten, — nämlich des Mittelpunktes des Lichts und des Fusses dessel - ben, d. h. desjenigen Punktes, in welchem eine aus dem Lichte auf die Ebene, welche den Schlagschatten als Streifschatten auffängt, gefällte Senkrechte diese Ebene trifft.
In einem durch eine Kerze X erleuch - teten Zimmer soll der Schatten, welcher durch den Tisch ABC, auf welchem die Kerze steht, auf die Wand und den Boden geworfen wird, gezeichnet werden. Fig. 39.
Auflösung. Man suche den Fuss des Lichts auf dem Boden, indem man die Horizontale bc, die Senkrechten70 ca und bx′ und die Horizontale ax′ zieht. Der Durchschnitt x′ der letztern in der senkrechten Verlängerung von Xb ist der Fuss des Lichtes auf dem Boden. Nun ziehe man von x′ durch die unteren Endpunkte E und F der Senkrechten BE und CF unbestimmt lange Linien x′e und x′f. Die Punkte e und f, in welchen diese von der vom Lichte X durch B und C ge - zogenen Linien XBe und XCf geschnitten werden, bezeichnen die Schatten der vorderen Tischecken B und C. Zieht man von e und f die Horizontalen ed und fi und verbindet man e mit f, so umschliessen diese drei Linien den von der Tischplatte auf den Boden geworfenen Schlagschatten. Wenn, wie hier es der Fall ist, die Tischplatte parallel mit dem Boden ist, werden auch diese Grenzlinien des Schattens (perspektivisch) parallel mit den Kanten des Tisches sein, deren Schatten sie sind.
Endlich ziehe man die Linie Ad, welche den Streifschatten darstellt, der von einem Theile der Kante AB herrührt.
Die innerhalb der Fensternischen fal - lenden Schlagschatten zu finden. Fig. 39.
Auflösung. Da der Fuss des Lichts zwischen die bei - den Fenster fällt, so werden die beiden dem Fusse zunächst befindlichen durch h und l gehenden Fensterkanten die Schlag -71 schatten erzeugen. Man wird diese durch Zeichnung der an den horizontalen Ueberdeckungen der Nischen entstehenden Streif - schatten hk und ln am besten bestimmen. Zu dem Zwecke suche man den Fuss des Lichts auf der verlängerten Ebene dieser Ueberdeckungen, welches auf folgende Art geschieht: Man errichte in c und X die unbestimmt langen Senkrechten cg und Xx″, ziehe die Gerade hl (welche als Richtung der oberen Mauerkanten der Fensternischen den Hauptpunkt zum Verschwindungspunkt hat) und ziehe von dem Durchschnitts - punkte g der Senkrechten cg eine Horizontale, welche die Senk - rechte Xx″ in x″ schneidet, dann ist x″ der gesuchte Fuss des Lichts.
Nun ziehe man von x″ die Linien x″hk und x″ln, welche die Streifschatten geben. Die Senkrechte durch n bestimmt die Grenze des Schlagschattens auf der beleuchteten Leibung des hintern Fensters. Dasselbe Verfahren wende man auch in Be - treff der Schatten auf den Fensterbänken an.
Die Schlagschatten des Deckengebälks zu zeichnen. Fig. 39.
Auflösung. Zuerst suche man die Richtung der Streif - schatten, welche die Balkenkanten MK und SN auf den zwi - schen den Balken befindlichen Theil der Hinterwand werfen. Zu dem Zweck suche man den Fuss des Lichts x‴ auf der Hinterwand. (Diesen findet man, wenn man von x′ eine Linie in der Richtung nach dem Hauptpunkte zieht, und da, wo sie die Grundlinie der Hinterwand berührt eine Senkrechte errich - tet; wenn man ferner auch aus X eine Linie in der Richtung nach dem Hauptpunkte zieht. Der Punkt x‴, in welchem diese jene Senkrechte schneidet, ist der gesuchte Fuss des Lichts.)
Von dem Fusse des Lichts x‴ ziehe man durch M und S Gerade und verlängere sie so weit, bis sie die Horizontale, welche die Balkendicke bezeichnet, in m und T treffen. Durch m und T ziehe man aus P die Linien mp und TO, so werden diese72 die Breiten der Schlagschatten angeben, welche von den ver - schwindenden Balken an die zwischen denselben befindliche Decke geworfen werden.
Da die senkrechte Vorderfläche des dritten horizontalen Balkens (von vorn an gerechnet) tiefer im Bilde sich befindet, als das Licht, so ist sie beleuchtet. Die Streifschatten, welche die verschwindenden Balken auf derselben verursachen, erhält man einfach durch das Ziehen der Geraden on u. s. w.
Da der zweite horizontale Balken sich diesseits des Lichts befindet, so muss dessen vordere senkrechte Fläche im Schatten sein und die Kante HR einen Schlagschatten auf die zwischen den Balken befindliche Bretterdecke, und Streifschatten auf den zwischen den Balken liegenden Theil beider verschwindenden Seitenwände werfen. Wir wollen die Breite der Schlagschatten wieder vermittelst der Streifschatten bestimmen.
Der Streifschatten HI ist die Verlängerung der Linie, welche durch H aus dem Fusse des Lichts x auf der Wand links, und der Streifschatten RQ ist die Verlängerung der Linie, welche durch R aus dem Fusse des Lichts z auf der Wand rechts gezogen worden.
Zieht man nun durch I und Q die Horizontale ILOQ, so giebt diese die Breite des von dem Balken geworfenen Schlag - schattens an.
Die Gerade rq giebt den hier entstehenden Streifschatten, welcher auch aus dem Fusse des Lichts z′ durch r hätte ge - zogen werden können.
Es soll der Schlagschatten dargestellt werden, welchen die geöffnete Thür ZV theils auf die Wand, theils auf den Boden wirft. Fig. 39.
(NB. Um die Thür richtig zu zeichnen, beschreibe man auf dem Boden den Halbkreis, den ihre Vorderkante beim Oeffnen beschreibt, und dessen Mittelpunkt unter den Angeln in V liegt. In diesen Halbkreis wird die Vorderkante 2 der Thür immer fallen, wie weit sie auch geöffnet sein mag. Die73 Dicke bildet die Tangente des Halbkreises. Ist die Richtung der Thür durch 2V gegeben, so verlängere man diese Linie bis f′ im Horizont, und ziehe von f′ über 1 nach Z, so ist 1Z die mit 2V parallele Oberkante der Thür.)
Auflösung. Man ziehe von dem Fusse des Lichts auf dem Boden die Linie x′2 und verlängere dieselbe bis an die Wand, wodurch der Punkt W bestimmt wird. In W errichte man die Senkrechte WY und mache diese so lang, dass sie von der verlängerten XZ geschnitten wird. Von diesem Durch - schnittspunkte Y ziehe man Y1 nach der Ecke der Thür, so ist der geforderte Schlagschatten gefunden.
Den Schlagschatten zu zeichnen, wel - chen das über der Thür befindliche Simsbrett an der Wand verursacht. Fig. 39.
Auflösung. Man ziehe von dem Fusse des Lichts z auf der betreffenden Wand die Linie zu und verlängere dieselbe, bis sie die von X über s gezogene Gerade sv in v schneidet. In v errichte man eine Senkrechte, welche von der aus X über t gezogenen Geraden in w getroffen wird, von w ziehe man eine Linie nach P, welche hinter dem Simsbrett verschwindet. Dann giebt die letztere den Schatten der verschwindenden Ober - kante, wv den der Kante ts und uv den der Kante su.
Noch bleibt ein dem Maler nicht unwichtiger Gegenstand zu erledigen — nämlich die von einer Spiegelfläche zurück - geworfenen Bilder perspektivisch dargestellter Gegenstände rich - tig zu zeichnen.
Da es in der Malerei in der Regel nur die Oberfläche des unbewegten Wassers ist, welche zur Zeichnung der Spiegel - bilder Veranlassung giebt, und die von vertikal stehenden Spie - geln reflektirten Bilder mit geringer Modifikation nach denselben Regeln konstruirt werden, so genügt es hier, bloss die auf der horizontalen Ebene erscheinenden Spiegelungen zu betrachten.
Das dieser Erscheinung zum Grunde liegende Gesetz ist dieses: dass der Lichtstrahl, welcher auf eine Spiegelfläche trifft, unter demselben Winkel von derselben reflektirt wird, unter welchem er auf dieselbe traf. — Fig. 40.
Befindet sich z. B. das Auge in O und sieht auf der Spiegelfläche AB das Bild von F zurückgeworfen, welches in dem Punkte C ge - schieht, so ist der Einfallswinkel FCA gleich dem Ausfallswinkel BCO. Oder es erscheint dem Auge O der Punkt F so weit hinter der Spiegelfläche, als er in Wirklichkeit vor derselben steht, so dass es denselben in der Verlängerung von OC in F′ ge - wahrt. Für den Fall, dass das Auge sich in E befände und senkrecht auf den Spiegel AB gerichtet wäre, würde es sich selbst sehen, aber so weit hinter dem Spiegel, als es vor demselben sich befindet.
Daraus folgt in Bezug auf die horizontale Spiegelebene die allgemeine Regel: dass, um die Spiegelung eines gegebenen Punktes zu finden, man von demselben eine Senkrechte bis auf die Spiegelfläche oder — wenn diese nicht so weit geht — deren Verlängerung fällt, und diese um ihre eigene Länge nach unten fortsetzt. Der Endpunkt dieser Verlängerung ist die Spiegelung des gegebenen Punktes.
75Auf diese Regel gründen sich nun die Auflösungen folgender Aufgaben.
Auf einem stehenden Wasser soll die Spiegelung der senkrechten Kante GH gezeichnet werden. Fig. 40.
Auflösung. Man verlängere diese Kante GH über H hinaus und mache gH gleich GH, so ist jene die Spiegelung der letztern.
Die Spiegelung der beiden Stufen II′ und ML zu finden. Fig. 40.
Auflösung. Die Spiegelung von ML wird nach An - leitung der vorhergehenden Auflösung gezeichnet. Um aber die von II′ zu finden, muss man den Punkt suchen, in welchem die Verlängerung derselben die unter den Stufen fortgesetzt gedachte Wasserfläche trifft. Dieser Punkt ist derjenige, in welchem die von L nach P gezogene Gerade (also Horizon - tale) die Verlängerung der Senkrechten II′ schneidet. Die Länge von IK unterhalb K senkrecht abgetragen, giebt den Punkt i als Spiegelung von I. Zieht man nun Horizontalen durch m und i, so sind die Spiegelbilder beider Stufen gezeich - net. Verbindet man g mit i, so erhält man auch die Spie - gelung der Kante GI. Da für GI der Hauptpunkt der Ver - schwindungspunkt ist, muss er es auch für gi sein.
Die Spiegelung der Mauern WVSU zu zeichnen. Fig. 40.
76Auflösung. Man verlängere SU bis u in der Linie LP und trage die Länge Su senkrecht unter u bis s ab, welcher Punkt die Spiegelung von S ist. Nachdem man auch die übri - gen senkrechten Kanten der Mauer unbestimmt herabwärts ver - längert hat, ziehe man durch s die Horizontale sv, von P nach s, und über v nach v′, wodurch die verschwindenden Kanten des Spiegelbildes bestimmt werden.
Das Spiegelbild der menschlichen Figur np zu zeichnen. Fig. 40.
Auflösung. Man ziehe von p eine Horizontale bis zu der Verschwindenden GP, von dem Durchschnittspunkte beider ziehe man eine Senkrechte bis zu der Verschwindenden LP, welche in der verlängerten Wasserfläche fortläuft; von diesem Durchschnittspunkte ziehe man wieder eine Horizontale bis zu der verlängerten np, dann ist die Länge np′ in der senkrechten Richtung unterhalb p′ abzutragen, wodurch der Punkt n′, der den Scheitel des Spiegelbildes der Figur bezeichnet, gefun - den wird.
Das Spiegelbild des über die Ufermauer hervorstehenden Steins bcX zu finden. Fig. 40.
Auflösung. Man ziehe die Senkrechten Xy′ und Yy bis auf die Wasserfläche, verlängere beide um ihre eigene Grösse bis X′ und Y′, ziehe von P Linien durch X′ und Y′ und ver - längere beide, bis sie durch die von a und b gefällten Senk - rechten in a′ und b′ geschnitten werden. Ferner ziehe man die Gerade b′a′, ziehe die Senkrechte a′c′ gleich ac, ziehe ferner77 durch c′ und b′ Parallelen mit a′b′ und a′c′ und führe von c′ eine Gerade nach P, so ist die Aufgabe aufgelöset.
Das Spiegelbild der Böschungsfläche QQ′RR′ zu finden. Fig. 40.
Auflösung. Man verlängere Qr und Qr′ um deren eigene Grösse bis q und q′. Dann ziehe man qR und q′R′. Die Steinfugen werden auf ähnliche Art behandelt.
Die Spiegelung der Bogennische zu zeich - nen. Fig. 40.
Auflösung. Man suche die Spiegelungen der Mittelpunkte Z und z, welche nach dem Vorigen in Z′ und z′ gefunden sind. Aus diesen letztern beschreibe man mit denselben Radien Halbkreise, mit welchen die oberen beschrieben worden sind.
Im Verlage von Julius Buddeus in Düsseldorf erschien ferner:
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